上海2018届九年级上学期期末(一模)数学试卷分类汇编平面向量专题含答案
┃精选3套试卷┃2018届上海市九年级上学期期末学业质量检查模拟数学试题
九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，点C 的坐标为（﹣1，0），AC=1．将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（1，1）C ．（﹣1，1）D ．（1，﹣1）【答案】A 【分析】根据旋转变换的性质得到旋转变换后点A 的对应点坐标，根据平移的性质解答即可．【详解】∵点C 的坐标为（﹣1，0），AC=1，∴点A 的坐标为（﹣3，0），如图所示，将Rt △ABC 先绕点C 顺时针旋转90°，则点A′的坐标为（﹣1，1），再向右平移3个单位长度，则变换后点A′的对应点坐标为（1，1），故选A ．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移，掌握旋转变换、平移变换的性质是解题的关键． 2．抛物线23123y x x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）【答案】A【分析】把抛物线解析式化为顶点式即可求得答案．【详解】∵223123=3(2)9y x x x =-+---+，∴顶点坐标为（2，9）．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解答此题的关键，即在2()y a x h k =-+中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．3．如图，ABCD 是矩形纸片，翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，折痕分别是CE ，AF ，则AE EB等于（ ）A 3B ．2C ．1.5D 2【答案】B 【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴AD=BC ，∠B=90°，∵翻折∠B ，∠D ，使AD ，BC 边与对角线AC 重叠，且顶点B ，D 恰好落在同一点O 上，∴AO=AD ，CO=BC ，∠AOE=∠COF=90°，∴AO=CO ，AC=AO+CO=AD+BC=2BC ，∴∠CAB=30°，∴∠ACB=60°，∴∠BCE=12∠ACB=30°， ∴BE=12CE ， ∵AB ∥CD ，∴∠OAE=∠FCO ，在△AOE 和△COF 中，∵∠OAE=∠FCO ，AO=CO ，∠AOE=∠COF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE=OF ，∴EF 与AC 互相垂直平分，∴四边形AECF 为菱形，∴AE=CE ，∴BE=12AE ， ∴12AE AE EB AE ==2， 故选B ．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）．4．如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，则cosA ＝（ ）A ．32B ．23C ．21313D ．3133【答案】D【分析】根据勾股定理求出AC ，根据余弦的定义计算得到答案． 【详解】由勾股定理得，AC ＝22AB BC +＝2232+＝13，则cosA ＝AB AC ＝13＝31313， 故选：D ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键． 5．二次函数2y ax bx c =++图象如图所示，下列结论：①240b ac ->；②20a b +=；③0abc >；④420a b c ++>；⑤230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】根据图象与x 轴有两个交点可判定①；根据对称轴为12b a-=可判定②；根据开口方向、对称轴和与y 轴的交点可判定③；根据当0x =时0y >以及对称轴为1x =可判定④；利用二次函数与一元二次方程的联系可判定⑤．【详解】解：①根据图象与x 轴有两个交点可得240b ac ->，此结论正确；②对称轴为12b a-=，即2b a =-，整理可得20a b +=，此结论正确； ③抛物线开口向下，故0a <，所以20b a =->，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，所以0c >，故0abc <，此结论错误；④当0x =时0y >，对称轴为1x =，所以当2x =时0y >，即420a b c ++>，此结论正确； ⑤当3y =时，只对应一个x 的值，即230ax bx c ++-=有两个相等的实数根，此结论正确； 综上所述，正确的有4个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．若关于x 的函数y=（3-a ）x 2-x 是二次函数，则a 的取值范围( )A ．a≠0B ．a≠3C ．a ＜3D ．a ＞3 【答案】B【分析】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0列式求解即可．【详解】根据二次函数的定义，二次项系数不等于0，3-a ≠0，则a≠3，故选B【点睛】本题考查二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．7．已知二次函数()22y x a b =---的图象如图所示，则反比例函数ab y x=与一次函数y ax b =+的图象可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】观察二次函数图象，找出a ＞0，b ＞0，再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论．【详解】观察二次函数图象，发现：抛物线()22y x a b =---的顶点坐标()a b -，在第四象限，即00a b >-<，， ∴0a >，0b >． ∵反比例函数ab y x=中0ab >， ∴反比例函数图象在第一、三象限；∵一次函数0y ax b a =+>，，0b >，∴一次函数y ax b =+的图象过第一、二、三象限．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出0a >，0b >．解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键．8．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．明天的最高气温将达35℃B ．任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口C ．掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上D ．对顶角相等【答案】D【解析】A 、明天最高气温是随机的，故A 选项错误；B 、任意买一张动车票，座位刚好挨着窗口是随机的，故B 选项错误；C 、掷骰子两面有一次正面朝上是随机的，故C 选项错误；D 、对顶角一定相等，所以是真命题，故D 选项正确.【详解】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，故选：D ．【点睛】本题的考点是随机事件.解决本题需要正确理解必然事件的概念：必然事件指在一定条件下一定发生的事件.9．如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作（ ）A ．－3℃B ．－2℃C ．＋3℃D ．＋2℃【答案】A【分析】一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.【详解】∵“正”和“负”相对，∴如果零上2℃记作＋2℃，那么零下3℃记作－3℃.故选A.10．如图是半径为2的⊙O 的内接正六边形ABCDEF ，则圆心O 到边AB 的距离是（ ）A．2 B．1 C．3D．3 2【答案】C【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB＝3606︒＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝12AB＝1，于是得到结论．【详解】解：过O作OH⊥AB于H，在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝3606︒＝60°，∵OA＝OB，∴∠AOH＝30°，AH＝12AB＝1，∴OH＝3AH＝3，故选：C．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．11．关于x的一元二次方程210x mx--=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定【答案】A【分析】根据根的判别式即可求解判断.【详解】∵△=b2-4ac=m2+4＞0，故方程有两个不相等的实数根，故选A.【点睛】此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知判别式的性质.12．已知关于x 的一元二次方程2x 2x a 0+-=有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）A ．4B ．﹣4C ．1D ．﹣1【答案】D【详解】解：根据一元二次方程根的判别式得，△()224a 0=-⋅-=， 解得a=﹣1．故选D ．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图所示，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠BAC 与∠BOC 互补，则∠BOC 的度数为_____．【答案】120°【分析】利用圆周角定理得到∠BAC ＝12∠BOC ，再利用∠BAC+∠BOC ＝180°可计算出∠BOC 的度数． 【详解】解：∵∠BAC 和∠BOC 所对的弧都是BC ，∴∠BAC ＝12∠BOC ∵∠BAC+∠BOC ＝180°， ∴12∠BOC+∠BOC ＝180°， ∴∠BOC ＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．14．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝10cm ，点E 、F 在矩形ABCD 的边AB 、AD 上运动，将△AEF 沿EF 折叠，使点A′在BC 边上，当折痕EF 移动时，点A′在BC 边上也随之移动．则A′C 的取值范围为_____．【答案】4cm≤A′C≤8cm【分析】根据矩形的性质得到∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，当折痕EF移动时，点A’在BC边上也随之移动，由此得到：点E与B重合时，A′C最小，当F与D重合时，A′C最大，据此画图解答.【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，BC＝AD＝10cm，CD＝AB＝6cm，当点E与B重合时，A′C最小，如图1所示：此时BA′＝BA＝6cm，∴A′C＝BC﹣BA′＝10cm﹣6cm＝4cm；当F与D重合时，A′C最大，如图2所示：此时A′D＝AD＝10cm，∴A′C＝22＝8（cm）；106综上所述：A′C的取值范围为4cm≤A′C≤8cm．故答案为：4cm≤A′C≤8cm．【点睛】此题考查折叠问题，利用了矩形的性质，解题中确定点E与F的位置是解题的关键.15．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝5，AB＝1．若M为射线AD上的一个动点，将△ABM沿BM折叠得到△NBM．若△NBC是直角三角形．则所有符合条件的M点所对应的AM长度的和为_____．【答案】5．【分析】根据四边形ABCD为矩形以及折叠的性质得到∠A=∠MNB=90°，由M为射线AD上的一个动点可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°与∠NCB=90°都不符合题意，只有∠BNC=90°．然后分 N在矩形ABCD 内部与 N在矩形ABCD外部两种情况进行讨论，利用勾股定理求得结论即可．【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∵将△ABM沿BM折叠得到△NBM，∴∠MAB＝∠MNB＝90°．∵M为射线AD上的一个动点，△NBC是直角三角形，∴∠NBC＝90°与∠NCB＝90°都不符合题意，∴只有∠BNC＝90°．①当∠BNC＝90°，N在矩形ABCD内部，如图3．∵∠BNC＝∠MNB＝90°，∴M、N、C三点共线，∵AB ＝BN ＝3，BC ＝5，∠BNC ＝90°，∴NC ＝4．设AM ＝MN ＝x ，∵MD ＝5﹣x ，MC ＝4+x ，∴在Rt △MDC 中，CD 5+MD 5＝MC 5，35+（5﹣x ）5＝（4+x ）5，解得x ＝3；当∠BNC ＝90°，N 在矩形ABCD 外部时，如图5．∵∠BNC ＝∠MNB ＝90°，∴M 、C 、N 三点共线，∵AB ＝BN ＝3，BC ＝5，∠BNC ＝90°，∴NC ＝4，设AM ＝MN ＝y ，∵MD ＝y ﹣5，MC ＝y ﹣4，∴在Rt △MDC 中，CD 5+MD 5＝MC 5，35+（y ﹣5）5＝（y ﹣4）5，解得y ＝9，则所有符合条件的M 点所对应的AM 和为3+9＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质以及勾股定理，难度适中．利用数形结合与分类讨论的数学思想是解题的关键．16．当x_____时，|x ﹣2|＝2﹣x ．【答案】≤2【分析】由题意可知x ﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.【详解】解：由|x ﹣2|＝2﹣x ，可得20x -≤，解得：2x ≤.故答案为：≤2.【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.17．在 ABC 中， 6AB = ， 5AC = ，点D 在边AB 上，且 2AD = ，点E 在边AC 上，当 AE =________时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与 ABC 相似． 【答案】51235或 【解析】当AE AB AD AC =时， ∵∠A=∠A ，∴△AED ∽△ABC ，此时AE=·621255AB AD AC ⨯==； 当AD AB AE AC =时， ∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，此时AE=·52563AC AD AB ⨯==； 故答案是：12553或. 18．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为2.4km ，则两点间的距离为______km.【答案】1.1【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC= AB=1.1km ．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，M 为AB 的中点，∴MC=AB=AM=1.1(km).故答案为：1.1．【点睛】此题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．已知：如图，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△ABC ，点E 对应点C 恰在D 的延长线上，若BC ∥AE ．求证：△ABD 为等边三角形．【答案】证明见解析．【分析】由旋转的性质可得ACB E ∠=∠，AC AE =，可得E ACE ∠=∠，由平行线的性质可得180BCE E ∠+∠=︒，可得60E ∠=︒，则可求60BAD ∠=︒，可得结论．【详解】解：由旋转知：△ADE ≌△ABC ，∴∠ACB ＝∠E ，AC ＝AE ，∴∠E ＝∠ACE ，又BC ∥AE ，∴∠BCE+∠E ＝180°，即∠ACB+∠ACE+∠E ＝180°，∴∠E ＝60°，又AC ＝AE ，∴△ACE 为等边三角形，∴∠CAE ＝60°又∠BAC ＝∠DAE∴∠BAD ＝∠CAE ＝60°又AB ＝AD∴△ABD 为等边三角形．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，求出60CAE ∠=︒是本题的关键． 20．一个二次函数的图象经过(3，1)，(0，-2)，(-2，6)三点．求这个二次函数的解析式并写出图象的顶点．【答案】二次函数为222y x x -=-，顶点(1,-3)．【分析】先设该二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a ≠0），利用待定系数法求a ，b ，c 的值，得到二次函数的解析式，然后化为顶点式，即可得到顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的图象经过(0,-2)，可设所求二次函数为22y ax bx =+-， 由已知，函数的图象不经过(3,1)，(-2,6)两点，可得关于a 、b 的二元一次方程组9321,422 6.a b a b +-=⎧⎨--=⎩解这个方程，得1,2.a b =⎧⎨=-⎩∴二次函数为：222y x x -=-；化为顶点式得：2(1)3y x =--∴顶点为：(1,3)-．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法以及顶点公式求法等知识，难度不大．21．将一元二次方程232=1x x --化为一般形式，并求出根的判别式的值．【答案】23210x x -+=，-8【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得．【详解】解：将方程化为一般形式为:23210x x -+=∴a=3,b=－2,c=1∴ 根的判别式的值为224(2)4318b ac -=--⨯⨯=-．【点睛】本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根． 22．如图所示的双曲线是函数3(m y m x-=为常数，0x >)图象的一支若该函数的图象与一次函数1y x =+的图象在第一象限的交点为()2,A n ，求点A 的坐标及反比例函数的表达式．【答案】点A 的坐标为()2,3；反比例函数的表达式为6y x=． 【分析】先将x=2代入一次函数1y x =+中可得，点A 的坐标为()2,3，再将点A 的坐标代入3m y x -=可得反比例函数的解析式．【详解】解：点()2,A n 在一次函数1y x =+的图象上，213,n ∴=+=∴点A 的坐标为()2,3．又点A 在反比例函数3(m y m x-=为常数，0x >)的图象上，3236,m ∴-=⨯=∴反比例函数的表达式为6y x=． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题和解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．23．解下列方程：210252(5)x x x -+=-【答案】x 1=5，x 2=1．【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】x 2-10x+25=2（x-5），（x-5）2-2（x-5）=0，（x-5）（x-5-2）=0，x-5=0，x-5-2=0，x 1=5，x 2=1．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．24．如图，抛物线y=ax 2 +bx+ 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）2142y x x =--+顶点D 的坐标为（－1，92） （2）H （34，158） （2）K （－32，358） 【分析】（1）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D 的坐标；（2）根据抛物线的解析式可求出C 点的坐标，由于CD 是定长，若△CDH 的周长最小，那么CH+DH 的值最小，由于EF 垂直平分线段BC ，那么B 、C 关于直线EF 对称，所以BD 与EF 的交点即为所求的H 点；易求得直线BC 的解析式，关键是求出直线EF 的解析式；由于E 是BC 的中点，根据B 、C 的坐标即可求出E 点的坐标；可证△CEG ∽△COB ，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG 、OG 的长，由此可求出G 点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF 的解析式，由此得解；（2）过K 作x 轴的垂线，交直线EF 于N ；设出K 点的横坐标，根据抛物线和直线EF 的解析式，即可表示出K 、N 的纵坐标，也就能得到KN 的长，以KN 为底，F 、E 横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF 的面积，由此可得到关于△KEF 的面积与K 点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K 点坐标.【详解】（1）由题意，得164404240a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a =-，b=－1． 所以抛物线的解析式为2142y x x =--+，顶点D 的坐标为（－1，92）． （2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH+CH 最小，即最小为=2CD ==． ∴△CDH 的周长最小值为CD+DR+CH=2． 设直线BD 的解析式为y=k 1x+b ，则11112092k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得132k =-，b 1= 2． 所以直线BD 的解析式为y=32-x+ 2． 由于Rt △CEG ∽△COB ，得CE:CO=CG:CB ，所以CG= 2.3，GO= 1.3．G （0，1.3）．同理可求得直线EF 的解析式为y=12x+32． 联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （34，158）． （2）设K （t ，2142t t --+），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ． 则KN=y K －y N =2142t t --+－（12t+32）=2135222t t --+．所以S △EFK =S △KFN +S △KNE =12KN （t+ 2）+12KN （1－t ）= 2KN= －t 2－2t+ 3 =－（t+32）2+294． 即当t=－32时，△EFK 的面积最大，最大面积为294，此时K （－32，358）． 【点睛】 本题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大．25．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是()4,2A -， ()3,1B -，()1,2C -． （1）请画出ABC ∆关于x 轴对称的111A B C ∆；（2）以点O 为位似中心，相似比为1:2，在y 轴右侧，画出111A B C ∆放大后的222A B C ∆；【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用关于x 轴对称点的性质:横坐标相等,纵坐标互为相反数可以求出.（2）利用位似图像的性质得出对应点位置.【详解】如图所示：画出ABC ∆轴对称的111A B C ∆．画出111A B C ∆放大后的位似222A B C ∆．【点睛】本题考查了关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质.26．解方程：（1）2x 2+3x ﹣1＝0（2）1122 xx x-=+-【答案】（1）x1＝3174-+，x2＝3174--；（2）x＝23【分析】（1）将方程化为一般形式a x2+bx+c=0确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解，代入公式即可求解；（2）最简公分母是（x+2）（x﹣2），去分母，转化为整式方程求解，需检验结果是否为原方程的解；【详解】解：（1）∵a=2，b=3，c=-1，∴∆=b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，∴x＝-b-317=±∆±，∴x1＝3174-+，x2＝3174--；（2）方程两边都乘以（x+2）（x﹣2）得：x（x﹣2）﹣（x+2）（x﹣2）＝x+2，解得：x＝23，检验：当x＝23时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以x＝23是原方程的解；【点睛】本题主要考查了解一元二次方程-公式法，解分式方程，掌握解一元二次方程-公式法，解分式方程是解题的关键.27．公司经销的一种产品，按要求必须在15天内完成销售任务．已知该产品的销售价为62元/件，推销员小李第x天的销售数量为y件，y与x满足如下关系：y＝8(05)510(515) x xx x⎧⎨+<⎩（1）小李第几天销售的产品数量为70件？（2）设第x天销售的产品成本为m元/件，m与x的函数图象如图，小李第x天销售的利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）小李第1天销售的产品数量为70件；（2）第5天时利润最大，最大利润为880元．【分析】（1）根据y和x的关系式，分别列出方程并求解，去掉不符合情况的解后，即可得到答案;（2）根据m 与x 的函数图象，列出m 与x 的关系式并求解系数；然后结合利润等于售价减去成本后再乘以销售数量的关系，利用一元一次函数和一元二次函数的性质，计算得到答案．【详解】（1）如果8x ＝70得x ＝354＞5，不符合题意； 如果5x+10＝70得x ＝1．故小李第1天销售的产品数量为70件；（2）由函数图象可知：当0≤x≤5，m ＝40当5＜x≤15时，设m ＝kx+b将（5，40）（15，60）代入，得5401560k b k b +=⎧⎨+=⎩∴2k =且b=30∴m ＝2x+30①当0≤x≤5时w ＝（62﹣40）•8x ＝176x∵w 随x 的增大而增大∴当x ＝5时，w 最大为880；②当5＜x≤15时w ＝（62﹣2x ﹣30）（5x+10）＝﹣10x 2+140x+320∴当x ＝7时，w 最大为810∵880＞810∴当x ＝5时，w 取得最大值为880元故第5天时利润最大，最大利润为880元．【点睛】本题考察了从图像获取信息、一元一次函数、一元二次函数的知识；求解本题的关键为熟练掌握一元一次和一元二次函数的性质，并结合图像计算得到答案．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形．【详解】从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：故选B ．【点睛】考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．2．如图， 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-1,0），顶点坐标（1，n ）与y 轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包 含端点），则下列结论：①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立；④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】D 【解析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a ，则3a+b=a ，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a 可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a ＜0，而抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-23，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：给出以下结论：（1）二次函数y＝ax1+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（1）当﹣12＜x＜1时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x1，y1）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x1＜4时，y1＞y1．上述结论中正确的结论个数为（）A．0 B．1 C．1 D．3【答案】B【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；（1）从表格可以看出，当﹣12＜x ＜1时，y ＜0，符合题意； （3）﹣1＜x 1＜0，3＜x 1＜4时，x 1离对称轴远，故错误，不符合题意； 故选择：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x 轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．点P(-6，1)在双曲线ky x=上，则k 的值为( ) A ．-6 B ．6C ．16-D ．16【答案】A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可直接得到答案． 【详解】解：∵点P （61-，）在双曲线ky x=上， ∴616k =-⨯=-； 故选：A. 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 5．下列各组图形中，两个图形不一定是相似形的是（ ） A ．两个等边三角形 B ．有一个角是100︒的两个等腰三角形 C ．两个矩形 D ．两个正方形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，矩形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似，故A 正确； B 、有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，故B 正确；C 、两个矩形，四个角都是直角，但四条边不一定对应成比例，不一定相似，故C 错误；D 、两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似，故D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形，正方形的性质对解题也很关键．6．如图，PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，如果1sin 2P =，OB=1，那么BP 的长是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．3【答案】C【分析】根据题意连接OA 由切线定义可知OA 垂直AP 且OA 为半径，以此进行分析求解即可. 【详解】解：连接OA ，已知PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，可知OA 垂直AP 且OA 为半径，所以三角形OAP 为直角三角形，∵1sin 2P =，OB=1， ∴1sin 2OA P OP ==，OA=OB=1， ∴OP=2，BP=OP-OB=2-1=1. 故选C. 【点睛】本题结合圆的切线定义考查解直角三角形，熟练掌握圆的切线定义以及解直角三角形相关概念是解题关键.7．已知函数ky x=的图象经过点（2, 3 )，下列说法正确的是( ) A ．y 随x 的增大而增大 B ．函数的图象只在第一象限 C ．当x<0时，必y<0 D ．点(-2, -3)不在此函数的图象上【答案】C【解析】∵图象经过点（2，3），∴k=2×3=6＞0，∴图象在第一、三象限．∴只有C 正确．故选C ． 8．若角αβ，都是锐角，以下结论：①若αβ<，则sin sin αβ<；②若αβ<，则cos cos αβ<；③若αβ<，则tan tan αβ<；④若90αβ+=，则sin cos αβ=.其中正确的是( ) A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．①②③④【答案】C【分析】根据锐角范围内sin α 、cos α 、tan α 的增减性以及互余两锐角的正余弦函数间的关系可得． 【详解】①∵sin α随α 的增大而增大，正确； ②∵cos α随α 的增大而减小，错误； ③∵tan α随α 的增大而增大，正确；④若90αβ+=，根据互余两锐角的正余弦函数间的关系可得sin cos αβ=，正确； 综上所述，①③④正确 故答案为：C ． 【点睛】本题考查了锐角的正余弦函数，掌握锐角的正余弦函数的增减性以及互余锐角的正余弦函数间的关系是解题的关键．9．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（ ） A ．（2，-3） B ．（-3,3）C ．（2,3）D ．（-4,6）【答案】A【分析】设反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断． 【详解】设反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0）， ∵反比例函数的图象经过点（-2，3）， ∴k=-2×3=-6，而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24， ∴点（2，-3）在反比例函数y=-6x的图象上． 故选A ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 10．如图，ABC ∆中，//,2,3DE BC AD BD ==，则DE AEBC AC=的值为（ ）A ．2:3B ．1:2C ．3:5D ．2:5【答案】D【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案. 【详解】解：∵//DE BC ， ∴ADE ∆∽ABC ∆， ∴22235DE AE AD AD BC AC AB AD DB =====++； 故选：D. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.11．如图，已知BD 是⊙O 直径，点A 、C 在⊙O 上，AB BC =，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°【答案】C【详解】∵AB BC =，∠AOB=60°， ∴∠BDC=12∠AOB=30°． 故选C ．12．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( ) A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】设白球的个数为x ，利用概率公式即可求得. 【详解】设白球的个数为x ，由题意得，从14个红球和x 个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3， 则利用概率公式得：0.314xx=+，解得：6x =，经检验，x=6是原方程的根， 故选：B. 【点睛】本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．用一个圆心角为120︒的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为_____． 【答案】12【解析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列式进行求解即可. 【详解】设这个圆锥的母线长为l ， 依题意，有：12024180lππ⨯⨯=， 解得：12l ＝， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了圆锥的运算，正确把握圆锥侧面展开图的扇形的弧长与底面圆的周长间的关系是解题的关键.14．若12y x =，则y x x +=___________．【答案】32【分析】把所求比例形式进行变形，然后整体代入求值即可． 【详解】=1y x y x x ++，12y x =，13=+1=22y x x +∴；故答案为32． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的方法是解题的关键．15．将二次函数y=x 2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____． 【答案】y=x 1+1【解析】分析：先确定二次函数y=x 1﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．详解：二次函数y=x 1﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，1），所以平移后的抛物线解析式为y=x 1+1． 故答案为y=x 1+1．点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 16．点A ()12,y -，B ()21,y -都在反比例函数3y x=-图象上，则1y _____2y ．（填写<，>，=号） 【答案】＜．【分析】根据反比例函数的增减性即可得出结论．。
【备战2018】(上海版)高考数学分项汇编 专题05 平面向量(含解析)文
专题05 平面向量一．基础题组1. 【2014上海,文14】已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ += ，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【考点】向量的坐标运算．2. 【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i = 是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅= 的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）1【答案】C【考点】向量的数量积及其几何意义．3. 【2013上海,文14】已知正方形ABCD 的边长为1.记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1、a 2、a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1、c 2、c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则(a i ＋a j )·(c k ＋c l )的最小值是______．【答案】－5 4. 【2012上海,文12】在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD = ，则AM AN ⋅ 的取值范围是__________．【答案】[1,4]5. 【2011上海,文12】在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点．若AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅ ＝______.【答案】1526. 【2011上海,文18】设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++= 成立的点M 的个数为…( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】7. 【2008上海,文5】若向量a ，b 满足12a b == ，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．8. 【2007上海,文6】若向量a b ，的夹角为 601，则=-⋅)( .【答案】219. 【2006上海,文13】如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）（A ）AB DC = （B ）AD AB AC+= （C ）AB AD BD -= （D ）0AD CB += 【答案】C10. 【2005上海,文4】直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________.【答案】240x y +-=。
上海市16区2018届中考一模数学试卷分类汇编：平面向量(含答案)
上海市16区2018届中考一模数学试卷分类汇编：平面向量(含答案)虹口区如图，在△ABC中，点E在边AB上，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．（1）若AB a=，AC b=，用向量、a b表示向量AG；（2）若∠B=∠ACE，AB=6，AC=，BC=9，求EG的长．黄浦区嘉定区金山区如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC 的中点，设=AB a，=AD b，求向量MN关于a、b的分解式．静安区闵行区 浦东新区20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE ∥BC ，且DE 经过△ABC 的重心，设BC a =．（1）= ▲ （用向量a 表示）； （2）设AB b =，在图中求作12b a +． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）普陀区22．（本题满分10分）下面是一位同学做的一道作图题：如图),求作线段x ,使::a b c x . 为端点画射线OM ，ON . a =，AB b =.（第20题图）AC DEMO A BCDa b cN3.在ON 上截取OC c =.4.联结AC ，过点B 作BD ∥AC ，交ON 于点D . 所以：线段____________就是所求的线段x .（1）试将结论补完整：线段 ▲ 就是所求的线段x . （2）这位同学作图的依据是 ▲ ；（3）如果4OA =，5AB =，AC m =，试用向量m 表示向量DB ．松江区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA上的点，且EF //AB ，2CF ADFA DB==. （1）设AB a =，AC b =.试用、表示AE（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积.徐汇区19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）(第20题图) CEF B A D如图，在△ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5． （1）求AC 的长（2）若设,CA a CB b ==uu r r uu r r，试用a 、b 的线性组合表示向量CDuuu r .杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC（1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用.参考答案宝山区BE （第20题图）长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵23=EC AE ∴52=AC EC （1分） ∵DE //BC ∴52==AC EC AB BD（2分） 又∵DF //AC ∴52==AB BD BC BF（2分）（2）∵52=BC BF ∴53=BC FC ∵=，CF 与BC 方向相反 ∴a CF 53-= （2分） 同理：52=（2分）又∵→+=CF ∴→-=ab EF 5352 （1分）崇明区20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠ ∴ABE DEB=∠∠ ………………………………………………………2分∴4BD DE == ∵ED BC∥ ∴DE ADBC AB= ……………………………………1分又∵5AD =，4BD = ∴9AB = ∴459BC = ∴365BC =………………………………………2分（2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB = ∴95BC DE= …………………………………………………………1分 又∵ED与CB同向 ∴95CB ED= ………………………………1分∵AD a=，AE b= ∴ED a b=- ……………………………1分∴9955CB a b=- …………………………………………………………2分奉贤区虹口区黄浦区 金山区静安区闵行区20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知向量a r 、b r和pu r，求作：（1）向量132a b -+r r． （2）向量p u r 分别在ar 、br 方向上的分向量．20．解：（1）作图．……………………………………………………………a rpu r（第20题图）br……………（3分）结论．…………………………………………………………………………（1分）（2）作图．…………………………………………………………………………（4分）结论．…………………………………………………………………………（2分）浦东新区20．解：（1） 23a5分）（2）图正确得4分，结论：AF…（1分）．普陀区22．解：（1）CD；············（2分）（2）平行线分线段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例）；或：三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）.（第20题图）················ （2分）（3）∵BD ∥AC ，∴AC OABD OB=． ····· （1分） ∵4OA =，5AB =，∴49AC BD =． ···· （2分） 得94BD AC =． ········· （1分） ∵94BD AC =，AC m =，DB 与AC 反向， ∴94DB m =-． ········· （2分） 青浦区松江区20．解：（1）∵EF //AB ∴CF CE FA EB =又CF ADFA DB=∴CE AD EB DB=…………………………………………（1分） ∴DE ∥AC ， ………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 是平行四边形………………………（1分） AE AF AD=+ ……………………………………（1分） ∵2CFAD FA DB==,AB a =，AC b = ∴13AF b =， 23AD a = 2133AE a b =+………………………………………（1分）（2）∵EF //AB ，2CFFA= ∴9:4:=∆∆ABC CEFS S ………………………………（1分）∵△ABC 的面积是9，∴4=∆CEFS……………………………………………（1分）由（1）得DE ∥AC ， 且2AD DB = ∴9:1:=∆∆ABC BDES S ………………………………（1分）∴1=∆BDES…………………………………………（1分）∴四边形ADEF 的面积=9-4-1=4……………………（1分）徐汇区19．（1）在△ABC 中，∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴ACD ABC∆:V . ……………………………………………………（2分）∴AD ACAC AB=，即2AC AD AB=g∴249AC=⨯，6.AC = ……………………………………………（2分）（2）49CD CA AD a AB=+=+uu u r uu r uuu r r uu u r ……………………………………………（2分）4()9a AC CB =++r uu u r uu r 4()9a ab =+-+r r r ………………………………（2分）5499a b =+r r………………………………………………………（2分）杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =.-------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a . ∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a . ∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分）∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分） （2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5.------------------------------------------------（1分）∵AB a=，CD b=，∴25AD a=.DC b=-.--------------------（2分）∵AC AD DC=+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）。
2018年上海市普陀区中考数学一模试卷(解析版)
∵点E、F分别是 和 的重心，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，Βιβλιοθήκη ∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，
故答案为4
【点睛】本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．
【答案】D
【解析】
如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴ = ，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC= ，
∴AB= =4．
∵CD⊥AB，
∴CD= ．
∵AD•BD=CD2，
设AD=x，BD=4-x．
解得x= ，
∴点A在圆外，点B在圆内，
r的范围是 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
20.已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．
【答案】y=2x2+x﹣3，C点坐标为（﹣ ，0）或（2，7）
【解析】
【分析】
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入可求出解析式，进而求出点C的坐标即可.
上海市松江区2018届九年级中考一模试卷数学试题(解析版)
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1.已知 ，那么 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据比例设a=k，b=3k，然后代入比例式进行计算即可得解．
详解：∵ = ，∴设a=k，则b=3k（k≠0），∴ = = ．
故选C．
点睛：本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
（1）设 ， ．试用 、 表示 ；
（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．
【答案】（1） ；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）由EF∥AB知 = ，据此可得 = =2，即 = = ，从而证△BDE∽△BAC得∠BDE=∠A，即可知DE∥AC、四边形ADEF是平行四边形，再利用 = = = = 及平行四边形法则可得答案；
∴A′C=A′B=2，AA′= =2 ，AB=4 ，
∴AM= AA′= ，A′N=BN= ，
∴AN=AB﹣BN=3 ．
∵∠EAM=∠A′AC，∠AME=∠C，
∴△AEM∽△AA′C，
∴ = ，
∴AE= ．
同理：△ADM∽△AA′N，
∴ห้องสมุดไป่ตู้= ，
∴AD= = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的性质求出AD、AE的长度是解题的关键．
【答案】a＜﹣2
【解析】
【分析】
根据抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，可得a+2＜0，从而可以得到a的取值范围．
【详解】∵抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，
【初中数学】上海市16区2018届九年级上学期期末(一模)数学试卷分类汇编(8份) 人教版7
上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编计算题专题整理人：lydiyi宝山区19．（本题满分10分）计算：01sin 60tan60cos 45sin 30π︒︒︒︒－＋(＋)－长宁区19．（本题满分10分）计算：︒-︒-︒︒30cos 60tan 45sin 445cot 2． 崇明区19．（本题满分10分）计算：tan 453sin602cos45cot302sin 45︒-︒+︒︒-︒奉贤区 虹口区19．（本题满分10分）计算：22sin 60sin 30cot 30cos30°°°°+-．黄浦区19．（本题满分10分）计算：2cot452cos 30sin60tan301︒︒+-︒︒+.嘉定区19. （本题满分10分，每小题5分） 计算：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot金山区19．（本题满分10分） 计算：cos30cot 45sin 30tan 60cos 60︒-︒︒⋅︒+︒．静安区19．（本题满分10分）计算：60sin 60tan 160cos 2130cos 45cot 3⨯-++． 20．（本题满分10分）解方程组： ． 闵行区 浦东新区 普陀区19．（本题满分10分）计算： 21tan60sin 452cos30cot 45-⋅-．青浦区19．（本题满分10分）计算：()021--+-．20.（本题满分10分）解方程：21421242x x x x +-=+--． 松江区①② ⎩⎨⎧=----=+03)(2)(52y x y x y x徐汇区杨浦区19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒参考答案宝山区长宁区19. （本题满分10分）解：原式=233)22(412--⨯ (4分) =23321-- (2分) =2332-+ (2分) =232+(2分)崇明区19、解：原式32-+…………………………………………5分=………………………………………………3分= ………………………………………………………2分 虹口区黄浦区19．解：原式=2222⎛⨯+ ⎝⎭———————————————————（4分）=33222+-————————————————————————（4分）=3（2分）嘉定区19. （本题满分10分，每小题5分） 计算：︒-︒+︒-︒45tan 30cos 2260sin 30cot【解答】12331232223345tan 30cos 2260sin 30cot +=-⋅+-=︒-︒+︒-︒金山区静安区三、解答题：19．解：原式＝…………………………………（5分）＝23212-+……………………………………………………（3分）＝1 ……………………………………………………（2分）20．解：由②得0)1)(3(=+---yxyx, ……………………………………（2分）得03=--yx或01=+-yx, ………………………………（2分）原方程组可化为⎩⎨⎧=-=+;3,5yxyx⎩⎨⎧-=-=+;1,5yxyx…………………………………（2分）解得，原方程组的解为⎩⎨⎧==;1,411yx⎩⎨⎧==3222yx…………………………………（4分）∴原方程组的解为⎩⎨⎧==;1,411yx⎩⎨⎧==3222yx．闵行区浦东新区普陀区19．解：原式2=·····································································（4分）=-··················································································（4分）233121212313⨯-+⨯+⨯12=． ····························································································· （2分） 青浦区19． 解：原式=1+2．…………………………………………………………（8分）=2．………………………………………………………………………（2分） 20．解：方程两边同乘()()22+-x x 得 ()224224-+-+-=x x x x ．…………………………（4分）整理，得2320-+=x x ．………………………………………………………………（2分）解这个方程得11=x ，22=x ．…………………………………………………………（2分）经检验，22=x 是增根，舍去．…………………………………………………………（1分）所以，原方程的根是1=x ．……………………………………………………………（1分）松江区 徐汇区 杨浦区19．（本题满分10分）解：原式=12231122+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分）。
上海市青浦区2018-2019学年第一学期初三期末质量检测（一模）数学试卷（解..
青浦区2018学年第一学期九年级期终学业质量调研测试数学试卷2019.1（完成时间：100分钟 满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列图形中，一定相似的是（ ）A. 两个正方形；B. 两个菱形；C. 两个直角三角形；D. 两个等腰三角形． 2．如图，已知AB //CD //EF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、D 、F和点B 、C 、E ，如果AD ∶DF =3∶1，BE =10，那么CE 等于（ ） A ．103； B ．203；C ．52；D ．152．3．在Rt △ABC 中，∠C =90º，如果∠A =α，BC =a ，那么AC 等于（ ）A. tan α⋅a ；B. cot α⋅a ；C.sin α⋅a ；D.cos α⋅a ． 4．下列判断错误的是（ ）A.0=0a ； B. 如果+2= abc ，3-= a b c ，其中0≠ c ，那么 a ∥b ；C. 设e 为单位向量，那么||1= e ； D. 如果||2||=a b ，那么2= a b 或2=-a b ． 5．如图，已知△ABC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中，不能确定△ADE ∽△ACB 的是（ ）A ．∠AED ＝∠B ； B ．∠BDE +∠C =180°；C ．⋅=⋅AD BC AC DE ； D ．⋅=⋅AD AB AE AC ．6．已知二次函数2=++y ax bx c A ．0>ac ； B ．0>b ； C ．0+<a c ； D ．+=0a b c +．l 2l 1FED C BAD CBA E （第2题图）（第6题图）（第5题图）二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．如果 ，那么 ▲． 8．计算：3(2)2(3)a b a b ---= ▲ ．9． 如果两个相似三角形的相似比为1∶3，那么它们的周长比为 ▲．10．二次函数 的图像的顶点坐标是 ▲ ．11．抛物线 的对称轴是直线1=x ，那么m = ▲ ． 12．抛物线 在y 轴右侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”）13．如果α是锐角，且sin α=cos 20°，那么α= ▲ 度．14．如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD ，坝高为15米，迎水坡CD 的坡度为1:2.4，那么该水库迎水坡CD 的长度为 ▲ 米． 15．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C都在这些小正方形的顶点上，则tan ∠ABC 的值为 ▲ ． 16．在△ABC 中， AB =AC ，高AH 与中线BD 相交于点E ，如果BC=2，BD=3，那么AE= ▲．17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，tan ∠CAB=2，将△ABC 绕点A 旋转后，点B 落在AC 的延长线上的点D ， 点C 落在点E ，DE 与直线BC 相交于点F ，那么CF= ▲． 18．对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S 到图形上的任意一点P 之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的 点S 称为“亮点”． 如图，对于封闭图形ABCDE ，S 1是 “亮点”，S 2不是“亮点”，如果AB ∥DE ，AE ∥DC ， AB=2，AE=1，∠B=∠C= 60°，那么该图形中所有“亮点” 组成的图形的面积为 ▲ ．ABCCAA BCD241y x x =--23y x mx m =-+-22y x =-（第15题图）（第17题图）25=+xx y x y =（第18题图）（第14题图）三、解答题（本大题共7题，满分78分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19．（本题满分10分）计算：()121sin 301cot 3030cos 45-︒︒︒︒+--．20．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，CE=2BE ， AC 、DE 相交于点F ．（1）求DF ∶EF 的值；（2）如果CB a = ，CD b =，试用 a 、b 表示向量EF ．21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，2=⋅AE AD AB ，∠ABE ＝∠ACB ．（1）求证：DE ∥BC ； （2）如果 ADE S ∶DBCE S =四边形1∶8，求 ADE S ∶BDE S 的值．22．（本题满分10分）如图，在港口A 的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B ，A 、B 相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A 的北偏东67°方向上，有一渔船C 发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125）23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD=AF ，AE CE DE EF ⋅=⋅．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE BD EF AF ⋅=⋅，求证：AB=AC ．ED CBA北EABCDFABDEF（第21题图）（第20题图）24．（本题满分12分， 其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2y x =-平移后经过点A （-1，0）、B （4，0），且平移后的抛物线与y 轴交于点C （如图）．（1）求平移后的抛物线的表达式；（2）如果点D 在线段CB 上，且CDCAD 的正弦值；（3）点E 在y 轴上且位于点C 的上方，点P 在直线BC 上，点Q 在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ 是菱形，求点Q 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，BC =18，DB =DC =15，点E 、F 分别在线段BD 、CD 上，DE =DF =5． AE 的延长线交边BC 于点G ， AF 交BD 于点N 、其延长线交BC 的延长线于点H ． （1）求证：BG =CH ；（2）设AD =x ，△ADN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结FG ，当△HFG 与△ADN 相似时，求AD 的长．NHG FEDC AB （第24题图）（备用图）（第25题图）青浦区2018学年第一学期期终学业质量调研 九年级数学试卷参考答案及评分说明2019.1一、选择题：1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．D ； 5．C ； 6．D ． 二、填空题：7．23； 8． a ； 9．1:3； 10．（2，-5）； 11．2； 12．上升；13．70； 14．39； 15．12； 16． 17．12；18．4． 三、解答题：19．解：原式=1211122-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭． ··············································· （4分）=21+12-． ·············································································· （4分）= ································································································· （2分）20．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD//BC ，·············································································· （2分）∴=DF ADEF EC． ··················································································· （1分） ∵CE=2BE ，∴32=BC EC ，······································································ （1分） ∴32=DF EF ． ······················································································· （1分） （2）∵CE=2BE ，∴23=CE CB ， ∴2233== CE CB a ．····························· （1分）∵=- ED CD CE ，∴23=- ED b a ．················································· （1分）∵32=DF EF ，∴25=EF ED ， ····························································· （1分）∴25= EF ED ， ···················································································· （1分）222453515⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭b a b a ． ··································································· （1分） 21．证明：（1）∵2=⋅AE AD AB ，∴=AE ABAD AE． ················································ （1分） 又∵∠EAD =∠BAE ，∴△AED ∽△ABE ， ··············································· （1分） ∴∠AED =∠ABE ． ··············································································· （1分） ∵∠ABE =∠ACB ，∴∠AED =∠ACB ． ···················································· （1分） ∴DE ∥BC ．························································································· （1分） （2）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴2⎛⎫= ⎪⎝⎭ADE ABC S AD S AB ．············································ （1分） ∵18四边形= ADE DBCES S ，∴19= ADE ABC S S ． ··················································· （1分） ∴219⎛⎫= ⎪⎝⎭AD AB ， ················································································ （1分） ∴13=AD AB ，······················································································ （1分） ∴12=AD DB ，∴12= ADE BDE S S ． ···························································· （1分） 22．解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．由题意，得∠ACH =67°，∠B =37°，AB =20． 在Rt △ABH 中，∵sin ∠=AHB AB ，∴sin 20sin 3712=⋅∠=⨯︒≈AH AB B ． ···················· （3分） ∵cos ∠=BHB AB，∴cos 20cos3716=⋅∠=⨯︒≈BH AB B ．···················· （3分）在Rt △ACH 中， ∵tan ∠=AH ACH CH ，∴12=5tan tan 67=≈∠︒AH CH ACH ． ······················· （3分） ∵BC =BH +CH ，∴BC ≈16 +5=21． ∵212125125÷=<， 所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C 处．················································· （1分）23．证明：（1）∵AD=AF ，∴∠ADF =∠F ． ································································· （1分）∵AE CE DE EF ⋅=⋅，∴=AE EFDE CE． ·············································· （1分） 又∵∠AEF =∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ． ·············································································· （2分） ∴∠F =∠C ． ······················································································· （1分） ∴∠ADF =∠C ． ·················································································· （1分） 又∵∠DAE =∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ．············································································ （1分）（2）∵AE BD EF AF ⋅=⋅，∴AE EFAF BD=．················································ （1分） ∵AD=AF ，∴AE EFAD BD=．·································································· （1分） ∵∠AEF =∠EAD +∠ADE ，∠ADB =∠EAD +∠C ，∴∠AEF =∠ADB ． ··············································································· （1分） ∴△AEF ∽△ADB ． ············································································ （1分） ∴∠F =∠B ，∴∠C =∠B ，∴AB=AC ． ·························································································· （1分）24．解：（1）设平移后的抛物线的解析式为2+=-+y x bx c ． ·································· （1分）将A （-1，0）、B （4，0），代入得101640.，--+=⎧⎨-++=⎩b c b c ··············································································· （1分） 解得：34.，=⎧⎨=⎩b c所以，2+34=-+y x x ．····································································· （1分）（2）∵2+34=-+y x x ，∴点C 的坐标为（0，4） ··············································· （1分）．设直线BC 的解析式为y =kx +4，将B （4，0），代入得kx +4=0，解得k =-1， ∴y =-x +4． 设点D 的坐标为（m ，4- m ）．∵CD22=2m ，解得=1m 或=1-m （舍去），∴点D 的坐标为（1，3）． ············································································ （1分） 过点D 作DM ⊥AC ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足分别为点M 、N ． ∵1122⋅=⋅AC BN AB OC54=⨯BN，∴=BN ． （1分） ∵DM ∥BN ，∴=DM CD BN CB，∴=DM BN17=DM ． ··············· （1分）∴sin =17221∠==DM CAD AD ．············································ （1分） （3）设点Q 的坐标为（n ，2+34-+n n ）．如果四边形ECPQ 是菱形，则0>n ，PQ ∥y 轴，PQ =PC ，点P 的坐标为（n ，4-+n ）． ∵22+3444=-++-=-PQ n n n n n，=PC ，······································ （2分）∴24-n n，解得=4n =0n （舍）． ············································· （1分） ∴点Q的坐标为（42）． ·························································· （1分）25．解：（1）∵AD//BC ，∴=AD DE BG EB ，=AD DFCH FC． ······························································ （2分） ∵DB =DC =15，DE =DF =5， ∴12==DE DF EB FC ，∴=AD ADBG CH． ···················································· （1分） ∴BG ＝CH ．·························································································· （1分）（2）过点D 作DP ⊥BC ，过点N 作NQ ⊥AD ，垂足分别为点P 、Q ．∵DB =DC =15，BC =18，∴BP = CP =9，DP =12．········································· （1分）∵12==AD DE BG EB ，∴BG = CH =2x ，∴BH =18+2x ． ································· （1分） ∵AD ∥BC ，∴=A D D N B H N B ，∴182=+x DN x NB ，∴182+15==++x DN DNx x NB DN ， ∴56=+xDN x ． ·················································································· （1分）∵AD ∥BC ，∴∠ADN =∠DBC ，∴sin ∠ADN =sin ∠DBC ， ∴=NQ PD DN BD ，∴46=+xNQ x ． ························································· （1分） ∴()21142092266=⋅=⋅=<≤++x x y AD NQ x x x x ．····························· （2分）（3）∵AD ∥BC ，∴∠DAN =∠FHG ．（i ）当∠ADN =∠FGH 时，∵∠ADN =∠DBC ，∴∠DBC =∠FGH ，∴BD ∥FG ， ·························································································· （1分） ∴=BG DF BC DC ，∴51815=BG ，∴BG =6，∴AD =3． ······························· （1分） （ii ）当∠ADN =∠GFH 时， ∵∠ADN =∠DBC=∠DCB ， 又∵∠AND =∠FGH ，∴△ADN ∽△FCG ． ············································································· （1分） ∴=AD FC DN CG ，∴()5182106⋅-=⋅+xx x x ，整理得23290--=x x ，解得 2=x ，或32-=x （舍去）．······································· （1分）综上所述，当△HFG 与△ADN 相似时，AD 的长为3或2．。
静安区2018年初三数学一模试卷及答案
静安区2017学年第一学期期末学习质量调研九年级数学 2018.1(考试时间:100分钟 总分:150分)考生注意:1. 本试卷含三个大题,共25题,答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效。
2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
3. 答题时可用函数型计算器。
一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 化简()52a a ⋅-所得的结果是（ ）（A ）7a ； （B ）7a -； （C ）10a ； （D ）10a -. 2. 下列方程中，有实数跟的是 （ ） （A ）011=+-x ； （B ）11=+x x ； （C ）0324=+x ； （D ）112-=-x . 3. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OC OA 3=，OD OB 3=），然后张开两脚，使A ，B 两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当cm CD 8.1=时，AB 的长是 （ ）（A ）cm 2.7；（B ）cm 4.5； （C ）cm 6.3； （D ）cm 6.0.4. 下列判断错误的是 （ ）（A ）如果0=k 或0 =a ，那么0=a k ； （B ）设m 为实数，则()b m a m b a m+=+；（C ）如果e a //，那么e a a=；（D ）在平行四边形ABCD 中，=-. 5. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果31sin =A ，那么B sin 的值是 （ ） （A ）322； （B ）22； （C ）42； （D ）3.第3题图学校 班级 准考证号 姓名…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………C ABD C B A 6. 将抛物线3221--=x x y 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线c bx ax y ++=22重合，现有一直线323+=x y 与抛物线c bx ax y ++=22相交，当32y y ≤时，利用图像写出此时x 的取值范围是 （ ）（A ）1-≤x ； （B ）3≥x ； （C ）31≤≤-x ； （D ）0≥x .二、填空题 7. 已知31==d c b a ，那么db c a ++的值是 . 8. 已知线段AB 长是2厘米，p 是线段AB 上的一点，且满足BP AB AP ⋅=2,那么AP 长为____厘米. 9. 已知ABC △的三边长是262、、，DEF △的两边长分别是1和3，如果ABC △与DEF △相似，那么DEF △的第三边长应该是 .10. 如果一个反比例函数图像与正比例函数x y 2=图像有一个公共点),1(a A ，那么这个反比例函数的解析式是 .11. 如果抛物线c bx ax y ++=2（其中c b a 、、是常数，且0≠a ）在对称轴左侧的部分是上升的，那么a 0.（填“<”或“>”）12. 将抛物线2)(m x y +=向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是 .13. 如图，斜坡AB 的坡度是4:1，如果从点B 测得离地面的铅垂线高度BC 是6米，那么斜坡`AB 的长度是 米.(第15题图) (第13题图)14. 在等腰ABC Δ中，已知5==AC AB ，8=BC ，点G 是重心，联结BG ，那么CBG ∠的余切值是__________. 15. 如图，ABC Δ中，点D 在边AC 上，C ABD ∠=∠，9=AD ，7=DC ，那么=AB _______. 16. 已知梯形ABCD ，BC AD //，点E 和点F 分别在两腰AB 和DC 上，且EF 是梯形的中位线，3=AD ，4=BC 。
上海市16区2018年中考一模数学试题分类汇编_平面向量(含答案解析)
上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编平面向量专题宝山区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，AB ∥CD ∥EF ，而且线段AB 、CD 、EF 的长度分别为5、3、2． （1）求AC ：CE 的值；（2）如果AE 记作a ，BF 记作b ，求CD （用a 、b 表示）．长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在∆ABC 中，点D 在边AB 上，DE //BC ，DF //AC ，DE 、DF 分别交边AC 、BC于点E 、F ，且23=EC AE ． （1）求BCBF的值；（2）联结EF ，设a BC =，b AC =，用含a 、b 的式子表示EF ．崇明区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，在ABC △中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ， 已知5AD =，4BD =．第20题图FBAD E（1）求BC的长度；（2）如果AD a=，AE b=，那么请用a、b表示向量CB．奉贤区20.（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD想交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G.（1）求FG的长；（2）设AD a=，DC b=，用、a b的线性组合表示AF.虹口区如图，在△ABC中，点E在边AB上，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．（1）若AB a=，AC b=，用向量、a b表示向量AG；（2）若∠B=∠ACE，AB=6，AC=，BC=9，求EG的长．AB CD E（第20题图）第20题图黄浦区嘉定区金山区如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=AB a，=AD b，求向量MN关于a、b的分解式．静安区闵行区浦东新区20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设BC a=．（1）=DE▲（用向量a表示）；（2）设AB b=，在图中求作12b a+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）普陀区22．（本题满分10分）下面是一位同学做的一道作图题：（第20题图）AB CD EMOABC Dabc N2.在OM 上依次截取OA a =，AB b =.3.在ON 上截取OC c =.4.联结AC ，过点B 作BD ∥AC ，交ON 于点D .所以：线段____________就是所求的线段x .（1）试将结论补完整：线段 ▲ 就是所求的线段x . （2）这位同学作图的依据是 ▲ ；（3）如果4OA =，5AB =，AC m =，试用向量m 表示向量DB ．松江区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF //AB ，2CF ADFA DB==. （1）设AB a =，AC b =.试用a 、b 表示AE （2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积.徐汇区19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5． （1）求AC 的长（2）若设,CA a CB b ==u u r r u u r r，试用a 、b 的线性组合表示向量CD uu u r. 杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .(第20题图)CE F BAD参考答案宝山区长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵23=EC AE ∴52=AC EC （1分） ∵DE //BC ∴52==AC EC AB BD （2分） 又∵DF //AC ∴52==AB BD BC BF （2分） （2）∵52=BC BF ∴53=BC FC ∵a BC =，CF 与BC 方向相反 ∴a CF 53-= （2分）同理：52= （2分）又∵→+=CF EC EF ∴→-=a b EF 5352 （1分）崇明区20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠∴ABE DEB =∠∠ ………………………………………………………2分 ∴4BD DE == ∵ED BC ∥ ∴DE ADBC AB= ……………………………………1分 又∵5AD =，4BD = ∴9AB =∴459BC = ∴365BC = ………………………………………2分 （2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB = ∴95BC DE = …………………………………………………………1分又∵ED 与CB 同向 ∴95CB ED = ………………………………1分∵AD a =，AE b = ∴ED a b =- ……………………………1分 ∴9955CB a b =- …………………………………………………………2分 奉贤区虹口区黄浦区金山区静安区闵行区20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知向量a r 、b r 和p u r，求作：（1）向量132a b -+r r．（2）向量p u r分别在a r 、b r 方向上的分向量．20．解：（1）作图．…………………………………………………………………………（3分）结论． …………………………………………………………………………（1分） （2）作图．…………………………………………………………………………（4分）结论． …………………………………………………………………………（2分）浦东新区20．解：（1）=DE 23a ．……………………………（5分） （2）图正确得4分，结论：AF 就是所要求作的向量． …（1分）．普陀区22．解：（1）CD ； ····························································· （2分） （2）平行线分线段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例）；或：三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）. ······································································· （2分）（3）∵BD ∥AC ，∴AC OABD OB=． ········································ （1分） ∵4OA =，5AB =，∴49AC BD =． ····································（2分） 得94BD AC =． ···················································· （1分）∵94BD AC =，AC m =，DB 与AC 反向，∴94DB m =-． ····················································· （2分）a rp u r（第20题图） b r（第20题图）B青浦区 松江区20．解：（1）∵EF //AB∴CF CEFA EB = 又CF AD FA DB = ∴CE AD EB DB=…………………………………………（1分） ∴DE ∥AC ， ………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 是平行四边形………………………（1分）AE AF AD =+ ……………………………………（1分） ∵2CF ADFA DB==,AB a =，AC b = ∴13AF b =， 23AD a =2133AE a b =+………………………………………（1分）（2）∵EF //AB ，2CFFA=∴9:4:=∆∆ABC CEF S S ………………………………（1分） ∵△ABC 的面积是9，∴4=∆CEF S ……………………………………………（1分） 由（1）得DE ∥AC ， 且2ADDB= ∴9:1:=∆∆ABC BD E S S ………………………………（1分） ∴1=∆BDE S …………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 的面积=9-4-1=4……………………（1分）徐汇区19．（1）在△ABC 中，∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴ ACD ABC ∆:V . ……………………………………………………（2分） ∴AD ACAC AB=，即2AC AD AB =g∴249AC =⨯， 6.AC = ……………………………………………（2分） （2） 49CD CA AD a AB =+=+uu u r uu r uuu r r uu u r……………………………………………（2分）4()9a AC CB =++r uu u r uu r 4()9a a b =+-+r r r………………………………（2分）5499a b =+r r………………………………………………………（2分）杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分） ∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a . ∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分） （2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分） ∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分） ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）。
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）
含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。
2023-2024学年上海市闵行区九年级(上)期末数学试卷(一模)+答案解析
2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，真命题是()A.两个直角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个钝角三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似2.在中，，，，那么的值是()A. B. C. D.3.下列说法错误的是()A.如果与都是单位向量，那么B.如果，那么或C.如果为非零向量，那么D.如果，为非零向量，那么与平行4.如图，已知，直线，，分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，那么下列比例式正确的是()A.B.C.D.5.已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是()A.对称轴是直线B.图象经过原点C.开口向上D.图象有最低点6.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过，，如果实数P表示的值，实数Q表示的值，那么P、Q的大小关系为()A.B.C.D.无法确定二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算：______.8.已知，那么______.9.计算：______.10.在中，，如果，，那么______.11.如图，在中，点D在边AC上，点E在边BC上，，AD：：3，那么的值为______.12.将抛物线向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是______.13.抛物线的对称轴是直线，如果点、在此抛物线上，那么______填“>”、“=”或“<”14.小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是______.15.已知反比例函数，如果，，那么k______填“>”或“<”16.“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步.两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达.喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离.”如图，已知，，M是AB上一点，，在C处测得点M的俯角为，，，那么______.17.新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数黄金数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”.如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么BD的长度为______.18.如图，在中，，，点D为边BC上的点，联结AD，将沿AD翻折，点B落在平面内点E处，边AE交边BC于点F，联结CE，如果，那么的值为______.三、解答题：本题共7小题，共78分。
最新上海市2018届中考一模数学试卷分类汇编：平面向量(Word版,含答案)
九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编平面向量专题20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，AB ∥CD ∥EF ，而且线段AB 、CD 、EF 的长度分别为5、3、2． （1）求AC ：CE 的值；（2）如果AE 记作a ，BF 记作b ，求CD （用a 、b表示）．20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在∆ABC 中，点D 在边AB 上，DE //BC ，DF //AC ，DE 、DF 分别交边AC 、BC于点E 、F ，且23=EC AE ． （1）求BCBF的值；（2）联结EF ，设=，=，用含、的式子表示EF ． 20．（本题满分10分，每小题各5分） 如图，在ABC △中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ，已知5AD =，4BD =．（1）求BC 的长度；（2）如果AD a = ，AE b = ，那么请用a 、b 表示向量CB．第20题图AD E ADE20.（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AD =2，点E 是边BC 的中点，AE 、BD 想交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交边DC 于点G . （1）求FG 的长；（2）设AD a = ，DC b = ，用、a b 的线性组合表示AF.如图，在△ABC 中，点E 在边AB 上，点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ．（1）若AB a = ，AC b = ，用向量、a b 表示向量AG； （2）若∠B =∠ACE ，AB =6，AC =，BC =9，求EG 的长．如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，设=AB a ，=AD b ，求向量MN关于a 、b 的分解式．20．（本题满分10分，每小题5分）第20题图且DE 经过△ABC 的重心，设BC a =． （1）=DE ▲ （用向量a表示）；（2）设AB b = ，在图中求作12b a +．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）22．（本题满分10分）下面是一位同学做的一道作图题：. ON 于点D .（1）试将结论补完整：线段 ▲ 就是所求的线段x . （2）这位同学作图的依据是 ▲ ；（3）如果4OA =，5AB =，AC m = ，试用向量m表示向量DB ．20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF //AB ，2CF ADFA DB==. （1）设AB a = ，AC b = .试用、表示AE（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积.MO ABCDab cN(第20题图)CE F B19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5． （1）求AC 的长（2）若设,CA a CB b ==u u r r u u r r，试用、的线性组合表示向量CD uu u r.20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值； （2）如果设AB a = ，CD b = ，试用a 、b 表示AC.参考答案20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵23=EC AE ∴52=AC EC （1分） ∵DE //BC ∴52==AC EC AB BD （2分）（第20题图）又∵DF //AC ∴52==AB BD BC BF （2分） （2）∵52=BC BF ∴53=BC FC ∵a BC =，CF 与BC 方向相反 ∴a CF 53-= （2分）同理：b EC 52= （2分）又∵→+=CF ∴→-=a b EF 5352 （1分）20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠∴ABE DEB =∠∠ ………………………………………………………2分 ∴4BD DE == ∵ED BC ∥ ∴DE AD BC AB= ……………………………………1分 又∵5AD =，4BD = ∴9AB =∴459BC = ∴365BC = ………………………………………2分 （2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB = ∴95BC DE = …………………………………………………………1分又∵ED 与CB同向 ∴95CB ED = ………………………………1分∵AD a = ，AE b = ∴ED a b =-……………………………1分∴9955CB a b =-…………………………………………………………2分20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知向量a r 、b r 和p u r，求作：（1）向量132a b -+r r． （2）向量p u r分别在a r 、b r 方向上的分向量．20．解：（1）作图．…………………………………………………………………………（3分）结论． …………………………………………………………………………（1分） （2）作图．…………………………………………………………………………（4分）结论． …………………………………………………………………………（2分）a r p u r （第20题图）b r20．解：（1）=23a．……………………………（5分）（2）图正确得4分，结论：AF 就是所要求作的向量． …（1分）．22．解：（1）CD ； ·························································································································· （2分） （2）平行线分线段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例）；或：三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）. ··············································································································································· （2分）（3）∵BD ∥AC ，∴AC OABD OB=． ················································································ （1分） ∵4OA =，5AB =，∴49AC BD =． ········································································· （2分） 得94BD AC =． ········································································································· （1分）∵94BD AC = ，AC m = ，DB 与AC反向，∴94DB m =- ． ·········································································································· （2分）20．解：（1）∵EF //AB∴CF CEFA EB = 又CF AD FA DB = ∴CE AD EB DB=…………………………………………（1分） ∴DE ∥AC ， ………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 是平行四边形………………………（1分）AE AF AD =+……………………………………（1分）∵2CF ADFA DB ==,AB a = ，AC b = ∴13AF b = ， 23A D a= 2133AE a b =+………………………………………（1分）（2）∵EF //AB ，2CFFA=（第20题图）B∴9:4:=∆∆ABC CEF S S ………………………………（1分） ∵△ABC 的面积是9，∴4=∆CEF S ……………………………………………（1分） 由（1）得DE ∥AC ， 且2ADDB= ∴9:1:=∆∆ABC BD E S S ………………………………（1分） ∴1=∆BDE S …………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 的面积=9-4-1=4……………………（1分） 19．（1）在△ABC 中，∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴ ACD ABC ∆:V . ……………………………………………………（2分）∴AD ACAC AB=，即2AC AD AB =g ∴249AC =⨯， 6.AC = ……………………………………………（2分） （2） 49CD CA AD a AB =+=+uu u r uu r uuu r r uu u r……………………………………………（2分）4()9a AC CB =++r uuu r uu r 4()9a a b =+-+r r r………………………………（2分）5499a b =+r r………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分） ∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分） （2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分）∵AB a = ，CD b = ，∴25AD a = . DC b =-.--------------------（2分）∵AC AD DC =+，∴25AC a b =- .-----------------------------------（2分）。
上海市16区2018届中学考试一模数学试卷分类总汇编：几何证明含问题详解
上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编几何证明专题宝山区23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点C 作CF ∥AB 交△ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G ． （1）求证：GAE AC EGC ＝； （2）若AH 平分∠BAC ，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项．长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE，DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2．（1）求证：BFD ∆∽CAD ∆； （2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．F EDA第23题图崇明区23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； （2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．奉贤区已知：如图，四边形ABCD ，∠DCB =90°，对角线BD ⊥AD ，点E 是边AB 的中点，CE 与BD 相交于点F ，2BD AB BC =⋅ （1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）求证：BE CF BC EF ⋅=⋅.虹口区如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅． （1）求证AD AB AE AC ⋅=⋅；（2）当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长与△△ADEECFS S 的值．黄浦区23．（本题满分12分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项.（第23题图）ABDECGFC EABDF第23题图（1）求证：∠CDE =12∠ABC ； （2）求证：AD •CD =AB •CE .嘉定区23.如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE =∠BAC 。
上海市区届中考一模数学试卷分类汇编：平面向量(含标准答案)
上海市区届中考一模数学试卷分类汇编：平面向量(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编平面向量专题宝山区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，AB ∥CD ∥EF ，而且线段AB 、CD 、EF 的长度分别为5、3、2． （1）求AC ：CE 的值；（2）如果AE u u u r 记作a r ，BF u u u r 记作b r ，求CD u u u r （用a r 、b r表示）．长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在∆ABC 中，点D 在边AB 上，DE //BC ，DF //AC ，DE 、DF 分别交边AC 、BC于点E 、F ，且23=EC AE ．（1）求BCBF的值； （2）联结EF ，设a BC =，b AC =，用含a 、b 的式子表示EF ．崇明区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，在ABC △中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ， 已知5AD =，4BD =．第20FBACD E（1）求BC 的长度；（2）如果AD a =u u u r r ，AE b =u u u r r ，那么请用a r 、b r 表示向量CB u u u r．奉贤区20.（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AD =2，点E 是边BC 的中点，AE 、BD 想交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交边DC 于点G . （1）求FG 的长；（2）设AD a =u u u r r ，DC b =u u u r r ，用、a b r r 的线性组合表示AF u u u r.虹口区如图，在△ABC 中，点E 在边AB 上，点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ． （1）若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，用向量、a b r r 表示向量AG u u u r ； （2）若∠B =∠ACE ，AB =6，26AC =，BC =9，求EG 的长．A BCD E （第20题图）第20黄浦区嘉定区金山区如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=AB au u u r r，=AD bu u u r r，求向量MNu u u u r关于ar、br的分解式．静安区闵行区浦东新区20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设BC a=u u u r r．（1）=DE▲（用向量ar表示）；（2）设AB b=u u u r r，在图中求作12b a+r r．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）普陀区22．（本题满分10分）下面是一位同学做的一道作图题：已知线段a、b、(如图),求作线段x,使::a b c x=.他的作法如下：1.以点O为端点画射线OM，ON.2.在OM上依次截取OA a=，AB b=.3.在ON上截取OC c=.（第20题图）AB CD EbacMOABC Dabc N4.联结AC ，过点B 作BD ∥AC ，交ON 于点D .所以：线段____________就是所求的线段x .（1）试将结论补完整：线段 ▲ 就是所求的线段x . （2）这位同学作图的依据是 ▲ ；（3）如果4OA =，5AB =，AC m =u u u r u r ，试用向量m u r表示向量DB u u u r ．松江区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF //AB ，2CF ADFA DB==. （1）设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r v .试用a 、b 表示AE u u u r（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积.徐汇区19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5． （1）求AC 的长（2）若设,CA a CB b ==uu r r uu r r，试用a 、b 的线性组合表示向量CD uuu r. 杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值； （2）如果设AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，试用a r 、b r 表示AC uuu r.(第20题图)C EFB A D AB C DE （第20题图）参考答案宝山区长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵23=EC AE ∴52=AC EC （1分） ∵DE //BC ∴52==AC EC AB BD （2分）又∵DF //AC ∴52==AB BD BC BF （2分）（2）∵52=BC BF ∴53=BC FC∵a BC =，CF 与BC 方向相反 ∴a CF 53-= （2分）同理：b EC 52= （2分）又∵→+=CF EC EF ∴→-=a b EF 5352 （1分）崇明区20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠∴ABE DEB =∠∠ ………………………………………………………2分∴4BD DE == ∵ED BC ∥ ∴DE ADBC AB=……………………………………1分 又∵5AD =，4BD = ∴9AB =∴459BC = ∴365BC =………………………………………2分 （2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB =∴95BC DE = …………………………………………………………1分又∵ED u u u r 与CB u u ur 同向 ∴95CB ED =u u u r u u u r ………………………………1分∵AD a =u u u r r ，AE b =u u u r r ∴ED a b =-u u u r r r……………………………1分∴9955CB a b =-u u u r r r…………………………………………………………2分奉贤区虹口区黄浦区 金山区静安区闵行区20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知向量a r 、b r和p u r ，求作：（1）向量132a b -+r r． （2）向量p u r 分别在a r 、b r方向上的分向量．20．解：（1）作图．…………………………………………………………………………（3分）结论． …………………………………………………………………………（1分） （2）作图．…………………………………………………………………………（4分）结论． …………………………………………………………………………（2分）浦东新区20．解：（1）=DE 23a r ．……………………………（5分）（2）图正确得4分，结论：AF 就是所要求作的向量． …（1分）．普陀区a rp u r（第20题图） br（第20题图）A B C DE F22．解：（1）CD ； ·························································································································· （2分） （2）平行线分线段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例）；或：三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）. ··············································································································································· （2分）（3）∵BD ∥AC ，∴AC OABD OB=． ················································································ （1分） ∵4OA =，5AB =，∴49AC BD =． ········································································· （2分） 得94BD AC =． ········································································································· （1分）∵94BD AC =u u u r u u u r ，AC m =u u u r u r ，DB u u u r 与AC u u ur 反向，∴94DB m =-u u u r ur ． ·········································································································· （2分）青浦区松江区20．解：（1）∵EF //AB∴CF CEFA EB = 又CF AD FA DB = ∴CE ADEB DB=…………………………………………（1分） ∴DE ∥AC ， ………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 是平行四边形………………………（1分）AE AF AD =+u u u r u u u r u u u r……………………………………（1分）∵2CF ADFA DB ==,AB a =u u u r r ，AC b =u u u r v ∴13AF b =u u u r r ， 23AD a =u u u r r2133AE a b =+u u u r r r………………………………………（1分）（2）∵EF //AB ，2CFFA= ∴9:4:=∆∆ABC CEF S S ………………………………（1分） ∵△ABC 的面积是9，∴4=∆CEF S ……………………………………………（1分）由（1）得DE ∥AC ， 且2AD DB= ∴9:1:=∆∆ABC BDE S S ………………………………（1分）∴1=∆BDE S …………………………………………（1分）∴四边形ADEF 的面积=9-4-1=4……………………（1分）徐汇区19．（1）在△ABC 中，∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴ ACD ABC ∆:V . ……………………………………………………（2分） ∴AD AC AC AB=，即2AC AD AB =g ∴249AC =⨯， 6.AC = ……………………………………………（2分） （2） 49CD CA AD a AB =+=+uu u r uu r uuu r r uu u r ……………………………………………（2分） 4()9a AC CB =++r uu u r uu r 4()9a ab =+-+r r r ………………………………（2分） 5499a b =+r r ………………………………………………………（2分） 杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分） ∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE AD CB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分） （2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分）∵AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，∴25AD a =u u u r r . DC b =-u u u r r .--------------------（2分） ∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，∴25AC a b =-u u u r r r .-----------------------------------（2分）。
2018年上海市长宁区中考数学一模试卷(解析版)
2018年上海市长宁区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（）A．B．C．3sinαD．3cosα2．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，=2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．3．（4分）将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y=﹣（x+1）2+1 B．y=﹣（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+5 D．y=﹣（x+3）2+34．（4分）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P 与x轴的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交都有可能5．（4分）已知是单位向量，且=﹣2，=4，那么下列说法错误的是（）A．B．||=2 C．||=﹣2|| D．=﹣6．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）若线段a、b满足，则的值为．8．（4分）正六边形的中心角等于度．9．（4分）若抛物线y=（a﹣2）x2的开口向上，则a的取值范围是．10．（4分）抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为．11．（4分）已知△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，若△DEF 的面积为36，则△ABC的面积等于．12．（4分）已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP 的长为．13．（4分）若某斜面的坡度为1：，则该坡面的坡角为度．14．（4分）已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m n．（填“＞”、“＜”或“=”）15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G 作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于．16．（4分）已知⊙O1的半径为4，⊙O2的半径为R，若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=10，则R的值为．17．（4分）如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于．18．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：﹣cos30°．20．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF 分别交边AC、BC于点E、F，且．（1）求的值；（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．21．（10分）如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，=，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．（1）求弦AB的长；（2）求sin∠ABO的值．22．（10分）如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果精确到0.1米）23．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE 交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE=AB•AD．24．（12分）在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D 的坐标．25．（14分）已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．2018年上海市长宁区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，则AB的长可以表示为（）A．B．C．3sinαD．3cosα【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，AC=3，∴coaα=，∴AB==．故选：A．2．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，=2，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵当=时，DE∥BC，∴选项D正确，故选：D．3．（4分）将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）A．y=﹣（x+1）2+1 B．y=﹣（x﹣1）2+3 C．y=﹣（x+1）2+5 D．y=﹣（x+3）2+3【解答】解：∵将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y=﹣（x+1﹣2）2+3=﹣（x﹣1）2+3，故选：B．4．（4分）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P 与x轴的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交都有可能【解答】解：∵点P的坐标为（﹣2，3），∴点P到x轴的距离是3，∵2＜3，∴以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离，故选：A．5．（4分）已知是单位向量，且=﹣2，=4，那么下列说法错误的是（）A．B．||=2 C．||=﹣2|| D．=﹣【解答】解：∵=﹣2，=4，∴∥，||=2，=﹣，∴A、B、D正确，故选：C．6．（4分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是（）A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA【解答】解：A、∵∠DAC=∠DBC，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，故此选项正确，不合题意；B、∵△AOD∽△BOC，∴=，∴=，又∵∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△DOC，故此选项正确，不合题意；C、∵△AOB∽△DOC，∴∠BAO=∠ODC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BAC=∠BDC，∵∠DAC=∠DBC，∴∠CDB=∠CBD，∴CD=BC，故此选项正确，不合题意；D、无法得出BC•CD=AC•OA，故此选项错误，符合题意．故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）若线段a、b满足，则的值为．【解答】解：因为，所以，故答案为：；8．（4分）正六边形的中心角等于60度．【解答】解：∵正六边形的六条边都相等，∴正六边形的中心角==60°．故答案为：60．9．（4分）若抛物线y=（a﹣2）x2的开口向上，则a的取值范围是a＞2．【解答】解：∵抛物线y=（a﹣2）x2的开口向上，∴a﹣2＞0，解得a＞2．故答案为：a＞2；10．（4分）抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为（2，﹣1）．【解答】解：∵﹣=﹣=2，==﹣1，∴顶点坐标是（2，﹣1）．11．（4分）已知△ABC与△DEF相似，且△ABC与△DEF的相似比为2：3，若△DEF 的面积为36，则△ABC的面积等于16．【解答】解：∵△ABC～△DEF，相似比为2：3，∴△ABC的面积与△DEF的面积比为：4：9，∵△DEF的面积为36∴△ABC的面积为16，故答案为16．12．（4分）已知线段AB=4，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，那么AP 的长为6﹣2．【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP＜BP，则BP=×4=（2 ﹣2）cm．∴AP=4﹣BP=6﹣2故答案为：（6﹣2）cm．13．（4分）若某斜面的坡度为1：，则该坡面的坡角为30度．【解答】解：∵某斜面的坡度为1：，∴tanα==，∴α=30°．故答案为：30．14．（4分）已知点A（﹣2，m）、B（2，n）都在抛物线y=x2+2x﹣t上，则m与n的大小关系是m＜n．（填“＞”、“＜”或“=”）【解答】解：∵y=x2+2x﹣t=（x+1）2﹣t﹣1，∴a=1＞0，有最小值为﹣t﹣1，∴抛物线开口向上，∵抛物线y=x2+2x﹣t对称轴为直线x=﹣1，∵﹣2＜0＜2，∴m＜n．故答案为：＜15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点G是重心，联结AG，过点G 作DG∥BC，DG交AB于点D，若AB=6，BC=9，则△ADG的周长等于10．【解答】解：延长AG交BC于H．∵G是重心，∴AG：AH=2：3，∵DG∥BH，∴===，∴==，∴AD=4，DG=3，∵∠BAC=90°，AH是斜边中线，∴AH=BC=4.5，∴AG=AH=3，∴△ADG的周长=4+3+3=10．故答案为10；16．（4分）已知⊙O1的半径为4，⊙O2的半径为R，若⊙O1与⊙O2相切，且O1O2=10，则R的值为6或14cm．【解答】解：当⊙O1和⊙O2内切时，⊙O2的半径为10+4=14cm；当⊙O1和⊙O2外切时，⊙O2的半径为10﹣4=6cm；故答案为：6或14cm．17．（4分）如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形ABCD是等距四边形，AB∥CD，点B是等距点．若BC=10，cosA=，则CD的长等于16．【解答】解：如图作BM⊥AD于M，DE⊥AB于E，BF⊥CD于F．∵AB∥CD，易知四边形BEDF是矩形，∴DE=BF，∵点B是等距点，∴BA=BD=BC=10，在Rt△ABM中，cosA==，∴AM=DM=，BM=3，∵•AD•BM=•AB•DE，∴DE=BF=6，∵BD=BC，BF⊥CD，∴DF=CF==8，∴CD=2DF=16．故故答案为16．18．（4分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于．【解答】解：如图，作GH⊥BA交BA的延长线于H，EF交BG于O．∵四边形ABCD是菱形，∠D=60°，∴△ABC，△ADC度数等边三角形，AB=BC=CD=AD=2，∴∠BAD=120°，∠HAG=60°，'∵AG=GD=1，∴AH=AG=，HG=，在Rt△BHG中，BG==，∵△BEO∽△BGH，∴=，∴=，∴BE=，故答案为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：﹣cos30°．【解答】解：原式=﹣=﹣=2+﹣=2+．20．（10分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，DE、DF 分别交边AC、BC于点E、F，且．（1）求的值；（2）联结EF，设=，=，用含、的式子表示．【解答】解：（1）∵=，∴=，∵DE∥BC，∴==，又∵DF∥AC，∴==；（2）∵=，∴=，∵=，与方向相反，∴=﹣，同理：=，又∵=+=﹣．21．（10分）如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，=，联结AC、OB，若CD=40，AC=20．（1）求弦AB的长；（2）求sin∠ABO的值．【解答】解：（1）∵CD过圆心O，=，∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，∵CD=40，AC=20，∠ADC=90°，∴AD==20，∴AB=2AD=40；（2）设圆O的半径为r，则OD=40﹣r，∵BD=AD=20，∠ODB=90°，∴BD2+OD2=OB2，即202+（40﹣r）2=r2，解得，r=25，OD=15，∴sin∠ABO==．22．（10分）如图，一栋居民楼AB的高为16米，远处有一栋商务楼CD，小明在居民楼的楼底A处测得商务楼顶D处的仰角为60°，又在商务楼的楼顶D处测得居民楼的楼顶B处的俯角为45°．其中A、C两点分别位于B、D两点的正下方，且A、C两点在同一水平线上，求商务楼CD的高度．（参考数据：≈1.414，≈1.732．结果精确到0.1米）【解答】解：过点B作BE⊥CD与点E，由题意可知∠DBE=45°，∠DAC=60°，CE=AB=16，设AC=x，则CD=x，BE=AC=x，∵DE=CD﹣CE=x﹣16，∵∠BED=90°，∠DBE=45°，∴BE=DE，∴x=x﹣16，∴x=8+8，CD=x=24+8≈37.9（米），答：商务楼CD的高度为37.9米．23．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE 交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2=DE•DF．（1）求证：△BFD∽△CAD；（2）求证：BF•DE=AB•AD．【解答】证明：（1）∵AD2=DE•DF，∴，∵∠ADF=∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴∠F=∠DAE，又∵∠ADB=∠CDE，∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，即∠BDF=∠CDA，∴△BFD∽△CAD；（2）∵△BFD∽△CAD，∴，∵，∴，∵△BFD∽△CAD，∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴，∴BF•DE=AB•AD．24．（12分）在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D 的坐标．【解答】解：（1）当y=0时，x+2=0，解得x=﹣4，则A（﹣4，0）；当x=0时，y=x+2=2，则C（0，2），把A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣﹣x+2；（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，当y=0时，﹣﹣x+2=0，解得x1=﹣4，x2=1，则B（1，0）设E（x，x+2），∵S=•（1+4）•2=5，△ABC而△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，=4，∴S△AEB∴•（1+4）•（x+2）=4，解得x=﹣，∴E（﹣，），∴BH=1+=，在Rt△BHE中，cot∠EBH===，即∠DBA的余切值为；（3）∠AOC=∠DFC=90°，若∠DCF=∠ACO时，△DCF∽△ACO，如图2，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DC交x轴于点Q，∵∠DCQ=∠AOC，∴∠DCF+∠ACQ=90°，即∠ACO+∠ACQ=90°，而∠ACO+∠CAO=90°，∴∠ACQ=∠CAO，∴QA=QC，设Q（m，0），则m+4=，解得m=﹣，∴Q（﹣，0），∵∠QCO+∠DCG=90°，∠QCO+∠CQO=90°，∴∠DCG=∠CQO，∴Rt△DCG∽Rt△CQO，∴=，即===，设DG=4t，CG=3t，则D（﹣4t，3t+2），把D（﹣4t，3t+2）代入y=﹣﹣x+2得﹣8t2+6t+2=3t+2，整理得8t2﹣3t=0，解得t1=0（舍去），t2=，∴D（﹣，）；当∠DCF=∠CAO时，△DCF∽△CAO，则CD∥AO，∴点D的纵坐标为2，把y=2代入y=﹣﹣x+2得﹣﹣x+2=2，解得x1=﹣3，x2=0（舍去），∴D（﹣3，2），综上所述，点D的坐标为（﹣，）或（﹣3，2）．25．（14分）已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．【解答】解：（1）如图，∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠ABF=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，∴∠BPA=90°，∴∠ABD+∠BAF=90°，∴∠ADB=∠BAF，∵tan∠ADB===，∴tan∠BAF==，∴BF=1，∴S=•AB•BF=×2×1=1．△ABF（2）如图1中，∵PF⊥BP，∴∠BPF=90°，∴∠PFB+∠PBF=90°，∵∠ABF=90°，∴∠PBF+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠PFB，又∵∠BAP=∠FPE∴△BAP∽△FPE，∴=，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠PBF，∴tan∠PBF=tan∠ADB=，即=，∵BP=2﹣x，∴PF=（2﹣x），∴=，∴y=（≤x＜2）．（3）①当点F在线段BC上时，如图1﹣1中，∵∠FPB=∠BCD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠4=∠5，∠4+∠7=90°，∠5+∠6=90°，∴∠6=∠7，∴△PEF∽△PCD，∴=，∴=，整理得：x2﹣2x+4=0，解得x=±1．②如图2中，当点F在线段BC的延长线上时，作PH⊥AD于H，连接DF．由△APH∽△DFC，可得=，∴=，解得x=或（舍弃），综上所述，PD的长为±1或．。
上海市普陀区2018年中考数学一模试卷(含答案解析)
2018 年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）[ 以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应地点上]1. 以下函数中，y对于x的二次函数是（）A．y=ax2+bx+cB．y=x（ x﹣1）C． D ．y=（ x﹣1）2﹣x2【剖析】依据二次函数的定义，逐个剖析四个选项即可得出结论．【解答】解： A、当 a=0 时， y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（ x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y= 不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．应选：B．【评论】本题考察了二次函数的定义，切记二次函数的定义是解题的重点．C=90°，AC=2，以下结论中，正确的选项是（）2. 在Rt △ ABC中，∠A．AB=2sinA B． AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【剖析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠ C=90°， AC=2，∴cosA==，故AB=，应选项 A ，B 错误；tanA==，则 BC=2tanA，应选项 C 正确；则选项 D错误．应选： C．【评论】本题主要考察了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题重点．3.如图，在△ ABC中，点 D、 E 分别在边 AB、AC 的反向延伸线上，下边比率式中，不能判断 ED∥BC 的是（）A．B．C．D．【剖析】依据平行线分线段成比率定理，对各选项进行逐个判断即可．【解答】解： A．当时，能判断 ED∥BC；B. 当时，能判断 ED∥ BC；C. 当时，不可以判断 ED∥ BC；D. 当时，能判断ED∥ BC；应选： C．【评论】本题考察的是平行线分线段成比率定理，假如一条直线截三角形的两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比率，那么这条直线平行于三角形的第三边．）4.已知，以下说法中，不正确的选项是（A．B．与方向同样C．D．【剖析】依据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握清除法在选择题中的应用．【解答】解： A、错误．应当是﹣5= ；B、正确．因为，因此与的方向同样；C、正确．因为，因此∥；D、正确．因为，因此| |=5| | ；应选：A．【评论】本题考察了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向同样或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形 ABCD中， F 是边 AD 上的一点，射线 CF 和 BA 的延伸线交于点E，假如，那么的值是（）A．B．C．D．【剖析】依据相像三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形ABCD 中，∴AE∥CD，∴△ EAF∽△ CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△ EAF∽△ EBC，∴=，应选：D．【评论】本题考察相像三角形的判断和性质，综合运用了平行四边形的性质和相像三角形的性质是解题重点．6.如图，已知 AB 和 CD 是⊙O 的两条等弦． OM⊥AB， ON⊥ CD，垂足分别为点 M、N，BA、 DC 的延伸线交于点 P ，联络 OP．以下四个说法中：①；② OM=ON；③ PA=PC；④∠ BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【剖析】如图连结 OB、OD，只需证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌ Rt△OPN即可解决问题．【解答】解：如图连结 OB、 OD；∵AB=CD，∴= ，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴A M=MB， CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴R t△OMB≌Rt△OND，∴O M=ON，故②正确，∵OP=OP，∴R t△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠ OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，应选：D．【评论】本题考察垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判断和性质等知识，解题的重点是学会增添常用协助线面结构全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．假如=，那么=．【剖析】利用比率的性质由=获得=，则可设a=2t ， b=3t，而后把a=2t ，b=3t 代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t ，b=3t ，∴==．故答案为．【评论】本题考察了比率的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段 a=4 厘米， b=9 厘米，线段 c 是线段 a 和线段 b 的比率中项，线段 c 的长度等于6厘米．【剖析】依据比率中项的定义，列出比率式即可得出中项，注意线段不可以为负．【解答】解：依据比率中项的观点联合比率的基天性质，得：比率中项的平方等于两条线段的乘积．因此 c 2=4× 9，解得 c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为： 6．【评论】本题考察比率线段、比率中项等知识，解题的重点是娴熟掌握基本观点，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7．【剖析】依据屏幕绚烂的加法法例计算即可【解答】解：：= ﹣ 4 +6 =﹣ 4 +7 ，故答案为；【评论】本题考察平面向量的加减法例，解题的重点是娴熟掌握平面向量的加减法例，注意平面向量的加减合适加法互换律以及联合律，合适去括号法例．y=3x 2+2x 在对称轴的左边部分是降落的10.在直角坐标系平面内，抛物线（填“上涨”或“降落”）【剖析】由抛物线分析式可求得其张口方向，再联合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：2∵在 y=3x +2x 中， a=3＞0，∴在对称轴左边部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是降落的，故答案为：降落．【评论】本题主要考察二次函数的性质，利用二次函数的分析式求得抛物线的张口方向是解题的重点．1.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣ 2）．【剖析】求自变量为 0 时的函数值即可获得二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把 x=0 代入 y= （x﹣1）2﹣3 得 y=1 ﹣3=﹣2，因此该二次函数的图象与 y 轴的交点坐标为（ 0，﹣ 2），故答案为（ 0，﹣ 2）．【评论】本题考察了二次函数图象上点的坐标特点，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线 y=2x 2平移，使极点挪动到点 P （﹣ 3，1）的地点，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1．【剖析】因为抛物线平移前后二次项系数不变，而后依据极点式写出新抛物线分析式．【解答】解：抛物线 y=2x 2平移，使极点移到点P （﹣ 3， 1）的地点，所得新抛物线的表达式为 y=2 （x+3）2+1．故答案为： y=2（x+3）2+1．【评论】本题考察了二次函数图象与几何变换：因为抛物线平移后的形状不变，故a不变，因此求平移后的抛物线分析式往常可利用两种方法：一是求出原抛物线上随意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出分析式；二是只考虑平移后的极点坐标，即可求出分析式．13.在直角坐标平面内有一点 A （3，4），点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴夹角为α，那么角α 的余弦值是．【剖析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA= =5，∴cos α= ．故答案为：．【评论】本题考察认识直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，本题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ ABC 中， AB=AC，点 D 、E 分别在边 BC、AB 上，且∠ ADE=∠B，假如 DE：AD=2：5，BD=3，那么 AC=，．【剖析】依据∠ ADE=∠B，∠ EAD=∠DAB，得出△ AED∽△ ABD，利用相像三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ ADE=∠B，∵∠ EAD=∠DAB，∴△ AED∽△ ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【评论】本题考察了相像三角形的判断与性质．重点是要懂得找相像三角形，利用相像三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽 AD=6 米，坝高是 20 米，背水坡AB 的坡角为 30 °，迎水坡 CD 的坡度为 1 ： 2，那么坝底 BC 的长度等于（46+20）米（结果保存根号）【剖析】过梯形上底的两个极点向下底引垂线AE、DF，获得两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF 求得线段 BE、 CF 的长，而后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F，则四边形 ADFE 是矩形．由题意得， EF=AD=6米， AE=DF=20米，∠ B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1 ： 2 ，在 Rt△ABE 中，∵∠ B=30°，∴BE= AE=20米．在 Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40米，∴BC=BE+EF+FC=20 +6+40=46+20（米）．因此坝底 BC 的长度等于（ 46+20）米．故答案为（ 46+20）．【评论】本题考察认识直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的重点是结构直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知 Rt △ ABC中，∠ C=90°，AC=3，BC= ， CD⊥ AB，垂足为点 D，以点 D 为圆心作⊙D，使得点 A 在⊙D 外，且点 B 在⊙D 内．设⊙D 的半径为 r ，那么 r 的取值范围是．【剖析】先依据勾股定理求出AB 的长，从而得出 CD 的长，由点与圆的地点关系即可得出结论．【解答】解：∵ Rt△ABC中，∠ ACB=90， AC=3， BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．2∵AD?BD=CD，设 AD=x，BD=4﹣x．解得 x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r 的范围是，故答案为：．【评论】本题考察的是点与圆的地点关系，熟知点与圆的三种地点关系是解答本题的重点．17.如图，点 D 在△ ABC的边 BC 上，已知点 E、点 F 分别为△ ABD和△ ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF 的长等于4．【剖析】连结 AE 并延伸交 BD 于 G，连结 AF 并延伸交 CD 于 H，依据三角形的重心的观点、相像三角形的性质解答．【解答】解：如图，连结 AE 并延伸交 BD 于 G，连结 AF 并延伸交 CD 于 H，∵点E 、F 分别是△ ABD 和△ ACD的重心，∴DG= BD，DH= CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH=（ BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE， AF=2HF，∠ EAF=∠GAH，∴△ EAF∽△ GAH，∴= = ，∴EF=4，故答案为： 4．【评论】本题考察了三角形重心的观点和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到极点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍．18.如图，△ ABC中， AB=5，AC=6，将△ ABC翻折，使得点 A 落到边 BC 上的点 A′处，折痕分别交边 AB、AC 于点 E，点 F ，假如 A′F∥AB，那么 BE=．【剖析】设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F， CF=6﹣（ 5﹣ x）=1+x，依照△ A'CF ∽△ BCA，可得=，即=，从而获得BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠ AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得， AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F， CF=6﹣（ 5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△ A'CF∽△ BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【评论】本题主要考察了折叠问题以及相像三角形的判断与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共7 题，满分 78 分）19．（ 10 分）计算：45°．【剖析】直接利用特别角的三角函数值从而代入化简得出答案．【解答】解：原式 =﹣×=﹣=．【评论】本题主要考察了特别角的三角函数值，正确记忆有关数据是解题重点． 20 ．（ 10 分）已知一个二次函数的图象经过 A（0，﹣ 3），B（1，0），C（m，2m+3）， D（﹣ 1，﹣ 2）四点，求这个函数分析式以及点 C 的坐标．【剖析】设一般式 y=ax 2+bx+c，把 A、 B、 D 点的坐标代入得，然后解法组即可获得抛物线的分析式，再把C（ m， 2m+3）代入分析式获得对于m 的方程，解对于 m 的方程可确立 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的分析式为y=ax 2+bx+c，把 A （0，﹣ 3）， B（1， 0），D（﹣ 1，﹣ 2）代入得，解得，∴抛物线的分析式为y=2x 2+x﹣3，把 C（m，2m+3）代入得 2m2+m﹣3=2m+3，解得 m1=﹣， m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【评论】本题考察了待定系数法求二次函数的分析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要依据题目给定的条件，选择合适的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的极点或对称轴时，常设其分析式为极点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其分析式为交点式来求解．21．（ 10 分）如图，已知⊙O 经过△ ABC 的极点 A 、B，交边 BC 于点 D，点A 恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O 的半径．【剖析】如图，连结 OA．交 BC 于 H．第一证明OA⊥BC，在 Rt△ACH中，求出 AH，设2 2 2⊙O的半径为 r ，在 Rt△BOH中，依据 BH +OH=OB，建立方程即可解决问题；【解答】解：如图，连结 OA．交 BC 于 H ．∵点 A 为的中点，∴OA⊥BD， BH=DH=4，∴∠ AHC=∠BHO=90°，∵s inC= = ，AC=9，∴AH=3，设⊙ O 的半径为 r ，2 2 2在 Rt△BOH中，∵ BH+OH=OB，2 2 2，∴4+（ r ﹣ 3）=r∴r= ，∴⊙O 的半径为．【评论】本题考察圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构直角三角形解决问题．22．（ 10 分）下边是一位同学的一道作图题：已知线段 a 、b、c（如图），求作线段 x ，使 a ：b=c：x他的作法以下：（）1 、以点 O 为端点画射线 OM，ON．（）2 、在 OM 上挨次截取 OA=a， AB=b．（）3 、在 ON 上截取 OC=c．（）4 、联络 AC，过点 B 作 BD∥AC，交 ON 于点 D．因此：线段CD 就是所求的线段 x ．①试将结论补完好②这位同学作图的依照是平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得对应线段成比率③假如 OA=4， AB=5，，试用向量表示向量．【剖析】①依据作图依照平行线分线段成比率定理求解可得；②依据“平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得对应线段成比率”可得；③先证△ OAC∽△ OBD得=，即BD=AC，从而知==﹣=﹣．【解答】解：①依据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x ，故答案为： CD；②这位同学作图的依照是：平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得对应线段成比率；故答案为：平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得对应线段成比率；③∵ OA=4、 AB=5，且 BD∥AC，∴△ OAC∽△ OBD，∴=，即=，∴B D= AC，∴==﹣=﹣．【评论】本题主要考察作图﹣复杂作图，解题的重点是娴熟掌握平行线分线段成比率定理及向量的计算．23．（12 分）已知：如图，四边形ABCD的对角线 AC 和BD 相交于点 E，AD=DC，2DC=DE?DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB?BC=BD?BE．【剖析】（1）由∠ DAC=∠DCA，对顶角∠ AED=∠BEC，可证△ BCE∽△ ADE．（2）依据相像三角形判断得出△ ADE∽△ BDA，从而得出△ BCE∽△ BDA，利用相像三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵ AD=DC，∴∠ DAC=∠DCA，2∵DC=DE?DB，∴= ，∵∠ CDE=∠BDC，∴△ CDE∽△ BDC，∴∠ DCE=∠DBC，∴∠ DAE=∠EBC，∵∠ AED=∠BEC，∴△ BCE∽△ ADE，2（2）∵ DC=DE?DB， AD=DC2∴AD=DE?DB，同法可得△ ADE∽△ BDA，∴∠ DAE=∠ABD=∠EBC，∵△ BCE∽△ ADE，∴∠ ADE=∠BCE，∴△ BCE∽△ BDA，∴=，∴AB?BC=BD?BE．【评论】本题考察了相像三角形的判断与性质．重点是要懂得找相像三角形，利用相像三角形的性质求解．24．（ 12 分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2+2ax+c（此中常数，且 a ＜ 0）与 x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与 y 轴交于点物线极点 C 到 x轴的距离为 4 a 、 c 为B ，此抛（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）假如点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【剖析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，而后再求得点 C 的坐标，设抛物线的分析式为 y=a （x+1）2 +4，将点（﹣3， 0）代入求得 a 的值即可；（2）先求得A、B、C 的坐标，而后依照两点间的距离公式可获得BC、AB、AC 的长，而后依照勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依照锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），而后再证明∠DBO=∠CAB，从而可证明∠ CAO=ABD，故此当点 P 与点 D 重合时，∠ ABP=∠CAO；当点 P 在 AB 的上时．过点 P 作 PE∥AO，过点 B 作 BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠ EPB=∠CAB，则tan ∠EPB= ，设 BE=t ，则 PE=3t ，P（﹣ 3t ，3+t ），将P （﹣ 3t ， 3+t ）代入抛物线的分析式可求得t 的值，从而可获得点 P 的坐标．【解答】解：（ 1）抛物线的对称轴为x= ﹣=﹣1．∵a＜ 0，∴抛物线张口向下．又∵抛物线与 x轴有交点，∴C 在 x轴的上方，∴抛物线的极点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的分析式为 y=a （x+1）2+4，将点（﹣ 3，0）代入得： 4a+4=0，解得： a=﹣1，∴抛物线的分析式为 y= ﹣x2﹣ 2x+3．（2）将x=0代入抛物线的分析式得：y=3，∴B（ 0，3）．∵C（﹣ 1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，22 2∴BC+AB=AC，∴∠ ABC=90°．∴tan ∠CAB== ．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 对于 x= ﹣1 对称，∴D（ 1，0）．∴t an ∠DBO= ．又∵由（ 2）可知： tan ∠CAB= ．∴∠ DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠ BAO=∠ABO．∴∠ CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图 2 所示：当点 P 在 AB 的上时．过点 P 作 PE∥AO，过点 B 作 BF∥AO，则 PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠ BAO=∠FBA．又∵∠ CAO=∠ABP，∴∠ PBF=∠ CAB．又∵PE∥BF，∴∠ EPB=∠PBF，∴∠ EPB=∠CAB．∴t an ∠EPB= ．设 BE=t ，则 PE=3t ， P（﹣ 3t ，3+t ）．将 P（﹣ 3t ，3+t ）代入抛物线的分析式得： y=﹣ x2﹣2x+3 得：﹣9t 2+6t+3=3+t ，解得 t=0 （舍去）或 t= ．∴P（﹣，）．综上所述，点 P 的坐标为 P（ 1， 0）或 P（﹣，）．【评论】本题主要考察的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的分析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t的式子表示点P的坐标是解题的重点．25．（ 14 分）如图 1 ，∠ BAC的余切值为 2 ， AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D 不与点 A 、B 重合），以点 D 为极点的正方形 DEFG 的另两个极点E 、F 都在射线 AC上，且点 F 在点 E 的右边，联络 BG，并延伸 BG，交射线 EC 于点 P ．（ 1）点D在运动时，以下的线段和角中，④⑤ 是一直保持不变的量（填序号）；①AF；② FP；③ BP；④∠ BDG；⑤∠ GAC；⑥∠ BPA；（ 2）设正方形的边长为x ，线段 AP 的长为 y ，求 y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）假如△PFG与△AFG相像，但面积不相等，求此时正方形的边长．【剖析】（1）作 BM⊥AC 于 M，交 DG 于 N，如图，利用三角函数的定义获得=2，设 BM=t，则 AM=2t，利用勾股定理得（ 2t ）2+t 2=（ 2 ）2，解得t=2 ，即 BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x ，则 AE=2x，AF=3x，因为tan ∠GAF= = ，则可判断∠ GAF为定值；再利用 DG∥AP 获得∠ BDG=∠BAC，则可判断∠ BDG为定值；在 Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB 在变化，∠ BPM在变化， PF 在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相像比可获得y 与 x的关系式；（3）因为∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相像，且面积不相等，利用相像比获得PF= x，议论：当点P 在点 F 点右边时，则AP=x ，因此=x，当点 P 在点 F 点左边时，则 AP= x，因此= x，而后分别解方程即可获得正方形的边长．【解答】解：（ 1）作 BM⊥AC 于 M，交 DG 于 N，如图，在 Rt△ABM中，∵ cot ∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，22 2∵AM+BM=AB，∴（ 2t ）2+t 2=（2 ） 2，解得t=2 ，∴BM=2， AM=4，设正方形的边长为x ，在 Rt△ADE中，∵ cot ∠DAE= =2，∴AE=2x，∴AF=3x，在 Rt△GAF中， tan ∠GAF= = = ，∴∠ GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠ BDG=∠BAC，∴∠ BDG为定值；在 Rt△BMP中， PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠ BPM在变化，∴PF 在变化，因此∠ BDG和∠ GAC是一直保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△ BDG∽△ BAP，∴= ，即=，∴y=（1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相像，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点 P 在点 F 点右边时， AP= x，∴= x，解得 x=，当点 P 在点 F 点左边时， AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴= x，解得 x=，综上所述，正方形的边长为或．【评论】本题考察了相像形综合题：娴熟掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相像三角形的判断与性质．。
2023-2024学年上海市徐汇区九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析
2023-2024学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列抛物线中，对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣2x 2．（4分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A．B．C．D．3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）A．B．＝﹣C．﹣D．5．（4分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．米B．米C．200米D．米6．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）A．CE∥AD B．BD＝ADC．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：2sin60°﹣cot30°＝．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP ＝．9．（4分）已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：，那么△ABC和△DEF的面积比是．10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：AB＝2：3，AE＝4，CE ＝2，DE＝3，那么BC的长是．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，那么BE的长是．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么AB的长是．13．（4分）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是米（结果保留根号）．14．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是．15．（4分）如图，在△ABC中，AD和BE是△ABC的高，且交于点F，已知AB＝13，BC ＝14，AC＝15，那么∠AFE的正切值是．16．（4分）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是里．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是．18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，如果点P在△ABC的内部，且满足∠APC＝∠BPC＝135°，那么CP的长是．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）已知：．（1）求代数式的值；（2）当2a+3b﹣3＝35时，求a、b的值．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点为D．（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）联结CD、BD，求∠CDB的余弦值．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，CD＝BD＝8，AB＝5．（1）求BC的长；（2）设，，求向量（用向量，表示）．22．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73）23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD．（1）求证：AD•CD＝CE•DE；（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y＝ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知m＜n，且mn＝﹣4，与y 轴负半轴交于点C．①求k的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD、CP，如果，求点P的坐标．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．（1）当点D是边AB的中点时，求sin∠DCB的值；（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，∠EAC的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC的大小；（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且∠CPD＝∠CGD，如果点P 到直线CD的距离等于线段GE的长度，求△CDE的面积．2023-2024学年上海市徐汇区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列抛物线中，对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝x2+2x D．y＝x2﹣2x【分析】分别求出题目中四个选项中所给出的抛物线的对称轴即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+1的对称轴为y轴；∴选项A不符合题意；∵抛物线y＝x2﹣1的对称轴为y轴；、∴选项A不符合题意；∵抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为x＝﹣1；∴选项C不符合题意；∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴该抛物线的对称轴为x＝1，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法与技巧是解决问题的关键．2．（4分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），直线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么sinα的值是（）A．B．C．D．【分析】过点A作x轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：过点A作x轴的垂线，垂足为B，由点A的坐标为（4，3）可知，OB＝4，AB＝3，所以AO＝．在Rt△AOB中，sinα＝．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，能构造出直角三角形是解题的关键．3．（4分）下列两个三角形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个等腰三角形C．两个等边三角形D．两个面积相等的三角形【分析】由相似三角形的判定，即可判断．【解答】解：A、B、D中的两个三角形不一定相似，故A、B、D不符合题意；C、两个等边三角形相似，故C符合题意．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法．4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，设，，那么向量、、、关于、的分解式中，下列结论正确的是（）A．B．＝﹣C．﹣D．【分析】根据平行四边形对角线互相平分结合平面向量的运算法则逐一判断即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，，，∴，，＝，＝，故选项A、C、D错误，选项B正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的运算法则，平行四边形的性质，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．5．（4分）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60°，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是（）A．米B．米C．200米D．米【分析】根据正切的定义求出AB，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝200米，∠ABC＝60°，∵sin B＝，∴AB＝＝＝（米），故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．（4分）如图，点D是△ABC内一点，点E在线段BD的延长线上，BE与AC交于点O，分别联结AD、AE、CE，如果，那么下列结论正确的是（）A．CE∥AD B．BD＝ADC．∠ABE＝∠CBE D．BO•AE＝AO•BC．【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵，∴△ADE∽△ABC，∴∠ACB＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠AOE＝∠BOC，∴△AOE∽△BOC，∴，∴BO•AE＝AO•BC．∴D选项的结论正确．∵，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABE＝∠ACE，显然OE与OC不一定相等，∴∠ACE与∠BEC不一定相等，∴CE与BD不一定平行，∴A，C不一定正确，∵BD与AD不一定相等，∴B不一定正确．故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）求值：2sin60°﹣cot30°＝0．【分析】把sin60＝，cot30°＝代入原式得到2×﹣，然后进行二次根式的运算即可．【解答】解：原式＝2×﹣＝﹣＝0．故答案为0．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°＝，cot30°＝．8．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝2，那么BP＝3﹣．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以AP＝AB，代入数据即可得出AP的长度，进而得出BP．【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝a＝＝﹣1．BP＝2﹣（﹣1）＝；故答案为：3﹣【点评】此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．9．（4分）已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：，那么△ABC和△DEF的面积比是2：9．【分析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，由此即可计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们对应高的比是AM：，∴△ABC和△DEF的相似比是：3，∴△ABC和△DEF的面积比是：32＝2：9．故答案为：2：9．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：AB＝2：3，AE＝4，CE＝2，DE＝3，那么BC的长是．【分析】根据题意推出＝，结合∠A＝∠A，即可推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵AE＝4，EC＝2，∴AC＝AE+EC＝6，∴＝＝，∵AD：AB＝2：3，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵DE＝3，∴BC＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，那么BE的长是 4.2．【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AD＝2，DF＝1.5，CE＝1.8，∴＝，解得BE＝4.2．故答案为：4.2．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果△BCD和△ABD的面积比为9：16，CD＝12，那么AB的长是．【分析】先证明△ABD∽△BCD，根据相似三角形的性质求出AD和BD，进而求出AB 即可．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ABD+∠A＝90°，∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠CBD＝∠A，∴△ABD∽△BCD，∴，∵△BCD和△ABD的面积比为9：16，∴＝，∵CD＝12，∴BD＝16，AD＝，∴AB＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．13．（4分）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60°方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是（250﹣250）米（结果保留根号）．【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，证△PAN是等腰直角三角形，得NA＝PA＝x米，再由锐角三角函数定义得MA＝x米，然后由MA+NA＝MN，求出x＝250﹣250，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，则∠PAM＝∠PAN＝90°，设PA＝x米，由题意可知，∠MPA＝60°，∠NPA＝45°，∴△PAN是等腰直角三角形，∴NA＝PA＝x米，∵tan∠MPA＝＝tan60°＝，∴MA＝PA＝x（米），∵MA+NA＝MN＝500，∴x+x＝500，解得：x＝250﹣250，即监测点P到限速公路MN的距离是（250﹣250）米，故答案为：（250﹣250）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．14．（4分）将抛物线y＝﹣x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联结OA、AB，如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是（2，0）．【分析】由题意设A点的坐标为（m，﹣m2），然后根据等边三角形的性质得到B（2m，0），m＝m2，解得m＝，从而求得B（2，0）．【解答】解：∵点A抛物线y＝﹣x2上，∴设A点的坐标为（m，﹣m2），∵△AOB是等边三角形，∴B（2m，0），m＝m2，∴m＝或m＝0（舍去），∴B（2，0），故答案为：（2，0）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，AD和BE是△ABC的高，且交于点F，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，那么∠AFE的正切值是．【分析】利用勾股定理求出BE的长，再将∠AFE转化成∠C即可解决问题．【解答】解：令AE＝x，在Rt△ABE中，BE2＝132﹣x2．在Rt△BCE中，BE2＝152﹣（14﹣x）2．则132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，所以BE＝，CE＝14﹣5＝9．又因为∠AFE+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，所以∠AFE＝∠C．在Rt△BCE中，tan C＝，所以tan∠AFE＝tan C＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，利用勾股定理求出BE的长是解题的关键．16．（4分）中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面城墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A处（即EA＝8里），出西门往前直走2里到B处（即DB＝2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C看见宝塔A，如果设正方形的中心为O，点O、D、B在一直线上，点O、E、A在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是8里．【分析】先根据正方形的性质得出OB∥CE，再根据相似三角形的性质列方程求解．【解答】解：设正方形是灭一面城墙的长度为2x里，∵正方形的中心为O，∴OD＝CD＝OE＝CE＝x里，OB∥CE，∴△ACE∽△ABO，∴，即：，解得：x＝4，或x＝﹣4（不合题意，舍去），∴2x＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解题的关键．17．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，如果将△ABC绕着点B旋转，使得点C落在边AC上，此时，点A落在点A′处，联结AA′，那么AA′的长是4．【分析】作出图形，可以利用SAS证明△BA'A≌△ABC，从而得到AA'＝BC，进而得到AA'的长．【解答】解：作出符合题意的图形如下：由题意，知△A'BC'≌△ABC，∴∠A'BC'＝∠ABC，∴∠A'BC'﹣∠ABC'＝∠ABC﹣∠ABC′，即∠A'BA＝∠C'BC，∵AB＝AC，BC＝BC'，∴∠ABC＝∠C＝∠BC'C，∴∠C'BC＝∠BAC，∴∠A'BA＝∠BAC，∵A'B＝AB＝AC，∴△BA'A≌△ABC（SAS），∴AA'＝BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，准确画出图形是解题的关键．18．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，如果点P在△ABC的内部，且满足∠APC＝∠BPC＝135°，那么CP的长是．【分析】通过证明△ACP∽△CBP，可得CP＝AP，BP＝CP，由勾股定理可求解．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝AC＝，∠ACB＝45°，∵∠APC＝∠BPC＝135°，∴∠ACP+∠CAP＝45°＝∠ACP+∠BCP，∠APB＝90°，∴∠BCP＝∠CAP，∴△ACP∽△CBP，∴，∴CP＝AP，BP＝CP，∴BP＝2AP，∵BP2+AP2＝AB2，∴5AP2＝5，∴AP＝1，∴CP＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACP∽△CBP是解题的关键．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）已知：．（1）求代数式的值；（2）当2a+3b﹣3＝35时，求a、b的值．【分析】令a＝2k，b＝5k，（1）把a＝2k，b＝5k，代入即可求值；（2）把a＝2k，b＝5k，代入2a+3b﹣3＝35，求出k＝2，即可得到a＝4，b＝10．【解答】解：∵，∴令a＝2k，b＝5k，（1）＝＝＝﹣2；（2）∵2a+3b﹣3＝35时，∴2×2k+3×5k﹣3＝35，∴k＝2，∴a＝2k＝4，b＝5k＝10．【点评】本题考查比例的性质，关键是令a＝2k，b＝5k，即可求解．20．（10分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，（1）求此抛物线的表达式及顶点D坐标；（2）联结CD、BD，求∠CDB的余弦值．【分析】（1）依据题意，将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3求出b进而的表达式，再化成顶点式可得D的坐标；（2）依据题意，令y＝0，可求得B的坐标，令x＝0，求得C的坐标，再分别求出BC，BD，CD的长，由勾股定理逆定理可得∠DCB＝90°，进而求出cos∠CDB的值．【解答】解：（1）由题意，将（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+3得，﹣1﹣b+3＝0，∴b＝2．∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．又y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）．（2）如图，由题意，令y＝0，即﹣x2+2x+3＝0．∴x＝3或x＝﹣1．∴B（3，0）．又令x＝0，∴y＝3．∴CD＝＝，DB＝＝2，BC＝＝3．∴BC2+CD2＝BD2．∴∠BCD＝90°．∴cos∠CDB＝＝＝．【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．21．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，CD＝BD＝8，AB＝5．（1）求BC的长；（2）设，，求向量（用向量，表示）．【分析】（1）证明△ABD∽△DBC，得出比例式求出BC的长即可；（2）过点D作DE∥AB，求出，再根据平行四边形法则求出即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD＝5，∵CD＝BD＝8，∴∠DBC＝∠C，∴∠ABD＝∠DBC，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△DBC，∴，∴，∴BC＝；（2）如图，过点D作DE∥AB，则四边形ABED是菱形，∴BE＝AD＝5，∴BE＝BC，∴，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△DBC，是解（1）的关键．22．（10分）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，＝1.73）【分析】（1）根据正切的定义求出AB；（2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，设DG＝x米，根据坡度的概念用x 表示出DH，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝20米，∠ACB＝60°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan∠ACB＝20×＝60（米），答：高楼AB的高度为60米；（2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，则四边形HBGD为矩形，∴BH＝DG，DH＝BG，设DG＝x米，∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米，∵斜坡CD的坡比是i＝1：6，∴CG＝6x米，∴BG＝（20+6x）米，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝，∴≈0.75，解得：x＝≈6.2，经检验，x是原方程的解，答：点D离地面的距离约为6.2米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（12分）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD．（1）求证：AD•CD＝CE•DE；（2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可；（2）结合平行四边形的性质利用AAS证明△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质得出DE＝EF，等量代换即可得解．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDE，∵DE2＝AE•CD，∴＝，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴AD•CD＝CE•DE；（2）如图，在▱ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，∴∠A＝∠FBE，∠ADE＝∠F，∵点E是边AB的中点，∴AE＝BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴DE＝EF，∵DE2＝AE•CD，∴EF2＝AB•AB，∴AB2＝2EF2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y＝ax2（a＞0）上，点M到两坐标轴的距离都是2．（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线y＝ax2（a＞0）先向右平移个单位，再向下平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A（m，0）和点B（n，0），已知m＜n，且mn＝﹣4，与y 轴负半轴交于点C．①求k的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为D，点P是直线上位于点D下方的一点，分别联结CD 、CP ，如果，求点P 的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①令y ＝（x ﹣）2﹣k ＝0，解得：x ＝±，即可求解；②由直线OD 的表达式知，tan ∠CPH ＝，则tan ∠POH ＝，在Rt △OPH 中，tan ∠POH＝＝＝，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，点M （﹣2，2），将点M 的坐标代入抛物线表达式得：2＝4a ，解得：a ＝，则抛物线的表达式为：y ＝x 2；（2）①平移后的抛物线表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣k ，令y ＝（x ﹣）2﹣k ＝0，解得：x ＝±，∵mn ＝﹣4，则（+）（﹣）＝﹣4，解得：k ＝；②由①抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣k ＝x 2﹣x ﹣2，其对称轴为直线x ＝，则点C （0，﹣2），当x ＝时，＝﹣2，即点D （，﹣2），∵点C 、D 的纵坐标相同，则CD∥x轴，由直线OD的表达式知，tan∠CPH＝，则tan∠POH＝，∵＝tan∠CPH，设CH＝3x，则PH＝4x，在Rt△OPH中，tan∠POH＝＝＝，解得：x＝，则点P的坐标为：（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是边AB上的动点（点D不与点B重合），以CD为斜边在直线BC上方作等腰直角三角形DEC．（1）当点D是边AB的中点时，求sin∠DCB的值；（2）联结AE，点D在边AB上运动的过程中，∠EAC的大小是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC的大小；（3）设DE与AC的交点为G，点P是边BC上的一点，且∠CPD＝∠CGD，如果点P 到直线CD的距离等于线段GE的长度，求△CDE的面积．【分析】（1）作DH⊥CB于点H，由勾股定理求出CD的长，则可得出答案；（2）连接AE，证出A，D，C，E四点共圆，得出∠EAC＝∠EDC，由等腰直角三角形的性质可得出答案；（3）过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，证明△CEG≌△CMP（AAS），由全等三角形的性质得出CP＝CG，证明△CGD≌△CPD（SSS），由全等三角形的性质得出∠DCG＝∠PCD，DA＝DN＝BN，设DA＝a，则BD＝a，求出a的值，则可得出答案．【解答】解：（1）作DH⊥CB于点H，∵∠BAC＝90°，，∴BC＝AB＝4，∵点D是边AB的中点，∴BD＝，∴DH＝BH＝1，∴CH＝BC﹣BH＝3，∴CD＝＝＝，∴sin∠DCB＝；（2）∠EAC的大小不变化．连接AE，∵∠DAC＝∠DEC＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠EAC＝∠EDC，∵△DEC为等腰直角三角形，∴∠EDC＝45°，∴∠EAC＝45°．（3）过点D作DN⊥BC于点N，PM⊥CD于点M，连接PG，∵点P到直线CD的距离等于线段GE的长度，∴PM＝EG，∵∠DCE＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝∠BCD，∵∠E＝∠PMC＝90°，∴△CEG≌△CMP（AAS），∴CP＝CG，∴∠CGP＝∠CPG，又∵∠CGD＝∠CPD，∴∠DGP＝∠DPG，∴DG＝DP，∴△CGD≌△CPD（SSS），∴∠DCG＝∠PCD，∵DN⊥BC，DA⊥AC，∴DA＝DN＝BN，设DA＝a，则BD＝a，∴a+a＝2，∴CD2＝AD2+AC2＝＝32﹣16，＝＝＝8﹣4．∴S△CDE【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键。
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上海2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编平面向量专题含答案宝山区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，AB ∥CD ∥EF ，而且线段AB 、CD 、EF 的长度分别为5、3、2． （1）求AC ：CE 的值；（2）如果AE 记作a ，BF 记作b ，求CD （用a 、b表示）．长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在∆ABC 中，点D 在边AB 上，DE //BC ，DF //AC ，DE 、DF 分别交边AC 、BC于点E 、F ，且23=EC AE ． （1）求BCBF的值；（2）联结EF ，设a BC =，b AC =，用含a 、b 的式子表示．崇明区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，在ABC △中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ， 已知5AD =，4BD =．（1）求BC 的长度；第20题图FACD E奉贤区20.（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AD =2，点E 是边BC 的中点，AE 、BD 想交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交边DC 于点G . （1）求FG 的长；（2）设AD a = ，DC b = ，用、a b 的线性组合表示AF.虹口区如图，在△ABC 中，点E 在边AB 上，点G 是△ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 于点D ．（1）若AB a = ，AC b = ，用向量、a b 表示向量AG； （2）若∠B =∠ACE ，AB =6，AC =，BC =9，求EG 的长．黄浦区 嘉定区 金山区第20题图如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=AB a，=AD b，求向量MN关于a、b的分解式．静安区闵行区浦东新区20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的重心，设BC a=．（1）=DE▲（用向量a表示）；（2）设AB b=，在图中求作12b a+．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）普陀区22．（本题满分10分）下面是一位同学做的一道作图题：.ON于点D.（1）试将结论补完整：线段▲就是所求的线段x.（2）这位同学作图的依据是▲；（第20题图）AB CD EMOABC Dabc N（3）如果4OA =，5AB =，AC m = ，试用向量m表示向量DB ．松江区20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF //AB ，2CF ADFA DB==. （1）设AB a = ，AC b = .试用、表示AE（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积.徐汇区19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5． （1）求AC 的长（2）若设,CA a CB b ==u u r r u u r r，试用a 、b 的线性组合表示向量CD uu u r. 杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值； （2）如果设AB a = ，CD b = ，试用a 、b 表示AC.参考答案宝山区(第20题图)CE F BAD（第20题图）长宁区20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）∵23=EC AE ∴52=AC EC （1分） ∵DE //BC ∴52==AC EC AB BD （2分） 又∵DF //AC ∴52==AB BD BC BF （2分） （2）∵52=BC BF ∴53=BC FC ∵=，CF 与BC 方向相反 ∴a CF 53-= （2分）同理：52=（2分） 又∵→+=CF EC EF ∴→-=a 5352 （1分）崇明区20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠∴ABE DEB =∠∠ ………………………………………………………2分 ∴4BD DE == ∵ED BC ∥ ∴DE ADBC AB= ……………………………………1分 又∵5AD =，4BD = ∴9AB = ∴459BC = ∴365BC = ………………………………………2分 （2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB = ∴95BC DE =…………………………………………………………1分 又∵ED 与CB同向 ∴95CB ED = ………………………………1分∵AD a = ，AE b = ∴ED a b =-……………………………1分∴9955CB a b =-…………………………………………………………2分奉贤区虹口区黄浦区 金山区静安区闵行区20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知向量a r 、b r 和p u r，求作：（1）向量132a b -+r r． （2）向量p u r分别在a r 、b r 方向上的分向量．a r p u rb r20．解：（1）作图．…………………………………………………………………………（3分）结论． …………………………………………………………………………（1分） （2）作图．…………………………………………………………………………（4分）结论． …………………………………………………………………………（2分）浦东新区20．解：（1）=DE 23a ．……………………………（5分）（2）图正确得4分，结论：AF 就是所要求作的向量． …（1分）．普陀区22．解：（1）CD ； ·························································································································· （2分） （2）平行线分线段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例）；或：三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）. ··············································································································································· （2分）（3）∵BD ∥AC ，∴AC OABD OB=． ················································································ （1分） ∵4OA =，5AB =，∴49AC BD =． ········································································· （2分） 得94BD AC =． ········································································································· （1分）∵94BD AC = ，AC m = ，DB 与AC反向，∴94DB m =- ． ·········································································································· （2分）青浦区松江区20．解：（1）∵EF //AB∴CF CEFA EB =又CF AD FA DB = ∴CE AD EB DB=…………………………………………（1分） （第20题图）B∴DE ∥AC ， ………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 是平行四边形………………………（1分）AE AF AD =+……………………………………（1分）∵2CF ADFA DB ==,AB a = ，AC b =∴13AF b = ， 23A D a= 2133AE a b =+………………………………………（1分）（2）∵EF //AB ，2CFFA=∴9:4:=∆∆ABC CEF S S ………………………………（1分） ∵△ABC 的面积是9，∴4=∆CEF S ……………………………………………（1分） 由（1）得DE ∥AC ， 且2ADDB= ∴9:1:=∆∆ABC BD E S S ………………………………（1分） ∴1=∆BDE S …………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 的面积=9-4-1=4……………………（1分）徐汇区19．（1）在△ABC 中，∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴ ACD ABC ∆:V . ……………………………………………………（2分） ∴AD ACAC AB=，即2AC AD AB =g ∴249AC =⨯， 6.AC = ……………………………………………（2分） （2） 49CD CA AD a AB =+=+uu u r uu r uuu r r uu u r……………………………………………（2分）4()9a AC CB =++r uuu r uu r 4()9a a b =+-+r r r………………………………（2分）5499a b =+r r………………………………………………………（2分）杨浦区20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分）解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a . ∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，35∴AC//DE. ∴, . ∴, . ∴，.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴.-----------------------------（2分） （2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分）∵，，∴. .--------------------（2分）∵，∴.-----------------------------------（2分）DE BD AC AB =CE ADCB AB=335DE a a a =245CE a a a =95DE a =85CE a =9tan 8DE DCE CE ∠==AB a = CD b = 25AD a = DC b =-AC AD DC =+25AC a b =-。