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二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
二次函数的图像与性质(含答案)
九年级数学竞赛专题 ---二次函数的图像与性质一、内容概述二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结1．定义： 形如函数2(0)y ax bx c a =++≠称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.2．图像二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.3．性质 对2(0)y ax bx c a =++≠的图像来讲，（1）开口方向：当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下。
（2）对称轴方程：2bx a=-（3）顶点坐标：24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若240bac -<，则抛物线与x 轴没有交点；若240b ac -=，则抛物线与x 轴有一个交点；若240b ac ->，则抛物线与x 轴有两个交点，分别为，；另外，抛物线与y 轴的交点为()0,c .（5）抛物线在x a=（6）y 与x 的增减关系：当0a >，2b x a >-时，y 随x 的增大而增大，2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当0a <，2b x a >-时，y 随x 的增大而减小，2bx a<-时，y 随x 的增大而增大.（7）最值：当0a >时，y 有最小值，当2b x a =-时，244ac b y a -最小值＝；当0a <时，y 有最大值，当2b x a =-时，244ac b y a-最大值＝（8）若抛物线与x 轴两交点的横坐标为1x 、2x （12x x <），则：当0a >时，12x x x <<时，0y <；12x x x x <>或时，0y >；当0a<时，12x x x <<时，0y >；12x x x x <>或时，0y <.4．求解析式抛物线的解析式常用的有三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，其中(,)h k 是抛物线的顶点坐标。
二次函数图像与性质总结(含答案)
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
二次函数图像与性质
值，可设表达式为 y a x h2 k，其中顶点坐标为
（h，k），对称轴为x=h。
3.一些常见二次函数图像的解析式 1. 如图1：若抛物线的顶点是原点，设 y ax2 a 0 2. 如图2：若抛物线过原点，设 y ax2 bxa 0 3. 如图3：若抛物线的顶点在y轴上，设 y ax2 ca 0
y=ax²+bx y
(2,4)
以A为原点，大门 底部AB所在的直线 为x轴，建立平面直 角坐标系
(4,0) x
2. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物，如图所示，大 门底部宽AB=4m，顶点C离地面高度为4m，现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.56m， 装货宽度为2.3米，请判断这辆车能够顺利通过大门？
当y=2.56时，有-x²+4=2.56
课堂小结
1. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质。 2. 抛物线的增减性。 3. 抛物线的平移。 4. 抛物线的对称性。 5. 抛物线解析式的求法。 6. 如何建立恰当的坐标系来解决实际问题。
完成课后练习
决定对称轴的位置，a、b同号 对称轴在y轴的_左__侧
b 对称轴为直线
b=0
对称轴为_y__轴
x b 2a
a、b异号 对称轴在y轴的_右__侧
确定抛物线与y轴
c＞0 交点在y轴的_正__半轴
c 交点的位置，交点 c=0
交点是_原__点
坐标为（0，c）
c＜0 交点在y轴的_负__半轴
a、b、c 的代数式
y=ax²
x
以C为原点建立平 面直角坐标系，使 x轴∥AB
(-2,-4)
(2,-4)
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
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b 2a
，
4ac 4a
b2
．当
x b 时， y 随 x 的增大而增大；当 x b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x b 时，
2a
2a
2a
y 有最大值 4ac b2 ． 4a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： y ax2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2. 顶点式： y a(x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 3. 两根式： y a(x x1)(x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以
0． x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值
0．
2. y ax2 c 的性质：
上加下减。
a 的符号 a0
a0
开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
0， c y 轴
向下
0， c y 轴
性质 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值
y a(x m)2 b(x m) c （或 y a(x m)2 b(x m) c ）
三、二次函数 y ax h2 k 与 y ax2 bx c 的比较
从解析式上看， y ax h2 k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过
配方可以得到前者，即
1.
当
a
0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x
b 2a
，顶点坐标为
b 2a
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质：上加下减。
a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()00，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．a < 向下()00，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴cbx axy ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成mc bx ax y +++=2（或mc bx axy -++=2） ⑵cbx axy ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y axbx c=++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2=++关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+；()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2=++；y a x h k3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x …-7 -6-5-4-3-2 -1…y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x +2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2y (2)50 23--2 23- 0 25…【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。
最全二次函数概念的图像与性质(系统归纳)完整版.doc
二次函数的图像与性质抛物线y=ax+bx+c与坐标轴的交点:①抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）②抛物线与x轴的交点坐标为(x1,,0) (x2,,0),其中x1,、 x2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根。
抛物线与x轴的交点情况：（可由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式判定）①△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点；②△＝0⇔抛物线与x轴有一个交点；③△＜0⇔抛物线与x轴没有交点。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用：(1)a决定抛物线形状及开口方向:①若|a|相等，则形状相同。
②a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下。
③ |a|越大,开口越小.(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x= -b/2a 故①若b＝0⇔对称轴为y轴；②若a与b同号⇔对称轴在y轴左侧；③若a与b异号⇔对称轴在y轴右侧。
(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。
当x＝0时，y＝c ，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)。
①c＝0⇔抛物线经过原点；②c＞0⇔抛物线与y轴交于正半轴；③c＜0⇔抛物线与y轴交于负半轴。
（4）判断a＋b＋c的符号：可以看图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为何值决定正负。
判断a－b＋c的符号：可以看图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为何值决定正负。
利用待定系数法求二次函数的方法：①已知抛物线过三点，设一般式y=ax2+bx+c ②已知抛物线顶点（对称轴、最值）及一点，设顶点式y=a(x-h)2+k③已知抛物线与x轴的两个交点（抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式y=a(x-x1)( x-x2) 其中x1 、x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，， 且2t t -，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，， 且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ） Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式； （3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．)图(1)图(2)天)图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >． （3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价．故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593； ③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56． 综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++） （2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-<（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）．解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式． （2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．B A D MF第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b=+⎧∴⎨=+⎩ 解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=．B 图(1)图(2)l3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
二次函数的图像和性质演示文稿(共81张PPT)
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
探究
画出二次函数
y 1(x1)2 2
y 12(x、1)2
的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶
点.
解:列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y1(x1)2 … -2
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取同 一数值时，这两个函数 的函数值之间有什么关
系?反映在图象上，相应
的两个点之间的位置又
口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．
y＝ax2
向上 y轴 (0，0)
向下
y轴 (0，0)
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝ 2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否
相同?它们有什么关系？我们应该采取什么 方法来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象，并
加以比较
y2x2 1
y 2x2
x … –1 –0.6 –0.3 0 0.3 0.6 1 …
y=3x2 … 3 1.08 0.27 0 0.27 1.08 3 …
y=3x2–1 … 2 0.08 –0.73 – 1 –0.73 0.08 2 …
（2）二次函数 y=3x²－1 的图象
与二次函数
y=3x²的图象有
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y axc=+的性质：上加下减。
a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()00，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．a < 向下()00，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4. ()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴cbx axy ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成mc bx ax y +++=2（或mc bx axy -++=2） ⑵cbx axy ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，cbx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y axbx c=++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y axbx c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2=-+；y ax bx c()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2=-+-；y ax bx c()2=-+关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k()2=-+-；y a x h k4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y axbx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x 2+2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x xy 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x xy2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x… -7-6-5-4 -3-2-1 …y…25 0 23- -2 23- 0 25… 【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。
二次函数的图像与性质
在数学其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用，例如最优化问题、供需关系等。 二次函数在物理学中的应用，例如抛物线运动、弹簧振动等。 二次函数在计算机科学中的应用，例如算法设计、数据拟合等。 二次函数在工程学中的应用，例如建筑设计、机械运动等。
在物理和工程中的应用
抛物线运动：描述 物体在垂直方向上 的运动轨迹
程
对称轴的证明
证明方法：利用 二次函数的对称 性，通过代入法 证明对称轴的存 在
证明过程：通过 计算二次函数在 x轴上的交点， 推导出对称轴的 方程
证明结论：二次 函数的图像关于 对称轴对称，且 对称轴的方程为 x=-b/2a
证明意义：理解 二次函数图像的 对称性质，有助 于解决与二次函 数相关的数学问 题
与坐标轴交点坐标的证明
证明方法：通过令二次函数等于0，解出x的值，得到与y轴交点的坐标
证明过程：将二次函数的一般形式代入x=0，得到y的值，即为与y轴的交点坐标
证明结果：当x=0时，y的值即为与y轴的交点坐标 证明结论：通过以上步骤，可以证明二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)
汇报人：XX
调递增
添加标题
应用：二次函数在 数学、物理等领域 有广泛的应用，如 求最值、解决实际 问题等；反比例函 数在物理、工程等 领域也有应用，如 计算电容量、电流
等
添加标题
与指数函数的比较
表达式：二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，指数函数的一般形式为y=a*x^n，其中n>0且 n≠1
图像：二次函数的图像是一个抛物线，而指数函数的图像则是一条单调递增或递减的曲线
与反比例函数的比较
函数形式：二次 函数的一般形式
为 y=ax^2+bx+c，
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是一种重要的函数形式，在数学中被广泛应用。
它的一般形式可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在平面直角坐标系中的图像常常是一个开口向上或向下的拱形，它的图像特征和性质对于学习数学有着非常重要的作用。
本文将介绍二次函数的图像及其性质。
一、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形，它的开口方向由二次项系数a的符号决定。
当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
同时，二次函数的图像在坐标系中的位置取决于它的顶点坐标。
顶点坐标可以通过求解函数y=ax²+bx+c的导数y'=2ax+b=0得出，即x=-b/2a，从而得出y的值。
因此二次函数的图像可以确定它的开口方向和顶点位置。
二、二次函数的极值二次函数的和常常需要寻找它的极值，即函数的最大值或最小值。
对于一个开口向上的二次函数，它的最小值为它的顶点值，即当x=-b/2a时，y的值最小。
而对于一个开口向下的二次函数，它的最大值同样也在顶点处，即当x=-b/2a时，y的值最大。
因此，确定二次函数的顶点坐标对于求解函数的极值非常重要。
三、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是一个非常重要的性质。
它是指二次函数图像上的一条线，使得函数图像关于这条线对称。
对称轴垂直于函数图像的开口，过函数图像的顶点，即它的方程为x=-b/2a。
对称轴将函数图像分成两个对称的部分，使得函数图像的左右部分完全一致。
四、二次函数的零点二次函数的零点是指函数图像和x轴相交的点，即函数值y=0时的x值。
求解二次函数的零点可以使用因式分解方法，也可以使用求根公式根据b²-4ac的值求出。
如果b²-4ac≥0，则存在两个实数解，如果b²-4ac<0，则没有实数解。
二次函数的零点在函数图像上是它与x轴的交点，它们之间也可以确定二次函数的性质。
word完整版二次函数图像以及性质完整归纳,文档
适用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax 2的性质：a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质0，0 x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值0．x 的增大而减小；a0，0 x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下 y 轴x0时，y 有最大值0．x 的增大而增大；的绝对值越大，抛物线的张口越小。
yax 2c 的性质：上加下减。
a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a0，c x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值c ．x 的增大而减小；a 00，c x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下y 轴x0时，y 有最大值c ．x 的增大而增大；3.yax 2h 的性质：左加右减。
a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a 0 向上 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而增大； xh 时，y随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值0．a 0 向下 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小； xh 时，y随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值0．4.yax 2hk 的性质：a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴性质a0h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hx h时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hx h时，y有最大值k．随x的增大而增大；文案大全适用标准文档二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线分析式转变为极点式yaxh 2h ，k ；k ，确立其极点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变为yax 2 bx c m （或y ax 2 bx cm ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2 bx c 变为ya(x m)2 b(x m) c （或y a(x m)2 b(x m) c ）三、二次函数yax h 2k 与y2bx c 的比较ax从分析式上看， y a x 2k 与y ax 2 bxc 是两种不一样的表达形式，后者经过配hb 24ac b 2b，k4ac b 2方能够获得前者，即y a x，此中h ．2a4a2a4a四、二次函数yax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式y a(x h)2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x 1，0 ，x 2，0（若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.文案大全五、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．2a2a4a当x b时，y随x的增大而减小；当x b时，y随x的增大而增大；当x b 2a2a2a 2时，y有最小值4acb．4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．当2a2a4ax b时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x b时，y 2a2a2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数分析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：y a(x h)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：y a(x x1)(x x2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0．⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边．2a文案大全⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边．2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．ab的符号的判断：对称轴xb0，在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab2a归纳的说就是“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y ax2bx c对于x轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2yax h2 k对于x轴对称后，获得的分析式是k；对于y轴对称y ax2bx c对于y轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2y ax h2 k对于y轴对称后，获得的分析式是k；文案大全适用标准文档对于原点对称y ax2bx c对于原点对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y ax h 2y a x h2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y ax2bx c对于极点对称后，获得的分析式是y ax2bx c b2；2ay ax h 2y a x h2k．k对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称y ax h 2y a x h22nk k对于点m，n对称后，获得的分析式是2m依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必定不会发生变化，所以a永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，而后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参照：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x2y=2(x-4)2x2十y=2y=2(x-4)2-3一、y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=-2x2文案大全适用标准文档【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y1x24x6的图象1x221(x2【解】y4x68x12)22 1[(x24)2-4]1(x24)2-222以x4为中间值，取x的一些值，列表以下：x-7-6-5-4-3-2-1y 53-2352222【例2】求作函数y x24x3的图象。
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象 （2） 归纳分析 y ax 2 的性质 引导学生进行横向对比观察，纵向对 比观察，教师重点关注学生能否得出 性质是由解析式决定的，也就是 a 的 作用 师生共同小结：由上面的函数图像概 括出： （1） 二次函 数的 y ax 图像形
2
如物体抛射时所经过的路线， 我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做 抛物线的顶点。 注意： 顶点不 是与 y 轴的交点。 （4） 当 a＞0 时，抛物线的开口向 上，顶点是抛物线上的最低 点，图像在 x 轴的上方(除顶 点外)；当 a＜0 时，抛物线的 开口向下， 顶点是抛物线上的 最高点图像在 x 轴的 下方
2
（1）让学生自己经 历画 y=x2 的图像的 过程， 进一步了解用 描点法的方法画图 象的基本步骤， 为将 来画其他函数的图 象奠定基础， 同时也 培养了学生动手操 作能力， 经历了知识 的形成过程。
（2）探究 y=x2 的性质 （2）引导学生独立思考或合作交流， 分析 y=x 的性质， 在探究过程中， 教 师引导学生从“形”加以观察，能否 从“数”加以解释，重点关注： §4 学生是否具有用数学语言描述图
(除顶点外)。
自我点评
根据教学目标、教学重点和难点的分析，我首先引导 学生回顾二次函数基本概念， 用描点法画函数图象的方法， 激活学生原有的知识，然后让学生自己经历画 y=x2 的图 象， 在学生作品的展示过程中， 逐步完善画 y=x 图象的步 骤，并让学生从“形”直观观察 y=x2 的性质，从“式”来 2 加以解释分析性质。再类比 y=x 的图象和性质的研究方 法，研究 y=-x2 的图象和性质，最终归纳 y=ax2 的图象和 性质。在整个教学设计过程中，学生将经历从特殊到一般 的探究过程，经历知识产生、形成的过程；体会类比、数 形结合、分类讨论的思想；体验观察、感受、讨论、探究、 总结的学习方法；实现学生自己动手、主动探索、合作交 流学习方式的转变；提升学生自己观察问题、分析问题、 解决问题的能力。 本节课的设计体现了 “学会学习， 为终身学习作准备” 的教育理念，突出学生在活动过程中的参与意识、探究方 式、表达能力及合作交流的意识，最大限度地实现学生的 主体地位，使数学教学成为一种“过程”教学，让学生在 “数学活动”中获得数学的“思想、方法、能力、素质” ， 同时获得对数学的情感。教师在整节课的活动中，扮演的 是学生学习的参与者、合作者、指导者和支持者的角色。
仿照前面研究函数的方法来 特征，与上表中连线，用平滑曲线按照 x 由小到大的 2 形式即 y ax 入手。因此本 顺序连接起来， 从而分别得到 y x 节课要讨论二次函数 y ax
2 2
（ a 0 ）的图像。 板书课题：二次函数 y ax 2 （ a 0 ）图像 二、探索图像 1、 用 描 点 法 画出 二 次 函 数
教学目标
从而经历知识的归纳和探究过程，体会从特殊到一般，类比、分类讨论的思 想。
德育目标： 通过画函数图象，并借助图象研究函数性质，体验数与形的内在联系， 感受函数图象的简洁美，对称美；在探究二次函数图象和性质的活动中，渗 透与他人交流，合作的意识和探究精神，培养学生探索、观察、发现的良好 品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦， 加强继续学习的兴趣。 教学重点 教学难点 问题与情景 y=x2 和 y=-x2 的图象和性质。 结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳 总结出来. 师生行为 设计意图 通过创设问题情景， 引导学生复习描点
一、活动 1：回顾知识 教师提出问题，学生独立思考 前面我们在学习正比例函数、 教师重点关注：
一次函数和反比例函数时时 §1 学生能否联想到研究函数的方法 法， 复习借助图像分 如 何 进 一 步 研 究 这 些 函 数 从特殊到一般的，分类的思想 析性质的过程中注 的？ 先（用描点法画出函数 §2 学生能否正确使用“描点法”的 意分类讨论、 由特殊 的图像，再结合图像研究性 质。 ） 回顾旧知识回顾 那么二次函数 y=ax2 +bx+c（a ≠0）的图象会是什么样？通 常 怎 样画 一个 函 数的 图 像 呢？------引入课题引入：我们 方法来画图像，能否说出“描点法” 的基本步骤：列表、描点、连线 §3 引入课题后，分析研究 远期目标是：y=ax2 +bx+c（a≠0）的 图象 近期目标是：y=ax2 的图象 要求学生： （边描点， 边总结点的位置 到一般的解决问题 的方法， 为学习二次 函数的图像奠定基 础
和 y x 2 的图像。
y x 2 和 y x 2 图像
（1） 列表 -1 1 -1
1 2 1 4 1 4
0 0 0
1 2 1 2 4 1 4
1 1 -1
1 2 1 2 4 1 -2 4 1
2 4 -4
„ „ „
引导学生观察上表，思考一下 问题： ①无论 x 取何值， 对于 y x 2 来说，y 的值有什么特征？对 于 y x 2 来说，又有什么特 征？
2
（2）让学生自己去 观察去分析， 过程让 学生自己去感受， 结
象特征的能力 2 §5 学生是否注意到 y=x 的图象不 同于反比例的双曲线，延伸方向不一
论让学生自己去总 结， 实现学生主动参 与、 探究新知的目的
样？于是出现抛物线， 开口， 对称轴、 （3）体会数形结合 顶点（最低点）等相关概念 的思想 §6 学生是否注意到 y 随 x 的变化情 况是以对称轴的左右两侧来考虑的 §7 学生能否根据列表中的取值和 点的坐标（x，y）（-x，y）在图象上 ， 解释对称性 §8 学生能否根据解析式 y=x 中，y ≥0 分析最小值解释最低点 （1） 教师通过投影展示学生作品， 引 （1）进一步让学生 活动 3： 问题 3： （1）画出 y=-x2 的图象并探 究其性质 导学生类比 y=x2 性质来分析 y=-x2 性质，教师重点关注学生能否说出两 者的共同点和不同点 （2）教师多媒体演示在同一坐标系 下 y x 2 ，y= 熟悉描点法画二次 函数的步骤和借助 图象分析函数性质 的基本方法 （2）通过观察、分
活动 2： 问题 2： （1）画出 y=x2 的图像
教师提出问题后，鼓励学生类比一次 函数和反比例函数的方法，通过描点 法尝试自己画出 y=x2 的图像， 在探索 过程中，投影展示学生的作品，教师 重点关注： §1 学生在列表过程中，是否注意到 自变量的取值范围，自变量的取值是 否有一定的代表性？ §2 在列表的过程中，描出的点越多 图象越精细 §3 连线时，必须按照自变量由小到 大（或由大到小）的顺序，用平滑的 曲线依次连接
《二次函数 y=ax2 的图象和性质》教学设计
课程名称 知识与能力目标：
《二次函数 y=ax2 的图象和性质》
知识目标：会用列表描点法画二次函数 y=ax2（a≠0）的图象；结合图 象初步理解抛物线的开口方向，对称轴，顶点及 y 随 x 的变化情况，体会其 性质； 让学生自己尝试去画 y=x2 和 y=-x2 图象，在经历中逐步完善用描点法 画 y=ax2 的步骤；在画图过程中引导学生去观察 y=x2 和 y=-x2 的图象，发 现其性质，并能自己归纳概括出 y=ax2 的性质，建立简单的二次函数的模型
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1 2 x ， y 3x 2 图象 2 析、 总结出 y ax 2 1 2 2 2 y x ， y x ， y 3x 图 的性质， 使学生经历 2
从特殊到一般的过 程，体验知识产生、 形成过程， 逐步达到 培养学生抽象概括 能力和激发求知欲 望， 同时体会类比和 数形结合的思想， 分 类讨论的思想。