内蒙古赤峰市数学高三上学期文数第二次月考试卷
内蒙古赤峰二中高三数学上学期第二次月考试题 理
赤峰二中2014级高三上学期第二次月考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.若集合[]{},065,3,22=+-==x x x B A 则=B A ( )A {}3,2 .B φC . 2D .[]3,22.若复数z 满足i zi +=1，则z 的共轭复数是（ ）A .i --1 .B i +1C i +-1D i -13.若函数()⎩⎨⎧>-≤+=0,420,22x x x x f x，则()()1f f 的值为（ ）A 10- .B 10C 2-D 24.已知向量与的夹角为3π，()10,2===-（ ） A 3 .B 32 C 2 D 45.设函数()=x f ()为自然对数的底数e e xx32-，则使()1<x f 成立的一个充分不必要条件是（ ） A 10<<x .B 40<<x C 30<<x D 43<<x6.各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（ ）A 78 .B 48C 60D 727.实数y x ,满足⎩⎨⎧≤+≥10y x xy ，使y ax z +=取得最大值的最优解有两个，则11++=y ax z 的最小值为（ ）A 0 .B 2-C 1D 1-8.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，ABD G ∆为的重心，记==,，则=( )A b a 3121+ .B b a 3121+-C b a 3132+-D b a 6121+-9.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边c b a ,,，若ca c B 22sin 2-=，则ABC ∆的形状一定是（ ）A 直角三角形 .B 锐角三角形C 等腰三角形D 钝角三角形10.若实数0,0>>b a ，且121=+b a ，则当82ba +的最小值为m 时，函数()1ln -=-x e x f mx 的零点个数为（ ）A 0 .B 1C 2D 311.函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πωx A x f ()0>ω的图像与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()x A x g ωcos =的图像，只需将()x f 的图像A 向左平移6π个单位长度 .B 向右平移3π个单位长度 C 向左平移32π个单位长度 D 向右平移32π个单位长度 12．已知R b a ∈,,函数()x x f t a n =在4π-=x 处与直线2π++=b ax y 相切，设()a bx e x g x ++=，若在区间[]2,1上，不等式()22-≤≤m x g m 恒成立，则实数m（ ）A 有最小值e - .B 有最小值22+eC 有最大值1-D 有最大值1+e第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 二．填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.若函数()xx x f 1+=，则()=⎰dx x f e 1__________14.若534cos =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则=α2sin __________ 15.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2112123,2++=-=n nn n a S a S S ，则=n a __________16.在ABC ∆中，2,332sin==∠AB ABC ,点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,则=C cos __________三．解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置） 17. （本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足1,311==b a ，325222,10a b a S b =-=+。
2023年高三420文科数学模拟考试(学生版)——统考
绝密★启用前赤峰市高三年级4·20模拟考试试题文科数学注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,{}1,3U A B = ,(){}2,4U A B = ,则集合B 为（ ） A ．{}1,3,5,6,7,8 B ．{}2,4,5,6,7,8 C ．{}5,6,7,8 D ．{}1,2,3,42、已知复数z z 对应向量的模长为2，则（ ）A ．1z =B ．1z =±+C ．1z =±D ．1z =−±3、在“万众创业”的大背景下，“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点，已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品，2022年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则（ ）A ．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍；B ．该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍；C ．该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍；D ．该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.4、函数()21sin f x x x x=−在()(),00,ππ− 上的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5、九连环是中国杰出的益智游戏，九连环由9个相互连接的环组成，这9个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上)，规则如下:如果要解下(或套上)第n 环，则第1n −号环必须解下(或套上)，1n −往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n 连环所需的最少移动步数为n a ，已知()12121,2,213n n n a a a a a n −−===++≥，若要解下7环最少需要移动圆环步数为（ ） A ．42 B ．85C ．170D ．3416、下列选项中，命题p 是命题q 的充要条件的是（ ） A ．在ABC 中，:p A B >，:sin sin q A B >.B ．已知x ,y 是两个实数，2:230p x x −−≤，:02q x ≤≤.C ．对于两个实数x ,y ,:8p x y +≠，:3q x ≠或5y ≠.D ．两条直线方程分别是1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +−+−=,12:p l l ∥， :2q a =或1−.7、记函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ =+><< 的最小正周期为T .若()f T =,6x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．68、四叶草曲线是数学中的一种曲线，因形似花瓣，又被称为四叶玫瑰线(如右图)，其方程为()322228xy x y +=，玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用。
内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2020届高三数学上学期10月月考试题文(含解析)
内蒙古自治区赤峰市赤峰二中、呼市二中2020届高三数学上学期10月月考试题 文（含解析）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =>，{}2,0,2,4B =-，则()R C A B ⋂等于（ ） A. {}2,0-B. {}2,4C. {}2,0,2-D.{}0,2,4【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的补集交集运算即可求解. 【详解】因为{}|2A x x =>, 所以={|2}R C A x x ≤， 所以(){}2,0,2R C A B -⋂=， 故选C【点睛】本题主要考查了集合交集补集运算，属于容易题. 2.设i 为虚数单位，复数()()12i i +-的实部为（ ） A. 3 B. -3C. 2D. -2【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算法则及复数的概念即可求解. 【详解】因为()()122+213+i i i i i +-=-+=， 所以复数的实部为3， 故选A【点睛】本题主要考查了复数的运算，复数的概念，属于容易题. 3.若函数()f x 是周期为4的奇函数，且()13f =，则()3f =（ ） A. -2 B. 2C. -3D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据周期可知(1)(14)(3)f f f =-=-，再根据奇函数性质即可求解. 【详解】因为函数()f x 是周期为4的奇函数， 所以()()()3113f f f =-=-=-. 故选C【点睛】本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，属于中档题.4.已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A 【解析】 【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可. 【详解】作出可行域如图：由2z x y =+可得：122z y x =-+， 平移直线12y x =-经过点A 时，z 有最大值， 由3010x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩解得(1,2)A ，平移直线12y x =-经过点A 时，z 有最大值， max 145z =+=.故选A【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.5.观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选D【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题 6.已知0m >，0n >，141m n+=，则m n +（ ） A. 有最大值，最大值为6 B. 有最大值，最大值为9 C. 有最小值，最小值为6 D. 有最小值，最小值为9【答案】D 【解析】 【分析】利用()14m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，根据均值不等式，即可求出最值. 【详解】∵()1445n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭4529n mm n≥+⨯=， 当且仅当4n mm n=时等号成立, m n ∴+的最小值为9.【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题. 7.如图是一个程序框图，则输出k 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】【分析】根据程序框图，模拟计算过程即可求解. 【详解】程序框图的执行过程如下：1S =，10k =；1011S =，9k =； 911S =，8k =；811S =，7k =，循环结束. 故选B.【点睛】本题主要考查了程序框图，算法结构，属于中档题.8.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c b a >>，则“ABC ∆为钝角三角形”是“222c a b >+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据大边对大角及余弦定理可求解. 【详解】由c b a >>，有C B A >>，又222222cos 02a b c C c a b ab+-=<⇔>+，故“ABC ∆为钝角三角形”是“222c a b >+”充要条件. 故选C【点睛】本题主要考查了三角形的性质，余弦定理，属于中档题.9.在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=o ，点E 在CD 上，2CE ED =，则AE BE ⋅=uu u r uur（ ）A. 49-B. 29-C.29D.49【答案】B 【解析】 【分析】以向量,AB AD u u u r u u u r 为基底，根据向量加减法的运算可将,AE BE u u u r u u r表示出来，利用数量积法则运算即可.【详解】因为22AB AD ==，60BAD ∠=o ，设1AD =， 则1AB AD ⋅=uu u r uuu r，因为13AE AD DE AD AB =+=+uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r ，23BE AE AB AD AB =-=-uur uu u r uu u r uuu r uu u r ，所以222193AE BE AD AB AB AD ⋅=--⋅uu u r uur uuu r uu u r uu u r uuu r 8121939=--=-.故选B【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，数量积的运算，属于中档题.10.若函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠）的定义域和值域均为[],2t t ，则a 的值为（ ） A. 12或4 B.116C.14或8 D.12或16 【答案】B 【解析】 【分析】分1a >和01a <<讨论，利用函数单调性根据定义域求出值域即可分析出a 的值. 【详解】由题意有0t >， ①当1a >时，()()()2log 22log a a f t t tf t t t ⎧==⎪⎨==⎪⎩，有()log 22log a a t t =，得22t t =，解得2t =， 由log 22a =，解得a =②当01a <<时，()()()2log 2log 2a a f t t tf t t t ⎧==⎪⎨==⎪⎩，有()2log 2log a a t t =，得24t t =，解14t =，代入log 2a t t = ，解得116a =. 故选B【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，值域，分类讨论的思想，属于中档题. 11.已知函数()f x 满足()01f =，且()()'cos sin f x x f x x >，则不等式()cos 10f x x ->的解集为（ ）A. (),1-∞-B. ()1,+∞C. (),0-∞D.()0,∞+【答案】D 【解析】 【分析】令()()cos g x f x x =,利用导数可研究函数为增函数，且原不等式可转化为()()0g x g >，利用单调性即可求解.【详解】令()()cos g x f x x =， 有()()()''cos sin 0g x f x x f x x =->， 故函数()g x 单调递增， 又由()()00cos01g f ==，不等式()cos 10f x x ->可化为()()0g x g >， 则不等式()cos 10f x x ->的解集为()0,∞+. 故选D【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的增减性，根据函数单调性解不等式，属于中档题.12.已知函数()()222,01,0x x a x a x f x a x ⎧+-+>=⎨-≤⎩（0a >，且1a ≠）在R 上单调递增，且关于x 的方程()22f x x =+恰有两个不等的实数解，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,2 B. (]1,2 C. (]{}1,23U D. (){}1,23U【答案】A 【解析】 【分析】先根据分段函数的单调性求出1a >，方程有两根可转化为函数图象有两个不同的交点，作出函数图象，利用图象数形结合即可求解. 【详解】由1xy a =-在(],0-∞上递增，得1a >，又由()f x 在R 上单调递增，则()2022002202a a a ⎧+-⨯+≥⎪⎨-<⎪⎩，解得1a >如图所示，在同一坐标系中作出函数()f x 和22y x =+的图象，当2a <时，由图象可知，(],0-∞上，()22f x x =+有且仅有一个解，在()0,∞+上()22f x x =+同样有且仅有一个解.当2a ≥时，直线22y x =+与(),0y f x x =>相切时有一个交点， 由()22222x a x a x +-+=+（其中0x >），得：()22420x a x a +-+-=，则()()222442420240a a a a ∆=---=-+=， 解得2a =或3a =此时切点横坐标分别为0,1x x ==-与0x >矛盾， 故2a =或3a =不符合题意, 综上所述()1,2a ∈.【点睛】本题主要考查了函数方程与函数的零点，分类讨论思想，数形结合的思想，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量()3,4a =r ，(),2b λ=-r ，若a b ⊥r r，则实数λ的值为______.【答案】83【解析】 【分析】根据向量垂直知其数量积为0,根据坐标计算即可.【详解】∵a b ⊥r r， 0a b ∴⋅=r r,∴380λ-=， ∴83λ=. 故答案为83.【点睛】本题主要考查了向量垂直的条件，属于中档题.14.已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点P 的坐标为()3,4-，则()()sin cos πθπθ-++=______.【答案】75- 【解析】【分析】根据三角函数的定义，求出sin θ，cos θ，利用诱导公式即可求解. 【详解】由题意有4sin 5θ=-，3cos 5θ=， 则()()sin cos sin cos πθπθθθ-++=-437555⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为75-【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于中档题. 15.幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 的值为______.【答案】-1 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.【详解】由幂函数()()2231mm f x m m x+-=--知，211m m --=得2m =或1m =-.当2m =时，()3f x x =在(]0,+∞上是增函数，当1m =-时，()3f x x -=在()0,∞+上是减函数，∴1m =-. 故答案为1-【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.16.已知曲线()3f x x x =-，则过点()1,0P -，且与曲线相切直线方程为______.【答案】22y x =+或1144y x =-- 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】设切点为()3000,Q x x x -，因()2'31f x x =-，所以Q 为切点的切线方程为：()()()32000031y x x x x x --=--，代入点P 坐标有：()()()320000311x x x x --=---，解得：01x =-或012x =. 当01x =-时，切线方程为：22y x =+；当012x =时，切线方程为：1144y x =--.故答案为22y x =+或1144y x =--.【点睛】本题主要考查了函数图象的切线，导数的几何意义，点斜式直线方程，属于中档题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos cos sin sin 1A B A B C -=.（1）求角C的大小；（2）若ABC ∆的面积为c =，求+a b 的值. 【答案】（1）3C π=（2）6a b +=【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式及内角和定理得cos 1C C -=，由二倍角公式得2cos cos 222C C C=，进而求得C; （2）利用面积公式得8ab =，结合余弦定理得()2220a b ab +-=，则+a b 可求 【详解】（1）∵()cos 1A B C +=，∴cos 1C C -=，22cos 11cos 222C C C ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，2cos cos 222C C C =.∵0C π<<，故tan23C =，26C π=，3C π=.（2）由ABC ∆的面积为3C π=，知1sin 2ABC S ab C ∆==8ab =， 由余弦定理知2222cos 12c a b ab C =+-=，故2220a b +=，()2220a b ab +-=， 解得6a b +=.【点睛】主要考查两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．18.已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1. （1）求函数()f x 的增区间； （2）当1163x -≤≤时，求函数()f x 的最大值、最小值及相应的x 的值. 【答案】（1）()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；13x =时，函数()f x . 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简()f x =2sin 23x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而得1T =及ωπ=则解析式可求； （2）由1163x -≤≤得22333x ππππ-≤-≤，利用正弦函数的图像及性质得值域即可 【详解】（1）由()())2sin 22cos 1f x x x ωω=-()()sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由函数()f x 的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的距离为1，有1T=，有212πω=，得ωπ=，故()2sin 23f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令()222232k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，得()151212k x k k Z -≤≤+∈. 故函数()f x 的增区间为()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）当1163x -≤≤时，22333x ππππ-≤-≤. 则当232x πππ-=-，即112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；当233x πππ-=，即13x =时，函数()f x .【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．19.已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，且245a a a =，37S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()2323nn T n =-⨯+（2）()2323nn T n =-⨯+【解析】 【分析】（1）根据条件联立方程即可求出首项与公比，即可写出通项公式（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）∵245a a a =，∴34111a q a q a q ⋅=，∴11a =； 又37S =，∴()31171a q q-=-，解得3q =-（舍）或2q =， ∴12n n a -=.（2）由（1）知()()121212n n n b n a n -=-=-⋅. 则()0121123252212n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯()1232123252212n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯相减得()231222212n n n T n -=+++⋅⋅⋅+--⨯()12322222121n n n =+++⋅⋅⋅+--⨯- ()()212212112n n n -=--⨯--∴()2323nn T n =-⨯+.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，前n 项和公式，错位相减法，属于中档题.20.已知向量()cos ,sin a αα=r ，()cos ,sin b ββ=r，a b +=r r .（1）求()cos αβ-的值； （2）若02πα<<，2πβπ<<，且4sin 5β=，求sin α的值. 【答案】（1）13-（2【解析】 【分析】（1）由条件知1a =r ，1b =r ，()cos a b αβ⋅=-r r，利用向量的数量积运算即可求解（2）利用同角三角函数的关系求出cos β，()sin αβ-，再根据角的变换可知()sin sin ααββ=-+⎡⎤⎣⎦即可求解.【详解】因为()cos ,sin a αα=r ，()cos ,sin b ββ=r所以1a =r ，1b =r ，()cos cos sin sin cos a b αβαβαβ⋅=+=-r r ， 又()2224222cos 3a b a a b b αβ+=+⋅+=+-=r r r r r r ，得()1cos 3αβ-=-.（2）∵2πβπ<<，4sin 5β=，∴3cos 5β=-， ∵02πα<<，2ππβ-<-<-，∴0παβ-<-<，又∵()cos 0αβ-<，故2ππαβ-<-<-，∴()sin 3αβ-==-， ∴()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=-+=-+-⎡⎤⎣⎦314535⎛⎫⎛⎫=-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，数量积的性质，同角三角函数的关系，两角差的正弦公式，属于中档题. 21.已知函数()1log 1axf x x+=-（0a >且1a ≠）. （1）当1a >时，用定义法证明函数()f x 在定义域上单调递增； （2）解关于x 的不等式()log 2a f x >-. 【答案】（1）见解析（2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义，注意做差后变形，即可求证（2）分1a >和01a <<两种情况分类讨论，根据对数函数的单调性求解. 【详解】（1）证明：由101xx+>-得11x -<<，故函数()f x 的定义域为()1,1-， 令1211x x -<<<，因为()()()()()()21122121211111111111x x x x x x x x x x +--+-++-=---- ()()()()21121212211111x x x x x x x x x x +---+--=--()()()2121211x x x x -=--，由1211x x -<<<，有110x ->，210x ->，210x x ->，可得()()()21212011x x x x ->--，由21211111x x x x ++>--，且1a >， 得212111log log 11aa x x x x ++>--， 所以()()21f x f x >，故当1a >时，函数()f x 在定义域()1,1-单调递增， （2）不等式()log 2a f x >-可化为11log log 12aa x x +>-， ①当1a >时，不等式可化为111211x x x +⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，解得113-<<x ，②当01a <<时，不等式可化为111211x x x +⎧<⎪-⎨⎪-<<⎩，解得113x -<<-.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义，对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题.22.已知函数()321132f x x ax =-，a 为实数. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()'f x 是函数()f x 的导函数，若()'3f x <对任意[]2,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）72,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）函数求导后，分0,0,0a a a >=<三种情况讨论，结合导函数的正负可求出函数的单调区间（2）根据不等式恒成立，分离参数可得2233x x a x x-++<<，[]2,3x ∈时恒成立，分别求出左边的最大值与右边的最小值即可. 【详解】（1）函数()321132f x x ax =-的定义域是R . ()()2211'3232f x x a x x ax x x a =⋅-⋅=-=-.（i ）当0a >时，令()'0f x <，得0x a <<； 令()'0f x >，得0x <或x a >，所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),0-∞，(),a +∞上单调递增； （ii ）当0a =时，()2'0f x x =≥对任意x ∈R 恒成立，且()'f x 不恒为0，所以函数()f x 在R 上单调递增；（iii ）当0a <时，令()'0f x <，得0a x <<； 令()'0f x >，得x a <或0x >，所以函数()f x 在区间(),0a 上单调递减，在区间(),a -∞，()0,∞+上单调递增. （2）()'3f x <等价于23x ax -<，得233x ax -<-<，得2233x ax x --<-<-，因为[]2,3x ∈，所以[]3,2x -∈--.所以不等式两边同时除以x -，得2233x xa x x--->>--， 即2233x x a x x ---<<--， 得2233x x a x x-++<<. 所以33x a x x x -<<+. 即33x a x x x-<<+对任意[]2,3x ∈恒成立.设()3g x x x =-，()3h x x x =+，[]2,3x ∈，则()23'10g x x =+>，()23'10h x x=->.所以函数()g x 在区间[]2,3上是增函数，()h x 在区间[]2,3上是增函数.所以()()max 32g x g ==，()()min 722h x h ==. 所以722a <<. 所以实数a 的取值范围是72,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性、最值，不等式恒成立问题，分类讨论的思想，属于难题.。
内蒙古赤峰二中高三数学上学期第二次月考试题 文
内蒙古赤峰二中2017届高三数学上学期第二次月考试题 文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合{||1|1}A x x =-<，{|21,}xB y R y x R =∈=+∈，则R AC B =（ ）A ．(0,2)B ．[1,2)C ．(0,1]D ．(0,1)2..设复数z 满足3(1)12i z i +⋅=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知132a -=，31log 2b =，121log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4. 已知数列{}n a 为等差数列，满足32013OA a OB a OC =+，其中,,A B C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ）A ．2015B ．20152C ．2016D ．2013 5.定义在R 上的可导函数()f x ，其导数为'()f x ，则“'()f x 为偶函数”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.若21)tan(,31tan =+=βαα，则=βsin （ ） A. 102±B.71±C.102D.71 7. 设a 、b 、c 为ABC ∆的三边长, 若222c a b =+cos A A +=，则B ∠的大小为（ ）A ．12π B ．6π C ．4πD ．512π8.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边c b a ,,，若ca c B 22sin 2-=，则ABC ∆的形状一定是（ ） A . 直角三角形 .B 锐角三角形 C .等腰三角形 D .钝角三角形9. 如果函数2cos(3)y x ϕ=+的图象关于点(,0)3π成中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）A ．6π B ．4π C. 3π D ．2π 10. 若点(),P a b 在函数23ln y x x =-+的图象上，点(),Q c d 在函数2y x =+的图象 上，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）A ．B ． 2 C．．8 11.已知数列{}n a 满足()211n n n n a a a a n N *+++-=-∈，且52a π=，若函数()2sin 22cos 2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前9项和为（ ） A ．0 B ． 9- C ．9 D ．1 12.已知函数()52log 1,(1)()(2)2,(1)x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=，当12a <<的实根个数为（ ）A.5B.6C.7D.8第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知ABC ∆的三边a b c ，，满足113a b b c a b c+=++++，则角B =________. 14.已知,a b 是夹角为60的两个单位向量，则当实数[1,1]t ∈-，||a tb +的最大值为 .15.已知数列{}n a 中，11a =，函数3212()3432n n a f x x x a x -=-+-+在1x =处取得极值，则n a =_________.16.已知函数()||(2)f x x x =-，关于x 的方程()()f x m m R =∈有三个不同的实数解 123,,x x x ，则123x x x 的取值范围为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量()1,1,21,2nn a S b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,满足条件→→b a //.函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,数列{}n b 满足条件()()1111,1n n b f b f b +==-- （1）求数列{}n a ,}{n b 的通项公式; （2）设nn nb c a =,求数列{}n c 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年利润y （单位：万元）的影响，对近5年的宣传费i x 和年利润i y (1,2,3,4,5)i =进行了统计，列出了下表：4员工小王和小李分别提供了不同的方案.（1）小王准备用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请你建立y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；（2） 小李决定选择对数回归模拟拟合y 与x 的关系，得到了回归方程：^1.450ln 0.024y x =+，并提供了相关指数20.995R =，请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据25^1()1.15iii y y =-=∑）参考公式：相关指数^22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑回归方程^^^y b x a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，x b y aˆˆ-=，参考数据：ln 40 3.688=，251()538ii x x =-=∑.19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，111,A A AB CB A ABB =⊥． （1）求证：1AB ⊥平面1A BC ； （2）若15,3,60AC BC A AB ==∠=， 求三棱锥1C AA B -的体积．20. （本小题满分12分）如图，已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，E 的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8，直线:l y kx m =+与y 轴交于点M ，与椭圆E 交于不同两点,A B . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若3AM BM =-，求2m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈.（1）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（2）若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合,若曲线C 的极坐标系方程为6cos 2sin ρθθ=+,直线l的参数方程为1(2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数). （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程;（2）设点()1,2Q ,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 求QA QB 的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()32f x a x x =--+. （1）若2a =,解不等式()3f x ≤;（2）若存在实数a , 使得不等式()122f x a x ≥-++成立,求实数a 的取值范围.。
内蒙古赤峰二中2019届高三上学期第二次月考数学(文)试卷(含答案)
赤峰二中月考数学试题文科一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若集合错误！未找到引用源。
，集合错误！未找到引用源。
，则 “错误！未找到引用源。
”是“的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知函数错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（ ） A. 在上递增 B. 在上递减 C.在上递增 D.在上递减4.等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项n S = A ()1n n + B.()1n n - C.()12n n + D.()12n n -5．若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值为 （ ）A ．0B ．1CD ．96已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖ B ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖C ．,,m n m n αα若则‖‖‖D ．,,mm αβαβ若则‖‖‖ 7.如果函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图像关于直线32π=x 对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．9．为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 10.已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21n n S a =-，则66S a =（ ） .A 6332 .B 3116 .C 12364 .D 12712811． 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A B 、，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（ ）A. 5B. 6C.163 D. 20312．已知关于x 的方程()22ln 2x x x k x +=++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两解，则实数k 的取值范围为（ ）A ．ln 21,15⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．9ln 21,105⎛⎤+⎥⎝⎦C ．(]1,2D ．(]1,e 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古赤峰二中2021届上学期高三年级第二次月考数学试卷(理科)
内蒙古赤峰二中2021届上学期高三年级第二次月考数学试卷（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。
本试卷考试时间：120分钟；满分150分。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}220M x N x x =∈-≤，{}21xA y y ==+，则()U M C A ⋂=（ ）A ．{}1B ．{0,1}C ．{0,1,2}D ．{}01x x ≤≤2．已知复数z 满足()12i 34i z -=+，其中i 为虚数单位，则||z 为（ ） A ．1BC ．2D3．以下有关命题的说法错误．．的是（ ） A ．命题“若220x x --=，则1x =-”的逆否命题为“若1x ≠-，则220x x --≠” B ．“220x x +-=”是“1x =”成立的必要不充分条件C ．对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x -+<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x -+≥D ．若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题)(,5 ,2ln ,2log .4213则设-===c b ac b a << .A a c b << .B b a c << .C a b c << .D5如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，2AG GD =，则用向量,AB AC 表示BG 为（ ）A ．2133BG AB AC =-+ B ．1233BG AB AC =-+ C ．2133BG AB AC =- D ．2133BG AB AC =+ 6．已知函数()(3)5(1)2log (1)a a x x f x a x x -+≤⎧=⎨->⎩对于任意12x x ≠都有1212()()0f x f x xx -<-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3]（ B ．1,3（） C ．1,2]（ D ．1,2（）7．函数()21cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．已知ABC ∆中，3,2,4,AB BC AC G ===为ABC ∆的外心，则=⋅BC AG （ ）27.A25.B 25.C -27.D -10．过抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 的直线交该抛物线于A B 、两点，若3AF BF =，O 为坐标原点，则AFOF=（ ） A ．43B ．34C ．4D ．5411．已知点()222210,0y x a b a b-=>>1F 2F 是12PF F △的内心，且2121F MF MPF MPF S S S ∆∆∆+=，则双曲线的离心率为（ ） A ．2BC ．3D112．若关于x 的方程10x x xx em e x e+++=+有三个不等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中m R ∈, 71828.2=e 为自然对数的底数,则3122312x x x x x x m m m e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．eB ．2eC ．()42m m +D ．()41m m +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古赤峰二中2021届高三数学上学期第二次月考试题文含解析
17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosB+bcosC＝2acosA．
（1）求A；
（2）若a＝2，且△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
【答案】（1） ；（2）6.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由 根据正弦定理可得 ，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得 ，∴ ；（2）由 的面积为 ，可得 ，再利用余弦定理可得 ，从而可得 的周长.
与曲线C：g（x）＝ 切于点（ ， ），
∴2 ，
化简可得，2 ，
∴
∵2 ，
a ，
设h（x） （x＞0），则h′（x） ，
∴h（x）在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减，
∴h（x）max＝h（ ） ，
∴实数a的的最大值为e，
故答案为e．
【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．
第二圈，n=13,n=27,否k=2；
第三圈，n=27,n=55,否k=3；
第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B．
考点：本题主要考查程序框图．
点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果．
5.若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】B
又 平面 ，
所以 ．
（2）由条件可得
所以 的面积为
设C到平面 的距离为 ,则
三棱锥 的体积
所以 ,从而
即C到平面 的距离为
19.随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数 与一定范围内的温度 有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：
2025届赤峰市红山区高三数学上学期10月第二次月考试卷附答案解析
赤峰二中 2022级高三上学期第二次月考数学试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知全集U =R ，集合{}50,2x A x B x x x ⎧⎫-=<=>⎨⎬⎩⎭，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}25x x << B. {}25x x ≤<C. {}02x x << D. {}02x x <≤【答案】D 【解析】【分析】确定集合A ，然后根据文氏图的概念及集合的运算求解．【详解】由题意5{|0}{|05}x A x x x x-=<=<<，{|2}U B x x =≤ð阴影部分为{|02}U A B x x =<≤ ð.故选：D ．2. 命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）A. 3(,0),0x x x ∀∈-∞+< B. 3(,0),0x x x ∀∈-∞+≥C. [)30,,0x x x ∞∃∈++< D. 3[0,0x x x ∃∈+∞+≥),【答案】C 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定判断即可.【详解】命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30,,0x x x ∞∃∈++<.故选：C3. 已知0a b c >>>，则下列不等式正确的是（ ）A 2a c b+> B. 2b ac> C. ()()110a b --> D. ()()a c a b c b->-【答案】D 【解析】【分析】运用特殊值判断A,B,C,运用不等式性质推断D.【详解】取4a =，3b =，1c =，则2a c b +<，故A 错误；取5a =，2b =，1c =，则2b ac <，故B 错误；取2a =，12b =，则()()110a b --<，故C 错误；因为0a b c >>>，所以a c b c ->-，所以()()a c a b c b ->-，故D 正确．故选：D4. 设0.13592,lg ,log 210a b c ===，则（ ）．A. b c a >> B. b a c>> C. a c b>> D. a b c>>【答案】D 【解析】【分析】依题意可得1a >，01b <<，0c <，进而可得结果.【详解】因为0.10221a =>=，50lg lg1012b <=<=，339log log 1010c =<=，所以a b c >>.故选：D.5. 数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *∈N 都满足 131nn n a a a +=+，则数列{}1n n a a +的前n 项和为（ ）A.131n + B.31+n n C.132n - D.32n n -【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求和即可.【详解】依题意，由131n n n a a a +=+，得1113n n a a +=+，故数列1{}na 是首项为1，公差为3的等差数列，所以113(1)32n n n a =+-=-，则111111((32)(31)33231n n a a n n n n +==--+-+，.所以数列{}1n n a a +的前n 项和为11111111111[((()((1)31447710323133131n n n n n -+-+-++-=-=-+++ .故选：B6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25C 下，某种绿茶用85C 的水泡制，经过min x 后茶水的温度为C y ，且()0.9227250,R xy k x k =⋅+≥∈.当茶水温度降至60C 时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln7 1.95,ln0.92270.08≈≈≈≈-）A. 6min B. 7minC. 8minD. 9min【答案】B 【解析】【分析】根据初始条件求得参数k ，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间x ．【详解】由题意可知，当0x =时，85y =，则8525k =+，解得60k =，所以600.922725x y =⨯+，当60y =时，60600.922725x =⨯+，即70.922712x=，则0.92277ln7ln 7ln1212log 12ln 0.9227ln 0.9227x -===ln 72ln 2ln 3 1.9520.69 1.107ln 0.92270.08---⨯-=≈≈-，所以茶水泡制时间大的为7 min.故选：B.7.函数||()1x f x e =--的大致图象为A.B.C. D.【答案】C 【解析】分析】先研究函数的奇偶性，得到()f x 是偶函数，研究当0x ≥时函数的单调性，又(0)0f =，即得解.【详解】||||()2||12||1()x x f x e x e x f x --=---=--= 故()f x 是偶函数，当0x ≥时，()21x f x e x =--，()2x f x e '=-，令()0f x '>，解得ln 2x >；令()0f x '<，解得ln 2x <即()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，又(0)0f =，故选：C【点睛】本题考查了通过函数的奇偶性，单调性研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.8. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()4()2f x x f f ++=，()21f x +是奇函数，11()22f =则（ ）A.17111(22k f k =-=-∑B. 1711()02k f k =-=∑C. 171117()22k kf k =-=-∑ D.171117()22k kf k =-=∑【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的周期，及(1)(1)0f x f x -+++=和(2)()0f x f x ++=，再逐项计算判断得解.【详解】由()4(()2)f f f x x ++=，得()4((24))f x x f f +++=，则(4)()f x f x +=，即函数()f x 的周期为4，【由(21)f x +是R 上的奇函数，得(21)(21)f x f x -+=-+，即(1)(1)0f x f x -+++=，于是13()()022f f +=，5751()()(()02222f f f f +=+-=，即1357(()()()02222f f f f +++=，因此17113571()()(2()](1622222111()4[()22k f k f f f f f f =-==++++=+∑，AB 错误；由()4((24))f x x f f +++=，取0x =，得(2)0f =，则(4)(0)(2)0f f f ==-=，因此(2)()0f x f x ++=，取32x =，得37((022f f +=，于是1357135737(2(3()4()[(()]3[()()](()022********f f f f f f f f f f +++=+++++=，则17113571()2(3()4(17(162222117()4[222k k f f f f f f k =++=+-=++∑，C 错误，D 正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分)9. 已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（ ）A. ﹣2B. 12-C.13D. 13-【答案】BC 【解析】【分析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由题意得{: 3 2}p A =-，，当0a =时，q B =∅：，当0a ≠时，1q B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭：，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，所以0a =时满足题意，当13a -=-或12a -=时，也满足题意，解得13a =或12a =-，故选：BC【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.10. 已知0,0a b >>且2a b +=， 则下列不等式恒成立的是（ ）.A. ²²a b +的最小值为2B. 12a b+的最小值为3+C. ab 的最大值为 1D.的最大值为2【答案】ACD 【解析】【分析】配方后使用基本不等式可判断A ；利用常数代换可判断B ；直接使用基本不等式可判断C ；先利用基本不等式求2的最大值，然后可判断D .【详解】对A ，()22²²24222a b a b a b ab +⎛⎫+=+-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，A 正确；对B ，()(1211212133222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当21b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1,2a b =-=-时等号成立，B 错误；对C ，212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立，C 正确；对D，()224a b a b =++≤+=，当且仅当1a b ==时等号成立，2≤，D 正确故选：ACD11. 设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项正确的是（ ）A. 4945S S q S =+B. 若20252020T T =，则20231a =C. 若194a a =，则当2246a a +取得最小值时，1a =D. 若21()n n n a T +>，则11a <【答案】AB 【解析】【分析】由前n 项和的定义以及等比数列性质分析判断A ；由题意结合等比数列性质分析判断B ；根据题意.结合基本不等式知：当且仅当462a a ==时，2246a a +取得最小值，进而可得结果判断C ；举反例说明即可D.【详解】由数列{}n a 为正项等比数列，得10,0,0n a q T >>>，对于A ，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()4441234545S q a a a a a S q S =+++++=+，即4945S S q S =+，A 正确；对于B ，由20252020T T =，得5202520212022202320242025202320201T a a a a a a T =⋅⋅⋅⋅==，则20231a =，B 正确；对于C ，由19464a a a a ==，得22446628a a a a +≥=，当且仅当462a a ==时取等号，若2246a a+取得最小值，则462a a ==，即34156122a a q a a q ⎧==⎨==⎩，解得121a q =⎧⎨=⎩，C 错误；对于D ，例如11,2a q ==，则12n n a -=，()101112121222222n n n n n nT a a a --++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==，得22(1)2221()(2)2,[2]2n n n n nn nnn naT --+====，而*n ∈N ，22n n n >-，则2222n n n->，即21()n n n a T +>，符合题意，但11a =，D 错误.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题判断选项D 的真假，构造符合条件的数列，计算判断是关键.三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分． 把答案填在题中横线上)12. 若曲线e x y =在点(0,1)处的切线也是曲线()ln 1y x a =++的切线，则a =_________.【答案】1【解析】【分析】先求出曲线e x y =在(0,1)的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x 表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解【详解】由e x y =，得e x y '=，001|e x y ==='，故曲线e x y =在(0,1)处的切线方程为1y x =+；由()ln 1y x a =++，得11y x '=+，设切线与曲线ln(1)y x a =++相切的切点为0(x ,0ln(1))x a ++，由两曲线有公切线得0111y x '==+，解得00x =，则切点为(0,)a ，切线方程为y x a =+，根据两切线重合，解得1a =．故答案为：1．13. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[3]3=.若1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则x 的取值范围是_________.【答案】[)1,3【解析】【分析】依题意可得则112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦且11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，从而得到不等式组，解得即可.【详解】解：依题意，因为1111222x x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若102x +⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若122x +⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦，则11122x ⎡+⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，不符题意；若112x +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11022x ⎡+⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，满足条件，则1122x +≤<.解得13x ≤<，即[)1,3x ∈.故答案为：[)1,3.【点睛】本题考查新定义运算，不等式的解法，属于中档题.14. 已知实数()()1,0ln 1,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若关于x 的方程()()2340f x f x t -+=有四个不同的实数根，则t 的取值范围为___________.【答案】[)0,1【解析】【分析】画出f(x)的图象，根据图象特点，要想方程()()2340fx f x t -+=有四个不同的实数根，需要令()f x m =，这样2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，才会有四个交点.【详解】当0x ≤时，()()ln 1f x x =-，单调递减，当0x >时，()1x e f x x -=，()()121x e x f x x --'=，当1x >时，()0f x ¢>，()1x ef x x-=单调递增，当01x <<时，()0f x ¢<，()1x ef x x-=单调递减，在1x =时，f(x)取得最小值，()11f =画出f(x)的图象如图所示：令()f x m =，则方程为2340m m t -+=，要想方程()()2340fx f x t -+=有四个不同的实数根，结合f(x)的图象可知需要满足：2340m m t -+=有两个不同的实数根1m ，2m ，且11m >，201m ≤<，令()234g m m m t =-+，则()()161201000t g g ∆=->⎧⎪<⎨⎪≥⎩ ，解得：01t ≤<t 的取值范围[)0,1故答案为：[)0,1【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知()sin cos 0,πθθθ+=∈.（1）求sin cos θθ-的值；（2）求()()cos 22025πtan 2025πθθ+++的值.【答案】（1）sin cos θθ-=（2）115-【解析】【分析】（1）已知式平方后，结合平方关系确定sin ,cos θθ的符号后，再利用平方关系求得sin cos θθ-；（2）（1）小题结论与已知联立方程组解得sin ,cos θθ，由商数关系得tan θ，再利用诱导公式、二倍角公式化简变形后求值．【小问1详解】因为sin cos θθ+=22(sin cos )5θθ+=，所以212sin cos 5θθ+=，即32sin cos 05θθ=-<.因为()0,πθ∈，则sin 0θ>，所以cos 0,sin cos 0θθθ<->，因为28(sin cos )12sin cos 5θθθθ-=-=，所以sin cos θθ-=【小问2详解】由sin cos sin cos θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得sin θθ==，所以sin tan 3cos θθθ==-；所以()()229111cos 22025πtan 2025πcos2tan sincos tan 310105θθθθθθθ+++=-+=-+=--=-.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，其中11a =，且112n n a S -=.（1）求{}n a 的通项公式.（2）设n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ （2）132(2)(2n n T n -=+-⋅【解析】【分析】（1）根据题意，得到2n ≥时，132n n a a +=，再由211122a S ==，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）得到21,113,222n n nb n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，结合乘公比错位法求和，即可求解.【小问1详解】由112n n a S -=，可得12n n a S -=，则12n n a S +=，两式相减，可得122n n n a a a +-=，即123n n a a +=，又由211111222a S a ===，易知0n a ≠，所以当2n ≥时，132n n a a +=，所以数列{}n a 的通项公式为21,113,222n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】因为n n b na =，可得21,113,222n n n b n n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅⋅≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则01221313131312(3(4(()22222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，所以123133131313132(3(4((2222222222n n T n -=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ ，两式相减得12321111333313[()()()()]()222222222n n n T n ---=+++++-⋅⋅212133[1()]11131331322([1()](322222222212n n n n n n -----=+⨯-⋅⋅=-⋅--⋅⋅-，所以21133313[()1]()2(2)(222n n n n T n n ---=--⋅-+⋅=+-⋅.17. 已知函数31()3x x f x a+=+为奇函数．（1）解不等式()2f x >；（2）设函数33()log log 39x x g x m =⋅+，若对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(0,1)；（2）94m ≥.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，化简不等式，结合指数函数性质解不等式.（2）由（1）可得2()f x 的值域A ，再利用换元法设3log t x =，可得1()g x 的值域B ，根据B A ⊆，列不等式可得解.【小问1详解】函数31()3x x f x a+=+中，30x a +≠，由()f x 是奇函数，得()()0f x f x +-=，即3131033x x x x a a--+++=++，整理得(1)(332)0x x a -+++=，解得1a =-，函数312()13131x x x f x +==+--定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，由()2f x >，得21231x +>-，即2131x >-，整理得0312x <-<，解得01x <<，所以不等式()2f x >的解集为(0,1).【小问2详解】因为函数31x y =-在(]0,1上单调递增，故当01x <≤时，0312x <-≤，由（1）得31()31+=-x x f x 在(0,1]x ∈的值域[2,)A =+∞，又3333g 39()log log (log 1)(lo 2)x x g x m x x m =⋅+=--+，[3,27]x ∈设3log t x =，则[]1,3t ∈，2(1)(2)32y t t m t t m =--+=-++，当32t =时，min 14y m =-+，当3x =时，max 2y m =+，因此函数()g x 在[3,27]x ∈上的值域1[,2]4B m m =-++，由对任意的1[3,27]x ∈，总存在2(0,1]x ∈，使得12()()g x f x =成立，得B A ⊆，于是124m -+≥，解得94m ≥，所以实数m 的取值范围是94m ≥.18. 已知函数()2ln f x x mx =-，()212g x mx x =+，R m ∈，令()()()F x f x g x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导，分0m ≤与0m >分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可；（2）构造函数()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，利用导数求函数()G x 的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可；【小问1详解】因为()()2ln 0f x x mx x =->，所以()21122mx f x mx x x -='=-，当0m ≤时，()0f x '>，所以()f x 在区间(0,+∞)上单调递增；当0m >时，令()0f x '>，即2120mx ->，又0x >，解得0x <<令()0f x '<，即2120mx -<，又0x >，解得x >，综上，当0m ≤时，()f x 的增区间为(0,+∞)，无减区间；当0m >时，()f x的增区间为⎛⎝，减区间为∞⎫+⎪⎪⎭【小问2详解】令()()()()211ln 112G x F x mx x mx m x =--=-+-+，所以()()()21111mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='．当0m ≤时，因为x >0，所以()0G x '>．所以()G x 在()0,∞+上是单调递增函数，又因为()()2131ln11112022G m m m =-⨯+-+=-+>，所以关于x 不等式()0G x ≤不能恒成立，即关于x 的不等式()1F x mx ≤-不能恒成立．当m >0时，()()()21111m x x mx m x m G x x x ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭=='．令()0G x '=，得1x m =，所以当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0G x '<．因此函数()G x 在10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是增函数，在1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭是减函数．故函数()G x 的最大值为()2111111ln 11ln 22G m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令()1ln 2h m m m =-，()2112h m m m=-'-，当()0,m ∞∈+时，()0h m '<所以()h m 在()0,m ∞∈+上是减函数，又因为()1102h =>，()12ln204h =-<，所以当2m ≥时，()0h m <，所以()0G x <恒成立，即()1F x mx ≤-恒成立所以整数m 的最小值为2．的【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分0m ≤与0m >进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数()()21=ln 112G x x mx m x -+-+，把恒成立问题转化为求函数()G x 的最值问题.19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知9m a m =-.求m 的值；（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”（2）m 的值为12或18（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，212=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134=，故17不是“理想数”；319158⨯+=，而58292=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；【小问2详解】由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，∴存在正整数p ，使得92p m m =-，即9921p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，1991821m ∴=+=-，或2991221m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()*21s t t =+∈N 时，2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ；(*413t m t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()*413k m k -=∈N ，∴所有的奇数"理想数"的倒数为()*341k k ∈-N ，1133134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。
内蒙古赤峰市2022-2023学年高三上学期期末模拟考试 数学(文)含答案
赤峰市高三年级期末模拟考试试题文科数学（答案在最后）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}3A x x =∈≤N ，{}(3)(3)0B x x x =∈-+<R ，则A B ⋂=（ ） A ．{0,1,2}B ．{}33x x ∈-<<RC ．{}13x x ∈≤<RD ．{1,2}2．已知a ∈R ，(5i)i 15i a +=+，（i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图1所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G 直接经济产出做出的预测．则以下结论错误的是（ ）A ．运营商的5G 直接经济产出逐年增加B ．设备制造商的5G 直接经济产出前期增长较快，后期放缓C ．设备制造商在各年的5G 直接经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的5G 直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，n α∥，则m n ⊥ ②若m n ∥，m α⊄，n α⊂，则m α∥ ③若αβ⊥，m α∥，则m β⊥ ④若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥其中正确的命题个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．已知向量a ，b 的夹角为120︒，||4a =，||2b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A ．4B ．2-C D ．1-6．设0.732a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.723b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()334log log 4c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b <<7．函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（ ） A ．0B ．1-C ．2D ．18．已知函数1()sin()f x x ωϕ=-（其中0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则ω与ϕ分别等于（ ）A ．1，3π-B ．1，23π-C ．2，23π D ．2，3π9．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC △的面积为且cos cos cos c a bC A B+=+，BC 的中点为D ，则AD 的最小值为（ ）A ．B ．4C ．D ．10．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，点M ，N 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AM ，AN 的斜率之积为2-，则C 的离心率为（ ）A B ．2C ．2D 11．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 为球O 的直径，且PC OA ⊥，PC OB ⊥，AOB △为等边三角形，三棱锥P ABC -O 的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π12．已知函数2()2ln xe f x a x ax x=+-存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．22,44e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,44e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan 3α=，则cos2α=______．14．在[1,1]-上随机取一个数a ，则事件“直线y ax =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为______．15．抛物线2:2C y x =的焦点为F ，过C 上一点P 作C 的准线l 的垂线，垂足为A ，若直线AF 的斜率为a -，则PAF △的面积为______． 16．设有下列四个命题：①1p ：x ∃∈R ，x e m ≤为假命题，则(,0]m ∈-∞；②2p ：函数212115y x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为1+ ③3p ：关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∈R 恒成立的一个必要不充分条件是102a <<；④4p ：设函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，如果n m >，且()()f n f m =，令t n m =-，那么t 1；则上述命题为真命题的序号是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（12分）已知单调递增的等差数列{}n a ，且12a =，2a ，32a +，64a +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）保持数列{}n a 中各项先后顺序不变，在k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，求20T 的值．18．（12分）为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调查问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查．问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25：女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15．据调查结果制作了如下22⨯列联表．（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，若所选的2人中更擅长理科的人数恰为1人的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，M 为AD 的中点，24PA AB ==．（1）取PC 中点F ，证明：PC ⊥平面AEF ； （2）求点D 到平面ACE 的距离．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为4，离心率为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点(,0)A a ，(0,)B b ，直线l 过坐标原点O 交椭圆C 于P ，Q 两点（点A ，B 位于直线l 的两侧）．设直线AP ，AQ ，BP ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求证：1234k k k k +为定值． 21．（12分）已知函数()ln (1),f x x a x a =-+∈R ．（1）讨论函数的单调性；（2）对任意0x >，求证：22(1)()xe a xf x xe-+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244,x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半拍为极轴建立极坐标系，曲线2C sin 104πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，且两曲线1C 与2C 交于M ，N 两点． （1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程； （2）设(2,1)P -，求PM PN -． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1|2|1|f x x x =++-． （1）解不等式()22f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为t ，若0a >，0b >，且a b t +=，证明：22111a b a b +≥++． 赤峰市高三1·30模拟考试试题文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．45-14．14 15．15216．①④ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（1）解：设递增等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，由22a d =+，322a d =+，625a d =+，有2(222)(2)(254)d d d ++=+++，化简得24d =．则2d =，1(1)2n a a n d n =+-=，所以{}n a 的通项公式为2n a n =．（2）解：因为k a 与1(1,2,)k a k +=⋅⋅⋅之间插入2k ，所以在数列{}n b 中有10项来自{}n a ，10项来自{}2n，所以()102021210(220)2156212T -+=+=-．18．（12分）（1）解：补充的列联表如下：所以22100(2236933)100334.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科， 用1A ，2A 表示更擅长理科的两人，用1B ，2B ，3B 表示其他三人， 则从这5人中，任取两人共有以下10种情况：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()21,B B ，()31,B B ，()23,B B ，满足条件的有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B 共6种情况，所以概率为35．19．（12分）（1）证明：因为PC 中点F ，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，则BC =4AC =． 而4PA =，则在等腰三角形APC 中，PC AF ⊥①．又在PCD △中，PE ED =，PF FC =，则EF CD ∥，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 则PA CD ⊥，又90ACD ∠=︒，即AC CD ⊥，AC PA A ⋂=，则CD ⊥平面P AC ，因为PC ⊂平面P AC ，所以PC CD ⊥，因此EF PC ⊥②． 又EF AFF ⋂=，由①②知PC ⊥平面AEF ；（2）在Rt ACD △中，CD =4AC =，∴ACD S =△，又EM PA ∥，PA ⊥平面ABCD ，∴EM⊥平面ABCD ，即EM 为三棱锥E ACD -的高，∴112333E ACD ACD V S EM -=⋅=⋅=△，在ACE △中，AE CE ==4AC =，∴8ACE S =△，设点D 到平面ACE 的距离为h ，则133D ACE E ACD ACE V V S h --==⋅⋅=△，∴h =D 到平面ACE 的距离为20．（12分）（1）解：由题意得24,1,2a =⎧=解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）点A ，B 的坐标分别为(2,0)，．设点P 的坐标为(,)m n ，由对称性知点Q 的坐标为(,)m n --．所以12n k m =-，22n k m =+．所以2122224n n n k k m m m =⋅=-+-． 又因为点P 在椭圆22:143x y C +=上，所以22143m n +=，即22443m n -=-，所以21223443n k k n ==--． 同理3434k k =-．所以2234333442k k k k ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为定值．21．（12分）（1）解：由题意得()f x 的定义域是(0,)+∞，11()axf x a x x-=-='， 当0a ≤时，令()0f x '>恒成立，∴()f x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，令()0f x '>，解得10x a <<，令()0f x '<，解得：1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增， 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明：要证22(1)()x e a x f x xe -+>，即证22ln 0xe x e x ⋅->， 令22()ln x e g x x e x =⋅-，则2222(1)()x x e e x g x e x--='， 令2()2(1)xr x x e e x =--，则2()2x r x xe e '=-，由()r x '在(0,)+∞单调递增，且2(1)20r e e ='-<，2(2)30r e ='>，∴存在唯一的实数0(1,2)x ∈，使得()00r x '=，∴()r x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ∵(0)0r <，(2)0r =，∴当()0r x >时，2x >，当()0r x <时，02x <<，∴()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，∴()(2)1ln20g x g ≥=->，综上，22ln 0x e x e x ⋅->，即22(1)()xe a xf x xe-+>． 22．（10分）选修4- 4：坐标系与参数方程（1）解：由曲线1C 的参数方程消去参数t ，得24y x =，即曲线1C 的直角坐标方程为24y x =． 由曲线2C 的极坐标方程，得sin cos 10ρθρθ+-=，则10x y +-= 即2C 的直角坐标方程为10x y +-=．（2）解：因为(2,1)P -在曲线2C 上，所以曲线2C的参数方程为2,21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入1C的直角坐标方程，得21702t +-=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=-，1214t t =-，所以12||||||PM PN t t -=+= 23．（10分）选修4-5：不等式选讲（1）解：不等式等价于13122x x x ≤-⎧⎨-+≤+⎩或11322x x x -<<⎧⎨-+≤+⎩或13122x x x ≥⎧⎨-≤+⎩，解得x ∈∅或113x ≤<或13x ≤≤．所以不等式()22f x x ≤+的解集为133x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）解：法一：由31,1()3,1131,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩知，当1x =时，min ()(1)2f x f ==，即2a b +=．法二：()|1|2|1|(|1||1|)|1||11||11|2f x x x x x x x x =++-=++-+-≥+-++-=， 当且仅当1x =时，取得等号，则()f x 的最小值为2，即2a b +=．法一：22222222(1)(1)()()44111(1)(1)()13332a b a b b a ab a b a b a b a b a b ab a b ab ab a b ++++++++====≥=++++++++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==，不等式取得等号，所以22111a b a b +≥++．法二：由柯西不等式可得：22222111()1114114a b a b a b a b a b a b ⎛⎫++++=+≥+= ⎪++++⎝⎭．当且仅当1a b ==，不等式取得等号，所以22111a b a b +≥++．。
2025届内蒙古赤峰市新城区赤峰二中高三第二次联考数学试卷含解析
2025届内蒙古赤峰市新城区赤峰二中高三第二次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)2．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．23．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）A ．8B ．83C ．82+D ．842+4．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞5．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i6．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．1557．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18B ．17C ．16D ．158．等差数列{}n a 中，已知51037a a =，且10a <，则数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈中最小的是（ ）A ．7S 或8SB ．12SC ．13SD ．14S9．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5B ．5或1C ．5或1D ．510．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)-B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A ．623+B ．622+C ．442+D ．443+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届内蒙古赤峰二中高三上12月月考文科数学试卷
2021年内蒙古赤峰二中高三上12月月考文科数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数1i i－2（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．5i －2＋ B ．5i －2－ C ．5i 2－ D ．5i 2＋ 2．设集合A ＝{1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，，则集合B 中的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．73．a ，b 是两个向量，1a =，2b =，且()a b a +⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120 D ．1504．在一次某地区中学联合考试后，汇总了3217名文科考生的数学成绩，用12,,,a a ⋅⋅⋅3217a 表示，我们将不低于120的考分叫“优分”，将这些数据按右图的程序框图进行信息处理，则输出的数据为这3217名考生的（ ）n = n+1= m+1是a 结束输出 m 3217a n否m = = 1开始A ．平均分B ．“优分”人数C ．“优分”率D ．“优分”人数与非“优分”人数的比值5．等差数列{}n a 的公差不为零，首项11a =，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）A ．90B ．100C ．145D ．1906．将函数y ＝sin （2x ＋3π）的图像向右平移ϕ（0＜ϕ＜2π）个单位后的图像关于y 轴对称，则ϕ ＝（ ）A ．12πB ．6πC ．3πD ．512π 7．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3BC ．D ．38．在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，cos （A －B ）cosB －sin （A －B ）sin （A ＋C ）＝35，则角B 的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．56π 9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6， 1O 为正方形1111A B C D 的中心，则四棱锥1O ABCD -的外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．324πC ．81πD ．2432π 10．记111122ln ,ln ,ln 22a b c e e e e e e=-=-=-，其中e 为自然对数的底数，则,,a b c 这三个数的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b c a >>D ．b a c>>11．若x,y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−13x −y ≤3，目标函数z =ax +2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A ．[−6,2]B ．(−6,2)C ．[−3,1]D ．(−3,1)12．已知双曲线()22221024x y b b b -=<<-与x 轴交于,A B 两点，点()0,C b ，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题13．双曲线221412x y -=的离心率为 ． 14．从{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数m,n(m >n)，则n m 能够约分的概率为 ．15．数列{}n a 中，143a =-，211n n a a +=+，则7a = ． 16．已知x x x x f ln )(+=，若Z k ∈且)()2(x f x k <-对任意2>x 恒成立则K 的最大值 ．三、解答题17．已知数列{}n b 的前n 项和n n S n 22+= )(+∈N n ．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n T ． 18．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）19．已知四棱锥，其中，，，∥，为的中点．（Ⅰ）求证：∥面； （Ⅱ）求证：面； （Ⅲ）求四棱锥的体积．20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，O 为坐标原点，F 为抛物线的焦点，直线y x =与抛物线C 相交于不同的两点O ，N ，且||ON =（1）求抛物线C 的方程．（2）若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A ，B ，交x 轴于点M ，且MA aAF =，MB bBF =，对任意的直线l ，a b +是否为定值?若是，求出a b +的值；否则，说明理由．21．已知函数：()3(0)f x lnx ax a =--≠（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对于任意的[1a ∈，2]，若函数23()[2()]2x g x x m f x =+-'在区间(,3)a 上有最值，求实数m 的取值范围．22．选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的半径为6，线段AB 与圆O 相交于点C,D ，AC =4，∠BOD =∠A ，OB 与圆O 相交于点E ．（1）求BD 长；（2）当CE ⊥OD 时，求证：AO =AD ．23．在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值．24（1）当2m =时，解不等式：()1f x ≤； （2）若不等式()2f x ≤的解集为{}|2x x ≤-，求m 的值．参考答案1．B【解析】 试题分析：复数1i i －2i i i 5152521+-=+=)(，所以其共轭复数552i --，故选B ． 考点：复数运算．2．C【解析】集合A ＝{1,2,4}，集合{|}B x x a b a A b A +∈∈＝＝，，， 所以{}234568B ＝，，，，，，共6个元素. 故选C.3．C【解析】试题分析：因为()a b a +⊥，所以20a a b +⋅=，则1a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b ⋅<>==-⋅．又由向量夹角范围得，a ，b 的夹角为120． 考点：①向量数量积的运算律；②夹角公式；③垂直的充要条件．4．C【解析】试题分析：根据框图知，该程序是统计3217名同学中成绩不低于120分的“优分”的人数与总人数的比值即“优分”率．故选C ．考点：程序框图的应用．5．B【解析】试题分析：设公差为d ，则由2a 是1a 和5a 的等比中项得到d=2，然后由等差数列的前n 项和公式得10010=s ．故选B ．考点：等差数列的基本量运算及数列求和．6．D【解析】试题分析：将函数y ＝sin （2x ＋3π）的图象向右平移ϕ（0＜ϕ＜2π）个单位后的图象的解析式为)sin(ϕπ232-+=x y ．已知平移后图像关于y 轴对称，所以z k ∈⋅+=,21)2k (2-3πϕπ．又因0＜ϕ＜2π，所以当k=-1时512πφ=．故选D ．考点：图像平移及由函数性质求参数值．7．D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB 与底面ABCD 垂直，过S 作SO AB ⊥ ，垂足为O ，SO ∴⊥底面22ABCD SO ，=⨯底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积1223V =⨯⨯= 故选D ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键．8．A【解析】试题分析：由cos （A －B ）cosB －sin （A －B ）sin （A ＋C ）＝35，得53=A cos 54=∴A sin ,．又正弦定理得，21=B sin ，解得6π=B 或65π．因为a ＝4，b ＝52，所以B A b a >∴>,，则6π=B ．故选A ．考点：运用正弦定理解三角形．9．C【解析】试题分析：如下图所示，易知圆心在'OO ，假设圆心是点E ，半径为r ，则在三角形OBE 中，由勾股定理得，222236)()(+-=r r ，解得29=r ，则ππ8142==r s ．故选C ．考点：多面体与球的外接问题．10．D【解析】试题分析：构造函数)(,ln )(0>-=x x x x f ，则xx x f 1-=)('，可得函数在区间),(10上单调递减，在区间),(+∞1上单调递增．显然121210<<<<e e e ，所以)()()(e f e f e f 2121<<，即b a c >>．故选D ．考点：单调性比大小．【方法点睛】构造函数法并利用函数单调性比大小．首先题目中a ，b ，c 的形式可启发我们构造函数)(,ln )(0>-=x x x x f ，然后求出导函数，并判断其单调性．显然变量均在均在区间（0，1）内，从而利用函数的单调性比大小．构造函数法的难点是如何构造函数，希望同学们多观察多总结多感悟，一定能突破这一难关．11．D【解析】考点：简单线性规划．专题：常规题型．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y ，再利用z 的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y 过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a 的取值范围即可．解答：解：可行域为△ABC ，如图，当a=0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=-a 2＞k AC =-1，a ＜2． 当a ＜0时，k=-a 2＜k AB =2 a ＞-4．综合得-4＜a ＜2，故选D ．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．12．B【解析】试题分析：易知点A 、B 是双曲线的两个顶点，从而可得2b -42AB =．又因20<<b ，所以2244421222=≤-=-==∆)(b b b b b AB s C B A ，当且仅当2=b 时取得最大值．故选B ．考点：均值不等式求最值．【方法点睛】均值不等式（),(002>>≥+b a ab b a ）求最值：①使用条件“一正、二定、三相等”．"一正"是指00>>b a ,；“二定”是指a 与b 的和为定值或积为定值；“三相等”等号成立的条件成立．②灵活运用题中已知，创造使用条件．例如．本题中将面积的变形)(2224421b b b b b AB s C B A -=-==∆，即创造出和为定值，从而使用均值不等式求最值．③当形式上看似能用均值不等式求最值，但等号成立的条件不成立，则应利用函数的单调性求最值．13．2【解析】试题分析：24121=+=e ． 考点：求双曲线的离心率． 14．【解析】试题分析：从{1,2,3,4,5,6}中任取两个不同的数m,n(m >n)，基本事件总数n =C 62=15，其中nm ，能够约分，包含的基本事件有：{4，2}，{6，2}，{6，4}，{6，3}，即m=4，∴n m能够约分的概率p =m n=415．考点：古典概型及其概率计算公式 15．2 【解析】试题分析：将143a =-代入递推公式求出-3=3a ，再将3a 代入递推公式得，215-=a ，同理继续代入得到，27=a ． 考点：由递推公式求数列的项．【思路点睛】由递推公式求数列的项，如果求项数比较小的项时，可以依次代入得到结果即可，如本题．如果求项数比较大的项时，一般两种思路：①看是否有周期性；②由递推公式求出数列的通项公式，然后再求解．注：应掌握几种常见的递推公式求通项公式的类型和方法． 16．4 【解析】试题分析：设2-+=x xx x x g ln )(，所以不等式)()2(x f x k <-对任意2>x 恒成立⇔2-+<x x x x k ln 对任意2>x 恒成立⇔min )(x g k <．接下来求函数2-+=x xx x x g ln )(在2>x 上的最小值．可得，2242)(ln )('---=x x x x g ，设其同号函数42--=x x x h ln )(，则02>-=xx x h )('，即函数)(x h 在），（∞+2上单调递增，验证知存在),(980∈x 使00=)(x h 即0024x x ln =-…①，所以在区间），（0x 2函数)(x h 0<即0<)('x g 也即此时函数)(x g 单调递减，在区间),(+∞0x 上0>)(x h 即0>)('x g 也即此时函数)(x g 单调递增，所以由①得，222000000000x x x x x x x x x x g x g =-⋅+=-+==24-ln )()(min ),(294∈，所以20xx g k =<min )(),(294∈．又因z k ∈，所以k 的最大之为4．考点：由不等式恒成立求参数范围．【方法点睛】在不等式恒成立条件下，求参数范围问题的解法：在不等式恒成立条件下，求参数范围，一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式．其中对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法．（1）若函数)(x f 在区间D 上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则：①不等式)(x f a <在区间D 上恒成立min )(x f a <⇔；②不等式)(x f a ≤在区间D 上恒成立min )(x f a ≤⇔；③不等式)(x f b >在区间D 上恒成立max )(x f b >⇔；④不等式)(x f b ≥在区间D 上恒成立max )(x f b ≥⇔．（2）若函数)(x f 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为（m ，n ），则：①不等式)(x f b >（或)(x f b ≥）在区间D 上恒成立b n ≤⇔；②不等式)(x f a <（或)(x f a ≤）在区间D 上恒成立m a ≤⇔． 17．（1）12+=n b n ； （2）96+=n nT n ．【解析】试题分析：（1）已知数列前n 项和n s ，求通项公式的步骤：①求当2≥n 时，1--=n n n s s b ；②当1=n 时，11s b =；③验证1=n 是否满足2≥n 时的解析式，总结答案；（2）由通项公式的特征，运用裂项法求和即可．试题解析：（1）当2≥n 时，1--=n n n s s b 12+=n ； 当1=n 时，311==s b ，同样适合上式， 所以数列的通项公式为12+=n b n ．（2）由（1）得 ，)())((321121213212111+-+=++=+n n n n b b n n ， )()]()()[(32131213211217151513121+-=+-+++-+-=n n n T n 96+=n n 考点：①求数列通项公式；②裂项法求数列的前n 项和． 18．（1）0.9；（2）0.085a =，0.125b =；（3）第4组. 【解析】试题分析：（1）由频率分布表知，100人中有10人阅读时间不少于12小时，所以由对立事件的概率计算公式得p=；（2）由频率分表知，阅读时间在[4，6）的共17人，所以样本落在该组的概率为0．17，则频率分布直方图中样本落在[4，6）的小矩形的面积为0．17，从而求出矩形的高即a 的值，同理得到b 的值；（3）可以通过频率分布表或频率分布直方图求出平均数即可知平均数在那一组．试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是；（2）课外阅读时间落在[4，6）的有17人，频率为0．17，所以， 课外阅读时间落在[8，10）的有25人，频率为0．25，所以，（3）估计样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． 考点：频率分布表和频率分布直方图的应用．【方法点睛】频率分布直方图的几个常用结论：（1）所有小矩形的面积和为1；（2）小矩形的高等于样本落在该组的概率除以组距；（3）最高的小矩形的所在组的区间的中点值即为众数；（4）每个组的区间中点值乘以所在组的概率之和即为平均数；（4）样本取值m ，两侧的样本数据的概率相等且为，则m 即为中位数．19．（Ⅰ）、（Ⅱ）证明过程详见解析；（Ⅲ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）取AC 中点G ，连结FG 、BG ，可知四边形EFBG 是矩形，所以得到EF ∥BG ，从而由直线与平面平行的判定方法得证；（Ⅱ）易证明BG ⊥面ADC ，从而由平面与平面垂直的判定方法即可证明；（Ⅲ）由第二问的证明知，将四棱锥分为两个小三棱锥求解比较容易，即．当然直接按照四棱锥的体积公式求解也可．试题解析：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC="1" ．∵BE∥CD ∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．∴∥面（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC，BG面ABC ∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC ．∵EF∥BG ∴EF⊥面ADC∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC ．（Ⅲ）连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC ．．考点：①直线与平面平行的判定；②平面与平面垂直的判定；③求几何体的体积．20．（1）x2=4y；（2）a+b=-1．【解析】试题分析：（1）直线方程与抛物线方程联立求解即可求出点N的坐标，然后由两点间的距离公式即可用参数p表示出ON的长，从而求出p的值，进而求出抛物线方程；（2）设直线l 的方程为y=kx+1，并与抛物线方程联立求解，利用韦达定理表示出A、B点的坐标关系，同时求出点M 的坐标，然后利用MA aAF =得到参数a 与k 的关系，同理得到b 与k 的关系，最后用k 将a+b 表示出来，整理即知结论．试题解析：（1）联立方程2y x,x 2py,=⎧⎨=⎩得x 2-2px=0，故O （0，0），N （2p ，2p ）， 所以|ON|=224p 4p 22p,+=由22p=42，得p=2， 所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）显然直线l 的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y=kx+1，则直线l 与x 轴交点为1M(,0),k- 7分设点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2），由2y kx 1,x 4y,=+⎧⎨=⎩得x 2-4kx-4=0， 所以Δ=（4k ）2-（-16）=16（k 2+1）>0， 所以x 1+x 2=4k ，x 1·x 2=-4． 由=a，得111(x ,y )k+=a （-x 1，1-y 1）， 所以1111y kx 1a ,1y kx +==--同理可得22kx 1b .kx +=- 所以=+b a 12211212kx 1kx 1x x ()(2)1,kx kx kx x +++-+=-+=- 考点：①求抛物线方程；②求是否为定值问题．【方法点睛】1．求抛物线的标准方程，只需找到一个等量关系即可．2．方程直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x （或y ）的一元二次方程，设出交点坐标A （11y x ,）、B （22y x ,），利用韦达定理得出坐标的关系，同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题1111y kx 1a ,1y kx +==--从而得到=+b a 12211212kx 1kx 1x x ()(2)kx kx kx x +++-+=-+，然后由韦达定理即可知道结论．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用． 21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）321932m -<<-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）对()f x 求导，1()f x a x'=-，分0a >，0a <两种情况写出函数的单调区间； （Ⅱ）对函数()g x 求导得2()3(2)1g x x m a x =++-'，根据()g x 在区间(,3)a 上有最值，得到()g x 在区间(,3)a 上总不是单调函数，从而得到()0(0)1(3)0g a g g '<⎧'=-∴⎨'>⎩，另由对任意[1a ∈，2]，g '（a ）223(2)?1510a m a a a ma =++-=+-<恒成立，分离参数即可求得实数m 的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）由已知得()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()f x a x'=-， 当0a >时，()f x 的单调增区间为1(0,)a ，减区间为1(,)a+∞； 当0a <时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间；（Ⅱ）2332()[2()]()22x mg x x m f x x a x x =+-++'=-，2()3(2)1g x x m a x ∴=++-'， ()g x 在区间(,3)a 上有最值，()g x ∴在区间(,3)a 上总不是单调函数，又()0(0)1(3)0g a g g <⎧=-∴⎨>'''⎩由题意知：对任意[1a ∈，2]，g '（a ）223(2)?1510a m a a a ma =++-=+-<恒成立，∴21515a m a a a-<=-，因为[1a ∈，2]，所以∴192m <-，对任意[1a ∈，2]，g '（3）32660m a =++>恒成立，∴323m >-∴321932m -<<-【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，体现了对分类讨论和化归转化数学思想的考查，特别是问题()II 的设置很好的考查学生对题意的理解与转化，创造性的分析问题、解决问题的能力和计算能力． 22．（1）BD=9；（2）证明过程详见解析．【解析】试题分析：（1）由题意可证得ΔOBD ∽ ΔAOC ，得对应边成比例，由此可求得BD 的值；（2）利用对边相等可证明底角相等.试题解析：（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ． ∵∠BOD =∠A ，∴ΔOBD ∽ ΔAOC ，∴BDOC =OD AC，∵OC =OD =6,AC =4，∴BD 6=64，∴BD =9．（2）∵OC =OE,CE ⊥OD ，∴∠COD =∠BOD =∠A ．∴∠AOD =1800−∠A −∠ODC =1800−∠COD −∠OCD =∠ADO ． ∴AD =AO ． 考点：三角形相似.23．（1）曲线1C 的普通方程为：，曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x ；（2【解析】试题分析：（1）利用y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222，即可将极坐标方程化为平面直角坐标系方程；消去参数α即可将曲线1C 的的参数方程化为普通方程；（2）设点P 的坐标为，然后由点到直线的距离公式得到试题解析：（1）由曲线1C ：即：曲线1C 的普通方程为：由曲线2C ：即：曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，到直线08=-+y x 的距离为时，d 的最小值为考点：参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离． 24．（1（2）{2|}x x ≤- 【解析】试题分析：（1）当2m =()1f x ≤可得 ①12241x x x ≥-+≤⎧⎨⎩，或 ② 12241x x x <-+≤⎧⎨⎩，分别求出①②的解集，再取并集，即得所求．（2），可得连续函数()f x 在R 上是增函数，故有()22f -=，分当m 的值，即为所求． 试题解析：（1）当2m =()1f x ≤可得 ①12241x x x ≥-+≤⎧⎨⎩，或② 12241x x x <-+≤⎧⎨⎩．解①可得x ∈∅，解②可得（2，连续函数()f x 在R 上是增函数，由于()2f x ≤的解集为{2|}x x ≤-，故()22f -=，时，有()222m ⨯-+=，解得6m =． 时，则有()622m ⨯--=，解得 14m =-． 综上可得，当6m =或14m =-时，f （x ）≤2的解集为{2|}x x ≤-． 考点：解绝对值不等式．。
2021届内蒙古赤峰市高三二模 数学(文)试题(解析版)
2021届内蒙古赤峰市高三二模 数学（文）试题一、单选题1．设集合{}{}20,10A B x x x ==-≥，则()AB =R（ ）A ．[0,1)B ．(0,1]C ．(,1]-∞D ．[0,1]答案：D求出集合B ，利用补集、并集的定义进行运算即可. 解：解：{}{201B x x x x x =-≥=≥或}0x ≤， {}01R B x x ∴=<<，()[]0,1AB ∴=R，故选：D.2．设复数i(12i)z =-，则z z ⋅=（ ）A ．5BCD ．3答案：A先利用复数的乘法化简复数z ，进而得到其共轭复数求解. 解：因为复数(12)2z i i i =-=+， 所以2z i =-，所以()()225z z i i ⋅=+-=， 故选：A3．设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意正整数n ，212n n a a ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A根据充分条件和必要条件的定义判断．解：{}n a 是首项为正数的等比数列，若公比0q <，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定有212n n a a ->，充分性满足，但是01q <<时，数列各项均为正，2212n n n a a q a -=<，也就是说221n n a a -<时，得不出0q <，不必要． 故选：A ．4．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平.某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A 校、B 校、C 校.现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A 校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是（ ）A ．测试成绩前200名学生中B 校人数超过C 校人数的1.5倍 B ．测试成绩前100名学生中A 校人数超过一半以上 C ．测试成绩在51—100名学生中A 校人数多于C 校人数D ．测试成绩在101—150名学生中B 校人数最多29人 答案：C根据饼状图和A 校前200名学生的分布条形图，逐个分析判即可解：解：对于A ，B 校人数为20034%68⨯=，C 校人数为20020%40⨯=，因为6840 1.560>⨯=，所以A 正确；对于B ，A 校前100名的人数有29255450+=>，所以B 正确；对于C ，A 校在51—100名的学生有25人，C 校在1—200名的学生有40人，也有可能在51—100名的学生有25人，所以C 错误；对于D ，A 校在1—100名和151—200名的学生共有29251771++=人，A 校在101—150的有21人，C 校在1—200名的有40人，但在101—150的不一定有40人，而三个学校中在1—100名和151—200名内的人数至少有150人，所以B 校至少有150714039--=人在1—100名和151—200名内，则B 至多有683929-=人在101—150内，所以D 正确， 故选：C5．设42ln2,log ,lg a b e c e ===（e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ） A ．b a c << B ．b c a <<C ．c b a <<D ．a b c <<答案：C利用对数函数单调性并借助“媒介”数即可得解.解：函数4ln ,log ,lg y x y x y x ===都是(0,)+∞上的增函数，42ln 2ln 4ln 1e e >⇒=>=，4124log 12e e <<⇒<<，110lg 2e e <⇒<， 所以c b a <<. 故选：C6．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，1D 的截面与棱11A B 交于F ，则截面1BED F 分别在平面1111D C B A 和平面11ABB A 上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值1B ．有最大值2C ．为定值2D ．为定值1答案：D证明1BED F 是平行四边形，得1CE A F =，1DE B F =，然后根据投影图形结论．解：因为平面1BED F平面ABCD BE =，平面1BED F平面11111A B C D D F =，平面1111D C B A //平面ABCD ，所以1//BE D F ，同理1//D E BF ，所以截面1AED F 是平行四边形，所以1BE D F =，所以1A F CE =，从而1B F DE =， 截面1BED F 在平面1111D C B A 上的正投影是以CE 为底，高为1的平行四边形，在平面11ABB A 上的正投影是以DE 为底，高为1的平行四边形， 因此两个投影的面积和为()11S CE DE =+⨯=为定值． 故选：D ．点评：关键点点睛：本题考查空间投影问题，解题关键是确定截面的形状，然后由正方体性质确定下面投影的形状，最后求出面积和得结论． 7．设向量,a b 满足a b ⊥，||2||a b =，若c a b ，则cos ,b c <>=（ ）A ．5B C ．D ．答案：D设1b =，求得c ，再计算出b c ⋅后可得其夹角的余弦． 解：设1b =，由2a =，因为a b ⊥，所以222222()2215c a b a a b b =-=-⋅+=+=．即5c =，2()1b c b a b a b b ⋅=⋅-=⋅-=-，cos ,15b c b c b c⋅<>===⨯．故选：D ．8．设O 为坐标原点，直线2y =与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(0,1)D ．(0,2)答案：B根据题中所给的条件OA OB ⊥，结合抛物线的对称性，4BOx π∠=，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.解：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且OA OB ⊥ 根据抛物线的对称性可以确定4BOx π∠=，所以()2,2B代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1,02故选：B.点评：关键点睛：解决本题的关键在于利用几何知识得出()2,2B ，进而代入方程得出焦点坐标.9．已知函数2()2sin cos =+f x x x x ，则有下列结论：①()f x 的最小正周期为π；②()f x的图像关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；③()f x 在232,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增；④把2cos2y x =的图像上的所有点向右平移12π()y f x =的图像，其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②④C ．①③D ．①③④答案：A由二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断． 解：21()2sin cos 21)sin 22sin 222f x x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭2sin(2)3x π=++最小正周期是22T ππ==，①正确；()2sin()633f πππ-=-+6π⎛- ⎝对称，②错；2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，452,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，345,233πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 在此区间上不单调，③错；把2cos2y x =的图像上的所有点向右平移12π式为2cos 2()2cos(2)2sin(2)1263y x x x πππ=-=-=++④正确． 故选：A ．点评：关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题关键是利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解． 10．设奇函数()f x 的定义域为R ，34f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数，当302x <≤时，3()4f x x =-，则(2020)2(2021)f f +=（ ）A ．14B ．14-C ．34D ．114-答案：B由34f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数且函数()f x 为奇函数求得函数周期为3，将问题化简为给定范围内的函数值求解即可. 解：由题知，()()()3333()442f x f x f x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+⇒+=-⇒+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()f x 的周期为3，1(2020)2(2021)(1)2(1)(1)4f f f f f +=+-=-=-， 故选：B11．已知函数()21()2f x a x x x=-+有且仅有两个零点，则实数a =（ ） A ．3227B ．3227-C ．2732 D ．2732-答案：C将函数()21()2f x a x x x=-+有且仅有两个零点，转化为()212a x x x =--由两个不同的根，在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象，利用数形结合法求解.解：令()21()20f x a x x x=-+=，则()212a x x x =--由两个不同的根，令()()212g x x x x =--，则()()23342x g x x x -'=--，当0x <时，()0g x '>，当403x <<时，()0g x '<， 当423x <<或2x >时，()0g x '>， 当43x =时， ()2732g x =，在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象，如图所示：因为函数()21()2f x a x x x=-+有且仅有两个零点， 由图象知：实数a =3227， 故选：A12．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>32A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两个点，M 是双曲线C 上异于A ，B 的动点，直线,MA MB 斜率分别12,k k ，若11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2k 的取值范围为（ ） A ．[24,4]-- B ．31,816⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[4,24]D ．13,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 答案：D首先利用点差法求得1218k k =，再根据11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得2k 的取值范围. 解：设00(,)M x y 11(,)A x y ，则11(,)B x y --，那么2200221x y a b -=，2211221x y a b-=两式相减得：22220101220x x y y a b ---=，整理得：222010101222010101()()()()y y y y y y b x x x x x x a --+==--+ 即2122b k k a= ，又因为双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为324，所以324cea==，所以2218ba=，故1218k k=，其中11,23k⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21113,8168kk⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦故选：D.点评：本题主要考查点差法化简直线的斜率之间的关系，在求解过程需要掌握这种技巧.二、填空题13．若x，y满足约束条件222022x yyx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y=+的最小值为____________.答案：1画出约束条件表示的平面区域，借助目标函数的几何意义即可得解.解：x，y满足的约束条件222022x yyx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图中阴影△ABC：目标函数z x y=+，即y x z=-+，表示斜率为-1，纵截距为z的平行直线系，作出直线l0：x+y=0，平移直线l0使其过点B时的直线纵截距最小，即z最小，由2222x yx y+=⎧⎨-=⎩得点B(1，0)，则min101=+=z.故答案为：114．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在三位数的回文数中，出现偶数的概率为_____________. 答案：49首先求出所有的三位数回文数的个数，再求出偶数的三位数回文数的个数，最后根据古典概型的概率公式求解即可.解：由题意可知，所有的三位数中回文数有：101,111,,191,202,212,,292, 909,919,,999共90个，其中偶数的回文数共有40个， 根据古典概型的概率公式得：404909P ==， 故答案为：49. 点评：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1sin 2,462A b c π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则a 的最小值为_________. 答案：2结合A 的范围求出角A 的值，结合余弦定理以及基本不等式求出a 的范围，从而可得到a 的最小值解：解：因为(0,)A π∈，所以132,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5266A ππ+=，解得3A π=， 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，则222b c a bc +-=， 所以2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，因为()244b c bc +≤=，4b c +=，所以1634bc -≥，当且仅当2b c ==时取等号， 所以24a ≥，解得2a ≥，当且仅当2b c ==时取等号， 所以a 的最小值为2， 故答案为：2点评：关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用余弦定理得2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，再由基本不等式可得()244b c bc +≤=，4b c +=， 从而得1634bc -≥，进而可求得结果，考查数学转化思想，属于中档题16．如图是一个由正方体截得八面体的平面展开图，它由六个等腰直角三角形和两个正三角形构成，若正三角形的边长为2，则这个八面体中有下列结论：①平面//ABC 平面111A B C ；②多面体111ABC A B C -是三棱柱；③直线AB 与直线11A B 所成的角为60︒；④棱1BB 所在直线与平面ABC 所成的角为4π.以上结论正确的是________.答案：①③根据平面展开图可得几何体的直观图，结合正方体的性质可得正确的选项.解：根据平面展开图结合正方体可得如图所示的几何体（如左图所示）.在正方体中，因为11//A B BC ，而11A B ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 故11//A B 平面ABC ，同理11//C B 平面ABC ，而11111A B B C B =，故平面//ABC 平面111A B C ，故①正确，根据棱柱的定义可知，多面体111ABC A B C -不是三棱柱，故②错误， 因为11//A B BC ，且=60CBA ∠︒，故直线AB 与直线11A B 所成的角为=60CBA ∠︒，故③正确，因为11//BB AC ，故1BB 与平面ABC 所成的角为即为1AC 与平面ABC 所成的角， 因为145ACA ∠=︒且平面1CA A 与平面ABC 不垂直， 故1AC 与平面ABC 所成的角小于1ACA ∠，故④错误. 故答案为：①③点评：方法点睛：给定几何体的平面展开图，需结合展开图中的线段的长度和各点相对的位置关系去复原几何体，这是解决此类问题的关键.三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且777S =，11a 是1a 和61a 的等比中项. （1）求数列{}n a 通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 答案：（1）23n a n =+；（2）5(25)n nT n =+.（1）设数列{}n a 的公差为,0d d ≠，利用等比数列的等比中项公式和等差数列的通项公式及前n 项和公式，列方程组求解即可.（2）由数列的裂项相消求和法即可求解.解：解：（1）设数列{}n a 的公差为,0d d ≠，则721116177S a a a =⎧⎨=⋅⎩，即()()121117677721060a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得15,2a d == ，∴52(1)23n a n n =+-=+ ； （2）111111(23)(25)22325n n n b aa n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， ∴121n n n T b b b b -=++++1111111112577921232325n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪++++⎝⎭， 11125255(25)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，60ADC ∠=︒，且2PA AB PB BC ====，E 为PA 的中点.（1）证明：//BE 平面PCD ； （2）求三棱锥P BCD -体积的最大值. 答案：（1）证明见解析；（2）1.（1）取PD 的中点G ，连,EG CG ，证明//BE CG ，再利用线面平行的判定定理即可证明//BE 平面PCD ；（2）先判断三棱锥P BCD -的高最大时，体积最大，然后根据图形可得当平面PAB ⊥平面ABCD 时，高最大，直接求出高和底面积，即可求出体积的最大值. 解：（1）取PD 的中点G ，连,EG CG ，在PAD △中，E 为PA 的中点，∴1//,2EG AD EG AD =， ∵底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，60ADC ∠=︒，∴4=AD ，∴//,BC EG BC EG =，∴EGCB 是平行四边形 ，∴//BE CG ，CG ⊂平面PCD ，BE ⊂平面PCD ，∴//BE 平面PCD ； （2）要使P BCD V -最大，只需三棱锥P BCD -的高最大， 当平面PAB ⊥平面ABCD 时，高最大. 此时，由2PA AB PB ===可得3h = ，max 11122sin12031332BCDV Sh =⋅=⨯⨯⨯⨯︒⨯= 即三棱锥P BCD -体积的最大值为1. 点评：立体几何解答题的基本结构：（1）第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；（2）第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果当时求体积，常用的方法有：① 直接法；②等体积法；③补形法；④向量法.19．某校的学习方法研究小组，设计了关于学习能力的问卷调查表，小组从高二年级学生中按性别（女生占55%）分层抽取n 名同学进行调查，并把学生的学习能力由低到高按1，2，3，4，5五个基数进行赋分，形成如下条形图已知基数为2的学生人数占总调查人数的425.（1）求n 与a 的值；（2）若将某同学得分所在的基数0t 作为学习能力指标（基数05t =表示学习能力高，其他均为学习能力不高）.在学习能力基数为5的学生中，男生与女生的比例为3:7，以本次抽取的n 名同学为研究对象，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为学习能力基数的高低与性别有关.男生 女生 合计 学习能力基数高 学习能力基数不高（3）为了提高同学们的学习能力，该学习方法研究小组建议学校开设学习方法系列课程经过课程.学习之后，每位同学的学习能力T 与学习能力基数0t 以及参加学习方法课程的次数k 满足函数关系式()15011kT t t e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.如果学生A 的学习能力基数为4，学生B 的学习能力基数为2，则在A 不参加学习方法课程的情况下，B 至少需要参加多少次学习方法课程，其学习能力才能超过A ？参考数据及参考公式：ln 3 1.099≈，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.答案：（1）100n = ，20a =；（2）列联表见解析，没有把握；（3）17次. （1）按样本频率等于总体频率可求得n ，然后由条形图可得a ；（2）求出学习能力强的男女生人数后可填写列联表，然后计算2K 可得结论； （3）求出学生A 的学习能力（0k =），学生B 的学习能力，列不等式求解可得． 解：（1）16425n =，所以100n = ， 100(2234168)20a =-+++= ；（2）学习能力基数为5的学生中，男生与女生的比例为3:7，男生的6人，女生有14人，22⨯列联表如表所示.22100(6413914) 2.273 2.70645558020K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯ ，所以没有90%的把握认为销售能力基数高不高与性别有关 ；（3）学生A 的学习能力0154(14)114A T e ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭.学生B 在参加了k 次学习方法课程后，其学习能力15152(12)1231k kB T e e ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由已知得1523114ke ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即153k e >，ln 3,15ln 3,16.48515k k k >>> ，所以学生B 至少需要参加17次学习方法课程，其学习能力指数才能超过学生A .点评：关键点点睛：本题考查条形图的认识，考查用样本频率估计总体频率，独立性检验，不等式的应用．解题关键是对数据的处理．独立性检验的步骤：第一步根据已知数据填写列联表，第二步根据列联表数据计算2K ，第三步与临界值比较得出结论．20．已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>P ⎛ ⎝⎭，A 为椭圆T 的右顶点，直线l 的方程为2x a =-，M ，N 为直线l 上任意两点，,M N y y 分别为点M ，N 的纵坐标，且满足9M N y y ⋅=-，连接,AM AN 分别交椭圆T 于C ，D 两点. （1）求椭圆T 的方程； （2）求证：直线CD 过定点.答案：（1）2214x y +=；（2）证明见解析. （1）由椭圆离心率为2P ⎛ ⎝⎭，列方程组求解即可. （2）设()()4,,4,M N M y N y --，写出直线AM ，AN 的方程，联立直线AM 与椭圆的方程，结合韦达定理可得224369M A C M y x x y -⋅=+，又2A x = ，进而可得,C C x y ，即可得C 点坐标，同理可得D 点坐标，又9M N y y ⋅=-，可推出2222186,99M MM My y D y y ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭，从而可得直线CD 恒过定点(0,0). 解：解：（1）由题意知，2222211314b a ab ⎧⎪-=⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆2241a b ⎧=⎨=⎩的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()4,,4,M N M y N y --， 则:(4)6M AM M y l y y x -=-+，:(4)6N AN N yl y y x -=-+， 由22(4)614M M y y y x x y ⎧-=+⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，得()()222294490M M M y x y x y +-+-=， ∴224369M A C My x x y -⋅=+，又∵2A x = ， ∴2222186,99M M C C M M y y x y y y -==++，∴2222186,99M MM M y y C y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理2222186,99N N N N y y D y y ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∵9M N y y ⋅=-，∴2222186,99M MM My y D y y ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， ∴C ，D 的两点关于坐标原点对称， ∴直线CD 恒过定点(0,0).点评：关键点点睛：本题解题的关键是联立直线与椭圆的方程及利用9M N y y ⋅=-转化，求出C ，D 的两点坐标，从而观察出C ，D 的两点关于坐标原点对称. 21．已知函数()(,)x f x e mx n m n R =++∈.（1）当0n =时，方程()0f x =有两个根，求m 的取值范围； （2）若不等式()0f x ≥恒成立，证明：ln m nx x e+≥-. 答案：（1）m e <-；（2）证明见解析.（1）求出导函数()x f x e m '=+，对m 分类讨论，利用导数研究函数的单调性及其最值可求出m 的取值范围.（2）由()0f x ≥恒成立，得出(1)0f e m n =++≥，即m n e +≥-.然后构造函数()ln m ng x x x e+=--，利用导数研究函数单调性及最值可证明结论. 解：解：（1）当0n =时，()x f x e mx =+，∵()0f x =有两个根，()x f x e m '=+ 当0m ≥时，()0f x '>，∴()f x 在R 上是增函数，∴不符合题意 ，舍去.当0m <时，()0f x '=，∴x e m =-，解得ln()x m =-， ∴()f x 在(),ln()m -∞-上是减函数，在(ln(),)m -+∞上是增函数，∴ln()min ()(ln())ln()ln()m f x f m e m e m m -=-=-=+-ln()0m m m =-+-<，即ln()1m -> ，解得m e <-.∴m 的取值范围为m e <-.证明：（2）∵()0f x ≥恒成立，∴(1)0f e m n =++≥，即m n e +≥-. 令()ln m n g x x x e +=--，则1()101g x x x'=-=⇒= ， ∴()g x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数 ， ∴max ()(1)1m n g x g e +==--，∵m n e +≥-，∴1m ne +≥- ， ∴max()0g x ≤，∴ln m nx x e+-≤.点评：关键点点睛：本题（2）问证明的关键是根据()0f x ≥恒成立，得出(1)0f e m n =++≥，即m n e +≥-，进而构造函数证明不等式.22．如图是以等边三角形OAB 的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围城的曲边三角形，记为勒洛OAB （勒洛三角形是德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 为轴正半轴为极轴建立极坐标系，（规定：极径0ρ≥，极角[,]θππ∈-），已知点2,,2,66A B ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求AB 和OB 的极坐标方程； （2）已知点2,12M π⎫-⎪⎭，Q 是AB 上的动点，求||MQ 的取值范围. 答案：（1）2,,66ππρθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，4cos ,,663πππρθθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）[22,2].（1）根据2,,2,66A B ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易得AB 极坐标方程；先求得OB 的直角坐标方程，再将cos ,sin x y ρρθρθ===代入求解；（2）设(,)(2,),,66Q ππρθθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，然后在OMQ 中，利用余弦定理结合三角函数的性质求解.解：（1）因为点2,,2,66A B ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以:2,,66AB ππρθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦ ，因为2,6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标是)1-，所以OB 的所在的直角坐标方程为22((1)4x y ++=，即2220x y y -++=，又cos ,sin x y ρρθρθ===，所以2cos 2sin 4cos 6πρθρθρθ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，即4cos 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以:4cos ,,663OB πππρθθ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）因为Q 是AB 上的动点， 设(,)(2,),,66Q ππρθθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 在OMQ 中，由余弦定理得2222cos 12MQ OQ OM OQ OM πθ⎛⎫=+-⋅⋅+ ⎪⎝⎭ ，4212πθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ ，612πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵,66ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴,12124πππθ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，∴cos 122πθ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴2||[6MQ ∈-，则||[2MQ ∈.点评：关键点点睛：本题第二问关键是根据极径和极角的几何意义，将问题转化在OMQ 中，由余弦定理而得解.23．设,,x y z ∈R ，0,1x y z xyz ++== （1）证明：0xy yz zx ++<；（2）用min{,,}x y z 表示x ，y ，z 中的最小数，证明：min{,,}x y z ≤ 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.（1）由于22220()222x y z x y z xy yz zx =++=+++++，而由题意可知2220x y z ++>，从而可证得结论；（2）不妨设x y z ≥≥，由10xyz =>，0,0,0x y z ><<，则min{,,}x y z z = ，所以只需证z ≤，然后利用基本不等式可证得x ≥2z -≥ 解：证明：（1）∵22220()222x y z x y z xy yz zx =++=+++++ ， ∵0,1x y z xyz ++==，∴0,0,0x y z ≠≠≠，∴2220x y z ++>， ∴2220xy yz zx ++<，即0xy yz zx ++<；（2）不妨设x y z ≥≥，由10xyz =>，0,0,0x y z ><<， ∴min{,,}x y z z = ，需证z ≤，∵0x y z ++=，∴()()x y z y z =--=-+-≥= 24xx≥，∴34x ≥，∴x ≥y z =时等号成立，2x y z z ≤=--≤-，即∴2z -≥，∴2z ≤-， 当且仅当y z =时等号成立，点评：关键点点睛：此题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，解题的关键是不妨设x y z ≥≥，由10xyz =>，0,0,0x y z ><<，则min{,,}x y z z = ，所以转化为证2z ≤-，然后利用基本不等式证明即可，考查推理能力，属于中档题。
内蒙古自治区赤峰市朝阳县蒙古族中学2021年高三数学文月考试题含解析
内蒙古自治区赤峰市朝阳县蒙古族中学2020-2021学年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知关于的不等式的解集为，则的最小值为（）A． B． 2 C． D．4参考答案：D等号．故选D．考点：二次函数的性质，基本不等式．【名师点睛】二次函数、二次不等式、二次方程之间有着密切关系.(1)一元二次不等式解集的端点就是对应的一元二次方程的解.(2)不等式的解集结构与二次项系数有直接的关系.(3)二次函数的图象能直观反映一元二次不等式解集的情况.记住三个“二次”之间的关系，在解题时可以做事半功倍，如本题不等式的解集为，说明二次函数图象是开口向上的抛物线，在与最多相切，也就是二次方程无解或有两个相等实根．2. 数列的通项，其前项和为，则为A． B． C． D．参考答案：A3. （3分）用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．1+3+5+…+（2k+1）=k2 B．1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2C．1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2 D．1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2参考答案：考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：首先由题目假设n=k时等式成立，代入得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）=k2．当n=k+1时等式左边=1+3+5++（2k﹣1）+（2k+1）由已知化简即可得到结果．解答：因为假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）=k2当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）=k2+（2k+1）=（k+1）2．故选B．点评：此题主要考查数学归纳法的概念问题，涵盖知识点少，属于基础性题目．需要同学们对概念理解记忆．4. 已知A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞3}，则A∩B=( )A．{x|﹣2＜x＜4} B．{x|x＞3} C．{x|3＜x＜4} D．{x|﹣2＜x＜3}参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接利用交集的概念求解．【解答】解：由A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|x＞3}，则A∩B={x|﹣2＜x＜4}∩{x|x＞3}={x|3＜x＜4}．故选C．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．5. 过点，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（）A. 1B. 2C.3 D. 4参考答案：C略6. 给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④ 函数在上是增函数．则其中真命题是( )A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②参考答案：A7. 已知集合I={0，﹣1，2，﹣3，﹣4}，集合M={0，﹣1，2}，N={0，﹣3，﹣4}，则N∩（?I M）=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．?参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出C I M={﹣3，﹣4}，由此能求出（C I M）∩N．【解答】解：∵全集I={0，﹣1，2，﹣3，﹣4}，集合M={0，﹣1，2}，N={0，﹣3，﹣4}，∴C I M={﹣3，﹣4}，∴（C I M）∩N={﹣3，﹣4}．故选：B．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8. 函数，当时，则此函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．参考答案：B9. 在△ABC中，，若此三角形有两解，则b的范围为（）A． B．b > 2 C．b<2 D．参考答案：A10. 设函数y=的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）参考答案：B【分析】利用函数的定义域分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：函数y=的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B，∴A={x|4﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}．∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义、函数性质的合理运用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是_________。
内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期联合考试数学试题(含答案)
内蒙古赤峰市名校2025届高三上学期联合考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={x∈Z|x2<5}，B={x|x+1>0}，则A∩B=( )A. (−1,5)B. {0,1,2}C. {1,2}D. (−1,2)2.若复数z满足(2+i)z=10i，则z的虚部为( )A. 2iB. 4C. 2D. 4i3.已知A(2,1)，B(m,4)，BC=(3,1)，若A，B，C三点共线，则m=( )A. 11B. 9C. 7D. 64.已知曲线C：y=e x+x在点A处的切线与直线2x−y+2=0平行，则该切线方程是( )A. 2x−y=0B. 2x−y−2=0C. 2x−y−1=0D. 2x−y+1=05.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,0<ω<5,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω=( )A. 247B. 154C. 3D. 46.已知在▵ABC中，M是线段BC上异于端点的任意一点．若向量AM=aAB+bAC，则2a +8b的最小值为( )A. 6B. 12C. 18D. 247.把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是θ′∘C，空气的温度是θ0∘C，则tmin后该物体的温度θ∘C 满足θ=θ0+(θ′−θ0)e−t4.若θ0,θ′不变，在t1min,t2min后该物体的温度分别为θ1∘C,θ2∘C，且θ1>θ2，则下列结论正确的是( )A. t1>t2B. t1<t2C. 若θ′>θ0，则t1>t2；若θ′<θ0，则t1<t2D. 若θ′>θ0，则t1<t2；若θ′<θ0，则t1>t28.在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ABC=90∘，点P在△ABC内部，且∠BPC=90∘，AP=2，记∠ABP=α，则tan2α=( )A. 32B. 23C. 43D. 34二、多选题：本题共3小题，共18分。
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内蒙古赤峰市数学高三上学期文数第二次月考试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2018 高一上·长春月考) 已知
则
（）
，集合
，若
有三个元素，
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2019 高三上·东莞期末) 已知复数 A.2 B. C. D.
（ 为虚数单位），则
（）
3. （2 分） (2016 高一上·大名期中) 下列函数中，与 y= A . f（x）=x﹣1
的奇偶性和单调性都相同的是（ ）
B . f（x）=
C . f（x）=x2
D . f（x）=x3
4. （2 分） 已知一个几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 （ ）
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A.
B.
C.
D.
5. （2 分） 若“ ”为真命题，则下列命题一定为假命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. （2 分） (2017 高一下·宜昌期末) 设{an}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣4=a2 ， 则 a3=（ ）
A.2
B . ﹣2
C.8
D . ﹣8
7. （2 分） 函数
的单调递减区间为（ ）
A.
B.
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C. D. 8. （2 分） (2016 高二上·上杭期中) 已知等比数列{an}的公比为正数，且 a4•a8=2a52 ， a2=1，则 a1=（ ） A. B.2 C.
D. 9. （2 分） (2017 高三上·长葛月考) 函数
在
上的图象为（ ）
A.
B.
C.
第 3 页 共 13 页
D. 10. （2 分） (2017·资阳模拟) 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所 在圆的圆心为点 C，半径为 ，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若 =x +y ，其中 x，y∈R， 则 4x﹣y 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. （2 分） 已知角 φ 的终边经过点 P（3，﹣4），函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的相邻两条对称
轴之间的距离等于 ，则
=（ ）
A.-
B.
C.-
第 4 页 共 13 页
D.
12. （2 分） (2020·洛阳模拟) 设
是定义在 上的函数，满足条件
时，
，则
，
的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
，且当
13. （1 分） (2017 高三上·唐山期末) 已知
点，则
________.
是函数
在
内的两个零
14. （1 分） 若 x，y 满足不等式组
，且 z=2x﹣3y 的最大值为 13，则实数 m=________．
15. （1 分）(2019 高三上·宁德月考) 在边长为 2 的菱形
中，
，以
折起，使点 到达点 的位置，且点 在面
内的正投影为
的重心 ,则
的球心 到点 的距离为________.
为折痕将 的外接球
16. （1 分） 已知 a，b∈R* ， 且 ab2=4，则 a+b 的最小值为________．
三、 解答题 (共 7 题；共 75 分)
17. （15 分） (2019 高一下·巴音郭楞月考) 已知：在数列 中，
，
．
（1） 令
，求证：数列 是等差数列；
（2） 若 为数列 的前 项的和，
对任意
恒成立，求实数 的最小值．
18. （10 分） (2018 高二下·鸡泽期末) 某种产品的广告费用支出 与销售额 之间有如下的对应数据：
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24568 30 40 60 50 70
（1） 画出散点图；并说明销售额 y 与广告费用支出 x 之间是正相关还是负相关？
（2） 请根据上表提供的数据，求回归直线方程
；
（3） 据此估计广告费用为 10 时，销售收入 的值.
（参考公式：
，）．
19. （10 分） (2018 高二上·通辽月考) 已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，cos A＝
，
sin B＝ cos C．
（1） 求 tan C 的值；
（2） 若 a＝
，求△ABC 的面积．
20. （10 分） (2018 高一下·黄冈期末) 已知函数
＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
（1） 求函数
的最小正周期；
（2） 求函数
在区间
上的最大值和最小值．
21. （10 分） 设函数 f（x）=lnx﹣ax2（a＞0）．
（1） 讨论函数 f（x）零点的个数；
（2） 若函数 f（x）有极大值为
，且存在实数 m，n，m＜n 使得 f（m）=f（n），证明：m+n＞4a．
22. （10 分） (2016 高二下·丰城期中) 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos（θ﹣ ）=1，A，B 分别为 C 与 x 轴，y 轴的交点．
（1） 写出 C 的直角坐标方程，并求 A，B 的极坐标；
（2） 设 M 为曲线 C 上的一个动点，
=λ•
（λ＞0），|
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|•|
|=2，求动点 Q 的极坐标方
程． 23. （10 分） (2013·湖南理) 在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径称
为 M 到 N 的一条“L 路径”．如图所示的路径 MM1M2M3N 与路径 MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”．某地有三个新建居 民区，分别位于平面 xOy 内三点 A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在 x 轴上方区域（包含 x 轴）内 的某一点 P 处修建一个文化中心．
（1） 写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （2） 若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点 P 的位置，使其到 三个居民区的“L 路径”长度之和最小．
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一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、
二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)
13-1、 14-1、
参考答案
15-1、
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16-1、
三、 解答题 (共 7 题；共 75 分)
17-1、
17-2、
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18-1、
18-2、 18-3、 19-1、 19-2、 20-1、
第 10 页 共 13 页
20-2、21-1、
21-2、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、。