北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——函数
北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——幂指对
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——幂指对（2015年1月·西城期末·2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____．12（2015年1月·延庆期末·7．函数()log 21a y x =++的图像过定点 A ． ()2,1- B ．()2,1 C ． ()1,1-D ．)1,1(（2015年1月·东城期末·13. 求值：⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．278（2015年1月·顺义期末·10．函数y =_____[1,)+∞_______ .（2015年1月·顺义期末·9．函数()f x =的定义域为 (]0,3 .（2015年1月·顺义期末·11．2lg 2lg 25+的值等于 2 .（2015年1月·石景山期末·2.下列算式正确的是 ( )A ．222log (3)log 3log ππ=+B 2==-C ．lg 62lg3= D ． 3322555-==（2015年1月·石景山期末·13. 若函数()f x 的图象与2x y =的图象关于___y 轴_____对称，则函数()f x =__2x -__.（注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）（2015年1月·昌平期末·3）已知函数2()log f x x =，当[1,4]x ∈时，函数()f x 的值域是（A ）[0,1] （B ）[0,2] （C ）[1,2] （D ）[1,4] （2015年1月·昌平期末·9）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23x f x x k =-+（k 为常数），则(1)f -= （A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）1-（2015年1月·昌平期末·10）设正数a ，b 满足23log log a b =，则下列结论中，不可能．．．成立的是（A ）1a b << （B ）01b a <<< （C ）a b = （D ）1b a << （2015年1月·昌平期末·11）函数()f x x α=的图象过点(2,4)，则(1)f -=_____ . 1（2015年1月·石景山期末·14. 三个变量123,,y y y 随x 的变化情况如下表：三个变量123,,y y y 中，变量___3y ____随x 呈对数函数型变化，变量__2y _____随x 呈指数函数型变化，变量___1y ____随x 呈幂函数变化.（2015年1月·丰台期末·9.已知变量y 随变量x 变化的数据如下表：则能基本反映这一变化规律的函数模型是（ ） A ． x y 2=B ．2x y =C ．x y 2log =D ．137.0--=x y（2015年1月·延庆期末·13．不等式212>x的解集为____ ___.),1(+∞-（2015年1月·密云期末·6. 函数log =a y x （0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数=xy b （0>b 且1≠b ）的图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 A ． 22b a >B ． ba 22>C ． b a )21()21(> D ． 2121b a >（2015年1月·顺义期末·11．已知 4.10.9m =，0.94.1n =，0.9log 4.1p =，则这三个数从小到大用“<”连接的顺序是p m n <<_______________ .（2015年1月·昌平期末·4）设 2.50 2.51(),(2.5),22a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）b c a >> （2015年1月·东城期末·6.设2log πa =，12log πb =，2πc -=，则A ．a b c >> B. b a c >> C. a c b >>D. c b a >>（2015年1月·房山期末·6）设3log 2a =，0.3eb =，8cos7c π=，则（A ）b a c << （B ）b c a << （C ）c a b <<（D ）c b a <<（2015年1月·丰台期末·6．已知3π=m ，3log π=n ，πtan =p ，则这三个数的大小关系是（ ）A ．p n m >>B ．m p n >>C ． n m p >>D ．n m p >>（2015年1月·海淀期末·7．设10.52,e ,0.5a b c -===，其中e 2.71828≈，则,,a b c 的大小顺序为 DA.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>（2015年1月·延庆期末·17．已知3.0222,3.0log ,3.0===c b a ，则c b a ,,大小关系是_____ __. b a c >>（2015年1月·昌平期末·7）定义运算,,,,a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩则函数()12xf x =⊕的图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（2015年1月·海淀期末·9.已知函数()f x ax b =+的图象如右图所示，则函数()x g x a b =+的图象 可能是 BA. B. C. D.（2015年1月·海淀期末·12.右图中有五个函数的图象，依据图象用“<”表示出以下五个量,,,,1a b c d 的大小关系，正确的是 CA. 1a c b d <<<<B. 1a d c b <<<<2xxC. 1a c b d <<<<D. 1a c d b <<<<（2015年1月·东城期末·5. 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )A B C D（2015年1月·房山期末·14）已知()f x =ln , 0,2,0,x x x x >⎧⎨+⎩≤ 若0()0f x =，则0x =__________．2-或1（2015年1月·西城期末·3．函数2lg ,0,()4,0,x x f x x x >⎧=⎨-<⎩的零点是_____．2-，1；（2015年1月·房山期末·15）如果函数()f x 的定义域为R ，(2)(1)()f x f x f x +=+-，若(3)lg3lg 2f =-， (2)lg3lg5f =+，则(1)f（2015年1月·丰台期末·10．已知函数22(),1()3(1),1xx x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨⎪->⎩，则()f x 在区间(,2015)-∞内的零点个数为（ ） A ．2015B ．2016C ．2017D ．无数个（2015年1月·密云期末·12. 已知函数21,(01),()2,(10),x x x f x x ⎧+<≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩且5()4f m =，则m 的值为 . 12（2015年1月·顺义期末·14.定义在R 上的函数()f x 满足2,(0()(1)(2),(0)x x f x f x f x x ⎧≤=⎨--->⎩.则(2015)________.f = 12（2015年1月·顺义期末·5.函数131()3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点一定位于下列的哪个区间A. (-1,0)B. (0,1)C. (1, 2)D. (2, 3)（2015年1月·延庆期末·12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+，则a 的取值范围是A ．]221[ B ． ]2,1[ C ． )21,0(D ．]2,0(（2015年1月·石景山期末·10．设函数()log (2)a f x x a =-+在区间(1,)+∞上恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)(1,2)⋃D ． 5(1,)2（2015年1月·延庆期末·19．（本题8分）求下列各式的植：（Ⅰ）0323321)12(])2[(2)41(-+-⨯+-；（Ⅱ）2lg 31025lg 4lg 27log +++ . 解：解：（Ⅰ）原式148121+⨯+=2=. ………………………………4分 （Ⅱ）原式2100lg 3log 33++=7223=++=. …………………8分（2015年1月·密云期末·15. （本小题满分13分） 已知函数2()1+log 1=--（）f x x . （I ）求函数()f x 的定义域；（II ）求(5)f 的值； （III ）求函数()f x 的零点.解：（I ）由题：10x ->, ----------------2分1.x ∴>∴函数()f x 的定义域{}1x x >. ----------------4分（II ）2(5)1log (51)121f =-+-=-+= ----------------8分 （III ）令2()1+log 1=--（）=0f x x ， 2log (1) 1.x ∴-=1 2.x ∴-=3.x ∴=∴函数()f x 的零点为3. ----------------13分（2015年1月·西城期末·7．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>． （Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】 证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则 212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xab-<， 解得32log ()2ax b<-.【10分】（2015年1月·东城期末·19．（本题满分9分）已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）证明:)(x f 是R 上的偶函数；（Ⅱ）判断)(x f 在(0,)+∞上的单调性，并证明. 19．（本题满分9分）解：（Ⅰ）因为函数)(x f 的定义域是R ，且()e e x x f x --=+=)(x f ， 所以)(x f 是偶函数. （Ⅱ）)(x f 在(0,)+∞上是单调递增函数. 设210x x <<，则112212()()()x x x x f x f x e e e e ---=+-+=1212(e -e )(1)x xx x e---.由210x x <<，得12e <e xx，所以12e -e0xx <.又由210x x <<得210x x --<，所以121x x e--<，所以1210x x e --->.所以，12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <.所以，)(x f 在(0,)+∞上是单调递增函数. （2015年1月·房山期末·21）（本小题满分12分）已知函数()log (21)x a f x =-（0a >，1a ≠）． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）当1a >时，判断函数()f x 的单调性,并用单调性的定义证明；（Ⅲ）若()1f x >，求x 的取值范围． 解：（Ⅰ）由()log (21)x a f x =-，要使函数有意义，则210x-> -----------------2分解得0x >. -----------------2分 ∴函数()f x 的定义域为(0,)+∞ -----------------1分 （Ⅱ）当1a >时，函数()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增 -----------------1分证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，设12x x <，则22112121log (21)log (21)log 21x x x a a a x y y y -∆=-=---=-210x x >>，21221x x ∴>>，即2121210x x->->.∴2121121x x->- 又1a >，所以2121log 021x a x->-，即0y ∆> -----------------2分 因此，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.（Ⅲ）由()log (21)1x a f x =->得 ()log (21)log x a a f x a =->当1a >时，得21xa ->，解得2log (1)x a >+ -----------------2分当01a <<时，得21xa -<，解得20log (1)x a <<+ -----------------2分 综上，当1a >时，x 的取值范围为2(log (1),)a ++∞，当01a <<时，x 的取值范围为2(0,log (1))a +.（2015年1月·丰台期末·17.（本小题满分8分） 已知对数函数()f x 图象经过点()3,8 （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若()1f x >,求x 的范围.解：（Ⅰ）设()x x f a log =（其中0>a 且1≠a ）因为函数()x f 图象经过点()3,8，有()38=f 即38log =a 得2=a所以此函数的解析式为()x x f 2l o g = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分（Ⅱ）由()1>x f 即2log 1log 22=>x ，解得2>x 所以x 的范围是()+∞,2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 （2015年1月·丰台期末·20. （本小题满分9分） 已知函数2()21x f x a =-+（Ⅰ）求出函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若()f x 是奇函数，求实数a 的值；（Ⅲ）设()(41)()(0)x g x f x x =-≥，且函数()g x 的最小值为21-，求实数a 的值. 解：（Ⅰ）()x f 的定义域为R ┄┄┄┄┄┄┄┄┄２分 （Ⅱ）因为()x f 是奇函数，则 ()()x f x f -=-即⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+--122122xx a a 于是212221221221222=+++⨯=+++=-x x x x xa 得1=a ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 （或由()x f 的定义域为R ，又()x f 是奇函数，则 ()()00f f -=得()00=f 于是01220=+-a 得1=a ，此时()()x f x f -=-满足条件，所以1=a ） （3）由()()()()2222142+-⨯-=-=a a x f x g xxx ()0≥x设()12≥=t t x ，令()222+--=a t at t h当0=a 时，()()122≥+-=t t t h ，无最小值，舍；当0<a 时，()2112+--⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a t a t h ，无最小值，舍；当0>a 时，()2112+--⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a t a t h若1≥a 即110≤<a，()t h 在[)+∞,1单调递增，()()01min ==h t h 不符合舍 若10≤<a 即11≥a ，()21211min -=+--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a h t h 即02522=+-a a 解得2=a （舍）或21=a 综上，a 值为21┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分。
《解析》北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷Word版含解析
北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．18．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．22．（4分）函数f（x）=的零点是．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．北京市西城区2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知α∈（0，2π），且sinα＜0，cosα＞0，则角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：直接由sinα＜0，cosα＞0可得α为第四象限的角，结合α∈（0，2π）得到选项．解答：解：由sinα＜0，cosα＞0，可得α为第四象限的角，又α∈（0，2π），∴α∈．故选：D．点评：本题考查了三角函数的象限符号，是基础的会考题型．2．（4分）已知向量=（2，8），=（﹣4，2）．若=2﹣，则向量=（）A．（0，18）B．（8，14）C．（12，12）D．（﹣4，20）考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的加减和数乘坐标运算，计算即可得到所求向量．解答：解：向量=（2，8），=（﹣4，2），若=2﹣，则=（4，16）﹣（﹣4，2）=（8，14）．故选B．点评：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量的加减和数乘运算，属于基础题．3．（4分）已知角α的终边经过点P（3，﹣4），那么sinα=（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．解答：解：由于角α的终边经过点P（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=|OP|=5，∴sinα==﹣，故选：B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．（4分）在△ABC中，D是BC的中点，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的平行四边形法则、中点的性质即可得出．解答：解：∵D是BC的中点，∴=，故选：A．点评：本题考查了向量的平行四边形法则，属于基础题．5．（4分）函数y=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：化简可得y=1﹣sin2x，由周期公式可得答案．解答：解：化简可得y=（sinx﹣cosx）2=1﹣sin2x，∴由周期公式可得T==π，故选：C点评：本题考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性，属基础题．6．（4分）如果函数y=cos（x+φ）的一个零点是，那么φ可以是（）A．B．C．D．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据余弦函数的性质即可得到结论．解答：解：若y=cos（x+φ）的一个零点是，则cos（+φ）=0，即+φ=kπ+，k∈Z即φ=kπ+，当k=0时，φ=，故选：A点评：本题主要考查余弦函数的求值，根据函数零点的定义结合余弦函数的性质是解决本题的关键．7．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，，E是CD的中点，那么=（）A．4B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件即数量积为0，计算即可得到．解答：解：=（+）•=+=+=0+==2．故选B．点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的垂直的条件和向量的平方与模的平方的关系，考查运算能力，属于基础题．8．（4分）当x∈[0，π]时，函数f（x）=cosx﹣sinx的值域是（）A．[﹣2，1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：化简解析式可得f（x）=2cos（x+），当x∈[0，π]时，x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]．解答：解：∵f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）∴当x∈[0，π]时，x+∈[，]∴由正弦函数的图象和性质可知：2cos（x+）∈[﹣2，1]故选：A．点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．9．（4分）为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：将y=sinx化为y=cos（x﹣），再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可．解答：解：y=sinx=cos（x﹣），，故只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位．故选C．点评：本题考查了三角函数的图象变换，中间用到了诱导公式，属于常考题型．10．（4分）已知，为单位向量，且•=m，则|+t|（t∈R）的最小值为（）A．B．1C．|m| D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，配方整理，再由二次函数的最值求法，即可得到所求最值．解答：解：，为单位向量，且•=m，则|+t|2=+t2+2t=1+t2+2tm=（t+m）2+1﹣m2，当t=﹣m时，|+t|2取得最小值1﹣m2，则|+t|（t∈R）的最小值为．故选D．点评：本题考查平面向量的数量积的性质，考查二次函数的最值求法，考查运算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．（4分）若向量=（1，2）与向量=（λ，﹣1）共线，则实数λ=．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：利用向量共线的充要条件列出方程，解方程求出λ的值．解答：解：∵∴﹣1=2λ∴故答案为：．点评：解决有关向量共线的问题，应该利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等．12．（4分）设α是第二象限角，，则cosα=．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用sin2α+cos2α=1，结合α是第二象限角，即可求得cosα．解答：解：∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，属于基础题．13．（4分）若，且tanθ＞1，则θ的取值范围是（，）．考点：三角函数线；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正切函数的图象特征求得θ的取值范围．解答：解：若，且tanθ＞1，则θ∈（，），故答案为：（，）．点评：本题主要考查正切函数的图象特征，属于基础题．14．（4分）已知向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．若=λ+μ（λ，μ∈R），则=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的线性运算、向量相等即可得出．解答：解：∵向量=（1，3），=（2，﹣1），=（1，1）．=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解得，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量运算性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（4分）函数f（x）=sin2x+sinx•cosx的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：化简可得f（x）=sin（2x﹣）+，易得其最大值．解答：解：化简可得f（x）=sin2x+sinx•cosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∴当sin（2x﹣）=1时函数取最大故答案为：点评：本题考查三角函数的最值，属基础题．16．（4分）关于函数，给出下列三个结论：①对于任意的x∈R，都有；②对于任意的x∈R，都有；③对于任意的x∈R，都有．其中，全部正确结论的序号是①②③．．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的图象和性质进行判断即可．解答：解：①f（x）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），故①正确，②f（x+）=sin[2（x+）﹣）]=﹣sin（2x﹣）]，f（x﹣）=sin[2（x﹣）﹣）]=﹣sin（2x﹣），则f（x+）=f（x﹣）故②正确③f（）=sin（2×﹣）=sin=1为最大值，故x=是函数的对称轴，故③正确，故答案为：①②③．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的诱导公式以及三角函数变换是解决本题的关键．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知tanα=﹣2，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求sin2α的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入计算即可求出值；（Ⅱ）由tanα的值求出sinα与cosα的值，原式利用二倍角的正弦函数公式化简，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵tanα=﹣2，∴tan（α﹣）===3；（Ⅱ）∵α∈（，π），tanα=﹣2，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．18．（14分）已知向量=（cosα，sinα），=（﹣，），其中α是锐角．（Ⅰ）当α=30°时，求|+|；（Ⅱ）证明：向量+与﹣垂直；（Ⅲ）若向量与夹角为60°，求角α．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）当α=30°时，求得+的坐标，可得|+|的值．（Ⅱ）由条件求得（+）•（﹣）=0，从而证得向量+与﹣垂直．（Ⅲ）若向量与夹角为60°，根据两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，求得，从而得到角α的值．解答：（Ⅰ）解：当α=30°时，=（，），所以，+=（，），所以，|+|==．（Ⅱ）证明：由向量=（cosα，sinα），=（﹣，），得+=（cosα﹣，sinα+），﹣=（cosα+，sinα﹣），由，得向量+，﹣均为非零向量．因为（+）•（﹣）=﹣=（cos2α+sin2α）﹣（+）=0，所以向量+与向量﹣垂直．（Ⅲ）解：因为||=||=1，且向量与夹角为60°，所以=||•||•cos60°=，所以，即．因为，所以，所以，即．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的条件，根据三角函数的值求角，属于基础题．19．（10分）已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a∈Z，b∈Z．设集合A={x|f（x）=0}，B={x|f （f（x））=0}，且A=B．（Ⅰ）证明：b=0；（Ⅱ）求a的最大值．考点：集合的相等．专题：集合．分析：（Ⅰ）利用集合相等得到f（0）=0，从而求b；（Ⅱ）讨论a与0的关系，在a≠0时，因为A=B，对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立，结合正弦函数的有界性得到，求得a的最大值．解答：（Ⅰ）证明：显然集合A≠∅．设x0∈A，则f（x0）=0．（1分）因为A=B，所以x0∈B，即f（f（x0））=0，所以f（0）=0，（3分）所以b=0．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f（x）=asinx，a∈Z．①当a=0时，显然满足A=B．（5分）②当a≠0时，此时A={x|asinx=0}；B={x|asin（asinx）=0}，即B={x|asinx=kπ，k∈Z}．（6分）因为A=B，所以对于任意x∈R，必有asinx≠kπ（k∈Z，且k≠0）成立．（7分）所以对于任意x∈R，，所以，（8分）即|a|＜|k|•π，其中k∈Z，且k≠0．所以|a|＜π，（9分）所以整数a的最大值是3．（10分）点评：本题考查集合相等的运用以及正弦函数的有界性的运用，属于中档题．一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中横线上.20．（4分）已知集合A={a，b}，则满足A∪B={a，b，c}的不同集合B的个数是4．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据题意和并集的运算，按照B中元素的个数依次写出满足条件的集合即可．解答：解：因为集合A={a，b}，满足A∪B={a，b，c}，所以B={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}共4个，故答案为：4．点评：本题考查并集及其运算，注意列举时按一定的顺序做到不重不漏，属于基础题．21．（4分）已知幂函数f（x）=xα的图象过点（4，2），则α=．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的图象过点（4，2），代入幂函数的解析式求得即可．解答：解：∵4α=2，解得，故答案为：点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，属于基础题．22．（4分）函数f（x）=的零点是﹣2或1．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：转化为或求解即可．解答：解：∵函数f（x）=∴或解得：x=1，或x=﹣2故答案：﹣2，1；点评：本题考查了分段函数的解析式的求解，函数的零点的求解属于中档题．23．（4分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数．若f（m）＞f（2），则实数m的取值范围是（﹣2，2）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，∴不等式f（m）＞f（2），等价为f（|m|）＞f（2），即|m|＜2，解得﹣2＜m＜2，故答案为：（﹣2，2）；点评：本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键．24．（4分）已知函数f（x）的定义域为D．若对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=M成立，则称函数f（x）在D上的几何平均数为M．已知函数g（x）=3x+1（x∈[0，1]），则g（x）在区间[0，1]上的几何平均数为2．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：我们易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由g（x）=x，D=[0，1]，代入即可得到答案．解答：解：根据已知中关于函数g（x）在D上的几何平均数为C的定义，结合g（x）=3x+1在区间[0，1]单调递增则x1=0时，存在唯一的x2=1与之对应C==2，故答案为：2．点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 25．（10分）已知函数f（x）=（x﹣2）（x+a），其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）的图象关于直线x=1对称，求a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）先求出函数的对称轴，得到，解出即可；（Ⅱ）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，从而得到答案．解答：（Ⅰ）解法一：因为f（x）=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，所以，f（x）的图象的对称轴方程为．由，得a=0．解法二：因为函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以必有f（0）=f（2）成立，所以﹣2a=0，得a=0．（Ⅱ）解：函数f（x）的图象的对称轴方程为．①当，即a≥2时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=﹣2a．②当，即0＜a＜2时，因为f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为．③当，即a≤0时，因为f（x）在区间（0，1）上单调递减，所以f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=﹣（1+a）．点评：本题考查了二次函数的性质，考查了函数的最值问题，是一道中档题．．26．（10分）已知函数f（x）=a•2x+b•3x，其中a，b为常数．（Ⅰ）若ab＞0，判断f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅱ）若ab＜0，解不等式：f（x+1）＞f（x）．考点：函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．再利用函数的单调性的定义进行证明．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得，再分类讨论求得它的解集．解答：（Ⅰ）解：当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数；当a＜0，b＜0时，f（x）在R上是减函数．证明如下：当a＞0，b＞0时，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，则．因为；又，所以△y=f（x2）﹣f（x1）＞0，所以，当a＞0，b＞0时，f（x）在R上是增函数．当a＜0，b＜0时，同理可得，f（x）在R上是减函数．（Ⅱ）解：由f（x+1）﹣f（x）=a•2x+2b•3x＞0，得．（*）①当a＜0，b＞0时，（*）式化为，解得．②当a＞0，b＜0时，（*）式化为，解得．点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解指数、对数不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．27．（10分）定义在R上的函数f（x）同时满足下列两个条件：①对任意x∈R，有f（x+2）≥f（x）+2；②对任意x∈R，有f（x+3）≤f（x）+3．设g（x）=f（x）﹣x．（Ⅰ）证明：g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）；（Ⅱ）若f（4）=5，求f的值．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过g（x）=f（x）﹣x，利用x+2，x+3分别代替x推出方程，由条件①，②转化，即可推出g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）g（x+2）≥g（x），然后推出g（x+3）≤g（x），说明g（x）是以6为周期的周期函数所然后求解函数值．解答：（本小题满分10分）（Ⅰ）证明：因为g（x）=f（x）﹣x，所以g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2，g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3．由条件①，②可得g（x+2）=f（x+2）﹣x﹣2≥f（x）+2﹣x﹣2=f（x）﹣x=g（x）；【（2分）】③g（x+3）=f（x+3）﹣x﹣3≤f（x）+3﹣x﹣3=f（x）﹣x=g（x）．④【（4分）】所以g（x+3）≤g（x）≤g（x+2）．（Ⅱ）解：由③得g（x+2）≥g（x），所以g（x+6）≥g（x+4）≥g（x+2）≥g（x）．【（6分）】由④得g（x+3）≤g（x），所以g（x+6）≤g（x+3）≤g（x）．【（7分）】所以必有g（x+6）=g（x），即g（x）是以6为周期的周期函数．【（8分）】所以g=g（335×6+4）=g（4）=f（4）﹣4=1．【（9分）】所以f=g+2014=2015．【（10分）】点评：本题考查抽象函数的应用，函数的周期性以及不等式的证明，难度比较大．。
北京市西城区2014-2015学年度高三第一学期期末试数学理-含答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）36．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+? （C ）(0,4)（D ）(8,)+?侧(左)视图正(主)视图俯视图第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____．13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B CD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.B CDA B 1C 1E FA 1 D 1设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ， 所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立. 由上表可知， 1()2P A =，()P B p =.所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+?? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A B C D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1B CE ，EC ⊂平面1B CE ，所以1A F ∥平面1B CE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ， 所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10A E m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A B C D ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >，所以 12s >. …………………8分 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞， 则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分（Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分 因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增． 故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。
北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编——三角函数
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——三角函数（2015年1月·昌平期末·14）某蒸汽机上的飞轮直径为20cm ，每分钟按顺时针．．．方向旋转180转，则飞轮每秒钟．．．转过的弧度数是_________；轮周上的一点每秒钟．．．经过的弧长为_________.6π- ，60cm π（2015年1月·延庆期末·8．若x x f 3cos )(cos =，则)3(sinπf 的值为A ． 1-B ．23 C ．0D ．1（2015年1月·西城期末·1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)2（2015年1月·西城期末·3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）3 （B ）4-（C ）3 （D ）3-（A ）3 （B ）3（C ）5π3（D ）7π3（2015年1月·海淀期末·10.为了得到函数sin(2)2y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象 AA. 向右平移4π个单位长度 B. 向左平移4π个单位长度 C. 向右平移2π个单位长度 D. 向左平移2π个单位长度（2015年1月·西城期末·9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）（A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位 （C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位（2015年1月·海淀期末·11.已知(,)αππ∈-，且sin cos7πα=-，则α= AA. 514π-或914π- B. 914π-或914π C. 514π或514π- D. 514π或914π （2015年1月·密云期末·2．sin 240=A ．B ．12-C ．12D （2015年1月·顺义期末·2．sin120的值等于A .12B .12-CD .（2015年1月·海淀期末·2. 7sin6π=DA.B. C. 12D. 12-（2015年1月·延庆期末·2．已知)2,0[πα∈，与角3π-终边相同的角是A ．3π B ．32π C ．34π D ．35π （2015年1月·延庆期末·3．若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角（2015年1月·延庆期末·4．若角α的终边经过点)4,3(-P ，则tan =α A ．54 B ．53-C ．34-D. 43-（2015年1月·延庆期末·11. 要得到)42sin(π+=x y 的图象只需将x y 2sin =的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位D ．向左平移8π个单位（2015年1月·海淀期末·6.若直线x a =是函数()sin f x x =的一条对称轴，则()f a = DA.0B.1C. 1-D. 1或1- （2015年1月·密云期末·5．函数)32sin(2π+=x y 的一个对称中心A ．)0,6(πB ．)0,6(π-C ．)0,12(πD ．)0,12(π-（2015年1月·西城期末·6．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ） （A ）6π（B ）6π-（C ）3π （D ）3π-（2015年1月·东城期末·2. 已知sin 0,cos 0θθ<>，则角θ是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角（2015年1月·房山期末·7）要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数cos(2)5y x π=+的图象（A ）向左平移5π个单位 （B ）向右平移5π个单位 （C ）向左平移10π个单位（D ）向右平移10π个单位（2015年1月·房山期末·8）函数πsin 2()6y x =+的图象（A ）关于点π(,0)6对称 （B ）关于点π(,0)3对称 （C ）关于直线π6x =-对称 （D ）关于直线π3x =对称（2015年1月·丰台期末·4．已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A ．513-B ．513C ．1213-D ． 1213（2015年1月·顺义期末·6.先将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个长度单位，再作所得图象关于x 轴的对称图形，此时函数的解析式为 A.sin(2)3y x π=- B ．sin(2)3y x π=-+ C.2sin(2)3y x π=-- D.2sin(2)3y x π=-+（2015年1月·昌平期末·6）将函数cos 2y x =的图象上所有的点向右平移12个单位，得到的图象所对应的函数解析式为（A ）1cos(2)2y x =- （B ）1cos(2)2y x =+ （C ）cos(21)y x =- （D ）cos(21)y x =+（2015年1月·顺义期末·8.如图，现要在一块半径为1m 圆心角为3π的扇形金属板AOB 上，A剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点,M N 在OB 上，记MNPQ Y 的面积为S ，则S 的最大值为2 2m2 2（2015年1月·昌平期末·2）已知角α的终边经过点(1P -，则cos α=（A （B ） （C ）12 （D ）12-（2015年1月·丰台期末· 7．已知函数sin()y A x ωϕ=+ππ,(0,0,)22A ωϕ>>-<<的图象如下，则ω与ϕ的值分别为（ ） A ．2,3π B ．2,6π C ．1,23π D ．1,26π（2015年1月·密云期末·4．在下列函数中，既是偶函数又在区间0,1（）上单调递减的函数为A ．xy 1= B ．x y lg = C ．x y cos = D ．2x y =（2015年1月·丰台期末·8． 关于π()3cos(2),R 6f x x x =-∈，下列叙述正确的是（ ）A ． 若12()()3==f x f x ，则12-x x 是2π的整数倍B ． 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称 C ． 函数()f x 的图象关于直线π6x =对称D ． 函数()f x 在区间π(0,)4上为增函数（2015年1月·密云期末·8.已知函数11()sin cos =+f x x x，在下列结论中： ①π是()f x 的一个周期;②()f x 的图象关于直线x 4π=对称;③()f x 在(,0)2π-上单调递减.正确结论的个数为 A. 0B.1C. 2D. 3（2015年1月·西城期末·12．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α1213-． （2015年1月·西城期末·13．若(,)22ππ∈-θ，且tan 1>θ，则θ的取值范围是_(,)42ππ．（2015年1月·石景山期末·11．若cos 2α=，且α的终边过点(,2)P x ，则x = （2015年1月·石景山期末·12．sin α=3cos α，则tan α＝ 3 .（2015年1月·房山期末·12）若角α的终边经过点(2,1)P ，则tan =α ，πtan()4+=α12；3（2015年1月·丰台期末·12．已知点3(,)5P m -为角α的终边与单位圆的交点，则=αcos ；35- （2015年1月·顺义期末·9．已知角α的终边经过点()3,4P ，则sin α的值为____45___. （2015年1月·西城期末·16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 对于任意的x ∈R ，都有2()cos(2)3f x x π=-； ② 对于任意的x ∈R ，都有()()22f x f x ππ+=-；③ 对于任意的x ∈R ，都有()()33f x f x ππ-=+．其中，全部正确结论的序号是_____． ① ② ③（2015年1月·房山期末·13）已知3cos 5=-α，且α为第二象限的角，则sin()α-= 45- . （2015年1月·顺义期末·12.函数2sin(2)6y x π=+图像的对称中心是_________;对称轴方程是_______. (,0),,21226k k x k Z ππππ-=+∈ （2015年1月·延庆期末·16．已知B A ,是圆O 上两点,2=∠AOB 弧度,2=OA ,则劣弧AB 长度是__ ____.4（2015年1月·东城期末·12. 已知1tan(3)2απ-=-，则πcos()cos()2sin(π+)2cos(π)αααα++---的值是13． （2015年1月·东城期末·15. 函数1π2s i n ()36y x=-的单调递减区间是__[6π2π,6π2π](Z)k k k ++∈_.（2015年1月·丰台期末·14．函数)3πsin(2+=x y )2π0(≤≤x 的值域是 ；[1,2] （2015年1月·顺义期末·12．不等式cos 0x >的解集为_________ππ{|2π2π+,}22x k x k k -<<∈Z _______ .（2015年1月·海淀期末·17. 已知函数sin()y A t ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的图象如右图所示，它刻画了质点P 做匀速圆周运动（如图2）时，质点相对水平直线l 的位置值y （||y 是质点与直线l 的距离（米），质点在直线l 上方时，y 为正，反之y 为负）随时间t （秒）的变化过程. 则（1）质点P 运动的圆形轨道的半径为________米； （2）质点P 旋转一圈所需的时间T =_________秒； （3）函数()f t 的解析式为：__________________； （4）图2中，质点P 首次出现在直线l 上的时刻t =_______秒.（1）2；（2）2；（3）()f t =π2sin(π)6t -；（4）16第17题（图2）（2015年1月·延庆期末·18．设函数)32sin(ππ+=x y ，若对任意R x ∈，存在x 1，x 2使)()()(21x f x f x f ≤≤恒成立，则21x x -的最小值是_______.2（2015年1月·房山期末·16）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象与直线y b =（10b -<<）的三个相邻交点的横坐标分别为1，3，7，则()f x 的最小正周期为 ，()f x 取得最大值时x；56,k k +∈Z（2015年1月·丰台期末·18）（本小题满分9分） 已知θ为锐角（Ⅰ）若tan 2θ=，求sin cos sin cos θθθθ+-的值；（Ⅱ）若1)cos (sin sin 2=+θθθ，求θ的值. 解：（Ⅰ）sin cos tan 1213sin cos tan 121θθθθθθ+++===--- ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分（Ⅱ）22sin (sin cos )2sin 2sin cos 1cos2sin 21θθθθθθθθ+=+=-+=s i n 2c o sθθ= 由π(0,)2θ∈得2(0,π)θ∈故π24θ=所以π8θ= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分（2015年1月·丰台期末·19. （本小题满分10分） 已知函数()sin(2)sin(2)cos 233f x x x x a ππ=++-++的最大值是（Ⅰ）求常数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间. 解：（Ⅰ）()sin(2)sin(2)cos 233f x x x x a ππ=++-++sin 2cos 2π)4x x ax a=++=++a =a ∴= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄６分（Ⅱ）2ππ2T == 令πππ2π-22π+,242k x k k Z ≤+≤∈解得3πππ-π+,88k x k k Z ≤≤∈ 所以函数()=y f x 的单调递增区间为3ππ[π-,π+],88k k k Z ∈┄┄┄┄┄10分（2015年1月·顺义期末·15．（本小题满分13分）已知4sin 5α=，且02απ<<. （Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求cos 2sin()2ααπ++的值. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为4sin 5α=,02απ<<， 故3cos 5α=，所以34tan =α. -------------6分（Ⅱ）23238cos 2sin()12sin cos 1225525ααααπ++=-+=-+=. --------------13分（2015年1月·昌平期末·18）(本小题共14分)在平面直角坐标系xOy 中，角,(0)2παβαβπ<<<<的顶点与原点O 重合，始边与x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于,A B 两点，,A B 两点的横坐标分别为54,135-. （I ）写出cos ,cos αβ的值；（只需写出结果） （II ）求tan β的值； （III ）求AOB ∠的余弦值.解:（Ⅰ）5cos 13α=；4cos 5β=-.（Ⅱ）因为4cos 5β=-，2πβπ<<，所以3sin 5β=. ……………………4分 所以3sin 35tan 4cos 45βββ===--. ……………………6分(Ⅲ) 因为5cos 13α=，02πα<<，所以12sin 13α=. ……………………8分所以cos cos()AOB βα∠=- ……………………9分cos cos sin sin βαβα=+ …………………11分45312513513=-⨯+⨯ 1665=. ……………………14分（2015年1月·延庆期末·21．（本题10分）设函数xxx f tan sin )(=. （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）已知)2,0(πα∈，且135)(=αf ，求)4(πα+f 的值. 解：解：（Ⅰ）要使函数)(x f 有意义，只要使0tan ≠x ， ∴函数)(x f 的定义域为,|{R x x ∈且},2Z k k x ∈≠π. ………………3分 （Ⅱ）由x x x cos sin tan =，得x x f cos )(=，∴135cos )(==ααf . …………5分 ∵)2,0(πα∈，∴1312cos 1sin 2=-=αα. ………………7分∴4sinsin 4coscos )4cos()4(παπαπαπα-=+=+f262722131222135-=⨯-⨯=. ………………10分 （2015年1月·石景山期末·17.（本题满分9分）已知02απ<<,4sin 5α=. （I ）求cos α的值；（II ）求tan()4πα+的值；（III ）求sin()cos()tan()2cos()ππαααπα---+的值.解：（I ）02απ<<,4sin 5α=，3cos 5α∴=； …………2分 （II ）4tan 3α=…………4分 tan()74πα+=- …………6分（III ）sin()cos()tan()2cos()ππαααπα---+=sin cos cot cos αααα-=3sin cot cos 5ααα-=-=-. …………9分（2015年1月·石景山期末·18. （本题满分8分）函数()2sin(2)3f x x π=-的部分图象如右图所示．（I ）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （II ）求()f x 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值．解：（I ） ()f x 的最小正周期为π,0512x π=,02y =. …………4分 （II ）因为[,]46x ππ∈-，所以52[,0]36x ππ-∈-. 于是，当203x π-=，即6x π=时，()f x 取得最大值0；当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最大值2- …………8分yOx0x0y（2015年1月·延庆期末·22．（本题10分）已知函数x x x x f 22cos 32sin sin )(++=. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调减区间； （Ⅲ）当]44[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值.解：解：（Ⅰ）∵1cos 22sin )(2++=x x x fx x 2cos 2sin +=)42sin(2π+=x ， ……………………2分∴)(x f 的最小正周期πωπ==2T . ……………………4分（Ⅱ）由πππππk x k 2234222+≤+≤+得ππππk x k +≤≤+858)(Z k ∈ ∴函数的单调减区间]85,8[ππππk k ++)(Z k ∈. …………………7分（Ⅲ）由]43,4[42]2,2[2]4,4[πππππππ-∈+⇒-∈⇒-∈x x x . ∴当442ππ-=+x 时，即4π-=x 时，)(x f 取得最小值0. …………10分（2015年1月·昌平期末·20）(本小题共16分)已知函数()()12cos2f x x x =+. （I ）求函数()f x 的定义域； （II ）求函数()f x 在区间[,]66ππ-上的最大值和最小值； （III ）求函数()f x 的单调递增．．区间. 解：（Ⅰ）要使函数有意义，只需22x k ππ≠+,即24k x ππ≠+. ………………2分 所以函数()f x 的定义域为,24k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z . ………………3分（Ⅱ）()(12)cos2f x x x =(12x = ………………4分cos22x x = ………………5分2sin(2)6x π=+. ………………7分因为66x ππ-≤≤,所以2662x πππ-≤+≤. ………………8分所以1sin(2)126x π-≤+≤.即12sin(2)26x π-≤+≤.所以当262x ππ+=，即6x π=时,函数()f x 的最大值为2； ……10分当266x ππ+=-；即6x π=-时,函数()f x 的最小值为1-. ……12分(Ⅲ) 因为222262k x k πππππ-≤+≤+， ………………14分所以36k x k ππππ-≤≤+. ………………15分结合定义域，可知函数()f x 单调递增区间为,,,()3446k k k k k ππππππππ⎡⎫⎛⎤---+∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦Z . ………………16分 （2015年1月·东城期末·18．（本题满分10分）已知函数2()22cos 1f x x x ==+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.18．（本题满分10分）解：（Ⅰ）因为2()22cos 1f x x x =+-x x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x .所以)(x f 的最小正周期为π.（Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以 于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1．（Ⅰ）根据函数()sin()f x A x =+ωϕ (0A >，0>ω，π02<<ϕ)的部分图象可得 2A =，------------------1分 5πππ41264T =-=，由此可得()f x 的最小正周期为π， ------------------1分 0>ω，2T π==πω，∴2ω= ------------------2分又π()26f =，∴ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z -----------------2分 ∴π2π,6k k ϕ=+∈Z ，而π02<<ϕ∴π6ϕ= ------------------1分∴函数()f x 的解析式为π()2sin(2)6f x x =+ -----------------1分（Ⅱ） ∵ππ[,]212x ∈--，∴π5π2[,0]66x +∈-∴当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0， ------------------2分当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值2- ------------------2分 （2015年1月·顺义期末·18．（本小题满分已知函数2()cos cos f x x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]122ππ（Ⅲ）作出()f x 在一个周期内的图象.解：（Ⅰ）因为()f x 1cos 222x x +=π1sin(2)62x =++． ---------------------------------------------------4分所以函数()f x 的最小正周期为π．---------------------------------5分（Ⅱ）π1()sin(2)62f x x =++． 因为122x ππ≤≤，所以ππ7π2366x ≤+≤， 所以1πsin(2)126x -+≤≤，因此π130sin(2)622x ++≤≤，即()f x 的取值范围为3[0]2，-----------------------------10分（Ⅲ）()f x 在[,]1212π11π-上的图象如图所示. ----------------------------14分（其它周期上的图象同等给分） （个别关键点错误酌情给分）（2015年1月·顺义期末·19．（本小题满分13分）已知函数2()cos2sin f x x x =-. （I ）求(0)f 的值；（II ）求函数()f x 的最大值和最小值，并分别写出使函数取得最大值和最小值时的x 值.解：（I ）2(0)cos0sin 01f =-=. ------------------------------------------------------------------6分 （II ）2222()cos2sin 12sin sin 3sin 1f x x x x x x =-=--=-+， -------------------8分所以)(x f 最大值是1，最小值是2-. ------------------------------------------------10分 当sin 0x =时，即()x k k Z π=∈时函数()f x 取得最大值1， 当sin 1x =±时，即()2x k k Z ππ=+∈时函数()f x 取得最小值2-.-------13分（2015年1月·顺义期末·20．（本小题共14分）已知向量1,cos )a x x =-r ，(1,2cos )b x =r ，设函数()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）若,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）若不等式|()|1f x m -<在,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立求实数m 的取值范围.解：（Ⅰ）)()()21,cos 1,2cos f x a b x x x =⋅=-⋅r r2212cos x x -+2cos 2x x +2sin(2)6x π=+.————4分∴最小正周期T π=当2262x k πππ+=+即6x k ππ=+时()max 2f x =，当2262x k πππ+=-即3x k ππ=-时()min 2f x =-.()k z ∈———7分（Ⅱ）由()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈∴()f x 的单调递增区间为36k x k ππππ-≤≤+k Z ∈.令上式1k = ∴2736x ππ≤≤()'1.又Q ,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()'2 又()'1()'2得的 ()f x 的单调递增区间为2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦————11分（Ⅲ）由43x ππ≤≤∴252366x πππ≤+≤1sin 2262x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭;∴12sin 26x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭——————————12分要()||1f x m -<恒成立 ，即()||1m f x -<恒成立，∴2sin 212sin 2166x m x ππ⎛⎫⎛⎫+-<<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2sin 2162sin 216m x m x ππ⎧⎛⎫>+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪<++ ⎪⎪⎝⎭⎩恒成立∴12m m ⎧>⎪⎨<⎪⎩; 即)1,2m ∈————14分（2015年1月·房山期末·20）（本小题共12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若函数()()g x f x k =-在[0,]2π上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．（20）（本小题共12分） 解：（Ⅰ）由()2cos (sin cos )1f x x x x =+-(1)(1)sin 2 cos 2 x x =+分分 -------------------2分)4x π=+ -------------------2分由222()242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ -------------------2分解得：3()88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ -------------------2分 所以函数)(x f 的递增区间为3[,]()88k k k Z ππππ-++∈. （Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得24x π+∈5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 可知函数)(x f 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()[1f x ∈，在,82ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()[1f x ∈-， -------------------2分 所以若函数()()g x f x k =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则[1k ∈.（2015年1月·海淀期末·18.本题满分13分已知函数2()2sin()36f x x ππ=+.（Ⅰ）请用“五点法”画出函数()f x 在一个 周期上的图象（先列表，再画图）； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间；（Ⅲ）求()f x 在13[,]24-上的取值范围.18.本题满分13分解：（Ⅰ）函数2()2sin()36f x x ππ=+的周期3T =，-----------------------------------1分)第17题（图1）描点画图如图所示. --------------------------------------------------5分（Ⅱ）函数sin y x =的单调增区间为ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z .-----------------------6分由π2π2π2π()2362k x k k ππ-≤+≤+∈Z ， 得1313()2k x k k -≤≤+∈Z .所以()f x 单调增区间为1[31,3]()2k k k -+∈Z .----------------------------------------------9分（Ⅲ）因为13[,]24x ∈-，所以2πππ2π[,]3663x +∈-， 所以2ππ1sin()[,1]362x +∈- 所以2ππ2sin()[1,2]36x +∈-，即()f x 在13[,]24-上的取值范围是[1,2]-.-------------13分 说明：（Ⅱ）（Ⅲ）问，如果最终结果错误，可细化解题步骤给过程分；如果仅有最终正确结果，无步骤每问各扣1分。
北京市密云县2014-2015学年度第一学期高一数学期末试题
密云县2014—2015学年度第一学期期末考试 高一数学试卷 2015.1第一部分 （选择题 共40分）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合}9,7,5,3,1{=U ，}7,5,1{=A ，则=A C UA ．}3,1{B ．}9,7,3{C ．}9,5,3{D ．}9,3{2．sin 240=A ．B ．12-C ．12D 3.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(2,2)B ，(0,)C c ，若AB BC ⊥，那么 c 的值是A.1-B.3C.3-D.44．在下列函数中，既是偶函数又在区间0,1（）上单调递减的函数为A ．xy 1=B ．x y lg =C ．x y cos =D ．2x y = 5．函数)32sin(2π+=x y 的一个对称中心A ．)0,6(πB ．)0,6(π-C ．)0,12(πD ．)0,12(π- 6. 函数log =a y x （0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数=xy b （0>b 且1≠b ）的图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 A ． 22b a >B ． ba 22>C ． b a )21()21(> D ． 2121b a >7.如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数关系为)(x f y =，则)(x f y =的图象是8.已知函数11()sin cos =+f x x x，在下列结论中： ①π是()f x 的一个周期;②()f x 的图象关于直线x 4π=对称;③()f x 在(,0)2π-上单调递减.正确结论的个数为A. 0B.1C. 2D. 3第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 如果向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ，且a ，b 共线，那么实数x = .10. 已知集合{}{}2|1,|230=>=--<A x x B x x x ，则=AB .11．sin15o sin75o 的值是____________.12. 已知函数21,(01),()2,(10),x x x f x x ⎧+<≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩且5()4f m =，则m 的值为 .13. 已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________. 14.给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个判断：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图象的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④函数=()y f x 在13]22（，上是增函数．则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题满分13分） 已知函数2()1+log 1=--（）f x x . （I ）求函数()f x 的定义域； （II ）求(5)f 的值； （III ）求函数()f x 的零点.16. （本小题满分14分）已知sin θ=其中θ是第三象限角. （Ⅰ）求cos ,tan θθ的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫⎝⎛π-θ4tan 的值； (III) 求πθπθθ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭sin 2sin()cos 22的值.17. （本小题满分13分）已知向量(cos )θθ=a ，(sin ,0)θ=b ，其中θ∈R .（Ⅰ）当π3θ=时，求⋅a b 的值； （Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求2(+)a b 的最大值.18. （本小题满分14分）函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0， |φ|<π2)的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后得到新函数()g x 的图象，求函数()g x 的解析式；（Ⅲ）求函数2()()-f x g x 的单调增区间.19. （本小题满分13分）设二次函数2()f x ax bx c =++0,a x R ≠∈满足条件： ①21()(1)2≤≤+x f x x ， ②(1)(1)-+=--f x f x ； ③()f x 在R 上的最小值为0. （I ）求(1)f 的值； （II ）求()f x 的解析式；（III ）求最大值(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[]1,x m ∈，都有()f x t x +≤成立.20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P . （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①2x y =； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.密云县2014—2015学年度第一学期期末考试高一数学试卷参考答案及评分参考2015．01一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．-2 10．(1,3) 11．1412．1213．2λ> 14．①③④ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题满分13分）解：（I ）由题：10x ->, ----------------2分1.x ∴>∴函数()f x的定义域{}1x x >. --4分（II ）2(5)1log (51)121f =-+-=-+= ----------------8分 （III ）令2()1+log 1=--（）=0f x x ， 2log (1) 1.x ∴-=1 2.x ∴-= 3.x ∴= ∴函数()f x 的零点为3. -----------13分16. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）sin 5θ=-且θ是第三象限角， cos θ∴== ------2分sin tan 2.cos θθθ∴== ----------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ），tan tan 4tan()41tan tan4πθπθπθ--=+⋅----------------6分211.1213-==+⨯----------------9分(III)πθπθθ⎛⎫+-++ ⎪⎝⎭sin 2sin()cos 22θθθ=++-2cos 2sin 2cos 1 -----12分=-+-+--22(2(1555=-3.5 ---------14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当π3θ=时，163(,),(,0)2a b ==，---------------2分1302a b ∴⋅=⨯= ----------------5分（Ⅱ）由题: 2()a b +222a a b b =+⋅+2222cos )2(cos sin 0)sin 0θθθθθθ=++⋅⋅++22cos sin 2sin 1θθθ=⋅++sin 22cos 2θθ=+-)24πθ=-+. -----10分02πθ≤≤， 32444πππθ∴-≤-≤.∴当242ππθ-=即38πθ=时， ----------------11分2()a b +2. --------------- ----13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由所给图象知A ＝1， ---------------1分34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.----------------2分 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，-------4分所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ----------------5分（Ⅱ）f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解 析式为()g x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6 ----------------7分 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. --------------9分（Ⅲ）由题: 2()()f x g x -2sin(2)sin(2)66x x ππ=+--12cos 22cos 222x x x x =+-+32cos 222x x =+)3x π=+. -------------12分222,(),232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈令 ----------------13分5,(),1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈则 ∴函数f(x)的增区间为5()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，.------14分19.（本小题满分13分）解：(I) ∵在上恒成立，∴即. -----------------2分（II ）∵(1)(1)-+=--f x f x ，∴函数图象关于直线对称，∴∵，∴ ---------------------------4分又∵在上的最小值为，∴，即，由解得，∴； -------------7分（III ）∵当时， 恒成立，∴且，由得，解得---------------9分由得：，解得，……………（10分）∵，∴，---------------11分当时，对于任意，恒有，∴的最大值为. -------------------12分另解：（酌情给分）且在上恒成立∵在上递减，∴，∵在上递减，∴∴，∴，，∵，∴，∴，∴的最大值为20.（本小题满分13分）21)21)m =4-1max min 1)(1)x -+⎪⎩1t x ≤-+x t ++2100x -≤(-1-22t +14+12b ⎨⎪=⎪⎩a bc ⎨⎪-+⎩.2)1=)2x（Ⅰ）证明：①函数()2x f x =具有性质P .11(1)(1)2()222220x x x x f x f x f x -+-++-=+-⋅=>，……………1分即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，此函数为具有性质P .……………2分 ②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………3分例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-， 所以，)1()0()2(-<+-f f f ，……………4分 此函数不具有性质P . （Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n -中第一个大于0的值，则0)1()(>--i f i f ，因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--， 所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>，与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤. ……………9分（Ⅲ）不成立.例如2()()x x n x f x xx -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数.……………10分证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=，当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分，如0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数,，，0,()1,x x f x ⎧=⎨⎩为整数,为非整数,20,(),x x f x x ⎧=⎨⎩为整数,为非整数,等.）。
北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末高中一年级数学试题
市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末 高一数学2015.1A 卷 [必修 模块4] 本卷总分值：100分一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.1．(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，那么角α的取值围是〔 〕 〔A 〕π(0,)2〔B 〕π(,π)2〔C 〕3π(π,)2〔D 〕3π(,2π)22．向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．假设2=-c a b ，那么向量=c 〔 〕 〔A 〕(0,18)〔B 〕(12,12)〔C 〕(8,14)〔D 〕(4,20)-3．角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α〔 〕 〔A 〕35〔B 〕34〔C 〕34-〔D 〕45-4．函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是〔 〕 〔A 〕π(0,)2〔B 〕π(,π)2〔C 〕3π(π,)2〔D 〕3π(,2π)25．在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么AB AC +=〔 〕 〔A 〕2AD〔B 〕2DA〔C 〕2BD〔D 〕2DB6．以下函数中，偶函数是〔 〕 〔A 〕()sin()f x x =π+ 〔B 〕()tan()f x x =π- 〔C 〕()sin()2f x x π=+ 〔D 〕()cos()2f x x π=-7．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数cos y x =的图象〔 〕〔A 〕向左平移π3个单位 〔B 〕向右平移π3个单位 〔C 〕向左平移π6个单位〔D 〕向右平移π6个单位8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=〔 〕 〔A 〕4〔B 〕2〔C 〕3〔D 〕19．函数2sin y x =的最小正周期为〔 〕 〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕π2〔D 〕π410．向量(1,sin )θ=a ，(cos θ=b ，其中R θ∈，那么||-a b 的最大值是〔 〕 〔A 〕4〔B 〕3〔C 〕2〔D 〕1二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．假设(0,)∈πα，且α与角53π-终边一样，那么=α_____． 12．假设向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，那么实数=λ_____． 13．α是第二象限的角，且5sin 13α=，那么cos =α_____． 14． 向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．假设(,)=∈R c a +b λμλμ，那么=λμ_____． 15．函数2()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出以下三个结论：① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3g x x π=-的图象重合； ② 函数()f x 的图象关于点(,0)12π对称； ③ 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．〔本小题总分值12分〕tan 2=-α，且(,)2π∈πα． 〔Ⅰ〕求πtan()4-α的值；〔Ⅱ〕求sin 2α的值．18．〔本小题总分值12分〕向量(cos ,sin )=ααa ，1(,22=-b ，其中α是锐角． 〔Ⅰ〕证明：向量+a b 与-a b 垂直； 〔Ⅱ〕当|2||2|+=-a b a b 时，求角α．19．〔本小题总分值12分〕函数()sin 221f x x x =+． 〔Ⅰ〕求()f x 的单调递减区间；〔Ⅱ〕假设对于任意ππ[,]42x ∈，都有()2f x m -<成立，数m 的取值围．B 卷 [学期综合] 本卷总分值：50分一、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．函数1lg y x=的定义域是_____． 2．假设幂函数y x =α的图象过点(4,2)，那么=α_____．3．662log 2log 9+=_____．4．函数21,0,()4,0,x x f x x x ->⎧=⎨-<⎩的零点是_____．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．假设(21)()f m f m ->，那么实数m 的取值围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．〔本小题总分值10分〕全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}M x a x a =<<+． 〔Ⅰ〕求集合UP ；〔Ⅱ〕假设UP M ⊆，数a 的取值围．7．〔本小题总分值10分〕函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R .〔Ⅰ〕假设()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； 〔Ⅱ〕求()f x 在区间[0,1]上的最小值．8．〔本小题总分值10分〕函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． 〔Ⅰ〕假设0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； 〔Ⅱ〕假设0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案与评分标准 2015.1A 卷 [必修 模块4] 总分值100分一、选择题：本大题共10小题，每题4分，共40分.1.D ；2.C ；3.D ；4. D ；5. A ；6. C ；7. C ；8.B ；9. B ； 10.B . 二、填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分.11.3π； 12.12-； 13.1213-； 14.32； 15.2； 16. ①②③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.〔本小题总分值12分〕 〔Ⅰ〕解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα【 3分】 3=.【 6分】〔Ⅱ〕解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=【10分】 所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕证明：由向量(cos sin )αα=，a，1(2=-b ，得1(cos ,sin 22+=-+ααa b，1(cos ,sin 22-=+-ααa b ， 【 1分】由π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 2分】 因为222213()()||||(sincos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 5分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】 〔Ⅱ〕解：将|2||2|+=-a b a b 两边平方，化简得223(||||)80-+⋅=a b a b . 【 8分】 由||||1==a b ， 得 0⋅=a b ， 【 9分】所以 1cos 02αα-+=，所以 tan =α. 【11分】 注意到 π(0,)2∈α， 所以 π6α=.【12分】19.〔本小题总分值12分〕〔Ⅰ〕解：()sin 221f x x x =+π12sin(2)3x =+-． 【 2分】 因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π[2π,2π]()22k k k ++∈Z ．由 ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+()k ∈Z ，【 4分】 得 5π11πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递减区间为5π11π[π,π]1212k k ++()k ∈Z ． 【 6分】 〔Ⅱ〕解： 因为 ππ[,]42x ∈， 所以 ππ2π2633x -≤≤，由〔Ⅰ〕得 π212sin(2)33x +-≤≤，所以 ()f x 的值域是[23]，． 【 8分】()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ[,]42x ∈． 【10分】所以 max ()2m f x >-，且 min ()2m f x <+，所以 14m <<， 即m 的取值围是(1,4)． 【12分】B 卷 [学期综合] 总分值50分一、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分.1.{|01x x ∈<<R ，或1}x >；2.12； 3.2； 4.2-，1； 5.1(,1)3.注：4题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.〔本小题总分值10分〕〔Ⅰ〕解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}UP x x x =-<， 【 2分】即集合{|02}UP x x =<<.【 4分】〔Ⅱ〕解：因为UP M ⊆，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩【 6分】 解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩【 8分】所以 [2,0]a ∈-.【10分】 注：第〔Ⅱ〕小问没有等号扣1分. 7.〔本小题总分值10分〕〔Ⅰ〕解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】〔Ⅱ〕解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-.【 8分】 ③ 当212a -≥，即 0a ≤时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.〔本小题总分值10分〕〔Ⅰ〕解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，那么210x x x ∆=->， 那么212121()()(22)(33)xxxxy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0xxxxa a <>⇒->；又122133,0(33)0xxxxb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 〔Ⅱ〕解：由(1)()2230xxf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. 〔*〕 【 6分】 ①当0,0a b <>时，〔*〕式化为3()22xa b->，. . . .11 / 11 解得32log ()2a x b>-.【 8分】 ②当0,0a b ><时，〔*〕式化为3()22x a b -<， 解得32log ()2a x b<-. 【10分】。
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编-三角函数
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——三角函数1.（2015年1月·延庆期末·8．若x x f 3cos )(cos =，则)(sin 3πf 的值为 A ． 1-B ．23 C ．0 D ．12.（2015年1月·西城期末·1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)23.（2015年1月·西城期末·3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）45-（C ）34（D ）34-4.（2015年1月·房山期末·2）下列各角中，与角π3-终边相同的角是 （A ）2π3 （B ）4π3（C ）5π3（D ）7π35.（2015年1月·海淀期末·10.为了得到函数sin(2)2y x π=-的图象，可以将函数sin 2y x =的图象 AA. 向右平移4π个单位长度 B. 向左平移4π个单位长度 C. 向右平移2π个单位长度 D. 向左平移2π个单位长度6.（2015年1月·西城期末·9．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）（A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位 （C ）向左平移2π3个单位（D ）向右平移2π3个单位7.（2015年1月·海淀期末·11.已知(,)αππ∈-，且sin cos7πα=-，则α= AA. 514π-或914π- B. 914π-或914π C. 514π或514π- D. 514π或914π 8.（2015年1月·密云期末·2．sin 240=A.32-B ．12-C ．12D ．329.（2015年1月·顺义期末·2．sin120的值等于A .12B .12-C .32D .32-10.（2015年1月·海淀期末·2. 7sin6π= A.32 B.32-C. 12D. 12- 11.（2015年1月·延庆期末·2．已知)2,0[πα∈，与角3π-终边相同的角是 A ．3π B ．32π C ．34π D ．35π12.（2015年1月·延庆期末·3．若0sin >α ，且0cos <α ，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角13.（2015年1月·延庆期末·4．若角α的终边经过点)4,3(-P ，则tan =α A ．54 B ．53-C ．34-D. 43-14.（2015年1月·延庆期末·11. 要得到)42sin(π+=x y 的图象只需将x y 2sin =的图象A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位D ．向左平移8π个单位15.（2015年1月·海淀期末·6.若直线x a =是函数()sin f x x =的一条对称轴，则()f a = DA.0B.1C. 1-D. 1或1- 16.（2015年1月·密云期末·5．函数)32sin(2π+=x y 的一个对称中心A ．)0,6(πB ．)0,6(π-C ．)0,12(πD ．)0,12(π-17.（2015年1月·西城期末·6．如果函数cos()y x =+ϕ的一个零点是3π，那么ϕ可以是（ ）（A ）6π （B ）6π- （C ）3π （D ）3π-18.（2015年1月·东城期末·2. 已知sin 0,cos 0θθ<>，则角θ是 A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角19.（2015年1月·房山期末·7）要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数cos(2)5y x π=+的图象（A ）向左平移5π个单位 （B ）向右平移5π个单位（C ）向左平移10π个单位 （D ）向右平移10π个单位 20.（2015年1月·房山期末·8）函数πsin 2()6y x =+的错误！未找到引用源。
2014-2015学年高一上学期期末考试数学 试题
2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分） 1．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A.),31(+∞- B.)1,31(- C. )31,31(- D.)31,(--∞2．已知21{|log ,2},{|(),1}2x A y y x x B y y x ==<==<，则A∩B ＝( )A.1(,)2+∞ B.（2,21） C. )21,0( D.1(,1)23．设α、β为钝角且sin α=，cos β=,则αβ+的值为( ) A.π43B.π45C. π47D.π45或π474．设函数)(x f 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若33)2013(,1)2(-+=>a a f f ，则a 的取值范围是（ ）A.)0,(-∞B.)3,0(C.),0(+∞D.),3()0,(+∞-∞ 5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位6．设函数()1()cos 2f x x ωϕ=+，对任意x ∈R 都有33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()3sin 2g x x ωϕ=+-，则3g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ( )A. B. 5-或3 C. 2- D.217．设()f x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()12xf x =，则函数()()sin F x f x x=-在[]ππ-，上的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C. 4 D.58．已知函数)1,0)(3(log )(2≠>+-=a a ax x x f a 且满足：对任意实数21,x x ，当221ax x ≤<时，总有,0)()(21>-x f x f 则实数a 的取值范围是 （ ）A.（0，3）B.（1，3）C.（2，23）D.（1，23）二、填空题(每小题4分，共20分)11．sin168sin 72sin102sin198-=12．已知函数f x x x x x ()()c o s ()=≤<<⎧⎨⎪⎩⎪2020π，若f f x (())02=，则x 0的值是____________ 13．已知=-+--=-<<αααααπαtan 112cos 2sin ,55sin cos ,20则____________ 14．设为实常数,是定义在R 上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为________15. 设,40,2cos ,2sin πθθθ<<==b a 给出)4tan(πθ+值的四个答案；①a b -1；②ba-1； ③a b +1；④ba+1. 其中正确的是 .三、解答题（本大题共4题，共40分）数学答题卷2015.1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.）11. 12. 13._________________14. _____________ 15.三、解答题（本大题共4小题，共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．函数12--=x xy 的定义域为集合A ，关于x 的不等式)0)(lg(2lg >+<a x a ax 的解集为B ，求使A B A =成立的实数a 的取值范围.19．已知函数a xax x f -+=)( （1）若方程0)(=x f 有正根，求实数a 的取值范围； （2）设函数|)(sin sin |)(x f x x g ⋅=，且)(x g 在区间]2,0[π上不单调，求实数a 的取值范围。
【精品】2014-2015年北京市朝阳区高一(上)期末数学试卷带解析
2014-2015学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁B）=（）UA．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（） B．f（），f（﹣），f（﹣1）C．f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（1，）D．（e，+∞）6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．307．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b|B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b28．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为．14．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]）19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f （x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log 2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）2014-2015学年北京市朝阳区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x|x≥2}，则A∩（∁B）=（）UA．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵B={x|x≥2}，∴∁U B={x|x＜2}，则A∩（∁U B）={0，1}，故选：B．2．（5分）函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意得：，解得：﹣1＜x＜1，故选：A．3．（5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．y= D．y=x|x|【解答】解：A．y=x+1为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，不满足条件．C．y=是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．D．设f（x）=x|x|，则f（﹣x）=﹣x|x|=﹣f（x），则函数为奇函数，当x＞0时，y=x|x|=x2，此时为增函数，当x≤0时，y=x|x|=﹣x2，此时为增函数，综上在R上函数为增函数．故选：D．4．（5分）偶函数f（x）的图象如图所示，则f（﹣1），f（﹣），f（）的大小关系是（）A．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（） B．f（），f（﹣），f（﹣1）C．f（﹣），f（），f（﹣1）D．f（﹣1），f（），f（﹣）【解答】解：根据图象f（）．故选：B．5．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（1，）D．（e，+∞）【解答】解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0∴f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．6．（5分）从某小学随机抽取100分学生，将们们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则身高在[120，130）内的学生中选取的人数应为（）A．8 B．12 C．10 D．30【解答】解：根据频率分布直方图，得；身高在[120，130）的频率为0.030×10=0.3，频数是0.3×100=30；身高在[130，140）的频率为0.020×10=0.2，频数是0.2×100=20；身高在[140，150]的频率为0.010×10=0.1，频数是0.1×100=10；在这三组学生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，身高在[120，130）内的学生中选取的人数为20×=10．故选：C．7．（5分）已知a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则|a|＞|b|B．若a＞b，则C．若|a|＞b，则a2＞b2D．若a＞|b|，则a2＞b2【解答】解：A．错误，比如3＞﹣4，便得不到|3|＞|﹣4|；B．错误，比如3＞﹣4，便得不到；C．错误，比如|3|＞﹣4，得不到32＞（﹣4）2；D．正确，a＞|b|，则a＞0，根据不等式的性质即可得到a2＞b2．故选：D．8．（5分）f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣（）x B．（）x C．﹣2x D．2x【解答】解：设x＜0，﹣x＞0；∴．故选：A．9．（5分）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如f（2）=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元，下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A，D错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故A，B，D均错误．故选：C．10．（5分）函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（）A．f（x）=2x+1 B．f（x）=x2﹣2x C．f（x）=e x D．f（x）=lnx【解答】解：由f（x+2）+f（x）＜2f（x+1）得，f（x+2）﹣f（x+1）＜f（x+1）﹣f（x）①，∵（x+2）﹣（x+1）=（x+1）﹣x，∴①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，对于A、f（x）=2x+1是一次函数，且在R上直线递增，函数值的变化量是相等的，A错；对于B、f（x）=x2﹣2x在定义域上不是单调函数，在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）递增，B错；对于C、f（x）=e x是增长速度最快﹣呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越大，C错；对于D、f（x）=lnx是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，D正确．故选：D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．【解答】解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．12．（5分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，8），则f（3）=27．【解答】解：设幂函数y=f（x）=x a，其图象过点（2，8），∴2a=8；解得a=3，∴f（x）=x3，∴f（3）=33=27．故答案为：27．13．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．【解答】解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：814．（5分）当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值为1．【解答】解：∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=1当且仅当x+1=即x=0时取等号，故答案为：1．15．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，以点C为圆心，CB为半径的圆与边DC交于点E，F是上任意一点（包括端点），在矩形ABCD内随机取一点M，则点M落在△AFD内部的概率的取值范围是[] ．【解答】解：由题意，设△AFD的高为h，因为F是上任意一点（包括端点），所以h∈[1，2]，所以△AFD的面积范围为[，1]，又矩形ABCD的面积为2，由几何概型的公式可得点M落在△AFD内部的概率的取值范围[]；故答案为：[]．16．（5分）对于集合A={a1，a2，…a n}（n≥2，n∈N*），如果a1•a2…•a n=a1+a2+…+a n，则称集合A具有性质P，给出下列结论：①集合{，}具有性质P；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}具有性质P，则a1a2＞4③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能具有性质P；④当n=3时，若a i∈N*（i=1，2，3），则具有性质P的集合A有且只有一个．其中正确的结论是①③④．【解答】解：∵•=+=﹣1，故①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2﹣tx+t=0的两个根，由△＞0，可得t＜0，或t＞4，故②错；③不妨设A中a1＜a2＜a3＜…＜a n，由a1a2…a n=a1+a2+…+a n＜na n，得a1a2…a n﹣1＜n，当n=2时，即有a1＜2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的集合A，故③正确．当n=3时，a1a2＜3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是具有性质P的集合A 只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由a1a2…a n﹣1≥1×2×3×…×（n﹣1），即有n＞（n﹣1）!，也就是说具有性质P的集合A存在的必要条件是n＞（n﹣1）!，事实上，（n﹣1）!≥（n﹣1）（n﹣2）=n2﹣3n+2=（n﹣2）2﹣2+n＞2，矛盾，∴当n≥4时不存在具有性质P的集合A，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（共4小题，满分40分）17．（9分）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；则A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．18．（9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数学为茎，个位数学为叶得到的茎叶图如图所示，已知甲、乙两组数据的平均数都为10．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：为数据x1，x2，…x n的平均数，方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n ﹣）2]）【解答】解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，S甲2=[（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，S乙2=[（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由，S甲2＜S乙2，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”的概率为P==．19．（10分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（12分）对于函数f（x），g（x），φ（x）如查存在实数a，b使得φ（x）=a•f （x）+b•g（x），那么称φ（x）为f（x），g（x）的线性组合函数，如对于f（x）=x+1，g（x）=x2+2x，φ（x）=2﹣x2存在a=2，b=﹣1使得φ（x）=2f（x）=g（x），此时φ（x）就是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅰ）设f（x）=x2+1，g（x）=x2﹣x，φ（x）=x2﹣2x+3，试判断φ（x）是否为f（x），g（x）的线性组合函数？关说明理由；（Ⅱ）设f（x）=log 2x，g（x）=log x，a=2，b=1，线性组合函数为φ（x），若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，求实数m的取值范围；（Ⅲ）设f（x）=x，g（x）=（1≤x≤9），取a=1，b＞0，线性组合函数φ（x）使φ（x）≥b恒成立，求b的取值范围，（可利用函数y=x+（常数k＞0）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数）【解答】解：（Ⅰ）设a•（x2+1）+b•（x2﹣x）=x2﹣2x+3，即（a+b）x2﹣bx+a=x2﹣2x+3，则，此时方程组无解，故不存在a，b使得φ（x）=a•f（x）+b•g（x），则φ（x）不是f（x），g（x）的线性组合函数．（Ⅱ）∵a=2，b=1，∴φ（x）=2f（x）+g（x）=2log 2x+log x=2log2x﹣log2x=log2x，若不等式3φ2（x）﹣2φ（x）+m＜0在x∈[，4]上有解，即m＜﹣3（log2x）2+2log2x在x∈[，4]上有解，设t=log2x，则∵x∈[，4]，∴t∈[，2]，则不等式等价为m＜﹣3t2+2t，∵y=﹣3t2+2t=﹣3（t﹣）2+，∴当t=时，函数y取得最大值，则m＜，实数m的取值范围是m＜．（Ⅲ）由题意φ（x）=x+，（1≤x≤9），①若∈（1，9），则φ（x）在[1，）上递减，在（，9]上递增，故φ（x）min=φ（）=2，由，解得1＜b≤4．②若≤1，则φ（x）在[1，9]上递增，故φ（x）min=φ（1）=1+b，由，解得1＜b≤1．③若≥9，则φ（x）在[1，9]上递减，故φ（x）min=φ（9）=9+，由，此时不等式组无解．综上b的取值范围是（0，4]．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——幂指对
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——幂指对1.（2015年1月·延庆期末·7．函数()log 21a y x =++的图像过定点 A ． ()2,1- B ．()2,1 C ． ()1,1-D ．)1,1(2.（2015年1月·石景山期末·2.下列算式正确的是 ( )A ．222log (3)log 3log ππ=+B ．236(8)82-=-=-C ．lg 62lg 3= D ．3322555-==3.（2015年1月·昌平期末·3）已知函数2()log f x x =，当[1,4]x ∈时，函数()f x 的值域是 （A ）[0,1] （B ）[0,2] （C ）[1,2] （D ）[1,4]4.（2015年1月·昌平期末·9）设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23xf x x k =-+（k为常数），则(1)f -=（A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）1-5.（2015年1月·昌平期末·10）设正数a ，b 满足23log log a b =，则下列结论中，不可能．．．成立的是 （A ）1a b << （B ）01b a <<< （C ）a b = （D ）1b a << 6（2015年1月·丰台期末·9.已知变量y 随变量x 变化的数据如下表：x 6.0 4.1 2.2 0.3 4.3 y 737.0- 485.0 138.1 585.1 766.1 则能基本反映这一变化规律的函数模型是（ ） A ． xy 2=B ．2x y =C ．x y 2log =D ．137.0--=x y7.（2015年1月·密云期末·6. 函数log =a y x （0>a 且1≠a ）的图象经过点)1,2(-，函数=xy b （0>b 且1≠b ）的图象经过点)2,1(，则下列关系式中正确的是 A ． 22b a >B ． ba 22>C ． b a )21()21(> D ． 2121b a >8.（2015年1月·昌平期末·4）设 2.50 2.51(),(2.5),22a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）b c a >>9.（2015年1月·东城期末·6.设2log πa =，12log πb =，2πc -=，则A ．a b c >> B. b a c >> C. a c b >>D. c b a >>10.（2015年1月·房山期末·6）设3log 2a =，0.3eb =，8cos7c π=，则 （A ）b a c << （B ）b c a << （C ）c a b <<（D ）c b a <<11.（2015年1月·丰台期末·6．已知3π=m ，3log π=n ，πtan =p ，则这三个数的大小关系是（ ）A ．p n m >>B ．m p n >>C ． n m p >>D ．n m p >>12.（2015年1月·海淀期末·7．设110.522,e ,0.5a b c -===错误！未找到引用源。
【历年高一数学期末试题】北京市西城区(普通校)2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
高一数学
试卷满分： 150 分 考试时间： 120 分钟
2015.1
A 卷 [必修 模块 4] 本卷满分： 100 分
三
题号
一
二
本卷总分
17
18
19
分数
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的 .
（ A） 1 m2
（ B） 1
（ C） | m |
（ D） 1 m2
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .
11．若向量 a (1,2) 与向量 b ( , 1) 共线，则实数
_____．
12．已知 是第二象限的角，且 sin
5 ，则 cos
13
_____．
（Ⅰ）若 ab 0 ，判断 f (x) 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若 ab 0 ，解不等式： f ( x 1) f ( x) ．
（ B） (8,14)
（ C） (12,12)
（ D） ( 4,20)
3．已知角 的终边经过点 P(3, 4) ，那么 sin （ ）
（ A） 3 5
4
（ B）
5
3
（ C）
4
4．在△ ABC 中， D 是 BC 的中点，则 AD （ ）
（ A） 1 ( AB 2 1
（ C） ( AB 2
AC ) BC )
13．若
( , ) ，且 tan 1，则 的取值范围是 _____． 22
14．已知向量 a (1,3) ， b (2, 1) ， c (1,1)．若 c a + b ( , R ) ，则
北京市各区县2014-2015学年高一上学期期末试题分类汇编 向量
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——向量（2015年1月·延庆期末·6．已知向量)0,1(),2,1(=-=b a，那么向量a b -3的坐标是A. (4,2)-B. (4,2)--C. (4,2)D. (4,2)-（2015年1月·西城期末·2．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(8,14)（C ）(12,12)（D ）(4,20)-（2015年1月·西城期末·4．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD =（ ）（A ）1()2AB AC + （B ）1()2AB AC - （C ）1()2AB BC +（D ）1()2AB BC -（2015年1月·西城期末·7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =， E 是CD的中点，那么AE DC ⋅=（ ） （A ）4（B ）2（C ）3（D ）1（2015年1月·西城期末·10．已知a ，b 为单位向量，且m ⋅=a b ，则||t +a b ()t ∈R 的最小值为（ ） （A ）21m +（B ）1（C ）||m（D ）21m -（2015年1月·石景山期末·4．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么||a b -等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2（2015年1月·石景山期末·6．已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是 （ ）A ．,,A C DB ．,,A B CC ．,,B C DD ．,,A B D（2015年1月·顺义期末·3．已知(0,3)AB =，那么AB 等于A .2B .3C .4D .5（2015年1月·顺义期末·6．已知向量(42)=，a ，(1)m =-，b ，若a ⊥b ，则m 的值为 A ．21 B ．2 C ．21- D ．2- （2015年1月·房山期末·4）在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +等于（A ）12AD（B ）AD （C ）DA（D ）2AD（2015年1月·海淀期末·3.若向量(0,1)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ，则BA.()//-a b cB. ()-⊥a b cC. ()0-⋅>a b cD. |||-=a b c |（2015年1月·顺义期末·5．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是CA .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC +=0（2015年1月·顺义期末·2.若向量(0,1)a =-，(3,2)b =，，则向量2a b -的坐标是 A. (3,4)- B.(3,4)- C. (3,4)-- D. (3,4)（2015年1月·顺义期末·6．已知向量(42)=，a ，(1)m =-，b ，若a ⊥b ，则m 的值为B A ．21 B ．2 C ．21- D ．2- （2015年1月·密云期末·3.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(2,2)B ，(0,)C c ，若AB BC ⊥，那么c 的值是A.1-B.3C.3-D.4（2015年1月·顺义期末·8. 设向量2222(cos ,sin ),(cos ,sin )x x x x ==-a b ，函数()f x =⋅a b ，则函数()f x 的图象CA. 关于点(π,0)中心对称B. 关于点π(,0)2中心对称C. 关于点π(,0)4中心对称 D. 关于点(0,0)中心对称（2015年1月·密云期末·9如果向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ，且a ，b 共线，那么实数x = . -2（2015年1月·密云期末·13已知ABC ∆是正三角形，若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________.2λ>（2015年1月·顺义期末·10.已知()4,2a =-，(),5b x =且//a b ，则x 的值为10-_________.（2015年1月·顺义期末·13．已知||4a =，||3b =，a 与b 的夹角为0120，则||________.a b +=（2015年1月·延庆期末·15．已知向量),3(),3,1(x b a -=-=，若b a //，则=x _____；若b a ⊥，则x =_____.9;1-（2015年1月·西城期末·11．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ__12-___． （2015年1月·西城期末·14．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_32_． （2015年1月·房山期末·11）设向量(,1)m =a ，(2,3)=-b ，若满足//a b ，则m =（2015年1月·海淀期末·15.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 是线段DC 上的动点（含端点），则BP AC ⋅的取值范围是_[0,4]__.（2015年1月·石景山期末·16.（本题满分9分）已知向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ．A B（I ） 若a ,b 共线，求x 的值； （II ）若a ⊥b ，求x 的值；（III ）当2x =时，求a 与b 的夹角θ的余弦值. 解：（I ）a ,b 共线，412x ∴⨯=-，2x ∴=-； …………3分（II ）a ⊥b ，420x ∴-=，12x ∴=； …………6分（III ）当2x =时，42216b ⋅=⨯-⨯=a ，||25,||5==a b ，3cos 5||||a b a b θ⋅∴==. …………9分（2015年1月·顺义期末·16. （本小题满分13分）已知非零向量a 、b 满足1=a ，且1()()2-=a b a +b ⋅. （Ⅰ）求b ； （Ⅱ）当12a b =⋅时，求向量a 与b 的夹角θ的值. 解：（Ⅰ）因为1()()2-=a b a +b ⋅ ，即2212-=a b ，所以221111222=-=-=b a ，故2=b . ---------------------6分 （Ⅱ）因为cos θ=a ba b ⋅=22， 又0180θ≤<︒， 故45θ=. -----------------------------------------------------------------------------13分 （2015年1月·密云期末·17. （本小题满分13分）已知向量(cos )θθ=a ，(sin ,0)θ=b ，其中θ∈R .（Ⅰ）当π3θ=时，求⋅a b 的值； （Ⅱ）当π[0,]2θ∈时，求2(+)a b 的最大值.解：（Ⅰ）当π3θ=时，163(,),(,0)2a b ==，---------------2分1302224a b ∴⋅=⨯+= ----------------5分（Ⅱ）由题: 2()a b +222a a b b =+⋅+2222cos )2(cos sin 0)sin 0θθθθθθ=++⋅⋅++22cos sin 2sin 1θθθ=⋅++sin 22cos2θθ=+-)24πθ=-+. ----------------10分02πθ≤≤，32444πππθ∴-≤-≤. ∴当242ππθ-=即38πθ=时， ----------------11分2()a b +2. --------------- ----13分（2015年1月·西城期末·18．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(2=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）当30︒=α时，求||+a b ； （Ⅱ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅲ）若向量a 与b 夹角为60︒，求角α．（Ⅰ）解：当30︒=α时，1)2=a ， 【 1分】所以 +a b =， 【 2分】所以 ||+=a b = 【 4分】（Ⅱ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(,22=-b ， 得 1(cos ,sin )22+=-+ααa b ，1(cos ,sin )22-=+-ααa b ， 由 π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 5分】 因为 222213()()||||(sincos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 7分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 8分】 （Ⅲ）解：因为||||1==a b ，且向量a 与b 夹角为60︒， 所以 1||||cos 602︒⋅=⋅=a b a b . 【10分】所以 11cos 22-=αα， 即 π1sin()62-=α. 【12分】 因为 π02<<α， 所以 πππ663-<-<α， 【13分】 所以 ππ66-=α， 即3π=α. 【14分】 （2015年1月·顺义期末·16．（本小题共13分）在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(1,3)A ，(2,5)B , (5,2)C -OP OA t AB =+.（Ⅰ）当1,t =- 1时分别求点P 的坐标； （Ⅱ）证明：当1t =时OP OC ⊥. 解：（Ⅰ）()1,3OA =()1,2AB =()()1,31,2OP OA t AB t =+=+————４分∴当1t =-时()0,1OP = 即：()0,1P ——————————６分同样可求当1t =时 ()2,5P —————８分∴所求P 点坐标分别为：()()0,1,2,5———————１０分（Ⅱ）当1t =时，(2,5)OP =，又(5,2)OC =-，∴255(2)0OP OC ⋅=⨯+⨯-=，∴OP OC ⊥—————１３分（2015年1月·房山期末·18）（本小题共12分）如图，矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，P 是BC 的中点，Q 是CD 上的动点．（Ⅰ）求AP AQ ⋅的最小值； （Ⅱ）求()AP AQ AD +⋅的值．解：法一：（Ⅰ）如图，以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系， ------------------1分因为1AB =，2BC =，P 是BC 的中点， 所以(1,1)P ------------------1分 设(,2)Q x ，01x ≤≤ ------------------1分(1,1)(,2)2AP AQ x x ⋅=⋅=+ ------------------ 2分当0x =时，AP AQ ⋅取得最小值2 ------------------1分 所以，AP AQ ⋅的最小值为2（Ⅱ）因为2AD =，所以(0,2)D ------------------1分()AP AQ AD AP AD AQ AD +⋅=⋅+⋅(1,1)(0,2)(,2)(0,2)246x =⋅+⋅=+= ------------------5分法二：（Ⅰ）由||||cos AP AQ AP AQ PAQ ⋅=∠ ------------------2分要使AP AQ ⋅最小，则需||cos AQ PAQ ∠最小，可知当点Q 与点D 重合时，||AQ 最小，cos PAQ ∠最小------------------1分||||cos 222AP AD AP AD PAD ⋅=∠=⨯= 所以，AP AQ ⋅的最小值为2 ------------------3分 （直接求AP AD ⋅，未说明理由扣2分） （Ⅱ）()AP AQ AD AP AD AQ AD +⋅=⋅+⋅ 2||||cos AQ AD DAQ =+⋅∠22||6AD =+= ------------------6分或()()()AP AQ AD AB BP AD AD DQ AD +⋅=+⋅++⋅246BP AD AD AD =⋅+⋅=+= ------------------ 6分B（2015年1月·延庆期末·23．（本题12分）如图，点P 是以AB 为直径的圆O 上动点，P '是点P 关于AB 的对称点，)0(2>=a a AB .（Ⅰ）当点P 是弧AB 上靠近点B 的三等分点时，求⋅的值； （Ⅱ）求P O '⋅的最大值和最小值.解：23．（本题12分）解法一：（Ⅰ）连接OP ,PB ,∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，)0(2>=a a AB ∴a AP PAB 3,6==∠π. ……………………2分∴232336cosa a a AB OP AB AP =⨯⨯=⋅=⋅π………………………4分 （Ⅱ）设θ=∠PAB , 则θθcos 2,2a AP POB ==∠，此时向量AP 与OP 的夹角为θ3， ………………………6分 ∴)2cos(cos 23cos cos 222θθθθθ+=⋅='⋅a a P O )sin 2sin cos 2(cos cos 22θθθθθ-=a )cos sin 22sin cos 22(cos 22θθθθθ⨯-⨯=a ]2sin )12(cos 2[cos 22θθθ-+=a )12cos 2cos 2(22-+=θθa]89)412(cos 2[22-+=θa ， ………………………10分 ∴ 当412cos -=θ时，P O '⋅的最小值为289a -. 当12cos =θ时，P O '⋅的最大值为22a . ………………12分 解法二：（Ⅰ）以直径AB 所在直线为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系. ∵P 是弧AB 靠近点B 的三等分点，连接OP ，则3BOP π∠=， …………1分 ∴点P坐标为1(,)22a a .又点A 坐标是(,0)a -，点B 坐标是(,0)a ，∴3(,)22AP a a =，(2,0)AB a =， ∴23AP AB a ⋅=.（Ⅱ）设POB θ∠=，[0,2)θπ∈，则(cos ,sin )P a a θθ，(cos ,sin )P a a θθ'- ∴(cos ,sin )AP a a a θθ=+，(cos ,sin )OP a a θθ'=-. ………………6分 ∴22222cos cos sin AP OP a a a θθθ'⋅=+- 22(2cos cos 1)a θθ=+-2221192(cos cos )2168a a θθ=++-222192(cos )48a a θ=+-. ………10分当1cos 4θ=-时，AP OP '⋅有最小值298a -，当cos 1θ=时，AP OP '⋅有最大值22a . …………………12分。
2014--2015年西城区高一数学期末试题及答案
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学 2015.1试卷满分：150分 考试时间：120分钟A 卷 [必修 模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知(0,2π)α∈，且sin 0<α，cos 0>α，则角α的取值范围是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)22．已知向量(2,8)=a ，(4,2)=-b ．若2=-c a b ，则向量=c （ ） （A ）(0,18)（B ）(12,12)（C ）(8,14)（D ）(4,20)-3．已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin =α（ ） （A ）35（B ）34（C ）34-（D ）45-4．已知函数sin y x =和cos y x =在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是（ ） （A ）π(0,)2（B ）π(,π)2（C ）3π(π,)2（D ）3π(,2π)25．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AB AC +=（ ） （A ）2AD（B ）2DA（C ）2BD（D ）2DB6．下列函数中，偶函数是（ ） （A ）()sin()f x x =π+ （B ）()tan()f x x =π- （C ）()sin()2f x x π=+ （D ）()cos()2f x x π=-7．为得到函数πcos()6y x =+的图象，只需将函数cos y x =的图象（ ）（A ）向左平移π3个单位 （B ）向右平移π3个单位 （C ）向左平移π6个单位（D ）向右平移π6个单位8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC ， E 是CD 的中点，那么AE DC ⋅=（ ）（A ）4（B ）2（C （D ）19．函数2sin y x =的最小正周期为（ ） （A ）2π（B ）π（C ）π2（D ）π410．已知向量(1,sin )θ=a ，(cos θ=b ，其中R θ∈，则||-a b 的最大值是（ ） （A ）4（B ）3（C ）2（D ）1二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11．若(0,)∈πα，且α与角53π-终边相同，则=α_____． 12．若向量(1,2)=a 与向量(,1)=-λb 共线，则实数=λ_____． 13．已知α是第二象限的角，且5sin 13α=，则cos =α_____． 14． 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(1,1)=c ．若(,)=∈R c a +b λμλμ，则=λμ_____． 15．函数2()(sin cos )f x x x =+的最大值是_____．16．关于函数()sin(2)()6f x x x π=-∈R ，给出下列三个结论：① 函数()f x 的图象与2()cos(2)3g x x π=-的图象重合； ② 函数()f x 的图象关于点(,0)12π对称； ③ 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称．其中，全部正确结论的序号是_____．三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知tan 2=-α，且(,)2π∈πα． （Ⅰ）求πtan()4-α的值； （Ⅱ）求sin 2α的值．18．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )=ααa ，1(,22=-b ，其中α是锐角． （Ⅰ）证明：向量+a b 与-a b 垂直； （Ⅱ）当|2||2|+=-a b a b 时，求角α．19．（本小题满分12分）已知函数()sin 21f x x x =+． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若对于任意ππ[,]42x ∈，都有()2f x m -<成立，求实数m 的取值范围．B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．函数1lg y x=的定义域是_____． 2．若幂函数y x =α的图象过点(4,2)，则=α_____． 3．662log 2log 9+=_____． 4．函数21,0,()4,0,x x f x x x ->⎧=⎨-<⎩的零点是_____．5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若(21)()f m f m ->，则实数m 的取值范围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，{|26}M x a x a =<<+． （Ⅰ）求集合U P ð；（Ⅱ）若U P M ⊆ð，求实数a 的取值范围．7．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R . （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．8．（本小题满分10分）已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中,a b 为常数． （Ⅰ）若0ab >，判断()f x 的单调性，并加以证明； （Ⅱ）若0ab <，解不等式：(1)()f x f x +>．北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2015.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D ；2.C ；3.D ；4. D ；5. A ；6. C ；7. C ；8.B ；9. B ； 10.B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.3π； 12. 12-； 13. 1213-； 14.32； 15. 2； 16. ① ② ③.注：16题，少解不给分.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：因为 tan 2=-α，所以 πtan tanπ4tan()π41tan tan 4--=+⋅ααα 【 3分】3=. 【 6分】（Ⅱ）解：由π(,π)2∈α，tan 2α=-， 得sin α=， 【 8分】cos α=. 【10分】所以 4sin 22sin cos 5==-ααα. 【12分】18.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由向量(cos sin )αα=，a ，1(,)22=-b ，得1(cos ,sin 2+=-+ααa b，1(cos ,sin 2-=+-ααa b ， 【 1分】 由π(0,)2∈α，得向量+a b ，-a b 均为非零向量. 【 2分】 因为222213()()||||(sin cos )()044+⋅-=-=+-+=ααa b a b a b ， 【 5分】所以向量+a b 与-a b 垂直. 【 6分】 （Ⅱ）解：将|2||2|+=-a b a b 两边平方，化简得223(||||)80-+⋅=a b a b . 【 8分】 由||||1==a b ， 得 0⋅=a b ， 【 9分】所以 1cos 02αα-=，所以 tan =α. 【11分】 注意到 π(0,)2∈α， 所以 π6α=. 【12分】19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：()sin 21f x x x =+π12sin(2)3x =+-． 【 2分】因为函数sin y x =的单调递减区间为π3π[2π,2π]()22k k k ++∈Z ． 由 ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+()k ∈Z ， 【 4分】 得 5π11πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ． 所以()f x 的单调递减区间为5π11π[π,π]1212k k ++()k ∈Z ． 【 6分】 （Ⅱ）解： 因为 ππ[,]42x ∈， 所以 ππ2π2633x -≤≤，由（Ⅰ）得 π212sin(2)33x +-≤≤，所以 ()f x 的值域是[23]，． 【 8分】 ()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+，ππ[,]42x ∈． 【10分】所以 max ()2m f x >-，且 min ()2m f x <+，所以 14m <<， 即m 的取值范围是(1,4)． 【12分】B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01x x ∈<<R ，或1}x >；2. 12； 3. 2； 4. 2-，1； 5. 1(,1)3.注：4题，少解得2分，有错解不给分. 二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：因为全集U =R ，集合{|(2)0}P x x x =-≥，所以 {|(2)0}U P x x x =-<ð， 【 2分】 即集合{|02}U P x x =<<ð. 【 4分】（Ⅱ）解：因为 U P M ⊆ð，所以 0,262,a a ≤⎧⎨+≥⎩【 6分】解得 0,2.a a ≤⎧⎨≥-⎩ 【 8分】所以 [2,0]a ∈-. 【10分】 注：第（Ⅱ）小问没有等号扣1分. 7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】 由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时，因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】 8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数；当0,0a b <<时，()f x 在R 上是减函数； 【 1分】证明如下：当0,0a b >>时，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则210x x x ∆=->， 则212121()()(22)(33)x x x xy f x f x a b ∆=-=-+-.因为 122122,0(22)0x x x x a a <>⇒->；又122133,0(33)0x x x xb b <>⇒->， 所以 21()()0y f x f x ∆=->，所以，当0,0a b >>时，()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理可得，()f x 在R 上是减函数. 【 5分】 （Ⅱ）解：由(1)()2230x xf x f x a b +-=⋅+⋅>，得 32()2xb a >-. （*） 【 6分】 ① 当0,0a b <>时，（*）式化为3()22xa b->， 解得32log ()2ax b>-. 【 8分】② 当0,0a b ><时，（*）式化为3()22xa b-<， 解得32log ()2ax b<-.【10分】。
北京市石景山区2014-2015学年度第一学期高一数学期末试题带答案
石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高一数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．1． 对于任意的R α∈，sin 2α= （ ）A ．2sin αB ．2sin cos ααC ．2cos αD ．22cos sin αα-2.下列算式正确的是 ( )A ．222log (3)log 3log ππ=+B2=-C ．lg 62lg3= D ．3322555-==3．设集合,A B 为全集U 的子集，则右图中阴影部分表示的集合是( )A ．AB ⋂C ．U B A ⋂ðB ．U A B ⋂ð D ． ()()U U A B ⋃痧4．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么||a b -等于（ ）A ．1BCD ．25. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算， 参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到)为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ． 1.56．已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是 （ ）A ．,,A C DB ．,,A B CC ．,,B C DD ．,,A B D7. 设方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，且12x x <，0a <，那么20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．1{|}x x x < C ．12{|}x x x x <<B ．2{|}x x x > D ．12{|}x x x x x <>或8. 下列函数中，既是偶函数，又在[0,1]上单调递增的是 （ ）A ．cos y x =B ．2y x =-C ．2sin cos y x x =D ．|sin |y x =9．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 （ ）A ．cos 2y x =B ．22cos y x =C ．sin(2)4y x π=+D ．22sin y x =10．设函数()log (2)a f x x a =-+在区间(1,)+∞上恒为正值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,2]B ．(1,2)C ．(0,1)(1,2)⋃D ． 5(1,)2二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上． 11．若cos 2α=，且α的终边过点(,2)P x ，则x = . 12．sin α=3cos α，则tan α＝ .13. 若函数()f x 的图象与2x y =的图象关于________对称，则函数()f x =_________. （注：填上你认为正确的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） 14. 三个变量123,,y y y 随x 的变化情况如下表：三个变量123,,y y y 中，变量_______随x 呈对数函数型变化，变量_______随x 呈指数函数型变化，变量_______随x 呈幂函数变化.三、解答题：本大题共6个小题，共48分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本题满分8分）已知集合{|37}A x x =≤≤，{|0}B x x a =<<. （Ⅰ）若5a =，求A B ⋃和A B ⋂； （Ⅱ）若A B φ⋂≠，求a 的取值范围.16.（本题满分9分）已知向量(4,2)=-a ，(,1)x =b ． （I ） 若a ,b 共线，求x 的值； （II ）若a ⊥b ，求x 的值；（III ）当2x =时，求a 与b 的夹角θ的余弦值.17.（本题满分9分）已知02απ<<,4sin 5α=. （I ）求cos α的值； （II ）求tan()4πα+的值；（III ）求sin()cos()tan()2cos()ππαααπα---+的值.18. （本题满分8分）函数()2sin(2)3f x x π=-的部分图象如右图所示．（I ）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值； （II ）求()f x 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值．19. （本题满分7分） （Ⅰ）证明：函数4()f x x x=+在(0,2]上是减函数； （Ⅱ）已知函数()af x x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在上是减函数，在)+∞上是增函数.设常数(1,9)a ∈，求函数()af x x x=+在[1,3]x ∈上的最大值和最小值.20. （本题满分7分）对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（Ⅱ）设 ，生成函数()h x ． 若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围.12212()log ,()log ,2,1f x xf x x a b ====yOx0x 0y石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高一数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分．三、解答题：本大题共6个小题，共48分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本题满分8分）解：2{|10210}{|37}A x x x x x =-+≤=≤≤ …………2分 （Ⅰ）5a =，{|05}B x x ∴=<<{|07}A B x x ∴⋃=<≤， …………4分 {|35}A B x x ⋂=≤< …………5分（Ⅱ）若A B φ⋂≠，则3a > …………8分16.（本题满分9分）解：（I ）a ,b 共线，412x ∴⨯=-，2x ∴=-； …………3分（II ）a ⊥b ，420x ∴-=，12x ∴=； …………6分（III ）当2x =时，42216b ⋅=⨯-⨯=a ，||25,||5==a b ，3cos 5||||a b a b θ⋅∴==. …………9分17. （本题满分9分） 解：（I ）02απ<<,4sin 5α=，3cos 5α∴=； …………2分（II ）4tan 3α=…………4分 tan()74πα+=- …………6分（III ）sin()cos()tan()2cos()ππαααπα---+=sin cos cot cos αααα-=3sin cot cos 5ααα-=-=-. …………9分18. （本题满分8分）解：（I ） ()f x 的最小正周期为π,0512x π=,02y =. …………4分 （II ）因为[,]46x ππ∈-，所以52[,0]36x ππ-∈-. 于是，当203x π-=，即6x π=时，()f x 取得最大值0；当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最大值2- …………8分19.（本题满分7分）（Ⅰ）证明：设12,x x 是(0,2]内的任意两个不相等的实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，2121212121121221212121214444()()()()()4()(4)4()()(1)y f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∆=-=+-+=-+---=-+=--=∆⋅1202x x <<≤，1204x x ∴<<，1240x x ∴-<， 0y ∴∆<.因此，函数4()f x x x=+在(0,2]是减函数. …………3分 （Ⅱ）(1,9)a ∈，13∴<< …………4分所以，函数()af x x x=+在上是减函数，在上是增函数.x ∴=当()f x有最小值 …………5分又(1)1,(3)33a f a f =+=+， 最大值进行如下分类讨论：（ⅰ）当(1)(3)f f ≥时，即39a ≤<时，当1x =时，函数()f x 有最大值1a +；……6分 (1)(3)f f <13a <<3x =()f x 3a+20．（本题满分7分）解：（Ⅰ）① 设sin cos sin()3a x b x x π+=+，即1sin cos sin 2a x b x x x +=+，取1,2a b ==，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数． …………2分② 设222()(1)1a x x b x x x x -+++=-+，即22()()1a b x a b x b x x +--+=-+，则111a b a b b +=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，该方程组无解．所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数． …4分 （Ⅱ）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=-- 设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--，max 5y =-，故，5t <-． ………7分【如有不同解法，请参考评分标准酌情给分】。
2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编-函数
1.（2015年1月·延庆期末·5．函数x x y -+-=31的定义域为A ．)3,1(B ．]3,1[C ．),3()1,(+∞-∞D ．),0()0,1(+∞2.（2015年1月·丰台期末·2．函数()lg(1)f x x x =+-的定义域为（ ）A ．(]1,0B ．[)1,0C ．[]1,0D ．()1,03.（2015年1月·顺义期末·3.下列各组函数中表示同一函数的是 A. 2y x =和2()y x = B. ||y x =和33y x =C.2log a y x =和2log a y x =(0,1)a a >≠D.y x =和log x a y a =(0,1)a a >≠ 4.（2015年1月·顺义期末·7.有下列四个命题： ①||,y x ={}2,1,0,1,2x ∈--，则它的值域为{}0,1,4； ②2,2,y x x x R =≠∈，则它的值域为{}|0,4y y y ≥≠，③211x y x -=-，则它的值域为{}|,2y y R y ∈≠；④1y x =-，则它的值域为{}|0y y ≥.其中正确命题的个数为A.1B.2C.3D. 45.（2015年1月·海淀期末·4.下列函数中，既是奇函数又是(1,1)-上的增函数的是A. 2x y =B. tan y x =C. 1y x -=D. cos y x = 6.（2015年1月·海淀期末·5.函数1,0,1,0x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩的值域是A. RB. [0,)+∞C. [1,)-+∞D. (1,)-+∞7.（2015年1月·丰台期末·3．下列函数中是偶函数且在区间(0,)+∞内为单调递增函数的是（ ）A ．x y cos =B ．12y x =C ．2x y -=D ．23log y x =8.（2015年1月·东城期末·3. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是A ．1y x=B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．2log (1)y x =+ 10.（2015年1月·东城期末·16．对于任意两个实数1x ，2x ，定义11212212,,max(,),.x x x x x x x x ≥⎧=⎨<⎩若2()2,()f x x g x x =-=-，则max((),())f x g x 的最小值为________.11.（2015年1月·昌平期末·13）已知函数3, 1,(),1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则((1))f f =_______ ；若()2f x =，则x = .12.（2015年1月·昌平期末·15）已知函数2()23f x x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 __________ .13.（2015年1月·西城期末·4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则实数m 的取值范围是_____．14.（2015年1月·海淀期末·13. 函数22y x x =-在区间[1,2)-上的值域为___.15.（2015年1月·顺义期末·13．已知二次函数()f x 满足(0)3f =-，(1)(3)0f f =-=，那么()f x = ．16.（2015年1月·顺义期末·14．定义在R 上的偶函数cx bax x f ++=2)(的图象如图所示，则实数a 、b 、c 的大小关系是____________ .17.（2015年1月·海淀期末·14. 方程3221x x +=的解的个数为_____，若有解，则将其解按四舍五入精确到个位，得到的近似解为______.18.（2015年1月·海淀期末·16.已知函数：2y x =，2log y x =，2x y =， sin y x =，cos y x =，tan y x =.从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的 图象如图所示，则()F x =_____.19.（2015年1月·昌平期末·16）已知函数2()sin 11xf x x x =+++的最大值为M,最小值为m ,则m M +=_______ .20.（2015年1月·石景山期末·5. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：(1)2f =- (1.5)0.625f = (1.25)0.984f =-(1.375)0.260f =-(1.438)0.165f =(1.4065)0.052f =-那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ． 1.5xy1 O第16题图22.（2015年1月·丰台期末·15．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于原点对称．当0>x 时，()ln f x x =，则(e)f -= ；23.（2015年1月·密云期末·14.给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个判断：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图象的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1；④函数=()y f x 在13]22（，上是增函数． 则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号)24.（2015年1月·丰台期末·16． 如图，某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形ABC ．开机后它从Ａ点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6米改变一次运动方向（假设按此方式无限运动下去）．运动过程中随时记录逆时针运动的总路程1s 和顺时针运动的总路程2s ．x为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时 x =1s ，顺时针运动时x =2s -．机器人到A 点的距离d 与x 满足函数关系d =()f x ．现有如下结论： ①()f x 的值域为[0,1]； ②()f x 是以3为周期的函数； ③()f x 是定义在R 上的奇函数； ④()f x 在区间[3,2]--上单调递增． 其中正确的有 （写出所有正确结论的编号）．25.（2015年1月·顺义期末·17．（本题满分13分） 已知函数1()f x kx x=-，且(1)1f =． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）判断函数在),0(+∞上的单调性，并用定义加以证明．26.（2015年1月·延庆期末·24.（本题12分）设函数54)(2--=x x x f . （Ⅰ）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（Ⅱ）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图像位于函数)(x f 图像的上方.解：27.（2015年1月·西城期末·6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．28.（2015年1月·顺义期末·18．（本小题共13分） 已知函数()mf x x x=+，且此函数图象过点(1,5) ． （Ⅰ）求实数m 的值并判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）判断函数()f x 在[)2,+∞上的单调性，并用定义证明你的结论.29.（2015年1月·顺义期末·19．（本小题共14分）1y (毫克)为了预防冬季流感，某学校对教室用药熏消毒法 进行消毒.已知药物释放过程中室内每立方米空气 中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比， 药物释放完毕后y 与t 的函数关系式为：1()4t a y -=，（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （Ⅱ）据测定当空气中每立方米的含药量降低到0.5 毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放完毕，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.30.（2015年1月·石景山期末·19. （本题满分7分） （Ⅰ）证明：函数4()f x x x=+在(0,2]上是减函数； （Ⅱ）已知函数()af x x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(0,]a 上是减函数，在[,)a +∞上是增函数.设常数(1,9)a ∈，求函数()af x x x=+在[1,3]x ∈上的最大值和最小值.31.（2015年1月·密云期末·19. （本小题满分13分） 设二次函数2()f x ax bx c =++0,a x R ≠∈满足条件： ①21()(1)2≤≤+x f x x ，②(1)(1)-+=--f x f x ；③()f x 在R 上的最小值为0. （I ）求(1)f 的值； （II ）求()f x 的解析式；（III ）求最大值(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[]1,x m ∈，都有()f x t x +≤成立.32.（2015年1月·石景山期末·20. （本题满分7分）对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+；第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（Ⅱ）设 ，生成函数()h x ． 若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围.33.（2015年1月·昌平期末·19）(本小题共15分)已知函数()2f x x x x =-.（I ）判断函数()f x 的奇偶性并求函数()f x 的零点； （II ）写出()f x 的单调区间；（只需写出结果） （III ）试讨论方程()f x m =的根的情况.34.（2015年1月·昌平期末·21）(本小题共13分)已知函数()f x 对任意,a b ∈R ,都有()()2()()f a b f a b f a f b ++-=⋅，且(0)0f ≠. （I ） 求(0)f ；（II ）证明：函数()f x 为偶函数；(Ⅲ) 存在正数m ，使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值(0)T ≠.35.（2015年1月·东城期末·21.（本题满分8分）已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R .（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得12212()log ,()log ,2,1f x xf x x a b ====36.（2015年1月·房山期末·22）（本小题满分12分）设)(x f 和()g x 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的x M ∈，都有(())(())f g x g f x =成立，称函数)(x f 与()g x 在M 上互为“H 函数”．（Ⅰ）若函数()21f x x =+，()32g x x =+，判断)(x f 与()g x 在R 上是否互为“H 函数”； （Ⅱ）若函数()2f x x =与()sin g x x =在M 上互为“H 函数”，求集合M ；（Ⅲ）若函数xa x f =)(（0a >，1a ≠）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”，求a 的取值范围．（2015年1月·西城期末·8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+． 设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+； （Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．37.（2015年1月·密云期末·20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P . （Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①2x y =； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ），求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.38.（2015年1月·海淀期末·19.本题满分12分已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：“对于区间(0,)+∞上的任意,a b ，都有()()f a b f b +>成立”. （Ⅰ）求(0)f 的值，并指出()f x 在区间(0,)+∞上的单调性； （Ⅱ）用增函数的定义证明：函数()f x 是(,0)-∞上的增函数；（Ⅲ）判断()f x 是否为R 上的增函数，如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例.yO x1 1。
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2015年北京市各区县高一期末试题分类汇编——函数（2015年1月·延庆期末·5．函数x x y -+-=31的定义域为A ．)3,1(B ．]3,1[C ．),3()1,(+∞-∞D ．),0()0,1(+∞（2015年1月·丰台期末·2．函数()lg(1)f x x -的定义域为（ ） A ．(]1,0 B ．[)1,0C ．[]1,0D ．()1,0（2015年1月·顺义期末·3.下列各组函数中表示同一函数的是A. y =2y = B. ||y x =和y =C.2log a y x =和2log a y x =(0,1)a a >≠D.y x =和log x a y a =(0,1)a a >≠ （2015年1月·顺义期末·7.有下列四个命题： ①||,y x ={}2,1,0,1,2x ∈--，则它的值域为{}0,1,4； ②2,2,y x x x R =≠∈，则它的值域为{}|0,4y y y ≥≠，③211x y x -=-，则它的值域为{}|,2y y R y ∈≠；④y ={}|0y y ≥.其中正确命题的个数为A.1B.2C.3D. 4（2015年1月·海淀期末·4.下列函数中，既是奇函数又是(1,1)-上的增函数的是BA. 2x y =B. tan y x =C. 1y x -=D. cos y x = （2015年1月·海淀期末·5.函数1,0,1,0x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩的值域是CA. RB. [0,)+∞C. [1,)-+∞D. (1,)-+∞（2015年1月·丰台期末·3．下列函数中是偶函数且在区间(0,)+∞内为单调递增函数的是（ ）A ．x y cos =B ．12y x =C ．2x y -=D ．23log y x =（2015年1月·东城期末·3. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是A ．1y x=B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－x D ．2log (1)y x =+ （2015年1月·房山期末·9）心理学家发现，在特定条件下，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间t （单位：分）满足函数关系2y at bt c =++（a ，b ，c 是常数），下表记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，若要学生达到最强接受能力，提出概念所用的时间为 （A ）10分钟 （B ）12分钟 （C ）13分钟 （D ）14分钟（2015年1月·东城期末·16．对于任意两个实数1x ，2x ，定义11212212,,max(,),.x x x x x x x x ≥⎧=⎨<⎩若2()2,()f x x g x x =-=-，则max((),())f x g x 的最小值为________.1-（2015年1月·昌平期末·13）已知函数3, 1,(),1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则((1))f f =_______ ；若()2f x =，则x = .13， 3log 2 （2015年1月·昌平期末·15）已知函数2()23f x x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 __________ .[1,2]（2015年1月·西城期末·4．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是减函数．若()(2)f m f >，则实数m 的取值范围是_____．(2,2)-（2015年1月·海淀期末·13. 函数22y x x =-在区间[1,2)-上的值域为__[1,3]- _. （2015年1月·顺义期末·13．已知二次函数()f x 满足(0)3f =-，(1)(3)0f f =-=，那么()f x = 223x x +- ． （2015年1月·顺义期末·14．定义在R 上的偶函数cx bax x f ++=2)(的图象如图所示， 则实数a 、b 、c 的大小关系是____a c b >>__ ______ .（2015年1月·海淀期末·14. 方程3221x x +=的解的个数为_____，若有解，则将其解按四舍五入精确到个位，得到的近似解为____ 1 ， 3 __.（2015年1月·海淀期末·16.已知函数：2y x =sin y x =，cos y x =，tan y x =.从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的 图象如图所示，则()F x =__2sin x x +___.（2015年1月·昌平期末·16）已知函数2()sin 11f x x x =+++的最大值为M,最小值为m ,则m M +=_______ . 2（2015年1月·石景山期末·5. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算， 参考数据如下表：那么方程32220x x x +--=的一个近似根精确到为 A ．1.2 B ．1.3C ．1.4D ． 1.5（2015年1月·密云期末·7.如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数关系为)(x f y =，则)(x f y =的图象是 A（2015年1月·丰台期末·15．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于原点对称．当0>x 时，()ln f x x =，则(e)f -= ； 1-（2015年1月·密云期末·14.给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个判断：①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图象的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1；④函数=()y f x 在13]22（，上是增函数． 则上述判断中正确的序号是 .(填上所有正确的序号) ①③④（2015年1月·丰台期末·16． 如图，某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形ABC ．开机后它从Ａ点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6米改变一次运动方向（假设按此方式无限运动下去）．运动过程中随时记录逆时针运动的总路程1s 和顺时针运动的总路程2s ．x 为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时 x =1s ，顺时针运动时x =2s -．机器人到A 点的距离d 与x 满足函数关系d =()f x ．现有如下结论：①()f x 的值域为[0,1]； ②()f x 是以3为周期的函数；③()f x 是定义在R 上的奇函数； ④()f x 在区间[3,2]--上单调递增．其中正确的有 （写出所有正确结论的编号）．①②④ （2015年1月·顺义期末·17．（本题满分13分） 已知函数1()f x kx x=-，且(1)1f =． （Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）判断函数在),0(+∞上的单调性，并用定义加以证明．解：（Ⅰ）由(1)1f =得2k =；-----------------------------------------6分（Ⅱ）为增函数．在),0(+∞任取两数1x ，2x ．设210x x >>，则2121212112111()()(2)(2)()(2)f x f x x x x x x x x x -=---=-+因为210x x >>，所以210x x ->，21120x x +>， 所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 为增函数．------13分（2015年1月·延庆期末·24.（本题12分）设函数54)(2--=x x x f .（Ⅰ）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（Ⅱ）当2>k 时，求证：在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图像位于函数)(x f 图像的上方.解：24.（本题12分） 解]：（Ⅰ）…………………………3分（Ⅱ）当]5,1[-∈x 时，54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g )53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x ， ………………………5分 ∵ 2>k ，∴124<-k. ………………………6分 ① 当1241<-≤-k ，即62≤<k 时，取24kx -=， min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . ∵ ,64)10(162<-≤k ，∴064)10(2<--k 则0)(min >x g .………9分② 当124-<-k，即6>k 时，取1-=x ，min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知，当2>k 时，在]5,1[-∈x 上0)(>x g ，∴在区间]5,1[-上，)3(+=x k y 的图像位于函数)(x f 图像的上方.……12分（2015年1月·西城期末·6．（本小题满分10分）已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. 【 2分】由212a-=，得0a =. 【 4分】 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)(2)f f =成立， 【 2分】 所以 20a -=， 得0a =. 【 4分】 （Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22ax -=. ① 当202a-≤，即 2a ≥时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(0)2f a =-. 【 6分】② 当2012a-<<，即 02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a-上单调递增， 所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为222()()22a a f -+=-. 【 8分】 ③ 当212a-≥，即 0a ≤时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上的最小值为(1)(1)f a =-+. 【10分】（2015年1月·顺义期末·18．（本小题共13分） 已知函数()mf x x x=+，且此函数图象过点(1,5) ． （Ⅰ）求实数m 的值并判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）判断函数()f x 在[)2,+∞上的单调性，并用定义证明你的结论. 解：（Ⅰ）Q ()f x 过点()1,5 ∴4m =.————————2分 ∴()4fx x x =+定义域是()(),00,-∞+∞U ， Q ()4f x x x-=--()f x =- ∴()f x 是奇函数 ；————６分（Ⅱ）()f x 在[)2,+∞上单调递增.———８分 证明：任取[)12,2,x x ∈+∞，,不妨设122x x ≤<,()()21212144f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112124x x x x x x --=;——————10分 当122x x ≤<时，Q 1240x x ->，210x x ->，120x x >，∴()()210f x f x ->∴()()21f x f x >;∴()f x 在[)2,+∞上单调递增.————————————1３分（2015年1月·顺义期末·19．（本小题共14分） 为了预防冬季流感，某学校对教室用药熏消毒法 进行消毒.已知药物释放过程中室内每立方米空气 中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比， 药物释放完毕后y 与t 的函数关系式为：1()4t a y -=，（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（Ⅱ）据测定当空气中每立方米的含药量降低到0.5 毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放完毕，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室.1９. （本小题共14分） （Ⅰ）由图形可设y kt =(00.1)t ≤≤，———２分把点(0.1,1)分别代入y kt =和1()4t ay -=，解得10,0.1k a ==．———８分∴0.110,(00.1)1(),(0.1)4t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩．———１０分 （Ⅱ）依题意0.111()0.542t -<=，解得0.6t > ，又 0.60.10.5-= ∴药物释放完毕0.5小时后学生才能回到教室．———１４分))（2015年1月·石景山期末·19. （本题满分7分） （Ⅰ）证明：函数4()f x x x=+在(0,2]上是减函数； （Ⅱ）已知函数()af x x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在上是减函数，在)+∞上是增函数.设常数(1,9)a ∈，求函数()af x x x=+在[1,3]x ∈上的最大值和最小值. （Ⅰ）证明：设12,x x 是(0,2]内的任意两个不相等的实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，2121212121121221212121214444()()()()()4()(4)4()()(1)y f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∆=-=+-+=-+---=-+=--=∆⋅1202x x <<≤，1204x x ∴<<，1240x x ∴-<， 0y ∴∆<.因此，函数4()f x x x=+在(0,2]是减函数. …………3分 （Ⅱ）(1,9)a ∈，13∴<< …………4分所以，函数()af x x x=+在上是减函数，在上是增函数. x ∴=当()f x有最小值 …………5分又(1)1,(3)33a f a f =+=+， 最大值进行如下分类讨论：（ⅰ）当(1)(3)f f ≥时，即39a ≤<时，当1x =时，函数()f x 有最大值1a +；……6分 （ⅱ）当(1)(3)f f <时，即13a <<时，当3x =时，函数()f x 有最大值33a+. ……7分 （2015年1月·密云期末·19. （本小题满分13分）设二次函数2()f x ax bx c =++0,a x R ≠∈满足条件：①21()(1)2≤≤+x f x x ， ②(1)(1)-+=--f x f x ； ③()f x 在R 上的最小值为0.（I ）求(1)f 的值； （II ）求()f x 的解析式；（III ）求最大值(1)m m >，使得存在t R ∈，只要[]1,x m ∈，都有()f x t x +≤成立. 解：(I) ∵)1(21)(2x x f x +≤≤在R 上恒成立， ∴211(1)(11)12f ≤≤+= 即(1)1f =. ---------------------------2分 （II ）∵(1)(1)-+=--f x f x ，∴函数图象关于直线1x =-对称，∴1,2.2bb a a-=-= ∵(1)1f =，∴1a b c ++= ---------------------------4分 又∵()f x 在R 上的最小值为0，∴(1)0f -=，即0a b c -+=， 由210b a a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得1412a cb ⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴2111()424f x x x =++； -------------7分 （III ）∵当[1,]x m ∈时， ()f x t x +≤恒成立，∴(1)1f t +≤且()f m t m +≤，由(1)1f t +≤得240t t +≤，解得40t -≤≤ ---------------9分由()f m t m +≤得：222(1)210m t m t t --+++≤，解得11t m t -≤≤-……………（10分）∵40t -≤≤，∴11(4)9m t ≤-≤--=，---------------11分 当4t =-时，对于任意[1,9]x ∈，恒有211(4)(109)(9)(1)044f x x x x x x --≤-+=--≤， ∴m 的最大值为9. -------------------12分 另解：（酌情给分）2()(1)4f x t x x t x +≤⇔++≤且[1,]x m ∈⇔11t x t x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩在[1,]m 上恒成立⇔max min(1)(1)t x t x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩∵1y x =--在[1,]m上递减，∴max (1)4x --=-，∵1y x =-+在[1,]m 上递减，∴2min (1)11)x m -+=-+=-∴241)t -≤≤-，∴21)4-≥-，21)4≤，∵1m >12≤，∴9m ≤，∴m 的最大值为9（2015年1月·石景山期末·20. （本题满分7分）对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由；第一组：12()sin ,()cos ,()sin()3f x x f x x h x x π===+； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（Ⅱ）设 ，生成函数()h x ． 若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围.解：（Ⅰ）① 设sin cos sin()3a x b x x π+=+，即1sin cos sin 2a x b x x x +=，取1,2a b ==，所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数． …………2分 ② 设222()(1)1a x x b x x x x -+++=-+，即22()()1a b x a b x b x x +--+=-+， 则111a b a b b +=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，该方程组无解．所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数． …4分 （Ⅱ）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--，max 5y =-，故，5t <-． ………7分（2015年1月·昌平期末·19）(本小题共15分) 已知函数()2f x x x x =-.（I ）判断函数()f x 的奇偶性并求函数()f x 的零点；（II ）写出()f x 的单调区间；（只需写出结果）（III ）试讨论方程()f x m =的根的情况.解：（Ⅰ）因为()()2()f x x x x -=----2x x x =-+(2)x x x =--()f x =-,…………………2分 所以()f x 为奇函数.…………………3分 令()0f x =,即20x x x -=,(2)0x x -=.解得：0,=2, 2.x x x ==-所以函数的零点为2,0,2-.…………………6分 （Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；单调递减区间为(1,1)-.…………………9分 (Ⅲ)当1>1m m <-或时，方程()f x m =有一个根；…………………11分 当1m =±时，方程()f x m =有两个根；…………………13分 当11m -<<时，方程()f x m =有三个根.…………………15分（2015年1月·昌平期末·21）(本小题共13分)已知函数()f x 对任意,a b ∈R ,都有()()2()()f a b f a b f a f b ++-=⋅，且(0)0f ≠. （I ） 求(0)f ；（II ）证明：函数()f x 为偶函数；(Ⅲ) 存在正数m ，使得()0f m =，求满足()()f x T f x +=的1个T 值(0)T ≠.解：（Ⅰ）令0a b ==.则(0)(0)2(0)(0)f f f f +=⋅.因为(0)0f ≠，所以(0)1f =. ………………3分 （Ⅱ）令0,a b x ==.则()()2(0)()2()f x f x f f x f x +-=⋅=.所以()()f x f x -=.所以函数()f x 为偶函数. ………………7分(Ⅲ)令,a x b m ==.因为()0f m =,所以()()2()()0f x m f x m f x f m ++-=⋅=. ………………9分即 ()()f x m f x m +=--.………………10分 所以(2)()f x m f x +=-. ………………11分所以(4)(2)()f x m f x m f x +=-+=.所以满足(+)()f x T f x =的一个T 值为4m . ………………13分 （2015年1月·东城期末·21.（本题满分8分）已知函数2()43f x x x a =-++,a ∈R .（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求 a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()52g x bx b =+-，b ∈R .当0a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得12()()f x g x =，求b 的取值范围．21．（本题满分8分）解：（Ⅰ）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点，则方程()0f x = 的判别式0∆<，即164(3)0a -+<，解得1a >.（Ⅱ）2()43f x x x a =-++的对称轴是2x =，所以()y f x =在[1,1]-上是减函数，()y f x =在[1,1]-上存在零点，则必有：(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≥⎩，即080a a ≤⎧⎨+≥⎩， 解得：80a -≤≤，故实数 的取值范围为80a -≤≤；（Ⅲ）若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使12()()f x g x =，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =值域的子集.当0a =时，2()43f x x x =-+的对称轴是2x =，所以()y f x =的值域为[1,3]-. 下面求()52g x bx b =+-，[1,4]x ∈的值域.① 0b =时，()5g x =，不合题意，舍去.② 0b >时，()52g x bx b =+-的值域为[5,52]b b -+，只需要5152 3.b b -≤-⎧⎨+≥⎩， 解得6b ≥. ③ 0b <时，()52g x bx b =+-的值域为[52,5]b b +-，只需要5215 3.b b +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3b ≤-. 综上：实数b 的取值范围6b ≥或3b ≤-.（2015年1月·房山期末·22）（本小题满分12分）设)(x f 和()g x 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的x M ∈，都有(())(())f g x g f x =成立，称函数)(x f 与()g x 在M 上互为“H 函数”．（Ⅰ）若函数()21f x x =+，()32g x x =+，判断)(x f 与()g x 在R 上是否互为“H 函数”； （Ⅱ）若函数()2f x x =与()sin g x x =在M 上互为“H 函数”，求集合M ；（Ⅲ）若函数x a x f =)(（0a >，1a ≠）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”，求a的取值范围．解：（Ⅰ）)(x f 与()g x 在R 上互为“H 函数” -----------------1分x ∀∈R ,由()21f x x =+，()32g x x =+，则(())2(32)1f g x x =++， -----------------1分(())3(21)2g f x x =++ -----------------1分(())(())f g x g f x = -----------------1分所以)(x f 与()g x 互为“H 函数”（Ⅱ）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= -----------------1分化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x -----------------1分 解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈， -----------------1分 即集合{|,}M x x k k Z ==π∈ -----------------1分 （Ⅲ）由))(()((x f g x g f =得11+=+x x a a （0>a 且1≠a ）变形得，1)1(=-a a x ， -----------------2分由于0>a 且1≠a ，11-=a a x ， 因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a -----------------2分 （2015年1月·西城期末·8．（本小题满分10分）定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：① 对任意x ∈R ，有(2)()2f x f x +≥+；② 对任意x ∈R ，有(3)()3f x f x +≤+． 设()()g x f x x =-．（Ⅰ）证明：(3)()(2)g x g x g x +≤≤+；（Ⅱ）若(4)5f =，求(2014)f 的值．（Ⅰ）证明：因为()()g x f x x =-，所以(2)(2)2g x f x x +=+--，(3)(3)3g x f x x +=+--．由条件①，②可得(2)(2)2()22()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≥+--=-=； ③ 【 2分】 (3)(3)3()33()()g x f x x f x x f x x g x +=+--≤+--=-=． ④ 【 4分】 所以(3)()(2)g x g x g x +≤≤+．（Ⅱ）解：由③得 (2)()g x g x +≥，所以(6)(4)(2)()g x g x g x g x +≥+≥+≥． 【 6分】由④得 (3)()g x g x +≤，所以(6)(3)()g x g x g x +≤+≤． 【 7分】 所以必有(6)()g x g x +=，即()g x 是以6为周期的周期函数． 【 8分】 所以(2014)(33564)(4)(4)41g g g f =⨯+==-=． 【 9分】 所以(2014)(2014)20142015f g =+=． 【10分】 （2015年1月·密云期末·20.（本小题满分13分）若函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，则称函数)(x f 具有性质P .（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由.①2x y =； ②3y x =.（Ⅱ）若函数)(x f 具有性质P ，且(0)()0f f n ==（2,n >n ∈*N ）， 求证：对任意{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f .若成立给出证明，若不成立给出反例.（Ⅰ）证明：①函数()2x f x =具有性质P .11(1)(1)2()222220x x x x f x f x f x -+-++-=+-⋅=>，……………1分即)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，此函数为具有性质P .……………2分②函数3)(x x f =不具有性质P . ……………3分例如，当1x =-时，(1)(1)(2)(0)8f x f x f f -++=-+=-，2()2f x =-，所以，)1()0()2(-<+-f f f ，……………4分此函数不具有性质P .（Ⅱ）假设)(i f 为(1),(2),,(1)f f f n -中第一个大于0的值，则0)1()(>--i f i f ，因为函数()f x 具有性质P ，所以，对于任意n ∈*N ，均有(1)()()(1)f n f n f n f n +-≥--，所以0)1()()2()1()1()(>--≥≥---≥--i f i f n f n f n f n f ， 所以()[()(1)][(1)()]()0f n f n f n f i f i f i =--+++-+>， 与0)(=n f 矛盾，所以，对任意的{1,2,3,,1}i n ∈-有()0f i ≤. ……………9分（Ⅲ）不成立. 例如2()()x x n x f x x x -⎧=⎨⎩为有理数，为无理数.……………10分 证明：当x 为有理数时，1,1x x -+均为有理数，222(1)(1)2()(1)(1)2(112)2f x f x f x x x x n x x x -++-=-++---++-=， 当x 为无理数时，1,1x x -+均为无理数，22)1()1()(2)1()1(222=-++-=-++-x x x x f x f x f所以，函数)(x f 对任意的x ∈R ，均有)(2)1()1(x f x f x f ≥++-，即函数)(x f 具有性质P . ……………12分 而当],0[n x ∈（2n >）且当x 为无理数时，0)(>x f .所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意[0,]x n ∈均有0)(≤x f ”不成立.……………13分 （其他反例仿此给分，如0()1x x f x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数,，，0,()1,x x f x ⎧=⎨⎩为整数,为非整数,20,(),x x f x x ⎧=⎨⎩为整数,为非整数,等.）（2015年1月·海淀期末·19.本题满分12分已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：“对于区间(0,)+∞上的任意,a b ，都有()()f a b f b +>成立”.（Ⅰ）求(0)f 的值，并指出()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）用增函数的定义证明：函数()f x 是(,0)-∞上的增函数；（Ⅲ）判断()f x 是否为R 上的增函数，如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例.19.本题满分12分解：（Ⅰ）因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以(0)(0)f f =--，即(0)0f =.----------------------------------------------------2分 ()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）法1：任取12,x x ∈(,0)-∞，且120x x x ∆=->，则120,0x x ->->，----------------5分 因为对于区间(0,)+∞上的任意,a b ，都有()()f a b f b +>成立， 所以211()()()f x f x x f x -=-+∆>-，即21()()0f x f x --->.-------------------7分 因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以1221()()()()0y f x f x f x f x ∆=-=--->---------------------------------------8分 所以函数()f x 是(,0)-∞上的增函数.--------------------------------------------------9分 法2：任取12,x x ∈(,0)-∞，且120x x <<，则120x x ->->，且210x x ->，------5分 因为对于区间(0,)+∞上的任意,a b ，都有()()f a b f b +>成立， 所以2212[()]()f x x x f x -+->-，即12()()f x f x ->-.-----------------------------7分 因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <，--------------------------------------------8分 所以函数()f x 是(,0)-∞上的增函数. --------------------------------------------------9分 （Ⅲ）()f x 不一定是R 上的增函数. ---------------------------------------------10分 反例如下： 令1,0,()0,0.x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩或者1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩-----------------------------------------12分。