2165分数矩阵
何晓群版—多元统计分析课后练习答案
计算：边远及少数民族聚居区社会经济发展水平的指标数据.xls
T 2 =9* (-2003.23 2.25 -1006.11 2.71 12.01)*s^-1* (-2003.23 2.25
-1006.11 2.71 12.01)’=9*50.11793817=451,06144353 F 统计量=45.2>6.2 拒绝零假设，边缘及少数民族聚居区的社会经济发展水平与 全国平均水平有显著差异。
零假设的拒绝区域 {（n-p）/[(n-1)*p]}*T 2 > Fp,np ( )
1/10*T 2 >F5,4(5) μ0=（ 6212.01 32.87 2972 9.5 15.78）’ 样本均值（4208.78 35.12 1965.89 12.21 27.79）’
（样本均值-μ0）’=(-2003.23 2.25 -1006.11 2.71
4、如果正态随机向量 X (X1, X2, X p ) 的协方差阵为对角阵，证明 X 的分量 是相互独立的随机变量。
解： 因为 X (X1, X2, X p ) 的密度函数为
f
(
x1
,
...,
x
p
)
1 2
p
Σ
1/
2
exp
1 2
(x
μ)Σ1(x
μ)
12
又由于
Σ
2 2
2 p
Σ
12
2 2
2 p
1
2 1
1
Σ 1
2 2
1
2 p
则 f (x1,..., xp )
1
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
p
1
1 2
Σ
poj刷题专题训练3
（一）：用的比较多的初期:一.基本算法:(1)枚举. (poj1753,poj2965)(2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)(3)递归和分治法.(4)递推.(5)构造法.(poj3295)(6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)二.图算法:(1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.(2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)(3)最小生成树算法(prim,kruskal)(poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)(4)拓扑排序(poj1094)(5)二分图的最大匹配(匈牙利算法) (poj3041,poj3020)(6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)三.数据结构.(1)串(poj1035,poj3080,poj1936)(2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299)(3)简单并查集的应用.(4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)(5)哈夫曼树(poj3253)(6)堆(7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513)四.简单搜索(1)深度优先搜索(poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)(2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)(3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)五.动态规划(1)背包问题. (poj1837,poj1276)(2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书page149):1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159)3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)六.数学(1)组合数学:1.加法原理和乘法原理.2.排列组合.3.递推关系.(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)(2)数论.1.素数与整除问题2.进制位.3.同余模运算.(poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)(3)计算方法.1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)七.计算几何学.(1)几何公式.(2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039)(3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交) (poj1408,poj1584)(4)凸包. (poj2187,poj1113)中级:一.基本算法:(1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007)(2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)二.图算法:(1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983)(2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)(3)双连通分量(poj2942)(4)强连通分支及其缩点.(poj2186)(5)图的割边和割点(poj3352)(6)最小割模型、网络流规约(poj3308, )三.数据结构.(1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)(2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352)(3)树状树组(poj1195,poj3321)(4)RMQ. (poj3264,poj3368)(5)并查集的高级应用. (poj1703,2492)(6)KMP算法. (poj1961,poj2406)四.搜索(1)最优化剪枝和可行性剪枝(2)搜索的技巧和优化(poj3411,poj1724)(3)记忆化搜索(poj3373,poj1691)五.动态规划(1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等)(poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)(2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)(3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)六.数学(1)组合数学:1.容斥原理.2.抽屉原理.3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).4.递推关系和母函数.(2)数学.1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)2.概率问题. (poj3071,poj3440)3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101)(3)计算方法.1.0/1分数规划. (poj2976)2.三分法求解单峰(单谷)的极值.3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)4.迭代逼近(poj3301)(4)随机化算法(poj3318,poj2454)(5)杂题.(poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)七.计算几何学.(1)坐标离散化.(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)(4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)高级:一.基本算法要求:(1)代码快速写成,精简但不失风格(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)(2)保证正确性和高效性. poj3434二.图算法:(1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639)(2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解)(poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446(3)最优比率生成树. (poj2728)(4)最小树形图(poj3164)(5)次小生成树.(6)无向图、有向图的最小环三.数据结构.(1)trie图的建立和应用. (poj2778)(2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和在线算法(RMQ+dfs)).(poj1330)(3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的目的). (poj2823)(4)左偏树(可合并堆).(5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点).(poj3415,poj3294)四.搜索(1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)(2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)(3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法. (poj3131,poj2870,poj2286)五.动态规划(1)需要用数据结构优化的动态规划.(poj2754,poj3378,poj3017)(2)四边形不等式理论.(3)较难的状态DP(poj3133)六.数学(1)组合数学.1.MoBius反演(poj2888,poj2154)2.偏序关系理论.(2)博奕论.1.极大极小过程(poj3317,poj1085)2.Nim问题.七.计算几何学.(1)半平面求交(poj3384,poj2540)(2)可视图的建立(poj2966)(3)点集最小圆覆盖.(4)对踵点(poj2079)八.综合题.(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------以及补充Dp状态设计与方程总结1.不完全状态记录<1>青蛙过河问题<2>利用区间dp2.背包类问题<1> 0-1背包，经典问题<2>无限背包，经典问题<3>判定性背包问题<4>带附属关系的背包问题<5> + -1背包问题<6>双背包求最优值<7>构造三角形问题<8>带上下界限制的背包问题(012背包)3.线性的动态规划问题<1>积木游戏问题<2>决斗（判定性问题）<3>圆的最大多边形问题<4>统计单词个数问题<5>棋盘分割<6>日程安排问题<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等)<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益)<9>资源分配问题<10>数字三角形问题<11>漂亮的打印<12>邮局问题与构造答案<13>最高积木问题<14>两段连续和最大<15>2次幂和问题<16>N个数的最大M段子段和<17>交叉最大数问题4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等)<1>模K问题的dp<2>特殊的模K问题，求最大(最小)模K的数<3>变换数问题5.单调性优化的动态规划<1>1-SUM问题<2>2-SUM问题<3>序列划分问题(单调队列优化)6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大)<1>凸多边形的三角剖分问题<2>乘积最大问题<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值)<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化)7.贪心的动态规划<1>最优装载问题<2>部分背包问题<3>乘船问题<4>贪心策略<5>双机调度问题Johnson算法8.状态dp<1>牛仔射击问题(博弈类)<2>哈密顿路径的状态dp<3>两支点天平平衡问题<4>一个有向图的最接近二部图9.树型dp<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态)<2>小胖守皇宫问题<3>网络收费问题<4>树中漫游问题<5>树上的博弈<6>树的最大独立集问题<7>树的最大平衡值问题<8>构造树的最小环（二）：麻烦题：1697, 1712, 1713, 1720, 1729, 1765, 1772, 1858, 1872, 1960, 1963, 2050, 2122, 2162, 22 19, 2237,简单题目：1000, 1003, 1004, 1005, 1007, 1046, 1207, 1226, 1401, 1504, 1552, 1607, 1657, 1658, 16 74, 1799, 1862, 1906, 1922, 1929, 1931, 1969, 1976, 2000, 2005, 2017, 2027, 2070, 2101, 2105, 2109, 2116, 2136, 2160, 2190, 2232, 2234, 2275, 2301, 2350, 2363, 2389, 2393, 2 413, 2419,推荐：1063, 1064, 1131, 1140, 1715, 2163,杂题：1014, 1218, 1316, 1455, 1517, 1547, 1580, 1604, 1663, 1678, 1749, 1804, 2013, 2014, 20 56, 2059, 2100, 2188, 2189, 2218, 2229, 2249, 2290, 2302, 2304, 2309, 2313, 2316, 2323, 2326, 2368, 2369, 2371, 2402, 2405, 2407,推荐：1146, 1147, 1148, 1171, 1389, 1433, 1468, 1519, 1631, 1646, 1672, 1681, 1700, 1701, 17 05, 1728, 1735, 1736, 1752, 1754, 1755, 1769, 1781, 1787, 1796, 1797, 1833, 1844, 1882, 1933, 1941, 1978, 2128, 2166, 2328, 2383, 2420,高精度：1001, 1220, 1405, 1503,排序：1002, 1318, 1877, 1928, 1971, 1974, 1990, 2001, 2002, 2092, 2379, 2388, 2418,推荐：1423, 1694, 1723, 1727, 1763, 1788, 1828, 1838, 1840, 2201, 2376, 2377, 2380,搜索1676,1376,@3009,容易：1128, 1166, @1176, 1231, 1256, @1270, 1321, @1543, 1606, @1664, 1731, 1742, @174 5, 1847, 1915, 1950, 2038, 2157, 2182, 2183, 2381, 2386, 2426,不易：1024, 1054, 1117, 1167, 1708, 1746, 1775, 1878, 1903, 1966, 2046, 2197, 2349,推荐：1011, 1190, 1191, 1416, 1579, 1632, 1639, 1659, 1680, 1683, 1691, 1709, 1714, 1753, 17 71, 1826, 1855, 1856, 1890, 1924, 1935, 1948, 1979, 1980, 2170, 2288, 2331, 2339, 2340,数据结构容易：1182, 1656, 2021, 2023, 2051, 2153, 2227, 2236, 2247, 2352, 2395,不易：1145, 1177, 1195, 1227, 1661, 1834,推荐：1330, @1338, 1451, 1470, 1634, 1689, 1693, @1703, 1724, 1988, 2004, 2010(堆), 2119, 2274,动态规划容易：1018, 1050, 1083, 1088, 1125, 1143（博弈树）, 1157, @1163, 1178, 1179, @1189, 1208, 1276, 1322, 1414, 1456, 1458, 1609, 1644, 1664, 1690, 1699, 1740, 1742, 1887, 1926, 19 36, 1952, 1953, 1958, 1959, 1962, 1975, 1989, 2018, 2029, 2033, 2063, 2081, 2082, 2181, 2184, 2192, 2231, 2279, 2329, 2336, 2346, 2353, 2355, 2356, 2385, 2392, 2424,不易：1019, 1037, 1080, 1112, 1141, 1170, 1192, 1239, 1655, 1695, 1707, 1733, 1737, 1837, 18 50, 1920, 1934, 1937, 1964, 2039, 2138, 2151, 2161, 2178,推荐：1015, 1635, 1636, 1671, 1682, 1692, 1704, 1717, 1722, 1726, 1732, 1770, 1821, 1853, 19 49, 2019, 2127, 2176, 2228, 2287, 2342, 2374, 2378, 2384, 2411,字符串：1488, ⊙1598, 1686, *1706, 1747, 1748, 1750, 1760, 1782, 1790, 1866, 1888, 1896, 1951, 2003, 2121, 2141, 2145, 2159, 2337, 2359, 2372, 2406, 2408,贪心：1042, 1065, 1230, 1323, 1477, 1716, 1784,图论容易：1161, 1164, 1258, 1175, 1308, 1364, 1776, 1789, 1861, 1939, 1940, 1943, 2075, 2139, 23 87, 2394, 2421,不易：1041, 1062, 1158, 1172, 1201, 1275, 1718, 1734, 1751, 1904, 1932, 2173, 2175, 2296,网络流：1087, 1273, 1698, 1815, 2195,匹配：1274, 1422, 1469, 1719, 2060, 2239,Euler：1237, 1637, 1394, 2230,推荐：2049, 2186,计算几何容易：@1319, @1654, @1673, @1675, 1836, 2074, 2137, 2318,不易：1685, 1687, 1696, 1873, 1901, 2172, 2333,凸包：1113, 1228, 1794, 2007, 2187,模拟容易：1006, 1008, 1013, 1016, 1017, 1169, 1298, 1326, 1350, 1363, 1676, 1786, 1791, 1835, 19 70, 2317, 2325, 2390,不易：1012, 1082, 1099, 1114, 1642, 1677, 1684, 1886,数学容易：@1061, @1091, @1142, 1289, @1305, @1306, 1320, @1565, @1665, 1666, @1730, @18 94, @1914, 2006, @2042, @2142, 2158, 2174, @2262, @2305, @2321, @2348,不易：@1067, @1183, 1430, 1759, 1868, 1942, 2167, 2171, 2327,推荐：@1423, 1450, 1640, @1702, 1710, 1721, 1761, 1830, @1930, @2140,（三）：1、排序1423, 1694, 1723, 1727, 1763, 1788, 1828, 1838, 1840, 2201, 2376, 2377, 2380, 1318, 18 77, 1928, 1971, 1974, 1990, 2001, 2002, 2092, 2379, 1002（需要字符处理，排序用快排即可）1007（稳定的排序）2159（题意较难懂）2231 2371（简单排序）2388（顺序统计算法）2418（二叉排序树）2、搜索、回溯、遍历1022 1111 1118 1129 1190 1562 1564 1573 1655 2184 2225 2243 2312 2362 2378 2386 1010,1011,1018,1020,1054,1062,1256,1321,1363,1501,1650,1659,1664,1753,2078,2083,2303,2 310,2329简单：1128, 1166, 1176, 1231, 1256, 1270, 1321, 1543, 1606, 1664, 1731, 1742, 1745, 18 47, 1915, 1950, 2038, 2157, 2182, 2183, 2381, 2386, 2426,不易：1024, 1054, 1117, 1167, 1708, 1746, 1775, 1878, 1903, 1966, 2046, 2197, 2349,推荐：1011, 1190, 1191, 1416, 1579, 1632, 1639, 1659, 1680, 1683, 1691, 1709, 1714, 17 53, 1771, 1826, 1855, 1856, 1890, 1924, 1935, 1948, 1979, 1980, 2170, 2288, 2331, 2339, 2340,1979（和迷宫类似）1980（对剪枝要求较高）3、历法1008 2080 （这种题要小心）4、枚举1012，1046，1387，1411，2245，2326，2363，2381，1054（剪枝要求较高），165 0 （小数的精度问题）5、数据结构的典型算法容易：1182, 1656, 2021, 2023, 2051, 2153, 2227, 2236, 2247, 2352, 2395,不易：1145, 1177, 1195, 1227, 1661, 1834,推荐：1330, 1338, 1451, 1470, 1634, 1689, 1693, 1703, 1724, 1988, 2004, 2010, 2119, 22 74,1125(弗洛伊德算法) ，2421（图的最小生成树）6、动态规划1037、1050、1088、1125、1141、1159、1160、1163、1458、1579 、1887 、1953 、2386 7、贪心1042, 1065, 1230, 1323, 1477, 1716, 1784,1328 1755（或用单纯形方法），2054，1017，1328，1862，1922 ，2209，2313，2325，2370。
POJ 题目整理
初期:一.基本算法:(1)枚举. (poj1753,poj2965)(2)贪心(poj1328,poj2109,poj2586)(3)递归和分治法.(4)递推.(5)构造法.(poj3295)(6)模拟法.(poj1068,poj2632,poj1573,poj2993,poj2996)二.图算法:(1)图的深度优先遍历和广度优先遍历.(2)最短路径算法(dijkstra,bellman-ford,floyd,heap+dijkstra)(poj1860,poj3259,poj1062,poj2253,poj1125,poj2240)(3)最小生成树算法(prim,kruskal) (poj1789,poj2485,poj1258,poj3026)(4)拓扑排序 (poj1094)(5)二分图的最大匹配 (匈牙利算法) (poj3041,poj3020)(6)最大流的增广路算法(KM算法). (poj1459,poj3436)三.数据结构.(1)串 (poj1035,poj3080,poj1936)(2)排序(快排、归并排(与逆序数有关)、堆排) (poj2388,poj2299)(3)简单并查集的应用.(4)哈希表和二分查找等高效查找法(数的Hash,串的Hash)(poj3349,poj3274,POJ2151,poj1840,poj2002,poj2503)(5)哈夫曼树(poj3253)(6)堆(7)trie树(静态建树、动态建树) (poj2513)四.简单搜索(1)深度优先搜索 (poj2488,poj3083,poj3009,poj1321,poj2251)(2)广度优先搜索(poj3278,poj1426,poj3126,poj3087.poj3414)(3)简单搜索技巧和剪枝(poj2531,poj1416,poj2676,1129)五.动态规划(1)背包问题. (poj1837,poj1276)(2)型如下表的简单DP(可参考lrj的书 page149):1.E[j]=opt{D+w(i,j)} (poj3267,poj1836,poj1260,poj2533)2.E[i,j]=opt{D[i-1,j]+xi,D[i,j-1]+yj,D[i-1][j-1]+zij} (最长公共子序列) (poj3176,poj1080,poj1159)3.C[i,j]=w[i,j]+opt{C[i,k-1]+C[k,j]}.(最优二分检索树问题)六.数学(1)组合数学:1.加法原理和乘法原理.2.排列组合.3.递推关系.(POJ3252,poj1850,poj1019,poj1942)(2)数论.1.素数与整除问题2.进制位.3.同余模运算.(poj2635, poj3292,poj1845,poj2115)(3)计算方法.1.二分法求解单调函数相关知识.(poj3273,poj3258,poj1905,poj3122)七.计算几何学.(1)几何公式.(2)叉积和点积的运用(如线段相交的判定,点到线段的距离等). (poj2031,poj1039)(3)多边型的简单算法(求面积)和相关判定(点在多边型内,多边型是否相交)(poj1408,poj1584)(4)凸包. (poj2187,poj1113)中级:一.基本算法:(1)C++的标准模版库的应用. (poj3096,poj3007)(2)较为复杂的模拟题的训练(poj3393,poj1472,poj3371,poj1027,poj2706)二.图算法:(1)差分约束系统的建立和求解. (poj1201,poj2983)(2)最小费用最大流(poj2516,poj2516,poj2195)(3)双连通分量(poj2942)(4)强连通分支及其缩点.(poj2186)(5)图的割边和割点(poj3352)(6)最小割模型、网络流规约(poj3308, )三.数据结构.(1)线段树. (poj2528,poj2828,poj2777,poj2886,poj2750)(2)静态二叉检索树. (poj2482,poj2352)(3)树状树组(poj1195,poj3321)(4)RMQ. (poj3264,poj3368)(5)并查集的高级应用. (poj1703,2492)(6)KMP算法. (poj1961,poj2406)四.搜索(1)最优化剪枝和可行性剪枝(2)搜索的技巧和优化 (poj3411,poj1724)(3)记忆化搜索(poj3373,poj1691)五.动态规划(1)较为复杂的动态规划(如动态规划解特别的施行商问题等) (poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034)(2)记录状态的动态规划. (POJ3254,poj2411,poj1185)(3)树型动态规划(poj2057,poj1947,poj2486,poj3140)六.数学(1)组合数学:1.容斥原理.2.抽屉原理.3.置换群与Polya定理(poj1286,poj2409,poj3270,poj1026).4.递推关系和母函数.(2)数学.1.高斯消元法(poj2947,poj1487, poj2065,poj1166,poj1222)2.概率问题. (poj3071,poj3440)3.GCD、扩展的欧几里德(中国剩余定理) (poj3101)(3)计算方法.1.0/1分数规划. (poj2976)2.三分法求解单峰(单谷)的极值.3.矩阵法(poj3150,poj3422,poj3070)4.迭代逼近(poj3301)(4)随机化算法(poj3318,poj2454)(5)杂题. (poj1870,poj3296,poj3286,poj1095)七.计算几何学.(1)坐标离散化.(2)扫描线算法(例如求矩形的面积和周长并,常和线段树或堆一起使用).(poj1765,poj1177,poj1151,poj3277,poj2280,poj3004)(3)多边形的内核(半平面交)(poj3130,poj3335)(4)几何工具的综合应用.(poj1819,poj1066,poj2043,poj3227,poj2165,poj3429)高级:一.基本算法要求:(1)代码快速写成,精简但不失风格(poj2525,poj1684,poj1421,poj1048,poj2050,poj3306)(2)保证正确性和高效性. poj3434二.图算法:(1)度限制最小生成树和第K最短路. (poj1639)(2)最短路,最小生成树,二分图,最大流问题的相关理论(主要是模型建立和求解) (poj3155, poj2112,poj1966,poj3281,poj1087,poj2289,poj3216,poj2446) (3)最优比率生成树. (poj2728)(4)最小树形图(poj3164)(5)次小生成树.(6)无向图、有向图的最小环三.数据结构.(1)trie图的建立和应用. (poj2778)(2)LCA和RMQ问题(LCA(最近公共祖先问题) 有离线算法(并查集+dfs) 和在线算法(RMQ+dfs)).(poj1330)(3)双端队列和它的应用(维护一个单调的队列,常常在动态规划中起到优化状态转移的目的).(poj2823)(4)左偏树(可合并堆).(5)后缀树(非常有用的数据结构,也是赛区考题的热点). (poj3415,poj3294)四.搜索(1)较麻烦的搜索题目训练(poj1069,poj3322,poj1475,poj1924,poj2049,poj3426)(2)广搜的状态优化:利用M进制数存储状态、转化为串用hash表判重、按位压缩存储状态、双向广搜、A*算法. (poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482)(3)深搜的优化:尽量用位运算、一定要加剪枝、函数参数尽可能少、层数不易过大、可以考虑双向搜索或者是轮换搜索、IDA*算法.(poj3131,poj2870,poj2286)五.动态规划(1)需要用数据结构优化的动态规划. (poj2754,poj3378,poj3017)(2)四边形不等式理论.(3)较难的状态DP(poj3133)六.数学(1)组合数学.1.MoBius反演(poj2888,poj2154)2.偏序关系理论.(2)博奕论.1.极大极小过程(poj3317,poj1085)2.Nim问题.七.计算几何学.(1)半平面求交(poj3384,poj2540)(2)可视图的建立(poj2966)(3)点集最小圆覆盖.(4)对踵点(poj2079)八.综合题.(poj3109,poj1478,poj1462,poj2729,poj2048,poj3336,poj3315,poj2148,poj1263) 以及补充Dp状态设计与方程总结1.不完全状态记录<1>青蛙过河问题<2>利用区间dp2.背包类问题<1> 0-1背包，经典问题<2>无限背包，经典问题<3>判定性背包问题<4>带附属关系的背包问题<5> + -1背包问题<6>双背包求最优值<7>构造三角形问题<8>带上下界限制的背包问题(012背包)3.线性的动态规划问题<1>积木游戏问题<2>决斗（判定性问题）<3>圆的最大多边形问题<4>统计单词个数问题<5>棋盘分割<6>日程安排问题<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等)<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益)<9>资源分配问题<10>数字三角形问题<11>漂亮的打印<12>邮局问题与构造答案<13>最高积木问题<14>两段连续和最大<15>2次幂和问题<16>N个数的最大M段子段和<17>交叉最大数问题4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等)<1>模K问题的dp<2>特殊的模K问题，求最大(最小)模K的数<3>变换数问题5.单调性优化的动态规划<1>1-SUM问题<2>2-SUM问题<3>序列划分问题(单调队列优化)6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大)<1>凸多边形的三角剖分问题<2>乘积最大问题<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值)<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化)7.贪心的动态规划<1>最优装载问题<2>部分背包问题<3>乘船问题<4>贪心策略<5>双机调度问题Johnson算法8.状态dp<1>牛仔射击问题(博弈类)<2>哈密顿路径的状态dp<3>两支点天平平衡问题<4>一个有向图的最接近二部图9.树型dp<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态)<2>小胖守皇宫问题<3>网络收费问题<4>树中漫游问题<5>树上的博弈<6>树的最大独立集问题<7>树的最大平衡值问题<8>构造树的最小环转一个搞ACM需要的掌握的算法.要注意,ACM的竞赛性强,因此自己应该和自己的实际应用联系起来.适合自己的才是好的,有的人不适合搞算法,喜欢系统架构,因此不要看到别人什么就眼红, 发挥自己的长处,这才是重要的.第一阶段：练经典常用算法，下面的每个算法给我打上十到二十遍，同时自己精简代码，因为太常用，所以要练到写时不用想，10-15分钟内打完，甚至关掉显示器都可以把程序打出来.1.最短路(Floyd、Dijstra,BellmanFord)2.最小生成树(先写个prim,kruscal要用并查集，不好写)3.大数（高精度）加减乘除4.二分查找. (代码可在五行以内)5.叉乘、判线段相交、然后写个凸包.6.BFS、DFS,同时熟练hash表(要熟，要灵活,代码要简)7.数学上的有：辗转相除（两行内），线段交点、多角形面积公式.8. 调用系统的qsort, 技巧很多，慢慢掌握.9. 任意进制间的转换第二阶段：练习复杂一点，但也较常用的算法。
数值分析大作业四
《数值分析》大作业四一、算法设计方案：复化梯形积分法，选取步长为1/500=0.002，迭代误差控制在E ≤1.0e-10①复化梯形积分法：11()[()()2()]2n bak hf x dx f a f b f a kh -=⎰≈+++∑，截断误差为：322()''()''(),[,]1212T b a b a R f h f a b n ηηη--=-=-∈其中。
复化Simpson 积分法，选取步长为1/50=0.02，迭代误差控制在E ≤1.0e-10②Simpson 积分法：121211()[()()4()2()]3m m bi i a i i hf x dx f a f b f x f x --==≈+++∑∑⎰， 截断误差为：4(4)(),[,]180s b a R h f a b ηη-=-∈。
③Guass积分法选用Gauss-Legendre 求积公式：111()()ni i i f x dx A f x -=≈∑⎰截断误差为：R= ()()n 2n 422n!2×(2[2!]2n 1f n n ⨯（2）η（））＋ η∈(1,1)。
选择9个节点：-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395， 对应的求积系数依次为：0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884。
二、程序源代码：#include<stdio.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#define E 1.0e-10/****定义函数g和K*****/double g(double a){double b;b=exp(4*a)+(exp(a+4)-exp(-a-4))/(a+4);return b;}double K(double a,double b){double c;c=exp(a*b);return c;}/******复化梯形法******/void Tixing( ){double u[1001],x[1001],h,c[1001],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result0. xls ","w");h=1.0/1500;for(i=0;i<3001;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<100;k++){e=0;for(i=0;i<1001;i++){for(j=1,c[i]=0;j<N-1;j++)c[i]+=K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-h*c[i]-h/2*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[N-1])*u[N-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<1001;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******复化Simpson法******/void simpson( ){double u[101],x[101],h,c[101],d[101],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result1.xls","w");h=1.0/50;for(i=0;i<101;i++){x[i]=i*h-1;u[i]=g(x[i]);}for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<101;i++){for(j=1,c[i]=0,d[i]=0;j<51;j++){c[i]+=K(x[i],x[2*j-1])*u[2*j-1];if(j<50)d[i]+=K(x[i],x[2*j])*u[2*j];}u[i]=g(x[i])-4*h/3*c[i]-2*h/3*d[i]-h/3*(K(x[i],x[0])*u[0]+K(x[i],x[M-1])*u[M-1]);e+=h*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<101;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******Gauss积分法******/void gauss( ){double x[9]={-0.9681602395,-0.8360311073,-0.6133714327,-0.3242534234,0,\0.3242534234,0.6133714327,0.8360311073,0.9681602395},A[9]={0.0812743884,0.1806481607,0.2606106964,0.3123470770,0.3302393550,\0.3123470770,0.2606106964,0.1806481607,0.0812743884},u[9],c[9],e;int i,j,k;FILE *fp;fp=fopen("f:/result2. xls ","w");for(i=0;i<9;i++)u[i]=g(x[i]);for(k=0;k<50;k++){e=0;for(i=0;i<9;i++){for(j=0,c[i]=0;j<9;j++)c[i]+=A[j]*K(x[i],x[j])*u[j];u[i]=g(x[i])-c[i];e+=A[i]*(exp(4*x[i])-u[i])*(exp(4*x[i])-u[i]);}if(e<=E) break;}for(i=0;i<9;i++)fprintf(fp,"%.12lf,%.12lf\n",x[i],u[i]);fclose(fp);}/******主函数******/main(){Tixing ( );Simpson( );Gauss( );return 0;}三、运算结果复化梯形数据-10.018323-0.920.02523-0.9980.018471-0.9180.025433-0.9960.018619-0.9160.025637-0.9940.018768-0.9140.025843-0.9920.018919-0.9120.026051-0.990.019071-0.910.02626-0.9880.019224-0.9080.026471-0.9860.019378-0.9060.026683-0.9840.019534-0.9040.026897-0.9820.019691-0.9020.027113-0.980.019849-0.90.027331-0.9780.020008-0.8980.02755-0.9760.020169-0.8960.027772-0.9740.020331-0.8940.027995-0.9720.020494-0.8920.028219-0.970.020658-0.890.028446-0.9680.020824-0.8880.028674-0.9660.020992-0.8860.028905-0.9640.02116-0.8840.029137-0.9620.02133-0.8820.029371-0.960.021501-0.880.029607-0.9580.021674-0.8780.029844-0.9560.021848-0.8760.030084-0.9540.022023-0.8740.030326-0.9520.0222-0.8720.030569-0.950.022378-0.870.030815-0.9480.022558-0.8680.031062-0.9460.022739-0.8660.031311-0.9440.022922-0.8640.031563-0.9420.023106-0.8620.031816-0.940.023291-0.860.032072-0.9380.023478-0.8580.032329-0.9360.023667-0.8560.032589-0.9340.023857-0.8540.032851-0.9320.024048-0.8520.033114-0.930.024241-0.850.03338-0.9280.024436-0.8480.033648-0.9260.024632-0.8460.033918-0.9240.02483-0.8440.034191-0.9220.025029-0.8420.034465-0.840.034742-0.760.047841-0.8380.035021-0.7580.048225-0.8360.035302-0.7560.048613 -0.8340.035586-0.7540.049003 -0.8320.035872-0.7520.049396 -0.830.03616-0.750.049793 -0.8280.03645-0.7480.050193 -0.8260.036743-0.7460.050596 -0.8240.037038-0.7440.051002 -0.8220.037335-0.7420.051412 -0.820.037635-0.740.051825 -0.8180.037937-0.7380.052241 -0.8160.038242-0.7360.052661 -0.8140.038549-0.7340.053084 -0.8120.038858-0.7320.05351 -0.810.039171-0.730.05394 -0.8080.039485-0.7280.054373 -0.8060.039802-0.7260.054809 -0.8040.040122-0.7240.05525 -0.8020.040444-0.7220.055693 -0.80.040769-0.720.056141 -0.7980.041096-0.7180.056591 -0.7960.041426-0.7160.057046 -0.7940.041759-0.7140.057504 -0.7920.042094-0.7120.057966 -0.790.042432-0.710.058431 -0.7880.042773-0.7080.058901 -0.7860.043116-0.7060.059374 -0.7840.043463-0.7040.05985 -0.7820.043812-0.7020.060331 -0.780.044164-0.70.060816 -0.7780.044518-0.6980.061304 -0.7760.044876-0.6960.061796 -0.7740.045236-0.6940.062293 -0.7720.045599-0.6920.062793 -0.770.045966-0.690.063297 -0.7680.046335-0.6880.063805 -0.7660.046707-0.6860.064318 -0.7640.047082-0.6840.064834 -0.7620.04746-0.6820.065355-0.680.06588-0.60.090722 -0.6780.066409-0.5980.091451-0.6760.066942-0.5960.092185 -0.6740.06748-0.5940.092926 -0.6720.068022-0.5920.093672 -0.670.068568-0.590.094424 -0.6680.069119-0.5880.095183 -0.6660.069674-0.5860.095947 -0.6640.070234-0.5840.096718 -0.6620.070798-0.5820.097494 -0.660.071366-0.580.098277 -0.6580.071939-0.5780.099067 -0.6560.072517-0.5760.099862 -0.6540.0731-0.5740.100664 -0.6520.073687-0.5720.101473 -0.650.074278-0.570.102288 -0.6480.074875-0.5680.103109 -0.6460.075476-0.5660.103937 -0.6440.076082-0.5640.104772 -0.6420.076694-0.5620.105614 -0.640.077309-0.560.106462 -0.6380.07793-0.5580.107317 -0.6360.078556-0.5560.108179 -0.6340.079187-0.5540.109048 -0.6320.079823-0.5520.109924 -0.630.080464-0.550.110806 -0.6280.08111-0.5480.111696 -0.6260.081762-0.5460.112593 -0.6240.082418-0.5440.113498 -0.6220.08308-0.5420.114409 -0.620.083748-0.540.115328 -0.6180.08442-0.5380.116254 -0.6160.085098-0.5360.117188 -0.6140.085782-0.5340.118129 -0.6120.086471-0.5320.119078 -0.610.087165-0.530.120035 -0.6080.087865-0.5280.120999 -0.6060.088571-0.5260.12197 -0.6040.089282-0.5240.12295 -0.6020.089999-0.5220.123938-0.550.110806-0.470.152592 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0.58610.422780.66614.35352 0.58810.50650.66814.46881 0.5910.590890.6714.58502 0.59210.675960.67214.70217 0.59410.761710.67414.82026 0.59610.848150.67614.9393 0.59810.935280.67815.05929 0.611.023110.6815.18025 0.60211.111650.68215.30218 0.60411.20090.68415.42509 0.60611.290870.68615.54898 0.60811.381560.68815.67387 0.6111.472980.6915.79977 0.61211.565130.69215.92667 0.61411.658020.69416.0546 0.61611.751660.69616.18355 0.61811.846050.69816.31354 0.6211.94120.716.44457 0.62212.037110.70216.57665 0.62412.133790.70416.7098 0.62612.231250.70616.84401 0.62812.32950.70816.97931 0.6312.428530.7117.11569 0.63212.528360.71217.25316 0.63412.628990.71417.39174 0.63612.730420.71617.53143 0.63812.832680.71817.67225 0.6412.935750.7217.81419 0.64213.039650.72217.95728 0.64413.144390.72418.10151 0.64613.249960.72618.24691 0.64813.356390.72818.393470.7318.541210.8125.53363 0.73218.690130.81225.738720.73418.840250.81425.94545 0.73618.991580.81626.15385 0.73819.144120.81826.36392 0.7419.297890.8226.57568 0.74219.452890.82226.78914 0.74419.609140.82427.00431 0.74619.766640.82627.22121 0.74819.925410.82827.43985 0.7520.085450.8327.66025 0.75220.246780.83227.88242 0.75420.409410.83428.10638 0.75620.573340.83628.33213 0.75820.738580.83828.5597 0.7620.905160.8428.78909 0.76221.073070.84229.02033 0.76421.242330.84429.25342 0.76621.412950.84629.48839 0.76821.584940.84829.72524 0.7721.758310.8529.964 0.77221.933080.85230.20467 0.77422.109250.85430.44728 0.77622.286830.85630.69184 0.77822.465840.85830.93836 0.7822.646290.8631.18686 0.78222.828190.86231.43735 0.78423.011550.86431.68986 0.78623.196380.86631.9444 0.78823.382690.86832.20098 0.7923.570510.8732.45962 0.79223.759830.87232.72034 0.79423.950670.87432.98315 0.79624.143040.87633.24807 0.79824.336960.87833.51513 0.824.532440.8833.78432 0.80224.729490.88234.05568 0.80424.928110.88434.32922 0.80625.128340.88634.60496 0.80825.330170.88834.882910.8935.163090.94643.99154 0.89235.445520.94844.344880.89435.730220.9544.701070.89636.017210.95245.060110.89836.306510.95445.422040.936.598120.95645.786870.90236.892080.95846.154630.90437.188410.9646.525350.90637.487110.96246.899050.90837.788210.96447.275750.9138.091730.96647.655470.91238.397680.96848.038240.91438.70610.9748.424090.91639.016990.97248.813040.91839.330380.97449.205110.9239.646280.97649.600330.92239.964720.97849.998720.92440.285720.9850.400320.92640.60930.98250.805140.92840.935480.98451.213210.9341.264280.98651.624560.93241.595720.98852.039210.93441.929820.9952.45720.93642.26660.99252.878540.93842.606090.99453.303270.9442.948310.99653.73140.94243.293270.99854.162980.94443.64101154.59802复化Simpson数据：-1 0.018319929 -0.34 0.256658088 0.32 3.596641805 -0.98 0.0198445 -0.32 0.278035042 0.34 3.896195298-0.96 0.021494322 -0.3 0.301192133 0.36 4.220697765-0.94 0.023283225 -0.28 0.326278124 0.38 4.572227037-0.92 0.025220379 -0.26 0.353453177 0.4 4.95303418-0.9 0.027320224 -0.24 0.382891765 0.42 5.365557596-0.88 0.029594431 -0.22 0.41478194 0.44 5.812438891-0.86 0.032059069 -0.16 0.527292277 0.54 8.671138204-0.84 0.034728638 -0.14 0.571209036 0.56 9.39333156-0.82 0.037621263 -0.12 0.61878367 0.58 10.17567433-0.8 0.040754615 -0.1 0.670320427 0.6 11.02317608-0.78 0.044149394 -0.08 0.726149698 0.62 11.94126383-0.76 0.047826844 -0.06 0.78662861 0.64 12.93581634-0.74 0.051810827 -0.04 0.85214479 0.66 14.01320231-0.72 0.056126648 -0.02 0.92311742 0.68 15.1803205-0.7 0.060802006 0 1.0000013 0.7 16.44464467 -0.68 0.065866854 0.02 1.083288424 0.72 17.81427057 -0.66 0.071353499 0.04 1.173512427 0.74 19.29796874 -0.64 0.077297255 0.06 1.271250748 0.76 20.90523965 -0.62 0.083735917 0.08 1.377129533 0.78 22.64637562 -0.6 0.090711017 0.1 1.491826493 0.8 24.53252554 -0.58 0.098266855 0.12 1.616076341 0.82 26.57576756 -0.56 0.106452202 0.14 1.750674449 0.84 28.78918506 -0.54 0.11531904 0.16 1.896482943 0.86 31.18695183 -0.52 0.12492459 0.18 2.054435268 0.88 33.78442141 -0.5 0.135329888 0.2 2.225543071 0.9 36.59822683 -0.48 0.14660204 0.22 2.410901825 0.92 39.64638571 -0.46 0.158812728 0.24 2.611698647 0.94 42.94841704 -0.44 0.17204064 0.26 2.829219145 0.96 46.52546475 -0.42 0.18636997 0.28 3.064856356 0.98 50.40043451 -0.4 0.201892977 0.3 3.320119013 1 54.59813904 -0.38 0.218708553 0.46 6.296539601-0.36 0.236924875 0.48 6.820959636-0.2 0.449328351 0.5 7.389057081-0.18 0.486751777 0.52 8.0044696750102030405060四、讨论①在满足相同精度要求的情况下复化梯形积分法比复化Simpson 积分法计算所需节点数多，计算量大。
POJ 300题训练计划
广搜的状态优化
poj1768,poj1184,poj1872,poj1324,poj2046,poj1482
深搜的优化
poj3131,poj2870,poj2286
动态规划
需要用数据结构优化的动态规划
第6周
数论
poj2635, poj3292,poj1845,poj2115
计算方法
poj3273,poj3258,poj1905,poj3122
计算几何学
几何公式
第2周
叉积和点积的运用
poj2031,poj1039
多边型的简单算法和相关判定
poj1408,poj1584
凸包
poj2187,poj1113
第二阶段中级：
poj2754,poj3378,poj3017
四边形不等式理论、斜率优化
poj1160,poj1180,poj3709
较难的状态DP、插头DP
poj3133,poj1739,poj2411,poj1763
数学
组合数学
第6周
poj2888,poj2154
博奕论
poj3317,poj1085
计算几何学
半平面求交
第3周
poj1699
搜索的技巧和优化
poj3411,poj1724
记忆化搜索
poj3373,poj1691
动态规划
较为复杂的动态规划
第4周
poj1191,poj1054,poj3280,poj2029,poj2948,poj1925,poj3034
记录状态的动态规划
poj3254,poj2411,poj1185
复化梯形算法求解数值积分
复化梯形算法求解数值积分摘要求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。
另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。
由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。
构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。
特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。
但是它们的精度较差。
而且高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。
因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。
这种方法称为复化求积方法。
本文从三个积分实例出发，主要讨论复化梯形公式以及精确程度分析。
关键词：数值积分；复化求积公式；复化梯形算法；MATLABTHE REHABILITATION OF TRAPEZOID FORMULA TO SOLVE THE NUMERICAL INTEGRATIONABSTRACTFind the definite integral of a function, in most cases, the original integrand function is difficult toexpress the elementary functions, it can use calculus of Newton - Leibniz formula to calculate thedefinite integral of the few opportunities . In addition, many practical problems in the integrand is often a list of functions or other forms of non-continuous function, the definite integral of suchfunctions, indefinite integral method can not solve. For these reasons, the numerical integration oftheory and method has been the subject of calculation of the basic mathematical research.Structural formula for numerical integration method is used most often on the n-th integration interval polynomial interpolation instead of the integrand, thus derived is called interpolation-typequadrature formula quadrature formula. Especially in the case of equidistant distribution of nodesis called Newton - Keci formula, such as trapezoidal formula and the formula is the most basicparabolic approximation formula. But their accuracy is poor. And high-level Newton-Cotesquadrature formula is unstable. So it is usually not higher-order quadrature formula to be moreprecise integral values, but the whole range of sub-points, with each short on low-level quadrature formula. This method is called complex method of quadrature.This example from three points of departure, the main complex of the trapezoid formula anddiscuss the accuracy of the analysis.Key words: Numerical integration；Rehabilitation of numerical integration；Rehabilitation of trapezoid formula；MA TLAB目录1 问题的提出 (1)2 问题的分析 (2)3 问题假设 (2)4 符号说明 (3)5 模型的建立及求解 (3)5.1 模型的准备工作 (3)5.1.1 复化梯形数值积分基本原理........... (3)5.2 模型的建立及求解 (4)6 模型验证及结果分析 (8)参考文献 (9)附录 (10)1问题提出有很多实际问题常常需要计算积分才能求解。
数阵图知识点五年级
数阵图知识点五年级数阵图是一种数学游戏，它通过在特定的格子中填入数字来完成游戏。
在小学五年级的数学课程中，数阵图通常被用来培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
以下是关于数阵图的一些知识点，适合五年级学生学习。
数阵图是一种有趣的数学活动，它要求我们在给定的格子中填入数字，满足一定的条件。
这些条件可能包括数字的总和、数字的排列顺序，或者是数字之间的特定关系。
通过解决数阵图，我们不仅可以锻炼自己的数学能力，还能提高解决问题的能力。
数阵图的类型数阵图有多种类型，包括但不限于：1. 和数阵图：要求每行、每列的数字之和等于一个特定的值。
2. 乘积数阵图：要求每行或每列的数字乘积等于一个特定的值。
3. 数字限制数阵图：在某些格子中，数字有特定的限制，比如不能出现重复的数字。
4. 逻辑数阵图：需要根据给定的逻辑规则来确定数字的放置。
解决数阵图的策略1. 观察和分析：在开始解决数阵图之前，先观察给定的数字和条件，尝试找出可能的规律。
2. 逐步填充：从容易确定的数字开始，逐步填充数阵图，注意保持每行每列的和或乘积符合要求。
3. 回溯法：如果发现某个数字的放置导致后续无法满足条件，需要回溯到上一步，重新选择数字。
4. 试错法：在没有明确线索的情况下，可以尝试不同的数字组合，通过试错来找到正确的答案。
数阵图的教育意义数阵图不仅是一个数学游戏，它还能够帮助学生：- 提高逻辑思维能力：通过解决数阵图，学生需要运用逻辑推理来确定数字的放置。
- 培养耐心和细心：数阵图的解决往往需要反复尝试和调整，这有助于培养学生的耐心和细心。
- 增强数学兴趣：数阵图将数学问题以游戏的形式呈现，能够激发学生的学习兴趣。
数阵图的实践应用数阵图的概念也可以应用于实际生活中，比如在解决资源分配问题、规划问题时，数阵图可以帮助我们更直观地理解问题，并找到解决方案。
通过数阵图的学习，五年级的学生们不仅能够提升自己的数学技能，还能在乐趣中学习到解决问题的方法。
第四章 矩阵论精编版
推论1
设矩阵
A
C nr r
(
Rrn，r ) 则存在n阶酉
（正交）矩阵Q和r阶复（实）的正线
上三角矩阵R使得
R
A
Q
O
推论2 设A是n阶实对称矩阵，则存在 正线上三角矩阵R，使得 A RT R .
第四章 矩阵分解
本章主要介绍QR分解、满秩分解、 奇异值分解。这些分解在计算数学、最优 化问题中都扮演着十分重要的角色，尤其 是QR分解所建立的QR方法，它对数值代数 理论的发展起着关键的作用。
第一节 矩阵的满秩分解
一.矩阵的满秩分解
定义
设
A
,若 C mn rLeabharlann 存在矩阵及 F
C mr r
G Crr , n 使
得 A FG ，则称其为A的一个满秩分解.
定理4.3 任何非零矩阵均存在满秩分解
注：满秩分解不唯一
A FG FDD1G (FD)(D1G) F1G1
例 求下列矩阵的满秩分解.
1 2 3 0
1.
0
2
1
1
1 0 2 1
1 1 0 1
2.
0
例 用Schmidt正交化方法求
3 14 9
A
6
43
3
6 22 15
的QR分解.
1
1
0
1 2 1 1
第二节 矩阵的QR分解
矩阵的分解在数值代数中起着重要作用 ，它为计算特征值的数值方法提供了理论 依据，并且是求解线性方程组的一个重要 工具.
矩阵微积分及应用
y 8 7 6 5 4 3 2 1 1
x+y=2 x+y=4 x+y=6 x+y=8
f(x,y)=5(x+y) x=[x y]T ▽x f(x)=[5 5]T
2
3
4
5
6
7
8
x
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
常用例子-2
函数 f ( x, y)
1 2 x y2 2
的梯度
8 7 6 5 4 3 2 1
x2+y2=4 x2+y2=16 x2+y2=36
y
f(x,y)=0.5x2+0.5y2 x=[x y]T ▽x f(x)=[x y]T
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8
1
2
Z
F
vecZ tr ZZ T
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
O
常用例子-4
行列式相对于矩阵的梯度
8 7 6 5 4 3 2 1 O 1
S A
y
S C
Ζ 1 T Ζ Ζ Ζ
C
1 1 Z x A x B y y B A
1 1 1 1 xC 3 7 3 yC 3 3 6
x1 y1 f ( A) x2 y1 A xm y1 x1 y2 x2 y2 xm y2 x1 yn x1 x2 yn y1 yn xyT xm xm yn
python用分数表示矩阵的方法
标题：Python使用分数表示矩阵的方法一、概述在日常编程和数据分析中，经常会涉及到矩阵的运算和表示。
而对于一些特殊的需求，我们可能需要使用分数来表示矩阵，这就需要用到Python中的分数表示方法。
本文将介绍如何在Python中使用分数来表示矩阵，并进行相应的运算。
二、使用fractions库创建分数矩阵1. 导入fractions库在Python中，我们可以使用fractions库来进行分数计算。
首先需要导入该库才能使用其中的分数表示方法。
2. 创建分数矩阵使用fractions库中的Fraction类，我们可以轻松地创建分数矩阵。
下面是一个简单的例子：```pythonfrom fractions import Fractionmatrix = [[Fraction(1, 2), Fraction(3, 4)], [Fraction(5, 6), Fraction(7, 8)]]```这样，我们就创建了一个2x2的分数矩阵。
三、分数矩阵的运算1. 矩阵加法对于分数矩阵的加法，我们可以直接使用加法运算符进行计算。
对两个分数矩阵进行加法操作：```pythonresult = [[a + b for a, b in zip(row1, row2)] for row1, row2 in zip(matrix1, matrix2)]```2. 矩阵乘法矩阵乘法是分数矩阵运算中比较常见的操作。
我们可以使用嵌套列表解析和zip函数来实现矩阵乘法。
对两个分数矩阵进行乘法操作：```pythonresult = [[sum(a * b for a, b in zip(row1, col2)) for col2 inzip(*matrix2)] for row1 in matrix1]```3. 矩阵转置对于分数矩阵的转置操作，我们可以使用zip函数和嵌套列表解析来实现。
对一个分数矩阵进行转置操作：```pythonresult = [list(row) for row in zip(*matrix)]```四、应用实例假设我们有两个分数矩阵，分别表示为：```pythonmatrix1 = [[Fraction(1, 2), Fraction(3, 4)], [Fraction(5, 6), Fraction(7, 8)]]matrix2 = [[Fraction(1, 3), Fraction(2, 5)], [Fraction(4, 7), Fraction(6, 9)]]```我们可以对这两个矩阵进行加法、乘法或转置等操作，得到相应的结果。
矩阵分解 矩阵补充
矩阵分解矩阵补充
矩阵分解，拆解线性代数的奥秘。
矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和计算机科学领域扮
演着重要的角色。
而矩阵分解则是将一个复杂的矩阵拆解成更简单
的形式，从而使得问题的求解变得更加高效和简单。
矩阵分解的方
法有很多种，其中最常见的包括LU分解、QR分解和奇异值分解等。
LU分解是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩
阵U的乘积。
这种分解在求解线性方程组和矩阵求逆时非常有用，
能够大大简化计算的复杂度。
QR分解则是将一个矩阵分解成一个正
交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，它在求解最小二乘问题和特
征值计算中发挥着重要作用。
而奇异值分解则是将一个矩阵分解成
三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵，另一个
是其转置矩阵，它在数据压缩和特征提取中有着广泛的应用。
除了以上提到的分解方法，还有许多其他的矩阵分解技术，它
们在不同的领域和问题中都有着重要的作用。
矩阵分解的发展不仅
推动了数学理论的进步，也为计算机科学和工程技术的发展提供了
重要的数学工具。
通过矩阵分解，我们能够更好地理解和解决复杂
的实际问题，为人类的科学探索和技术创新提供了有力的支持。
因此，矩阵分解不仅仅是一种数学工具，更是一种深刻的思维方式，它为我们揭示了线性代数的奥秘，让我们能够更好地理解世界的本质。
mathematical矩阵本征值解析
mathematical矩阵本征值解析矩阵的本征值解析是数学中的一个重要概念。
本征值指的是矩阵在某个向量上的作用后，结果与原向量仅相差一个常数倍数，这个常数倍数即为本征值。
解析本征值的过程可以帮助我们了解矩阵的性质和特征。
要求解析矩阵的本征值，我们需要解决以下的方程：(A-λI)x=0其中A是给定的n阶方阵，λ是本征值，I是单位矩阵，x是对应的本征向量。
这个方程被称为特征方程。
解决特征方程有多种方法，其中常用的是特征值分解法。
特征值分解法的基本思想是将矩阵A分解成PDP^(-1)的形式，其中P是由本征向量组成的矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素即为本征值。
通过求解方程(A-λI)x=0，我们可以得到特征向量，从而构建矩阵P。
然后，我们可以通过变换得到对角矩阵D，其中对角线上的元素即为特征值。
除了特征值分解法，还有其他方法可以用来解析矩阵的本征值，如幂法、QR方法和雅可比方法等。
每种方法都有其特点和适用范围。
选择合适的方法取决于矩阵的特性以及解析本征值的精度要求。
在实际应用中，解析矩阵的本征值对于很多问题都具有重要意义。
例如，在物理学中，本征值解析常常被用来分析量子力学问题，确定能量级别和粒子运动的稳定性。
在工程领域中，本征值解析可以帮助我们理解结构的固有振动模态，并优化设计。
在数据分析中，本征值解析可以用于主成分分析，帮助我们降维和提取重要特征。
总之，矩阵的本征值解析是一项重要的数学工具，在许多领域都有广泛的应用。
通过解析本征值，我们可以了解矩阵的性质，从而更好地理解和解决实际问题。
打分矩阵相关的归一化因子
打分矩阵相关的归一化因子
在打分矩阵中，归一化因子用于将不同的评分标准归一化为相同的尺度，以便进行更公平的比较和分析。
以下是一些常见的归一化因子：1、最大值归一化：将原始数据与该数据集中的最大值进行比较，将所有数据都归一化为0到1之间的值。
计算公式为：
归一化分数= 原分数/ 最大值
2、最小值归一化：将原始数据与该数据集中的最小值进行比较，将所有数据都归一化为0到1之间的值。
计算公式为：
归一化分数= 原分数-最小值
3、Z-score归一化：将原始数据与该数据集的平均值和标准差进行比较，将所有数据都归一化为标准正态分布（均值为0，标准差为1）。
计算公式为：
归一化分数= (原分数-平均值) / 标准差
4、方差归一化：将原始数据的方差调整为1，即使得所有数据的差异程度相同。
计算公式为：
归一化分数= 原分数/ 方差
需要注意的是，不同的归一化因子适用于不同的数据类型和问题，选择合适的归一化因子需要根据具体情况进行判断。
Schur补的性质及其相关应用
Schur补的性质及其相关应用学院：信息工程学院专业: 通信与信息系统姓名: 罗桃建学号: 6120140152摘要矩阵Ｓｃｈｕｒ补是矩阵理论中一个重要的知识点，在矩阵理论、统计分析、数值计算、线性方程组求解、区域分解方法、线性系统、控制论等问题的研究。
中都有着广泛的应用．本文主要研究矩阵Ｓｃｈｕｒ补理论在矩阵理论中的问题．利用矩阵的一些基本性质和数学研究中的一些基本方法讨论Schur补、schur多项式、schur不等式、schur积、广义schur补、矩阵schur补、实方阵schur稳定、schur凸函数的相关应用．关键词：Schur补；广义Schur补；schur多项式ABSTRACTMatrix Schur complement is one of the most important kens both in theory and applications,and it has wide applications in the study of Schur complement, Schur polynomial, Schur inequality, Schur product,generalized Schur complement, matrix Schur complement, nuclear Schur, Schur real square matrix a stable, Schur convex function.Key word: Schur complement, matrix Schur complement, Schur polynomial目录第一章绪论 (4)1.1基本概念及要研究的问题 (4)1.2 Schur不等式 (5)第二章Schur补性质和广义Schur补的性质 (6)2.1相关符号简介 (6)2.2矩阵Schur补的性质 (6)2.3 相关符号与引理简介 (7)第三章矩阵乘积之Schur补的奇异值估计 (9)3.1 相关符号与引理简介 (9)3.2本章小结 (10)第四章矩阵Schur补和实方阵Schur稳定、Schur凸函数的相关应用 (10)4.1 矩阵Schur补应用 (10)4.2 schur稳定 (11)4.3 schur凸函数 (11)参考文献 (13)附：对邹老师的看法： (14)第一章 绪 论1.1基本概念及要研究的问题矩阵Schur 补的概念是1917年L.Schur 在他的一篇文章中提出的，它在矩阵理论,统计分析，数值计算，线性方程组求解，区域分解方法，线性控制等领域都有着重大作用。
python用分数表示矩阵的方法
python用分数表示矩阵的方法在数学和计算科学中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于线性代数、图论、概率统计等领域。
Python作为一门功能强大的编程语言，提供了众多表示和操作矩阵的方法。
本文将介绍一种使用分数表示矩阵的方法，并给出相应的示例代码。
在Python中，我们可以使用第三方库Fraction来处理分数运算。
Fraction模块提供了一种数据类型，用于表示分数，该模块中的Fraction类可以创建和操作分数对象。
下面是如何使用Fraction模块来表示矩阵的步骤：1. 导入Fraction模块：from fractions import Fraction2. 创建一个矩阵对象：matrix = []3. 输入矩阵的行数和列数，并逐个输入矩阵元素：rows = int(input("请输入矩阵的行数："))cols = int(input("请输入矩阵的列数："))for i in range(rows):row = []for j in range(cols):element = Fraction(input("请输入矩阵元素："))row.append(element)matrix.append(row)4. 打印矩阵：for row in matrix:for element in row:print(element, end=" ")print()通过以上步骤，我们可以使用分数对象来表示矩阵元素，并将其存储在matrix矩阵中。
接下来，我们可以根据需要对矩阵进行各种操作，比如矩阵加法、矩阵乘法等。
下面是一些常见操作的示例代码：1. 矩阵加法：def matrix_addition(matrix1, matrix2):result = []for i in range(len(matrix1)):row = []for j in range(len(matrix1[0])):element = matrix1[i][j] + matrix2[i][j]row.append(element)result.append(row)return result2. 矩阵乘法：def matrix_multiplication(matrix1, matrix2):result = []for i in range(len(matrix1)):row = []for j in range(len(matrix2[0])):element = 0for k in range(len(matrix1[0])):element += matrix1[i][k] * matrix2[k][j] row.append(element)result.append(row)return result3. 矩阵转置：def matrix_transpose(matrix):result = []for j in range(len(matrix[0])):row = []for i in range(len(matrix)):element = matrix[i][j]row.append(element)result.append(row)return result通过以上示例代码，我们可以在Python中使用分数对象来表示矩阵，并进行各种矩阵操作。
矩阵schur分解
矩阵的Schur分解是一种矩阵分解方法，得名于德国数学家Issai Schur。
它可以将一个矩阵A分解成酉矩阵U和上三角矩阵T，即A=UTAU^T。
这种分解方法在数值计算、特征值计算等领域有着广泛的应用。
具体来说，给定一个矩阵A，可以通过QR算法或其变体进行数值计算，找到其Schur分解。
换句话说，与矩阵相对应的特征多项式的根不一定在前面计算以获得其Schur分解。
相反，QR算法可用于通过找到其伴随矩阵的Schur分解来计算任何给定特征多项式的根。
类似地，QR算法用于计算任何给定矩阵的特征值，其是Schur分解的上三角矩阵的对角条目。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅相关网站。
小学奥数试题集锦 数阵图(二).教师版与学生版都有
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。