2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十三函数模型及其应用

课时跟踪检测(十三) 函数模型及其应用1．某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )
A．118元B．105元
C．106元D．108元
解析：选D 设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.
3．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
解析：选D 假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.
4．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，
且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )
A ．y ＝(x －50)2＋500
B ．y ＝10x 25＋500
C ．y ＝11 000(x －50)3＋625
D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)] 解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x 25
＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C
中，函数y ＝11 000
(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.
5．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )
A ．30.5万元
B ．31.5万元
C ．32.5万元
D ．33.5万元
解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋x y
×50%，故年销售收入为z ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫30y ＋4y ×150%＋x y ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2
(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12
＝31.5(万元)．故选B. 6．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
解析：∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
7．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆
车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4.
化简得x －6×0.9x ＝0.
令f (x )＝x －6×0.9x ，
易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
答案：4
8.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边
夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断
面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x
米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．
解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32
x ， 所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x 2
， 由⎩⎪⎨⎪⎧ h ＝32x ≥3，
BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6.
所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2
(2≤x ＜6)， 由y ＝18x ＋3x 2
≤10.5，解得3≤x ≤4. 因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]．
答案：[3,4]
9.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4
米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形
BNPM ，使点P 在边DE 上．
(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解
析式及定义域；
(2)求矩形BNPM 面积的最大值．
解：(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，
在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD
， 所以x －48－y ＝42
， 所以y ＝－12
x ＋10， 定义域为{x |4≤x ≤8}．
(2)设矩形BNPM 的面积为S ，
则S (x )＝xy ＝x ⎝
⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， 所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈
[4,8]时，S (x )单调递增，
所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．
10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C (单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k
20x ＋100(x ≥0，k 为常数) .记y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．
(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式；
(2)当x 为多少时，y 取得最小值？最小值是多少万元？
解：(1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C (0)＝k 100＝24，得k ＝2 400，
所以y ＝15× 2 40020x ＋100＋0.5x ＝1 800x ＋5
＋0.5x (x ≥0)． (2)因为y ＝1 800x ＋5
＋0.5(x ＋5)－2.5≥2 1 800×0.5－2.5＝57.5， 当且仅当1 800x ＋5
＝0.5(x ＋5)，即x ＝55时取等号， 所以当x 为55时，y 取得最小值，最小值为57.5万元．
11．[选做题]某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高
分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？ (2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 815m －m ，1≤m ≤30，480， m ＞30(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为
1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？
解：(1)由总成本p (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1600x 2＋x ＋150万元，可得每台机器人的平均成本y ＝p
x x ＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x ＋1≥21600x ·150x ＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．
(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量
q (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 815
m －m ，1≤m ≤30，480， m ＞30，
当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当
m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最
大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200
＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少
120－30120×100%＝75%.。