点直线平面之间的位置关系测试题
高考真题与模拟训练 专题15 点、直线、平面之间的位置关系(试题版)
专题15 点、直线、平面之间的位置关系第一部分真题分类1．（2021·P 为11B D 的中点，则直线与1AD 所成的角为（）A B 3C D2．（2021·1，M ，NA ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB B 平行，直线平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD B 异面，直线平面11BDD B 3．（2019·全国高考真题（理））如图，点N 为正方形ABCD ECD 为正三角形，平面ECD ⊥是线段ED 的中点，则A EN ，且直线B ，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线D ，且直线,BM EN 是异面直线4．（2019·AC 所成角为所成角为β角为γ，则A BC．,βαγα<<D．,αβγβ<<5．（2021·全国高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的的是（）A．B．C．D．6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是__________.②12p p∧③④34p p⌝∨⌝7．（2019·北京高考真题（理））已知l，m外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m；③l以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．8．（2021·BCD，中点.（1；（21在棱AD上，2DE EA=，且二面角.9．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，QB PB 与平面QCD 所成角的正弦值．10．（2020·全国高考真题（理））如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.第二部分模拟训练一、单选题1l ，m //αβ，则l m ⊥；②若//l m ，则//l m ；④若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42n 为两条直线，A α，B α，C //m α，//αβD α，3及不在l 上两个不重合的点l 做平面，使得点PB 到平面α的距A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个4l ，是//n m 的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原ABCD ，且，AB AD =，则堑堵的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．186中，1AB =，G 分别为1上的点，AF FB =1G EF D --G FB C --A BC D．与λ有关二、填空题7B，记作：下四个命题：①，则存在点P②，则存在点P满足()()αβf P f P=.③，则不存在点P④若对空间任意一点P，恒有()()()()αββαf f P f f P=其中所有真命题的序号是______.841的中点，点在侧面11AA B B内．若______．9，2AP=，点是矩形ABCD内（含边界）的动点，且1AB=，直线PM与平面4π.记点M tanα=______.。
空间点、直线、平面之间的位置关系(习题及答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系（习题）1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”（1）有三个公共点的两个平面必重合．（）（2）空间中两条平行直线确定一个平面．（）（3）空间两两相交的三条直线确定一个平面．（）（4）三角形是平面图形．（）（5）平行四边形、梯形、四边形都是平面图形．（）（6）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（）（7）垂直于同一直线的两直线平行．（）（8）一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交．（）2.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列理解错误的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β=直线MNC．M∈α，M∈β，α∩β=l⇒M∈lD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合3.l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面4.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，有下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥β，b∥β，则a∥b；③若a∥c，c∥α，则a∥α；④若a∥β，a∥α，则α∥β．其中正确的是（）A．①②B．①C．②④D．③④5.如图，在空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ=2，QR=5，PR=3，则异面直线AC和BD 所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°第5题图第6题图6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1两个面上成异面关系的两条对角线所成的角为（）A．60°B．90°C．60°或90°D．30°7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=4，AD=2，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则直线A1E，FG所夹的角为_______．8.将正方体的纸盒展开（如图），则直线AB，CD在原正方体中所成的角为________．9.如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是________．10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形．11.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求：（1）AA′和C′D′所成角的大小；（2）AA′和B′C所成角的大小；（3）A′B和B′C所成角的大小．12.如图，△ABC在平面α外，直线AB∩平面α=P，直线AC∩平面α=Q，直线BC∩平面α=R，求证：P，Q，R三点共线．【参考答案】1.×√×√××××2.B3.B4.B5.A6.C7.90°8.60°9.238a 10.略11.（1）90°；（2）45°；（3）60°12.略。
点直线平面之间的位置关系练习题(含答案)
高一数学点直线平面之间的地位关系强化演习题一.选择题1．已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等,则准确的结论是（ ）A. 平面ABC 必平行于αB. 平面ABC 必与α订交C. 平面ABC 必不垂直于αD. 消失ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内2．给出下列关于互不雷同的直线l.m.n 和平面α.β.γ的三个命题: ①若l 与m 为异面直线,l ⊂α,m ⊂β,则α∥β; ②若α∥β,l ⊂α,m ⊂β,则l∥m;③若α∩β＝l,β∩γ＝m,γ∩α＝n,l∥γ,则m∥n. 个中真命题的个数为( )A.3B.2 C3．假如一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面组成一个“正交线面临”.在一个正方体中,由两个极点肯定的直线与含有四个极点的平面组成的“正交线面临”的个数是（ ）（A ）48 （B ）18 （C ）24 （D ）364． 已知二面角l αβ--的大小为060,m n 、为异面直线,且m n αβ⊥⊥，,则m n 、所成的角为（ ）（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120 5．如图,点P 在正方形ABCD 地点的平面外,PD⊥平面ABCD,PD ＝AD,则PA 与BD 所成角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°7．设m .n 是两条不合的直线,α.β是两个不合的平面.考核下列命题,个中准确的命题是（ ）A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,,8．设A.B.C.D 是空间四个不合的点,鄙人列命题中,不准确．．．的是（ ）A ．AC 与BD 共面,则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线,则AD 与BC 是异面直线C ．若AB =AC ,DB =DC ,则AD =BC D ．若AB =AC ,DB =DC ,则AD ⊥BC9．若l 为一条直线,αβγ，，为三个互不重合的平面,给出下面三个命题：①αγβγαβ⊥⊥⇒⊥，;②αγβγαβ⊥⇒⊥，∥;③l l αβαβ⊥⇒⊥，∥． 个中准确的命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．如图,在正三棱锥P —ABC 中,E.F 分离是PA.AB 的中点,∠CEF＝90°,若AB ＝a,则该三棱锥的周全积为( ) A.2233a + B.2433a + C.243a D.2436a + 11．如图,正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都为2,E F 、分离为AB.A 1C 1的中点,则EF 的长是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）712．若P 是平面α外一点,则下列命题准确的是（ ）（A ）过P 只能作一条直线与平面α订交 （B ）过P 可作很多条直线与平面α垂直（C ）过P 只能作一条直线与平面α平行 （D ）过P 可作很多条直线与平面α平行13．对于随意率性的直线l 与平面α,在平面α内必有直线m ,使m 与l （ ）（A ）平行 （B ）订交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线14．对于平面α和共面的直线m .,n 下列命题中真命题是（ ）（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m .n 与α所成的角相等,则m ∥n15．关于直线m .n 与平面α.β,有下列四个命题：① 若//m α,//n β且//αβ,则//m n ;② 若m α⊥,n β⊥且αβ⊥,则m n ⊥; ③ 若m α⊥,//n β且//αβ,则m n ⊥;④ 若//m α,n β⊥且αβ⊥,则//m n . 个中真命题的序号式（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③16．给出下列四个命题：①垂直于统一向线的两条直线互相平行②垂直于统一平面的两个平面互相平行平③若直线12,l l 与统一平面所成的角相等,则12,l l 互相行④若直线12,l l 是异面直线,则与12,l l 都订交的两条直线是异面直线 个中假命题．．．的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）417．如图平面α⊥平面β, ,,A B AB αβ∈∈与两平面α.β所成的角分离为4π和6π.过A.B 分离作两平面交线的垂线,垂足为'A .B ',若AB=12,则''A B =（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）A'B'A B βα18．已知正四棱锥S ABCD-中,23SA=,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为（）A．1 B．3C． 2 D．319．已知三棱锥S ABC-中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．34B5C．7D．3420．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连可以或许焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值规模是（）A．（62B．（1,22C．6262D．（0,22）21．在半径为R的球内有一内接正三棱锥,它的底面三个极点正好都在统一个大圆上,一个动点从三棱锥的一个极点动身沿球面活动,经由其余三点后返回,则经由的最短旅程是（）A．2RπB．73RπC．83RπD．76Rπ22．已知,,,S A B C是球O概况上的点,SA ABC⊥平面,AB BC⊥,1SA AB==,2BC=则球O的概况积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π23．将半径都为１的４个钢球完整装入外形为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为（ ）A ．3263+ B ．2+263C ．4+263D ．43263+24.如图,正方体AC 1的棱长为1,过点A 作平面A 1BD 的垂线,垂足为点H,则以下命题中,错误的命题是( ) A.点H 是△A 11D 111所成角为45°二.填空题1．多面体上,位于统一条棱两头的极点称为相邻的,如图,正方体的一个极点A 在平面α内,其余极点在α的同侧,正方体上与极点A 相邻的三个极点到α的距离分离为1,2和4,P 是正方体的其余四个极点中的一个,则P 到平面α的距离可能是：①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7以上结论准确的为______________.（写出所有准确结论的编号．．）2．平行四边形的一个极点A 在平面α内,其余极点在α的同侧,已知个中有两个极点到α的距离分离为1和2 ,那么剩下的一个极点到平面α的距离可能是：①1; ②2; ③3; ④4;以上结论准确的为______________.（写出所有准确结论的编号．．）3．如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为1,则点1B 到平面1ABC 的距离为 .4．已知,,A B C 三点在球心为O ,半径为R 的球面上,AC BC ⊥,且AB R =,那么,A B 两点的球面距离为 ,球心到平面ABC 的距离为______________.5．如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60,ABC Dα则点C 到平面1ABC 的距离为______________.6．如图（同理科图）,在正三棱柱111ABC A B C -中,1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60,则点1C 到直线AB 的距离为 .7．（如图,在6题上）正四面体ABCD 的棱长为l,棱AB ∥平面α,则正四面体上的所有点在平面α内的射影组成的图形面积的取值规模是____________.8．如图,矩形ABCD 中,DC=3,AD=1,在DC 上截取DE=1,将△ADE 沿AE 翻折到D 1点,点D 1在平面ABC 上的射影落在AC 上时,二面角D 1—AE —B 的平面角的余弦值是 .9．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,则cos α=_____.10．已知正四棱椎的体积为12,地面的对角线为26,则正面与底面所成的二面角为____________.11．m n 、是空间两条不合直线,αβ、是空间两条不合平面,下面有四个命题： ①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥ 个中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.12．如图,已知三棱锥S －ABC 中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA ⊥底面ABC ,SA ＝3,那么直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为________． 三.解答题：13.如图,正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ＝4,点E 在C 1C上且C1E＝3EC.(1)证实A1C⊥平面BED;(2)求二面角A1-DE-B的正切值..在正△ABC中,E.F.P分离是AB.AC.BC边上的点,知足AE∶EB＝CF∶FA＝CP∶PB＝1∶2〔如图(1)〕.将△AEF沿EF折起到△A1EF的地位,使二面角A1-EF-B成直二面角,贯穿连接A1B.A1P〔如图(2)〕.(1)求证:A1E⊥平面BEP;(2)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(3)求二面角B-A1P-F的余弦值.一.选择题1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 7．B8．C 9．C 10．B 11．C 12．D 13．C 14．C15．D 16．D 17．B18．C;19．D;20．A;21．B;22．A;23．B;二.填空题1．①③④⑤ 2．①③ 3．217 4．13Rπ32R5．34 6．3 7．21[,]428. 32-9．63 10．3π 11．①,② 12.3913解法二:(1)证实:如图,贯穿连接B1C1C是A1C在面BCC1B1内的射影,在矩形BCC1B1中,B1B＝C1C＝4,BC＝B1C1＝2,C1E＝3,EC＝1.因为211==B B BC BC CE 且∠B 1BC ＝∠BCC 1＝90°, 所以△BB 1C∽△BCE.所以∠BB 1C ＝∠CBE.所以由互余可得∠BFC ＝90°.所以BE⊥B 1C.所以BE⊥A 1C;由四边形ABCD 为正方形,所以BD⊥AC. 所以BD⊥A 1C 且BD∩BE＝B. 所以A 1C⊥平面BDE.(2)贯穿连接OE,由对称性知必交A 1C 于G 点,过G 点作GH⊥DE 于点H,贯穿连接A 1H.由(1)的结论,及三垂线定理可得,∠GHA 1就是所求二面角的平面角,依据已知数据,盘算3651=G A , 在Rt△DOE 中,1530=GH ,所以55tan 11==∠GHGA GHA . 故二面角A 1DEB 的大小为55arctan . 解法一:无妨设正△ABC 的边长为3.(1)证实:在图(1)中,取BE 的中点D,贯穿连接DF. ∵AE∶EB＝CF∶FA＝1∶2, ∴AF＝AD ＝2.而∠A＝60°, ∴△ADF 是正三角形. 又AE ＝DE ＝1,∴EF⊥AD. 在图(2)中,A 1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角. 由题设前提知此二面角为直二面角,∴A 1E⊥BE.又BE∩EF＝E,∴A 1E⊥平面BEF, 即A 1E⊥平面BEP.(2)在图(2)中,∵A 1E 不垂直于A 1B, ∴A 1E 是平面A 1BP 的斜线. 又A 1E⊥平面BEP,∴A 1E⊥BP.从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1BP 内的射影(三垂线定理的逆定理). 设A 1E 在平面A 1BP 内的射影为A 1Q,且A 1Q 交BP 于点Q,则 ∠EA 1Q 就是A 1E 与平面A 1BP 所成的角,且BP⊥A 1Q. 在△EBP 中,∵BE＝BP ＝2,∠EBP＝60°, ∴△EBP 是等边三角形.∴BE＝EP. 又A 1E⊥平面BEP,∴A 1B ＝A 1P. ∴Q 为BP 的中点,且3=EQ . 又A 1E ＝1,在Rt△A 1EQ 中,3tan 11==∠EA EQQ EA , ∴∠EA 1Q ＝60°.∴直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为60°.(3)在图(3)中,过F 作FM⊥A 1P 于点M,贯穿连接QM.QF.(3)∵CF＝CP ＝1,∠C＝60°, ∴△FCP 是正三角形.∴PF＝1.又PQ ＝21BP ＝1, ∴PF＝PQ.①∵A 1E⊥平面BEP,EQ ＝EF ＝3, ∴A 1F ＝A 1Q.∴△A 1FP≌△A 1QP. 从而∠A 1PF ＝∠A 1PQ.②由①②及MP 为公共边知△FMP≌△QMP, ∴∠QMP＝∠FMP＝90°,且MF ＝MQ. 从而∠FMQ 为二面角B-A 1P-F 的平面角. 在R t△A 1QP 中,A 1Q ＝A 1F ＝2,PQ ＝1, ∴51=P A . ∵MQ⊥A 1P, ∴55211=•=P A PQ Q A MQ . ∴552=MF . 在△FCQ 中,FC ＝1,QC ＝2,∠C＝60°, 由余弦定理得3=QF . 在△FMQ 中,872cos 222-=•-+=∠MQ MF QF MQ MF FMQ .∴二面角B-A 1P-F 的大小为87arccos -π.。
高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试(一)
数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.面α⋂面β=l ，A α∈，B α∈，AB ⋂l =D ，C β∈，C l ∉，则平面ABC 与平面β的交线是()A .有无数条B .有两条C .至多有两条D .有一条2.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为()A.)π１ B.4π C.3πD.5π3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A .10B .5-C .5D .54.点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC=BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是()A.梯形B.空间四边形C.正方形D.有一内角为60°的菱形5在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，Q 为AD 中点，点M 在线段PC 上，且PM tPC =，0t >，试确定实数t 的值，使得//PA 面MQB .A .14B .1C .23D .136.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点,G E 分别为线段111,A B CC 的中点，点,D F 分别为,AC AB 上的动点，且GD EF ⊥，则线段DF 的最小值为A .12B .1C D .二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7.设a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，有以下结论：(1)当直线AB 与a 成60 角时，AB 与b 成30角.(2)当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角.(3)直线AB 与a 所成角的最小值为45 .(4)直线AB 与a 所成角的最大值为60.则正确结论的序号为A (1)B(2)C(3)D(4)8.一张A4纸的长宽之比为，E ，F 为AD ，BC 的中点.现分别将ABE ∆，CDF ∆沿BE ，DF 折起，且A ，C 在面BFDE 同侧，下列命题正确的是()(1)A ,G ,H ,C 四点共面.(2)当面ABE //面CDF 时，AC //面BFDE .(3)当A ，C 重合于点P 时，面PDE ⊥面PBF .(4)当A ，C 重合于点P 时，设面PBE ⋂面PDF =l ，则l //面BFDE .A (1)B(2)C(3)D(4)三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BA 1=C 1D =5，C 1A 1=BD =，DA1=BC 1=.则三棱锥B -A 1DC 1的体积为________10.已知点E ,F 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AA 1点，且12AE AB =，113AF AA =.点,M N 分别为线段1D E 和线段1C F 上的动点.则与面ABCD 平行的直线MN 有__________条.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12CF FC =.点P 是侧面11AA D D 上一动点，且1//PB 面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是__________.12设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β;③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β;④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n.其中正确的命题是________和________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13.(本小题满分16分)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 为1CC 中点，F 为AB 上一点.证明面EBD ⊥面1A FC .14.(本小题满分18分)如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB ⊥平面ODE;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.15.(本小题满分18分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403(1)求棱A 1A 的长;(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积.数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试答案一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1选D 2选C 3选C 4选C 5选D 6选C二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7选B ，C 8选A BCD三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9.20解析：111114B A DC B A B C V V V --=-长方体.设长方体的长宽高分别为,,a b c ，易求得5a =，4b =，3c =.所以111114B A DC B A B C V V V --=-长方体20=.10.无数条解析：取113BH BB =，连接FH ，则//FH AB .在线段1D E 上取113OE D E =，在线段DE 上取13EK DE =.连接,,OH OK BK .则易得四边形OKBH 为矩形.连接HE ，在段1D E 上任取一点M ，过点M 在面1D HE 中，作//HO MG ，交1D H 于G .再过点G 作//GN HF ，交1C F 于N ，连接MN .由面面平行的判定定理可知面MNG //面ABCD ，又MN ⊂面MNG ，所以//MN 面ABCD .由于M 为1D E 上任意一点，故与面ABCD 平行的直线MN有无数条.11.11333⎡⎢⎣⎦，.解析：取112AM MA =，连接11,,B M B F DM .易证四边形1MDFB 为平行四边形，所以1//B M DF .取11D C 中点N ，连接1,B N MN ，则1//B N DE .故面1//B NM 面DEF .作//NG DF ，连接MG ，则1//NG MB .因此面1//B NGM 面DEF .所以点P 落在面11AA D D 与面1B NGM 的交线上，即P MG ∈.易求得tan ABP ∠的取值范围是11333⎡⎢⎣⎦，.12(3)和(4)①不正确，面α，β可能相交.②不正确，当直线m ，n 平行时，α，β还可能相交;根据面面平行的判定定理只有当m ，n 相交时，α∥β.③正确，根据面面平行的定义可知l 与β无公共点，即可知l ∥β.④正确，因为α∩β=l ，可知l ⊂α，又因为l ∥γ，γ∩α=n ，则m ∥n.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13(本小题满分16分)证明：如图所示，易知BE ⊥1CB .又BE ⊥11A B ，1111CB A B B ⋂=，所以BE ⊥面11A B C .由于1A C ⊂面11A B C ，所以BE ⊥1AC .又BD ⊥CA ，BD ⊥1A A ，1CA A A A ⋂=，所以BD ⊥面1A AC .由于1A C ⊂面1A AC ，所以BD ⊥1AC .由于BE BD B ⋂=，所以1AC ⊥面EBD ，所以面EBD ⊥面1A FC14(本小题满分18分)(1)因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB.连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形.又因为E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB.而DO∩DE=D ，故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角.由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO=60°.不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=3.在Rt △DOE 中，DO=DE·sin 60°=32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO=DO AD =322=34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.15(本小题满分18分)(1)设A 1A=h ，因为几何体ABCD-A 1C 1D 1的体积为403，所以V ABCD−A 1C 1D 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1-V B−A 1B 1C 1=403即S 四边形ABCD ·h-13·S △A 1B 1C 1·h=403，即2×2×h-13×12×2×2×h=403解得h=4.所以棱A 1A 的长为4.(2)如图，连接D 1B ，设D 1B 的中点为O ，连接OA 1，OC 1，OD.因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，所以A 1D 1⊥平面A 1AB.因为A 1B ⊂平面A 1AB ，所以A 1D 1⊥A 1B.所以OA 1=12D 1B.同理OD=OC 1=12D 1B.所以OA 1=OD=OC 1=OB.所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为点O.因为D 1B 2=A 1D 12+A 1A 2+AB 2=22+42+22=24，所以S 球=4π·(OD 1)2=4π·(D 1B 2)2=π·D 1B 2=24π.故经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为24π.。
《 空间点、直线、平面之间的位置关系》试题(新人教必修2).
第1题. 下列命题正确的是（ ） Ａ．经过三点确定一个平面Ｂ．经过一条直线和一个点确定一个平面 Ｃ．四边形确定一个平面Ｄ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面答案：Ｄ．第2题. 如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．答案：证明：连接BD ．因为EH 是ABD △的中位线，所以EH BD ∥，且． 同理，FG BD ∥，且BD ．因为EH FG ∥，且EH FG =． 所以四边形EFGH 为平行四边形．试题号：4658 知识点：空间平行线的传递性——公理4。
试题类型：解答题 试题难度：容易 考查目标：基础知识 录入时间：2006-1-6第3题. 如图，已知长方体ABCD A BC D ''''-中，AB =AD =2AA '=． （１）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （２）AA '和BC '所成的角是多少度？AE BHGCFD答案：（１）45þ；（２）60þ．第4题. 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则lα∥．②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ．⊄，则下列结论成立的是（）第5题. 若直线a不平行于平面α，且aαＡ．α内的所有直线与a异面Ｂ．α内不存在与a平行的直线Ｃ．α内存在唯一的直线与a平行Ｄ．α内的直线与a都相交答案：Ｂ．∥，且a与c的夹角为θ，那么b与c夹角第6题. 已知a，b，c是三条直线，角a b为．答案：θ．第7题. 如图，AA'是长方体的一条棱，这个长方体中与AA'垂直的棱共条．答案：8条．第8题. 如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有个．答案：2个．∥则b与α的位置关系是．第9题. 已知两条相交直线a，b，aα平面∥，或b与a相交．答案：b a第10题. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条确定一个平面，一共可以确定几个平面？如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面？答案：3个，3个．第11题. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行．②CN与BE是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①，②，③Ｂ．②，④ Ｃ．③，④Ｄ．②，③，④答案：Ｃ．第12题. 下列命题中，正确的个数为（ ）①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；③过空间四边形ABCD 的顶点A 引CD 的平行线段AE ，则BAE ∠是异面直线AB 与CD 所成的角；④四边相等，且四个角也相等的四边形是正方形 Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ．第13题. 在空间四边形ABCD 中，N ，M 分别是BC ，AD 的中点，则2MN 与AB CD +的大小关系是 ． 答案：2MN AB CD <+．第14题. 已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点，则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．答案：4．第15题. 已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，， 则BD 的长为 ．答案：24245或．第16题. 空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 答案：214a ．第17题. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C ，11C B 的中点，AC BD P = ，11AC EF Q = ．求证：（１）D ，B ，F ，E 四点共面；（２）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 答案：证明：如图．（１）EF 是111D B C △的中位线，11EF B D ∴∥． 在正方体1AC 中，11B D BD ∥，∴EF BD ∥．EF ∴确定一个平面，即D ，B ，F ，E 四点共面．（２）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α，又设平面BDEF 为β．11Q AC ∈ ，Q α∴∈．又Q EF ∈，Q β∴∈．则Q 是α与β的公共点，PQ αβ∴= ． 又1AC R β= ，1R AC ∴∈． R α∴∈，R β∈且，则R PQ ∈．故P ，Q ，R 三点共线．第18题. 已知下列四个命题： ① 很平的桌面是一个平面； ② 一个平面的面积可以是4m 2； ③ 平面是矩形或平行四边形；④ 两个平面叠在一起比一个平面厚． 其中正确的命题有（ ） Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个 答案：Ａ．第19题. 给出下列命题：和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； 三条两两相交的直线在同一平面内； 有三个不同公共点的两个平面重合； 两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ａ．第20题. 直线12l l ∥，在1l 上取3点，2l 上取2点，由这5点能确定的平面有（ ）Ａ．9个 Ｂ．6个 Ｃ．3个 Ｄ．1个 答案：Ｄ．第21题. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ） Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．1个或3个 答案：Ｄ．第22题. 下列命题中，不正确的是（ ）①一条直线和两条平行直线都相交，那么这三条直线共面； ②每两条都相交但不共点的四条直线一定共面； ③两条相交直线上的三个点确定一个平面； ④两条互相垂直的直线共面． Ａ．①与② Ｂ．③与④ Ｃ．①与③ Ｄ．②与④ 答案：Ｂ．第23题. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线答案：Ｄ．第24题. 在长方体1111ABCD A B C D 中，点O ，1O 分别是四边形ABCD ，1111A B C D 的对角线的交点，点E ，F 分别是四边形11AA D D ，11BB C C 的对角线的交点，点G ，H 分别是四边形11A ABB ，11C CDD 的对角线的交点． 求证：1OEG O FH △≌△．答案：证明：如图，连结1AD ，AC ，1CD ，11C A ，1C B ，1BA由三角形中位线定理可知OE ∥ 112CD ，1O F ∥112BA ． 又1BA ∥1CD ，OE ∴ ∥1O F ．同理可证EG ∥FH ． 由等角定理可得1OEG O FH ∠=∠．∴1OEG O FH △≌△．第25题. 若a ，b 是异面直线，b ，c 也是异面直线，则a 与c 的位置关系是（ ） Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面 答案：Ｄ．第26题. a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上两点，C ，D 是b 上的两点，M ，N 分别是线段AC 和BD 的中点，则MN 和a 的位置关系是（ ） Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面 答案：Ａ．第27题. 如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中 ①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60þ角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④答案：Ｃ．第28题. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） Ａ．一条直线不相交Ｂ．两条直线不相交Ｃ．任意一条直线不相交Ｄ．无数条直线不相交答案：Ｃ．第29题. 如果直线a平行于平面α，则（）Ａ．平面α内有且只有一直线与a平行Ｂ．平面α内有无数条直线与a平行Ｃ．平面α内不存在与a平行的直线Ｄ．平面α内的任意直线与直线a都平行答案：Ｂ．第30题. 已知直线的倾斜角为α，若3sin5α=，则此直线的斜率为（）Ｃ．34±Ｄ．43±。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元试卷(1)
第二章过关检测(90 分 ,分 100 分)知点散布表知点号分点、、面的地点关系1,3,1212平行的判断及性2,4,5,6,7,10,16(1),17 、35垂直的判断及性5,7,8,13,15,16(2),18(1)31距离9,118角度14,16(3),18(2)14一、 (本大共10 小 ,每小 4 分,共 40 分)1.以下推理不正确的选项是()A.A ∈ b,A ∈ β,B∈ b, B bB.M∈ α,M∈ β,N∈ α,N∈βα∩β＝直 MNC.直 m 不在α内 , A m AD.A、B、 C∈ α,A、B、 C∈ β,且 A、 B、C 不共α与β重合2.空两条直拥有以下条件之一,两直必定平行的是()A.同垂直于一条直B.同垂直于一个平面C.同平行于一个平面D.同在一个平面内3.异面直a、 b 分在平面α、β内,若α∩β＝l,直l⋯()A. 分与 a、 b 订交B.与 a、b 都不订交C.起码与 a、 b 中之一订交D.至多与 a、 b 中之一订交4.下边四个命:①分在两个平面内的两直平行;②若两个平面平行,此中一个平面内的任何一条直必平行于另一个平面;③假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;④假如一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.此中正确的命题是()A. ①②B. ②④C.①③D. ②③5.一个正方体纸盒睁开后如图,在原正方体纸盒中有以下结论:①AB ⊥EF;②AB 与 CM 成 60°角;③EF 与 MN 是异面直线 ;④MN∥CD.此中正确的选项是 ()A. ①②B. ③④C.②③D. ①③6.已知 a、b 是不重合的两条直线,α、β,γ是三个两两不重合的平面,给出以下四个命题:①若 a⊥ α,a⊥ β,则α∥ β；②若α⊥ γ,β⊥ γ,则α∥ β；③若α∥ β,a,b,则 a∥ b;④若α∥ β,α∩γ＝ a,β∩γ＝ b,则 a∥ b.此中正确的选项是 ()A. ①②B. ①③C.③④D. ①④7.(2009 苍山诚信中学·文科 )已知直线 l⊥平面α,直线m平面β,给出以下命题 :①α∥β l⊥ n;② α⊥ βl ∥ M;③l ∥ m α⊥β;④l ⊥ m α∥β.此中正确的命题是 ()A. ①②③B. ②③④C.②④D. ①③8.以下命题中 ,正确的选项是 ()A. 平面α⊥β,直线m∥ α,则m⊥ βB.l ⊥平面α,平面β∥直线l,则α⊥βC.直线l 是平面α的一条斜线,且l,则α与β必不垂直D.一个平面内的两条直线与另一平面内的两条直线分别平行,则这两个平面平行9.点 P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC ,PA＝ 8,在△ ABC 中 ,底边＝5,则 P 到 BC 的距离为 ()BC＝6,ABA.45B.3C.33D.2310.如图 ,在三棱柱 ABCA′ B′C中,点 E、 F 、 H、 K 分别为 AC′、 CB′、 A′B、 B′ C的′中点 ,G 为△ ABC 的重心 ,从 K、 H 、G、B′中取一点作为 P,使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行 ,则P为()A. KB.HC.GD.B′二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每题 4 分,共 16分 )－1⊥ l 于 A11⊥ l 于 B11＝A1B 1＝ 1,B1B＝11.若二面角αlβ是直二面角 ,A∈ α,B∈β,AA,BB,且 AA2,M 是直线 l 上的一个动点 ,则 AM ＋ BM 的最小值等于 _________.12.已知△ ABC 中 ,∠BAC＝ 90°,P 为平面 ABC 外一点 ,且 PA＝ PB＝PC,则平面 PBC 与平面 ABC的地点关系是 __________.13.以以下图 ,在直四棱柱 A1B1C1 D1－DABC 中 ,当底面四边形ABCD 知足条件 ______________时,有 A1 B⊥ B1D 1注:填上你以为正确的一种条件即可,不用考虑全部可能的情况)14.以以下图 ,平面 ABC⊥平面 ABD ,∠ ACB＝ 90°,CA＝ CB,△ ABD 是正三角形 ,则二面角 G－BD －A 的平面角的正切值为 _________.三、解答题 (本大题共 4 小题 ,共 44 分 )15.(10 分 )如图 ,已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ ABC 为直角三角形 ,∠ C＝ 90°,侧棱与底面成 60°角 ,点 B1在底面的射影D为BC的中点.求证 :AC⊥平面 BCC1B1 .16.(10 分 )以下图 ,在四棱锥 P－ABCD 中 ,底面 ABCD 是正方形 ,侧棱 PD ⊥底面 ABCD ,PD ＝DC,E 是 PC 的中点 .求证 :PA∥平面 EDB .17.(12 分 )已知正方体ABCD －A1B1C1D1.(1)求证 :平面 A1BD∥平面 B1D 1C;(2)若 E、 F 分别是 AA1、 CC1的中点 ,求证 :平面 EB1D1∥平面 FBD .18.(12 分 )△ ABC 是正三角形 ,线段 EA 和 DC 都垂直于平面ABC.设 EA＝ AB＝ 2a,DC ＝ a,且 F 为 BE 的中点 ,如图 .(1)求证 :DF ∥平面 ABC;(2)求证 :AF⊥ BD;(3)求平面 BDF 与平面 ABC 所成二面角的大小 .参照答案1 分析：由空间中点、线、面的地点关系可知.答案： C2分析：垂直于同一平面的两直线平行 .答案： B3分析：若 l 与 a,b 都不订交 ,则 a∥ l,b∥l,知 a∥ b,与 a,b 是异面直线矛盾 .答案： C4分析：①明显不对 ;②是两平面平行的性质 ;③只有在这两条直线订交的前提下才正确;④是两平面平行的意义.答案： B5 分析：把纸盒睁开图复原成正方体即可.答案： D6 分析：①垂直于同向来线的两个平面平行,正确 ;②错误 ,用正方体考证;③ a 与 b 也可能异面 ,错误 ;④正确 .答案： D7 分析：①中,α∥β,l⊥α知l⊥ β,又∵ m,∴l ⊥m,故①正确 ;②中 ,∵ l⊥ α,α⊥ β,∴l ∥ β或l.∴l 与 m 订交 ,异面或平行 ,故②不确立 ;③中 ,∵ l∥ m,l ⊥α,∴m⊥ α.又m,∴ α⊥ β,故③正确 ;④中 ,举反例 : α⊥ β,α∩β＝ m,则知足前提 ,此时α与β不平行 ;故④错误 .答案： D8 分析：用正方体考证知,B 正确 .答案： B9 分析：作AD⊥BC于点D,连接PD ,易证PD⊥BC,故PD的长即为P 到 BC 的距离 .答案： A10 分析：若P为K点,则棱柱中A′B、AA′、BB′、CC′等均与平面PEF 平行 ,不合题意 .若 P 为 H 点 ,则棱柱中 B′C、′A′B、 A′C、 AB、 BC、 AC 均与平面 PEF 平行 ,也不合题意 .若 P 为 B′点,则棱柱中无棱与平面 PEF 平行 ,只有当 P 为 G 点时 ,棱柱中恰有 2 条棱 AB 、A′B′与平面 PEF 平行 .答案： C11 分析：绕二面角的棱l 旋转半平面α,使之与半平面β恰巧组成一个平面,此时 ,A、B 两点在直线 l 的异侧 ,连接 AB 与 l 的交点即为使AM ＋ MB 为最小值的动点 M 在直线 l 上的地点 ,求得线段 AB 的长为10 .答案：1012分析：∵ PA＝PB＝ PC,∴P 在△ ABC 所在平面上的射影必落在△ABC 的外心上 .又外心在 BC 上,设为 O,则 PO⊥平面 ABC.又 PO 平面PBC,∴平面 PBC⊥平面 ABC.答案：垂直13 分析：由条件知BC1⊥面 A1B1C1D1,∴BC 1⊥B1D 1.若 B1D 1⊥A1C1,则 B1D1⊥面 A1C1B.∴B1D1⊥ A1B.答案：对角线相互垂直14 分析：过C点作CO⊥AB,垂足为O,作OH⊥BD,垂足为H,连接CH .∵平面 ABC⊥平面 ABD,交线为 AB,∴CO⊥平面 ABD .∴CO⊥BD .又∵ OH⊥ BD ,OH∩OC＝O,∴BD ⊥平面 COH .∴BD⊥CH.∴∠ CHO 为二面角C－BD－A 的平面角 .设 AC＝ CB＝ a,则 AB＝BD ＝ AD＝ 2a,CO 2 a . 2∴ OH132a 6 a .224CO 2 a2 3 2 3∴ tan CHO2OH6.∴应填. 33a 4答案：23315 证明 :∵ B1D⊥面 ABC,∴B1D⊥AC .又∵∠ C＝ 90°,BC⊥ AC,而 B1D∩BC＝ D,B1D 、BC平面BCC1B1,∴AC ⊥平面 BCC1B 1.16 证明 :连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO.由于底面 ABCD 是正方形 ,因此点 O是 AC 在△ PAC 中 ,EO 因此 PA∥ EO.的中点 . 是中位线,而 EO平面EDB,且PA平面EDB ,因此PA∥平面EDB .17 证明 :(1) 由 B1B∥DD 1,且 B 1B＝ DD 1,得 B1D 1∥ BD .由于 BD平面B1D1C,而 B1 D1平面B1D1C,因此 BD∥平面 B1D 1C.同理 A1D∥平面 B1D1C.又 A1D∩BD ＝ D,因此平面 A1BD ∥平面 B1D1 C. (2) 由 BD ∥B1D 1,得 BD ∥平面 EB1D 1.取 BB1中点 G,连接 AG、GF,则 AE∥B1G 且 AE＝ B 1G,因此 B1E∥ AG.由 GF∥ BC 且 GF＝ BC,BC∥AD ,得 GF∥ AD 且 GF＝AD ,因此 AG∥ DF 且 AG＝ DF .因此 B1E∥ DF .因此 DF ∥平面 EB 1D1.因此平面 EB 1D1∥平面 FBD .18(1) 证明 :以下图 ,取 AB 中点 G,连接 CG、FG .∵E F ＝FB,AG＝GB,∴FG1 EA.又DC 21DC . 2∴四边形 CDFG 为平行四边形 ,故 DF∥CG.∵ DF平面ABC,CG平面ABC,∴D F ∥平面 ABC.(2) 证明 :∵ EA⊥平面 ABC,∴EA ⊥CG.又△ ABC 是正三角形，∴CG⊥ AB.∴CG⊥平面 AEB.∴CG⊥AF.又∵ DF∥CG,∴DF ⊥AF.又 AE＝AB ,F 为 BE 中点 ,∴A F ⊥BE.又 BE∩DF ＝ F,∴A F ⊥平面 BDE .∴A F ⊥BD.(3)解 :延伸 ED 交 AC 延伸线于 G′,连接 BG ′.由 CD1 AE ,CD∥AE知D为EG′中点,2∴F D ∥ BG′.由 CG⊥平面 ABE,FD ∥ CG,∴BG′⊥平面 ABE.∴∠ EBA 为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB 中 ,易求∠ ABE＝ 45°.。
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)空间点、直线、平面之间的位置关系测试题1.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么正确的选项是（）A。
α∥βB。
α与β相交C。
α与β重合D。
α∥β或α与β相交2.两条直线a，b满足a∥b，b⊥平面α，则a与平面α的关系是()A。
a∥αB。
a与α相交C。
a与α不相交D。
a⊥α3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行。
其中正确的个数有(。
)A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个4.经过平面外两点与这个平面平行的平面（）A。
只有一个B。
至少有一个C。
可能没有D。
有无数个5.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有（）A。
3条B。
4条C。
5条D。
6条6.a，b是两条异面直线，下列结论正确的是（）A。
过不在a，b上的任一点P，可作一个平面与a，b平行B。
过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b相交C。
过不在a，b上的任一点P，可作一条直线与a，b都平行D。
过a可以并且只可以作一平面与b平行7.m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A。
若m‖α，n‖α，则m‖nB。
若α⊥γ，β⊥γ，则α‖βC。
若m‖α，m‖β，则α‖βD。
XXX⊥α，n⊥α，则m‖n8.如图1，正四面体ABCD的棱长均为a，且AD⊥平面α于A，点B，C，D均在平面α外，且在平面α同一侧，则点B到平面α的距离是（）A。
a/2B。
a/3C。
a/23D。
2a/39.如图2，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是A。
PB⊥ADB。
平面PAB⊥平面PBCC。
直线BC∥平面PAED。
直线PD与平面ABC所成的角为45°10.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A。
点、直线、平面之间的位置关系
酉阳三中高2013级单元检测（数学）第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )． A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能2．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 2＝1，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为( )． A ．51B ．52 C ．53 D ．54 3．经过平面外两点与这个平面平行的平面( )． A ．可能没有B ．至少有一个C ．只有一个D ．有无数个4．点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC ＝BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是（ ）．A ．菱形B ．梯形C ．正方形D ．空间四边形5．已知 m ，n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面 β，α∩β＝l ，则( )． A ．l 与m ，n 都相交 B ．l 与m ，n 中至少一条相交C ．l 与m ，n 都不相交D ．l 只与m ，n 中一条相交6．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝23，CC 1＝2，则二面角C 1-BD -C 的大小为( )． A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．如果平面α外有两点A ，B ，它们到平面 α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是( )．A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂α8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定二、填空题11．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB ，CD 所成角的大小为 ．12．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是 ．14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的大小为 ．三、解答题16．正方体AC 1的棱长为a ． (1)求证：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)设P 为D 1D 中点，求点P 到平面ACC 1A 1的距离．DCAB(第11题)(第12题)AB CA 1B 1C 1EF17．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方形的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：(1)P A ∥平面BDE ；(2)BD ⊥平面P AC ．18、如图四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥AD ，SD ⊥CD ， E 是SC 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，AB ＝SD ＝6.（1）求证：EO ∥平面SAD ； （2）求异面直线EO 与BC 所成的角.19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．POEC DBA(第17题)(第18题)ABCDOES20．如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， (1)求证：AC ⊥平面B 1D 1DB ； (2)求证：BD 1⊥平面ACB 1； (3)求三棱锥B -ACB 1体积．21. 已知△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AC AE ＝ADAF＝λ(0＜λ＜1)． (1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？D 1C 1B 1A 1C D BA(第19题)(第20题)参考答案一、选择题 1．D解析：当垂直于直线l 的两条直线与l 共面时，两条直线平行；当这两条直线与l 不共面时，两条直线平行或相交或异面．2．D解析：当将AD 1平移至BC 1，连接A 1C 1，∴∠A 1BC 1是异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 在△A 1BC 1中，容易计算A 1B ＝BC 1＝5，A 1C 1＝2． ∴由余弦定理得cos ∠A 1BC 1＝54． 3．A解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在． 4．C解析：依条件得EF ∥＝21AC ，GH ∥＝21AC ，∴ EF ∥＝GH ． 又EH ∥＝21BD ，FG ∥＝21BD ，∴ EH ∥＝FG ． ∵AB ＝BC ，∴EF ＝EH ．∵ AC 与BD 所成角的大小为90°，∴ EF 与EH 所成角的大小为90°． ∴四边形EFGH 是正方形． 5．B解析：对于A ，满足条件的直线l 可以与m ，n 中一条相交；对于C ，若l 与m ，n 都不相交，∵ l 分别与m ，n 共面，∴ l ∥m ，l ∥n ．∴ m ∥n ．矛盾；对于D ，满足条件的直线可以与m ，n 都相交．6．A解析：若设AC ，BD 交于点O ，连接C 1O ，则BD ⊥CO ，BD ⊥C 1O ． ∴ ∠COC 1是二面角C 1-BD -C 的平面角．tan ∠COC 1＝BCCC 1＝33．∴ ∠COC 1＝30°． 7．C解析：当A ，B 两点在 同侧时，直线AB 和平面 平行；当A ，B 两点在 异侧时，直线AB 和平面 相交．8．B解析：对于A ， ⊥ ，m ⊥ ，n ∥ ，m ，n 可以不垂直； 对于C ，m ⊥ ，n ∥ ，m ⊥n ， ， 可以不垂直； 对于D ， ⊥ ， ∩ ＝m ，n ⊥m ， n ， 可以不垂直． 9．A解析：设A ，C ∈ ，B ，D ∈ ，① 若AB ，CD 共面，∵ ∥ ，∴ AC ∥BD . ∵ E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ EF ∥AC ，且EF ⊄ ，AC ⊂ ，∴ EF ∥ ．②若AB ，CD 为异面直线，则过点F 做直线MN ∥AB ，MN 交 于M ，交 于N ，则MC ∥ND ．∴ F 为的MN 中点．∴EF ∥AM ，且EF ⊄ ，AM ⊂ ，∴ EF ∥ ．10．A解析：连接AB ′，A ′B ，于是∠ABA ′＝6π，∠BAB ′＝4π. 设AB ＝a ，∴ A ′B ＝a cos6π＝2a ，BB ′＝a cos 4π＝2a ． ∴ A ′B ′＝12a ．∴ AB ∶A ′B ′＝2∶1． 二、填空题 11．60°．解析：将展开图恢复为正方体时，点B ，D 重合，∴ AB ，CD ，AC 三条面对角线构成等边三角形，∴ 直线AB ，CD 所成角的大小为60°．12．5．如图，取A 1B 1的中点G ，连接FG ，EG ， ∵FG ＝1，EG ＝2，∴ EF ＝5． 13．414a ． 解析：如图过点A 作AB ⊥OC ，垂足为B ，连接A ′B ，AA ′(第10题)AB CA 1B 1C 1EFG (第12题)点A 到直线OC 距离是AB ． 依条件得AA ′＝23a ，A ′O ＝21a ，A ′B ＝42a ． ∴ AB ＝16243+a ＝414a ．14．60°．解析：依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为 2，∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是21． ∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是60°． 15．5．解析：依条件可知当a ∥ ，b ∥ 时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都有可能成立．三、解答题16． 证明：(1)∵ AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ， ∴ AA 1⊥平面ABCD ．又BD ⊂平面ABCD ，∴ AA 1⊥BD ．又AC ⊥BD ，AA 1∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1． (2)∵ DD 1∥AA 1，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴ DD 1∥平面ACC 1A 1．∴ 点P 到平面ACC 1A 1的距离即为直线DD 1到面ACC 1A 1的距离. 也就是点D 到平面ACC 1A 1的距离，设AC ∩BD ＝O ，则DO 的长度是点D 到平面ACC 1A 1的距离．容易求出DO ＝22a ．∴ P 到平面ACC 1A 1的距离为22a ． 17．证明：(1)连接EO ，∵ 四边形ABCD 为正方形， ∴ O 为AC 的中点．∵ E 是PC 的中点，∴ OE 是△APC 的中位线． ∴ EO ∥P A ．∵ EO ⊂平面BDE ，P A ⊂平面BDE ， ∴ P A ∥平面BDE ．(2)∵ PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ PO ⊥BD ．∵ 四边形ABCD 是正方形，A BC A 1B 1C 1P · DD 1O(第16题)POECDBA(第17题)∴ AC ⊥BD ．∵ PO ∩AC ＝O ，AC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， ∴ BD ⊥平面P AC ．18．(1)证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ． 又PD ∩DC ＝D ， PD ，DC ⊂平面PCD ， ∴ BC ⊥平面PCD ．∵ PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．(2)解：(方法一)分别取AB ，PC 的中点E ，F ，连DE ，DF ，则易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D ，E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于点E 到平面PBC 的距离的2倍，由(1)知，BC ⊥平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD ．∵ PD ＝DC ，PF ＝FC ，∴ DF ⊥PC ． 又 ∴ 平面PBC ∩平面PCD ＝PC ， ∴ DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝22，故点A 到平面PBC 的距离等于2． (方法二)：连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． ∵ AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴ ∠ABC ＝90°． 由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD ，及PD ＝1，得三棱锥P -ABC 的体积V ＝31S △ABC ·PD ＝31．∵ PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴ PD ⊥DC ． 又 ∴ PD ＝DC ＝1，∴ PC ＝22DC PD +＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22． (第18题)(第18题)∵ V A - PBC ＝V P - ABC ，∴31S △PBC ·h ＝V ＝31，得h ＝2． 故点A 到平面PBC 的距离等于2．19．(1)证明：∵ AC ⊥BD ，又BB 1⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ， ∴ BB 1⊥AC . BD ∩BB 1＝B ，∴ AC ⊥平面B 1 D 1DB ． (2)证明：由(1)知AC ⊥平面B 1D 1DB ， ∵ BD 1⊂平面B 1D 1DB ，∴ AC ⊥BD 1． ∵ A 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，AB 1⊂平面A 1B 1BA ， ∴ A 1D 1⊥AB 1．又 ∵ A 1B ⊥AB 1且A 1B ∩A 1D 1于A 1， ∴ AB 1⊥平面A 1D 1B ． ∵ BD 1⊂平面A 1D 1B ， ∴ BD 1⊥AB 1， 又 ∴ AC ∩AB 1＝A ， ∴ BD 1⊥平面ACB 1．(3)解：(方法1)C BB A ACB B V V 11＝--＝31×1×(21×1×1)＝61．(方法2)1ACB B V -＝21(31V 正方体)＝61． 20．(1)证明：∵ AB ⊥平面BCD ，∴ AB ⊥CD ． ∵ CD ⊥BC ，且AB∩BC ＝B ，∴ CD ⊥平面ABC ． 又AC AE ＝ADAF＝ (0＜ ＜1)， ∴ 不论 为何值，恒有EF ∥CD ， ∴ EF ⊥平面ABC ． ∵ EF ⊂平面BEF ， ∴不论 为何值总有平面BEF ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴ BE ⊥平面ACD ．∴ BE ⊥AC ．∵ BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴ BD ＝2，AB ＝6，AC ＝7． 由△ABC ∽△AEB ，有AB 2＝AE ·AC ，从而AE ＝76．∴ ＝ACAE ＝76．(第20题)6故当 ＝时，平面BEF⊥平面ACD．7。
修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》随堂测试
必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》随堂测试（时间：40分钟，满分：100分）班级姓名成绩一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A. α内所有的直线都与a异面；B. α内不存在与a平行的直线；C. α内所有的直线都与a相交；D. 直线a与平面α有公共点.2. 给出下列命题：（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面其中错误命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）条A. 3B. 4C. 6D. 84. 直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是（）A、若a⊂α，b⊂α,c⊥a, c⊥b 则c⊥αB、若b⊂α, a//b 则 a//αC、若a//α,α∩β=b 则a//bD、若a⊥α, b⊥α则a//b5.平面α与平面β平行的条件可以是（）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α,a//βC.直线aα⊂,直线bβ⊂,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行6. a, b是异面直线，下面四个命题：①过a至少有一个平面平行于b；②过a至少有一个平面垂直于b；③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面与a，b都平行。
其中正确命题的个数是（）Ａ.０Ｂ.１Ｃ.２Ｄ.３二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）7.已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a与β的位置关系 .8.已知直线a⊥直线b, a//平面β,则b与β的位置关系为 .9.如图，ABC是直角三角形，∠ACB=︒90，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形10.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断：① m ⊥ n ②α⊥β③ m ⊥β④ n ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________________________________.三、解答题11、用符号表示图中点，直线，平面的位置关系（10分）12、已知A B C ∆中90ACB ∠= ，SA ⊥面ABC ，A D SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．（10分）13、三棱锥中，若A B A D A C C B C D B D=====，求异面直线A C 与B D 所成角的大小.（10分）14、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点．（20分） （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．ABCDA 1B 1C 1D 1 EFSDCBA。
必修二点、直线、平面位置关系基础练习题
点、直线、平面之间位置关系基础练习题一、单选题1.在四面体ABCD中，AD=BC，且AD⊥BC，E，F分别为AB，CD的中点，则EF与BC所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A. 若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//βB. 若m⊂α，n⊂β，α//β，则m//nC. 若m⊂α，n⊂β，α//β，且m，n共面，则m//nD. 若m//n，m//α，n//β，则α//β3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A. PA=PB=PCB. PA≠PB≠PCC. PA=PB>PCD. PA=PB<PC第II卷（非选择题）二、解答题（本大题共14小题，共168.0分）4.如图，P是四边形ABCD所在平面外一点，四边形ABCD是∠DAB=60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．5.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，O为AB的中点，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60∘．(1)证明：AB⊥平面A1OC;(2)若AB=CB=2，OA1⊥OC，求三棱锥A1−ABC的体积．6.如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN//平面PAD．7.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求证：PD//平面MAC．8.如图，P为▱ABCD所在平面外的一点，M，N分别为AB，PD的中点.求证：MN//平面PBC．9.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．(1)证明：CD⊥平面PAC；(2)若E为AD的中点，求证：CE//平面PAB．10.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：平面BDE⊥平面PAC;(2)当PA//平面BDE时，求三棱锥E−BCD的体积．11.四棱锥P−ABCD中底面ABCD是矩形，M是PB的中点，PO⊥平面ABCD，AB=2,BC=1,PO=√3(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求三棱锥B−DMC的体积．12.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，且∠PAB=∠PDC=90°．(1)证明：PA//平面BDM；(2)证明：平面PAB⊥平面PAD．13.如图，在四棱锥P−ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=2，AD=4，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．(1)求证：EF//AB；(2)求三棱锥P−AEF的体积．14.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．(1)证明：PA//平面MNC；(2)求三棱锥P−MNC的体积．15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面为正方形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面PCD．(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD：(2)若AB=2，Q为线段的中点，求三棱锥Q−PCD的体积．16.如图，在三棱锥V−ABC中，平面VAB⊥平面ABC，ΔVAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=√2，O，M分别为AB，VA的中点。
第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题及答案
第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》一、选择题1． 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是A ．①B ．②C ．③D ．④2.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ；②若βααβγα//,,则⊥⊥； ③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂；④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂。
其中真命题是A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④4．已知直线n m l 、、及平面α，下列命题中的假命题是A ．若//l m ，//m n ，则//l n .B ．若l α⊥，//n α，则l n ⊥.C ．若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥.D ．若//l α，//n α，则//l n .5．在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 A ．BC ∥平面PDF B ．DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC 6．有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 7．下列命题中，正确的是 A ．经过不同的三点有且只有一个平面 B ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行8．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题：①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m其中真命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对 11．正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有A ．3个B ．4个C ．6个D ．7个 13．设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是A ．l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB ．γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC ． αγβγα⊥⊥⊥m ,,D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,,14．设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么A ．①是真命题，②是假命题B ． ①是假命题，②是真命题C ． ①②都是真命题D ．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．已知平面βα,和直线m ，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//.（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m （填所选条件的序号）2．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号） 3．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号）4．已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n②若,,//,//,m n m n αββ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④m 、n 是两条异面直线，若//,//,//,//,m m n n αβαβ则//αβ上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)5． 已知m 、n 是不同的直线，,αβ是不重合的平面，给出下列命题：① 若//m α，则m 平行于平面α内的任意一条直线② 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n③若,,//m n m n αβ⊥⊥,则//αβ④若//,m αβα⊂,则//m β上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、计算题1． 如图1所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，341715=CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.2. 已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60。
高一数学点直线平面之间的位置关系试题答案及解析
高一数学点直线平面之间的位置关系试题答案及解析1.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设BC的中点为D，连接易知即为异面直线与所成的角，设三棱柱的侧棱与底面边长为1，则,由余弦定理可以求得【考点】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力.点评：求空间两条异面直线所成的角，关键是先做出空间两条异面直线所成的角，另外需要注意空间两条异面直线所成的角的取值范围.2.在正方体中，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设分别为边上的中点，则四点共面，且平面平面,又因为平面，所以点落在线段上，设的中点为，则当与重合时，与平面所成角的正切值有最大值为，当与或重合时，与平面所成角的正切值有最小值为2，故与平面所成角的正切值构成的集合是【考点】本小题主要考查点是直线与平面所成的角，其中分析出F落在线段HI上，是解答本题的关键.点评：求线面角，关键是先作出所成的角.3.四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为_____________。
【答案】【解析】如图：E、F分别是AB,CD中点，连VE,EF，VF;则就是二面角的平面角；又所以三角形VEF为正三角形，所以4.直角△ABC的斜边BC在平面a内，顶点A在平面a外，则△ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边BC组成的图形只能是（）A．一条线段B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形D．一条线段或一个钝角三角形【答案】D【解析】当面ABC⊥α时，射影为一条线段，当面ABC不垂于α时，射影为钝角三角形.5.如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的()A．三边均与平面平行B．三边中至少有一边与平面平行C．三边中至多有一边与平面平行D．三边中至多有两边与平面平行【答案】B【解析】三个顶点正在平面同一侧，则三边都平行平面；两个顶点在同一侧，一个顶点在另一侧，则在同一侧的两个顶点所在的边平行平面.故选B6.过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.【答案】无数，一，一，无数【解析】过直线外一点作直线的垂线与该直线相交的只有一条，而与该直线异面的有无数条，所以过直线外一点作直线的垂线有无数条。
空间点直线平面之间的位置关系测试题及标准答案
2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1 .下歹U命题正确的是................................. ()A .三点确定一个平面B .经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面 D .两条相交直线确定一个平面2.若直线a不平行于平面：•，且a二：•，则下列结论成立的是( )A .：•内的所有直线与a异面B.:-内不存在与a平行的直线C.内存在唯一的直线与a平行D.：•内的直线与a都相交3. ................................................................................................. 平行于同一平面的两条直线的位置关系.................................................. ( )A .平行B .相交C .异面D .平行、相交或异面4.正方体ABCD - A'B'C'D'中，AB的中点为M , DD'的中点为N ,异面直线B'M与CN所成的角是...................................... ( )A. 0B. 45C. 60D. 905. ................................................................................................. 平面与平面1平行的条件可以是 ( ....................................................... )A .:-内有无穷多条直线都与1平行B.直线a/r ,a// -且直线a不在〉内，也不在一：内C.直线a二書，直线b二「且al「，b//：D .：•内的任何直线都与一：平行6. ................................................................................................. 下列命题中，错误的是( )A .平行于同一条直线的两个平面平行B .平行于同一个平面的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D . 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交7.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确的个数是................................ ( )A. 3B. 2C. 1 D . 0&下列命题中错误的是............................. ( )A .如果平面爲」’「’，那么平面-■内所有直线都垂直于平面：B .如果平面爲」,那么平面:-一定存在直线平行于平面：C.如果平面:-不垂直于平面：，那么平面:-内一定不存在直线垂直于平面：D •如果平面〉_ , 1 ? ■- =1，那么丨_9.直线a//平面:-,P三：：：_，那么过点P且平行于:-的直线......... ( )A .只有一条，不在平面:-内B .有无数条，不一定在：•内C .只有一条，且在平面:-内D •有无数条，一定在:-内10.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED 平行②CN与BE异面③CN与BM成60 ④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是( )A .①②③B .②④C.③④ D .②③④、填空题1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是___________________2.正方体ABCD—A'B'C'D'中，AC与BD'所成角 ______________________3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是____________________4.已知直线a, b和平面°，且a丄b, a丄。
2022高三总复习数学 空间点、直线、平面之间的位置关系(含解析)
空间点、直线、平面之间的位置关系A级——基础达标1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D如图①，∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，但OB与O1B1不平行，故排除A、B；如图②，∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，此时OB∥O1B1，故排除C，故选D.2．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线α和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为() A．30°B．60°C．75°D．90°解析：选D将正三棱柱ABC-A1B1C1补为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，连接C1D，BD(图略)，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝2，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝23，又因为BC1＝C1D＝6，所以∠BC1D＝90°.4.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．5.(多选)如图，点E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中点，则()A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直线EF，GH是异面直线D．直线EF，GH是相交直线解析：选BD如图，取棱CC1的中点N，A1D1的中点M，连接EM，MH，HN，NG，FG，AC，A1C1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∵MH∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F，G四点共面，同理可得E，M，G，N四点共面，E，F，H，N四点共面，∴E，M，H，N，G，F六点共面，均在平面EFGNHM内，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF⊂平面EFGNHM，∴EF与GH是相交直线．由正方体的结构特征及中位线定理可得EF＝HN＝NG＝FG ＝EM＝MH，∴3EF＝GH，即GH≠2EF.故选B、D.6．(多选)(2021·潍坊模拟)已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈平面α，点B，D∈平面β，且A，B，C，D∉l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法错误的是()A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当直线AB，CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交D．当直线AB，CD异面时，MN可能与l平行解析：选ACD A选项，当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD时，则M，N两点能重合，可知A错误；B选项，若M，N重合，则AC∥BD，则AC∥平面β，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；C选项，当AB与CD相交，且AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；D选项，当AB与CD是异面直线时，MN 不可能与l平行，可知D错误．故选A、C、D.7．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：58．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为，平面AEF与平面ABCD的交线是．解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．答案：平行AD9.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件时，四边形EFGH为正方形．解析：(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD10.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面为M，则截面M的面积为．解析：如图，取A1D1，AD的中点分别为F，G.连接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F为A1D1的中点，P为BC的中点，G为AD的中点，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝52，PG綊CD，AF綊D1G.由题意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四边形C1D1GP为平行四边形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F四点共面，∴四边形APC1F为菱形．∵AC1＝3，PF＝2，过点A，P，C1的平面截正方体所得的截面M为菱形APC1F，∴截面M的面积S＝12AC1·PF＝12×3×2＝62.答案：6 211.如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点都是平面α与平面β的公共点．∴点P，Q，R都在平面α与平面β的交线上，故P，Q，R三点共线．12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)EF綊E1F1；(2)∠EA1F＝∠F1CE1.证明：(1)如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊12BD.同理可证E1F1綊12B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1綊DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，则BD綊B1D1.所以EF綊E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1綊BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，所以BM∥CF1.因为A1M＝12A1B1，BE＝12AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以A1E∥CF1.同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F的两边与∠F1CE1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠F1CE1.B级——综合应用13．(多选)(2021·海南模拟)关于正方体ABCD-A1B1C1D1有如下四个说法，其中正确的是()A ．若点P 在直线BC 1上运动，则三棱锥A -D 1PC 的体积不变B ．若点P 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则P 点的轨迹是直线A 1D 1 C ．若点P 在线段BC 1(含端点)上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π3 D ．若点P 在线段BC 1(含端点)上运动，则直线AP 与D 1C 所成的角一定是锐角解析：选AB 对于A ，由BC 1∥AD 1，可得BC 1∥平面AD 1C ， 则点P 到平面AD 1C 的距离不变， 由△AD 1C 的面积为定值，可知点P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变，故A 正确； 对于B ，若点P 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点， 则P 点的轨迹是平面A 1BCD 1与平面A 1B 1C 1D 1的交线A 1D 1，故B 正确；对于C ，直线AP 与DC 所成角即为∠PAB ，当P 与C 1重合时，∠PAB 最大，且tan ∠PAB ＝2，所以∠PAB <π3，故C 错误；对于D ，当P 与C 1重合时，AP 与D 1C 所成的角为π2，故D 错误．所以其中说法正确的是A 、B.14.如图，若P 是△ABC 所在平面外一点，PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 为AB 的中点，则PN 与MC 之间的位置关系是 ．解析：法一：∵PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 是AB 的中点，∴点N 与点M 不重合．∵N ∈平面ABC ，P ∉平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，N ∉CM ，∴由异面直线的判定方法可知，直线PN 与MC 为异面直线．法二(反证法)：假设PN 与MC 不是异面直线，则存在一个平面α，使得PN ⊂α，MC ⊂α，于是P ∈α，C ∈α，N ∈α，M ∈α.∵PA ≠PB ，PN ⊥AB ，N 为垂足，M 是AB 的中点， ∴点M 与点N 不重合．∵M ∈α，N ∈α，∴直线MN ⊂α，∵A ∈MN ，B ∈MN ，∴A ∈α，B ∈α，即A ，B ，C ，P 四点均在平面α内，这与点P在平面ABC外相矛盾．∴假设不成立．故PN与MC为异面直线．答案：异面直线15.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m.CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.解：(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为EHBD ＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.同理可得FG＝nn＋1BD.由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB.所以EF∥AC.又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°.从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.C级——迁移创新16.如图，AB，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．解：如图，设⊙O 的半径为R ，母线VB ＝l ，则圆锥侧面展开图的中心角为2πR l ＝2π，∴R l ＝22，∴sin ∠BVO ＝22， ∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO ＝π4.连接OE ，∵O ，E 分别是AB ，VB 的中点， ∴OE ∥VA .∴∠VOE ＝∠AVO ＝∠BVO ＝π4，∴∠VEO ＝π2，即VE ⊥OE .又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ，AB ∩VO ＝O ， ∴CD ⊥平面VAB . ∵VE ⊂平面VAB ， ∴VE ⊥CD .又∵OE ∩CD ＝O ，OE ，CD ⊂平面CDE ， ∴VE ⊥平面CDE .∴∠VOE 是截面与轴线的夹角， ∴截面的轴线夹角大小为π4.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE 与圆锥面的截线为一抛物线．。
数学必修二空间点_直线_平面的位置关系练习题含答案
数学必修二空间点、直线、平面的位置关系学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，平面不能用( )表示．A.平面αB.平面ABC.平面ACD.平面ABCD2. 已知m，n，l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m⊥l，n⊥l，则m // nB.若m // α，n // α，则m // nC.若m⊥α，n⊥α，则m // nD.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β3. 对于不同点A、B，不同直线a、b、l，不同平面α，β，下面推理错误的是（）A.若A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，则a⊂βB.若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β=直线ABC.若l⊄α，A∈l，则A∉αD.a∩b=Φ，a不平行于b，则a、b为异面直线4. 若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A.B∈b∈βB.B∈b⊂βC.B⊂b⊂βD.B⊂b∈β5. 直线a、b为两异面直线，下列结论正确的是（）A.过不在a、b上的任何一点，可作一个平面与a、b都平行B.过不在a、b上的任一点，可作一直线与a、b都相交C.过不在a、b上任一点，可作一直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行6. 如图所示，平面α∩平面β=l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l=R．设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ=（）A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均不正确7. 一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定8. 若点P为两条异面直线a，b外的任意一点，则下列说法一定正确的是( )A.过点P有且仅有一条直线与a，b都平行B.过点P有且仅有一条直线与a，b都垂直C.过点P有且仅有一条直线与a，b都相交D.过点P有且仅有一条直线与a，b都异面9. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1上一点且CE=2EC1，则异面直线AE与A1B所成角的余弦值为()A.√1144B.√1122C.3√1144D.√111110. 空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为（）A.相等B.互补C.相等或互补D.互余11. 在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB和CC1的距离为________．12. 如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为________．13. 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是________．14. 已知a // β，a⊂α，α∩β=b，则a和b的位置关系是________．15. 设a、b为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：①若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α // β；②若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α⊥β；③若a // α，b⊂α，则a // b；④若a⊥α，b⊥α，则a // b；其中正确命题的序号为________．16. 设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________（用代号表示）．17. 在空间直角坐标系O−xyz中，经过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三个点的平面方程为________．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，则平面DEF与平面ACC1A1的位置关系是________．19. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB // CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．20. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直干同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中真命题是________（写出所有真命题的序号）21. 已知直线a，b，c，且a∩b＝A，a∩c＝B，b和c异面，试画出图形表示它们之间的关系．22. 举几对既不相交也不平行的直线的例子．23. 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形（四条线段首尾相接，且连接点不在同一个平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB，AD，CB，CD上的点，且直线EF和HG交于点P，求证：点B，D，P在同一条直线上．24. 如图，过直线l外一点P，作直线a，b，c分别交直线l于点A，B，C，求证：直线a、b、c共面．25. 如图，已知E、F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的中点，求证：四边形EBFD1是菱形．26. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，若AC1=3,BC1=√5，则异面直线BC1与AD所成的角的正切值为________.27. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．（1）判断BD1与平面AEC的位置关系，并证明你的结论．（2）若AB=BC=√3，CC1=2，求异面直线AE、BD1所成的角的余弦值．28. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，求异面直线A1B与B1C夹角的余弦值．29. 如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．（1）求BC与A′C′，A′D与BC′所成角的余弦值；（2）求AA′与BC，AA′与CC′所成角的大小．30. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；（2）若m // α，m // β，则α // β；（3）若m // α，n // α，则m // n；（4）若m⊥α，n⊥α，则m // n．上述命题中正确的为________．31. 如图，已知ABCD是空间四边形，AB=AD，CB=CD，求证：BD⊥AC．32. 已知三条直线a、b、c，若这三条直线两两相交，且交点分别为A、B、C，试判断这三条直线是否共面．33. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，SA⊥平面ABC，E、F分别为点A在SC、SB上的射影．（1）求证：BC⊥SB；（2）求证：EF⊥SC．34. 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90∘，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点．(Ⅰ)求证：MN // 平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：MN⊥平面A1B1C．35. 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′．（1）要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（写出画法步骤，并在图中画出）（2）说明所画的线与平面AC的位置关系．36. 直线a // b，a与平面α相交，判定b与平面α的位置关系，并证明你的结论．37. 如图，在四棱锥P−ABCD中，有同学说平面PAD∩平面PBC=P，这句话对吗？请说明理由．38.（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi(i=1, 2, 3, 4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．39. 如图，a，b是异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的两点，直线a // 平面a，直线b // 平面a，AB∩a=M，CD∩a=N，若AM=BM，求证：CN=DN．40. 如图，已知平面α、β，且α∩β=l．设梯形ABCD中，AD // BC，且AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．参考答案与试题解析数学必修二空间点、直线、平面的位置关系一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】利用平面的表示方法，对每个选项逐一判断即可.【解答】解：A．平面可用希腊字母α，β，γ表示，故A正确；B．平面不可用平行四边形的某条边表示，故B错误；C．平面可用平行四边形的对角的两个字母表示，故C正确；D．平面可用平行四边形的顶点表示，故D正确.故选B.2.【答案】C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据空间线面位置关系的情况举出反例判断或根据性质说明．【解答】对于A，当l⊥α，m⊂α，n⊂α时，显然有m⊥l，n⊥l，单m与n可能平行，也可能相交，故A错误．对于B，若α // β，m⊂β，n⊂β，则m // α，n // α，但m，n可能平行也可能相交，故B错误．对于C，由线面平行的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知C正确．对于D，当三个平面α，β，γ两两垂直时，显然结论错误．3.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】在A中，由直线a上有两个点A，B都在β内，知a⊂β；在B中，由不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，知α∩β=直线AB；在C中，由l⊄α，A∈l，知A有可能是l与α的交点；在D中，因a∩b=Φ，a不平行于b，知a、b为异面直线．【解答】解：在A中，∵直线a上有两个点A，B都在β内，∴a⊂β，故A正确；在B中，∵不同点A、B分别是两个不同平面α，β的公共点，∴α∩β=直线AB，故B正确；在C中，∵l⊄α，A∈l，∴A有可能是l与α的交点，故C错误；在D中，∵a∩b=Φ，a不平行于b，∴a、b为异面直线，故D正确．故选C．4.【答案】B【考点】平面的概念、画法及表示【解析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选B5.【答案】D【考点】异面直线的判定【解析】若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，可得a⊂β，可判断A的真假；结合空间中直线关系的定义及几何特征，可判断B的真假；依据平行公理，即可判断C的真假；由公理2及其推论，我们可以判断D的真假．【解答】解：A中：若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，此时直线a在已知平面上，并非与已知平面平行，故A错误；B中：由①可得，当此点在β平面上时，结论B不成立；C中：若存在这样的直线l，则l // a，l // b，有平行公理知，必有a // b，与已知矛盾，故C错误；D中：在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故D正确；故答案为D6.【答案】C【考点】平面的基本性质及推论【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意知，∵AB∩l=R，平面α∩平面β=l，∴ R ∈l ，l ⊂β，R ∈AB ，∴ R ∈β．又∵ A ，B ，C 三点确定的平面为γ，∴ C ∈γ，AB ⊂γ，∴ R ∈γ．又∵ C ∈β，∴ C ，R 是平面β和γ的公共点，∴ β∩γ=CR ．故选C ．7.【答案】D【考点】平行公理【解析】根据题意，可在正方体中，举例说明，得到答案【解答】如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，二面角D −AA 1−F 与二面角D 1−DC −A 的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补．．AB例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90∘，所以这两个二面角不一定相等或互补．8.【答案】B【考点】异面直线的判定【解析】A 通过反证法可以判定；B 由异面直线公垂线的唯一性可以判定；C 、D 利用常见的图形举出反例即可．【解答】解：设过点P 的直线为n ，且{n//a,n//b,， ∴ a // b ，这与a ，b 异面矛盾，选项A 错误；∵ 异面直线a ，b 有唯一的公垂线，∴ 过点P 与公垂线平行的直线有且只有一条，选项B 正确；如图所示的正方体中，设AD 为直线a ，A′B′为直线b ，若点P 在P 1点处，则无法作出直线与两直线都相交， ∴ 选项C 错误；如图所示的正方体中，若P 在P 2点，则由图中可知直线CC′及D′P 2均与a ，b 异面， ∴ 选项D 错误.故选B .9.【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】本题考查建立适当的空间直角坐标系，利用向量方法求解即可.【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，E (1,1,23)，A 1(0,0,1)，B(1,0,0),∴ AE →=(1,1,23)，A 1B →=(1,0,−1),∴ cos <AE →,A 1B →>=AE →⋅A 1B →|AE||A 1B|=1−2 3√12+12+(23)2⋅√12+(−1)2=√1122.故选B．10.【答案】C【考点】平行公理【解析】根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等，从而易知本题答案．【解答】解：根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等．本题的条件是：一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，由于没有指出角的对应两边的方向情况，故两个角可能相等或互补．故选C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】2【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC，即可得出结论．【解答】解：由题意，异面直线AB和CC1的距离为BC=2．故答案为：2．12.【答案】√105【考点】异面直线及其所成的角【解析】建立空间坐标系，分别求出两条异面直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间坐标坐标系．取正方体的棱长为2．则B(1, 2, 0)，A(2, 2, 1)，D(2, 0, 2)，C(2, 1, 0)．∴ BA →=(1, 0, 1)，CD →=(0, −1, 2)．∴ cos <BA →，CD →>=|BA →|⋅|CD →|˙=2√2⋅√5=√105． ∴ 异面直线AB 和CD 的夹角的余弦值为√105． 故答案为：√105． 13. 【答案】平行或相交【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用直线与平面的位置关系求解．【解答】解：∵ 直线与平面的位置关系有三种：平行、相交或直线在平面内，∴ 如果一条直线不在平面内，那么这条直线与这个平面的位置关系是平行或相交．故答案为：平行或相交．14.【答案】平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据线面平行的性质定理判断出a // b ．【解答】解：∵ a // β，a ⊂α，α∩β=b ，∴ 由线面平行的性质定理得，a // b ，故答案为：平行．15.【答案】④【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据空间中面面平行的判定方法，面面垂直的判定方法，线面平行的性质及线面垂直的性质，我们对已知中四个结论逐一进行判断即可得到结论．【解答】解：若a⊂α，b⊂β，且a // b，则α与β可能平行与可能相交，故①错误；若a⊂α，b⊂β，且a⊥b，则α与β可能平行与可能相交，故②错误；若a // α，b⊂α，则a与b可能平行与可能异面，故③错误；若a⊥α，b⊥α，则a // b，故④正确；故答案为：④16.【答案】①③④⇒②（或②③④⇒①）【考点】空间中平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】分析本题中的条件，四个条件取三个，有四种组合，由于本题是一开放式题答案不唯一，故选取其一即可．【解答】解：观察发现，①③④⇒②与②③④⇒①是正确的命题，证明如下：证①③④⇒②，即证若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β，因为m⊥n，n⊥β，则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得α⊥β，命题正确；证②③④⇒①，即证若n⊥β，m⊥α，α⊥β，则m⊥n，因为m⊥α，α⊥β则m⊂β或m // β，又m⊥α故可得m⊥n，命题正确．故答案为：①③④⇒②（或②③④⇒①）．17.【答案】4x+3y+z＝6【考点】平面的概念、画法及表示【解析】设过A、B、C三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，把点的坐标代入方程求得A、B、C的值，从而求得平面方程．【解答】设过A(1, 0, 2)，B(1, 1, −1)，C(2, −1, 1)三点的平面方程为Ax+By+Cz＝D，则A+2C＝D①，A+B−C＝D②，2A−B+C＝D③，由①②③组成方程组，解得A=2D3，B=D2，C=D6；∴2D3x+D2y+D6z＝D，化简得4x+3y+z＝（6）18.【答案】平行【考点】空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据面面平行的判定定理，判断两个平面平行即可．【解答】解：因为D、E、F分别是A1B1、BC、B1C1的中点，所以BD // A1C1，BE // C1C，所以BD // 面A1B1C1，BE // 面A1B1C1，因为DB∩BE=E，所以平面DEF // ACC1A1．故答案为：平行．19.【答案】4【考点】平面的基本性质及推论【解析】判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可．【解答】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．20.【答案】②④【考点】平面的基本性质及推论【解析】利用两个平面平行的判断判断出①错；利用两个平面垂直的判断判断出②对；利用垂直于同一条直线的直线的位置关系判断出③错；利用两个平面垂直的性质判断出④对．【解答】解：对于①，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，故①错对于②，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直是两个平面垂直的判断定理，故②对对于③，垂直干同一直线的两条直线相互平行、相交或异面，故③错．对于④，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．故④对故答案为：②④．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ）21.【答案】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．【考点】异面直线的判定【解析】根据直线a ，b ，c 的关系，画出图形即可．【解答】∵ a ∩b ＝A ，a ∩c ＝B ，b 和c 异面，∴ 画图表示如下：．22.【答案】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．【考点】异面直线的判定【解析】可知，既不相交也不平行的直线是异面直线，可画出一个正方体，找出几对上面的异面直线即可．【解答】既不相交也不平行的直线是异面直线，如图，在正方体A 1B 1C 1D 1−ABCD 中，AB 和A 1D 1，B 1C 1都构成异面直线，BC 和A 1B 1，C 1D 1→都构成异面直线．23.【答案】证明：∵ E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边AB ，AD ，CB ，CD 上的点， ∴ 由公理一，得EF ⊂平面ABD ，GH ⊂平面CBD ，∵ 面ABD ∩面CBD =BD ，直线EF 和HG 交于点P ，∴ 由公理三得P ∈BD ，∴ 点B ，D ，P 在同一条直线上．．【考点】平面的基本性质及推论【解析】由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，由公理三得P∈BD，由此能证明点B，D，P在同一条直线上．．【解答】证明：∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，AD，CB，CD上的点，∴由公理一，得EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，∵面ABD∩面CBD=BD，直线EF和HG交于点P，∴由公理三得P∈BD，∴点B，D，P在同一条直线上．．24.【答案】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．【考点】平面的基本性质及推论【解析】先设直线l与l外一点P确定一个平面α，再证明直线a⊂平面α，同理得出直线b、c⊂平面α即可．【解答】证明：设直线l与l外一点P确定的平面为α，则P∈平面α，又A∈直线l，∴A∈平面α；又P∈直线a，A∈直线a，∴直线a⊂平面α；同理直线b⊂平面α，直线c⊂平面α，∴直线a、b、c共面．25.【答案】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．【考点】平行公理【解析】根据菱形的定义直接证明即可．【解答】证明：取棱BB1中点为G，连C1G、EG，由正方体性质，侧面ABB1A1为正方形，又E、G分别为边AA1、BB1中点，所以EG=A1B1=C1D1，EG // A1B1 // C1D1，从而四边形EGC1D1为平行四边形，∴D1E // C1G，D1E=C1G，又F、G分别为棱CC1、BB1中点，由侧面CBB1C1为正方形，知四边形BGC1F为平行四边形，所以BF // C1G，BF=C1G，又∴D1E // C1G，D1E=C1G，由平行公理可知D1E=BF，D1E // BF，从而四边形EBFD1为平行四边形．由ABCD−A1B1C1D1为正方体，不妨设其棱长为a，易a知BE=BF=√52而由四边形EBFD1为平行四边形，从而即为菱形．26.【答案】12【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：设AB=a，因为ABCD是正方形，所以AC=√2a.所以CC1⊥AC,CC1⊥BC，所以CC12=AC12−AC2=BC12−BC2，即9−2a2=5−a2，解得a=2.所以CC1=1，因为AD//BC，所以∠CBC1即异面直线BC1与AD所成的角，tan∠CBC1=CC1BC =12.故答案为：12.27.【答案】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）连接BD，设交AC于O，连接EO，便可说明BD1 // OE，由线面平行的判定定理即（2）由上面BD1 // OE即可得到异面直线AE、BD1所成的角为∠AEO，而通过条件可说明OE⊥AC，并且可求出AE，OE，从而根据直角三角形的边角关系cos∠AEO=EOAE，这样即可求出异面直线AE，BD1所成角的余弦值．【解答】解：（1）BD1 // 平面AEC，如图，连结BD交AC于O，则O为BD中点，连结OE；∵E为DD1的中点，∴OE // BD1；∵OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC；∴BD1 // 平面AEC；（2）∵OE // BD1；∴异面直线AE，BD1所成的角为∠AEO；∵AB=BC=√3，CC1=2；∴EA=EC=2，EO=12BD1=√102；∴EO⊥AC；∴Rt△AEO中，cos∠AEO=EOEA =√104；因此，异面直线AE，BD1所成的角的余弦值为√104．28.【答案】【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答29.【答案】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22； 连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角 矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5 设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=2×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35； （2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角 矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘．【考点】异面直线及其所成的角 【解析】（1）根据长方体的性质，可得∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角，在Rt △A ′B ′C ′中，利用三角函数的定义可得cos ∠A ′C ′B ′=√22，即为BC 与A′C′所成角的余弦值．同理可得直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角，结合余弦定理加以计算即可得到A′D 与BC′所成角的余弦值；（2）根据长方体的性质可得AA ′ // BB ′，因此矩形BB ′C ′C 中，∠B ′BC =90∘就是AA′与BC 所成的角；再由AA′ // CC′，得到AA′与CC′所成角为0∘． 【解答】解：（1）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，BC // A′C′∴ ∠A ′C ′B ′就是异面直线BC 与A′C′所成角 Rt △A ′B ′C ′中，A′C′=√42+42=4√2 ∴ cos ∠A ′C ′B ′=B ′C‘A′C′=√22； 连结B ′C ，可得四边形A ′DCB ′是平行四边形，∴ A ′D // CB ′，直线B ′C 与BC ′所成的角就是A′D 与BC′所成的角 矩形BB ′C ′C 中，BC ′=B ′C =√42+22=2√5设A′D 与BC′所成的角为θ，则由余弦定理得cos θ=5+5−162×√5×√5=35综上所述，可得BC 与A′C′，A′D 与BC′所成角的余弦值分别为√22和35；（2）∵ 长方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AA ′ // BB ′ ∴ ∠B ′BC （或其补角）就是AA′与BC 所成的角 矩形BB ′C ′C 中，可得∠B ′BC =90∘；又∵ AA′ // CC′，∴ AA′与CC′所成角为0∘综上所述AA′与BC ，AA′与CC′所成角的大小分别为90∘和0∘． 30.【答案】 （4）． 【考点】空间中平面与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系【解析】根据题意，分析4个命题：（1）由α⊥γ，β⊥γ，得α // β，或α∩β； （2）由m // α，m // β，得α // β，或α∩β；（3）由m // α，n // α，得m // n ，或m ∩n ，或m ，n 异面；（4）由m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质，得m // n ．进而可得答案． 【解答】 解：（1）命题不一定成立，因为α⊥γ，β⊥γ时，α，β可能平行，也可能相交； （2）命题不一定成立，因为m // α，m // β时，α，β可能平行，也可能相交； （3）命题不一定成立，因为m // α，n // α时，直线m ，n 可能平行，也可能相交，也可能异面；（4）命题是正确的，因为m ⊥α，n ⊥α时，由垂直于同一平面的两条直线平行，得m // n ．所以，上述正确的命题只有（4）． 31.【答案】证明：取BD 的中点O ，连接AO ，CO ． ∵ AB =AD ，∴ AO ⊥BD ， ∵ CB =CD ，∴ CO ⊥BD ， 又AO ∩CO =O ， ∴ BD ⊥平面ACO ， AC ⊂平面ACO ，∴BD⊥AC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】取BD的中点O，连接AO，CO．由等腰三角形的三线合一，得到AO⊥BD，CO⊥BD，再由线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACO，运用线面垂直的性质即可得证．【解答】证明：取BD的中点O，连接AO，CO．∵AB=AD，∴AO⊥BD，∵CB=CD，∴CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面ACO，AC⊂平面ACO，∴BD⊥AC．32.【答案】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】利用设a，b确定一个平面α，由已知条件利用公理二能推导出c⊂α，从而这三条直线a，b，c共面于α．【解答】解：如图，三条直线a、b、c两两相交，且交点分别为A、B、C，设a，b确定一个平面α，∵B∈a，C∈a，A∈b，C∈b，∴A∈α，B∈α，又∵A∈c，B∈c，∴c⊂α，∴三条直线a，b，c共面于α．∴这三条直线共面．33.【答案】证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】（1）证明BC ⊥平面SAB ，然后，从而得到BC ⊥SB ；（2）对于EF ⊥SC 的证明，可以先证明SC ⊥平面EF ，然后，很容易得到EF ⊥SC ． 【解答】 证明：（1）∵ SA ⊥面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ SA ⊥BC ，又∵ AB ⊥BC ，SA ∩AB =A ， ∴ BC ⊥平面SAB ， ∵ SB ⊂平面SAB ， ∴ BC ⊥SB ；（2）∵ AF ⊂平面SAB ，BC ⊥平面SAB ， ∴ BC ⊥AF ，∵ AF ⊥SB ，且BC ∩SB =B ， ∴ AF ⊥平面SBC ， ∵ SC ⊂平面SBC ，∴ SC ⊥AF ，又AE ⊥SC ，且AF ∩AE =A ， ∴ SC ⊥平面AEF ， ∴ EF ⊥SC ． 34.【答案】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1． 又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)． 设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】(Ⅰ)欲证MN||平面BCC 1B 1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN 与平面BCC 1B 1内一直线平行即可，而连接BC 1，AC 1．根据中位线定理可知MN||BC 1，又MN ⊄平面BCC 1B 1满足定理所需条件；(Ⅱ)以B 1为原点，A 1B 1为x 轴，B 1B 为y 轴，B 1C 1为z 轴建立空间直角坐标系B 1−xyz ，求出平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)，而n =NM →，根据法向量的意义可知MN ⊥平面A 1B 1C ． 【解答】证明：(Ⅰ)证明：连接BC 1，AC 1．在△ABC 1中，∵ M ，N 是AB ，A 1C 的中点，∴ MN||BC 1． 又∵ MN ⊄平面BCC 1B 1，∴ MN||平面BCC 1B 1．（2）如图，以B 1为原点建立空间直角坐标系B 1−xyz ．则B 1(0, 0, 0)，C(0, 2, 2)，A 1(−2, 0, 0)，M(−1, 0, 2)，N(−1, 1, 1) ∴ B 1C →=(0, 2, 2)，A 1B 1→=(2,0,0)，NM →=(0,−1,1)． 设平面A 1B 1C 的法向量为n ＝(x, y, z)．{n ⋅B 1C →=0n ⋅A 1B 1→=0 ⇒{x =0y =−z令z ＝1，则x ＝0，y ＝−1，∴ n ＝(0, −1, 1)． ∴ n =NM →．∴ MN ⊥平面A 1B 1C ．35.【答案】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】（1）注意到棱BC平行于面A′C′，故过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；（2）易知BE，CF与平面AC的相交，可证EF // 平面AC．【解答】解：（1）过点P作B′C′的平行线，交A′B′、C′D′于点E，F，连结BE，CF；作图如右图，（2）易知BE，CF与平面AC的相交，∵BC // 平面A′C′，又∵平面B′C′CB∩平面A′C′=B′C′，∴BC // B′C′，∴EF // BC，又∵EF⊄平面AC，BC⊂平面AC，∴EF // 平面AC．36.【答案】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，可用反证法给出证明：如图所示，由于a // b，可以经过直线a，b确定一个平面β．由于a∩α=P，可得α∩β=l．可得b与直线l必然相交，否则b // l，得出矛盾．【解答】解：判定b与平面α的位置关系是b∩α=Q，下面给出证明：如图所示，∵a // b，∴可以经过直线a，b确定一个平面β．∵a∩α=P，∴α∩β=l．则b与直线l必然相交，否则b // l，则a // l，与a∩l=P相矛盾．因此b∩l=Q，∴b∩α=Q．37.【答案】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确．【考点】平面的基本性质及推论空间中直线与平面之间的位置关系【解析】利用平面的基本性质判断即可．【解答】解：由平面与平面的基本性质可知，如果两个平面相交，有且仅有结果该点的公共直线，所以如图，在四棱锥P −ABCD 中，有同学说平面PAD ∩平面PBC =P ，这句话不正确． 38.【答案】解：（1）如图所示，取A 1A 4的三等分点p 2，p 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4，的中点N ， 过三点A 2，P 2，M ，作平面α2，过三点A 3，P 3，N 作平面α3，因为A 2P 2 // NP 3，A 3P 3 // MP 2，所以平面α2 // α3，再过点A 1，A 4，分别作平面α1，α4，与平面α3平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次互相平行，由线段A 1A 4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 1A 2A 3A 4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a ，以△A 2A 3A 4的中心O 为坐标原点，以直线A 4O 为y 轴，直线OA 1为Z 轴建立如图所示的右手直角坐标系，则A 1(0, 0, √63a)，A 2(−a 2, √36a, 0)，A 3(a 2, √36a, 0)，A 4(0, −√33a, 0)． 令P 2，P 3为．A 1A 4的三等分点，N 为A 2A 4的中点，有P 3(0, −2√39a, √69a)，N(−a 4, −√312a, 0)，所以P 3N →=(−a 4, 5√336a, −√69a)，NA 3→=(34a, √34a, 0)，A 4N →=(−a 4, √34a, 0)。
专题练 第18练 空间点、直线、平面之间的位置关系
第18练空间点、直线、平面之间的位置关系1．(2019·全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．2．(多选)(2020·全国Ⅱ改编)设有下列四个命题，则下述命题是真命题的是()A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l答案AD解析A是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由基本事实1“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知A为真命题；B是假命题，因为当空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；C是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；D是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．3．(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是()答案 BC解析 设正方体的棱长为2， 对于A ，建系如图(1)，则M (2,0,2)，N (0,2,2)， P (0,2,1)，O (1,1,0)， MN →＝(－2,2,0)， OP →＝(－1,1,1)，MN →·OP →＝(－2)×(－1)＋2×1＋0×1＝4≠0， ∴MN ⊥OP 不成立，故A 错误； 对于B ，建系如图(2)，则M (2,0,0)，N (0,0,2)， P (2,0,1)，O (1,1,0)， MN →＝(－2,0,2)， OP →＝(1，－1,1)， MN →·OP →＝－2＋0＋2＝0， ∴MN ⊥OP ，故B 正确． 同理可知，C 正确，D 错误．4．(2019·全国Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 答案 B解析 取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，如图所示．因为△ECD 为正三角形， 所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ， 所以EO ⊥平面ABCD . 设正方形ABCD 的边长为2， 则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2. 过M 作CD 的垂线，垂足为P ，连接BP ， 则MP ＝32，CP ＝32， 所以BM 2＝MP 2＋BP 2 ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7， 得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ， 因为四边形ABCD 为正方形， 所以N 为BD 的中点， 即EN ，MB 均在平面BDE 内， 所以直线BM ，EN 是相交直线．5．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则( ) A ．平面B 1EF ⊥平面BDD 1 B ．平面B 1EF ⊥平面A 1BD C ．平面B 1EF ∥平面A 1AC D ．平面B 1EF ∥平面A 1C 1D 答案 A解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， AC ⊥BD 且DD 1⊥平面ABCD ， 又EF ⊂平面ABCD ， 所以EF ⊥DD 1，因为E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF ∥AC ，所以EF ⊥BD ，又BD ∩DD 1＝D ，BD ，DD 1⊂平面BDD 1， 所以EF ⊥平面BDD 1， 又EF ⊂平面B 1EF ，所以平面B 1EF ⊥平面BDD 1，故A 正确； 如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则B 1(2,2,2)，E (2,1,0)，F (1，2,0)，B (2,2,0)，A 1(2,0,2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)， C 1(0,2,2)，则EF →＝(－1,1,0)，EB 1―→＝(0,1,2)， DB →＝(2,2,0)，DA 1―→＝(2,0,2)， AA 1―→＝(0,0,2)，AC →＝(－2,2,0)， A 1C 1―→＝(－2,2,0)，设平面B 1EF 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝－x 1＋y 1＝0，m ·EB 1―→＝y 1＋2z 1＝0，可取m ＝(2,2，－1)，同理可得平面A 1BD 的法向量为 n 1＝(1，－1，－1)，平面A 1AC 的法向量为n 2＝(1,1,0)， 平面A 1C 1D 的法向量为n 3＝(1,1，－1)， 则m ·n 1＝2－2＋1＝1≠0，所以平面B 1EF 与平面A 1BD 不垂直，故B 错误； 因为m 与n 2不平行，所以平面B 1EF 与平面A 1AC 不平行，故C 错误；因为m 与n 3不平行，所以平面B 1EF 与平面A 1C 1D 不平行，故D 错误．6．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝1，点P 满足BP →＝λBC →＋μBB 1―→，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( ) A ．当λ＝1时，△AB 1P 的周长为定值 B ．当μ＝1时，三棱锥P －A 1BC 的体积为定值 C ．当λ＝12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BPD ．当μ＝12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P答案 BD解析 BP →＝λBC →＋μBB 1―→(0≤λ≤1，0≤μ≤1)．对于选项A ，当λ＝1时，点P 在棱CC 1上运动，如图1所示，此时△AB 1P 的周长为AB 1＋AP ＋PB 1＝2＋1＋μ2＋1＋(1－μ)2＝2＋1＋μ2＋2－2μ＋μ2，不是定值，A 错误；图1对于选项B ，当μ＝1时，点P 在棱B 1C 1上运动，如图2所示，图2则11P A BC A PBC V V =－－＝13S △PBC ×32＝36S △PBC ＝36×12×1×1＝312，为定值，故B 正确；对于选项C ，取BC 的中点D ，B 1C 1的中点D 1，连接DD 1，A 1B ，则当λ＝12时，点P 在线段DD 1上运动，假设A 1P ⊥BP ，则A 1P 2＋BP 2＝A 1B 2，即⎝⎛⎭⎫322＋(1－μ)2＋⎝⎛⎭⎫122＋μ2＝2，解得μ＝0或μ＝1，所以点P 与点D 或D 1重合时，A 1P ⊥BP ；方法一 对于选项D ，易知四边形ABB 1A 1为正方形，所以A 1B ⊥AB 1，设AB 1与A 1B 交于点K ，连接PK ，要使A 1B ⊥平面AB 1P ，需A 1B ⊥KP ，所以点P 只能是棱CC 1的中点，故选项D 正确．方法二 对于选项D ，分别取BB 1，CC 1的中点E ，F ，连接EF ，则当μ＝12时，点P 在线段EF 上运动，以点C 1为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,1,1)，B 1(0,1,0)，A 1⎝⎛⎭⎫32，12，0，P ⎝⎛⎭⎫0，1－λ，12，所以A 1B ―→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，B 1P ―→＝⎝⎛⎭⎫0，－λ，12，若A 1B ⊥平面AB 1P ，则A 1B ⊥B 1P ，所以－λ2＋12＝0，解得λ＝1，所以只存在一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，此时点P 与F 重合，故D 正确．7．(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠BDC ，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设AB ＝BD ＝2，∠ACB ＝60°，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．(1)证明 因为AD ＝CD ，E 为AC 的中点，所以AC ⊥DE . 在△ADB 和△CDB 中，因为AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ， DB ＝DB ，所以△ADB ≌△CDB ，所以AB ＝BC .因为E 为AC 的中点，所以AC ⊥BE . 又BE ∩DE ＝E ，BE ，DE ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BED ， 又AC ⊂平面ACD ， 所以平面BED ⊥平面ACD . (2)解 由(1)可知AB ＝BC ， 又∠ACB ＝60°，AB ＝2，所以△ABC 为边长为2的正三角形， 则AC ＝2，BE ＝3，AE ＝1. 因为AD ＝CD ，AD ⊥CD ， 所以△ADC 为等腰直角三角形， 所以DE ＝1.所以DE 2＋BE 2＝BD 2，则DE ⊥BE . 由(1)可知，AC ⊥平面BED . 连接EF ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC ⊥EF ，当△AFC 的面积最小时，点F 到直线AC 的距离最小， 即EF 的长度最小．在Rt △BED 中，当EF 的长度最小时， EF ⊥BD ，EF ＝DE ·BE BD ＝32.方法一 由(1)可知，DE ⊥AC ，BE ⊥AC ， 所以EA ，EB ，ED 两两垂直，以E 为坐标原点，EA ，EB ，ED 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，D (0,0,1)，C (－1,0,0)，AB →＝(－1，3，0)，DB →＝(0，3，－1)． 易得DF ＝12，FB ＝32，所以3DF →＝FB →.设F (0，y ，z )，则DF →＝(0，y ，z －1)， FB →＝(0，3－y ，－z )，所以3(0，y ，z －1)＝(0，3－y ，－z )， 得y ＝34，z ＝34， 即F ⎝⎛⎭⎫0，34，34， 所以CF →＝⎝⎛⎭⎫1，34，34.设平面ABD 的法向量为 n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x 1＋3y 1＝0，n ·DB →＝3y 1－z 1＝0，不妨取y 1＝1，则x 1＝3，z 1＝3， n ＝(3，1，3)．记CF 与平面ABD 所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈CF →，n 〉|＝|CF →·n ||CF →|·|n |＝437.方法二 因为E 为AC 的中点，所以点C 到平面ABD 的距离等于点E 到平面ABD 的距离的2倍．因为DE ⊥AC ，DE ⊥BE ，AC ∩BE ＝E ，AC ，BE ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .因为V D －AEB ＝V E －ADB ，所以13·12AE ·BE ·DE ＝13·S △ABD ·d 2，其中d 为点C 到平面ABD 的距离．在△ABD 中，BA ＝BD ＝2，AD ＝2， 所以S △ABD ＝72， 所以d ＝2217.因为AC ⊥平面BED ，EF ⊂平面BED ， 所以AC ⊥EF ， 所以FC ＝FE 2＋EC 2＝72. 记CF 与平面ABD 所成的角为α， 则sin α＝d CF ＝437.方法三 如图，过点E 作EM ⊥AB 交AB 于点M ，连接DM ，过点E 作EG ⊥DM 交DM 于点G .因为DE ⊥AC ，DE ⊥BE ，AC ∩BE ＝E ，AC ，BE ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥AB ，又EM ∩DE ＝E ，EM ，DE ⊂平面DEM ， 所以AB ⊥平面DEM ，又EG ⊂平面DEM ，所以AB ⊥EG ， 又AB ∩DM ＝M ，AB ，DM ⊂平面ABD ，所以EG ⊥平面ABD ，则EG 的长度等于点E 到平面ABD 的距离． 因为E 为AC 的中点，所以EG 的长度等于点C 到平面ABD 的距离的12.因为EM ＝AE ·sin 60°＝32，所以EG ＝DE ·EMDM＝DE ·EMDE 2＋EM 2＝217， 所以点C 到平面ABD 的距离d ＝2217.FC ＝FE 2＋EC 2＝72. 记CF 与平面ABD 所成的角为α， 则sin α＝d CF ＝437.8．(2021·新高考全国Ⅰ)如图，在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，O 为BD 的中点．(1)证明：OA ⊥CD ；(2)若△OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，DE ＝2EA ，且二面角E －BC －D 的大小为45°，求三棱锥A －BCD 的体积．(1)证明 因为AB ＝AD ，O 为BD 的中点，所以OA ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ，所以AO ⊥CD .(2)解 方法一 因为△OCD 是边长为1的正三角形，且O 为BD 的中点，所以OC ＝OB ＝OD ＝1，所以△BCD 是直角三角形，且∠BCD ＝90°，BC ＝3，所以S △BCD ＝32. 如图，过点E 作EF ∥AO ，交BD 于F ，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G ，连接EG .因为AO ⊥平面BCD ， 所以EF ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，所以EF ⊥BC ，又FG ⊥BC ，且EF ∩FG ＝F ，EF ，FG ⊂平面EFG ， 所以BC ⊥平面EFG ，则∠EGF 为二面角E －BC －D 的平面角， 所以∠EGF ＝45°，则GF ＝EF .因为DE ＝2EA ，所以EF ＝23OA ，DF ＝2OF ，所以BFFD＝2.因为FG ⊥BC ，CD ⊥BC ，所以GF ∥CD ， 则GF CD ＝23，所以GF ＝23. 所以EF ＝GF ＝23，所以OA ＝1，所以V A －BCD ＝13S △BCD ·AO ＝13×32×1＝36.方法二 如图所示，以O 为坐标原点，OB ，OA 所在直线分别为x ，z 轴，在平面BCD 内，以过点O 且与BD 垂直的直线为y 轴建立空间直角坐标系．因为△OCD 是边长为1的正三角形，且O 为BD 的中点， 所以OC ＝OB ＝OD ＝1，所以B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，0.设A (0,0，a )，a >0，因为DE ＝2EA ，所以E ⎝⎛⎭⎫－13，0，2a 3. 由题意可知平面BCD 的法向量可取n ＝(0,0,1)． 设平面BCE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 因为BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，BE →＝⎝⎛⎭⎫－43，0，2a 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BE →＝0，即⎩⎨⎧－32x ＋32y ＝0，－43x ＋2a 3z ＝0，令x ＝1，则y ＝3，z ＝2a ，所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，3，2a . 因为二面角E －BC －D 的大小为45°， 所以cos 45°＝⎪⎪⎪⎪m ·n |m ||n |＝2a 4＋4a 2＝22， 得a ＝1，即OA ＝1，因为S △BCD ＝12BD ·CD sin 60°＝12×2×1×32＝32， 所以V A －BCD ＝13S △BCD ·OA ＝13×32×1＝36.9．(2022·咸阳模拟)已知m ，n 是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，下列说法正确的是( )A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ⊥nC ．若α∥β，γ∥β，则γ∥αD ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α 答案 C解析 垂直于同一个平面的两个平面可以平行或相交，故A 错误； 垂直于同一个平面的两条直线平行，故B 错误； 若α∥β，γ∥β，则γ∥α，故C 正确；若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或m ⊂α，故D 错误．10．(多选)(2022·重庆模拟)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，P 是棱CC 1的中点，以下说法正确的是( )A ．过点P 有且只有一条直线与直线AB ，A 1D 1都相交 B ．过点P 有且只有一条直线与直线AB ，A 1D 1都平行C ．过点P 有且只有一条直线与直线AB ，A 1D 1都垂直 D ．过点P 有且只有一条直线与直线AB ，A 1D 1所成角均为45° 答案 AC解析 过点P 与直线AB 相交的直线必在平面P AB 内，过点P 与直线A 1D 1相交的直线必在平面P A 1D 1内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A 正确；若存在一条直线与AB ，A 1D 1都平行，则AB ∥A 1D 1，矛盾，B 不正确； 因为A 1D 1∥AD ，若l ⊥A 1D 1则l ⊥AD ，若l ⊥AB ，则l ⊥平面ABCD ， 显然满足条件的直线唯一，即CC 1，C 正确；取BB 1，DD 1的中点E ，F ，连接PE ，PF ，如图，则PE ∥A 1D 1，PF ∥AB ，若l 与直线AB ，A 1D 1所成角为45°，则l 与PE ，PF 所成角为45°， 显然∠EPF 的角平分线及其外角平分线均符合题意，D 不正确．11．(多选)(2022·怀仁模拟)将正方形ABCD 沿对角线BD 翻折，使平面ABD 与平面BCD 的夹角为90°，则下列四个结论中正确的是( ) A ．AC ⊥BDB ．△ACD 是等边三角形C ．直线AB 与平面BCD 所成的角为π3D ．AB 与CD 所成的角为π3答案 ABD解析 如图，取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，∵AE ∩CE ＝E ，AE ，CE ⊂平面AEC ， ∴BD ⊥平面ACE ， ∵AC ⊂平面ACE ， ∴BD ⊥AC ，故A 正确； 设折叠前正方形的边长为2， 则BD ＝22，AE ＝CE ＝2，∵平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AE ⊥BD ，AE ⊂平面ABD ， ∴AE ⊥平面BCD ， ∴AE ⊥CE ， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝2＝AD ＝CD ，即△ACD 是等边三角形，故B 正确； ∵AE ⊥平面BCD ，∴AB 与平面BCD 所成角是∠ABE ＝π4，故C 错误；取BC 的中点F ，AC 的中点G ，连接EF ，FG ，EG ， 则EF ∥CD ，FG ∥AB ，∴∠EFG 为异面直线AB ，CD 所成的角， ∵EF ＝12CD ＝1，FG ＝12AB ＝1，EG ＝12AC ＝1，∴△EFG 是等边三角形， 则∠EFG ＝π3，故D 正确．12．(多选)(2022·重庆质检)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 在线段BC 1(不包含端点)上运动，则下列结论正确的是( )A ．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1外接球的表面积为48π B ．异面直线A 1M 与AD 1所成角的取值范围是⎝⎛⎦⎤π3，π2 C ．直线A 1M ∥平面ACD 1D ．三棱锥D 1－AMC 的体积随着点M 的运动而变化 答案 BC解析 正方体体对角线长为23，即该正方体外接球直径为23，因此外接球的半径为r ＝3，外接球的表面积为S ＝4πr 2＝12π，因此A 错误；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB 与C 1D 1平行且相等，则四边形ABC 1D 1是平行四边形，AD 1∥BC 1，又△A 1BC 1是正三角形，A 1M 与BC 1的夹角(锐角或直角)的范围是⎝⎛⎦⎤π3，π2，因此B 正确；由B 知BC 1∥AD 1，而BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1， 所以BC 1∥平面ACD 1， 同理A 1B ∥平面ACD 1，又A 1B ∩BC 1＝B ，A 1B ，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以平面A 1BC 1∥平面ACD 1，而A 1M ⊂平面A 1BC 1， 所以A 1M ∥平面ACD 1，因此C 正确； 由BC 1∥平面ACD 1，因此随着点M 的运动，点M 到平面ACD 1的距离不变， 又△ACD 1的面积为定值，所以11D AMC M ACD V V =－－不变，因此D 错误．13．(2022·西安模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面四边形BCC 1B 1内(不含边界)一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫322，5 解析 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，分别取棱B 1C 1，BB 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MN ，A 1N ，ME ，BC 1，如图，因为点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，则MN ∥BC 1∥EF ，EF ⊂平面AEF ，MN ⊄平面AEF ， 则有MN ∥平面AEF ，显然四边形BEMB 1为矩形，有ME ∥BB 1∥AA 1，ME ＝BB 1＝AA 1， 即有四边形AEMA 1为平行四边形，则A 1M ∥AE ，而AE ⊂平面AEF ，A 1M ⊄平面AEF ，有A 1M ∥平面AEF ， 又A 1M ∩MN ＝M ，A 1M ，MN ⊂平面A 1MN ， 因此，平面A 1MN ∥平面AEF ， 因为A 1P ∥平面AEF ， 则有A 1P ⊂平面A 1MN ，又点P 在平面BCC 1B 1上，平面A 1MN ∩平面BCC 1B 1＝MN ， 从而得点P 在线段MN 上(不含端点)， 在△A 1MN 中，A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝2， 等腰△A 1MN 底边MN 上的高 h ＝A 1M 2－⎝⎛⎭⎫12MN 2＝322，于是得322≤A 1P <5，所以线段A 1P 长度的取值范围是⎣⎡⎭⎫322，5. 14．(2022·南昌模拟)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，点E 是棱PD 上一点，PE ＝3ED ，若PF →＝λPC →且满足BF ∥平面ACE ，则λ＝________.答案 23解析 如图，连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，则BO ＝OD ，在线段PE 上取一点G 使得GE ＝ED ， 则PG PE ＝23. 连接BG ，FG ，则BG ∥OE ，又因为OE ⊂平面ACE ，BG ⊄平面ACE ， 所以BG ∥平面ACE .因为BF ∥平面ACE 且满足BG ∩BF ＝B ， 故平面BGF ∥平面ACE .因为平面PCD ∩平面BGF ＝GF ，平面PCD ∩平面ACE ＝EC ，则GF ∥EC . 所以PF PC ＝PG PE ＝23，即λ＝23.15．(2022·黄山检测)在矩形ABCD 所在平面α的同一侧取两点E ，F ，使DE ⊥α且AF ⊥α，若AB ＝AF ＝3，AD ＝4，DE ＝1.(1)求证：AD ⊥BF ；(2)取BF 的中点G ，求证DF ∥平面AGC ； (3)求多面体ABF －DCE 的体积． (1)证明 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ⊥AB ，又∵AF ⊥α，∴AF ⊥AD ，又AF ∩AB ＝A ，AF ，AB ⊂平面ABF ， ∴AD ⊥平面ABF ，又∵BF ⊂平面ABF ，∴AD ⊥BF .(2)证明 连接BD 交AC 于点O ，连接OG (图略)， 则OG 是△BDF 的中位线，OG ∥DF ， ∵OG ⊂平面AGC ，DF ⊄平面AGC ， ∴DF ∥平面AGC .(3)解 V ABF －DCE ＝V F －ABCD ＋V E －FCD ＝V F －ABCD ＋V F －ECD＝13×3×4×3＋13×12×3×1×4＝14. 16．(2022·西宁模拟)如图，AB 是圆O 的直径，P A ⊥圆O 所在的平面，C 为圆周上一点，D 为线段PC 的中点，∠CBA ＝30°，AB ＝2P A .(1)证明：平面ABD ⊥平面PBC ；(2)若G 为AD 的中点，AB ＝4，求点P 到平面BCG 的距离． (1)证明 因为P A ⊥圆O 所在的平面， 即P A ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC ， 因为AB 是圆O 的直径，C 为圆周上一点，所以AC ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC ，而AD ⊂平面P AC ， 则BC ⊥AD ，因为AC ⊥BC ，∠CBA ＝30°， 所以AB ＝2AC ，又AB ＝2P A ，所以P A ＝AC ，又D 为线段PC 的中点，所以AD ⊥PC ， 又PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ⊥平面PBC ，而AD ⊂平面ABD ， 故平面ABD ⊥平面PBC .(2)解 由(1)得P A ＝AC ，BC ⊥平面P AC ，CG ⊂平面P AC ，则BC ⊥CG ，BC ⊥平面PCG ， 由题可知，G 为AD 的中点，AB ＝4， 则P A ＝AC ＝2，所以BC ＝23，PC ＝22，AD ＝2， DG ＝22，CG ＝⎝⎛⎭⎫222＋(2)2＝102，由于三棱锥P －BCG 的体积等于三棱锥B －PCG 的体积， 而S △BCG ＝12BC ·CG ＝12×23×102＝302，S △PCG ＝12PC ·DG ＝12×22×22＝1，由于BC ⊥平面PCG ，则点B 到平面PCG 的距离为BC ＝23， 设点P 到平面BCG 的距离为d ， 由V P －BCG ＝V B －PCG ， 得13S △BCG ·d ＝13S △PCG ·BC ，则1 3×302d＝13×1×23，解得d＝2105，所以点P到平面BCG的距离为2105.[考情分析]高考必考内容，主要以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择题、填空题的形式出现，题目难度较小，或者以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并与空间角的计算综合命题．一、空间直线、平面位置关系的判定核心提炼1．判断与空间位置关系有关的命题的方法：借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．2．两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．(2)当从正面入手较难时，可先假设结论成立，然后推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．练后反馈题目23410正误错题整理：二、空间平行、垂直关系核心提炼1．直线、平面平行的判定定理及其性质定理(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定定理及其性质定理(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.练后反馈题目1591415正误错题整理：三、空间直线、平面位置关系中的综合问题核心提炼1．处理空间点、直线、平面的综合问题，要认真审题，并仔细观察所给的图形，利用空间直线、平面平行与垂直的判定定理和性质定理求解．2．解决与折叠有关的问题的关键是弄清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．练后反馈题目67811121316正误错题整理：1．[T3补偿](2022·北京模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()答案 C解析如图1，因为M，N，Q为所在棱的中点，故由正方体的性质易得BB1⊥AB，CD⊥AB，MQ∥CD，MN∥BB1，所以MQ⊥AB，MN⊥AB，由于MQ∩MN＝M，MQ，MN⊂平面MNQ，故AB⊥平面MNQ，故A不符合题意；如图2，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以MN∥CD，MQ∥A1C，由正方体的性质得AB1⊥CD，CD⊥BB1，AB1∩BB1＝B1，AB1，BB1⊂平面ABB1，所以CD⊥平面ABB1，故CD⊥AB，所以MN⊥AB，同理得MQ⊥AB，MN∩MQ＝M，MQ，MN⊂平面MNQ，故AB⊥平面MNQ，故B不符合题意；如图3，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以MN∥A1B1，AC∥A1B1，，又在△ABC中，AB与AC的夹角为π3，故异面直线MN与AB所成的角为π3故AB⊥平面MNQ不成立，故C符合题意；D选项同A选项，可判断AB⊥平面MNQ.2．[T4补偿](2022·湖南师大附中模拟)已知E，F，G，H分别是三棱锥A－BCD的棱AB，AD，CD，CB上的点(不是顶点)，则下列说法正确的是()A．若直线EF，HG相交，则交点一定在直线BD上B．若直线EF，HG相交，则交点一定在直线AC上C．若直线EF，HG异面，则直线EF，HG中必有一条与直线BD平行D．若直线EF，HG异面，则直线EF，HG与直线BD分别相交答案 A解析若直线EF，HG相交，设EF∩GH＝P，则P∈EF，P∈GH，又EF⊂平面ABD，GH⊂平面BDC，所以P是平面ABD与平面CBD的公共点，则必在其交线BD上，即P∈BD，A正确，B错误；如图所示的情况满足EF，HG异面，但EF，HG均与BD相交，故C错误；当EF∥BD，且HG∩BD＝P时，EF与HG异面，但EF与BD不相交，故D错误．3．[T5补偿](多选)(2022·安庆模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，P，Q，R分别为棱AD，A1B1，CC1的中点，则下列结论正确的是()A．AB∥平面PQRB．AC∥平面PQRC．BP⊥QRD．BD1⊥平面PQR答案BCD解析取DC，B1C1，A1A的中点分别为L，M，N，连接LR，LP，RM，QM，QN，NP，由己知平面PQR 即截面PLRMQN 所在平面，其顶点分别为所在棱的中点， 在△ACD 中，PL 为中位线，则AC ∥PL ，AC ⊄平面PQR ，PL ⊂平面PQR ， 故AC ∥平面PQR ，三棱锥B －PQR 为正三棱锥，故BP ⊥QR . 因为AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，BD ∩DD 1＝D ， 所以AC ⊥平面BDD 1，又BD 1⊂平面BDD 1，则AC ⊥BD 1. 所以BD 1⊥PL ，同理可得BD 1⊥RL ，PL ，RL ⊂平面PQR ， 即可证得BD 1⊥平面PQR .4．[T12补偿](多选)(2022·太原模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E 是棱DD 1上的动点，则下列说法不正确的是( )A ．当E 为DD 1的中点时，直线B 1E ∥平面A 1BD B ．三棱锥C 1－B 1CE 的体积为定值13a 3C ．当E 为DD 1的中点时，B 1E ⊥BD 1D ．当E 为DD 1的中点时，直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角正切值为255答案 ABC解析 因为B 1E ⊂平面BDEB 1，平面BDEB 1∩平面A 1BD ＝BD ，若直线B 1E ∥平面A 1BD ， 则由线面平行的性质可知，B 1E ∥BD ，但是B 1E 与BD 不平行，故A 错误；VC 1－B 1CE ＝VE －B 1CC 1＝13⎝⎛⎭⎫12a 2·a ＝16a 3，故B 错误； 如图所示，当E 为DD 1的中点时，连接BD 1交DB 1于点O ，若B 1E ⊥BD 1，设垂足为F ， 根据题意得BB 1＝a ，D 1B 1＝2a ， 因为BB 1<D 1B 1，所以过点B 1作D 1B 的垂线，垂足必在OB 上且除去两个端点，而点F 不在OB 上， 所以B 1E 和BD 1不垂直，故C 错误； 因为B 1C 1⊥平面CDD 1C 1，所以直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角为∠C 1EB 1， EC 1＝a 2＋a 24＝52a ， tan ∠C 1EB 1＝B 1C 1EC 1＝255，故D 正确．5．[T16补偿](2022·兰州模拟)如图1，在正方形ABCD 中，DM ＝12MA ＝1，CN ＝12NB ＝1，将四边形CDMN 沿MN 折起到四边形PQMN 的位置，使得∠QMA ＝60°(如图2)．(1)证明：平面MNPQ ⊥平面ABPQ ；(2)若E ，F 分别为AM ，BN 的中点，求三棱锥F －QEB 的体积． (1)证明 ∵在正方形ABCD 中， DM ＝12MA ＝1，CN ＝12NB ＝1，∴QM ⊥QP ，QM ＝1，AM ＝2， 又∵∠AMQ ＝60°，∴在△AMQ 中，由余弦定理得 AQ 2＝AM 2＋QM 2－2AM ·QM ·cos ∠AMQ ＝4＋1－2×2×1×12＝3，∴AQ 2＋QM 2＝AM 2， ∴AQ ⊥QM ，又∵AQ ∩QP ＝Q ，AQ ，QP ⊂平面ABPQ ， ∴QM ⊥平面ABPQ ， 又∵QM ⊂平面MNPQ ， ∴平面MNPQ ⊥平面ABPQ .(2)解 由(1)知AQ ⊥QM ，QM ⊥QP ， ∵在正方形ABCD 中，DM ＝12MA ＝1，CN ＝12NB ＝1，∴四边形CDMN 为矩形， ∴MN ⊥AM ，MN ⊥DM ， ∴MN ⊥MQ ，MN ⊥MA ，∵MQ ∩MA ＝M ，MQ ，MA ⊂平面AMQ ， ∴MN ⊥平面AMQ ， ∵MN ⊂平面ABNM ， ∴平面ABNM ⊥平面AMQ ， 如图，过点Q 作QH ⊥AM 于H ，则QH ⊥平面ABNM ， 即QH ⊥平面BEF ，QH ＝QM sin 60°＝32， ∴V F －QEB ＝V Q －BEF ＝13·S △BEF ·QH＝13×⎝⎛⎭⎫12×3×1×32＝34.。
高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题(含答案)
高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是( )A.相交B.异面C.平行D.异面或相交2.下列命题正确的是( )A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面C.直线与平面所成的角的取值范围是:0°<θ≤180°D.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ<90°3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是( )A.平行B.相交词C.平行或相交D.不相交4.设a,b是空间两条垂直的直线,且b∥平面α,则在“a∥α”“a α”“a∩α”这三种情况中,能够出现的情况有( )A.0个B.1个C.2个D.3个5.已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是( )A.平行B.垂直C.斜交D.不能确定6.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥β[来C.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l7.BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC于D点,则图中共有直角三角形的个数是( )A.8个B.7个C.6个D.5个8.以下说法中,正确的个数为( )①已知直线a,b和平面α.若a∥b,a∥α,则b∥α;②已知直线a,b,c和平面α.a是斜线,与平面α相交,b是射影所在直线,c α,且c⊥b,则c⊥a;③三个平面两两相交,且它们的交线各不相同,则这三条交线互相平行;④已知平面α,β,若α∩β=a,b⊥a,则b⊥α或b⊥β.A.1个B.2个C.3个D.4个9.已知点O为正方体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列结论正确的是( )A.直线OA1⊥平面AB1C1B.直线OA1∥平面CB1D1C.直线OA1⊥直线ADD.直线OA1∥直线BD110.某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )A.4B.C.D.611.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD= ( )A.2B.C.D.112.如图所示,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE ⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的( )二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=,则异面直线A1B1与BD1所成的角大小等于.14.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,PA垂直于☉O所在的平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,因此, ⊥平面PBC.(填图中的一条直线)15.四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,AC与BD相交于点O,且SO⊥平面ABCD,若四棱锥S-ABCD的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于.16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时,S为四边形;②当CQ=时,S为等腰梯形;③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;④当<CQ<1时,S为六边形;⑤当CQ=1时,S的面积为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点,求证:CE,D1F,DA三线交于一点.18.(12分)如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=2,P为SB的中点.(1)求证:SA∥平面PCD.(2)求异面直线SA与PD所成角的正切值.19.(12分)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.20.(12分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF∥平面ABC1D1 .(2)求证:EF⊥B1C.(3)求三棱锥B1-EFC的体积.21.(12分)(能力挑战题)在正三棱柱ABC-A1B1C1(底面三角形ABC是正三角形的直棱柱)中,点D,E分别是BC,B1C1的中点,BC1∩B1D=F,BC1⊥B1D.求证:(1)平面A1EC∥平面AB1D.(2)平面A1BC1⊥平面AB1D.22.(12分)(能力挑战题)如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥平面EAB?请证明你的结论.(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.高中数学《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题参考答案1.【解析】选D.根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交,但不可能平行.2.【解析】选B.A.错误.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,并不意味着和平面内的任意直线垂直,所以此直线与平面不一定垂直.B.正确.由线面垂直的性质定理可知,两条异面直线不能同时垂直于一个平面.C.错误.直线与平面所成的角的取值范围是:0°≤θ≤90°.D.错误.两异面直线所成的角的取值范围是:0°<θ≤90°.3.【解析】选A.因为棱柱的侧棱是互相平行的,所以由直线与平面平行的判定定理可知,侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行.4.【解析】选D.如图正方体中,b∥平面α,直线a是在直线b的垂面内的任意直线(与b异面).由图可知,“a∥α”“a α”“a∩α”三种情况都有可能.5.【解析】选B.根据线面平行的性质,在已知平面内可以作出两条相交直线与已知两条异面直线分别平行.因此,一直线与两异面直线都垂直,一定与这个平面垂直.6.【解析】选D.因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作m′∥m,n′∥n,则l⊥m′,l⊥n′,即l垂直于m′与n′确定的平面γ,又m⊥平面α,n⊥平面β,所以m′⊥平面α,n′⊥平面β,所以平面γ既垂直于平面α,又垂直于平面β,所以α与β相交,且交线垂直于平面γ,故交线平行于l,故选D.7.【解析】选A.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,因为PD⊥BC,PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD,所以AD⊥BC,图中直角三角形有△PAC,△PAD,△PAB,△ABC,△PDC,△PDB,△ADC,△ADB,共8个.8.【解析】选A.①错误.直线b的位置不确定,直线b可以在α内,也可以平行于α.②正确.c同时垂直于斜线和射影.③错误.例如,长方体同一顶点的三个面.④错误.没有说明b是否在平面α或β内,则b可以在这两个平面外.9.【解析】选B.可证平面A1BD∥平面CB1D1.10.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形,两底面边长和高分别为1,2,2, V棱台=(S上+S下+)h=(1+4+)×2=.11.【解析】选C.根据题意,直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,可得AC⊥平面β,则AC⊥CB,△ACB为直角三角形,且AB=2,AC=1,由勾股定理可得,BC=;在Rt△BCD中,BC=,BD=1,由勾股定理可得,CD=.12.【解析】选A.如图所示,连接BD与AC相交于点O,连接SO,取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG,因为E,F分别是BC,SC的中点,所以EF∥SB,EF⊄平面SBD,SB 平面SBD,所以EF∥平面SBD,同理可证EG∥平面SBD,又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面SBD,由题意得SO⊥平面ABCD,AC⊥SO,因为AC⊥BD,又SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥平面EFG,所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.【变式备选】如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个结论:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的结论的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.①正确.易证BC 1∥平面ACD 1,所以点P 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动时,点P 到平面ACD 1的距离不变.又因为11A D PC P ACD V V ,--=所以三棱锥A-D 1PC 的体积不变.②正确.易证平面A 1BC 1∥平面ACD 1,所以A 1P ∥平面ACD 1;③错误.因为DB=DC 1,所以当点P 是BC 1的中点时,DP ⊥BC 1;④正确.因为B 1D ⊥平面ACD 1,所以平面PDB 1⊥平面ACD 113.【解析】因为A 1B 1∥AB,所以∠ABD 1是异面直线A 1B 1与BD 1所成的角,在Rt △ABD 1中,∠BAD 1=90°,AB=1,AD 1===, 所以tan ∠ABD 1==,所以∠ABD 1=60°.答案:60°14.【解析】因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,所以BC⊥AC,因为PA垂直于☉O所在的平面,所以BC⊥PA,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,又AF 平面PAC,所以AF⊥BC,又AF⊥PC,BC∩PC=C,所以AF⊥平面PBC.答案:AF15.【解析】取BC的中点E,连接OE,SE,因为OB=OC,所以OE⊥BC,因为SO⊥平面ABCD,所以SO⊥BC,所以BC⊥平面SOE,所以∠SEO是侧面SBC与底面ABCD所成的二面角,因为正方形ABCD的对角线长为2,所以正方形ABCD的边长为2,OE=,由题意得×(2)2×SO=12,所以SO=3,所以tan∠SEO===,所以∠SEO=60°.答案:60°16.【解析】(1)当0<CQ<时,截面如图1所示,截面是四边形APQM,故①正确.(2)当CQ=时,截面如图2所示,易知PQ∥AD1且PQ=AD1,S是等腰梯形,故②正确.(3)当CQ=时,截面如图3所示,易得C1R=,截面是五边形,故③正确.(4)当<CQ<1时,如图4是五边形,故④不正确.(5)当CQ=1时,截面是边长相等的菱形如图5所示,由勾股定理易求得AC1=,MP=,故其面积为S=×AC1×MP=,故⑤正确.答案:①②③⑤17.【解题指南】可证D1F与CE的交点P在直线AD上.【证明】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF∥A1B,EF=A1B,又因为A1B∥D1C,所以EF∥D1C,所以E,F,D1,C四点共面,且EF=D1C,设D1F与CE相交于点P.又D1F⊂平面A1D1DA,CE⊂平面ABCD,所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点, 又平面A1D1DA∩平面ABCD=DA,根据公理3可得P∈DA,即CE,D1F,DA三线交于一点.18.【解析】(1)连接PO,因为P,O分别为SB,AB的中点,所以PO∥SA, 因为PO⊂平面PCD,SA⊄平面PCD,所以SA∥平面PCD.(2)因为PO∥SA,所以∠DPO为异面直线SA与PD所成的角,因为AB⊥CD,SO⊥CD,AB∩SO=O,所以CD⊥平面SOB.因为PO⊂平面SOB,所以OD⊥PO,在Rt△DOP中,OD=2,O P=SA=SB=,所以tan∠DPO===,所以异面直线SA与PD所成角的正切值为.19.【证明】(1)由AB是圆的直径,得AC⊥BC;由PA垂直于圆所在的平面,得PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC,得PA⊥BC. 又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO.由G为△AOC的重心,知M为AC的中点,由Q为PA的中点,得QM∥PC,又因为QM⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,所以QM∥平面PBC.又由O为AB的中点,得OM∥BC.同理可证,OM∥平面PBC.因为QM∩OM=M,QM⊂平面QMO,OM⊂平面QMO,所以,据面面平行的判定定理得,平面QMO∥平面PBC.又QG⊂平面QMO,故QG∥平面PBC.20.【解析】(1)连接BD1,在△DD1B中,E,F分别为D1D,DB的中点,则EF∥D1B,因为EF∥D1B,D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,所以EF∥平面ABC1D1.(2)因为B1C⊥AB,B1C⊥BC1,AB,BC1⊂平面ABC1D1,AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,又B D1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1,又因为EF∥BD1,所以EF⊥B1C.(3)因为CF⊥平面BDD1B1,所以CF⊥平面EFB1且CF=BF=,因为EF=BD1=,B 1F===,B 1E===3,所以EF 2+B 1F 2=B 1E 2,即∠EFB 1=90°, 所以111B EFC C B EF B EF 1V V S CF 3--===×·EF ·B 1F ·CF=××××=1. 21.【证明】(1)因为点D,E 分别是BC,B 1C 1的中点,所以A 1E ∥AD,EC ∥B 1D,故A 1E ∥平面AB 1D,EC ∥平面AB 1D,又A 1E ∩EC=E,所以平面A 1EC ∥平面AB 1D.(2)因为△ABC 是正三角形,点D 是BC 的中点,所以AD ⊥BC,又因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1,所以AD ⊥平面BCC 1B 1,所以AD ⊥BC 1,又BC 1⊥B 1D,AD ∩B 1D=D,从而BC 1⊥平面AB 1D.又BC 1⊂平面A 1BC 1,所以平面A 1BC 1⊥平面AB 1D.22.【解题指南】(1)通过线面平行的判定定理,利用平行四边形的性质作辅助线来证明.。
第二章点、直线、平面之间的位置关系综合检测-附答案
第二章综合检测题时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l()A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，n ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β10．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，那么直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A ．－45 B. .35C .34D ．－3511．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的余弦值为( ) A.33 B.13 C ．0 D ．－1212．如图所示，点P 在正方形ABCD 所在平面外，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ，则PB 与AC 所成的角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD ＝________.16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.[分析]本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D DC1的值．21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.[分析](1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b ∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D[解析]选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a ∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.9[答案] C[解析]如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ⇒AC ⊥m ；AB ∥l ⇒AB ∥β.10[答案] 35 命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．[解析] 首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD 1即为 异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到5＝DF ＝D 1F ，DD 1＝2，结合余弦定理得到结论．11[答案] C[解析] 取BC 中点E ，连AE 、DE ，可证BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴∠AED 为二面角A －BC －D 的平面角又AE ＝ED ＝2，AD ＝2，∴∠AED ＝90°，故选C.12[答案] B[解析] 将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显见PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°.13[答案] α∩β＝AB14[答案] 45°[解析] 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由于BC ⊥AB ，BC 1⊥AB ，则∠C 1BC 是二面角C 1－AB －C 的平面角．又△BCC 1是等腰直角三角形，则∠C 1BC ＝45°.15[答案] 9[解析] 如下图所示，连接AC ，BD ，则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD .∵α∥β，∴AC ∥BD ，则AS SB ＝CS SD ，∴86＝12SD ，解得SD ＝9.16[答案] ①②④[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确．17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1⊂平面AB 1F 1，∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.18[解析](1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD .而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BF PB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM .(2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角．∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°. ∴二面角P －AM －D 的大小为45°. 20[解析](1)因为侧面BCC 1B 1是菱形，所以B 1C ⊥BC 1，又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1 .(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面 B 1CD 的交线．因为A 1B ∥平面B 1CD ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，平面A 1BC 1∩平面B 1CD ＝DE ，所以A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点．即A 1D DC 1＝1.21[解] (1)证明：连接AE ，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1.∵BC 1⊂平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.(3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.。
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点、直线、平面之间的位置关系测试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列命题正确的是 A ． 经过三点确定一个平面.
B ． 经过一条直线和一个点确定一个平面.
C ． 四边形确定一个平面.
D ． 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面. 2. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是
A.平行
B. 相交
C. 异面
D. A 、B 、C 均有可能 3. 异面直线是指
A. 不同在一个平面内的两条直线
B. 无交点，不共面的两条直线
C. 分别在两个平面内的两条直线
D. 平面内的一条直线与平面外的一条直线
4. 经过空间一点P 作与直线a 成45°角的直线有
A ．0条 B. 1条 C. 有限条 D. 无数条 5. 如果直线a ∥平面α,那么直线a 与平面α内的
A. 一条直线不相交
B. 两条直线不相交
C. 无数条直线不相交
D. 任意一条直线不相交 6. 两直线a 与b 异面,过a 作平面与b 平行,这样的平面 A. 不存在 B. 有唯一的一个 C. 无数个 D. 只有两个
7. 已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 A. a ⊥α且a ⊥β B. α⊥γ且β⊥γ
C. a ⊂α，b ⊂β，a ∥b
D. a ⊂α，b ⊂α，a ∥β，b ∥β 8. 若直线a 与平面α不垂直,那么在平面α内与直线a 垂直的直线 A. 只有一条 B. 有无数条 C. 是平面α的所有直线 D. 不存在
9. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线A 1B 与面ABCD 所成的角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
10. 正方形ABCD 所在的平面与正方形ABEF 所在的平面成60°的二面角,则直线AD 与BF 所成角的余弦值为
A. 2
B. 12
C. 4
D. 14
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中与A 1B 是异面直线的棱有_______条。
12. 如果两条直线a,b 异面,且a ∥平面α,则b 与平面α的位置关系为____________.
13. 如果空间中若干个点在同一平面内的射影在一条直线上,那么这些点在空间的位置是__________.
14. 三棱锥的4个面中最多有_______个直角三角形.
15. 圆O 的半径为4,PO ⊥⊙O 所在的平面,且PO=3,那么点P 到圆上各点的距离为_______. 16. 沿对角线AC 将正方形ABCD 折成直二面角后，则AC 与BD 所成的角等于_______。
17. 过三棱锥P-ABC 的顶点P 作底面ABC 的垂线PO,垂足为O,若PA=PB=PC,则O 是△ABC 的______心.
三．解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18. (本题14分)
已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .
H G F
E D B
A
C
19. (本题14分)
已知ABC ∆中AC BC ⊥，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．
20. (本题14分)
如图：四棱锥S-ABCD ，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =ND
BN
， 求证：//MN 平面SDC
S
D
C
B
A
21.(本题15分)
正方体ABCD－A
1B
1
C
1
D
1
，（如图）
（1）求A
1
D与AC所成的角。
（2）求二面角A-B
1D
1
-A
1
的余弦值。
22.(本题15分)
在矩形ABCD中，AB：AD=1：2，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A
1
BE的
位置，使A
1C=A
1
D，求证：面A
1
BE⊥面BCDE。
A
E D
C
B
A
A1
点、直线、平面之间的位置关系测试题参考答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，测试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11. 6; 12. 相交,平行或在面内; 13. 共面; 14. 4; 15. 5; 16. 90°; 17. 外心.
三．解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22. (本题14分)
//BCD ////14FG EH FG
EH EH BCD EH BD BCD BCD ABD BD ⎫
⎫⎪
⊄⇒⇒⎬⎬⎭⎪⊂⋂=⎭面面（7分）（分）面面面
23. (本题14分)
SA ⊥面ABC BC SA ⇒⊥,BC AC ⊥BC SAC ⇒⊥面 (7分)
BC SAC AD BC
AD SC AD SBC SC BC C SC BC SBC ⊥⇒⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⊂⎭
面面，，面 (14 分)
24. (本题14分)
在面ABD 内过N 作NE ⊥AD 于E,连结ME.
在△ABD 中,NE//AB,⇒BN AE
ND ED
= 所以,BN AE AM
ND ED MS
== 所以,ME//SD. (5分)
////ME SD NE DC ⇒，面M N E//面SD C (10分)
因为,MN ⊂面MNE //MN SDC ⇒面 (14分) 25. (本题15分) (1)连结A1C.
A 1D 与AC 所成的角为角DA 1C 1.
在等边三角形DA
1C
1
中,∠DA
1
C
1
=60°,所以A
1
D与AC所成的角为60°. (7分)
(2)取B
1D
1
的中点O,连接AO,A
1
O,可证∠A
1
OA为二面角的平面角.
. (15分).
23.(本题15分)
取BE,CD的中点分别为F,G,连接A1F,FG,GA1. 可证:CD⊥A1G,CD⊥FG,
所以,CD⊥面A1GF, (7分)
所以,CD⊥A1F,
又BE⊥⊥A1F
所以,A1F⊥面BCDE, (13分)
所以,面A
1BE⊥面BCDE (15分)。