2014年高考文科数学真题解析分类汇编：F单元 平面向量(纯word可编辑)
2014年高考真题——文科数学(湖北卷)部分试题解析版Word版含解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文科）部分解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ，集合}6,5,3,1{=A ，则=A C U （ ）A.}6,5,3,1{B. }7,3,2{C. }7,4,2{D. }7,5,2{2. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1 B. 1- C. i D.i -3. 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）A. R ∉∀x ，x x ≠2B. R ∈∀x ，x x =2C. R ∉∃x ，x x ≠2D. R ∈∃x ，x x =24.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ，则y x +2的最大值是（ ）A.2B.4C.7D.85.随机投掷两枚均匀的投骰子，学 科 网他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ）A. 321P P P <<B. 312P P P <<C. 231P P P <<D. 213P P P <<6.根据如下样本数据：得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a7.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②8.设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根，则过),(2a a A ，),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为（ ）A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{2-D.{2--10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.355113二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.12.若向量)3,1(-=OA ，||||OB OA =，0=∙OB OA ，则=||AB ________.13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B ________.14.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为9，则输出S 的值为 .15.如图所示，函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ，)1()(->x f x f ，则正实数a 的取值范围是 .16.某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为lv v vF 2018760002++=（1）如果不限定车型，05.6=l ，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，5=l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加 辆/小时.17. 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ，若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足：对圆O 上那个任意一点M ，都有||||MA MB λ=，则 （1）=b ； （2）=λ .。
F：平面向量(文科2014年) Word版含答案
数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算10．F1 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →10．D 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.12．F1 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．12．3 因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a |＝3.5．F1、A2 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )5．A 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6．F1 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.12BC → D.BC → 6．A EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD .14．F1、F2 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．2 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c|b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算3．F2 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)3．A 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．3．F2 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)3．B b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)． 12．F2、F3 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．2 5 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝25.12．F2、F3 如图13所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1312．22 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .7．F2，F3 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．B 由题意得cos π6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝ 3.13．F2 设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b ＝0，则tan θ＝______.13.12 由a ·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝12.18．F2 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解： (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.14．F1、F2 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．2 c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c|b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F3 平面向量的数量积及应用 12．F2、F3 若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．2 5 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝25.12．F2、F3 如图13所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1312．22 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC ＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB ·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .6．F3 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0C ．1D ．26．B 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 60°－|b |2＝0.4．F3 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．54．A 由已知得|a ＋b |＝10，|a －b |2＝b ，两式相减，得a ·b ＝1.12．F3 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________． 12．10 ∵|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝210×10×12＝10.7．F2，F3 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．B 由题意得cos π6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m29＋m 2，解得m ＝ 3.13．F3 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．13．2 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由BC →＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3λ.∵AE ·AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－233·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1，∴λ＝2.F4 单元综合9．F4 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( ) A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定9．B |b ＋t a |≥1，则a 2t 2＋2|a ||b |t cos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，故最小值为4a 2b 2－4（|a ||b |cos θ）24a 2＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b |sin θ＝1.若|b |确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b |唯一确定．故选B.10．F4 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3 B.π3 C.π6D ．0 10．B 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2a 2＋2b 2，S 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4a·b .设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4a·b ＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈，所以θ＝π3.10．F4 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．B ．[19－1，19＋1]C ．D ．[7－1，7＋1]10．D 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．1． 如图X191所示，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A ．0 B.BE →C.AD →D.CF →图X1911．D 由图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CF →.13． 平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，若a ＝m b ＋n c ，则n －m ＝____________．13.13 ∵a ＝m b ＋n c ⇒(3，2)＝(－m ，2m )＋(4n ，n )＝(－m ＋4n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝2，－m ＋4n ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89，∴n －m ＝13.14． 如图X192所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB →＝4AC →，则OC →·(OB →－OA →)＝____________．图X19214．－12 由已知得|AB →|＝2，|AC →|＝24，则OC →·(OB →－OA →)＝(OA →＋AC →)·AB →＝OA →·AB→＋AC →·AB →＝2cos 3π4＋24×2＝－12.15． 在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1.若函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为____________．15.12由CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，可知A ，O ，B 三点共线，所以|CO →|的最小值为AB 边上的高．又AC ＝BC ＝1，即O 为AB 的中点，且函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，即点A 到BC 边的距离为32，所以∠ACB ＝120°，从而可得|CO →|的最小值为错误!. 6． 已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |等于( )A ．1 B. 3 C. 5 D ．36．C 由已知得|a |cos 〈a ，b 〉＝|b |cos 〈a ，b 〉．又|a |＝1，|b |＝2，所以cos 〈a ，b 〉＝0，即a ⊥b ，则|a －b |＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 5.1． 已知向量a ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，b ＝1，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若A 为等腰三角形ABC 的一个底角，求f (A )的取值范围．1．解：(1)∵f (x )＝a ·b ＝cos2x －π3－2sin π4＋x cos π4＋x ＝cos2x －π3－sin π2＋2x ＝cos2x －π3－cos 2x ＝cos 2x ·cos π3＋sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x＝sin2x －π6，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵A 为等腰三角形ABC 的一个底角， ∴0<A <π2，∴0<2A <π，∴－π6<2A －π6<5π6，∴－12<sin2A －π6≤1，即－12<f (A )≤1.。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)
2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－2＜x ＜1}，则M ∩N ＝( )A ．(－2，1)B ．(－1，1)C ．(1，3)D ．(－2，3)1．B [解析]利用数轴可知M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0B ．cos α＞0 C ．sin2α＞0D ．cos2α＞0 2．C [解析]因为sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.3．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12B.22C.32D ．2 3．B [解析]z ＝11＋i＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝22.4．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B.62C.52D ．1 4．D [解析]因为c 2＝a 2＋3，所以e ＝ca＝a 2＋3a2＝2，得a 2＝1，所以a ＝1. 5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数5．C [解析]因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确； |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错． 6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC → 6．A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD .7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析]函数y ＝cos|2x |＝cos2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．8．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-1，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱8．B [解析]从俯视图为矩形可以看出，此几何体不可能是三棱锥或四棱锥，其直观图如图，是一个三棱柱．9．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 执行如图1-1的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )图1-1A.203B.72C.165D.1589．D [解析]第一次循环后，M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环后，M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环后，M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，此时n >k (n ＝4，k ＝3)，结束循环，输出M ＝158.10．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．810．A [解析]由抛物线方程y 2＝x ，知p ＝12，又因为|AF |＝x 0＋p 2＝x 0＋14＝54x 0，所以得x 0＝1.11．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－311．B [解析]当a <0时，作出相应的可行域，可知目标函数z ＝x ＋ay 不存在最小值．当a ≥0时，作出可行域如图，易知当－1a ＞－1，即a ＞1时，目标函数在A 点取得最小值．由A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12，知z min ＝a －12＋a 2＋a 2＝7，解得a ＝3或－5(舍去)．图2-2-512．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)12．C [解析]显然a ＝0时，函数有两个不同的零点，不符合．当a ≠0时，由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x 1＝0，x 2＝2a .当a >0时，函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，又f (0)＝1，所以函数f (x )存在小于0的零点，不符合题意；当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，0上单调递增，所以只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0，解得a <－2，所以选C. 13．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．13.23 [解析]2本数学书记为数1，数2，3本书共有(数1数2语)，(数1语数2)，(数2数1语)，(数2语数1)，(语数1数2)，(语数2数1)6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4种，对应的概率为P ＝46＝23.14．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市．乙说：我没去过C 城市．丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A [解析]由甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A ，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A 城市．15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析]当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析]在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC，即AM ＝sin60°sin45°×1002＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin60°×1003＝150.17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．17．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2， 两式相减得12S n ＝34＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝⎛⎭⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42n ＋1. 18．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？18．解：(1)频率分布直方图如下：(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．19．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .图1-4(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．19．解：(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 由于BC 1∩AO ＝O ，故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，且AO ∩OD ＝O ， 故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，且AD ∩BC ＝D ， 所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又BC ＝1，可得OD ＝34. 因为AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114. 又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为217.20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x ＋y －8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )． 由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到直线l 的距离为4105，故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.21．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围． 21．解：(1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b .由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1， (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎫x －a 1－a (x －1)．(i)若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a 1－a 的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1.(ii)若12<a <1，则a 1－a>1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，a1－a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞时，f ′(x )>0.f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>aa －1，所以不合题意．(iii)若a >1, 则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1，符合题意．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．22．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－1：几何证明选讲 如图1-5，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .图1-5(1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形． 22．证明：(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以∠D ＝∠CBE .由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故点O 在直线MN 上． 又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点， 故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD ， 所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE . 又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．23．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为255.24．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4－5：不等式选讲 若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？请说明理由．24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.。
2014年高考新课标I卷数学(文)试题解析(精编版)(解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N =I （ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(-22112||()()222z =+-=.考点：复数的运算4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 16.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.AD B. 21 C. 21D. 【答案】A 【解析】试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，同理12FC FE EC FE AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ． 考点：向量的运算7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱考点：三视图的考查9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8考点：线性规划的应用12.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23【解析】试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42P 63==． 考点：古典概率的计算14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：可以得出结论乙去过的城市为：A ． 考点：命题的逻辑分析15.设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由132x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞考点：1.分段函数;2.解不等式16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.【答案】150 【解析】试题分析：根据题意，在ABC ∆中，已知0045,90,100CAB ABC BC ∠=∠==，易得：1002AC =;在AMC ∆中，已知0075,60,1002MAC MCA AC ∠=∠==易得：045AMC ∠=，由正弦定理可解得：sin sin AC AM AMC ACM =∠∠，即：10023100322AM ==;在AMN ∆中，已知0060,90,1003MAN MNA AM ∠=∠==150MN m =.考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)文科数学试题与答案解析完整版
x1 x2
7
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11. 解析 依题意得 f x k
1 1 0 在 1, 上恒成立，即 k 在 1, 上恒成立，因为 x x
2
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代入上式，解得 a1 2 ，所以 S n 2n
n n 1 2 n n 1 .故选 A. 2
2 2 3
6.解析该零件是两个圆柱体构成的组合体，其体积为 π 2 4 π 3 2 34π cm ，圆柱体毛 坯的体积为 π 3 6 54π cm ，所以切削掉部分的体积为
1 1 1 1
6
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8.解析 k 1 时， 1 2 成立，此时 M 2 ， S 2 3 5 ； k 2 时， 2 2 成立，此时 M 2 ，
S 2 5 7 ； k 3 时， 3 2 ，终止循环，输出 S 7 .故选 D.
（6）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm） ， 图中粗线画出的是某零件的三视图， 该零件由一个底面半径为 3cm，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原 来毛坯体积的比值为
（A）
17 27
（ B）
5 9
（C）
10 27
(D)
1 3
（7）正三棱柱 ABC A1 B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3 ，D 为 BC 中点，则 三棱锥 A B1 DC1 的体积为
x 1 ，所以 0
2014年高考真题——文科数学(湖北卷)解析版Word版含解析
2014年高考真题——文科数学（湖北卷）解析版 Word版含解析绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试题卷共5页，22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．[2014?湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则?UA ＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得?UA＝{2，4，7}．故选C.2．[2014?湖北卷] i为虚数单位，＝()A．1 B．－1 C．i D．－i2．B[解析] ＝＝＝－1.故选B.3．[2014?湖北卷] 命题"?x∈R，x2≠x"的否定是()A．?x∈/R，x2≠x B．?x∈R，x2＝xC．?x0∈/R，x≠x0 D．?x0∈R，x＝x03．D[解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题"?x∈R，x2≠x"的否定是"?x0∈R，x＝x0". 故选D.4．[2014?湖北卷] 若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是()A．2 B．4 C．7 D．84．C[解析] 作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示．设z＝2x＋y，平移直线2x＋y＝0，易知在直线x＋y＝4与直线x－y＝2的交点A(3，1)处，z＝2x＋y取得最大值7. 故选C.5．[2014?湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则() A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p25．C[解析] 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：123456123456723456783456789456789105678910116789101112则p1＝，p2＝，p3＝.故p16．[2014?湖北卷] 根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为\s\up6(^(^)＝bx＋a，则()A．a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞06．A[解析] 作出散点图如下：由图像不难得出，回归直线\s\up6(^(^)＝bx＋a的斜率b0，所以a>0，b图1-17．[2014?湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()图1-2A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②7．D[解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.8．、[2014?湖北卷] 设a，b是关于t的方程t2cos θ＋ts θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为()A．0 B．1C．2 D．38．A[解析] 由方程t2cos θ＋ts θ＝0，解得t1＝0，t2＝－t θ，不妨设点A(0，0)，B(－t θ，t2θ)，则过这两点的直线方程为y＝－xt θ，该直线恰是双曲线－＝1的一条渐近线，所以该直线与双曲线无公共点．故选A.9．、[2014?湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}9．D[解析] 设x0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x .求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x10．[2014?湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求"锔"的术"置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．"该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A. B. C. D.10．B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得L2h≈Sh，代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈L2h时，π≈.故选B.11．[2014?湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．11．1800[解析] 设乙设备生产的产品总数为n，则＝，解得n＝1800.12．、[2014?湖北卷] 若向量\s\up6(→(→)＝(1，－3)，|\s\up6(→(→)|＝|\s\up6(→(→)|，\s\up6(→(→)?\s\up6(→(→)＝0，则|\s\up6(→(→)|＝________．12．2[解析] 由题意知，\s\up6(→(→)＝(3，1)或OB＝(－3，－1)，所以AB＝OB－OA ＝(2，4)或AB＝(－4，2)，所以＝＝2.13．[2014?湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________．13.或[解析] 由正弦定理得＝，即＝，解得s B＝.又因为b>a，所以B＝或.14．[2014?湖北卷] 阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为________．图1-314．1067[解析] 第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S＝(21＋1)＋(22＋2)，k＝2＋1；......所以框图运算的是S＝(21＋1)＋(22＋2)＋...＋(29＋9)＝1067.15．[2014?湖北卷] 如图1-4所示，函数y＝f(x)的图像由两条射线和三条线段组成．若?x∈R，f(x)＞f(x－1)，则正实数a的取值范围为________．图1-415.[解析] "?x∈R，f(x)>f(x－1)"等价于"函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝f(x－1)的图像的上方"，函数y＝f(x－1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a>0，由图知6a16．[2014?湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．16．(1)1900(2)100[解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．(2)当l＝5时，F＝＝≤2000，当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．17．[2014?湖北卷] 已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有＝λ，则(1)b＝________；(2)λ＝________．17．(1)－(2)[解析] 设点M(cos θ，s θ)，则由＝λ得(cos θ－b)2＋s2θ＝λ2，即－2bcos θ＋b2＋1＝4λ2cos θ＋5λ2对任意的θ都成立，所以又由＝λ，得λ>0，且b≠－2，解得18．、、、[2014?湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－st，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f(8)＝10－cos－s＝10－cos－s＝10－×－＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－2＝10－2s，又0≤t所以≤t＋当t＝2时，s＝1；当t＝14时，s＝－1.于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．、、[2014?湖北卷] 已知等差数列{}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{}的通项公式．(2)记Sn为数列{}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{}的公差为d，依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，当d＝0时，＝2；当d＝4时，＝2＋(n－1)?4＝－2，从而得数列{}的通项公式为＝2或＝－2.(2)当＝2时，Sn＝，显然此时不存在正整数n，使得Sn>＋800成立．当＝－2时，Sn＝＝2.令2>＋800，即n2－－400>0，解得n>40或n此时存在正整数n，使得Sn>＋800成立，n的最小值为41.综上，当＝2时，不存在满足题意的正整数n；当＝－2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.20．、[2014?湖北卷] 如图1-5，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQ.图1-520．证明：(1)连接AD1，由ABCD - A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，A1C1，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1A1.而AC1?平面ACC1A1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以∥BD，从而⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩＝N，所以直线AC1⊥平面PQ.21．[2014?湖北卷] π为圆周率，e＝2.718 28...为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝的单调区间；(2)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．21．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0当f′(x)e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e即3e于是根据函数y＝x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增可得，3e故这6个数中的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e即由π3.由综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.22．[2014?湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．解：(1)设点M(x，y)，依题意得＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(i)若由②③解得k.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ii)若或由②③解得k∈或－≤k即当k∈时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(iii)若由②③解得－1即当k∈∪时，直线l与C1有一个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上所述，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
2014年高考数学真题分类汇编文科-平面向量(文科)
一、选择题1.（2014北京文3）已知向量()2,4=a ，()1,1=-b ，则2-=a b （ ）. A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,92.（2014大纲文6）已知，a b 为单位向量，其夹角为60，则(2)-⋅=a b b （ ）.A ．1-B ．0C ．1D ．23.（2014福建文10）设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）.A.OMB.2OMC.3OMD. 4OM4.（2014广东文3）已知向量()()1,2,3,1==a b ，则-=b a （ ）. A.()2,1- B.()2,1- C.()2,0 D. ()4,35.（2014新课标Ⅱ文4）设向量，a b 满足+=a b -=a b ⋅=a b （ ）A.1B.2C.3D.56. （2014山东文7）已知向量((),3,m ==a b . 若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ）.A. B. C. 0 D.7.（2014新课标Ⅰ文6）设F E D ,,分别为ABC △的三边AB CA BC ,,的中点，则=+（ ） A. B. 21 C. D. 21 8.（2014浙江文9）设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，t +b a 的最小值为1.（ ）.A ．若θ确定，则a 唯一确定B ．若θ确定，则b 唯一确定C ．若a 确定，则θ唯一确定D ．若b 确定，则θ唯一确定9. （2014安徽文10）设，a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234，，，x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344⋅+⋅+⋅+⋅x y x y x y x y 所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）. A.23π B.3π C.6π D.010.（2014湖南文10）在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ，()30C ，，动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）.A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦11.（2014四川文10）已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是（ ）.A.2B.3C.8二、填空题12.（2014重庆文12）已知向量60(26)||=--=⋅=与的夹角为，且，，a b a b a b _________.13.（2014江西文12）已知单位向量12，e e 的夹角为α，且1cos 3α=，若向量1232=-a e e ，则||=a . 14.（2014陕西文13）设π02θ<<，向量()()sin2cos 1cos θθθ==，，，-a b ， 若0⋅=a b ，则=θtan _______.15.（2014四川文14）向量()1,2=a ，()4,2=b ，m =+c a b ()m ∈R ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =____________.16．（2014湖北文12）若向量()1,3OA =-，OA OB =，0OA OB ⋅=， 则AB = .17.（2014江苏12）如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 ．18. （2014天津文13）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为________.三、解答题19.（2014陕西文18）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点()()()1,1,2,3,3,2A B C ，点(),P x y 在ABC △三边围成的区域（含边界）上，且()OP mAB nAC m n =+∈R，.A（1）若23m n ==； （2）用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.。
2014年高考数学平面向量真题汇总
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3．线段的定比分点公式：设 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ， P ( x, y ) 分有向线段 P 1P 2 所成的
2 x 2 y 2 , a | a |2 x 2 y 2 。
⑥两点间的距离：若 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则 | AB | 七．向量的运算律： 1．交换律： a b b a ，
x2 x1 y2 y1
。
x x x1 x2 x 1 2 x 2 1 比为 ， 则 ， 特别地， 当 ＝1 时， 就得到线段 P 1 P 2 的中点公式 。 y y 1 y2 y y1 y2 2 1
在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ( x, y ) ， ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点， 起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据 这些点确定对应的定比 。 x x h 十一．平移公式：如果点 P ( x, y ) 按向量 a h, k 平移至 P ( x, y) ，则 ； 曲 y y k 线 f ( x, y ) 0 按向量 a h, k 平移得曲线 f ( x h, y k ) 0 .注意： （1）函数按向量平移 与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 十二．向量中一些常用的结论： （1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
2014年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅰ)(附参考答案+详细解析Word打印版)
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
2014高考数学(文科)一轮精练F单元平面向量(2013高考真题+模拟新题).DOC
F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算10．F1[2013·江苏卷] 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．10.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线， 所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 17．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B， 所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.12．F1[2013·四川卷] 如图1－6，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.1－612．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.14．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．14．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算14．F2[2013·北京卷] 已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．14．3 [解析] 设P(x ，y)，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3.又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧6≤2x －y ≤9，0≤x －2y ≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B(5，1)到直线x－2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35＝3. 8．F2[2013·湖南卷] 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋28．C [解析] 由题可知a ·b ＝0，则a ⊥b ，又|a |＝|b |＝1，且|c －a －b |＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又|c |＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知|c |max＝12＋12＋1＝1＋2，选C.12．F2[2013·天津卷] 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．12.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →， 所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12或0(舍去)． 14．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.1－621．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．错误!21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.F3 平面向量的数量积及应用12．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12B.22C. 2 D ．212．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t ＝2.14．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．14．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.图1－62．F3[2013·陕西卷] 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2C ．－2或 2D ．02．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m2，解得m ＝2或－ 2.15．F3[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．15．5 [解析] 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(3，2－t)，又∵∠ABO ＝90°，∴OB →·AB →＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t ＝5. 9．F3[2013·辽宁卷] 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋b －a 3－1a＝09．C [解析] 由题意知当三角形ABC 为直角三角形时，分为两类，∠OAB ，∠OBA 分别为直角，当∠OAB 为直角时b ＝a 3，当∠OBA 为直角时，OB →·AB →＝0，则(a ，a 3)·(a ，a 3－b)＝0，所以b －a 3－1a ＝0，所以(b －a 3)b －a 3－1a＝0，故选C.7．F3[2013·湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.3 22B.3 152C ．－3 22D ．－3 1527．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22.3．F3[2013·全国卷] 已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－13．B [解析] (m ＋n )⊥(m －n )(m ＋n )·(m －n )＝0m 2＝n 2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.13．F3[2013·安徽卷] 若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________．13．－13 [解析] 设|b |＝1，则|a |＝3，|a ＋2b |＝3，两端平方得a 2＋4a·b ＋4b 2＝9，即9＋12cos 〈a ，b 〉＋4＝9，解得cos 〈a ，b 〉＝－13.16．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．16．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.13．F3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．13．2 [解析] b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t)b ]＝t a ·b ＋(1－t)b 2＝12t ＋(1－t)＝1－12t ＝0，即t ＝2.21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．图1－521．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则 |QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝ 2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.14．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．14．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.F4 单元综合10．F4[2013·福建卷] 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．1010．C [解析] ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →，面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×12＋22×（－4）2＋22＝5，故选C.10．F4[2013·广东卷] 设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．B [解析] ①作OA →＝a ，OB →＝b ，如图(1)，连接AB ，只要c ＝BA →即可，故①对；②是对的，因为b 和c 不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量； ③是错的，如图(2)，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝μc ，则|OC →|＝μ，即点C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，过点A 作OB 的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将a 沿OB →，OC →方向分解；④不一定对，如图(3)，作OA →＝a ，OB →＝λb ，OC →＝μc ，则点B ，C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，但不一定有a ＝λb ＋μc .综上，选B.17．F4[2013·浙江卷] 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于________．17．2 [解析] |x||b |＝|x|2|b |2＝x 2x 2e 21＋2xy e 1·e 2＋y 2e 22＝x 2x 2＋2xy ×32＋y 2＝11＋3y x ＋y x2＝1y x ＋322＋14≤错误!＝2.1．[2013·延安期末] 已知点M(5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2，0)B ．(－3，6)C ．(6，2)D ．(－2，0)1．A [解析] MN→＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3，6)．设N(x ，y)， 则MN →＝(x －5，y －(－6))＝(－3，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A. 2．[2013·襄阳一检] 如图K17－1所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( )A.13OA →－43OB →B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB →D ．－13OA →－43OB →2．C [解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →，选C.3．[2013·武汉部分学校联考] 已知两点A(1，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－23．C [解析] 由题可设OC →＝(x ，－3x)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋λ，－3x ＝0＋3λ，解得λ＝1.故选C.4．[2013·衡阳期末] 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．4.3 [解析] 由AB →＝DC →＝(1，1)，可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝ 2.因为1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，四边形为菱形，其边长为2，且对角线BD 是边长的3倍，即BD ＝3×2＝ 6.设AC 与BD 相交于E ，则CE 2＝(2)2－⎝⎛⎭⎫622＝12，即CE ＝22.所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD 的面积为2×32＝ 3.5．[2013·上饶月考] 已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．35．D [解析] 因为()a －mb ⊥a ，所以(a －m b )·a ＝0，即|a |2－m a ·b ＝0，所以|a |2－m|a ||b |cos 60°＝0，解得m ＝3，选D.6．[2013·三门峡一练] 在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x ，y)满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( )A ．x －2y ＋5＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋2y ＋5＝0D．x－2y－5＝06．C[解析] 由题意知－5＝OP→·OA→|OA→|＝x＋2y5，所以点P的轨迹方程是x＋2y＋5＝0，故选C.。
2014高考真题+模拟新题 文科数学分类汇编：14份 纯word版解析可编辑
2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：A单元集合与常用逻辑用语.doc 2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：B单元函数与导数.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：C单元三角函数.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：D单元数列.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：E单元不等式.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：F单元平面向量.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：G单元立体几何.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：H单元解析几何.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：I单元统计.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：J单元计数原理.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：K单元概率.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：L单元算法初步与复数.doc 2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：M单元推理与证明.doc2014高考真题+模拟新题之文科数学分类汇编：N单元选修4系列.doc数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1．[2014·北京卷] 若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则A∩B＝()A．{0，1，2，3，4} B．{0，4}C．{1，2} D．{3}1．C[解析] A∩B＝{0，1，2，4}∩{1，2，3}＝{1，2}．1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析] 把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b ＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________．16．201[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．则100a＋10b＋c＝100³2＋10³0＋1＝201.1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，则M∩N＝()A．{0，2} B．{2，3}C．{3，4} D．{3，5}1．B[解析] ∵M＝{2，3，4}，N＝{0，2，3，5}，∴M∩N＝{2，3}．1．[2014·湖北卷] 已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}1．C[解析] 由A＝{1，3，5，6}，U＝{1，2，3，4，5，6，7}，得∁U A＝{2，4，7}．故选C.2．[2014·湖南卷] 已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝()A．{x|x＞2} B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．C[解析] 由集合运算可知A∩B＝{x|2＜x＜3}．11．[2014·重庆卷] 已知集合A＝{3，4，5，12，13}，B＝{2，3，5，8，13}，则A∩B ＝________．11．{3，5，13}[解析] 由集合交集的定义知，A∩B＝{3，5，13}．1．[2014·江苏卷] 已知集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，则A∩B＝________．1．{－1，3}[解析] 由题意可得A∩B＝{－1，3}．2．[2014·江西卷] 设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A∩(∁R B)＝()A．(－3，0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3，3)2．C[解析] ∵A＝(－3，3)，∁R B＝(－∞，－1]∪(5，＋∞)，∴A∩(∁R B)＝(－3，－1]．1．[2014·辽宁卷] 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝() A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}1．D[解析] 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝x|0<x<1}．1．[2014·全国卷] 设集合M＝{1，2，4，6，8}，N＝{1，2，3，5，6，7}，则M∩N 中元素的个数为()A．2 B．3C．5 D．71．B[解析] 根据题意知M∩N＝{1，2，4，6，8}∩{1，2，3，5，6，7}＝{1，2，6}，所以M∩N中元素的个数是3.1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，则A∩B ＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}1．B[解析] 因为B＝{－1，2}，所以A∩B＝{2}．1．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－2＜x＜1}，则M∩N＝()A．(－2，1) B．(－1，1)C．(1，3) D．(－2，3)1．B[解析] 利用数轴可知M∩N＝{x|－1<x<1}．2．[2014·山东卷] 设集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|1≤x≤4}，则A∩B＝()A．(0，2] B．(1，2)C．[1，2) D．(1，4)2．C[解析] 因为集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1≤x≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜2}，故选C.1．[2014·陕西卷] 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2＜1，x∈R}，则M∩N＝()A．[0，1] B．(0，1) C．(0，1] D．[0，1)1．D[解析] 由M＝{x|x≥0}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，得M∩N＝[0，1)．1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝() A．{－1，0} B．{0，1}C．{－2，－1，0，1} D．{－1，0，1，2}1．D[解析] 由题意可知，集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，所以A∩B ＝{－1，0，1，2}．故选D.20．、、[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n＜b n，则s＜t.20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2²2＋x3²22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.1．[2014·浙江卷] 设集合S＝{x|x≥2}，T＝{x|x≤5}，则S∩T＝()A．(－∞，5] B．[2，＋∞)C．(2，5) D．[2，5]1．D[解析] 依题意，易得S∩T＝[2，5] ，故选D.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件5．[2014·北京卷] 设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．D[解析] 当ab<0时，由a>b不一定推出a2>b2，反之也不成立．7．、[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件7．A[解析] 设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2R sin A，b＝2R sin B．故选A.∵sin≤A sin B，∴2R sin A≤2R sin B，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sin A≤sin B.6．[2014·江西卷] 下列叙述中正确的是()A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β6．D [解析] 对于选项A ，a >0，且b 2－4ac ≤0时，才可得到ax 2＋bx ＋c ≥0成立，所以A 错．对于选项B ，a >c ，且b ≠0时，才可得到ab 2>cb 2成立，所以B 错． 对于选项C ，命题的否定为“存在x ∈R ，有x 2<0”， 所以C 错．对于选项D ，垂直于同一条直线的两个平面相互平行，所以D 正确． 5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ²b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3．C [解析] 函数在x ＝x 0处有导数且导数为0，x ＝x 0未必是函数的极值点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则不是极值点；反之，若x ＝x 0为函数的极值点，则函数在x ＝x 0处的导数一定为0 ，所以p 是q 的必要不充分条件．4．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根4．A [解析] 方程“x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.8．[2014·陕西卷] 原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假8．A [解析] 由a n ＋a n ＋12<a n ，得a n ＋1<a n ，所以数列{a n }为递减数列，故原命题是真命题，其逆否命题为真命题．易知原命题的逆命题为真命题，所以其否命题也为真命题．15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确2．[2014·浙江卷] 设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．A [解析] 若四边形ABCD 为菱形，则AC ⊥BD ；反之，若AC ⊥BD ，则四边形ABCD 不一定为平行四边形．故“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．故选A.6．[2014·重庆卷] 已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧綈qB ．綈p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．p ∧q6．A [解析] 由题意知 p 为真命题，q 为假命题，则綈q 为真命题，所以p ∧綈q 为真命题．A3 基本逻辑联结词及量词 2．[2014·安徽卷] 命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否．定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2<0 B ．∀x ∈R ，|x |＋x 2≤0 C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20≥02．C [解析] 易知该命题的否定为“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”． 5．[2014·福建卷] 命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥05．C [解析] “∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”，故选C.3．[2014·湖北卷] 命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．∀x ∈/R ，x 2≠x B ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x 0∈/R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 03．D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＝x 0”. 故选D.1．[2014·湖南卷] 设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0 D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤01．B [解析] 由全称命题的否定形式可得綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋1≤0. 3．[2014·天津卷] 已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则綈p 为( ) A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B. ∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 C. ∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ≤1 D. ∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤13．B [解析] 含量词的命题的否定，先改变量词的形式，再对命题的结论进行否定．A4 单元综合4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设全集U ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，d }，N ＝{a ，c ，e }，则N ∩(∁U M )＝( )A ．{c ，e }B ．{a ，c }C ．{d ，e }D ．{a ，e }4．A [解析] 因为∁U M ＝{b ，c ，e }，所以N ∩(∁U M )＝{a ，c ，e }∩{b ，c ，e }＝{c ，e }． 7．[2014·宁德质检] 已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，a ＋2}，若A ⊆B ，则a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．17．B [解析] ∵A ⊆B ，∴a ＋2＝1，解得a ＝－1. 8．[2014·蚌埠质检] 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－1≥0}，B ＝{x |x －1≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |－1<x ≤1}8．B [解析] ∵集合A ＝{x |x 2－1≥0}＝{x |x ≥1或x ≤－1}，∴∁U A ＝{x |－1<x <1}．又集合B ＝{x |x －1≤0}＝{x |x ≤1}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－1<x <1}． 4．[2014·湖南雅礼中学月考] 设函数f (x )＝log 2x ，则“a ＞b ”是“f (a )＞f (b )”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．B [解析] 因为f (x )＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a >b >0时，f (a )>f (b )；反之，当f (a )>f (b )时，a >b .故选B.7．[2014·济南模拟] 已知命题p ：∀a ∈R ，且a >0，a ＋1a≥2，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝3，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题7．C [解析] 依题意可知，命题p 为真，命题q 为假，故选C.12．[2014·长沙联考] 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋2m －3＜0”为假命题，则实数m 的取值范围是__________．12．2≤m ≤6 [解析] 由题意可知，命题“∀x ∈R ，x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，故Δ＝m2－4(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6.数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 21．、、[2014·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．(1)求p (100)；(2)当n ≤2014时，求F (n )的表达式；(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p (100)＝11192.(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，2n －9，10≤n ≤99，3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤9，k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ，n －80，89≤n ≤98，20，n ＝99，100.由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝119.当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k20k ＋9关于k单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8169.又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119. 3．[2014·山东卷] 函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0，2)B ．(0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.B2 反函数5．[2014·全国卷] 函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R ) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R )5．D [解析] 因为y ＝ln(3x ＋1)，所以x ＝(e y －1)3.因为x >－1，所以y ∈R ，所以函数y ＝ln(3x ＋1)(x >－1)的反函数是y ＝(e x －1)3(x ∈R )．B3 函数的单调性与最值 2．、[2014·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对．19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立．令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.15．、、[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②若函数f (x )∈B ，则f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∈/B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则函数f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得函数f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时函数f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (x )＋f (a 0)＝b 0－g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确21．、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，证明：e －2＜a ＜1.21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b ，所以g ′(x )＝e x －2a . 当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减，因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12＜a ＜e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增， 于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)证明：设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12＜a ＜e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a ))，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b ＞0，g (1)＝e －2a －b ＞0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2＜a ＜1.所以，函数f (x )在区间(0，1)内有零点时，e －2＜a ＜1.B4 函数的奇偶性与周期性 4．[2014·重庆卷] 下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x4．D [解析] A 中，f (－x )＝－x －1，f (x )为非奇非偶函数；B 中，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ，f (x )为非奇非偶函数；C 中，f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数；D 中，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )为偶函数．故选D.14．、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝______． 14.516 [解析] 由题易知f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516. 5．[2014·广东卷] 下列函数为奇函数的是( ) A ．2x －12x B ．x 3sin xC ．2cos x ＋1D ．x 2＋2x5．A [解析] 对于A 选项，令f (x )＝2x －12x ＝2x －2－x ，其定义域是R ，f (－x )＝2－x －2x＝－f (x )，所以A 正确；对于B 选项，根据奇函数乘奇函数是偶函数，所以x 3sin x 是偶函数；C 显然也是偶函数；对于D 选项，根据奇偶性的定义，该函数显然是非奇非偶函数．9．、[2014·湖北卷] 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}9．D [解析] 设x <0，则－x >0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x . 求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解． 当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x <0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7.故选D. 4．、[2014·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对． 15．[2014·湖南卷] 若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．15．－32[解析] 由偶函数的定义可得f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝－ln e 3x ＝－3x ，∴a ＝－32.19．、、、[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立． 令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋ 1对任意 t >1成立．因为t －1＋1t －1＋ 1≥2（t －1）·1t － 1＋1＝3, 所以 －1t －1＋1t －1＋ 1≥－13，当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13. (3)令函数 g (x )＝e x ＋1e x － a (－x 3＋3x )，则g ′ (x ) ＝e x －1ex ＋3a (x 2－1)．当 x ≥1时，e x －1e x >0，x 2－1≥0.又a >0，故 g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是 g (1)＝ e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋ 3x 0 )<0 成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故 e ＋e －1－2a <0, 即 a >e ＋e －12.令函数h (x ) ＝ x －(e －1)ln x －1，则 h ′(x )＝1－e －1x . 令 h ′(x )＝0, 得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调递减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调递增函数． 所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0； 当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时， h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立． 故①当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e－12，e ⊆(1，e)时， h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝⎛⎭⎫e ＋e －12，e 时，e a －1<a e －1；当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1.12．[2014·全国卷] 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．112．D [解析] 因为f (x ＋2)为偶函数，所以其对称轴为直线x ＝0，所以函数f (x )的图像的对称轴为直线x ＝2.又因为函数f (x )是奇函数，其定义域为R ，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝0＋f (－5)＝－f (5)＝－f (－1)＝f (1)＝1.15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________．15．3 [解析] 因为函数图像关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，又函数为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，故f (－1)＝3.5．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数5．C [解析] 因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，于是f (－x )·g (－x )＝－f (x )g (x )，即f (x )g (x )为奇函数，A 错；|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )，即|f (x )|g (x )为偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，即f (x )|g (x )|为奇函数，C 正确； |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|，即f (x )g (x )为偶函数，所以D 也错． 13．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 13．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.B5 二次函数 10．[2014·江苏卷] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．10.⎝⎛⎭⎫－22，0 [解析] 因为f (x )＝x 2＋mx －1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，解得⎩⎨⎧－22＜m ＜22，－32＜m ＜0，即m ∈⎝⎛⎭⎫－22，0.14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sin x ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32.B6 指数与指数函数 5．[2014·安徽卷] 设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b5．B [解析] 因为2>a ＝log 37>1，b ＝21.1>2，c ＝0.83.1<1，所以c <a <b . 8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.5．，[2014·山东卷] 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3>y 3 B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋15．A [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以x 3>y 3恒成立．故选A. 7．[2014·陕西卷] 下列函数中，满足“f (x ＋y )＝ f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x7．B [解析] 由于f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故排除选项A ，C.又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数，所以排除选项D. 12．[2014·陕西卷] 已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．12.10 [解析] 4a ＝2，即22a ＝2，可得a ＝12，所以lg x ＝12，所以x ＝1012＝10.7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ²log 510＝log 5b ＝a ，故选B.9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |＋|PB |的取值范围是( )A ．[5，2 5 ]B ．[10，2 5 ]C ．[10，4 5 ]D ．[25，4 5 ]9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，即|P A |＋|PB |≥|AB |＝10. 又|P A |＋|PB |＝（|P A |＋|PB |）2＝ |P A |2＋2|P A ||PB |＋|PB |2≤ 2（|P A |2＋|PB |2）＝2 5，所以|P A |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.4．[2014·天津卷] 设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a4．C [解析] ∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0，c ＝1π2<1，∴b <c <a .B7 对数与对数函数 12．[2014·天津卷] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．12．(－∞，0) [解析] 函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间需满足x 2>0且y ＝x 2单调递减，故x ∈(－∞，0)．11．[2014·安徽卷] ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________.11.278 [解析] 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫234－34 ＋log 3⎝⎛⎭⎫54³45＝⎝⎛⎭⎫23－3＝278. 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.13．、[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．13．5 [解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4.因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.3．、[2014·辽宁卷] 已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b3．D [解析] 因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.7．、[2014·四川卷] 已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c7．B [解析] 因为5d ＝10，所以d ＝log 510，所以cd ＝lg b ²log 510＝log 5b ＝a ，故选B.9．、[2014·重庆卷] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 39．D [解析] 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得3a ＋4b ＝ab ，则4a ＋3b＝1，所以a ＋b ＝(a＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋2 4b a ²3a b ＝7＋4 3，当且仅当4b a ＝3a b ，即a ＝4＋2 3，b ＝2 3＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 3.B8 幂函数与函数的图像 8．、[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A BC D图1-28．D [解析] 只有选项D 符合，此时0<a <1，幂函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且当x ∈(0，1)时，f (x )的图像在直线y ＝x 的上方，对数函数g (x )在(0，＋∞)上为减函数．故选D.8．，，[2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析] 由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.15．[2014·湖北卷] 如图1-4所示，函数y ＝f (x )的图像由两条射线和三条线段组成． 若∀x ∈R ，f (x )＞f (x －1)，则正实数a 的取值范围为________．图1-415.⎝⎛⎭⎫0，16 [解析] “∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图像恒在函数y ＝f (x －1)的图像的上方”，函数y ＝f (x －1)的图像是由函数y ＝f (x )的图像向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，16.13．、[2014·江苏卷] 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．13.⎝⎛⎭⎫0，12 [解析] 先画出y ＝x 2－2x ＋12在区间[0，3]上的图像，再将x 轴下方的图像对称到x 轴上方，利用周期为3，将图像平移至区间[－3，4]内，即得f (x )在区间[－3，4]上的图像如下图所示，其中f (－3)＝f (0)＝f (3)＝0.5，f (－2)＝f (1)＝f (4)＝0.5.函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)等价于y ＝f (x )的图像与直线y ＝a 有10个不同的交点，由图像可得a ∈⎝⎛⎭⎫0，12.15．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．15．(－∞，8] [解析] 当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.6．，[2014·山东卷] 已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是( )图1-1A ．a >1，x >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <16．D [解析] 由该函数的图像通过第一、二、四象限，得该函数是减函数，∴0＜a ＜1.∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c ＜1.B9 函数与方程6．[2014·北京卷] 已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)6．C [解析] 方法一：对于函数f (x )＝6x －log 2x ，因为f (2)＝2>0，f (4)＝－0.5<0，根据零点的存在性定理知选C.方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x 与g (x )＝log 2x 的大致图像，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2，4)．7．[2014·浙江卷] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞97．C [解析] 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3)得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－7＋3a －b ＝0，19－5a ＋b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11， 则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ，而0<f (－1)≤3，故0<－6＋c ≤3，∴6<c ≤9，故选C.10．[2014·重庆卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 10．A [解析] 作出函数f (x )的图像，如图所示．函数g (x )＝f (x )－mx －m 的零点为方程f (x )－mx －m ＝0的根，即为函数y ＝f (x )与函数y ＝m (x ＋1)图像的交点．而函数y ＝m (x ＋1)。
2014年高考真题——文科数学(全国大纲卷)解析版 Word版含解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},则M N 中元素的格式为( )A. 2B. 3C. 5D. 7(2)已知角α的终边经过点（-4,3），则cos α=( )A. 45 B. 35 C. －35 D. －45(3)不等式组(2)01x x x +>⎧⎨<⎩的解集为()A. {21}x x -<<-B. {10}x x -<<C. {01}x x <<D. {1}x x >（4）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A. 16B.C. 13D.(5)函数y =ln 1+)(x >-1)的反函数是( )A. 3(1)(1)x y e x =->-B. 3(1)(1)x y e x =->-C. 3(1)()x y e x R =-∈D. 3(1)()x y e x R =-∈.（6）已知a 、b 为单位向量，其夹角为60︒，则（2a －b ）·b =( )A. －1B. 0C. 1D.2(7)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种选法，根据分步计数乘法原理可得，组成的医疗小组共有15×5=75种不同选法.【考点】计数原理和排列组合.（8）设等不数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=( )A. 31B. 32C. 63D. 64(9)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，过F 2的直线l交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为( ) A. 22132x y += B. 2213x y += C. 221128x y += D. 221124x y +=（10）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积是( ) A. 814π B. 16π C. 9π D. 274π(11)双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则C 的焦距等于( )A. 2B.C.4D.(12)奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( )A. －2B.－1C. 0D. 1二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编8—平面向量(文科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编（8）平面向量【2014安徽】0．设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．0 10．B ，解析：11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅有以下三种可能：①222222||2||10||a a b b a b a ⋅+⋅=+=②244||2||cos 8||cos a b a a a θθ⋅=⋅=③223||6||cos a a a b a a θ⋅+⋅=+易知③最小，则有222||6||cos 4||a a a θ+=，所以1cos 2θ=，3πθ=。
3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 解3．A [解析] 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．10．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4AOM B OM C OM D OM10．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →.在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →，所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.3．已知向量，则（ ）A ．B ．C ．D ．解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题.)1,2()21,13(-=--=-.故选C.6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -∙=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2[解析]6．B 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 60°－|b |2＝0.4.设向量,a b 满足||10a b +=，|6a b -=，则a b ⋅= （ ）A .1B .2C .3D .54．A ． 解析：||10,6|4=41=+=-=∴+⋅+⋅+∴⋅∴⋅=-=2222a b a b a 2a b b a 2a b b a b a b 故选A ． 考点：考查平面向量的数量积，中等题.12．若向量(1,3)OA =-,||||OA OB =,0OA OB ⋅=, 则||AB =________.解析:12． 2222220AB OB OA OA OA OB OB OA =-=++===10.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(0B ,()30C ，，动点D 满足 1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.⎤⎦C.⎡⎣D.⎤⎦[解析]10．D 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，)1,3(),2,1(==b a =-a b )3,4()0,2()1,2(-)1,2(-所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 ▲ .解析：12．【答案】22解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的,AP BP 向量用基底,AB AD 表示，而后实施计算.14AP AD DP AD AB =+=+，34BP BC CP AD AB =+=-. 则2213132()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅==+⋅-=-⋅-. 因为8,5AB AD ==，则3122564162AB AD =-⨯-⋅，故22AB AD ⋅=. （江苏苏州 何睦） 解法二：（坐标法）不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设(0,0),(8,0),(.),(2,),(8,)A B D a t P a t C a t ++，则(2,)AP a t =+，(6,)BP a t =-.由2AP BP ⋅=，得22414a t a +-=，由5AD =，得2225a t +=，则411a =， 所求822AB AD a ⋅==. （江苏苏州 何睦） 【考点】平面向量的加法、减法及数乘运算 (B)，平面向量的数量积 (C).【答案】22【解析】以,为基底，因为2,3=⋅=，41+=+=，43-=+= 则)43()41(2AB AD AB AD BP AP -⋅+==⋅2216321AB AB AD AD -⋅-= 因为5,8==AD AB 则⋅-⋅-=2164163252，故22=⋅ 【点评】本题主要考查向量，向量的基底表示，向量的运算，本题关键在于选取哪两个向量为基底，根据题目中已知的两条边长，选为基底最为合适。
高考数学专题05平面向量-高考数学试题分项版解析(解析版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专题5 平面向量1. 【2014高考安徽卷文第10题】设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ） A.23π B.3π C.6π D.02. 【2014高考北京卷文第3题】已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r =（5，7），故选A.【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.3. 【2014高考大纲卷文第6题】已知a 、b 为单位向量，其夹角为60︒，则（2a －b ）·b =（ ）A. －1B. 0C. 1D.2【答案】B【解析】 试题分析：22(2)22cos ,a b b a b b a b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯<>-=2×1×1×c os 60︒-1=0，故选B.【考点】向量的数量积运算.4. 【2014高考福建卷文第10题】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ） ..2.3.4A OM B OM C OM D OM5. 【2014高考广东卷文第3题】已知向量()1,2a =，()3,1b =，则b a -=（ ）A.()2,1-B.()2,1-C.()2,0D.()4,37. 【2014高考湖南卷文第10题】在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()03B ，,()30C ，，动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的取值范围是（ ）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎤⎣⎦，D.7-17+1⎡⎤⎣⎦， 【答案】D【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程8.【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .9.【2014高考江西卷文第12题】已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e 则若向量且的夹角为αα_______. 【答案】3【解析】 试题分析：因为22221211221||(32)9124912cos 413129,3a e e e e e e α=-=-⋅+=-⨯+=-⨯=所以|| 3.a = 考点：向量数量积10. 【2014高考辽宁卷文第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝12. 【2014高考全国2卷文第4题】设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a ，则=⋅b a （ ）A. 1B. 2C. 3D. 513.【2014高考山东卷文第7题】已知向量()1,3a =，()3,b m =.若向量,a b 的夹角为π6，则实数m =（ ）（A ）23 （B ）3 （C ）0 （D ）3-【答案】B【解析】因为cos ,,||||a b a b a b ⋅<>=⋅所以2233cos ,623m m π+=+解得3m =，故选B . 考点：平面向量的数量积、模与夹角. 14.【2014高考四川卷文第14题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = .15. 【2014高考天津卷卷文第13题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1,AE AF ⋅=，则λ的值为________.16.【2014高考浙江卷文第9题】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ）A.若θ确定，则 ||a 唯一确定B.若θ确定，则 ||b 唯一确定C.若||a 确定，则 θ唯一确定D.若||b 确定，则 θ唯一确定17.【2014高考重庆卷文第12题】已知向量=⋅=--=b a b a b a 则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.18.【2014高考上海卷文第14题】已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【考点】向量的坐标运算．19.【2014高考上海卷文第17题】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）（A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）120.【2014高考陕西文第18题】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈.（1）若23m n ==，求||OP ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.。
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专题5 平面向量1. 【2014高考安徽卷文第10题】设,a b r r 为非零向量，2b a =r r ，两组向量1234,,,x x x x u r u u r u u r u u r 和1234,,,y y y y u u r u u r u u r u u r 均由2个a r 和2个b r 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r 所有可能取值中的最小值为24a r ，则a r 与b r 的夹角为（ ） A.23π B.3π C.6π D.02. 【2014高考北京卷文第3题】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r ，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r =（5，7），故选A.【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.3. 【2014高考大纲卷文第6题】已知a 、b 为单位向量，其夹角为60︒，则（2a －b ）·b =（ ）A. －1B. 0C. 1D.2【答案】B【解析】试题分析：22(2)22cos ,a b b a b b a b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯<>-r r r r r r r r r r r =2×1×1×c os 60︒-1=0，故选B.【考点】向量的数量积运算.4. 【2014高考福建卷文第10题】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r 等于 （ ）..2.3.4A OM B OM C OM D OM u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r5. 【2014高考广东卷文第3题】已知向量()1,2a =r ，()3,1b =r ，则b a -=r r （ ）A.()2,1-B.()2,1-C.()2,0D.()4,37. 【2014高考湖南卷文第10题】在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(03B ，,()30C ，，动点D 满足1CD =u u u r ,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的取值范围是（ ）A.[]46，B.19-119+1⎡⎤⎣⎦，C.2327⎡⎣，D.7-17+1⎡⎤⎣⎦， 【答案】D【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程8.【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AB AD ⋅u u u v u u u v 的值是 .9.【2014高考江西卷文第12题】已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e ρρρρρρ则若向量且的夹角为αα_______. 【答案】3 【解析】试题分析：因为22221211221||(32)9124912cos 413129,3a e e e e e e α=-=-⋅+=-⨯+=-⨯=r r r r r r r 所以|| 3.a =r 考点：向量数量积10. 【2014高考辽宁卷文第5题】设,,a b c r r r 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=r r ，0b c ⋅=r r ，则0a c ⋅=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝12. 【2014高考全国2卷文第4题】设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=⋅b a ρρ（ ）A. 1B. 2C. 3D. 513.【2014高考山东卷文第7题】已知向量(3a =r ，()3,b m =r .若向量,a b r r 的夹角为π6，则实数m =（ ）（A ）23（B 3 （C ）0 （D ）3【答案】B【解析】因为cos ,,||||a b a b a b ⋅<>=⋅r r r r u u r r 所以2233cos ,623m m π+=+解得3m =，故选B. 考点：平面向量的数量积、模与夹角.14.【2014高考四川卷文第14题】平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r ，c ma b =+r r r （m R ∈），且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，则m = .15. 【2014高考天津卷卷文第13题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1,AE AF ⋅=u u u r u u u r ，则λ的值为________.16.【2014高考浙江卷文第9题】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ）A.若θ确定，则 ||a 唯一确定B.若θ确定，则 ||b 唯一确定C.若||a 确定，则 θ唯一确定D.若||b 确定，则 θ唯一确定17.【2014高考重庆卷文第12题】已知向量=⋅=--=b a b a b a ρρρρρρο则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.18.【2014高考上海卷文第14题】已知曲线C ：24x y =--l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r ，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【解析】由0AP AQ +=u u u r u u u r r 知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【考点】向量的坐标运算．19.【2014高考上海卷文第17题】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =L 是小正方形的其余各个顶点，则(1,2,,7)i AB AP i ⋅=u u u r u u u r L 的不同值的个数为（ ） （A ）7 （B ）5 （C ）3 （D ）120.【2014高考陕西文第18题】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r .（1）若23m n ==，求||OP u u u r ； （2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.。
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数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 10．[2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM →10．D [解析] 如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.12．[2014·江西卷] 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13.若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________．12．3 [解析] 因为|a |2＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9×1－12×1×1×13＋4×1＝9，所以|a |＝3.5．、[2014·辽宁卷] 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q ) 5．A [解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．6．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A.AD →B.12AD →C.12BC → D.BC → 6．A [解析] EB ＋FC ＝EC ＋CB ＋FB ＋BC ＝12AC ＋12AB ＝AD .14．、[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c|a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．[2014·北京卷] 已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9)3．A [解析] 2a －b ＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)． 3．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(3，1)，则b －a ＝( ) A ．(－2，1) B ．(2，－1) C ．(2，0) D ．(4，3)3．B [解析] b －a ＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．12．、[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)， |OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．25 [解析] 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝2 5.12．、[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1-312．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB ·⎝⎛⎭⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .7．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．B [解析] 由题意得cosπ6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m 29＋m 2，解得m ＝ 3.13．[2014·陕西卷] 设0＜θ ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(1，－cos θ)，若a ·b＝0，则tan θ＝______.13.12 [解析] 由a ·b ＝0，得sin 2 θ＝cos 2θ.又0<θ<π2，∴cos θ≠0，∴2sin θ＝cos θ，则tan θ＝12.18．[2014·陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在 △ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解： (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1，2)，AC →＝(2，1)，∴OP →＝23(1，2)＋23(2，1)＝(2，2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.14．、[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．14．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c|a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.F3 平面向量的数量积及应用12．、[2014·湖北卷] 若向量OA →＝(1，－3)， |OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．12．25 [解析] 由题意知，OB →＝(3，1)或OB ＝(－3，－1)，所以AB ＝OB －OA ＝(2，4)或AB ＝(－4，2)，所以|AB |＝22＋42＝25.12．、[2014·江苏卷] 如图1-3所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．图1-312．22 [解析] 因为CP ＝3PD ，AP ·BP ＝2，所以AP ＝AD ＋DP ＝AD ＋14AB ，BP ＝BC＋CP ＝AD －34AB ，所以AP ·BP ＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB ·⎝⎛⎭⎫AD －34AB ＝AD 2－12AD ·AB －316AB 2＝2.又因为AB ＝8，AD ＝5，所以2＝25－316×64－12AB ·AD ，故AB ·AD ＝22 .6．[2014·全国卷] 已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．26．B [解析] 因为a ，b 为单位向量，且其夹角为60°，所以(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2|a ||b |cos 60°－|b |2＝0.4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．54．A [解析] 由已知得|a ＋b |＝10，|a －b |2＝b ，两式相减，得a ·b ＝1. 12．[2014·重庆卷] 已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________．12．10 [解析] ∵|a |＝（－2）2＋（－6）2＝210，∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝210×10×12＝10.7．，[2014·山东卷] 已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3 B. 3 C ．0 D ．－ 37．B [解析] 由题意得cosπ6＝a ·b |a ||b |＝3＋3m 29＋m 2，即32＝3＋3m 29＋m 2，解得m ＝ 3. 13．[2014·天津卷] 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________．13．2 [解析] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由BC →＝3BE →，得(1，3)＝3(x 1，y 1＋3)，可得E ⎝⎛⎭⎫13，－233；由DC →＝λDF →，得(1，－3)＝λ(x 2，y 2－3)，可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ，3－3.∵AE ·AF ＝⎝⎛⎭⎫43，－233·⎝ ⎛⎪⎫1λ＋1，3－3λ＝103λ－23＝1，∴λ＝2.F4 单元综合9．[2014·浙江卷] 设θ为两个非零向量a ，b 的夹角．已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定9．B [解析] |b ＋t a |≥1，则a 2t 2＋2|a ||b |t cos θ＋b 2的最小值为1，这是关于t 的二次函数，故最小值为4a 2b 2－4（|a ||b |cos θ）24a 2＝1，得到4a 2b 2sin 2θ＝4a 2，故|b |sin θ＝1.若|b |确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补；若θ确定，则|b |唯一确定．故选B.10．[2014·安徽卷] 设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( )A.2π3B.π3C.π6D ．0 10．B [解析] 令S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4，则可能的取值有3种情况：S 1＝2＋2，S 2＝＋＋2a ·b ，S 3＝4a ·b .又因为|b |＝2|a |.所以S 1－S 3＝2a 2＋2b 2－4a ·b ＝2()a －b 2>0，S 1－S 2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝(a －b )2>0，S 2－S 3＝(a －b )2>0，所以S 3<S 2<S 1，故S min ＝S 3＝4.设a ，b 的夹角为θ，则S min ＝4＝8|a |2cos θ＝4|a |2，所以cos θ＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.10．[2014·湖南卷] 在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]10．D [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以点C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D (3＋cos α，sin α)，所以OA →＋OB →＋OD →＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin(α＋φ)，所以|OA →＋OB →＋OD →|2∈[8－27，8＋27]，即|OA →＋OB →＋OD →|∈[7－1，7＋1]．。