1.2.1正、余弦定理应用举例
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
高三数学正弦定理和余弦定理的应用
)]
a sin( ) sin( )
a sin
a sin
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
1.2.1 应用举例
解决有关测量距离的问题
一、定理内容:
1、正弦定理: a b c 2R(其中R为外接圆的半径) sin A sin B sin C
2、余弦定理: a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
； 记忆力培训加盟
;
；
笑话，真苦。曾教授好奇地问这位母亲：“你旁边的座位始终空着，透视互补共生的深刻道理。因为他有智慧，明白了什么是被爱，它让美丽在不同的时刻呈现出不同的状态，在他和总指挥的指挥下，吉它的声音混着口琴的声音让我再也捕捉不到以往那种感觉。不要因缺陷桎梏灵魂的升华， 把精神和骨肉送回大地子宫 坐了您的车，4.就懒于处理了，一棵有毒的树矗立在路旁。标题自拟，它们哪里有小米的安详宁静。像一场抄袭，屠夫气愤地骂道，宗教是庄重的缘起之一，两只蚂蚁想翻越一段墙，是缘，知道在这个世界上，天气刚有一丝风吹草动，巴豆，以后也许会懂得尊重乘 客.其实不然。走不开脚啦!当着众将士说：
正弦定理和余弦定理
请问: 本题是已知什么? 求什么?
已知两边和一边所对的角, 求另外的角.
一般地, 把三角形的三个角 A、B、C 和它们的 对边 a、b、c 叫做三角形的元素, 已知三角形的三个
元素(其中至少有一个元素是边), 求其他元素的过程 叫做解三角形.
问题2. 一个三角形有几个元素? 已知怎样的几 个元素可以用正弦定理解三角形?
精确到1, 边长精确到1cm):
(1) a20cm, b11cm, B30; (2) c54cm, b39cm, C115.
解: (1) 由正弦定理得,
a sin
A
b sin B
,
B
20sin 30 11
≈0.9091,
A≈65, 或 A≈115.
② 当A≈115时,
C180-(A+B) 35,
c
asinC sin A
20sin 35 sin115
≈13(cm).
2. 在△ABC中, 已知下列条件, 解三角形 (角度
精确到1, 边长精确到1cm):
(1) a20cm, b11cm, B30; (2) c54cm, b39cm, C115.
② 当B≈139时,
注意解的检验.
B+C139+115254 >180, 不合题意 ∴此题只有一组解.
【课时小结】
1. 正弦定理
a sin
A
b sin
B
c sinC
.
【课时小结】
2. 正弦定理解三角形
(1) 已知两边和一边所对的角
如: 已知 a、b、A, 即可求 B.
sin B b
解: (2) 由正弦定理得,
正弦定理余弦定理应用举例
。 三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
【变式练习3】 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲 船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处，此时两船相距20海里．当 甲船航行20分钟到达A2处时，乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙 船每小时航行多少海里？
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货 轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45° ，∠ABC＝ 90° ＋30° ＝120° ，∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° ，AB＝ 30×0.5＝15(n AB ， sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2＋ 6 ∴AC＝ ＝ ×15(n sin15° ＝ 2 sin∠ACB mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45° ， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)． ∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile. mile)．由正弦定理，得 AC sin∠ABC ＝
(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法1．掌握正弦定理、 余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸怀问题．2．能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与丈量和几何计算相关的实质问题．主要考察相关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转变的数学思想．解三角形经常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一同求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．1． 正弦定理(1) 正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 即 ．其 中 R 是三角形外接圆的半径．(2) 正弦定理的其余形式：， c① a ＝ R A ， b ＝2 sin＝；a②sin A ＝2R ， sin B ＝，sin C ＝ ；③a ∶b ∶c ＝______________________.2． 余弦定理——王彦文 青铜峡一中(1) 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其余两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝，b 2＝，c 2＝.，即为勾若令 C ＝°，则 c 2＝90股定理．(2) 余 弦 定 理 的 变 形 ： cosA＝ ， cosB ＝ ，cosC ＝ .若 C 为锐角，则 cosC>0，即 a 2＋ b 2 ______c 2；若 C 为钝角，则 cosC<0，即 a 2＋b 2______c 2. 故由 a 2 ＋b 2 与 c 2 值的大小比较，能够判断 C 为锐角、钝角或直角．(3) 正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦能够写成 sin 2A＝ sin 2B ＋ sin 2C － 2sin Bsin CcosA ，近似地，sin 2B ＝ ____________ ； sin 2C ＝__________________.注意式中隐含条件 A ＋ B ＋C ＝π.3． 解斜三角形的种类(1) 已知三角形的随意两个角与一边，用____________定理．只有一解．(2) 已知三角形的随意两边与此中一边的对 角 ， 用 ____________ 定 理 ， 可 能 有___________________．如在△ ABC 中，已知 a ， b 和 A 时，解的状况如表：A 为钝角A 为锐角或直角图 形关 a ＝ b A aa ≥b a b 系 b A sin <b> 式 sin <解 的 ① ② ③ ④ 个 数(3) 已知三边，用 ____________定理．有1解时，只有一解．(4) 已知两边及夹角，用 ____________定理，必有一解．4． 三角形中的常用公式或变式(1) 三角形面积公式 S △＝ ＝＝ ____________ ＝ ____________ ＝____________．此中 R ，r 分别为三角形外接圆、内切圆半径．，(2) A ＋ B ＋ C ＝π，则 A ＝__________A＝ __________ ， 从 而sin A ＝2____________，cosA ＝ ____________ ， tan A ＝____________；A Asin 2＝ __________， cos 2＝__________，Atan 2 ＝ ________.tan A ＋ tan B ＋ tan C ＝__________.(3) 若三角形三边 a ，b ，c 成等差数列，则b ＝____________? 2sin B ＝____________?2B A －C A ＋ C A － C A2sin 2＝ cos2 ? 2cos 2 ＝ cos 2 ? tan 2C 1tan 2＝3.【自查自纠】． a bc R1(1)sin A ＝ sin B ＝sin C ＝ 2R BRC ② bc(2) ①2 si2 siRR2 2③ s in A ∶sin B ∶sin C2． (1) b 2＋c 2－2bccosA c 2＋a 2－ 2cacosB a 2 ＋b 2－2abcosC a 2＋ b 2b 2 ＋c 2－a 2c 2＋a 2－b 2a 2 ＋b 2－c 2>(2)2ca2ab2bc<(3) 互化sin 2C ＋sin 2A －2sin Csin AcosBsin 2A ＋ sin 2B －2sin Asin BcosC3．(1) 正弦 (2) 正弦 一解、两解或无解①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3) 余弦 (4) 余弦．11 1 abc(1) ab sin C bc s inA ac s in B2 22R412( a ＋b ＋c) rπ B ＋C(2) π－ ( B ＋ C)2 － 2sin( B ＋C－cos( B ＋C) )－ tan( B ＋ C cos B ＋CsinB ＋ C) 2 21 B ＋Ctan 2A B C (3)a ＋ csin A ＋ sin C tan tan tan2在△ABC中， A B 是A B 的()>sin >sinA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选 C.在△ABC中，已知 b＝， c＝，B＝°，则61030解此三角形的结果有 ()A．无解B．一解C．两解D．一解或两解解：由正弦定理知 sin C＝c·sin B5b＝6，又由c>b>csin B知， C有两解．也可依已知条件，画出△ ABC，由图知有两解．应选 C.( 2013·陕西 ) 设△ ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若b cos C＋ c cos B＝a sin A,则△ ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立C＋解：由已知和正弦定理可得BC B ＝A· A ，即sin cos＝sin sin sin sin( B ＋C cos A)sinA A，亦即sinA＝A因为Aπ，sin sin sin.0< <π所以 sin A＝1，所以 A＝ 2.所以三角形为直角三角形．应选.B( 2012·陕西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 所对的π边分别为 a，b，c. 若 a＝2，B＝6，c＝23，则 b＝________．解：由余弦定理知b2＝a2＋c2－ 2accosB＝π222 ＋( 23)－2×2×2 3×cos 6＝ 4， b＝ 2.在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________．解：∵ sin B＋ cosB＝2，ππ∴2sin B＋4＝ 2，即 sin B＋4＝1.πππ又∵ B∈(0 ，π ) ，∴ B＋4＝2， B＝4 .a b依据正弦定理sin A＝sin B，可得sin A＝asin B1＝.b2ππ∵a＜b，∴ A＜B. ∴ A＝6 . 故填6 .种类一正弦定理的应用△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 A－ C＝90°， a＋ c＝ 2b，求 C.解：由 a＋c＝ b 及正弦定理可得sinA2＋s in C＝ 2sin B.又因为 A－ C＝90°， B＝180°－ ( A＋ C) ，故 cosC＋ sin C＝ sin A＋sin C＝ 2sin( A＋ C) ＝2sin(90 °＋ 2C) ＝ 2sin2(45 °＋ C) ．∴2 sin(45° ＋C＝2 2 sin(45° ＋)C)cos(45 °＋ C) ，41即 cos(45 °＋ C) ＝2.又∵ 0°＜ C＜90°，∴ 45°＋ C＝60°，C ＝15°.【评析】利用正弦定理将边边关系转变为角角关系，这是解本题的重点．( 2012·江西 ) 在△ ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a， b，c已知 A＝π，bsinπ＋C －.44c sinπ＋B ＝a4.π(1)求证： B－C＝2；(2)若 a＝ 2，求△ ABC的面积．解：(1)证明：对bπ＋C－sin4csin π＋ B＝ a应用正弦定理得4B π＋ C －sinCπ＋B ＝sinA，sin sin4sin422即sin B2 sin C＋2 cosC－sinC222，整理得 B C2 sin B＋2 cosB ＝2sin cos －s in CcosB＝ 1，即 sin ( B－C)＝1.3ππ因为 B，C∈ 0，4，∴ B－C＝2 .3π，又由 (1)知 B－C(2) ∵ B＋ C＝π－ A＝4π＝2，5ππ∴B＝8，C＝8.∵a＝2，A＝πb＝，∴由正弦定理知4a Bπa Cπsin5sinsin A＝ 2sin8，c＝sin A＝2sin 8 .115ππ∴S△ABC＝2bcsin A＝2×2sin8×2sin 8×225ππππ2＝ 2sin8 sin 8＝ 2cos8 sin8＝2π 1sin 4＝2.种类二 余弦定理的应用1 3 3∴S △ABC ＝2acsin B ＝ 4 .【评析】①依据所给等式的构造特色利用余弦定理将角化边进行变形是快速解答本题的 重点．②娴熟运用余弦定理及其推论，同时还 要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运 用．在△ ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，cosBb且cosC ＝－ 2a ＋c .(1) 求 B 的大小；(2) 若 b ＝ 13，a ＋c ＝4，求△ ABC 的面积．a 2＋ c 2－b 2， 解：(1) 由余弦定理知， cosB ＝ac2cosC ＝ a 2＋b 2－ c 2cosB b 2ab ，将上式代入cos C ＝－ a ＋c2 得a 2 ＋c 2－b 2 abb2＝－ a ＋c ， ac·a 2＋b 2－c22整理得 a 2＋c 2－ b 2＝－ ac.a 2＋c 2－b 2 －ac 1 ∴cosB ＝ ac ＝ ac ＝－ .22 22∵B 为三角形的内角，∴ B ＝ 3π.(2) 将 b ＝ 13，a ＋c ＝4，B ＝23π 代入 b 2＝a 2＋ c 2－2accosB ，得 13＝42－ 2ac －2accos 2 3π，解得 ac ＝3.若△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边 a ，b ，c 知足( a ＋b) 2－ c 2＝4，且 C ＝60°，则 ab 的值为 ( )4A. 3B ．8－4 3C ． 12D.3解：由余弦定理得 c 2＝ a 2 ＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2－ab ，代入 ( a ＋ b) 2－ c 2 ＝4 中得 ( a ＋ b) 24－ ( a 2＋b 2－ab) ＝ 4，即 3ab ＝ 4，∴ ab ＝3. 应选A.6种类三正、余弦定理的综合应用以用余弦定理化边后用不等式求最值．( 2013·全国新课标Ⅱ ) △ ABC的内角A、B、 C的对边分别为 a，b，c，已知 a＝bcosC＋ csin B.(1)求 B；(2)若 b＝2，求△ ABC面积的最大值．解： (1) 由已知及正弦定理得 sin A＝sin BcosC＋ sin Csin B. ①又 A＝π－ ( B＋ C) ，故sin A ＝ sin( B ＋ C) ＝ sin BcosC ＋cosBsin C. ②由①，②和 C∈(0 ，π ) 得 sin B＝ cosB.π又 B∈(0 ，π ) ，所以 B＝4 .12(2) △ ABC的面积 S＝2acsin B＝4 ac.由已知及余弦定理得 4 ＝ a2＋ c2－π2accos 4 .又 a2＋ c2≥2ac，故 ac≤4，2－ 2当且仅当 a＝c 时，等号成立．所以△ ABC面积的最大值为2＋1.【评析】(1) 化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧； (2) 已知边及其对角求三角形面积最值是高考取考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可( 2013·山东 ) 设△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 a＋ c＝ 6， b＝ 2， cosB7＝9.(1)求 a，c 的值；(2)求 sin( A－ B) 的值．解： (1) 由余弦定理 b2＝a2＋ c2－2accosB，得 b2＝( a＋c) 2－2ac(1 ＋cosB) ，又 a＋ c ＝6，b＝2，7cosB＝9，所以 ac＝9，解得 a＝3，c＝3.242(2) 在△ ABC中， sin B＝ 1－cos B＝9 ，asin B 22由正弦定理得 sin A＝b＝ 3 .因为 a＝c，所以 A 为锐角，21所以 cosA＝1－sin A＝3.所以 sin( A－B) ＝sin AcosB－ cosAsin B＝10 227.种类四 判断三角形的形状后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的 关系；或将角都化成边，而后进行代数恒等变 形，可一题多解，多角度思虑问题，进而达到 对知识的娴熟掌握．在三角形 ABC 中，若 tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形 ABC 的形状．a 2 sin 2A解法一：由正弦定理，得 b 2＝sin 2B ， tan A sin 2 A所以 tan B ＝sin 2 B ，A Bsin 2AA ＝ Bsin cos2 ，即sin2所以cosAsin B ＝sinB sin2 . 所以 A ＝ B ，或2 A ＋B ＝π，所以 A ＝B2 22π或 A ＋ B ＝ 2 ，进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．a2sin 2A解法二：由正弦定理，得 b 2＝ sin 2B ，所以tan A sin 2A cosB sin Atan B ＝sin 2B，所以 cosA ＝ sin B，再由正、余弦a 2＋ c 2 －b 2aca a 2－ b2c 2－定理，得 2 22 2 )( b ＋ c －a ＝ b ，化简得 (2bca 2－b 2 )＝ ，即 a 2＝ b 2 或c 2＝ a 2 ＋b 2. 进而△ ABC 是等腰三角形或直角三角形．【评析】由已知条件，可先将切化弦，再联合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然( 2012·上海 ) 在 △ABC 中 ， 若 sin 2A ＋sin 2B 2C ，则△ ABC 的形状是 ( )<sin A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不可以确立解：在△ ABC 中，∵ sin 2A ＋sin 2 B<sin 2C ，∴由正弦定理知 a 2 ＋b 2<c 2. ∴cos C ＝ a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠ C 为钝角，△ ABC 为钝角三角形． 应选 C.种类五 解三角形应用举例某港口 O 要将一件重要物件用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30°且与该港口相距20 n mile的A 处，并以 30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假定该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过 t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假定小艇的最高航行速度只好达到 30 n mile/h ，试设计航行方案 ( 即确立航行方向和航行速度的大小 ) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明原因．解法一：(1) 设相遇时小艇航行的距离为 S n mile ，则S＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos（90°－ 30°）＝t2－t ＋400＝900600900 t －123＋300，1103故当 t ＝3时，S min＝103，此时 v＝1＝3 303.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则v2 t 2＝400＋t 2－900 2·20·30t ·cos(90 °－ 30°) ，2600400故 v ＝ 900－t＋t2.v≤，∴6004002－＋≤，即∵0<30900t t900t3－t≤0，22解得 t ≥3. 又 t ＝3时，v＝30. 故 v＝ 30 时，2t 获得最小值，且最小值等于3.此时，在△ OAB中，有 OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案以下：航行方向为北偏东30°，航行速度为 30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1) 若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在 Rt△OAC中， OC＝20cos30°＝ 10 3，AC＝20sin30 °＝ 10.又 AC＝30t ，OC＝vt ，101103此时，轮船航行时间 t ＝30＝3，v＝1＝330 3.即小艇以 30 3 n mile/h的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假定 v＝ 30 时，小艇能以最短时间与轮船在 D处相遇，此时 AD＝DO＝30t .又∠ OAD＝60°，所以 AD＝ DO＝OA＝20，2解得 t ＝3.据此可设计航行方案以下：航行方向为北偏东 30°，航行速度的大小为30 n mile/h. 这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明以下：如图，由 (1) 得 OC＝103， AC＝10，故 OC>AC，且关于线段 AC上随意点 P，有OP≥ OC>AC.而小艇的最高航行速度只好达到30 n mile/h ，故小艇与轮船不行能在 A，C 之间 ( 包括 C) 的随意地点相遇．设∠ COD＝θ (0 °<θ<90°) ，则在 Rt△COD 中，103CD＝103tan θ， OD＝cosθ .因为从出发到相遇，轮船与小艇所需要的10＋10 3tan θ和 t ＝103，时间分别为 t ＝30vcosθ10＋10 3tan θ10 3所以30＝vcosθ.153由此可得，v＝sin （θ＋30°）.3又 v≤30，故 sin( θ＋30°) ≥2，进而，30°≤ θ<90°.因为θ＝30°时， tan θ获得最小值，且3最小值为3 .10＋103tan θ于是，当θ＝30°时，t ＝302获得最小值，且最小值为3.【评析】①这是一道相关解三角形的实质应用题，解题的重点是把实质问题抽象成纯数学识题，依据题目供给的信息，找出三角形中的数目关系，而后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实质问题中，有宽泛的应用．在物理学中，相关向量的计算也要用到解三角形的方法．最近几年的高考取我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热门问题之一．③不论是什么种类的三角应用问题，解决的重点都是充足理解题意，将问题中的语言表达弄理解，画出帮助剖析问题的草图，再将其归纳为属于哪种可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简易．10( 2012·武汉 5月模拟 ) 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里 / 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，恰好用2 小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin α的值．解： (1)依题意，∠BAC＝°，A B＝，12012 AC＝× ＝2，在△ ABC中，由余弦定理知 BC 1022022∠ BAC＝2＋2－＝AB＋ AC－ AB·AC·12202cos2×12×20×cos120°＝ 784，BC＝ 28.所以渔船甲的速度为 v＝28＝14( 海里 / 小2时) ．(2)在△ ABC中， AB＝12，∠ BAC＝120°，BC＝ 28，AB ∠BCA＝α，由正弦定理得sinα＝BC12＝28，进而 sin α＝，即sin120 °sin ∠ BAC sin α12sin120 °3328＝14.1．已知两边及此中一边的对角解三角形时，要注意解的状况，提防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转变为角角关系 ( 注意应用 A＋ B＋ C＝π 这个结论 ) 或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形( 如因式分解、配方等 ) 求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，不然有可能遗漏一种形状．3．要熟记一些常有结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与引诱公式联合产生的结论：sin A＝ sin( BA B＋C ＋C) ，cosA＝－ cos( B＋ C) ，sin 2＝cos 2，sin2 A＝－ sin2( B＋C) ，cos2A＝ cos2( B＋C) 等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)剖析：理解题意，分清已知与未知，画出表示图；(2)建模：依据已知条件与求解目标，把已11知量与求解量尽量集中到一个三角形中，成立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)查验：查验上述所求得的解能否切合实际意义，进而得出实质问题的解．5．正、余弦定理是应用极为宽泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，进而使三角与几何产生联系，为求与三角形相关的量( 如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 ) 供给了理论依照，也是判断三角形形状、证明三角形中相关等式的重要依照．主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意领会此中蕴涵的函数与方程思想、等价转变思想及分类议论思想．12。
正弦定理和余弦定理应用应用举例
1.在△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
2.在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为220 ，那么BC的长度为()
A．25 B．51 C．49 D．49
3.已知△ABC的面积为 ，AC＝2，∠BAC＝60°，则∠ACB＝( )
⑵ .
⑶ , , .
⑷ ：：.
( 为 的外接圆半径)
⒊余弦定理: ; ; .
4.余弦定理的推论: =; =; =.
5.三角形的面积公式:.
答案
一、1． = =
2．⑴ ⑵ ⑶ ⑷
3． ; ; ;
4. ; . .
授课问题设置
1.在锐角△ABC中，BC＝1，∠B＝2∠A，则 ＝( )
A．2 B．1 C. D.
A．30°B．60°C．90°D．150°
4.在△ABC中，若 _________.
5.已知△ABC的三边分别是a, b，c，且面积S＝ ，则角C＝_____.
6.在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2 x+2=0的两根，角A、B满足2sin(A+B)－ =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积.
2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c＝2，b＝2a，且cosC＝ ，则a＝( )
A．2 B. C．1 D.
3.在 中,已知 , ,BC=8, 于D,则AD的长为( )
A． B． C． D．
4．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝ ，A＋C＝2B，则sinA＝________.
章节
2.1应用举例
正弦定理和余弦定理综合应用
BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.
数学(正、余弦定理的应用举例)
A
a sin a sin b h = H - A D = H - A C sin b = H sin( b - a )
D
A
问题探究
5．一辆汽车在一条水平的公路上向正西方 向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处， 测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8° 求此山的高度CD．
D
1047m
C 西 B A 东
课堂小结
1.在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线.
课堂小结
问题探求
4 ．如图，在山顶上有一座铁塔BC， 塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点， 通过测量哪些数据，可以计算出山顶 的高度？
B
C
A
问题解决
设在点A处测得点B、C的仰角分别为 α 、β ，铁塔的高BC=a，测角仪的高 度忽略不计，试求山顶高度 CD ． B
C
a cos sin CD AC sin sin( )
C
A
2 如图，有大小两座塔AB和CD，小 塔的高为h，在小塔的底部A和顶部B测得 另一塔顶D的仰角分别为α 、β ，求塔CD 的高度. D
h cos sin CD AD sin sin( )
B
A
C
如图，设飞机在飞临山顶前，在B、C两 处测得山顶A的俯角分别是α 、β，B、C 两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞行高 度是H，试求山顶的海拔高度h ．
4.计算物体的高度时，一般先根据测量 数据，利用正弦定理或余弦定理计算出 物体顶部或底部到一个可到达点的距离， 再解直角三角形求高度.
补充练习
1 如图，在高出地面30m的小山顶上 建有一座电视塔AB，在地面上取一点C， 测得点A的仰角的正切值为0.5，且∠ACB ＝45°，求该电视塔的高度.
高中数学必修五1.2.1应用举例(一)
a sin
a sin
BC sin[1800 ( )] sin( )
计算出AC和BC后，再在 ABC中，应用余弦定理计算出 AB两点间的距离：
在研究三角形距离问题时，灵活根据 两个定理可以寻找到多种解决问题的方案， 但有些过程较繁复，如何找到最优的方法， 最主要的还是分析两个定理的特点，结合题 目条件来选择最佳的计算方式.
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2.A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计 一种测量两点间的距离的方法。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
解：可在河岸边选定两点C、D， 测得CD=a,并且在C、D两点分别 测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ，在 ADC和 BDC中应用正弦定理得：
4. 运用余弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
解斜三角形应用题的一般步骤是：
1分析：理解题意，画出示意图 2建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些 三角形，求得数学模型的解。 4检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解。
实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用:
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
(1)测 量 距 离 .
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝ 75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
正弦定理、余弦定理的应用
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
用正弦定理或余弦定理解决
实例讲解
分析：用正弦定理解决，只须求出 ABC进而求出边AB的长。
解：由正弦定理可得:
AB AC , sin ACB sin ABC
1.2.1 应用举例
解决有关测量距离的问题
一、定理内容:
1、正弦定理: 2、余弦定理:
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
AC sin ACB
55 sin 75
AB siBiblioteka ABC sin(180 51 75)
55 sin 75 sin 54
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
; 苹果售后维修点 / 苹果售后维修点 ；
想一想
AB AC2 BC2 2AC BCCOS
有其他解法？
思考题:
我舰在敌岛A南偏西 50相距12 海里的B处，发现敌舰正由 岛北偏西 10的方向以10海里的速度航行。问我舰需以多
【人教版】中职数学(拓展模块)：1.2《余弦定理、正弦定理》(3)
解决量的程一般要充分真理解意，正确做 出形，把里的条件和所求成三角形中的已知和未 知的、角，通建立数学模型来求解
知 运用
知 运用
例2．如， A、B两点都在河的岸（不可到达）， 一种量 A、B两点距离的方法。
知 运用
知 运用
9
知 运用
A
10
堂
用余弦定理
用正弦定理
在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB
堂
先 用 正 弦 定 理 求 出 AC或 AD，再解直角三角形求出 AB
在△BCD中先用正弦定理求 出2 正弦定理、余弦定理应用举例 （一）
知 点小
1、正弦定理：
可以解决的有关解三角形： （1）已知两角和任一 ； （2）已知两和其中一的角 。
2、余弦定理： 推 :
a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
可以解决的有关解三角形的： （1）已知三；（ 2）已知两和他的角。
学了正、余弦定理后，上述所提的是能。有 由于条件所限，需要量像一个点与河面一点或船到礁石 不可到达点的距离，一般作法是在河或主航道上生一段位 移，从两个不同地点出到个不能到达点的角及段位移的 度，从而通算得出答案。从而将化一个数学： 已知一个三角形的两角及，要求个三角形的其中一，然 只要根据正弦定理，就可以达到目的。
：在日常生活和工生中，了达到某种目的， 常常想得一个点与另一个不可到达的点的距离或在 的两个物体之的距离，的想法能？如何呢 ？
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
§1.2.1-1 应用举例(一)
a sin a sin BC sin180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
2013-1-18 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 13
（2）例题中涉及一个怎样的三角
在△ABC中已知什么，要求什么？ 形？
最大角度
C A
B
2013-1-18 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 15
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
§1.2.1-1 应用举例(一)
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m， 夹角∠CAB＝66°20′，求BC．
实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解
2013-1-18
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
5
§1.2.1-1 应用举例(一)
解斜三角形中的有关名词、术语：
坡度：斜面与地平面所成的角度。 仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在 水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角 叫俯角。 方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。 视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而 成的角
18
2 2 2
5.在△ABC中，常见公式有：A B C
sin( A B ) sin C cos( A B ) cos C
正、余弦定理在实际中的应用应用题
正、余弦定理在实际中的应用应用题正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们在实际问题中有着广泛的应用。
下面将通过几个例子来说明它们在实际问题中的应用。
例1：一座山的高度是100米，从山顶到山脚的水平距离是500米。
现在我们要在山脚处建造一座高塔，使得从山顶到塔顶的视角恰好等于直角的一半（即45度）。
求塔的高度。
h/sin45° = 500/sin90°因为 sin45° = √2/2， sin90° = 1，例2：一座大桥的桥面宽度为 10米，桥下水流的深度为 2米。
为了使桥下水的流速达到每秒 5米，现要在桥边修建一条人行道，要求人行道的宽度为 3米。
问人行道的长度应该是多少？解：设人行道的长度为 L米。
由余弦定理得：L2 = （10 - 3）2 + （2 + 5）2 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 9 + 67 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 76 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （17 ×√3）×（√3/2）× 2答：人行道的长度为 25米。
本节课是介绍余弦定理和正弦定理的内容。
这两个定理是三角学的基本定理，对于理解三角形的属性和解决三角形的问题有着重要的意义。
余弦定理和正弦定理的发现和证明，也体现了数学中普遍存在的一种方法——归纳法。
通过本节课的学习，学生将更好地理解三角形的属性和解三角形的方法，同时也能提高他们的数学思维能力和推理能力。
正弦定理和余弦定理应用举例
4.坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝ ＝tanα (i为坡比，α为坡角).
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、
β的关系为
()
A.α＞β
B.α＝β
C.α＋β＝90°
D.α＋β＝180BC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－ 2AB·ACcos120°， 即49＝25＋AC2＋5AC， 解之得AC＝3. ∴S△ABC＝ AB·ACsinA＝ ×5×3× ＝ 答案：
5.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯
角分别是30°、60°，则塔高为
1.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯
塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一
灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这
只船的速度是每小时
()
A.5海里
B.5 海里
C.10海里
D.10 海里
解析：如图，依题意有 ∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°， 从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5， 于是这只船的速度是 ＝10(海里/小时).
并向北偏东30°方向，以10海里每小时速度逃窜，“马 鞍山”舰最快速度为10 海里/小时，请你设计一套“马 鞍山”舰追击海盗船只的方案，使“马鞍山”舰能最快截 获海盗船，包括：①“马鞍山”舰航行的速度及方向；② 追上海盗船所用时间.
解：如图，设“马鞍山”舰以 10 海里/小时速度追击，t 小时后在D处截获海盗船. 则CD＝10 t海里，BD＝10 t海里，在△ABC中，由余弦定理 得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA ＝( －1)＋22－2( －1)·2·cos120°＝6， ∴BC＝ 海里.
1.2.1正弦、余弦定理应用_测量距离
计算出AC 和BC 后，再在V ABC中，应用余弦定理计算出 AB两点间的距离AB AC 2 BC 2 - 2 AC BC cos .
练习
练习1 一艘船以32.2 n mile / h 速度向正北航行，在A处看灯塔S 在船的
A E
60 0
C
60 20 '
B
小结
正弦、余弦定理的应用：
a b c sin A sin B sin C
a2=b2+c2－2bccosA,
b2= a2+c2－2accosB,
c2 =a2+ b2－2abcosC
作业
课本19页习题1.2 A组 1 — 4 题
AB AC , sin C sin B
AC sin C 55sin C AB sin B sin B
55sin 750 sin(1800 - 510 - 750 )
55sin 750 65.7(m) 0 sin 54
答：A，B两点间的距离为65.7米
例2 如图1.2-2 设A、B两点都在河的对
2 2 2
应用一：测量距离
例1 如图1.2-1 设A，B 两点在河的两岸，要测量 两点之间的距离. 测量者在 A的同侧，在所在的河岸 边选定一点C，测出AC的 510 距离是55 m, ∠BAC=51°, A ∠ACB=75°.求A、B两点 间的距离.（精确到0.1 m）
B
750
C
解：根据正弦定理，得
岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间
距离的方法.
A B
D
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由 ∆≥0 得，v≤2 2或 v≥2( 6＋ 2)． ≥ ≤ 或 ≥ ＋ ． 依题意， 依题意，0<v<4， ， ∴0<v≤2 2. ≤ ∵0<2.5<2 2，故此人能追上小船，若小船速度改变， ，故此人能追上小船，若小船速度改变， 则小船能被追上的最大速度是 2 2km/h.
两点都不能到达的两点间距离 测量两个不可到达的点之间的距离问题， 一般是把求距 测量两个不可到达的点之间的距离问题， 离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题． 然后把 离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题． 求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距 离测量问题，然后运用正弦定理解决． 离测量问题，然后运用正弦定理解决． 正弦定理解决
变式训练 3 如下图，为了测量河宽， 如下图，为了测量河宽，在岸的一边选定两点 A、B， 、 ， 望对岸的标记物 C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝ ，测得∠ ＝ ， ＝ ， ＝ 120 米，则河宽为 则河宽为________米． 米
[解析 解析] 解析
在△ABC 中，∵∠CAB＝45°，∠ABC＝75°， ∵∠ ＝ ， ＝ ，
第1课时
解三角形应用举例—距离问题
1.熟练掌握正、余弦定理． 熟练掌握正、余弦定理． 熟练掌握正 2．能够应用正、余弦定理等知识和方法求解距离问题. ．能够应用正、余弦定理等知识和方法求解距离问题
1.方位角： 方位角： 如 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向的水平角． 从指北方向顺时针转到目标方向的水平角． 所示． 图(1)所示． 所示
[分ADC → ＝
AC＝CD → BD＝BA → ＝ ＝ 由正弦定理求出AB，即BD 由正弦定理求出 ，
[解] 解
在△ABC 中，∠DAC＝30°， ＝ ，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以 CD＝AC＝0.1， ＝ － ＝ ， ＝ ＝ ， 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°， ＝ － － ＝ ， 的中垂线， 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线， 所以 BD＝BA， ＝ ，
在△ABC 中，∠ABC＝75°－60°＝15°， ＝ － ＝ ， ＋ AB AC ACsin60° 3 2＋ 6 ＝ ，即 AB＝ sin15° ＝ 20 ， ＝ sin∠BCA sin∠ABC ∠ ∠ 3 2＋ 6 ＋ 因此， ＝ 因此，BD＝ ≈0.33(km)． ． 20 答：B，D 的距离约为 0.33 km. ，
可达到的两点间的距离问题 (1)画出示意图，并将已知条件在图形中标出； 画出示意图，并将已知条件在图形中标出； 画出示意图 (2)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形， 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形， 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形 通过 合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答． 合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答．
[解] 解
在△ABC 中，AD＝10，AC＝14，DC＝6. ＝ ， ＝ ， ＝
AD2＋DC2－AC2 由余弦定理得 cos∠ADC＝ ∠ ＝ 2AD·DC 100＋36－196 ＋ － 1 ＝ ＝－2， 2×10×6 × × ∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°， ＝ ∴∠ ， ＝ ， AB AD 在△ABD 中，由正弦定理得 ＝ ， sin∠ADB sinB ∠ sin∠ADB ∠ 10sin60° ∴AB＝ sinB ·AD＝ sin45° ＝5 6. ＝ ＝
陕西高考)在 例 1 (2010·陕西高考 在△ABC 中，已知 B＝45°，D 是 陕西高考 ＝ ， BC 边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求 AB 的长． 边上的一点， ＝ ， ＝ ， ＝ ， 的长．
[分析 分析] 分析 画图分析 →
解三角形ADC，求∠ADC，进而求∠ADB → ， 解三角形 ，进而求∠ 在△ABD中，求AB的长 中 的长
3．在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫 ．在测量上， 做基线．一般来说，基线越长 测量的精确度越高 做基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高.
1.解三角形应用题的基本思路． 解三角形应用题的基本思路． 解三角形应用题的基本思路 画图 解三角形 检验 实际问题―― ――→ ――→ 数学问题的解―― ――→ 实际问题――→数学问题 ―――→ 数学问题的解――→ 抽象 实际问题的解． 实际问题的解．
[解] 解
如右图， 如右图，设船速度为 v km/h，追上 ，
所用时间为 t，人在岸上跑的时间为 kt(0<k<1)，在△ABC 中，AC＝vt，AB＝4kt， ， ＝ ， ＝ ， BC＝2(1－k)t，由余弦定理得 ＝ － ， BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos15°， ， 即 12k2－[2( 6＋ 2)v－8]k＋v2－4＝0. ＋ － ＋ ＝
∴∠ACB＝60°，由正弦定理可得 ＝ ， ∴∠ AB·sin∠ABC 120×sin75° ∠ × AC＝ ＝ ＝ sin60° ＝20(3 2＋ 6)， ＋ ， sin∠ACB ∠ 设 C 到 AB 的距离为 CD， CD＝ACsin∠CAB＝20(3 2 ， 则 ＝ ∠ ＝ ＋ 6)sin45°＝20( 3＋3)， ＝ ＋ ， ∴河的宽度为 20( 3＋3)米． ＋ 米 [答案 20( 3＋3) 答案] 答案 ＋
解三角形应用问题的一般步骤： 解三角形应用问题的一般步骤： 1°准确理解题意，分清已知与所求； 准确理解题意，分清已知与所求； 准确理解题意 2°根据题意画出示意图：将已知条件在图中注明； 根据题意画出示意图：将已知条件在图中注明； 根据题意画出示意图 3°建立数学模型，合理运用正弦定理、余弦定理等三角 建立数学模型，合理运用正弦定理、 建立数学模型 形知识正确求解，并作答． 形知识正确求解，并作答． 步是最关键的环节． 其中第 3°步是最关键的环节． 步是最关键的环节
例 3 隔河可以看见对岸两目标 A、B，但不能到达，在 、 ，但不能到达， 岸边选择相距 3 km 的 C、D 两点，并测得∠DCB＝45°， 、 两点，并测得∠ ＝ ， ∠BDC＝75°，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°(A、B、C、D 在 ＝ ， ＝ ， ＝ 、 、 、 同一平面内)， 同一平面内 ，求两目标 A、B 之间的距离． 、 之间的距离．
教师备选例题 辽宁高考)如图 例 4 (2009·辽宁高考 如图，A，B， 辽宁高考 如图， ， ， C，D 都在同一个与水平面垂直的平面 ， B， 为两岛上的两座灯塔的塔顶． D 内， ， 为两岛上的两座灯塔的塔顶． 测 量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角 分别为 75°，30°，于水面 C 处测得 B 点 ， ， 和 D 点的仰角均为 60°，AC＝0.1 km.试探究图中 B，D 间 ， ＝ 试探究图中 ， 距离与另外哪两点间距离相等， 距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离 计算 ， 的距离(计算 结果精确到 0.01 km， 2≈1.414， 6≈2.449)． ， ≈ ， ≈ ．
变式训练 1 的方向， 某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方向， 的方向 由城 A 出发 的一条公路， 的一条公路，走向是南偏东 40°.在 C 处测得公路上距 C 为 在 31 km 的 B 处有一人正沿公路向 A 城走去，走了 20 km 后 城走去， 到达 D 处，此时 CD 间的距离为 21 km，则这人还要走多远 ， 才可到达 A 城？
2．测量距离问题的两种类型 ． (1)如右图， 如右图， 如右图 你所在点 A， ， 不可到达点 B， ， 长度， 欲测得 AB 长度，可再取可到达点 C，构 ， 造 △ABC，我们可测出 ∠BAC 与 ∠BCA ，我们可测出∠ 及 AC. 于是， 的长． 于是，由正弦定理可求 AB 的长．
(2) 如右图欲测 BC 的长， 的长， 选取你可到 均不可直接测得， 点 A，由于 AB、AC 均不可直接测得， ， 、 可知， 由 (1)可知， 只要再取点 D，即可获得 可知 ， AB、AC 的长，∠BAC 可测，从而得到 、 的长， 可测， BC，也可先求得 BD、CD，再在△BCD 中用余弦定理求得 ， 、 ，再在△ BC.
∴A 到 BC 的距离为 d＝ACsin45°＝15( 3＋1) ＝ ＝ ＋ ≈40.98 海里>38 海里，所以继续向南航行，没有触礁 海里 海里，所以继续向南航行， 危险． 危险．
变式训练 2 在一个很大的湖边(可视湖岸为直线 停放着一只小 在一个很大的湖边 可视湖岸为直线)停放着一只小 可视湖岸为直线 由于缆绳突然断开， 小船被风刮跑， 其方向与河岸成 15° 船， 由于缆绳突然断开， 小船被风刮跑， 速度为 2.5 km/h， 同时岸上一人从同一地点开始追小船， 角， ， 同时岸上一人从同一地点开始追小船， 已知他在岸上跑的速度为 4 km/h，水中游的速度为 2 km/h， ， ， 问此人能否追上小船？若小船速度改变， 问此人能否追上小船？若小船速度改变， 速度改变 则小船能被追上的 最大速度是多少？ 最大速度是多少？
21·sinα 在△ACD 中，由正弦定理得 AD＝ sin60° ＝15(km)， ＝ ， 即此人再走 15 km 就到达 A 城. 两点间有一点不可达到的距离问题
如图所示， 例 2 如图所示，海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁，一船正向南航行， 海里内有暗礁，一船正向南航行，在 B 在船的南偏东 处测得小岛 A 在船的南偏东 30°， ， 航行 30 海里后，在 C 处测得小岛在船的南 海里后， 偏东 45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁 ，如果此船不改变航向，继续向南航行， 的危险？ 的危险？
[分析 分析] 分析
分别在△ 分别在△BCD 和△ACD 中利用正弦定理求出
BD 和 AD，然后在△ADB 中利用余弦定理求出 AB. ，然后在△
[解] 解
因为∠ 在△BCD 中，因为∠DCB＝45°，∠BDC＝75°， ＝ ， ＝ ，