数学：2011届高三二轮专题讲座-函数(1)

例2、设a>0 f(x)= （1）求a的值
ex a

a 是R上偶函数。 ex
（2）证明函数f(x)在(0,+∞)上是增函数。
解：x∈R
f(-x)=f(x)
a ex 1 a

e a
x1 ae x xae1 exx
1 a
(a )(e ) 0 a 0
a=±1 ∵a>0 ∴a=1
（3）理解掌握反函数的概念。明确反 函数的意义，一些常见符号的意义、 求反函数的方法步骤、反函数与原函 数的关系等。
（4）理解掌握指数函数、对数函数的 概念、图象及性质。能运用性质熟练 地进行大小比较，方程求解等。会用 基本的函数性质研究复合函数的单调 性，奇偶性等。
2、以函数知识为依托，强化思想方法的训
得f-1(x)=
2 x 1 2 x 1
(x∈R)
由f-1(x)<m得，(1-m)2x<1+m ∴当m≥1时，x∈R
（3）由f(x)在[0,1]上为减函数可知 1 2 2 1 f(0)>f(1),f(0)= 2 ,f(1)= 5 ,∴ 5 <f(x)< 2
2 当5 1 <a< 2 时，
2x x 4 1
∵f(x)在[0,1]上是单调减函数，
∴f(x)=a,有且只有一个实根,
1 1 4 a 2 解得2x= 2
3( x2 x1 ) ( x1 1)( x2 1)
>0
∴f(x)在(-1,+∞)上为增函数 (∵x2-x1>0 ax2-x1-1>0,ax1>0 x1+1>0 x2+1>0) (2)设存在x0<0 (x0≠-1)满足f(x0)=0则
x0 2 x0 1 x0 2 x0 1
ax0=∴0<-
∴f(x)在(0，+∞)上是增函数
反思：在函数中要注意定义域，本题考查 的是函数的奇偶性与单调性。
例3、已知f(x)=loga(a-ax) (a>1) （1）求f(x)定义域
（2）判断f(x)的单调性,并证明
（3）解不等式f-1(x2-2)>f(x) 分析：本题综合考查了多个知识点，只要 基础扎实不难解出此题。 解：（1）a-ax>0 ax<a ∴x<1 定义域为（-∞，1） loga(a-ax)<logaa=1 ∴值域为（-∞，1）
加强函数思想、转化思想的训练是 本章复习的另一个重点。善于转化 命题，引进变量建立函数。运用变 动的方法、观点解决数学试题以提 高数学意识，发展能力。
3、准确、深刻地理解函数概念、加强与各章知识 的联系，强化应用意识。 对函数有关概念，只有做到准确，深刻地理解，才 能正确、灵活地加以运用，函数是数学中最重要的概念 之一，它贯穿中学代数的始终。数、式、方程、不等式、 数列等，是以函数为中心的代数，高考考查的内容，几 乎覆盖了中学阶段的所有函数，如一次函数、二次函数、 反比例函数、指数对数函数，还有三角函数等，也涉及 到函数的所有主要的性质，且以考查三基为主，通性通 法为主，因此更应加强函数与三角函数、不等式、数列 等各章间知识的联系，养成自觉运用函数观点处理问题 的习惯和培养自身的能力。
练
由于近年高考试题中加强了数形结合思想的考 查，加强了对图象的考查，对函数图象的复习 显得更加重要。首先应掌握一、二次函数图象 及反比例函数和指数、对数函数的图象和性质， 分析掌握基本函数图象间的关系，在此基础上， 理解掌握常见的平移、对称变换方法。以基本 函数为基础，强化由式到图和由图到式的转化 训练。
1+x>0 1-x>0
∴f(x)定义域为 (-1,1)
∵f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
即log2(1-x)+alog2(1+x)=-log2(1+x)alog2(1-x)
得(1+a)log2(1-x2)=0 ∴1+a=0
1 x ∴f(x)=log2 1 x
∴a=-1
1 x （2）由f(x)=log2 1 x
分析：证明函数单调性用单调性定义。
解:(1)∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
当3<x≤5时 -1<x-4≤1依题意知
f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)
=x2-6x+8 (3<x≤5)
（2）证明任取x1,x2
3<x1<x2≤5
f(x1)-f(x2)=x12-6x1+8-x22-16x2-8 =(x1-x2)(x1+x2-6)<0
所谓函数观点，实质是将问题放 到动态背景上去考虑，利用函数 观点可以从较高的角度处理、方 程、不等式、数列等问题。
[典型例题分析]
a 例1、已知a>0,且a≠1，f(logax)= 2 1 a
(x )
1 x
（1）求f(x)的表达式 （2）判定f(x)的奇偶性及单调性 （3）对f(x)，当x∈(-1,1)时，有f(1-m)+f(1m2)<0，求m范围。
解：（1）设-1<x<0，则0<-x<1, 2x 2 x 2x ∵x(0,1)时,f(x)= 4 x 1 f(-x)= 4 x 1 4 x 1 又∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)， 2x ∴当-1<x<0时，f(x)=-f(-x)= - x 2 x1 4 1 2x2 （2）设0<x1<x2<1，则f(x1)= x1 ,f(x2)= x 2 , 4 1 2 x1 4 1 2x2 f(x2)-f(x1)= x 2 x1
分析：从复合函数中求出f(x)常用换元 法，用性质转化为m的不等式组求m。 解：（1）令f=logax，则x=at
t a 1 ∴ f(t)= a 2 1 t a x a 1 即f(x)= a 2 1 ax
(a ) (a )
（2）∵f(-x)=-f(x)
设x1<x2，则f(x1)-f(x2)
由f-1(xx-2)>f(x)
∴loga(a-ax2-2)>loga(a-ax)
ax2-2<ax
x2-x-2<0
x2-2<x
-1<x<2 又
x<1
∴-1<x<1
∴不等式解为{x|-1<x<1}
例4、已知函数f(x)=ax+
x 2 x 1 (a>1)(02上海)
（1）证明，函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数
（2）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根
解：（1）证明x1,x2(-1,+∞) x1<x2 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+ =ax1(ax2-x1-1)+ =ax1(ax2-x1-1)+
x2 2 x2 1

x1 2 x1 1
( x2 2 )( x1 1) ( x1 2 )( x2 1) ( x2 1)( x1 1)
∴f(x)为奇函数
x2 1 a x2 a x1 x2 a a

a a 2 1 a a 2 1
(a a x1 (a a )(1
x1 1 a x1 x2
) )
a ∵1+ a x1 a x2
>0
a a 2 1 <0
当0<a<1时 当a>1时
ax >ax ∴f(x1)<f(x2)
4、理解分数指数幂的概念，掌握有理指 数幂的运算性质，掌握指数函数的概念， 图象与性质。
5、理解对数的概念，掌握对数运算性质， 掌握对数函数的概念，图象，性质。 6、能运用函数的性质解决某些简单实际 问题。
[学习指导] 1、把握本章的复习重点 （1）理解函数的有关概念，函数的定义，函数 的三要素，函数的表示方法中特别是函数的解析 式，都是重点复习内容。 （2）掌握函数的单调性和奇偶性的概念，并掌 握基本的判定方法和步骤，并会运用，加强对函 数单调性、奇偶性的应用训练也是复习的重点， 也就是在已知函数已具有奇偶性或单调性的性质 条件下，在解题中如何合理地运用这些性质解题。 为此应熟练掌握二次函数、反比例函数、指数函 数、对数函数、以及形如y=x+ 1 的函数等一些常 x 见函数的性质，归纳提练函数性质的应用规律。
李洪岩
高级教师
[学习内容]
1、映射，函数，反函数。 2、函数的定义域、值域。
3、函数的奇偶性与单调性。 4、指数函数与对数函数。
[学习要求]
1、了解映射概念，理解函数概念。
2、了解函数奇偶性与单调性概念，掌握 判断一些简单函数，单调性，奇偶性的 方法，并能利用函数的性质简化函数图 象的绘制过程。 3、了解反函数的概念及互为反函数图象 间的关系，会求一些简单函数的反函数。

4 1 4 1 ( 2 x1 x 2 1)( 2 x 1 2 x 2 )
( 4 x 1 1)( 4 x 2 1)
∵0<x1<x2<1,2x1<2x2, 故2x1-2x2<0,4x1+1>0,4x2+1>0,2x1+x2-1>0 ∴f(x2)-f(x1)<0,从而f(x2)<f(x1), 因此f(x)在(0,1)上是减函数。
∵x1-x2<0
∴f(x1)<f(x2)
x1+x2-6>0
f(x)在(3,5]上增
反思：本题由条件f(x)=-f(x+2)比较隐 蔽，注意挖掘。
例8、已知函数f(x)=log2(1+x)+alog2(1x)为奇函数