函数与基本初等函数2.3 函数的奇偶性(作业)
2025高考数学一轮总复习知识梳理第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性(含答案)
高考数学一轮总复习知识梳理：第三讲 函数的奇偶性与周期性知 识 梳 理知识点一 函数的奇偶性 偶函数 奇函数定义 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x 都有 f (－x )＝f (x ) ，那么函数f (x )是偶函数 都有 f (－x )＝－f (x ) ，那么函数f (x )是奇函数图象特征 关于 y 轴 对称关于 原点 对称 知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f (x ＋T )＝f (x ) ，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个 最小正数 就叫做f (x )的最小正周期．归 纳 拓 展1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f －xf x ＝1(f (x )≠0)⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f －xf x ＝－1(f (x )≠0)⇔f (x )为奇函数．2．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为奇函数，在公共定义域内(1)y ＝f (x )±g (x )为奇函数；(2)y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 为偶函数；(3)y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为奇函数．同理若y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共定义域内均为偶函数，则y ＝f (x )±g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f xg x ，y ＝f [g (x )]，y ＝g [f (x )]均为偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，y ＝g (x )为偶函数，则在公共定义域内y ＝f (x )g (x )与y ＝f xg x 均为奇函数，y ＝f [g (x )]与y ＝g [f (x )]为偶函数．3．对f (x )的定义域内任一自变量的值x ，最小正周期为T(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2|a |；(2)若f (x ＋a )＝1f x ，则T ＝2|a |；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝|a －b |.4．函数图象的对称关系(1)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称；(2)若函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．5．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x为奇函数； (2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1为奇函数；(3)函数f (x )＝log a b －xb ＋x 为奇函数；(4)函数f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)为奇函数．双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(－2,2]是偶函数．( × )(2)若函数f (x )是奇函数，则必有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( √ )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(5)2π是函数f (x )＝sin x ，x ∈(0，＋∞)的一个周期．( × )(6)周期为T 的奇函数f (x )，一定有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0.( × )[解析] (6)举反例．函数f (x )＝tan x ，T ＝π，f (T )＝f (π)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2无意义，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2＝0不对．题组二 走进教材2．(多选题)(必修1P 85T2改编)给出下列函数，其中是奇函数的为( BC )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 5C ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝1x 2[解析] 对于f (x )＝x 4，f (x )的定义域为R ，由f (－x )＝(－x )4＝x 4＝f (x )，可知f (x )＝x 4是偶函数，同理可知f (x )＝x 5，f (x )＝x ＋1x 是奇函数，f (x )＝1x 2是偶函数． 3．(必修1P 85T3改编)若函数y ＝f (x )(x ∈(a ，b ))为奇函数，则a ＋b ＝ 0 .4．(必修1P 85T1改编)若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( B )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))[解析] ∵函数y ＝f (x )为奇函数，∴f (－a )＝－f (a )．即点(－a ，－f (a ))一定在函数y ＝f (x )的图象上．5. (必修1P 87T12改编)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为_(－2,0)∪(2,5]__.[解析] 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．6．(必修1P 87T11改编)定义在R 上的奇函数f (x )以2为周期，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值是( A )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据函数的周期性和奇偶性得到f (3)＝f (－1)＝－f (1)、f (2)＝f (0)＝0，从而可求f (1)＋f (2)＋f (3)．因为函数以2为周期，所以f (3)＝f (－1)，f (2)＝f (0)，因为函数是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (1)＋f (0)－f (1)＝0，故选A.7．(必修1P 86T3改编)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－3)＝ －7 .[解析] 因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，故f (x )＝2x－1(x ≥0)，则f (－3)＝－f (3)＝－(23－1)＝－7.题组三 走向高考8．(2023·新课标Ⅱ，4,5分)若f (x )＝(x ＋a )·ln 2x －12x ＋1为偶函数，则a ＝( B )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 [解析] f (－x )＝(－x ＋a )ln －2x －1－2x ＋1＝(－x ＋a )ln 2x ＋12x －1＝(x －a )ln 2x －12x ＋1，∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ＋a ＝x －a ，∴a ＝0.9．(2021·全国乙，4)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( B )A. f ()x －1－1B ． f ()x －1＋1 C. f ()x ＋1－1 D ． f ()x ＋1＋1[解析] 思路一：将函数f (x )的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；思路二：由函数f (x )的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．解法一：f (x )＝－1＋2x ＋1，其图象的对称中心为(－1，－1)，将y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移1个单位，再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f (x －1)＋1的图象，关于(0,0)对称，所以函数f (x －1)＋1是奇函数，故选B.解法二：选项A ，f (x －1)－1＝2x －2，此函数为非奇非偶函数；选项B ，f (x －1)＋1＝2x ，此函数为奇函数；选项C ，f (x ＋1)－1＝－2x －2x ＋2，此函数为非奇非偶函数；选项D ，f (x ＋1)＋1＝2x ＋2，此函数为非奇非偶函数，故选B.。
2.3函数的奇偶性周期性1
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
11.(全国高考题)下列函数中，既是偶函数又
在 (0,+ ∞)单调递增的函数是( B )
A．y x3 B．y | x | 1 C．y x2 1 D．y 2|x|
12.【安徽】下列函数中，既是偶函数又存在零
点的是（ D ）
f (x)
2 sin(x ) 2x2 x
4
的最大值为M，最小
2x2 cosx
值为m，则M+m= . 2
考点、题型
考点三 利用函数奇偶性求函数的表达式
xa
1. 已知函数f(x)= 则f(x)= x
1 x2
.1
x2 是定义在R上的奇函数， 法一:(定义法)；法二:[f(0)=0]
(A)y=lnx (B) y=x2+1 (C) y=sinx (D)y=cosx
考点、题型
考点二 函数奇偶性的应用
1. （重庆高考）若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实
数a= 4 .
2. 【小题快练1】(必修1P39T6改编)已知函数f(x)
是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)= x2 1，
偶函数；
(5)幂函数y=xα：α为奇数时，幂函数y=xα为奇 函数， α为偶数时，幂函数y=xα为偶函数；
知识梳理
3. 基本初等函数奇偶性 (6) y=sinx是奇函数； (7) y=cosx是偶函数； (8) y=tanx是奇函数； 4. 判断函数奇偶性的方法
(1) 定义法：①先求定义域，②计算f(-x),③判 断f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),④下结论 (2) 图像法 (3) 性质法(常用结论)
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的奇偶性与周期性
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f (x )，g (x )的奇偶性，那么函数f (x )±g (x )，f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论？提示在函数f (x )，g (x )公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f (x )满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)；(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )．提示(1)T ＝2|a |(2)T ＝2|a |(3)T ＝|a －b |题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)题组二教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案－2解析f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f 32______.答案1解析f 32＝f －124×－122＋2＝1.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题组三易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是()A ．－13 B.13C.12D ．－12答案B 解析∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.答案3解析∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36；(2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )2＋x ，x <0，x 2＋x ，x >0.解(1)－x 2≥0，2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称，∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0.∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)－x 2>0，－2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()A ．f (x )＝x ＋sin 2xB ．f (x )＝x 2－cos xC ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案D解析对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x－13－x ＝－x f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为()A ．y ＝xB ．y ＝－x 3C ．y ＝12log xD ．y ＝x ＋1x答案B解析由题意得，对于函数y ＝x 和函数y ＝12log x 都是非奇非偶函数，排除A ，C.又函数y＝x ＋1x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，排除D ，故选B.题型二函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.答案－2解析f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________.答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2020)＝f(4)．因为f(2＋2)＝1－f(2)，所以f(4)＝－1f(2)＝－12－3＝－2－ 3.故f(2020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.4．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f(1)＋f(2)＋________.答案2－1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.∴f(1)＋f(2)＋＝0＋f(0)＋＝f(0)＋＝f(0)＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案－12解析设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.答案e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析∵当x >0时，－x <0，∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________.答案1解析∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f 12＝f 32，则a ＋3b 的值为________．答案－10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以ff (－1)＝f (1)，故从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________．答案[－1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0－a －2＝a 2≤0，1－a ≤0，≤0，≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )＝|x |(10x －10－x )，则不等式f (1－2x )＋f (3)>0的解集为()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)答案A解析由于f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，且为单调递增函数，故f (1－2x )＋f (3)>0等价于f (1－2x )>－f (3)＝f (－3)，所以1－2x >－3，x <2，故选A.(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，解不等式f (x )>f (2x －1)．解由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)．当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11＋x2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)，当x ，12时，f(x)＝12log(1)x ，则f(x)()A．减函数且f(x)>0B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0D．增函数且f(x)<0答案D解析当x ，12时，由f(x)＝12log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间－12，f(x)<0.由f(x)知，函数的周期为32，f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[3,5]B．[－1,1]C．[1,3]D．[－1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则在区间(－∞，0)上单调递减，又f(1)＝－1，f(3)＝1，则f(－1)＝－1，f(－3)＝1，要使得－1≤f(x－2)≤1，即1≤|x－2|≤3，即1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1，解得－1≤x≤1或3≤x≤5，即不等式的解集为[－1,1]∪[3,5]，故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)3，x≤0，(x)，x>0，解不等式f(6－x2)>f(x)．解∵g(x)是奇函数，∴当x>0时，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，易知f(x)在R上是增函数，由f(6－x2)>f(x)，可得6－x2>x，即x2＋x－6<0，∴－3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝ln u在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误；∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确；∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3,7]B．[4,5]C．[5,8]D．[6,10]答案B解析依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x∈[0,3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f(x)在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f(x)在[4,5]上单调递减．(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案①②③解析由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________．答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A ．f (x )＝xB ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案B解析函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于()A ．－3B ．－54C.54D ．3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x .A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案D解析由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证，①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数；③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数；④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (1)等于()A ．－2B ．0C ．2D ．1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)，∴f (1)＝0，124＝－2，∴f (1)＝－2.5．(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为()A ．(2，＋∞)(2，＋∞)(2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，当x ∈[0,6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0,2020])，则a 的最大值是()A ．2018B ．2010C ．2020D ．2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝f (12－x )，可得f (－x )＝f (12＋x )，即f (x )＝f (12＋x )，故函数的周期为12.令log 6(a ＋1)＝1，解得a ＝5，∴在[0,12]上f (a )＝1的根为5,7；又2020＝12×168＋4，∴a 的最大值在[2004,2016]上，即2004＋7＝2011.故选D.7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3x e 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ________．答案－ln 2解析由已知可得ln 1e2＝－2，所以f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f (－2)＝－f (2)＝－ln 2.9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案1e，e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝由f (ln t )＋2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.11．已知函数f (x )x 2＋2x ，x >0，，x ＝0，2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)－2>－1，－2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案1解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)．因为函数f (x )为偶函数，所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1.14．(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1，0≤x <1，－2x ，x ≥1，若对任意的x ∈[m ，m ＋1]，不等式f (1－x )≤f (x ＋m )恒成立，则实数m的最大值是()A ．－1B ．－13C ．－12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则由f (1－x )≤f (x ＋m )，得|1－x |≥|x ＋m |，即(1－x )2≥(x ＋m )2，即g (x )＝(2m ＋2)x ＋m 2－1≤0在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，当m ＝－1时，g (x )＝0，符合要求，当m ≠－1(m )＝(3m －1)(m ＋1)≤0，(m ＋1)＝(m ＋1)(3m ＋1)≤0，解得－1<m ≤－13，所以－1≤m ≤－13，即m 的最大值为－13.15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为______________________________．答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2](－2)<0，(2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f(x)的周期为4，所以f(4)＝f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)．在f(x＋1)＝f(－x＋1)中，令x＝1，可得f(2)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2020)＝0.。
高中 高考理科数学专项复习 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 函数的奇偶性与周期性
2 3 1 1 1 解：f2＝f2－2＝f－2＝－4×－2 ＋2＝1.故填 1.
若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 实数 a＝____________.
解：∵函数 f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)， 即 xln(x＋ a＋x2)＝－xln(－x＋ a＋x2)， 1 2 ∴x＋ a＋x ＝ 2，得 a＝1.故填 1. －x＋ a＋x
第二章
函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用
§2.3
函数的奇偶性与周期性
1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一 般 地 ， 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x ， 都 有 ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一 般 地 ， 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x ， 都 有 ，那么函数 f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于 对称； 奇函数的图象关于 对称．
解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原 点对称的特征知函数 f(x)为奇函数．
2 4 － x ≥0， (3)∵ ∴－2≤x≤2 且 x≠0， x≠0，
3．具有奇偶性函数的定义域的特点 具有奇偶性函数的定义域关于 于 ”是“一个函数具有奇偶性”的 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个 域内 的值时，都有 T，使得当 x 取定义 ，那么函数 f(x)就叫 ，即“定义域关 条件．
做周期函数．T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如 果 在 周 期 函 数 f(x)的 所 有 周 期 中 存 在 一 个 正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． 的
函数性质的八大题型综合应用(解析版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【解题思路】由f3+x=f1-x，得到f1 =f3 ，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【解答过程】因为对∀x∈R都有f3+x=f1-x，所以f1 =f3-2=f[1-(-2)]=f3 又因为f x 在2，+∞上单调递减，且2<3<4，所以f4 <f3 <f2 ，即f4 <f1 <f2 ．故选：A．【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x ≥1时，f (x )单调递增，则不等式f 2-x ≥f (x +1)的解集为()A.12,+∞ B.0,12C.-∞,-12D.-∞,12【解题思路】根据函数的对称性和单调性即可.【解答过程】由f 2-x =f (x )，得f (x )的对称轴方程为x =1，故2-x -1 ≥x +1 -1 ，即(1-x )2≥x 2，解得x ≤12．故选：D .2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x 2+2ax +4,x ≤1,1x,x >1是-12,+∞ 上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-1【解题思路】首先分析知，x >1，函数单调递减，则x ≤1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x >1时，f x =1x为单调减函数，f x <f 1 =1当x ≤1时，f x =-x 2+2ax +4，则对称轴为x =-2a2×-1=a ，f 1 =2a +3若f x 是-12,+∞上减函数，则a ≤-122a +3≥1解得a ∈-1,-12 ，故选：A .3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【解题思路】根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.【解答过程】因为f x =max x -1,x 2-2ax +a +3 ，所以f x 代表x -1与x 2-2ax +a +3两个函数中的较大者，不妨假设g (x )=|x |-1,h (x )=x 2-2ax +a +3g (x )的函数图像如下图所示：h(x)=x2-2ax+a+3是二次函数，开口向上，对称轴为直线x=a，①当a<-1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是增函数，需要h(-1)=(-1)2-2a(-1)+a+3=3a+4≤0即a≤-4 3，则存在x使得f x ≤0成立，故a≤-4 3；②当-1≤a≤1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是先减后增函数，需要h(x)min=h(a)=a2-2a⋅a+a+3=-a2+a+3≤0，即a2-a-3≥0，解得a≥1+132或a≤1-132，又1+132>1，1-132<-1故-1≤a≤1时无解；③当a>1时，h(x)=x2-2ax+a+3在-1,1上是减函数，需要h(1)=12-2a+a+3=-a+4≤0即a≥4，则存在x使得f x ≤0成立，故a≥4.综上所述，a的取值范围为-∞,-4 3∪4,+∞.故选：B.【题型2函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x<6，则6x-x2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y =6x -x 2=-(x -3)2+9，对称轴为x =3，开口向下，因为0<x <6，所以当x =3时，6x -x 2有最大值9，没有最小值，故选：D .【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,9【解题思路】由已知可得当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立，通过分离变量，结合函数性质可求b 的取值范围【解答过程】因为f 1 =-3，函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，所以对∀x ∈-1,1 ，f x ≥-3恒成立，所以bx -b +3 x 3≥-3恒成立，即bx 1-x 2 ≥-31-x 3 恒成立，当x =1时，b ∈R ，当-1≤x <1时，可得bx 1+x ≥-3x 2+x +1 恒成立.当x =0或x =-1时，不等式显然成立；当0<x <1时，b ≥-3x 2+x +1 x 1+x =-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈0,2 ，所以1x 2+x ∈12,+∞ ，1+1x 2+x ∈32,+∞ ，-31+1x 2+x∈-∞,-92 ，所以b ≥-92；当-1<x <0时，b ≤-31+1x 2+x，因为x 2+x ∈-14,0 ，所以1x 2+x ∈-∞,-4 ，1+1x 2+x ∈-∞,-3 ，-31+1x 2+x∈9,+∞ ，所以b ≤9.综上可得，实数b 的取值范围是-92,9.故选：D .2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-4【解题思路】根据定义，先计算y=4+2x-x2在x∈-3,3上的最大值，然后利用条件函数f(x)最大值为4，确定t的取值即可．【解答过程】y=4+2x-x2=-x-12+5在x∈-3,3上的最大值为5，所以由4+2x-x2=4，解得x=2或x=0，所以x∈0,2时，y=4+2x-x2>4，所以要使函数f(x)最大值为4，则根据定义可知，当t≤1时，即x=2时，2-t=4，此时解得t=-2，符合题意；当t>1时，即x=0时，0-t=4，此时解得t=4，符合题意；故t=-2或4.故选：A.3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D，如果对D中的任意一个x，都有f x > 0,-x∈D，且f-xf x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g0 =1B.若g x max=g4 =4，则g x min=g-4=1 4C.若g x 在0,+∞上单调递增，则g x 在-∞,0上单调递减D.若g x 定义域为R，且函数h x 也是定义域为R的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【解题思路】对A，根据“类奇函数”的定义，代入x=0求解即可；对B，根据题意可得g-x=1g x，再结合函数的单调性判断即可；对C，根据g-x=1g x，结合正负分数的单调性判断即可；对D，根据“类奇函数”的定义，推导G x G-x=1判断即可.【解答过程】对于A，由函数g x 是“类奇函数”，所以g x g-x=1，且g x >0，所以当x=0时，g0 g-0=1，即g0 =1，故A正确；对于B，由g x g-x=1，即g-x=1g x,g-x随g x 的增大而减小，若g(x)max=g4 =4，则g(x)min=g-4=14成立，故B正确；对于C，由g x 在0,+∞上单调递增，所以g-x=1g x，在x∈0,+∞上单调递减，设t=-x∈-∞,0 ，∴g t 在t ∈-∞,0 上单调递增，即g x 在x ∈-∞,0 上单调递增，故C 错误；对于D ，由g x g -x =1,h x h -x =1，所以G x G -x =g x g -x h x h -x =1，所以函数G x =g x h x 也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C .【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【解题思路】根据条件可求得x >0时f (x )的解析式，根据函数为奇函数继而可求得当x <0时f (x )的解析式，分情况解出不等式即可.【解答过程】因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (-2)=-f (2)=5，则f (2)=-5，则2a +1=-5，所以a =-3，则当x >0时，f (x )=-3x +1，当x <0时，-x >0，则f (x )=-f (-x )=-[-3×(-x )+1]=-3x -1，则当x >0时，不等式f (x )>12为-3x +1>12，解得0<x <16，当x <0时，不等式f (x )>12为-3x -1>12，解得x <-12，故不等式的解集为-∞,-12 ∪0,16，故选：A .【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.4092【解题思路】由题意，根据函数奇偶性可得f (x )的图象关于点(1,0)中心对称、g (x )的图象关于点(1,2)中心对称，进而可知g (x )是以4为周期的周期函数．求出g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，结合周期即可求解.【解答过程】因为f (3x +1)为奇函数，所以f (x +1)为奇函数，所以f (x +1)=-f (-x +1)，f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，f (1)=0．因为g (x +2)为偶函数，所以g (x +2)=g (-x +2)，g (x )的图象关于直线x =2对称．由f (x +1)+g (1-x )=2，得f (-x +1)+g (1+x )=2，则-f (x +1)+g (1+x )=2，所以g (x +1)+g (1-x )=4,g (x )+g (2-x )=4，所以g (x )的图象关于点(1,2)中心对称．因为g (x )的图象关于x =2轴对称，所以g (x )+g (2+x )=4，g (x +2)+g (x +4)=4，所以g (x +4)=g (x )，即g (x )是以4为周期的周期函数．因为f (1)=0，f (0)=-12，所以g (1)=2，g (2)=52，g (3)=g (1)=2，g (4)=g (0)=4-g (2)=32，所以102k =1g (k )=25×2+52+2+32 +2+52=4092．故选：D ．2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 3【解题思路】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【解答过程】因为f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，f x 是偶函数，g x 是奇函数，所以g x 在R 上单调递减，f x 在-∞,0 上单调递增，对于A ，f 2 >f 3 ，但无法判断f 2 ,f 3 的正负，故A 不正确；对于B ，g 2 >g 3 ，但无法判断g 2 ,g 3 的正负，故B 不正确；对于C ，g 2 >g 3 ，g x 在R 上单调递减，所以g g 2 <g g 3 ，故C 不正确；对于D ，f 2 >f 3 ，g x 在R 上单调递减，g f 2 <g f 3 ，故D 正确.故选：D .3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【解题思路】先计算得到f (0)=2016，再构造函数g (x )=f (x )-2016，判断g (x )的奇偶性得出结论．【解答过程】解：令x 1=x 2=0得f (0)=2f (0)-2016，∴f (0)=2016，令x 1=-x 2得f (0)=f (-x 2)+f (x 2)-2016=2016，∴f (-x 2)+f (x 2)=4032，令g(x)=f(x)-2016，则g max(x)=M-2016，g min(x)=N-2016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4032=0，∴g(x)是奇函数，∴g max(x)+g min(x)=0，即M-2016+N-2016=0，∴M+N=4032．故选：C．【题型4函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y=x对称，且当x∈[-1,0]时，f(x)=x2，则f174=()A.-194B.-92C.-72D.-174【解题思路】用Γ表示函数y=f x 的图像，设x0,y0∈Γ，根据中心对称性与轴对称性，得到4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，求出y0，即可求出x0，即可得解.【解答过程】用Γ表示函数y=f x 的图像，对任意的x0∈-1,0，令y0=x20，则x0,y0∈Γ，且y0∈0,1，又函数f(x)的图像既关于点(-1,1)对称，且关于直线y=x对称，所以y0,x0∈Γ，则-2-y0,2-x0∈Γ，则2-x0,-y0-2∈Γ，则-4+x0,4+y0∈Γ，则4+y0,-4+x0∈Γ，令4+y0=174，即y0=14，此时x0=-12或x0=12(舍去)，此时-4+x0=-4+-1 2=-92，即174,-92∈Γ，因此f174 =-92.故选：B.【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y=f x 满足f a+x+f(a-x)=2b，则说y=f x 的图象关于点a,b对称，则函数f(x)=xx+1+x+1x+2+x+2x+3+...+x+2021x+2022+x+2022x+2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=-1012，计算出f(-1012+x)+f(-1012-x) =4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠-1,x≠-2...,...x≠-2022,x≠-2023}，定义域的对称中心为(-1012,0)，所以可猜a=-1012，则f(-1012+x)=-1012+x-1011+x+-1011+x-1010+x+-1010+x-1009+x+...+1009+xx+1010+1010+x1011+x，f(-1012-x)=-1012-x-1011-x +-1011-x-1010-x+-1010-x-1009-x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x=1012+x 1011+x +1011+x1010+x+1010+x1009+x+...+1009-x1010-x+1010-x1011-x，故f(-1012+x)+f(-1012-x)=1010+x1011+x +1012+x 1011+x+1009+xx+1010+1011+x 1010+x⋯+-1012+x-1011+x +1010-x 1011-x=2×2023=4046所以y=f x 的对称中心为(-1012,2023)，故选：C．2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R，且y=f3+3x为偶函数，y=g x+3+2为奇函数，对∀x∈R，均有f x +g x =x2+1，则f7 g7 = ()A.615B.616C.1176D.2058【解题思路】由题意可以推出f x =f6-x，g x =-4-g6-x，再结合f x +g x =x2+1可得函数方程组，解出函数方程组后再代入求值即可.【解答过程】由函数f3+3x为偶函数，则f3+3x=f3-3x，即函数f x 关于直线x=3对称，故f x =f6-x；由函数g x+3+2为奇函数，则g x+3+2=-g-x+3-2，整理可得g x+3+g-x+3=-4，即函数g x 关于3,-2对称，故g x =-4-g6-x；由f x +g x =x2+1，可得f6-x+g6-x=(6-x)2+1，所以f x -4-g x =(6-x)2+1，故f x +g x =x2+1f x -4-g x =(6-x)2+1 ，解得f x =x2-6x+21,g x =6x-20，所以f7 =72-6×7+21=28,g7 =6×7-20=22，所以f7 g7 =28×22=616.故选：B.3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【解题思路】首先根据f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，得出f(x)在(-∞,0)上单调递减，然后根据奇函数的对称性和单调性的性质，求解即可．【解答过程】∵f(x-1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R 上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(-∞,0)，x1≠x2，满足f(x2)-f(x1)x2-x1<0，∴f(x)在(-∞,0)上单调递减，所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减，又f3 =0所以f-3=0，且f0 =0，所以当x∈-∞,-3∪0,3时，f x >0；当x∈-3,0∪3,+∞时，f x <0，所以由x-1f x+1≥0可得x-1<0,-3≤x+1≤0或x-1>0,0≤x+1≤3或x-1=0，解得-4≤x≤-1或1≤x≤2，即不等式x-1f x+1≥0的解集为-4,-1∪1,2．故选：C.【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【解题思路】根据奇函数定义得到g-2x+2=-g2x+2，进而得到g x 的对称中心为，再根据对称轴求出周期，通过赋值得到答案.【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g-2x+2=-g2x+2，则g-x+2=-g x+2，所以g x 对称中心为2,0，又因为g x 的图像关于x=1对称，则g-x+2=g x ，所以-g x+2=g x ，则g x+4=-g x+2=g x ，所以g x 的周期T=4，①g-3=g-3+8=g5 ，所以①正确；②因为g1 =1，g-x+2=g x ，g x 对称中心为2,0，所以g0 =g2 =0，所以g(2024)=g0 =0，所以②正确；③因为f x =g3-x+1，所以f2 =g1 +1=2，因为-g x+2=g x ，所以g-1=-g1 ，则f4 =g-1+1=-g1 +1=0，所以f(2)+f(4)=2，所以③错误；④因为f x =g 3-x +1且g x 周期T =4，所以f x +4 =g 3-x -4 +1=g 3-x +1=f x ，则f x 的周期为T =4，因为f 1 =g 2 +1=1，f 2 =2，f 3 =g 0 +1=1，f 4 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，所以2024n =1 f (n )=506f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4 =506×4=2024，所以④正确.故选：C .【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x ∈R 都有f x +2 =-f x ，且f -x =-f x ，当x ∈-1,1 时，f x =x 3.则下列结论正确的是()A.函数y =f x 的图象关于点k ,0 k ∈Z 对称B.函数y =f x 的图象关于直线x =2k k ∈Z 对称C.当x ∈2,3 时，f x =x -2 3D.函数y =f x 的最小正周期为2【解题思路】根据f x +2 =-f x 得到f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，根据f -x =-f x 得到f x 关于x =-1对称，画出f x 的图象，从而数形结合得到AB 错误；再根据f x =-f x -2 求出x ∈2,3 时函数解析式；D 选项，根据y =f x 的最小正周期，得到y =f x 的最小正周期.【解答过程】因为f x +2 =-f x ，所以f x =-f x -2 ，故f x +2 =f x -2 ，所以f x 的周期为4，又f -x =-f x ，所以f -x =f x -2 ，故f x 关于x =-1对称，又x ∈-1,1 时，f x =x 3，故画出f x 的图象如下：A 选项，函数y =f x 的图象关于点1,0 不中心对称，故A 错误；B 选项，函数y =f x 的图象不关于直线x =2对称，B 错误；C 选项，当x ∈2,3 时，x -2∈0,1 ，则f x =-f x -2 =-x -2 3，C 错误；D 选项，由图象可知y =f x 的最小正周期为4，又f x +2 =-f x =f x ，故y =f x 的最小正周期为2，D 正确.故选：D .2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ,f 1 =0，且f 0 ≠0,∀x ,y∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f 0 =1；②∀x ∈R ,f -x +f x =0；③f x 关于点1,0 对称；④2023i =1 f (i )=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④【解题思路】利用特殊值法，结合函数的奇偶性、对称性和周期性进行求解即可.【解答过程】对于①，由于∀x ,y ∈R 都有f x +y +f x -y =2f x f y ，所以令x =y =0，则f 0 +f 0 =2f 0 f 0 ，即f 0 =f 20 ，因为f 0 ≠0，所以f 0 =1，所以①正确，对于②，令x =0，则f y +f -y =2f 0 f y =2f y ，所以f y =f -y ，即f x =f -x ，所以∀x ∈R ,f -x -f x =0，所以②错误，对于③，令x =1，则f 1+y +f 1-y =2f 1 f y =0，所以f 1+y =-f 1-y ，即f 1+x =-f 1-x ，所以f x 关于点1,0 对称，所以③正确，对于④，因为f 1+x =-f 1-x ，所以f 2+x =-f -x ，因为f x =f -x ，所以f 2+x =-f x ，所以f 4+x =-f 2+x ，所以f 4+x =f x ，所以f x 的周期为4，在f x +y +f x -y =2f x f y 中，令x =y =1，则f 2 +f 0 =2f 1 f 1 =0，因为f 0 =1，所以f (2)=-1，f (3)=f (-1)=f (1)=0,f (4)=f (0)=1，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0+(-1)+0+1=0，所以2023i =1 f (i )=505×f (1)+f (2)+f (3)+f (4) +f (1)+f (2)+f (3)=-1，所以④正确，故选：D .3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g (x )的定义域均为R ，f (x +1)为偶函数，且f (3-x )+g (x )=1，f (x )-g (1-x )=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i =1f (i )=2022D.2023i =0g (i )=0【解题思路】由f (x +1)为偶函数可得函数关于直线x =1轴对称，结合f (3-x )+g (x )=1和f (x )-g (1-x )=1可得f x 的周期为4，继而得到g x 的周期也为4，接着利用对称和周期算出对应的值即可判断选项【解答过程】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f -x +1 ①，所以f x 的图象关于直线x =1轴对称，因为f x -g 1-x =1等价于f 1-x -g x =1②，又f 3-x +g x =1③，②+③得f 1-x +f 3-x =2④，即f 1+x +f 3+x =2，即f 2+x =2-f x ，所以f 4+x =2-f 2+x =f x ，故f x 的周期为4，又g x =1-f 3-x ，所以g x 的周期也为4，故选项B 正确，①代入④得f 1+x +f 3-x =2，故f x 的图象关于点2,1 中心对称，且f 2 =1，故选项A 正确，由f 2+x =2-f x ，f 2 =1可得f 0 =1,f 4 =1，且f 1 +f 3 =2，故f 1 +f 2 +f 3 +f 4 =4，故2022i =1 f (i )=505×4+f (1)+f (2)=2021+f (1)，因为f 1 与f 3 值不确定，故选项C 错误，因为f 3-x +g x =1，所以g 1 =0,g 3 =0,g 0 =1-f 3 ,g 2 =1-f 1 ，所以g 0 +g 2 =2-f 1 +f 3 =0，故g 0 +g 1 +g 2 +g 3 =0，故2023i =0 g (i )=506×0=0，所以选项D 正确，故选:C .【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【解题思路】根据已知计算出f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，画出图象，计算f x =332，解得x =298，从而求出m 的最小值.【解答过程】由题意得，当x ∈1,2 时，故f x =12f x -1 =121-2x -3 ，当x ∈2,3 时，故f x =12f x -1 =141-2x -5 ⋯，可得在区间n ,n +1 n ∈Z 上，f x =12n 1-2x -2n +1 ≤12n ，所以当n ≥4时，f x ≤332，作函数y =f x 的图象，如图所示，当x ∈72,4 时，由f x =181-2x -7 =332,2x -7 =14,x =298，则m ≥298，所以m 的最小值为298故选：B .【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,52【解题思路】由f (x +2)=2f (x )-1，求出x ∈(2，3)，以及x ∈[3，4]的函数的解析式，分别求出(0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t 2-7t2≤f x ≤3-t 恒成立即为t 2-7t2≤f x min ，f x max ≤3-t ，解不等式即可得到所求范围【解答过程】当x ∈(2,3),则x -2∈(0,1)，则f (x )=2f (x -2)-1=2(x -2)2-2(x -2)-1，即为f (x )=2x 2-10x +11，当x ∈[3，4]，则x -2∈[1，2]，则f (x )=2f (x -2)-1=2x -2-1.当x ∈(0,1)时,当x =12时,f (x )取得最小值,且为-14；当x ∈[1,2]时,当x =2时,f (x )取得最小值,且为12；当x ∈(2,3)时,当x =52时,f (x )取得最小值,且为-32；当x ∈[3,4]时,当x =4时,f (x )取得最小值，且为0.综上可得,f (x )在(0,4]的最小值为-32.若x ∈(0,4]时, t 2-7t2≤f x min 恒成立，则有t 2-7t 2≤-32.解得12≤t ≤3.当x ∈(0,2)时,f (x )的最大值为1,当x ∈(2,3)时,f (x )∈-32,-1 ，当x ∈[3,4]时,f (x )∈[0,1]，即有在(0,4]上f (x )的最大值为1.由f x max ≤3-t ，即为1≤3-t ，解得t ≤2，综上，即有实数t 的取值范围是12,2.故选：C .2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞【解题思路】根据题意首先得得到函数的具体表达式，由x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，所以f (x +4)=x 2+6x +8，再由f (x +4)=3f (x +2)=9f (x )可得出f (x )的表达式，在根据函数思维求出f (x )最小值解不等式即可.【解答过程】因为x ∈[-4,-2]，所以x +4∈[0,2]，因为x ∈[0,2]时，f x =x 2-2x ，所以f x +4 =(x +4)2-2(x +4)=x 2+6x +8,因为函数f x 满足f x +2 =3f x ，所以f x +4 =3f x +2 =9f x ，所以f x =19f x +4 =19x 2+6x +8 ，x ∈[-4,-2]，又因为x ∈[-4,-2]，f x ≥1183t-t 恒成立，故1183t -t ≤f x min =-19，解不等式可得t ≥3或-1≤t <0.故选C .3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【解题思路】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【解答过程】因为函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x ∈0,2 时，f x =x 2-x =-x -1 2+1∈0,1 ，当x ∈(2,4]，时，x -2∈(0,2]，则f (x )=2f (x -2)=2x -2 2-x -2 =-2x -3 2+2∈0,2 ，当x ∈(4,6]，时，x -4∈(0,2]，则f (x )=4f (x -2)=4x -2-2 4-x -2 =-4x -5 2+4∈0.4 ，当x ∈(-2,0]，时，x +2∈(0,2]，则f (x )=12f (x +2)=12(x +2)-x =-12x +1 2+12∈0,12，作出函数f x 的大致图象，对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，设m 的最大值为t ，则f t =3，所以-4t -5 2+4=3，解得t =92或t =112，结合图象知m 的最大值为92，即m 的取值范围是-∞,92.故选：C .【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【解题思路】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取f x =sin2π3x ,g x =cos 2π3x 可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断f x 很可能是周期函数，结合f x g y ,g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令y =-1和y =1时可构建出两个式子，两式相加即可得出f x +1 +f x -1 =-f x ，进一步得出f x 是周期函数，从而可求2023n =1 f n 的值.【解答过程】解：对于A ，令x =y =0，代入已知等式得f 0 =f 0 g 0 -g 0 f 0 =0，得f 0 =0，故A 错误；对于B ，取f x =sin 2π3x ,g x =cos 2π3x ，满足f x -y =f x g y -g x f y 及f -2 =f 1 ≠0，因为g 3 =cos2π=1≠0，所以g x 的图象不关于点3,0 对称，所以函数g 2x +1 的图象不关于点1,0 对称，故B 错误；对于C ，令y =0，x =1，代入已知等式得f 1 =f 1 g 0 -g 1 f 0 ，可得f 1 1-g 0 =-g 1 f 0 =0，结合f 1 ≠0得1-g 0 =0，g 0 =1，再令x =0，代入已知等式得f -y =f 0 g y -g 0 f y ，将f 0 =0，g 0 =1代入上式，得f -y =-f y ，所以函数f x 为奇函数.令x =1，y =-1，代入已知等式，得f 2 =f 1 g -1 -g 1 f -1 ，因为f -1 =-f 1 ，所以f 2 =f 1 g -1 +g 1 ，又因为f 2 =-f -2 =-f 1 ，所以-f 1 =f 1 g -1 +g 1 ，因为f 1 ≠0，所以g 1 +g -1 =-1，故C 错误；对于D ，分别令y =-1和y =1，代入已知等式，得以下两个等式：f x +1 =f x g -1 -g x f -1 ，f x -1 =f x g 1 -g x f 1 ，两式相加易得f x +1 +f x -1 =-f x ，所以有f x +2 +f x =-f x +1 ，即：f x =-f x +1 -f x +2 ，有：-f x +f x =f x +1 +f x -1 -f x +1 -f x +2 =0，即：f x -1 =f x +2 ，所以f x 为周期函数，且周期为3，因为f 1 =1，所以f -2 =1，所以f 2 =-f -2 =-1，f 3 =f 0 =0，所以f 1 +f 2 +f 3 =0，所以2023n =1 f n =1=f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2023 =f 2023 =f 1 =1，故D 正确.故选：D .【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.4【解题思路】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令y =x ，得出f 2x+f0 ≥0，变量代换可判断③；利用赋值法求出f(n)部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算2023n=1f(n)，判断④，即可得答案.【解答过程】令x=y=0，则由f x+y+f x-y=2f x f y 可得2f0 =2f20 ，故f(0)=0或f0 =1，故①错误；当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0，则f(x)=0，故f (x)=0，函数f (x)既是奇函数又是偶函数；当f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，所以f-y=f y ，则-f (-y)=f (y)，即f (-y)=-f (y)，则f (x)为奇函数，综合以上可知f (x)必为奇函数，②正确；令y=x，则f2x+f0 =2f2x ，故f2x+f0 ≥0.由于x∈R，令t=2x,t∈R，即f t +f0 ≥0，即有f x +f0 ≥0，故③正确；对于D，若f1 =12，令x=1,y=0，则f1 +f1 =2f1 f0 ，则f(0)=1，令x=y=1，则f2 +f0 =2f21 ，即f2 +1=12,∴f2 =-12，令x=2,y=1，则f3 +f1 =2f2 f1 ，即f3 +12=-12,∴f(3)=-1，令x=3,y=1，则f4 +f2 =2f3 f1 ，即f4 -12=-1,∴f(4)=-12，令x=4,y=1，则f5 +f3 =2f4 f1 ，即f5 -1=-12,∴f(5)=12，令x=5,y=1，则f6 +f4 =2f5 f1 ，即f6 -12=12,∴f(6)=1，令x=6,y=1，则f7 +f5 =2f6 f1 ，即f7 +12=1,∴f(7)=12，令x=7,y=1，则f8 +f6 =2f7 f1 ，即f8 +1=12,∴f(8)=-12，⋯⋯，由此可得f(n),n∈N*的值有周期性，且6个为一周期，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0，故2023n=1f n =337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=12，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，且当x<0时，f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x的不等式:f x2-(a+2)x+f(a+y)+f(a-y)>0.【解题思路】(1)根据题意，令x=0,y=0，即可求得f(0)=0；(2)令x=0，得到f(-y)=-f(y)，所以f x 为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解；(3)化简不等式为f x2-(a+2)x>f(-2a)，结合函数f x 的单调性，把不等式转化为x2-(a+2)x <-2a，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】(1)解：因为函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x-y)+f(x+y)=f(2x)成立，令x=0,y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，所以f(0)=0.(2)解：函数f x 为R上的减函数.证明:令x=0，则f(-y)+f(y)=f(0)=0，所以f(-y)=-f(y)，故f x 为奇函数.任取x1,x2∈R，且x1<x2，则x1-x2<0，因为当x<0时，f(x)>0，所以f x1-x2>0，所以f x1-f x2=f x1+f-x2=fx1-x22+x1+x22+f x1-x22-x1+x22=f x1-x2>0，即f x1>f x2，所以f x 是R上的减函数.(3)解：根据题意，可得f x2-(a+2)x>-[f(a+y)+f(a-y)]=-f(2a)=f(-2a)，由(2)知f x 在R上单调递减，所以x2-(a+2)x<-2a，即x2-(a+2)x+2a<0，可得(x-2)(x-a)<0，当a>2时，原不等式的解集为(2,a)；当a=2时，原不等式的解集为∅；当a<2时，原不等式的解集为(a,2).3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x,y恒有f x+y=f x +f y ，当x>0时，f x <0，且f1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3上的最大值；(3)若f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1,a∈-1,1恒成立，求实数m的取值范围.【解题思路】(1)令x=y=0，求得f0 =0，再令y=-x，从而得f-x=-f x ，从而证明求解. (2)设x1,x2∈R且x1<x2，结合条件用单调性的定义证明函数f x 的单调性，然后利用单调性求解区间-3,3上的最大值.(3)根据函数f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，说明f x 的最大值2小于右边，因此先将右边看作a的函数，解不等式组，即可得出m的取值范围．【解答过程】(1)f x 为奇函数，证明如下：令x=y=0，则f0+0=2f0 ，所以f0 =0，令y=-x，则f x-x=f x +f-x=f0 =0，所以：f-x=-f x 对任意x∈R恒成立，所以函数f x 为奇函数.(2)f x 在R上是减函数，证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，则x2-x1>0f x2-f x1=f x2+f-x1=f x2-x1<0，所以f x2<f x1，所以f x 在R上为减函数.当x∈-3,3时，f x 单调递减，所以当x=-3时，f x 有最大值为f-3，因为f3 =f2 +f1 =3f1 =-2×3=-6，所以f-3=-f3 =6，故f x 在区间-3,3上的最大值为6.(3)由(2)知f x 在区间-1,1上单调递减，所以f x ≤f-1=-f1 =2，因为f x <m2-2am+2对所有的x∈-1,1，a∈-1,1恒成立，即m2-2am>0对任意a∈-1,1恒成立，令g a =-2am+m2，则g-1>0g1 >0，即2m+m2>0-2m+m2>0，解得：m>2或m<-2.故m的取值范围为-∞,-2∪2,+∞.【题型8函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f(x)=a x，g(x)=b⋅a-x+x，a>0且a≠1，若f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，设h(x)=f(x)+g(x)，x∈[-4,4]．(1)求函数h(x)的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h(x)的单调性(不需证明)，并求不等式h(2x+1)+h(2x-1)≥0的解集．【解题思路】(1)由f(1)+g(1)=52、f(1)-g(1)=32代入可解出a、b，得到h(x)，再计算h(x)与h(-x)的关系即可得到奇偶性；(2)分别判断h(x)中每一部分的单调性可得h(x)的单调性，结合函数的单调性与奇偶性解决该不等式即可得.【解答过程】(1)由f(1)+g(1)=52，f(1)-g(1)=32，即有a+ba+1=52a-ba-1=32，解得a=2b=-1，即f(x)=2x，g(x)=-2-x+x，则h(x)=2x-2-x+x，其定义域为R，h (-x )=2-x -2x -x =-2x -2-x +x =-h (x )，故h (x )为奇函数.(2)h (x )=2x -2-x +x ，由2x 在R 上单调递增，-2-x 在R 上单调递增，x 在R 上单调递增，故h (x )在R 上单调递增，由h (2x +1)+h (2x -1)≥0，且h (x )为奇函数，即有h (2x +1)≥-h (2x -1)=h 1-2x ，即有2x +1≥1-2x ，解得x ≥0，故该不等式的解集为x x ≥0 .【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．【解题思路】(1)取x =1，y =0代入计算得到f 1 =0，取y =0得到f x =f x f 0 ，得到答案.(2)取y =1，结合函数为偶函数得到f x +2 =-f x ，变换得到f x +4 =f x ，得到证明.(3)根据函数的周期性和奇偶性计算f 13 +f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13和取x =13，y =-13得到f 13 =32，根据周期性得到f 13 +f 23 +⋯+f 20263=-f 13 -1，计算得到答案.【解答过程】(1)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y取x =1，y =0得到f 1 =f 1 f 0 -f 0 f 1 =0，即f 1 =0；取y =0得到f x =f x f 0 -f 1-x f 1 =f x f 0 ，f x 不是常值函数，故f 0 =1；(2)f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ，取y =1得到f x +1 =f x f 1 -f 1-x f 0 =-f 1-x ，f x 是偶函数，故f x +1 =-f x -1 ，即f x +2 =-f x ，f x +4 =-f x +2 =f x .(3)f x +2 +f x =0，f x 为偶函数，取x =-13，则f 53 +f -13 =0，即f 53 +f 13 =0；取x =-23，则f 43 +f -23 =0，即f 43 +f 23=0；故f 73+f 83 +f 103 +f 113 =-f 13 -f 23 -f 43 -f 53 =0，f 2 =-f 0 =-1，f 3 =f -1 =f 1 =0，f 4 =f 0 =1，故f 13+f 23 +⋯+f 123 =0，取x =y =13得到f 23 =f 213 -f 223，取x =13，y =-13得到f 0 =f 213 -f 23 f 43 =f 213 +f 223=1，f 13 >0，f 23 >0，解得f 13 =32，f 13+f 23 +⋯+f 20263 =-f 113 -f 123 =-f 13 -1=-32-1.2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围【解题思路】(1)代入验证f (x )=f (2-x )即可求解，(2)利用单调性的定义证明函数的单调性，即可结合对称性求解a =2，分离参数，将恒成立问题转化为m >e x -e -x -1e x +e -xmax ，构造函数F (x )=e x -e -x -1e x +e-x ，结合不等式的性质即可求解最值.【解答过程】(1)证明：因为f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，所以f (2-x )=e 2-x -1+e1-(2-x )+(2-x )2-2(2-x )+a =e 1-x +e x -1+x 2-2x +a ，所以f (x )=f (2-x )，所以f (x )关于x =1对称.(2)(ⅰ)任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2f x 1 -f x 2 =e x 1-1+e1-x 1+x 21-2x 1-ex 2-1+e1-x 2+x 22-2x 2=e x 1-1-ex 2-1+e1-x 1-e1-x 2+x 21-x 22 -2x 1-x 2=(ex 1-1-ex 2-1)(e x 1-1e x 2-1-1)ex 1-1ex 2-1+(x 1-x 2)(x 1+x 2-2)∵1<x 1<x 2，∴0<x 1-1<x 2-1,∴e x 1-1>1,ex 2-1>1,ex 1-1-ex 2-1<0,ex 1-1e x 2-1-1>0，x 1-x 2<0,x 1+x 2-2>0,∴f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在1,+∞ 上单调递增，又f (x )关于x =1对称，则在-∞,1 上单调递减.所以f (x )min =f (1)=1+a =3，所以a =2.(单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明)(ⅱ)不等式f (m (e x +e -x )+1)>f (e x -e -x )恒成立等价于(m (e x +e -x )+1)-1 >e x -e -x -1 恒成立， 即m >ex-e -x -1 e x +e -x =e x -e -x -1e x +e -x恒成立，即m >e x -e -x -1e x +e -xmax令F (x )=e x -e -x -1e x +e -x ，则F (x )=e 2x -e x -1e 2x +1=1-e x +2e 2x +1，令e x +2=n ,n ∈2,+∞ ，则e x =n -2则g n =1-n n 2-4n +5=1-1n -4+5n，因为n ∈2,+∞ ,n -4+5n ≥25-4，n =5取等号，则g n ∈-52,1，所以g n ∈0,52，所以m >52,即m ∈-∞,-52 ∪52,+∞ .3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．【解题思路】(1)根据函数的对称性得到关于c 的方程，解出即可求出函数的对称中心；(2)利用函数单调性的定义即可判断函数f (x )单增,(3)问题转化为g (x )在[0,2]上的值域A ⊆[-2,4]，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式组，解出即可．【解答过程】(1)由于f (x )的图象的对称中心为-1,c ，则f (-1+x )+f (-1-x )=2c ，即(x -1)-6x -1+1+(-x -1)-6-x -1+1=2c ，整理得-2=2c ，解得：c =-1，故f (x )的对称中心为(-1,-1)；(2)函数f (x )在(0,+∞)递增；设0<x 1<x 2，则f x 1 -f x 2 =x 1-6x 1+1-x 2+6x 2+1=x 1-x 2 +6x 1-x 2 x 2+1 x 1+1=x 1-x 2 1+6x 2+1 x 1+1，由于0<x 1<x 2，所以x 1-x 2<0, 6x 2+1 x 1+1>0，所以f x 1 -f x 2 <0⇒f x 1 <f x 2 ，故函数f (x )在(0,+∞)递增；。
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第二章函数的概念、基本初等函数（1）与应用2.1 函数及其表示2.2 函数的单调性与最大（小）值2.3 函数的奇偶性与周期性2.4 二次函数2.5 基本初等函数（1）2.6 函数与方程2.7 函数模型及其应用第三章三角函数（基本初等函数（2））3.1 弧度制及任意角的三角函数3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式3.3 三角函数的图象与性质3.4 三角函数图象的变换3.5 三角函数模型的应用3.6 三角恒等变换3.7 正弦定理、余弦定理及其应用第四章平面向量4.1 平面向量的概念及其线性运算4.2 平面向量的基本定理及坐标表示4.3 平面向量的数量积4.4 平面向量的综合应用第五章数列5.1 数列的概念与简单表示法5.2 等差数列5.3 等比数列5.4 数列求和及其应用第六章不等式6.1 不等关系与不等式6.2 一元二次不等式及其解法6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题6.4 基本不等式及其应用第七章立体几何7.1 空间几何体的结构、三视图、直观图7.2 空间几何体的表面积与体积7.3 空间点、线、面之间的位置关系7.4 空间中的平行关系7.5 空间中的垂直关系7.6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算7.7 空间向量的坐标表示及运算7.8 空间向量的应用第八章平面解析几何8.1 直线的方程8.2 两条直线的位置关系8.3 圆的方程8.4 直线与圆的位置关系8.5 曲线与方程8.6 椭圆8.7 双曲线8.8 抛物线8.9 直线与圆锥曲线的位置关系第九章导数9.1 导数的概念及运算9.2 导数的应用（一）9.3 导数的应用（二）9.4 定积分第十章算法初步10.1 算法与程序框图10.2 基本算法语句与算法案例第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理11.2 排列与组合11.3 二项式定理11.4 随机事件的概率11.5 古典概型11.6 几何概型11.7 互斥、对立、独立、独立重复试验及其应用11.8 离散型随机变量及其分布列11.9 二项分布及其应用11.10 离散型随机变量的均值与方差11.11 正态分布第十二章统计12.1 随机抽样12.2 用样本估计总体12.3 变量间的相关关系与线性回归方程12.4 统计案例第十三章推理与证明13.1 合情推理与演绎推理13.2 直接证明与间接证明13.3 数学归纳法第十四章数系的扩充与复数的引入14.1 数系的扩充和复数的概念14.2 复数代数形式的四则运算14.3。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
函数与基本初等函数》函数的奇偶性和周期性
无穷大周期
无穷大周期的定义
当一个函数的周期趋于无 穷大时，称该函数具有无 穷大周期。
无穷大周期的性质
无穷大周期函数在无穷远 处具有某种规律性，但在 有限区间内可能没有规律。
无穷大周期的实例
自然对数函数ln(x)是一个 无穷大周期函数，其图像 在无穷远处呈现周期性重 复。
非奇非偶函数的性质
非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于 y轴对称。
3
常见的非奇非偶函数例子
$f(x)=|x|, f(x)=frac{1}{x}$等。
02 函数的周期性
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于定 义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数， T称为这个函数的一个周期。
03 奇偶性与周期性的关系
奇函数与周期性
奇函数
举例
如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则 称f(x)为奇函数。
正弦函数sin(x)是一个奇函数，且具有 周期性，其最小正周期为2π。
奇函数的周期性
奇函数并不一定具有周期性，但如果 一个奇函数具有周期性，那么它的周 期一定是偶数。
偶函数与周期性
周期性
通过观察函数值的变化规律来确定， 如果函数值呈现一定的重复变化规律， 则说明该函数具有周期性。
奇偶性和周期性在数学和实际生活中的应用
奇偶性
在数学分析、微积分、代数等领域中广 泛应用，如求解微分方程、研究函数的 极限和连续性等。
VS
周期性
在物理学、工程学、经济学等领域中广泛 应用，如描述振动、波动、周期现象等。
05 总结与思考
奇偶性与周期性的重要性
2024-2025学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2奇偶性教案新人教A版必修第一册
主备人
备课成员
课程基本信息
1. 课程名称：奇偶性教学
2. 教学年级和班级：高中一年级数学班
3. 授课时间：2024年11月15日
4. 教学时数：1课时（45分钟）
【教学目标】
1. 知识目标：理解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
- 偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。
- 非奇非偶函数：不满足奇函数和偶函数定义的函数。
4. 奇偶性的性质
- 奇函数的性质：奇函数的图像关于原点对称。
- 偶函数的性质：偶函数的图像关于y轴对称。
- 奇偶函数在定义域内的对称性。
5. 判断函数奇偶性的方法
- 直接法：根据奇偶函数的定义，直接判断函数是否满足f(-x) = -f(x)或f(-x) = f(x)。
- 图象法：通过观察函数图像的对称性来判断函数的奇偶性。
- 代数法：通过对函数进行代数变换，利用已知的奇偶函数的性质来判断。
6. 奇偶性的应用
- 利用奇偶性简化计算：在对称区间上，奇函数的积分为零，偶函数在对称轴两侧的积分相等。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的奇偶性内容，强调重点和难点。肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的奇偶性内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
知识点梳理
1. 函数的基本概念
- 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将每个输入值（自变量）映射到唯一的输出值（因变量）。
高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题(含答案)
高中数学--《函数概念与基本初等函数》测试题（含答案）1.三个数a=0.67，b=70.6，c=log0.76的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a【答案解析】C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=0.67＜1，b=70.6＞1，c=log0.76＜0，∴c＜a＜b，故选：C．2.已知函数的图象与直线y=x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，2） C．[﹣1，2] D．[2，+∞）【答案解析】B【考点】函数的零点；函数的图象；函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得只要满足直线y=x和射线y=2（x＞m）有一个交点，而且直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的两个交点即可，画图便知，直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象的两个交点为（﹣2，﹣2）（﹣1，﹣1），由此可得实数m的取值范围．【解答】解：由题意可得射线y=x与函数f（x）=2（x＞m）有且只有一个交点．而直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2，至多两个交点，题目需要三个交点，则只要满足直线y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象有两个交点即可，画图便知，y=x与函数f（x）=x2+4x+2的图象交点为A（﹣2，﹣2）、B（﹣1，﹣1），故有m≥﹣1．而当m≥2时，直线y=x和射线y=2（x＞m）无交点，故实数m的取值范围是[﹣1，2），故选B．【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．3.若函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为（）A．2 B．4 C． D．【答案解析】C【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据同底的指数函数和对数函数有相同的单调性，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵函数y=ax与y=loga（x+1）在[0，1]上有相同的单调性，∴函数函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上是单调函数，则最大值与最小值之和为f（0）+f（1）=a，即1+loga1+loga2+a=a，即loga2=﹣1，解得a=，故选：C【点评】本题主要考查函数最值是应用，利用同底的指数函数和对数函数有相同的单调性是解决本题的关键．本题没有对a进行讨论．4.函数f(x)=ln(x-)的图象是（）A． B．C． D．【答案解析】B【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；数形结合．【分析】求出函数的定义域，通过函数的定义域，判断函数的单调性，推出选项即可．【解答】解：因为x-＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f(x)=ln(x-)的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、C不正确．当x∈（﹣1，0）时， g(x)=x-是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x-)是增函数．故选B．【点评】本题考查函数的图象的综合应用，对数函数的单调性的应用，考查基本知识的综合应用，考查数形结合，计算能力．判断图象问题，一般借助：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、以及函数的图象的变化趋势等等．5.函数f（x）=x3+sinx+1（x∈R），若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣2【答案解析】B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】把α和﹣α分别代入函数式，可得出答案．【解答】解：∵由f（a）=2∴f（a）=a3+sina+1=2，a3+sina=1，则f（﹣a）=（﹣a）3+sin（﹣a）+1=﹣（a3+sina）+1=﹣1+1=0．故选B【点评】本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．6.函数f（x）=x3+3x﹣1在以下哪个区间一定有零点（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【答案解析】B【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判定定理将选项中区间的端点值代入验证即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+3x﹣1∴f（﹣1）f（0）=（﹣1﹣3﹣1）（﹣1）＞0，排除A．f（1）f（2）=（1+3﹣1）（8+6﹣1）＞0，排除C．f（0）f（1）=（﹣1）（1+3﹣1）＜0，∴函数f（x）在区间（0，1）一定有零点．故选：B．【点评】本题主要考查函数零点的判定定理．属基础题．7.函数y=ax+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1） B．（1，0） C．（2，1） D．（0，2）【答案解析】D【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】已知函数f（x）=ax+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解答】解：∵函数f（x）=ax+1，其中a＞0，a≠1，令x=0，可得y=1+1=2，点的坐标为（0，2），故选：D【点评】本题主要考查指数函数的性质及其特殊点，是一道基础题．8.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞） B． [，+∞） C．（﹣∞，] D．（﹣∞，1）【答案解析】考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），运用导数，求出切线的斜率，再由图象观察即可得到k的取值范围．解答：解：函数f（x）=，画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），由于（log2x）′=，即切线的斜率为=k，又n=km，n=log2m，解得m=e，k=，则k＞0时，直线与曲线有交点，则0＜k，综上，可得实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故选C．点评：本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，考查运用导数求切线的斜率，属于中档题．9.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）【答案解析】考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解答：解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A点评：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10.设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）；（2）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1．下列四个命题：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．②③④ D．①③④【答案解析】考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：既然对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2），那么分别令x1，x2取1，0，﹣1求出g（0），g（1），g（﹣1），g（2），然后令x1=x2=x可得③，再根据不等式即可得④解答：解；对于①结论是正确的．∵对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）且f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得[f（1）]2+[g（1）]2=g（0），∴1+[g（1）]2=g（0），∴g（0）﹣1=[g（1）]2 令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g（0）﹣1]=0解方程组得对于②结论是不正确的，令x1=0，x2=﹣1，得f（0）f（﹣1）+g（0）g（﹣1）=g（1），∴g（﹣1）=0令x1=1，x2=﹣1，得f（1）f（﹣1）+g（1）g（﹣1）=g（2），∴﹣1=g（2），∴g（2）≠1对于③结论是正确的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，对于④结论是正确的，由③可知f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|fn（x）|≤f2（x），|gn（x）|≤g2（x）对n＞2，n∈N*时恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1综上，①③④是正确的．故选：D。
函数概念与基本初等函数题型归纳与习题含详解
(2)因为 f x ax2 bx c(a 0) 的图像上任意一点都不在直线 y＝x 的下方，取相同 x， 二次函数值总大于一次函数值，所以 f x x ，即 ax2 bx c x ，得 ax2 (b 1)x c 0 ，
对任意 x∈R 成立.
解析 f x 1 ＝ x 1 2 2 ,又 x 1 2 或 x 1 ―2,故 f x x2 2
x x
x
x
(x>2 或 x<―2) 评注 求函数解析式要注意定义域
变式 1
已知
f x 1 x
x2 1 x2
1 x
求
f x 的解析式
三、方程组法
例 2.7 已知函数 f x 满足： f x 2 f 1 3x x 0 ,求函数 f x 的解析式.
(2) y x 2 的定义域为{ x x 0 }; y x2 的定义域为 R，故该组的两个函数不是同一函
数；
(3)两个函数的定义域均为｛ x x ≠0｝，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数
故为同一函数的一组是（3）
评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什
(1) p : x 1, 2, x2 a 0 ；
(2) A N , B Z , f : x y (1)x ；
（3）A＝{x|是平面内的三角形}，B＝｛y|y 是平面内的圆｝，f:x→y 是 x 的外接圆； （4）设集合 A＝｛x|是平面内的圆｝，B＝｛y|y 是平面内的矩形｝，f:x→y 是 x 的内接矩形 其中能构成映射的是_______ 变式 2 已知函数 y＝f(x),定义域为 A＝｛1,2,3,4｝值域为 C＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共 有多少个？
函数与基本初等函数2.3 函数的奇偶性(教师)
响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第二编 函数与基本初等函数Ⅰ 主备人 张灵芝 总第6期§2.3 函数的奇偶性基础自测1.（2008·福建理，4）函数f （x ）=x 3+sin x +1（x ∈R ），若f （a ）=2，则f （-a ）的值为 . 答案 02.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x )，则f (6)的值为 . 答案 03.设偶函数f (x )=log a |x -b |在（-∞,0）上单调递增，则f (a +1) f (b +2)(用“≤”，“≥”，“＜”，“＞”填空). 答案 ＞4.已知f （x ）=122)12(+-+xx a 是奇函数，则实数a 的值为 . 答案 15.函数f (x ),g (x )在区间［-a ，a ］ (a >0）上都是奇函数，则下列结论：①f (x )-g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；②f (x )+g (x )在［-a ,a ］上是奇函数；③f (x )·g (x )在［-a ,a ］上是偶函数；④f (0)+ g (0)=0,则其中正确结论的个数是 . 答案 4例题精讲例1判断下列函数的奇偶性. （1）f (x )=2211x x -⋅-;(2)f (x )=log 2(x +12+x ) (x ∈R );(3)f (x )=lg|x -2|.解 （1）≧x 2-1≥0且1-x 2≥0,≨x =±1,即f (x )的定义域是{-1，1}. ≧f （1）=0，f (-1)=0,≨f (1)=f (-1),f (-1)=-f (1), 故f (x )既是奇函数又是偶函数. （2）方法一 易知f (x )的定义域为R ，又≧f (-x )=log 2［-x +1)(2+-x ］=log2112++x x =-log 2(x +12+x )=-f (x ),≨f (x )是奇函数.方法二 易知f (x )的定义域为R ，又≧f （-x ）+f （x ）=log 2［-x +1)(2+-x ］+log 2(x +12+x )=log 21=0,即f (-x )=-f (x ),≨f (x )为奇函数. （3）由|x -2|>0，得x ≠2.≨f （x ）的定义域{x |x ≠2}关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数. 例2已知函数f (x ),当x ,y ∈R 时，恒有f (x +y )=f (x )+f (y ). (1)求证：f (x )是奇函数；（2）如果x ∈R +，f （x ）<0,并且f (1)=-21,试求f (x )在区间［-2，6］上的最值.（1）证明≧函数定义域为R ，其定义域关于原点对称，≧f （x +y ）=f （x ）+f （y ），令y =-x,≨f (0)=f (x )+f (-x ).令x =y =0, ≨f (0)=f (0)+f (0),得f (0)=0.≨f （x ）+f （-x ）=0，得f (-x )=-f (x ), ≨f (x )为奇函数.（2）解 方法一 设x ,y ∈R +，≧f （x +y ）=f （x ）+f （y ）， ≨f （x +y ）-f （x ）=f （y ）. ≧x ∈R +，f （x ）<0, ≨f (x +y )-f (x )<0, ≨f (x +y )<f (x ).≧x +y >x , ≨f (x )在（0，+≦）上是减函数.又≧f （x ）为奇函数，f （0）=0， ≨f （x ）在（-≦,+≦）上是减函数.≨f （-2）为最大值，f (6)为最小值. ≧f (1)=-21,≨f (-2)=-f (2)=-2f (1)=1,f (6)=2f (3)=2［f （1）+f （2）］=-3.≨所求f (x )在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.方法二 设x 1<x 2,且x 1,x 2∈R .则f (x 2-x 1)=f ［x 2+(-x 1)］=f (x 2)+f (-x 1)=f (x 2)-f (x 1).≧x 2-x 1>0,≨f (x 2-x 1)<0.≨f (x 2)-f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减. ≨f （-2）为最大值，f （6）为最小值.≧f （1）=-21，≨f （-2）=-f （2）=-2f （1）=1，f （6）=2f （3）=2［f （1）+f （2）］=-3. ≨所求f (x ）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3. 例3（16分）已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x +2)=-f (x ) . （1）求证：f (x )是周期函数；（2）若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,求使f (x )=-21在［0，2 009］上的所有x 的个数.（1）证明 ≧f （x +2）=-f （x ），≨f （x +4）=-f （x +2）=-［-f （x ）］=f （x ）， 2分 ≨f （x ）是以4为周期的周期函数， 4分 （2）解 当0≤x ≤1时，f (x )=21x ,设-1≤x ≤0,则0≤-x ≤1,≨f （-x ）=21（-x ）=-21x .≧f (x )是奇函数，≨f （-x ）=-f （x ）, ≨-f （x ）=-21x ，即f (x )=21x . 7分故f (x )=21x (-1≤x ≤1) 8分又设1<x <3,则-1<x -2<1, ≨f (x -2)=21(x -2), 10分又≧f （x -2）=-f （2-x ）=-f （（-x ）+2）=-［-f （-x ）］=-f （x ），≨-f （x ）=21（x -2），≨f （x ）=-21（x -2）（1<x <3）. 11分≨f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--≤≤-)31()2(21)11(21x x x x 12分由f (x )=-21,解得x =-1.≧f （x ）是以4为周期的周期函数. ≨f (x )=-21的所有x =4n -1 (n ∈Z ). 14分令0≤4n -1≤2 009,则41≤n ≤20051,又≧n ∈Z ，≨1≤n ≤502 （n ∈Z ）, ≨在［0，2 009］上共有502个x 使f (x )=-21. 16分巩固练习1.判断下列各函数的奇偶性：（1）f （x ）=（x -2）xx -+22；（2）f （x ）=2|2|)1lg(22---x x ； （3）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+.1(2),1|(|0),1(2）x x x x x解 （1）由xx-+22≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f （x ）为非奇非偶函数. （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-->-.02|2|0122x x ，得定义域为（-1，0）∪（0，1）.这时f （x ）=2222)1lg(2)2()1lg(x x x x --=----. ≧f （-x ）=-[]),()1lg()()(1lg 2222x f xx x x =--=---≨f （x ）为偶函数. （3）x <-1时，f （x ）=x +2，-x >1, ≨f （-x ）=-（-x ）+2=x +2=f （x ）.x >1时，f （x ）=-x +2， -x <-1，f (-x )=x +2=f (x ).-1≤x ≤1时，f （x ）=0，-1≤-x ≤1， f （-x ）=0=f （x ）.≨对定义域内的每个x 都有f （-x ）=f （x ）. 因此f （x ）是偶函数.2.已知函数y =f (x )的定义域为R ，且对任意a ,b ∈R ,都有f (a +b )=f (a )+f (b )，且当x >0时，f (x )<0恒成立，f (3)=-3. (1)证明：函数y =f (x )是R 上的减函数； （2）证明：函数y =f (x )是奇函数；（3）试求函数y =f (x )在［m ,n ］（m ,n ∈Z ）上的值域.（1）证明 设∀x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2,f (x 2)=f ［x 1+(x 2-x 1)］=f (x 1)+f (x 2-x 1). ≧x 2-x 1>0,≨f (x 2-x 1)<0.≨f (x 2)=f (x 1)+f (x 2-x 1)<f (x 1). 故f (x )是R 上的减函数.（2）证明 ≧f （a +b ）=f （a ）+f （b ）恒成立，≨可令a =-b =x ,则有f （x ）+f （-x ）=f （0）， 又令a =b =0,则有f (0)=f (0)+f (0),≨f (0)=0.从而∀x ∈R ，f （x ）+f （-x ）=0， ≨f （-x ）=-f （x ）.故y =f (x )是奇函数. （3）解 由于y =f (x )是R 上的单调递减函数，≨y =f （x ）在［m ，n ］上也是减函数，故f (x )在［m ，n ］上的最大值f (x )max =f (m ),最小值f (x )min =f (n ). 由于f (n )=f (1+(n -1))=f (1)+f (n -1)=…=nf (1),同理f (m )=mf (1). 又f (3)=3f (1)=-3,≨f (1)=-1,≨f (m )=-m ,f (n )=-n . ≨函数y =f (x )在［m ,n ］上的值域为［-n ,-m ］.3.设f （x ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2），且f (1)=a >0. （1）求f (21)及f (41)（2）证明：f （x ）是周期函数； （3）记a n =f (2n +)21n，求a n . （1）解 ≧对x 1、x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0， 都有f （x 1+x 2）=f （x 1）·f （x 2）， ≨f （x ）=f ()2()2()22xf x f x x ⋅=+≥0，x ∈［0，1］. ≨f （1）=f (,)21()21()21()21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+f f ff (2)41()41()41()4141()21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅=+=f f f f .≧f (1)=a ＞0, ≨f (.)41(,)214121a f a ==（2）证明 ≧y =f （x ）的图象关于直线x =1对称， ≨f （x ）=f （1+1-x ），即f （x ）=f （2-x ），x ∈R . 又由f （x ）是偶函数知，f （-x ）=f （x ），x ∈R ， ≨f （-x ）=f （2-x ），x ∈R .将上式中-x 用x 代换，得f （x ）=f （x +2），x ∈R . 这表明f （x ）是R 上的周期函数，且2是它的一个周期. （3）解 由（1）知f （x ）≥0，x ∈［0，1］.≧f (⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-+=⋅=n n nf nn f 21)1(21)21()21=f (=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⋅n n f n 21)1()21…=f (⋅⋅)21()21n f n …·f (.)21()21nn f n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=又f (.2121)21(,)21n a n f a =∴=≧f （x ）的一个周期是2，≨a n =f (2n +n 21)=f (n21),≨a n =a n 21.回顾总结知识方法思想课后作业一、填空题1.f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的 条件.答案 充分不必要2.设函数f (x )=(x +1)(x +a )为偶函数，则a = . 答案 -13.已知函数f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数，且g （x ）=f （x -1），若f （0）=2，则f （2 008）的值为 .答案 2 4.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）. ①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =x ·f (x );④y =f (x )+x . 答案 ②④5.(2009·徐州六县一区联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=2x -3，则f (-2)= .答案 -16.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在R 上f (x )的表达式为 .答案 f(x)=x (|x |-2)7.已知函数f (x )=g (x )+2,x ∈［-3，3］，且g (x )满足g (-x )=-g (x ),若f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M +N = . 答案 48.f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )=3f (x )+5g (x )+2,若F (a )=b ,则F (-a )= .答案 -b +4 二、解答题9.已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ,f (x )=f (x +1)+f (x -1)恒成立. (1)求证：f (x )是周期函数. (2)已知f (3)=2，求f (2 004).（1）证明 ∵f (x )=f (x +1)+f (x -1),∴f (x +1)=f (x )-f (x -1),则f (x +2)=f []).1()()1()()()1(1)1(--=---=-+=++x f x f x f x f x f x f x∴f (x +3)=f [][]).(1)1(2)1(x f x f x -=-+-=++ ≨f (x +6)=f[]).()3(3)3(x f x f x =+-=++∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期. (2)解 f (2 004)=f (334×6)=f (0)=-f (3)=-2.10.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式. 解 ≧f （x ）是奇函数，可得f (0)=-f (0),≨f (0)=0.当x >0时，-x <0,由已知f (-x )=x lg(2+x ),≨-f （x ）=x lg （2+x ），即f （x ）=-x lg （2+x ）（x >0）.≨f (x )=⎩⎨⎧≥+-<--).0()2lg(),0()2lg(x x x x x x即f (x )=-x lg(2+|x |) (x ∈R ). 11.已知函数f (x )=x 2+|x -a |+1,a ∈R . (1)试判断f (x )的奇偶性； （2）若-21≤a ≤21，求f (x )的最小值.解 (1)当a =0时，函数f (-x )=(-x )2+|-x |+1=f (x ),此时,f (x )为偶函数.当a ≠0时，f (a )=a 2+1,f (-a )=a 2+2|a |+1, f (a )≠f (-a ),f (a )≠-f (-a ),此时，f (x ) 为非奇非偶函数.（2）当x ≤a 时,f (x )=x 2-x +a +1=(x -21)2+a +43,≧a ≤21,故函数f (x )在（-≦，a ］上单调递减，从而函数f (x )在（-≦，a ］上的最小值为f (a )=a 2+1. 当x ≥a 时，函数f (x )=x 2+x -a +1=(x +21)2-a +43,≧a ≥-21，故函数f (x )在［a ，+≦）上单调递增，从而函数f (x )在［a ，+≦)上的最小值为f (a )=a 2+1.综上得，当-21≤a ≤21时，函数f (x )的最小值为a 2+1.12.设函数f (x )在（-∞,+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间［0，7］上，只有f (1)=f (3)=0. （1）试判断函数y =f （x )的奇偶性；（2）试求方程f (x )=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论. 解 （1）由),10()()14()4()14()()4()()7()7()2()2(+=⇒-=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f从而知函数y =f (x )的周期为T =10.又f (3)=f (1)=0,而f (7)≠0,故f (-3)≠0. 故函数y =f （x )是非奇非偶函数. （2）由（1）知y =f (x )的周期为10.又f （3）=f (1)=0,f (11)=f (13)=f (-7)=f (-9)=0,故f (x )在［0，10］和［-10，0］上均有两个解，从而可知函数y =f (x )在［0，2 005］上有402个解，在［-2 005， 0］上有400个解，所以函数y =f (x )在［-2 005，2 005］上有802个解.。
(完整版)新高考真题《函数的概念与基本初等函数》小题专题训练(含答案)
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
7．【2020年高考全国I卷理数】若 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
13．【2020年高考天津】函数 的图象大致为
A B
CD
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得： ，则函数 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当 时， ，选项B错误.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
14．【2020年高考天津】设 ，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
，
，
所以 .
故选：D．
【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
A．10名B．18名
C．24名D．32名
【答案】B
【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，设需要志愿者x名，
高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
函数的奇偶性
A．3
C．－1
B．1
D．－3
[解析]
因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，可
求得b＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2＋b)＝－3.故选D.
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
3． 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0 的x的取值范围是 (－1,0)∪(1，＋∞) ． 解 析
1 ∴(2a－1)x＝0，∴a＝ . 2
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第二章 函数与基本初等函数
2.已知定义在R上的奇函数满足f(x)＝x2＋2x(x≥0)， 若f(3－a2)>f(2a)，则实数a的取值范围是 －3<a<1
解 析
因为f(x)＝x2＋2x在[0，＋∞)上是增函数，
又因为f(x)是R上的奇函数，所以函数f(x)是R上 的增函数，要使f(3－a2)>f(2a)，只需3－a2>2a， 解得－3<a<1.
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第二章 函数与基本初等函数
2 2 （1）f ( x) 9 x x 9
【解】由
x 9 0
2
9 x2 0
，得
x 3.
∴f(x)的定义域为
3, 3 ，关于原点对称.
又∵f(3)+f(-3)=0, f(3)=f(-3)=0
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响水二中高三数学（理）一轮复习作业第二编函数与基本初等函数Ⅰ主备人张灵芝总第6期
§2.3 函数的奇偶性
一、填空题
1.f(x),g(x)是定义在R上的函数，h(x)=f(x)+g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的条件.
2.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a= .
3.已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），若f（0）=2，则f（2 008）的值为 .
4.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是（填序号）.
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x·f(x);④y=f(x)+x.
5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-3，则f(-2)= .
6.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x，则在R上f(x)的表达式为 .
7.已知函数f(x)=g(x)+2,x∈［-3，3］，且g(x)满足g(-x)=-g(x),若f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M+N= .
8.f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若F(a)=b,则F(-a)= .
二、解答题
9.已知f(x)是实数集R上的函数，且对任意x R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(1)求证：f(x)是周期函数.
(2)已知f(3)=2，求f(2 004).
10.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(-∞,0)时，f (x )=-x lg(2-x ),求f (x )的解析式.
11.已知函数f (x )=x 2+|x -a |+1,a ∈R .
(1)试判断f (x )的奇偶性；
（2）若-
21≤a ≤21，求f (x )的最小值.
12.设函数f (x )在（-∞,+∞)上满足f (2-x )=f (2+x )，f (7-x )=f (7+x )，且在闭区间［0，7］上，只有f (1)=f (3)=0.
（1）试判断函数y =f （x )的奇偶性；
（2）试求方程f (x )=0在闭区间［-2 005，2 005］上的根的个数，并证明你的结论.。