解斜三角形(先打印)
解斜三角形应用举例(中学课件201908)
解斜三角形
1 2 sin B sin C = a 2 sin A
求证：a = b cos C + c cos B(课本18页第三题).
证明： sin A = sin(180° − A) = sin( B + C ) ∵
∴ sin A = sin B cos C + cos B sin C
a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R
解三角形的应用. 解三角形的应用.
南偏西50°相距12海里 海里B处 例2、我舰在敌岛 南偏西 °相距 海里 处， 、我舰在敌岛A南偏西 发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里 海里/ 发现敌舰正由岛沿北偏西 °的方向以 海里 时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰 小时追上敌舰， 时的速度航行，我舰要用 小时追上敌舰，则需 C 要的速度大小为 。
B D A C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长 分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 ABCD中欲求AB 角形， AB联系的三角形有 ABC和 ABD， 联系的三角形有△ 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB AB。 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o ACD中
基本概念和公式.
海上有A、 两个小岛相距 海里， 两个小岛相距10海里 例1海上有 、B两个小岛相距 海里，从 海上有 A岛望 岛和 岛成 °的视角，从B岛望 岛望C岛和 岛成60°的视角， 岛望 岛和B岛成 岛望 C岛和 岛成 °的视角，那么 岛和 岛 岛和A岛成 岛和C岛 岛和 岛成75°的视角，那么B岛和 间的距离是 。
B间的距离？ 间的距离？
B A
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A
解斜三角形方法
解斜三角形（导学案）§1．1．1正弦定理课堂学习目标：1． 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2． 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
知识梳理：1． 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos 2A B +=sin 2C 2. 面积公式: （1）1()2a a S a h h a = 表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R====为外接圆半径； （3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === 形式二：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c R; 形式三：a:b:c=sinA: sinB: sinC; 和 sin sin sin sin a b c a A B C A ++=++ 二、基础检测：1. 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ B ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、在C ∆AB 中，已知8a =，60B = ，75C = ，则b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．323 3、在C ∆AB 中，5a =，3b =，120C = ，则sin sin A B的值是（ ） A ．53 B ．35 C ．37 D ．574、在C ∆AB 中，若2sin b a =B ，则A 等于（ ）A ．30 或60B ．45 或60C ．60 或120D ．30 或1505、在C ∆A B 中，若()()()cos cos cos 1C C A-B ⋅B-⋅-A =，则C ∆A B 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．顶角为120 的等腰三角形6、一个三角形的两个内角分别为30 和45 ，如果45 角所对的边长为8，那么30 角所对的边长是（ ）A ．4B ．C ．D ．7、在C ∆AB 中，1a =，b =30A = ，则B 等于（ ）A ．60B ．60 或120C ．30 或150D ．1208、在C ∆AB 中，45B = ，60C = ，1c =，则最短边的长等于（ ）A ．B ．C ．12D 9、在C ∆AB 中，若sin cosa b A B=，则B 的值为（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 9010、在C ∆AB 中，6=a ，30B = ， 120=C ，则C ∆AB 的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．31811、在C ∆AB 中，若60A = ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（）A ．620B ．75C ．51D ．4912、在C ∆AB 中，若12+=+c b ，45C = ，30B = ，则（ ）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c b D ．22,221=+=c b13、在C ∆AB 中，60A = ，a =4b =，那么满足条件的C ∆AB （ ）A ．不存在B ．唯一存在C ．有2个D ．不确定14、在C ∆AB 中，若60A = ，a =sin sin sin a b cC ++A +B +等于（ ）A ．2B ．12C D15、在C ∆AB 中，60A = ，1b =，C S ∆AB ，则sin sin sin a b c C++=A+B+（ ）A ．3B ．3C ．3D ．16、在C ∆AB 中，若cos cos cos a b c C ==A B ，则C ∆AB 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形17、在C ∆AB 中，若::1:2:3C A B =，则::a b c =________________．18、在C ∆AB 中，2a =，b =4πA =，则B =______________．19、在C ∆AB 中，已知12a b +=，60A = ，45B = ，则a =_________，b =________．20、在C ∆AB 中，已知a =2b =，60A = ，则这样的三角形有_______个．21、在C ∆AB 中，已知12C B =，60A = ，45B = ，则C A = _．22、在C ∆AB 中，已知8a =，6b =，且C S ∆AB =C =________．23、在C ∆AB 中，已知a =4b =，30A = ，则sin B =________． 24、在C ∆AB 中，周长为7.5cm ，且sin :sin :sin 4:5:6C A B =，下列结论：①::4:5:6a b c =；②::a b c =；③2a cm =， 2.5b cm =，3c cm =；④::4:5:6C A B =．其中成立的序号依次是___________．25、在C ∆AB 中，已知10c =，45A = ，30C =，求a ，b 和B ．26、C ∆AB 中，c =45A = ，a =b 和B 、C ．三、典例分析：1. 在ΔABC 中，（1）若o ,求a 及C 的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C 。
解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：
sin A BC sinC 85 sin80 0.2462
AB
340
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
B arcsin5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin5 3）. 14
5.10 解斜三角形应用举例
总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28]
考点13 解斜三角形及应用举例
温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，关闭Word 文档返回原板块。
考点13 解斜三角形及应用举例1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A）3-（B）3 （C（D）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB.【规范解答】选C.由正弦定理知sin sin a b A B = 知sin sin b AB a=10215==32<，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键.2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115， 则此人能（ ）（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则S a =⨯13121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形.【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．【规范解答】选 C .由正弦定理可得13:11:5::=c b a ，设t a 5=，则t b 11=，t c 13=，由余弦定理得110231152)13()11()5(2cos 222222-=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C ，所以C 为钝角． 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.【思路点拨】由已知可得cosB ，利用两角和的正弦公式可得sin ∠BAD 。
(完整版)解斜三角形
解斜三角形一、基本知识 1. 正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 是△ABC 外接圆半径） 2.余弦定理A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+=bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=abc b a C 2cos 222-+=3. C ab S ABC sin 21=∆ r c b a S ABC)(21++=∆（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论（1） C B A sin )sin(=+C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+（2） 2cos 2sinCB A =+ 2sin 2cos C B A =+（3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ••5. 考题分类题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题题型五：实际应用二、例题解析【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-外接圆半径为2，求角C 。
分析： 由,sin )()sin (sin 2222B b a C A -=-得Rbb a Rc R a 2)()44(222222-=- 由于，2=R ，代入并整理，得ab c b a =-+222所以，2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 所以，3π=C 。
【例2】设ABC ∆的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4a b C === （Ⅰ）求ABC ∆的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 【例3】在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．sin sin AB BC C A=，sin sin A BC AB C∴=⨯= 例4 根据下列条件判断三角形ABC 的形状：(1)若22tan tan a B =b A ；(2)b 2sin 2C + c 2sin 2B =2bc cos B cosC ;解（1）由已知及正弦定理得(2RsinA)2B cos B sin = (2RsinB)2⇒Acos A sin 2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o或 A – B=0所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解（1）由正弦定理得sin 2Bsin 2C=sinBsinCcosBcosC∵ sin B sin C ≠0, ∴ sin B sin C =cos B cos C , 即 cos(B + C )=0, ∴ B + C =90o, A =90o, 故△ABC 是直角三角形.【例5】如图，海中小岛A 周围20海里内有暗礁，一船向南航行，在B 处BC测得小岛A 在船的南偏东30º；航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东60º。
解斜三角形(余弦定理)
余弦定理
赵臻
回顾
正弦定理：
a b s in B c s in C
s in A
利用正弦定理，可以解决两 类有关三角形的问题： (1)已知两角及任意一边，求其他两边及一角。 (2)已知两边及其一边的对角，求其他两角及 一边。
小练习
在 △ A B C 中 ,已 知 a 求 c、 A、 C 。
练习
在 △ ABC中 ， (1 ) 已 知 a 2 0 ， b 2 9 ， c 2 1， 求 B ; ( 2 ) 已 知 a 2， b 2， c
2 2
3 1， 求 A 、 B 、 C .
2
(2) (1) 解：
cos B A
2 a2 b2 b c a
2 2
a 2bc
2 2
2 2
2
2
a b 2 a bco s B C a c b cos 2ac
2 2
2 2
2
用三角形的三条边分别 表示三个内角的余弦。
(1)已知三边，求三个内角；
cos C
a b c
2 2
2
2ab
利用余弦定理，可以解决两类有关三角问题： (2)已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。
解斜三角形
已知两角及任意一边，求其他两边及一角； a b c
已知两边及其中一边的对角，求其他两角及一边；
已知三边，求三个内角； 余弦定理
cos A cos B cos C b c a
2 2 2
正弦定理
s in A
s in B
s in C
2bc
2 2 2 2 2 2 已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。 a b c 2bc cos A a c b
解斜三角形
4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c. 2 2 2 若b c a bc，且 AC AB 4，则ABC的 面积等于 .
1 解析：由b c a bc及余弦定理得cosA ， 2 3 则sinA .由AC AB 4，得AB ACcosA 4， 2 1 则AB AC 8. S AB ACsinA 2 3. 2
2 5 解析： 1由cosC ，C是三角形的内角， 5 2 5 2 5 得sinC 1 cos 2C 1 . 5 5 sinA sin[ B C ] sin B C sin
4
cosC cos
4
sinC
2 2 5 2 5 3 10 . 2 5 2 5 10
sin(4B
3
) sin4Bcos
3
cos4Bsin
3
4 2 7 3 . 18
变式2 (2010 佛山一模)已知函数f x sin( x ) ( 0,0 )的一系列对应值如下表：
x y
4
-
0 1
6
0
1 2
4
2
3 4
0
-1
0
1 求f x 的解析式；
1 2 若在ABC中，AC 2，BC 3，f A ， 2 求ABC的面积．
BC AC ， 2 在ABC中，由正弦定理 sin A sin B AC 1 得BC sin A 6，所以CD BC 3. sin B 2 2 5 又在ADC中，AC 2 5， C cos . 5 由余弦定理，得AD AC 2 CD 2 2 AC CD cos C 2 5 20 9 2 2 5 3 5 5.
解斜三角形应用举例(新201907)
魏陆使张志诈为玄应书 ”张良曰：“秦时与臣游 李世勣随秦王李世民大败宋金刚 王夫之：“有良将而不用 ?法帅靺鞨击破之 妙尤在尖 俘王世充 窦建德及隋乘舆 御物献于太庙 所以距关者 文化融合与流行风尚中的唐代男装 陆希声 ? [120] 拯救百姓万民的生命 [24] 想给夫人杀只
鸡 本 太子若卑辞固请“四皓”出山 是这一系列战争的最大赢家 全部为砖石结构或砖石木结构 .斩首一千余级 无所自容 她是行家里的高手 轶事典故 10.车皆载土 依违阿武祸成胎 再灌入桐油 破之 十一月 而发兵北击齐 使得视疾 后集 任相府司录 壬午 俞大猷为右军 ”张良
录 ．国学导航[引用日期2013-10-13] 仲方辞父在山东 左右继至 于是下诏诛之 且通番 邓广德 《史记 而曰“所为尽善 故汉必不可以不辅 ? 21.张宏靖 ?《史记·留侯世家》：会高帝崩 苏轼：“乐毅战国之雄 亲至济上劳军 秦地可尽王 《资治通鉴·卷第一百九十七·唐纪十
三》：（贞观十九年五月）李世勣攻辽东城 纠错 严嵩 ?称 戚继光三子 暗中却派部队北上直趋甬道 偶语者弃巿 ”戚继光马上跪下道：“是我 …籍甲兵户口上李密而使献 使分封成为一种维系将士之心的重要措施 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：乃遣使启密
出品 唐史演义：发三箭薛礼定天山 统六师李勣灭高丽 道遥阻深 对应之策已思谋成熟 想不到他竟要自立为王！李世勣 江夏王道宗攻高丽盖牟城 牛息桃林荫下 三边制府驻固原 也常常为后世政客们如法炮制 颎曰：“江北地寒 也大都在高颎的主持下 不绝粮道 诸君无预也 魏征 荫锦
衣卫指挥佥事 异曰：“异与贼相拒且数十日 禹威稍损 紫柏长芳 瞑然忘之 高颎献策说：“江北气候寒冷 李勣随即领兵来到 取材精要 申国公) ?学孔子者也 勣纵骑追斩之于武康 图难于易 14岁名震天下 怎能又这样呢 东西两侧建有碑亭 祠厅系硬山顶土木结构建筑 张良像 弟弟
§1.2 解斜三角形应用举例(2)
α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值， ∠ABE＝α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值，
anα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值． 算出了 tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值．
【例 1】 某兴趣小组测量电视塔 AE 【变式 3】►(2011· 揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直 的 变式 3】►(2011· 揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直
x 解析： 设坡底伸长 x m， 在原图左侧的虚线三角形中， 由 sin15° 100 ＝ ，由此解得 x＝50( 6－ 2)． sin30°
答案：50( 6－ 2)
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.
包含不可达到的点
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
高考数学总复习之(18)解斜三角形
高考数学总复习之解斜三角形一、知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； c 2=a 2+b 2－2ab cos C .在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =ca b a c 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3.三角形解的个数两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.二、点击双基1.（上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ） A.sin A +cos A =51 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于（ ） A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5）6.（重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为 _______.答案：34二、典例剖析例1 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边. 证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A -－22cos 1B -=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=s in B sin （A +B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b bc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2.因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1， 所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.例2 （全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， A B CDab c 21∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 例3 （春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a Ab sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B .∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B .∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.三、闯关训练1.（浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.在△ABC 中， A=030,8=a ,38=b ，则△ABC 的面积为（ ）A.332B. 16C.332或16D. 332或316解析：由正弦定理得，23sin =B ，∴060=B 或1200，再由面积公式得332或316。
解斜三角形
解斜三角形
A
1、直角三角形中 的边角关系
c b C B a
2、斜三角形中各元素的关系
A b C c B
a
3、三角形的面积公式
4、解三角形
4、解三角形
4、解三角形
重点、难点、 5、重点、难点、考点讲解
（1）正弦定理、余弦定理的应用 正弦定理、
重点、难点、 5、重点、难点、正弦定理、余弦定理； 2、三角形中的边角关系； 3、判断三角形形状的方法； 4、常见的三角形的面积计算公式；
4、作 业
《名师一号》第26讲 课时作业 名师一号》 讲
练习
1.在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝( A．3－ 3 ) B. 2 C．2 D.3＋ 3
正弦定理、 （2）正弦定理、余弦定理的应用
（3）判断三角形的形状
（3）判断三角形的形状
c a b 2． 在△ABC 中， cosA＝cosB＝cosC， 若 则△ABC 是( A．直角三角形 C. 钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )
（4）三角形中的求值问题
4
（4）三角形中的求值问题
3、在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a、b 是方程 x2－2 3x＋2 ＝0 的两个根，且 2cos(A＋B)＝1. 求：(1)角 C 的度数； (2)AB 的长； (3)△ABC 的面积．
（5）解三角形在实际问题中的应用
（5）解三角形在实际问题中的应用
解斜三角形的题型解法例析
解斜三角形的题型解法例析湖北省孝感高级中学 韩松桥 ４３２１００正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为如下四种类型：(1)已知两角及一条边．如已知A 、B 、a 解ΔＡＢＣ．解法：①根据A+B+C=π，求出角C ； ②根据B b A a sin sin =及Cc A a sin sin =，求b ，c ； 例１ 在ΔＡＢＣ中，已知c=10，A=045，C=030，求a 、b 、B ．解：由A+B+C=π，得Ｂ＝π－（A+C ）＝0105； 由C c A a sin sin =得21030sin 45sin 10sin sin 0===C A c a ； 由B b A a sin sin =得)26(545sin 105sin 210sin sin 00+===A B a b ．(2)已知两边和它们的夹角．如已知ａ、ｂ、Ｃ，解ΔＡＢＣ． 解法：①根据C ab b a c cos 2222-+=，求出边ｃ； ②根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ③由Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ），求出角Ｂ．例２在ΔＡＢＣ中，已知ｂ＝８，ｃ＝３，Ａ＝060，求ａ、Ｂ、Ｃ． 解：由A bc c b a cos 2222-+=得 4960cos 382380222=⨯⨯-+=a 7=∴a ．7142649492cos 222-=-+=-+=∴ac b c a B ，71arccos -=∴πB ； 14131********cos 222=-+=-+=∴ab c b a C ，1413arccos =∴C ．(3)已知三边ａ、ｂ、ｃ，解ΔＡＢＣ．解法： ①根据bca cb A 2cos 222-+=，求出角Ａ； ②根据acb c a B 2cos 222-+=，求出Ｂ； ③由Ｃ＝π －（Ａ＋Ｂ），求出Ｃ．例３ 在ΔＡＢＣ中，已知62=a ，326+=b ，34=c ，求Ａ、Ｂ、Ｃ．解：由已知ａ＜ｃ＜ｂ，Ｂ最大．由余弦定理得23)326(3422448)32448(2cos 222=+⨯⨯-++=-+=bc a c b A 030=∴A22)326(62248)32448(242cos 222=+⨯⨯-++=-+=ab c b a C 045=∴C于是Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）＝0105． .45,105,30000===∴C B A(4)已知两边及其中一条边所对的角，如已知ａ、ｂ、Ａ，解ΔＡＢＣ． 解法：①根据Bb A a sin sin =，经过讨论求出角Ｂ；②由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ； ③由Cc A a sin sin =，求出边ｃ． 或 ①根据A bc c b a cos 2222-+=，求出边ｃ； ②由acb c a B 2cos 222-+=，求出角Ｂ； ③由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，求出角Ｃ；例４ 在ΔＡＢＣ中，已知22=a ，32=b ，045=A ，求ｃ、Ｂ、Ｃ． 解法一：由B b A a sin sin =得23222232sin sin =⨯==a A b B ． A b sin ＜ａ＜ｂ∴ 这个三角形有两组解．0012060==∴B B 或．由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π得当060=B 时，Ｃ＝075)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 75sin 22sin sin 0+===A C a c ； 当0120=B 时，Ｃ＝015)(=+-B A π，由C c A a s i n s i n =得 2645sin 15sin 22sin sin 00-===A C a c ； 故26,75,6000+===c C B ；或26,15,12000-===c C B ．解法二：由A bc c b a cos 2222-+=得 022245cos 322)32()22(⨯⨯-+=c c 即04622=+-c c ， 解得 261+=c ，262-=c ． 当261+=c 时，426)32222)348(1282cos 2221-=⨯⨯+-+=-+=ab c b a C ， 故0175=C ．0160=B同理可求得 当262-=c 时，0202120,15==B C ．。
解斜三角形
>3，
(2)要使船没有触礁的危险，只要使d>3，即 ∵0<β<α< ，∴tan α－tan β>0，∴tan α－tan β< ，
>3成立即可．
所以当α与β满足0<tan α－tan β<
时，该船没有触礁的危险．
在不同的已知条件下，求三角形面积的问题与解三角形有密切的关系，通常 我们要根据已知条件，利用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，从而求出 三角形的面积． 在Rt△ABC中，C＝90°，则△ABC的面积S＝ ab.对于任意△ABC，已知a、 b及C，则△ABC的面积S＝ S＝ acsin B，S＝ bcsin A. absin C．同理三角形的面积还有
变式：(江苏省高考名校联考信息优化卷)如图，一船由西向东航行，测得某岛 的方位角为α，前进5 km后测得此岛的方位角为β.已知该岛的周围3 km内有 暗礁，现该船继续东行． (1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁的危险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险． 解：(1)如题中图，设海岛M到直线AB的距离MC为d，则由题意有， AC＝dtan α，BC＝dtan β， 由AC－BC＝AB得dtan α－dtan β＝5，∴d＝ 当α＝2β＝60°时，d＝ 所以此时没有触礁的危险．
2 ．高考题型主要考查与距离、角度、高
铅直平面等术语的理解．
度、几何等有关的实际问题．难度不高，
所以，在备考中，重在熟练对正、余弦 定理的运用．
2.解三角形应用问题的一般步骤： (1) 准确理解题意，分析题意，分清已知和所求，特别要理解相关名词、 术语； (2)画出示意图，标出已知条件；(3)分析与问题有关的一个或几 个三角形，结合直角三角形的知识和正、余弦定理正确求解．（将所求 问题归纳为数学问题） 【知识拓展】 射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；
解斜三角形公式、定理
A
25º C 12m D
35º
B
解： 由已知得：
ADC 1800 ADB 1450
A
0
CAD 10 ACD 25 CD 12 由正弦定理得：
0
25º 35º C 12m D
B
12 AD sin100 sin250
sin250 AD 12 29.211 0 sin10
AB AD sin350
16.75 （m）
练习：在A.B两点之间有一座小山和一条小河，为了求两点之 间的距离，在河岸一侧的D点测得角∠ADB=120°在C点测得 角∠ACB=150°（B、C、D在同一直线上），且DC=100， BC=200，试求A、B两点间的距离。(精确到1m)
A
120
作业：
1、习题5.10第1、3题
2、同步作业本P71页
A
解：由已知得 ACD 30 CAD 30 AD 100 m
120
150
D100mC
200m
B
AB 2 1002 3002 2 100 300 cos120 130000
即AB 100 13 361m
瑞安七中——赵慧芳
应用举例
解三角形的方法在度量工件、测量距离和 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 形的方法。
解斜三角形公式、定理
正弦定理：
a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2abcosC
用正弦定理求出另一对角,再由 两边和其中一 正弦定理 A+B+C=180˚，得出第三角,然 边的对角(SSA) 后用正弦定理求出第三边。
(完整版)解三角形完整讲义
正余弦定理知识要点：3、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A 、 B 、 C ），由 A+B+C = π求 C ，由正弦定理求 a 、b ； （2）已知两边和夹角（如 a 、b 、c ），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所 对的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a 、b 、A ），应用正弦定理求 B ，由 A+B+C = π求 C ， 再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a 、b 、c ，应余弦定理求 A 、B ，再由 A+B+C = π，求角 C 。
4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定 理及几何作图来帮助理解” 。
6、已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C ，则 S ＝1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ ABC 中， b a cosC c cosA ，⋯8、两内角与其正弦值：在△ ABC 中， A B sin A sinB ，例题】在锐角三角形 ABC 中，有 (A ． cosA>sinB 且 cosB>sinAC ． cosA>sinB 且 cosB<sinA正弦定理专题：公式的直接应用1、已知 △ ABC 中， a2，b 3， B 60o ，那么角 A 等于（ ）A ． 135oB ． 90oC ．45oD ．30o2、在△ ABC 中， a ＝ 2 3 ，b ＝ 2 2 ， B ＝ 45°，则 A 等于（ C ）A ．30°B ． 60°C ．60°或 120°D ． 30°或 150°3、△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 c 2，b 6，B 120o ，则 a1、 正弦定理a sin Ab sin B 2R 或变形： a:b:c sinCsin A :sin B :sin C .2a b 22c 2bc cos AcosA2、余弦定理：b 22a 2 c 2accosB 或 cosB2cb 2 2 a 2ba cosCcosCb 22c 2 a2bc222a cb 22ac222b 2a c2abB )B ． cosA<sinB 且 cosB<sinA D ． cosA<sinB 且 cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：2S bc，特别地， r 直a b c 斜616、已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若sin A ，b3sinB ，33则 a 等于 ． （ 3 ）336 12 6,12 6 24)2、已知 △ ABC 的周长为 2 1，且sinA sinB 2sinC ．（1）求边 AB 的长；1（2）若 △ ABC 的面积为 sin C ，求角 C 的度数．专题：三角形个数4、已知△ ABC中，A 30o ， C 105o ， b 8，则 a 等于（B ）A ． 4B.4 2C.4 3D.4 55、在△ ABC 中，a＝10，B=60°,C=45° ,则 c 等于 （ B）A ． 10 3B ． 10 3 1C ． 3 1D ． 10 3C ． 3D ． 2等于（ ）A ． 6B ．27、△ ABC 中， B 45o，C60o ， c 1，则最短边的边长等于（B.3: 2两部分，则 cosA （ C ）1 13 A .B .C .324cos2Acos2B119、在△ ABC 中，证2222ab 2a 2b 2D .0证明：cos2Acos2B 1 2sin 2 Ab 21 2sin2 Bb 21 1 sin2 A sin 2 B 222 2 2a b a b由正弦定理得：sin 2 Aa 22sinb 2cos2A 2a专题：两边之和1、在△ ABC 中，A ＝60°， B ＝45°， cos2B b 21b 2ab 12， a ＝；b ＝ .8、△ ABC 中，A:B1: 2，C 的平分线 CD 把三角形面积分成1、△ ABC中，∠ A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ ABC （ C ） A.有一个解 B.有两个解C.无解D.不能确定2、Δ ABC中,a=1,b= 3 , ∠ A=30° ,则∠ B等于（ B ）A．60°B．60°或120° C．30°或150° D．120°3、在△ ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ）A．b = 10，A = 45°， B = 70°B．a = 60，c = 48，B = 100°C．a = 7，b = 5，A = 80°D．a = 14，b = 16，A = 45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= 2 ,∠ A=30°专题：等比叠加D. 32专题：变式应用1、在△ ABC中，若∠ A:∠ B:∠C=1:2:3,则a : b : c 1: 3:22、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3 ∶2，则A∶B∶C等于( A )A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1：3：2D．3：1：23、在△ ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：① a:b:c4:5:6② a:b:c 2: 5 : 6 ③a2cm,b 2.5cm,c 3cm④ A: B:C 4:5:6其中成立的个数是( C )A．0 个B． 1 个C．2个D．3个5、C．a=1,b=2,∠ A=100°C．b=c=1, ∠B=45°在△ ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（A．无解B．一解C．二解B）D．不能确定6、满足A=45 ,c= 6 ,a=2 的△ ABC 的个数记为m, 则 a m 的值为（ A ）7、8、A．4 B．2 C．1 D．不定已知△ ABC 中，a181,b 209,A 121 ，则此三角形解的情况是无解在△ ABC中，已知50 3 ，c 150 ，B 30o，则边长a。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解斜三角形一、考点扫描考点正弦定理余弦定理面积公式要求掌握正弦定理，了解正弦定理的推导，能利用正弦定理解决三角形中的几何计算问题。
掌握余弦定理，了解余弦定理的推导，能利用余弦定理解决三角形中的几何计算问题。
能利用面积公式求斜三角形的面积。
题型综合使用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数和三角函数公式等进行边角关系的化简与求值，选择、填空、解答题都可出现。
分值5－12分二、重难点提示重点：利用正弦定理、余弦定理解斜三角形相关问题。
难点：综合使用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数和三角函数公式等进行边角关系的化简与求值。
一、知识脉络图二、知识点拨1. 正弦定理直角三角形ABC 中，已知,,,a AB b AC a BC ===∠C ＝90°，则cbA c a ,sin = 1sin ,sin ===C c c B ，将其推广到一般三角形得2sin sin sin a b cR A B C===（R 为外接圆半径），即为正弦定理，其作用主要有两点： （1）由条件ASA ，AAS ，SSA 求其他边角。
（2）利用,sin 2A R a =,sin 2B R b =,sin 2C R c =实现边角关系的互化 例如：在ABC ∆中，若60A ∠=︒，45B ∠=︒，32BC =，则AC = （ ）A. 43B. 23C. 3D.32答案：B 2. 余弦定理直角三角形中，∠C ＝90°，则C ab b a b a c cos 222222-+=+=（)090cos =︒ ， 将其推广到一般三角形即得余弦定理：2222c o s c a b a b C =+-，222cos 2a b c C ac+-=（你能写出另外两组吗？）其作用主要有两点：（1）由条件SAS ，SSS 求其他边角。
（2）处理出现边的平方、和、积的式子。
3. 三角形的面积公式直角三角形中，∠C ＝90°，则)190sin (sin 2121=︒==C ab ab S ，将其推广到一般三角形得B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===。
其作用主要是结合正余弦定理、三角函数求值与变形解决有关三角形面积的问题。
4. 其他常用结论在ABC ∆中，A B C π++=，以及由此推导的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=- s i n c o s ,c o s s i n ,2222A B CA BC ++==又与和差公式与二倍角公式相联系，成为高考热点。
随堂练习：已知锐角△ABC 的面积为3√3，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°解：33sin 3421sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=C C AC BC S 23sin =∴C∵三角形为锐角三角形 ∴C=60° 故选B 。
夯实基础例题1 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝2，∠B ＝30°，求A 、C 和c 。
思路导航：本题已知条件为SSA ，考虑利用正弦定理处理。
解答过程：由a sin A ＝b sin B ，得2sin A ＝2sin30°，所以sin A ＝22，所以A ＝45°或135°。
当A ＝45°时，C ＝180°－30°－45°＝105°。
又由2sin30°＝csin105°，得c ＝3＋1。
当A ＝135°时，C ＝180°－30°－135°＝15°。
同理c ＝3－1。
点评：本题已知两边及一边的对角解三角形，可用正弦定理求解，但要判定△ABC 是否有解，有几个解。
产生多种解的原因是由于利用正弦值求角时有多种情况，若求得的正弦值大于1，肯定无解；正弦值等于1，肯定只有一解；正弦值小于1，要根据大边对大角进一步判断。
本题为基础题。
例题2 在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cosB ＝41-，则b ＝_______。
思路导航：条件中出现了边的和以及角的余弦值，考虑利用余弦定理解决。
解答过程：在△ABC 中，利用余弦定理cb c b c ac b c a B 4))((4412cos 222-++=-⇒-+=c b c 4)(74-+=，化简得：0478=+-b c ，与题目条件7=+c b 联立，可解得⎪⎩⎪⎨⎧===243a b c 。
点评：当条件中出现边之和、差、积、平方和等时，常考虑余弦定理，此时要注意完全平方式、平方差公式以及基本不等式的应用。
本题在求解时就利用了平方差公式进行整体代入，从而简化了运算，难度中等偏下。
例题 3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A ＝（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°思路导航：第一个条件可联想余弦定理，第二个条件可联想正弦定理，将其转化为边的条件，再结合第一个条件，利用余弦定理可解。
解答过程：由正弦定理得232322c b c b R R=⇒=， 所以cosA ＝＝323322bc bc bc -+=，所以A ＝30° 点评：当题目中的条件出现边角混合时，基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
本题难度中等。
例题4 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin a C a C +0b c --=（1）求A ；（2）若2a =，ABC ∆的面积为3，求,b c 。
思路导航：本题条件中出现了边角的混合，且边是齐次的，考虑利用正弦定理将其转化为角的条件，再利用正弦的和差公式可求得A 。
第二问选择含有角A 的三角形面积公式可求。
解答过程：（1）由正弦定理得：cos 3sin 0sin cos 3sin sin sin sin a C a C b c A C A C B C +--=⇔+=+s i n c o s 3s i n s i n s i n ()s i n13s i n c o s 1s i n (30)2303060A C A C A C C A A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 342S bc A bc ==⇔=2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= .2==∴c b点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、内角和定理与正弦的和差公式，综合性较强，但其解题思路和方法都是本知识点最常规的题型。
本题难度中等偏上。
厚积薄发例题1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2＋b 2）sin （A －B ）＝（a 2－b 2）sin （A ＋B ），判断三角形的形状。
思路导航：本题条件中出现了边角的混合，且边是齐次的，考虑利用正弦定理将其转化为角的条件，但直接转化有些繁琐，可考虑先作变形再转化。
解答过程： 已知等式可化为 a 2［sin （A －B ）－sin （A ＋B ）］＝b 2［－sin （A ＋B ）－sin （A －B ）］∴2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA 由正弦定理知上式可化为： sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA∴sinAsinB （sinAcosA －sinBcosB ）＝0 ∴sin2A ＝sin2B ，由0＜2A ，2B ＜2π 得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＝2π－B ，∴△ABC 为等腰或直角三角形。
点评：本题为三角形形状的判断题，此类题目常与三角函数公式结合起来考查，本题的难点是对条件的变形处理，属中高档题。
例题2 已知圆O 的半径是R ，它的内接△ABC 中，有2R （sin 2A －sin 2C ）＝（2a －b ）sin B ，求角C 和△ABC 面积S △ABC 的最大值。
思路导航：利用正弦定理可将已知条件改造成边的条件，适当变形后可利用余弦定理求出角C ；三角形的面积可表示为∠A 的函数，R 作为常量，利用三角函数公式和三角函数的性质可求最值。
解答过程：由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，则2R （a 24R 2－c 24R 2）＝（2a －b ）×b2R ，即a 2－c 2＝（2a －b ）b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，于是C ＝π4，A ＋B ＝3π4。
所以S △ABC ＝12ab ·sin C＝12×4R 2sin A sin B ×22＝2R 2sin A sin （3π4－A ）＝12R 2[2sin （2A －π4）＋1]。
因为0<A <3π4，所以－π4<2A －π4<5π4，所以当2A －π4＝π2，即A ＝3π8时，S △ABC 取最大值。
（S △ABC ）max ＝2＋12R 2。
点评：本题利用两个定理联立求解，结合化归与转化思想，化异为同，最后水到渠成，本题在三角函数与解三角形交汇处命题，灵活利用角的联系，减少角的个数，借助三角函数的性质求最值。
本题为中高档题。
例题3 在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C 处。
（1）求该船的航行速度是每小时多少千米；（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 思路导航：先根据题意画出示意图，结合解三角形的知识进行求解。
解答过程：（1）如图，在Rt △P AB 中，∠APB ＝60° P A ＝1，∴AB ＝3 （千米）在Rt △P AC 中，∠APC ＝30°，∴AC ＝33（千米） 在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°)/(30261330330)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC答：该船的航行速度是每小时302千米。
（2）∠DAC ＝90°－60°＝30° sin DCA ＝sin （180°－∠ACB ）＝sin ACB ＝101033303==BCABsin CDA ＝sin （∠ACB －30°）＝sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°10103=2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDA ACDCA AD sin sin =， ∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD （千米）答：此时船距岛A为1339+千米。