第五章 微分方程模型
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
第5章 微分方程模型(投影版)
“改变 改变”、“变化” 变化 、“增加” 增加 、“减少”等关键词 减少 等关键词 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数. 运用已知物理定律 机理分 利用平衡与增长式 析法 建立方法 常用微分方程 运用微元法 应用分析法
数学建模
第五章 微分方程模型
运用已知物理定律利用平衡与增长式机理分利用平衡与增长式运用微元法运用微元法应用分析法数学建模第五章微分方程模型描述对象特征随时间空间的演变过程动态模型分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态模型预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段微分根据函数及其变化率之间的关系确定函数本身微分方程模型根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程数学建模第五章微分方程模型数学建模第五章微分方程模型随着科学技术的发展常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础理论
数学建模
问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段
第五章 微分方程模型
按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 模型 l 设时刻t 的病人人数x ( t )是连续、可微函数，并且每天每个病 是连续 可微函数 并且每天每个病 人有效接触的人数为常数λ t 到t +△t 病人人数的增加 x ( t + △t ) – x ( t ) =λx ( t ) △t
dx x , x(0) x0 dt 随着t的增加，病人人数 的增加 病人人数x ( t )无限增长，这显然是不符合实际的。 无限增长 这显然是不符合实际的 失败的原因：有效接触的人群中，有健康人也有病人，而只有健 康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。
第五章微分方程模型
第五章 微分方程模型、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解：设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：1046750386941868wdw dt --=经化简有：232313956139565429()41868t t w et e c -=-⋅+假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下：2323139561395605429()41868t t w et e w -=-⋅+、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。
在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。
鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。
此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。
（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下：2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt=--（2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题2()0.003()0.001()0.002(0)1000000dp t p t p t dtp ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得0.0010.0012999998()11000001t tae p t a ae --+==-其中当t→∞ 时，2p →。
常微分方程第五章 微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。
微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。
微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。
本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。
下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法：1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。
例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。
2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。
例如从几何观点看，曲线y=上某点的切线斜率即函数)yy=在该点的导数；力学中的牛顿第二运(x)(xy动定律：maF=，其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数等等。
从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。
例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。
对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m，空气阻209210力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：0)0(=v . 由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：2kv mg dtdv m -= 求解模型可得：)1]2(exp[)1]2(exp[+-=mkg t k m kg tmg v 由上式可知，当+∞→t 时，物体具有极限速度：kmg v v t ==∞→lim 1， 其中，阻力系数s k αρ=，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s 为物体在地面上的投影面积。
第五章 微分方程模型讲1
i0
1-1/σ σ
di 1 = −λi[i − (1 − )] σ =λ/ µ dt σ
σ >1
i
σ ≤1
di/dt < 0
i0
0
1-1/σ σ
1 i
i0
0
1 , σ > 1 1 − i(∞ ) = σ 0, σ ≤ 1
t
0
t
接触数σ =1 ~ 阈值
σ >1
σ ≤ 1 ⇒ i (t ) ↓
s i ( s ) = ( s 0 + i0 ) − s + ln σ s0
i
1
1D = {( s ,源自i ) s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1}
D 0
s
1
模型4 模型
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型 模型
s i(s) = (s0 + i0 ) − s + ln σ s0
dP dP = kP(10000− P) 把 P t=0 =10, = 100代入微分方程 dt dt t=0
1 得 k= 999 鸟的数量和时间的函数关系为 P =
10000 1+ 999 e
− 10000 t 999
Logistic函数 函数
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段 • 按照传播过程的一般规律， 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型 已感染者(the infective) 易感染者 易感染者(the susceptible) 已感染者 移出者(the removed) 移出者
微分方程模型
图示
y 敌艇 R=(0,at)
D(x,y)
x (c,0)
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： b ds
dt
dt
3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体 积为v0。
在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：
其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
2gy
（2）弧微分公式： ds 1 (y/ )2 dx
（3）下降的时间： dt ds ds 1 ( y/ )2 dx
v 2gy
2gy
模型：
2、追线问题
我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。
令t 0,得 dp rp(N p), r 0, dt
p(0) 1
解
p(t)
N
为
1 (N 1)erNt
当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？ 还有当？时变化率最大？
如果考虑广告的效应呢？
考虑单位时间内使用该技术的企业数增量 时应把示范效应和广告效应一起考虑。而 广告只对没采用该技术的企业起作用。假 设其引起的增量与（N-p）成正比
数学建模 第五章 微分方程模型M05-2010
dy dt
y
f0y
dK dt
L
dy dt
Ly
Bernoulli方程
1 1
f0 f0 1 (1 ) t y (t ) ( y0 )e
N [ s ( t t ) s ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t
di dt si i ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
i0 s 0 1
无法求出 i ( t ), s ( t )
i ( t ) i0 e
t
ti
?
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i ( t ), s ( t ) . 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病.
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。
微分方程模型是一种基于微分方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。
1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变化率，即变量的导数。
它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量化的描述。
2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。
初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在系统边界上给定的限制条件。
这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。
3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。
这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。
这些关系可以通过微分方程进行描述。
4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行分析和建模过程。
这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界条件，并将其转化为合适的微分方程模型。
这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。
微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。
例如，在物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、药物动力学等问题。
微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。
解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。
近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。
总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。
它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。
《数学建模》习题及参考答案 第五章 微分方程模型
第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。
（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。
9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。
1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。
6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。
6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
第五章 微分方程模型
第五章 微分方程模型5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 解：设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：1046750386941868wdw dt --=经化简有：232313956139565429()41868t t w et e c -=-⋅+假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下：2323139561395605429()41868t t w et e w -=-⋅+5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。
在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。
鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。
此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。
（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下：2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt=--（2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题2()0.003()0.001()0.002(0)1000000dp t p t p t dtp ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得0.0010.0012999998()11000001t tae p t a ae --+==-其中当t→∞ 时，2p →。
数学建模实验答案_微分方程模型
数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。
k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。
i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。
1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。
提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。
若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。
若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。
本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。
返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。
第五章 微分方程模型
limv(t)
t
C
0.08
≈713.86（英尺/秒）＞＞40（英尺/秒） 实际极限速度与圆桶的承受速度相差巨大！
解决思路：避开求t0的难点
令 v(t)=v(y(t)), 其中 y=y(t) 是圆桶下沉深度
将 dv dv . dy 代入（1）得 dt dy dt
m dv . dy W B Cv, dy dt
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
5.2 一些简单的微分方程案例
例1：铁链下滑问题
问题：一条长为L米质量为M的链条悬挂在一个钉子 上，初始时，一边长3/5L，另一边长2/5L，由静止 启动。分别根据以下情况求出链条下滑的时间： 1、不计摩擦力和空气阻力； 2、阻力为1/10L的链条重； 3、阻力与速度v成正比; 4、摩擦力与对钉子的压力成正比，在v=1时。
F阻=0.02m
求解微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变 化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分 方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
微分方程模型详解
范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保 持常数，它应当与人口数量有关。
阻滞增长（Logistic）模型
人口净增长率应与人口数量有关，即反应 了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N)
从而有：
其中，
故
注：设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K 看成常数），N表示当前的种群数量，K-N为环境还能 供养的种群数量，则(K-N )/K为还能供养比例。
做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人口
总数成正比，即人口净增长率 基本上是一常
数，
, 为出生率， 为死亡率。
设时刻 的人口总数为 人口增长量为：
，时间从 到
马尔萨斯（Malthus）模型
等式两边同时除以 t ，有
再运用极限的思想，令
有
由初始条件ห้องสมุดไป่ตู้
，即为初始
时刻的人口数，故解方程得
马尔萨斯（Malthus）模型
典型微分方程 • Malthus人口方程： • 虎克定律
典型微分方程 • 牛顿万有引力方程
• 波动方程
• 热传导方程
典型微分方程
• 势方程或 Laplace 方程
人口增长模型
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。
微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。
本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。
微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。
2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。
初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。
3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。
对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。
4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。
对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。
微分方程模型的应用广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。
电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。
2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。
例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。
3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。
例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。
4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。
5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。
微分方程模型
微分方程模型
微分方程是数学里最为重要的概念之一，这一概念在现代时代中发挥了越来越
重要的作用。
它用来描述以微小变化为基础的变化，模拟出自然界各种现象。
在互联网领域，微分方程可用来模拟用户在网络上的流量消费，解决用户多终端同时连接问题，还可以预测网络使用情况，帮助网络运营商决策有关网络投资的事宜。
微分方程首先要确定一个模型，因此，基础的微积分学知识对构建微分方程模
型是必不可少的。
要实现精确的模型，有必要首先考察网络中各种变量，比如稳定性、带宽、负载、容量等，并使用微积分方式，可以推导出一定的微分方程。
在根据这些方程完成模型分析后，可以因果分析得出不同的变量之间的联系。
构建出的微分方程模型，更进一步可以用来数值模拟，利用方程组信息和网络
设置，模拟并计算出网络中某种信息的变化和分布情况，从而及早识别出性能问题，调整网络性能设置。
此外，由于微分方程在处理数据时保持原有数据平稳性，并能够有效减少错误发生率，因此在工业界和学术界得到了广泛的应用。
综上所述，微分方程模型在互联网应用领域正在发挥越来越重要的作用。
它的
建模性质和精确性，不仅能够为企业提供有效的决策参考，而且还可以帮助把握未来网络使用状况，提升大量用户的网络使用体验。
第五章微分和微分方程模型
在解决实际问题时，弄清问题中的变量之间的函数关系或其变化趋势是至关重要的，而在一些较为复杂的变化过程中，变量之间的函数关系无法直接得到。
但是，在许多情况下，我们往往可以在理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系。
也就是找出一个或几个含有未知函数及其导数所满足的方程，这个（些）方程就称为微分方程（组）。
然后通过求解微分方程（组）得到变量之间的函数关系，或者在微分方程（组）的基础上进行数值计算和渐进性态研究，从而了解整个系统的发展变化规律。
为了研究一些实际问题的变化规律，往往需要对所研究的问题进行适当的简化和假设，再建立数学模型，当问题中涉及变量的变化率时，就可以通过微分方程来建模。
微分方程模型主要是解决与导数，也即变化率相关的问题，但是；实际问题中一般并不会直接出现“导数”或“变化率”等词语，这时，就需要我们仔细分析，从中找出这些信息，一般来说，如果问题中涉及到“速率”、“增长”、“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”（在放射性问题中）、“扩散”、“边际的”（在经济学中）等问题时，往往就可以用微分方程（组）来建模。
微分方程模型的类型很多，在解决实际问题时，要根据具体情况选择不同的模型，建立模型时，应首先将实际问题概念化为文字方程，许多问题都遵循下面的模式：总讯宗勋净变化率=净增加率━净减少率如果变量之间的关系可以用这种形式来描述，我们就不难给出相应的微分方程（组）了。
在建立了微分方程模型之后，我们当然希望能得到微分方程的解，但是，对于大多数微分方程而言，要想直接求解往往是困难的，甚至是不可能的，此时我们可以通过对方程的定性分析得到有关的一些有用信息。
§1 确定性存贮模型为了使生产和销售有条不紊地进行，一般的工商企业总需要存贮一定数量的原料或商品，然而大量的库存不但积压了资金，而且会使仓库的保管费用增加。
因此，寻求合理的库存量乃是现代企业管理的一个重要课题。
需要注意的是，存贮问题的原型可以是真正的仓库存货，水库存水，也可以是计算机的存贮器的设计问题，甚至是大脑的存贮问题。
5微分方程模型
5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
K w L 1 r
w , r ,
K/L
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 • 投资增长率与产值成正比 假设 (用一定比例扩大再生产)
dK Q, 0
dt
• 劳动力相对增长率为常数
dL L
i0 0, s0 1
x 1 ln(1 x ) 0
s0
i
x<<s0
x(1
1
s0
x
2s02
)
0
x
2s0
(s0
1
)
P1
0 s 1/ s0
s
s0 - 1/ = x 2
小, s0 1
提高阈值1/ 降低 被传染人数比例 x
5.2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
dt
L(t) L0et
Q f Lg( y) g(y) y 0
dK f Ly
dt
0
y K , K Ly L
dK L dy Ly
dt dt
dK f Ly
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1
1
相轨线 i ( s ) 的定义域
D {( s , i ) s 0 , i 0 , s i 1}
ln
s s0
在D内作相轨线 i ( s ) 的图形，进行分析
0
D
s
1
模型4
相轨线 i ( s ) 及其分析
i
1 D
SIR模型
i ( s ) ( s 0 i0 ) s 1
模型4
di si i dt ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
SIR模型
消去dt
/
1 di 1 s ds i i0 ss
0
相轨线
i ( s ) ( s 0 i0 ) s
• 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
利用MATLAB求常微分方程的 解析解
• 例1：xy’+2y=ex的通解 syms x y y=dsolve('x*Dy+2*y-exp(x)','x')
1 s s0
P2
im
s 1 / , i im
s 满足
P1 P3
s 0 i0 s
ln
0
0
s
S0 1 /
s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0 P2: s0<1/ i(t)单调降至0
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
y
2 e ( x 1) e x
2
x
利用MATLAB求常微分方程的 解析解
例3 syms x y
y 3 y 2 y 0 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
y=dsolve('D2y-3*Dy+2*y','y(0)=0','Dy(0)=1','x')
di si i dt ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
无法求出 i ( t ), s ( t )
的解析解 在相平面 s ~ i 上
研究解的性质
i 0 s 0 1 ( 通常 r ( 0 ) r0 很小）
dQ/dt > 0
f0 g ( y) dL dt
1
f 0 Ly
2 1
[ f 0 (1 ) y
]
dQ dt
0 1 K0 / K0
(1 ) t 1 e 1
( A)
0 A 成立
0 当t
SI 模型
~日
接触率
建模
N [ i ( t t ) i ( t )] [ s ( t )] Ni ( t ) t
di dt si
s (t ) i (t ) 1
di i (1 i ) dt i(0 ) i 0
模型2
i 1 1/2 i0 0 tm
di i (1 i ) i dt i(0 ) i 0
~ 日接触率
1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
di dt
i (1 i ) i
/
>1
di dt
y0
1
K0 f0 K
0
f0 K y (t ) [1 (1 K
0
)e
(1 ) t
0
]
1
1
3) 经济增长的条件
Q f 0 Lg ( y ) g ( y) y
产值Q(t)增长
dQ dt f 0 L g ( y ) dy dt
t i1
?
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
增加假设
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型 3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
L
0
1
QK QL
QK QL
L
r w
K L
1
w r
K 1
w , r ,
K/L
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型)
要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件
模型 假设 • 投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产)
y C x
2
( x 1) e x
2
x
w=x*diff(y,x)+2*y-exp(x)
W=simple(w)
利用MATLAB求常微分方程的 解析解
• 例2：xy’+2y=ex在初始条件y(1)=2e下的特解 syms x y y=dsolve('x*Dy+2*y-exp(x)','y(1)=2*exp(1)','x')
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0 提高 r0
s 0 i 0 r0 1
群体免疫
ln s 0 ln s s0 s
的估计
s 0 i0 s 1
g ( y) y ,
z Q / L f0 g ( y )
Q f0L( K / L) Q ( K , L) f0K L
Q K , Q L 0
Q
2
0 1
g(y)
1
Douglas生产函数
2
K
2
,
Q
2
L
0
含义？
0
y
1. Douglas生产函数
0 , 1,
f0 0
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）
资金来自贷款，利率 r 资金和劳动力创造的效益 劳动力付工资 w
S Q rK wL
求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 劳动力占有的资金) ，使效益S最大
S K
KQ Q
K
0,
,
S L
LQ Q
di 1 si i di dt 1 s ds ds si i i0 dt ss i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
0
ln
s s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向
t , i 0
1 (1 ) ln( 1 )( 1
K0 / K0
), A 成立
3) 经济增长的条件
每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长
y e
2x
e
x
5.1 传染病模型
问题
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1
假设 建模
已感染人数 (病人) i(t)
• 每个病人每天有效接触 (足以使人致病)人数为
i (t t ) i (t ) i (t ) t
y f0y
dK dt
L
dy dt
Ly
Bernoulli方程
1 1
f0 f0 1 (1 ) t y (t ) ( y0 )e
y 0 K 0 / L0 , Q 0 f 0 K 0 L0
1
, K 0 Q0
Q ( t ) f 0 F ( K ( t ), L ( t ))
F为待定函数
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 静态模型
Q (K , L) f0F (K , L)
每个劳动 z Q 力的产值 L 模型假设
每个劳动 y K 力的投资 L
z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减
QK ~ 单位资金创造的产值
Q (K , L) f0K L
KQ Q
K
1
,
LQ Q
L
1
QL ~ 单位劳动力创造的产值
KQ
K
LQ L Q
~ 资金在产值中的份额
1- ~劳动力在产值中的份额
更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数
Q ( K , L) f0K L ,
2 s0
2
) 0
x 2 s 0 ( s 0
1
)
1/
s0
s
s0 - 1/ =
小, s0 1
x 2
提高阈值1/降低被 传染人数比例 x
5.2
经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 Q(t) 资金 K(t) 技术 f(t) = f0 劳动力 L(t)