郴州市高二(数学)文2015下
湖南省郴州市安仁县城关中学高二化学模拟试卷含解析
湖南省郴州市安仁县城关中学高二化学模拟试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。
）1. 下列有机物中，不属于烃的衍生物的是（）A.卤代烃B.酒精C.氯仿D.邻甲乙苯参考答案：D略2. 将1 mL 0.1 mol·L-1的H2SO4溶液加入纯水中制成200 mL溶液，该溶液中由水自身电离产生的c(H+)最接近于（）A.1×10-3 mol·L-1B. 1×10-11 mol·L-1C.1×10-7 mol·L-1D. 1×10-13 mol·L-1参考答案：B略3. 常温下，纯水中存在电离平衡：，若要使水的电离平衡向正方向移动，并使c(H+)增大，应加入的适当物质是A．NaHSO4 B．AlCl3 C．NaHCO3D．CH3COONa参考答案：B4. 实验室可用锌和稀硫酸制备氢气，该反应属于A. 复分解反应B. 分解反应C. 化合反应D. 氧化还原反应参考答案：D试题分析：根据化学反应Zn+H2SO4=ZnSO4+H2↑，该反应是置换反应，锌元素的化合价由0价升高到+2价，该反应也属于氧化还原反应，答案选D。
5. 丙烯醛的结构简式为CH2=CH—CHO，下列叙述不正确的是A．既能使溴水褪色，又能使酸性高锰酸钾溶液褪色B．在一定条件下，与等物质的量的氢气反应生成1—丙醇C．能发生银镜反应，表现出氧化性D．在一定条件下，能被空气氧化为丙烯酸参考答案：BC6. 下列说法或表示方法中正确的是（）A．吸热反应中，新化学键形成吸收能量；放热反应中，新化学键形成放出能量B．等质量的硫蒸气和硫磺分别完全燃烧，后者放出的热量多C．相同体积浓度均为0.1 mol/L 盐酸和醋酸溶液分别与足量的NaOH稀溶液反应，前者放出热量多[来源:学科网]D．氢气的燃烧热为285.8 kJ/mol，则氢气燃烧的热化学方程式为：2H2(g)＋O2(g)===2H2O(l) ΔH＝－285.8 kJ/mol参考答案：C略7. 将2.5g金属混合物的粉末跟足量的盐酸反应，生成2.24 L H2(标况)，则此金属混合物可能是（）A. Mg和AlB. Al和FeC. Fe和ZnD. Zn和Cu参考答案：B略8. 表示一个原子在第三电子层上有10个电子可以写成（）A. 310B. 3d10C. 3s23p63d2D. 3s23p64s2参考答案：C略9. 已知短周期元素的离子a A2＋、b B＋、c C3－、d D－具有相同的电子层结构，则下列叙述正确的是()A. 原子半径：A>B>C>DB. 原子序数：d>c>b>aC. 离子半径：C3－>D－>B＋>A2＋D. 元素的第一电离能：A>B>D>C参考答案：CaA2+、bB+、cC3-、dD-都具有相同的电子层结构，则一定满足关系式a－2＝b－1＝c＋3＝d ＋1。
2025届湖南省郴州市第二中学化学高二第一学期期末调研模拟试题含答案
2025届湖南省郴州市第二中学化学高二第一学期期末调研模拟试题含答案注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(共包括22个小题。
每小题均只有一个符合题意的选项）1、依据氧化还原反应：2Ag+（aq）+Cu（s）═Cu2+（aq）+2Ag（s）设计的原电池如图所示．下列说法不正确的是（）A．电极X的材料是铜B．电解质溶液Y是硝酸银溶液C．银电极为电池的正极，发生的电极反应为：Ag++e﹣═AgD．盐桥中的阳离子向硫酸铜溶液中移动2、铝热反应属于四大基本反应类型中的（）A．复分解反应B．分解反应 C．置换反应 D．化合反应3、在密闭容器中的一定量混合气体发生反应：aA（g）+bB（g）cC（g），达到平衡后，测得A的浓度为0.5mol・L-1，在温度不变的情况下，将容器的容积扩大到原来的两倍，测得A的浓度为0.3mol・L-1，则下列判断正确的是A．a+b<c B．C的体积分数下降C．B的浓度增大D．A的转化率增大4、一定温度下,1L恒容密闭容器中发生反应:2A(g)+B(g)C(g) ΔH。
其他条件不变,改变起始A和B的投料比得到如图所示关系。
下列说法错误的是A．n(A)/n(B)=2时，A和B的转化率相等B．ΔH<0C．a=2D．相同温度下，平衡常数与起始投料比无关5、下列关于浓硫酸的说法错误的是A．保存在棕色试剂瓶中B．不易挥发C ．具有吸水性和脱水性D ．能使铁、铝钝化6、已知反应：H 2(g)＋12O 2(g)=H 2O(g) ΔH 112N 2(g)＋O 2(g)=NO 2(g) ΔH 2 12N 2(g)＋3/2H 2(g)=NH 3(g) ΔH 3 则反应2NH 3(g)＋72O 2(g)=2NO 2(g)＋3H 2O(g)的ΔH 为（ ）A ．2ΔH 1＋2ΔH 2－2ΔH 3B ．ΔH 1＋ΔH 2－ΔH 3C ．3ΔH 1＋2ΔH 2＋2ΔH 3D ．3ΔH 1＋2ΔH 2－2ΔH 37、除去NaCl 中的FeCl 3需加入的试剂是（ ） A ．NaOHB ．石灰水C ．铜片D ．氨水8、把pH=2的H 2SO 4和pH=11的NaOH 溶液混和，混和液pH=7。
湖南省郴州市2015届高三第二次教学质量监测数学(文)试题
湖南省郴州市2015届高三第二次教学质量监测数学（文）试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科日。
2．学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4．本试题卷如缺页，考生须声明，否则后果自负。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给卅的四个选项中，只有一项是符合题日要求的．1．设集合M={x∈R| 1g x=0}，N={x ∈R|- 2<x<0}，则A．M⊆N B．M⊇N C．M=N D．M N=∅2．下列四个命题中，真命题的是A．∃x0∈Z,1<4x o<3 B．∃x0∈Z,5x0+l=0C．∀x∈Z,x2－1=0 D．∀x,∈R，x2－x+2>0,3．已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是A．若l∥α，α⊥β，则l∥βB．若l⊥α，α∥β，m cβ，则l⊥mC．若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD．若l⊥α，α⊥β，则l∥β4．若复数。
满足z（1－i）=2，则复数z的共轭复数z=A．1-i B．1+i C D．2-2i5．下列两个程序（1）和（2）的运行的结果i分别是A．7，7 B．7，6 C．6，7 D．6，66．已知△ABC中A、B、C为三个内角且siri2C+sinAsinB=sin2A+sin2B，则角C等于A．30o B．120o C．60o D．150o7．已知△ABC 是等腰三角形，∠A BC=120o ，以A ．B 为焦点的双曲线过点C ，则此双曲线的离心率为A ．B ．CD8．若实数x ，y 满足|x －1|－ln1y=0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是9．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2的焦点，P 是C 上一点，若，则△OPF 的面积为 A ．B ．C ．D ．10．已知两点A （l ，0），B （－l），O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC=135o ，设,(OA OA OB λλ=-+∈R ）则实数λ等于 ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分孑巴答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 11．已知曲线y=a sin x+ cos x 在x=0处的切线方程为x-y+l=0，则实数以的值为 ．12．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，点M 的极坐标为M （2，2π），直线l 的参数方程为21x ty t =⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则点M 到直线l 的距离为 ．13．设x, y 满足约束条件112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩，则z= 2x －y 的最小值为 ．14．在等差数列｛a n ｝中，a 1=3，公差为d ，前n 项和为S n , 当且仅当n=6时S n 取得最大值，则d 的取值范围是 ． 15．设函数f （x ）=1g （21x-+a ）是奇函数，则使f （x ）<0的x 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分）已知函数f （x ）= cos 2（x 6π+），（x ∈R ）．（I ）求f （x ）的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f （C+12π）=0，且CA ．CB =8,求△ABC 的面积．17．（本小题满分12分）为了解甲、乙两种品牌手机的电池充满电后的待机时间（假设都在24～96小时范围内），从这两种手机的电池中分别随机抽取100个进行测试．结果统计如下表．（I ）估计甲品牌手机的电池充满电后的待机时间小于48小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌的手机的电池充满电后，某个电池已使用了48小时，试估计该电池是甲品牌手机的电池的概率： （Ⅲ）由于两种品牌的手机的某些差异，普遍认为甲品牌手机比乙品牌手机更显“低调”，销售商随机调查了110名购买者，并将有关数据整理为不完整的2x2列联表，写出表中A 、B 、C 、D 、E 的值，并判断是否有990/c 的把握认为喜欢“低调型”手机与消费者的年龄有关？附：其中18．（本题满分12分）如图，在五面体A BCDEF 中，四边形ADEF 是正方形，FA ⊥平面4BCD ，BC ∥AD ，, ∠BAD=∠CDA=45o ．（I ）求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； （Ⅱ）证明平面CDE ⊥平面ABF; （Ⅲ）求五面体ABCDEF 的体积．19．（本小题满分13分）已知数列｛a n ｝的前n 项的和为S n 且S n =12na -（n ∈N *），数列｛b n ｝是公差d>0的等差数列且b 3、b 5是方程x 2－14x+45=0的两根． （I ）求数列｛a n ｝，｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）记c n ，= a n b n 求证：c n+1n c ≤； （Ⅲ）求数列｛c n ｝的前n 项和T n ． 20．（本大题满分13分）已知椭网C 的中心在原点，焦点在x ，且经过点P （4，1）． （I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点P 的直线l ：y=l 与椭圆的另一个交点为Q ，点A 、B 是椭网C 上位于直线l 两侧的动点，且直线AP与BP 关于l 对称，求四边形APBQ 面积的最大值．21．(本小题满分13分）已知函数f（x）=ax+lnx（a R）（I）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值为2，求实数a的值；（Ⅲ）当a=-l时，试判断函数g（x）=f（x）+1nxx在其定义域内的零点的个数．。
湖南省郴州市部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一、二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-.若()a ab ⊥+ ，则m =__________.【答案】3-【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂直的性质建立方程，求解参数即可.【详解】因为向量()1,2a =- ，(),4b m =- ，所以()1,2a b m +=--，因为()a ab ⊥+，所以(1)40m ---=，解得3m =-.故答案为：3-13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos ,19·DB A D DB A D DB A D ==-，所以异面直线1DB 与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x =-，若函数()()()()()2121f x g x a g x a =+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a 的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x =，可得()2g x =或()1g x a =--，函数有三个零点，则需方程()1g x a =--有两个解，则=与1y a =--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x =，可得()()()()21210g x a g x a ⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a -++=，所以()2g x =或()1g x a =--，由()2g x =，又()21xg x =-，可得212x -=，解得21x =-或23x =，方程21x =-无解，方程23x =有一解，故()2g x =有一解，要使函数()()()()()2121f x g x a g x a ⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a =--有两解，即=与1y a =--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a <--<，解得21a -<<-.所以a 的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得2cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则2cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得12m -±=或0m =或2m =或14m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫-⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
2021年湖南省郴州市桂东县第一中学高二数学文测试题含解析
2021年湖南省郴州市桂东县第一中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线，当变化时，直线被椭圆截得的最长弦长是（）.A.4B.2C.D.不能确定参考答案：C略2. 双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．参考答案：C3. 在等差数列{}中，已知则等于（）A.40B.42C.43D.45参考答案：B4. 设，则的值为（）A.0B.C.D.参考答案：A略5. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且＝2 347x－6 423；②y与x负相关且＝－3 476x＋5 648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A．①② B．②③ C．③④ D．①④参考答案：D6. 若函数则“”是“函数在上单调递减”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A7. 设均为直线,其中在平面的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要参考答案：C略8. 将两枚质地均匀透明且各面分别标有1，2，3，4的正四面体玩具各掷一次，设事件A＝{两个玩具底面点数不相同}，B＝{两个玩具底面点数至少出现一个2点}，则P（B｜A）＝A、B、 C、D、参考答案：C9. 已知f（x）=+ax，若f（ln3）=2，则f（ln）等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用函数的解析式求出f（x）+f（﹣x）的值，然后求解f（ln）．【解答】解：因为，所以．∵，∴．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质的应用，函数值的求法，考查计算能力．10. ．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列六个命题：①是函数；②函数在区间上递减；③函数的图象是一条直线；④是的充分不必要条件；⑤若是虚数，则；⑥若函数的值域是，则它的定义域一定是。
郴州市五年级数学试卷
郴州市五年级数学试卷一、数与代数（40分）1. 整数与小数（12分）填空题（每空1分，共4分） 1.1 一个数由5个十万、8个千和6个十组成，这个数写作（）。
1.2 3.05中的3在（）位上，表示（）个（）；5在（）位上，表示（）个（）。
1.3 把32.5先扩大100倍，再缩小10倍得到的数是（）。
1.4 7800立方分米 =（）立方米选择题（每题2分，共4分） 1.5 下列算式中，积最小的是（） A. 4.9 × 0.8 B. 0.49 × 8 C. 49 × 0.08 D. 490 × 0.008 1.6 一个两位小数四舍五入后是6.0，这个两位小数最大可能是（） A. 6.04 B. 6.03 C. 5.99 D.5.95计算题（每题2分，共2分） 1.7 直接写出得数：7.2 ÷ 0.6 =应用题（每题2分，共2分） 1.8 一瓶果汁2.5升，正好倒满8个相同的杯子，平均每杯果汁有多少升？（用小数表示结果）2. 分数与百分数（14分）填空题（每空1分，共4分） 2.1 把一根3米长的绳子平均分成4段，每段长（）米，每段是全长的（）（用分数表示）。
2.2 (7/12)的分数单位是（），它有（）个这样的分数单位。
2.3 5千克的香蕉分给小朋友吃，每人吃了(1/3)，则吃了（）千克。
2.4 0.4 = （）/20 = （）%判断题（每题1分，共2分） 2.5 真分数的分子一定比分母小。
（） 2.6 一个不为0的数乘一个假分数，所得的积一定比这个数大。
（）计算题（每题2分，共4分） 2.7 计算：(3/4) + (2/5) = 2.8 一个数的(3/5)是18，这个数是多少？应用题（每题2分，共2分） 2.9 某班有男生25人，占全班人数的50%，该班女生有多少人？3. 代数式与方程（14分）填空题（每空1分，共3分） 3.1 a与它的2.5倍相差（）。
湖南省郴州市2024_2025学年高二数学下学期期末教学质量监测试题含解析
湖南省郴州市2024-2025学年高二数学下学期期末教学质量监测试题（含解析）一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.设集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数的模为5，虚部为-4，则复数（）A.B.C.或D.3.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（）A.3B.6C.7D.84.刘徽(约公元225年—295年)，魏晋期间宏大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形如图1所示，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（）A.B.C.D.5.设，，，则（）A.B.C.D.6.已知平面对量，满足，，，若，则的最大值为（）A.1B.C.D.27.为了加强新冠疫苗的接种工作，某医院欲从5名医生和4名护士中抽选了3人(医生和护士均至少有一人)安排到，，三个地区参与医疗支援工作(每个地区一人)，方案要求医生不能去地区，则安排方案共有（）A.264种B.224种C.200种D.236种8.已知函数（且）．若函数的图象上有且只有两个点关于原点对称，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、多选题(每小题4分，共20分)9.甲、乙两名同学在本学期的六次考试成果统计如图，甲、乙两组数据的平均值分别为､，则（）A.每次考试甲的成果都比乙的成果高B.甲的成果比乙稳定C.肯定大于D.甲的成果的极差大于乙的成果的极差10.已知，则下列结论肯定正确的是（）A.B.C.D.11.关于函数有下述四个结论，其中正确的结论是（）A.是偶函数B.在上有3个零点C.在上单调递增D.的最大值为212.如图所示，正三棱柱各棱的长度均相等，为的中点，､分别是线段和线段上的动点(含端点)，且满足，当､运动时，下列结论中正确的是（）A.是等腰三角形B.在内总存在与平面垂直的线段C.三棱锥的体积是三棱柱的体积的D.三、填空题:每小题4分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．13.已知直线是函数的一条对称轴，写出的一个可能值为________.14.已知随机变量，满足，， ________.15.已知的绽开式中的各项系数的和为2，则该绽开式中的常数项为________．16.已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是________；最小值是________.四、解答题(共70分． )17.在中，内角，，的对边分别为，，，且（1）求；（2）若的面积为，为的中点，求的最小值.18.已知正项数列的前项和为，对有 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前项和 .19.如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足 .（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20.足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机App(应用程序)公司为了了解居民运用这款App运用者的人数及满足度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，从运用这款App的人数的满足度统计数据如下：月份 1 2 3 4 5不满足的人数120 105 100 95 80（1）请利用所给数据求不满足人数与月份之间的回来直线方程，并预料该小区10月份的对这款App不满足人数：（2）工作人员发觉运用这款App居民的年龄近似听从正态分布，求的值；（3）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否运用这款App与性别的关系，得到如表：运用App不运用App女性48 12男性22 18能否据此推断有99%的把握认为是否运用这款App与性别有关？参考公式：， .附：随机变量：，则，，(其中 )P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63521.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）设，是圆上异于原点的两点，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过肯定点，并求出该定点的坐标.22.某校高二年级为了丰富学生的课外活动，每个星期都实行“欢乐体育”活动.在一次“套圈圈”的嬉戏中，规则如下：在规定的4米之外的地方有一个目标物体，选手站在原地丟圈，套中目标物即获胜；规定每小组两人，每人两次，套中的次数之和不少于3次称为“最佳拍档”，甲､乙两人同一组，甲､乙两人丟圈套中的概率为别为pi，p2，假设两人是否套中相互没有影响.（1）若，设甲､乙两人丟圈套中的次数之和为，求的分布列及数学期望 . （2）若，则嬉戏中甲乙两人这一组要想获得“最佳拍档”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮嬉戏才行？并求此时，的值.答案解析部分一、单选题1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】 C【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：故答案为：C【分析】依据交集的定义求出A∩B即可.2.若复数的模为5，虚部为-4，则复数（）A.B.C.或D.【答案】 C【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数求模【解析】【解答】设，，∴ ，解得，∴ .故答案为：C【分析】设复数，，依据复数的模求出x的值，即可求出复数z的值。
2015湖南郴州中考数学试卷(含答案)
2015年湖南省郴州市中考数学试卷（满分130分，考试时间120分钟）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分。
） 1.（2015湖北郴州，1，3）2的相反数是 A. 21-B.21 C.﹣2 D. 2【答案】C2. （2015湖北郴州，2，3）计算(－3)2的结果是 A.﹣6 B. C.﹣9 D. 9 【答案】D3. （2015湖北郴州，3，3）下列计算正确的是 A. 43x x x =+B. 532x x x =⋅C. ()532x x =D. 339x x x =÷【答案】B4. （2015湖北郴州，4，3）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是【答案】A5. （2015湖北郴州，5，3）下列图案是轴对称图形的是A B C D 【答案】A6. （2015湖北郴州，6，3）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92,100,96,93,96，98,95,则这位同学成绩的中位数和众数分别是A.93,96B.96,96C.96,100D.93,100 【答案】B7. （2015湖北郴州，7，3）如图为一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象，则下列正确的是 A.k ＞0，b ＞0 B. k ＞0，b ＜0 C. k ＜0，b ＞0 D. k ＜0，b ＜0【答案】C8. （2015湖北郴州，8，3）在矩形ABCD 中，AB =3，将△ABD 沿对角线BD 对折，得到△EBD ，DE 与BC 交于点F ，∠ADB =30°，则EF = A.3B. 32C.3D. 33【答案】A二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分.）9. （2015湖北郴州， 9，3）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，3200000000用科学记数法表示为____________. 【答案】3.2×10910. （2015湖北郴州， 10，3）已知圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，则该圆锥的侧面积为____________cm 2. 【答案】3π11. （2015湖北郴州， 11，3）分解因式：2a 2－2=______. 【答案】2(a +1)( a －1)12. （2015湖北郴州， 12，3）函数21-=x y 中自变量x 的取值范围是____________. 【答案】x ≠2 13. （2015湖北郴州， 13，3）如图，已知直线m ∥n ，∠1=100°，则∠2的度数为____________.【答案】80°14. （2015湖北郴州， 14，3）如图，已知AB 是⊙O 上，若∠CAB =40°，则∠ABC 的度数为____________.【答案】50°15. （2015湖北郴州， 15，3）在m 2□6m □9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为____________. 【答案】2116. （2015湖北郴州， 16，3）请观察下列等式的规律：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯31121311，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯513121531， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯715121751，⎪⎭⎫⎝⎛-=⨯917121971，则=⨯++⨯+⨯+⨯101991751531311 ____________.【答案】10150三、解答题（17~19每题6分，20~23每题8分，24~25每题10分，26题12分，共82分）17．（2015湖北郴州， 17，6）︒--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-60sin 2320152101.【答案】原式=1232312=⨯-+-18. （2015湖北郴州， 18，6）解不等式组：()211231x x -≤-⎧⎪⎨+>⎪⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来.【答案】由①得，21≤x ，由②得，1->x ，所以不等式组的解集是-1<x <2119. （2015湖北郴州， 19，6）如图，点A (1，2)是正比例函数y 1= kx (k ≠0)与反比例函数2my x(m >0)的一个交点． (1)求正比例函数及反比例函数的表达式；(2)根据图象直接回答：在第一象限内，当x 取何值时，y 1 < y 2?【答案】（1）把点A(1，2)代入正比例函数y1= kx，得k=2 所以正比函数的表达式为y= 2x把点A(1，2)代入2myx，得m=2所以反比例函数的表达式为2 yx（2）0<x<120.（2015湖北郴州，20，8）郴州是某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A.艺术类；B.文学类；C.科普类；D.其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.（1）这次统计共抽取了______本书籍，扇形统计图中的m=______，∠α的度数是______ （2）请将条形统计图补充完整；（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.【答案】解：（1）∵A组的本数为40，占20%∴总人数为40÷20%=200（本）∵C组的本数为80∴m=80÷200×100=40∵D组的本数为20∴∠α=20÷200×360°=36°（2）B组的本数=200-40-80-20=60（本）（3）3000×60200＝900（本） 答:估计全校师生共捐赠了300本文学类书籍.21. （2015湖北郴州， 21，8）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵数. 【答案】解：设樱花树的单价为x 元，根据题意，得 ()30007000300030150%x x -+=+解得 x=200经检验x=200是所列分式方程的根且符合题意则7000300020200-=（棵）答：樱花树的单价是200元，棵数为20棵.22. （2015湖北郴州， 22，8）如图，要测量A 点到河岸BC 的距离，在B 点测得A 点在B 点的北偏东30°方向上，在C 点测得A 点在C 点的北偏西45°方向上，又测得BC =150m .求A 点到河岸BC 的距离.（结果保留整数）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）【答案】解：如图，过点A 做AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为点A 到河岸BC 的距离. 由题意知∠BAD =30°，∠CAD =45°， ∴在Rt △ADC 中，CD =AD ,在Rt △ABD 中,BD =ADtan 30°，∵BD+CD=150∴AD+AD tan30°=150即311503AD⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭解得450450953 1.7333AD=≈≈++（m）答：A点到河岸BC的距离是95 m.23.（2015湖北郴州，23，8）如图，AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E,F.（1）求证：△AOE≌△COF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由.【答案】(1)证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO.∵点O是AC的中点，∴AO=CO.又∵∠EOA=∠FOC,∴△AOE≌△COF.(2)当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形.理由如下：由（1）知△AOE≌△COF∴OE=OF又∵AO=CO∴四边形AFCE是平行四边形.∴当EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形.24.（2015湖北郴州，24，10）阅读下面的材料：如果函数y= f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数；（2） 若x 1＜x 2，都有f (x 1)＜ f (x 2)，则称f (x )是减函数； 例题：证明函数()xx f 2=（x ＞0）是减函数.证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0， f (x 1)﹣f (x 2)=()211221122122222x x x x x x x x x x -=-=- ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2-x 1＞0，且x 1x 2＞0， ∴()21122x x x x -＞0，即f (x 1)＞ f (x 2) ∴函数()xx f 2=（x ＞0）是减函数.根据以上材料，解答下面的问题： （1）函数()21x x f =（x ＞0），()11112==f ，()412122==f . 计算：()=3f _______，()=4f _______，猜想()21x x f =（x ＞0）是_______函数（填“增”或“减”）（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想. 【答案】（1）()913132==f ，()1614142==f .（2）证明：假设x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，f (x 1)﹣ f (x 2)= ()()2221121222212122222111x x x x x x x x x x x x -+=-=- ∵x 1＜x 2，且x 1＞0，x 2＞0，∴x 2-x 1＞0，且x 1x 2＞0， ∴()()22211212x x x x x x -+＞0，即f (x 1)＞ f (x 2)∴函数()21xx f =（x ＞0）是减函数.25. （2015湖北郴州， 25，10）如图，已知抛物线经过点A （4，0），B （0，4），C （6，6）. （1）求抛物线的表达式；（2）证明：四边形AOBC 的两条对角线互相垂直；（3）在四边形AOBC 的内部能否截出面积最大的□DEFG ？（顶点D,E,F,G 分别在线段AO ，OB,BC,CA 上，且不与四边形AOBC 的顶点重合）若能，求出□DEFG 的最大面积，并求出此时点D 的坐标；若不能请说明理由.【答案】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)由已知条件，得416403666ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得231134abc⎧=⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎩（2）证明：设直线OC的表达式为y＝kx(k≠0)把点C（6,6）代入上式，得6=6k，解得k=1，∵直线OC的表达式为y＝x∴OC平分∠AOB又∵OA=OB=4∴OC⊥AB即四边形AOBC的两条对角线互相垂直.（3）能设点D的坐标为（m，0），如图，过点D作DE∥AB，交OB于点E，过点E作EF∥OC，交BC于点F，过点F作FG∥AB，交AC于点G，连接DG，则四边形DEFG是平行四边形.又OC⊥AB则□DEFG是矩形.设矩形DEFG的面积为S.易得：DE=2m，OC=26∵EF ∥OC ∴OB BEOC EF =即4426m EF -= 解得EF ()m -=422∴()()()1223434223222+--=--=-⋅=⋅=m m m m m EF DE S ∴当m=2时，□DEFG 的面积最大，且最大面积为12，此时点D 的坐标为（2，0）26. （2015湖北郴州， 26，12）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD =4cm ，DC =5cm ,AB =8cm .如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1cm /s .当P 点到达C 点时，两点同时停止运动.连接PQ ，设运动时间为ts .解答下列问题： （1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？（2）设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值； （3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值.【答案】解：（1）如图，作CE ⊥AB 于点E ，∵CD ∥AB ，DA ⊥AB ∴四边形AECD 是矩形；∴AE =CD =5，CE =AD =4∴BE =AB -AE =8-5=3 在Rt △CBE 中，5432222=+=+=CE BE BC ∴t =15=5s 即P 、Q 两点同时停止运动.（2）如图，作PF ⊥AB 于点F ，根据题意，得AQ =t ,BQ =8-t ,BP =t . ∵△BPF ∽△BCE ∴BC BP CE PF =即54t PF = ∴54t PF = ∴t PF 54=S △PQB =PF BQ ⋅21=()()532452548212+--=⋅-t t t当t =4时，△PQB 的面积最大，且S max =532(3)i.若BP =BQ ，则t =8-t ，∴t =4s ;ii.若QP =QB ,则53821=-t t，t =1148 s全面有效 学习载体 iii.若PQ =PB ，则()53821=-t t ，t =1140 s 综合以上，当t 等于4s ，1148 s ，1140 s 时，△PQB 为等腰三角形.。
2015年湖南省郴州市高考数学模拟试卷(理科)(二)
2015年湖南省郴州市高考数学模拟试卷（理科）（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合M={x|x2-2x＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A.[2，+∞）B.（2，+∞）C.（-∞，0）D.（-∞，0]【答案】A【解析】解：由M中不等式变形得：x（x-2）＜0，解得：0＜x＜2，即M=（0，2），∵N={x|x＜a}，且M⊆N，∴a≥2，则a的范围为[2，+∞）．故选：A．求出M中不等式的解集确定出M，根据N以及M为N的子集，确定出a的范围即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.对于下列四个命题p1：∃x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0p2：∃x0∈（0，1），log x0＞log x0p3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log xp4：∀x∈（0，），（）x＜log x．其中的真命题是（）A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4【答案】D【解析】解：p1：∃x0∈（0，+∞），（）x0＜（）x0，是假命题，原因是当x0∈（0，+∞），幂函数在第一象限为增函数；p2：∃x0∈（0，1），log x0＞log x0，是真命题，如＞；p3：∀x∈（0，+∞），（）x＞log x，是假命题，如x=时，＜；p4：∀x∈（0，），＜＜1，＞，是真命题．故选：D．根据幂函数的单调性，我们可以判断p1的真假，根据对数函数的单调性，及指数函数的单调性，我们可以判断p2，p3，p4的真假，进而得到答案本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点，其中熟练掌握指数函数的单调性与对数函数的单调性是解答本题的关键，是中档题．3.在如图所示的程序框图中输入10，结果会输出（）A.10B.11C.512D.1 024【答案】D【解析】解：运行程序，有s=1；k=1第1次循环：s=2，k=2第2次循环：s=4，k=3第3次循环：s=8，k=4第4次循环：s=16，k=5第5次循环：s=32，k=6第6次循环：s=64，k=7第7次循环：s=128，k=8第8次循环：s=256，k=9第9次循环：s=512，k=10第10次循环：s=1024，k=11输出s的值为1024．故答案为：D．根据框图写出每次循环s，k的取值，即可确定输出s的值．本题主要考察框图和程序算法，属于基础题．4.将函数f（x）=sinx+cosx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（）A.-B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可得，将函数f（x）=sinx+cosx=sin（x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，所得函数为y=sin（x++φ）为奇函数，则φ的最小值为，故选：C．由条件根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的奇偶性，属于基础题．5.若实数x、y满足条件，则z=x+3y的最大值为（）A.9B.11C.12D.16【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+3y，得，平移直线，由图象可知当，经过点C时，直线截距最大，此时z最大．由得，即C（2，3），此时z=x+3y=2+3×3=11，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6.不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则+=（）A.-2B.0C.2D.不能确定【答案】C【解析】解：由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，∴+==[]===2．故选：C．由已知得2m=a+b，2n=b+c，b2=ac，从而+====2．本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7.已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A.1B.C.2D.【答案】C【解析】解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1，故0A=cosθ，OD=sinθ，如图∠BA x=-θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（-θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（-θ）=cosθ．故=（cosθ+sinθ，cosθ）同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，•的最大值是2，故选C．令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标，属于中档题．8.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A. B. C. D.2【答案】D【解析】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．9.已知双曲线＞，＞的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A.[，+∞）B.[2，+∞）C.，D.（1，2]【答案】D【解析】解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得3e（x-）=e（x+）∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故选D．设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．10.已知集合A={x|x=a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a k∈{0，1，2}（k=0，1，2，3），且a3≠0．则A中所有元素之和等于（）A.3240B.3120C.2997D.2889【答案】D【解析】解：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2=18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为（0+1+2）×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为（3×0+3×1+3×2）×18；集合A中含有a2项的所有数的和为（32×0+32×1+32×2）×18；集合A中含有a3项的所有数的和为（33×1+33×2）×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（32×0+32×1+32×2）×18+（33×1+33×2）×27=18（3+9+27）+81×27=702+2187=2889．故选D．由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．本题考查数列的求和，考查分类计数原理与分步计数原理的应用，考查分类讨论与转化思想的综合应用，属于难题．二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)11.在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系x O y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，若直线l平分圆C的周长，则a= ______ ．【答案】-3【解析】解：直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为：3x+4y+a=0．圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为（x-1）2+y2=1，可得圆心C（1，0）．∵直线l平分圆C的周长，∴直线l经过圆心C，∴3+0+a=0，解得a=-3．故答案为：-3．分别把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，由于直线l平分圆C的周长，可知：直线l经过圆心C，即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=9，M=a+2b+3c，则M的最大值是______ ．【答案】【解析】解：∵a+2b+3c，a2+b2+c2=9，∴，当且仅当时取等号．故答案为：．利用柯西不等式即可得出．本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．13.如图，已知PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于点B，圆O的半径为2，PB=3，则PA的长为______ ．【答案】【解析】解：由题意，利用切割线定理可得PA2=3×（3+2+2）=21，∴PA=．故答案为：．由题意，利用切割线定理可得结论．此题主要考查圆的切线的性质定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．14.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cos B= ______ ．【答案】【解析】解：由正弦定理可得=，∴sin B=，再由b＜a，可得B为锐角，∴cos B==，故答案为：．由正弦定理可求得sin B=，再由b＜a，可得B为锐角，cos B=，运算求得结果．本题考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，求出sin B=，以及B为锐角，是解题的关键．15.在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），则实数a的取值范围为______ ．【答案】a≥【解析】解：不妨设x1＞x2，则x1-x2＞0，∵f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），∴≥4，∵f（x）=alnx+（x+1）2，（x＞0）∴f′（x）=+2（x+1）∴+2（x+1）≥4，∴a≥-2x2+2x∵-2x2+2x=-2（x-）2+≤∴a≥，故答案为：a≥不妨设x1＞x2，则x1-x2＞0，由f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），可得≥4，即函数f（x）=alnx+（x+1）2（x＞0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）连续的斜率不小于4，即导数值不小于4，由此构造关于a的不等式，可得实数a的取值范围．本题考查的知识点导数的几何意义，斜率公式，其中分析出f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2）的几何意义，是解答的关键．16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1=1，第2个五角形数记作a2=5，第3个五角形数记作a3=12，第4个五角形数记作a4=22，…，若按此规律继续下去，若a n=145，则n=______ ．【答案】10【解析】解：a2-a1=5-1=4，a3-a2=12-5=7，a4-a3=22-12=10，…，由此可知数列{a n+1-a n}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．所以a n+1-a n=4+3（n-1）=3n+1．a2-a1=3×1+1a3-a2=3×2+1…a n-a n-1=3（n-1）+1累加得：a n-a1=3（1+2+…+（n-1））+n-1所以=1++n-1=．由，解得：舍，或．故答案为10．根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，写出对应的n-1个等式，然后用累加的办法求出该数列的通项公式，然后代入项求项数．本题考查了等差数列的通项公式，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，即从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个新的等差数列，本题训练了一种求数列通项的重要方法--累加法．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)17.设f（x）=sin（x-）-2cos2x+1．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，]时，y=g （x）的最大值．【答案】解：（1）f（x）=sin xcos-cos xsin-cos x=sin x-cos x=（sin x-cos x）=sin （x-），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2-x，g（x）），由题设条件，点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2-x）=sin[（2-x）-]=sin[-x-]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．【解析】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f （x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．18.某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、，且通过各次测试的事件相互独立．（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望（用p1、p、p3表示）；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．【答案】解：（1）依题意，甲选手不能通过海选的概率为：（1-）（1-）（1-）=，故甲选手能通过海选的概率为：1-（1-）（1-）（1-）=．若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为（1-）（1-）（1-）=，故无论按什么顺序，其能通过海选的概率都是．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，P（ξ=1）=p1，P（ξ=2）=（1-p1）p2，P（ξ=3）=（1-p1）（1-p2）×1，∴ξ的分布列为：11）21）（1-2）3，分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B 的顺序参加测试时，Eξ的值几时甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A的顺序参加测试更有利用于进入正赛．【解析】（1）先求出甲选手不能通过海选的概率，再由对立事件概率计算公式能求出甲选手能通过海选的概率．（2）依题意，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．19.如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE=4，BC=6，且BD=1，cos∠ADB=．（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明：∵BD⊥平面ABC，∴BD⊥AB，又∵BD=1，cos∠，∴AD=，AB=10=直径，∴AC⊥BC，又BC⊥平面ACE，BC⊂平面BCED，∴平面AEC⊥平面BCED．（2）解：存在．如图，以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，则A（8，0，0），B（0，6，0），D（0，6，1），E（0，0，4），=（-8，6，1），=（0，-6，3），设=λ=（0，-6λ，3λ），0＜λ＜1，故=+=（-8，6-6λ，1+3λ），由（1）得平面ACE的法向量为=（0，6，0），设直线AM与平面CE所成角为θ，则sinθ===，解得．∴线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．【解析】（1）由已知得BD⊥AB，AD=，AB=10=直径，由此能证明平面AEC⊥平面BCED．（2）以C为原点，直线CA为x轴，CB为y轴，CE这z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段DE上存在点M，且时，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.等比数列a n中的前三项a1，a2，a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．（1）求此数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=3a n-（-1）n lga n，求数列{b n}的前n项和S n．【答案】解：（1）经检验，当a1=5或a1=4时，不可能得到符合题意的等比数列，∴a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，∴．（2）由，得b n=3a n-（-1）n lga n=9×2n-1-（-1）n[lg3+（n-1）lg2]，∴S n=9（1+2+…+2n-1）-[（-1）+（-1）2+…+（-1）n]（lg3-lg2），n为偶数时，S n=9×+（lg3-lg2）-（）lg2=9（2n-1）+．n为奇数时，=9（2n-1）+．∴S n=，为偶数，为奇数．【解析】（1）由已知得a1=3，a2=6，a3=12，公比q=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由，得b n=3a n-（-1）n lga n=9×2n-1-（-1）n[lg3+（n-1）lg2]，由此能求出数列{b n}的前n项和S n．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．21.已知圆C：（x-1）2+（y-1）2=2经过椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求•的最大值．【答案】解：（Ⅰ）在圆C：（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F（2，0），即c=2，令x=0，得B（0，2），即b=2，∴a2=b2+c2=8，∴椭圆Γ的方程为：．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==（1，1）•（x0，y0）=x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，令△≥0，得16b2-12（12b2-8）≥0，解得-2．又点Q（x0，y0）在第一象限，∴当时，取最大值2．【解析】（Ⅰ）在圆（x-1）2+（y-1）2=2中，令y=0，得F（2，0），令x=0，得B（0，2），由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设点Q（x0，y0），x0＞0，y0＞0，则==x0+y0，又，设b=x0+y0，与联立，得：，由此能求出的最大值．本题考查直线、圆、椭圆、平面向量、分式函数等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归转化及函数与方程等数学思想．22.已知函数f（x）=e x-ax2-2x-1（x∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）求证：对任意实数a＜0，有f（x）＞．【答案】（1）解：当a=0时，f（x）=e x-2x-1（x∈R），∵f′（x）=e x-2，且f′（x）的零点为x=ln2，∴当x∈（-∞，ln2）时，f′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，f′（x）＞0，即（-∞，ln2）是f（x）的单调减区间，（ln2，+∞）是f（x）的单调增区间；（2）证明：由f（x）=e x-ax2-2x-1（x∈R）得：f′（x）=e x-2ax-2，记g（x）=e x-2ax-2（x∈R）．∵a＜0，∴g′（x）=e x-2a＞0，即f′（x）=g（x）是R上的单调增函数，又f′（0）=-1＜0，f′（1）=e-2a-2＞0，故R上存在惟一的x0∈（0，1），使得f'（x0）=0，且当x＜x0时，f′（x）＜0；当x＞x0时f′（x）＞0．即f（x）在（-∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，则，再由f′（x0）=0，得，将其代入前式可得．又令，由于-a＞0，对称轴＞，而x0∈（0，1），∴φ（x0）＞φ（1）=a-1，又＞，∴＞．故对任意实数a＜0，都有＞．【解析】（1）把a=0代入函数解析式并求出导函数，求得导函数的零点，由零点对函数定义域分段，然后根据导函数在各区间段内的符号求得原函数的单调期间；（2）求出原函数的导函数，对导函数二次求导得到得到导函数的单调性，求出原函数的极值点，然后借助于二次函数最小值的求法得到f（x）的最小值，则答案得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法，训练了学生的逻辑思维能力和综合运算能力，是压轴题．。
2015年湖南省郴州市高考数学二模试卷(文科)
2015年湖南省郴州市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合M={x∈R|lgx=0}，N={x∈R|-2＜x＜0}，则（）A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.M∩N=∅【答案】D【解析】解：∵集合M={x∈R|lgx=0}={1}，∴M∩N=∅，故选：D．先求出关于M的方程，得到M中的元素，从而判断出M，N的关系．本题考查了集合之间的关系，集合的运算，是一道基础题．2.下列四个命题中的真命题为（）A.∃x0∈Z，1＜4x0＜3B.∃x0∈Z，5x0+1=0C.∀x∈R，x2-1=0D.∀x∈R，x2+x+2＞0【答案】D【解析】解：A错误，因为＜＜，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D注意判断区分∃和∀．注意区分∃和∀，及Z和R代表的数集．3.已知l、m是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是（）A.若l∥α，α⊥β，则l∥βB.若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥mC.若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l⊥αD.若l⊥α，α⊥β，则l∥β【答案】B【解析】解：对于A，若l∥α，α⊥β，则l可能在β或者l∥β；故A错误；对于B，若l⊥α，α∥β，得到l⊥β，又m⊂β，则l⊥m；故B 正确；对于C，若l⊥m，α∥β，m⊂β，则l与α可能平行、相交或者在α内；故C错误；对于D，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或者l⊂β；故D错误；故选：B．利用线面平行、线面垂直．面面垂直的性质，对四个选项分别分析解答．本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理判定定理，注意考虑特殊情况，增强空间想象能力．4.若复数z满足z（1-i）=2，则复数z的共轭复数=（）A.1+iB.1-iC.-iD.2-2i【答案】B【解析】解：∵z（1-i）=2，∴z===1+i则复数z的共轭复数=1-i．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、个复数的定义，属于基础题．5.下列两个程序（1）和（2）的运行的结果i分别是（）A.7，7B.7，6C.6，7D.6，6【答案】B【解析】解：（1）该伪代码是直到型循环S=0，i=0+1=1，不满足S＞20，执行循环S=1，i=1+1=2，不满足S＞20，执行循环S=1+2=3，i=2+1=3，不满足S＞20，执行循环S=3+3=6，i=3+1=4，不满足S＞20，执行循环S=6+4=10，i=4+1=5，不满足S＞20，执行循环S=10+5=15，i=5+1=6，不满足S＞20，执行循环S=15+6=21，i=6+1=7，满足S＞20，退出循环输出i，此时i=7（2）该伪代码是直到型循环i=0+1=1，S=1，不满足S＞20，执行循环i=1+1=2，S=3，不满足S＞20，执行循环i=2+1=3，S=3+3=6，不满足S＞20，执行循环i=3+1=4，S=6+4=10，不满足S＞20，执行循环i=4+1=5，S=10+5=15，不满足S＞20，执行循环i=5+1=6，S=15+6=21，满足S＞20，退出循环输出i，此时i=6故答案为：7，6故选：B．（1）该伪代码是直到型循环，S=0，i=0+1=1，不满足S＞20，执行循环，依此类推，满足S＞20，退出循环，输出此时i的值；（2）该伪代码是直到型循环，i=0+1=1，S=1，不满足S＞20，执行循环，执行循环，依此类推，满足S＞20，退出循环，输出此时i的值．本题主要考查了循环结构中的直到型循环，循环体中的处理框的先后顺序的不同，输出的结果不同，属于中档题．6.已知△ABC的三个内角为A，B，C，且sin2C+sin A sin B=sin2A+sin2B，则角C等于（）A.30°B.120°C.60°D.150°【答案】C【解析】解：∵△ABC的三个内角为A，B，C，且sin2C+sin A sin B=sin2A+sin2B，∴由正弦定理化简得：c2+ab=a2+b2，即a2+b2-c2=ab，∴cos C==，则C=60°，故选：C．利用余弦定理表示出cos C，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求出cos C 的值，即可确定出C的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．7.已知△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，以A，B为焦点的双曲线过点C，则双曲线的离心率为（）A.1+B.1+C.D.【答案】D【解析】解：由题意可得，2c=|AB|=|BC|，所以由余弦定理得，|AC|=°==2c．由双曲线的定义，有2a=|AC|-|BC|=（2-2）c，∴e===．故选D．根据题设条件可知2c=|AB|=|BC|，由余弦定理可得|AC|，再由双曲线的定义可得2a，再由离心率公式计算即可得到．本题考查双曲线的定义和离心率的求法，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8.若实数x，y满足|x-1|-lg=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵|x-1|-lg=0，∴f（x）=（）|x-1|其定义域为R，当x≥1时，f（x）=（）x-1，因为0＜＜1，故为减函数，又因为f（x）的图象关于x=1轴对称，对照选项，只有B正确．故选B．先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案．本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题．9.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2=4x的焦点，P是C上一点，若|PF|=3，则△OPF的面积为（）A.2B.3C.3D.6【答案】B【解析】解：∵抛物线C的方程为y2=4x，2p=4，可得=，得焦点F（，0）设P（m，n）根据抛物线的定义，得|PF|=m+=，即m+=，解得m=2，P在抛物线C上，得n2=4×=24∴n=±2，|OF|=，∴△POF的面积为S=|OF|×|n|=3．故选：B．根据抛物线方程，算出焦点F坐标，设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|算出m，从而得到n，得到△POF的边OF上的高，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积．本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所满足的条件是解题的关键．10.已知两点A（1，0），B（-1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=135°，设=-+λ（λ∈R），则实数λ等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意设C（x0，-x0）；∴，，，，，；带入得：，，；∴；∴解得．故选A．根据已知条件设出C点坐标为（x0，-x0），所以可求得向量，，的坐标，带入即可得到，所以可以解出λ．考查根据点的坐标求向量的坐标，注意C点的设法，以及向量加法和数乘的坐标运算．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x-y+1=0，则实数a的值为______ ．【答案】1【解析】解：y′=acosx-sinx，∵曲线y=asinx+cosx在x=0处的切线方程是x-y+1=0，而x-y+1=0的斜率为1；故acos0-sin0=1；解得，a=1；故答案为：1．由题意求导y′=acosx-sinx，从而可得acos0-sin0=1；从而解得．本题考查了导数的求法及其几何意义的应用，属于基础题．12.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，点M的极坐标为M（2，），直线l的参数方程为（t为参数），则点M到直线l的距离为______ ．【答案】【解析】解：把点M的极坐标（2，）化为直角坐标为（0，2），把直线l的参数方程为为（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为x+2y-2=0．点M到直线l的距离为；故答案为：把参数方程、极坐标化为直角坐标方程，求得A到圆心C的距离AC，再加上半径，即为所求．本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的运用，属于基础题．13.设x、y满足约束条件：则z=2x-y的最小值为______ ．【答案】-6【解析】解：设x，y满足约束条件：，在直角坐标系中画出可行域△ABC，其中A（1，），B（1，8），C（4，2），所以z=2x-y的最小值为-6．故答案为：-6．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.在等差数列{a n}中，a1=3，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=6时S n取得最大值，则d的取值范围是______ ．【答案】，【解析】解：在等差数列{a n}中，由a1=3，公差为d，得a n=3+（n-1）d，∵当且仅当n=6时S n取得最大值，∴＞＜，解得：＜＜．故答案为：，．设出等差数列的公差d，写出通项公式，根据当且仅当n=6时S n取得最大值，得a6＞0，a7＜0，联立不等式组求得d的取值范围．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．15.设是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是______【答案】（-1，0）【解析】解：依题意，得f（0）=0，即lg（2+a）=0，所以，a=-1，，又f（x）＜0，所以，＜＜，解得：-1＜x＜0．故答案为：（-1，0）．根据若f（x）是奇函数且在x=0有定义，则f（0）=0，即可解出a．再根据对数函数的单调性解不等式得到答案．本题主要考查函数的奇偶性和对数不等式的解法．在解对数不等式时注意对数函数的单调性，即：底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx+2sinxcos（x+），（x∈R）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C+）=0，且•=8，求△ABC的面积．【答案】解：（Ⅰ）===所以，f（x）的最小正周期，由，，得：，，所以，对称轴方程是：，（Ⅱ）得，∴，，∴bc=16∴【解析】（Ⅰ）由倍角公式和两角和的正弦公式化简解析式可得f（x）=，即可求最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）化简已知可得，由，可得bc=16，即可求△ABC的面积．本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式、倍角公式，三角形面积公式的应用，考察了平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，综合性强，属于中档题．17.为了解甲、乙两种品牌手机的电池充满电后的待机时间（假设都在24～96小时范围内），从这两种手机的电池中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下表．（Ⅰ）估计甲品牌手机的电池充满电后的待机时间小于48小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌的手机的电池充满电后，某个电池已使用了48小时，试估计该电池是甲品牌手机的电池的概率；（Ⅲ）由于两种品牌的手机的某些差异，普遍认为甲品牌手机比乙品牌手机更显“低调”，销售商随机调查了110名购买者，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表，写出表中A、B、C、D、E的值，并判断是否有99%的把握认为喜欢“低调型”手机与消费者的年龄有关？附：K2=，其中n=a+b+c+d【答案】解：（Ⅰ）甲品牌手机的电池充满电后的待机时间小于48小时的频数是20，共有100个，所以，甲品牌手机的电池充满电后的待机时间小于48小时的概率（Ⅱ）两种品牌的手机的电池充满电后，可以使用48小时分别是80个和60个，所以，某个电池已使用了48小时，该电池是甲品牌手机的电池的概率（Ⅲ）A=20，B=50，C=80，D=30，E=110，H0：假设是否喜欢“低调型”手机与消费者的年龄无关，根据列联表可得：=7.486＞6.635，所以有99%的把握认为喜欢“低调型”手机与消费者的年龄有关【解析】（Ⅰ）求出甲品牌手机的电池充满电后的待机时间小于48小时的频数是20，基本事件的总数共有100个，然后求解概率．（Ⅱ）求出两种品牌的手机的电池充满电后，可以使用48小时分别是80个和60个，然后利用古典概型的概率公式求解即可．（Ⅲ）通过列联表求得=7.486＞6.635，然后判断是否相关．本题考查古典概型的概率的求法，对立检验的应用，考查计算能力．18.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°．（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：平面CDE⊥平面ABF；（Ⅲ）求五面体ABCDEF的体积．【答案】（本小题满分12分）（Ⅰ）解：以A为坐标原点，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），C（，，0），E（0，2，2），F（0，0，2），=（-，，2），=（0，0，2），设异面直线CE与AF所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|=||=．（Ⅱ）证明：过B点作BG∥CD，交AC于点G，由已知得BG⊥AB，∴CD⊥AB，又∵FA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴FA⊥CD，又AB∩FA=A，∴CD⊥平面ABF，又CD⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面ABF．（Ⅲ）解：由已知得AD=FA=2，FA⊥平面ABCD，BC=，C到平面DEF的距离d=，S梯形ABCD==，S△DEF==4，∴五面体ABCDEF的体积：V=V F-ABCD+V C-DEF+=梯形=+=．【解析】（Ⅰ）以A为坐标原点，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，利用向量法能求出异面直线CE与AF所成角的余弦值．（Ⅱ）过B点作BG∥CD，交AC于点G，由已知得CD⊥AB，FA⊥CD，从而CD⊥平面ABF，由此能证明平面CDE⊥平面ABF．（Ⅲ）五面体ABCDEF的体积V=V F-ABCD+V C-DEF，由此能求出结果．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力．19.已知数列{a n}的前n项的和为S n，且S n=（n∈N*），数列{b n}是公差d＞0的等差数列，且b3、b5是方程x2-14x+45=0的两根．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求证：c n+1≤c n；（Ⅲ）求数列{c n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）∵2S n=1-a n，∴当n=1时，2a1=1-a1，所以当n=1时，2S n=1-a n…①，2S n-1=1-a n-1…②，①-②得：2a n=-a n+a n-1，所以3a n=a n-1，∴，所以数列{a n}是首项为，公比的等比数列，∴因为b3、b5是方程x2-14x+45=0的两根，且公差d＞0，∴b3=5，b5=9，，所以{b n}的通项公式为b n=b1+（n-1）d=2n-1（Ⅱ）证明：，，∵n∈N*，∴，所以c n+1≤c n（Ⅲ）因为，所以①，②①-②得：=所以，【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列数列{a n}的首项，判断数列是等比数列，然后求出通项公式；b3、b5是方程x2-14x+45=0的两根，求出这两项，利用等差数列的性质求解{b n}的通项公式；（Ⅱ）通过c n=a n b n，化简求解，然后利用作差法证明：c n+1≤c n；（Ⅲ）利用错位相减法直接求解数列{c n}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式与求和，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点P（4，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P的直线l：y=1与椭圆的另一个交点为Q，点A、B是椭圆C上位于直线l两侧的动点，且直线AP与BP关于l对称，求四边形APBQ面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）设所求椭圆的标准方程为，焦距为2c…（1分）由条件可得：，∴a2=4b2，，又a2=b2+c2解得：a2=20，b2=5，故所求椭圆的标准方程为…（5分）（Ⅱ）设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为-k，A（x1，y1），B（x2，y2）．∴直线AP的方程为y=k（x-4）+1…（7分）联立整理得（4k2+1）x2+（8k-32k2）x+64k2-32k-16=0．∴，，∴…（9分）将上式中的k用-k代入可得…（10分）所以四边形APBQ的面积…（11分）=…（12分）故四边形APBQ面积的最大值为16…（13分）【解析】（Ⅰ）设出标准方程，利用离心率以及椭圆经过的点，列出方程组，求出ab，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为-k，A（x1，y1），B（x2，y2）．推出直线AP的方程为y=k（x-4）+1与椭圆方程联立，求出A、B的坐标，表示出四边形APBQ的面积，利用基本不等式求出四边形APBQ面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．21.已知函数f（x）=+lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值为2，求实数a的值；（Ⅲ）当a=-1时，试判断函数g（x）=f（x）+在其定义域内的零点的个数．【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，，＞，′当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以，当x=1时，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1．（Ⅱ）因为′，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上为增函数，此时f（x）在（0，e]上无最小值．②当a∈（0，e]时，若x∈（0，a），则f′（x）＜0，f（x）单调递减，若x∈（a，e]，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合题意；③当a＞e时，x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以，∴a=e，不符合题意；综上所述，a=e时符合题意．（Ⅲ）证明当a=-1时，函数，′，令φ（x）=2+x-lnx，（x＞0），则′，所以x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定义域内g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）单调递增，又g（1）=-1＜0，而＞，因此，函数g（x）在（1，e）上必有零点，又g（x）在（0，+∞）单调递增，所以函数在其定义域内有唯一的零点．【解析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数的导数，通过函数的单调性求出f（x）的最小值；（Ⅱ）通过①当a≤0时，②当a∈（0，e]时，③当a＞e时，通过x∈（0，e利用导函数的符号，判断函数的单调性，通过函数的最值，推出a符合题意的值即可；（Ⅲ）当a=-1时，求出函数的定义域，函数的导数求出函数的最值与0比较，判断在其定义域内的零点的个数即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．考查分析问题解决问题的能力．。
湖南省彬州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(教师版)
郴州市2023年上学期期末教学质量监测试卷高二数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共4页，有四大题，22小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名､班次､准考证号､考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上.3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数21i +等于（）A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i--【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法可化简所求复数.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i -==-++-.故选：B.2.已知集合{}2|60A x x x =+-≤，(){}|lg 1B x y x ==-，则A B = （）A.[)3,1- B.[]3,2- C.(],2-∞ D.(]1,2【答案】A 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据对数函数的性质求出集合B ，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x +-≤，即()()320x x +-£，解得32x -≤≤，所以{}{}2|60|32A x x x x x =+-≤=-≤≤，又(){}{}{}|lg 1|10|1B x y x x x x x ==-=->=<，所以{}|31A B x x =-≤< .故选：A3.已知抛物线28x y =上一点P 到x 轴的距离是6，则点P 到该抛物线焦点的距离是（）A.4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求解.【详解】由题可得，4p =，点P 到该抛物线的准线的距离为682p+=，根据抛物线的定义可知，点P 到该抛物线焦点的距离是8，故选:C.4.已知数列{}n a 中，()2111,N nn n a a a n n -+=>∈且78a =，484a a =，则1n na a +=（）A.2± B.2 C.4 D.4±【答案】D 【解析】【分析】分析可知数列{}n a 为等比数列，设等比数列{}n a 的公比为q ，根据已知条件求出q 的值，即可得解.【详解】在数列{}n a 中，()2111,N n n n a a a n n -+=>∈且78a =，则数列{}n a 为等比数列，设等比数列{}n a 的公比为q ，则24864a a a ==，可得62a =±，因此，764a q a ==±，即14n naa +=±.故选：D.5.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为31.2mg /cm ，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为（）(参考数据：lg 20.3≈，lg 30.477)≈A.7 B.8C.9D.10【答案】B 【解析】【分析】过滤n 次后污染物的含量满足1.2(10.2)0.2-≤n ，通过对数运算求得正整数n 的最小值.【详解】过滤第一次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-；过滤第两次污染物的含量减少20%，则为21.2(10.2)-；过滤第三次污染物的含量减少20%，则为31.2(10.2)-；过滤第n 次污染物的含量减少20%，则为1.2(10.2)-n ；要求废气中该污染物的含量不能超过30.2mg /cm ，则1.2(10.2)0.2-≤n ，即5(64≥n，两边取以10为底的对数可得5lg(lg 64≥n，即52lg()lg 2lg38⨯≥+n ，所以lg 2lg 313lg 2n +≥-，因为lg 20.3,lg 30.477≈≈，所以lg 2lg 30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯，所以7.77n ≥，又*n ∈N ，所以min 8n =，故排放前需要过滤的次数至少为8次．故选：B ．6.若非零向量,a b 满足()()()0,2a b a b a b b +-=+⊥ ，则a 与b的夹角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得a b = ，212a b b ⋅=- ，求得1cos 2a b a b θ⋅==-，即可求解.【详解】因为()()0a b a b +-= ，可得220a b -= ，即22a b = ，所以a b = ，又因为()2a b b +⊥ ，可得2(2)20a b b a b b +⋅=⋅+= ，所以22122b a b b ⋅=-=- ，设a 与b 的夹角为θ，可得21122cos a b abba b θ-⋅==-=，因为0180θ≤≤ ，可得120θ= ，即a与b的夹角为120 .故选：C.7.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数e 2.71828≈.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数e 的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2不相邻，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（）A.36 B.48C.72D.120【答案】A 【解析】【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．【详解】如果排列时要求两个8相邻，两个2不相邻，两个8捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个2插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有3234A C 36=.故选：A ．8.已知函数()()1ln e 12xf x x =+-，若12e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a b c>> B.c b a>>C.b a c >>D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】分析可知，函数()f x 为R 上的偶函数，且在()0,∞+上为增函数，计算得出5ln 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较12e 、5ln 3、23的大小关系，即可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】对任意的R x ∈，e 11x +>，即函数()f x 的定义域为R ，因为()()11122212e 1ln e 1ln elnln e e ex x x xx f x -⎛⎫+=+-==+ ⎪⎝⎭，()()1122ln e e x x f x f x -⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，即函数()f x 为R 上的偶函数，令1122e ex t -=+，当0x >时，1122e ex x ->，则11221e e 02x t -⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以，函数1122e ex t -=+在()0,∞+上为增函数，又外层函数ln y t =为()0,∞+上的增函数，故函数()f x 在()0,∞+上为增函数，因为335ln ln ln 553b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2233c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()ln 1g x x x =--，其中1x >，则()1110x g x x x-'=-=>，所以，函数()g x 在()1,+∞上为增函数，则当1x >时，()()10g x g >=，所以，525ln 0333g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，即25ln 33>，又1225e 1ln 033>>>>，所以，1225e ln 33f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a c b >>.故选：D.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.二､多选题（共4个小题，每小题5分，共20分.每小题至少两个正确选项，漏选得2分，错选不得分）9.下列说法正确的是（）A.数据1、2、3、4、5、6、8、9的第25百分位数是2B.“事件A 、B 对立”是“事件A 、B 互斥”的充分不必要条件C.若随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.7P X ≤=，则()340.2P X <<=D.若随机变量η、X 满足32X η=-，则()()32D D X η=-【答案】BC 【解析】【分析】利用百分位数的定义可判断A 选项；利用对立事件的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B 选项；利用正态密度曲线的对称性可判断C 选项；利用方差的性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，数据1、2、3、4、5、6、8、9共8个数，且80.252⨯=，所以，数据1、2、3、4、5、6、8、9的第25百分位数是232.52+=，A 错；对于B 选项，若事件A 、B 对立，则事件A 、B 一定互斥，反之，若事件A 、B 互斥，则事件A 、B 不一定对立，即“事件A 、B 对立”可推出“事件A 、B 互斥”，且“事件A 、B 对立”推不出“事件A 、B 互斥”，所以，“事件A 、B 对立”是“事件A 、B 互斥”的充分不必要条件，B 对；对于C 选项，若随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.7P X ≤=，则()()()34430.70.50.2P X P X P X <<=<-≤=-=，C 对；对于D 选项，若随机变量η、X 满足32X η=-，则()()()329D D X D X η=-=，D 错.故选：BC.10.将函数()()πsin 023f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 图象的一个对称中心是2π,03⎛⎫⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是32【答案】BC 【解析】【分析】利用三角函数图象变换求出函数()g x 的解析式，根据正弦型函数的奇偶性求出ω的值，可得出函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】将函数()()πsin 023f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后，可得到函数()g x 的图象，则()ππππsin sin 6363g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为函数()g x 为偶函数，则()ππππ632k k ω+=+∈Z ，解得()61k k ω=+∈Z ，因为02ω<<，所以，0k =，1ω=，则()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，A 错；对于B 选项，因为2π2ππsin sin π0333f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 图象的一个对称中心是2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，B 对；对于C 选项，当ππ46x -≤≤时，πππ1232x ≤+≤，所以，函数()f x 在ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，当ππ6≤≤x 时，ππ4π233x ≤+≤，所以，函数()f x 在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则()()min 4π3πsin 32f x f ===-，D 错.故选：BC.11.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断正确的是（）A.1//A P 平面1ACD B.三棱锥1P ACD -的体积为43C.三棱锥11A A BC -外接球的表面积是24πD.直线1D P 与平面1ACD 所成角的正弦值的最大值为33【答案】ABD 【解析】【分析】证明平面11//A BC 平面1ACD ，利用面面平行的性质可判断A 选项；利用锥体的体积公式可判断B 选项；求出三棱锥11A A BC -的外接球半径，结合球体表面积公式可判断C 选项；利用线面角的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，连接11A C 、1A B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11//AD BC ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以，1//BC 平面1ACD ，同理可证11//A C 平面1ACD ，因为1111A C BC C Ç=，11A C 、1BC ⊂平面11A BC ，所以，平面11//A BC 平面1ACD ，因为1P BC ∈，则1A P ⊂平面11A BC ，所以，1//A P 平面1ACD ，A 对；对于B 选项，因为1//BC 平面1ACD ，1P BC ∈，则点P 到平面1ACD 的距离等于点B 到平面1ACD 的距离，所以，111211114223323P ACD B ACD D ABC ABC V V V S DD ---===⋅=⨯⨯⨯=△，B 对；对于C 选项，正方体1111ABCD A B C D -==故三棱锥11A A BC -的外接球半径为R =，故其外接球的表面积为24π4π312πR =⨯=，C 错；对于D 选项，易知1ACD △是边长为的等边三角形，所以，(124ACD S =⨯=△，设点P 到平面1ACD 的距离为d ，则11114333P ACD ACD V S d d -=⋅=⨯=△，解得233d ==，设直线1D P 与平面1ACD 所成角为θ，则1sin d D Pθ=，当点P 与点1C 重合时，1D P 取最小值，此时，sin θ取最大值，且()max2313sin 323θ==，D 对.故选：ABD.12.已知函数()f x 的定义域为R ，函数()1f x +为偶函数，且()()()220.f x f x f x +='+-是()f x 的导函数.则下列结论正确的是（）A.()f x 是周期为2的周期函数B.()f x '的图象关于直线2x =对称C.()()ff x 的图象关于直线1x =对称D.()()()()12320240f f f f ++++= 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意得到()()2f x f x =-，结合()()220f x f x ++-=，得到()()4f x f x =+，可判定A 错误；由()()4f x f x =--，两边同时取导数可得()(4)f x f x ''=-，可判定B 正确；由由()()2f x f x =-，得到()()()()2f f x f f x =-成立，可判定C 正确；根据题意求得()()()()12340f f f f +++=，进而判定D 正确.【详解】由函数()1f x +为偶函数，可得函数()1f x +的图象关于0x =对称，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，所以()()2f x f x =-，又由()()220f x f x ++-=，可得()()()24f x f x f x =-+=+，所以函数()f x 是周期为4的周期函数，所以A 错误；由()()220f x f x ++-=，可得()()4f x f x =--，两边同时取导数，可得()()[4](4)f x f x f x '''=--=-，所以函数()f x '的图象关于直线2x =对称，所以B 正确；由()()2f x f x =-，可得()()()()2ff x f f x =-成立，所以函数的图象关于直线1x =对称，所以C 正确；由()()4f x f x =+且()()220f x f x ++-=，当1x =时，可得()()310f f +=，当2x =时，可得()()()()()4044240f f f f f +=+==，所以()40f =，当3x =时，可得()()()()51130f f f f +-=+=，当4x =时，可得()()()()()6222220f f f f f +-=+==，所以()20f =，所以()()()()12340f f f f +++=，因为函数()f x 的周期为4，所以()()()()()()()()1232024506[1234]0f f f f f f f f ++++=⋅+++= ，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论：（1）对于函数()y f x =，若其图象关于直线x a =对称（0a =时，()f x 为偶函数），则①()()f a x f a x +=-；②()()2f a x f x +=-；③()()2f a x f x -=.（2）对于函数()y f x =，若其图象关于点(),0a 对称（0a =时，()f x 为奇函数），则①()()f a x f a x +=--；②()()2f a x f x +=--；③()()2f a x f x -=-.（3）对于函数()y f x =，若其图象关于点(),a b 对称，则①()()2f a x f a x b ++-=；②()()22f a x f x b ++-=；③()()22f a x f x b -+=.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，则双曲线的离心率为__________.【答案】3【解析】【分析】根据双曲线方程，得到焦距为2==c ，再由c e a =求解，即可得出结果.【详解】因为双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为4，所以24===c ，解得a =又3c e a ===.故答案为：233【点睛】本题主要考查由双曲线的焦距求参数的问题，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.14.在二项式12n x ⎫⎪⎭的展开式中只有第4项二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________.【答案】154【解析】【分析】根据题意可确定n 的值，继而求得二项展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求得r 的值，即可求得答案.【详解】因为二项式12nx ⎫-⎪⎭的展开式中只有第4项二项式系数最大，故二项式12n x ⎫-⎪⎭的展开式有7项，则6n =，故12n x ⎫-⎪⎭的通项公式为336216611,0,1,2,,6(22C (C r r r r r r r T x r x --+-==-= ，令330,22r r -=∴=，故展开式中的常数项为22615(C 241=-，故答案为：15415.直线:30l x y +-=被圆22:68110C x y x y +---=截得的弦长为__________.【答案】【解析】【分析】计算出圆心到直线l 的距离，利用勾股定理可求得直线l 截圆C 所得弦长.【详解】圆C 的标准方程为()()223436x y -+-=，圆心为()3,4C ，半径为6，圆心C 到直线l 的距离为d ==，所以，直线l 截圆C 所得弦长为==.故答案为：16.已知函数()ln f x ax x x =-与()e1x g x -=+的图像上恰有两对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是__________.【答案】()e 1,++∞【解析】【分析】由题意得()()f xg x =-，即ln e 1xax x x -=+有两解，构造()ln e 1x x x h x x ++=，求导求单调性，求出值域，从而求得a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 与()g x 的图像上恰有两对关于y 轴对称的点，所以0x >时()()f x g x =-有两解，即ln e 1x ax x x -=+有两解，所以ln e 1x x x a x++=有两解，令()ln e 1x x x h x x++=，则()()()2e 11x x h x x +-'=，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减;当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以()h x 在1x =处取得极大值，()11e h =+，且()0,1x ∈时，()h x 的值域为()e 1,++∞;()1,x ∈+∞时，()h x 的值域为()e 1,++∞，因此ln e 1x x x a x++=有两解时，实数a 的取值范围为()e 1,++∞.故答案为:()e 1,++∞四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 222sin sin sin sin B C B C A =+-.（1）求角A ；（2）若2a b =，求cos C .【答案】（1）π6A =（2）1cos 8C -=【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理求出cos A 的值，再结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用正弦定理可求出sin B 的值，分析可知角B 为锐角，求出cos B 的值，利用诱导公式结合两角和的余弦公式可求得cos C 的值.【小问1详解】222sin sin sin sin B C B C A =+-，由正弦定理可得222b c a +-=，由余弦定理可得2223cos 22b c a A bc +-==，因为()0,πA ∈，所以，π6A =.【小问2详解】解：因为2a b =，由正弦定理可得11π1sin sin sin 2264B A ===，因为2a b b =>，则角B 为锐角，故cos 4B ==，所以，()()πππcos cos πcos cos sin cos cos 666C A B A B B B B ⎛⎫=-+=-+=-=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭1131513524248-=⨯-=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-.（1）证明：数列{}2n a -为等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若()21log 2,2n n n n b a c a +=-=-，求数列{}n n b c ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析，122n n a -=+（2）()121n n T n =-⨯+【解析】【分析】（1）求出13a =，继而写出2n ≥时，()112215n n S a n --=+--，和已知等式相减结合,n n a S 的关系可得122n n a a -=-，即可证明结论；根据等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）结论可求出{}n n b c ⋅的通项公式，利用错位相减法可求得答案.【小问1详解】当1n =时，111225S a a ==+-，解得13a =，当2n ≥时，()112215n n S a n --=+--.可得()112252215n n n n S S a n a n --⎡⎤-=+--+--⎣⎦，整理得122n n a a -=-，从而()()12222n n a a n --=-≥，又121a -=，所以数列{}2n a -是首项为1，公比为2的等比数列.所以()1112222n n n a a ---=-⋅=，故122n n a -=+，13a =也适合该式，综上，数列{}n a 的通项公式为122n n a -=+.【小问2详解】由（1）得122n n a +-=，所以()21log 2n n b a n +=-=，又122n n n c a --==，12n n n b c n -∴=⋅，1122n n nT b c b c b c ∴=+++ 01211222322n n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，12321222322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()1211212222212112n n nn n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ()121n n T n ∴=-⨯+.19.如图，四棱锥P ABCD -中，PAD 为正三角形，,24,90AB CD AB CD BAD ∠=== ∥，,PA CD E ⊥为棱PB 的中点.（1）求证：平面PAB ⊥平面CDE ；（2）若三棱锥P ACD -的体积为233，求面ADE 与面DEB 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）519.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算求二面角的余弦值.【小问1详解】取AP 中点F ，连接,EF DF .E 为PB 中点，1//,=2EF AB EF AB ∴，又1//,2CD AB CD AB =，//,,CD EF CD EF CDFE ∴=∴为平行四边形，//DF CE ∴.又PAD 为正三角形，PA DF ∴⊥，从而,PA CE ⊥又,,PA CD CD CE C ⊥= ,CD CE ⊂平面CDE ，PA ∴⊥平面CDE ，又PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面CDE .【小问2详解】,AB CD PA CD PA AB ⊥⇒⊥∥，又,,AB AD PA AD A ⊥= ,PA AD ⊂平面PAD ,AB ∴⊥平面PAD .CD \^平面211323.23343P ACD C ADP ADP PAD V V S CD AD --∴==⋅=⨯⨯⨯= ，2AD ∴=.以A 为原点，如图建立空间直角坐标系.则()(()134,0,0,3,0,2,0,2,,22B P D E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()13332,,2,,,4,2,02222AE ED BD ⎛⎫⎛⎫∴==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设(),,n x y z =r 为平面ADE 的法向量，(),,m a b c =为平面DEB 的法向量则134202022,333320202222m BD a b n AE x y z m ED a b n ED x y z ⎧⎧⋅=-+=⋅=++=⎪⎪⎪⎨⎨⋅=-+-=⎪⎪⋅=-+-=⎩⎪⎩令4z =-，得)3,0,4n =- ，令1a =，得231,2,3m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ,5cos ,,19m n m n m n ⋅∴== 即面ADE 与面DEB 的夹角的余弦值为519.20.体育运动是增强体质的最积极有效的方法，经常进行体育运动能增强身体机能和身心健康.为给民众提供丰富的健身器材，某厂家生产了两批同种规格的羽毛球，第一批占产量的60%，次品率为0.05；第二批占产量的40%，次品率为0.04.（1）从混合的两批羽毛球中任取1个，已知取到的是合格品，求它取自第一批羽毛球的概率；（2）从混合的两批羽毛球中有放回地连续抽取3次，每次抽取1个，记3次抽取中，抽取的羽毛球是第二批的个数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】（1）285477（2）分布列见解析；1.2【解析】【分析】（1）设事件B =“任取一个羽毛球是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”，事件2A =“产品取自第二批”，得到12ΩA A =⋃且12,A A 互斥，结合全概率公式和贝叶斯公式，即可求解；（2）根据题意，得到X 的可取值为0,1,2,3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.【小问1详解】设事件B =“任取一个羽毛球是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”，事件2A =“产品取自第二批”，则12ΩA A =⋃且12,A A 互斥，由全概率公式可知()()()()()1122P B P A P BA P A PB A =+∣∣，()()()0.610.050.410.040.954P B =⨯-+⨯-=.由贝叶斯公式可知()()()()()1110.610.052850.954477P A P B A P A B P B ⨯-===∣∣.【小问2详解】根据题意，可知X 的可取值为0,1,2,3.可得()00.60.60.60.216P X ==⨯⨯=，()()()()2122331C 0.610.60.432,2C 0.610.60.288P X P X ==⨯⨯-===⨯⨯-=，()()3310.60.064P X ==-=.所以随机变量X 的分布列为：X0123P 0.2160.4320.2880.064所以期望为()00.21610.43220.28830.064 1.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21.已知平面上动点E 到点()1,0A 与到圆22:2150B x y x ++-=的圆心B 的距离之和等于该圆的半径.（1）求点E 的轨迹方程；（2）已知,M N 两点的坐标分别为()()2,0,2,0-，过点A 的直线与（1）中点E 的轨迹交于,C D 两点（,C D 与,M N 不重合）.证明：直线MC 与ND 的交点的横坐标是定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求标准方程；（2）利用韦达定理以及直线的点斜式方程和直线的交点坐标的求解方法证明.【小问1详解】依题意，()1,0B -，圆B 的半径为4.于是4EA EB +=，且24=<AB ，故点E 的轨迹为椭圆.22224,22,3a c b a c ==∴=-= .所以点E 的轨迹方程为：22143x y +=.【小问2详解】依题意直线CD 的斜率不为0，设直线CD 的方程为：()()11221,,,,x my C x y D x y =+代入椭圆方程223412x y +=得：()2243690my my ++-=.所以122643m y y m+=-+①，122943y y m -=+②又直线MC 的方程为：()1122y y x x =++，直线ND 的方程为：()2222y y x x =--联立上述两直线方程得：()()12122222y y x x x x +=-+-，即()()()()212112212121212332221y x y my my y y x x y x y my my y y ++++===----，将①②代入上式得：2212212122293324339624343m y my y y x m m m x my y y y m m -++++===---++++,即232x x +=-，解得4x =.所以直线MC 与ND 的交点的横坐标是定值4.22.已知函数()()22ln 22a f x x x a x =+-+，其中a 为小于0的常数.（1）试讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不相等的零点12,x x ，证明：122x x +>.【答案】（1）()f x 在()1,+∞上单调递减.，()f x 在()0,1上单调递增；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数正负判断单调性；（2）构造函数应用极值点偏移证明不等式即可.【小问1详解】()()()()2122(0)ax x f x ax a x x x--=+-+=>'.因为0,0<>a x ，所以20ax -<.于是01x <<时，()()0,f x f x '>在()0,1上单调递增；1x >时，()()0,f x f x '<在()1,+∞上单调递减.【小问2详解】由（1）知：函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，则()max ()1202a f x f ==-->，故4a <-.又0x →时，()f x →-∞，且()4222e e 42e e 02f a ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭.于是函数()f x 有两个不同的零点，且两零点分别位于区间()()0,1,1,+∞.不妨令1201x x <<<.()()()()()()()2222ln 22ln 2(2)2222a a F x f x f x x x a x x x a x =--=+-+----++-()2ln 2ln 244x x x =---+（其中01x <<）.因为()()()244(1)4022x F x x x x x '-=-=>--，所以函数()F x 在()0,1上单调递增，所以()()10F x F <=，即()()2f x f x <-.又因为()10,1x ∈，所以()()112f x f x <-，而()()21f x f x =，所以()()212f x f x <-，因为1101,21x x <<->，函数()f x 在()1,+∞上单调递减，所以212x x >-，即122x x +>.。
湖南省郴州市数学高二下学期理数期末考试试卷
湖南省郴州市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）(2018·孝义模拟) 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面对应的点的坐标是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·重庆期中) 极坐标方程所表示的图形是（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆3. （2分）若sin（π﹣α）=2cosα，则展开式中常数项为（）A .B . 160C .D . ﹣1604. （2分） 2名厨师和3位服务员共5人站成一排合影，若厨师不站两边，则不同排法的种数是（）A . 60B . 48C . 42D . 365. （2分）在极坐标系中，圆与方程（）所表示的图形的交点的极坐标是（）．A . (1,1)B .C .D .6. （2分） (2018高二上·黑龙江期中) 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A . 都不是一等品B . 恰有一件一等品C . 至少有一件一等品D . 至多有一件一等品7. （2分）(2018·安徽模拟) 函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .8. （2分）某班级开会时决定是否增加一名新班委甲某，选举方式最能体现全体学生的真实意愿的是（）A . 请同意增选甲为新班委的举手B . 请不同意增选甲为新班委的举手C . 采用无记名投票D . 采用记名投票二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2018高二下·雅安期中) 若复数为虚数单位，则的模为________ ．10. （1分） (2017高二下·武汉期中) =________．11. （1分）(2017·武汉模拟) 已知函数f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），则实数a的取值范围为________．12. （1分）阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为二项（+）9展开式的常数项，则输出的k值为________13. （1分）(2018·滨海模拟) 个男生和个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共有________种（用数字作答）．14. （1分）已知模长为1，2，3的三个向量，，，且• = • = • =0，则| + + |的值为________．15. （1分） (2016高二上·临漳期中) 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是________．三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2019高二下·临川月考) 已知：函数 .（1）此函数在点处的切线与直线平行，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若，恒成立，求的最大值.17. （15分） (2017高二上·黑龙江月考) 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．18. （10分）(2017·甘肃模拟) 持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．纯电动续驶里程R（公100≤R＜150 150≤R＜250R＞250里）补贴标准（万元/辆）2 3.6 44（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程；（2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．19. （10分）(2018·益阳模拟) 已知函数（，为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的最小值.20. （5分） (2018·邯郸模拟) 随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取人对共享产品对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（Ⅰ）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？（Ⅱ）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放张超市的购物券，购物券金额以及发放的概率如下：现有甲、乙两人领取了购物券，记两人领取的购物券的总金额为，求的分布列和数学期望.参考公式： .临界值表：参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分) 16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、第11 页共11 页。
湖南省郴州市高二下学期期末数学试卷(理科)
湖南省郴州市高二下学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝（）A . {0}B . {－1，0}C . {0，1}D . {－1，0，1}2. （2分）从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表x165160175155170y5852624360根据上表可得回归直线方程为=0.92x+，则=（）A . ﹣96.8B . 96.8C . ﹣104.4D . 104.43. （2分）二项式（2﹣x ）8展开式中不含x6项的系数的和为（）A . 0B . ﹣1120C . 1D . ﹣11194. （2分）若存在，则实数x的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·临沂模拟) 某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N（100，σ2），已知P（80＜ξ≤100）=0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A . 5份B . 10份C . 15份D . 20份6. （2分）(2017·福州模拟) 已知函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A .B .C .D . 27. （2分） (2019高一上·丹东月考) 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为（）A .B .C .D .8. （2分）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术六堂课的课程表，要求数学排在上午（前4节），体育排在下午（后2节），不同排法总数是（）A . 720B . 120C . 144D . 1929. （2分）工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N(μ，σ2). 在一次正常的试验中，取10 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为（）A . 70个B . 100个C . 26个D . 60个10. （2分）由某个2×2列联表数据计算得随机变量K2的观测值k=6.879，则下列说法正确的是（）P（K2≥k0）0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A . 两个分类变量之间有很强的相关关系B . 有99%的把握认为两个分类变量没有关系C . 在犯错误的概率不超过1.0%的前提下认为这两个变量间有关系D . 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为这两个变量间有关系11. （2分） (2016高二上·安徽期中) 给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则l⊥γ②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α③已知a，b是异面直线，α，β为两个平面，若a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α，则α∥β④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线其中正确命题的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分） (2016高三下·娄底期中) 若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=________14. （1分）用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中，要求相邻矩形的涂色不得相同，则不同的涂色方法共有________．15. （1分） (2016高二下·惠阳期中) 已知=2 ，=3 ，=4 ，…，若 =6 （a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，t﹣a=________．16. （1分） (2017高三上·徐州期中) 已知函数f（x）=x3﹣x2﹣2a，若存在x0∈（﹣∞，a]，使f（x0）≥0，则实数a的取值范围为________．三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分） (2018高一上·台州期末) 设集合 , .(Ⅰ)当时，求；(Ⅱ)若，求实数的取值范围.18. （15分） (2016高一上·海安期中) 已知函数f（x）= ．（1）证明f（x）为偶函数；（2）若不等式k≤xf（x）+ 在x∈[1，3]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）当x∈[ ， ]（m＞0，n＞0）时，函数g（x）=tf（x）+1，（t≥0）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，求实数t的取值范围．19. （10分） (2016高二下·三门峡期中) 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．20. （5分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知函数，其中，设是的导函数，讨论的单调性和极值。
湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)
郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设，则“”是“”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知为虚数单位，若复数在复平面内对应的点分别为，则复数（ ）A. B. C.D.（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知为椭圆上一动点，分别为其左右焦点，直线与的另一交点为的周长为16.若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.B. C. D.5.若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数的两个零点分别为，若三个数适当调整顺序后x ∈R 3x >2x >i 12,z z ()()2,1,1,2-12z z ⋅=5i 5i -45i +45i-+1sin170=P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>12F F ､1PF C 2,A APF 1PF 14131223n 8,2,4,9,3,101nx ⎫+⎪⎭()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>12,x x 12,,2x x -可为等差数列，也可为等比数列，则不等式的解集为（ ）A.B.C.D.8.设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（ ）A.动点的轨迹长度为；B.异面直线与所成角的正切值为2；C.的最大值为2；D.三棱锥的外接球表面积为.10.已知定义域在上的函数满足：是奇函数，且，当，则下列结论正确的是（ ）A.的周期B.C.在上单调递增D.是偶函数11.锐角中，角的对边为.且满足.下列结论正确的是（ ）A.点的轨迹的离心率0x bx c-≤-(](),45,∞∞-⋃+[]4,5()[),45,∞∞-⋃+(]4,5()f x R (),f x x '∀∈R ()()2f x f x x -+=()0,∞+()f x x '<()()932262f m f m m --≥-m 1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭[)1,∞+3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1111ABCD A B C D -2,M 11A D P ABCD MP =P πMP 1BB MP AB ⋅P MAD -25π4R ()f x ()1f x +()()11f x f x -+=--[]()21,1,1x f x x ∈-=-()f x 4T =5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭()f x []5,4--()2f x +ABC ,,A B C ,,a b c 4,2a b c ==+A e =C.的外接圆周长D.的面积三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线与曲线的取值范围是__________.13.已知数列满足：.若，则数列的前项和__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径，高，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角中，内角所对的边分别为，，且满足.（1）证明：；（2）求的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点.3c <<ABC ()4π,5πl ∈ABC ()3,6ABC S ∈ :220l kx y k -+-=:C y =k {}n a ()()111,11n n a na n a n n +=-+=+()1n nnb n a =+{}n b n n S =()2km R =)km h =ABC ,,A B C ,a b c ()sin cos sin 1cos c A B b C A =+2A B =caP ABCD -ABCD PA ⊥,2,ABCD PA AD E ==PD F PC（1）证明：平面平面；（2）是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数.（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）当时，求证在上恒成立.18.（本题满分17分）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，已知，（1）求抛物线的方程及的值；（2）当在第一象限时，为坐标原点，是抛物线上一点，且的面积为1，求点的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于的两个点分别记为，问抛物线的准线上是否存在一点使得，.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为，试验进行到事件第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限：根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量.AEF ⊥PCD F P AF E --45 PFPC()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R ()f x ()0,∞+a 0a =()1f x <ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()2,A a 2:2C y px =F 4AF =a A O B AOB B OA 12,B B P 12PB PB ⊥A p A ξ()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯ξ()GE p ξ~2311111112222k k S ∞-==++++=∑ n 11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑n ∞→n S 1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭X（1）证明：；（2）求随机变量的数学期望；（3）求随机变量的方差.1()1k P X k ∞===∑X ()E X X ()D X郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12. 13.14.四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由，结合正弦定理得可得，所以，所以或（舍去），所以（2）在锐角中，，即，.令，因为在上单调递增，所以，所以.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1nn +5:2()sin cos sin 1cos c A B b C A =+()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ sin cos cos sin sin A B A B B -=()sin sin A B B -=A B B -=()πA B B -+=2A B=ABC 02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩ππ64B <<cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-1cos ,2,2B t y t t t ==-∈122y t t =-y y >=<=c a ∈16.（1）证明：底面为正方形，.平面.平面.又平面.为的中点，.平面.平面平面平面.（2）以分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，，设，，设平面的法向量，则，设平面的法向量，则解得由题意得：，即，解得.从而.17.（1）解：函数，则，对任意的恒成立，所以，故，所以，ABCD CD AD ∴⊥PA ⊥ ,ABCD PA CD ∴⊥PA AD A⋂=CD ∴⊥PAD AE ⊂,PAD CD AE ∴⊥,PA PD E = PD AE PD ∴⊥,CD PD D AE ⋂=∴⊥PCD AE ⊂,AEF ∴AEF ⊥PCD AB AD AP ､､x y z ()()0,0,0,2,0,0A B ()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E (01)PF PC λλ=<<()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AE λλλλ=+=+=-=AEF ()111,,m x y z =()0,12,,0m AE m m AF λλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP == APF ()222,,n x y z =,0n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()1,1,0n =- cos45m n m n ⋅===13λ-=23λ=23PF PC =(),2cos e xf x ax x =+-()2sin e xf x a x =--'()()0,,0x f x ∞∈+'≤()2e sin xa x g x ≤+=()e cos 1cos 0xg x x x x =+≥++>'()min 2()01a g x g ≤==故实数的取值范围为；（2）证明：由题意知，要证在，上，，令，则，显然在上单调减，，所以存在，则，所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以，故在，上恒成立.18.解：（1）由题意，解得，因此抛物线的方程为点在抛物线上可得，故（2）设点的坐标为边上的高为，我们知道的面积是：直线的方程是，利用到直线的距离公式可得：化简得：由于点在抛物线上，代入条件可得：a 1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭cos e 1x x -<()cos e xh x x =-()sin e xh x x =--'ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()h x '()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭()000sin e 0x h x x '=--=0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0h x '>()h x 0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<()h x ()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭()1f x <ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭242pAF =+=4p =2:8C y x =()2,A a 216a =4a =±B ()11,,x y OA h AOB 112S h =⨯=1h h =⇒==OA 2y x =B OA 1121x y -=B可以得到或，解这个方程可以得到代入拋物线方程可以得到：或综上所述，点的坐标有三个可能的值：（3）不存在，理由如下：由（2）知则的中点到准线的距离等于因为所以，以为圆心为半径的圆与准线相离，故不存在点满足题设条件.19.（1）证明：可知则.（2）设22111121184y y y y ⋅-=⇒-=211440y y --=211440y y -+=12y ===±12y =1x ==1x ==112x =B 12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭122,2B B +-⎭⎭12,B B 3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 2x =-37222+=73.52=>M 122B B P ()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑1()nn k T k P X k ==⋅=∑两式相减，则随机变量的数学期望；（3）【也可利用】而两式相减：从而：.那么.0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭X 55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑()()()22D XE XE X =-012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑21()66k kP X k ∞===∑21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑。
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