第四章刚体和刚体系统的平衡
刚体的平衡与转动定律的应用
刚体的平衡与转动定律的应用在物理学中，刚体是指其形状和大小在外力作用下不发生变化的物体。
刚体的平衡和转动定律是刚体力学中的重要概念，它们被广泛应用于各种实际工程问题的分析和解决。
一、刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受到外力作用时，保持静止或以一定的速度进行匀速直线运动的状态。
刚体的平衡有两种类型：平稳平衡和不平衡。
1. 平稳平衡当刚体处于平稳平衡状态时，它的重心和支持点重合，不会发生任何转动。
这意味着刚体所受到的合力和合力矩都为零。
根据平衡条件，我们可以得出：∑F = 0 （合力为零）∑M = 0 （合力矩为零）其中，∑F表示合力矢量的矢量和，∑M表示合力矩矢量的矢量和。
平稳平衡的一个典型例子是悬挂在弹簧上的质点。
当质点受到向下的重力和向上的弹簧力之和为零时，质点处于平稳平衡状态。
2. 不平衡当刚体处于不平衡状态时，它的重心和支持点不重合，会发生转动。
此时，刚体所受的合力和合力矩都不为零。
根据不平衡条件，我们可以得出：∑F ≠ 0 （合力不为零）∑M ≠ 0 （合力矩不为零）不平衡的一个典型例子是一个倾斜的物体，当物体所受到的重力分量不平衡时，物体将发生转动。
二、转动定律的应用转动定律是描述刚体转动的物理定律，通过转动定律，我们可以对刚体的转动进行详细的分析。
1. 动量定理动量定理是刚体转动定律的基础，它描述了刚体转动的动力学关系。
根据动量定理，刚体所受的合外力矩等于刚体动量的变化率。
即：∑M = dL/dt其中，∑M表示合外力矩的矢量和，L表示刚体的角动量，t表示时间。
通过动量定理，我们可以计算刚体受到的合力矩以及刚体角动量的变化情况。
2. 角动量守恒定律角动量守恒定律是转动定律中十分重要的一个定律。
它描述了刚体在没有外力矩作用下的转动规律。
根据角动量守恒定律，如果刚体在某一时刻的合外力矩为零，则刚体的角动量将保持不变。
即：∑M = 0 时，L = 常数通过角动量守恒定律，我们可以解决一些与刚体转动相关的问题，如旋转飞盘的角速度变化、自行车的倾斜和转弯等。
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义一、什么是刚体在开始探讨刚体的平衡之前，咱们得先明白啥是刚体。
简单来说，刚体就是在受力作用下形状和大小都不会改变的物体。
想象一下一块坚硬的钢板，不管你怎么推它、拉它，它的尺寸和形状都不会发生变化，这就是刚体。
但要注意，刚体只是一个理想化的模型。
在现实世界中，完全不变形的物体是不存在的。
不过，在很多情况下，当物体的变形非常小，可以忽略不计时，我们就可以把它近似地看作刚体，这样能让我们的研究和计算变得简单很多。
二、刚体平衡的条件要让一个刚体处于平衡状态，需要满足两个条件：合力为零和合力矩为零。
先来说说合力为零。
这就好比一个人在水平方向上同时受到向左和向右的两个大小相等的力，这两个力就相互抵消了，合力为零。
在刚体上，如果作用在它上面的所有力在各个方向上的合力都为零，那么刚体就不会在力的作用下发生平动，也就是不会沿着直线加速移动。
再讲讲合力矩为零。
矩呢，简单理解就是力乘以力臂。
如果一个刚体受到的所有力产生的力矩之和为零，那么刚体就不会发生转动。
比如说，一个跷跷板两端坐的人的重量乘以他们到支点的距离相等，跷跷板就不会转动，处于平衡状态。
只有同时满足合力为零和合力矩为零这两个条件，刚体才能真正地处于平衡状态。
三、刚体平衡的例子生活中有很多刚体平衡的例子。
比如说，一个静止在水平地面上的桌子。
桌子受到重力，方向竖直向下，地面给它的支持力，方向竖直向上，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
同时，关于桌子的任意一点，重力产生的力矩和支持力产生的力矩也相互抵消，合力矩为零，所以桌子能稳稳地静止在那里。
再比如，一个悬挂着的吊灯。
吊灯受到重力，绳子对它的拉力，这两个力大小相等、方向相反，合力为零。
而且，以悬挂点为参考点，重力产生的力矩和拉力产生的力矩也相等，合力矩为零，吊灯就不会晃动，保持平衡。
四、刚体平衡在工程中的应用在工程领域，刚体平衡的知识可是非常重要的。
比如说建筑结构的设计。
一座大楼要稳稳地矗立在那里，就得保证它的各个部分所受到的力满足刚体平衡的条件。
刚体的平衡
Ai-1
Pi P6
A1 C
A6
P1 mg
例7.3 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块， 在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图 所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长 为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥 孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。
l h
H
L
解：
l x1 2
解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则
Pi 2Pi（1 i=2 … 6）
P2 2P1
P3 2P2 22 P1
Bi-1
LL
P6 25 P1 32P1 考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得
P1
l 2
mg
3 4
l
P6l
0
B6
P6 32P1 代入可解得：
1 P1 42 mg
Pi-1
Ai
1.刚体平衡条件
1）物体受力的矢量和为零：
r
Fi 0
i
2）对矩心的合力矩为零
r
Mi
rri
r Fi
0
i
i
重要推论：
刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的 合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相 交于一点。
2.刚体平衡的稳定性
满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开 平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳 定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定 平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为 随遇平衡。
x1
x2
mx1
m( x1 2m
l
/
2)
x1
l 4
x2
l 4
x1
x2
x3
m( x1
《刚体的平衡》 讲义
《刚体的平衡》讲义在我们的日常生活和工程实践中，刚体的平衡是一个非常重要的概念。
无论是简单的物体放置，还是复杂的机械结构设计，都离不开对刚体平衡的理解和应用。
那么，什么是刚体的平衡呢？简单来说，当一个刚体在力的作用下保持静止或者做匀速直线运动的状态，我们就说这个刚体处于平衡状态。
要使一个刚体达到平衡，需要满足两个条件：力的平衡和力矩的平衡。
先来说力的平衡。
这意味着作用在刚体上的所有外力的合力必须为零。
想象一下，一个放在水平桌面上静止的木块，它受到竖直向下的重力和桌面给它竖直向上的支持力。
因为重力和支持力大小相等、方向相反，且作用在同一条直线上，所以合力为零，木块就能保持静止，处于平衡状态。
再看力矩的平衡。
力矩可以理解为使物体绕着某个点转动的趋势。
如果一个刚体要平衡，对于任意一点，所有外力产生的力矩之和也必须为零。
比如说，一个跷跷板两端坐着不同体重的人，如果要保持跷跷板平衡，不仅两个人的重力之和要与地面的支持力平衡，而且他们各自产生的力矩也要相互抵消。
为了更好地理解力和力矩的平衡，我们来具体分析一些例子。
假设在一个建筑工地上，有一个起重机吊起一个重物。
起重机的起重臂就可以看作是一个刚体。
重物的重力通过吊钩作用在起重臂上，起重臂自身也有重力，此外还有起重臂与机身连接处的约束力。
要使起重臂保持平衡，这些力在水平和竖直方向上的合力都必须为零。
同时，对于起重臂与机身的连接点，这些力产生的力矩之和也得是零。
又比如，在一个简单的杠杆装置中，有一个支点，在支点的两侧分别施加不同大小的力。
根据杠杆原理，力乘以力臂等于力矩。
要使杠杆平衡，两侧的力矩必须相等。
在实际问题中，求解刚体的平衡常常需要我们建立合适的坐标系，将力分解到各个坐标轴上，然后分别求解力的平衡方程。
对于力矩的计算，要正确确定力臂的长度和力的方向。
理解刚体的平衡不仅对于解决实际问题很重要，在物理学的学习中也是基础。
它为我们进一步学习力学的其他知识，如动力学、材料力学等，打下了坚实的基础。
第四章 刚体力学
第四章 刚体的转动§4-1 刚体的定轴转动1． 研究对象:刚体,即物体内任意两质点间的距离在运动中保持不变。
（不变质点组）。
2． 对刚体运动的分类：（1）平动：刚体内任何一条给定直线在刚体运动过程中方向不变。
所有点的运动相同。
（2）定轴转动：刚体中所有点都绕一固定直线作圆周运动。
（3）刚体的平面运动：这种运动可分解为质心的平动和以质心为轴的转动。
（4）刚体的空间运动：这种运动可分解为平动、轴的运动、绕轴的转动。
3． 角量和线量的关系：r S θ=，r v ω=，r a βτ=，rv r a n 22==ω 规定：ω 方向与刚体转动方向成右手螺旋关系，于是ω由于：dt d ωβ =，所以角加速度的方向也在转轴上。
若以ω为正方向，β为正表示加速，β为负表示减速。
以后将学到的力矩的方向、动量矩的方向等都在转轴上。
4． 力矩：力矩就是综合描述这三要素的一个物理量。
定义：f r M⨯=大小：θsin ⋅⋅=⋅=r f d f M 分量值：ατcos fr r f M z =⋅=f 在转动平面内。
若f 不在转动平面内，将f分解为平行于转轴和垂直于转轴两部分。
平行于转轴部分对刚体的转动无贡献。
几个力同时作用于刚体，它们的合力矩是这几个力的力矩的矢量合： ∑=i M M（注意：不是合力的力矩，而是力矩的矢量合。
力矩的矢量合≠合力的力矩。
） 例：求匀质园盘在水平面上转动时所受的摩擦力矩。
解：取rdr dm πσ2⋅=gdm df ⋅=μ rdf dM f =mgR gR dr gr dM M Rf f μπμσπμσ32322320====⎰⎰§4-2 转动动能 转动惯量 转动定律1． 转动动能： ∑∑∑===i i i i ii i i i k r m r m v m E 22222)(212121ωω 2． 转动惯量J ：（单位：Kg.m 2）对于质量为离散型分布的刚体：∑=iii rm J 2；对于质量为连续型分布的刚体：dm r J M⎰=2（1）J 由三个因素决定：质量的大小、质量分布、转轴的位置。
理论力学_刚体系的平衡
几何静力学
ห้องสมุดไป่ตู้
0
3 4 6 8
P
5
F C A
P
0 0 0 0 0 0 0 F G 0 H E 0 0 C D 0 0
A 60°
60° B
I
K
J
0
9
7
A
B
G 0 0 0 00 H D E
B
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例 4-6-3
截面法
第 4章
截面的选择
如何求1杆的内力？
C
3 1
P
先由整体平衡求出A、B处的约束力；再作 截面I，考虑左半部平衡
Rx 0 X A X B Q 0
C
YA
解
第 4章
例 4-6-2
已知连续梁由AB和BC两段组成，长度分别为 2a和a，梁的A端插入墙内，C处有滚动支座 支撑，B处用光滑铰连结，在BC段作用力偶 矩m，在AB段作用分布载荷q，求A、B、C 处 约束反力
q
A B
几何静力学
Q
(2) 考虑左半部
10/39
几何静力学
英国福斯湾桥。 钢悬臂桁架双线 铁路桥。跨度521 米。1890年建成
桁架的工程实例
第 4章
桁架的工程实例
几何静力学
北京首都国际机场航空港内 钢结构飞机库
ZT120型塔式起重机
12/39
卫星发射塔。1983年8月 19日发射科学试验卫星。
法国埃菲尔铁塔
2
桁架构思的由来
第 4章
桁架构思的由来 — 大跨度梁的发展(有效使
例 4-6-3
已知：尺寸、载荷。求：各杆内力。
P3 P 1
2
工程力学(北航版)——第四章：平面任意力系
∑mA(F)=0
Q(6 − 2) − P ⋅ 2 + FB (2 + 2) = 0
限制条件为： 限制条件为： FB ≥ 0
解得： 解得：
Q≤350 kN
因此保证空、满载均不倒 应满足如下关系 应满足如下关系： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系
75 kN≤Q≤350 kN
当W=400KN时，Q的范围？ W=400KN时 的范围？
MO =
∑M
Oi
方向： 方向 方向规定 +
M A ≠ MO
7
简化中心： 简化中心 (与简化中心有关)
3. 平面一般力系的合成结果
′ 初步简化结果： 初步简化结果：主矢 FR ，主矩 MO，下面分别讨论。
′ ， ① FR =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ，
′ ② FR = 0 , M O ≠ 0 即 简 化 结 果 为 一 力 偶 M = M O = ∑MOi， 此 时
刚体等效于只有一个力偶的作用（因为力偶可以在刚 体平面内任意移转，故这时，主矩与简化中心O无关。） ③ FR ≠0, O =0, ′ ≠0,M =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
′ 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR = FR 。（此时 ,
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
8
′ ≠0,M ≠0,为最一般的情况 此种情况还可以继续简 为最一般的情况。 ④ FR ≠0, O ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 FR 。
′ F R = F ′ R = − FR′ ′ M O = FR ⋅ d
F'R F'R F''R A FR FR
刚体系统的平衡
FA
13 4
FBy
A
2
D5
B FBx
P
2m
2m
二、截面法
用假想的截面把桁架切开，取其中一部分为研究对象， 通过其平衡条件求出某些杆件内力的方法。 解题步骤： 1. 以整体为研究对象求桁架外约束反力 2. 用假想截面把桁架切开，取一部分为研究对象求杆件内力
注意事项： 1. 截面应截过待求内力的杆，且外力、约束反力为已知。 2. 截面切及的未知内力的杆件一般不超过三根。 3. 被切杆件的内力统一假设受拉伸作用。
解刚体系统问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 垂直 投影轴；
②画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上；
③平衡方程。
③ 充分发挥二力杆的直观性；
④ 解方程求出未知数 注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上的投影不存在；
50 6
8.33(kN)
YC
4m
③
E
再 研
YA X A 0 B
Q
P
究
F 1m C G
整
A
1m
YB
体
3m
3m
6m
D
YD
D YD
mA 0,YB 3 YD 12 P 10 Q 6 0 YB 100(kN)
Y 0,YA YB YD Q P 0 YA 48.33(kN)
XO -SA sin 0
Y 0
y
YO XO
M
x
SA
P
刚体平衡刚体在平衡状态下的力学条件
刚体平衡刚体在平衡状态下的力学条件刚体平衡及其力学条件刚体平衡是力学中的重要概念，指的是刚体处于不发生任何平动或转动的静止状态。
在刚体平衡的情况下，存在一系列力学条件。
本文将详细介绍刚体平衡的力学条件。
一、平衡定义在力学中，平衡指物体处于静止状态或匀速直线运动状态下，若外力对物体的合力等于零，则称物体处于平衡状态。
二、刚体平衡条件在刚体平衡的情况下，需要满足以下条件：1. 力矩平衡条件刚体平衡的一个重要条件是力矩平衡，即刚体所受外力的合力矩等于零。
力矩是力作用在刚体上产生的转动效果，用向量表示为M=rxF，其中r为力到转轴的距离，F为力的大小。
在刚体平衡的情况下，力矩的代数和为零。
2. 力平衡条件力平衡指刚体所受外力的合力等于零。
在刚体平衡的状态下，所有作用在刚体上的外力矢量的代数和为零，即ΣF=0。
3. 质心条件刚体平衡的另一个条件是质心条件。
刚体的质心是指刚体所有质点质量乘以各自位置矢量的代数和除以总质量。
在刚体平衡的情况下，质心在不受力的作用下保持静止或匀速直线运动。
三、刚体平衡实例以下是几个常见的刚体平衡实例，用于帮助理解力学条件：1. 杆的平衡考虑一个平衡在水平地面上的杆，支点在一个端点。
要使杆保持平衡，支点需要施加一个反作用力，使得另一端的力矩和受力的合力为零。
2. 平板的平衡当一个平板平衡在平面上时，平衡条件要求所受合力和合力矩都为零。
其中合力矩的计算需要考虑平板上各个点的力矩大小和方向。
3. 悬挂物体的平衡考虑一个静止的悬挂物体，例如一个吊钩。
要使其保持平衡，需要使得悬挂点所受合力和合力矩为零。
四、刚体平衡的应用刚体平衡的概念和力学条件在生活和工程中有广泛的应用。
例如：1. 建筑物的稳定性分析在建筑物的设计和构建过程中，需要考虑其结构的稳定性。
通过分析各个部分的受力和力矩平衡情况，可以确保建筑物在负载和地震等外力作用下保持平衡和稳定。
2. 机械结构的设计机械系统中的各个部件也需要满足力学条件，以保证整个系统的平衡和运行。
刚体系统的平衡问题的特点与解法
刚体系统的平衡问题的特点与解法你有没有过这样的体验？在玩积木的时候，总是要找到那个平衡点，把它们摆得稳稳的。
这其实就涉及到刚体系统的平衡问题。
虽然听起来有些学术，但其实它的原理很简单。
今天我们就来聊聊这个话题，看看如何把复杂的理论变成简单易懂的知识。
1. 什么是刚体系统的平衡问题？1.1 刚体是什么？首先，咱们得搞清楚“刚体”是什么。
简单来说，刚体就是一个不变形的物体，比如一块砖头，或者你的书桌。
刚体的特点是，它的每一个部分都保持固定的距离，不会因为受力而变形。
换句话说，它就像是一块铁板，坚硬得很，不容易弯曲。
1.2 平衡又是什么？平衡，说白了，就是物体在受力作用下，保持稳定不动的状态。
拿你的书桌来说，如果桌子上的每一只脚都均匀受力，桌子就不会倾斜，就算你在桌子上放了重物，它也不会摇摇欲坠。
2. 刚体系统的平衡特点2.1 力的作用一个物体要保持平衡，就得有力气平衡力。
这就像在玩平衡木的时候，你的身体得找准重心，才能不掉下去。
力的作用力和反作用力必须均衡，不然物体就会倾斜或翻倒。
2.2 力矩的作用除了力，还有一个叫力矩的东西。
力矩就是力的“旋转能力”。
比如你在转动门把手，力矩就是你施加的力和门把手距离门轴的长度的乘积。
如果力矩平衡了，门就不会歪。
这个力矩平衡是刚体平衡的关键之一。
3. 刚体平衡问题的解法3.1 找到支点要想解决刚体系统的平衡问题，首先得找对支点。
支点就是物体受力的点。
比如说一根杠杆，它的支点决定了杠杆的平衡。
就像跷跷板，支点在中间时，两个孩子才能平衡，支点偏一边，就得调整位置了。
3.2 力与力矩平衡解决平衡问题，还得让所有的力和力矩平衡。
简单点说，就是你需要让所有施加在物体上的力和力矩加起来等于零。
就像你把两边的积木摆得一样高一样重，才能确保它不会倒。
这个过程通常需要算算力和力矩，确保它们刚好平衡。
4. 实际应用在现实生活中，刚体系统的平衡问题无处不在。
比如，建筑师在设计建筑时，就要考虑到这些平衡问题。
第4章 刚体和刚体系统的平衡
第4章 刚体和刚体系统的平衡4-1 质点系和刚体的平衡条件例1：如图所示的平面刚架，在B 点处受到一水平力P =20kN 的作用，刚架自重不计，试求A 、D 处的约束力。
解：（1）选刚架为研究对象。
（2） 画受力图。
根据三力汇交定理，RA 的指向如图所示。
（3） 列平衡方程。
0548∑=+=A R P X 05440∑=+=A D R R Y kN 4.22-25-==P R AkN 1051-==A D RR例2：梁AB 受一力偶作用，其矩m = -100kN·m 。
尺寸如图所示，试求支座A 、B 的反力。
解：（1）取梁AB 为研究对象2）画受力图 由支座A 、B 的约束性质可知，RB 的作用线为垂直方向，而RA 的作用线方向不定。
由于力偶只能与力偶相平衡，因此力RA 与力RB 必定组成一个力偶，其大小满足RA=RB ，指向如图所示。
3）列平衡方程求未知量 由平面力偶系的平衡方程有：例3：在水平梁AB 上作用一力偶矩为M 的力偶，在梁长的中点C 处作用一集中力P 它与水平的夹角为θ ，如图所示。
梁长为l 且自重不计。
求支座A 和B 的反力。
解：取水平梁AB 为研究对象，画受力图。
例4：水平外伸梁AB ，若均布载荷q =20kN/m ，P =20kN ，力偶矩m =16kN·m ，a =0.8m 。
求支座A 、B 处的约束力。
AkNR R kN R m R M A B A A 2020050i ===⇒=-=∑0cos -F 0A ∑==θP X x θcos F A P x =0F 2sin -M -0)(∑=+∙=l l P F M B i A θ2sin M F θP l B +=0F -2sin M-0)(A B ∑=∙+=l l P F M y i θ2sin M -F A θP l y +=解：（1）选梁AB 为研究对象，画受力图。
（2）属于平面平行力系，列方程求解未知量。
力学中的刚体平衡问题
力学中的刚体平衡问题力学中的刚体平衡问题是研究力对物体的平衡效应的一个重要课题。
在力学中，刚体是指其内部的各个点相互保持不变相对位置的物体。
刚体平衡问题则是研究在不同力的作用下，刚体是否能够保持平衡以及如何保持平衡的问题。
解决刚体平衡问题需要运用一些基本的力学定律和原理，并通过分析力的作用点、作用线和作用面等特性来得出结论。
一、刚体的平衡条件刚体平衡的条件有两个：力的合力为零，力的合力矩为零。
这是因为力的合力为零意味着刚体在平衡时不产生加速度，力的合力矩为零则意味着刚体在平衡时不产生转动。
根据这两个条件，我们可以得出两个方程：∑F = 0 (力的合力为零)∑M = 0 (力的合力矩为零)其中，∑F 表示所有作用在刚体上的力的合力，∑M 表示所有作用在刚体上的力的合力矩。
二、刚体平衡问题的解决方法解决刚体平衡问题的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过绘制力的示意图，利用几何关系求解刚体平衡问题。
在解决刚体平衡问题时，我们可以将力的作用点、作用线及其方向用箭头表示，根据刚体平衡条件进行几何分析，得出力的大小和方向。
2. 代数法代数法是通过列方程，利用代数关系求解刚体平衡问题。
在解决刚体平衡问题时，我们可以选择一个适合的坐标系，根据刚体平衡条件列出方程，通过求解方程组求出未知数的值。
三、刚体平衡问题的实际应用刚体平衡问题在实际生活中有着广泛的应用。
下面以一个简单的例子来说明。
假设有一根悬挂在两个固定点之间的杆，我们需要确定悬挂点的位置，使得杆保持平衡。
根据刚体平衡条件，我们可以得到力的合力为零以及合力矩为零的方程。
通过解方程，我们可以求得悬挂点的位置。
刚体平衡问题还可以应用于桥梁设计、建筑物结构设计等领域。
通过合理分析力的作用点、作用线和作用面等特性，可以设计出稳定可靠的结构，并确保其在不同外力作用下保持平衡。
总结：力学中的刚体平衡问题是一个重要的课题，解决该问题需要运用基本的力学定律和原理，并通过分析力的合力和合力矩来得出结论。
物理力学中刚体的平衡和运动分析
物理力学中刚体的平衡和运动分析物理力学是自然界中最基础、最重要的学科之一。
其中，刚体的平衡和运动分析是物理力学的基础内容之一。
本文将对刚体的平衡和运动进行分析，探究其原理和应用。
首先，我们来介绍刚体的定义和属性。
刚体是指物体在力的作用下，形状和大小不发生变化的物体。
相对于弹性体来说，刚体在受力作用下不会发生形变。
这是因为刚体的内部粒子之间相互之间的距离保持不变，不会发生相对位移。
这种性质使得刚体在实际生活和工程中有着广泛的应用。
刚体的平衡是指当外力作用于刚体上时，刚体不发生平动和转动的状态。
要分析刚体平衡的条件，我们需要了解两个重要的概念-力矩和力偶。
力矩是描述力对物体产生转动作用的物理量，其大小等于力的大小与力臂的乘积。
力臂是指力的作用线与旋转轴的垂直距离。
力偶是指两个等大小、反向的力组成的力对。
当两个等大反向的力作用在刚体不同的点上时，就形成了力偶。
力偶不仅具有旋转作用，还具有平衡作用。
刚体平衡的条件有两个：合力为零和合力矩为零。
合力为零意味着作用在刚体上的外力的矢量和为零，即力对称。
合力矩为零意味着作用在刚体上的外力的力矩和为零，即力矩对称。
只有满足这两个条件，刚体才能保持平衡状态。
接下来，我们来讨论刚体的运动分析。
刚体的运动可以分为平动和转动两种情况。
当刚体的质心沿直线运动时，称为平动。
我们可以运用牛顿第二定律进行平动的分析。
当作用于刚体上的合外力不为零时，刚体将发生平动。
其加速度与合外力成正比，与质量成反比。
平动过程中，刚体质心的速度和位移之间的关系可以用公式v = v₀+ at表示。
其中，v是物体在时刻t的速度，v₀是物体在时刻t₀的速度，a是物体的加速度，t₀和t表示时间。
当刚体绕固定点或固定轴产生圆周运动时，称为转动。
我们可以运用牛顿第二定律进行转动的分析。
转动过程中，刚体所受的合外力矩等于刚体的转动惯量乘以角加速度。
转动的物体会有角速度、角位移和角加速度等参数。
而角速度和角位移之间的关系可以用公式ω = ω₀ + αt表示。
刚体平衡的条件与分析方法
刚体平衡的条件与分析方法刚体平衡是物理学中的一个重要概念，用来描述物体在静止状态下所处的平衡条件。
刚体指的是质量分布均匀、形状保持不变的物体，不会发生形变。
在这篇文章中，我们将介绍刚体平衡的条件和分析方法。
一、刚体平衡的条件要使一个刚体处于平衡状态，需要满足以下两个条件：1. 力矩平衡条件：当刚体处于平衡状态时，对于刚体上的任意一点，合外力矩以及合内力矩都必须为零。
这意味着刚体受到的力矩总和必须等于零。
合外力矩是指作用在刚体上的来自于外部的力矩，而合内力矩是指刚体内部的各部分之间相互作用产生的力矩。
力矩的计算可以通过力矩公式：力矩 = 力的大小 ×力臂，其中力臂是力矩的杠杆长度。
2. 力平衡条件：当刚体处于平衡状态时，对刚体上的任意一点，合外力以及合内力的合力必须为零。
合外力是指作用在刚体上的来自于外部的力，而合内力是指刚体内部的各部分之间相互作用产生的力。
力的合力可以通过求解所有力的矢量和来计算，如果合力为零，则刚体在力方向上达到平衡。
二、刚体平衡的分析方法在分析刚体平衡时，我们通常采用以下方法：1. 绘制自由体图：首先，我们需要绘制刚体的自由体图，即将刚体从整个系统中剥离，将作用在刚体上的力与力矩标出来。
自由体图能够帮助我们清楚地了解刚体所受力的方向和大小。
2. 选取合适的坐标系：为了简化问题，我们需要选取合适的坐标系来进行计算。
通常情况下，选择刚体上某一个点作为原点，并选择与平衡有关的方向为正方向。
3. 列写力矩平衡方程：通过自由体图，我们可以根据力矩平衡条件列写方程。
按照力矩方程，对于刚体上所有的力矩，我们可以将其与压力乘以杠杆的长度相加，并将合外力矩与合内力矩相等于零。
4. 列写力平衡方程：同样地，我们可以根据力平衡条件列写方程。
根据力平衡方程，对于刚体上所有的力，我们将其在 x 和 y 方向上的合力相加，并将合外力与合内力相等于零。
5. 求解方程：根据力矩平衡方程和力平衡方程，我们可以得到一组方程，通过求解这组方程，我们可以确定刚体平衡时的各个未知量。
刚体运动研究刚体在空间中的运动和平衡状态
一直线上。
02
刚体平动与转动分析
平动定义及特点
平动特点 刚体上各点的速度、加速度等运动学量相同。
平动定义：刚体在运动过程中，其上任意两点 间的连线始终保持平行且长度不变，这种运动 称为平动。
刚体上各点的运动轨迹相同，形状和大小不发生 变化。
转动类型与描述方法
转动类型
根据刚体转动的特点，可 分为定点转动和定轴转动
刚体的角动量变化量等 于外力矩的冲量矩。
当外力矩为零时，刚体 保持匀速转动或静止状 态。
能量守恒原理在刚体上应用
能量守恒原理：在刚体 的运动中，外力对刚体 所做的功等于刚体动能
的增量。
01
刚体的动能等于其质量 与其质心速度平方的一
半的乘积。
03
在无外力作用的情况下 ，刚体的机械能（动能 和势能之和）保持守恒
01
碰撞过程中的能量 吸收
通过优化车身结构和材料，提高 车辆在碰撞过程中的能量吸收能 力，降低乘员受到的冲击。
02
乘员舱变形控制
确保乘员舱在碰撞过程中的变形 在可接受范围内，以保障乘员的 生存空间。
03
安全气囊等被动安 全装置的性能
评估安全气囊、安全带等被动安 全装置在碰撞过程中对乘员的保 护作用。
关节结构设计
根据机器人所需完成的动作和负载要求，设计合理的关节结构，以 实现机器人的灵活运动和精确控制。
关节驱动方式选择
针对不同类型的机器人和应用场景，选择合适的关节驱动方式，如 电动、液压或气动等。
控制策略制定
基于刚体动力学理论，制定机器人的控制策略，以实现其稳定、快速 和准确的运动。
汽车碰撞安全性评估指标
飞行器姿态控制
通过控制飞行器的刚体运动，实现其在空中的稳定飞行和精确制 导。
建筑力学(第四章)
Da a
Fx 0 :
FAx FCcon45 0
FAx FCcon45
2F
2 2
F
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
Fy 0 : FAy FC sin 45 F 0
FAy FC sin 45 F
2F
2 2
F
第二节 平面一般力系向作用面内任一点简化
简化中心 F1
OA
F3 C
B
F2 =
m1F'1′ F′3 O
m2
F'2′ =
m3
M0 O
FR
主矢（FR’ ）：将平面汇交力系 （F1’、F2’、 F3’ ）合成， 可得一合力FR’，这个力称为原力系的主矢。通过0点。
大小:
FR ( Fx)2 ( Fy)2 ( Fx )2 ( Fy )2
0
aa
负号说明约束反力FAX的实际方向与图中
假定方向相反。
应用举例
例4-4：求图示梁支座的
y
F
F
约束反力。已知 ：
Fy
F 2kN a 2m A
解:取梁为研究对象。
Fx
受力图如图示。建立坐标
a
a
FB
Bx
a
系，列平衡方程：
Fx 0 Fy 0
M
O
(
F
)
0
(2) 主矢、主矩均不为零 FR≠0 Ｍ0≠0 根据力的平移定理的逆过程可知，主矢FR和主矩ＭO也可
以合成为一个 合力FR。
平衡及刚体的概念_工程力学_[共3页]
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1.2静力学公理5 1.1.2 平衡及刚体的概念平衡是指物体相对于地球处于静止状态或者匀速直线运动状态，它是物体机械运动中的一种特殊状态。
刚体是指在力的作用下不发生变形的物体，与变形体相对应。
静力学的研究对象是刚体。
事实上，刚体是不存在的，只是一个理想化的力学模型。
因为任何物体在受力后都会或大或小地发生形变，如果形变量不大或对所研究的问题影响较小时，变形可以忽略，此时就可将物体抽象为刚体。
例如，当汽车通过桥梁时，虽然桥梁因承受汽车的压力而产生微小的变形，但当桥梁的微小变形对研究其平衡问题不产生影响或影响很小时，便可以忽略不计，此时可将桥看成刚体。
实践证明，引入刚体力学模型可将问题大为简化，且分析结果也足够精确。
1.2静力学公理 静力学公理是指人们在生产和生活实践中长期积累总结出来的、并通过反复验证的符合客观实际的普遍规律。
它是静力学的基础。
公理一 二力平衡公理 刚体仅受两个力作用而平衡的必要和充分条件是：这两个力等值、反向、共线，如图1-4所示，即12=−F F（1.2）这一公理揭示了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件。
满足上述条件的两个力称为一对平衡力。
需要说明的是，对于刚体，这是充要条件；而对于变形体，这个条件是不充分的。
工程上将只受到两个力作用处于平衡的构件称为二力构件或二力杆。
根据平衡条件，二力杆所受的两个力大小相等、方向相反，作用线沿两个力作用点的连线，如图1-5所示。
图1-4 二力平衡原理 图1-5 二力构件 二力构件在工程上会经常遇到，同时，有的工程构件常常可以简化为二力构件。
需要强调的是，找出二力构件，对于刚体、特别是刚体系统的静力学分析，常常是非常方便的。
在图1-6所示的横梁系统中，斜拉杆CD 即为一个二力杆。
在研究受力的时候可以直接画出二力杆CD 所受约束力方向，并且可知F C = −F D。
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（4-2）
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
根据牛顿第三定律，质点系内力总是成对出现，相互作用，具有大小
相等、方向相反、作用在同一条直线上的性质。因此，每对内力的矢
量和其对任意点的力矩之和均等于零。故式（4-2）可化为
m
FRi = 0 ，m来自MO (FRi ) = 0
（4-3）
同一直线的力，弹簧两端会开始背向远离，直到其内部产生的弹性力
和施加的力相等，才能停下来、停止伸长。在此例中，在弹簧停止伸
长之前，作用在它上面的力系是符合式（4-4）的，但弹簧仍然在运
动，不平衡。在弹簧停止伸长之后，处于平衡状态，同时，其上作用
的外力系也符合式（4-4）。
对于具体的问题而言，条件中的外力包括主动力及约束力。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.1 一般空间力系作用下刚体的平衡方程
由上文的讨论得知，刚体平衡的充要条件是作用在刚体上的外力系的 主矢及外力对任一点的主矩都为零，写成矢量方程组是式（4-4），
在工程中，为了方便应用，可以利用矢量投影定理，将其投影在三个
互相垂直的坐标轴上，得到6个标量形式的平衡方程：
处于平衡。
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4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.2 质点系的平衡条件
质点系平衡，指质点系中每一个质点均处于平衡状态。即质点系中所
有的质点都相对参考系全都处于静止状态，或全都处于匀速运动状态。 下文来研究处于平衡状态的质点系上外力F1，F2，…，Fn间的关系。
我们知道，作用于质点系中每个质点上的力可以分为外力和内力两种，
第四章 刚体和刚体系统的平衡
第一节 质点系和刚体的平衡条件 第二节 刚体的平衡方程 第三节 刚体平衡问题 第四节 静定刚体系统的平衡问题 第五节 钢化原理 第六节 摩擦及考虑摩擦时的平衡问题 总结与讨论 习题
4.1 质点系和刚体的平衡条件
4.1.1 单质点的平衡条件
质点i系1 中每个质点上外力的合力等于i1 所有外力合力，质点系中每个质
点上外力的合力对点之矩的和等于所有外力对点之矩的和。上式可进
一步化为
Fi 0
，
MO (Fi ) 0
（4-4）
上式表明，质点系处于平衡时，作用于该质点系的外力系的主矢及外
力对任一点的主矩必定为零，由第2章知，作用于该质点系的外力系
知， FRi fRi = 0
，即每个小组的合力为零。可以推出，所有小
组的力的合力为零，即所研究的力系的主矢为零。根据合力矩定理，
每个小组的力对任意点的力矩之和也等于零，即主矩也为零。由此得
到质点系平衡时其上作用的力系应满足的条件，即平衡条件
m
(FRi fRi ) = 0
i 1
， m MO (FRi fRi ) = 0 i 1
Fiz 0,
Mx (Fi ) 0, M y (Fi ) 0
（4-8）
可以看出，对于受空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系作用而 处于平衡状态的刚体，当如上所述选取合适的坐标系时，都将有三个 平衡方程自动满足，独立的平衡方程只有三个。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.3 平面力系作用下刚体的平衡方程
内力为质点系内各质点间相互的作用力。设所研究质点系由n个质点
构成，其上所受外力为F1，F2，…，Fn，用表示作用于第个质点的
外力的合力，用表示作用于第个质点的内力的合力。把作用于每个质
点上的力作为一个小组，来计算作用于该质点系的外力及质点系质点
间内力构成的力系的主矢和主矩。对于第个质点，根据式（4-1）
为平衡力系。式（4-4）成立是质点系处于平衡状态的必要条件，即
质点系平衡，式（4-4）一定成立。
反过来看，式（4-4）成立是否质点系一定平衡呢？需要分不同的情 况讨论。
对于单个刚体而言，可以证明，式（4-4）是单个刚体平衡的充要条 件，即
Fi 0
，
MO (Fi ) 0
成立上。一页 下一页 返回
上述平衡方程适用于任意力系作用下的刚体，但如果作用在刚体上的
力系是空间特殊力系，则上述方程中的某些平衡方程会自动满足，方
程数目会减少。
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4.2 刚体的平衡方程
4.2.2 特殊空间力系作用下刚体的平衡方程
对于空间汇交力系，如果取汇交点为坐标原点，则力系中各力对通过
汇交点的任一轴的力矩都为零，三个力矩方程自动满足。独立平衡方
对于单个质点，由于作用在单质点上的力系只能是汇交力系，汇交力 系在汇交点可以合成一合力，根据牛顿第一定律，质点平衡的充分必 要条件是合力等于零，即力系的主矢
FR 0
（4-1）
也就是说，单个质点处于平衡，则肯定有作用在该质点上的力系的合
力为零；反过来说，当作用在某质点上的力系的合力为零时，该质点
程只剩三个
Fix 0,
Fiy 0,
Fiz 0
（4-6）
对于空间力偶系，由于力偶在任一轴上的投影为零，力的投影方程自
然满足。独立平衡方程只剩三个
Mx (Fi ) 0, My (Fi ) 0, Mz (Fi ) 0
（4-7）
对于力系中所有力的作用线相互平行的空间力系，若坐标系的轴与力 作用线平行，则各力在轴和轴上的投影均为零，各力对轴之矩均为零， 三个方程自动满足，只剩三个独立方程
Fix 0,
Fiy 0,
Fiz 0
（4-5）
M x (Fi ) 0, M y (Fi ) 0, M z (Fi ) 0
式（4-5）为一般空间力系的平衡方程，也叫做空间任意力系的平衡
方程。
上述方程表明，平衡力系中所有力在直角坐标系各轴上投影的代数和 都为零；同时平衡力系中所有力各轴之矩的代数和也分别等于零。
4.1 质点系和刚体的平衡条件
但对变形体而言，变形体平衡，式（4-4）成立，反过来则不一定成 立，即
变形体平衡可以得出
Fi 0
，
MO (Fi ) 0
成立。
但
Fi 0 ， MO (Fi ) 0成立，变形体不一定平衡。
例如，在一根比较细弱的弹簧两端施加大小相等、方向相反、作用在