3.1.1平均变化率及其求法(教学设计)

3.1.1平均变化率及其求法

第三类问题
求已知函数的最大最小值。
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力（求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
成交额随时间变化关系 Q = Q（t）时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差成交额变化快慢 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
10.53(亿元/小时) 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19
2013年11时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
B(2,100)
A(0,0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
t
问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快 (图象陡峭)、慢(图象平缓)？
20
0 1
2
3
4
5 天数
四
本课小结
从“形”刻画
课后作业：
1、与同学交流你探究“气球膨胀率问题”及“跳水问题”的心得。
课外作业： 1、搜寻有关微积分历史的资料，跟你的同学交流。 2、四人一小组，写一篇有关生活中变化率问题的小文章。
t(s)
0
3
7
14
20
平均变化率是曲线陡峭程度的数量化
探究.拓展：
平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？

高中数学_3.1.1 函数的平均变化率教学设计学情分析教材分析课后反思

函数的平均变化率本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修（文）1－1第三章导数及其应用中的内容，（理）2-2第一章中的内容，《平均变化率》。

为更好地把握这一课时内容，便于学生学习和理解，对本课时教学设计给予如下说明：一、教学内容分析：平均变化率主要通过大量的生活实例借助直观图形逐步引入“平均变化率”的概念，并在此基础上给出了它的两种应用——在生活中的应用以及在数学内部的应用。

本节课应着力渗透“局部以直代曲”思想、“数形结合”思想以及“极限（逼近）”思想，以便更好地为研究、学习后续的“瞬时变化率”乃至“导数的概念”奠定基础。

这节课是在学生在学习了函数、指、对数函数、幂函数、三角函数等知识后安排的一节内容，学生已经具备了一定的函数知识的素养。

本节课目的是在为导数的引出作必要的铺垫,在导数教学中起着承上启下的作用。

学好这一节，学生将会为以后理解导数的概念等知识打下一个良好的基础，同时学生对函数也有了更为完整的知识结构。

二、学生情况分析：同学们在物理中已经充分理解平均速度的概念，为函数的平均变化率打下了良好的基础。

且在之前的学习中，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为从数与形两方面考察函数的平均变化率提供了知识准备。

而平均变化率来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．但学生仅是比较熟悉平均速度，对于变量变化的快慢的认识以及表示比较模糊，还有，由实际问题抽象成函数表示，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

三、教学目标：知识与技能：(1)了解平均变化变化率的概念；(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。

情感、态度与价值观：(1)以实际生活为背景，引出平均变化率的相关内容，让学生感受到事物相联系的观点；(2)通过数形结合的手段解决问题，让学生体会到“无形不直观，无数不入微”的辩证思想；(3)通过本节的学习，体会数学模型在实际生活中的应用，提高数学的应用意识。

平均变化率教学设计赛课

平均变化率教学设计赛课教学设计赛课：平均变化率教学目标：1. 理解平均变化率的概念和意义；2. 掌握如何计算平均变化率；3. 能够应用平均变化率解决实际问题。

教学内容：1. 平均变化率的定义和公式；2. 平均变化率的计算方法；3. 平均变化率的应用。

教学步骤：第一步：导入活动（5分钟）通过一个小视频或图片展示不同的变化过程，引发学生对变化的思考，开启他们的学习兴趣。

第二步：概念解释（10分钟）1. 通过示例解释平均变化率的概念，例如一辆汽车在一段时间内行驶的平均速度。

2. 引导学生思考平均变化率的意义和应用领域，如物理、经济等。

第三步：计算方法（15分钟）1. 介绍平均变化率的计算公式：平均变化率= (终值- 起值) / (终点- 起点)。

2. 通过几个简单的例子，分步骤演示如何计算平均变化率。

3. 让学生在小组活动中尝试计算一些实际问题中的平均变化率，如身高的变化率、温度的变化率等。

第四步：应用实例讨论（20分钟）1. 准备一些与学生生活密切相关的实际问题，如某个城市的人口增长率、商品价格的变化率等。

2. 让学生分组讨论并计算问题中的平均变化率。

3. 学生自主汇报并解释他们的计算过程和结果，可以进行小组之间的交流和辩论。

第五步：拓展应用（15分钟）1. 引导学生思考在其他学科或领域中的平均变化率的应用，如物理运动、经济增长等。

2. 引导学生分组进行课外调研，选择一个感兴趣的领域，探索和分析该领域中的平均变化率应用，并制作简单的报告或展示。

第六步：总结和归纳（10分钟）1. 与学生一起总结平均变化率的概念、计算方法和应用领域。

2. 引导学生思考平均变化率与其他数学概念的联系，如斜率、导数等。

第七步：作业布置（5分钟）布置一些练习题让学生巩固所学知识，并要求他们思考如何应用平均变化率解决实际问题。

教学评估：1. 观察学生在小组活动中的参与程度和解题能力，评估其对平均变化率的理解程度；2. 收集学生的小组讨论结果和汇报，评价其对平均变化率应用的能力。

函数的平均变化率教案

函数的平均变化率教案教学目标：1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；2. 学会计算函数的平均变化率；3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。

教学内容：第一章：函数的平均变化率的概念1.1 引入函数的平均变化率的概念1.2 解释函数的平均变化率的含义1.3 举例说明函数的平均变化率的应用第二章：函数的平均变化率的计算2.1 引入计算函数的平均变化率的方法2.2 讲解如何计算函数的平均变化率2.3 给出计算函数的平均变化率的例题第三章：函数的平均变化率的性质3.1 引入函数的平均变化率的性质3.2 讲解函数的平均变化率的性质3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题第五章：巩固练习5.1 给出巩固练习的题目5.2 讲解巩固练习的解法5.3 给出巩固练习的答案教学资源：1. 教学PPT；2. 教材或教案；3. 练习题。

教学评估：1. 课堂参与度；2. 练习题的完成情况；3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。

教学步骤：Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）1. 讲解函数的平均变化率的定义；2. 举例说明函数的平均变化率的应用。

Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）1. 讲解如何计算函数的平均变化率；2. 给出计算函数的平均变化率的例题。

Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）1. 讲解函数的平均变化率的性质；2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。

Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。

Step 5：巩固练习（15分钟）1. 给出巩固练习的题目；2. 讲解巩固练习的解法；3. 给出巩固练习的答案。

函数的平均变化率教案

函数的平均变化率教案一、教学目标1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。

2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。

3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。

二、教学内容1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算3. 函数的平均变化率的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。

2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。

2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。

3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。

五、教学过程1. 导入：通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。

2. 新课讲解：讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。

讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。

3. 案例分析：给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。

4. 课堂练习：布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。

提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

六、课后作业1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。

七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。

八、教学反思在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。

九、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解函数的平均变化率的概念和计算方法。

平均变化率教案及教案说明

平均变化率教案及教案说明
一、概念解释
1、平均变化率：平均变化率是衡量物价、成本和收入水平上涨的标准，它用来分析一段时间内的价格是否发生了变化以及变化是否稳定。

2、计算公式：平均变化率=（末期价格-初期价格）/ 末期价格
二、具体教学内容
1、讲解平均变化率的概念：首先要清楚地讲解平均变化率的概念，特别是物价、成本和收入水平上涨的标准；
2、计算实例分析：然后我们向学生们提出一些实际的问题，让他们自己查找资料，模拟这些问题，然后用公式计算出平均变化率；
3、优点和缺点：针对这个概念，我们可以让学生们讨论其优点和缺点。

例如它可以用来衡量价格变化的速度和程度，以及可以帮助人们观察物价的发展史等；
4、总结评价：最后，我们可以总结这节课的内容，让学生们以自身的经验和认识来评价平均变化率这一金融概念。

三、教学目标
通过学习本节课，使学生们掌握平均变化率的概念，熟练掌握计算公式，对它的优点和缺点有清楚的认识，并能运用在实际的应用中。

四、教学重点
1、理解平均变化率的概念；
2、熟练掌握计算公式；
3、了解它的优点和缺点；
4、掌握实用的应用方法。

五、教学方法
1、启发式教学法：要让学生们从具体的实例出发，对平均变化率做出合理的推断；
2、开放式教学法：在给学生教授知识的过程中，要加入开放式的问题，让学生们自主研究解决，从而培养学生的思维能力、分析解决问题的能力；
3、互动式教学法：培养学生对平均变化率这一金融概念的认知，可以创设一些情境，让学生作出选择，进行交流、讨论，使他们更加深入的理解这个概念。

《3.1.1函数的平均变化率》教学案3

《3.1.1函数的平均变化率》教学案
教学目标：
1.知识与技能
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
2.过程与方法
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；
3.情感、态度与价值观
感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点：
平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解
教学难点：
平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释
教学关键：
将学生头脑中的感性认知，通过多个事例，在不同的情境下，进行相同的计算程序.由此学生抽象建构出函数平均变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法，特别是数形结合的数学能力和“以直代曲”的转化能力.
教学过程：
的方法，可以用比值
引导学生先分析平直山路OA段的斜率表示
山路的陡峭程度；再进一步研究曲线的如何表
①从图象上看，
图象，那一段更“陡峭”？
②如何量化曲线在
结论：平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上
问题1：那个企业的治污效果好一些？
结论：曲线越“陡峭”
化率的绝对值越大
例3：如图所示，已知函数在区间[-1，1]上的平均变化率
问题：结合图象分析用
曲线段的陡峭程度是否准确？。

《平均变化率》教案及教案说明

《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标：1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。

2. 让学生掌握平均变化率的计算方法。

3. 让学生能够应用平均变化率解决实际问题。

二、教学内容：1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。

2. 教学难点：平均变化率的计算方法及应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究平均变化率的定义、计算方法及应用。

2. 利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，增强学生对概念的理解。

3. 开展小组讨论，让学生在合作中思考、交流，提高解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出平均变化率的概念。

2. 讲解与演示：讲解平均变化率的定义，展示相关图形，让学生直观理解。

3. 自主学习：学生自主探究平均变化率的计算方法。

4. 小组讨论：学生分组讨论，分享各自的方法，互相学习。

5. 练习与应用：布置练习题，让学生巩固所学知识，并应用到实际问题中。

6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何更好地运用平均变化率解决实际问题。

7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。

教案说明：本教案以学生为主体，注重培养学生的自主学习能力、合作意识及解决问题的能力。

在教学过程中，充分利用多媒体课件，直观展示平均变化率的图形，有助于学生更好地理解概念。

通过生活中的实例，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。

在练习与应用环节，注重让学生将所学知识运用到实际问题中，提高学生的数学素养。

本教案旨在让学生掌握平均变化率的知识，培养学生的数学思维能力。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对平均变化率定义的理解程度。

2. 练习题：收集学生的练习作业，评估学生对平均变化率计算方法的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作能力和问题解决能力。

教学设计1：3.1.1 函数的平均变化率

3.1.1 函数的平均变化率【教材分析】（一）三维目标（1）知识与技能1）理解平均变化率的概念； 2）了解平均变化率的几何意义； 3）会求函数在某点处附近的平均变化率。

（2）过程与方法培养分析问题、解决问题的能力。

（3）情感、态度与价值观通过本节课知识的学习，进一步体现了数学源于生活，又应用于生活的意识。

（二）教学重点函数在某一小区间的平均变化率。

（三）教学难点平均变化率的概念。

（四）教学建议本节课在理解定义的基础上，可由学生独立完成例1，教师指导分析；例2可由教师引导学生完成。

另外可以适当补充练习，如：求函数x x f =)(在)0(00>=x x x 附近的平均变化率。

【教学过程】一、引入：1、情境设置：（图片）巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题。

二、例举分析：（一）登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A 是登山者的出发点,H 是山顶,登山路线用y=f(x)表示问题：当自变量x 表示登山者的水平位置，函数值y 表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选取平直山路AB 放大研究若),(),,(1100y x B y x A自变量x 的改变量：01x x x -=∆ 函数值y 的改变量：01y y y -=∆ 直线AB 的斜率： xyx x y y k ∆∆=--=0101说明：当登山者移动的水平距离变化量一定（x ∆为定值）时，垂直距离变化量（y ∆）越大，则这段山路越陡峭； 2、选取弯曲山路CD 放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1的陡峭程度可用直线CD 1的斜率表示。

（图略）结论：函数值变化量（y ∆）与自变量变化量)(x ∆的比值xy∆∆反映了山坡的陡峭程度。

高中数学平均变化率教案

高中数学平均变化率教案一、教学目标：1. 掌握平均变化率的概念；2. 能够计算函数在两点之间的平均变化率；3. 能够应用平均变化率解决实际问题。

二、教学重点和难点：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 能够准确应用平均变化率解决实际问题。

三、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）：通过一个生活中的例子引入平均变化率的概念，让学生了解平均变化率的重要性和应用场景。

2. 讲解平均变化率的概念和计算方法（10分钟）：通过具体的数学例题讲解平均变化率的定义和计算公式，并让学生掌握平均变化率的计算方法。

3. 练习题讲解（15分钟）：通过一些实例题和应用题，引导学生熟练掌握平均变化率的计算方法和解题技巧。

4. 小组讨论（10分钟）：分成小组，让学生根据所学知识讨论解决实际问题的方法，并在小组中相互讨论和交流。

5. 整合巩固（10分钟）：让学生根据所学知识，解决一些复杂的实际问题，巩固平均变化率的应用能力。

6. 课堂小结（5分钟）：对本节课学习内容进行总结，强调平均变化率的重要性和应用意义。

四、板书设计：1. 平均变化率的概念和计算方法；2. 函数在两点之间的平均变化率公式；3. 应用平均变化率解决实际问题的步骤。

五、课后作业：1. 完成课堂练习题；2. 练习书上相关练习题目；3. 总结平均变化率的概念和应用方法，写一份小结。

六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了平均变化率的概念和应用方法，并能够熟练解决相关问题。

同时，也发现了学生在计算过程中容易犯的错误和不足之处，需要加强课后练习和巩固。

通过不断总结和反思，提高自己的教学水平，更好地引导学生学习。

《3.1.1变化率问题》教学案

3.1.1《变化率问题》教学案教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.教学重点：1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一、创设情景(1) 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？(2) 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．二．新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(πV V r =分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时，气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时，气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.)如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t ≤0.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．(1)让学生亲自计算和思考，展开讨论；(2)老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.(3)得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；(二)平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示，称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆， )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3．则平均变化率为=∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么？ (1) 师生一起讨论、分析，得出结果；(2) 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx =x 2-x 1；②求函数的增量Δf =f (x 2)-f (x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ；③Δf =Δy =y 2-y 1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy ________．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-， ∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率.解：2020)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2020)( x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 __________． 2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动，求在4s 附近的平均变化率.3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P (1，1)和Q (1+Δx ，1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.五．回顾总结让学生进行课堂小结.(1) 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，比值气球膨胀率越来越小；(2) 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；(3) 函数的平均变化率的概念；(4) 求函数的平均变化率的步骤；(5) 课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？(6) 思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念．。

高中数学人教版选修1-1 3.1.1变化率问题教案1

3.1.1变化率问题教学目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学过程：情景导入：展示目标: 知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。

精讲精练：例1过曲线3==上两点(1,1)y f x x()+∆+∆作曲线的割线，求出当0.1P和(1,1)Q x y∆=时割x线的斜率.例2已知函数2=，分别计算()()f x xf x在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.反思总结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆ T(月)6 3 9 12【板书设计】：略【作业布置】：略。

高中数学_3.1.1 函数的平均变化率教学设计学情分析教材分析课后反思

函数的平均变化率本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修（文）1－1第三章导数及其应用中的内容，（理）2-2第一章中的内容，《平均变化率》。

为更好地把握这一课时内容，便于学生学习和理解，对本课时教学设计给予如下说明：一、教学内容分析：平均变化率主要通过大量的生活实例借助直观图形逐步引入“平均变化率”的概念，并在此基础上给出了它的两种应用——在生活中的应用以及在数学内部的应用。

本节课应着力渗透“局部以直代曲”思想、“数形结合”思想以及“极限（逼近）”思想，以便更好地为研究、学习后续的“瞬时变化率”乃至“导数的概念”奠定基础。

这节课是在学生在学习了函数、指、对数函数、幂函数、三角函数等知识后安排的一节内容，学生已经具备了一定的函数知识的素养。

本节课目的是在为导数的引出作必要的铺垫,在导数教学中起着承上启下的作用。

学好这一节，学生将会为以后理解导数的概念等知识打下一个良好的基础，同时学生对函数也有了更为完整的知识结构。

二、学生情况分析：同学们在物理中已经充分理解平均速度的概念，为函数的平均变化率打下了良好的基础。

且在之前的学习中，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为从数与形两方面考察函数的平均变化率提供了知识准备。

而平均变化率来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．但学生仅是比较熟悉平均速度，对于变量变化的快慢的认识以及表示比较模糊，还有，由实际问题抽象成函数表示，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

三、教学目标：知识与技能：(1)了解平均变化变化率的概念；(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。

情感、态度与价值观：(1)以实际生活为背景，引出平均变化率的相关内容，让学生感受到事物相联系的观点；(2)通过数形结合的手段解决问题，让学生体会到“无形不直观，无数不入微”的辩证思想；(3)通过本节的学习，体会数学模型在实际生活中的应用，提高数学的应用意识。

平均变化率教案

平均变化率教案教案标题：平均变化率教案教学目标：1. 理解平均变化率的概念和计算方法。

2. 能够应用平均变化率解决实际问题。

3. 培养学生的分析和解决问题的能力。

教学重点：1. 平均变化率的定义和计算方法。

2. 平均变化率在实际问题中的应用。

教学难点：1. 将平均变化率的概念和计算方法应用到实际问题中。

2. 培养学生的问题解决能力。

教学准备：1. 教师准备：课件、教案、教具、实例题目。

2. 学生准备：学生书、作业本、计算器。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过提问和引入实际问题，激发学生对平均变化率的兴趣。

例如，教师可以问学生：你们有没有遇到过需要计算平均速度、平均增长率等的问题？Step 2：概念讲解（10分钟）教师通过课件或板书讲解平均变化率的定义和计算方法。

教师可以使用数学符号和实例来解释概念，确保学生理解。

Step 3：计算练习（15分钟）教师提供一些简单的计算练习，让学生通过计算来巩固对平均变化率的理解。

教师可以提供一些实例题目，引导学生使用平均变化率的计算公式解决问题。

Step 4：应用实例（15分钟）教师通过提供一些实际问题，引导学生将平均变化率应用到实际情境中。

例如，教师可以给出一道题目：某公司的销售额在过去三年分别为100万、120万和150万，请计算该公司的平均年增长率。

Step 5：讨论与总结（10分钟）教师引导学生讨论平均变化率的应用和计算方法，总结本节课的重点和难点。

教师可以提出一些问题，让学生进行思考和讨论。

Step 6：作业布置（5分钟）教师布置相关的作业，巩固学生对平均变化率的理解和应用能力。

作业可以包括计算练习和实际问题的应用。

教学延伸：1. 学生可以通过更复杂的实际问题来进一步应用平均变化率，如经济增长率、人口增长率等。

2. 学生可以通过学习导数的概念和方法，进一步深入理解平均变化率的意义和应用。

教学评估：1. 教师可以通过课堂练习和作业完成情况来评估学生对平均变化率的掌握程度。

《平均变化率》教案及教案说明

《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。

2. 引导学生掌握平均变化率的计算方法。

3. 培养学生运用平均变化率解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：平均变化率的定义、计算方法及应用。

2. 教学难点：平均变化率的计算方法。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究平均变化率的定义和计算方法。

2. 利用几何图示法，帮助学生理解平均变化率的意义。

3. 运用实例分析法，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。

五、教学准备1. 教学课件：平均变化率的定义、计算方法及应用。

2. 练习题：包括不同类型的题目，以便巩固所学知识。

教案说明：本教案以学生理解为出发点，通过问题驱动、几何图示和实例分析等教学方法，让学生掌握平均变化率的定义、计算方法及其应用。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、积极思考，培养学生的数学思维能力。

教学过程分为三个部分：1. 引入：通过实例引导学生关注变化率的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：讲解平均变化率的定义、计算方法，并结合几何图示帮助学生理解。

3. 应用：运用实例分析，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。

在教学过程中，关注学生的学习情况，及时进行反馈和调整教学方法，以确保教学效果。

布置练习题，让学生在课后巩固所学知识。

六、教学步骤1. 引入：通过一个实际问题，如物体运动的速度与时间的关系，引导学生关注变化率的概念。

2. 讲解：讲解平均变化率的定义，即物体在某段时间内的位移与时间的比值。

通过几何图示，如直线、曲线，帮助学生理解平均变化率的几何意义。

3. 计算：讲解平均变化率的计算方法，即求解位移关于时间的导数。

给出具体的计算示例，让学生跟随步骤进行计算。

4. 应用：运用实例分析，让学生学会运用平均变化率解决实际问题。

例如，分析物体在不间段的平均速度，或者计算物体在某段时间内的平均加速度。

【数学】3.1《平均变化率》教案(新人教A版选修1-1)

知识改变命运，学习成就未来平均变化率一.教材依据平均变化率二.设计思想指导思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“,．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟.三.教学目标1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；3.掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平均变化率解析生活中的实际问题；4.通过分析实例，初步探究由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，让学生体会用已知探究未知的思考方法．四.教学重点1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；五.教学难点1.如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；六.教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．七.教学过程1.教学基本流程：欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚邮箱：zxjkw@第 1 页共 8 页。

高中数学 3.1.1《平均变化率》教学案苏教版选修1-1

平均变化率（一）教学目标1、通过大量实例，了解的计算，并能掌握求一个函数在某一区间内的平均变化率。

2、理解的几何意义。

教学重难点：平均变化率的几何意义。

课前预习：（1）令21()()f f x f x ∆=-或1121()(),f f x x f x x x x ∆=+∆-∆=-，函数()f x 在12[,]x x 上的可简记作，式中,x f ∆∆可正可负。

（2）平均变化率的几何意义：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率是过点，两点的割线的斜率。

典型例题：例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

例2水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t 秒后容器甲中的水的体积t e t V 1.05)(-=（单位3cm ），计算第一个s 10内V 的。

例3已知函数2)(x x f =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）]3,1[ （2）]2,1[ （3）]1.1,1[ （4）]001.1,1[例4已知函数x x g x x f 2)(,12)(-=+=，分别计算在区间]1,3[--，]5,0[上()f x 及)(x g 的。

课堂练习：1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？2、国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（其中)(1t W ，)(2t W 分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果。

3、已知13)(+=x x f ，求()f x 在区间],[b a 上的：（1）2,1=-=b a （2）1,1=-=b a （3）9.0,1-=-=b a4、求经过函数2x y =图像上两点B A ,：（1）001.1,1==B A x x （2）9.0,1==B A x x（3）99.0,1==B A x x （4）999.0,1==B A x x课堂小结：。

平均变化率问题教学设计3

平均变化率问题教学设计2“变化率问题”的教学设计浙江省衢州高级中学舒燕芳一.内容和内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。

本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。

二.目标和目标解析目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

三.教学问题诊断分析吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。

从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。

但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。

四.教学支持条件分析为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等。

1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。

2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

3.1.1《平均变化率》教案(苏教版选修1-1)

课时 1：均匀变化率教课目的：（一）知识目标1 ．感觉均匀变化率宽泛存在于平时生活之中，经历运用数学描绘和刻画现实世界的过程，领会数学的广博精湛以及学习数学的意义。

2 ．理解均匀变化率的意义，为后续成立刹时变化率和导数的数学模型供给丰富的背景。

（二）能力目标领会均匀变化率的思想及内涵（三）感情态度与价值观使学生拥有豪迈的科学态度，相互合作的风格，勇于研究，踊跃思虑的学习精神教课要点：均匀变化率的实质意义与数学意义教课难点：对生活现象作出数学解说教课过程：一．问题情境（ 1）情境某人走路的第 1 秒到第 34 秒的位移时间图象如下图：（ 2）问题 1：“从 A 到 B 的位移是多少？从 B 到 C 的位移是多少？”问题 2：“ AB 段与 BC 段哪一段速度较快？”二．师生活动（1）速度快慢是生活用语，如何将它数学化？（2）曲线上 BC 之间一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？（ 3）由点 B 上涨到 C 点一定观察y C y B的大小，但仅注意到y C y B的大小可否精确量化 BC 段峻峭的程度？为何？（ 4）在观察y C y B的同时一定观察x C x B，函数的实质在于一个量的改变自己就隐含着这类改变必然相关于另一个量的改变而言。

三．建构数学（ 1）经过比较位移在区间1,32 上的均匀变化率0.5 与位移在区间32,34上的均匀变化率 7.4 ，感知曲线峻峭程度的量化。

（ 2）一般地，给出函数f x2f x1 f x 在区间 x1 , x2上的均匀变化率x2x1（ 3）回到位移曲线图中，从数和形双方面对均匀变化率进行意义建构（ 4）用均匀变化率来量化一段曲线的峻峭程度是“粗拙不精准的”，但应注意当 x2 x1很小时，这类量化便由“粗拙”强迫“精准”。

四．讲堂练习学生议论 P57 练习 1，发布看法。

教师补例：甲、乙两汽车，速度从判两车的性能？0km / h 分别加快到100k / h 和 80k / h ，如何评五．数学应用例 1． P56 页例 1、例 2，并注意小结（1）如何解说例 1 中从出生到第 3 个月，婴儿体重均匀变化率为1（kg /月）？（2）例 1 中两个不一样的均匀变化率的实质意义是什么？（3）例 2 中V t5e 0.1t是一个随时间变化而变化的量，0.316（cm3/ s ）是否表示 10 秒内每一时辰容器甲中水的体积V 减少的速度？例 2． P57 页例 3、例 4，并注意小结（1）例3、例4均为数学内部的例子，是例1、例 2 的深入（2）例 3 中四个区间的变化致使均匀变化率有如何的变化？这类变化的实质意义和数学意义分别是什么？（3）例 4 讲完后应让学生当堂回答课本中的思虑。

3.1.1平均变化率及其求法(教学设计)