刚体

X
Y
r r r r cm = 6 π j − 8π i = (−25.1i + 18.8 j ) s
刚体定轴转动） §3.2 转动定律（刚体定轴转动）
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
z
力 F 对z 轴的力矩
r F//
r F
r F τ r Fn
转动平面：垂直于转动轴所作的平面。 转动平面：垂直于转动轴所作的平面。 刚体中任何质点都在各自的转动 平面内作圆周运动 圆周运动. 平面内作圆周运动. 1)角位移 1)角位移 开始时质点P 开始时质点P在X轴，经t时刻, 转 时刻, 过的角度为θ 即为角位移。 过的角度为θ，θ即为角位移。
动平面 转
理解刚体定轴转动的转动动能和力矩的功概念， 转动动能和力矩的功概念 四 理解刚体定轴转动的转动动能和力矩的功概念，掌 定轴转动动能定理和机械能守恒定律 握定轴转动动能定理和机械能守恒定律
五 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题. 的简单系统的力学问题
§3.1 刚体运动学
一. 刚体
即当
β =c
ω = ω0 + β t 1 2 (θ −θ0 ) = ω t + β t 2 2 ω2 −ω0 = 2β(θ −θ0 )
与质点的匀加速直线运动公式相象
3. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动, 任意点都绕同一轴作圆周运动 且 ω，β 都相同 z ω,β
θi
r Fi
应用牛顿第二定律，可得： 应用牛顿第二定律，可得：
r r r Fi + fi = ∆mai i
法向： 法向： 切向： 切向：
β Fi cosθ i + f i cosφi = −∆mi ain = ∆mi riω 2
即:
① ②
Fi sin θ i + f i sin φi = ∆mi aiτ = ∆mi ri β
第三章
刚体的转动
教学基本要求
理解描写刚体定轴转动的物理量， 一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线 量的关系. 量的关系 二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体定轴转动定理 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体定轴转动定理. 力矩和转动惯量概念 定轴转动定理
三 理解刚体角动量概念，掌握定轴转动的角动量守恒。 理解刚体角动量概念，掌握定轴转动的角动量守恒 角动量概念 角动量守恒。
r Mo
O .
r F
r r
θ
r F
r r r MO = r × F
r Mo
θ
r r
z
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
r F//
r F
r F τ r Fn
r r r MZ = r × F⊥
大小： 大小：
h
r r
θA
MZ = rF⊥ sinθ
r F⊥
方向： 方向： 右螺旋法则 在刚体的定轴转动中， 在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向 (3)力对任意点的力矩， (3)力对任意点的力矩，在 力对任意点的力矩 通过该点的任一轴上的 投影， 投影，等于该力对该轴 的力矩
∑Fiτ ri + ∑ fiτ ri = (∑miri )β
2
合外力矩 M
合内力矩
刚体的转动惯量 J
作用力和反作用力的力 刚体内 作用力和反作用力的力 矩互相抵消 矩互相抵消 即
∑ fiτ ri = 0
Ο
d
φ1
r f1
r φ2 f2
刚体的转动定律
dω Mz = Jβ = J dt
刚体对 z 轴 的转动惯量
O
刚体
r'
θ
α r r
× O
定轴
方 向
r r r r =β × r +ω×v
r r aτ = β × r
r r r an = ω ×v
/min，受到制动后均匀地减速， 例：一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经 t=50s后静止。 =50s后静止 后静止。 求:（1）角加速度 β 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N； （2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度ω ； 求在t=25 （3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。 度和加速度。
ω1
∆ω r
r
ω2
r
假设向上 为正方向
ω1
r
∆ω r
r
ω2
刚体转动加快ω2＞ω1， 刚体转动加快ω Δω＞ 则Δω＞0，β ＞0 ， 方向向上
刚体转动减慢ω 刚体转动减慢ω2＜ω1, Δω＜ 则Δω＜0，β ＜0 ， 方向向下
若角加速度为恒矢量， 若角加速度为恒矢量，这种变速转动 称为匀变速转动 称为匀变速转动
=25s （2）t=25 时飞轮的角速度为 =25
ω = ω0 + βt = (50π −π × 25)rad / s
= 25 rad / s = 78.5rad / s π
ω的方向与ω0相同 ；
=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。 （3）t=25 时飞轮边缘上一点 的速度。
由
r r υ = ω ×r
法向分力对轴O无力矩作用， 式不予考虑。 法向分力对轴 无力矩作用， ①式不予考虑。 无力矩作用
对固定轴的力矩
Fiτ ri + fiτ ri = miaiτ ri = mi ri β
2
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程， 设刚体由 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程， 个方程左右相加， 将N 个方程左右相加，得： 对所有质元
0
θ
P X
参 考 方
ω
转 转动 刚体
刚体
向
转动
2 ) 角速度 刚体对转轴的(瞬时)角速度 刚体对转轴的(瞬时)
ω
面 动平 转
dθ ω = dt
角速度矢量 方向： ω 方向：
r
右手螺旋定则
即四指弯曲方向与刚体的转动方向一致， 即四指弯曲方向与刚体的转动方向一致， 拇指所指的方向就是角速度方向。 拇指所指的方向就是角速度方向。 角速度为常矢量的刚 体转动称为匀速转动。 体转动称为匀速转动。
例如 T' T T'
x x dx
在定轴转动中， • 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 R r T
∑Mi = TR −T' R
∑Mi = TR −T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
转轴O垂直板面 转轴 垂直板面 对刚体中任一质量元
r Fi r fi
∆mi
-外力 -内力
Ο
r ri
r fi
ω
φi
∆mi
特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 特殊的质点系， 形状和体积不变化 在力作用下， 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变
平动 刚体的运动 定轴转动 转动 非定轴转动
刚体的一般运动 = 转动 + 平动
二.
刚体的平动
刚体运动时， 刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自 身平行 — 刚体平动 平动的特点 (1) 刚体中各质点的 运动情况相同 r r rA = rB + AB
2 t 2 n 3 2 2 2
an = ω r = 6.16 ×10 m/ s
3
2
≈ 6.16×10 m/ s r r 相同。 a 的方向几乎和 an 相同。
3 2
一刚体以每分钟60转绕 例： 一刚体以每分钟 转绕
r r r r 一点 P的位置矢量为 r = 3i + 4 j + 5k （cm）， 的位置矢量为 ），
Mz (F) = Fτ r = F⊥h
力矩取决于力的大小、 • 力矩取决于力的大小、方 向和作用点
h
r r
θA
r F⊥
在刚体的定轴转动中，如不加说明， • 在刚体的定轴转动中，如不加说明，所指的力矩是指力 在转动平面内的分力对转轴的力矩。 在转动平面内的分力对转轴的力矩。
讨论 (1) 力对点的力矩 大小： 大小： MO = rF sinθ 方向： 方向： 右螺旋法则
注意： 转动定律为瞬时矢量关系 转动定律为瞬时矢量关系； 注意： (1)转动定律为瞬时矢量关系； (2)转动定律只对惯性系成立； 转动定律只对惯性系成立； 转动定律只对惯性系成立 (3)转动定律所有的量，是对同一个转轴而言； 转动定律所有的量， 同一个转轴而言 转动定律所有的量 是对同一个转轴而言；
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体在合外力矩 M作用下 ，所获得角加速度β 与 M 成正 作用下 而与刚体的转动惯量J 成反比——刚体的转动定律 比，而与刚体的转动惯量 成反比 刚体的转动定律
讨论 (1) β正比于 M ，力矩越大，刚体的 β 越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 力矩相同，若转动惯量不同， (3) 与牛顿定律比较： → F, J → m, β → a 与牛顿定律比较： M
ω0
方向如图所示， 解: （1）设初角度为ω0方向如图所示，
ω0=2π×1500/60=50π rad/s =2π× π×1500/60=50
t=50 时刻ω =0 ， =50S =50
O a
2
an
v r at
β=
ω −ω0 − 50π
t = 50
= −3.14 rad / s
1 2 1 ∆θ = θ −θ0 = ω0t + βt = 50π × 50 − ×π × 502 = 1250π rad 2 2 ∆θ 1250 π N= = ＝ 625转 2π 2π