1.19二项式分布及其应用
二项分布及其应用
P(B)＝q2，P(－B )＝1－q2. 根据分布列知：当 X＝0 时，
－ P( A
－ B
－B )＝P(－A )P(－B )P(－B )＝0.75(1－q2)2＝0.03，
所以 1－q2＝0.2，q2＝0.8.
当 X＝2 时，P1＝P(－A B－B ＋－A －B B)＝P(－A )P(B)P(－B )＋
P(－A )P(－B )P(B)＝0.75q2(1－q2)×2＝0.24，
当 X＝3 时， P2＝P(A－B －B )＝P(A)P(－B )P(－B ) ＝0.25(1－q2)2＝0.01， 当 X＝4 时， P3＝P(－A BB)＝P(－A )P(B)P(B)＝0.75q22＝0.48，
当 X＝5 时，P4＝P(A－B B＋AB)＝P(A－B B)＋P(AB)
3．已知 P(B|A)＝12，P(AB)＝38，则 P(A)等于( C )
3
13
A.16
B.16
3
1
C.4
D.4
解析：由 P(AB)＝P(A)P(B|A)，可得 P(A)＝34.
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正
面向上”为事件 A，“骰子向上的点数是 3”为事件 B，则
事件 A，B 中至少有一个发生的概率是( C )
生的条件概率
2.事件的相互独立性
(1)定义：设 A，B 为两个事件，如果 P(AB)＝_P_(_A_)_P_(_B_)_，则
称事件 A 与事件 B 相互独立．
(2)性质： ①若事件 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝____P_(_B_)___，
P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝__P_(_A_)_P_(B__)_． ②如果事件 A 与 B 相互独立，那么__A__与__－B____，__－_A_与___B__， __－A__与__－B____也相互独立．
二项分布及其应用
本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
色体异常的概率，按二项分布的概率函数得
(3) 做出推断结论: P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法: 当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
由于附表7百分率的可信区间中值只列出了x n/2的部分，当x>n/2时，应以n -x查表，再从100
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
其中,
布的应用
（二）假设 检验1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。
（2） 计算检验统计量 。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
二项分布及其应用
二项分布及其应用二项分布及其应用◇条件概率◇一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。
1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。
（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。
2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。
（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。
例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。
（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。
3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。
例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。
《二项分布及其应》课件
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
二项式分布及应用
二项式分布及应用二项式分布及应用1、条件概率及其性质（1）条件概率的定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B|A)=____________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
（2）条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率型概率公式，即P(B|A)=____________。
（3）条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B|A)≤1。
②如果B 和C 是两个互斥事件，那么P (B ⋃C|A)=___________。
2、事件的相互独立性（1）设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=___________，那么称事件A 与事件B 相互独立。
（2）如果事件A 与B 相互独立，那么___________与___________，___________与___________，___________与___________也相互独立。
思考探究“相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥。
3、二项分布在n 次独立事件重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p , 那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P(X=k )=___________（k=0,1,2,……，n ）.此时称随机变量X 服从二项分布，记作___________，并称___________为成功概率。
夯实双基1、判断下面结论是否正确（打“√”或“×”）。
（1）若事件A ，B 相互独立，则P (B|A)=P(B )。
（2）P (B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )=P(A )⋅P (B )。
k k （3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X=k )=C n p (1-p ) n -k ,k =0,1,2, , n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布。
二项式分布的特征
二项式分布的特征二项式分布是概率论中常用的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
本文将介绍二项式分布的特征及其应用。
一、二项式分布的定义与特征二项式分布的定义如下：在一次伯努利试验中，事件A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。
进行n次独立重复的伯努利试验，事件A发生的次数记为X，那么X的取值范围为0到n。
X服从参数为n和p的二项式分布，记为X~B(n,p)。
二项式分布的特征如下：1. 期望：二项式分布的期望为E(X) = np，即成功次数的平均值。
2. 方差：二项式分布的方差为Var(X) = npq，即成功次数的离散程度。
3. 概率函数：二项式分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
4. 累积分布函数：二项式分布的累积分布函数为P(X≤k) = Σ P(X=i)，其中i从0到k。
5. 正态近似：当n趋向于无穷大时，二项式分布可以近似为正态分布，即X~N(np, npq)。
二、二项式分布的应用二项式分布在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的例子：1. 投掷硬币：将硬币投掷n次，成功定义为正面朝上，失败定义为反面朝上。
每次投掷的结果是独立的，且正面朝上的概率为p=0.5。
那么投掷硬币n次正面朝上的次数就服从二项式分布。
2. 生产质量控制：某工厂生产某种产品，每个产品有一定的概率p 不合格，概率q=1-p合格。
从该工厂生产的n个产品中，随机选取k个产品进行检验，检验合格的产品数量就服从二项式分布。
通过对二项式分布的分析，可以评估产品的质量水平。
3. 股票投资：假设某只股票在每个交易日上涨的概率为p，下跌的概率为q=1-p。
如果投资者在n个交易日内观察该股票的涨跌情况，他所获得的投资收益次数就服从二项式分布。
通过对二项式分布的研究，可以对股票的走势进行预测和分析。
二项分布及其应用教案定稿
二项分布及其应用教案定稿第一章：二项分布的概念及性质1.1 二项分布的定义1.2 二项分布的概率质量函数1.3 二项分布的期望和方差1.4 二项分布的性质及其推论第二章：二项分布的概率计算2.1 概率质量函数的计算2.2 累积分布函数的计算2.3 特定概率下的二项分布问题2.4 利用二项分布解决问题第三章：二项分布的应用3.1 实际问题引入3.2 概率论中的应用3.3 统计学中的应用3.4 工程与科学领域中的应用第四章：二项分布的假设检验4.1 假设检验的基本概念4.2 二项分布的假设检验方法4.3 检验结果的解释与应用4.4 实际案例分析第五章：二项分布与其他分布的关系5.1 二项分布与伯努利分布的关系5.2 二项分布与正态分布的关系5.3 二项分布与其他离散分布的关系5.4 二项分布的推广与拓展第六章：二项分布的概率质量函数的进一步分析6.1 二项分布的概率质量函数的导数6.2 边界点处概率质量函数的性质6.3 二项分布的概率质量函数的图形分析6.4 利用概率质量函数解决实际问题第七章：二项分布的累积分布函数7.1 二项分布的累积分布函数的定义与性质7.2 累积分布函数的图形分析7.3 利用累积分布函数解决实际问题7.4 累积分布函数在假设检验中的应用第八章：二项分布的期望与方差8.1 二项分布的期望的计算与性质8.2 期望在实际问题中的应用8.3 二项分布的方差的计算与性质8.4 方差在实际问题中的应用第九章：二项分布的假设检验9.1 假设检验的基本概念回顾9.2 二项分布的假设检验方法回顾9.3 利用假设检验解决实际问题9.4 假设检验在实际案例中的应用第十章：二项分布的综合应用与案例分析10.1 二项分布在不同领域的应用案例回顾10.2 二项分布的概率质量函数在实际问题中的应用10.3 二项分布的累积分布函数在实际问题中的应用10.4 二项分布的期望与方差在实际问题中的应用重点和难点解析重点一：二项分布的定义及性质解析：理解二项分布的基本概念是学习后续内容的基础。
二项分布的原理及应用
二项分布的原理及应用1. 什么是二项分布？二项分布是概率论中的一种离散概率分布，描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，只有两个可能结果，成功（记为S）和失败（记为F），且这两个结果的概率是固定不变的。
二项分布将这些独立的试验作为一系列重复的伯努利试验，并计算在给定试验次数和成功概率下，成功次数的概率分布。
2. 二项分布的概率计算公式设每次伯努利试验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
进行n次独立的伯努利试验，成功的次数X服从二项分布。
其概率计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
3. 二项分布的特征与性质•期望：二项分布的期望为n*p，即试验次数乘以成功的概率。
•方差：二项分布的方差为n p q，其中q=1-p。
•归一性：二项分布的概率和为1，即所有可能的事件的概率之和等于1。
•对称性：若p=0.5，则二项分布是对称的，即成功和失败的概率相等。
4. 二项分布的应用二项分布在实际中有广泛的应用，并且具有很高的实用性。
以下列举了几个常见的应用场景：4.1 质量控制在质量控制领域，二项分布被广泛用于评估和控制产品的质量。
例如，一家医药公司生产的药丸中，有5%的概率出现无效的药丸（成功），95%的概率是有效的药丸（失败）。
为了控制产品质量，公司每次从生产线上随机抽取50个药丸进行检验。
利用二项分布，可以计算出在这50个样本中出现指定个数的成功（无效药丸）的概率。
如果成功的个数超过了一定的阈值，就需要进一步调查和控制生产过程。
4.2 市场调研二项分布还可以用于市场调研中，用来确定产品推广的成功率。
例如，一个公司推出了一个新产品，通过市场调研得知每个潜在客户购买该产品的概率为0.2。
为了确定在推广活动中需要投入的资源和费用，可以利用二项分布来计算在不同投入条件下，达到指定销量目标的概率。
这样可以帮助公司制定合适的推广策略，并为销售预期做出合理的评估。
二项分布的实际应用课件高二上学期数学北师大版选择性必修一册
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则 ①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求其中二级品的件数X的分布列及数学期望E（X）； ②从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润率较大？
P
X
＝1
＝
C13
1 4
1
3 4
2
＝
27 64
，
P
X
＝
2
＝
C32
1 4
2
3 4
1
＝
9 64
，
P
X
＝
3
＝
C33
1 4
3
3 4
0
＝
1 64
．
可得X的分布列如表所示．
X
0
1
2
3
27
9
1
P
64
64
64
64
所以 E X ＝ 0 27 1 27 2 9 3 1 ＝ 3 ．
64 64 64 64 4
二项分布的实际应用
（2）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则 ①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求其中二级品的件数X的分布列及数学期望E（X）； ②从长期来看，投资哪种型号的节排器平均利润率较大？
二项分布的实际应用
二项分布的实际应用
讲解1 利用二项分布模型解决实际问题的一般步骤
➢ 根据题意设出随机变量； ➢ 分析随机变量是否服从二项分布； ➢ 若服从二项分布，则求出参数n和p的值； ➢ 根据需要列出相关式子并解决问题．
二项分布的实际应用
讲解2 解决二项分布问题的两个关注点
➢ 公式P（X＝k）＝ Ckn pk（1－p）n－k（k＝0，1，2，…，n）必须在满足“独立重复试验” 时才能运用，否则不能应用该公式．
二项分布性质及应用
二项分布性质及应用二项分布是一种概率分布，主要用来描述在进行一系列独立重复试验中，成功事件发生的次数在固定次数试验中出现的概率分布。
二项分布具有以下一些性质：1. 试验结果只有两种可能的结果，称为成功和失败，记为S和F。
2. 每次试验都是独立的，一次成功试验的结果不影响下一次试验的结果。
3. 每次试验的成功概率相同，并且在不同试验中保持不变。
根据以上性质，二项分布可以用来回答以下问题：1. 成功事件在一定次数试验中发生的概率：在进行一定次数的试验中，成功事件发生的概率可以用二项分布来计算。
例如，在投掷硬币的试验中，成功事件为正面朝上，可以根据硬币正反面的概率来计算在若干次投掷中，正面朝上的次数的概率。
2. 成功事件在某特定次数发生的概率：在进行若干次试验中，计算特定次数（例如恰好出现2次、3次等）成功事件发生的概率。
例如，在连续进行5次二项分布试验中，计算正面朝上出现2次的概率。
3. 成功事件在一定次数范围内发生的概率：在进行若干次试验后，计算成功事件在某个范围内（例如至少出现3次、最多出现4次等）发生的概率。
例如，在连续进行10次二项分布试验中，计算正面朝上至少出现3次的概率。
二项分布的应用非常广泛，以下是一些具体的应用场景：1. 市场调查：对于一个新产品的市场调查可以使用二项分布来判断在一定数量的受访者中，有多少人会购买该产品。
2. 投票预测：在选举前，可以使用二项分布来预测每个候选人获得特定票数的概率，以便进行选情分析。
3. 品质控制：在生产过程中，可以使用二项分布来判断产品在一定数量检验中有多少个不合格品。
4. 策略：在场景中，可以使用二项分布来计算在一定回合中成功的概率，以制定更有效的策略。
5. 统计推断：在进行A/B测试时，可以使用二项分布来计算不同测试组中成功事件的概率，以评估不同策略的效果。
总之，二项分布作为一种概率分布，可以用来描述成功事件在一定次数试验中的概率分布，并在许多领域中具有广泛的应用。
课件2：二项分布及其应用
2 9
1 9
作 业
能
所以 Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝193.
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自
1．解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出
高 考
主
体
落 实
来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．
验 ·
·
明
固 基
2．求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有
考 情
础
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
1
由条件概率计算公式，得 P(B|A)＝P（P（A∩A）B）＝140＝14.
典
例
探
究 ·
【答案】 B
提
知
能
10
课 后 作 业
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高
自
主
1．利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得
考 体
落 实 · 固
P(B|A)＝PP（（AAB））.这是通用的求条件概率的方法．
验 · 明 考
体 验
实 · 固
篮投中，则 P(Ak)＝13，P(Bk)＝12(k＝1，2，3)．
· 明 考
基 础
(1)记“甲获胜”为事件 C，由互斥事件有一个发生的概 情
率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知
P(C)＝P(A1)＋P(A1 B1A2)＋P(A1 B1 A2 B2A3) ＝P(A1)＋P(A1 )P(B1 )P(A2)＋
典
S△SEOH＝π2＝21π.故 P(B|A)＝PP（（AAB））＝22π＝14.
例 探
π
课
后
究 · 提
【答案】 (1)π2 (2)14
高一数学课件-二项分布及其应用课件 最新
§12.5
二项分布及其应用
自主学性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条
件下,事件B发生的概率叫做___________, 用符号 条件概率
式,求出这些简单事件的概率,最后利用概率的可加 性,得到最终结果.
2.相互独立事件
(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响, A、B是相互独立事件 则称___________________. P(B) (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=______, P(B|A)·P(A) P(A)·P(B) P(AB)=______________=_____________. (3)若A与B相互独立,则______,______,______ A与B A与B A与B 也都 相互独立. A与 B相互独立 (4)若P(AB)=P(A)P(B),则 ______________.
②如果B和C是两互斥事件,则
P(B∪C|A)=_______________. P(B|A)+P(C|A)
1．已知P(AB)＝ 答案：D A. C.
，P(A)＝ B. D.
，则P(B|A)等于
(
)
解析：P(B|A)＝
2、设100件产品中有70件一等品，25件二等品，5件三等品，规定 一，二等品为合格品。从中任取一件，已知取得的是合格品，则它 是一等品的概率（ ）
(2)求甲投球2次,至少命中1次的概率； (3)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概 率. 思维启迪 概率求解.
甲、乙两人投球是相互独立的；同一人
的两次投球也是相互独立的.用独立事件同时发生的
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A.0.665
B.0.56
C.0.24
D.0.285
（2）<湖南高考>如图，四边形 EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆
内，用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE（阴影部分）内”，则
PB | A ___________.
击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分，记 为射手射击 3 次的总得分，求
的分布列.
练习：<西宁模拟>张师傅驾车从公司开往火车站，途径 4 个交通岗，这 4 个交通岗将公司到火车站分成 5 个时段， 每个时段的驾车时间都是 3 min，如果遇到红灯要停留 1 min。假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概
练习：甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是
一等品的概率为 1 ，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 1 ，甲、丙两台机床
4
12
加工的零件都是一等品的概率为 2 . 9
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，；求至少有一个一等品的概率.
3.相互独立事件同时发生的概率计算公式，能应用该公式计算相关问题的概率；
4.理解 n 次独立重复试验的模型及其意义；
5.二项分布及其概率公式，能利用这一公式解决一些简单的实际问题；
6.在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率公式 Pn k Cnk pk 1 p nk 与二项式定理的联系.
课堂练习
1.<2015.全国卷理>投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为
0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A.0.648
B.0.432
C.0.36
D.0.312
2.某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进
分.求乙队得分 X 不超过 2 分的概率.
知识点 3 独立重复试验与二项分布 1.独立重复试验的特征: ①试验必须能够重复进行； ②每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变； ③各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立； ④每次试验只有两个可能的结果，事件发生或不发生.
2.n 次独立重复试验事件 A 恰有 k 次发生的概率： Pn k Cnk pk 1 p nk
行投掷实心铅球（重 3 kg）测试，成绩在 6.9 米以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成 5 组画出频率分布直
方图的一部分，已知成绩在[9.9,11.4) 的频数是 4.
3.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自有下落，小球在下落的过程中，将 3 次
遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋中或 B 袋中。已知小球每次遇到障碍物时，向左和向右两边下落的概率都是 1 . 2
（1）分别求出小球落入 A 袋的概率， B 袋的概率；
（2）在容器的入口处依次放入 4 个小球，记 为落入 B 袋中的小球个数．求 的分布列.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数； (2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽 取两名，记 ξ 表示两人中成绩不合格的人数，利 用样本估计总体，求 ξ 的分布列．
一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令事件 A {一个家庭中既有男孩又有女孩}，
B 一个家庭中最多有一个女孩 ，对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：
（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩.
例 2.2（独立事件的概率）
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球。约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投
后又回到 A 点的概率.
专题一 概率最值问题 例 4.1<丹阳模拟>十层电梯从底层到顶层运行，假设电梯在每层电梯口停和不停是等可能的. （1）停不少于 3 次的概率是多少？ （2）停几次的概率最大？
专题三 几何分布 例 4.3 已知患色盲者占 0.25%，试求： （1）为发现一例患色盲者至少要检查 25 个人的概率； （2）为使发现患色盲者的概率不小于 0.9，至少要对多少个人的辨色能力进行检查？
1.19 二项分布及其应用
一、知识结构
概念 1.条件概率性质
应用
概念 2.事件的相互独立性相判互断独方立法事件概率的求法
独立性的实际应用
概念 3.n次独立重复试验恰好发生k次的概率 二项分布利 概用 念二项分布的公式解题
二、重难点
1.条件概率的概念；
2.两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件；
1 PAPB
A,B 恰有一个发生
PA PB
P(AB AB) PAPB PAPB
练习：<辽宁高考>从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B=“取到的 2
个数均为偶数”，则 PB | A 等于（ ）
1
1
2
1
A.
B.
C.
D.
8
4
5
2
例 2.1（独立事件的判断）
<珠海模拟>某射手每次射击击中目标的概率是 2 ，且各次射击的结果互不影响。 3
（1）假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率； （2）<易错题>假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的概率； （3）假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中，若有 2 次连续
练习：<山东卷理改编>甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第 5
局甲队获胜的概率是 1 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 2 .假设各局比赛结果相互独立.
2
3
（1）分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率；
（2）若比赛结果为 3:0 或 3:1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3:2，则胜利方得 2 分，对方得 1
例 1.2（条件概率与概率性质的结合） 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次抽取 2 个节目，求： （1）第 1 次抽到舞蹈节目的概率； （2）第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； （3）在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率.
2.两个时间相互独立与互斥的区别
（1）两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。
（2）
概率 Aห้องสมุดไป่ตู้B 至少有一个发生
A,B 互斥
PA PB
A,B 相互独立
1 PAPB
A,B 同时发生
0
PAPB
A,B 都不发生
1PA PB
PAPB
A,B 至多有一个发生 1
知识点 1 条件概率
1.定义：一般地，设
A,B
为两个事件，且
PA
0 ，称
PB
|
A
P AB PA
为在事件
A
发生的条件下，事件
B
发
生的条件概率.
例 1.1 求简单的条件概率
（1）<潍坊模拟>市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，乙厂占 30%，甲厂产品的合格率是 95%，乙厂产品的
合格率是 80%，则从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ）
篮结束。设甲每次投篮投中的概率为 1 ，乙每次投篮投中的概率为 1 ，且各次投篮互不影响.
3
2
（1）求乙获胜的概率；
（2）求投篮结束时乙只投了 2 个球的概率.
例 3.1 （ n 次独立重复试验）
某气象站天气预报的准确率为 0.8. （1）求 5 次预报中恰有 2 次准确的概率；（结果保留两个有效数字） （2）求 5 次预报中至少有 2 次准确的概率.（结果保留两个有效数字）
练习：<广州模拟>在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽取 6 道题，若考生至少能答对其中的 4 道题即可通过； 若至少能答对其中 5 道题就获得优秀，已知某考生能答对 20 道题中的 10 道题，并且知道他在这次考试中已知通 过，求他获得优秀的概率.
知识点 2 独立事件及其概率
1.独立事件的概念：设 A, B为两个事件，若P（AB） P(A)P(B) ，则称事件 A 与事件 B 相互独立.
率都是 1 . 3
（1）求张师傅此行程时间不小于 16 min 的概率；
（2）记张师傅此行程所需时间为 Y min，求 Y 的分布列.
专题二 利用递推关系式求概率
例 4.2<株洲模拟>设正四面体的四个顶点是 A, B,C, D ，各棱的长度均为 1 cm，有一个小虫从点 A 开始按以下规
则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到棱的尽头，求它爬了 7 cm 之
3.二项分布：一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率
为 p ，则 PX k Cnk pk 1 p nk ，k 0,1,2,，n ，此时称随机变量 X 服从二项式分布，记作 X ~ Bn, p，
并称 p 为成功的概率.
例 3.2（二项分布及其应用）