课时跟踪训练41

课时跟踪训练(四十一)

一、选择题

1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

[解析]当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.

[答案] A

2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使m∥α成立的一个充分条件是()

A．m∥β，α∥β

B．m⊥β，α⊥β

C．m⊥n，n⊥α，m⊄α

D．m上有不同的两个点到α的距离相等

[解析]对于A，直线m可能位于平面α内．对于B，直线m可能位于平面α内．对于D，当直线m与平面α相交时，显然在该直线上也能找到两个不同的点到平面α的距离相等．故选C.

[答案] C

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

[解析]l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α，可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故D

项错．故选B.

[答案] B

4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是()

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α

[解析]l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等，l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0，l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等，l与α斜交时，也只能有两点到α距离相等．故选D.

[答案] D

5．若α、β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线()

A．只有1条B．只有2条

C．只有4条D．有无数条

[解析]据题意如图，要使过点A的直线m与平面α平行，则据线面平行的性质定理得经过直线m的平面与平面α的交线n与直线m平行，同理可得经过直线m的平面与平面β的交线k与直线m平行，则推出n∥k，由线面平行可进一步推出直线n与直线k与两平面α与β的交线平行，即要满足条件的直线m 只需过点A且与两平面交线平行即可，显然这样的直线有且只有一条．故选A.

[答案] A

6．如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，

F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是() A．EH∥FG

B．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱

D．Ω是棱台

[解析]∵EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，

∴EH∥B1C1.∴EH∥平面BCGF.

∵FG⊂平面BCGF，∴EH∥FG，故A对．

∵B1C1⊥平面A1B1BA，EF⊂平面A1B1BA，∴B1C1⊥EF，

则EH⊥EF.由上面的分析知，四边形EFGH为平行四边形，故它也是矩形，故B对．

由EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C对，故选D.

[答案] D

7．(2015·吉林九校联考)已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是()

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

C．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥β

D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

[解析]对于选项A，m∥α，n∥α，则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故A错误；对于选项B，由线面垂直的性质定理知，m∥n，故B正确；对于选项C，n可以平行β，也可以在β内，故C错；对于选项D，α与β可以相交，因此D错．故选B.

[答案] B

8．(2016·云南检测)如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，

H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )

A.452 B ．4532 C ．44

D ．45 3

[解析] 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊1

2AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12SB ＝45

2

.故选A. [答案] A

9．(2015·广东七校联考)设a ，b 是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )

A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β

B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β

C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α

D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α

[解析] 对于A ，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，所以A 是α∥β的一个必要条件；同理，B 也是α∥β的一个必要条件；易知C 不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D 是α∥β的一个充分条件．故选D.

[答案] D