2013带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题

带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题
河北平山古月中学梁军录
带电粒子在磁场中的偏转问题可以很好地考察学生物理过程分析、空间想象和应用数学知识解决物理问题的能力，因此一直受到高考命题专家的青睐，成为历年的热门考题，且常作为压轴题出现。

对于带电粒子在已知边界的有界磁场中偏转的问题较为常见，其解题思路（先由几何知识作出带电粒子的运动轨迹圆心，然后求其圆心角，进而确定带电粒子在磁场中的运动时间）大家较为熟悉。

而对带电粒子在“待定”边界的最小有界磁场中偏转的问题则较为少见，这类问题灵活性较强，能更有效地考查学生的发散性思维和灵活应变能力，具有很好的区分度。

通常可采用几何作图方法直接进行求解；当边界较为复杂时也可借助解析法进行求解。

本文首先通过剖析典型的高考真题总结出该类问题的一般解题规律，并针对性地设计创新例题进行训练，从而使学生达到举一反三，融会贯通。

例1（1994年全国高考题）如图1所示，一带电质点，质量为，电量为，以平行于
轴的速度v从轴上的点射入图中第一象限所示的区域,为了使该质点能从x轴上的b点
以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

（重力忽略不计）
解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，洛伦兹里提供向心力，则，
可得质点在磁场中作圆周运动的半径为定值。

由题设的质点在有界磁场区域中入射
点和出射点方向垂直的条件，可判定带电粒子在磁场中的运动轨迹是半径为R的圆周的1/4圆弧，这段圆弧与粒子射入和射出磁场时的速度方向相切。

过点a作平行于x轴的直线，过
b点作平行于y轴的直线，则与这两直线aM、bN相距均为R的点即为带点粒子在磁场中
运动轨迹的圆心，图2中虚线圆弧即为带点粒子在有界圆形磁场中运动的轨迹。

由几何关系知：过M、N两点的不同圆周中面积最小的是以MN连线为直径的圆周，所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为
例2（创新迁移）如图3所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入磁感应强度为B。

方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC方向，求圆形磁场区域的最小面积。

（粒子重力忽略不计）
解析：设粒子在磁场中作半径为R的圆周运动，由洛伦兹里提供向心力，
可得为一定值。

如图4虚线圆所示，作出粒子沿AB进入、BC射出磁场的运动轨迹。

过P、Q两定点的不同圆周中，面积最小的是以线段PQ为直径的圆（如图4中实线圆所示），
即所求的最小圆形磁场区域。

由几何关系知，实线圆的半径，
则待求最小圆形磁场区域的面积=。

例3（2009年海南卷第16题）如图5所示，ABCD是边长为的正方形。

质量为、电荷量为e的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。

不计重力，求：
（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。

解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为，如图6所示，电子由C点垂直于BC 射入匀强磁场且从A点射出磁场，可设圆弧是电子的运动轨迹，由几何关系知B点为
轨迹圆心，半径R=。

电子所受的洛伦兹力提供向心力即，可得，由洛伦兹力指向圆弧的圆心，可判定磁场方向垂直于纸面向外。

（2）如图6所示，因为从BC边上任意点垂直于BC方向射入正方形区域的电子都只能由A点射出，可知电子射入磁场的点必为每条可能轨迹的最高点。

所以由C点垂直于BC射入
的电子在磁场中运动轨迹为有界磁场的上边界, B点为圆弧的圆心。

下面确定下
边界，先设磁场区域足够大，点M为BC上任意点，由于电子在磁场中的轨道半径R=为定值，所以从点M垂直于BC射入正方形区域的电子的运动轨迹圆心为：以A为圆心，为半
径的圆弧和与MN（MN BC）平行且在MN下方相距为的直线的交点。

故所有垂直
于BC射入正方形区域的电子的运动轨迹圆心构成：以A为圆心，为半径的圆弧。

由于从BC上的任意点M点垂直BC射入有界磁场边界的点P可看作是点沿垂直于AB向上平移了得到的，所以圆弧沿垂直于AB的方向向上平移所得的圆弧即为有
界磁场的下边界。

故有界磁场分布的最小区域为圆弧与所围的部分，其面积为
扇形减去三角形的面积的二倍：＝。

注：磁场区域的下边界也可用解析法求解。

如图6所示，设从BC上任意点M点垂直于BC射入的电子由A点射出时的速度方向与BA的延长线夹角为（不妨设）。

先设电子的运动轨迹为，在以D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标为
，连接DP，由于OP=OA=AD，且，所以四边形AOPD为菱形，由几何关系知
==, DP=a，故，，整理得点P的轨迹方程为
，这表明，在范围内，P点的轨迹为以D为圆心、为半径的四分之一圆周，即为磁场区域的另一边界。

例4（创新迁移—逆向思维）如图5所示，在正方形ABCD的适当区域中有匀强磁场。

现有一放射源放置于正方形ABCD顶点A处，可由A点向正方形区域内的各个方向放射质量为
m、速度为、带电量为e的电子。

若沿AD方向发射的电子经磁场偏转后恰好可由D点射出。

要使放射源由A放射的所有电子穿出匀强磁场时，都只能垂直于BC向右射出，试求匀强磁场区域分布的最小面积S。

（粒子重力忽略不计）
解析：本题解题过程与例3可逆，详细过程与例5（2）类似。

注：磁场的方向垂直于纸面向里。

例5（创新迁移2—同类变换）如图7所示，直角三角形中,边长。

假设在顶点A处有一放射源可沿所夹范围的各个方向放射出质量为m、速
度为、带电量为e的电子。

在三角形的适当区域内有匀强磁场。

当电子从顶点A沿
方向射入磁场时，电子恰好从点射出。

要使放射出的电子穿过磁场后，都只能沿平
行于方向向右运动，试求（1）此匀强磁场的大小和方向；（2）匀强磁场区域分布的最小面积S。

（粒子重力忽略不计）
解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为，，电子从A点沿方
向射入磁场，经偏转恰好能从点射出。

如图7所示，设圆弧是电子的运动轨迹，其圆心为，由几何关系知三角形A B为正三角形。

电子在磁场中运动的轨道半径R=，
由电子作圆周运动所受的洛伦兹力提供向心力有，可得。

电子所受的洛伦兹力指向圆弧的圆心，由左手定则判定磁场方向垂直纸面向里。

（2）题设要求所有由A点向的范围内发射电子均只能平行于AB向右飞出磁场，
由几何关系知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点，所以沿AC方向发射的电子在磁场中运动轨迹与AB中垂线交点的左侧圆弧（如图8中设点为圆弧中点）即为有
界磁场的上边界，其圆心为。

下面确定下边界，先设磁场区域足够大。

要保证电子在
所夹范围内由A点沿任意方向发射电子都只能平行于AB向右飞出磁场，则要求电子飞出有界磁场的点满足：以圆弧（以A 为圆心，a为半径）上的任意一点为圆心，
a为半径的圆弧与平行于AB的直线的交点。

实际上，点相当于圆弧上的点
沿垂直于AB向上平移a得到的，所以满足条件的有界磁场的下边界为：将A点沿垂直于AB 向上平移距离a得到的O点为圆心，以a为半径的圆弧与交点的下方部分。

故
所求有界磁场的最小区域为弧与弧所围的部分，其面积为扇形面积减
去三角形面积的二倍，即最小磁场区域的面积为＝。

注：若采用解析法确定下边界，则需以O为原点，OA为x轴，OD为y轴，方法同例3。

例6（创新迁移—思维陷阱）如图9所示，等边三角形的边长为，在顶点A处放置一放射源，可沿所夹范围的各个方向放射出质量为m、速度为、带电量为e电子。

在三角形内适当区域内有匀强磁场。

当电子从顶点A沿的角平分线方向射入磁场时，恰好能从点射出。

试求：
（1）此匀强磁场的大小和方向；
（2）能使从A点放射出的电子经匀强磁场后沿平行于方向射出的匀强磁场的最小
有界磁场面积S。

（粒子重力忽略不计）
解析：（1）由于的角平分线与夹角为，，所以解法同例5（1）。

（2）若只凭前面两例的思维定势，很容易想当然地认为待求的最小有界磁场的区域为：如图10所示，过A点的分别以点和为圆心、a为半径的圆弧所围成的区域（注：OA AB，
AC A）。

然而通过严格的尺规作图发现这两圆弧的交点处于等边三角形的外部。

这显然是不合理的，因为题中明确要求磁场只分布在正三角形内适当区域，所以由A点沿AC方向射入三角形内的电子的运动轨迹不是有界磁场的上边界。

为此，先确定有界磁场下边界，其确定方法同例5，如图10所示，以O为圆心，a为半径的圆弧交BC边于P点，则圆弧即为有界磁场的下边界。

上边界应为过点A和且半径为a的圆弧。

故
满足条件的最小有界磁场分布在圆弧和所围的区域，要求其面积需先计算出
的大小，这里采用解析法来确定，以O为原点，OD为x轴，OA为y轴。

点的坐
标是圆弧（方程为）和直线BC（方程为）的交点
为=，=，, 则最小有界磁场区域面积为S==。

注：本题要求的有界磁场范围是能使从A点放射出的电子经三角形内的匀强磁场后沿平行于方向射出的最小有界磁场面积S，而沿求得的范围上方且在所夹范围内发射的电子经磁场偏转后将不能沿平行于方向射出匀强磁场。

所以题中所求即为满足条件的最小有界磁场。

2010-05-18 人教网。