第二章 数学模型微分方程

kf
i 测速发电机： uf K f
⑸消去中间变量：推出 ~ ug ( Mc )之间的关系：
Kg u M c g Kg ug Kc Tm
显然，转速 既与输入量
有关，也与干扰 M有关。 ug c
左 右
上式可以用与研究在给定电压或有 负载扰动转矩时，速度控制系统的 动态性能
T1T2
d 2uc duc T 2 uc ui 2 dt dt
这是所谓时间常数形式的微分方程。
2.2 系统数学模型的建立方法
二 、单个部件的数学模型（输入变量和输出变量之 间的关系）
1.比较器 2.放大器 3.电阻 4.电感
5.电容
y=v1-v2 y=k *v v=R*i di
eL
dt
微分方程求解方法
复习拉普拉斯变换有关内容（1）
第二章 自动控制系统的数学模型
基本要求
1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。 6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求 传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入 和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。
2-2
2-3
由以上三式消去中间变量: ia (t ), Ea , M m (t )
工程应用中，电枢电路电感 La 较小，通常忽略不计 d m (t ) Tm m (t ) K1ua (t ) K 2 M c (t ) dt
输出变量 输入变量
电动机数学模型
R J 式中 是电动机机电时间常数 Tm a m ( Ra f m Cm Ce )
式中 r(t)：输入量 c(t)：输出量 ai ，bj ：常量 m、n ：输入量、输出量导数的最高阶次
控制系统的微分方程
系统的数学模型的建立方法举例 [例1]： 写出RLC串联电路的微分方程。 L R [解]：据基尔霍夫电路定理： di 1 i ( t ) u(t ) L Ri idt ui ① uc ( t ) C dt C
ug ue
-
运放Ⅰ
u1
运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc
电动机

uf
测速
⑷各环节微分方程：
运放Ⅰ： u1 k1 (ug u f ) k1ue 功率放大： ua k3u2
1 u1 ) u2 k2 (u ， 运放Ⅱ：
f
，反馈环节： u
电动机环节：
齿轮系环节：
m
kn ua kc M c Tm
[解]：图1和图2分别为系统原理结构图 f 和质量块受力分析图。图中，m为质量， m x fx f为粘滞阻尼系数，k为弹性系数。 图1 图2 根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： d 2x dx d 2x dx m 2 F f kx 整理得 m 2 f kx F dt dt dt dt 这也是一个二阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m、f和k的单位分别为： kg、N s / m、N / m
例： 设线性微分方程式为
d 2c(t ) dc(t ) c(t ) r (t ) dt dt
若 r (t ) r1 (t ) 时，方程有解 c1 (t ) ，而 r (t ) r2 (t )时， c 方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显 2 (t ) r2 (t ) r (t ) ＋ r1 (t ) 时，必存在解 然有，当 为 c(t ) c1 (t ) c2 (t ) ，即为可叠加性。
a 为实数，则方程解 若 r (t ) ar 1 (t ) 时， 为 c(t ) ac1 (t ) ，这就是齐次性。
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应 之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若 干倍，这就是叠加原理。
线性定常微分方程求解
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰， y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系 函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x 很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非 线性），即小偏差线性化。
df |x0 x k x ，简记为 y=kx。 可得 y dx 若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在 平衡点处可展成（忽略高次项）
i
dQ 1 , u idt dt c
6.电位器
7 发电机
按长度计算,或者按旋转角度计算
e k f (t )
8. 电动机
＋
La
＋
Ra
－
if
m
SM
ua
－
ia
－ Ea ＋
负 J ,f m m 载
图2－3 电枢控制直流电动机原理图 电枢控制直流电动机将输入的电能转换为机械能，拖动负 载运动： ua (t ) ia (t ) M m (t ) 直流电动机运动方程满足三个方程式： 1.)电枢回路电压平衡方程： ua (t ) La
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。 2. [定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F , m, f , k 分别与 q, ui , L, R, 1C 为相似量。 3. [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模 拟相对复杂的系统，实现仿真研究。
四 非线性微分方程的线性化
在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程 度的非线性，如下图所示。
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解 有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响， 近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时 （相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性， 如图中虚线所示。
控制系统的微分方程
三 微分方程举例 [例2-2] 求弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统的微分方程。设输 入量为外力F，输出量为位移x。
F m
k
F
kx
m
阻尼器是一种产生粘性摩擦的装置，由活塞和 充满油液的缸体组成。活塞和缸体之间的任何 相对运动都将受到油液的阻滞。阻尼器用来吸 收系统的能量并转变为热量而散失掉。
例如： 微分方程
L
R C
d 2uc(t) duc(t) LC RC uc(t) ui 2 dt dt
例如状态方程 例 RLC电路 输入: u(t) 输出: uc(t)
u(t )
i(t )
uc ( t )
状态变量 : uc ( t )、Βιβλιοθήκη Baidu ( t )
改写为
1 duc i( t ) dt C di 1 u R i 1 u c L L L dt
输出量项＝输入量项
相似系统和相似量
[需要讨论的几个问题]： 1、相似系统和相似量： 我们注意到RLC无源网络和弹簧质量阻尼机械系统的微分方程 形式是完全 一样的。 这是因为：若令 q idt （电荷），则例2-1①式的结果变为：

d 2q dq 1 L 2 R q ui dt dt C
解 列方程
duc C i( t ) dt L di Ri u u( t ) c dt
2、S域模型（传递函数）
包括：系统传递函数G(s)（经典控制论的核心模型）、 系统结构图(方块图)、信号流图
3 .信号流图
图2－1 S域模型及信号流图
4 . 频率特性（幅频特性，相频特性）也是一种数学 模型。
一 、 微分方程的建立的一般方法步骤：
1.分析各元件的工作原理，确定系统输入变量、 输出变量； 2. 根据基本定律列原始方程； 3. 消去中间变量, 得输入、输出微分方程； 4. 微分方程标准化 ，均按微分级阶次从大到小 排列。 左边（输出变量）=右边（输入变量）
微分方程的一般形式
d n c( t ) d n 1c ( t ) dc( t ) nm an a ... a a c ( t ) n 1 1 0 dt n dt n1 dt d m r (t ) d m 1 r ( t ) dr ( t ) bm bm 1 ... b1 b0 r ( t ) m m 1 dt dt dt
dia (t ) Ra ia (t ) Ea dt
2-1
2.)电磁转矩方程的转矩：扭转力矩，由电流引起
M m (t ) Cmia (t )
3.)电动机轴上的转矩平衡方程:
d m (t ) Jm f mm (t ) M m (t ) M c (t ) dt
转动角频 率导数 由电流或电 压产生的电 磁转动力矩 负载力矩
K1 Cm ( Ra f m Cm Ce ) , K2 Ra ( Ra f m Cm Ce )
K1 和k2是电动机 传递系数
如果电枢电阻 Ra 和 电动机的转动惯量 J m都很小，可忽略时， 还可以简化为
Cem (t ) ua (t )
可见,数学模型是由系统结构,元件参数以及基本 运动规律所决定的。
四. 数学模型的简化性和精确性
一个物理系统的数学模型不是唯一的。数学模型是在一 定的条件下，根据具体问题的要求建立的，是有一定针对性和 局限性的，都是有一定近似性的。因此，使用数学模型要注意 其前提条件和局限性。要合理选择和应用不同的模型。
例 电阻模型
图2－2 电阻模型
2.2 系统的微分方程的建立方法
f f z |( x0 , y0 ) x |( x0 , y0 ) y xv y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
叠加原理
叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或 叫齐次性）。
u
1 c C
idt
②
duc d 2uc duc LC RC uc ui 由②：i C ， 代入①得： 2 dt dt dt
2 d uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 这是一个线性定常二阶微分方程。 u ( t ) ur ( t ) c dt 2 L dt LC LC L 令： T1 ，T2 RC ，T1、T2的量纲为时间，称为电 路的时间常数。 R
x
（思考题：上述方程中为何没有受重力mg的影响？）
控制系统的数学模型
例2-3：速度控制系统
R2
微分放 大器
功放
ug
R2
R1
K1 +
R1
u1
C
K2 +
u2
加法器
K3 +
u3 SM
m

Mc
负 载
设定部件
uf
TG
传感器
分析步骤：
⑴该系统的组成和原理； ⑵该系统的输出量是 ，输入量是 ug ，扰动量是 M c ⑶速度控制系统方块图：
三 .数学建模方法 1 分析法（解析法（机理分析法））——对系统各部分 的 运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规 律分别写相应的运动方程（由工作模型导出数学模型）， 即变量间的数学表达式，并实验验证。 2 实验法（系统辨识方法）——对系统加入适当的测试 （激励）信号，记录输出响应，再用适当的数学关系模拟 其特性。实验方法适用于复杂、非常见的系统。
第二章 控制系统的数学模型
控制系统数学模型的建立、分类、应用等有关问题作一般性 的（概括性）讨论，为后续各章的系统分析奠定基础。 2.1 引言
一. 控制系统的数学模型
数学模型——描述系统中各变量之间相互关系的数学表达式
（方程、图）。数学模型是系统分析过程和系统设计过程的重 要基础,有了数学模型才可能对系统特性作定量分析、评价。 二. 控制系统数学模型的分类及形式 分为：静态（导数为零）的和动态（导数不为零）的模型 , 下面为动态的数学模型为主。 1、时域模型 包括：微分方程（线性，非线性）， 状态空间方程（状态 空间模型），（系统中各个变量都是时间t的函数）