高中数学必修5教案 基本不等式 第3课时
高中数学必修5《基本不等式》教案
课题：基本不等式教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4一、教学目标：1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点和难点：重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2a b +≤ 的证明过程；2a b+≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问题。
三、教学方法：启发、探究式相结合 四、教学工具：多媒体课件五、教学过程：一、问题引入:如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？这样，三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为a b +。
由于4个直角三角形二、探究过程：1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 探究1：（1）正方形ABCD 的面积S=＿＿＿＿ （2）四个直角三角形的面积和S ’=＿＿ （3）S 与S ’有什么样的关系？的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥《几何画板》课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
问题：你能证明这个结论吗？ 证明：（作差法） 因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当b a ≠时，0)(2>-b a 当b a =时，0)(2=-b a所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+总结结论1：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。
人教A版高中数学必修五《基本不等式》精品教案
《基本不等式：》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A 版）第三章3.4节 一．教学目标①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。
②过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。
③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。
让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。
二．教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本2a b+≤。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取“=”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。
三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。
以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。
以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
四、教学过程设计设置情景，导入新课1．图中的面积有哪些相等和不等的关系？2．正方形ABCD的面积肯定大于4个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？1．让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。
2．借助《几何画板》动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当a b时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。
教师利用多媒体展示问题情景：1．（投影出）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标——风车。
2．让学生直观观察（多媒体动画演示,“当正方形EFGH缩为一个点时，它们的面积相等”。
）自主探究，从而归纳出：“正方形ABCD的面积不小于4个直角三角形的面积和”。
五、板书设计板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习则利用多媒体课件展现，这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。
高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式及其变形公式的应用(第三课时)》新授课详细教案
第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
高中数学 34基本不等式教案 新人教A版必修5 教案
章节标题第三章 不等式 3.4 基本不等式（1）计划学时 2高考要求掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单最大（小）值问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
三维目标1、知识与能力目标：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→ 剖析归纳证明→ 几何解释→ 应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重点教学难点及 解决措施重点：从不同角度探索基本不等式2ba ab +≤的证明过程及应用。
难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；教学流程一、 创设情景，提出问题；如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。
在此基础上，引导学生认识基本不等式。
同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示， 让学生更直观的抽象、归纳出以下结论：二、抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。
[问] 你能给出它的证明吗？特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？ 【归纳总结】如果a,b 都是正数，那么2ba ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。
我们称此不等式为基本不等式。
其中2b a +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。
三、理解升华：1、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与G 有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
基本不等式的证明教案3必修5
3.4 基本不等式：2b a ab +≤3.4.1 基本不等式2b a ab +≤的证明 备课资料 一、课外阅读算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即na a a A n +++...21＝，,...21n n a a a G =即A ≥G ,当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，A ＝G.特别地当n ＝2时，ab b a ≥+2,当n ＝3时，33abc c b a ≥++. (2)用局部调整法证明均值不等式A ≥G .设这n 个正数不全相等.不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，…，a n －1，a 1＋a n －A .这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝nA a a a a a A n n -+++++-1132...＋=A ,②两组数的几何平均值最大.设第二组数的几何平均值为G 1，则G 1＝),(...1132A a a a a Aa n n -+-∵A (a 1＋a n －A )－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A ),由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A )＞0,则A (a 1＋a n －A )＞a 1a n .∴Aa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A )＞a 1a 2…a n －1＋a n .G 1＞G.若第二组数全相等，则A 1＝G 1，于是A ＝A 1＝G 1＞G 证明完毕.若第二组数不全相等，再作第二次替换.仍然是去掉第二组数中的最小数b 1和最大数b n ，分别用A 1(即A )和b 1＋b n －A 代替，因为有b 1＜A 1＜b n 且A 1＝A .因而第二组数中的A 不是最小数b 1，也不是最大数b n ，不在去掉之列，在替换中不会被换掉，而只会再增加，如此替换下去，每替换一次，新数中至少增加一个A ，经过n －2次替换，新数中至少出现n －2个A ，最多经过n －1次替换，得到一个全部是A 的新数组.此时新数组的算术平均值等于几何平均值.在每次替换中，数组的算术平均值不变，始终等于A ，而几何平均值不断增大，即G ＜G 1＜G 2＜…＜G k ，而G k ＝A k ＝A ，因而G≤A 成立. 二、课外拓展平均值不等式：平均不等式是最重要而基本的不等式之一，应用极其广泛，如能灵活运用，将产生意想不到的效果，这类试题在数学竞赛中经常出现.请同学们课后查找资料，阅读此四个不等式的证明过程.平均值定理：设n 个正数a 1，a 2，…，a n ，记 调和平均n n a a a nH 1...1121+++= 几何平均n n n a a a G ∙∙∙=...21， 算术平均na a a A n n +++= (21)， 平方平均na a a Q n n 22221...+++=.这4个平均有如下关系：H n≤G n≤A n≤Q n,等号成立的充要条件都是a1=a2=…=a n.从容说课在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：2ba ab +≤，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.教学难点1.对基本不等式从不同角度的探索证明；2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.教具准备多媒体及课件三维目标一、知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情） 推进新课师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？ （沉静片刻）生 应该先从此图案中抽象出几何图形.师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？ （请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来） ［过程引导］师 设直角三角形的两直角边的长分别为a 、b ，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.师 一定吗？ （大家齐声：不一定，有可能相等）师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？ 生 每个直角三角形的面积为ab 21，四个直角三角形的面积之和为2ab .正方形的边长为22b a，所以正方形的面积为a 2+b 2，则a 2+b 2≥2ab .师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a 2+b 2≥2ab 证明了吗？生没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.师回答得很好.（有的同学感到迷惑不解）师这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.师同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生正确.［教师精讲］师这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.生实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.师这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）生作商，用商和“1”比较大小.师对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）［合作探究］师请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.生当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）师从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.生当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.师这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.（大家齐声）一致.（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）板书：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.［过程引导］师这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生完全可以.师为什么？生 因为不等式中的a 、b ∈R. 板书：ab b a ≥+2即2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0). 师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2b a +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：ab b a ≥+2， 只要证a +b ≥2ab ，要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，要证③，只要证：,0)(2≥-b a显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式. （此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度） ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，A C=a ,B C=b .过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结A D 、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础） ［合作探究］师 同学们能找出图中与a 、b 有关的线段吗？生 可证△A CD ∽△B CD,所以可得ab CD =.生 由射影定理也可得ab CD =.师 这两位同学回答得都很好，那ab 与2b a +分别又有什么几何意义呢？生ab 表示半弦长，2b a +表示半径长. 师 半径和半弦又有什么关系呢？ 生 由半径大于半弦可得ab b a ≥+2. 师 这位同学回答得是否很严密？生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0). 课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab .生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式. 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.布置作业活动与探究：已知a 、b 都是正数，试探索b a 112+,ab ,2b a +,222b a +的大小关系，并证明你的结论.分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.（方法二）创设几何直观情景.设A C=a ,B C=b ，用a 、b 表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得. 基本不等式2b a ab +≤的证明 一、实际情景引入得到重要不等式 课时小结a 2＋b 2≥2ab二、定理若a ＞0，b ＞0，课后作业 则ab b a ≥+2证明过程探索：。
人教版高中数学必修5教案第三章不等式 §3.4基本不等式第三课时
课题: §3.42a b +≤第3课时授课类型：习题课【教学目标】1．知识与技能：2a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】2a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教学过程】1.课题导入1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m>0,求证24624m m+≥。
[思维切入]因为m>0,所以可把24m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。
[证明]因为 m>0,，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m=6m ，即m=2时，取等号。
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和246m m ⨯=144为定值的前提条件。
3.随堂练习1[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.例2 求证:473a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值例3 (1) 若x>0,求9()4f x x x=+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x ⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-即x=-32时, 9()4f x x x =+取得最大-12.规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-(x>5)的最小值.[思维拓展2] 若x>0,y>0,且281x y+=,求xy 的最小值.4.课时小结2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值。
必修5第三章基本不等式教案3个课时
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
高效训练
不练不讲
练习3:：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．
教学内容
第3课
（单元）
主题
3.4基本不等式： 的应用
第2课时
教学目标
知识
与技能
能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
过程
与方法
本节课是基本不等式应用举例的延伸。
情感态度与价值观
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
教
材
分
析
重点
基本不等式
难点
基本不等式的应用
学情分析
学生在上节课学习了重要不等式和基本不等式，已对这个知识点有了解，这节课在所学知识的基础上深入提高。
（当直角三角形变成等腰直角三角形，即 时，正方形EFGH变成一个点，这时有 ）
探究2：你能给出 ，当且仅当 时，等号成立的证明吗？
证明：
所以
注意强调（1）当且仅当 时,
(2)特别地,如果 用 和 代替 、 ，可得 ,
也可写成 ,引导学生利用不等式的性质推导
探究3：你能理解基本不等式的几何意义吗？
结论：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”
当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式教案(3)
基本不等式目的要求： 复习与掌握基本不等式及其运用。
重点难点： 利用基本不等式的运用技巧。
教学设计： 一、引入：我们已经学习过重要不等式 a²+b²≥2ab ，下面将它以定理的形式给出. 二、定理1 如果a, b ∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b 时等号成立。
让学生自己给出证明.探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab 的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。
几何意义：如图把实数a ，b 作为线段长度，以a ≥b 为例，在正方形ABCD 中，AB=a ；在正方形CEFG 中，EF=b.则 S 正方形ABCD+S 正方形CEFG=a ²+b ².2ab S S CEFG BCGH =+矩形矩形，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD 与正方形CEFG 的面积和。
即a ²+b ²≥2ab.当且仅当a=b 时，两个矩形成为正方形，此时有 a ²+b ²=2ab 。
三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：如果a,b>0，那么ab ba ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立.证明：因为 ()()ab b a b a b a 2222=≥+=+所以ab ba ≥+2， 上式当且仅当b a =，即a=b 时，等号成立。
其中2ba +为a,b 的算术平均，ab a,b 的几何平均，于是基本不等式可以表述为:两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
几何意义为:如图在直角三角形中，CO 、CD 分C别是斜边上的中线和高，设AD=a ，DB=b ，则由图形可得到基本不等式的几何解释。
四、.教学例题例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
高中数学3.4 基本不等式 教案3人教版必修5
3.4 基本不等式2ba ab+≤3.4 基本不等式ab≤2ba+[教学目标]1. 探索并了解基本不等式的证明过程。
2. 从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，或由结论到条件。
3. 能利用基本不等式进行简单的应用。
4. 通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结合的思想。
5. 通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。
[重点]：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式2ba ab +≤。
[难点]：从不同角度探索基本不等式的证明过程。
[教学方法]：启发、引导、讲解。
[教学准备]：Z+Z课件[教学过程]：一、导入新课（多媒体展示24届国际数学家大会会标）问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？（引导学生作出其几何图形，多媒体展示该几何图形。
）问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。
（多媒体动态演示变化过程，引导学生注意何时相等。
）问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练习，请同学们用不等式表示上述不等关系。
为了表示方便，我们可设直角三角形的两直角边的长分别为b a ,。
答：四个全等的直角三角形的面积之和为ab 2，大正方形的面积为22b a +,则 ab b a 222≥+当直角三角形变为等腰直角三角形,即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点时有ab b a 222=+。
问：如何证明 ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。
答：由()02222≥-=-+b a ab b a ，所以ab b a 222≥+ 当且仅当()02=-b a ，即b a =时取等号。
[板书]：一般的，对于任意实数b a ,，都有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号。
问：当0,0>>b a 时，以a ，b 代替此式中b a ,的可得到一个什么样的关系式？ 答：ab b a 2≥+二、.新课探究[板书]：若0,0>>b a ，则2b a ab +≤，当且仅当b a =时取等号。
高中数学新人教A版必修5教案3.4基本不等式3
一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.4节《基本不等式》的第一课时，主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简单的应用.本节内容具有变通性、应用性的特点，它与线性规划呈并列结构，可用来求某些函数的值域和最值，也可解决实际生活中的最优化配置问题.本节内容由两部分构成，其一是利用“一正、二定、三相等”的七字条件求函数最值并用来解决实际问题，其二是对基本（重要）不等式的探究过程，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法.作为本节内容的第一课时，重点在后者.特别是，本节课内容是体现新课程让学生积极动手实践、自主探索、合作交流学习方式的良好素材.本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在两个不等式的发现和对基本不等式的几何解释的学习过程中突出体现了数形结合思想，在基本不等式与重要不等式的关系及其应用中都突显换元的方法.在对教材深入挖掘的基础上，本节内容中含有多个德育教育点.教材引入赵爽的弦图，是体现数学文化价值、对学生进行以爱国主义为核心的民族精神教育的好机会.在探究不等式的过程中，不等式中等号成立的条件是体会量变与质变的辩证关系的较好素材.利用对教材例1的反思，可使学生树立科学的节能减排意识、环保意识.通过教师创设的问题情境，还可使学生树立现代社会的诚信观.本节课教学重点：1.学生在经历基本（重要）不等式的生成及证明过程中初步学会“实验（几何）——猜想(代数)——证明——结论（定理、概念）——应用”的探索数学问题的方法.2.会运用基本（重要）不等式解决简单的比较大小和求某些函数最值的简单问题.二、目标和目标解析（一）教学目标（1）通过拼图、折纸的几何实验，经历基本（重要）不等式的发现过程，初步学会在类似的问题情境下，尝试运用 “实验——猜想——证明——结论（定理、概念）——应用”的方法探究数学问题.（2）了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件.（3）会运用基本（重要）不等式比较大小.（4）知道基本不等式成立的条件，并会求()0,0>>+=b a xb ax y 类型的函数在0>x 时的最小值，初步认识 “=”成立的作用. （5）通过对基本不等式的探究及几何解释的理解，体会数形结合思想的作用.（6）在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感. 在探究不等式的过程中，体会量变与质变的辩证关系.通过教师对基本不等式例题的设置，帮助学生树立现代社会诚信意识及科学的节能减排理念.（二）教学目标解析（1）新课标中对经历知识的发生过程提出了较高的要求，强调使用 “经历”、“感受”、“探索”等体现目标要求的行为动词，学生要体验数学的发现与创造的过程.本节课是学生经历“学数学、做数学、用数学”的一次机会，因此将经历基本（重要）不等式的发现过程作为重要的教学目标之一，在此过程中学会数学地思考问题的方法，培养学生良好的学习态度和习惯.（2）教学中设置两条主线，一是知识与技能的主线，采用层层递进的呈现方式，使学生学会初步运用基本（重要）不等式解决简单问题的方法.二是感受过程与方法的主线，即学生经历“了解研究方法——感受研究方法——自主研究”的过程.（3）基本（重要）不等式的证明过程有很多种方法，如比较法、综合法、分析法等，在此处证明过程只要求学生能用已有知识证出即可，不作过多的说明和证明方法罗列.以往经验告诉我们，学生在解题中易忽视基本不等式成立的条件，因此设计了在证明的过程中学生自己发现成立条件的教学目标.(4)基本（重要）不等式的主要应用是求函数的最值或值域，由于本课时是本节的第一课时，主要还是以学生掌握不等式内容和探究过程为主，只要会比较大小和会求()0,0>>+=b a xb ax y 型的函数在0>x 时的最小值即可,为第二课时求最值的“一正二定三相等”的一般方法作准备.(5)通过对基本不等式的几何解释的理解，养成用数形相结合思想分析数学问题的习惯，提高学生提出、分析和解决问题的能力.（6）教材用赵爽的弦图作为本节课的导入，借此可增强学生的民族自豪感，通过了解中国数学文化，培养学生爱祖国、爱科学的精神.通过图形探究重要不等式时，必然要经历不等到相等的过渡，而此过程正能体现马克思主义哲学原理中量变与质变的辩证关系.基本不等式在实际生活中应用较广泛，通过设置学生感兴趣的动画情境，对学生进行明理诚信教育，通过设置生活化的问题情境，使学生树立科学生态价值观.（三）学习结果分析通过本节课的学习，学生认知系统中增加两个恒成立的不等式，并将其作为求某些特定函数最值的重要方法.学生在通过基本不等式的探究和几何解释过程中，体会到数形结合的作用.学生初步学会动手做些简单的数学实验并尝总结、应用结论.在学习的过程中，学生受到了民族精神的熏陶和明理诚信的道德教育，并树立了科学的节能减排的意识.三、教学问题诊断分析（一）问题诊断分析（1）个别同学在动手实验时会存在不知所措或不会从几何图形中提炼出代数形式的不等关系，其原因是学生重解题轻过程的现状使此方面能力较弱，教学中以小组合作探究式的学习方式来弥补这一不足.（2）在基本不等式几何解释的教学环节中，学生可能会把几何解释作为一种“负担”被动地接受，因为用几何变化的现象解释变量变化的结果学生是非常陌生的，所以教学中通过帮助学生构造直角三角形并引导学生在其中寻找“平均数”的几何表示，为学生“排忧解难”，培养学生数与形相结合思考问题的习惯.（3）在两个不等式的证明过程中学生会出现困难，因为在3.1节不等式性质只是要求学生了解比较法证明简单不等式，学生也没有接触综合法、分析法证明，虽然教材运用了分析法，教学中没有必要刻意追求此方法，而是要根椐学生实际，采用学生想到的证明方法，让学生知道证明的必要性和可行性，在探究的基础上体会证明的思路即可.（4）基本不等式的应用向来是难点，首先解题中的换元法给学生带来了一定的障碍，其次使用条件易忽视.为此教学中采用小步子的引导渗透的方法，简化题目难度，为后面学习作为铺垫.教学难点：1.运用“实验（几何）——猜想（代数）——证明——结论（定理、概念）——应用”解决数学问题的方法的形成过程.2. 基本（重要）不等式证明过程及应用.（二）学习新知所需条件分析（1）学生具有动手操作数学的意识和基本的观察能力和提取数据的能力.（2）学生具有初步用数形结合思想独立分析问题的能力.（3）学生具有利用比较法证明不等式和函数最小值概念的知识基础.四、教法分析及教学支持条件本节课以数学实验为抓手，以问题为载体，为学生提供动手做、动眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在动手折纸的基础上辅以几何画板的动态演示，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.五、教学过程（一）感知问题，指明研究方法1.观察直角三角形，提出问题1.问题1：在直角三角形的边的关系中有哪些不等关系，你能提炼出怎样的不等式？师生活动：学生利用直角三角形的性质总结不等式：a b a >+22、22b a b a +>+等，并感受取值范围的重要性、b a .学生体验由几何图形中的不等关系容易得出一些恒成立的不等式，并感受数形结合的作用及事物间普遍联系的观点.2.点明本节课要通过几何图形中的不等关系探索出一些重要的、有用的恒成立的不等式.b1．重要不等式探究过程问题2：由一个直角三角形过渡到四个全等的直角三角形，你能拼成以斜边为边长、外轮廓为正方形的图形吗？师生活动：以小组活动形式动手实验，尝试摆出图形，从而介绍赵爽的弦图和第24届北京国际数学家大会的会标，学生将数学文化融入内心世界，内化成学习动力.【设计意图】作为本节课第一个实验，其目的在于使学生经历数学实验的过程，增强学好数学的信心.同时通过了解中国数学文化，增强学生的民族自豪感和爱国主义精神，增强学生对国家发展的信心.通过对”会标”的了解,感受中国人的智慧和华夏民族热情好客的优良传统.【课件开发】利用PPT 逐个出示图片，学生通过图片直观感受,增强以爱国主义为核心的民族精神.赵爽弦图问题3：如果我们仍利用赵爽的弦图，你能发现其中的不等关系吗？从几何图形中的不等关系可提炼出怎样的代数形式的不等式呢？在同学们摆出的图形中有没有二者相等的情况？什么样的三角形会使不等关系变为相等？师生活动：学生通过观察图形,容易找到不等式，也容易得出二者相等的条图1问题9：从基本不等式的内容上看，只说明了算术平均数大于等于几何平均数，何时大的多一些，何时少一些呢？为解释这一问题可利用基本不等式的几何解释，在学习的过程中体会以(动态的)形助(变化的)数方法对理解代数式的作用.问题10：设计开放式的实验探究，将两个直角边分别为ba,的等腰直角三角拼接后折叠成几何图形，可得到怎样恒成立的不等式？师生活动：教师总结两个不等式的研究过程，即经历了“实验（几何图形）——猜想（代数式）——证明——结论——应用”的过程，强调这是研究自然科学的一般方法，指明学会知识的同时还要学会方法.组织小组讨论，鼓励学生将动手操作与计算相结合，探索新结论.并提出课后学生自己探究、证明其它情况.2121,0)1(=⋅≥+≠ba bax x x x x 则若图10辨别真伪灰太狼用不等臂天平为喜羊羊称重，第一次称得物体重2.用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？2100m 应用:（五）归纳梳理，体会研究价值问题15：本节课主要学习了什么？在本节课学习的过程中，你有何体会？能否求函数的最小值的最大值和212)210()21(22+++=<<-=x x y x x x y ？师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想，强调数学文化及用不等式解决生活问题时给我们带来的启示，提出思考问题为下节课作准备.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标.通过两个思考问题为下节课的学习埋下伏笔.【课件开发】出示幻灯片，总结本节课内容，引发对下节内容的思考.图16《基本不等式》教学反思依据课程标准，在充分挖掘教材知识、方法与德育内容的基础上，我执教了人教A版必修五第三章第四节基本不等式中的第一课时.课堂上通过为学生创设探究情境、生活情境，组织学生展开讨论，引导学生亲身感受，呈现了一节以“学生动手实验，自主探究新知”为主线的探究课.反思准备过程和课堂实施过程的点滴，在数学教学中的德育渗透和开展动手实验的活动等方面，我有了一些新的思考.一、在新课标理念的指引下深入挖掘教材是上好一堂课的前提《高中数学新课程标准》（以下简称《课标》）指出，教师应倡导“自主、合作、探究”的学习方式.为此我们应鼓励学生积极参与教学活动，要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.对于本节教材中简短的篇幅很难直接找到为学生搭设探究平台的素材，这就需要我们有对教材加工的能力，有组织“探究式”课堂的经验.教学中本着这一理念，我开展了三次以学生为中心的数学实验活动，做到从教师引导到教师参与最后完全放手，为学生经历过程、学会方法搭设好平台，实现了学生从感知方法到经历研究过程最后能独立解决问题的目标.这些活动的设计源自教材中的赵爽的弦图，对其进行适当的加工.另外在教材处理上,我将两个平均数的定义提前介绍，改变了教材的顺序，为学生创设了探究基本不等式探究过程的情境.我体会到充分挖掘教材的优势和潜能，大胆创新教法，灵活使用教材，能努力实现“教与学”的和谐统一．《课标》中指出，教学要体现数学文化价值.我抓住教材中赵爽的弦图，有意识地开展以爱国主义为核心的民族精神教育，弘扬中国的数学文化，赞扬华夏民族热情好客的优良传统.我认为对数学文化价值的体现可以落实在日常教学中，我们只要留心与所学知识相关的数学家故事、数学研究过程中的一些可贵的精神，并与学生共享，一定能提升学生科学的态度和良好的学习品质，定能将民族精神渗透到日常的教学中.《课标》中指出，教学要发展学生的数学应用意识.本节课我立足于教材中例1，利用题后反思的形式，使学生亲身感受数学的作用，对学生形成和发展数学应用意识起到一定促进作用.课标教材各部分都十分重视生活化的例题，我们要利用好这一优势，对每个题目认真推敲，教学中既能体现所学新知的应用，又要体现数学与人类社会的关系，要善于以例题的生活背景为素材，对学生进行德育教育.二、数学课堂会因潜移默化的德育内容而更加精彩课堂教学是将社会主义核心价值体系融入教育的主渠道，因此知识教学和德育教育二者不能偏执其一，我们既要挖掘德育教育的“点”，还要把握德育教育的“量”和“度”，追求学科教学中知识学习和德育教育的融合.本节课我结合教学内容设计了多个自然的学科德育点，德育目标的落实不是单靠老师平铺直叙的说教，而是融入到知识的生长点处，融入到学生对知识的内化的过程之中.比如通过学生动手操作、观察、猜想、证明等活动培养学生观察问题、分析问题、解决问题的科学探究能力，通过开展组间合作学习，培养学生合作交流的意识，通过学生利用所学知识帮助别人辨别真伪的情境,感受社会诚信的重要性，进而对学生进行精神文明教育，通过对教材例1的题后反思，使学生树立科学的节能减排意识，通过基本（重要）不等式的探究过程，感悟量变与质变的辩证关系的马克思主义原理.纵观整堂课，我认为德育点还是比较多的，但教学中并没有占用过多的时间，是将其完全渗透在知识教学之中，切实找到德育内容与知识教学的结合点.从教学效果上看，德育内容的充实使数学课堂更“厚实”，更符合新课改的理念.从德育效果上看，学生自己“悟”出来的道理要远远好于“说教”的效果.三、对学生合理适度的评价是实现良好教学效果的催化剂《课标》指出，教学中应将评价贯穿数学学习的全过程，要重视对学生数学学习过程的评价.反思本节课在此方面的做法，有一些不足之处.课堂上我采用了小组合作学习的方式，组织了几次讨论，但我只是从个体角度给予评价，轻视了小组的评价，我只关注学习成果评价而轻视了合作意识、合作方法的评价.课堂上我听到的大多是正确的答案，对数学能力较弱的学生没有及时给予关注.今后在此方面，我还要加强理论的学习和实践的探索.总之，上完本节课收获颇丰，我不但认识了寓德育于学科教学之中的重要性，还探索出一些教学方法，提升了课堂教学中落实教学育人功能的能力.。
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第3课时 授课类型：习题课
【教学目标】
1．知识与技能：；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】
，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】
利用此不等式求函数的最大、最小值。
【教学过程】
1.课题导入
1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么 2
求最大（小）值的步骤。
2.讲授新课
1）利用基本不等式证明不等式
例1 已知m>0,求证。
[思维切入]因为m>0,所以可把
和分别看作基本不等式中的a 和
b, 直接利用基本不等式。
[
证明]因为 m>0,，由基本不等式得
当且仅当=，即m=2时，取等号。
2a b +2
a b +≤2
a b +2
a b +).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2
a b +≤24624m m
+≥24m 6m 246221224m m +≥==⨯=24m
6m
规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和=144为定值的前提条件。
3.随堂练习1
[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证.
[思维拓展2] 求证.
例2 求证:. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边.这样变形后,在用基本不等式即可得证. [证明] 当且仅当
=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
2)利用不等式求最值
例3 (1) 若x>0,求的最小值; (2)若x<0,求的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解 1) 因为 x>0 由基本不等式得
,当且仅当即x=时, 取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
246m m
⨯()()4ab cd ac bd abcd ++≥22222()()()a b c d ac bd ++≥+473
a a +≥-44(3)333
a a a a +=+-+-
-443(3)333733a a a +=+-+≥==--43a -9()4f x x x
=+9()4f x x x =+
94x x
⨯9()412f x x x =+≥==94x x =32
9()4f x x x =+
, 所以 .
当且仅当即x=-时, 取得最大-12.
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习2
[思维拓展1] 求(x>5)的最小值.
[思维拓展2] 若x>0,y>0,且
,求xy 的最小值.
4.课时小结
证明不等式和求函数的最大、最小值。
5.评价设计
１．证明：
２．若，则为何值时有最小值，最小值为几？
【板书设计】 99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥=()12f x ≤94x x -=-32
9()4f x x x =+9()45f x x x =+
-281x y
+=2
a b +22222a b a b ++≥+1->x x 11++
x x。