2-2.2.1二项式分布的应用——条件概率
二项分布应用举例
二项分布及其应用知识归纳1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表示，其公式为P (B |A )＝ .在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝ . (2)条件概率具有性质：① ；②如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ＋C |A )＝ ． 2．相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝ ， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝ ．(3)若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则 ． 3．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种相互对立的结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 (p 为事件A 发生的概率)，若一个随机变量X 的分布列如上所述，称X 服从参数为n ，p 的二项分布，简记为 ．自我检测1．(2011·辽宁高考，5)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25D.12解析：条件概率P (B |A )＝P AB P A P (A )＝C 23＋1C 25＝410＝25，P (AB )＝1C 25＝110，∴P (B |A )＝11025＝14.2．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)等于( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫58238 C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582解：事件{ξ＝12}表示第12次取到红球，前11次取到9个红球，故P (ξ＝12)＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38.3．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23 D.34解析：∵甲、乙两队决赛时每队赢的概率相等，∴每场比赛甲、乙赢的概率均为12.记甲获冠军为事件A ，则P (A )＝12＋12×12＝344．(2010·福建高考，13)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．解析：由题设分两种情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4. (2)第1、2个错误，第3、4个正确，由互斥事件的概率公式得P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. ∴P ＝P 1＋P 2＝0.128. 5．(2011·上海高考，12)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．解析：设事件A 为“至少有2位同学在同一月份出生”，则A 的对立事件A 为“所有人出生月份均不相同”，则P (A )＝1－P (A )＝1－A 912129＝1－12×11×10×9×8×7×6×5×4129≈1－0.015 5＝0.984 5≈0.985.题型讲解例1.(2011·湖南高考，15)如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________.[解析] ∵P (A )＝S 正方形S 圆＝22π＝2π. P (B |A )＝P AB P A ＝S △EOH S 正方形＝14.[规律方法]……………►►条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P ABP A.这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.练习1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．解析：(1)①P (A )＝26＝13. ②∵两个骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个．∴P (B )＝1036＝518. ③当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P (AB )＝536. (2)由(1)知P (B |A )＝P ABP A ＝53613＝512.例2.(2012·重庆高考，18)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率． 解析] 设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)P (B 3) ＝23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1327. (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (D )＝P (A 1 B 1 A 2B 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3) ＝P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427. [规律方法]……………►►(1)相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生；(2)求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件的概率往往比较简单．练习2．(2011·山东高考，18改编)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列．解析：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F .则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DE F )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知D E F、D E F、D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：例3.(2010·四川高考，17改编)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率，(2)求中奖人数Ｘ的分布列．[解析] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16.P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216.甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3. P (Ｘ＝k )＝C k 3 ⎛⎪⎫16k ⎛⎪⎫563－k，k ＝0,1,2,3.所以中奖人数X 的分布列为[规律方法]………………►►(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． (2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数．练习3．(2012·四川高考，17)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．解析：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1－P (C －)＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ， 那么P (D )＝C 23110·(1－110)2＋(1－110)3＝9721000＝243250. 故系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为243250.例4.(2013·苏州模拟)一个袋中装有黑球、白球和红球共n (n ∈N *)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25.现从袋中任意摸出2个球．(1)若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布列；(2)当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？[解析] (1)设袋中黑球的个数为x 个，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则P (A )＝x15＝25.∴x ＝6. 设袋中白球的个数为y 个，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则P (B )＝1－C 215－yC 215＝47，∴y 2－29y ＋120＝0，∴y ＝5或y ＝24(舍)．∴红球的个数为15－6－5＝4(个) ∴随机变量ξ的取值为0,1,2ξ 0 1 2P1122 44105 235(2)设袋中有黑球z 个，则z ＝25n (n ＝5,10,15，…)．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则P (C )＝1－C 235nC 2n ＝1625＋625×1n －1，当n ＝5时，P (C )最大，最大值为710.强化训练1．抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值等于( )A.13B.118C.16D.19 解析：由题意知P (A )＝1236＝13，P (AB )＝236＝118，∴P (B |A )＝P ABP A ＝11813＝16.2．(2010·辽宁高考)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16解析：设事件A ：“一个实习生加工一等品”，事件B ：“另一个实习生加工一等品”，由于A 、B 相互独立，则恰有一个一等品的概率P ＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A )＝P (B )＋P (A )P (B )＝23×14＋13×34＝512.3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576解析：A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.4．位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 25C 35(12)5解析：质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123，故选B.5．如果ξ～B (15，14)，则使P (ξ＝k )取最大值的k 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．3或4解析：(特殊值法)∵P (ξ＝3)＝C 315⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫3412， P (ξ＝4)＝C 415⎝ ⎛⎭⎪⎫144⎝ ⎛⎭⎪⎫3411，P (ξ＝5)＝C 515⎝ ⎛⎭⎪⎫145⎝ ⎛⎭⎪⎫3410从而易知P (ξ＝3)＝P (ξ＝4)>P (ξ＝5)．6．(2012·重庆高考，15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节间接法，分两，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答解析：使用间接法，分两类：①某两节文化课之间间隔2节艺术课方法数为C 23·A 22·C 12·C 13·A 33＝216种．②某2节文化课之间间隔3节艺术课方法数为：C 12·A 33·A 33＝72种，故所求事件概率为P ＝1－216＋72A 66＝1－25＝35. 7．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋18解：小球落入A 袋左侧的概率为12×12×12＝18，同理落入右侧的概率为18，∴P＝34. 8．(2010·安徽高考，15)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 解析：对①，P (B )＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922；②，P (B |A 1)＝C 15C 111＝511；③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝522知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．故事件B 与事件A 1不是相互独立事件；④，从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他，故两两互斥； ⑤，由①可算得． 答案：②④9．(2011·大纲卷，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望．解析：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；(1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ＋B ，P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8. (2)D ＝C ，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2，X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布，所以期望EX ＝100×0.2＝20.10．(2011·天津高考，16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)． (1)求在1次游戏中；(ⅰ)摸出3个白球的概率；(ⅱ)获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望EX .解析：(1)(ⅰ)设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3)，则P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15.(ⅱ)设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B ＝A 2∪A 3.又P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12，且A 2，A 3互斥，所以P (B )＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102＝9100，P (X ＝1)＝C 12710⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100. 所以X 的分布列是X 的数学期望EX ＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75. 11．(2012·山东高考，19)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . 解析：(1)记该射手命中“甲”、“乙”靶分别为事件A ，B . 由已知P (A )＝34，P (B )＝23.记“该射手恰好命中一次”为事件C ，因为每次射击结果相互独立，∴P (C )＝P (A B B )＋P (A B B )＋P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋2×14×23×13＝736.(2)由已知，X 的可能取值有：0,1,2,3,4,5，P (X ＝0)＝P (A B B )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136；P (X ＝1)＝P (A B B )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝112；P (X ＝2)＝P (A B B )＋P (A B B )＝2×14×23×13＝19；P (X ＝3)＝P (AB B )＋P (A B B )＝2×34×13×23＝13； P (X ＝4)＝P (A BB )＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝19； P (X ＝5)＝P (ABB )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝13， ∴X 的分布列如下：∴EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
2019年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率(1)学
2019年高中数学第二章随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率（1）学案新人教A版选修2-3【学习目标】1．通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
2．掌握一些简单的条件概率的计算。
3．通过对实例的分析，会进行简单的应用。
【重点难点】重点：利用条件概率公式解决一些简单的问题难点：利用条件概率公式解决一些简单的问题【学习过程】一.课前预习1.古典概型2.几何概型3.互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()+=+P A B P A P B 4．探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.思考1:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？思考2:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢二.课堂学习与研讨1．条件概率的定义设A和B为两个事件，P(A)>0，那么，在“A已发生”的条件下， B发生的条件概率（读作A 发生的条件下 B 发生的概率．定义为.2．条件概率的性质：（1）非负性：对任意的Af. ；（2）规范性：P（|B）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则=+.P B C A P B A P C A(|)(|)(|)类型1 利用定义求条件概率例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：(l）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．例2.一张储蓄卡的密码共位6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率例3掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是点的概率是多少？（2）在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是点的概率又是多少？【归纳升华】求条件概率时一般应用其定义式求解，其推导是利用古典概型概率公式进行的，应注意是事件与事件B同时发生的概率，，其中是所有基本事件的集合．因而求条件概率也可以直接利用古典概型求解．从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数，事件“取到的两个数之和为偶数”，事件“取到的两个数均为偶数”，则( )A. B. C. D.【当堂检测】1．已知，，则( )A. B. C. D.2．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则和分别等于 .3．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于 . 4．有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是( )A. B. C. D.【课堂小结】1.条件概率（1）条件概率揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之间的关系，即若，有或，反映了“知二求一”的关系．（2）条件概率的计算方法有两种：①利用定义计算，先分别计算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式.②利用缩小样本空间计算（局限在古典概型内），即将原来的样本空间缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为AB，利用古典概型计算概率：.2.条件概率的性质如果B和C是两个互斥事件，那么(|)(|)(|)=+．P B C A P B A P C A注意：利用该公式可使求有些条件概率较为简捷，但应注意这个性质在“B与C 互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式.【作业】1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P（A），P（B），P（AB），P（A︱B）。
2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率课件
答案：23
3 5
探究一 条件概率的计算 [典例 1] 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果 不放回地依次抽取 2 个节目，求： (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率．
[双基自测]
1．设 A，B 为两个事件，且 P(A)>0，若 P(AB)＝31，P(A)＝23，则 P(B|A)＝( )
1
2
A.2
B.9
1
4
C.9
D.9
1 解析：由 P(B|A)＝PPAAB＝32＝21，故选 A.
3
答案：A
2．下列说法正确的是( )
A．P(B|A)＝P(AB) C．0<P(B|A)<1
又 P(A)＝0.9，P(B|A)＝PPAAB，得 P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72. [答案] 0.72
[错因与防范] 处容易误将事件 B|A 认为事件 AB，导致答案不正确．解决此类问
题的关键是细心审题，首先明确是否为条件概率问题，然后正确设出“事件 A”“事 件 AB”“事件 B|A”，在此基础上，选择恰当的概率公式．如本例中若将“事件 B|A” 和“事件 AB”混淆，则易造成解题失误.
1．某气象台统计，该地区下雨的概率为145，刮四级以上风的概率为125，既刮四级以
上的风又下雨的概率为110，设 A 为下雨，B 为刮四级以上的风，求 P(B|A)．
1 解析：由题意知 P(A)＝145，P(B)＝125，P(AB)＝110，故 P(B|A)＝PPAAB＝140＝38.
15
【数学】2.2《 二项分布及其应用课件(新人教A版选修2-3)
独立事件一定不互斥. 独立事件一定不互斥 互斥事件一定不独立. 互斥事件一定不独立 明确事件中的关键词， 明确事件中的关键词，如，“至少有一个发生”“至 至少有一个发生”“至 ”“ 多有一个发生” 恰有一个发生” 多有一个发生”，“恰有一个发生”，“都发 ”“都不发生 都不发生” 不都发生” 生”“都不发生”，“不都发生”。
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p), 此时称随机变量 服从二项分布，记作 服从二项分布 并称p为成功概率 为成功概率。 并称 为成功概率。
复习回顾
二项分布 3、
在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次 在一次试验中某事件发生的概率是 ，那么在 次 独立重复试验中这个事件恰发生 恰发生ξ 显然 显然ξ 独立重复试验中这个事件恰发生ξ次,显然ξ是一个随机 变量. 变量. 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： 于是得到随机变量 的概率分布如下： 的概率分布如下 ξ p
例 1 考虑恰有三个小孩的家庭 （假定生男生女为 考虑恰有三个小孩的家庭.
等可能） 等可能）
（1）若已知某一家有一个是女孩，求这家另两个是男孩的概率 ）若已知某一家有一个是女孩， （2）若已知某一家第一个是女孩，求这家另两个是男孩的概率 ）若已知某一家第一个是女孩，
(女、女、女)； (女、女、男)； (女、男、女)；(女、男、男)； ( 男、女、女) ； ( 男、女、男) ； ( 男、男、女) ； ( 男、男、男) ；
B
A
复习回顾
1、事件的相互独立性 、 为两个事件， 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 ， 为两个事件 则称事 与事件B相互独立 件A与事件 相互独立。 与事件 相互独立。 即事件A（ 对事件B（ 即事件 （或B）是否发生 对事件 （或A）发生的 ）是否发生,对事件 ） 概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 概率没有影响，
第16讲 二项分布及其应用
第16讲 二项分布及其应用第一部分 知识梳理1.条件概率的定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率。
(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A = 由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅。
2.(|)P B A 的性质（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+。
更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=。
3.相互对立事件的定义设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) 。
事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。
4.相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅。
5.对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系：6.独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。
)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+7.独立重复试验的概率公式一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(。
二项分布及其应用
二项分布及其应用二项分布及其应用◇条件概率◇一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。
1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。
（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。
2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。
（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。
例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。
（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。
3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。
例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.2.1 条件概率》8
条件概率教学设计课标分析《条件概率》是人教B 版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3 第二章随机变量及其分布中，二项分布及其应用的第一课时的内容，主要包括：（1）条件概率的概念；（2）条件概率的性质；（3）条件概率公式的简单应用。
《条件概率》的内容，利用“抽奖”这一典型案例，以无放回抽取奖券的方式，通过对有无“第一名同学没有中奖”条件，最后一名同学中奖的概率的比较，引出条件概率的概念，给出了条件概率的两个性质，并通过条件概率公式的简单应用加深对条件概率概念本质特征的理解掌握。
为相互独立事件和二项分布的内容教学，起“引流开山”之作用，即为定义相互独立事件和研究二项分布做好了知识铺垫。
正因本节是数学新概念引入建立，其教学便化身为本章的难点，对其进行合理的教学处理尤显重要。
本节教学重点和难点都是对条件概率的概念理解，应用公式对条件概率的计算是围绕这一中心的；在条件概率概念的引入中，应抓住“条件概率的本质是样本空间范围的缩小下的概率”这一转化关键。
教学关键是实际案例对比，甚者要辅以图示直观说明解释和反例验证等教学方式对条件概率的概念进行多角度分析研究，才能突破本节教学重点和教材分析《条件概率》第一课时是高中数学选修2－3第二章第二节的内容本节课是在必修三学习了概率的定义，概率的关系与运算，概率的基本性质，古典概型特点及其运算的基础上，学习如何计算已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率，它仍属于概率的范畴。
它在教材中起着承前启后的作用，一方面，可以巩固古典概型概率的计算方法，另一方面，为研究相互独立事件打下良好的基础教学重点、难点和关键：教学重点是条件概率的定义、计算公式的推导及条件概率的计算；难点是条件概率的判断与计算；教学关键是数学建模条件概率是比较难理解的概念。
教科书利用大家比较熟悉的抽奖为实例，以无放回抽取奖券的方式，通过比较抽奖前和在已知第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学中奖的概率从而引入条件概率的概念，给出条件概率的两种计算方法。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.1 条件概率 新人教A版选修2
反思与感悟 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原
来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发
生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计 算条件概率，即P(B|A)＝nAB ，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小
nA 的基本事件范围的.
跟踪训练2 5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放
良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
√A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45
解析 设某天的空气质量为优良是事件B，随后一天的空气质量为优良
是事件A，
故所求概率为 P(A|B)＝PPABB＝00..765＝0.8.
解析 答案
命题角度2 缩小基本事件范围求条件概率 例2 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取 (不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的 数大的概率. 解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)， (5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个.在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的 数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共 9个，所以所求概率 P＝195＝35.
第二章 §2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
学习目标 1.理解条件概率的定义. 2.掌握条件概率的计算方法. 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
内容索引
2.2.1二项分布-条件概率
【解】 法一：记“第一次取到白球”为事 件 A，“第二次取到黑球”为事件 B. 显然，事件“第一次取到白球，第二次取到 黑球”的概率为 P(AB)＝160××49＝145. 由条件概率的计算公式，得
4 P(B|A)＝PPAAB＝165＝49.
10
练练习习32 一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么
则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，
（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是
P( A B) P( AB) 12% 2 P(B) 18% 3
（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是
P(B A) P( AB) 12% 3 P( A) 20% 5
练习2 一个盒子中有6个白球、4个黑球，每 次从中不放回地任取1个，连取两次，求第 一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的
识与技能
学习目标
掌握一些简单的条件概率的计算.
与方法
过对具体情景的分析，了解条件概率的定义
学习重难点
重 点 条件概率定义的理解 难 点 概率计算公式的应用
探究：一3般张地奖，券我中们只用有1张来能中奖，现分别由3名同学
无放回地表抽示取所，有问基最本后事一件名的同学抽到中奖奖券的概率是
否比其他集同合学，小叫？做基本事件
（1）因为事件Ai与事件 A1 A2互斥，由概率的加法公式得
P(
A)
P( A1)
P( A1 A2
)
1 10
91 10 9
1 5
例2、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次
高中 数学 选修 二项分布及其应用
二项分布及其应用【知识要点】1、条件概率的定义和性质（1）定义：一般地，设A,B 为两个事件，且 ，称)()()(A P AB P A B P =为在 的条件下， 的条件，)(A B P 读作A 发生的条件下B 发生的概率。
（2）性质：①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即 ②如果B 和C 是两个互斥事件，则2、事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果 ，则称事件A 与事件B 相互独立。
如果事件A 与B ，那么A 与-B ,-A 与B ，-A 与-B 也都3、n 次独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n 次试验成为 。
4、二项分布若设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()__________,P X k ==其中k 的取值为_________.此时随机就是X 服从二项分布，记为 ，并称P 为成功概率。
【典型例题】1、甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%求：甲市为雨天，乙市也为雨天的概率 乙市为雨天，甲市也为雨天的概率2、加工某种零件需经过三道工序。
设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87，且各道工序互不影响。
(1) 求该种零件的合格率；(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
3、某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率4、从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求：（Ⅰ）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率；（Ⅱ）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率； （Ⅲ）设选出的三位同学中男同学的人数为ξ，求ξ的概率分布.【巩固练习】1、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为 （ ） A.41004901C C - B.4100390110490010C C C C C + C.4100110C C D.4100390110C C C .2、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( ) A.310 B.29 C.78 D.793、国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ) A.5960 B.35 C.12 D.1604、如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率 都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为 ( )A.18B.14C.12D.1165、位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 （ )A ．(12)3B ．25C (12)5 C ．35C (12)3D ．25C 35C (12)56、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 （ ）A. 0．216B.0．36C.0．432D.0．648 7、已知随机变量服从二项分布，，则(等于 ( )A.B. C.D.8、设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第次首次测到正品，则等于 ( )A. B. C. D.9、设随机变量的概率分布列为，则的值为 （ ）A B C D10、甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙投中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为，若甲先投，则等于（ ）A.B.C.D.二. 填空题1、设A 、B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________________．2、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．3、某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击4次，至少击中3次的概率是________．4、三人独立地破译一个密码，它们能译出的概率分别为、、，则能够将此密码译出的概率为________．三. 解答题1、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．2、一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．3、某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） （1）求至少3人同时上网的概率；（2）至少几个人同时上网的概率小于0.3。
高一所有概率知识点大全
高一所有概率知识点大全概率作为数学中的一个分支，是我们在生活中经常会遇到的概念之一。
而在高一阶段，我们将进一步深入学习有关概率的知识，并且会接触到更多的概率问题。
本文将为大家总结高一阶段所有的概率知识点，帮助大家全面理解和掌握概率的概念和运用。
1. 概率基本概念- 样本空间：指一个随机试验中所有可能结果的全体。
- 事件：样本空间中的某些结果的集合。
- 概率：指事件发生的可能性大小。
- 必然事件和不可能事件：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。
2. 概率计算方法- 经典概率：指在所有可能结果都是等可能出现的情况下，某个事件发生的概率。
- 相对频率概率：指通过大量重复试验，事件发生的频率逐渐接近概率。
- 主观概率：指基于主观判断和个人经验给出的概率。
3. 独立事件和互斥事件- 独立事件：指两个事件的发生与否互不影响。
- 互斥事件：指两个事件不可能同时发生。
4. 条件概率- 条件概率：指在一个事件已经发生的条件下，另一事件发生的概率。
- 乘法定理：计算同时发生两个事件的概率。
5. 事件间的关系- 并事件：指两个事件中至少有一个发生的情况。
- 交事件：指两个事件同时发生的情况。
- 互斥事件：指两个事件不可能同时发生。
- 补事件：指某个事件不发生的情况。
6. 置换与组合- 置换：指从n个元素中选取r个，按不同的顺序排列的方法数。
- 组合：指从n个元素中选取r个，不考虑排列顺序的方法数。
7. 二项式定理与二项式分布- 二项式定理：指提供了展开二项式的公式。
- 二项式分布：指在一系列相互独立的独立重复试验中，某个事件发生r次的概率。
8. 期望与方差- 期望：指在一系列试验中，某个随机变量的平均值。
- 方差：指在一系列试验中，随机变量与其期望之间的差的平方的平均值。
9. 随机变量- 离散型随机变量：指在某个范围内取有限个或无限个可能值的变量。
- 连续型随机变量：指在某个范围内取任意实数值的变量。
10. 概率分布函数与密度函数- 概率分布函数：离散型随机变量的概率分布情况。
人教版高中数学第二章2.2-2.2.1条件概率
类型 3 条件概率的性质及其应用
[典例 3] 在一个袋子中装有 10 个球，设有 1 个红球， 2 个黄球，3 个黑球，4 个白球，从中依次摸 2 个球，求 在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的 概率．
解：法一 设“摸出第一个球为红球”为事件 A，“摸 出第二个球为黄球”为事件 B，“摸出第三个球为黑球” 为事件 C，则 P(A)＝110，P(AB)＝110××29＝415，P(AC)＝ 110××39＝310.
答案：甲抽到的数大于 4 的情形有(5，1)，(5，2)， (5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)， (6，4)，(6，5)，(6，6)，共 12 个，其中甲、乙抽到的两 数之和等于 7 的情形有(5，2)，(6，1)，共 2 个．所以 P(B|A) ＝122＝16.
第二章 随机变量及其分布
2．2 二项分布及其应用 2．2.1 条件概率
[学习目标] 1.通过对具体情景的分析，了解条件概 率的定义(重点)． 2.掌握求条件概率的两种方法(难 点)． 3.利用条件概率公式解决一些简单的问题(重点、 难点)．
[知识提炼·梳理]
1．条件概率
条件 设 A，B 为两个事件，且 P(A)＞0
解析：由题意可知，n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.
所以 P(A|B)＝nn（（ABB））＝162＝12.
答案：12
5．在 5 道题中有 3 道数学题和 2 道物理题．如果不 放回地依次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到数学题的条件下， 第 2 次抽到数学题的概率是________．
生的条件下，事件 B 不会发生．
(2)对，因为事件 A 等于事件 B，所以事件 A 发生， 事件 B 必然发生．
随机变量及其分布--二项分布及其应用
二项分布及其应用知识点一、条件概率1.一般的，设A,B 为两个事件，且0)(>A P ，则称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
)|(A B P 读作：A 发生的条件下B 发生的概率。
2.条件概率的性质： （1）1)|(0≤≤A B P ；（2）必然事件的条件概率为1；不可能事件的条件概率为0. （3）若事件B 与C 互斥，)|()|()|(A C P A B P A C B P += 二、相互独立事件1.设A ，B 为两个事件，若)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 相互独立。
2.条件概率的性质：（1）若事件A 与B 相互独立，则)()|(B P A B P =，)()|(A P B A P =，)()()(B P A P AB P =。
（2）如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 三、独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
2.二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则n k p p C k X P k n kk n ,,2,1,0,)1()( =-==-。
此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X题型一 条件概率【例1】已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56B.910C.215D.115【例2】抛掷一枚质地均匀的骰子所得点数的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A ＝{2,3,5}，B ＝{1,2,4,5,6}，则P (A |B )等于 ( ) A.25 B.12 C.35D.45【例3】任意向x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点，问： (1)该点落在区间⎝⎛⎭⎫0，13内的概率是多少？ (2)在(1)的条件下，求该点落在⎝⎛⎭⎫15，1内的概率．【过关练习】1.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了1 5 000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10 000次的电视机显像管还能继续使用到15 000次的概率是( ) A ．0.75 B ．0.60 C ．0.48D ．0.202.设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________． 3.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P (B |A )＝________.4.盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B.110 C.59D.255.设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．题型二 独立事件的概率【例1】把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是( ) A ．互斥但非对立事件 B ．对立事件 C ．相互独立事件D ．以上答案都不对【例2】在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78【例3】甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13 B.23 C.12D ．1【例4】某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额 一等奖 3红1蓝 200元 二等奖 3红0蓝 50元 三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列．【过关练习】1.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13 D.232.某条道路的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内平均开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是________．3.某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．4.如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是________．5.从一副除去大小王的扑克牌(52张)中任取一张，设事件A 为“抽得K ”，事件B 为“抽得红牌”，事件A 与B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？题型三 二项分布及其应用【例1】某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －kC ．(1－p )kD ．C k n (1－p )k pn －k【例2】甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( ) A ．0.216 B ．0.36 C ．0.432D ．0.648【例3】若随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为( ) A ．5 B ．1或2 C ．2或3D ．3或4【例4】甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．【过关练习】1.一个学生通过某种英语听力测试的概率是12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．32.连续掷一枚硬币5次，恰好有3次正面向上的概率为________．4.甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．5.某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？(结果保留两位有效数字)课后练习【补救练习】1.为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：A.35B.37C.911D.11152.某种动物活到20岁的概率是0.8，活到25岁的概率是0.4，则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( ) A ．0.32 B ．0.5 C ．0.4D ．0.83.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14D.164.某人参加一次考试，4道题中答对3道为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率约为( ) A ．0.18 B ．0.28 C ．0.37D ．0.485.甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．【巩固练习】1.分别用集合M ＝{}2，4，5，6，7，8，11，12中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是( ) A.712 B.512 C.47D.1122.国庆节放假，甲，乙，丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12D.1603.从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12且从两个袋中摸球相互之间不受影响，从两袋中各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率4.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为________．5.设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？6.从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．7.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是________．8.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05.甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.则求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为________，________，________.9.甲、乙、丙三人在同一办公室工作，办公室内只有一部电话机，经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是12，14，14，在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是________．10.在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．11.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．12.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率． (2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率．【拔高练习】1．10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( ) A ．(110)2(910)n －kB ．(110)k (910)n －kC ．C k －1n －1(110)k (910)n －kD ．C k －1n －1(110)k －1(910)n －k2．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)53.在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过；能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．4.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案： 方案一：考三门课程至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)求该应聘者用方案一通过的概率； (2)求该应聘者用方案二通过的概率．5.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{}a n ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 第n 次摸到红球，1， 第n 次摸到白球，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和，求S 7＝3的概率．。
2-2.2.1二项式分布的应用——条件概率
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第二章 随机变量及其分布
2．如何理解条件概率公式？ (1)前提条件：P(A)＞0 (2)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件P(A)，P(AB) 三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下列两类问题． ①已知P(A)，P(AB)，求P(B|A)； ②已知P(A)，P(B|A)，求P(AB)．
所以，事件 B 的基本事件数为 4＋3＋2＋1＝10， 故 P(B)＝1306＝158.
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第二章 随机变量及其分布
“蓝色点数为5，且红、蓝两色点数之和不大于8”这
一事件即为事件AB，其基本事件数为3(红色点数分别为
4,5,6)，
故P(AB)＝336＝112.
1 因此P(A|B)＝PPABB＝152＝130.
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝CC120066＋C1C052·C06101＋C1C042·C06102＝12C210860.
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第二章 随机变量及其分布
∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，
P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，
∴P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
解析： 由题意知，n(B)＝C31·22＝12，n(AB)＝A33＝6. ∴P(A|B)＝nnABB＝162＝12.
答案：
1 2
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第二章 随机变量及其分布
4．某次数学考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的 成绩进行统计分析，其中甲班10名同学中有4人及格，乙班10名 同学有5人及格，现从两班10名同学中各抽取1人，已知有人及 格，求乙班同学不及格的概率．
2.2.1《二项分布及其应用-条件概率》
例3、一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可 从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求 （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次 就按对的概率。
解：设第i次按对密码为事件Ai ( i 1， 2) 则A A1 ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。
结构如下表：
数量 厂别
甲厂
乙厂
合计
等级 合格品
475 25 500
644 56 700
1 119
次 品
合 计
81
1 200
（1）从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是 27 次品的概率是_________； 400 （2）在已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好 1 是次品的概率是_________； 20
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. （1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n() A 20
2 5
根据分步乘法计数原理，n( A) A A 12 n( A) 12 3 P ( A) n( ) 20 5
3 P( AB) 10 1 P( B A) 3 2 P( A) 5
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题 的概率。
解法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
解：设第i次按对密码为事件Ai ( i 1， 2) 则A A1 ( A1 A2 )表示不超过 2次就按对密码。
二项式分布及应用
二项式分布及应用二项式分布及应用1、条件概率及其性质（1）条件概率的定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B|A)=____________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
（2）条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率型概率公式，即P(B|A)=____________。
（3）条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B|A)≤1。
②如果B 和C 是两个互斥事件，那么P (B ⋃C|A)=___________。
2、事件的相互独立性（1）设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=___________，那么称事件A 与事件B 相互独立。
（2）如果事件A 与B 相互独立，那么___________与___________，___________与___________，___________与___________也相互独立。
思考探究“相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥。
3、二项分布在n 次独立事件重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p , 那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P(X=k )=___________（k=0,1,2,……，n ）.此时称随机变量X 服从二项分布，记作___________，并称___________为成功概率。
夯实双基1、判断下面结论是否正确（打“√”或“×”）。
（1）若事件A ，B 相互独立，则P (B|A)=P(B )。
（2）P (B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )=P(A )⋅P (B )。
k k （3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X=k )=C n p (1-p ) n -k ,k =0,1,2, , n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布。
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栏目导引
1．条件概率的概念．(难点) 2．条件概率的求法及应用．(重点)
工具
第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取5
道题供考生回答，答对其中3道题即可及格．假设作为考生的你，
只会答10道题中的6道题． 那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的情 况下你及格的概率又是多少？
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第二章 随机变量及其分布
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(2)利用缩小样本空间的观点计算 在这种观点下，原来的样本空间Ω缩小为已知的事件 A，原来的事件B缩小为事件AB，从而可以在缩小的概率空 间上利用古典概型计算概率的公式计算条件概率，即事件B nAB 的条件概率为P(B|A)＝ . nA
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第二章 随机变量及其分布
事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”，
事件D为“该考生在这次考试中通过”，
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，
则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) C106 C105· 101 C104· 102 12 180 C C ＝C 6＋ C 6 ＋ C 6 ＝ C 6 . 20 20 20 20
2 1 答案： (1)π (2)4
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第二章 随机变量及其分布
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抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点
数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率； (2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
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第二章 随机变量及其分布
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[策略点睛]
附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
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第二章 随机变量及其分布
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2．如何理解条件概率公式？
(1概率P(B|A)与事件P(A)，P(AB)
三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下列两类问题．
①已知P(A)，P(AB)，求P(B|A)； ②已知P(A)，P(B|A)，求P(AB)．
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第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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1．(2011· 辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事 件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个 数均为偶数”，则P(B|A)＝( 1 A.8 2 C.5
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) 1 B.4 1 D.2
第二章 随机变量及其分布
有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标
有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出 的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．
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第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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[规范解答] 设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的 球}． B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}， R＝{第二次取出的球是红球}， W＝{第二次取出的球是白球}，2分 7 3 则容易求得P(A)＝10，P(B)＝10，4分 1 1 P(R|A)＝2，P(W|A)＝2，6分
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第二章 随机变量及其分布
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第二章 随机变量及其分布
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[题后感悟] 求条件概率的常见方法有哪些？ 计算事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，有两 种方法： (1)利用定义计算 分别计算概率P(AB)和P(A)，然后将它们相除得到，即 PAB 条件概率P(B|A)＝ . PA
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解析：
C32＋C22 4 2 P(A)＝ ＝ ＝ ， C52 10 5
C22 1 P(A∩B)＝C 2＝10. 5 由条件概率计算公式， 1 PA∩B 10 1 得P(B|A)＝ ＝ 4 ＝4. PA 10
答案：
B
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第二章 随机变量及其分布
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2．(2011·湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的
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．
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第二章 随机变量及其分布
1 2 1．已知P(B|A)＝3，P(A)＝5，则P(AB)等于( 5 A.6 2 C. 15
解析：
)
9 B.10 1 D. 15
本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘
1 2 2 法公式，P(AB)＝P(B|A)· P(A)＝3×5＝15，故答案为C.
答案： C
4 1 P(R|B)＝5，P(W|B)＝5.8分
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第二章 随机变量及其分布
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事件“试验成功”表示为RA∪RB， 又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得 P(RA∪RB) ＝P(RA)＋P(RB) ＝P(R|A)· P(A)＋P(R|B)· P(B) 1 7 4 3 ＝ × ＋ × ＝0.59.12分 2 10 5 10
圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件
“ 豆 子 落 在 正 方 形 EFGH 内 ” ， B 表 示 事 件 “ 豆 子 落 在 扇 形 OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝______；(2)P(B|A)＝______.
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第二章 随机变量及其分布
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解析： (1)P(A)表示事件“豆子落在正方形EFGH内” S正方形EFGH 2 的概率，为几何概型，P(A)＝ ＝π. S圆O (2)P(B|A)表示在A条件发生的前提下，事件B发生的概 率，即“豆子落在正方形内的前提下，落在阴影部分的概 1 PA∩B 2π 1 率”，P(B|A)＝ ＝ 2 ＝4. PA π
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第二章 随机变量及其分布
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1．条件概率的概念 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝
PAB PA
为在
事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率．
P(B|A)读作 A 发生的条件下， B 发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)P(B|A)∈ [0,1] ．
(2)如果B与C是两个互斥事件， 则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A)
1 答案： 2
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第二章 随机变量及其分布
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4．某次数学考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的
成绩进行统计分析，其中甲班10名同学中有4人及格，乙班10名
同学有5人及格，现从两班10名同学中各抽取1人，已知有人及 格，求乙班同学不及格的概率．
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第二章 随机变量及其分布
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解析： 记“从两班10名同学中各抽取1人，已知有人 C61C51 70 及格”为事件A，则P(A)＝1－C 1C 1＝100 10 10 记“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及 C41C51 20 格”为事件B，则P(AB)＝C 1C 1＝100 10 10 由条件概率公式得 20 PAB 100 2 P(B|A)＝ ＝ ＝ 70 7 PA 100
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第二章 随机变量及其分布
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[题后感悟] 若事件B、C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋
P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率．往往可以先把它分解
成两个(若干个)互不相容的较简单事件之和，求出这些简单事件 的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
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第二章 随机变量及其分布
一个条件概率，即计算P(B|A)．
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40 2 8 2 由于P(A)＝ ＝ ，P(AB)＝ ＝ ， 100 5 100 25 2 PAB 25 1 则P(B|A)＝ ＝ ＝ . 2 5 PA 5 1 故该女生来自北京的概率为5.
答案：
B
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第二章 随机变量及其分布
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2．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的总数为4
或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和不大于8”，求事件A发
生的条件下事件B发生的概率．
解析： 抛掷红、蓝两颗骰子，所得点数的事件总数为 6×6 12 1 ＝36，其中事件 A 的基本事件数为 2×6＝12，故 P(A)＝36＝3. 当蓝色骰子点数为 4，红色骰子点数分别为 1,2,3,4 或者蓝色 骰子的点数为 6，红色骰子点数为 1,2 时，两骰子点数之和不大 于 8，所以事件 AB 的基本事件数为 4＋2＝6，
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第二章 随机变量及其分布
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1．如何理解条件概率的存在？
一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这 里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随 机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件)，求另一 事件在此条件下发生的概率．
[提醒]
由于样本空间变化，事件B在“事件A已发生”这个
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第二章 随机变量及其分布
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3．条件概率需注意以下几点
(1)事件B在事件A已发生这个附加条件下的概率与没有这个 附加条件的概率是不同的． (2)所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原 随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件 下的概率． (3)已知事件A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，求
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3.在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少
能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优 秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中 已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
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第二章 随机变量及其分布
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解析： 设事件A为“该考生6道题全答对”，
事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，
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