11-(2)对坐标的曲线积分
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
练习112(对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系) - 答案
练习册 112 对坐标的曲线积分及两类曲线积分之间的关系（答案）1、设L 是xoy 平面内直线a x =上的一段，求()⎰=Ldx y x P I ,。
解：a x = ，0=dx ， ()0,==∴⎰Ldx y x P I 。
2、设L 是xoy 平面内直线a y =上的一段，求()⎰=Ldy y x Q I ,。
解：a y = ，0=dy ， ()0,==∴⎰Ldy y x Q I 。
3、设L 是xoy 平面内x 轴上从点()0,a 到点()0,b 的一直线段，求()⎰=Ldx y x P I ,。
解：因为L ：0=y ，x 从a 变化到b ，所以()()⎰⎰==ba L dx x f dx y x P I 0,,。
4、计算⎰=Lxydx I ，其中L 为圆周()()0222>=+-a a y a x 及x 轴所围成的在第一象限内的区域的按照逆时针方向的整个边界。
解：令从点O 到点A 的有向直线段为1L ，从点A 到点O 的有向半圆弧（第一象限内）为2L （如右图所示），有21L L L +=，又因为1L ：0=y ，x 从0变化到a 2，2L ：θcos a a x =-，θsin a y =，θ从0变化到π， 所以，()()⎰⎰⎰⎰⎰-++⋅=+==πθθθθ020sin sin cos 021d a a a a dx x xydx xydx xydx I a L L L ()πππππθθθθθθθθθθθ 0 32022022022022sin 31sin 2sin cos sin sin cos 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=+-=⎰⎰⎰⎰d a d a d a d a 2222212a a ππ-=⨯⨯-=。
5、计算⎰Γ+-=ydz dy dx I ，其中Γ为有向折线ABCA ，这里A ,B ,C 的坐标分别为()0,0,1，()0,1,0，()1,0,0。
解：Γ可以分成光滑有向线段AB ，BC 和CA 。
高等数学 第二节 对坐标的曲线积分
第十一章 第二节
9
定积分的定限原则：起点对下限，终点对上限， 下限不一定小于上限。 {P[(t) , (t)](t) Q[(t) , (t)] (t)}dt 其他情形
(1) L : y y( x) ( x : a b)
b
L Pdx Qdy a {P[x , y( x)] Q[x , y( x)]y( x)}dx
(可推广到空间曲线 上)
第十一章 第二节
16
L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds : x (t) , y (t) , z (t) (t : a b)
Γ 上点( x , y , z)处的切向量的方向角为 , ,
则 Γ Pdx Qdy Rdz Γ (P cos Q cos Rcos )ds
n
3) “求和” W P (k , ηk )Δxk Q(k , ηk ) Δyk
k1 n
4) “取极限” W
lim 0 k1
P (k , ηk )Δxk Q(k , ηk ) Δyk
为所有小弧段长度的最大值
第十一章 第二节
3
2 定义 设 L 为 xOy 平面内从 A 到 B 的一条有向 光滑弧，在 L 上定义了一个向量值函数
1 引例 变力沿曲线所作的功。 y L
B
设一质点受如下变力作用
F ( x , y) (P( x , y) , Q( x , y))
A
x
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B ，
求移动过程中变力所作的功W。
常力沿直线所作的功
F W F AB cos
A
B F AB
第十一章 第二节
L
k
对积分域 的可加性
对坐标的曲线积分
4、性质 性质1 设、 为常数，则 L [F1 ( x, y ) F2 ( x, y )] dr L F1 ( x, y ) dr L F2 ( x, y ) dr 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和L2，则 L F ( x, y) dr L1 F ( x, y) dr L2 F ( x, y) dr 性质3 设L是有向光滑曲线弧，L-是L的反向曲线弧， 则
时，点M ( x, y )从L的起点A沿L运动到终点B， (t )、 (t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 , 且 ' (t ) ' (t ) 0，则曲线积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy
2 2 L
存在, 且 : P( x, y )dx Q( x, y )dy
L
2 xydx x 2 dy 2 xydx x 2 dy
y 2 ydy
1 4 2 1 y dy 5 1
y 4 2 5 1 5
例2 计算 y 2 dx 其中L为 :
L
(1)半径为a、圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周；
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段.
解:(1) L的参数方程 :
x a cos y a sin
3
4 3 a 3 0
x由a变到 a 0
y dx
2 L
a 0dx a
注意: 由此题可见，当两个曲线积分的被积函数相同，
起点、终点相同时，沿不同路径的曲线积分并不相等.
例3 计算 2 xydx x 2 dy, 其中L为 :
L
对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
坐标的曲线积分是指对于曲线上的各个点，按照其在坐标系中的
坐标值进行积分的过程。
这种方法常用于研究曲线的长度、变化率、
等量关系等问题。
具体来说，在平面直角坐标系中，对于一条曲线C，其通常可以
表示为 y=f(x)，其中f(x)是曲线的方程。
对于该曲线上任意一点
(x,y)，都可以通过对x、y分别积分的方式得到其到曲线起点的弧长。
具体而言，对于一条曲线C，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(1+f'(x)²)dx
其中f'(x)表示f(x)的导数，a,b是曲线C的起点和终点。
在曲线积分中，坐标的变化直接与曲线的弧长和函数值相关，因
此坐标的曲线积分往往可以用于描述曲线在不同位置上的变化情况。
例如，在应用物理中，我们经常需要计算物体在曲线轨道上的运动情况，这时就需要用到坐标的曲线积分。
值得注意的是，坐标的曲线积分可以用于任意维度的空间中，例
如在三维坐标系中，对于曲线C可以表示为
(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(f'(t)²+g'(t)²+h'(t)²)dt
总之，坐标的曲线积分是一种基本的数学工具，在物理学、几何学、计算机科学等领域得到了广泛应用。
熟练掌握坐标的曲线积分，
可以更好地理解和解决涉及曲线的各种问题。
第二节对坐标曲线积分
t
.
2 t 2 t
2 t 2 t
1
第二节 对坐标的曲线积分
一．对坐标的曲线积分的概念与性质 引例 变力沿曲线所作的功。
设 L为 xOy面内的光滑曲线弧,
y
Qx, yj
Fx, y
•B
• Px, yi
有一质点受到力
Fx, y Px, yi Qx, yj
A•
O
x
的作用, 从A 点沿曲线弧 L 移动到点 B ,
点参数值. 作业: 作业纸 P31-32 课本习题 10-2 学习指导 例10.7-例10.10
18
例6 一力场由沿横轴正方向的常力F所构成。试求当以质量为m
的质点沿圆周 x 2 y 2 R2 按逆时针方向移过位于第一象限的
那一段弧时，场力所做的功。 习题10-2 5
解 FFi
Px, y F ,Qx, y 0.
M •
n1
•
M•n
•
•
M i1•
yi
• xi
M1 •
i ,i
A •M 0
O
x
W
n
wi
n
P
i
,
i
x
i
Q i ,i yi
i 1
i 1
令 为最大弧长，则
n
W
lim 0 i 1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
n
n
lim
0 i 1
P
i
,i
xi
lim
0 i 1
Q
i
3
03
10
例3 计算 y 2dx，其中 L 为： L
（1）半径为 a 圆心为原点的上半圆周（逆时针方向）；
对坐标的积分
于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧 MoMn 上所作功的 近似值为
W Wi P (x i ,h i )xi Q(x i ,h i )yi .
i 1 i 1 n n
令 表示 n 个小弧段的最大弧长，当 0 时， 上式 的右端极限如果存在， 则这个极限就是 W 的精确值，
a b Q( x, y)dy a Q[x(t ), y(t )] y(t )dt .
L L
P ( x, y )dx P[x(t ), y( t )] x( t )dt . (11.2.1)
(11.2.2)
b
证明从略.
对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算， 其要点是： (1) 因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线 L 上， 所以 x、 y 应分别换为 x(t)、 y(t)； (2) dx、dy 是有向小曲线段在坐标轴上的投 影， dx = x(t)dt、 dy = y(t)dt ； (3) 起点 A 对应的参数 t = a 是对 t 积分的下 限，终点 B 对应的参数 t = b 是对 t 积分的上限.
对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应 用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即
简记为
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
L
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
称之为组合曲线积分.
设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ- 是与Ｌ方向相反的有向 曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：
第五模块
第四节
二重积分与曲线积分
对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念
二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系
高等数学之对坐标的曲线积分
高 等 数 学 电 子 案
例1 计算 L xydx
,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点
y
B(1,1) o A(1,-1)
B(1,1)的一段弧.
解法一：把x作为参数,利用对x的定积分
x
来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数
可用积分路线的方程来处理.
xydx
L
AO
xydx xydx
由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) xi ( i)ti
应用微分中值定理，有 其中 ti ti ti 1 , i 在 ti 1 与 t i 之间，于是
L
P( x, y )dx lim P ( i ), ( i ) ( i)ti
L 0 i 1 i i
n
i
为P(x,y)对坐标x的曲线积分； 当P=0 时,
Q( , )y Q( x, y)dy lim
L 0 i 1 i i
n
i
为Q(x,y)对坐标y的曲线积分.
高 等 上述定义可推广到空间曲线Γ的情况： 数 学 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz 电 n 子 [P(i ,i , i )xi Q(i ,i , i )yi R(i ,i , i )zi ] 案 lim 0
P( x, y)dx 存在，并且有
L
P( x, y)dx P (t ), (t ) (t )dt
L
同理可证：
Q( x, y)dx Q (t ), (t ) (t )dt
L
高 等 (1)式推广到空间曲线,得到如下公式： 数 学 设 x x(t ), y y(t ), z z(t ), 则 电 子 Pdx Qdy Rdz 案
对坐标的曲面积分
1.1 曲面的侧
本节中，我们假定所研究曲面皆为双侧曲面，并规定其中一侧为正侧，另一侧为负 侧．我们将选定侧的双侧曲面称为有向曲面，侧的选定与该曲面法向量的指向相关．例 如，对于曲面 z z(x ，y) ，若法向量指向朝上，则正侧为曲面的上侧；若法向量指向朝 下，则正侧为曲面的下侧，其余情况类推．我们规定曲面上侧、前侧、右侧为曲面的正 侧，而曲面下侧、后侧、左侧为负侧．
二类曲面积分），记作
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy ，
即
P(x ，y ，z)dydz Q(x ，y ，z)dzdx R(x ，y ，z)dxdy
n
lim
0
{P(i
i 1
，i
， i )(Si ) yz
Q(i
，i
， i )(Si )zx
3
1 y2 dz
1
3
dx
1 x2 dz 2 3 1
1 x2 dx 3 π ．
0
0
0
0
0
2
1.2 对坐标的曲面积分的概念与性质
例 2 计算曲面积分 zdxdy ，其中 为上半球面 x2 y2 z2 R2 的上侧．
解 则有
的方程是 z R2 x2 y2 ， 在 xOy 面上的投影区域为
Dxy {(x ，y) | x2 y2 R2}，
zdxdy R2 x2 y2 dxdy．
Dxy
因为将 Dxy 表示为极坐标形式时有 0 R ， 0 2 ，
故
zdxdy
R2 2 dd 1
2π
d
R
R2 2 d(R2 2 ) 2π R3 ．
Dxy
20
高数--对坐标的曲线积分
• B(1,1) y2 = x
x = y 2 dx = 2 ydy , y从− 1到1 到
∫L
xy d x = ∫ y 2 ⋅ y ⋅ 2 ydy
−1
1
O
x
• A(1,−1)
= 2 ∫ y4 dy −
1
1
4 = 5
15
对坐标的曲线积分
例 计算 ∫ xdx + ydy + ( x + y − 1)dz
17
对坐标的曲线积分
计算 ∫ x 2dx + ( y − x )dy , 其中
L
(2) L是x轴上由点 A(a ,0) 到点B( − a ,0) 的线段 的线段. 是 轴上由点 (2) L的方程为 y = 0, x从a到− a. 的方程为 原式= 原式
∫a
−a
x dx
2
y
2 3 =− a 3
B(−a,0) O
Γ
其中Γ是由点 到点B(2,3,4)的直线段 的直线段. 其中 是由点A(1,1,1)到点 是由点 到点 的直线段
x −1 y −1 z −1 = = 直线AB的方程为 解 直线 的方程为 1 2 3
化成参数式方程为 x = 1+ t, y = 1 + 2t, z = 1+ 3t + A点对应 t = 0, B点对应 t = 1, 于是 点对应 点对应
i =1
n
取极限 W = lim [ P (ξ i ,η i ) ⋅ ∆xi + Q(ξ i ,η i ) ⋅ ∆yi ] ∑
λ→0i =1
精确值
3
对坐标的曲线积分
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义 面内从点A到点 的一条有向 设L为xOy面内从点 到点 的一条有向光滑 为 面内从点 到点B的一条有向光滑 曲线弧, 曲线弧 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在L上有界 用L上的点 上的点: 上的点 上有界. 上有界 M 1 ( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ), LM n −1 ( x n −1 , y n−1 ) 分成n个有向小弧段 把L分成 个有向小弧段 Mi −1 Mi (i = 1,2,L, n; 分成
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第二节
一、对坐标曲线积分概念 与性质
二、 对坐标曲线积分计算法
三、两类曲线积分之间联络
对坐标曲线积分
第1页
一、 对坐标曲线积分概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作功.
设一质点受以下变力作用
在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,
求移
“大化小”
沿 移动到
解: (1)
(2) 参数方程为
试求力场对质点所作功.
其中 为
第13页
例5. 求
其中
从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 参数方程
第14页
三、两类曲线积分之间联络
设有向光滑弧 L 以弧长为参数 参数方程为
已知L切向量方向余弦为
则两类曲线积分有以下联络
第15页
类似地, 在空间曲线 上两类曲线积分联络是
设 L 为xOy 平面内从 A 到B 一条有向光滑
弧,
若对 L 任意分割和在局部弧段上任意取点,
都存在,
在有向曲线弧 L 上
对坐标曲线积分,
则称此极限为函数
或第二类曲线积分.
其中,
L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
称为被积函数 ,
在L 上定义了一个向量函数
极限
第5页
若 为空间曲线弧 , 记
称为对 x 曲线积分;
L 参数方程为
则曲线积分
连续,
存在, 且有
第8页
尤其是, 假如 L 方程为
则
对空间光滑曲线弧 :
类有
第9页
例1. 计算
其中L 为沿抛物线
解法1 取 x 为参数, 则
解法2 取 y 为参数, 则
_高等数学2第十一章答案(DOC)
习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ϕϕϕπ==≤≤ds ad ϕϕ==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a πϕϕ===⎰⎰ 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分： （1）22()Lxy dx -⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+⎰，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针方向绕行）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；（4）dx dy ydz Γ-+⎰，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
11-2 对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
对坐标的曲线积分的解题方法
对坐标的曲线积分的解题方法
1. 哎呀呀，先说说利用参数方程来解题呀！就像你要找到一条隐藏的小路，参数方程就是那把钥匙呢！比如说求椭圆上的曲线积分，通过设出参数方程，不就好解决多啦。
2. 嘿！还有直接计算法呢！这可简单直接啦，就像一拳直击目标！比如对于一些简单的曲线，直接代入式子进行计算，妙不妙？
3. 哇哦，格林公式可别忘呀！它就像是一个神奇的魔法棒！比如说在计算封闭曲线的积分时，用格林公式一转，难题变简单啦。
4. 哈哈，转换投影法也超有用的哟！这就像给图形变个角度看，一下子就清晰啦。
像在求曲面上的曲线积分时，转换到投影面上，轻松解决呢。
5. 呀！对称性也能帮忙呀！就好像找到了一个隐藏的小技巧。
比如有的曲线具有对称性，利用起来能省不少力呢。
6. 哎哟喂，利用斯托克斯公式呀！这可是个厉害的家伙！就如同给你配备了一把强大武器。
比如对于复杂的空间曲线积分，它能发挥大作用呢。
7. 嘿呀，叠加原理也别忽视呀！这就像搭积木一样，把问题一块块解决。
比如当曲线由多个部分组成时，分别计算再叠加起来，是不是很赞？
我的观点结论就是：对坐标的曲线积分有这么多解题方法呢，大家都要掌握好呀，这样遇到难题就不怕啦！。
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
高数同济第六版下高等数学2第十一章答案[1]
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⾼数同济第六版下⾼等数学2第⼗⼀章答案[1]习题11-1 对弧长的曲线积分1.计算下列对弧长的曲线积分：（1）22x y Leds +?，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第⼀象限内所围成的扇形的整个边界；（2）2x yzds Γ，其中Γ为折线ABCD ，这⾥A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2)；（3）2Ly ds ?，其中L 为摆线的⼀拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.2.有⼀段铁丝成半圆形y =，其上任⼀点处的线密度的⼤⼩等于该点的纵坐标，求其质量。
解曲线L 的参数⽅程为()cos ,sin 0x a y a π==≤≤ds ad ??==依题意(),x y y ρ=，所求质量22sin 2LM yds a d a π===?? 习题11-2 对坐标的曲线积分1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）22()Lxy dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的⼀段弧；（2）22()()Lx y dx x y dy x y+--+?，其中L 为圆周222x y a +=（按逆时针⽅向绕⾏）；（3）(1)xdx ydy x y dz Γ+++-?，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的⼀段直线；（4）dx dy ydz Γ-+?，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这⾥A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)；2.计算()()Lx y dx y x dy ++-?，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧；（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线221x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的⼀段弧。
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y x
x : 0 1
OB
O
x yd x
x yd x
0
y x A(1,1)
1 3 2
x
2 x
解法2 取 y 为参数, 则
4 dx 5
x yd x y 2 y ( y 2 ) d y
L 1
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1
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3
π 2 2 a sin t (a sin t )d t 0
例3. 计算 (2) 抛物线
其中L为
y
B ( 1, 1 )
2 2
(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1;
x y
yx
4
1 0 1 3 x dx 0
(3) 有向折线 L : OA AB . 解: (1) 原式 (2) 原式 ( 2 y 2 y 2 y y 4 )d y
P( k , k )xk Q( k , k ) yk 0
lim
k 1
n
记作
L P( x, y)d x Q( x, y)d y
在有向曲线弧 L 上
都存在, 则称此极限为函数
对坐标的曲线积分, 或第二类曲线积分. 其中,
称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 .
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P( k , k ) xk , L P( x, y)d x lim 0 k 1
n k 1
n
称为对 x 的曲线积分;
Q( k , k ) yk , L Q( x, y)d y lim 0
0 k 1
n
(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)
y
F ( k , k )
L A
M x kk 1
M y kk
B
x
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2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 在L 上定义了一个向量函数 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限
b
P [ (t ), (t ) , (t )] (t )
Q [ ( t ), ( t ) , ( t )] (t )
R [ (t ), (t ) , (t )] (t ) d t
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P( x, y )d x Q( x, y )d y
L
说明:
• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
• 定积分是第二类曲线积分的特例.
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二、对坐标的曲线积分的计算法
定理 设P ( x , y ), Q( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, L的
A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段.
解法1 取 x 为参数, 则 L : AO OB
例1. 计算
L
x yd x , 其中L 为沿抛物线 y 2 x 从点
y
B ( 1, 1 )
AO : y x , x : 1 0 OB : y x ,
x yd x
2. 性质
0 k 1
n
(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) L－ 表示 L 的反向弧
k
i 1
L i P( x, y)d x Q( x, y)d y
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
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Chapter 11
第二节
对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
设一质点受如下变力作用
y
B
F ( x, y) ( P( x, y) , Q( x, y))
x ( t ), 参数方程为 当参数 t单调地由 变到 时, 点 y ( t ), M ( x , y )从L的起点 A沿L运动到终点 B , ( t ), ( t )在以
及 为端点的闭区间上具有 一阶连续导数 , 且 2 ( t ) 2 ( t ) 0, 则曲线积分 P ( x , y )dx Q( x , y )dy存在,
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x (t ) • 对有向光滑弧 L : , t : y (t )
3. 计算
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
• 对有向光滑弧 L : y ( x) , x : a b
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特别是, 如果 L 的方程为 y ( x), x : a b, 则
x (t ) 对空间光滑曲线弧 : y (t ) t : , 类似有 z (t )
P [ x, ( x)] Q [ x, ( x)] ( x)d x a
（可以推广到空间曲线上 ）
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P d x Q d y R d z P cos Q cos R cos ds 23 - 18 Monday, January 25, 2016
内容小结
1. 定义
lim P( k , k ) xk Q( k , k ) yk
例2. 计算
其中 L 为
y
(1) 半径为 a 圆心在原点的
上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为
B a
A a x
则 y d x
2 L
2 4 3 备注：被积函数 2a 1 a 3 3 相同，起点和终 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a, 点也相同，但路 径不同时积分结 则 果不同. 23 - 12 高等数学A(下） Monday, January 25, 2016
1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿
所做的功为
n
则
k 1
y
F ( k , k )
W Wk
2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
则有
Wk F (k , k ) M k 1M k P(k , k ) Δ xk Q(k , k ) Δ yk
0 i 1
lim P [ ( i ) , ( i )] ( i )ti P [ (t ), (t )] (t )dt
0 i 1
n
因为L 为光滑弧 ,
同理可证
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Q [ (t ), (t )] (t ) d t
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3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 则
L P( x, y)d x Q( x, y)d y k P( x, y )d x Q( x, y )d y L i 1
i
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
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3) “近似和”
W P( k , k ) xk Q(ξ k , k ) yk
k 1
n
4) “取极限”
W lim P (ξk , ηk )Δ xk Q(ξk , ηk )Δ yk
A(1, 0 ) x
(3) 原式
0 0 d y高等数学ຫໍສະໝຸດ (下）123 - 13
备注：被积函数 相同，起点和终 点也相同，但路 径不同时积分结 Monday, January 25, 2016 果却相同.
例4. 求
从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 的参数方程
其中
x cos t , y sin t , z 2 cos t sin t ( t : 2 π 0 ) z (2 2 cos t sin t ) cos t
L
P [ (t ), (t )] (t ) Q [ (t ), (t )] (t )d t
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证明: 下面先证
根据定义
lim P( i , i ) xi
0 i 1
称为对 y 的曲线积分.
若记 d s (d x , d y ), 对坐标的曲线积分也可写作
L F d s L P( x, y)dx Q( x, y)d y
类似地, 若 为空间曲线弧 , 记 d s (d x , d y , d z )
F ( x, y, z ) ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ))