【2015高考三模数学汇编】专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分(理卷B)
导数与积分的概念及运算、导数的应用
(1)写出y关于x的函数表达式； (2)是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存 在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．
解：(1)不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷 出的烟尘量为8，由AC＝x(0<x<20)，可得BC＝20－x.
依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为 y＝xk2＋20k－·8x2(0<x<20)．
|10
0
＝(e＋1)－1＝e.
答案：C
2．(2011·课标)由曲线y＝ x ，直线y＝x－2及
y轴所围成的图形的面积为( )
A.130
B．4
C.136
D．6
解析：由yy＝ ＝x－x，2 ，得A(4,2)．
则S＝4( x－x＋2)dx 0
＝23x32－12x2＋2x |40＝136.
5．用导数解决与恒成立有关的不等式问题通常与函数 的最值或极值有不等式进行求解．
6．复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向 里求导．每次求导都针对着最外层，直到求到最里层为 止．所谓最里层是指可以直接应用基本公式进行求导的那一 层．
7．利用定积分可以更加方便地解决问题，因此要
又因为y＝f′(x)是递减的，y＝g′(x)是递增的，故根据导 数的几何意义可知，y＝f(x)递增得慢，y＝g(x)递增得快，由 此排除A和B.
又f′(x0)＝g′(x0)，所以函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象在x0点 处的切线的斜率相等，因此在x0处的切线应该是互相平行的， 由此可知D选项正确．
第一部分 高考专题讲解
专题一 集合、函数与导数
第四讲 导数与积分的概念及运算、导数的应用
考情分析
导数已成为高考命题的一个重要载体．通过导数可 以实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的 交汇，并且在求解导数应用方面的试题中可以渗透各种 重要的数学思想方法，如：数形结合、分类讨论、等价 转化等，因此导数的应用是高考的一个热点．
导数与定积分知识汇总
高考数学----导数、定积分知识清单一 、导数的概念●（一）导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y△x叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即△y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。
如果当0→∆x 时，△y△x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0即f ‘（x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导）（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
●（二）导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
刘欣如2015年高考数学分类汇编——函数与导数
A B O xy -122C 2015全国高考数学函数与导数汇总2.（安徽）9、函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <3.（安徽） 15. 设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）(1)3,3a b =-=-；(2)3,2a b =-=；(3)3,2a b =->；(4)0,2a b ==;(5)1,2a b ==.4.（北京）7．如图，函数()f x 的图像为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤ C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤答案C 7.(福建) 10、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是 A.11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B.111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C.1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D. 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 答案：C8.（新课标1）12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( ) A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1) 答案：D 9.（新课标1）(13)若函数f (x )＝xln (x为偶函数，则a ＝答案：113.（湖北）6．已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-答案：B 14.（湖北）12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．答案：2 15.（湖南）5.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数答案：A16.（湖南）15.已知32,(),x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .答案：（,0-∞）⋃（1,+∞）17.（江苏）13.已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 答案418. （山东）（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a 的取值范围是（）（A ）[,1]（B ）[0,1] （C ）[（D ）[1, +答案：C 19.（山东）(14)已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += 答案：32-20.（陕西）9.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q => 答案：B21.（陕西）12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数．．），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D.点(2,8)在曲线()y f x =上答案：A22.（陕西）15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x =>上点p 处的切线垂直，则P 的坐标为 答案：（1,1）23.（四川）9. 如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减，则mn 的最大值为 （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 答案：B25.（四川）15.已知函数x x f 2)(=，ax x x g +=2)(（其中R a ∈）。
2015届高考数学二轮复习：第三专题 不等式、函数与导数的综合
第二篇知识专题专题3 不等式、函数与导数【考向预测】函数是整个高中数学的主线,导数是研究函数性质的重要工具,函数的单调性是函数最重要的性质之一,它与不等式联系非常密切.在高考中,本部分主要考查函数的概念和性质,基本初等函数的图象、性质、应用,导数的概念和应用,不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式.考查学生的抽象思维能力、推理论证能力、运算求解能力及数学应用意识.预测2015年关于不等式、函数与导数,仍会以考查函数的图象与性质,利用导数解决函数、方程、不等式的综合问题为热点,知识载体主要是幂函数、二次函数、指数函数、对数函数及分式函数.综合题主要题型:(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题或逆求参数的取值范围;(2)以函数为载体的实际应用题,一般首先建立所求量的目标函数,再利用导数进行求解;(3)不等式、函数与导数综合问题.【知识整合】一、不等式的性质不等式共有六条性质两条推论,要注意:1.可加性:a>b⇔a+c>b+c. 推论:同向不等式可加,a>b,c>d⇒a+c>b+d.2.可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. 推论:同向(正)可乘,a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.二、不等式的解法1.一元二次不等式的解法:求不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集,先求ax2+bx+c=0的根,再根据二次函数y=ax2+bx+c的图象写出解集.2.分式不等式:先将右边化为零,左边通分,转化为整式不等式求解.3.一元三次不等式,用“穿针引线法”求解(穿根时要注意“奇穿偶不穿”).三、线性规则1.解答线性规则的应用问题,其一般步骤如下:(1)设:设出所求的未知数; (2)列:列出约束条件及目标函数; (3)画:画出可行域; (4)移:将目标函数转化为直线方程,平移直线,通过截距的最值找到目标函数的最值; (5)解:将直线交点转化为方程组的解,找到最优解.2.求解整点最优解有两种方法:(1)平移求解法:先打网格,描整点,平移目标函数所在的直线l,最先经过的或最后经过的整点便是最优整点解;(2)调整优值法:先求非整优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出整点最优解.四、基本不等式1.a,b都为正数,≥,当且仅当a=b时,等号成立.2.使用基本不等式时要注意“一正,二定,三相等”.五、不等式常用结论1.不等式恒成立问题的转化方向:(1)分离参数,向最值转化;(2)向函数图象或Δ转化.2.已知x>0,y>0,则有:(1)若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2;(2)若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最大值s2.六、函数的概念及其表示，函数的三要素:定义域、值域、对应关系.；常用的函数表示法:解析法、列表法、图象法.七、函数的性质1.函数解析式的常用求法:(1)待定系数法;(2)代换(配凑)法;(3)构造方程(组)法.2.函数定义域的常用求法:(1)根据解析式的要求:偶次根式的被开方数不小于零、分母不能为零、对数中的真数大于零、对数中的底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零等; (2)实际问题中要考虑变量的实际含义.3.函数值域(最值)的常用求法:(1)配方法(常用于二次函数);(2)换元法;(3)有界性法;(4)单调性法;(5)数形结合法;(6)判别式法;(7)不等式法;(8)导数法.4.函数的单调性:(1)定义法;(2)导数法;(3)复合函数法;(4)图象法.5.函数的奇偶性:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.6.函数的周期性:(1)f(x+T)=f(x)(T≠0),周期是T;(2)f(x+a)=f(x+b)(a≠b),周期是|b-a|;(3)f(x+a)=-f(x)(a≠0),周期是2a;(4)若f(x+a)=(a≠0,且f(x)≠0),周期是2a;(5)f(x+a)=(a≠0且f(x)≠1),周期是4a.7.函数图象的画法:一是描点法,二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.九、函数的应用1.求解数学应用题的一般步骤:(1)审题;(2)建模;(3)解模;(4)回归.2.常见的函数模型有一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数以及y=x+(a≠0)等.3.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法;(2)零点存在的判定定理;(3)利用数形结合,尤其是那些方程两端对应的函数类型不相同时,多用数形结合法求解.十、导数及其应用1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.2.设函数y=f(x)在某个区间可导,如果f'(x)>0,则f(x)为增函数;如果f'(x)<0,则f(x)为减函数.3.可导函数在极值点处的导数值为零且左右导数值异号(左正右负极大值,左负右正极小值).4.可导函数在闭区间内的最值:将闭区间内的极值与端点处的函数值相比较,大的就是最大值,小的就是最小值.【考点聚焦】热点一:不等式的性质、解法和应用不等式的性质、简单不等式的解法、基本不等式是高考经常考查的内容,常见于选择题或填空题,以容易题、中档题为主,主要考查利用不等式的性质比较大小,解一元二次不等式、分式不等式,利用基本不等式求最值,求解过程中要注重对相关性质变形形式的理解和应用,同时注意思维的严谨性.(1)(2013湖北卷)已知全集为R,集合A={x|()x≤1},B={x|x2-6x+8≤0},则A∩R B=().A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}C.{x|0≤x<2或x>4}D.{x|0<x≤2或x≥4}(2)已知两条直线l1:y=m和l2:y=(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记曲线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时,的最小值为.【分析】(1)分别利用指数的运算性质、一元二次不等式解法,求出集合A、B.(2)将A,B,C,D四点的横坐标利用变量m表示出来,根据a,b为曲线段AC和BD在x轴上的投影长度,将利用变量m表示出来,然后利用基本不等式求出最值.【解析】(1)易知集合A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},故R B={x|x<2或x>4},从而A∩R B={x|0≤x<2或x>4}.故选C.(2)在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),y=|log2x|图象如图所示,由|log2x|=m,得x1=2-m,x2=2m,|log2x|=,得x3=,x4=.依照题意得a=|2-m-|,b=|2m-|,==2m=. ∵m+=m++-≥4-=, 当且仅当m=时,取“=”号.∴()min=8. 【答案】(1)C(2)8【归纳拓展】(1)一元二次不等式的解法常与函数的零点、函数的值域、方程的根及指数函数、对数函数、抽象函数等交汇综合考查.解决此类问题可以根据一次、二次不等式,分式不等式,简单的指数、对数不等式的解法进行适当的变形求解,也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解.(2)基本不等式多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题.解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式,同时要注意基本不等式的使用条件.如本题中要能用拼凑法将m+(m>0)化成利用基本不等式求最值的形式.变式训练1(1)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是(). A.13B.18C.21D.26(2)已知正实数a,b满足a+2b=1,则a2+4b2+的最小值为(). A.B.4 C.D.热点二:线性规划线性规划常出现在选择题或填空题中,主要考查:已知约束条件,求目标函数的最值;已知目标函数的最值,求约束条件或目标函数中的参变量的取值范围.有时在解答题中考查以实际问题为背景求目标函数的最值.一般为中档题,解决这类问题的关键是灵活应用数形结合思想.已知O为坐标原点,点M的坐标是(2,3),点P(x,y)在不等式组所确定的区域内(包括边界)上运动,则·的取值范围是(). A.[4,10]B.[6,9]C.[6,10]D. [9,10]【分析】根据向量的运算,将数量积进行转化,然后利用线性规划知识求出最值,得出取值范围.【解析】先求出三条直线x+y=3,2x+y=6,x+2y=6的交点,交点分别是A(3,0),B(2,2),C(0,3),可行域是如图所示的△ABC区域(包括边界),因为·=2x+3y,令z=2x+3y,平行移动直线z=2x+3y,当直线z=2x+3y过A(3,0)时,z取得最小值6,当直线z=2x+3y过B(2,2)时,z取得最大值10,所以6≤·≤10. 【答案】C【归纳拓展】本题命题角度新颖,不是直接给出目标函数求最值,因而需要先将所给向量运算进行合理转化,再利用线性规划求解. 变式训练2若实数x,y满足不等式组则z=的取值范围是.热点三:函数的图象与性质函数的图象与性质作为高中数学的一个“重头戏”,常考常新,主要从以下几个方面考查:单调性的确定与应用,应用单调性求最值(值域)、比较大小、求参数的取值范围等;奇偶性、周期性与函数的其他性质(如图象的对称性)的综合问题;求函数的最值或应用函数的最值问题;函数图象的判断,及利用函数图形研究函数性质.考题既有选择题、填空题,又有解答题,难度一般为中等偏上.(1)函数y=+sin x的图象大致是().(2)已知函数f(x)=则f(x)的零点是;f(x)的值域是.(3)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:①直线x=1是函数的一条对称轴;②f(x+2)=-f(x);③当1≤x1<x2≤3时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0,则f(2011)、f(2012)、f(2013)从大到小的顺序为.【分析】(1)根据函数的奇偶性、单调性、正负性、零点,利用排除法,逐项排除.(2)根据f(x)为分段函数,分段求出函数的零点和值域,但是要注意f(x)的值域是两段的并集.(3)根据①②确定函数的周期,根据③确定函数在该区间的单调性,然后利用函数的周期性将f(2011)、f(2012)、f(2013)转化到同一个单调区间,得出大小关系.【解析】(1)函数y=f(x)=+sin x为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B.当x→+∞时,y>0,排除D.f'(x)=+cos x,由f'(x)=+cos x=0,得cos x=-,所以函数y=f(x)=+sin x的极值有很多个,所以选C.(2)当0≤x≤9时,由=0,得x=0;当-2≤x<0时,由x2+x=0,得x=-1,所以函数零点为-1和0.当0≤x≤9时,f(x)=,所以0≤f(x)≤3;当-2≤x<0时,f(x)=x2+x=(x+)2-,所以此时-≤f(x)≤2.综上,-≤f(x)≤3,即函数的值域为[-,3].(3)由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f(x),所以周期是4,所以f(2011)=f(3),f(2012)=f(0),f(2013)=f(1).因为直线x=1是函数f(x)的一条对称轴,所以f(2012)=f(0)=f(2).由[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0,可知当1≤x1<x2≤3时,函数单调递减.所以f(2013)>f(2012)>f(2011).【答案】(1)C(2)-1和0[-,3](3)f(2013)>f(2012)>f(2011)【归纳拓展】(1)函数图象的变换包括平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律——左加右减.但要注意加、减指的是自变量,否则不成立;识图时,要留意它们的变化趋势,与坐标轴的交点及一些特殊点,特别是对称性、周期性等特点,应引起足够的重视.(2)求函数的值域要记住各种基本函数的值域;要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域;对各种求函数值域的方法要熟悉,遇到求值域的问题,应注意选择最优解法;求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意定义域对值域的约束作用;函数的值域常常化归为求函数的最值问题.(3)抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,考查对函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对一般和特殊关系的认识.一般要先确定函数在某一个周期内的特点,再通过函数的对称性、周期性确定函数在整个定义域上的特点,从而确定函数的性质.变式训练3(1)设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是().(2)若函数f(x)=是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围为().A.(-∞,2)B.(-∞,]C.(0,2)D.[,2)(3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),给出下列四种说法:①f(3)=1;②函数f(x)在[-6,-2]上是增函数;③函数f(x)关于直线x=4对称;④若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上所有根之和为-8.其中正确的序号有.热点四:函数与方程函数与方程在高考中多以选择、填空题的形式出现,难度为中、低档,主要考查函数零点的概念、二分法的应用、图象的交点、方程根的讨论等,其中利用函数图象判断方程解的个数是高考命题的重点,在解题中要注意数形结合思想的应用.设函数f(x)=则方程f(x)=x2+1的实数解的个数为.【分析】根据f(x)为分段函数,因此分段判断.对方程化简后,可将问题转化为两个熟悉的函数图象,通过图象交点的个数,判断解的个数.【解析】当x≥0时,由f(x)=x2+1得,x·2x=x2+1,即2x=x+,在坐标系中,作出函数y=2x,y=x+的图象,由图象可知,当x≥0时,有一个交点;当x<0时,由f(x)=x2+1得,-2sin 2x=x2+1,作出y=-2sin 2x,y=x2+1的图象,由图象可知当x<0时,两个函数有2个交点.所以总共有3个交点,即方程f(x)=x2+1的实数解的个数为3.【答案】3【归纳拓展】函数零点问题主要有四类:一是判断函数零点或方程根的个数;二是利用函数零点确定函数的解析式;三是确定函数零点或方程根的取值范围;四是利用函数的零点或根的个数求解参数的取值范围.解决这些问题主要用数形结合法.变式训练4函数f(x)=cos x-lo x的零点个数为.热点五:导数的概念及运算导数的概念及运算主要考查导数的几何意义的计算.从近几年的高考来看,利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程是高考的热点问题,解决该类问题必须熟记导数公式,明确导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率,切点既在切线上又在曲线上.设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数y=f'(x)是奇函数,若曲线y=f(x)的一条切线斜率为,则切点的横坐标为().A.B.-C.ln 2 D.-ln 2【分析】根据y=f'(x)是奇函数,结合f'(0)=0,求出a,根据导数的几何意义,求出切点的横坐标.【解析】y=f'(x)=e x-a·e-x.∵f'(x)=e x-a·e-x为奇函数,∴f'(0)=e0-a·e0=0,∴a=1,∴f(x)=e x+e-x,∴f'(x)=e x-e-x.令f'(x)=e x-e-x=,解得x=ln 2.【答案】C【归纳拓展】利用导数公式求函数的导数,利用导数的几何意义计算切线的斜率,进而求切线方程是导数应用的基本问题,也是高考的常考点.求切线时,要注意区分切线是过某点(不一定是切点)的切线还是在某点(一定是切点)处的切线.同时明确曲线在某点处的切线若有则只有一条;曲线过某点的切线可能不止一条,曲线与曲线的公共点不一定只有一个.变式训练5已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k的值为().A. B.- C. D.-热点六:用导数研究函数的性质从近几年的高考来看,用导数研究函数的性质主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、最值问题.一般是解答题,难度中档偏难.解决该类问题要明确:导数为零的点不一定是极值点,导函数的变号零点才是函数的极值点;求单调区间时一定要注意函数的定义域;求最值时需要把极值和端点值逐一求出,比较即可.已知函数f(x)=.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值2,求a,b的值; (2)当2b=a2-1时,讨论函数f(x)的单调性.【分析】(1)根据函数f(x)在x=1处取得极值2,得出该点导数为0且函数值为2,构造a与b的方程;(2)求出函数f(x)导数,根据2b=a2-1,将f'(x)转化为只有参数a,然后对a进行讨论,判断函数f(x)的单调性.【解析】(1)f'(x)==(x∈R),依题意有,f'(1)==0,f(1)==2,解得b=0,a=-4.经检验,a=-4,b=0符合题意,所以a=-4,b=0.(2)当2b=a 2-1时,f'(x)==.当a=0时,f'(x)=,令f'(x)=0,得x=0.当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以减区间为(-∞,0),增区间为(0,+∞).当a≠0时,令f'(x)=0,得x1=-,x2=a,若a>0,则有-<a,当x∈(-∞,-)或x∈(a,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-,a)时,f'(x)<0,所以增区间为(-∞,-),(a,+∞),减区间为(-,a).若a<0,则有->a,当x∈(-∞,a)或x∈(-,+∞)时,f'(x)<0;当x∈(a,-)时,f'(x)>0,所以增区间为(a,-),减区间为(-∞,a),(-,+∞).综上所述:当a=0时, f(x)的减区间为(-∞,0),增区间为(0,+∞);当a>0时, f(x)的增区间为(-∞,-),(a,+∞),减区间为(-,a);当a<0时, 增区间为(a,-),减区间为(-∞,a),(-,+∞).【归纳拓展】导数是研究函数单调性、极值、最值等性质的重要而有力的工具,其中单调性是函数最重要的性质,函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性.函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论,对一元二次不等式,在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论,即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小.变式训练6已知函数f(x)=x-a ln x+在x=1处取得极值,且a>2.(1)求a与b满足的关系式;(2)求函数f(x)的单调区间.热点七:函数与方程、不等式的综合函数与方程、不等式的综合主要以导数为工具判断方程的解、证明不等式、解决不等式恒成立问题,一般是综合性比较强的解答题,难度比较大.在求解过程中要注意转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的运用.设函数f(x)=x3-x2-3.(1)求f(x)的单调区间; (2)若函数y=f(x)-m在[-1,2]上有三个零点,求实数m的取值范围.【分析】(1)求出f'(x),根据f'(x)的正负,求出函数的单调区间;(2)根据(1)判断函数y=f(x)-m的大致图象,将该函数有三个零点转化为函数的极值和端点值的正负,从而确定实数m的取值范围.【解析】(1)f'(x)=3x2-2x=x(3x-2),令f'(x)>0,解得x<0或x>;令f'(x)<0,解得0<x<.故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(,+∞),单调递减区间是(0,).(2)令h(x)=f(x)-m,则h(x)=x3-x2-3-m,∴h'(x)=3x2-2x=x(3x-2),由(1)知,函数h(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.函数h(x)在x=0处取得极大值h(0)=-3-m,在x=处取得极小值h()=--m,由函数y=f(x)-m在[-1,2]上有三个零点,则有:即解得-<m<-3,故实数m的取值范围是(-,-3).【归纳拓展】(1)当函数具有极值点时,在这个极值点左右两侧,函数的单调性是不同的,这样就可以结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数.(2)如果在某个闭区间(或开区间)利用导数研究函数的零点,还要注意将端点值和极值结合起来考虑.变式训练7设函数f(x)=ln x-ax.(1)求f(x)的单调区间; (2)若a=,g(x)=x(f(x)+1)(x>1),且g(x)在区间(k,k+1)内存在极值,求整数k的值.已知函数f(x)=x-(a+1)ln x-(a∈R),g(x)=x 2+e x-x e x.(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.【分析】(1)求出f'(x),判断函数f(x)的单调性,得出f(x)的最小值;(2)若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,则f(x1)min<g(x2)min,构造两个最值关系,求出a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=(a∈R),当a≤1时,x∈[1,e],f'(x)≥0,f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a;当1<a<e时,x∈[1,a],f'(x)≤0,f(x)为减函数,x∈[a,e],f'(x)≥0,f(x)为增函数,f(x)min=f(a)=a-(a+1)ln a-1,当a≥e时,x∈[1,e],f'(x)≤0,f(x)为减函数,f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.综上,当a≤1时,f(x)min= 1-a; 当1<a<e时,f(x)min=a-(a+1)ln a-1; 当a≥e时,f(x)min=e-(a+1)-.(2) 若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,即f(x1)min<g(x2)min,当a<1时,由(1)可知,x 1∈[e,e2],f(x)为增函数,所以f(x1)min=f(e)=e-(a+1)-,g'(x)=x+e x-x e x-e x=x(1-e x),当x2∈[-2,0]时,g'(x)≤0,g(x)为减函数,g(x2)min=g(0)=1,所以e-(a+1)-<1,a>,故a∈(,1).【归纳拓展】(1)对于在指定区间上不等式的恒成立问题,一般要转化为函数的最值问题加以解决,如果函数在这个指定的区间上没有最值,则可转化为求函数在这个区间上的值域,通过值域的端点值确定问题的答案.(2)在不等式与函数导数综合试题中,若遇到求参数的范围问题:①不等式恒成立(或解集为R),用分离参数法:a>f(x)⇔a>f(x)max;a<f(x)⇔a<f(x)min.②不等式有解(解集非空)或存在性命题,用分离参数法:a>f(x)⇔a>f(x)min;a<f(x)⇔a<f(x)max.③不等式解集为空集,用分离参数法:a>f(x)⇔a≤f(x)min;a<f(x)⇔a≥f(x)max.(3)利用导数证明不等式,关键是根据题意构造函数,并研究函数的单调性、极值或端点值,将不等式的证明问题转化为函数的单调性问题或极值问题.其步骤一般是:构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论.变式训练8已知函数f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求f(x)在[-1,1]上的最小值;(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围.热点八:不等式、函数的应用问题不等式、函数的实际应用主要考查函数模型的建立及函数模型中的最值问题,命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求最值,该部分试题的背景新颖,常与实际生活、社会热点等问题密切相关,设置问题新颖.最值问题是函数实际应用题求解的重点,掌握各种初等函数的模型是解决数学实际问题的关键.时下,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2<x<6,m为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)求m的值; (2)假设网校的员工工资,办公用品费等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)【分析】(1)当x=4时,y=21,代入y=+4(x-6)2,求出m;(2)先根据每日销售套题所获得的利润等于每日的销售量乘以每套题的利润,整理得每日销售套题所获得的利润,再求导数研究单调性即可求解.【解析】(1)因为x=4时,y=21, 代入关系式y=+4(x-6)2,得+16=21, 解得m=10.(2)由(1)可知,套题每日的销售量y=+4(x-6)2, 所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)[+4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),从而f'(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f'(x)=0,得x=,且在(2,)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;在(,6)上,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.【归纳拓展】求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.变式训练9某工厂生产某种产品,每日的成本C(单位:元)与日产量x(单位:吨)满足函数关系式C=10000+20x,每日的销售额R(单位:元)与日产量x的函数关系式R=已知每日的利润y=R-C,且当x=30时,y=-100.(1)求a的值;(2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.参考答案专题3不等式、函数与导数考点聚焦变式训练1 (1)C (2)D 变式训练2 [-,4] 变式训练3(1)B(2)B(3)①④变式训练4 3变式训练5 A 变式训练6(1)b=1-a (2)单调递增区间为(0,1),(a-1,+∞),单调递减区间为(1,a-1)变式训练7(1)当a≤0时,f(x)在(0,+∞)内单调递增;当a>0时,f(x)在(0,)内单调递增,在(,+∞)内单调递减(2)k=3变式训练8(1)-4(2)(3,+∞) 变式训练9(1)a=3(2)当日产量为90吨时,每日的利润可以达到最大值,最大值为14300元。
专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用【解析版】
第一章函数与导数专题06 函数、导数与数列、不等式的综合应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，应用导数研究函数的单调性、极（最）值问题，证明不等式、研究函数的零点等，是高考考查的“高频点”问题，常常出现在“压轴题”的位置.其中，函数、导数与数列、不等式的综合应用问题的主要命题角度有：函数与不等式的交汇、函数与数列的交汇、导数与数列不等式的交汇等.本专题就函数、导数与数列、不等式的综合应用问题，进行专题探讨，通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.数列不等式问题，通过构造函数、应用函数的单调性或对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围.如2.涉及等差数列的求和公式问题，应用二次函数图象和性质求解.3.涉及数列的求和问题，往往要利用“错位相减法”、“裂项相消法”等，先求和、再构造函数.【压轴典例】例1.（2018·浙江高考真题）已知成等比数列，且．若，则A． B． C． D．【答案】B【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.例2.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈例3.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5． 例4.（2010·湖南高考真题）数列中，是函数的极小值点（Ⅰ）当a=0时，求通项； （Ⅱ）是否存在a ，使数列是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）详见解析【解析】 易知.令.（1）若，则当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.故在取得极小值.由此猜测：当时，.下面先用数学归纳法证明：当时，.事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.假设当时，成立，则由（2）知，，从而，所以.故当时，成立.于是由（2）知，当时，，而，因此.综上所述，当时，，，.（Ⅱ）存在，使数列是等比数列.事实上，由（2）知，若对任意的，都有，则.即数列是首项为，公比为3的等比数列，且.而要使，即对一切都成立，只需对一切都成立.记，则令，则.因此，当时，，从而函数当时，可得数列不是等比数列.综上所述，存在，使数列是等比数列，且的取值范围为.例5.（2017·浙江高考真题）已知数列{}n x 满足： ()()*1n n 1n 1x =1x x ln 1x n N ++=++∈， 证明：当*n N ∈时 （I ）n 1n 0x x +＜＜;（II ）n n 1n 1n x x 2x -x 2++≤； (III) n n 1n-211x 22-≤≤【答案】（I ）见解析；（II ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： 0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则()110ln 10k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>． 因此()*0n x n N >∈．所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>，因此()*10n n x x n N +<<∈． （Ⅱ）由()11ln 1n n n x x x ++=++得，()()21111114222ln 1n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++．记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++≥，()()22'ln 10(0)1x x f x x x x +=++>>+，函数f (x )在[0，+∞）上单调递增，所以()()0f x f ≥=0，因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥，故()*1122n n n n x x x x n N ++-≤∈． （Ⅲ）因为()11111ln 12n n n n n n x x x x x x +++++=++≤+=， 所以112n n x -≥， 由1122n n n n x x x x ++≥-，得111112022n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭， 所以1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫-≥-≥⋅⋅⋅≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故212n n x -≤．综上，()*121122n n n x n N --≤≤∈． 例6.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()ln(1)(0)f x x x =+≥，(1)()(0)1x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：2()f x x x ≥-.（2）若()()f x x g x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n N ∈时，22121ln(32)49n n n n -++>+++. 【答案】（1）见解析；（2）(,1]-∞；（3）见解析. 【解析】（1）证明：令函数()()2h x ln x 1x x =+-+，[)x 0,∞∈+，()212x xh x 2x 101x 1x+=+=++'-≥，所以()h x 为单调递增函数，()()h x h 00≥=， 故()2ln x 1x x +≥-.（2）()()f x x g x +≥，即为()axln x 11x+≥+， 令()()axm x ln x 11x=+-+，即()m x 0≥恒成立， ()()()()22a 1x ax 1x 1a m x x 11x 1x +-+-=-=++'+， 令()m x 0'>，即x 1a 0+->，得x a 1>-.当a 10-≤，即a 1≤时，()m x 在[)0,∞+上单调递增，()()m x m 00≥=，所以当a 1≤时，()m x 0≥在[)0,∞+上恒成立；当a 10->，即a 1>时，()m x 在()a 1,∞-+上单调递增，在[]0,a 1-上单调递减， 所以()()()min m x m a 1m 00=-<=， 所以()m x 0≥不恒成立.综上所述：a 的取值范围为(],1∞-. （3）证明：由（1）知()2ln x 1x x +≥-，令1x n=，*n N ∈，(]x 0,1∈， 2n 1n 1ln n n +->，即()2n 1ln n 1lnn n-+->，故有ln2ln10->，1ln3ln24->， …()2n 1ln n 1lnn n-+->， 上述各式相加可得()212n 1ln n 149n-+>+++. 因为()()22n 3n 2n 1n 10++-+=+>，2n 3n 2n 1++>+，()()2ln n 3n 2ln n 1++>+，所以()2212n 1ln n 3n 249n-++>+++. 例7.（2018·福建省安溪第一中学高三期中（文））公差不为零的等差数列中，，，成等比数列，且该数列的前10项和为100，数列的前n 项和为，且满足．Ⅰ求数列，的通项公式；Ⅱ令，数列的前n 项和为，求的取值范围．【答案】（I ），；（II ）.【解析】Ⅰ依题意，等差数列的公差，，，成等比数列，，即，整理得：，即，又等差数列的前10项和为100，，即，整理得：，，；，，即，当时，，即，数列是首项为1、公比为2的等比数列，；Ⅱ由可知，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，则，，，，，，记，则，故数列随着n的增大而减小，又，，．例8.（2019·江苏高考模拟）已知数列满足（），（）．（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，，成等差数列．① 求数列的通项公式；② 证明：．【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析【解析】（1）由，得，得，即，因为，所以，所以（），所以是以为首项，2为公比的等比数列．（2）① 设，由（1）知，，所以，即，所以．因为，，成等差数列，则，所以，所以，所以，即．② 要证，即证，即证．设，则，且，从而只需证，当时，．设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证．【压轴训练】1．（黑龙江省哈尔滨三中高考模拟）已知1(1)32(1,2)n n n b b a b n b--+-=>≥，若对不小于4的自然数n ，恒有不等式1n n a a +>成立，则实数b 的取值范围是__________． 【答案】3+∞（，） 【解析】由题设可得1(1)(1)32(1)32n n n b b n b b b b-+-+--+->，即22(1)341n b b b ->-+，也即(1)31n b b ->-对一切4n ≥的正整数恒成立，则3141b b b -<≥-，即31444311b b b b -⇒---，所以3b >，应填答案(3,)+∞. 2.（2019·山东济南一中高三期中（理））（1）已知函数的图象经过点，如图所示，求的最小值；（2）已知对任意的正实数恒成立，求的取值范围.【答案】（1）最小值，当且仅当时等号成立；（2）【解析】⑴函数的图象经过点，当且仅当时取等号⑵①令，，当时，，递增当时，，递减代入时，②，令，，，综上所述，的取值范围为3.（2019·桃江县第一中学高三月考（理））已知都是定义在R上的函数，，，且，且，．若数列的前n项和大于62，求n的最小值.【答案】6【解析】∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴数列为等比数列，∴，∴，即，所以n的最小值为6.4.（2019·福建省漳平第一中学高三月考（文））已知数列的首项，前项和满足，.（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项为，并证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】 （1）当时，，得. 又由及得，数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2），①②①②得： ，所以，又，故，令，则，故单调递减，又，所以恒成立，所以.5.（2019·江苏高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且218S =，490S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2115log 3n n b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 及n T 的最大值.【答案】（1）32nn a =⨯（2）22922n n nT =-+；最大值为105. 【解析】（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >，若1q =，有414S a =，212S a =，而4490236S S =≠=，故1q ≠，则()()()()21242211411811119011a q S q a q a q q S q q ⎧-⎪==-⎪⎨-+-⎪===⎪--⎩，解得162a q =⎧⎨=⎩.故数列{}n a 的通项公式为16232n nn a -=⨯=⨯. （2）由215log 215nn b n =-=-，则2(1415)29222n n n n n T +-==-+. 由二次函数22922x x y =-+的对称轴为292921222x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 故当14n =或15时n T 有最大值，其最大值为14151052⨯=. 6.（2019·黑龙江高三月考（理））已知数列的前n 项和为, 其中，数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)令，数列的前n 项和为，若对一切恒成立，求实数k 的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】 （1）由可得，两式相减得: ，又由可得，数列是首项为2，公比为4的等比数列，从而，于是.（2）由（1）知，于是，依题意对一切恒成立，令，则由于易知，即有，∴只需，从而所求k的最小值为.7.（2018·浙江高考模拟）已知数列满足，（）．（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，若数列满足，且对任意的恒成立，求的最小值．【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】∵（n+1）a n+1﹣（n+2）a n=2，∴﹣==2（﹣），又∵=1，∴当n≥2时，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+2（﹣+﹣+…+﹣）=，又∵=1满足上式，∴=，即a n=2n，∴数列{a n}是首项、公差均为2的等差数列；（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，∴b n=n•=n•，令f（x）=x•，则f′（x）=+x••ln，令f′（x）=0，即1+x•ln=0，解得：x0≈4.95，则f（x）在(0, x0)上单调递增，在(x0,+单调递减.∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，又∵b5=5•=，b4=4•=﹣，b6=6•=﹣，∴M的最小值为．8.（2018·浙江镇海中学高三期中）已知数列的前项和为，且，（1）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）证明略；（2）【解析】证明：（1）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，①当n=1时，，则：当n≥2时，，②①﹣②得：a n=2a n﹣2a n﹣1﹣+，整理得：，所以：，故：（常数），故：数列{a n}是以为首项，2为公比的等比数列．故：，所以：．由于：，所以：（常数）．故：数列{b n}为等比数列．（2）由（1）得：，所以：+（），=，=，假设存在实数λ，对任意m，n∈N*，不等式恒成立，即：，由于：，故当m=1时，，所以：，当n=1时，．故存在实数λ，且．9.（2019·宁夏银川一中高三月考（理））（1）当时，求证：；（2）求的单调区间；（3）设数列的通项,证明．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）的定义域为，恒成立；所以函数在上单调递减，得时即：（2）由题可得，且.当时，当有，所以单调递减，当有，所以单调递增，当时，当有，所以单调递增，当有，所以单调递减，当时，当有，所以单调递增，当时，当有，所以单调递增，当有，所以单调递减，当时，当有，所以单调递减，当有，所以单调递增，（3）由题意知.由（1）知当时当时即令则，同理:令则.同理:令则以上各式两边分别相加可得：即所以：10.（2019·北京人大附中高考模拟（理））已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题可知：，①，②②-①可得.即：，又.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴.由可得，由可得.所以，，故有最大值.所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立.所以，解得或.所以，实数的取值范围是.11.（2019·江苏高三月考）已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2．若对任意的正整数，恒成立．（1）求，，；（2）求证：是等比数列；（3）设数列满足，若数列，，…，（，）为等差数列，求的最大值．【答案】（1）,，；（2）详见解析；（3）3.【解析】（1）由，对任意的正整数，恒成立取，得，即，得.取，，得，取，，得，解得，.（2）取，得，取，得，两式相除，得，即，即.由于，所以对任意均成立，所以是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即.时，，而也符合上式，所以.因为（常数），所以是等比数列.（3）由（2）知，.设，，成等差数列，则.即，整理得，.若，则，因为，所以只能为2或4，所以只能为1或2.若，则.因为，故矛盾.综上，只能是，，，成等差数列或，，成等差数列，其中为奇数.所以的最大值为3.12．（2019·上海高考模拟）已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，，，，并在第一象限内的抛物线上依次取点，，，，，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为．⑴求，，并猜想不要求证明)；⑵令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；⑶已知数列满足：，数列满足：，求证：．【答案】⑴，,；⑵；⑶详见解析【解析】，猜想，由，，，，对任意恒成立⑶证明：，记，则，记，则，当时，可知：，13．（2019·广西高考模拟（理））已知函数2()2ln 1()f x ax x x a =--∈R .(1) 若1x e=时,函数()f x 取得极值,求函数()f x 的单调区间； (2) 证明：()*11111ln(21)3521221nn n n n +++⋯+>++∈-+N . 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）由题意可得，()'222(0,)f x ax lnx x a R =-->∈，由1x e =时，函数()f x 取得极值知12'220af e e ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以0a =． 所以()()21,'22(0)f x xlnx f x lnx x =--=-->， 所以10x e <<时，()'0f x >；1x e>时，()'0f x <； 所以()f x 的单调增区间10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. （2）当1a =时，()221f x x xlnx =--，所以()()'22221f x x lnx x lnx =--=--，令()ln 1g x x x =--，则()11'1x g x x x-=-=，当01x <<时，()'0g x <；当1x >时，()'0g x >，()g x 的单调减区间为()01，，单调增区间为()1+∞，， 所以()()10g x g ≥=，所以()'0f x ≥，()f x 是增函数，所以1x >时，()()22ln 110f x x x x f =-->=，所以1x >时，12ln x x x->， 令*211,21n x n N n +=>∈-，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+- 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭ 所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭上式中123n =，，，…，n ，然后n 个不等式相加， 得到()11111...ln 213521221nn n n ++++>++-+ 14.（2019·宁夏高考模拟（文））已知函数()()ln 1(0)f x ax x a =->．()1求函数()y f x =的单调递增区间；()2设函数()()316g x x f x =-，函数()()h x g x =' ．①若()0h x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；②证明：()22222ln(123)123.e n n n N +⨯⨯⨯⋯⨯<+++⋯+∈【答案】（1）单调递增区间为[)1,+∞．（2）①(]0,e ．②见证明 【解析】()10a >，0x >．()()1'ln 1ln 0f x a x ax a x x=-+⋅=≥． 解得1x ≥．∴函数()y f x =的单调递增区间为[)1,+∞．()2函数()()316g x x f x =-，函数()()21h =x ln 2x g x a x '=-．()'ah x x x=-①，0a ≤时，函数()h x 单调递增，不成立，舍去； 0a >时，()('x x a h x x xx+=-=，可得x =()h x 取得极小值即最小值，()11ln 022h x ha a a ∴≥=-≥，解得：0a e <≤． ∴实数a 的取值范围是(]0,e ．②证明：由①可得：a e =，1x ≥时满足：22ln x e x ≥，只有1x =时取等号．依次取x n =，相加可得：()222221232ln1ln2ln ln(12)en e n n +++⋯+>++⋯⋯+=⨯⨯⋯．因此()22222ln(123)123.e n n n N +⨯⨯⨯⋯⨯<+++⋯+∈15.（2019·黑龙江高考模拟（理））已知函数2()2ln 2(1)(0)a f x ax x a a x-=-+-+>. （1）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：11113521n ++++>-*1ln(21)()221nn n N n ++∈+.【答案】（1）[1,)+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()2222222a ax x a f x a x x x--+-=--=' ()221a a x x a x -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=. ①当01a <<时，21aa->， 若21a x a -<<，则()0f x '<，()f x 在21,a a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，所以21,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()10f x f <=，即()0f x ≥在[)1,+∞上不恒成立. ②当1a ≥时，21aa-≤，当1x >时，()0f x '>，()f x 在[)1,+∞上是增函数，又()10f =，所以()0f x ≥. 综上所述，所求a 的取值范围是[)1,+∞.（2）由（1）知当1a ≥时，()0f x ≥在[)1,+∞上恒成立.取1a =得12ln 0x x x --≥，所以12ln x x x-≥. 令21121n x n +=>-，*n N ∈，得2121212ln 212121n n n n n n +-+->-+-， 即2221112ln 212121n n n n +⎛⎫+--> ⎪-+-⎝⎭， 所以1121111ln 2122122121n n n n n +⎛⎫>+- ⎪---+⎝⎭. 上式中1,2,3,,n n =，然后n 个不等式相加，得到()11111ln 213521221nn n n ++++>++-+. 16.（2019·江苏高考模拟）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+(n N *∈)；（2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）①当1n =时，2221112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立.②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+成立下证：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立.因为()211211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+=()()11221112211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++-即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+成立由①、②可知，112211n n n n a a a a a a +--=+(n *N ∈)成立.（2）（ⅰ）当1n =时，221221311a >=-=++成立，当2n =时，()2322222172131112a a a a a =-+=-+=>⨯>++成立，（ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11kk a k +>+成立 下证：当1n k =+时，()1211k k a k ++>++成立.因为()()2211112111111kkkk k k k k k a a a a a k k kk +++++-+==-+>++=++要证()1211k k a k ++>++，只需证()12111k k k k k k +++>++只需证：()121k k k k ++>，只需证：()12ln ln 1k k k k ++>即证：()()12l l n n 10k k k k -++>（3k ≥） 记()()()2ln 11ln h x x x x x -++=∴()()()()2ln 1112ln 11ln ln x x x x h x +-++=-++⎡⎤⎦=⎣'21ln 1ln 12111x x x x ⎛⎫=+=++-+ ⎪++⎝⎭当12x +≥时，1111ln 121ln 221ln 1ln 10122x x e ⎛⎫⎛⎫++-+≥+-+=+>+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以()()()2ln 11ln h x x x x x -++=在[)1,+∞上递增， 又()6423ln34ln3ln 34ln729ln2564l 0n h ⨯-=-=->=所以，当3x ≥时，()()30h x h ≥>恒成立. 即：当3k ≥时，()()30h k h ≥>成立.即：当3k ≥时，()()12l l n n 10k k k k -++>恒成立. 所以当3k ≥，()1211k k a k ++>++恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数n *∈N ，不等式11nn a n +>+恒成立，命题得证.。
2015年全国各地高考三模数学试题汇编专题2 第2讲 函数及其图象与性质(理卷A)
专题2 不等式、函数与导数 第2讲 函数及其图象与性质（A 卷）一、选择题（每题5分，共65分）1. （2015·山东省实验中学第二次考试·4）已知函数()f x 的定义域为()()32,11a a f x -++，且为偶函数，则实数a 的值可以是（）A.23B.2C.4D.62．（2015·武清区高三年级第三次模拟高考·2）函数)2(log )(22+=x x f ，[]6,2-∈x 的值域为（ ）（A ）[]3,2 （B ）[]3,1 （C ）[]8,4 （D ）[]8,23．(2015.菏泽市高三第二次模拟考试数学（理）试题·7)已知函数133, (1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(2)y f x =-的大致图象是 （ ）4．(绵阳市高中2015届第三次诊断性考试·5)若则下列不等式成立的是（ ）5．(2015·聊城市高考模拟试题·3)下列函数中，满足()()()f xy f x f y =的单调递增函数是（ ）A ．()3f x x =B ．()1f x x -=-C ． ()2log f x x =D ．()2x f x =6. ( 2015`临沂市高三第二次模拟考试数学（理）试题·4)已知()()F x f x x =-是偶函数，且()()212f f =-=，则（ ）A.4B.2C. 3-D. 4-7．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·6）设函数()()()01x x f x a ka a a -=->≠-∞+∞且在，上既是奇函数又是减函数，则()()log a g x x k =+的图象是（ ）8.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·9）9．（2015·陕西省安康市高三教学质量调研考试·9）下列三个数，大小顺序正确的是（ ）10．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·8)指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与二次函数()22,y ax bx a R b R =+∈∈在同一坐标系中的图象可能的是（ ）11. （2015·山东省实验中学第二次考试·8）定义在R 上的偶函数满足()()3311,0222f x f x f f ⎛⎫⎛⎫+=--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，则()()()()1232014f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A.2B.1C.0D.2-12. （2015·山东省实验中学第二次考试·10）函数()221610f x x x x =++-+的性质：①()f x 的图象是中心对称图形： ②()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x 的值域为)13,⎡+∞⎣； ④方程()()110ff x =+有两个解.上述关于函数()f x 的描述正确的是（ ）A.①③B.③④C.②③D.②④13. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·10)如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ）A. [)1,+∞B. 0,3⎡⎤⎣⎦C. []0,1D. 1,3⎡⎤⎣⎦二、非选择题（共35分） 14.(2015·成都三诊·11)15. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·7)设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,4,0,log )(2x x x x f x ，则))1((-f f 的值为 .16．(2015·启东中学高三第二学期期初调研测试·1)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊂B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ．17.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·12）18．（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·14）已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ．19．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·8）已知常数0a >，函数()(1)1af x x x x =+>-的最小值为3，则a 的值为 20. （2015·山东省实验中学第二次考试·15）设函数()ln f x x =，有以下4个命题： ①对任意的()()()1212120,22f x f x x x x x f ++⎛⎫∈+∞≤⎪⎝⎭、，有； ②对任意的()()()121221211,x x x x f x f x x x ∈+∞<-<-、，且，有； ③对任意的()()()12121221,x x e x x x f x x f x ∈+∞<<、，且，有； ④对任意的120x x <<，总有()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -≤-.其中正确的是______________________（填写序号）.第2讲 函数及其图象与性质（A 卷）参考答案与详解1.【答案】B【命题立意】本题旨在考查函数的奇偶性【解析】因为函数f （x+1）为偶函数，则其图象关于y 轴对称，而函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f （x ）的图象关于直线x=1对称．又函数f （x ）的定义域为（3-2a ，a+1），所以（3-2a ）+（a+1）=2，解得：a=2．【易错警示】注意函数f （x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f （x ）的图象是把函数f （x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f （x ）的定义域（3-2a ，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a 的值． 2.【答案】B【命题立意】本题主要考查函数的值域计算.【解析】因为[]6,2-∈x ，所以2(2)[2,8]x +∈，故22()log (2)[1,3]f x x =+∈. 3.【答案】A【命题立意】本题旨在考查分段函数及其图象，函数的解析式．【解析】由题可得y=f （2－x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-1),2(log 1,3312x x x x ，故函数y=f （2－x ）仍是分段函数，且以x=1为界分段，只有选项A 符合条件． 4.【答案】D【命题立意】构造合适的函数，利用单调性比较函数值大小．【解析】对于（A ）考查幂函数(0)y x αα=>在(0,)+∞是增函数，故x x a b >，A 错；对于（B ）考查指数函数(01)x y a a =<<在(0,)+∞是减函数，故a b x x < ，B 错；对于（C ）考查对数函数log (01)a y x a =<<在(0,)+∞是减函数，故2log log log x x x a b b <=，C 错，选D ．【易错警示】函数概念不清，将指数函数与幂函数搞混，导致出错． 5.【答案】A【命题立意】本题主要考查函数的基本运算及单调性的应用。
《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：2.7函数与方程(含答案解析)
当 a≥０时， f ′(x) ，≥０f(x) 单调递增，必有一个实根，④⑤正确； 当 a<0 时，由于选项当中 a＝－ 3，∴只考虑 a＝－ 3 这一种情况， f ′(x＝) 3x2－ 3＝ 3(x ＋ 1)(x
－ 1)，∴ f(x) 极大 ＝ f( － 1)＝－ 1＋ 3＋ b＝ b＋2， f(x) 极小 ＝ f(1) ＝ 1－ 3＋ b＝ b－ 2，要有一根， f(x)
f(x)
＝
x 2＋
ex－
1 2(x<0)
与
g(x) ＝ x 2＋ ln(x ＋ a)的图象上存在关于
y
轴对称的点，则 a 的取值范围是 ( )
A.
－∞， 1 e
B. (－ ∞， e)
C.
－
1， e
e
D. －
e， 1 e
|x|， x≤ｍ， 4.(2016 山·东， 15)已知函数 f(x) ＝ x 2－ 2mx ＋ 4m， x>m ， 其中 m>0，若存在实数 b，使得关
()
A.4
B.2
C.－ 4
D.与 m 有关
|x|
7. (2015 ·南昌二模 )已知函数 y＝ f(x) 是周期为 2 的周期函数，且当 x∈ [－ 1， 1]时， f(x) ＝ 2
－ 1，则函数 F(x) ＝ f(x) － |lg x|的零点个数是 ( )
A.9
B.10
C.11
D.18
8.(2016 广·西南宁模拟 )已知函数 f(x) ＝ ax＋ x－b 的零点 x 0∈ (n， n＋1)(n ∈ Z)其中常数 a，b
满足 2a＝ 3， 3b＝ 2，则 n＝ ________.
2x－ 1， x>0， 9.(2016 天·津南开中学模拟 )已知函数 f(x) ＝ － x 2－ 2x， x≤０，若函数 g(x) ＝ f(x) －m 有 3 个零
【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题2 不等式、函数与导数第3讲 函数与方程及函数的应用(理卷A)
专题2 不等式、函数与导数第3讲 函数与方程及函数的应用（A 卷）一、选择题（每题5分，共50分）1. （2015·山东省实验中学第二次考试·6）若方程24x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能是（ ）A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、 2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·10)已知函数()()()sin 1,02=01log ,0ax x f x a a x x π⎧⎛⎫->⎪ ⎪>≠⎝⎭⎨⎪-<⎩，且的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是（ ）A．0,5⎛ ⎝⎭B．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．7⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．0,7⎛⎝⎭3.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·10）4.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·9）5．(绵阳市高中2015届第三次诊断性考试·8)已知函数给出如下四个命题： ① f （x ）在上是减函数；②在R 恒成么③函数y ＝f （x ）图象与直线有两个交点．其中真命题的个数为（ ） （A ）3个（B ）2个（C ）1个 （D ）0个6.（2015.成都三诊·9）7．(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·12)已知函数f （x ）=ax 3－3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）8.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·15）9．(2015·日照市高三校际联合5月检测·10)在()1,+∞上的函数()f x 满足：①()()2f x cf x =（c 为正常数）；②当24x ≤≤时，()()()213.f x x f x =--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（ ）A ．1或12B ．122或 C ．1或3D ．1或210. (2015·山东省实验中学高三第三次诊断考试·10)已知函数()()()()21,021,0xx f x f x x⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和10=n S S ，则 A.45 B.55 C.90D.110二、非选择题（50分）11．(2015·聊城市高考模拟试题·15)已知函数()()3234f x x ax f x =-+，若存在唯一的零点0x ，则实数a 的取值范围是___________．12．(2015.南通市高三第三次调研测试·12)已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ．13．(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·12)已知函数221(0)()2(0)x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 。
2015年高考数学(理)核按钮：第三章《导数》(含解析)
第三章 导 数§3.1 导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择，填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值ΔyΔx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔyΔx＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处 ，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即f ′(x 0)＝0lim →∆xΔyΔx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. (2)导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数).y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝0lim →∆x f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx .(3)求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ；②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim →∆xΔy Δx. 2.导数的意义 (1)几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S ＝s (t )在点t 0处的导数s ′(t 0), 就是当物体的运动方程为S ＝s (t )时，物体运动在t 0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v (t )是速度函数，则v ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c 为常数)， (x α) ′＝ (α∈Q *)； (2)(sin x ) ′＝______________， (cos x ) ′＝ ； (3)(ln x ) ′＝ ， (log a x ) ′＝ ；(4)(e x ) ′＝ ，(a x ) ′＝ . 4.导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )] ′＝ . (2)[f (x )g (x )] ′＝ ；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )] ′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.【自查自纠】 1.(1)可导 f ′(x 0)(3)①f (x 0＋Δx )－f (x 0) ②f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx2.(1)f ′(x 0) y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0) (2)v ＝s ′(t 0) 加速度3.(1)0 αx α－1 (2)cos x －sin x (3)1x 1x ln a(4)e x a x ln a4.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) cf ′(x ) (3)f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]25.y x ′＝y ′u ·u ′x函数f (x )＝1的导函数是( )A ．y ＝0B ．y ＝1C ．不存在D ．不确定 解：常数函数的导函数是y ＝f ′(x )＝0.故选A.函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋10ax 2 B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2x C ．10a 2x D ．以上都不对解：f ′(x )＝10a 2x .故选C.曲线y ＝e x 在点A (0，1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解：y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝1，故选A.(2012·广东)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y ′＝3x 2－1，当x ＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k ＝2，故切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.故填2x －y ＋1＝0.物体的运动方程是s ＝－13t 3＋2t 2－5，则物体在t ＝3时的瞬时速度为 .解：v (t )＝s ′(t )＝－t 2＋4t ，t ＝3时，v ＝3， 故填3.类型一 导数的概念设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解：f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x ，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x .“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率．已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 .解：f （3h ）－f （0）h ＝3[f （0＋3h ）－f （0）]3h当h 趋近于0时，3h 也趋近于0. ∴f （3h ）－f （0）h趋近于3f ′(0)＝6.故填6.类型二 导数的几何意义已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程. 解：(1)设切点为(x 0，y 0)，故切线的斜率为k ＝x 20＝1，解得x 0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)． 故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，即3x －3y ＋2＝0和x －y ＋2＝0.(2)∵y ′＝x 2，且P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，∴在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(3)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43. ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 【评析】曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简． (2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝f （x 0），y 1－y 0x 1－x 0＝f ′（x 0），得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程； (2)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程； (3)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程.解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)， ∵f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18. ∴切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14. (2)∵f ′(x )＝3x 2＋1，且(2，－6)在曲线f (x )＝x 3＋x －16上， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13x －32. (3)解法一：设切点为(x 0，y 0)， ∵直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 0＝－2， ∴斜率k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则斜率k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x .类型三 求导运算求下列函数的导数： (1)y ＝5x 2－4x ＋1； (2)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中φ为常数)；(4)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2).解：(1)y ′＝10x －4；(2)y ′＝4x ·(3x ＋1)＋(2x 2－1)·3＝18x 2＋4x －3； (3)y ′＝cos(πx ＋φ)·(πx ＋φ) ′＝πcos(πx ＋φ)；(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋2 ′＝－1（x ＋2）2.【评析】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)；(2)y ＝xe x －1(x ≠0)；(3)y ＝cos2x ；(4)y ＝ln x ＋3x ＋1(x ＞－1).解：(1)y ′＝(x ＋1) ′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2) ′ ＝x ＋2＋x ＋1＝2x ＋3；(2)y ′＝x ′（e x －1）－x （e x －1）′（e x －1）2＝（1－x ）e x －1（e x －1）2；(3)y ′＝－sin2x ·(2x ) ′＝－2sin2x ；(4)y ′＝[ln(x ＋3)－ln(x ＋1)] ′＝1x ＋3－1x ＋1＝－2（x ＋1）（x ＋3）.1.弄清“函数在一点x 0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的.函数f (x )在区间(a ，b )内每一点都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0，都对应着一个确定的导数f ′(x 0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b )内就构成了一个新的函数，也就是函数f (x )的导函数f ′(x )；(3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.2.求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.1.函数f (x )＝x 3＋sin2x 的导数f ′(x )＝( ) A ．x 2＋cos2x B ．3x 2＋cos2x C ．x 2＋2cos2xD ．3x 2＋2cos2x解：f ′(x )＝3x 2＋(2x ) ′cos2x ＝3x 2＋2cos2x .故选D. 2.已知f (x )＝(x －2)(x －3)，则f ′(2)的值为( ) A ．0 B ．－1C ．－2D ．－3解：∵f ′(x )＝(x －3)＋(x －2)＝2x －5，∴f ′(2)＝－1.故选B.3.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15解：由y ′|x ＝1＝3，得在点P (1，12)处的切线方程为3x －y ＋9＝0，令x ＝0，得y ＝9，故选C.4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解：∵f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ＞0，x ＞0，∴x －2＞0，解得x ＞2.故选C.5.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解：∵y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝a ，∴a ＝1. ∵(0，b )在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1， 故选A.6.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，则曲线在点(0，f (0))处的切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解：∵y ′＝4′·（e x＋1）－4·（e x ＋1）′（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1，∴y ′|x ＝0＝－41＋2＋1＝－1.故选D.7.曲线y ＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x－1，则切点P 0的坐标是________________.解：∵y ′＝3x 2＋1，又∵3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. ∴切点P 0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．故填(1，0)或(－1，－4)．8.(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.解：令e x ＝t ，则x ＝ln t .∵f (e x )＝x ＋e x ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝1＋1＝2.故填2.9.求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程.解：设切点坐标为(x 0，y 0)， ∵f ′(x 0)＝3x 20－4＝－1，∴x 0＝±1. ∴切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0. 10.设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数.已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程.解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5.从而切线l 的方程为x －y －2＝0.11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2.(1)求x ＜0时， f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.解：(1)当x ＜0时，－x ＞0， f (x )＝－f (－x )＝－2(－x )2＝－2x 2； ∴当x ＜0时，f (x )的表达式为f (x )＝－2x 2. (2)若f (x )，g (x )在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x 0>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝12.故存在x 0＝12满足条件．(2013·福建改编)已知函数f (x )＝x －1＋ae x(a ∈R ，e 为自然对数的底数). (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程.解：(1)f ′(x )＝1－aex ，因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝1－ae ＝0，解得a＝e.(2)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x ，f ′(x )＝1－1e x .设切点为(x 0，y 0)，∵f (x 0)＝x 0－1＋0e 1x ＝kx 0－1，① f ′(x 0)＝1－e 1x ＝k ，② ①＋②得x 0＝kx 0－1＋k ，即(k －1)(x 0＋1)＝0. 若k ＝1，则②式无解，∴x 0＝－1，k ＝1－e. ∴l 的直线方程为y ＝(1－e)x －1.§3.2 导数的应用(一)1.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值，极小值(其中多项式函数不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值，最小值(其中多项式函数不超过三次).2.生活中的优化问题举例通过解“利润最大”“用料最省”“效率最高”等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用.高考对导数应用的考查很频繁.内容既可以是对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根，不等式的解等综合考查，选择，填空，解答等题型均有可能出现，分值比较重，是每年高考考查的重点内容之一.1.函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内 .2.函数的极值(1)判断f (x 0)是极大值，还是极小值的方法： 一般地，当f ′(x 0)＝0时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤： ①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在上述方程根的左右对应函数值的符号.如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 .3.函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值.(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则__________为函数在[a ，b ]上的最小值， 为函数在[a ，b ]上的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则 为函数在[a ，b ]上的最大值，为函数在[a ，b ]上的最小值.(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【自查自纠】 1.单调递减2.(1)②f ′(x )＜0 f ′(x )＞0(2)②f ′(x )＝0 极大值 极小值3.(2)f (a ) f (b ) f (a ) f (b ) (3)②f (a ) f (b )若在区间[1，2]内有f ′(x )＞0，且f (1)＝0，则在[1，2]内有( )A ．f (x )≥0B ．f (x )≤0C ．f (x )＝0D ．不确定解：∵f ′(x )＞0，∴f (x )在[1，2]内单调递增． ∵f (1)＝0，∴在[1，2]内f (x )≥0.故选A.已知函数f (x )＝12x 2－x ，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解：f ′(x )＝x －1，令f ′(x )＞0，解得x ＞1.故选D.关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为0的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数解：导数为0的点不一定是极值点(如y ＝x 3，在x ＝0处)，而极值点的导数一定为0.极值是局部概念，因此极小值可能有多个且有可能大于极大值．极值点是单调性的转折点．故选D.已知函数f (x )＝x 3＋6x 2＋nx ＋4在x ＝－1时有极值，则n ＝ .解：∵f ′(x )＝3x 2＋12x ＋n ，f ′(－1)＝0， ∴3－12＋n ＝0，得n ＝9.故填9.函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝ 处取得极小值.解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．所以f (x )的递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间是(0，2)，因此f (x )在x ＝2处取得极小值．故填2.类型一 导数法判断函数的单调性设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()解：当x ＜0时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，排除A ，C ；当x ＞0时，f (x )先增后减，再增，对应f ′(x )先正后负，再正．故选D.【评析】导函数的图象在哪个区间位于x 轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．若函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下列函数中与f (x )的单调性不可能相同的是()解：当x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，只有C 项的单调性与f (x )不同．故选C.类型二 导数法研究函数的单调性已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得 a ＝3.(2)∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1. 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)， 单调递减区间是[－1，1]．【评析】①用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号．②注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．如，本例中[－1，1]也可以写成(－1，1)．③写单调区间时，一般不要使用符号“∪”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“∪”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立．如，本例中(－∞，－1)，(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)，不妨取x 1＝－32，x 2＝32，x 1＜x 2，而f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝98，f (x 2)＝－98，这时f (x 1)＜f (x 2)不成立．已知函数f (x )＝e x －ax ，f ′(0)＝0.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解：(1)f ′(x )＝e x －a ，由f ′(0)＝1－a ＝0，得 a ＝1.(2)∵f (x )＝e x －x ，∴f ′(x )＝e x －1. 令f ′(x )＞0，得x ＞0.所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)．类型三 导数法研究函数的极值问题已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值.解：(1)f ′(x )＝32x 2＋c ，当x ＝1时，f (x )取得极值，则f ′(1)＝0，即32＋c ＝0，得c ＝－32.故f (x )＝12x 3－32x .(2)f ′(x )＝32x 2－32＝32(x 2－1)＝32(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或1.x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：，其中a 斜率为2.(1)确定(2)求函数＝x3＋bx，c)处具有公共切线(1)求a(2)求函数＝f′(x)的图象关于直线(1)求实数(2)求函数解：(1)f是边长为60 cm的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点棱柱形状的包装盒，解：(1)根据题意有S ＝602－4x 2－(60－2x )2＝240x －8x 2，0＜x ＜30， S ′＝240－16x ，令S ′＝0，得x ＝15. 当0＜x ＜15时，S ′＞0，S 递增； 当15＜x ＜30时，S ′＜0，S 递减．所以x ＝15 cm 时包装盒侧面积S 最大． (2)根据题意有V ＝(2x )2·22(60－2x )＝22x 2(30－x )，0＜x ＜30，V ′＝62x (20－x )，当0＜x ＜20时，V ′＞0，V 递增； 当20＜x ＜30时，V ′＜0，V 递减． 所以x ＝20 cm 时包装盒容积V 最大．【评析】本题主要考查学生的空间想象能力，阅读能力，运用数学知识解决实际问题的能力及建立函数模型的能力，属于中档题．注意用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．用长为15 cm ，宽为8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为x 的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？解：依题意，0＜x ＜4， 容积V ＝(15－2x )·(8－2x )·x ＝4x 3－46x 2＋120x ， V ′＝12x 2－92x ＋120＝4(3x －5)(x －6)．令V ′＝0，得x ＝53或6(舍去)．当0＜x ＜53时，V ′＞0，V 递增；当53＜x ＜4时，V ′＜0，V 递减． 所以高x ＝53 cm 时容器的容积最大．1.用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点.2.极值与最值的区别(1)“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性.(2)从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大值并不一定比极小值大.(3)从位置上看，极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值.3.实际问题中的最值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.1.函数f (x )是定义域为R 的可导函数，若f ′(x )＞0，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫23，c ＝f (－1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解：因为f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．∵－1＜12＜23，∴f (－1)＜f ⎝⎛⎭⎫12＜f ⎝⎛⎭⎫23， 即c ＜a ＜b .故选A.2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象有可能是( )解：当x ＜0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．故选C. 3.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞)解：f ′(x )＝(x －3) ′e x ＋(x －3)(e x ) ′＝(x －2)e x ，令 f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D.4.函数f (x )＝(x －1)(x －2)2的极值点为x ＝( )A ．1，2 B.43，2 C.13，1 D.13，43解：f ′(x )＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x )＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合导数的符号变化．故选B.5.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)， 当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0； 当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.故选C.6.(2012·陕西)设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( ) A. x ＝12为f (x )的极大值点B. x ＝12为f (x )的极小值点C. x ＝2为 f (x )的极大值点D. x ＝2为 f (x )的极小值点解：f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.7．若函数f (x )＝ax ＋1＋x 在x ＝1处取极值，则a＝________.解：f ′(x )＝－a （x ＋1）2＋1，f ′(1)＝－a4＋1＝0⇒a ＝4.故填4.8.一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm ，60 cm ，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是________cm 2.解：设长为40 cm 和60 cm 的直角边上对应的矩形边长分别为x cm ，y cm ，则40－x 40＝y60，得y ＝60－32x .矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫60－32x ＝60x －32x 2，令S ′＝60－3x ＝0，得x ＝20.所以当x ＝20时矩形面积最大，最大面积为600 cm 2.故填600.9.(2013·湖北模拟)已知函数f (x )＝2ax 3－3x 2，其中a ＞0.求证：函数f (x )在区间(－∞，0)上是增函数. 证明：f ′(x )＝6ax 2－6x ＝6x (ax －1)．因为a ＞0且x ＜0，所以f ′(x )＞0.所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是增函数．10.已知函数f (x )＝x e -x (x ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )的极值.解：(1)f ′(x )＝(1－x )e -x .令f ′(x )＝0，得x ＝1. x在区间(1，＋∞)内是减函数．(2)由(1)可知，函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝1e. 11.已知函数f (x )＝ax ＋ln(x ＋1)，a ∈R .(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，试讨论f (x )的单 调性.解：f ′(x )＝a ＋1x ＋1.(1)若a ＝2，则f ′(0)＝2＋10＋1＝3，又f (0)＝0，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －0＝3(x －0)，即3x －y ＝0.(2)∵f ′(1)＝0，∴f ′(1)＝a ＋12＝0，得a ＝－12，∴f (x )＝－12x ＋ln(x ＋1)，x ＞－1，f ′(x )＝－12＋1x ＋1＝－（x －1）2（x ＋1），令f ′(x )＝0，得x ＝1.调递减．(2012·福建)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解：f (3)＝27－54＋27－abc ＝－abc ＝f (0),因为f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，所以f (x )在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减．∵a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴a ＜1＜b ＜3＜c ，∴f (1)＞0，f (3)＝f (0)＜0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.故选C.§3.3 导数的应用(二)利用导数来解决函数的单调性，极值与最值问题已经成为热点问题之一.既有填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；也有解答题，侧重于导数的综合应用，即导数与函数，数列，不等式的综合应用.故编写导数的应用(二)，以加大学习力度.1.当f ′(x )在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f (x )在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f (x )＝x 3，当x ＝0时，f ′(x )＝，当x ≠0时，f ′(x )＞0，而f (x )＝x 3显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数.2.可导函数求最值的方法f ′(x )＝0⇒x ＝x 1，x 2，…，x n ，x ∈[a ，b ]. 直接比较f (a )，f (b )，f (x 1)，…，f (x n )，找出 和____________即可.在此基础上还应注意：(1)结合 可减少比较次数.(2)含参数的函数求最值可用：①按 分类；②按 分类.【自查自纠】 1.02.最小值 最大值 (1)单调性 (2)单调性 极值点函数f (x )＝ax 3＋x ＋1在x ＝－1处有极值，则a 的值为( )A ．1B ．0C ．－13D ．－12解：f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f ′(－1)＝3a ＋1＝0，∴a ＝－13.故选C.函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解：y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增．故选B.已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．2 解：f ′(x )＝3ax 2＋b ，f ′(－1)＝f ′(1)＝2.故选D.已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (2a )＜f (a －1)，则a 的取值范围是 .解：∵f ′(x )＝cos x ＋2＞0恒成立，∴f (x )在R 上单调递增．∵f (2a )＜f (a －1)，∴2a ＜a －1，得a ＜－1.故填(－∞，－1)．若函数g (x )＝e x －3x 在(1，＋∞)上的最小值是 .解：g ′(x )＝e x －3，令g ′(x )＝0，得x ＝ln3，g (x )在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，所以g (x )在(1，＋∞)上的最小值g (ln3)＝3－3ln3.故填3－3ln3.类型一 函数单调性的进一步讨论设函数f (x )＝x e kx (k ≠0).(1)若k ＞0，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx .若k ＞0，令f ′(x )＞0，得x ＞－1k，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－1k ，＋∞， 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－1k . (2)∵f (x )在区间(－1，1)内单调递增，∴f ′(x )＝(1＋kx )e kx ≥0在(－1，1)内恒成立， ∴1＋kx ≥0在(－1，1)内恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋k ·（－1）≥0，1＋k ·1≥0， 解得－1≤k ≤1. 因为k ≠0，所以k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]． 【评析】①函数单调性的讨论归结为对不等式解的讨论；②函数f (x )在限定区间是单调函数，求参数范围的问题，可以转化为恒成立问题求解．若函数f (x )＝－x ＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解：∵f ′(x )＝－1＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤x ＋2在[－1，＋∞)上恒成立．∴b ≤1.故选C .类型二 极值与最值的进一步讨论(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R ).(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值.解：(1)∵当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x.∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1.∴所求切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0.若a ≤0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )不存在极值．所以f (x )的极小值f (a )＝a －a ln a .【评析】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性，极值的一般步骤．第二问对分类讨论要求较高，其分类是以表格为基础进行的．(2013·河南模拟)已知函数f (x )＝x ln x 在区间[t ，＋∞)(t ＞0)上的最小值大于－1e，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1e B ．(1，e) C.⎣⎡⎭⎫1e ，1 D.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ 解：f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e.x所以f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e. 显然，若t ＞1e ，则f (x )的最小值大于－1e.故选D.类型三 方程根的讨论已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程；(2)证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点. 解：(1)∵f ′(0)＝e 0＝1，f (0)＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)证法一：设g (x )＝e x －e x ，曲线y ＝e x 与y ＝e x 的公共点的个数等于函数g (x )＝e x －e x 零点的个数．∵g ′(x )＝e x －e ，令g ′(x )＝0，得x ＝1， ∴g(x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )的最小值g (1)＝e 1－e ＝0，g (x )＝e x －e x ≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴曲线y ＝f (x )与直线y ＝e x 有唯一公共点．证法二：⎝⎛⎭⎫由于方程e x ＝e x 等价于x e x ＝1e . 设h (x )＝xe x ，分析方法类似证法一．【评析】通过作差或作商可得到新的函数，求出新函数的单调区间，极值点，区间端点处的函数值，特殊点(如图象与x 轴，y 轴交点)，来判断交点的个数．若a ＞1e，则方程ln x －ax ＝0的实根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个解法一：由于方程ln x －ax ＝0等价于ln xx＝a .设f (x )＝ln xx .∵f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝e ，∴f (x )在(0，e)上单调递增；在(e ，＋∞)上单调递减．∴f (x )的最大值f (e)＝1e，f (x )＝ln x x ≤1e (仅当x ＝e 时，等号成立)．∵a ＞1e，∴原方程无实根．解法二：设g (x )＝ln x －ax ，分析单调性，极值可得结论．故选A.类型四 导数法证明不等式已知函数f (x )＝e x ，当x ∈[0，1]时.求证： (1)f (x )≥1＋x ； (2)(1－x )f (x )≤1＋x .证明：(1)设g (x )＝e x－x －1，x ∈[0，1]． ∵g ′(x )＝e x －1≥0，∴g (x )在[0，1]上是增函数， g (x )≥g (0)＝1－0－1＝0. ∴e x ≥1＋x ，即f (x )≥1＋x .(2)设h (x )＝(1－x )e x －x －1，x ∈[0，1]． ∵h ′(x )＝－x e x －1＜0，∴h (x )在[0，1]上是减函数，h (x )≤h (0)＝1－0－1＝0.∴(1－x )e x －x －1≤0， 即(1－x )f (x )≤1＋x .【评析】①用导数证明不等式问题的关键在于构造函数；②由作差或者作商来构造函数是最基本的方法；③本题通过作差构造函数，分析其单调性，最值，得出函数值恒大于或小于0，使问题得证．(2013·江西模拟)设函数f (x )＝x1＋x，g (x )＝ln x ＋12.求证：当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x ).证明：设h (x )＝x 1＋x－ln x －12，0＜x ≤1.∵h ′(x )＝1＋x －x （1＋x ）2－1x ＝1（1＋x ）2－1x＝－x 2－x －1（1＋x ）2x ＜0， ∴h (x )在(0，1]上单调递减．∵h (1)＝12－0－12＝0，h (x )≥0(仅当x ＝1时，等号成立)． ∴当0＜x ≤1时，f (x )≥g (x )．1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明.2.求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量； (2)运用最值.3.方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论.4.高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.1.函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1－xx，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，0)B ．[1，＋∞)C ．(0，1]D ．(－∞，0)，[1，＋∞)解：令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜1.又f ′(1)＝0，所以f (x )在(0，1]上单调递增． 故选C.2.函数f (x )＝43x 3－x 2的单调减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 解：f ′(x )＝4x 2－2x ＝2x (2x －1)，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.所以f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，12.故选D.3.已知函数f (x )＝mx 3＋12m x ，f ′(1)＝－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解：f ′(x )＝3mx 2＋12m ，由f ′(1)＝3m ＋12m ＝－12，得m 2＋4m ＋4＝0，即(m ＋2)2＝0，故m ＝－2， 故选B.4.函数f (x )＝x (1－x )n 的部分图象如图所示，f (x )在x ＝13处取极值，则n 的值为()A ．1B ．－1C ．2D ．－2解：f ′(x )＝(1－x )n －nx (1－x )n -1＝(1－x －nx )(1－x )n -1，∵x ＝13为f (x )的极值点，∴f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，得⎝⎛⎭⎫1－13－n 3·⎝⎛⎭⎫23n －1＝0，∴n ＝2.故选C.5.已知函数f (x )＝e xx，则x ＞0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值也无极小值解：f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝（x －1）e xx 2，x ＞0.令f ′(x )＝0，得x ＝1.又f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以x ＝1为f (x )的极小值点，f (x )无极大值．故选B.6.若对于R 上的可导函数f (x )满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＜2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)＞2f (1)解：当x ＞1时，f ′(x )≥0，f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数， 故f (x )的最小值为f (1)，必有f (0)＋f (2)≥2f (1)．故选C .7.(2013·山西模拟)函数f (x )＝x 2＋3xf ′(1)，在点(2，f (2))处的切线方程为 .解：f ′(x )＝2x ＋3f ′(1)，f ′(1)＝2×1＋3f ′(1)，得f ′(1)＝－1，所以f (x )＝x 2－3x ，f ′(x )＝2x －3.代入x ＝2，可知f (2)＝－2，f ′(2)＝1，在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.故填x －y －4＝0.8.(2013·广东改编)函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调减区间是 .解：f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)， 令f ′(x )＜0，得0＜x ＜ln2.故填(0，ln2)．9.已知函数f (x )＝12ax 2＋(a －1)x ＋1，a ∈R .(1)求f (x )的图象在(0，f (0))处的切线方程； (2)若f (x )在区间(1，4)上为减函数，求实数a 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝ax ＋a －1，f ′(0)＝a －1，f (0)＝1. 所以在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝(a －1)(x －0)，即(a －1)x －y ＋1＝0.(2)∵f (x )在区间(1，4)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在区间(1，4)上恒成立， ∴ax ＋a －1≤0在区间(1，4)上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a ·1＋a －1≤0，a ·4＋a －1≤0， 得⎩⎨⎧a ≤12，a ≤15.因此a ≤15.10.已知函数f (x )＝e x －2x ＋a ，a ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在R 上有零点，求a 的取值范围. 解：(1)f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.所以f (x )的单调减区间是(－∞，ln2)， 单调增区间是(ln2，＋∞)． (2)若f (x )在R 上有零点，则f (x )的最小值f (ln2)≤0，即e ln2－2ln2＋a ≤0，得a ≤2ln2－2.11.已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，a ≠0.(1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性.解：(1)f ′(x )＝2x ＋ax，x ＞0.因为f ′(1)＝0，所以2＋a ＝0，得a ＝－2， 经检验，当a ＝－2时，x ＝1是函数f (x )的极值点． (2)①若a ＞0，则f ′(x )＞0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a ＜0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．(2014届湖北重点中学高三10月阶段性统一考试)已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a ＞1.(1)求证：函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝|F (x )－b 2－3b |－3有四个零点，求b 的取值范围.证明：(1)F (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，F ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x .∵a ＞1，当x ∈(0，＋∞)时，a x －1＞0，ln a ＞0，2x ＞0，∴F ′(x )＞0，函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知F (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当x ＜0时，a x －1＜0，ln a ＞0，2x ＜0， ∴函数F (x )在(－∞，0)上单调递减．当x 趋近于＋∞或－∞时，F (x )趋近无穷大． ∴F (x )的最小值为F (0)＝1. 由|F (x )－b 2－3b |－3＝0，得F (x )＝b 2＋3b ＋3或F (x )＝b 2＋3b －3.所以要使函数y ＝|F (x )－b 2－3b |－3有四个零点，只需b 2＋3b ＋3＞1且b 2＋3b －3＞1，即b 2＋3b ＞4.解得b ＜－4或b ＞1.§3.4 定积分与微积分基本定理1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.3.初步掌握定积分的主要应用：①利用定积分求曲边梯形的面积；②利用定积分求变速直线运动物体的路程；③利用定积分求变力作的功.近几年高考试卷中对定积分的考查主要内容有：定积分的运算，求曲边梯形的面积(或利用曲边梯形的面积计算概率)，定积分的物理应用等，一般为选择，填空题，难度不大.1.定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ.当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作 ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f n a b 1)(lim ξ.其中f (x )称为________，x 称为__________，f (x )d x 称为__________，[a ，b ]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号.(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 ，近似代替，求和， .2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝ (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝ (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式.常常把F (b )－F (a )记作 ，即 ⎠⎛abf (x )d x ＝ ＝ .4.定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，由直线x＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝.(2)当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为负时，由直线 x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝ .(3)当x ∈[a ，b ]有f (x )＞g (x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝.一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x轴，曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝ (其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝ (其中a >0).5.定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t )，速度方向不变)在时间区间[a ，b ]上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .(3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .【自查自纠】1.(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数 积分变量被积式 积分区间 (2)分割 取极限。
全国各地高考数学三轮复习试题汇编专题2不等式、函数与导数第1讲不等式及线性规划(A卷)理(含解析)
专题2 不等式、函数与导数第1讲 不等式及线性规划(A 卷)一、选择题（每题5分，共40分）1．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·6)已知变量,x y 满足：220230,0x yx y x y z x +-≤⎧⎪⎪-+≥=⎨⎪≥⎪⎩则的最大值为（ ）AB．C ．2D ．42．(2015·聊城市高考模拟试题·10)已知M 是ABC ∆内一点，且30AB AC BAC ⋅=∠=o u u u r u u u r ，若MBC MCA ∆∆，，MAB ∆的面积分别为12，x,y,则14x y+的最小值是（ ） A ．16 B ．18 C ．19D ．203. ( 2015`临沂市高三第二次模拟考试数学（理）试题·3)若0a b <<，则下列结论中正确的是（ ） A. 22a b <B. 2ab b < C. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.2b aa b +> 4．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·3）设命题23:231,:12x p x q x --<≤-，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·9）6、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·5)已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ） A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-7. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考5)已知点),(y x 在ABC ∆所包围的阴影区域内（包括边界），若有且仅有)2,4(B 是使得y ax z -=取得最大值的最优解，则实数a 的取值范围为（ ）A. 11<<-aB. 11≤≤-aC.11<≤-aD. 11≤<-a8.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·7）9.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·9）10．(2015.菏泽市高三第二次模拟考试数学（理）试题·10)已知M 是△ABC 内的一点（不含边界），且 23AB AC =30BAC ∠=︒若△MBC ，△MAB ，△MCA 的面积分别为,,x y z ，记149(,,)f x y z x y z=++，则(,,)f x y z 的最小值为（ ） A ．26 B ．32 C ．36D ．48二、非选择题（50分）11. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·13)设O 为坐标原点，点()1,1,,4A M x y ⎛⎫⎪⎝⎭若满足不等式组21,2x y x OM OA y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则uuu r uu r g 的最小值是___________. 12．（2015·山东省淄博市高三阶段性诊断考试试题·13）已知0,0a b >>，方程为22420x y x y +-+=的曲线关于直线10ax by --=对称，则2a bab+的最小值为________．13．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·13)设实数x ､y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则23z x y =+的最大值为 ．14．(2015.绵阳市高中第三次诊断性考试·12)设变量x, y 满足则目标函数z=2x+y 的最小值为 ．15．（2015·陕西省安康市高三教学质量调研考试·15）实数则不等式组所围成图形的面积为 ．16．（2015·武清区高三年级第三次模拟高考·14）已知不等式9)1)((≥++yax y x 对任意正实数y x ,都成立，则正实数a 的最小值是 ．17．(2015.南通市高三第三次调研测试·3)已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z =2x +y 的最小值是 ．18．(2015.南通市高三第三次调研测试·14)已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，则xy 的取值范围为 ．19．（2015·南京市届高三年级第三次模拟考试·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．20． (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·13)已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 .专题2 不等式、函数与导数第1讲 不等式及线性规划(B 卷)答案与解析1.【答案】D【命题立意】本题旨在考查线性规划问题．【解析】绘制线性规划的可行域可知当x=1,y=2时，2x+y 有最大值4，从而2x yz +=的最大值为44=．故选：D2.【答案】B【命题立意】本题主要考查向量的数量积、三角形面积公式以及均值不等式的综合应用．【解析】.432300===⋅，ABC ∆面积21=s 030=1,.121=++∴y x ）（，y x y x y x +=+=+∴24121(）y x 41+=10+2(）xy y x +4≥18． 故选B ．易错警示：若不等式164222)41)((2=⋅⨯≥++xyxy y x y x 是错误的．应该是 )41)((2y x y x ++=10+2(）xyy x +4≥18．3.【答案】Ｄ．【命题立意】不等式的基本性质及其应用． 【解析】2220|a|>|b|, ;00, ;A a b a b B a b b ab b <<∴><<<∴>,错时,错时111R 0, ;222xabC a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<∴> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,错是上的减函数，由于>0,0, 2,0,;b a b aD a b a b a b>∴+≥<<,对等号取不了故选Ｄ． 4.【答案】A【命题立意】本题主要考查不等式的解法，充分、必要条件的判断． 【解析】23:23112,:1122x p x x q x x --<⇔<<≤⇔≤<-，故选A. 5.【答案】B【命题立意】本题重点考查利用线性规划的最值求参数的范围问题，难度中等.【解析】不等式组表示的可行域如图所示，由z ax y =+的最大值为23a +，可知z ax y=+在390330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩的交点(2,3)处取得，由y ax z =-+可知，当0a -≥时，需满足1a -≤，得10a -≤≤，当0a -<时，需满足3a -≥-，得03a <≤，所以13a -≤≤.6.【答案】D【命题立意】本题主要考查线性规划【解析】约束条件表示的区域如下图，将化成斜截式为，要使其取得最大值的最优解不唯一，则在平移的过程中与重合或与重合，所以或.7.【答案】A【命题立意】考查线性规划，考查转化能力，容易题.【解析】依题意，当0>a 时，1=<BC k a ，即10<<a ；当0<a 时，1-=>AB k a ，即8.【答案】A【命题立意】本题旨在考查指数函数的基本性质，大小比较，基本不等式． 【解析】由于f （x ）=2－x是R 上的减函数，而b a +2≤ab 22=ab1，又a 2+b 2≥2ab ，则有2a 2+2b 2≥4ab ，即4（a 2+b 2）≥2（a 2+b 2+2ab ），可得abb a 2422++≥222b a +，两边开根号有b a +2≥222b a +，故有ab 1≥b a +2≥222b a +，则有f （ab1）≤f （b a +2）≤f （222ba +），即S ≤R ≤T ．当0=a 时z y -=在点B 处取得最大值，所以实数a 的取值范围为11<<-a 9.【答案】A【命题立意】本题是一个新定义题，结合考查了线性规划，要求学生能准确画出可行域，通过可行域准确求出目标函数的最值。
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文
高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。
高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
n
f(ξi)Δx＝
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个 常数 ，
这个 常数 叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作bf(x)dx. a
2．定积分的相关概念
在bf(x)dx 中， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限， a
区间 [a,b] 叫做积分区间，函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做
由yy＝＝x－x，2 得交点 A(4,2)．因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所 围成的图形的面积为4 x－x－2dx＝
0
(2)
建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－
5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝225x2－2，抛物线与 x 轴
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/7/12
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0
7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t
4 0
＝
4
＋
25ln 5.
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为
【2015年全国各地高考三模数学试题汇编】专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分(理卷A)
专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（A 卷）一、选择题（每题5分，共50分）1、（2015·海南省高考模拟测试题·3）若函数)0,0(1)(>>-=b a e bx f ax 的图象在x=0处的切线与圆x 2+y 2=1相切,则a+b 的最大值是（ ）A. 4B.C. 2D. 2.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·12）3．(2015·哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试·12)定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,24．(2015济宁市曲阜市第一中学高三校模拟考试·10)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =2对称，则()f x 的最大值是（ ）A ．9B ．14C ．15D ．165．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·10）已知函数f （x ）=e x ﹣mx+1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y=ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ． （，+∞） C ． 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． (),e +∞6．（2015·佛山市普通高中高三教学质量检测（二）·4）不可能为直线b x y +=23作为切线的曲线是（ ）A ．x y 1-=B ．x y sin =C ． x y ln =D ．x e y =7. (2015·海淀区高三年级第二学期期末练习·7)已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）28．(2015·丰台区学期统一练习二·3）直线4y x =+与曲线21y x x =-+所围成的封闭图形的面积为（ ） (A) 223 (B) 283 (C) 323 (D) 3439．（2015·合肥市高三第三次教学质量检测·10）定义在R 上的函数()f x 满足:()1f x >且()'()1,(0)5f x f x f +>=,其中'()f x 是()f x 的导函数,则不等式ln[()1]ln 4f x x +>-的解集为（ ）A ．(0,)+∞B ．(,0)(3,)-∞+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,0)-∞ 10. (2015.怀化市高三第二次模考·9) 定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞UC ．()(),01,-∞+∞UD ．()3,+∞ 二、非选择题（50分）11. (2015·济南市高三教学质量调研考试·14)已知正方形ABCD,M 是DC 的中点，由AM mAB nAC =+uuu r uu u r uu u r 确定,m n 的值，计算定积分sin n m xdx ππ=⎰__________. 12. （2015·青岛市高三自主诊断试题·14）若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 ； 13．函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．（2015·苏锡常镇四市高三数学调研（二模）·14）已知a ，b ∈R ，a ≠0，曲线y=xa 2+，y=ax+2b+1，若两条曲线在区间[3，4]上至少有一个公共点，则a 2+b 2的最小值为15.（2015.山师附中第七次模拟·11）由1,1,2,1y x x y x ====所围成的封闭图形的面积为______________.16. （2015·山东省实验中学高三第三次诊断考试20.）（本题满分12分）已知函数()1ln x f x x+=. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在区间()1,02t t t ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上不是单调函数，求实数t 的取值范围； （III ）如果当1x ≥时，不等式()1a f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围.17. （2015·扬州中学第二学期开学检测·20）（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax b =++，()ln g x x =．（1）记()()()F x f x g x =-,求()F x 在[1,2]的最大值； （2）记()()()f x G xg x =，令4a m =-，24()b m m R =∈，当210<<m 时，若函数()G x 的3个极值点为123123,,()x x x x x x <<，（ⅰ）求证：321120x x x <<<<；（ⅱ）讨论函数()G x 的单调区间（用123,,x x x 表示单调区间）．专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（A 卷）答案与解析1.【答案】D【命题立意】本题旨在考查导数的几何意义，直线与圆的位置关系，基本不等式．【解析】由于f ′（x ）=－b a e ax ，故k=f ′（0）=－b a ，又f （0）=－b1，则对应的切线方程为y+b 1=－b a x ，即ax+by+1=0，而切线与圆x 2+y 2=1相切，则有d=221ba +=r=1，即a 2+b 2=1，故有a+b ≤)(222b a +=2，当且仅当a=b=22时等号成立． 2.【答案】C【命题立意】本题重点考查图象的对称性，利用导数研究函数的单调性，难度较大.1=，将(,),(,),(,),(,),(,),x y y x y x x y x y ------代入其方程，其表达式不变，所以曲线关于原点和直线,y x y x ==-以及,x y 轴对称，所以①正确，②错误，根据对称性，因为曲线与两坐标轴交点处的四条线段长为轴交点处弧长，所以l >，故③正确，曲线到原点的距离的平方为222d x y =+，由1=，得23(1y =，所以222223(1d x y y x =+==+，设u =则23x u =，233(1)d u u =+-，222()33(1)63d u u u '=--=-，当102u <<时，2()0d '<，当12u >时，2()0d '>，所以当12u =时，2min 111()884d =+=，得12d ≥. 3.【答案】C 【命题立意】本题旨在考查导数，函数零点存在性定理。
全国各地高考数学三轮复习试题汇编 专题2 不等式、函数与导数 第3讲 函数与方程及函数的应用(A
专题2 不等式、函数与导数第3讲 函数与方程及函数的应用（A 卷）一、选择题（每题5分，共50分）1. （2015·山东省实验中学第二次考试·6）若方程24x x m +=有实数根，则所有实数根的和可能是（ ）A.246---、、B. 456---、、C. 345---、、D. 468---、、 2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·10)已知函数()()()sin 1,02=01log ,0ax x f x a a x x π⎧⎛⎫->⎪ ⎪>≠⎝⎭⎨⎪-<⎩，且的图象上关于y 轴对称的点至少有5对，则实数a 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭3.（2015·山东省枣庄市高三下学期模拟考试·10）4.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·9）5．(绵阳市高中2015届第三次诊断性考试·8)已知函数给出如下四个命题： ① f （x ）在上是减函数；②在R 恒成么③函数y ＝f （x ）图象与直线有两个交点．其中真命题的个数为（ ） （A ）3个（B ）2个（C ）1个 （D ）0个6.（2015.成都三诊·9）7．(2015·陕西省西工大附中高三下学期模拟考试·12)已知函数f （x ）=ax 3－3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ）A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）8.（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·15）9．(2015·日照市高三校际联合5月检测·10)在()1,+∞上的函数()f x 满足：①()()2f x cf x =（c 为正常数）；②当24x ≤≤时，()()()213.f x x f x =--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（ ）A ．1或12B ． 122或C ．1或3 D ．1或210. (2015·山东省实验中学高三第三次诊断考试·10)已知函数()()()()21,021,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()12g x f x x =-的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n 项的和10=n S S ，则 A.45 B.55 C.90D.110二、非选择题（50分）11．(2015·聊城市高考模拟试题·15)已知函数()()3234f x x ax f x =-+，若存在唯一的零点0x ，则实数a 的取值范围是___________．12．(2015.南通市高三第三次调研测试·12)已知函数322301()5 1x x m x f x mx x ⎧++=⎨+⎩≤≤，，，＞.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为 ．13．(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·12)已知函数221(0)()2(0)x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 。
2015-2017年北京市高三理科数学模拟题分类汇编 第三章 导数及其应用
2. （2016-2017 丰台一模理 3）定积分 ⎰ 3 (2 x - )d x =3．（2014-2015 西城一模理 8）已知抛物线 y = x 2 和 y = - x 2 + 5 所围成的封闭曲线如图 （第三章 导数及其应用3.1 导数和积分一、选择题1. （2016-2017 海淀一模理 5） 已知 a = ⎰1 x d x ， b = ⎰1 x 2d x ， c = ⎰ 1 x d x ，则 a , b , c 的大0 0 0 小关系是A ． a < b < cB ． a < c < bC ． b < a < cD ． c < a < b1 1 x（A ）10 - ln3（B ） 8 - ln3（C ）（D ） 22364 91 1 4 16所示,给定点 A(0, a ) ,若在此封闭曲线上恰有三对不同的点,满足每一对点关于点 A 对称,则实数 a 的取值范围是（A ） (1,3)（B ） (2,4)3 （C ） ( ,3) 25 （D ） ( ,4) 24．2014-2015 海淀二模 6）已知函数 f ( x ) 的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100 粒豆子,记下落入阴影区域的豆1/802．（2014-2015丰台一模理9）定积分⎰(x+cos x)dx=________.邻的两个极值点，且f(x)在x=3处的导数f'()<0，则f()=________.子数．通过10次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33,由此可估计⎰1f(x)dx的值约为（A）（B）（C）（D）99 100 3 10 9 10 10 11二、填空题1．（2014-2015东城一模理10）曲线y=sin x(0≤x≤π)与x轴围成的封闭区域的面积为______.π3.（2015-2016丰台二模理14）已知x=1,x=3是函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0)两个相312232/80（ 3.2 导数综合应用一、选择题1．2014-2015 海淀二模 7）已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≤ 0 时, f ( x ) = ( x + 1)3 e x +1 ．那么函数 f ( x ) 的极值点的个数是（A ）5 （B ）4 （C ）3二、解答题1．（2014-2015 丰台一模理 18）设函数 f ( x ) = e x - ax ．（Ⅰ）当 a = 2 时，求曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： f ( x ) > 0 ；（Ⅲ）当 a > 1 时，求函数 f ( x ) 在 [0, a] 上的最大值．（D ）23/80已知函数f(x)=x ln x．（Ⅰ）求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）求证：f(x)≥x-1；（Ⅲ）若f(x)≥ax2+2(a≠0)在区间(0,+∞)上恒成立，求a的最小值．a4/80设函数f(x)=e ax(a∈R).（Ⅰ）当a=-2时，求函数g(x)=x2f(x)在区间(0,+∞)内的最大值；（Ⅱ）若函数h(x)=x2f(x)-1在区间(0,16)内有两个零点，求实数a的取值范围.5/80（Ⅱ）对任意 x ∈[ ， ] ，都有 x ln(kx) - kx + 1 ≤ mx ，求 m 的取值范围. 已知函数 f ( x ) = ln(kx) + 1 - k (k > 0) . x（Ⅰ）求 f ( x ) 的单调区间；1 2 k k6/80已知函数f(x)=e x-a ln x-a.（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈(0,e)，f(x)在区间(a,1)上有极小值，且极小值大于0. e7/80已知函数f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1)，其中实数a<3.（Ⅰ）判断x=1是否为函数f(x)的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若f(x)≤0在区间[0,1]上恒成立，求a的取值范围.8/80已知动点M到点N(1,0)和直线l：x=-1的距离相等.（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP 为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．9/80已知函数f(x)=e x-12x2．设l为曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线，其中00x∈[-1,1]．（Ⅰ）求直线l的方程（用x表示）；（Ⅱ）设O为原点，直线x=1分别与直线l和x轴交于A,B两点△求AOB的面积的最小值．10/80９．（2016-2017西城二模理18）已知函数f(x)=(x2+ax-a)⋅e1-x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'(x)的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f(x)存在最小值的充分而不必要条件．（Ⅲ）设 0 < a < b ，求证：ln b- ln a 10.（2016-2017 东城一模理 18）已知函数 f ( x ) = 2ln x + 1- mx (m ∈ R ) ． x（Ⅰ）当 m = - 1 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1))处的切线方程；（Ⅱ）若 f (x ) 在 (0, +∞ ) 上为单调递减，求 m 的取值范围；1 < ． b - a ab11.（2016-2017东城二模理18）设函数f(x)=(x2+ax-a)⋅e-x(a∈R)．（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x)=x2-x-1，若对任意的tÎ[0,2]，存在sÎ[0,2]使得f(s)³g(t)成立，求a的取值范围．12.（2016-2017朝阳一模理18）已知函数f(x)=ln x-ax-1(a∈R),g(x)=xf(x)+12x2+2x.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，若函数g(x)在区间(m,m+1)(m?Z)内存在唯一的极值点，求m的值.13.（2016-2017朝阳二模理19）已知函数f(x)=e x+x2-x，g(x)=x2+ax+b,a,b R．（Ⅰ）当a=1时，求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)切于点(1,c)，求a,b,c的值；（Ⅲ）若f(x)≥g(x)恒成立，求a+b的最大值．,函数 g ( x ) = y 设 n ∈ N *,函数 f ( x ) = ln x e x x n x n, x ∈ (0, +∞) ．（Ⅰ）当 n = 1 时,写出函数 y = f ( x ) - 1 零点个数,并说明理由;（Ⅱ）若曲线 y = f (x) 与曲线 y = g ( x ) 分别位于直线 l ： = 1 的两侧,求 n 的所有可能取值．已知函数f(x)=x+a+ln x,a∈R．x（Ⅰ）若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;（Ⅱ）若f(x)在区间(1,2)上单调递增,求a的取值范围;（Ⅲ）讨论函数g(x)=f'(x)-x的零点个数．已知函数 f (x) = a ln x + (a ≠ 0) ． 1 x（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间;（Ⅱ）若{x | f ( x ) ≤ 0} = [b , c ] （其中 b < c ）,求 a 的取值范围,并说明 [b , c ] ⊆ (0,1) ．已知函数 f (x) = a ln x + - (a + 1)x, a ∈ R ． 17.（2014-2015 朝阳一模理 18）（本小题满分 13 分）x 2 2（Ⅰ）当 a = -1 时,求函数 f ( x ) 的最小值;（Ⅱ）当 a ≤ 1 时,讨论函数 f ( x ) 的零点个数．已知函数 f (x) = ln x + 1 - 1 , g ( x ) = ． （Ⅲ）求证:直线 y = x 不是曲线 y = g ( x ) 的切线． 18.（2015-2016 海淀一模理 18）x - 1 x ln x（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小值;（Ⅱ）求函数 g ( x ) 的单调区间;．．设函数f(x)=ae x-x-1,a∈R（Ⅰ）当a=1时,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.（Ⅲ）求证:当x∈(0,+∞)时,ln e x-1x>. x2已知函数f(x)=x2-1,函数g(x)=2t ln x,其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f(x)与g(x)在x=1处的切线均为l,求切线l的方程及t的值;（Ⅱ）如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点,求t的取值范围．已知函数f(x)=x+a ln x,a∈R．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间;（Ⅱ）当x∈[1,2]时,都有f(x)>0成立,求a的取值范围;（Ⅲ）试问过点P(1,3)可作多少条直线与曲线y=f(x)相切？并说明理由．22．（2014-2015东城二模18）已知函数f(x)=x+a⋅e-x．（Ⅰ）当a=e2时,求f(x)在区间[1,3]上的最小值;（Ⅱ）求证:存在实数x∈[-3,3],有f(x)>a．00已知函数f(x)=(x2-a)e x,a∈R．（Ⅰ）当a=0时,求函数f(x)的单调区间;（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数m,n,使f(m)=f(n)成立,求a的取值范围;（Ⅲ）若函数f(x)有两个不同的极值点x,x,求证:f(x)f(x)<4e-2．1212已知f(x)=2ln(x+2)-(x+1)2,g(x)=k(x+1)（Ⅰ）求f(x)的单调区间（Ⅱ）当k=2时,求证:对于∀x>-1,f(x)<g(x)恒成立;（Ⅲ）若存在x>-1,使得当x∈(-1,x)时,恒有f(x)>g(x)成立,试求k的取值范围．00已知函数f(x)=1-ln x．x2（Ⅰ）求函数f(x)的零点及单调区间;（Ⅱ）求证:曲线y=ln x存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标y<-1．x0（Ⅰ）当 a = - 时,求 f (x) 的单调区间; 已知函数 f ( x ) = 1 - x ,其中 a ∈ R ． 1 + ax 21 4（Ⅱ）当 a > 0 时,证明:存在实数 m > 0 ,使得对于任意的实数 x ,都有 | f ( x ) |≤ m 成立．已知函数f(x)=e x(x2+ax+a)．（Ⅰ）当a=1时,求函数f(x)的单调区间;（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)≤e a在[a,+∞)上有解,求实数a的取值范围;（Ⅲ）若曲线y=f(x)存在两条互相垂直的切线,求实数a的取值范围．只需直接写出结果）．（28．（2015-2016西城二模18）（本小题满分13分）设a∈R,函数f(x)=x-a．(x+a)2（Ⅰ）若函数f(x)在(0,f(0))处的切线与直线y=3x-2平行,求a的值;（Ⅱ）若对于定义域内的任意x,总存在x使得f(x)<f(x),求a的取值范围．1221已知函数 f (x) = - x 2+ (a + 1)x +（1 - a)ln x , a ∈ R ．（Ⅱ）当 x ∈ [1,2] 时,若曲线 C : y = f ( x ) 上的点 ( x , y) 都在不等式组 ⎨ x ≤ y , 所表示的平面329．（2015-2016 朝阳二模 18）（本小题满分 13 分）1 2（Ⅰ）当 a = 3 时,求曲线 C : y = f ( x ) 在点 (1, f (1))处的切线方程;⎧⎪1 ≤ x ≤ 2, ⎪⎪⎪ y ≤ x + ⎩ 2区域内,试求 a 的取值范围．（Ⅲ）证明：当k∈N*且k≥2时，ln k30（2014-2015丰台二模理20）已知函数f(x)=ln ax+1（a>0）.x（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；（Ⅱ）如果关于x的方程ln x+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；1111<+++⋅⋅⋅+<ln k．2234k第三章导函数及其应用3.1导数和积分一、选择题题号答案1C2B3D4A二、填空题1.2; 1 3. 22.π22当a>1时，设M(a)=a-ln a，因为M'(a)=1-13.2导数综合应用1．（2014-2015丰台一模理18）18.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=e x-2x，f(0)=1，所以f'(x)=e x-2．因为f'(0)=e0-2=-1，即切线的斜率为-1，所以切线方程为y-1=-(x-0)，即x+y-1=0．……………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f'(x)=e x-2．令f'(x)=0，则x=ln2．当x∈(-∞,ln2)时，f'(x)<0，f(x)在(-∞,ln2)上单调递减，当x∈(ln2,+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(ln2,+∞)上单调递增，所以当x=ln2时，函数最小值是f(ln2)=e ln2-2ln2=2-2ln2>0．命题得证．……………………8分（Ⅲ）因为f(x)=e x-ax，所以f'(x)=e x-a．令f'(x)=0，则x=ln a>0．a-1=>0，a a所以M(a)=a-ln a在(1,+∞)上单调递增，且M(1)=1-ln1=1，所以M(a)=a-ln a>0在(1,+∞)恒成立，即a>ln a．所以当x∈(0,ln a)，f'(x)<0，f(x)在(0,ln a)上单调递减；当x∈(ln a,a)，f'(x)>0，f(x)在(ln a,a)上单调递增．所以f(x)在[0,a]上的最大值等于max{f(0),f(a)}，因为f(0)=e0-a⋅0=1，f(a)=e a-a2，不妨设h(a)=f(a)-f(0)=e a-a2-1（a>1），所以h'(a)=e a-2a．由（Ⅱ）知h'(a)=e a-2a>0在(1,+∞)恒成立，所以h(a)=f(a)-f(0)=e a-a2-1在(1,+∞)上单调递增．又因为h(1)=e1-12-1=e-2>0，所以h(a)=f(a)-f(0)=e a-a2-1>0在(1,+∞)恒成立，即f(a)>f(0)．所以当a>1时，f(x)在[0,a]上的最大值为f(a)=e a-a2．……………………13分２．（2015-2016丰台一模理18）18．解：（Ⅰ）设切线的斜率为kf'(x)=ln x+1k=f'(1)=ln1+1=1因为f(1)=1⋅ln1=0，切点为(1,0)．切线方程为y-0=1⋅(x-1)，化简得：y=x-1．----------------------------4分12-a2x2+ax+2-a2(x+)(x-)ax2=所以x∈(0,-)时h'(x)<0，h(x)在(0,-)上单调递减；1当x=-1a a a（Ⅱ）要证：f(x)≥x-1只需证明：g(x)=x ln x-x+1≥0在(0,+∞)恒成立，g'(x)=ln x+1-1=ln x当x∈(0,1)时f'(x)<0，f(x)在(0,1)上单调递减；当x∈(1,+∞)时f'(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增；当x=1时g(x)m in=g(1)=1⋅ln1-1+1=0g(x)=x ln x-x+1≥0在(0,+∞)恒成立所以f(x)≥x-1．--------------------------------------------------------------------------10分（Ⅲ）要使：x ln x≥ax2+2在区间在(0,+∞)恒成立，a等价于：ln x≥ax+2在(0,+∞)恒成立，ax等价于：h(x)=ln x-ax-2ax≥0在(0,+∞)恒成立12因为h'(x)=-a+=a a x ax2ax2①当a>0时，h(1)=ln1-a-2<0，a>0不满足题意a②当a<0时，令h'(x)=0，则x=-12或x=（舍）．a a1a a11x∈(-,+∞)时h'(x)>0，h(x)在(-,+∞)上单调递增；a a11时h(x)=h(-)=ln(-)+1+2min当ln(-1)+3≥0时，满足题意a(2 x - ax2 )e ax所以 -e 3 ≤ a < 0 ，得到 a 的最小值为 - e 3 -----------------------------------14 分３．（2015-2016 丰台二模理 18）18.（本小题共 13 分） 解：（Ⅰ）当 a = -2 时， g ( x ) = x 2e -2 x ， g '( x) = e -2 x (2 x - 2 x 2 )= - 2 x ( x - 1)e -2 x —-2 分x 与 g '( x ) 、 g ( x ) 之间的关系如下表：x(0,1) 1 (1,+∞)g '( x )+0 -g ( x )增函数 极大值 减函数函数在区间 (0, +∞) 内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点 x = 1 ，---4 分最大值 g (1) =1e 2.（Ⅱ）（1）当 a = 0 时， h ( x ) = x 2 - 1 ，显然在区间 (0,16) 内没有两个零点， a = 0 不合题意.(2)当 a ≠ 0 时， h( x ) =x 2 e ax- 1 ， h '( x ) = 2-ax( x - ) = a . e 2ax e ax①当 a < 0 且 x ∈ (0,16) 时， h '( x ) > 0 ，函数 h ( x ) 区间 (0, +∞) 上是增函数，所以函数 h ( x ) 区间 (0,16) 上不可能有两个零点，所以 a < 0 不合题意；⎧ 2 ⎧ 4 ⎧ 2 ⎪ a h( ) > 0, - 1 > 0, 0 < a < ,⎪ e 2a 2 e ⎪ 2 1 则 ⎨ < 16, ，所以 ⎨a > ,，化简 ⎨a > , . a 8 8 ⎪h(16) < 0 ⎪ 28 ⎪ ln 2 ⎪⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ e 16a②当 a > 0 时，在区间 (0, +∞) 上 x 与 h '( x ) 、 h ( x ) 之间的关系如下表：x2 (0, )a2 a2( , +∞) ah '( x )+-h ( x )增函数 极大值 减函数因为 h (0) = -1 ，若函数 h ( x ) 区间 (0,16) 上有两个零点，⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ ⎪ ⎪ - 1 < 0a > 2因为 1 ln 2< ⇔ 1 < 4ln 2 ⇔ 1 < ln16 ⇔ e < 16 ，8 22 ln 2 > ⇔ 4 > eln 2 ⇔ 4 >3 > eln 2 , e 2所以 1 ln 2 2 < < .8 2 e综上所述，当 ln 2 2 x 2 < a < 时，函数 h ( x ) =2 e f ( x )- 1 在区间 (0,16) 内有两个零点.４．（2016-2017 丰台一模理 18）18．（本小题共 13 分）（1）当 k ≥ 2 时， f ( x ) 在 [ , ] 上单调递减，所以 f ( x )k k k（2）当 0 < k ≤ 1 时， f ( x ) 在 [ , ] 上单调递增，所以 f ( x )k k k 2（3）当1 < k < 2 时， f ( x ) 在 [ ,1) 上单调递减，在 (1, ] 上单调递增，所以 f ( x)max = max ⎨ f ( ), f ( ) ⎬ .k k 2 k 2 若 f ( ) < f ( ) ，即 ln 2 - < 0 ，所以 2ln2 ≤ k < 2 ，此时 f ( x )解：由已知得， f ( x ) 的定义域为 (0, +∞) .（Ⅰ） f '( x ) = x - 1，.x 2令 f '( x ) > 0 ，得 x > 1 ，令 f '( x ) < 0 ，得 0 < x < 1.所以函数 f ( x ) 的单调减区间是 (0,1) ，单调增区间是 (1,+∞) ...………………5 分（Ⅱ）由 x ln(kx) - kx + 1 ≤ mx ，得 ln(kx) + 1- k ≤ m ，即 m ≥ f ( x ) xmax.由（Ⅰ）知，1 21= f ( ) = 0 ，所以 m ≥ 0 ；. max1 22 k= f ( ) = ln2 - ， maxk所以 m ≥ ln 2 - ；212 k k⎧ 1 2 ⎫ ⎩ kk ⎭1 2 k又 f ( ) = 0 ， f ( ) = ln 2 - ,k k 22 1 k 2 k若 f ( ) ≥ f ( ) ，即 ln 2 - ≥ 0 ，所以1 < k < 2ln2 ，此时 f ( x ) = f ( ) = ln2 - ，maxk所以 m ≥ ln 2 - .22 1 kk k 2综上所述，当 k ≥ 2ln2 时， m ≥ 0 ；k当 0 < k < 2ln2 时， m ≥ ln 2 - ...………………13 分2max= 0 ，所以 m ≥ 0在区间 ( ,1) 上是单调递增函数.…………………5 分 a因为 f '( ) = e e- e < 0 ， f '(1) = e - a > 0 ，…………………6 分 所以 ∃x ∈ ( ,1) ,使得 e x 0 - =0 .…………………7 分e x所以 ∀x ∈ ( , x ) ， f '( x ) < 0 ； ∀x ∈ ( x ,1) ， f '( x ) > 0 ，…………………8 分e 故f ( x ) 在 ( , x ) 上单调递减，在 ( x ,1) 上单调递增，…………………9 分e 设 g ( x )=a( - ln x - 1) ， x ∈ ( ,1) ，即 g ( x ) 在 ( ,1) 上单调递减，所以 g ( x ) > g (1) = 0 ，- ) =-５．（2016-2017 丰台二模理 18）18.（本小题共 13 分）解：（Ⅰ） f ( x ) 的定义域为 (0, +∞) ，…………………1 分因为 a = e ，所以 f ( x ) = e x - e(ln x + 1) ，所以 f '( x ) = e x - ex.…………………2 分因为 f (1) = 0 ， f '(1) = 0 ，…………………3 分所以曲线 y = f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y = 0 .…………………4 分（Ⅱ）因为 0 < a < e ,所以 f '( x ) = e x -a a x ea ea a0 0a0 0a所以 f ( x) 有极小值 f ( x 0 ) .…………………10 分因为 e x 0 - a= 0,x所以 f ( x )=e x 0 - a(ln x + 1) = a( 0 0 1x- ln x - 1) .…………………11 分1 ax e则 g '( x ) = a(-11 a(1+ x)，………………12 分 x 2 x x 2所以 g '( x ) < 0 ，ae即 f ( x ) > 0 ，所以函数 f ( x ) 的极小值大于 0．………………13 分６．（2016-2017海淀一模理18）18.（本小题满分13分）解：法1：（Ⅰ）由f(x)=x2-2ax+4(a-1)ln(x+1)可得函数定义域为(-1,+∞)，f'(x)=2x-2a+4(a-1) x+1=2[x2+(1-a)x+(a-2)]x+1=2(x-1)[x-(a-2)]x+1,由f'(x)=0得x=1,x=a-2.12因为a<3，所以a-2<1.当a≤1时，a-2≤-1，所以f'(x)，f(x)的变化如下表：x(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗当1<a<3时，-1<a-2<1，f'(x)，f(x)的变化如下表：++）x(-1,a - 2) a - 2 (a - 2,1) 1 (1,+∞)f '(x)f ( x )-↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗综上， x = 1 是函数 f ( x ) 的极值点，且为极小值点.（Ⅱ）易知 f (0)=0 ，由（Ⅰ 可知，当 a ≤ 2 时，函数 f ( x ) 在区间[0,1] 上单调递减，所以有 f ( x ) ≤ 0 恒成立；当 2 < a < 3 时，函数 f ( x ) 在区间[0, a - 2] 上单调递增，所以 f (a - 2) > f (0) = 0 ，所以不等式不能恒成立；所以 a ≤ 2 时有 f ( x ) ≤ 0 在区间 [0,1] 上恒成立.（Ⅱ）易知 f (0)=0 ，因为 f '(x) = 2( x - 1)[x - (a - 2)]x + 1，又因为 a < 3 ，所以 a - 2 < 1 ，所以当 a ≤ 2 时，在区间[0,1] 上 f '(x) < 0 ，所以函数 f ( x ) 单调递减，所以有 f ( x ) ≤ 0 恒成立；当 2 < a < 3 时，在区间[0, a - 2] 上 f '(x) > 0 ，所以函数 f ( x ) 单调递增，x ∈ ( ln , +∞) 时， f '(x) > 0 ，所以函数 f (x) 在 ( ln , +∞) 上递增所以 f (a - 2) > f (0) = 0 ，所以不等式不能恒成立；所以 a ≤ 2 时有 f ( x ) ≤ 0 在区间 [0,1] 上恒成立.７．（2016-2017 海淀二模理 18） 19.（本小题满分 13 分） 解：（Ⅰ） f '(x) = a e ax - 1 ，因为曲线 y = f (x) 在 (0, f (0)) 处的切线与直线 x + 2 y + 3 = 0 垂直，所以切线 l 的斜率为 2， 所以 f '(0) = 2 ，所以 a = 3 .（Ⅱ）法 1：当 a ≤ 0 时，显然有 f (1)< e a - 1 ≤ 0 < 1 ，即存在实数 x 使 f ( x ) < 1 ；当 a > 0, a ≠ 1 时，由 f '(x) = 0 可得 x = 1 ln 1 ，a a所以在 x ∈ (-∞, 1 ln 1 ) 时， f '(x) < 0 ，所以函数 f (x) 在 (-∞, 1 ln 1 ) 上递减；a a a a1 1 1 1a a a a所以 f ( 1 ln 1 ) = 1 (1+ ln a) 是 f (x) 的极小值.a a a由函数 f ( x ) = e ax - x 可得 f (0) = 1，由 a ≠ 1可得 1 ln 1 ≠ 0 ，a ax ∈ ( ln , +∞) 时， f '(x) > 0 ，所以函数 f (x) 在 ( ln , +∞) 上递增.所以 f ( ln ) < 1 ，所以 f ( 1 ln 1 ) < f (0) = 1 ，a a综上，若 a ≠ 1，存在实数 x 使 f ( x ) < 1 .（Ⅱ）法 2：当 a ≤ 0 时，显然有 f (1)< e a - 1 ≤ 0 < 1 ，即存在实数 x 使 f ( x ) < 1 ；当 a > 0, a ≠ 1 时，由 f '(x) = 0 可得 x = 1 ln 1 ，a a所以在 x ∈ (-∞, 1 ln 1 ) 时， f '(x) < 0 ，所以函数 f (x) 在 (-∞, 1 ln 1 ) 上递减；a a a a1 1 1 1 a a a a所以 f ( 1 ln 1 ) = 1 + ln a 是 f (x) 的极小值.a a a设 g ( x ) = 1 + ln x ，则 g '(x) = - ln x ( x > 0) ,令 g '(x) = 0 ，得 x = 1x x 2x(0,1)1(1,+∞)g '(x)g ( x )+ -↗ 极大值 ↘所以当 x ≠ 1 时 g ( x ) < g (1)= 1 ，1 1a a综上，若 a ≠ 1，存在实数 x 使 f ( x ) < 1 .８．（2016-2017 西城一模理 18）18．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）对 f (x) 求导数，得 f '( x ) = e x - x ，[1 分]所以切线 l 的斜率为 f '( x ) = e x 0 - x ，[2 分]由此得切线 l 的方程为： y - (e x 0 - x 2 ) = (e x 0 - x )(x - x ) ，2 0 即 y = (e x 0 - x ) x + (1- x )e x 0 + x 2 .[4 分]2 0得 y = (e x 0 - x ) + (1- x )e x 0 + x 2 = (2 - x )(e x 0 - x ) .[5 分]2 0 2 0所以 = 1 2 2 0=| (1- x )(e x 0 - x ) | ， x ∈[-1,1].[7 分]2 0 2 0 设 g (x) = (1- x)(e x - x) ， x ∈[-1,1].[8 分]则 g '(x) = - (e x - x) + (1- x)(e x - ) = - (x -1)(e x -1) .[10 分]2 2 e↘1↗1+1 0 01 0 0（Ⅱ）依题意，切线方程中令 x = 1 ，1 1 0 0 0所以 A(1,y) ， B(1,0).1△S AOB = 2 | OB | ⋅ | y |1| (2 - x )(e x 0 - x )| 01 11 12 21 1 1 1 12 2 2 2 2令 g '( x ) = 0 ，得 x = 0 或 x = 1 ．g ( x ) ， g '( x ) 的变化情况如下表：x-1(- 1,0)(0,1)1g '( x )-0 +g ( x )3 ( 1 1) 1 (e - ) 2 2所以 g ( x ) 在 (- 1,0) 单调递减；在 (0,1) 单调递增，[12 分]所以 g (x)min = g (0) = 1 ，从而△ AOB 的面积的最小值为 1．[13 分]极小值 极大值９．（2016-2017 西城二模理 18）19．（本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由 f ( x) = ( x 2 + ax - a ) ⋅ e 1- x ，得 f '( x ) = (2 x + a) ⋅ e 1- x - ( x 2 + ax - a) ⋅ e 1- x= - [ x 2 + (a - 2) x - 2a ] ⋅ e 1- x= - ( x + a )( x - 2) ⋅ e 1- x ．[2 分]令 f '( x ) = 0 ，得 x = 2 ，或 x = -a ．所以当 a = -2 时，函数 f '( x ) 有且只有一个零点： x = 2 ；当 a ≠ -2 时，函数 f '( x ) 有两个相异的零点： x = 2 ， x = -a ．[4 分]（Ⅱ）①当 a = -2 时， f '( x ) ≤ 0 恒成立，此时函数 f ( x ) 在 (-∞ , +∞ ) 上单调递减，所以，函数 f ( x ) 无极值．[5 分]②当 a > -2 时， f '( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表：x(-∞, -a)-a(- a ,2)2 (2, +∞)所以，时， f '( x ) - 0 + 0 -f ( x ) ↘ ↗ ↘ a ≥ 0f ( x ) 的极小值为 f (-a) = -a ⋅ e 1+a ≤ 0 ．[7 分]又 x > 2 时， x 2 + ax - a > 22 + 2a - a = a + 4 > 0 ，所以，当 x > 2 时， f ( x ) = ( x 2 + ax - a) ⋅ e 1-x > 0 恒成立．[8 分]所以， f (-a) = -a ⋅ e 1+a 为 f ( x ) 的最小值．[9 分]故 a ≥ 0 是函数 f ( x ) 存在最小值的充分条件．[10 分]极小值极大值即22-m≤0在(0,+∞)上恒成立．③当a=-5时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-∞,2)2(2,5)5(5,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘↗↘因为当x>5时，f(x)=(x2-5x+5)⋅e1-x>0，又f(2)=-e-1<0，所以，当a=-5时，函数f(x)也存在最小值．[12分]所以，a≥0不是函数f(x)存在最小值的必要条件．综上，a≥0是函数f(x)存在最小值的充分而不必要条件．[13分]10.（2016-2017东城一模理18）（18）（共13分）解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,+∞)．当m=-1时，f(x)=2ln x+21所以f'(x)=-+1．x x21x+x，因为f(1)=2且f'(1)=2，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x-y=0．…………4分（Ⅱ）若函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减，则f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立．1-x x即2因为g(x)=2（Ⅲ）因为0<a<b，不等式ln b-ln a所以，当时0<a<b，不等式ln b-ln a1-≤m在(0,+∞)上恒成立．x x2设g(x)=21-x x2(x>0)，则m≥[g(x)]max．11-=-(-1)2+1(x>0)，x x2x所以当x=1时，g(x)有最大值1．所以m的取值范围为[1,+∞)．……………………9分1b-a<等价于ln b-ln a<．b-a ab ab即ln ba<b a b1-，令=t(t>1)，原不等式转化为2ln t<t-．a b a t1令h(t)=2ln t+-t，t由（Ⅱ）知f(x)=2ln x+1x-x在(0,+∞)上单调递减，1所以h(t)=2ln t+-t在(1,+∞)上单调递减．t所以，当t>1时，h(t)<h(1)=0．1即当t>1时，2ln t+-t<0成立．t1<成立．……………………13分b-a ab11.（2016-2017东城二模理18）（18）（共13分）解：（Ⅰ）当a=0时，因为f(x)=x2?e-x，所以f'(x)=(-x2+2x)?e-x，f'(-1)=-3e．” 由 (4 + a )壮2) 由 - a ? 1，得 a ? 1 ；由 (4 + a )壮又因为 f (- 1) = e ，所以曲线 y = f ( x ) 在点 (- 1, f (- 1)) 处的切线方程为y - e = - 3e( x +1) ，即 3ex + y +2e = 0 ．……………………4 分（Ⅱ）“对任意的 t Î [0,2] ，存在 s Î [0,2] 使得 f (s) ³ g (t ) 成立”等价于“在区间 [0,2] 上，f ( x ) 的最大值大于或等于g ( x ) 的最大值．因为 g ( x ) = x 2- x - 1 = ( x - 1 5)2 - ，2 4所以 g ( x ) 在 [0,2] 上的最大值为 g (2) = 1 ．f '(x) = (2 x + a )?e - x ( x 2 + a x - a)?e - x= - e - x [ x 2 +(a - 2) x - 2a]= - e - x ( x - 2)( x + a)令 f '(x) = 0 ，得 x = 2 或 x = - a ．①当 - a ? 0 ，即 a ³ 0 时，f '(x) ³ 0 在 [0,2] 上恒成立， f ( x ) 在 [0,2] 上为单调递增函数，f ( x ) 的最大值为 f (2) = (4 + a )? 1 e 2,1e 21 ，得 a ? e2 4 ．②当 0 < - a < 2 ，即 - 2 < a < 0 时，当 x ∈ (0, -a) 时， f '(x) < 0 ， f ( x ) 为单调递减函数，当 x ∈ (-a ， 时， f '(x) > 0 ， f ( x ) 为单调递增函数．所以 f ( x ) 的最大值为 f (0) = - a 或 f (2) = (4 + a )?1e2,1e 21，得 a ? e 2 4 ．又因为 - 2 < a < 0 ，所以 - 2 < a ? 1．③当 - a ? 2 ，即 a ? 2 时，f '(x) £ 0 在 [0,2] 上恒成立， f ( x ) 在 [0,2] 上为单调递减函数，）f ( x ) 的最大值为 f (0) = - a ，由 - a ? 1，得 a ? 1 ，又因为 a ? 2 ，所以 a ? 2 ．综上所述，实数 a 的值范围是 a ? 1 或 a ? e 2 4 ．……………………13 分12.（2016-2017 朝阳一模理 18）（18 （本小题满分 13 分）解：（Ⅰ）由已知得 x > 0 ， f '( x ) = 1 1 - ax - a = x x.（ⅰ）当 a ≤ 0 时， f '( x ) > 0 恒成立，则函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 为增函数；（ⅱ）当 a > 0 时，由 f '( x ) > 0 ，得 0 < x < 1 a；由 f '( x ) < 0 ，得 x > 1 a；1 1所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 ( , +∞) . ……4 分a a1 1 1（Ⅱ）因为 g ( x ) = xf ( x ) + x 2 + 2 x = x(ln x - x - 1) + x 2 + 2 x = x ln x - x 2 + x ，2 2 2则 g '( x ) = ln x + 1 - x + 1 = ln x - x + 2 = f ( x ) + 3 .由（Ⅰ）可知，函数 g '( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减.又因为 g '( 1e 2 1 1) = -2 - + 2 =- < 0 ， g '(1) = 1 > 0 ，e 2 e 2所以 g '( x ) 在 (0,1) 上有且只有一个零点 x .1又在 (0, x ) 上 g '( x ) < 0 ， g ( x ) 在 (0, x ) 上单调递减；1 1在 ( x ,1) 上 g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在 ( x ,1) 上单调递增.1 1所以 x 为极值点，此时 m = 0 .1又 g '(3) = ln3 - 1 > 0 ， g '(4) = 2ln 2 - 2 < 0 ，所以 g '( x ) 在 (3, 4) 上有且只有一个零点 x .2又在 (3, x ) 上 g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在 (3, x ) 上单调递增；2 2在(x,4)上g'(x)<0，g(x)在(x,4)上单调递减.22所以x为极值点，此时m=3.2综上所述，m=0或m=3.……………………………………………………13分13.（2016-2017朝阳二模理19）、（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）F(x)=e x-2x-b，则F'(x)=e x-2.令F'(x)=e x-2>0,得x>ln2，所以F(x)在(ln2,+∞)上单调递增.令F'(x)=e x-2<0,得x<ln2，所以F(x)在(-∞,ln2)上单调递减.…………4分（Ⅱ）因为f'(x)=e x+2x-1，所以f'(0)=0，所以l的方程为y=1.依题意，-a2=1，c=1.于是l与抛物线g(x)=x2-2x+b切于点(1,1)，由12-2+b=1得b=2.所以a=-2,b=2,c=1.…………8分（Ⅲ）设h(x)=f(x)-g(x)=e x-(a+1)x-b,则h(x)≥0恒成立.易得h'(x)=e x-(a+1).（1）当a+1≤0时，因为h'(x)>0，所以此时h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.①若a+1=0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤-1；②若a+1<0，取x<0且x<001-b a+1,。
全国各地高考数学三轮复习试题汇编专题 不等式函数与导数第3讲函数与方程及函数的应用(B卷)理
专题2 不等式、函数与导数第3讲 函数与方程及函数的应用（B 卷）一、选择题（每题5分，共50分）1. （2015·青岛市高三自主诊断试题·4）已知函数22, 0,()|log |,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则使()2f x =的x 的集合是（ ）A ．1{,4}4B ．{1,4}C ．1{1,}4D ．1{1,,4}42．(2015·黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第三次模拟考试数学（理）试题·11)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=-)1(23)1(21)(31x x x x x f x，且方程a x f =)(由三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)4,0[B ．)4,0(C ．)1,0[D ．)1,0(3．（2015·山东省潍坊市高三第二次模拟考试·10）已知函数201520144321)(20152014432x x x x x x x f +-+-+-+= ，若函数)(x f 的零点都在),,](,[Z b a b a b a ∈<内，则a b -的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．(江西省九江市2015届高三第三次模拟考试·12)已知函数2()2f x x x =--，1,0()1,04x x g x x x x +≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若函数(())y g f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(]0,1 B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 15(,)24D. 5[1,)45．(2015·丰台区学期统一练习二·4）函数1,0,()2cos 1,20x f x x x -≥=--π≤<⎪⎩的所有零点的和等于（ ）(A) 1-2π (B) 312π-(C) 1-π (D) 12π-6.(2015.芜湖市高三5月模拟·10)7.（2015·河北省唐山市高三第三次模拟考试·11）8、（2015·海南省高考模拟测试题·2）能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是（ ）A ．3()4f x x x =+ B ．()xxf x e e -=+C ．()tan2xf x = D ． 5()15xf x nx-=+ 9.函数()f x 的定义域为D ，对给定的正数k ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()[],f x a b 在内是单调函数；②()[],f x a b 在上的值域为[],ka kb ，则称区间[],a b 为()y f x =的k 级“理想区间”.下列结论错误的是（ ） A.函数()()2f x x x R =-∈存在1级“理想区间”B.函数()()x f x e x R =∈不存在2级“理想区间”C.函数()()2401xf x x x =≥+存在3级“理想区间”D. 函数()()1log 0,14xa f x a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭不存在4级“理想区间” 10.(2015·济宁市5月高考模拟考试·10)二、非选择题（50分）11．（2015·开封市高三数学（理）冲刺模拟考试·15）设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对x ∈R ，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[]02，-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]62(，- 内关于x 的方程)1(0)2(log )(>=+-a x x f a 恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ．12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()|2|f x x x =-．若关于x 的方程2()()0(,)f x af x b a b R ++=∈恰有10个不同实数解，则a 的取值范围为___▲ ．13. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·14)若函数f （x ）=a x－x 2（a >1）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 .14．（ 2015·山师附中第七次诊断考试·15） 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(223x x x xy ，若关于x的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ .15.（ 2015·山东省实验中学届高三第三次诊断考试·15）定义函数()()1,,1,0,x Qd x f x gx x Q∈⎧==⎨∉⎩那么下列命题中正确的序号是_________.（把所有可能的图的序号都填上）.①函数()d x 为偶函数；②函数()d x 为周期函数，且任何非零实数均为其周期； ③方程()()d x f x =有两个不同的根.16. (2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·17)（12分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数()f t （万人）与时间（天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，日人均消费()g t （元）与时间（天）的函数关系近似满足()11515g t t =--。
高考数学三轮复习试题汇编 专题2 不等式、函数与导数 第4讲 导数与定积分(B卷)理(含解析)-人教
专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（B 卷）一、选择题（每题5分，共30分）1、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·4)1()x x e dx --⎰=（ ）A ．11e--B ．1-C ．312e-+D ．32-2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·9)622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a x +=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π- B ．146π+C ．4πD ．163. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·12)已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数)(x f '，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，若)1(sin 1sin f a ⋅=，)3(3--=f b ，)3(ln 3ln f c =，则下列关于c b a ,,的大小关系正确的是（ ）A.a c b >>B.b c a >>>C.a b c >>D. c a b >>4.（2015·赣州市高三适用性考试·4）5.（2015·赣州市高三适用性考试·12）若函数2|ln |+2,(0)()=3,(0)x x f x x x >⎧⎨-≤⎩,方程[()]=f f x a 只有五个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A.(2ln 2,]e +B.(,2ln 3]e +C.(2ln 2,3]+.D. (3,2ln 2]+6．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·12)定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-,2()()'()f b f a f x b a-=-,则称函数()f x 是[a,b]上的“双中值函数”．已知函数32()f x x x a =-+是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)32B ．(3,32) C ．(12,1) D ．(13,1) 7.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·12）8. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·9)已知()()()sin cos 02015x f x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A.()2014211x e e eππ--B. 21008πC.()22014211x e e eππ--D. 1008π二、非选择题(60分)9. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·16)函数x x x x f sin )(3+--=，当)2,0(πθ∈时，恒有0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ成立，则实数m 的取值范围是 .10、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·15)若函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是 __.11．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·15)设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ▲ ．12. （2015·山东省实验中学第二次考试·11）定积分()12xx e dx +⎰= 。
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专题2 不等式、函数与导数 第4讲 导数与定积分（B 卷）一、选择题（每题5分，共30分）1、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·4)1()x x e dx --⎰=（ ）A ．11e--B ．1-C ．312e-+D ．32-2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理）试题·9)622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a x +=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π- B ．146π+C ．4π D ．163. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·12)已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数)(x f '，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，若)1(s i n 1s i n f a ⋅=，)3(3--=f b ，)3(ln 3ln f c =，则下列关于c b a ,,的大小关系正确的是（ ）A.a c b >>B.b c a >>>C.a b c >>D. c a b >>4.（2015·赣州市高三适用性考试·4）5.（2015·赣州市高三适用性考试·12）若函数2|ln |+2,(0)()=3,(0)x x f x x x >⎧⎨-≤⎩,方程[()]=f f x a 只有五个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A.(2ln 2,]e +B.(,2ln 3]e +C.(2ln 2,3]+.D. (3,2ln 2]+6．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·12)定义:如果函数()f x 在[a,b]上存在1212,()x x a x x b <<<满足1()()'()f b f a f x b a -=-,2()()'()f b f a f x b a-=-,则称函数()f x 是[a,b]上的“双中值函数”．已知函数32()f x x x a =-+是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)32B ．(3,32)C ．(12,1) D ．(13,1) 7.（2015·山西省太原市高三模拟试题二·12）8. (2015·山东省潍坊市第一中学高三过程性检测·9)已知()()()sin cos 02015x f x e x x x π=-≤≤，则函数()f x 的各极大值之和为（ ）A.()2014211x e e e ππ--B. 21008πC.()22014211x e e e ππ--D. 1008π二、非选择题(60分)9. (江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·16)函数x x x x f sin )(3+--=，当)2,0(πθ∈时，恒有0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ成立，则实数m 的取值范围是 .10、(2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·15)若函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是 __.11．(2015.江西省上饶市高三第三次模拟考试·15)设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且))(1,(*0N a a a x ∈+∈，则实数a = ▲ ．12. （2015·山东省实验中学第二次考试·11）定积分()12xx e dx +⎰= 。
13. （2015·山东省实验中学第二次考试·13）函数()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()ln 1f x f <的解集为___________.14．(2015·盐城市高三年级第三次模拟考试·14)若函数f （x ）=－lnx+ax 2+bx －a －2b 有两个极值点x 1，x 2，其中－21<a<0，b>0，且f （x 2）=x 2>x 1，则方程2a[f （x ）]2+bf （x ）－1=0的实根个数为 ．15. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·17)（本小题满分10分）如图，在P 地正西方向km 8的A 处和正东方向km 1的B 处各一条正北方向的公路AC 和,BD 现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F . 为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和.PF 设).20(παα<<=∠EPA（1）为减少周边区域的影响，试确定F E ,的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小； （2）为节省建设成本，试确定F E ,的位置，使PF PE +的值最小.16.(江西省新八校2014-2015学年度第二次联考·21)（本小题满分10分）已知函数kx e x f =)(（k 为不零的实数，e 为自然对数的底数）.（1）若函数)(x f y =与3x y =的图象有公共点，且在它们的某一处有共同的切线，求k 的值；（2）若函数)()33()(2x f kx x x h ⋅--=在区间)1,(kk 内单调递减，求此时k 的取值范围.17. (2015· 徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟·20)（本小题满分10分）已知函数,31)(23b x ax x x f +-+=其中b a ,为常数. （1）当1-=a 时，若函数)(x f 在]1,0[上的最小值为,31求b 的值；（2）讨论函数)(x f 在区间),(+∞a 上单调性；（3）若曲线)(x f y =上存在一点,P 使得曲线在点P 处的切线与经过点P 的另一条切线互相垂直，求a 的取值范围.专题2 不等式、函数与导数第4讲 导数与定积分（B 卷）答案与解析1.【答案】C【命题立意】本题主要考查定积分的运算 【解析】201111131()()|1()222xx x e dx x e e e---=-=---=-+⎰. 2.【答案】A【命题立意】本题旨在考查定积分的计算． 【解析】二项式展开的通项公式为：()6626361662,23602,kk k k k r a T C x C x x k k ---+⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭-=⇒=故由题意有：2626215,2C a -⨯==，交点坐标为()()()0,0,1,1,1,1-，所求解的面积为：12201118246S x dx R ah ππ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭⎰．故选：A 3.【答案】A【命题立意】考查导数法求函数的单调性，考查推理能力，较难题. 【解析】令)()(x xf x g =，则)()()(x f x x f x g '+='，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ， ∴当0>x 时，0)(>'x g ，∴当0>x 时，函数)(x f 单调递增，， 函数)(x f 是奇函数，∴)3(3)3(3f f b =--=，又23ln 1<< ，11sin 0<<∴)1(sin )3(ln )3(f f f >>，1sin 3ln 3>> ，)1(sin 1sin )3(ln 3ln )3(3f f f ⋅>>∴，即a c b >>.4.【答案】C【命题立意】本题主要考查积分的计算，根据积分的运算法则进行求解即可.【解析】1231111(sin )(cos )|3x x dx x x --+=-+⎰112333=+=，选C. 5.【答案】C【命题立意】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数关系，利用数形结合是解决本题的关键.【解析】设()t f x =则()a f t =,作出函数()t f x =和()a f t =的图象如图:①若2a <时，()a f t =有一个根t ，且0t <，∴()t f x =只有一个解，则方程[()]a f f x =有1个根.②若2a =时，()a f t =有两个根120,1t t <=，方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有1个解，则方程[()]a f f x =有2个根.③若2212a n <<+时，()a f t =有3个根12310,0,122t t t <<<<<，此时每个方程()t f x =有各有1个解.则方程[()]a f f x =有3个根，④若212a n =+时，()a f t =有3个根12310,0,22t t t <<<=，此时方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有1个解，3()t f x =有2个解，则方程[()]a f f x =有4个根， ⑤若2123n a +<≤时，()a f t =有3个根1230,01,23t t t ≤<<<<，此时方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有1个解，3()t f x =有3个解，则方程[()]a f f x =有5个根. ⑥若32ln 3a <≤+时，()a f t =有2个根1201,23t t <<<<，此时方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有3个解，则方程[()]a f f x =有4个根.⑦若2ln 3a >+时，()a f t =有2个根1201,3t t <<>，此时方程1()t f x =有1个解，2()t f x =有2个解，则方程[()]a f f x =有3个根.综上满足条件的a 的取值范围是(3,2ln 3]+，选C.【易错警示】本题在求解的过程中，利用换元法转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题是解决本题的关键.同时，根据条件要对a 进行分类讨论，比较复杂. 6.【答案】B【命题立意】本题重点考查了本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题．【解析】由题意可知，在区间[0,a]存在x 1，x 2（1＜x 1＜x 2＜a ），满足f ′（x 1）===a 2﹣a ，∵f （x ）=x 3﹣x 2+a ，∴f ′（x ）=x 2﹣2x ， ∴方程x 2﹣2x=a 2﹣a 在区间（0，a ）有两个解． 令g （x ）=x 2﹣2x ﹣a 2+a ，（0＜x ＜a ）则解得＜a ＜3，∴实数a 的取值范围是（，3）．故选B ．7.【答案】D【命题立意】本题考查利用导数研究抽象函数的单调性，难度较大. 【解析】在ln ()()x xf x f x x '+=中，令x e =得1()()ef e f e e'+=，得()0f e '=，且ln ()()xf x x f x x-'==2ln ()x xf x x -，令()ln ()g x x xf x =-， 则11ln 1ln ()()()()(())x xg x f x xf x f x f x x x x x-''=--=---=，当0x e <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x e >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()()g x g e =110=-=，所以()0f x '<，()f x 在(0,)+∞单调递减，没有最值. 8.【答案】A【命题立意】本题重点考查利用导数求函数的极值以及等比数列的求和公式，难度中等. 【解析】因为()(sin cos )(cos sin )2sin x x x f x e x x e x x e x '=-++=，所以当(2,2)x k k πππ∈+时，()0f x '>，当(2,22)x k k ππππ∈++时，()0f x '<，即当2x k ππ=+时，()f x 取得极大值，其极大值为22(2)[sin(2)cos(2)]k k f k e k k e ππππππππππ+++=+-+=，又因为02015x π≤≤，所以函数()f x 的各极大值之和为21007201435201522(1())(1)11x e e e e S e e e ee eπππππππππ--=++++==-- . 9.【答案】),21[+∞-【命题立意】考查导数法求函数的单调性，函数的奇偶性，考查转化能力，较难题.【解析】 x x x x f sin )(3+--=，∴0cos 13)(2≤+--='x x x f ，∴)(x f 是R 的减函数且为奇函数，由0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ可得22sin 2cos 2+<+m m θθ在)2,0(πθ∈恒成立， ∴]2sin 12)sin 1[(21sin 1sin 121sin 222cos 22--+--=-+⋅-=-->θθθθθθm 在)2,0(π恒成立， 2sin 12)sin 1(--+-=θθu 在)2,0(π单调递减， 1)0(=u ，∴21-≥m .10.【答案】【命题立意】本题主要考查导数的几何意义 【解析】11.【答案】1。