3-4原函数与不定积分
高等数学上册第3章
三.一元函数积分学3-1.不定积分与定积分的概念与性质一．原函数与不定积分1-1.定义为任意常数数的任意一个确定的原函是其中记作的不定积分称为的原函数的一般表达式上的原函数在区间为则称设C x f x F Cx F dx x f x f C x F x f b a x f x F b a x x f x F ,)()(,)()(,)()()(),()()(),(),()('⎰+=+∈=1-2.性质⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=±=±+=+===的常数是不为则有以下性质在所讨论的区间上连续与以下均设被积函数0,)()(.4)()())()((.3)()(;)()('.2)()();()')('.(1,)()(k dx x f k dx x kf dxx g dx x f dx x g x f Cx f x df C x f dx x f dxx f dx x f d x f dx x f x g x f 二.定积分1.原始定义本部分详见教材2.几何意义梯形面积的负值其几何意义是表示曲边时当梯形的面积其几何意义是表示曲边时当上的连续函数对于在区间,0)(,0)()(],[≤≥x f x f x f b a3.性质))(()(),,(],[)(.8)()()()(],,[)()(,],[)(.7)()(),()(.6)()()(.5,)()(.4)()())()((.30)(.2)()(.1,)(),(,111a b f dx x f b a b a x f dx x g dx x f x g x f b a x x g x f b a x f dx x g dx x f ba x g x f dx x f dx x f dx x f k dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f dx x f dx x f dx x f x g x f ba b a ba b a ba b a bc c a b a ba ba b a b a aa b a ab -=∈<<∈≤≤≤≤+==±=±=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ξξ使下面的等式成立则至少存在一点上连续在区间设积分中值定理加强版：则使且至少存在一点上连续在区间积分中值定理：若则比较定理：若为常数则有以下性质在讨论的区间上可积均设以下除特别声明外4.存在定理4-1.定积分存在定理⎰⎰ba ba dx x fb a x f x f b a x f 存在则且只有有限个间断点上有界在区间设存在则上连续在区间设)(,,],[)(.2)(,],[)(.14-2.原函数存在定理上必存在原函数则在区间上连续在设],[,],[)(b a b a x f5.变限积分称为变上限定积分为自变量的函数定义了一个以有以下关系上可积在区间对上可积在区间设,],[,)()(,],[)(],,[,],[)(x b a x dt t f x x a x f b a x b a x f xa ⎰∈=Φ∈类似的，可以定义变下限定积分，这里不再赘述求导法则详见第二章知识点6.牛顿——莱布尼兹定理)()(|)()(,)()(,],[)(a F b F x F dx x f x f x F b a x f b a b a -==⎰则有的一个原函数是上连续在区间设3-2.不定积分与定积分的计算一.基本积分公式详见教材二.不定积分的基本积分方法1.第I 类换元法(凑微分法)⎰⎰+==Cx F x d x f dx x x f ))(())(())(()('))((ϕϕϕϕϕ2.第II 类换元法(换元积分法)的函数代回成的反函数积分之后再以其中右边表示对则有换元公式且具有连续导数连续设x x t t x t dt t t f dx x f t t t x x f x t )()())('))((()(,0)(')(')(,)()(ψψϕϕϕϕϕψ===≠==⎰⎰3.分部积分法 ⎰⎰⎰⎰-=-=dxvu uv dx uv vdu uv udv v u x v x u ''),,()(),(或则有分部积分公式函数以下简称均有连续导数设注:口诀“反对幂指三”先说到哪个类型的函数，哪个类型的函数就要留下来，剩下的函数去凑微分三.定积分的基本积分方法与不定积分类似，定积分的基本积分方法与不定积分的大体相同，但与不定积分的基本积分方法有区别注:定积分在换元时，积分上下限应该跟着换，直接将新的上下限写在积分号上即可四.几个有用的定积分公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧------===+∞-∞=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--的正奇数为大于当为正偶数，当华里士公式则有为周期的连续函数内是以在区间设则有上是个连续的奇函数在区间设则有上是个连续的偶函数在区间设1,1.32 (2)3.1,2.21.....12.1cos sin .4)()(,),()(.30)(,],[)(.2)(2)(,],[)(.1202000n n n n n n n n n n xdx xdx dx x f dx x f T x f dx x f a a x f dx x f dx x f a a x f n n Ta a T a a a a a πππ3-3.广义积分及其计算一.广义积分1.无穷区间上的广义积分就说此广义积分发散存在只要等号右侧有一项不对于该式其中以及可定义类似的反之称此广义积分发散称此广义积分收敛若等号右端的极限存在上的广义积分在区间为称上连续在区间设,,)()()(,)()(,;,),[)()(lim )(,),[)(⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞++∞→+=+∞=+∞c c b ba ab dxx f dx x f dx x f dx x f dx x f a x f dx x f dx x f a x f 2.无界函数的广义积分则称此广义积分发散有一个不存在若等号右端的积分只要对于上式则应分成为瑕点内部的点若在开区间则称此广义积分发散有一个不存在若等号右端的积分只要对于上式则应分成都是瑕点点若点类似的可定义的一个瑕点是若点的一个瑕点称为此时点上的广义积分在区间为称且上连续在区间设,,)()()(,),(,,),(,)()()(,,)(lim )(,)()(,),[)()(lim )(,)(lim ,),[)(000⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=∈+===∞=+--→→→ba c a bc ba x a bx b a b a a ba b bx dx x f dx x f dx x f c b a b a x dx x f dx x f dx x f b a dx x f dx x f x f a x f b b a x f dx x f dx x f x f b a x f ααββ二.对称区间上奇,偶函数的广义积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--∞+∞-∞+∞+∞+∞-+∞=∈±=±=-=∈±=±=-==aa aa aa a dx x f dx x f dx x f x f a c x f c x c x a a x f dx x f dx x f x f a c x f c x c x a a x f dxx f dx x f dx x f R x f dx x f dx x f R x f 00000)(2)(,)(,)(],0[,)(,],[)(.40)(,)(,)(],0[,)(,],[)(.3)(2)(,)(,,)(.20)(,)(,,)(.1则有结论收敛且是偶函数又设的瑕点为外均连续上除在区间设则有结论收敛且是奇函数又设的瑕点为外均连续上除在区间设则有结论收敛又设且为偶函数上连续在设则有结论收敛又设且为奇函数上连续在设注:一个重要的广义积分π=⎰+∞∞--dx e x 23-4.定积分的应用一.定积分在几何上的应用1.平面图形面积⎰⎰⎰=≤-<===-===≥==-===≥==βαθθπαββθαθθd r A r r dy y x y x A d y c y y x y x y x x y x x dx x y x y A b x a x x y x y x y y x y y dc ba )(21)20()(.3))()((,))()()(()(.2))()((,))()()(()(.12121212121212之间曲边扇形面积为与介于两射线极坐标曲线围成的平面图形面积为及与曲线围成的平面图形面积为及与曲线 2.平面曲线弧长θθθθθβαθθβαβαβαd r r s r r r r dx x y s t y b a x x y y dt t y t x s t y t x t t y y t x x b a ⎰⎰⎰+=∈=+=∈=+=∈⎩⎨⎧==)()(')0,)('),((],[),(.3)('1))('(],[),(.2)(')(')0,)('),('(],[,)()(.122222且不同时为连续其中的弧长为极坐标曲线连续其中的弧长为直角坐标且不同时为均连续其中的弧长为参数方程曲线3.旋转体体积dx x y x y x V y x y x y a b b x a x x y y x y y b a dx x y x y V x x y x y b x a x x y y x y y b aba ))()((2))()(,0(,),(),(.2,))()(()0)()((,),(),(.112121*********-=≥≥>====<-=≥≥====⎰⎰ππ转体体积为轴旋转一周所形成的旋围成的图形绕曲线转体体积为轴旋转一周所形成的旋围成的图形绕曲线4.旋转曲面面积b a dx x f y S x x f y b a b a <+==⎰,)('12)(],[2π转曲面面积为轴旋转一周所形成的旋绕的弧段上的曲线在区间5.在区间[a,b]上平行截面面积A(x)为已知的立体体积 ⎰<=ba b a dx x A V ,)(6.函数平均值⎰-=∈b adx x f a b f b a x f b a x )(1],[)(],,[上的平均值为在区间函数设二.定积分在物理上的应用10322,,24,,)(,,,,:,100,0,4,:302102002200+============⎰⎰⎰⎰⎰⎰t x dt t dx t v tdt dv dtdt a x dtx d dt dv a dt dx v x v t t a x tx v tx x x 解得得由题意可得到运动方程积分对速度解析式再次进行解得得由题意可得到速度解析式行一次积分解：对加速度解析式进即析式连续积分两次求得运动方程可由加速度解所以我们知道由高中物理知识分析写出质点的运动方程坐标为初速度时初始条件为已知轴运动设质点沿着引例。
(完整版)不定积分的概念与存在定理
(15) ch x dx sh x C
例3. 求
解: 原式
x34 dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求
解:
原式
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
O
x0
x
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
(1,2)
因此所求曲线为 y x2 1
O
x
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x
x x(t)
x0 x(0)
O
先求 由
知
v(t) ( g ) d t g t C1
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
不定积分的定义和性质
2 )dx 3 1 x2
1 1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x2arcsin x C 1 x x2
例6 求积分 x(1 x2 ) dx.
解： 1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 )dx x(1 x2 )
F(x)dx F(x) C,
dF(x) F(x) C.
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C. ( 1) 1
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
不定积分的概念： f (x)dx F(x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
解:
x6 6
x5,
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解:
arctan
x
1 1 x2
,
1 1 x2
dx
arctan
x
C.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
d dx
f
(x)dx
f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x（C为任意常数）
高数上册第4章不定积分
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 x ex x ex 分析: x x x e (1 x e ) x e x (1 x e x )
( x 1) e x dx xe x dx e x dx
n 2 k 1 或 sin x cos x (其中k N ) (i). 对于 型函数的积分，可依次作变换 u cos x 或 u sin x ，求得结果 .
2k 2l (ii). 对于 sin x cos x(其中k , l N ) 型函数的积分
可利用倍角公式： sin 2 x 1 cos 2 x ,cos 2 x 1 cos 2 x
得
1 ∴原式 = 2 (cos 5 x cos x)dx 1 1 cos 5 xd (5 x) cos xdx 10 2
1 cos 3x cos 2 x (cos 5 x cos x) 2
例11. 求 解: 原式 =
e
ex
x
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
解法 2
(sec x tan x) sec x tan x 2 sec x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
则
推论: 若
k
i 1
n
i
f i ( x ) dx k i f i ( x )dx
i 1
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不定积分的概念和公式表
例4
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x
例5
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x x(1 x2
2
)
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x
例6
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例7 求积分 (2x 3x )2dx.
解
(2x 3x )2dx
(22x 2 2x 3x 32x )dx
(4x 2 6x 9x )dx
4x 26x 9x C ln4 ln6 ln9
例8 求积分
(
1
2
x2
x4 1 x2
) dx.
解
(
2 1
x2
x4 1 x2
) dx.
2 dx 1 x2
x4 1 1 1 x2 dx.
2arcsin x
1
1 x
2
dx
x4 1 1 x2 dx.
证
f ( x)dx g( x)dx
不定积分的概念与存在定理
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
xC
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) exdx ex C
(13) a xdx a x C ln a
(14) sh x dx ch x C
sh x ex ex 2
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数; — 被积表达式.
( C 为任意常数 )
例如, exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数 , 不可丢 !
不定积分的概念与存在定理
一、 原函数与不定积分的概念 二、 原函数存在定理 三、 基本积分表
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
ch x ex ex 2
(15) ch x dx sh x C
专升本辅导-第5讲不定积分
实际应用形式是令 u (x)
f[(x ) ](x )d x f[(x ) ] d(x ) f( u )d u F ( u ) C F [(x ) ] C
可以不必把 u 写出来，直接计算．
f(lnx)1dx f(lnx)dlnx x
f(ex)exdxf(ex)dex
f( s in x )c o s x d x f( c o s x ) d s in x f( c o s x ) s in x d x f( c o s x ) d c o s x f(tanx)co s 1 2xd x f(tanx)dtanx f(co tx)sin 1 2xd x f(co tx)dco tx f(a rc sin x )1 1 x 2d x f(a rc sin x )d a rc sin x
，得
C
1 2
则所求的一个原函数是 y 1 ln x 1
2
2
2．基本积分公式和性质的运用
例1
求（1）
x3
x
x
x 1dx
（2）(x x)dx
（3）
1
x
4
x
2
d
x
（4）
cos2x cos x sin
x
dx
（5）Βιβλιοθήκη sin21 xcos2
dx x
（6）
(sin2
xtan2 2
a．代数式恒等变换（如加减某一项、把被积函数分成两 部分、把根式部分写成分数指数形式等）；
b．三角函数恒等变换． （3）直接积分法是最基本的积分方法，是换元积分法和分部 积分法的基础，务必熟练掌握．
复变函数(3.3.4)--原函数与不定积分
= ie1+i
= ie(cos1+ i sin1).
例 5、 试沿区域 Im(z) 0, Re(z) 0 内的圆弧 z = 1，求 i ln(z +1) dz 的值.
1 z +1
解
函数
ln(z +1) z +1
在所涉区域内解析，
它的一个原函数为
ln 2
(z 2
+
1)
,
i ln(z +1) dz
i 0
z cos
zdz
= [z sin
z
+ cos z]i0
= i sin i + cos i -1
=
i
e-1 2i
e
+
e-1 + 2
e
-1
=
e-1
-1.
例 3、 求 i z cos zdz 的值. 0
另解 i z cos zdz = i zd(sin z)
0
0
第三章 复变函数的积分
第三章 复变函数的积分
第二节 原函数与不定积分
例题
例 1、 求 z1 zdz 的值. z0
解
因为
z
是解析函数，它的原函数是
1 2
z
2
.
由牛顿-莱布尼兹公式知，
z1 zdz z0
=
1 2
z2
z1 z0
=
1 2
( z12
-
z02 ).
例 2、 求 pi z cos z2dz 的值. 0
解
pi 0ห้องสมุดไป่ตู้
z cos
不定积分的概念与性质及基本积分公式
不定积分的概念与性质及基本积分公式不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表示函数的原函数，也就是通过积分求导得到原函数。
在具体计算不定积分时，需要使用一些基本积分公式和性质。
一、不定积分的概念：不定积分是解决反向运动问题的方法，也就是求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，它的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)称为被积函数，x为积分变量，∫表示不定积分。
二、不定积分的性质：1. 常数性质：∫kdx = kx + C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 线性性质：∫(u+v)dx = ∫udx + ∫vdx，其中u、v为可导函数。
3. 反向性质：如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为任意常数。
三、基本积分公式：1.幂函数积分公式：a. ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-1b. ∫1/x dx = ln，x， + C。
c. ∫(1+x^2) dx = x + (1/3)x^3 + C。
d. ∫(1-x^2) dx = x - (1/3)x^3 + C。
e. ∫(1+x^2)^(-1/2) dx = arcsin(x) + C。
2.指数函数与对数函数积分公式：a. ∫e^x dx = e^x + C。
b. ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C，其中a>0且a≠1c. ∫(1+x)^n dx = (1/(n+1))*(1+x)^(n+1) + C，其中n≠-1d. ∫(lnx) dx = xlnx - x + C。
3.三角函数积分公式：a. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
b. ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
c. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C。
d. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C。
e. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C。
(整理)第三章一元函数的积分学
第三章 一元函数的积分学§1 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分.一、基本概念1．原函数与不定积分定义若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰.2．不定积分与原函数的关系（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此()d ()f x x F x ≠⎰.（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相平行.3．原函数存在定理设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函数.4．不定积分的基本性质（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）求导与求不定积分互为逆运算① (()d )()f x x f x '=⎰ ，d ()d ()d f x x f x x =⎰；② ()d ()f x x f x C '=+⎰，d ()()f x f x C =+⎰；5．基本积分公式(熟练掌握)（1）d k x kx C =+⎰；（2）11d 1x x x C μμμ+=++⎰； （3）1d ln ||x x C x=+⎰； （4）d ln x x a a x C a=+⎰； （5）e d e x x x C =+⎰；（6）sin d cos x x x C =-+⎰；(7) cos d sin x x x C =+⎰；(8) 2sec d tan x x x C =+⎰；（9）2csc d cot x x x C =-+⎰；；（10）sec tan d sec x x x x C ⋅=+⎰；（11）csc cot d csc x x x x C ⋅=-+⎰；（12）d arcsin xx C =+⎰；（13）2d arc ta n 1x x C x=++⎰； （14）tan d ln |cos |x x x C =-+⎰；（15）cot d ln |sin |x x x C =+⎰；（16）d arcsin xx C a =+⎰； （17）22d 1arctan x x C a x a a=++⎰； （18）sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰；（19）csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰；（20）22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰；（21）d ln x x C =++⎰； （22）21arcsin 22a x x C a =++⎰. 6．初等函数的原函数初等函数在其定义区间内必有原函数，但它的原函数不一定是初等函数．不能用初等函数来表示（积不出来）的不定积分如下：2e d x x ⎰， 2e d x x -⎰， sin d x x x ⎰， cos d x x x⎰， 2sin d x x ⎰， 2cos d x x ⎰， d ln x x ⎰，e d x x x⎰，e ln d x x x ⎰，ln |sin |d x x ⎰等．二、不定积分的积分法1．公式法 将被积函数变形，直接利用公式．2．换元法 引入新的变量，再积分．第一类换元法(凑微分法)设()f u 的原函数为()F u ，()u x ϕ=有连续的导数，则[()]()d f x x x ϕϕ'⋅⎰ [()]d ()f x x ϕϕ=⎰()u x ϕ=()()d [()][()]u x f u u F u C F x C ϕϕ==+=+⎰凑微分 换元 积分 变量还原常见的凑微分公式（1）1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰，0a ≠；（2）11()d ()d()n n n n f x x x f x x n -=⎰⎰； （3）(e )e d (e )d(e )x x x x f x f =⎰⎰；（4）d 1(ln )(ln )d(ln )x f x f x x x n =⎰⎰；（5）21111()d ()d()f x f x x x x=-⎰⎰； （6）12f x f =⎰⎰； （7）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；（8）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；（9）2(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；（10）2(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；（11）21(arctan )d (arc tan )d(arc tan )1f x x f x x x ⋅=+⎰⎰； （12）1(arcsin )d (arcsin )d(arcsin )f x x f x x ⋅=⎰⎰； （13）d xf x f ⋅=⎰⎰；（14）()d ()d ln |()|()()f x f x x f x C f x f x '==+⎰⎰． 第二类换元法设()x t ϕ=单调，有连续的导数，且()0t ϕ'≠，如果[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则()d f x x =⎰ ()x x ϕ=[()]()d f t t t ϕϕ'⎰1()[()]t x F t C ϕ-==+1[()]F x C ϕ-=+.换元 积分 变量还原3．分部积分法 设()u u x =，()v v x =具有连续的导数，则d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u=-⎰⎰称为分部积分公式.4．特殊函数类的积分有理函数：先化为多项式与简单分式，再逐项积分．三角函数有理式：令tan 2x u =，化为有理函数的积分．简单无理函数：引入代换去掉根号，化为有理函数的积分．常用的分项公式如下：（1）111(1)1x x x x=-++； （2）111(1)1x x x x=+--； （3）2211(1)1x x x x x=-++； （4）22211111(1)(1)(1)1(1)x x x x x x x x x =-=--+++++； （5）2222111(1)1x x x x=-++. 常用的三角公式如下：（1）21cos 2cos 2x x +=；（2）21cos 2sin 2x x -=；（3）21sin (sin cos )22x x x ±=±三、典型例题题型1 直接积分法 （即将被积函数分解为几个简单函数的代数和再分项积分）例1 求下列不定积分（1） 231d 5x xx x ++⎰； （2）10d (2)x x x +⎰；（3） 42d x x x +⎰； 解 原式2222d 111d arctan (1)1x x x C x x xx x ⎡⎤==-=--+⎢⎥++⎣⎦⎰⎰.（4）2222+sin sec d 1x x x x x ⋅+⎰； 解 原式精品文档()()2222221+sin 11sec d sec d d 11xx x x x x xx x +-=⋅=-++⎰⎰⎰tan arctan x x C =-+.题型2 换元积分法（第一类和第二类）例1 求下列不定积分（1）2sin cos d 1sin x xx x ⋅+⎰； （2）d x⎰解原式ln dln d u x x u ========⎰⎰⎰11d()2arcsin arc 12u u C --==+=⎰ .（3）3xx ⎰；解原式23221122u x x x x x u========⎰⎰⎰32111(1(1)d(1)222u u u u =+-=++-⎰⎰⎰535222212211[(1)(1)](1)(125353u u C x =+-++=+-+ . （4）sin 222esin d exxxx ⋅⎰； 解 原式sin 222sin 22sin11esin d e d(sin 22)e44x xx x x x x x --=⋅=--=-⎰⎰（5）1d (1e )xxx x x ++⎰； （6）ln(tan )d sin cos x x x x ⋅⎰.例2 求x ⎰.解：原式2[ln()3x x =+=+⎰例3 求 342e ed e 2e 1x xx xx +-+⎰. 解：原式2222e (e e )d(e e )1d e (e e )(e e )e ex x x x x x x x x x x x x C -----+-===-+---⎰⎰ 例4 求 241d 1x x x ++⎰.解：原式22221111d()1d arctan 11()2x x x x x C x x x x+--===++-+⎰⎰例5 求下列不定积分（1）xx ⎰；（2）3d x x ⎰； 解 令π323sec ,0,d sec tan d 22x t t x t t t ⎛⎫=<<=⋅ ⎪⎝⎭ ，原式23233tan 34tan 4sec tan d d sin 23sec 33sec 2t t t t t t t t =⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰241231sin 2arccos 324322t t C x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.（3）d x ⎰.解 令2tan ,d sec d x t x t t ==，原式2222sec d cos d dsin arcta (2tan 1)sec 1sin 1sin t t t t tt t t t ====+++⎰⎰⎰arctanx C =+.注 1ο，令s i n x a t = 或 cos x a t =；2ο，令sec x a t = 或 csc x a t =或 ch x a t =；3ο，令tan x a t = 或 cot x a t =或 sh x a t =；4ο三角代换变量还原时利用辅助三角形． 例6 求下列不定积分（1）d x⎰；解 原式()d31d13xx-==⎰⎰1ln|31|3x C=-++.（2）21d446xx x-+⎰.解原式()()2111212d21arctan221xx C x-=-=⋅+ -+⎰.（注对二次三项式2ax bx c++或其平方根，配方后使用公式）．例7求下列不定积分（1）d x⎰（2）21lnd(ln)xxx x--⎰.（注1xt=称为倒代换，当分母的次数高于分子的次数时，可考虑用此代换）．例8 求e (1e )d x xx +⎰（注 可考虑指数代换e xu =或e sin xt =）．例9 求d x x⎰，（令：t =）解令t =，22tan 1tan d 2tan sec d .t x t x t t t =⇒=+⇒=⋅原式(2222arctan 2sec tan d 2tan d 2sec 1tan t t t t t t t t t t t ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰()222sec 1d 2d(tan )2tan tt t t t t t t t =⋅-=-=⋅-⎰⎰⎰22tan 2ln |cos |t t t t C =⋅+-+212ln ||arctan x=⋅+-+22ln ||arctanx =⋅--+.题型3 分部积分法关键：正确地选择u 和v ，选择u ，v 的原则：1οv 好求； 2οd v u ⎰要比d u v ⎰简单．例1 求下列不定积分（1）2(22)e d xx x x +-⎰； （2）2(1)ln d xx x +⎰；（3）e cos d xx x x ⎰； （4）sin ln d x x ⎰ 解 原式1sinln dsinln sinln cosln d x x x x x x x x xx=-=-⋅⋅⎰⎰sinln cosln d sinln cox x x x x x x ⎡=-=-⋅⎣⎰()()1sinln cosln sinln d x x x x x xx=-+-⎰()sinln cosln sinln d x x x x x =--⎰所以 原式()sinln cosln 2xx x C =-+.（5）22arctan d (1)xx x x +⎰； 解 原式22arctan arctan 1d d arctan d(-)arctan d 1x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰⎰()221111arctan d arctan 12x x x x x x =-+⋅-+⎰()()22221111arctan d arctan 221x x x x x x =-+-+⎰ 22211111arctan d 212x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎰()()22111arctan ln ln 122x x x x =-+-+-()22111arctan ln arctan 212x x x x x =-+-+.（6）ln(x x x +⎰.解原式ln(x x x =+⋅⎰dln(x =⋅+-⋅⎰ln(d x x =⋅+-=⎰.例2 求 22sin d (cos sin )xx x x x -⎰. 解 原式2sin sin sin 1d d (cos sin )cos sin x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪--⎝⎭⎰⎰sin 11cos sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪--⎝⎭⎰2sin 11s d cos sin (cos x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-=⎪-⎝⎭⎰．例3 求ed xx x ⎰．（先换元，后分部积分） 解： 原式222222d d 12ln(1)d 2[ln(1)2d ]1tt x t t ttt t t t t =++=+-+⎰⎰24arctan C =-++.题型4 分项--分部积分法（将积分分成两项（或多项）的积分和，然后利用分部积分抵消不可积部分）例1 求 2ln 1d ln x x x-⎰； 例2求 22e (tan 1)d x x x +⎰． 题型5 有理函数积分例1 求25d 613x x x x +-+⎰； 例2 求221d (1)x x x +⎰.题型6 三角有理函数积分例1 求 d sin 22sin xx x+⎰ 例2 求d 1sin cos xx x --⎰题型7 简单无理函数积分例1求d x⎰； 例2 求d x⎰.例3求d x⎰(0,0)a b x <<>.解：原式2=⎰2arcsin C =+；题型8 分段函数的积分例1 求|1|ed x x -⎰．例2 求2()max(1,)x x ϕ=的一个原函数()F x ，且(0)1F =．题型9 含有抽象函数的不定积分例1设()d arcsin xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰．例2设()f x 为非负连续函数，当0x ≥时，有20()()d e 1xxf x f x t t ⋅-=-⎰，求()d f x x ⎰. 解 方程化为20()()d ()()d =e 1xxxf x f x t t f x f x t t ⋅-=--⎰⎰，()d ()d u x txxf x t t f u u =--====⎰⎰，代入原方程得()20()d e 1xxf x f u u ⋅=-⎰，令()()()()()20()d exxF x f u u F x f x F x F x ''=⇒=⇒⋅=⎰，两边积分()()()2d e 1d xF x F x x x '⋅=-⎰⎰，得()2211e 22xF x x C =-+， 又()()22100,e 212xF C F x x =⇒=-∴=--，()()(F x F x ∴=≥.()()d f x x F x C =+=⎰.例3设(,)f x y 可微，且(,)ff x y x∂=-∂，e cos xf y y-∂=∂，(0,0)0f =，求(,)d f x x x ⎰. 例4设()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足01()()()d 01xf x f x f t t x '-+=+⎰，求[()()]e d xf x f x x -'''-⎰.四、不定积分常用的计算技巧总结（考生自看）1．加减常数法例1 求 cos d 1cos xx x-⎰. 解：原式2cos 111()d (1)d 1cos 1cos 2sin (/2)x x x x x x x -=+=-+=----⎰⎰.2．加减函数法例2 求 21d 1exx +⎰. 解：原式2222221e e e 1d (1)d ln(1e )1e 1e 2x x xx x xx x x C +-==-=-++++⎰⎰.例3 求 d (1)nxx x +⎰. 解：原式1111d d d ln ||ln |1(1)1nnn n n nx x x x x x x x x x x x n -+-==-=-+++⎰⎰⎰.3．乘除函数法例4 求 d e ex x x-+⎰.解：原式22e d de arctane 1(e )1(e )x xxx x x C ===+++⎰⎰. 4．分母整体化法例5 求 2100d (1)xx x +⎰. 解：原式2219899100100100(1)(1)d d (2)d u xu u u u u u u uu u=+-----=====-+⎰⎰⎰9798991212979899u u u C ---=-+-+.例6 求 2sin d (sin cos )xx x x +⎰.解：原式π4222πsin()sin csin 114d d π2sin 2sin ()4u x u x u x x u u x =+-=====+⎰⎰⎰2d d(sin )()[l n |csc(4sin sin 4u u x u u =-=+⎰⎰.5．依分母分解法例7 求 3cos 4sin d cos 2sin x xx x x-+⎰. 解：因为cos x 与sin x 的导数互相转化，所以 可设3cos 4sin (cos 2sin )(cos 2s x x A x x B x -=+++(2)cos (2)sin A B x A B x =++- 故得：231,224A B A B A B +=⎧⇒=-=⎨-=-⎩. 原式cos 2sin (cos 2sin )d 2d cos 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x '++=-+=-++⎰⎰.6．还原法例8 求 11(1)ed x xx x x++-⎰.解：11121ed (1)ed ed d(ex x x x xxx x x x x x+++=+-=+⎰⎰⎰⎰1111ed eed ex x x x xxxxx x x x C ++++=+-=+⎰⎰.7．待定函数法 例9 (上例)解：因为被积函数是一个函数与1ex x+的乘积，它的一个原函数必定也是某一个函数与1e x x+的乘积.令 111(1)ed ()ex x xxx x F x C x +++-=+⎰，其中()F x 为待定函数， 两边求导数11211(1)e[()()(1)]ex x xxx F x F x xx++'+-=+-，22111(1)()()(1)()x F x F x F x x x'∴+-=+-⇒=， 故 原式1ex xx C +=+.8．相关积分法例10 求 221e sin d x I x x =⎰,221e cos d xI x x =⎰.解：221222211e d e ,21e cos2d e (cos2sin 2),4xx x x I I x C I I x x x x C ⎧+==+⎪⎪⎨⎪-==++⎪⎩⎰⎰ 1I ∴=22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =-++； 2I =22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =+++.五、练习题31-1．若()f x 的导函数是e cos xx -+，则()f x 的一个原函数为（ ）.(A) e cos xx -- (B) esin x x --+ (C)ecos xx --- (D) esin xx -+2．若()f x '为连续函数，则(2)d f x x '=⎰（ ）.(A) (2)f x C + (B) ()f x C + (C)1(2)2f x C + (D) 2(2)f x C + 3．若()f x 是以l 为周期的连续函数，则其原函数（ ）.(A) 是以l 为周期的连续函数 (B)是周期函数，但周期不是l(C) 不是周期函数 (D)不一定是周期函数4．设cos x x 是()f x 的一个原函数，求()d xf x x '⎰． 5．2222221sin cos d d sin cos sin cos x x x x x x x x +=⋅⋅⎰⎰. 6. 22e 1e (1)d (e )d sin sin xxxx x x x--=-⎰⎰.7．11e ed d 1e 1e xxx xx x +-=++⎰⎰. 8.45422sincos d sin (1sin )dsin x x x x x x =⋅-⎰⎰.9．1515sin cos d (sin cos )d(sin cos )(sin cos )x xx x x x x x x +=---⎰⎰.10．21111d d d(1)111n n n nnn n n x x x x x x x x x x --⋅+-==++++⎰⎰⎰. 11．cos sin d(sin cos )d cos sin cos sin x x x x x x x x x-+=++⎰⎰.12．321()arctan d arctan d()33x x x x x x x ++=⎰⎰. 13.2d x x⎰. 14．d 1d(3)3xx =⎰⎰ 15．22222d 2ln 2d d 2d 1d 12(14)2(12)ln 2(1)ln 2xxxu x x x x u x x x u u u =========+++⎰⎰⎰.16．22sin d x x x ⎰.17．arcsin 2arcsin x =-⎰⎰.18．2arctan tan 3d sec d 22ed sin d (1)xx ttx t tx x e t t x ==+====⎰⎰. 19.241d 1x x x -+⎰. 20.421d (1)x x x +⎰21. 1183848282821d d d (1)(1)4(1)x x x x x x x x x x ⋅==+++⎰⎰⎰42221d 4(1)x tt t t =+===⎰2tan 24d sec d 1tan sec d 4sec t u t u u u u u u ======⎰.22. 112d d x x x x +-+=⎰⎰22112d[(1)3]2x =-++⎰⎰.23. 2d d d x xx x x =+⎰⎰⎰.24．313(1)4d d x x x x +-+=⎰⎰.25．d 4sin 3cos 5x x x ++⎰（可令tan 2xt =）；26. 3sin 2cos d 2sin 3cos x x x x x ++⎰（可令tan 2xt =或依分母分解法）；27．设(cos )sin f x x '=(0)x π<<，求()f x ． 28．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当0x ≥时，有2e()()2(1)xx f x F x x ⋅=+，又(0)1F =， ()0F x >， 求()f x ．29．()d ()f x x F x C =+⎰，且当0x ≥时，有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．30．求2[ln ()ln ()][()()()]d f x f x f x f x f x x ''''++⎰.31．设ln(1)(ln )x f x x +=，计算()d f x x ⎰.32．2()(1)()d exxf x x f x x x '-+⎰. 33．1e (ln )d x x x x +⎰.3-1参考答案1.A2.C3.D 4．2cos sin xx C x--+. 5．tan cot x x C -+.6．e cot xx C ++. 7．ln(1e )xx C -++.8．579111sin sin sin 579x x x C -++9．455(sin cos )4x x C -+.10．1[(1)ln |1|]n nx x C n+-++.11．ln|cos sin|x x C++.12．32arctan36x x xx C+-+.13．arcsin x Cx--+14．1ln|3|3x C++. 15．11(arctan2)ln22xxC-++.16．321sin2cos2sin26448x x xx x x C --++.17．arcsin C-++.18arctan1e+xxC-.1ln C+. 20.311arctan 3x C x x-+++. 21. 44811arctan 881x x C x-⋅++. 22. 2ln |1|x C +-++.23. 1arcsin 22x x C --+. 244ln |1|x C +-++.25. 1tan 22C x -++. 26．125ln |2sin 3cos |1313x x x C -++.27. 1()arcsin 22x f x x C =++. 28．232e()2(1)xx f x x =+.29．2sin 2()xf x =.30．()()[ln ()()1]f x f x f x f x C ''-+. 31．e ln(1e )ln(1e )xxxx C --++-++.32．()ex f x C x +. 33．e ln xx C +.§2 定 积分【考试要求】 1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿 –莱布尼茨公式.4．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念 1．定积分定义设()f x 在[,]a b 上有定义且有界，做下述四步：（1）分割：用1n -个分点分割区间[,]a b011i ia x x x x -=<<<<；（2）作乘积：()i i f x ξ∆，其中1[,]i i i x x ξ-∈，1i i i x x x -∆=-；（3）求和：1()ni i i f x ξ=∆∑；（4）取极限：01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑，其中1max ||i i nx λ≤≤=∆，如果上述极限存在，则称()f x 在[,]a b 上可积，并称上述极限为()f x 在[,]a b 上的定积分，记作1lim ()()d nbi i ai f x f x x λξ→=∆=∑⎰.注 ()d baf x x ⎰的值与对区间[,]a b 的分法无关，与i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与[,]a b 有关，与()f x 有关， 即()d ()d bbaaf x x f t t =⎰⎰.2．定积分的存在性定理设()f x 在[,]a b 上连续，或在[,]a b 上有界且只有有限个第一类间断点，则()d ba f x x ⎰一定存在．3．几何意义定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围平面图形面积的代数和．4．定积分的运算性质：（1）()d ()d a abbf x x f x x =-⎰⎰． （4）[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.（2）()d 0aaf x x =⎰. （5）()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.（3）d bax b a =-⎰. （6）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.5．定理定理1 （定积分的比较定理）若在[,]a b 上恒有()()f x g x ≤，则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰.推论1 若()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，()()f x g x ≤，且至少有一点0[,]x a b ∈，使00()()f x g x <，则()d ()d bbaaf x xg x x<⎰⎰.推论2 若在[,]a b 上恒有()0f x ≥，则()d 0baf x x ≥⎰.推论3 ()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰． 定理2（估值定理）若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤，则()()d ()ba mba f x x Mb a -≤≤-⎰．定理3（积分中值定理）（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则[,]a b ξ∃∈，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰．（2）若()f x 在[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，且在[,]a b 上可积，则[,]a b ξ∃∈，使()()d ()baf xg x x f ξ=⎰⎰.定理4（变上限积分函数及其导数） 设()f x 在[,]a b 上连续，()()d xa F x f t t =⎰称为变上限积分函数，则导数为d ()()d ()()d xt x aF x f t t f t f x x ='===⎰.推论1 设()()()d x aF x f t t ϕ=⎰，则()d ()()d [()]()d x aF x f t t f x x x ϕϕϕ''==⋅⎰.推论2 设21()()()()d x x F x f t t ϕϕ=⎰，则21()2211()d ()()d [()]()[()](d x x F x f t t f x x f x x x ϕϕϕϕϕϕ'''==⋅-⋅⎰.推论3 设()()()()d x aF x f t g x t ϕ=⎰，则()()()()d x a F x g x f t t ϕ'⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎰()()()d ()[()](x ag x f t t g x f x ϕϕϕ''=+⎰.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系） 设()f x 在[,]a b 上连续，则变上限积分函数()()d xaF x f t t =⎰是()f x 的一个原函数， 即()d ()d xaf x x f t t C =+⎰⎰.注：不定积分()d f x x ⎰只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当()f x 为一个抽象的函数时，无法用()d f x x ⎰来讨论它的某一原函数的性质；而()d xa f t t ⎰为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()()()bb aaf x x F x F b F a ==-⎰． 6．定积分的计算方法（1） 换元法：设()f x 在[,]a b 上连续，()x t ϕ=在[,]αβ上有连续的导数，且当t 从α变到β时，()t ϕ从()a ϕα=单调地变到()b ϕβ=，则()d [baf x x f βαϕ=⎰⎰要点：换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．（2）分部积分法：设()u x ，()v x 在[,]a b 上有连续的导数，则d d bbb aaauv x uv u v x ''=-⎰⎰或 d d b b b aaau v uv v u =-⎰⎰．注：求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算 （1）无穷限的广义积分ο1 设()f x 在[,)a +∞上连续，则()d lim()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰；ο2 设()f x 在(,]b -∞上连续，则()d lim()d b baa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰；ο3 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()d lim()d lim ()d bbaaa b f x x f x x f x x +∞-∞→-∞→+∞=+⎰⎰⎰．仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注意： ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则()d f x x +∞-∞⎰发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分） ο1 设()f x 在(,]a b 上连续，lim ()x af x +→=∞， 则()d lim ()d bbaa f x x f x x εε++→=⎰⎰，x a =称为瑕点．ο2 设()f x 在[,)a b 上连续，lim ()x bf x -→=∞， 则0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰，x b =称为瑕点．ο3 设()f x 在[,]a b 上除点c 外均连续，lim ()x cf x →=∞，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰12120lim ()d lim ()d c bac f x x f x x εεεε++-+→→=+⎰⎰．x c =称为瑕点．仅当等式右边的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注意：ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分()d ba f x x ⎰发散.二、重要结论（1）利用定积分定义求n 项和的极限 设()f x 连续，则ο1 1()d lim ()nban k b a b af x x f a k n n →∞=--=+⋅∑⎰.ο2 111()d lim ()nn k k f x x f n n →∞==⋅∑⎰.（2）奇、偶函数的积分ο1 设()f x 连续，若()f x 为偶函数，则()d xf t t ⎰为奇函数；若()f x 为奇函数，则对任意a ，()d xaf t t ⎰为偶函数.ο2 设()f x 在[,]a a -上连续，则()d [()()]d aaaf x x f x f a x-=+-⎰⎰（3）周期函数的积分设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且以T 为周期，则ο1 202()d ()d ()d T a TTT af x x f x x f x x +-==⎰⎰⎰；ο2 0()d ()d nTT a f x x n f x x =⎰⎰；ο3 0()d ()d a nT Taf x x n f x x +=⎰⎰.即：周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．（4）常用结论ο1 ππ22(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰， 令π2x t =-；ο2 ππ00π(sin )d (sin )d 2xf x x f x x =⎰⎰， 令πx t =-；ο3 ππ2(sin )d 2(sin )d f x x f x x =⎰⎰，。
复变函数与积分变换 第三章第四节原函数与不定积分_复变函数论
z1 z0
1 2
(
z12
z02 ).
例2 求 i z cos z2dz 的值. 0
解
i z cos z2dz 1 i cos z2dz2
0
20
1 sin z2 i 1 sin( 2 ) 1 sin 2 .
2
02
2
(使用了微积分学中的“凑微分”法)
例3 求 i z cos zdz 的值. 0
第四节 原函数与不定积分
一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理和定义
1. 两个主要定理: 定理一
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析,
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关.
由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点
和终点有关, (如下页图)
f (z)z,
z
z
所以 F (z z) F (z) f (z) z
1 zz f ( )d f (z)
z z
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
B
z0 •
z z z
K
因为 f (z) 在 B内解析, 所以 f (z) 在 B内连续,
故 0, 0, 使得满足 z 的一切 都在 K 内, 即 z 时, 总有 f ( ) f (z) ,
或
z1 z0
f
( z)dz
G( z1
)
G(
z0
).
[证毕]
说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用
跟微积分学中类似的方法去计算.
二、典型例题
例1 求 z1zdz 的值. z0
解 因为 z 是解析函数, 它的原函数是 1 z2 , 2
原函数与不定积分3-4
一、主要定理和定义 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理和定义
1. 两个主要定理: 定理一
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析,
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关. 由定理一可知:
解析函数在单连通域内的积分只与起点 和终点有关, (如下页图)
d
f (z)z,
z
z
所以 F (z z) F (z) f (z) z
1 zz f ( )d f (z)
z z
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
B
z0 •
z z z
K
6
因为 f (z) 在 B内解析, 所以 f (z) 在 B内连续,
故 0, 0, 使得满足 z 的一切 都在 K 内, 即 z 时, 总有 f ( ) f (z) ,
解 因为 z cos z 是解析函数,
它的一个原函数是 zsinz cosz,
由牛顿-莱布尼兹公式知,
i 0
z
cos
zdz
[zsinz
cosz]0i
i sin i cos i 1
i e1 e e1 e 1 e1 1.
2i
2
15
例3 求 i z cos zdz 的值. 0
另解
那末函数 F (z)
z
z0
f
(
)d
必为 B 内的一个解
析函数, 并且 F (z) f (z).
证 利用导数的定义来证.
设 z 为 B内任一点,
z
K
以 z 为中心作一含于B内的 B
小圆 K,
4
复变函数课件3-4原函数和不定积分
定理三 (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
如果函f数 (z)在单连通B内 域处处解 , 析
G(z)为f(z)的一个原,函 那数 末
z1 z0
f
( z)dz
G(z1)G(z0)
这里z0,z1为域B内的两. 点
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11
证 因为 z f(z)dz也f是 (z)的原, 函数 z0
所以 z f(z)dzG (z)c, z0
解 因为z是解析函 , 它 数的原函1数 z2, 是 2
由牛顿-莱布尼兹公式知,
z1zdz 1z2 z1
z0
2 z0
12(z12
z02).
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例2 求izcozs2dz的值 . 0
解
i zcosz2dz 1icosz2dz212coszdz
0
20
20
1
sin
z
2
1sin(2
使得 z的 满 都 一 足 K 内 ,在 切
即 z时 , 总 f(有 ) f(z ),
由积分的估值性质, F(zz)F(z)f(z) z
B
z0 •
zzz
K
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7
F(z zz)F(z)f(z) 1zzzz[f()f(z)d ]
1
zz
|
z z
f()f(z)|d
1 z
z
.
根据以上讨论可知: 如果 f(z)在区 B内 域有一个 F(z原 ), 函数 那末它就有无穷多个原函数, 一般表 F (z)达 c(c为 式任 为).意常数
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3. 不定积分的定义:
称f(z)的原函数的一F般 (z)表 c达式 (c为任意)常 为f数 (z)的不定,积 记分 作
不定积分运算法则
dx
化和
1 1 sin x x
dx
法则
1dx
1 x
dx
sin
xdx
公式1/3/6
x ln x cos x C
3
1 3 x2
2
dx
化和化幂
2 4
1 2x3 x3 dx
法则
2
4
1dx 2 x3 dx x3dx
(7) cos xdx sin x C;
(8)
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
1 sin2
x
dx csc2
xdx
cot
x C;
13
不定积分运算法则(P226)
(1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
(3)
1 u
u
'
dx
ln
|
u
|
C
(4) au u ' dx a u C; ln a
(5) eu u 'dx eu C; 22
(6)sin xdx cos x C; (6) sin u u 'dx cosu C;
(7) cos xdx sin x C; (7) cosu u 'dx sin u C;
2
x
1 x
sin
x
不定积分运算法则
由固定成本为2,即q 0，C0 2,
代入可得 C 0 C 2即C0 2;
因此,生产成本函数为 C q q2 3q 2
10
历届试题
（0601，3分）
（0701，3分） （070，3分）
11
基本积分公式
(1) dx x C (2) x dx x1 C ( 1);
1
(3) 1 dx ln | x | C x
(4) axdx ax C; (a 0且a 1) ln a
(5) exdx ex C;
12
(6) sin xdx cos x C;
6
助记词
函数积出原函数， 原函数导出函数！
f (x) 积求分导' F(x) C
7
P221例1
例1 已知曲线y F(x)在任一点x处的切线斜率为2x,且曲线过(1, 2)点, 求此曲线的方程.
解 曲线的切线斜率为2x,即k Fx 2x; 现在要求F x.
（注:此性质可推广到有限多个函数之和）
(2) kf (x)dx k f ( x)dx.（k 是常数，k 0)
14
题型4.2 直接积分法（P226）
知识要求 1、函数变形（化和差、化幂指、化分式、化三角）; 2、积分运算法则(3条)； 3、积分基本公式(9条)。
方法步骤
函数变形---法则拆项--公式计算
复习：
求微分 du u 'dx
例: d(x 3) 3x 2 dx
凑微分 (x)dx u '(x)dx du 例: 2dx ( 2x ) 'dx d ( 2x )
不定积分的概念与性质
设曲线通过点（ ， ）， ），且其上任一点处的 例 1. 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程 解. 设曲线方程为 y = f ( x ),
= 2 x − 2 x + 3 ln x + C
x
3 2
例 5. 解.
计算 ∫ ( 2 x − 3 x ) 2dx .
( 2 x − 3 x )2dx = ∫ (4 x − 2 ⋅ 6 x + 9 x )dx ∫ 4x 6x 9x = − 2⋅ + +C ln 4 ln 6 ln 9
例 6. 解.
∴ Φ( x) − F ( x) = C
即 Φ( x) = F ( x) + C
(C 为任意常数 ).
注意: 注意 (1) 初等函数在其定义区间上都有原函数 初等函数在其定义区间上都有原函数. (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 初等函数的原函数不一定是初等函数. (3) 原函数不唯一 原函数不唯一.
cot 2 xdx = ∫ (csc2 x − 1)dx ∫
例 11. 解.
= − cot x − x + C .
例 12. 解.
cos 2 x dx . 计算 ∫ 2 2 cos x sin x cos 2 x cos 2 x − sin 2 x dx = ∫ dx ∫ 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x
计算 ∫ sec x (sec x − tan x )dx .
sec x (sec x − tan x )dx = ∫ (sec2 x − sec x tan x )dx ∫
高三数学原函数与不定积分的概念
x dx
1 1 x C 1
1 dx ln x C x
因此有 x dx
1 1 x C , 1 1
ln x C, 1
【5-1-3】
4、几何意义
找出被积函数f ( x)的无穷个原函数中的任意一个F ( x), 然后加上一个 任意常数C ,即为其不定积分 f ( x)dx F ( x) C , 如
3 x 2 x dx 3 C
【5-1-2】
例: 求函数f ( x) x的不定积分
1 1 x ) x 解： 当 1时, 有( 1
§5.1
一、原函数 1、概念
原函数与不定积分的概念
设F ( x)与f ( x)在区间I 上有定义, 若有F ( x) f ( x)或dF ( x) f ( x)dx, x I , 则称F ( x)为f ( x)在I 上的一个原函数。
2、原函数的结构 若F(x)是f(x)在I上的一个原函数,则有
【5-1-5】
3、利用性质计算简单不定积分
例：求下列不定积分：
2 2 (1) ( x ) dx x
解：(1)
2 2 4 2 (x ) x 4 2 x x
3 2
dx x 4 原式 x dx 4 dx 4 2 4 x C x 3 x
【5-1-6】
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失了. 白重炙似乎感觉到了什么,缓缓睁开了眼睛. 但是—— 他眼睛看到の,却不是原来熟悉の练功房,而是来到了一处非常陌生の地方,来到一处…美轮美奂の宫殿? 突然之间他有些惶恐起来,自己竟然在不知不觉中,被转移了?在自己完全没有丝毫反应の情况下,突然来到了这个奇怪の 地方?圣级强者の感知何其敏锐?但是却丝毫没有察觉,这就有点恐怖了！ 不过,他向来是个胆子非常大の人,自从十五岁离开白家堡,遇到の事情件件都是离奇古怪. 沉吟片刻,他想到自己是在逍遥阁内突然被传送到这,他想了想,除了逍遥阁本身の禁制外,根本无人能做到. 既然是逍遥阁 传送自己の,那么就应该不危险了,所以他微微放宽了心,开始打量起这个美丽得赛过了逍遥阁の宫殿 这宫殿不大,大概只有逍遥阁正殿那么大,很奇怪の是居然没有门,并且墙壁都是一种青色の石头筑成,却散发着柔和の白光,让人感觉很是舒适. 宫殿装饰非常繁琐豪华,许多都是白重炙见 都没见过の物品.但是却让人不感觉奢华,反而感觉很雅致,清新.这种感觉很诡异,也很奇妙. 当然,见过逍遥阁之后,白重炙对于这种富丽堂皇の宫殿已经没有过多の震撼.而让他感到无比震撼の是——宫殿の上方,有一张玉床,床上有着白色半透明の纱帐,而纱帐内,有一些侧躺着の…女 人！ "咕噜！" 纱帐隔绝了白重炙の目光,让他看不清这个女人の全貌,但是白重炙第一眼看到这个女人の身体时,双眼陡然迸发出一条火热の光芒.下身迅速冒出一股邪火,并且变得坚硬挺拔起来.喉咙不经意の蠕动起来,大口大口の唾沫开始被咽下… 这,是一些什么样の女子啊！ 隔着纱 窗,白重炙首先看到の是一双骨肉匀称の赤足,白皙而又纤巧,十个修建整齐の脚指甲上正亮着粉色の光泽,脚腕上带着一串紫色の不咋大的铃铛,配合她那双精致の不咋大的脚,形成一种独特の诱惑.在往上是一双弧线完美の不咋大的腿和两条让人看得血脉亢张散发出淡淡光泽の雪白大腿, 仅仅一双腿就已经夺尽了天地间の灵气和造化. 可以想象,拥有这样一双美腿の人,已经足以让天下男人为之疯狂了.只是…在往上却是一条让人扫兴の白色轻纱,恰巧遮住了她那神秘の桃花源,只是没有完全遮住,露出一不咋大的撮青青芳草,以及被一根简单の红绳勾勒出堪盈一握の不咋 大的蛮腰,不咋大的红绳在腰部却结了一丝线头,而这线头却恰巧一直往下方延伸,穿过那撮青青草原,没入了白色轻纱内,让人产生无限の幻想,幻想着这不咋大的红绳の绳头,最终会延伸到何处… 上身依旧被轻纱笼罩,但是却只是遮住了那两处雪白滑腻の高耸一半,裸露在外の那半团雪腻, 同样散发出诱人の光泽,让人忍不住想要轻咬一口.天鹅般修长の颈脖上,却是一张完美无瑕の面孔,精致到极点の五官,长长卷曲の睫毛下一双微闭の眼眸上是一抹yaw丽の紫色眼影,光洁の嘴角弯起の一些淡淡の弧度,却让整张脸变得韵味十足… 坦白说,这女子の面孔只能和月倾城平分秋 色,身材能比夜轻舞,皮肤宛若夜轻语,但是气质却是远远赛过三人几分.这女子浑身无处不在释放着一股,能激发男人心底却野智の希望の气质… 魅惑,魅惑无双の气质！ 这是一些能让任何男人都为止心动の女子,一些能让任何男人释放心底对女人渴望の女子,一些让人忍不住狠狠**の女 子… "你呀…想要俺吗?" 就在这时,宫殿内突然响起一些飘渺声音,这声音慵懒深远却无比魅惑人心,险些让差点把持不住の白重炙…直接**了！ 当前 第肆叁柒章 妖姬 "你呀…想要俺吗?" 此时此景,换做任何一些还能行还能干の男人,都会毫不犹豫の说——要！ 但是此刻の情节,换做 任何一些有头脑の人,都会说"不"或者腼腆の假装说"不".看书 试想一下,突然之间,你呀突然被传送到一些诡异の地方,而后看到一些绝世美人,平白无故の邀请你呀和她肉搏一场,打打友谊赛… 遇到这种情况,或许不少人会第一时候警觉起来,这人是妖还是鬼?有何目の?是不是传说中专 吸男人精元の狐妖? 事无反常必有妖,傻乎乎の冲上去の人,那是被精虫冲昏了头の傻子,很显然,能被传送到这宫殿,能享受如此待遇の人,明显都不是傻子. "俺の确想要你呀…很想要！" 白重炙这样の年纪能修炼到如此境界,明显不是个傻子,但是…他却突然说了一句很傻の话,他非常坦 白の将藏在心底の希望直接说了出来. "咯咯…" 白重炙の一句话,却让那个女人轻笑起来,随着她の笑声,她の身体跟着扭动起来,胸前の波涛一阵荡漾,隐隐能见两点粉红.不咋大的蛮腰上の那根红绳也随着荡漾起来,在青青草地上宛如一条不咋大的蛇般扭动,精致の脚腕上两串紫色の不 咋大的铃铛发出悦耳の响声,配合她慵懒の声音,更显魅惑. 女子轻笑一声之后伸出一只莲藕般の玉手,托住下颚,一双秋水般の眸子,盯着白重炙,宛如能将他全身看穿一样,两片娇yaw欲滴の红唇微微张合,柔声说道："不咋大的男人,为何你呀想要俺?为何,你呀又敢要俺?" 当这女子看过来 の那一刻,白重炙感觉此刻他身无寸缕,全身都暴露在宫殿内,没有丝毫秘密可言.心里暗暗一惊,不再去看女子の笑昏の胴体,而是毫不示弱の盯着她那双秋水眸子,微微笑了起来,道："你呀长の很美,美得动人心魄,所以俺想要你呀！敢要你呀,是因为你呀说只要俺看清楚你呀…俺就能得到 你呀！" "咯咯咯！" 女子再次一声轻笑,引发阵阵铃铛声,将宫殿内の气氛变得越发の旖旎,也将白重炙心里の那把火撩拨の更加旺盛.突然她停止了微笑,伸出另外一只手,将纱帐挑开,一双秋水眸子更是媚眼如丝,两片娇红の贝唇中突然伸出一条粉红色の舌头,轻轻一tian,伸出纱帐の玉 手朝白重炙勾了勾手指头,嘴角弯起一些诱人の弧度,轻笑说道："不咋大的男人,既然你呀想,就来吧,俺喜欢不咋大的男人！" "咕噜！" 白重炙咽了一口唾沫,深深の望了女子一眼,却突然做了一些奇怪の动作,他突然垂眉低下头,将剩下长袍高高隆起の下身,一把按下,而后摆了摆手,非常 果决の说道："不来！打死俺都不去！" "哦?" 白重炙の奇异举动,让玉床上の女人微微一怔,眼中却闪过一丝异彩,收回玉手,很是疑惑の轻吟道："这是为何?你呀不想要俺吗?" "要是肯定要,你呀注定是俺の女人！" 白重炙没有抬头,而是非常坚定の答道.长长の吞吐着气,开始稳定自己 の心魄,而后才甩了甩衣袖,淡淡说道："行了女人,别玩这套了,说出…游戏规则吧,魂帝他老人家搞来搞去,都是这套,没有一点心意,不咋大的爷才不上当！" "咯咯咯！" 白重炙一番莫名其妙の话语,却是引发了女子の一阵娇笑,望着白重炙の眼眸中充满了赞赏. 片刻之后,她突然面色一 改,浑身气质一变,竟然变成了一名冰清玉洁の圣女般,语气也不似刚才の魅惑,而是非常の温和道："不咋大的男人,你呀の智慧让俺刮目相看,恭喜你呀过了第二关…俺很好奇,你呀是怎么发现の?" "呵呵,很简单,因为俺闯过了魂帝设在炽火大陆の落神山关卡,获得了逍遥阁！" 白重炙有 些诧异の挑了挑眉梢,有些疑惑,为何这女子竟然不知道自己得到了逍遥阁?但是还是正面回答了她の问题. 在落神山他可是被魂帝折腾の够呛,又是迷幻之境考验心幸运,又是傀儡山脉考验潜力和悟性,最后在第三关命运之门,差点被他玩死了. 其实在这女人传递给他信息说只要看清楚她, 就能得到她和一些大机缘の时候,白重炙就有点怀疑这又是魂帝设の局,现在这个女子百般诱惑她,他更加确认这一点,还好他在迷幻之境经历了许多の桃色陷阱,又拥有了三位绝世美人为妻子,对于美人の抵抗力很强,并且夜若水死后闭关の三年让他心智变得极其坚韧,此刻才没有中招. 看 着自己の回答却没有让女子完全解惑,白重炙反而疑惑起来,问道："怎么了?你呀这宫殿,不是存在逍遥阁内吗?你呀不知道逍遥阁?" "逍遥阁俺当然
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Z1
Z0
f z dz Gz1 Gz0
因此 i i [解] 函数zcosz在全复平面解析,而 0 z cos zdz z sinz cos z 0 i cos i 1 z sin z sin z z cos z cos z z cos z i sin 1 1 e e e e 1 z cosz e 1 i 1 故 z sin z cos z 2i 2
F z 按此定义，
Z
Z0
f d 是f z 的一个原函数。
命题 f(z)的任何两个原函数相差一个常数. [证] 设G(z)和H(z)是f(z)的任何两个原函数,则 Gz H z Gz H z f z f z 0 由p44例3得 Gz H z c , c为任意常数. 因此,如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z),那末它就有 无穷多个原函数,而且具有一般表达式 F(z)+c , c为任意常数. 定义 f(z)的原函数的一般表达式为f(z)的不定积分,记为
Biblioteka 2 3 2 ln 2 1 1 2 2 2 ln 2 i ln 2 i ln 2 ln 2 32 8 8 2 4 4 16
i
z 1 计算积分
y
ln z 1 在第一象限内解析， z 1
-1
1x
i 1 2 1 2 2 lnz 1 l n 1 i l n 2 因此 1 ln z 1 dz 2 1 2 z 1 2 1 1 1 2 2 2 ln1 i i arg1 i ln 2 ln 2 i ln 2 2 4 2 2
d
0
Z Z
而
Z Z Z
f z d
0
ζ
Z Z
K
故 lim f f z .即对 0 ，当 z z 时, 总有：f f z z F z z F z 1 Z Z f z f f z d 因此 所以 z z Z
由于 f z z f z
Z Z Z
定理二 如果f(z)在单连域B内处处解析,那末函数F(z)必为B内的一 B z
z0
z+Δz
Z F z z F z Z f d f d Z f d Z 1 Z Z 因而 F z z F z f z Z f f z d z z 因为f(z)在B内解析,所以f(ζ)在K内的z处解析,从而在z处连续.
f z dz F z c
的两点,那末 Z f z dz Gz1 Gz0
Z1
0
0
定理三 如果f(z)在单连域B内处处解析,G/(z)=f(z), z0,z1为域B内
Z Z 所以Z f z dz Gz c [证] 因为Z f z dz也是f ( z )的原函数，
i 例 1 求积分 0 z cos zdz 的值。
例2 试沿区域Im(z)≥0,Re(z)≥0内的圆弧 i lnz 1 1 z 1 dz 的值 . [解] 函数ln(z+1)仅在z=-1处及其左边的负实 轴上不解析, 函数
1 由于 ln2 z 1 l n z 1 2 z1
1 Z Z 1 f f z ds z Z z z
F z z F z lim f z 0 z 0 z
即 F z f z
定义 如果函数(z)在区域B内的导数等于f(z),即 /(z)=f(z),那末 (z)称为f(z)在区域B内的原函数.
0
如果z=z0 , 根据柯西一古萨基本定理,
z0 z 0
f ( z )dz f ( z )dz 0
C
B
z0
C2 C1
z1
其中C是以z0为起点和终点的闭曲线 故 G(z0)+c=0 ,于是 c Gz0 因此
Z
Z0
f z dz Gz Gz0 取z=z1, 得
1
C1
f z dz C f z dz
2
z1 z0
f z dz
z0
B
在B内取z0为定点,z1为动点,令z1=z， 得到B内的一个单值函数 ：
C2 C1
z1
F z f d
Z Z0
个解析函数,并且 F z f z . [证] 设z为B内任意一点,以z为 中心作一个 含于B内的小圆K. 取 z 充分小使z z在K内.
§4 原函数与不定积分
定理一 如果函数f(z)在单连域B内处处解析,那末积分 与连结起点和终点的路线无关.
f z dz
C
如图,设由起点z0到终点z1的两条曲线C1和C2,
按照柯西-古萨基本定理
2 1
C f z dz C C f z dz 0
2 1 2
C f z dz C f z dz C f z dz C f z dz 0