安徽省芜湖市第一中学2014_2015学年高二数学上学期期末考试试卷文(无答案)

芜湖一中2014—2015学年第一学期期末考试高二数学（文科）试卷一、选择题（每题3分，共30分，答案写在答题卷上） 1．下列命题中正确的命题的是A ．平行于同一平面的两条直线平行B ．与同一平面成等角的两条直线平行C ．垂直于同一平面的两条直线平行D ．垂直于同一直线的两条直线平行 2．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B，且AB =则实数x 的值是A ．3-或4B ．6-或2C ．3或4-D ．6或2-3．过点(4,1)P -且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是A ．43130x y +-=B ．43190x y --=C ．34160x y --=D ．3480x y +-=4．一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是43π,则正方体的表面积是 A ．8 B ．6 C ．4 D ．3 5．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB =，则1AC 与平面11BBC C 所成的角的正弦值为 A ．22 B ．515 C ．46 D ．366．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．54B ．60C ．66D ．728．如图:直三棱柱'''ABC A B C -的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱'AA 和'CC 上，'AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积为 A ．5V B ．4V C ．3V D ．2VQPC'B'A'CBA9．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-= 相切，则圆C 面积的最小值为A ．45π B ．34π C．(6π- D ．54π10．已知点,,P A B 共面，且2,2,AB PA PB ==若记P 到AB 中点O 的距离的最大值为1d ，最小值为2d ，则12d d -的值是A ．73B ．103C ．3D ．83二、填空题（每题4分，共20分，答案写在答题卷上）11．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．（11题图） （13题图）12．已知直线220x y k -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数k 的取值范围是___________．13．如图，已知可行域为ABC ∆及其内部，若目标函数z kx y =+当且仅当在点B 处取得最大值，则k 的取值范围是 ． 14．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线． 其中正确的命题是 ．15．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是________．三、解答题（6题，共50分，答案写在答题卷上）16．（本题8分）求经过直线1:3450L x y +-=与直线2:2380L x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线方程．（1）与直线250x y ++=平行； （2）与圆22(2)4x y -+=相切．17．（本题8分）已知方程04222=+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）求m的值．18．（本题8分）如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD＝90°.（1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．（本题8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC CA ==，AB BC =，D 是1BC 上一点，CD ⊥ 平面1ABC ．（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ； （2）求异面直线1AC 与BC 所成的角．20．（本题9分）在如图所示的四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥面ABCD ，//AB DC ，90DAB ∠=，1,2PA AD DC AB ====，M 为PB 的中点．（1）求证：MC ∥平面PAD ；（2）求直线MC 与平面PAC 所成角的余弦值； （3）求二面角A PB C --的平面角的正切值．21．（本题9分）如图所示，已知直线l ：y ＝x ，圆C 1的圆心为点(3，0)，且经过点A (4，1)． (1)求圆C 1的方程；(2)若圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，点B 、D 分别为圆C 1、C 2上任意一点，求|BD |的最小值；(3)已知直线l 上一点M 在第一象限，点P 、Q 同时从原点出发，点P 以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向运动，点Q 以每秒22个单位的速度沿射线OM 方向运动，设运动时二、填空题（每题4分，共20分）DA1CBC1A1B11． 3：1：2 12． 110k k -≤≤≠且 13． 122k -<< 14． ①③④ 15． 5 三、解答题（共50分） 16．（8分） 解：⎩⎨⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=21y x ，所以交点（-1，2）--------2分（1）直线方程为02=+y x --------4分 （2）直线方程为2=y -----6分和122(1)5y x -=-+------8分 17．（8分）解：（1）由D 2+E 2-4F=4+16-4m =20-4m >0，得m <5．--------3分 （2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，由OM ⊥ON 得x 1x 2+ y 1y 2=0。

将直线方程x +2y -4=0与曲线C ：x 2+y 2-2x -4y +m =0联立并消去y 得5x 2-8x +4m -16=0，由韦达定理得x 1+x 2=58①,x 1x 2=5164-m ②， 又由x +2y -4=0得y =21(4-x ), ∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+21(4-x 1)·21(4-x 2)=45x 1x 2-( x 1+x 2)+4=0 将①、②代入得m =58．--------8分 18．（8分）（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由∠BCD=90°，得BC ⊥DC ，又PD ∩DC=D ，PD 平面PCD ，DC平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ，因为PC平面PCD ，所以PC ⊥BC ．--------4分（2）解：连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ，因为AB ∥DC ，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°， 从而由AB=2，BC=1，得△ABC 的面积S △ABC =1，由PD ⊥平面ABCD 及PD=1， 得三棱锥P-ABC 的体积，因为PD ⊥平面ABCD ，DC平面ABCD ，所以PD ⊥DC ，又PD=DC=1，所以，由PC ⊥BC ，BC=1，得△PBC 的面积，由，得，因此，点A 到平面PBC 的距离为．--------8分19．（10分）（1）略证：易证1,AB CC AB CD ⊥⊥,可得AB ⊥平面11BCC B --------4分（2）转化为1AC 与11B C 所成的角，在△11AB C 中可求113B C A π∠=--------8分20．（9分） 解：（1）如图，取PA 的中点E ，连接ME ，DE ，∵M 为PB 的中点，∴EM//AB ,且EM= 12AB . 又∵//AB DC ，且12DC AB =，∴EM//DC ，且EM =DC ∴四边形DCME 为平行四边形,则MC ∥DE ，又MC ⊄平面PAD, DE ⊂平面PAD 所以MC ∥平面PAD --------3分 （2）取PC 中点N ，则MN ∥BC ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，又22222AC BC AB AC BC +=+=∴⊥,∴BC ⊥平面PAC ，则MN ⊥平面PAC 所以，MCN ∠为直线MC 与平面PAC 所成角，1122NC PC MC PB ====cos NC MCN MC ∴∠==--------6分 （3）取AB 的中点H ，连接CH ，则由题意得CH AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以PA CH ⊥，则CH ⊥平面PAB.所以CH PB ⊥,过H 作HG PB ⊥于G,连接CG ，则PB ⊥平面CGH,所以,CG PB ⊥则CGH ∠为二面角A PB C --的平面角.11,2,PA CH AB PB =∴====则sinPA GH BH PBA BH AB =∠=⋅=tan CHCGH GH ∴∠==故二面角A PB C ----------9分21．（9分）解：（1）依题意，设圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝r 2，因为圆C 1经过点A (4，1)，所以r 2＝(4－3)2＋12＝2.所以圆C 1的方程为(x －3)2＋y 2＝2. --------3分(2)由(1)知圆C 1的圆心坐标为(3，0)，半径为2，C 1到直线l 的距离d ＝2231103=+-， 所以圆C 1上的点到直线l 的最短距离为222223=-. 因为圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，所以｜BD ｜min ＝2×22＝2.--------6分 (3)当运动时间为t 秒时，｜OP ｜＝t ，｜OQ ｜＝22t ，则P (t ，0)，由Q ∈l ，可设点Q 的坐标为(m ，m )(m ＞0)，则m 2＋m 2＝(22t )2，解得m ＝2t ，即Q (2t ，2t )，所以k PQ ＝tt t --202＝2.所以直线PQ 的方程为y ＝2(x －t )，即2x －y －2t ＝0.若直线PQ 与圆C 1相切，则C 1到直线PQ 的距离d ′＝1220322+--⨯t＝2，解得t ＝3±210.即当t ＝3±210时，直线PQ 与圆C 1相切．--------9分。