高一数学上册优化训练试题8

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第一章集合与常用逻辑用语单元优化测试卷—高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第一章集合与常用逻辑用语单元优化测试卷一、单选题1．设集合{}1,2M =，则下列集合中与集合M 相等的是（）A ．{}1B ．{}2C ．{}2,1D ．{}1,2,32．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}13B x x =-<<，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}13x x <<C ．{}1,2,3D ．{}12x x ££3．已知全集U R =，则()()U U M N È=ðð（）A ．U ()M N ÇðB ．M NÇC ．M NÈD ．R4．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}N |3B x x =Î<，那么集合A B U 等于（）A ．[1,3)-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,2,3-5．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-£<，那么A B È=（）A ．{}23x x -<<B ．{}12x x -£<C ．{}21x x -<<D ．{}23x x <<6．荀子日：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设全集为R ，集合{1,0,1}A =-，{0,1,2,3}B =，则()A B =R I ð（）A ．{1,0}-B ．{2,3}C ．{0,1,2}D ．{1,2,3}8．已知()R A B =ÆI ð，则下面选项中一定成立的是（）A ．AB A =I B ．A B B =IC ．A B =ÆI D ．A B R=U 二、多选题9．给定数集M ，若对于任意a ，b M Î，有a b M +Î，且a b M -Î，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A ．集合{}4,2,0,2,4M =--为闭集合B ．正整数集是闭集合C ．集合{|3,}M n n k k Z ==Î为闭集合D ．若集合12,A A 为闭集合，则12A A È为闭集合10．设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,4}A =，{0,1,3}B =，则（）A ．{0,1}AB =I B ．{4}U B =ðC ．{0,1,3,4}A B È=D ．集合A 的真子集个数为811．对任意A ，B R Í，记{|}A B x x A B x A B Å=ÎÈÏÇ，，则称A B Å为集合A ，B 的对称差．例如，若{}123A =，，，{}234B =，，，则{}14A B Å=，，下列命题中，为真命题的是（）A ．若A ，B R Í且A B B Å=，则A =ÆB ．若A ，B R Í且A B Å=Æ，则A B =C ．若A ，B R Í且A B A ÅÍ，则A B ÍD ．存在A ，B R Í，使得R R A B A BÅ=Åðð12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N È=，M N Ç=Æ，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中，可能成立的是（）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素三、填空题13．若一个整数是4的倍数或这个整数中含有数字4，我们则称这个数是“含4数”，例如20、34，将[0，50]中所有“含4数”取出组成一个集合，则这个集合中的所有元素之和为___________.14．已知集合{|25}A x x =-££，{|121}B x m x m =+££-，若A B A È=，则实数m 的取值范围______________15．已知集合A ={}22,2a a a ++，若3A Î，则实数a 的值是____________.16．已知方程250x x a --=的解集为{}12,x x ，且123x x -=，则a =______.四、解答题17．已知集合{1A x x m =<-或}1x m >+，集合{|1B x x =<-或3}x >，若 “x A Î”是“x B Î”的必要条件，但“x A Î”不是“x B Î”的充分条件，求实数m 的取值范围．18．设集合{0,4}A =-，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=Î，若A B B =I ，求实数a 的取值范围.19．已知集合{}1,2A =-，{}220B x x ax b =-+=．若B ¹Æ且B ⫋A ，试求实数,a b 的值．20．设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,4A =，{}1,4,5,6B =.（1）求A B I 及A B U ；（2）求()U A B I ð.21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A Î（1x ¹且0x ¹），则11A xÎ-.（1）若2A Î，试证明A 中还有另外两个元素；（2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由；（3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .22．设集合{}21,1,33A a a a =--+-，{}2210B x x x =-+=，(){}210C x x a x a =-++=.（1）讨论集合B 与C 的关系；（2）若0a <，且C A Í，求实数a 的值.参考答案1．C【解析】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合{}1,2M =中有2个元素，分别是1和2，所以与集合M 相等的集合是{}2,1.故选：C 2．A【解析】因为集合{}1,2,3,4,5A =，{}13B x x =-<<，则A B =I {}1,2，故选：A.3．A【解析】如图：由交、并、补的定义可知：()()U U M N È=ððU ()M N Çð.故选：A.4．C【解析】因为{}{}N 30,1,2B x x =Î<=，又{}1,0,1,2A =-，所以{}1,0,1,2A B È=-.故选：C.5．A【解析】因为{}22A x x =-<<，{}13B x x =-£<，所以{}23A B x x È=-<<，故选：A.6．B【解析】荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．故选：B 7．B【解析】因为集合{1,0,1}A =-，则1,0,1A -ÏR ð，而{0,1,2,3}B =，所以()A B =R I ð{2,3}.故选：B.8．B【解析】解：A B A =Q I ，A B \Í，当A B ¹时，()R A B ¹ÆI ð，A \错误；A B B =Q I ，B A \Í，()R A B \=ÆI ð，B \正确；A B =ÆQ I ，所以()A B B =R I ð，C \错误；A B R =Q U ，A R \¹时，()R A B ¹ÆI ð，D ∴错误．故选：B ．9．ABD【解析】选项A ：当集合{}4,2,0,2,4M =--时，2,4M Î，而246M +=Ï，所以集合M 不为闭集合，A 选项错误；选项B ：设,a b 是任意的两个正整数，则a b M +Î，当a b <时，-a b 是负数，不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当{}3,M n n k k Z ==Î时，设12123,3,,a k b k k k Z ==Î，则()()12123,3a b k k M a b k k M +=+Î-=-Î，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；选项D ：设{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==Î==Î，，，，由C 可知，集合12,A A 为闭集合，()122,3A A ÎÈ，而()()1223A A +ÏÈ，故12A A È不为闭集合，D 选项错误．故选：ABD ．10．AC【解析】因为全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,4}A =，{0,1,3}B =，所以{0,1}A B =I ，{2,4}U B =ð，{0,1,3,4}A B È=，因此选项A 、C 正确，选项B 不正确，因为集合{0,1,4}A =的元素共有3个，所以它的真子集个数为：3217-=，因此选项D 不正确，故选：AC 11．ABD【解析】解：对于A 选项，因为A B B Å=，所以{|}B x x A B x A B =ÎÈÏÇ，，所以A B Í，且B 中的元素不能出现在A B I 中，因此A =Æ，即选项A 正确；对于B 选项，因为A B Å=Æ，所以{|}x x A B x A B Æ=ÎÈÏÇ，，即A B U 与A B I 是相同的，所以A B =，即选项B 正确；对于C 选项，因为A B A ÅÍ，所以{|}x x A B x A B A ÎÈÏÇÍ，，所以B A Í，即选项C 错误；对于D 选项，A B =时，A B Å=Æ，()()R R A B A B Å=Æ=Åðð，D 正确；故选：ABD ．12．ABD【解析】令{|10,}M x x x Q =<Î，{|10,}N x x x Q =³Î，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中有一个最小元素，即选项A 可能；令{|}M x x x Q =<Î，{|}N x x x Q =³Î，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中也没有最小元素，即选项B 可能；假设答案C 可能，即集合M 、N 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令{|10,}M x x x Q =£Î，{}10,N x x x Q =>Î，显然集合M 中有一个最大元素，集合N 中没有最小元素，即选项D 可能.故选：ABD ．13．673【解析】解：[0，50]中所有“含4数”有0，4，8，12，14，16， 20， 24，28，32，34，36，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，所以所有元素之和为4+8+12+14+...+40+41+44...+49 =673.故答案为：673.14．(]3m Î-¥，【解析】解：{|25}A x x =-££Q ，{|121}B x m x m =+££-，由A B A È=，B A \Í，①当B =Æ时，满足B A Í，此时121m m +>-，2m <∴；②当B ¹Æ时，B A ÍQ ，则12112215m m m m +£-ìï+³-íï-£î，解得23m ££．综上，3£m ．15．32-【解析】由题可知：集合{}22,2A a a a =++，3AÎ所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32a =-当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性，当32a =-时，1,32ìü=íýîþA ，符合题意所以32a =-故答案为：32-16．-4【解析】方程250x x a --=的解集为{}12,x x ，所以12125,x x x x a +==-，且2540a D =+>，解得254a >-1x -==3，解得4a =-，故答案为：-417．02m ££【解析】因为“x A Î”是“x B Î”的必要条件，且“x A Î”不是“x B Î”的充分条件，所以B 是A 的真子集，∴1113m m -£-ìí+<î或1113m m -<-ìí+£î，解得02m ££，所以实数m 的取值范围是02m ££.18．1a <-或1a =【解析】由题意知A B B =I ，所以B A Í，因为{0,4}A =-，所以B A Í分以下三种情况：（1）当B A =时，{0,4}B =-，可得0和4-是方程222(1)10x a x a +++-=的两个根，由根与系数的关系，得()()()2224141021410a a a a ìD =+-->ïï-+=-íï-=ïî，解得1a =；（2）当集合B 为单元素集合时，即{0}B =或{4}B =-}，则()()2241410a a D =+--=，解得1a =-，此时{0}B =满足题意；（3）当B f =时，则()()2241410a a D =+--<，解得1a <-，综上所述，所求实数a 的取值范围是1a <-或1a =19．11ab =-ìí=î或24a b =ìí=î【解析】解：{}1,2A =-Q ，B ¹Æ且B ⫋A ，{}1B =-或{}2B =当{}1B =-时，()()()222401210a b a b ìD =--=ïí--×-+=ïî，解得11a b =-ìí=î当{}2B =时，()222402220a b a b ìD =--=ïí-´+=ïî，解得24a b =ìí=î综上所述，11a b =-ìí=î或24a b =ìí=î20．（1）{}1,4A B Ç=，{}1,3,4,5,6A B =U ；（2）{}5,6.【解析】解：（1）因为{}1,3,4A =，{}1,4,5,6B =，所以{}{}{}1,3,41,4,5,61,4A B ==I I ，{}{}{}1,3,41,4,5,61,3,4,5,6A B ==U U （2）因为{}1,2,3,4,5,6U =，所以{}2,5,6U A =ð，所以(){}{}{}2,5,61,4,5,65,6U A B ==I I ð.21．（1）证明见解析；（2）不是，理由见解析；（3）112,2,1,,3,223A ìü=--íýîþ.【解析】（1）证明：若x ∈A ，则11A xÎ-．又∵2∈A ，∴1112A =-Î-．∵-1∈A ，∴()11112A =Î--．∴A 中另外两个元素为1-，12；（2）x A Î，11A x Î-，1x A x-Î，且11x x ¹-，111x x x -¹-，1x x x-¹，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）∵数集A 由实数构成，且满足：若x ∈A （x ≠1且x ≠0），则11A xÎ-．∴x ∈A ，11A x Î-，1x A x-Î，11x x ¹-，111x x x-¹-，1x x x -¹，∴集合A 中至少有3个元素，所有元素的积为：111x x x x-××=-1，∵A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，所有元素积为1，∴211(12x x x -=Þ=，∵12A Î，∴1112=-2∈A ，∴1112A =-Î-，∴()11112=--∈A ，设m ＝a ，同理得11m -∈A ，1m m-∈A ，∵A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，∴111141212132m m m m m -+-+++=Þ=--、3、23，∴112213223A ìü=--íýîþ，，，，．22．（1）当1a =时，B C =；当1a ¹时，B 是C 的真子集；（2）3a =-或12a =-.【解析】（1）{}1,{|(1)()0}B C x x x a ==--=，当1a =时，{}1B C ==；当1a ¹时，{}1,,C a B =是C 的真子集.（2）当0a <时，因为C A Í，所以{}1,a A Í.当233a a a +-=时，解得1a =(舍去)或3a =-，此时{}1,3,2A =-，符合题意.当1a a --=时，解得12a =-，此时1171,,24A ìü=--íýîþ符合题意.综上，3a =-或12a =-.。

人教A版高中数学必修一优化方案知能优化训练新(2)(1)

【优化方案】数学人教A版必修1 第3章3.2.1知能优化训练1．某工厂在2004年年底制订生产计划，要使2014年年底总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为( )A．5110－1 B．4110－1C．5111－1 D．4111－1解析：选B.由(1＋x)10＝4可得x＝4110－1.2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．无法判断解析：选A.∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1100)，∴b＝a×99100，∴b＜a.3.甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点解析：选D.当t＝0时，S＝0，甲、乙同时出发；甲跑完全程S所用的时间少于乙所用时间，故甲先到达终点．4．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是________．解析：该函数关系为y＝2x，x∈N*.答案：y＝2x(x∈N*)1．某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到( )A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A.由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.2．马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( )A．1535.5元B．1440元C．1620元D．1562.5元解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1－0.2)2＝1000，解得a＝1562.5元，故选D.3．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝0.5，且为递增函数．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m 3，按每立方米x 元收取水费；每月用水超过10 m 3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3解析：选A.设用水量为a m 3，则有10x ＋2x (a －10)＝16x ，解得a ＝13.5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x 10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：选C.将x ＝1,2,3，y ＝0.2,0.4,0.76分别代入验算． 6．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是( )A.711B.712C.127－1D.117－1解析：选D.设1月份产量为a ，则12月份产量为7a .设月平均增长率为x ，则7a ＝a (1＋x )11，∴x ＝117－1. 7．某汽车油箱中存油22 kg ，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y (kg)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为__________________．解析：流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x .答案：y ＝22－11100x8．某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 之间满足关系y ＝a ·0.5x＋b .现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5a ＋b ＝10.52a ＋b ＝1.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝2. ∴y ＝－2·0.5x＋2.当x ＝3时，y ＝1.75. 答案：1.759．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大值．解析：D ＝a A －A ＝－(A －a2)2＋a 24，当A ＝a 2，即A ＝a 24时，D 最大．答案：a 2410．将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件；若每件的售价涨0.5元，其销售量减少10件，问将售价定为多少时，才能使所赚利润最大？并求出这个最大利润．解：设每件售价提高x 元，利润为y 元，则y ＝(2＋x )(200－20x )＝－20(x －4)2＋720.故当x ＝4，即定价为14元时，每天可获利最多为720元．11．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)试计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入公式得v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，它的飞行速度为15m/s.12．众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本(a 元)、包装成本(b 元)、利润．生产成本(a 元)与饼干重量成正比，包装成本(b 元)与饼干重量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试写出该种饼干1000克装的合理售价．解：设饼干的重量为x 克，则其售价y (元)与x (克)之间的函数关系式为y ＝(ax ＋b x )(1＋0.2)．由已知有1.6＝(100a ＋100b )(1＋0.2)，即43＝100a ＋10b . 又3＝(200a ＋200b )(1＋0.2)，即2.5≈200a ＋14.14b . ∴0.167≈5.86b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ≈0.0285a ≈1.05×10－2. ∴y ＝(1.05×10－2x ＋0.0285x )×1.2. 当x ＝1000时，y ≈13.7(元)．∴估计这种饼干1000克装的售价为13.7元．。

2020高中数学第1章128知能优化训练湘教版必修1

知能优化训练1．(2020 年高考湖北卷 ) 若定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 和奇函数 g ( x ) 知足 f ( x ) ＋g ( x ) ＝ e x ，则 g ( x ) ＝ ()A ．e x － e －x1x－ xC. ( e － e ) 分析：选 C. 由B.12( e x ＋ e －x )1－ xxD. ( e－ e )xf ( x ) ＋g ( x ) ＝ e ，①得 f ( － x ) ＋g ( － x ) ＝e －x ，即 f ( x ) － g ( x ) ＝ e －x ，②1x － x 联立①②解得 g ( x ) ＝2(e － e ) ．2．(2020 年高考课标全国卷 ) 以下函数中，既是偶函数又在( 0，＋∞ ) 上单一递加的函数是 ()A ．y ＝ x 3B ． y ＝ | x | ＋ 1C ．y ＝－ x 2＋ 1D ． y ＝ 2－| x| 分析：选 B. ∵ y ＝ x 3 在定义域 R 上是奇函数，∴ A 不对．y ＝－ x 2＋ 1 在定义域 R 上是偶函数，但在( 0，＋∞ ) 上是减函数，故C 不对．D 中 y ＝ 2 －| x|＝ 1| x|虽是偶函数，但在( 0，＋∞) 上是减函数，只有B 对．23．若函数 f ( x ) ＝ x 2＋ ( a ＋ 2) x ＋ 3， x ∈ [ a ， b ] 的图象对于直线 x ＝ 1 对称，则 b 为 () A ．6 B ．－ 6 C ．5 D ．－ 52 a ＋ 2 分析：选 A. ∵ f ( x ) ＝x ＋( a ＋ 2) x ＋3 的对称轴为 x ＝－2 ＝ 1，∴ a ＝－ 4，a ＋b － 4＋ b又对称轴为＝ 1，∴2＝ 1.2∴ b ＝ 6.4．已知二次函数 f ( x ) ＝ ax 2＋ bx ＋c 图象的对称轴方程为 x ＝2，且经过点 (1,4) 和点 (5,0) ，则 f ( x ) 的分析式为 ________．分析：可设极点式 f ( x ) ＝ a ( x －2) 2＋ k ， ( a ≠0)1291 25再将点 (1,4) 和 (5,0) 代入，可得 f ( x ) ＝－ 2( x － 2) ＋2 ，即 f ( x ) ＝－ 2x＋2x ＋ 2.答案： f ( x)＝－12＋ 2 ＋52xx25．已知函数 f ( x ) ＝ ax 2＋ bx ＋ 3a ＋ b 是偶函数，且定义域为 [ a － 1,2 a ] ，则 a ＝________， b ＝ ________.分析：∵ f ( x ) 是定义域为 [ a － 1,2 a ] 的偶函数，1∴a － 1＝－ 2a ，∴ a ＝3. 又 f ( － x ) ＝f ( x ) ，12 12即 3x － bx ＋ 1＋b ＝ 3x ＋ bx ＋ 1＋ b . ∴ b ＝ 0.1 答案：3一、选择题1．(2020 ～2020 年浏阳一中月考 ) 以下函数是奇函数的是 ()A ．y ＝ 3x ＋4B ． y ＝ x 4＋3x 3C ．y ＝ x 3＋ x x ∈ ( － 3,3]D ． y ＝ x 3＋x x ∈ [ － 3,3] 分析：选 D.A 、 B 不切合 f (－ )＝－ f ( ) ， C 定义域不对于原点对称， D 正确．x x2．若函数 f ( x )( f ( x ) ≠0) 为奇函数，则必有 () A ．f ( x ) · f ( － x ) ＞ 0 B ． f ( x ) · f ( － x ) ＜ 0 C ．f ( x ) ＜ f ( － x ) D ． f ( x ) ＞ f ( － x ) 分析：选 B. ∵ f ( x ) 为奇函数，∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴f ( x ) · f ( － x ) ＝－ f 2( x ) ＜ 0.3．(2020 年湖南师大附中必修 1 结业考试 ) 函数 y1 ) ＝ x ＋的图象对于 (xA ．y 轴对称B ．原点对称C ．x 轴对称D ．直线 y ＝ x 对称1分析：选 B. f ( x ) ＝ x ＋x ( x ≠0) ，∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) 为奇函数，对于 (0,0) 对称． 4．(2020 年高考辽宁卷 ) 若函数 f ( x ) ＝x－为奇函数，则 a ＝ ()2 ＋ 1ax x1 2 A. 2 B. 3 3D ． 1C.4 分析：选 A. ∵ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，－ x x∴－ 2x ＋ 1－ x － a＝－ 2x ＋ 1x － a，1∴ (2 a － 1) x ＝ 0，∴ a ＝ 2.5．若函数 f ( x ) ＝x 2 ＋2( a － 1) x ＋ 2 在区间 ( －∞， 4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是 ()A ．a ≥3B ． a ≤－ 3C ．a ≤5D ． a ≥－ 3 分析：选 B. f ( x ) 的对称轴为 x ＝ 1－，张口向上，其减区间为 ( －∞， 1－ ]，∴1－ ≥4，a a a∴ a ≤－ 3.6．已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋2ax ＋ 4( a >0) ．若 x 1<x 2， x 1＋ x 2＝0，则 ()12A ．f ( x)> f ( x)B ．f ( x 1) ＝ f ( x 2 )C ．f ( x 1)< f ( x 2)D ．f ( x 1) 与 f ( x 2) 的大小不可以确立分析：选 C. f ( x ) ＝ ax 2＋ 2ax ＋4＝ a ( x ＋1) 2＋ 4－ a ，其图象的对称轴是直线 x ＝－ 1，由 x 1<x 2， x 1＋ x 2＝ 0，得 x 1<0，x 2>0，且 x 1，x 2 对于坐标原点对称，则 x 2 距对称轴较远，因此 f ( x 1)< f ( x 2) ．故选 C.二、填空题7．函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ＞ 0 时， f ( x ) ＝－ x ＋1，则当 x ＜ 0 时， f ( x ) 等于 ________．分析：设 x ＜0，则－ x ＞ 0，∴ f ( － x ) ＝－ ( － x ) ＋1＝ x ＋ 1， ∴ f ( x ) ＝－ x － 1. 答案：－ x －18．假如函数 y ＝ x 2－ 2ax ＋ 6 是偶函数，则 a 的值是 ________．分析：对称轴为 x ＝ a ，假如偶函数，则 a ＝ 0.答案： 0x ≤0时， f ( x ) ＝ 2x 2－ x ，则9．(2020 年高考安徽卷 ) 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，当 f (1) ＝________.分析：令 x ＝－ 1，∴ f ( － 1) ＝2×( － 1) 2－ ( － 1) ＝3， f ( － 1) ＝－ f (1) ，∴ f (1) ＝－ f ( － 1) ＝－ 3. 答案：－ 3 三、解答题10．已知函数 () ＝ 1 2 3f x 2x－ 3 x － .4(1) 求这个函数图象的极点坐标和对称轴；(2) 7 41f ( 5 已知 f ( ) ＝－ 8 ，不计算函数值，求 ) ；22 (3) 不计算函数值，试比较 115 ) 的大小．f ( － ) 与 f ( － 4 41 2 3 1 2 21 解： (1) ∵ f ( x ) ＝ 2x － 3x － 4＝ 2( x － 3) － 4 ，因此函数的极点坐标为 (3 ，－ 21) ，对称轴为 x ＝ 3.4(2) ∵ f ( 7) ＝－ 41，又 | 5－3| ＝ 1， | 7－ 3| ＝1，2 8 2 2 2 2 因此联合二次函数的对称性可知， 5 7 41f ( 2) ＝ f ( 2) ＝－ 8 .(3) 1221可知，由 f ( x ) ＝ ( x － 3) －2 4f ( x ) 在 x ∈ ( －∞， 3] 上是单一递减函数，15 1又－ 4 <－ 4<3，15 1因此 f ( － 4 )> f ( － 4) ．11．已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 知足 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，求 f (6) 的值．解：∵ f ( x ＋2) ＝－ f ( x ) ．∴ f (6) ＝ f (4 ＋ 2) ＝－ f (4) ＝－ f (2 ＋ 2) ＝f (2) ＝ f (0 ＋ 2) ＝－ f (0) ． ∵f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，∴ f (0) ＝ 0，∴ f (6) ＝0.12．已知二次函数 f ( x ) 知足 f ( － 2＋ x ) ＝f ( － 2－x ) ．3π(1) 比较 f ( － 2 ) ， f ( － 3 ) ，f ( － 1) 的大小；(2) 若方程 f ( x ) ＝ x 有独一解，且 f ( x ) 的图象截 x 轴所得的线段长为 4，求解： (1) 由 f ( － 2＋ x ) ＝ f ( － 2－x ) ，可知 x ＝－ 2 是 f ( x ) 的图象的对称轴．f ( x ) 的分析式．π又－ 2<－ 3 <－ 1<－3 ，2π∴当 f ( x ) 的二次项系数 a >0 时，f ( x ) 在 [ － 2，＋∞ ) 上是增函数． ∴f ( － 3 )< f ( － 1)< f ( －3) ；2当 f ( x ) 的二次项系数 a <0 时， f ( x ) 在 [ －2，＋∞ ) 上是减函数，π3∴ f ( － 3 )> f ( － 1)> f ( － 2 ) ．(2) 依题意，可设 f ( x ) ＝ a ( x ＋2) 2＋ k ( a ≠0) ．∵f ( x ) 的图象截 x 轴所得的线段长为 4，由对称性可知， f ( x ) 的图象与 x 轴交于两点，坐标分别为 ( － 4,0) 与 (0,0) ，于是有 a ( －4＋ 2) 2＋ k ＝0，即 4a ＋ k ＝ 0. ①2又由方程 f ( x ) ＝ x 有独一解，即 ax ＋ (4 a －1) x ＋ 4a ＋ k ＝ 0 有独一解，1由①②解得 a ＝ 4， k ＝－ 1.12∴所求 f ( x ) 的分析式为f ( x ) ＝ ( x ＋ 2) － 1，4即 f ( x ) ＝ 1x 2＋x . 4。

1.2.1必要条件与充分条件——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练(含解析)

1.2.1必要条件与充分条件——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练1.“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.已知，集合，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.已知集合,,则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若，则是成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.的一个必要条件是( ).A.6.已知,,设甲：,则( )A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件7.已知区间，则下列是“对任意的，”的必要不充分条件的是( )A. B. C. D.8.下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是( )A. B. C. D.9.（多选）已知集合,若是的充分条件,则a 可以是( )A. -1B.0C.1D.210.（多选）下列命题为真命题的是( )∅2{210,}M x ax x a =++=∈R ∣(,0)a ∈-∞222a b ab +=22a b =a ∈R {}2,1,3A a a =++0a =1A ∈{}44A x x =-≤≤{}B x x a =<5a >A B A = ,x y ∈R 22x y >⎧⎨>⎩44x y xy +>⎧⎨>⎩x y =2x y ===11y =-0a >0b >a b ->1>[],1M a a =+x M ∈10x +>1a >-2a >-1a <-0a ≤(,0]a ∈-∞(,1]a ∈-∞(,2)a ∈-∞{}0A x x =>{}B x x a =≥x A ∈x B ∈A.“”是“”的必要不充分条件B.“C.“”是“”的充分不必要条件D.“x 或y 为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件11.已知，，若p 是q 的必要条件，则实数m 的取值范围为___________.12.设非空集合，，则的充要条件为__________.13.已知集合,,若是的必要不充分条件,则实数a 的所有可能取值构成的集合为__________．14.已知集合,非空集合,（1）若时,求;（2）是否存在实数m ,使得是的必要不充分条件?若存在,求实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由.15.已知集合，或，.(1)求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.<a b >22ac bc >a b >a P ∈Q a P ∈xy :40p x m -<:134q x ≤-≤{2135}A xa x a =+≤≤-∣{322}B x x =≤≤∣()A A B ⊆ {}240A x x =-={}20B x ax =-=x A ∈x B ∈402x M x x ⎧-⎫=≥⎨⎬-⎩⎭{}123N x m x m =-<<-3m =M N x M ∈R ðx N ∈R ð{}3217A x x =-<+<{4B x x =<-}2x >{}321C x a x a =-<<+()R A B ð()R :p x A B ∈ ð:q x C ∈答案以及解析1.答案：A 解析：由，可得；由，可得；则“”是“”的充分不必要条件.故选：A2.答案：C解析：若，或，所以，或.当时，，不满足集合中元素的互异性，故；当时，，故由，可得；反之，当时，显然也成立.故“”是“”的充要条件.故选：C.3.答案：A解析：若,则,又,,所以,所以由推得出,故充分性成立;由推不出,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4.答案：A解析：当时，可以得到，充分性；取，，满足，但是不满足，不必要；故选：A5.答案：A解析：是条件，选项为结论.由推出；当时，B 不成立；当时，C 不成立；当时，D 不成立.222a b ab +=a b =22a b =a b =±222a b ab +=22a b =1∈11+=31a +=2a =-0a =2a =-311a a +=+=2a ≠-0a ={}2,1,3A =1A ∈0a =0a =1A ∈0a =1A ∈A B A = A B ⊆{}44A x x =-≤≤{}B x x a =<4a >5a >A B A = A B A = 5a >5a >A B A = 22x y >⎧⎨>⎩44x y xy +>⎧⎨>⎩1x =5y =44x y xy +>⎧⎨>⎩22x y >⎧⎨>⎩x y =x y =22x y =0x y ==2x y =<1x y ==6.答案：B 解析：不妨设,,满足,充分性不成立,,两边平方得又,故,必要性成立,故甲是乙的必要不充分条件.故选：B.7.答案：B解析：由“对任意的，”，得，即，则原题等价于探求“”的必要不充分条件，A 选项“”为“”的充要条件，故A 错误；B 选项“”为“”的必要不充分条件，故B 正确；C 选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故C 错误；D 选项“”为“”的既不充分也不必要条件，故D 错误；故选：B.8.答案：D解析：因为是集合的真子集，所以，所以方程有实数解.当时，由可得时，由可得，所以且.综上所述，的充要条件为，即是集合的真子集成立的充要条件为，故正确选项是的必要不充分条件.由选项判断A ，B ，C 都不正确，选项D 正确.9.答案：AB解析：因为是的充分条件,所以,所以有.故选：AB.10.答案：ACD解析：对于A ，由，可得到，反之，不成立，故A 正确；3a =1b =a b ->11=-<11>⇒>+1a b >++0b >11a b ->+>x M ∈10x +>10a +>1a >-1a >-1a >-1a >-2a >-1a >-1a <-1a >-0a ≤1a >-∅{}2210,M x ax x a =++=∈R ∣{}2210,M x ax x a =++=∈≠∅R ∣2210ax x ++=0a =210x +=x =0≠440a ∆=-≥1a ≤1a ≤0a ≠2{210,}M x ax x a =++=∈≠∅R ∣1a ≤∅M ={}2210,x ax x a ++=∈R ∣1a ≤1a ≤x A ∈x B ∈A B ⊆0a ≤22ac bc >a b >或，故B 错误；对于C ：若“”，则“”，是充分条件，反之不成立，故C 正确；对于：比如：，反之，若故“x 或y 为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件，故D 正确；故选：ACD.11.答案：解析：由，得由，得.是q 的必要条件，，即.12.答案：解析：非空，，.由于，又，则，即.故.又，故，的充要条件为.13.答案：解析：依题意,,若,则,满足是的必要不充分条件.当时,,由于是,解得或,综上所述,a 的所有可能取值构成的集合为.故答案为：.14.答案：（1）（2）见解析<0b >>0a b <<a P ∈Q a P ∈D 1x =y =xy =xy =xy (8,)+∞40x m -<x <134x ≤-≤12x -≤≤p 24m ∴>8m >69a ≤≤A 2135a a ∴+≤-6a ∴≥A B A ⊆ ()A A B ⊆ A A B = A B ⊆213,3522.a a +≥⎧⎨-≤⎩19a ∴≤≤6a ≥69a ≤≤()A A B ∴⊆ 69a ≤≤{}1,0,1-{}{}2|402,2A x x =-==-0a =B =∅x A ∈x B ∈0a ≠2|B x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭x A ∈x ∈=2=-1a =1a =-{}1,0,1-{}1,0,1-{}23M N x x =-<<解析：（1）集合当时,非空集合（2）假设存在实数m ,使得是的必要不充分条件,则⫋,即⫋,则,解得故存在实数是的必要不充分条件.15.答案：(1)；(2)解析：（1）因为，又，所以.（2）或，所以，因为“”是“”的充分不必要条件，则，又，所以{}40242x M x x x x ⎧-⎫=≥=<≤⎨⎬-⎩⎭3m ={}23N x x =-<<{}23M N x x ∴=-<< x M ∈R ðx N ∈R ðN R ðM R ðM N 23412m m ->⎧⎨-≤⎩m >m >x M ∈R ðx N ∈R ð{}2|2x x -<≤233a -<<-{}{}321723A x x x x =-<+<=-<<{}R |42B x x =-≤≤ð(){}R |22A B x x =-<≤ ðA B {4x x =<-}2x >-(){}R |42A B x x =-≤≤- ð()R :p x A B ∈ ð:q x C ∈()R A B C ⊆ ð{}321C x a x a =-<<+324312a a a -<-⎧⇒-<<⎨+>-⎩。

人教A版高中数学必修一优化方案知能优化训练新

【优化方案】数学人教A 版必修1 第2章2.1.1知能优化训练1．将532写为根式，则正确的是( )A.352B.35C.532D.53解析：选D.532＝53. 2．根式 1a 1a(式中a ＞0)的分数指数幂形式为( )A ．a －43 B ．a 43C ．a －34D ．a 34解析：选C.1a 1a＝a－1a－112＝a －32＝(a －32)12＝a －34.3.a －b 2＋5a －b 5的值是( ) A ．0 B ．2(a －b ) C ．0或2(a －b ) D ．a －b 解析：选C.当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )；当a －b <0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0.4．计算：(π)0＋2－2×(214)12＝________.解析：(π)0＋2－2×(214)12＝1＋122×(94)12＝1＋14×32＝118.答案：1181．下列各式正确的是( )A.－2＝－3 B.4a 4＝aC.22＝2 D ．a 0＝1 解析：选C.根据根式的性质可知C 正确．4a 4＝|a |，a 0＝1条件为a ≠0，故A ，B ，D 错．2．若(x －5)0有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x >5 B ．x ＝5 C ．x <5 D ．x ≠5解析：选D.∵(x －5)0有意义， ∴x －5≠0，即x ≠5.3．若xy ≠0，那么等式 4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0解析：选C.由y 可知y >0，又∵x 2＝|x |，∴当x <0时，x 2＝－x .4．计算n ＋12122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6 D ．(12)2n －7解析：选D.n ＋12122n ＋14n ·8－2＝22n ＋2·2－2n －12n 3－2＝2122n －6＝27－2n＝(12)2n －7. 5．化简 23－610－43＋22得( )A ． 3＋ 2B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．1＋2 3 解析：选A.原式＝23－610－2＋＝ 23－622－42＋22＝ 23－－2＝ 9＋62＋2＝3＋ 2.6．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2解析：选C.将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a＝m 2＋2⇒a 2＋1a＝m 2＋27．根式a －a 化成分数指数幂是________．解析：∵－a ≥0，∴a ≤0，∴a －a ＝－－a2－a ＝－－a3＝－(－a )32.答案：－(－a )328．化简11＋62＋11－62＝________. 解析： 11＋62＋11－62＝＋22＋－22＝3＋2＋(3－2)＝6.答案：69．化简(3＋2)2010·(3－2)2011＝________.解析：(3＋2)2010·(3－2)2011＝[(3＋2)(3－2)]2010·(3－2) ＝12010·(3－2)＝ 3－ 2. 答案：3－ 2 10．化简求值：(1)0.064－13－(－18)0＋1634＋0.2512；(2)a －1＋b －1ab －1(a ，b ≠0)．解：(1)原式＝(0.43)－13－1＋(24)34＋(0.52)12 ＝0.4－1－1＋8＋12＝52＋7＋12＝10. (2)原式＝1a ＋1b 1ab ＝a ＋b ab1ab＝a ＋b .11．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，求x 12－y 12x 12＋y 12的值．解：x 12－y 12x 12＋y 12＝x ＋y －xy12x －y.∵x ＋y ＝12，xy ＝9，则有(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝108. 又x <y ，∴x －y ＝－108＝－63，代入原式可得结果为－33.12．已知a 2n＝2＋1，求a 3n ＋a －3n a n ＋a －n的值．解：设a n ＝t ＞0，则t 2＝2＋1，a 3n ＋a －3n a n ＋a －n ＝t 3＋t －3t ＋t －1＝t ＋t －1t 2－1＋t －2t ＋t－1＝t 2－1＋t －2＝2＋1－1＋12＋1＝22－1.。

高一数学上册优化训练试题2

1.1.4 投影与直观图优化训练1．直线的平行投影可能是( )A．点 B．线段C．射线D．曲线答案：A2．在灯光下，圆形窗框在与窗框平行的墙面上的影子的形状是( )A．平行四边形B．椭圆形C．圆形D．菱形解析：选C.由点光源的中心投影的性质可知影子应为圆形．3．如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC答案：C4．已知有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其斜二测直观图的面积为________．解析：由于该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)．所以其斜二测直观图的面积为S′＝24S＝52(cm2)．答案：5 2 cm25．长度相等的两条平行线段的直观图的长度________．答案：相等1．放晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影( )A．变长 B．变短C．先变长后变短D．先变短后变长答案：D2．下列关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A ．原图中平行于x 轴的线段，其对应线段仍平行于x ′轴，长度不变B ．原图中平行于y 轴的线段，其对应线段仍平行于y ′轴，长度不变C ．画与坐标系xOy 对应的坐标系x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可以等于135°D ．画直观图时，由于选轴不同，所画的直观图可能不同解析：选B.平行于y 轴的线段其长度变为原来的12. 3. 如图所示，梯形A ′B ′C ′D ′是平面图形ABCD 的直观图，若A ′D ′∥O ′y ′，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝23C ′D ′＝2，A ′D ′＝1，则四边形ABCD 的面积是( )A ．10B ．5 2C ．5D ．10 2解析：选C.还原后的四边形ABCD 为直角梯形，AD 为垂直底边的腰，AD ＝2，AB ＝2，CD ＝3，S 四边形ABCD ＝5，故正确答案为C.4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD 1A 1上的射影为( )答案：A5．如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是( )A ．矩形的平行投影一定是矩形B ．梯形的平行投影一定是梯形C ．正方形的平行投影一定是矩形D ．正方形的平行投影一定是菱形解析：选B.因为梯形两底的平行投影仍然平行，故选B.6．如下图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的()解析：选C.根据斜二测画法的规则：平行于x 轴或在x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，在y 轴上或平行于y 轴的线段的长度在新坐标中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.7. 如图所示，已知用斜二测画法画出的△ABC 的直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，那么原△ABC 的面积为________．解析：过C ′作y ′轴的平行线C ′D ′与x ′轴交于D ′，则C ′D ′＝32a sin45°＝62a .又∵C ′D ′是原△ABC 的高CD 的直观图，∴CD ＝6a .∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12a ·6a ＝62a 2. 答案：62a 2 8．给出下列说法：①正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；②水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；③不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；④水平放置的平面图形的直观图是平面图形．写出其中正确说法的序号________．解析：对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x 轴、y 轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x 轴、y 轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上或与坐标轴平行，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则；对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形；对于③，只要坐标系选取的恰当，不等边三角形的水平放置的直观图可以是等边三角形．答案：④9. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：在直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则斜边AB ＝5，故斜边的中线长为52. 答案：5210．在有太阳的某时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10 m 处，同一时刻一根长 3 m 的木棒垂直于地面，且影子长1 m ，求此球的半径．解：由题设知BO ′＝10，设∠ABO ′＝2α(0°<α<45°)(如图)，由题意知tan 2α＝31＝3，即2α＝60°，∴α＝30°， ∴tan α＝33. 在Rt △OO ′B 中，tan α＝R BO ′， ∴R ＝BO ′·tan α＝1033m. 即此球的半径为1033m. 11. 如图所示，一建筑物A 高为BC ，眼睛位于点O 处，用一把长为22 cm 的刻度尺EF 在眼前适当地运动，使眼睛刚好看不到建筑物A ，这时量得眼睛和刻度尺的距离MN 为10 cm ，眼睛与建筑物的距离MB 为20 m ，求建筑物A 的高．(假设刻度尺与建筑物平行)解：由题意可知O ，F ，C 三点共线，O ，E ，B 三点共线．因为EF ∥BC ，所以EF BC ＝OE OB ＝MN MB. 把EF ＝22 cm ，MN ＝10 cm ，MB ＝2000 cm 代入上式，得22BC ＝102000，解得BC ＝4400 cm ＝44 m.即建筑物A 高44 m.12. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB 高1.6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳蓬AC ，如图所示，求：(1)当遮阳蓬AC 的宽度在什么范围内时，太阳光线直接射入室内？(2)当遮阳蓬AC 的宽度在什么范围内时，太阳光线不能直接射入室内(精确到0.01米)?解：(1)在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝1.6米，则AC ＝AB tan ∠ACB ＝3AB 3， ∴AC ＝1.63≈0.92(米)．当0<AC ≤0.92米时，太阳光可直接射入室内．(2)当AC ＞0.92米时，太阳光不能直接射入室内．薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

数学选择题思维之优化训练(高一上)

数学选择题思维之优化训练1．若π02x <<，则下列命题中正确的是（）Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >【解析】特殊值法，取ｘ＝3π可排除B 、C ，取x=6π可排除A ，选D 2.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（）A 、0x =B 、1x =C 、12x =D 、2x = 【解析】因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2(1)y x =-，则(2)y f x =变为2(21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是12x =，选C 3.不等式112+<-x x 的解集是（）（A ）}10|{≤<x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{->x x （D ）}11|{≤≤-x x 【解析】可取满足其中某几个不等式的特殊值代入题设验证：如取x=10代入不等式，不满足故可排除（B ）、（C ），再取x=-1代入仍不成立，再排除（D ）故选（A ） 4.不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【解析】A 原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即121<<-x 或1=x ，所以不等式的解为121≤<-x ，选A. 5.集合{}(21)|M n n Z π=+∈与集合{}(41)|N k k Z π=±∈之间的关系是（） A 、M N ⊂ B 、M N ⊃ C 、M N = D 、M N ≠ 【解析】C D 是矛盾对立关系，必有一真，所以A 、B 均假； 21n +表示全体奇数，41k ±也表示奇数，故M N ⊇且B 假，只有C 真，选C 。

湘教版高中数学必修一知能优化训练

1．集合{x |－3≤x ≤3，x ∈N }用列举法表示应是( )A ．{1,2,3}B ．{0,1,2,3}C ．{－2，－1,0,1,2}D ．{－3，－2，－1,0,1,2,3}解析：选B.{x |－3≤x ≤3，x ∈N }表示－3到3的所有自然数．2．下列集合为∅的是( )A ．{0}B ．{x |x 2＋1＝0}C ．{x |x 2－1＝0}D ．{x |x <0}解析：选B.集合{0}中有一个元素0；集合{x |x 2－1＝0}表示方程x 2－1＝0的解集；集合{x |x <0}表示小于0的实数组成的集合；集合{x |x 2＋1＝0}表示方程x 2＋1＝0的解集，而方程x 2＋1＝0无解，解集是空集．故选B.3．下列几个说法中正确的个数是( )①集合N 中的最小数为1 ②若a ∈N ，则－a ∉N ③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2 ④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.①中应为0；②中a ＝0时，－a ∈N ；③中最小值应为0；④中“小的正数”不确定，因此全不对．4．若集合A ＝{1,2,3,4}，集合B ＝{y |y ＝x －1，x ∈A }，将集合B 用列举法表示为________．解析：x ＝1时，y ＝0；x ＝2时，y ＝1；x ＝3时，y ＝2；x ＝4时，y ＝3.答案：{0,1,2,3}5．用适当的符号填空： (1)π________Q ；(2)0________Z ；(3)0________N ＋；(4)2________Q ；(5)2________R .答案：(1)∉ (2)∈ (3)∉ (4)∉ (5)∈一、选择题1．若P ＝{(0,2)，(1,2)}，则集合P 中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.(0,2)为一个元素，不是两个元素．2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x －y ＝0的解构成的集合是( ) A ．{(1,1)} B ．{1,1}C ．(1,1)D ．{1}解析：选A.方程组的解是有序实数对．3．已知集合S ＝{a ，b ，c }，以它的三个元素为边长构成一个三角形，那么这个三角形一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选D.由集合中元素的互异性知a ≠b ≠c ，故选D.4．给出以下几个对象，其中能构成集合的有( )①某中学的年轻教师；②你所在班中身高超过1.80米的同学；③2011年深圳大运会的比赛项目；④1,3,5.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C.因为未规定年轻的标准，所以①不能构成集合，由于②③④中的对象具备确定性，所以②③④能构成集合．5．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的一个是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数}B ．{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k ＜5}C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5}D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N ＋，且s ≤5}解析：选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3,7,11,15；B 中k 取负数时，多了若干元素；C 中t ＝0时会多了－3这个元素，只有D 是正确的．6．设x ＝13－52，y ＝3＋2π，集合M ＝{m |m ＝a ＋2b ，a ∈Q ，b ∈Q }，那么x ，y 与集合M 的关系是( )A ．x ∈M ，y ∈MB ．x ∈M ，y ∉MC ．x ∉M ，y ∈MD ．x ∉M ，y ∉M解析：选B.∵x ＝13－52＝－341－541 2.y ＝3＋2π中π是无理数，而集合M 中，b ∈Q ，得x ∈M ，y ∉M .二、填空题7．若[a,2a ]为一确定区间，则a ∈________.解析：∵[a,2a ]为一确定区间，∴2a ＞a ，∴a ＞0.答案：(0，＋∞)8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：分四种情况：①a ＞0，b ＞0；②a ＜0，b ＜0；③a ＞0，b ＜0；④a ＜0，b ＞0. 答案：39．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}中所有元素之和为________．解析：由题意得(－5)2－a ·(－5)－5＝0，∴a ＝－4，由x 2＋ax ＋3＝0得x 2－4x ＋3＝0，∴(x －1)(x －3)＝0，∴x ＝1或x ＝3，∴{x |x 2＋ax ＋3＝0}＝{1,3}，∴所有元素之和为1＋3＝4.答案：4三、解答题10．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}中仅有一个元素1，求a ，b 的值，并用列举法表示A . 解：集合A 表示方程x 2＋ax ＋b ＝0的解集，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4b ＝01＋a ＋b ＝0，解得a ＝－2，b ＝1.由题意知A ＝{1}．11．设A ＝{x －2,2x 2＋5x,12}，若－3∈A ，求实数x 的值．解：∵－3∈A ，∴x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.若x －2＝－3，则x ＝－1，此时2x 2＋5x 的值为－3，集合A ＝{－3，－3,12}，不满足集合中元素的互异性，故x ≠－1；若2x 2＋5x ＝－3，则x ＝－32或x ＝－1. 而当x ＝－1时，上面已验知不合要求；当x ＝－32时，A ＝{－72，－3,12}满足要求．∴x ＝－32. 12．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解：(1)在A 、B 、C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R .集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条件y ＝x 2＋1，即表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；也可认为是满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点．因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{点P ∈平面α|P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．。

高中数学第一章优化练习新人教A版选修813

三简单曲线的极坐标方程[课时作业] [A 组基础巩固]1．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( ) A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线解析：∵cos θ＝22，∴θ＝±π4＋2k π(k ∈Z)．又∵ρ≥0，∴cos θ＝22表示两条射线．答案：D2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( ) A ．2 B. 2 C ．1D.22解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝14，所以两圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故两圆的圆心距为22. 答案：D3．在极坐标系中，点F (1,0)到直线θ＝π6(ρ∈R)的距离是( )A.12B.22C ．1D. 2解析：因为直线θ＝π6(ρ∈R)的直角坐标方程为y ＝33x ，即x －3y ＝0，所以点F (1,0)到直线x －3y ＝0的距离为12.答案：A4．直线θ＝π4(ρ∈R)与圆ρ＝2cos θ的一个公共点的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π4，ρ＝2cos θ得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π4，ρ＝2，故选C.答案：C5．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A ．2 B ．6 C ．2 3D ．215解析：如图，切线长为42－22＝2 3.答案：C6．圆ρ＝4(cos θ－sin θ)的圆心的极坐标是________．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝8，故圆心坐标为(2，－2)，其极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，7π47．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析：由圆的极坐标方程ρ＝4cos θ，得直角坐标方程为： (x －2)2＋y 2＝4，由P 极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，π3得直角坐标P (2,23)，又C (2,0)，所以|CP |＝－2＋3－2＝2 3.答案：2 38．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：由公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线2ρcos θ＝1的直角坐标方程为2x ＝1，圆ρ＝2cos θ⇒ρ2＝2ρcos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0⇒(x －1)2＋y 2＝1，由于圆心(1,0)到直线的距离为1－12＝12，所以弦长为21－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝ 3. 答案： 39．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 2＝4x ；(2)x 2＋y 2－2x －1＝0.解析：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.10．在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1，求点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线l 的距离．解析：点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标为(3，－1)．直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1可化为 ρsin θ·cos π6－ρcos θ·sin π6＝1，即直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0. ∴点P (3，－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离为d ＝|3＋3＋2|1＋－32＝3＋1.故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离为3＋1. [B 组能力提升]1．极坐标方程4ρsin 2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：∵sin2θ2＝12(1－cos θ)，原方程化为2ρ(1－cos θ)＝5， ∴2ρ－2ρcos θ＝5，即2x 2＋y 2－2x ＝5，平方化简，得y 2＝5x ＋254，它表示的曲线是抛物线，故选D.答案：D2．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝4解析：将ρ＝4sin θ两边乘以ρ，得ρ2＝ρ·4sin θ，再把ρ2＝x 2＋y 2，ρ·sin θ＝y ，代入得x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4.故选B.答案：B3．在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，点Q 是圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3上的动点，则|PQ |的最小值是________．解析：已知圆的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53π，半径为1，将点P 、C 的极坐标化为直角坐标为P (－1，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.由圆的几何性质知，|PQ |的最小值应是|PC |减去圆的半径，即|PQ |min ＝|PC |－1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322－1 ＝3－1＝2. 答案：24．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a ＝________.解析：由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ, ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2＝x 2＋y 2.∴圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝2x,3x ＋4y ＋a ＝0.将圆的方程配方得(x －1)2＋y 2＝1，依题意得，圆心C (1,0)到直线的距离为1，即|3＋a |32＋42＝1，整理，得|3＋a |＝5，解得a ＝2或a ＝－8. 答案：2或－85．从极点作圆ρ＝2a cos θ(a ≠0)的弦，求各弦中点的轨迹方程．解析：设所求轨迹上的动点M 的极坐标为(ρ，θ)，圆ρ＝2a cos θ(a ≠0)上相应的弦为端点(非极点)的极坐标为(ρ1，θ1)，如图所示为a ＞0的情形，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧θ1＝θ，ρ1＝2ρ.∵ρ1＝2a cos θ1，∴2ρ＝2a cos θ， ∴ρ＝a cos θ即为各弦中点的轨迹方程，当a ＜0时，所求结果相同．6．在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)，求： (1)两曲线(含直线)的公共点P 的极坐标；(2)过点P ，被曲线C 1截得的弦长为2的直线的极坐标方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1.联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ，得点P (－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4.(2)方法一由上述可知，曲线C 1：ρ＝2sin θ即圆x 2＋(y －1)2＝1，如图所示，过P (－1,1)，被曲线C 1截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O ，倾斜角为3π4，直线的直角坐标方程为y ＝－x ，极坐标方程为θ＝3π4(ρ∈R)；另一条过点A (0,2)，倾斜角为π4，直线的直角坐标方程为y ＝x ＋2，极坐标方程为ρ(sinθ－cos θ)＝2，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. 方法二由上述可知，曲线C 1：ρ＝2sin θ即圆x 2＋(y －1)2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，被曲线C 1截得的弦长为2的直线有两条：一条过原点O ，倾斜角为3π4，极坐标方程为θ＝3π4(ρ∈R)；另一条倾斜角为π4，极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2.。

高中数学人教A版必修一优化练习：第一章 1.3 1.3.1 第2课时函数的最大值、最小值 Word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：∵a ＞0，∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)开口向下以y 轴为对称轴， ∴f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上单调递减， ∴x ＝0时，f (x )最大值为9. 答案：A 2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12. 答案：B3．函数y ＝|x ＋1|－|2－x |的最大值是( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．－2解析：由题意可知y ＝|x ＋1|－|2－x |＝⎩⎨⎧－3， x <－1；2x －1，－1≤x ≤2；3， x >2.画出函数图象即可得到最大值3.故选A.答案：A4．函数y ＝x ＋2x －1( ) A ．有最小值12，无最大值 B ．有最大值12，无最小值 C ．有最小值12，有最大值2D ．无最大值，也无最小值解析：f (x )＝x ＋2x －1的定义域为⎣⎢⎡12，＋∞)，在定义域内单调递增，∴f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，无最大值．答案：A5．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，即a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值，而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈ [0,2]的最小值为0，∴a ＜0. 答案：C6．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7.则a ＝________，b ＝________.解析：∵y ＝－x 2＋6x ＋9的对称轴为x ＝3，而a <b <3. ∴函数在[a ，b ]单调递增． ∴⎩⎨⎧f (a )＝－a 2＋6a ＋9＝－7，f (b )＝－b 2＋6b ＋9＝9，解得⎩⎨⎧ a ＝－2，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝8，b ＝6，又∵a <b <3， ∴⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝0. 答案：－2 07．若一次函数y ＝f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)当k >0时，⎩⎨⎧ －k ＋b ＝1，2k ＋b ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝53.∴f (x )＝23x ＋53.当k <0时，⎩⎨⎧－k ＋b ＝3，2k ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－23，b ＝73∴f (x )＝－23x ＋73.∴f (x )的解析式为f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋73. 答案：f (x )＝23x ＋53或f (x )＝－23x ＋738．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：f (x )＝4x ＋a x (x ＞0，a ＞0)在(0，a 2]上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝a 2时取得最小值，由题意知a2＝3，∴a ＝36. 答案：36 9．已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性； (2)求函数f (x )的最大值和最小值．解析：(1)任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝(x 1－1)(x 2＋2)－(x 2－1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2x 1－x 2－2－x 1x 2－2x 2＋x 1＋2(x 1＋2)(x 2＋2)＝3(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )＝x －1x ＋2在[3,5]上为增函数．(2)由(1)知，当x ＝3时，函数f (x )取得最小值，为f (3)＝25；当x ＝5时，函数f (x )取得最大值，为f (5)＝47.10．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)求实数a 的范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数； (2)求f (x )的最小值．解析：(1)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，可知f (x )的图象开口向上，对称轴方程为x ＝－a ，要使f (x )在[－5,5]上单调，则－a ≤－5或－a ≥5，即a ≥5或a ≤－5.(2)当－a ≤－5，即a ≥5时，f (x )在[－5,5]上是增函数，所以f (x )min ＝f (－5)＝27－10a .当－5<－a ≤5，即－5≤a <5时， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2，当－a >5，即a <－5时，f (x )在[－5,5]上是减函数，所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，综上可得，f (x )min ＝⎩⎨⎧27－10a (a ≥5)，2－a 2(－5≤a ＜5)，27＋10a (a <－5).[B 组能力提升]1．函数y ＝2x ＋1－2x ，则( ) A ．有最大值54，无最小值B ．有最小值54，无最大值 C ．有最小值12，最大值54 D ．既无最大值，也无最小值解析：设1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t 22，所以y ＝1－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)，对称轴t ＝12∈[0，＋∞)，所以y 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上递减，所以y在t ＝12处取得最大值54，无最小值．选A.答案：A 2．y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[－5,5]上的最大值、最小值分别是 ( ) A.37，0 B.32，0C.32，37D ．无最大值，无最小值解析：由图象可知答案为D.答案：D3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，则f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝－m2.(1)当－m2≤1时，即m ≥－2时，满足f (2)＝4＋2m ＋4≤0， ∴m ≤－4，又m ≥－2，∴此时无解．(2)当－m2≥2，即m ≤－4时，需满足f (1)＝1＋m ＋4≤0 ∴m ≤－5，又m ≤－4，∴m ≤－5.(3)当1＜－m2＜2，即－4<m <－2时，需满足⎩⎨⎧－4<m <－2，f (1)＝1＋m ＋4≤0，f (2)＝4＋2m ＋4≤0.此时无解．综上所述，m ≤－5. 答案：m ≤－54．已知函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：解法一：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即a ＜x 2＋2x 对一切x ∈R 都成立．因为x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，所以a ＜－1.解法二：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x 2＋x )＞f (a －x )对一切x ∈R 都成立，所以不等式x 2＋x ＞a －x 对一切x ∈R 都成立，即x 2＋2x －a ＞0对一切x ∈R 都成立，所以Δ＝4＋4a ＜0即可，解得a ＜－1. 答案：(－∞，－1)5．设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解析：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.6．已知(x ＋2)2＋y 24＝1，求x 2＋y 2的取值范围．解析：由(x ＋2)2＋y 24＝1，得(x ＋2)2＝1－y 24≤1，∴－3≤x ≤－1，∴x 2＋y 2＝x 2－4x 2－16x －12＝－3x 2－16x －12＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋283，因此，当x ＝－1时，x 2＋y 2有最小值1；当x ＝－83时，x 2＋y 2有最大值283. 故x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，283.。

高中数学人教A版必修一优化练习第一章第课时补集含解析

[课时作业]
[A 组基础巩固]
1．若全集 U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A．M∪N
B．M∩N
C．(∁UM)∪(∁UN)
D．(∁UM)∩(∁UN)
解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁UM)∪(∁UN)＝{1,2,3,4,5,6}，(∁UM)∩(∁UN)
解，
{ } 则 a＝－5，此时 A＝
1 ，2
，B＝{－5，2}.
2
{ } (2)由并集的概念易得，U＝A∪B＝
1 －5，，2
.
2
{ } 1
由补集的概念易得，∁UA＝{－5}，∁UB＝ 2 .
{ }1
所以(∁UA)∪(∁UB)＝
－5， 2
.
{ } { } 1
1
(3)(∁UA)∪(∁UB)的所有子集即集合
A．a>3
B．a≥3
C．a≥7
D．a>7
解析：因为 A＝{x|x<3 或 x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}，又因(∁UA)∩B≠∅，
则 a>3.
答案：A
4．已知 M，N 为集合 I 的非空真子集，且 M，N 不相等，若 N∩∁IM＝∅，则 M∪N＝( )
A．M
B．N
1
C．I
D．∅
解析：因为 N∩∁IM＝∅，所以 N⊆M，则 M∪N＝M，选 A.
＝{5,6}，故选 D.
答案：D
2．已知集合 A，B 均为集合 U＝{1,3,5,7,9}的子集，若 A∩B＝{1,3}，(∁UA)∩B＝ {5}，则集合 B 等于( )
A．{1,3}
B．{3,5}

高中数学人教A版必修一优化练习：综合检测 Word版含解析

综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∪∁I B 等于( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{2}D ．{0,1,2}解析：∵x ∈Z ，∴I ＝{－2，－1,0,1,2}∴∁I B ＝{0,1}∴A ∪∁I B ＝{0,1,2}．答案：D2．函数y ＝1x ＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)解析：函数定义域⎩⎨⎧ x ≠0x ＋3>0∴－3<x <0或x >0.答案：D3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x |解析：偶函数的有C 、D 两项，当x >0时，y ＝lg |x |单调递增，故选C.答案：C4．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：设f (x )＝ln x ＋x －4，则有f (1)＝ln 1＋1－4＝－3<0.f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<1－2＝－1<0，f (3)＝ln 3＋3－4＝ln 3－1>1－1＝0.∴x 0∈(2,3)．答案：C5．3log 34－2723－lg 0.01＋ln e 3＝( )A ．14B ．0C ．1D ．6 解析：原式＝4－3272－lg 0.01＋3＝7－3(32)3－lg 10－2＝9－9＝0.答案：B6．若y ＝log 3x 的反函数是y ＝g (x )，则g (－1)＝( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题设可知g (x )＝3x ，∴g (－1)＝3－1＝13.答案：C7．若实数x ，y 满足|x |－ln 1y ＝0，则y 关于x 的函数的图象大致是( )解析：由|x |＝ln 1y ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x ≥0e x ，x ＜0. 答案：B8．已知f (x )＝log 12x ，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定解析：在同一坐标系中作函数f (x )，g (x )的图象(图略)，从而判断两函数交点个数．答案：B9．函数f (x )＝－1(x －1)3的零点的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：函数的定义域为{x|x≠1}，当x>1时f(x)<0，当x<1时f(x)>0，所以函数没有零点，故选A.答案：A10．某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售700台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场月数x之间的关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：代入验证即可．答案：B11．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案：A12．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L1＝5.06x －0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A．45.666万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元解析：设在甲地销售x辆，在乙地则销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15)∴当x ＝10时，S 有最大值45.6万元．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________.解析：∵f (x )为定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (－2)＝f (2)＝22－3＝1.答案：114．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}至多有一个元素，则a 的取值范围为________．解析：集合A 有为∅和A 中只有一个元素两种情况，a ＝0时，A ＝{23}满足题意，a ≠0时，则由Δ＝9－8a ≤0得a ≥98.答案：a ≥98或a ＝0 15．用二分法求方程ln x ＝1x 在[1,2]上的近似解时，取中点c ＝1.5，则下一个有根区间为________．解析：令f (x )＝ln x －1x ，则f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e 12>0，f (1.5)＝f (32)＝ln 32－23＝ln 32－ln e 23e 23＝3e 2>32，∴ln e 23>ln 32，即f (1.5)<0.∴下一个有根区间为(1.5,2)．答案：(1.5,2)16. 给出下列四个命题：①a >0且a ≠1时函数y ＝log a a x 与函数y ＝a log a x 表示同一个函数．②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点．③函数y ＝3(x －1)2的图象可由y ＝3x 2的图象向右平移1个单位得到．④若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)定义域为[0,4]．其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号)解析：①两函数定义域不同，y＝log a a x定义域为R，y＝a log a x定义域(0，＋∞)．②如果函数在x＝0处没有定义，图象就不过原点，如y＝1 x.③正确．④f(x)定义域[0,2]∴f(2x)定义域0≤2x≤2即0≤x≤1，∴f(2x)定义域为[0,1]．答案：③三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2＋2x－8＝0}，B＝{x|log2(x2－5x＋8)＝1}，C＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}．若A∩C＝∅，B∩C≠∅，求a的值．解析：A＝{2，－4}，B＝{2,3}，由A∩C＝∅知2∉C，－4∉C，又由B∩C≠∅知3∈C，∴32－3a＋a2－19＝0解得a＝－2或a＝5，当a＝－2时，C＝{3，－5}，满足A∩C＝∅，当a＝5时，C＝{3,2}，A∩C＝{2}≠∅，(舍去)，∴a＝－2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R) (1)当函数f(x)的图象过点(－1,0)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式．(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解析：(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0因为方程f(x)＝0有且只有一个根，∴Δ＝b2－4a＝0，∴b 2－4(b －1)＝0，即b ＝2，a ＝1，∴f (x )＝(x ＋1)2.(2)∵g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx＝x 2－(k －2)x ＋1＝(x －k －22)2＋1－(k －2)24∴当k －22≥2或k －22≤－2时即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．19．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对任意x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x y )＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≤2. 解析：(1)∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且对任意x ，y ∈(0，＋∞)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴f (1)＝f (11)＝f (1)－f (1)＝0.(2)若f (6)＝1，则f (x ＋3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≤2＝1＋1＝f (6)＋f (6)， ∴f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋36≤f (6x )， ∴0＜x ＋36≤6x ，解得x ≥335.∴原不等式的解集为{x |x ≥335}．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝mx ＋n 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25.(1)求实数m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数；(3)解关于t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0.解析：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即m (－x )＋n 1＋(－x )2＝－mx ＋n1＋x 2.∴n ＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12m 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，∴m ＝1.(2)由(1)得，f (x )＝x1＋x 2.设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1(1＋x 22)－x 2(1＋x 21)(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22).∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，由f (t －1)＋f (t )<0，得f (t )<－f (t －1)＝f (1－t )．又∵f (x )在(－1,1)上为增函数，∴⎩⎨⎧ －1<t <1，－1<1－t <1，t <1－t ，解得0<t <12. 21．(本小题满分13分)某医疗研究所开发了一种新药，如果成人按规定的剂量服用，则服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg 时治疗痢疾有效．假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果更佳？解析：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4.解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4.解得t 2＝9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量为第二、三次的和，即－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4.解得t 3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.22．(本小题满分13分)已知函数f (x )定义域为[－1,1]，若对于任意的x ，y ∈[－1,1]，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，有f (x )>0，(1)证明： f (x )为奇函数；(2)证明：f (x )在[－1,1]上是增加的．(3)设f (1)＝1，若f (x )<m －2am ＋2，对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0令y ＝－x ，f (x )＋f (－x )＝0∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，令－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x )在[－1,1]上是增加的．(3)f (x )在[－1,1]上是增加的，f (x )max ＝f (1)＝1，使f (x )<m －2am ＋2对所有x ∈[－1,1]恒成立，只要m －2am ＋2>1，即m －2am ＋1>0，令g (a )＝m －2am ＋1＝－2am ＋m ＋1，要使g (a )>0时，a ∈[－1,1]恒成立，则⎩⎨⎧ g (－1)>0，g (1)>0，即⎩⎨⎧1＋3m >0，1－m >0， ∴－13<m <1.∴实数m 的取值范围是(－13，1)．。

人教A版高中数学必修一优化练习

[课时作业][A组基础巩固]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．1解析：由题设可知3≠4，∴m＋1＝4，∴m＝3.答案：B2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．答案：A3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4.答案：B4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：利用集合中元素的互异性确定集合．当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.答案：C5．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的元素，则在集合中只能出现一次．因为x2＝|x|，－3x3＝－x，所以当x＝0时，这几个数均为0.当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A.答案：A6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以ba＝－1，∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.答案：27．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：28．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11. ∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素．答案：89．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．解析：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.[B组能力提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集．其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对解析：0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确．答案：B2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P解析：(1)a>0，b>0时，x＝a|a|＋b|b|＝1＋1＝2；(2)a<0，b<0时，x＝a|a|＋b|b|＝－1－1＝－2；(3)a，b异号时，x＝0. 答案：A3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________.解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2.答案：{4,3,2}4．当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}．答案：{5}5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．(1)若1∈A，求a的值；(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；(3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．解析：(1)因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，所以a＝－3.(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，解得x＝－12，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝22－4a＝0，所以a＝1.故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，即a≠0且Δ＝22－4a>0，所以a≠0且a<1.故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}．6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.请解答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a ∈S ，且a ≠0，则1－1a ∈S .解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S .∵－1∈S ，－1≠1，∴11－(－1)＝12∈S . 又∵12∈S ，12≠1，∴11－12＝2∈S .∴集合S 中另外两个数为－1和12.(2)由a ∈S ，则11－a ∈S ，可得11－11－a ∈S ，即11－11－a ＝1－a1－a －1＝1－1a ∈S .∴若a ∈S ，且a ≠0，则1－1a ∈S .[课时作业][A 组基础巩固]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1, 2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．答案：C2．设S ＝{x |2x ＋1>0}，T ＝{x |3x －5<0}，则S ∩T ＝( )A ．∅B ．{x |x <－12}C ．{x |x >53}D ．{x |－12<x <53}解析：S ＝{x |2x ＋1>0}＝{x |x >－12}，T ＝{x |3x －5<0}＝{x |x <53}，则S ∩T ＝{x |－12＜x ＜53}．答案：D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝0，x ，y ∈R}，则集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0.∴A ∩B ＝{(0,0)}．答案：B4．设集合M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}，则M ∪N 中元素的个数为( )A ．11B ．10C ．16D ．15 解析：先用列举法分别把集合M ，N 中的元素列举出来，再根据并集的定义写出M ∪N .∵M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴M ∪N ＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．∴M ∪N 中元素的个数为16.答案：C5．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( )A ．－3≤m ≤4B ．－3＜m ＜4C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4 解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4. 答案：D6．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________. 解析：由M ＝{0,1,2}，知N ＝{0,2,4}，M ∩N ＝{0,2}．答案：{0,2}7．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________.解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}．∴5＝2a ＋3.∴a ＝1.∴5＝6＋b .∴b ＝－1.答案：1 －18．若集合A ＝{1,3，x }，集合B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 值的个数为________．解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2∈A .令x2＝3，得x＝±3，符合要求．令x2＝x，得x＝0或x＝1.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性．∴x＝±3或x＝0.答案：39．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.解析：如图所示：A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．10．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若B⊆A，求实数m的取值范围．解析：由x2＋x－6＝0，得A＝{－3, 2}，∵B⊆A，且B中元素至多一个，∴B＝{－3}，或B＝{2}，或B＝∅.(1)当B＝{－3}时，由(－3)m＋1＝0，得m＝1 3；(2)当B＝{2}时，由2m＋1＝0，得m＝－1 2；(3)当B＝∅时，由mx＋1＝0无解，得m＝0.∴m＝13或m＝－12或m＝0.[B组能力提升]1．定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,2,4,6,8,10}，B＝{1,4,8}，则A－B＝() A．{4,8} B．{1,2,6,10}C．{2,6,10} D．{1}解析：由题设信息知A－B＝{2,6,10}．答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32. ∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x >32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 32<x <3. 故选D.答案：D3．已知集合A ＝{x ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜2}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ||x ＋2|<3}＝{x |－5＜x ＜1}，由图形直观性可知m ＝－1，n ＝1.答案：－1 14．已知A ＝{x |－2＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x ≤－a 或x ≥2－a }，A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：本题给出了两个待定的集合，且已知A ∪B ＝R ，结合数轴表示可求出参数a 的取值范围．如图所示，因为A ∪B ＝R ，所以应满足⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥－2，2－a ≤a ＋1，解得⎩⎨⎧ a ≤2，a ≥12，所以12≤a ≤2. 答案：⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤a ≤2 5．设方程x 2＋px －12＝0的解集为A ，方程x 2＋qx ＋r ＝0的解集为B ，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求p ，q ，r 的值．解析：∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A ，代入x 2＋px －12＝0得p ＝－1，∴A ＝{－3,4}∵A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，∴B ＝{－3}即方程x 2＋qx ＋r ＝0有两个相等的根x ＝－3，∴q ＝6，r ＝9.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 、m 的值或范围．解析：x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或2，故A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，B 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}．∵x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]∴必有1∈B ，因而a －1＝1或a －1＝2，解得a ＝2或a ＝3.又∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A .故C 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}． ①若C ＝∅，则方程x 2－mx ＋2＝0(※)的判别式Δ＝m 2－8<0，得－22<m <22；②若C ＝{1}，则方程(※)有两个等根为1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1＝m1×1＝2不成立；③若C ＝{2}，同上②也不成立；④若C ＝{1,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝m ，1×2＝2.得m ＝3.综上所述，有a ＝2或a ＝3；m ＝3或－22<m <2 2.[课时作业][A组基础巩固]1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁U M)∪(∁U N)＝{1,2,3,4,5,6}，(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}，故选D.答案：D2．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B ＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1, 3,5}解析：如图所以B＝{1,3,5}．答案：D3．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又因(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝()A．M B．NC．I D．∅解析：因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M，则M∪N＝M，选A.答案：A5.已知集合I，M，N的关系如图所示，则I，M，N的关系为()A．(∁I M)⊇(∁I N)B．M⊆(∁I N)C．(∁I M)⊆(∁I N)D．M⊇(∁I N)解析：由题图知M⊇N，∴(∁I M)⊆(∁I N)．答案：C6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．∴A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－38．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解析：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A＝{x|1＜x≤4}，∁U B＝{x|3＜x≤4或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}．9．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}．(1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )；(3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．解析：(1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12. 所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. (3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， {－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 10．设全集U ＝{a 2－2,2, 1}，A ＝{a,1}，求∁U A .解析：由补集的定义可知A ⊆U .若a ＝2；则a 2－2＝2，集合U 中的元素不满足互异性，所以a ≠2.若a 2－2＝a ，则a ＝2或a ＝－1，因为a ≠2，所以a ＝－1.此时，U ＝{－1,2,1}，A ＝{－1,1}，所以∁U A ＝{2}．[B 组能力提升]1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 是非空集合，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC．n－m D．m－n解析：画出Venn图，如图．∵U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：D2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U ZC．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z解析：依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁U X)∪(∁U Y)，(X*Y)*Z＝∁U[ (X*Y)∩Z]＝∁U[∁(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁U Z)＝(X∩Y)∪(∁U Z)．U答案：B3．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}∴A∪B＝{1,3,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}4．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________. 解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|－4≤y≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}．答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}5．某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．解析：设全集U ＝{全班30名学生}，A ＝{喜爱篮球运动的学生}，B ＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn 图如图所示：设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x ，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x ，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10－x ，则有(15－x )＋x ＋(10－x )＋8＝30，解得x ＝3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x ＝15－3＝12.6．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}， A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a 、b 的值．解析：因为(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A,4∈A ，但4∉B . 将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合的方程中得⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127.[课时作业][A 组基础巩固]1．已知M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,3}，则有( )A ．M ⊆NB ．N MC ．N ∈MD ．M ＝N解析：由子集的概念可知NM . 答案：B2．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝( )A ．0或 3B ．0或3C ．1或 3D ．0或1或 3 解析：(1)m ＝3，此时A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，满足B ⊆A .(2)m ＝m ，即m ＝0或m ＝1.①m ＝0时，A ＝{0,1,3}，B ＝{0,1}，满足B ⊆A ；②m ＝1时，A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，不满足互异性，舍去．答案：B3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．－1或0或1D ．0或1解析：由题设可知集合A 中只有一个元素，(1)a ＝0时，原方程等价转化为2x ＝0，即x ＝0，满足题设；(2)⎩⎪⎨⎪⎧a ≠Δ＝4－4a 2＝0得a ＝±1. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z}，集合B ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z}，则A 与B 的关系为( )A．A B B．B AC．A＝B D．以上答案都不对解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系．集合A中：x＝k2＋14＝2k＋14；集合B中：x＝k4＋12＝k＋24；而{2k＋1}表示奇数集，{k＋2}表示整数集，∴A B.答案：A5．满足{x|x2＋1＝0}A⊆{x|x2－1＝0}的集合A的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A是集合{－1,1}的非空子集，所以A的个数为22－1＝3.故选C.答案：C6．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，且xy＞0}，集合P＝{(x，y)|x＜0，且y＜0}，那么集合M与P之间的关系是________．解析：M中的元素满足{x＋y＜xy＞0，即{x＜y＜0，∴M＝P.答案：M＝P7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－2.答案：a≤－28．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A 中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得{m≥m＋1≥－2，m－1≤5解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.[B组能力提升]1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．不确定解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k ＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N. 答案：C2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B 的子集个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．答案：D3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.答案：N M4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；∴A*B＝{2,3,4,5}．故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.答案：5165．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求实数a的取值集合．解析：A＝{－2,4}，因为B⊆A，所以B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．若B ＝∅，则a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，解得a >4或a <－4.若B ＝{－2}，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，解得a ＝4. 若B ＝{4}，则42＋4a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，此时a 无解；若B ＝{－2,4}，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝4－2，a 2－12＝－2×4.所以a ＝－2.综上知，所求实数a 的集合为{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}． 6．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围．解析：(1)由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m －6>2m －1，即m <－5，此时满足B ⊆A ； ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，－2≤m －6，2m －1≤5，解得－5≤m ≤3.由①②可得，m <－5或－5≤m ≤3. (2)若A ⊆B ，则依题意应有 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，此方程组无解，即不存在m 的值使得A ＝B .[课时作业][A组基础巩固]1．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有()A．0个B．1个C．0或1个D．无数个解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．答案：C2．已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝(x)2；②f(x)＝x，g(x)＝3x3；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中是同一函数的为()A．没有B．仅有②C．②④D．②③④解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C.答案：C3．y＝x2(－1≤x≤2)的值域是()A．[1,4] B．[0,1]C．[0,4] D．[0,2]解析：由图可知f(x)＝x2(－1≤x≤2)的值域是[0,4]．答案：C4．函数y＝2－xx－1的定义域为()A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(－∞，1)∪(1,2) D．(－∞，1)∪(1,2]解析：要使函数y＝2－xx－1有意义，则{2－x≥0，x－1≠0，解得x≤2且x≠1，所以所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．答案：D5．图中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象的是()解析：根据函数的定义，在定义域[0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应，同样，对于值域[0,1]中的任意一个函数值，在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1]，B中函数定义域不是[0,1]，故可排除A，B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.故选C.答案：C6．下列说法正确的有________．(只填序号)①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；④对于任何一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同；⑤f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，这是一个常量．解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y 是x 的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f (x )＝1，x ＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的．根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的．当x 不同时，函数值y 的值可能相同，如函数y ＝x 2，当x ＝1和－1时，y 都为1.⑤是正确的．f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值是一个常量．故填①③⑤. 答案：①③⑤7．已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，若f (x )的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：由已知得2x 2－mx ＋3≥0对x ∈R 恒成立，即Δ＝m 2－24≤0，∴－26≤m ≤2 6.答案：[－26，26]8．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围为________．解析：由区间的定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<a ＋a ＋3<4a ⇒1<a <2.答案：(1,2)9．若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域．解析：由f (x )的定义域为[－3,5]，得φ(x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－x ≤5，－3≤x ≤5即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 10．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝5x ＋4x －1； (4)f (x )＝x －x ＋1.解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}． (2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥－54. [B 组能力提升]1．函数y ＝5＋4x －x 2的值域为( ) A ．(－∞，3) B ．[3，＋∞) C ．[0,9]D ．[0,3]解析：由函数性质可得5＋4x －x 2≥0的值域开方即是．结合函数图象(图略)可得y ∈[0,3]，故选D. 答案：D2．已知f (x )的定义域是[0，＋∞)，则函数(x －2)0＋f (x －1)的定义域是( )A ．[0,2)∪(2，＋∞)B ．[1,2)∪(2，＋∞)C ．[－1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：{x －2≠x －1≥0得1≤x 且x ≠2.答案：B3．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________．解析：g (1)＝3，f (g (1))＝f (3)＝1； f (g (1))＝1，f (g (2))＝3， f (g (3))＝1，g (f (1))＝3， g (f (2))＝1，g (f (3))＝3，∴满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 值为x ＝2. 答案：1 24．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )－(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈[－2，x 2－2，x ∈(1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )＝－1；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,2]． ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－1,2]．答案：[－1,2]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．解析：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m，上底为(2＋2h)m，高为h m，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0＜h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0＜h＜1. 8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A＜6.84.故值域为{A|0＜A＜6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．6．对于函数f (x )，若f (x )＝x ，则称x 为f (x )的“不动点”，若f (f (x ))＝x ，则称x 为f (x )的“稳定点”，函数f (x )的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ＝{x |f (x )＝x }，B ＝{x |f (f (x ))＝x }． (1)求证：A ⊆B ；(2)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，若A ＝{－1,3}，求集合B . 解析：(1)若A ＝∅，则A ⊆B 显然成立．若A ≠∅，设t ∈A ，则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ，从而A ⊆B ，故A ⊆B 成立． (2)∵A ＝{－1,3}， ∴f (－1)＝－1，且f (3)＝3.即⎩⎪⎨⎪⎧(－1)2－a ＋b ＝－32＋3a ＋b ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝3a ＋b ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ＝－3，∴f (x )＝x 2－x －3.∵B ＝{x |f (f (x ))＝x }，∴(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ， ∴(x 2－x －3)2－x 2＝0，即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0， ∴(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0，∴x＝±3或x＝－1或x＝3. ∴B＝{－3，－1，3，3}．[课时作业]单[A组基础巩固]1．函数y＝ax2＋a与y＝ax(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()解析：当a>0时，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于(0，a)点，在y轴上方，反比例函数的图象在第一、三象限，没有满足此条件的图象；当a<0时，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于(0，a)点，在y轴下方，反比例函数的图象在第二、四象限；综合来看，只有选项D满足条件．答案：D2．已知f(x－1)＝x2－2，则f(2)＝()A．6 B．2C．7 D．9解析：f(2)＝f(3－1)＝32－2＝9－2＝7.答案：C3．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝－3x B．f(x)＝3xC．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x解析：设f(x)＝kx(k≠0)，∵f(－3)＝k－3＝－1，∴k＝3，∴f(x)＝3 x.答案：B4．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(2)＝()A ．－163B ．－203 C.163D.203解析：因为2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，① 所以2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2，② ①×2－②得f (x )＝3x ＋23. 所以f (2)＝3×2＋23＝203.答案：D5．已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0) C ．f (x )＝x 2(x ≠0) D ．f (x )＝(x －1x )2(x ≠0)解析： f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．答案：B6．已知函数f (x )对任意实数a ，b 都满足：f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝3，则f (3)＝________.解析：∵f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)＝3， ∴f (1)＝32，∴f (3)＝3f (1)＝3×32＝92或f (3)＝f (2)＋f (1)＝92. 答案：927．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，则a ＝73. 答案：738．已知f (x )＝x ＋2，则f (x )＝________. 解析：令x ＝t ，则x ＝t 2且t ≥0. ∴f (t )＝t 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2 (x ≥0) 答案：f (x )＝x 2＋2 (x ≥0)9．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3.∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.10．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝14，2a －2b ＋c ＝8＋52，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝3，b ＝－5.所以f (x )＝3x 2－5x ＋2.[B 组能力提升]1．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为(a ，b )⊗(c ，d )＝ (ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：由题设可知： ⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，∴(1,2)⊕(p ，q )＝(1＋p,2＋q )＝(2,0)．答案：B2．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝6x ＋9 D ．f (x )＝2x ＋3解析：用3－x 代替原方程中的x 得f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝ (3－x )2＝x 2－6x ＋9，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f (3－x )＝x 2 ①f (3－x )＋2f (x )＝x 2－6x ＋9 ②①－②×2得－3f (x )＝－x 2＋12x －18， ∴f (x )＝13x 2－4x ＋6. 答案：B 3．设f (3x )＝9x ＋52，则f (1)＝________.解析：令3x ＝1，则x ＝13.∴f (1)＝9×13＋52＝4＝2.答案：24．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，则方程f (ax ＋b )＝0的解集为________．解析：f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，∴f (ax ＋b )＝f (2x －3)＝4x 2－8x ＋5. ∵Δ＝64－4×4×5＝－16<0， ∴方程f (ax ＋b )＝0的解集为∅. 答案：∅5．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．6．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)满足条件： f (x －1)＝f (3－x )且方程f (x )＝2x 有等根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]．如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)与方程f (x )＝2x 有等根，即方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根， ∴Δ＝(b －2)2＝0，得b ＝2.由f (x －1)＝f (3－x )，知此函数图象的对称轴方程为x ＝－b2a ＝1，得a ＝－1，故f (x )＝－x 2＋2x .(2)∵f (x )＝－(x －1)2＋1≤1， ∴4n ≤1，即n ≤14.而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1， ∴若满足题设条件的m ，n 存在，则{f (m )＝4m ，f (n )＝4n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2m ＝4m ，－n 2＋2n ＝4n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝－2，n ＝0或n ＝－2，又m <n ≤14，∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]．由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0.[课时作业] [A 组基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为f (1)＝2，所以由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2，所以a 肯定小于0，则f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应．答案：A3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：f (x )图象大致如下：由图可知值域为[0,2]∪{3}．答案：B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，x 2，x <0，则f (f (－2))的值是( )A ． 4B ．－4C ．8D ．－8解析：∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f (f (－2))＝f (4)；又∵4≥0，∴f (4)＝2×4＝8. 答案：C5．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2， x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y 1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D. 答案：D6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2－4，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (0))＝________.解析：∵f (0)＝π，∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4.答案：3π2－47．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：∵43>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83；－43≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；－13≤0，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23；23>0，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 答案：48．设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中的元素(－1,2)的象是________，B 中的元素(－1,2)的原象是________．解析：(－1,2)→(－1－2，－1＋2)＝(－3,1)．设(－1,2)的原象为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.答案：(－3,1) (12，32)9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|图象，并求出相应的函数值域．解析：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2 (x ≤－3)，8 (－3<x <5)，2x －2 (x ≥5).所以y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象如图所示：由此可知，y ＝|x ＋3|＋|x －5|的值域为[8，＋∞)． 10．已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )，求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象．解析：(1)∵x ＝3，y ＝4，∴x ＋y ＝7，xy ＝12. ∴(3,4)的象为(7,12)．(2)设(1，－6)的原象为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．[B 组能力提升]1．若已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，且f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32 C ．±3D. 3解析：由x ＋2＝3，得x ＝1>－1，舍去．由x 2＝3，得x ＝±3，－1＜3＜2，－3＜－1，－3舍去．由2x ＝3，得x ＝32<2，舍去．所以x 的值为 3. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥2x 的解集是( )A ．(－∞，23]B ．(－∞，0]C ．(0，23]D ．(－∞，2)解析：(1)当x >0时，f (x )＝－x ＋2≥2x ，得3x ≤2，即0<x ≤23； (2)当x ≤0时，f (x )＝x ＋2≥2x ，得x ≤2，又x ≤0，∴x ≤0；综上所述，x ≤23. 答案：A3．已知集合A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z}，C ＝R ，且从A 到B 的映射是 f ：x →y ＝2x －1，从B 到C 的映射是f ：x →y ＝13x ＋1，则从A 到C 的映射是________．解析：根据题意，f ：A →B ，x →y ＝2x －1 f ：B →C ，y →z ＝13y ＋1.所以，从A 到C 的映射是f ：x →z ＝13(2x －1)＋1＝16x －2，即从A 到C 的映射是f ：x →y ＝16x －2.答案：f ：x →y ＝16x －24．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－2)，x 2(－2＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (a )＝8，则a ＝________.解析：当a ≤－2时，由a ＋2＝8，得a ＝6.不合题意．当a ≥2时，由2a ＝8，得a ＝4，符合题意．当－2＜a ＜2时，a 2＝8，a ＝±22，不合题意．答案：45．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围．解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎨⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.6．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝4 5°，作直线 MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解析：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a ，∠A ＝∠D ＝45°. (1)当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ，由于AM ＝x ，∠A ＝45°，∴MN ＝x . ∴y ＝S △AMN ＝12x 2(0≤x ≤a 2)．(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，AH ＝a 2，BN ＝x －a2，∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12·a 2[x ＋(x －a 2)]＝12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )． (3)当M 位于点G 的右侧时，由于AM ＝x ，DM ＝MN ＝2a －x ，∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a )．综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2(0≤x ≤a 2)，12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )，－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a ).[课时作业] [A 组基础巩固]1．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( ) A ．必是增函数 B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性答案：D2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－∞，－3] C ．(－∞，5]D ．[3，＋∞)解析：二次函数开口向上，对称轴为x ＝－2(a －1)2＝1－a ，要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：y ＝|x ＋2|的图象是由y ＝|x |图象向左平移2个单位得来，由图可知y ＝|x ＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增．答案：C4．函数f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增再减D ．先减再增解析：∵y ＝x 在(0，＋∞)上递增，y ＝－1x 在(0，＋∞)上也递增， ∴f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上递增．答案：A5．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x 2－4x ＋3解析：∵x 1，x 2∈(0，＋∞)时， f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)是增函数．答案：C6．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－37．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，328．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )在[1,2]上单调递减可得a ≤1；由g (x )在[1,2]上单调递减可得a ＞0 ∴a ∈(0,1]．答案：(0,1]9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5. (1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.解析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥2，m －2>0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．10．求函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调区间．解析：先作出y ＝x 2－6x ＋8的图象，然后x 轴上方的不变，x轴下方的部分关于x 轴对称翻折，得到如图f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象，由图象可知f (x )的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．[B 组能力提升]1．已知f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，则f (－2)，f (2)，f (3)的大小关系为( )A ．f (－2)<f (2)<f (3)B ．f (－2)>f (2)>f (3)。

2017-2018学年数学人教A版必修一优化练习：第一章章末检测Word版含解析.docx

章末检测时间： 120 分钟满分：150分一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016 ·高考全国卷Ⅲ )设集合 S＝{ x|(x－2)(x－ 3)≥0} ， T＝ {x|x>0} ，则 S∩ T＝()A． [2,3]B．(－∞， 2] ∪[3，＋∞ )C． [3，＋∞ )D．(0,2] ∪[3，＋∞ )解析：由题意知 S＝ { x|x≤2 或 x≥ 3} ，则 S∩ T＝{ x|0<x≤ 2 或 x≥3} ．故选 D.答案： D2．设集合 A＝ { a，b} ， B＝{ a＋ 1,6} ，且 A∩B＝{1} ，则 A∪B＝()A． {1,6}B．{0,6}C． {0,1}D．{0,1,6}解析：∵ A∩ B＝ {1} ，∴ 1∈A,1∈B，∴ a＋1＝1，∴ a＝0，b＝ 1.∴A＝ {0,1} ， B ＝{1,6} ，∴ A∪B＝{0,1,6} ．答案： Db3．已知 f(x)＝ax＋x(a，b 为常数 )，且 f(1)＝1，则 f(－1)＝ ()A． 1B．－ 1C． 0D．不能确定解析：∵ f(x)是奇函数，∴ f(－1)＝－ f(1)＝－ 1.答案： Bx2－2x，x≥ 0，4．f(x)＝则 f(3)＝ ()－x，x<0，A． 3B．－ 3C． 0D．6解析：∵ 3≥ 0，∴ f(3)＝32－2×3＝3.答案： A5．定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝ f(x)＋ f(y)＋ 2xy，f(1)＝ 2，则 f(3) 等于 () A． 10B．6C ． 12D ．16解析：令 x ＝ y ＝ 1 得 f(2)＝f(1)＋ f(1)＋2＝6，令 x ＝2， y ＝ 1 得 f(3)＝ f(1)＋ f(2)＋2×2＝2＋ 6＋ 4＝ 12.答案： C．若函数，则函数f 2x 的定义域是 ()6y ＝f(x)的定义域是 [0,2]g(x)＝x －1A ． [0,1]B ．[0,1)C ． [0,1)∪(1,4]D ．(0,1)0≤2x ≤2，解析：要使 g(x)有意义，则解得 0≤x<1，故定义域为 [0,1)，选 B.x －1≠0，答案： B1，x>0，1，x 为有理数，7．设 f(x)＝ 0，x ＝0，g(x)＝0，x 为无理数，－1，x<0，则 f(g( π))的值为 ()A ． 1B ．0C ．－ 1D ．π解析： ∵ g( π)＝0，∴ f[g( π)]＝f(0)＝0，选 B.答案： B8．已知 a ，b 为两个不相等的实数，集合 M ＝ { a 2－ 4a ，－ 1} ，N ＝{ b 2－4b ＋1，－ 2} ，映射 f ：x →x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x ，则 a ＋b等于 ()A ． 1B ．2C ． 3D ．4a 2－ 4a ＝－ 2， a 2－ 4a ＋2＝0，解析：由已知得b 2－ 4b ＋1＝－ 1，?b 2－ 4b ＋2＝0，∴ a ， b 为方程 x 2 －4x ＋ 2＝ 0 两个根，∴ a ＋ b ＝ 4.答案： D9．已知集合 A ＝{ x|－ 2≤ x ≤ 7} ，集合 B ＝{ x|m ＋1<x<2m － 1} ，若 A ∪ B ＝A ，则实数 m 的取值范围是 ()A ．－ 3≤ m ≤4B ．－ 3<m<4C ． 2<m ≤4D ．m ≤4解析：由题设可知 B? A.(1)当 B ＝ ?，即 m ＋1≥ 2m －1，m ≤2 时满足题设2m －1>m ＋ 1，(2)B ≠?时， m ＋1≥－ 2，解得 2＜m ≤42m －1≤7，综上所述， m 的取值范围是 m ≤ 4.答案： D110．y ＝ x － 2＋ 1 在[3,4] 的最大值为 ()3 A ． 2B.2 5C.2D ．4解析： y ＝x －12＋1 在[3,4] 上是减函数，1∴ y 的最大值为 3－2＋1＝2.答案： A11．奇函数 f(x)在(0，＋∞ )上的解析式是 f(x)＝x(1－x)，则在 (－∞， 0)上，函数f(x)的解析式是 ()A ． f(x)＝－ x(1－x)B ．f(x)＝x(1＋x)C ． f(x)＝－ x(1＋x)D ．f(x)＝x(x －1)解析：当 x ∈ (－ ∞，0)时，－ x ∈(0，＋ ∞)，由于函数 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－ f(－x)＝x(1＋ x)．答案： B12．若函数 f(x)是奇函数，且在 (－∞， 0)上是增函数，又f(－2)＝ 0，则 x ·f(x)<0的解集是 ()A ． (－2,0)∪ (0,2)B ．(－∞，－ 2)∪ (0,2)C ． (－∞，－ 2)∪ (2，＋∞ )D ．(－2,0)∪(2，＋∞ )解析：因为函数 f(x)是奇函数，且在 (－∞，0)上是增函数，又 f(－2)＝0，所以可画出符合条件的奇函数f(x)的图象，如图所示．x>0x<0因为 x·f(x)<0，所以或，结合图象，x的范围是(－2,0)∪(0,2)．f x <0 f x >0答案： A二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中的横线上 ) 13．已知 f(2x＋1)＝ x2，则 f(5)＝________.解析： f(5)＝f(2×2＋1)＝ 22＝4.答案： 414．已知 f(x)为奇函数， g(x)＝ f(x)＋ 9 且 g(－ 2)＝3，则 f(2)＝________.解析： g(－ 2)＝f(－2)＋ 9＝ 3，∴ f(－2)＝－ 6，又∵ f(x)是奇函数，∴ f(2) ＝－ f(－2)＝ 6.答案： 615．已知U ＝ {0,2,3,4} ， A＝ { x∈ U|x2＋ mx＝ 0} ，若 ?U A＝ {2,3} ，则实数 m＝________.解析：由题设可知 A＝{0,4} ，故 0,4 是方程 x2＋mx＝0 的两根，∴ x1＋x2＝4＝－m，∴ m＝－ 4.答案：－ 43－ a x－ 4a，x＜1，若 f(x)是 R 上的增函数，则实数 a 的范围16. 已知 f(x)＝2， x≥1，x－ 1是 ________．3－ a>03解析：3－a × 1－ 4a≤ 1－ 1 2解得5≤ a＜ 3.3答案：5， 3三、解答题 (本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分 12 分)已知集合 A ＝{ －2} ，B ＝ { x|ax ＋ 1＝ 0，a ∈ R} ，B? A ，求a 的值．解析： ∵ B? A ， A ≠ ?，∴ B ＝ ?或 B ≠?.当 B ＝?时，方程 ax ＋ 1＝0 无解，此时 a ＝ 0.1当 B ≠?时，此时 a ≠0，B ＝{ －a } ，1 1 1 ∴－ a ∈A ，即有－ a ＝－ 2，得 a ＝ 2.1 综上所述， a ＝0 或 a ＝2.18．(本小题满分 1 2 分 )已知 y ＝f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x ≥0 时， f(x)＝x 2－ 2x ，求 f(x)在 R 上的解析式 f(x)．解析：设 x<0，则－ x>0，∵ f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)＝f(－x)＝(－ x)2－ 2(－ x)＝x 2＋2x ，x 2－ 2x ，x ≥0∴f(x)＝x 2＋2x ，x ＜0.19．(本小题满分 12 分)某市乘出租车计费规定： 2 公里以内 5 元，超过 2 公里不超过 8 公里的部分按每公里 1.6 元计费，超过 8 公里以后按每公里 2.4 元计费．若甲、乙两地相距 10 公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？解析：设乘出租车走 x 公里，车费为 y 元，5， 0＜ x ≤ 2由题意得 y ＝ 5＋ 1.6× x －2 ，2＜x ≤8，14.6＋2.4× x － 8 ，x>85， 0＜ x ≤ 2即 y ＝ 1.8＋ 1.6x ，2＜x ≤8，2.4x －4.6，x>8因为甲、乙两地相距 10 公里，即 x ＝ 10>8，所以车费y ＝2.4×10－ 4.6＝ 19.4(元 )．所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4 元．20．(本小题满分 12 分)奇函数 f(x)是定义在 (－ 1,1)上的减函数，且f(1－ a)＋f(2a－ 1)<0，求实数 a 的取值范围．解析：由 f(1－ a)＋f(2a－1)<0，得 f(1－ a)<－ f(2a－1)，∵ f(x)是奇函数，∴ f(1－a)<f(1－ 2a)又∵ f(x)是定义在 (－ 1,1)上的减函数，－1<1－a<1∴－1<1－2a<1，1－ a>1－2a解得 0＜a＜1，即所求实数 a 的取值范围是 0＜a＜1.2x＋ 3 21．(本小题满分 13 分 )已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x>0 时，解析式为 f(x)＝x＋1 .(1)求 f(x)在 R 上的解析式；(2)用定义证明 f(x)在(0，＋∞ )上为减函数．解析：(1)设 x<0，则－ x>0，－2x＋ 3所以 f(－x)＝－x＋1 .又因为 f(x)是 R 上的奇函数，－2x＋3 －2x＋3所以 f(－x)＝－ f(x)＝－x＋1，所以 f(x)＝x－1 .又奇函数在 0 点有意义，所以f(0)＝0，－2x＋3x－1，x<0，函数的解析式为f(x)＝0，x＝0，2x＋ 3x＋1， x>0.(2)设? x1， x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，2x1＋3 2x2＋3则 f(x1)－f(x2)＝x1＋1－x2＋1＝2x1＋3 x2＋1 － 2x2＋ 3 x1＋ 1x1＋ 1 x2＋12017-2018 学年数学人教 A 版必修一优化练习－x1＋ x2＝.x1＋1 x2＋1因为 x1， x2∈(0，＋∞)， x1<x2，所以 x1＋ 1>0，x2＋1>0， x2－x 1>0，所以 f(x1)－ f(x2)>0，所以 f(x1)>f(x2)，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数．22．(本小题满分 13 分)设函数 f(x)的定义域为 R，并且图象关于y 轴对称，当x≤－ 1 时， y＝f(x)的图象是经过点 (－ 2,0)与(－1,1)的射线，又在 y＝f(x)的图象中有一部分是顶点在 (0,2)，且经过点 (1,1)的一段抛物线．(1)试求出函数 f(x)的表达式，作出其图象；(2)根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上函数是增函数还是减函数．解析： (1)当 x≤－ 1 时，设 f(x)＝ax＋b(a≠0) ，由已知－2a＋b＝0，得－a＋b＝1，a＝1，解得所以 f(x)＝ x＋2(x≤－ 1)．b＝2，由于函数图象关于y 轴对称，则由 x≥1，得－ x≤ －1，f(－x)＝－ x＋2，且f(－x)＝f(x)，所以 f(x)＝－ x＋ 2(x≥ 1)．当－ 1<x<1 时，设 f(x)＝mx2＋2，由已知得 m＝－ 1，即 f(x)＝－ x2＋ 2(－1<x<1)，x＋ 2， x≤－ 1，所以函数 f(x)的表达式为 f(x)＝－x2＋2，－1<x<1，图象如图所示．－x＋2，x≥ 1，(2)从图象可看出，函数 f(x)的单调区间有 (－∞，－1]，(－1,0]，(0,1)，[1，＋∞ )．其中， f(x)在区间 (－∞，－ 1]和(－1,0]上是增函数；在区间 (0,1)和 [1 ，＋∞ )上是减函数．7。

高一数学知识点优化训练习三角函数的积化和差与和差化积全国通用

数学知识点优化训练三角函数的积化和差与和差化积数学试卷注意事项：1.考察内容：三角函数的积化和差与和差化积 2.题目难度：中等难度3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。

4.参考答案：有详细答案5.资源类型：试题/课后练习/单元测试一、选择题1.已知锐角三角形的两个内角满足，则有高考资源网（） A ． B ．C ．D ．2.设,cos sin )cos (sin a a a a f =+若21)(=t f ，则t 的值为高考资源网（）A 2±B 2 C22±D 223.若角α的终边落在直线y x =-的等于A 、0B 、2C 、-2D 、2tan α4.=+313sin 253sin 223sin 163sin （）高考资源网A.12B.12-C.D.5.设ααααπαsin cos cos sin )20(33+∈，则，的最小值是 ( ) A 、6427． B 、523． C 、635． D 、1．6.若x 是第一象限角,则xx tan 2)2tan(+-π的最小值为( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA.2B.22C.2D.47.）A.B.C.D.8.在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（）。

A c b a ,,成等差数列B b c a ,,成等差数列C b c a ,,成等比数列D c b a ,,成等比数列9.函数f ( x ) = (cos sin αβ) x + (cos sin βα) x ，0 < α，β <2π，若x > 0时，f ( x ) < 2，则（）（A ）0 < α + β <4π （B ）0 < α + β <2π （C ）4π< α + β <2π （D ）α + β >2π10.在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( ) 高考资源网A ．6πB ．3πC ．6π或π65D ．3π或32π二、填空题11.已知1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=．高考资源网12.已知tan()3πα-=则 22sin cos 3cos 2sin αααα=- .13.若cot x =，则cos 2 ( x +4π)的值是。

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1.3.1 单调性与最大（小）值第一课时优化训练
1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )为增函数，当x ∈(－∞，－2]时，函数f (x )为减函数，则m 等于( )
A ．－4
B ．－8
C ．8
D ．无法确定解析：选 B.二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得
函数的对称轴为x ＝－2，则m
4＝－2，所以m ＝－8.
2．函数f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ≤0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )
解析：选C.应用增函数的性质判断． ∵a ＋b ≤0，∴a ≤－b ，b ≤－a . 又∵函数f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )．
∴f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )．
3．下列四个函数：①y ＝x
x －1
；②y ＝x 2＋x ；③y ＝－(x ＋1)2；④
y ＝x 1－x
＋2.其中在(－∞，0)上为减函数的是( ) A ．① B ．④
C ．①④
D ．①②④
解析：选A.①y ＝x
x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1
x －1
.
其减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)． ②y ＝x 2
＋x ＝(x ＋12)2－14，减区间为(－∞，－12)． ③y ＝－(x ＋1)2，其减区间为(－1，＋∞)，
④与①相比，可知为增函数．
4．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范
围是________．
解析：对称轴x ＝k 8，则k 8≤5，或k
8≥8，得k ≤40，或k ≥64，即对称轴不能处于区间内．
答案：(－∞，40]∪[64，＋∞)
1．函数y ＝－x 2
的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)
解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．
2．若函数f (x )定义在[－1,3]上，且满足f (0)<f (1)，则函数f (x )在区间[－1,3]上的单调性是( )
A ．单调递增
B ．单调递减
C ．先减后增
D ．无法判断
解析：选D.函数单调性强调x 1，x 2∈[－1,3]，且x 1，x 2具有任意性，虽然f (0)<f (1)，但不能保证其他值也能满足这样的不等关系．
3．已知函数y ＝f (x )，x ∈A ，若对任意a ，b ∈A ，当a <b 时，都有f (a )<f (b )，则方程f (x )＝0的根( )
A ．有且只有一个
B ．可能有两个
C ．至多有一个
D ．有两个以上
解析：选C.由题意知f (x )在A 上是增函数．若y ＝f (x )与x 轴有交点，则有且只有一个交点，故方程f (x )＝0至多有一个根．
4．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a ) C ．f (a 2＋a )＜f (a ) D ．f (a 2＋1)＜f (a )
解析：选D.∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋3
4＞0，
∴a 2＋1＞a ，
∴f (a 2＋1)＜f (a )，故选D.
5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )
①y ＝|x |；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x
|x |. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
解析：选C.①y ＝|x |＝－x (x ＜0)在(－∞，0)上为减函数；
②y ＝|x |
x ＝－1(x ＜0)在(－∞，0)上既不是增函数，也不是减函数；
③y ＝－x 2
|x |＝x (x ＜0)在(－∞，0)上是增函数；
④y ＝x ＋x
|x |＝x －1(x ＜0)在(－∞，0)上也是增函数，故选C. 6．下列说法中正确的有( )
①若x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；
②函数y ＝x 2在R 上是增函数；
③函数y ＝－1
x 在定义域上是增函数；
④y ＝1
x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
解析：选A.函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x ≤0
时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1
x 在
整个定义域内不是单调递增函数．如－3＜5，而f (－3)＞f (5)；④y ＝1
x 的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
7．若函数y ＝－b
x 在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．
解析：设0＜x 1＜x 2，由题意知 f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝b (x 1－x 2)
x 1·x 2＞0，
∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0.
∴b ＜0.
答案：(－∞，0)
8．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (3
4)的大小关系为________．
解析：∵a 2
－a ＋1＝(a －12)2＋34≥3
4，
∴f (a 2－a ＋1)≤f (3
4)．
答案：f (a 2
－a ＋1)≤f (34)
9．y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．解析：
y ＝－(x －3)|x |＝
⎩⎨⎧
－x 2＋3x (x ＞0)x 2
－3x
(x ≤0)
，作出其图象如图，观
察图象知递增区间为[0，3
2]．
答案：[0，3
2]
10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；
(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．
解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0，
∴⎩⎨
⎧
1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0
，解得b ＝－4，c ＝3.
(2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，
f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 2
2－4x 2＋3) ＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2)
＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)， ∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0.
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．
∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．
11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)＜f (1－3x )，求x 的取值范围．
解：由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧
－1≤x －1≤1－1≤1－3x ≤1，
x －1＜1－3x
即⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤2
0≤x ≤23，x ＜12
∴0≤x ＜1
2.
12．设函数y ＝f (x )＝ax ＋1
x ＋2
在区间(－2，＋∞)上单调递增，求a
的取值范围．
解：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2， ∵f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1
x 2＋2
＝(ax 1＋1)(x 2＋2)－(ax 2＋1)(x 1＋2)(x 1＋2)(x 2＋2)
＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)
. ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0. ∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)
＜0， ∵x 1－x 2＜0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，
∴2a －1＞0，∴a ＞1
2.。