2017学年重庆市巴蜀中学高二下学期期中数学试卷及参考答案(文科)

2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）在复平面中，下列复数中所对应的点在第三象限的是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i2．（5分）已知集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|﹣1＜x ＜5}3．（5分）2000年5月，位于咸阳市的陕西省石化建设公司在其院后取土时，发现西汉古墓3座，咸阳市文物考古研究所派人对其进行了清理，发现了较多的文物．其中有一件串饰，如图所示的是一串黑白相间排列的珠子．请问以左边第一颗珠子算起，按照这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（）A．白色B．黑色C．白色的可比性大 D．黑色的可能性大4．（5分）设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数y=f（x）+x3是R上的偶函数，若f（1）=2，则f（﹣1）=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.257．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，下列关系中成立的是（）A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）≤2f（2） C．f（1）+f（3）＞2f （2）D．f（1）+f（3）≥2f（2）时，液面高为（）A．4 B．5 C．6 D．711．（5分）设P是双曲线﹣=1上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1、d2，则d1•d2=（）A．3 B．C．D．212．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b 的最小值为（）A．﹣4 B．3﹣2C．3﹣4D．﹣2二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．14．（5分）若=1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=．15．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．三、解答题（本大题6个小题，共70分，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）已知x的不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，其中a为实数．（1）当a=1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=log a（3﹣ax）．（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，且最大值为2，求出实数a的值．18．（12分）某校为了解高二年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对）进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成下列联表，并判断能否有99%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．参考公式：K2=19．（12分）如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求几何体C﹣BDF的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若•=﹣，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1，l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P，Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R，求△PQR面积最大值时，直线l221．（12分）已知函数f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x），试求Γ（x）的单调递减区间；（Ⅲ）设函数h（x）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，当λ∈（﹣∞，0]∪[，+∞）时，求h（a）的最大值．2016-2017学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，12小题，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）在复平面中，下列复数中所对应的点在第三象限的是（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【解答】解：只有B中的复数对应的点（﹣1，﹣2）在第三象限．故选：B．2．（5分）已知集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣3＜x＜5}C．{x|x＜﹣1或x＞3}D．{x|﹣1＜x ＜5}【解答】解：集合A={x|（x﹣5）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜5}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B={x|﹣1＜x＜3}．故选：A．3．（5分）2000年5月，位于咸阳市的陕西省石化建设公司在其院后取土时，发现西汉古墓3座，咸阳市文物考古研究所派人对其进行了清理，发现了较多的文物．其中有一件串饰，如图所示的是一串黑白相间排列的珠子．请问以左边第一颗珠子算起，按照这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是（）A．白色B．黑色C．白色的可比性大 D．黑色的可能性大【解答】解：从第一个开始，每5颗珠子作为一个整体，则前3颗为白珠子，后2颗为黑珠子，则36颗珠子为第8组的第一个珠子，则为白色，故选：A．4．（5分）设α、β为两个不同平面，若直线l在平面α内，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）已知函数y=f（x）+x3是R上的偶函数，若f（1）=2，则f（﹣1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据题意，令F（x）=f（x）+x3，若f（1）=2，则有F（1）=f（1）+13=3，又由F（x）为R上的偶函数，则F（﹣1）=f（﹣1）+（﹣1）3=F（1）=3，解可得：f（﹣1）=4；故选：D．6．（5分）如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据．由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=﹣0.7x+a，则a=（）A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，故a=5.25，故选：D．7．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是上部为长方体，下部为三棱柱的组合体，画出几何体的直观图如图所示，根据图中数据，计算其体积为V组合体=V三棱柱+V长方体=．8．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，下列关系中成立的是（）A．f（1）+f（3）＜2f（2） B．f（1）+f（3）≤2f（2） C．f（1）+f（3）＞2f （2）D．f（1）+f（3）≥2f（2）【解答】解：函数f（x）的导数为f'（x），且满足≤0，可得x＜2，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数．x＞2，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数．所以x=2时，函数取得最小值，可得f（1）+f（3）＞2f（2）．10．（5分）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B 水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．则当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，=S，设△ABC的面积为S，则S梯形=S×AA1=6S，水的体积V水当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，=Sh=6S，则有V水故h=6；故选：C．11．（5分）设P是双曲线﹣=1上的动点，若P到两条渐近线的距离分别为d1、d2，则d1•d2=（）A．3 B．C．D．2【解答】解：﹣=1，可得x2﹣2y2=4，由条件可知：两条渐近线分别为x±y=0，设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为d1=，d2=，所以d1•d2==．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b 的最小值为（）A．﹣4 B．3﹣2C．3﹣4D．﹣2【解答】解：由函数f（x）的图象：可知，a＜﹣1，﹣1＜b＜1，且a2﹣2a﹣3=﹣b2+2b+3，即点P（a，b）满足不等式组，此区域为以为端点且不含端点的圆弧，直线u=2a+b与圆弧相切于点C，则直线u=2a+b过点C时，u有最小值，2=，（u＜0），解得u=3﹣2．最小值为：．故选：B．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【解答】解：，故答案为：14．（5分）若=1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则a+b=1．【解答】解：∵=1﹣bi，∴=1﹣bi，即=1﹣bi，∴=1 且=﹣b，解得a=2，b=﹣1，∴a+b=1，故答案为1．15．（5分）已知函数f（x）=x2+2x+1，如果使f（x）≤kx对任意实数x∈（1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k=．【解答】解：设g（x）=x2+（2﹣k）x+1设不等式g（x）≤0的解集为a≤x≤b．则△=（2﹣k）2﹣4＞=0，解得k≥4或k≤0又∵函数f（x）=x2+2x+1，且f（x）＜=kx对任意实数x属于（1，m]恒成立；∴（1，m]⊆[a，b]∴a≤1，b≥m∴f（1）=4﹣k＜0，解得k＞4m的最大值为b，所以有b=5．即x=5是方程g（x）=0的一个根，代入x=5我们可以解得k=故答案为：三、解答题（本大题6个小题，共70分，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）已知x的不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，其中a为实数．（1）当a=1时，解不等式；（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣2，令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，则当x＜﹣3时，f（x）=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4≤﹣2，成立，当﹣3≤x≤1时，f（x）=2x+2≤﹣2，解得：x≤﹣2，当x＞1时，f（x）=x+3﹣x+1=4＞﹣2，不成立，故不等式的解集是{x|x≤﹣2}，（2）：令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，则当x＜﹣3时，f（x）=﹣x﹣3+x﹣1=﹣4；当﹣3≤x≤1时，f（x）=2x+2∈[﹣4，4]；当x＞1时，f（x）=x+3﹣x+1=4；∴f（x）max=4．∵不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a的解集是R，∴a2﹣3a≥f（x）max=4，∴a2﹣3a﹣4≥0．解得：a≥4或a≤﹣1．17．（12分）已知函数f（x）=log a（3﹣ax）．（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，且最大值为2，求出实数a的值．【解答】解：（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，则a＞0且a≠1，且当x∈[0，2]时，3﹣ax＞0恒成立．由3﹣ax＞0，当x=0时，对于任意实数a恒成立；当x∈（0，2]时，不等式化为a，则a．综上，a的范围为：0＜a＜且a≠1；（2）∵a＞0，∴内层函数t=3﹣ax为减函数，要使f（x）=log a（3﹣ax）在[1，2]上为减函数，且最大值为2，则，解得a=．18．（12分）某校为了解高二年级不同性别的学生对取消艺术课的态度（支持或反对）进行了如下的调查研究．全年级共有1350人，男女生比例为8：7，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2×2列联表：（1）完成下列联表，并判断能否有99%的把握认为态度与性别有关？（2）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查原因．求其中恰有一人支持一人反对的概率．参考公式：K2=【解答】解：（1）抽取样本容量为1350×=150，其中男生为150×=80，女生为150×=70，填写列联表如下：计算得K2=≈10.714＞6.635，所以有99%的把握认为态度与性别有关；（2）随机抽取一男一女所有可能的情况有6×4=24种，其中恰有一人支持一人反对的可能情况有2×2+4×2=12种，所以概率为P==．19．（12分）如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅱ）求几何体C﹣BDF的体积．【解答】证明：（1）取DE的中点H，连AH，CH，∵△ADE为等边三角形，∴AH⊥DE，且，在△DHC中，DH=1，DC=4，HDC=60°，∴，∴AC2=AH2+HC2，即AH⊥HC，∵DE∩HC=H，∴AH⊥平面BCDE，∵AH⊂平面ADE，∴平面ADE⊥BCDE…（6分）==2，∵F是AC中点，∴几何体C﹣BDF的体积…（12分）20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A，B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N；过点M作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若•=﹣，试求以线段NJ为直径的圆的方程；（3）已知l1，l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P，Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R，求△PQR面积最大值时，直线l2的方程．【解答】解：（1）由题意可得|AB|=2，即b=1，△ABF为等边三角形，可得c=•2=，a==2，则椭圆方程为+y2=1；（2）设M（m，n），即有H（m，0），N（﹣m，﹣n），（m，n＞0），由•=﹣，即为（0，n）•（﹣2m，﹣n）=﹣，即有﹣n2=﹣，解得n=，代入椭圆方程可得，+=1，可得m=，即有N（﹣，﹣），H（，0），直线NH：y=（x﹣），代入椭圆方程，可得5x2﹣2x﹣14=0，由﹣•x J=﹣，解得x J=，y J=（﹣）=，J（，），NJ中点为（，﹣），圆的半径为r==，即有所求圆的方程为（x﹣）2+（y+）2=；（3）设l2：y=kx﹣1，代入椭圆方程可得，（1+4k2）x2﹣8kx=0，解得x R=，y R=，则|AR|==，由题意可得直线PQ的方程为y=﹣x﹣1，由弦长公式可得|PQ|=2=，则△PQR面积为S=|PQ|•|AR|=••=8•，令1+4k2=t（t≥1），即有k2=，则S=2=2=2，可得=，即有t=，即为k=±，即有直线l2的方程为y=±x﹣1．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（，f（））处的切线方程；（Ⅱ）当a≥0时，记函数Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x），试求Γ（x）的单调递减区间；（Ⅲ）设函数h（x）=3λa﹣2a2（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，当λ∈（﹣∞，0]∪[，+∞）时，求h（a）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=1﹣，则f′（）=4﹣2=2，∴函数f（x）的图象在点（的切线方程为：y﹣（ln2﹣1）=2（x﹣），即2x﹣y+ln2﹣2=0．（Ⅱ）∵f（x）=1﹣﹣lnx（a∈R）．Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x+﹣1+f（x）=Γ（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnxΓ′（x）=ax+（1﹣2a）﹣=①当a=0时，Γ′（x）=由Γ′（x）=≤0及x＞0可得：0＜x≤1，Γ（x）的单调递减区间为（0.1]②当a＞0时，Γ′（x）=ax+（1﹣2a）﹣=．由ax2﹣（2a﹣1）x﹣1=0可得：△=（2a﹣1）2+4a=4a2+1＞0设其两根为x1，x2，因为，所以x1x2一正一负设其正根为x2，则x2=由Γ′（x）=≤0及x＞0可得0∴Γ（x）=的单调递减区间为（0，]．（Ⅲ）f′（x）=，由f′（x）=0⇒x=a由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2对于h（a）=3λa﹣2a2，对称轴a=当或，即λ≤0或时，h（a）max=h（）=当0，即0＜λ≤1时，h（a）max=h（0）═0，当；综上可知：h（a）max=赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。