回扣2

回扣2 函数与导数[知识方法回顾]1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③实际问题应使实际问题有意义．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}； ④指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是全体正实数；⑤对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域为R .2．函数的性质(1)函数的奇偶性奇偶性是函数在定义域上的整体性质①偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的区间上具有相反的单调性；②奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的区间上具有相同的单调性；③若f (x )为奇函数且0在其定义域内则f (0)＝0；④若f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)．(2)函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性．(3)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x ) (a ≠0)，则其一个周期为T ＝|a |.②常见两种形式：f (x ＋a )＝－f (x )，f (x ＋a )＝m f (x )(a ≠0)，m 为非零常数，则2a 为f (x )的一个周期． ③若已知函数f (x )相邻的两个对称中心或两条对称轴，则相邻两对称中心或两对称轴之间距离的2倍为f (x )的一个周期．④若已知函数f (x )的一个对称中心和相邻的一条对称轴，则对称中心到对称轴距离的4倍为f (x )的一个周期．3．函数图象(1)利用基本函数图象的变换作图①平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换：y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x )． ③对称变换：y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．(2)函数图象的对称性①如果函数f (x )满足对任意x 都有f (a ＋x )＝f (b －x )，则这个函数图象关于直线x ＝a ＋b 2对称，反之亦然；②如果函数f (x )满足对任意x 都有f (a ＋x )＝－f (b －x )，则这个函数图象关于⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0中心对称，反之亦然．注意这个结论中b ＝a 的情况． 4．熟记指数式与对数式的七个运算公式a m ·a n ＝a m ＋n ；(a m )n ＝a mn ；log a (MN )＝log a M ＋log a N ； log a M N＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M ；a log a N ＝N ； log a N ＝log b N log b a(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)． 5．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝a x (a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；y＝log a x(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a>1时，y＝a x在R上单调递增；y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，y＝a x在R上单调递减；y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减．6．函数与方程(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点⇔f(x0)＝0⇔(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．7．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．8．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0 (x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．9．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．10．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x ；②ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x .③ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．(2)微积分基本定理：一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )．[易错易忘提醒]1．函数的定义域与值域都是一个集合，最后结果要写成集合或区间的形式．2．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．3．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．4．函数的零点不是点，是函数图象与x 轴交点的横坐标．5．画函数图象或由解析式辨别其函数图象时注意函数定义域、值域、单调性、奇偶性等性质的应用．6．解决与指数函数、对数函数有关问题时，要注意对底数取值范围的讨论．7．求曲线在某点处的切线方程时，首先要检验该点是否在曲线上．若该点在曲线上，则直接利用导函数的几何意义表示切线斜率；若该点不在曲线上，则应设出切点坐标，利用导数的几何意义和斜率公式建立方程，确定切点坐标和切线方程．8．记准基本初等函数的求导公式和基本的求导法则．特别要记准(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；以及除式求导法则：⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－g ′(x )f (x )[g (x )]2. 9．求可导函数f (x )的单调区间，就是解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，但要注意两点：一是解不等式必须在函数的定义域内，不能把导函数解析式的定义域当成函数的定义域；二是函数的单调区间不能“并”．10．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )>0的解集为(a ，b )．11．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．12．函数f (x )的极大值与极小值之间无大小关系，极大值也可能比极小值小．13．要注意区别极值和最值，最值是函数的整体性质，而极值是函数的局部性质；最值反映了函数值的取值情况，而极值反映了导函数符号的变化情况．。