4 相似三角形规律题型总结(中考练习)
完整版)相似三角形题型归纳
完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。
证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。
点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。
证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。
证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。
4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。
写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。
5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。
证明DE=BE·CE。
6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。
证明AE∶ED=2AF∶FB。
7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。
证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。
8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。
证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。
9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。
过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。
证明：AG∶GB=CP∶PD。
1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。
初三数学相似三角形典型例题(含答案)
2初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1.比例线段的有关概念：在比例式 abc (a ： b c ：d )中， a 、 d 叫外项， db 、c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。
把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a cb d②合比性质：acb dad bca b c d b d③等比性质：a c ⋯bdm(b d ⋯ nn ≠ 0) a c ⋯ m ab d ⋯ n b3.平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥ l 2∥ l 3 。
AB 则BCDE ，ABEF ACDE ， BC DF ACEF ，⋯DF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解
九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。
当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。
需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。
相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。
比的前项为a，后项为b。
比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。
比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。
其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。
例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。
5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。
注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。
九年级数学相似三角形知识点及习题(最新整理)
EF＋DF)的相似比为( )．下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所________cm.10．(湖南常德)如图X6－4－4，已知四边形ABCD是平行四边形．(1)求证：△MEF∽△MBA；(2)若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.11．(广西来宾)如图X6－4－5，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E.(1)用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；(2)证明：△ABC∽△BDC.12．已知如图X6－4－6，在矩形ABCD中，E是BC上一点，F是BC的延长线上一点，且BE＝CF，BD 与AE相交于点G.求证：(1)△ABE≌△DCF；(2)CF·AE＝BF·GE.B级 中等题13．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4和x，那么x的值( )A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个14．如图X6－4－7，已知在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.15．如图X6－4－8，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，试证明：BC2＝2CD·AC.的面积最大？并求出这个最大值．图“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档
相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
相似三角形中考考点归纳与典型例题
相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。
掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。
相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。
记作ΔABC ~ ΔDEF。
其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。
2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。
3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。
即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。
5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。
(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。
(4) 相似三角形的高线间成比例。
相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。
解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。
所以∠ABC ~ ∠CBM。
根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。
例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。
解：由AE = CD可得∠A = ∠C。
又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。
所以∠AFB ~ ∠ACD。
根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质 (1）有关概念1、比:选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比是ａ:b=m:n（或n m b a =）2、比的前项，比的后项:两条线段的比ａ：b 中。
a 叫做比的前项,ｂ叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如dc b a =4、比例外项:在比例dc b a =（或a:b=c ：d)中ａ、d 叫做比例外项。
5、比例内项:在比例d c b a =(或ａ:b=c ：d ）中b 、ｃ叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d cb a =（或a ：ｂ=c:d ）中,d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等,即比例为a bb a =(或a:b=b:c 时，我们把ｂ叫做ａ和d 的比例中项。
8．比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a:ｂ＝c ：d),那么,这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
(注意:在求线段比时，线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位）（2)比例性质１．基本性质: bcad d cb a =⇔= (两外项的积等于两内项积)2．反比性质: c da b dc b a =⇒= （把比的前项、后项交换)3.更比性质（交换比例的内项或外项）:()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项４．合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=(分子加(减)分母，分母不变) ．注意：实际上,比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a .5.等比性质:（分子分母分别相加,比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ,那么b a n f d b m ec a =++++++++ . 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ,这种方法是有关比例计算,变形中一种常用方法.（2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立．知识点三:黄金分割1）定义：在线段AB 上,点C 把线段ＡB 分成两条线段AC 和BC （AC>ＢC),如果ACBCAB AC =，即A Ｃ2=ＡB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段ＡB 的黄金分割点,ＡC 与AB 的比叫做黄金比。
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．E BD DB C(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
相似三角形题型归纳总结非常全面
相似三角形题型归纳、成比例线段的概念：1．比例的项：ac在比例式a:b c:d（即）中，a，d 称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，bdab在比例式a:b b:c（即）中，b称为a，c的比例中项，满足 b ac ．bc2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即 a c，那么这四条线bd段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC ），则称线段AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段AB 的黄金分割点，其中AC AB . AB，BC AB . AB，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）A C B三、平行线分线段成比例定理1．平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定平行线分线段成比例定理的推论的逆定理A A F C或B A E B C A F C ，则有 EF//BC ．注意】 对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．小结】 推论也简称“ A ”和“ 8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 EF'//BC 交 AC于 F '点，再证明 F'与 F 重合即可．四、相似三角形的定义、性质和判定1．相似图形① 定义：对应角相等， 对应边成比例的图形叫做相似图形． 对应边的比例叫做相似比． 相 似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．② 性质： 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．理．如图：如果l1 / /l2 / /l 3，则AB DE ，BC EFADl 1BDE l 1l 2BCE Fl 2l 3【小结】 若将所截出的小线段位置靠上的 AB DE ，BC EFACDF，AC DFA Dl 1l 1EBl 2l 3FC 如 AB ) 称为上，位置靠下的称为下，两条上 上， 上 上，下下． 下 下， 全 全，全全． 2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线， 截其它两边 （或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例． 如 图：如果 EF//BC ，则 AEEBAF ，AE AF ，BE CF FC ，AB AC ，AB AC若AE AF 或AE EB FC AB反例： 任意四边形中一线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为3．相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 A A ， B B ， C C ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图， △ ABC ∽△ ABC ，则有AB BC A B B C ACAC k （ k 为相似比） ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图， △ABC ∽△ABC ， AM 、AH 和 AD 是 △ ABC 中 BC 边上的中线、高线和角平分线， AM 、AH 和AD 是△ABC 中BC 边上的中 线、高线和角平分线，则有 ABBC AC AM AH AD k AB BC AC AM A H AD ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图， △ABC ∽△AB C ，则有 AB BC AC AB BC AC k ． A B B C A C A B B C A C ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图， △ABC ∽△AB C ，则有 S △ ABC S△ A B CBC AH BC AHk BC A H判定定理判定定理 1： 简称为两角对应相等， 两个三角形相似．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 如图，如果 A A'， B B' ，则两个角对应相等，那么这两个三角形相似． △ABC ∽△ ABC ．简称为三边对应成比例， 两个三角形相判定定理 2： 似．如果两个三角形的三组对应边成比例，那么 如图，如果 AB BC AC ，则这两个三角形相似．A B B C A C△ABC ∽△ ABC ．判定定理 3： 简称为两边对应成比例且夹角相等，两如果两个三角形的两组对应边成比例，并且 AB AC 个三角形相似． 如图，如果 AB ACA B A C对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．A A'，则 △ABC ∽△ A BC ．4．相似三角形的判如图， △ ABC ∽△ ABC ，则有五、“ A”字和“ 8”字模型基本模型图形重要结论“A”字型ADEB CAD AE DE DE∥BC△ADE ∽△ABCAB AC BC“8”字型ABDA OB CAB∥CD △AOB ∽△COD AB OA OBCD OC OD六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DEFG 是△ ABC的内接矩形，E、F在BC边上，D、G分别在AB、AC 边上，则有：△ADG ∽△ ABC ，DG AN BC AM特别地，当BAC 时，有△ADG ∽△ EBD ∽△ FGC ∽△ ABC ．七、“ A ”字和“ 8”字模型的构造A ”字和“ 8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法：八、斜“ 8”模型A十、射影定理注意：（1）射影定理可以直接用，是用△ ABD ∽△ CAD ∽△CBA 来证明的．（2）射影图形中，另外有下面的关系．①角的相等关系： B CAD， C BAD ．②同一三角形中三边的平方关系：AB AD BD 、AC AD CD 、BC AB AC ．九、斜“ A ”模型平行模型在Rt△ABC中，BAC，AD BC 于D射影定理：（1）AD BD C D ；（2）A B BD B C ；（3）A C CD C B ．∴EF DF EF BF证明：∵ ∥ EF ∥ CD ，，，∴AB BD CD BD∴EF EFDF BF1，111∴AB CD BD AB CD EF垂直模型又 C 是BD 中点，∴ BC CD,AB AC AB BC∴ , 即,BC CE AC CE又ABC ACE ，∴ △ ABC ∽△ ACE ．十三、角平分线定理内角平分线定理：如图，在△ ABC 中，AD 是BAC的角平AB BD分线，则有．AC CDB ADC 证明：过C作CE∥ AD 交BA延长线于E．E ∵ CE∥ AD，∴ 1 E ， 2 3A 又∵ AD 平分BAC ，∴ 1 2 ，A∴ E 3 ，∴ AE AC ，12AB BD AB BD23由CE∥ AD 可得：，∴B DC外角平分线定理如图，在△ABC 中，BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，则有AB BD．AAC CDBC D如图，AB BD ，ED BD，AC EC ．AB BC AC（1△ABC ∽△ 则ABCD DE CE（2）※ AB DE BC CD ．（3）当 C 是BD 中点时，如图，ABC CDE ACEAB BC AC（1）△ABC ∽△ CDE ，则CD DE CE （2）※AB DE BC CD ．（3）当 C 是BD 中点时，则有△ ABC ∽△ CDE ∽△ ACE．证明：∵ △ ABC ∽△ CDE ，∴AB AC，CD CE，则有△ ABC ∽△ CDE ∽△．E变形：AB BD AB由 CE ∥ AD 可得： AE CD ，∴ AC十型AFE N FN E F N EAAB MC B M C B M C若 EF ∥BC ，则有 EN BM ．NF MC若 EF ∥BC ，则有 E N N F B M M C ．NF MC题型一 比例的性质和成比例线段的概念例题 1 (1)已知 x: y: z :: ，则 x y z 的值是x y zxy5 yx1A ．B ．y3y3（2） 已知：a c e2 2，求①acb df3b d （3） 已知 bca c ab a bc ，求abc解析：（ 1）A 为合比性质， B 为分比性质，定理．故答案为 D ．x 1x1 3 C ．D ．2y 3y14；②2a c3e．2b d3 f．（a b ）（b c ）（a c ）的值．abcx1显然正确， D 错误，由于 x 1 ，不能用等比y12）若．则zx y z xy（ 3）若 a b c ， 且 abc，则a b的值是 _______ ．cb解析 （ 1）设 x k ， yk，z k ．∴x y z k k kx y z k k k巩固 1： （ 1）如果x:y2:3，则下列各式不成立的是（ ）xy；（ 2） ；（ 3）2）由等比性质直接可以得到ac bd2a c2b d3e 2 3fb c a c a b abc (b c a) (c a b) (a b c )ab cab c于是： b c 2a , a c 2b , a b(a b)(b c )(a c) abc 3）当 a b c 0 时， 当 a b c 0 时，(a b)(b c)(a c)( c) ( a) ( b)abcabc．本题答案为 1 或 8．证明：过 C 作CE ∥AD 交AB 于 E ．∵ CE ∥ AD ，∴13 ， 2 4又∵ AD 平分 CAF，∴ 1 2 ，，∴ ， ∴ 3 4 ，∴ AE AC ，BDCDF CB1 23 4题型二平行线分线段成比例定理例题21)如图2-1，已知l用面积法证明：ABBCDEEF2) 如图2-2，AD∥ BE∥CF 若AB DE3) 如图2-3，l ∥l ∥l ，AB，ACS△ABES△CBE，则DFC B ADEF l l2l31) 如图所示，连接AE，BD ，BF，CE．ABBC∵ AD∥BE，BE∥CF ，∴ S△ ABE S△DEB ，S△CBE S△ FEB ．ABBCS△ ABES△ CBES△ EDBS△ EFBDEEF2)225；3) ，巩固2：( 1)如图2-1 ，直线l∥l ∥ l ，已知AG cm BG . cm ，CD . cm ，CH2) 如图2-2，在△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 边上的点，若ADBD，AE ，则AC3) 如图2-3，AB∥DE，AE与DB交于C，AC ，BD ，CD解析：A则CE1)0.5cm；( 2) ；(3)6题型三相似三角形的定义、性质和判定例题 3 如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC，AD∥上，∠DFC ∠AEB．E在BC上，点F在AC1)求证：△ADF ∽△CAE ．（2）当AD ，DC ，分别是BC、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．解析：（1）∵ AD∥BC ，∴ ∠DAF ∠ACE，∵∠DFCBC ，点DFA AEC，∴ △ADF ∽△CAE2）∵ AD ，DC ，∴ AC，又∵ F 是AC 的中点，∴AF∵ △ ADF ∽△ CAE ，∴AD AF，CA CE ，，∴ CECEE是BC的中点，∴ BC ，∴直角梯形ABCD 的面积巩固 3： （1）下列所给条件中，可以判断 △ABC 与△DEF 相似的是（）E ，EC 与 AD 相交于点F ．求证： △ ABC ∽△ FCD ．3）如图 2， △ABC 为等腰直角三角形， BD CE BC ，求证：△ ACE ∽△ DBA ．ABC FCD ，∴△ ABC ∽△FCD .3）由等腰直角三角形得到 BC AB AC 条件变为 BD CE条件变为比例形式： BD BA ，由于 DBAAC CE 题型四 “A ”字和“ 8”字模型例题4 （1）如图 4-1，已知□ABCD 中，过点 B 的直线顺次与 AC 、AD 及CD 的延长线相 交于点 E 、 F 、G ，若 BE ， EF ，则 FG 的长为 ____________________ ．（2）如图 4-2，已知在 □ABCD 中，M 、N 为 AB 的三等分点， DM 、DN 分别交 AC 于P 、Q 两点，则 AP:PQ:QC = ___________巩固4： （1）如图 4-1，在△ ABC 中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把△ ABC 分成三部分，则自上而下部分的面积比为 ． （2）如图 4-2，AB 、CD 、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B 、D 、F ，且 AB 1， CD 3， 则 EF : CD 的值为 ___________ ．（3）如图 4-3，已知在平行四边形 ABCD 中， M 为AB 的中点， DM ，DB 分别交 AC 于P ，Q 两点，则 AP :PQ :QC ____________ ．A ． A 90 ， F 90 ，AC 5，AC DEB ．C 85 ， E 85 ，BC DFC ． AB 1 ， AC 1.5， BC 2 ， EFD ． A 46 ， B 80 ，E 45 ，（2） 如图 1，在 △ ABC 中， 点D 是B F 80 8，DE 10， FD 16BC 13， DF 10， EF 26边上的中点，且 AD AC ， DE BC ，交 BA 于点解析：（ 1）D ； 2)∵ AD AC ，∴ FDCACB ；∵ DE 垂直平分 BC ，∴EB EC ，AB AB AC ，ACE ，∴ △ ACE ∽△ DBA ．解析：（ 1）∵四边形 ABCD 为平行四边形，∽∽FG DF ，即FG ．得 FGBG CBFG2）由DC ∥ AB ， 得AP AMPC ABAF EF，∴DFAD AF CB EB，∴CBCB， AP AC ， 同 理 AQ AC ，故AP: PQ: QC 1:4图1A图2图 4-1图 4-2PQ AC AC AC ， QC AC ，AD/ /BC∴PQ AC AC ，∴AP:PQ :QC : : ．题型五 与内接矩形有关的相似问题例题 5 （ 1）如图 5-1， △ ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E 、F 在 BC 上，另两个顶点， BC 边上的高 AD ，求 S 正方形 EFGH（ 2）设正方形边长为x ，则 AF ， xCI， BG xx由 △CDE ∽△ CAB ，得CI DE ，∴xx， 解得 x ，CH AB，∴xxxx∴ AB ， CH ，∴S ABC AB CH则有AMHG ，即 x x，解得， x，故S正方形 EFGHAD BC解析： 1）设正方形 EFGH 的边长为 x ， AD 、解析： 1） 1:3:5 ；（ 2） 3)∵ AQ CQ AC又P A C PAM CD，∴ AP ACG 、H 分别在 AC 、AB 上， BC2）如图 5-2，已知 △ ABC 中，四边形DEGF 为正方形， D ，E 在线段 AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果S ADF S CDE ， S BEG ，求△ ABC 的面积．HG 的交点为 M ，C图 4-3图 5-2巩固 3： （1）下列所给条件中，可以判断 △ABC 与△DEF 相似的是（ ） 巩固 5： 如图，已知 △ ABC 中， ACBC ， C ，四边形 DEGF 为正方形，其中 D 、E 在边 AC 、BC 上，F 、G 在 AB 上，求正方形的边长．解析：法一：由勾股定理可求得 AB ，由AB CH AC BC 可得CH题型六 “ A 字和“ 8”字模型的构造例题 6 如图，△ ABC 中，D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ，延长 AB 交 CE 的延长线于 P ．若巩固 如图，已知线段 AB ∥CD ，AD 与 BC 相交于点 K ，E 是线段 AD 上一动1）若 BKKC ，求 CD 的值；AB2）连接 BE ，若 BE 平分∠ ABC ，则当 AE AD 时，猜想线段 AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系？请写出你的结论并予以证明． 再探究： 当 AE AD （n ） ，而其余条件不 n 变时，线段 AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．证明：取 BD 的中点为 F ，连接 EF 交 BC 于 G 点，由中位线定理，得 EF//AB//CD ， ∴ G 为 BC 的中点， GEBEBA ， 又∵ EBA GBE ，∴ GEB GBE ，∴ EG BG BC ，由 △CDE ∽△ CAB 可得DEAB CI ， CH，设正方形的边长为 x ，则 xx，解得 x法二：设 CE k ，则 DEk ，∴ GE k ， BE k ． ∴ CE BE ，即 k k，解得 k ，∴ DE k ．AD DE ，求证 ： AP 3AB ．解析：如图， 过点 D 作 PC 的平行线，交 AB 于点 H ．∵ HD∥PCAHADADDEAH PH ，PHDEHD ∥ PC ， BD CDBH BD BH PH ，PH CD ∴ AP AH PH PH ，AHBH AB PH BH∴ AB BH PH ，∴ APP H AB ．解析：（1）∵ BKKC ，∴ CK，又∵ CD ∥AB ，BK∴ △ KCD ∽△ KBA ，CD AB CKBK2）当 BE 平分 ABC ，AE AD 时，AB BC CD ；还可用如下辅助线来证此题：2）如图，四边形 ABCD 是菱形， AF AD 交 BD 于 E ，交BC 于 F ．求证： AD DE DB ．解析：（1）∵等边△ABC ，∴AB BC ，ABC∵ BD CE ∴ △ ABD ≌△ BCE ．∴ BADCBE ，∴ BFDBAD ABE CBE ABE ABC∴ △ABD ∽△BFD ∴ BDDF，∴ BD ADDF ．AD BD②证明 △ AFE ∽△ ACD即可． ADD③证明 △ BFD ∽△ BCE 即可．12（ 2）方法一：取 DE 中点M ，连接 AM ，M∵ AF AD ， M 为 DE 中点3E，又∵ AB ACBFC∴ MA MD DE ，∴∴ △DAM ∽△ DBA ，∴ DA DM DB ，∴ AD DE DB ．方法二：取 BD 中点 N ，连接 AN ．由等腰三角形的性质可知： AN BD ， 又∵ EAD ，∴ △AND ∽△ EAD ，∴ AD DN DE ， 又∵ DNBD ，∴ ADDE BD ．巩固（1）如图， △ABC 是等边三角形，点 D ，E 分别在 BC ，AC 上，且 BD CE ，AD与 BE 相交于点 F ．求证：① BD AD DF ；② AF AD AE AC ；③ BF BE BD BC ．而 GFCD ，EF AB ， EFEG GF ，即： AB BC CD ； AB BC CD ；当 AEAD ( n) 时， BC CD n(n 1)AB ．题型七 斜“ A ”和斜“ 8”模型例题 7 如图，在 △ABC 中， AD BC 于 D ， CE AB 于 E ， △ ABC 的面积是 △BDE 面积的 4 倍， AC 6 ，求 DE 的长． 解析：∵ AD BC ， CE AB ， ABD CBE ，∴ △ ABD ∽△ CBE ，EBDCBA ， DE∴ △ BED ∽△ BCA ，1AC 3 ． 2ACB BACBCBE1 2总结：考查斜“ A ”和斜“ 8”常见结论，看到比例乘积想到斜A”和斜“ 8”，也要会找巩固 在等边△ABC 中，点 D 为AC 上一点，连结 BD ，直线 l 与AB ，BD ，BC 分别相交 于点 E 、P 、 F ，且 BPF1）如图 8-1，写出图中所有与 △BPF 相似的三角形，并选择其中一对给予证明 2）若直线 l 向右平移到图 8-2、图 8-3 的位置时（其它条件不变）然成立？若成立，请写出来（不证明） ，若不成立，请说明理由解析：（1）△BPF ∽△EBF 与△BPF ∽△ BCD ，以△BPF ∽△EBF为例，证明如下：， BFP B FE ，∴ △BPF ∽△ EBF ．均成立，均为 △BPF ∽△EBF ， △BPF ∽△ BCD ．题型八 射影定理证： △CEF ∽△CBA ．AC EC ED1）中的结论是否仍3）探究：如图 8-1 ，当 BD 满足什么条件时（其它条件不变）PFPE ？请写出探究结果，并说明理由． 说明：结论中不得含有未标识的字母）BPF EBF2） 3） BD 平分 ABC 时， PFPE ．证明： ∵ BD 平分 ABC ，ABPPBFBPFBFPPF PB ，又 BEFABP ， ∴ BP EP ，∴ PF PE ．例题 8 如图，已知AD 、 CF 是 △ ABC 的两条高， EF AC 与 E ， 交 CB 延长线于 G ， AD 于 H ，求证： EFEH EG ．解析：∵ CF AB ， EF AC ，∴ EF AE CE又由 AD BC 可知， AEH CEGEAHEGC ，∴ △ AEH ∽△ GEC ，∴EHEC EA ， EG，∴ EH EG EA EC ，∴ EFEH EG巩固9： （1）如图 9-1，在△ ABC 中，CD AB 于D ，DE 2）如图 9-2，在Rt △ ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高， DE AC 于 E ， D F AB 于 F ，证：AB FB FDC BC 图 28-图2 2B图3图图3图83-3AC 于E ，DF BC 于 F ．图 10-1 图 10-2解析：（ 1）分别在 △ADC 与△CDB 中由射影定理得到： CD 2 CE CA ，CD 2 CF CB ，CE CF CE CA CF CB ，即CBCA， ∵ECFBCA ， ∴△ ECF∽△BCA2）由射影定理可以依次得到 AB 4BD 2 BC 2 BF AB ， AC 4DC 2 BC 2EC AC ，题型九 三垂直模型E 又 A B，∴△ AMF ∽△ BGM ．∵ AB 4 2 ， AF 3，∴∴ BG 83 3∴ FG CF 2 CG 2 53 巩固 （1）如图 10-1，矩形 ABCD 中，由 8个面积均为 1的小正方形组成的 L 型模板如 图放置，则矩形 ABCD 的周长为 ____________2）如图 10-2，在直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 BAC 翻折，使得 B 点落在 D 点的位置，且 AD 交 y 轴于点E ，于是仅需证明ABACFD ED ，由于 △BDA ∽△ ADC ，DF 、 D E 分别是 AB 与 AC 上的高，所以有AB AC DF DE ，得证．例题 9 如图， M 为线段 AB 的中点， AE 与 BD 交于点 C ， α，且 DM交 AC 于 F ， ME 交 BC 于 G ．1）求证： △AMF ∽△BGM ． 2）连接 FG ，如果 α 45 ， ABAF 的长．解析：（1）由题意得， DMEABAMF BMG 180 AMF AFM 180 BMG AFM2)∵ △ AMF ∽△BGM ，∴ AMBGAF BM∵M 为 AB 的中点，∴∴ AM BM1AB245 ， ∴ ACB 90 ， ACBC 4，∴CF AC AF 1， CGBCBG43，的坐标为 （1,3） ，将矩形沿对角线 图 9-2DME 3 ，求FGAB则 D 点坐标为 _________ 解析：（1）△ ABE ∽△ ECF ∽△ FDG ，AB AE 2，FD FG∴ AB 2DF ，∴ AB 2CF ，AB AE BE1 ，EC EF CF∴ AB CE ，BE CF ，∴ CE 2CF ，4 5，∴ BC 12 5，AB 85 ，5 5 5∴矩形ABCD 的周长为8 5 ．解析：（1）∵ △ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，在Rt△ APQ 中，PQ AQ2AP2 5a．2题型十三平行模型例题10 已知：如图，在梯形ABCD 中，2）过 D 点做DF x轴于 F 点，B C 与FD 的延长线交于G 点则△ CGD ∽△DFA，∴CG，∴DFGDAFCD 1AD 3x ，则DF 3x ，AF 1 x，GD3GD，列得方程：1x 3 3 3x44124，故CG，DF，3 3x ，由于解得x设CGAF4 12 D 点坐标为，．55巩固11：如图11-1，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，求得BAC EDF 90 ，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ．1）求证：△BPE∽△CEQ ．2）已知BP9a，CQ 2a，求P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）图11-1又∵ EFB C DEF 45 ，CEQ 135 ，∴ BEP CQE ，又∵BC45 ，∴ △BPE∽△CEQ ．（2）连接PQ，∵ △BPE∽△CEQ ，∴BP BE，∴CE CQ，∵ BP a，CQ9a，BE CE，∴BE CE 3 2a22∴ BC 3 2a ，∴ AB AC 3a ，∴AQ3a，PADFB E4 ，∴ CEBEP CEQ 135 ，CQE2FFAB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC、BD、MD 、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F．（1）求证：EF//CD ；（2）若AB a，CD b，求EF 的长．解析：（1）∵AB∥ CD ，∴MEEDAM，MFCD ，FC BM，CD，∵ AM BM，∴AM BM，∴CD CD（中间过渡量），∴MEED（2）∵AM∥ EF∥ CD，∴ 1 EF1 1，AM CD ，∴EF巩固12：如图所示，在△ ABC中，BAC 120，AD1AD11 AB ACab a2bMFCF EF∥CD平分BAC 交BC 于点D．求证：解析：E分别过B、C 两点做AD 的平行线，分别交CA、BA 的延长线于E、F 两点．由于EB//AD//FC 有111AD BE FC ；由于EBA BAD 60 ，EAB 180 BAC 60 所以△EAB 为正三角形，同理△ FAC 亦为正三角形．∴BEAB，FC AC11．故1 1AD ABAC题型十角平分线定理例题11 在△ABC 中， B 的平分线交AC 于D ，C 的平分线交AB 于 E ，且BE CD ．求证：AB AC ．∵ BECD ，∴ADABDCBCAD AE即∴ AD ACAB AC，∴ AC(AC CD) AB(ABAB AD AC AEBC DC，BC BE，BE AEBC ACCD，AE AB BE解析：由角平分线定理得到CD) ，整理得到(AC AB )( AC AB CD) 0明显AC AB CD 0，故AC AB ．巩固13：（1）如图13-1，在△ ABC 中，C线．则AD 的长为_________ ．（2）如图13-2，I 是△ABC 内角平分线的交点，，CA ，CB ，且CD 是 C 的平分AI 交对应边于 D 点，求证：AIIDAB ACBC图13-1AB DC 图13-2解析：（1）由角平分线定理ADDBAC 3 2 2 3 15BC 4，由于AB AC2CB25，∴AD7AB7APB 2 ACB ，AC 与 PB 相交于点 D ，且 PB 4 ， PD 3 ．求AD DC 的值．2）由角平分线定理得到 AI AB ID BDAC， CD ，由等比性质得到：AI AB AC AB ACID BD CD BC 巩固（1）如图 15-1， AB ∥CD ，AD 与BC 交于点 P ，过 P 点的直线与 AB 、CD 分别交AE DF巩固 14：若 AP PB ， 解析：过 P 点做 APB 的角平分线 PE ，交 AD 于 E 点． ∵ EPD APE C ，且 PDECDB ，∴△PDE ∽△ CDB ，∴ED DCPD DB 3 ， PA AE又由于 PE 是角平分线，∴∴ P P D A E A D E ，∵PA PB 4，∴AE 4ED ，∴ AD 37 ED ，3，∴AD DC 37ED DC 7题型十二 线束模型例题12 如图，M 、N 为△ABC 边 BC 上的两点，且满足 BMMN NC ，一条平行于 AC的直线分别交 AB 、AM 和 AN 的延长线于点 D 、E 和 F ．求证： EF 3DE ． 法一： 如下左图，过 D 作DG ∥BC 交AC 于G ，交 AM 、AN 于 P 、 Q ，由线束定理可知 DP PQ QG ，∵ DF ∥AC ，∴ DE DPAG PGDF DQ AG QGDE，∴ EF DFDE ．过 E 点或 F 点作 BC 的平行线也可得到类似的证法．法二： 如下右图，过 M 作PQ ∥ DF ，交 AB 于P ， 交 AF 延长线于 Q ，则有 AC ∥ DF ∥ PQ∴PM BM ，QM MN∴ACBC，AC NC∴PM由线束定理可知 DE QMEF即 EF DEDF 的平行线也可得到类似的证法．C过 B 点或 N 点作 PMQMC于 E ， F ．求证：BE CF（2）如图 15-2，AB ∥ CD ，AD 与 BC 交于点 P ，连接 CA 、DB 并延长相交于 O ，连接 OP 并延长交 CD 于 M ，求证：点 M 为 CD 的中点．（3）如图 15-3，在图 15-2中，若点 G 从 D 点向左移动（不与 C 点重合），AG 与 BC 交于 点 P ，连 OP 并延长交 CD 于 M ，直接写出 MC 、MG 、 MD 之间的关系式．解析：（1）证明：如图 1，∵ AB//CD ， AD 与 BC 交于点 P ， ∴ △AEP ∽△DFP ，△BFP ∽△CFP ，∴ AE EP , BE EP ，∴ AE BE ，∴ AE DF ；DF FP ,CF FP ，∴ DF CF ，∴ BE CF ； （2）证明：如图 2，设 OM 交 AB 于点 N ．∵ AB//CD ，∴ △ AON ∽△ COM ， △BON ∽△ DOM ， △ AOB ∽△ COD ， ∴OAAN ， OB BN ， OA OB ，∴ AN BN ，∴ ①OC CM OD DM OC OD CM DM∵ △ ANP ∽△ DMP ， △ BNP ∽△ CMP ， △ APB ∽△DPC ，∴ AN AP ， DN BP ， AP BP ， ∴ AN BNCP ，②， DM DP CM DP CP DM CM ①÷②， D MCM ， ∴ CM=DM ， 即点 M 为 CD 的中点； CM DM3）解： MC 2=MG?MD ，理由如下：如图 3，设 OM 交 AB 于点 N ．∵ AB//CD ，∴ △ MCP ∽△ NBP ， △ NAP ∽△ MGP ，∴ MC MP ①， NB NP ∵ FEO FEB OE EF OE EF∴只要 或 ，即 BE t 或 EB t EB EF EF EB②当BEt 时， BO t ，∴t t ，∴ t（舍去）或 t ， ∴ B （ , ） ． t②当 EB t 时，i ）当 B 在 E 的左侧时， OB OE EB t ，图 15-1 图 15-2 NA NP ② MG MP①×②，得 M N C B M N G AMP NP ，∴ MC NP MP ，∴MG NB NA ∵ △ AON ∽△ COM ， △ BON ∽△ DOM ，∴ NA MC ON ，NB ON OM ，MD OM NA NB ，∴ MD ，∴ NB ，∴ MC MD ，∴ ∴ MC MG MD ．MC MD MC NA MG MC题型十三 相似综合 例题13 如图，点 A 的坐标为 （2, 2） ，点 C 是线段 OA 上的一个动点 （不与 O 、A 两点重合）， 过点 C 作 CD x 轴，垂足为 D ，以 CD 为边在右侧作正方形 CDEF ．连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴于点 B ，连接 OF ．若以 B 、E 、F 为顶点的三角形与 △OFE 相似，则点 B 的坐 标是 ．解析：要使 △BEF 与△OFE 相似，图 15-3∴ AB AC BC BD∴ GP 是 FD 的中线， DP FP ，即 FP DF=1EF ． 22∵ CG EP ， FP 1 EF ， 2 ∴ PF : CG ，∴ PF: FG∵ △PFG ∽△ EFB ∽△CGB，∴ CG: BG EF : BF PF : GF 边 DE 上的中线 BF 延长线交 AC 于点 G ．1）求证： AD BD CE CB ；（ 2）若 AG FG ，求 BF:GF ； 3）在（ 2）的条件下，若 BC ，求 BD 的长度．解析：（1）证明：∵ CD AB ，∴ △BCD 是直角三角形．∵ DE BC ，∴ CD ∵△ABC 是直角三角形， CD AB ，∴ CD AD BD ，∴ AD BD CE CB ；2）解：过 G 作GP DF 交DF 于P ，连结 DG ， ∵ AC BC ， DE BC ， GF DE ，∴四边形 CEPG 是矩形，∴ CG EP 在 Rt △ADC 中，∵ G 是边 AC 中点，∴ AG DG CG ．又∵ AG FG ，∴ DG FG ，∴ △ GFD∴ FG : BG : ， BF : GF∵ EF : BF : ，设 EF x ，则 BF3)解：∵ BC ，CE:BE GF :BF ∴ CE ， BE ∴x ( ) x ，解得 x ，∴ BF GF ， AC ，ii ）当 t ，∴ t （舍去）或 t ，∴ B （ , ）．B 在 E 的右侧时， OB OE EB t ，舍去）或 t ，∴ B （ , ）．巩固 16：如图， Rt △ ABC 中， ACB ， CD AB 于 D ，过点 D 作DE BC ， △BDECE CB是等腰三角形．x ，t。
中考相似三角形总结
命题1如图，如果∠1=∠2，那么△ABD∽△ACB，AB2=AD AC。
命题2如图，如果AB2=AD AC，那么△ABD∽△ACB，∠1=∠2。
例3：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。
证明：∵AB∥ED，BC∥FE
∴ ， ∴
两式相乘可得：
例4、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG
分析：要证明FC=FG，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明FC=FG，首先要找出与FC、FG相关的比例线段，图中与FC、FG相关的比例式较多，则应选择与FC、FG都有联系的比作为过渡，最终必须得到 （“？”代表相同的线段或相等的线段），便可完成证明。
证明：∵FG∥AC∥BE，∴△ABE∽△AGF
则有
而FC∥DE∴△AED∽△AFC
则有 ∴
又∵BE=DE（正方形的边长相等）
∴ ，即GF=CF。
例5、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，
求证：AE=BF
证明：∵CO平分∠C，∠2=∠3，
故Rt△CAE∽Rt△CDO，∴
（1）
∵D为BC的中点，且DG∥BF
∴G为FC的中点
则DG为△CBF的中位线， （2）
将（2）代入（1）得：
评注：（1）为了得到比例式，通常用过一点作某一直线的平行线的方法，在作平行线时必须注意紧扣与结论有关的线段。
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相似三角形规律题型总结（中考练习）
1．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为
S n，则S n=．（用含n的式子表示）
2．如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011=．
3．如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积S n=．
4．如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴上，并与直线y=x相切．设三个半圆的半径依次
为r1、r2、r3，则当r1=1时，r3=．
5．如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形P n M n N n N n+1的面积为S n，通过逐一计算S1，S2，…，可得S n=．
6．如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n．则S n=
S△ABC（用含n的代数式表示）．
7．将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．
8．如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，
A2B1∥A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和
为．
9．如图，已知△ABC的面积S△ABC=1．
在图1中，若，则S△A1B1C1=；
在图2中，若，则S△A2B2C2=；
在图3中，若，则S△A3B3C3=；
按此规律，若，S△A8B8C8=．
10．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得
到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，…，则CA1=，=．
11．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为．
12．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为s2，s3，…，s n（n为正整数），那么第9个正方形的面积S9=．
13．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S n=（用含n的式子表示）．
14．如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E n，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3…△BCE n的面积为S1、S2、S3、…S n．则S n=S△ABC （用含n的代数式表示）．
15．如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=30cm，BC=40cm．若将斜边上的高CD n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2．
16．如图，在△ACM中，△ABC、△BDE和△DFG都是等边三角形，且点E、G在△ACM边CM上，设等边△ABC、△BDE和△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1=9，S3=1，则S2=．
17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，…，A n C n，则A1C1=，
A n C n=．
18．如图，矩形ABCD，过对角线的交点O作OE⊥BC于E，连接DE交OC于O1，过O1作O1E1⊥BC于E1，连接DE1交OC于O2，过O2作O2E2⊥BC于E2，…，如此继续，可以依次得到点O3，O4，…，O n，分别记△DOE，△DO1E1，△DO2E2，…，△DO n E n的面积为S1，S2，S3，…S n﹣1．则S n=S矩．
形ABCD
19．如图，在△ABC中，A1，A2，A3是BC边上的四等分点，B1，B2是AC边上的三等分点，AA1与BB1交于C1，B1A2与BB2交于C2，记△AB1C1，△B1B2C2，△B2CA3的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：
S3=．
20．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2．要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形（剪法如图1所示），图1中剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照图1中的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2=；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取后，S10=．
21．如图，小红作出了面积为1的正△ABC，然后分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，作出了正△A1B1C1，用同样的方法，作出了正△A2B2C2，…，由此可得，正△A8B8C8的面积是．
22．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n 的代数式表示）．
23．如图，△ABC、△DCE、△HEF、是三个全等的等边三角形，点B、C、E、F在同一条直线上，连接AF，与DC、DE、HE分别相交于点P、M、K，若△DPM的面积为2，则图中三个阴影部分的面积之和为．
24．如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=10，BC=20，正方形DEFG顶点G，F分别在AC，BC边上，D，E在边AB上，且JE∥GH∥BC，IF∥DK∥AC，则四边形HIJK的面积为．
25．如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第n个正方形的面积是．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，E、F是BC的三等分点，过点C、E、F分别作AB 的垂线，垂足分别为D、G、H，连接AE、AF，分别交CD、EG于M、N，记△CME的面积为S1，△ENF 的面积为S2，△FHB的面积为S3，则的值是．。