最新北师版七年级下册全等三角形专题2

全 等 三 角 形 专 题 二
一：垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）
1.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．
求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．
2. 直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．
（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问
题：
①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF
AF -（填“>”，“<”或“=”号）；
②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ；
（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．
A B
C E F D
D A B C
E
F A D F C E B
图1 图2 图3
3. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：CD=BF ； (2)求证：AD ⊥CF ；
(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.
4：拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ， 求证：∠ADC ＝∠BDE ．
A B C
D E
F 图9
二：角平分线问题
5： (北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作
CE AB ⊥于E ，并且1
()2
AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？
E
D
C
B
A
6：练习： 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.
（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.
E D
G
F
C B
A
三、中点问题
7. 在△ABC 中, D 为BC 的中点， 过D 点的直线GF 交AC 于F , 交AC 的平线
BG 于点G 。

DE GF ⊥, 并交AB 于点E . 连结EG . （1）求证: BG CF =；
（2）请猜想BE CF +与EF 的大小关系, 并加以证明
8：如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．
9.已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证2CD CE =（提示：倍长中线试试）
E
D
C
B A
10：附加思考题：（此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究） 以ABC ∆ 的
两边AB 、
AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．
⑴如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；线段AM 与DE 的数量关系是 ；
⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
图①
N
M E
D
C
B A
图②
N
M E
D
C
B
A
11、问题：已知ABC △中，2BAC ACB ∠=∠，点D 是ABC △内的一点，且AD CD =，
BD BA =．探究DBC ∠与ABC ∠度数的比值． 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当90BAC ∠=︒时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB 与AC 得数量关系为________；
当推出15DAC ∠=︒时，可进一步推出DBC ∠的度数为_______； 可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________．
（2）当90BAC ∠≠︒时，请你画出图形，研究DBC ∠与ABC ∠度数的比值是否与
（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
C B
A
图1D C B A
12、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ，求证：AE =EF ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A
D
F
G
B
图1
A
D
F G
B 图2 A
D
F
C G
B
图3
13、(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.
求证：BE＝CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于
点O,∠FOH＝90°, EF＝4.求GH的长.
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,
∠FOH＝90°,EF＝4.直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).。