研究空间曲线_曲面的两个基本问题
空间几何中的曲面方程与空间曲线的应用
空间几何中的曲面方程与空间曲线的应用在空间几何中，曲面方程和空间曲线是两个重要的概念。
曲面方程描述了一个在三维空间中具有特定形状和性质的曲面，而空间曲线则描述了一个在三维空间中的曲线路径。
这两个概念在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
一、曲面方程的基本概念与应用曲面方程是用来描述曲面形状和性质的数学方程。
在空间几何中，常见的曲面方程包括球面方程、柱面方程和锥面方程等。
1. 球面方程的应用球面方程是描述一个圆心和半径确定的球面的方程。
在物理学中，球面方程被广泛应用于描述天体运动、电荷分布以及声波传播等现象。
例如，根据球面方程可以计算出地球的形状和大小，并用于导航系统的定位。
此外，球面方程还可以用于计算球形容器的容积和表面积，对工程设计有着重要的意义。
2. 柱面方程的应用柱面方程是描述一个平行于一个直线轴的曲面的方程。
柱面在建筑设计和机械工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，柱面方程被用来描述建筑物的立柱和圆柱体结构，以确保结构的稳定性和坚固性。
另外，在机械工程中，柱面方程也被用来描述容器、管道和汽缸等具有圆柱形状的物体。
3. 锥面方程的应用锥面方程是描述由一条直线和一个尖点组成的曲面的方程。
锥面在物理学和光学中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，锥面方程可以用来描述电荷分布和电场强度等现象。
在光学中，锥面方程被用来描述光学器件（如透镜）的形状和功能，进而实现光的聚焦和折射效果。
二、空间曲线的基本概念与应用空间曲线是描述一个在三维空间中的曲线路径的数学概念。
空间曲线的表示方法可以使用参数方程、一般方程和向量方程等多种形式。
1. 参数方程的应用参数方程是使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
参数方程在物理学和工程学中被广泛应用。
例如，在物理学中，使用参数方程可以描述粒子在空间中的运动轨迹，从而研究物体的速度、加速度等运动特性。
在工程学中，参数方程可以用于设计曲线形状的物体，如汽车车身曲线和船体曲线等。
解析几何中的空间曲线与曲面的关系
解析几何是数学的一个分支，它研究的是几何图形在坐标系中的表示和性质。
其中一个重要的概念就是空间曲线和曲面的关系。
本文将从几何角度探讨空间曲线与曲面之间的关系。
空间曲线是指在三维坐标系中的曲线，可以用参数方程表示。
曲面则是指在三维坐标系中的平面或者弯曲的曲面。
空间曲线与曲面的关系可以通过曲线与曲面的交点来刻画。
当一个曲线与一个曲面相交时，我们可以通过求解曲线与曲面的方程联立方程组来得到交点的坐标。
在解析几何中，曲线与曲面的交点数目可能有三种情况：零个交点、一个交点和多个交点。
当曲线与曲面没有交点时，我们可以得出结论这条曲线不与这个曲面相交。
当曲线与曲面有一个交点时，我们可以得出结论这条曲线与这个曲面相切于交点。
当曲线与曲面有多个交点时，我们需要进一步研究求出这些交点的坐标。
对于曲线与曲面多个交点的情况，我们可以通过求解曲线与曲面的参数方程联立方程组来得到交点的坐标。
将曲线的参数方程代入曲面的方程中，然后解方程组，得到交点的坐标。
这种方法可以准确求解交点的坐标，从而得到曲线与曲面的关系。
在解析几何中，还有一种特殊的情况，即曲线与曲面相切于一个点。
当曲线与曲面相切于一个点时，我们称这个点为曲线在曲面上的切点。
切点是曲线和曲面之间的特殊关系，可以用来研究曲线在曲面上的运动轨迹。
通过研究切点的性质，我们可以得到曲线在曲面上的切线方向和曲面的法线方向。
曲线在曲面上的切线方向是曲线在切点处的切线方向。
切线方向与曲线的斜率有关，可以通过求解曲线在切点处的导数得到。
曲线在曲面上的切线方向可以用来研究曲线与曲面的相切性质。
曲面的法线方向是曲面在切点处的法线方向。
法线方向与曲面的切平面垂直，可以用来研究曲面的性质和方向。
曲线在曲面上的切线方向和曲面的法线方向可以用来研究曲线与曲面的相对位置和变化趋势。
综上所述，解析几何中的空间曲线与曲面的关系可以通过曲线与曲面的交点来刻画。
当曲线与曲面有交点时，我们可以通过求解方程组来得到交点的坐标。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学几何学中的重要概念，它们在描述和分析三维物体的形状和特征时起着关键作用。
本文将就空间曲线和空间曲面的定义、性质和应用进行深入探讨。
一、空间曲线的定义与性质空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，它由一系列相互关联的点组成。
可以用参数方程或者向量函数来表示，以便对其进行解析研究。
常见的空间曲线有直线、曲线和闭合曲线等。
直线是最简单的空间曲线，可由两个不同的点确定。
曲线则弯曲或扭转，并有无数个点组成。
闭合曲线是形状回到起点的曲线，如圆或椭圆。
空间曲线具有以下重要性质：1. 弧长：空间曲线的长度称为其弧长，可以通过对曲线进行参数化和积分计算得到。
2. 切线：对于空间曲线上的每个点，都有一个切线与其相切。
切线是曲线在该点弯曲方向上的极限。
3. 曲率：曲线的曲率描述了曲线在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲线的切线和法线计算得到。
4. 弯曲方向：曲线可以向左弯曲或向右弯曲，具体取决于曲线上连续两个点的位置关系。
二、空间曲面的定义与性质空间曲面是三维空间中的一个连续平面，由一系列相关的点构成。
类似于空间曲线，空间曲面也可以用参数方程或者向量函数进行表示。
常见的空间曲面有平面、球面和圆锥面等。
平面是最简单的空间曲面，由无限多个平行于其自身的直线组成。
球面由到球心距离相等的点组成。
圆锥面则由一个尖点和无数个从尖点射出的直线构成。
空间曲面具有以下重要性质：1. 切平面：对于空间曲面上的每个点，都存在一个切平面与其相切。
切平面是曲面在该点处切割曲面所得的截面。
2. 法线：曲面上每个点都有一个法线垂直于曲面。
法线方向是指在该点处曲面向外的方向。
3. 曲率：曲面的曲率描述了曲面在某点处的弯曲程度。
曲率可以通过曲面的切平面和法线计算得到。
4. 弯曲特性：曲面可以是凸的（向外弯曲）、凹的（向内弯曲）或既不凸也不凹。
三、空间曲线与空间曲面的应用空间曲线和空间曲面在实际应用中有着广泛的应用，特别是在工程学和物理学领域。
空间曲线与曲面的基本概念与性质
空间曲线与曲面的基本概念与性质空间曲线和曲面是微积分中的基本概念。
在数学中，空间曲线是通过空间中移动的点定义的对象，而曲面则是由空间中移动的曲线定义的对象。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是通过空间中一条路径上的点定义的。
例如，考虑一条简单的曲线，如y = sin(x)，该曲线在二维平面上表示为点的集合。
然而，在三维空间中，我们可以考虑该曲线如何在不同的方向上弯曲，这就是空间曲线的概念。
空间曲线还可以用参数方程来表示，例如，对于一条平面上的曲线y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的空间曲线，其中 z 表示曲线在第三个维度上的高度。
许多重要的数学对象和算法都依赖于空间曲线，例如微积分中的积分曲线、微分几何中的切向量和曲率等。
二、空间曲线的性质空间曲线有许多重要的性质，这些性质是微积分中的基本概念。
1. 方向性：空间曲线沿某个方向运动时有所不同，这是由于空间曲线的切向量在不同方向上的变化不同。
2. 曲率：空间曲线的曲率表示曲线在某一点处的弯曲程度。
曲线的曲率越大，说明该点处曲线的弯曲程度越大。
3. 弧长：空间曲线的弧长是曲线的长度。
计算曲线弧长可以方便计算曲线上的其他性质。
三、曲面的基本概念曲面是经过空间中一条路径上的所有点的集合定义的对象。
曲面可以通过约束曲线（例如，平面或抛物线）的运动来定义。
例如，考虑一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以对其进行旋转来构建一个圆柱体的曲面。
类似的，我们可以通过旋转一个椭圆来构建一个椭球体的曲面。
曲面也可以用参数方程来表示，例如，对于一个平面曲线 y = sin(x)，我们可以将其表示为 z = f(x, y) = sin(x) 的曲面，其中 z 表示曲面在第三个维度上的高度。
四、曲面的性质曲面是微积分中的基本概念，具有许多重要的性质。
1. 切向量：曲面在某个点处的切向量是曲面在该点处切线的方向向量。
2. 法向量：曲面在某个点处的法向量是垂直于曲面切线的向量。
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学以及计算机图形学等领域中都有着广泛的应用。
本文将对空间曲线和空间曲面进行详细的介绍，并探讨它们的特性和性质。
一、空间曲线空间曲线是三维空间中的曲线，可以用参数方程或者向量方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点表示为参数 t 的函数，通常用向量形式表示。
向量方程则是直接用向量表示曲线上的点，一般形式为 r(t) =(x(t), y(t), z(t))，其中 x(t)，y(t)，z(t) 分别表示曲线在 x、y、z 轴上的坐标。
空间曲线可以分为直线和曲线两种形式。
直线是最简单的空间曲线，可以用一个点和一个方向向量来确定。
曲线则更为复杂，可以是一段圆弧、螺旋线或者任意曲线。
二、空间曲面空间曲面是三维空间中的曲面，可以用方程、参数方程或者向量方程来表示。
方程形式的空间曲面通常为 F(x, y, z) = 0，其中 F(x, y, z) 是一个关于 x、y、z 的函数。
参数方程和向量方程也可以用来表示空间曲面，其中参数方程将曲面上的点表示为参数 u、v 的函数，向量方程则直接用向量表示曲面上的点。
空间曲面可以分为封闭曲面和非封闭曲面。
封闭曲面是指四面都封闭的曲面，比如球体或者圆柱体。
而非封闭曲面则是有开口的曲面，比如抛物面或者双曲面。
三、空间曲线的特性和性质1. 切线与法线：空间曲线上的每个点都有一个切线和一个法线。
切线是与曲线相切的直线，其斜率等于曲线在该点的导数；法线则垂直于切线，并与切线构成曲线的法平面。
2. 弧长和曲率：空间曲线的弧长是曲线上的两点间距离。
曲率是衡量曲线弯曲程度的指标，可以通过曲线的切线和法线计算得到。
3. 参数化表示：空间曲线的参数化表示可以使曲线更加灵活，方便计算和研究。
不同的参数化方式可以得到不同的曲线形状。
四、空间曲面的特性和性质1. 曲面方程：空间曲面可以用方程、参数方程或者向量方程表示。
方程形式的曲面方程通常是一个关于 x、y、z 的等式，可以反映曲面上点的坐标特性。
空间曲线与曲面
空间曲线与曲面空间曲线和曲面是几何学中的重要概念，它们在数学、物理学以及工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的基本概念，并讨论它们的性质和应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一组点按照一定规律组成的线条。
通常情况下，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一条空间曲线。
1. 参数方程参数方程是一种用参数表示变量关系的方法。
对于空间曲线而言，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数是一种将向量与参数相关联的函数。
对于空间曲线而言，向量函数可以表示为：r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k其中，r(t)表示曲线上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(t)、y(t)、z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上不同点的位置向量。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中由曲线按照一定规律延伸得到的平面或者曲面。
与空间曲线类似，我们可以用参数方程或者向量函数来描述一个空间曲面。
1. 参数方程参数方程可以用来表示平面或曲面上每一个点的坐标。
对于空间曲面而言，参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别表示曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上不同点的坐标。
2. 向量函数向量函数可以用来表示曲面上每一个点的位置向量。
对于空间曲面而言，向量函数可以表示为：r(u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k其中，r(u, v)表示曲面上一点的位置向量，i、j、k是空间直角坐标系的单位向量，x(u, v)、y(u, v)、z(u, v)是关于参数u和v的函数。
研究空间曲线、曲面的两个基本问题
系中具有某些共 同性质的点的坐标之间关系 的反映 。已知空 坐 标 面 ｘｏｙ，
间曲线 、曲面 作 为 点 的 轨 迹 求 其 方 程 、就 是 将 某 条 件 转 化 为 某方程，形成点 一 坐标 ，条件 一 方程 ，图形 一 曲线、曲面的 对 应 关系 。
设 －７ ７ｒ的交点为Ｑ，则Ｑ的坐标为（ｎ，－云Ｉ，。）
（ 一 ０） ＋ （，，一 ０） ＋ （２一 ０） ＝ ＪＲ
例 ２、设￡，和￡：是两
２
条 不 共 面 又不 垂 直 的直 线 ，
求￡：绕￡，旋转 所成 曲面
的方 程 。
解 ：取￡ 为 ｚ轴 ，￡，与
￡ 的 公 垂 线 为 轴 ，这 样
￡：就垂直于 轴，
设￡ 与 轴 的交 点 为
ｆ 。
＝ｆｉｇ Ｌ：的参数方程为：｛ｙ＝ｆ
【 ：
示 ，点的变动必然引起坐标 的变化 ，点的坐 标变化形成反 映
＿。Βιβλιοθήκη ．Ｌ。与￡：不 共 面 又 不垂 直
，． ．
≠ ０，
几 何 条件 的方 程 。因 此 ，空 间 曲线 、曲 面 的 方 程 正 是 空 间 坐标
设 Ｐ（ ，Ｙ，ｚ）是 曲面上任一点 ，过 Ｐ作平 面 仃．使 ７ｒ ｌ／／
二 、已知空 间曲线、曲面上 点的坐标 问的关系式研 究 曲 线、曲面的形状 及空 间区域
曲线 、曲面是几何 中的对象 ，方程 是代数 中的对象 ，通过 坐标法把它们联系起来 ，即几何 中的点的运动与代数 中的量 的变化统一起来了 ，从而能用代数的方法研究几何 图形 的性 质，开辟 了“形数结合 ”的途径。
即 ＝√ｎ２＋吾，亦即 Ｘ２＋手一斋＝ ，
这是双 曲线绕虚轴旋转生成的旋转面 例 ３、设 动 点 Ｐ到 ｚ轴 的 距离 是 ３，到 ｘｏｙ坐标 面 的距 离 是 ２，并且点 Ｐ在 ｚ轴正向一侧 ，求动点 Ｐ的轨迹方程。
附-1_空间曲面与空间曲线
旋转一周的旋转曲面方程为
F x,
y 2 z 2 0.
xoz 坐标面上的已知曲线 F ( x , z ) 0 绕 x 轴旋转
一周的旋转曲面方程为
F x,
y 2 z 2 0.
xoz 坐标面上的已知曲线 F ( x , z ) 0 绕 z 轴
所求方程为
2
2 4 116 2 . x y 1 z 3 3 9
2
二、柱面
给定一曲线 , 如果动直线L沿曲线 平行移动 ,
则动直线L所形成的曲面,称为柱面. 这条定曲线 叫 柱面的准线，动 直线L 叫柱面的 母线. 观察柱面的形 成过程:
一、空间曲面与空间曲线
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程 F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1)曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程, 那 么 ， 方 程 F ( x, y, z ) 0 就 叫 做 曲 面 S 的 方 程，而曲面 S 就叫做方程的图形． 研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知一曲面的几何轨迹，建立曲面方程．
2 2 2 2
M
M
0
y
x
(1,0,0)
x y x 0 y0 用 x0 1, y0 z0 , z z 0 代入上式，化简得 2 2 2 x y 1 z , 即所求曲面方程为 2 2 2 x y z 1.
四、锥面 设空间一定点 P0 和一定曲线 , 过 上每一点引一 条过 P0 的直线，这些直线形成的曲面叫做锥面。 定点 P0 称为锥面的顶点. 定曲线 称为锥面的准线. 构成锥面的动直线, 称为 锥面的母线. 例1 试建立顶点在原点, 准线为 x y 1
第三节 空间曲面及方程
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:
线性代数+曲面与空间曲线
平面上的椭圆. 准线 : xOy 平面上的椭圆 轴平行. 母线 : 与 z 轴平行
x
oc
y
例
x2 y2 − 2 = 1 (a > 0, b > 0) 2 a b
双曲柱面
准线: 准线 xOy 平面上的双曲线 母线: 与z 轴平行 轴平行. 母线
O x
z
y
例 y 2 = 2px 准线: 平面上的抛物线. 准线 xOy 平面上的抛物线 母线: 轴平行. 母线 与z 轴平行 抛物柱面
所表示的曲线称为圆柱螺旋线． 所表示的曲线称为圆柱螺旋线． 称为圆柱螺旋线
z
o
x A
y
3. 空间曲线在坐标面上的投影
C: 空间曲线
z C S
S: 以C为准线，母线与 轴 为准线， 为准线 母线与z 平行的曲面，称为投影柱面 投影柱面. 平行的曲面，称为投影柱面 C ’: C在xOy 平面上的投影 在 平面上的投影 投影.
f ( y1 , z1 ) = 0
得方程
f ± x + y , z = 0,
2 2
(
)
坐标面上曲线 是 yOz坐标面上曲线 f ( y, z) = 0绕 z 轴旋转一 旋转曲面方程. 周的旋转曲面方程
同理： 同理 ： yOz 坐标面上的曲线 f ( y, z) = 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, ± x + z = 0.
2 2
(
)
一般地，坐标面上的曲线，绕此坐标面上的一个坐 一般地，坐标面上的曲线， 标轴旋转，其旋转曲面的方程可按下列方式写出： 标轴旋转，其旋转曲面的方程可按下列方式写出： 对于曲线在坐标面上的方程 对于曲线在坐标面上的方程 曲线在坐标面上的 （1）保留与旋转轴同名的坐标； 保留与旋转轴同名的坐标； 与旋转轴同名的坐标 （2）以其他两个坐标平方和的平方根 代替方程中的另一坐标. 代替方程中的另一坐标. 方程中的另一坐标
微积分中的空间曲线与空间曲面方程
微积分中的空间曲线与空间曲面方程微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化与极限。
在微积分中，我们经常会遇到空间曲线和空间曲面方程的问题。
本文将探讨微积分中的空间曲线与空间曲面方程的相关知识。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中由一系列点组成的曲线。
在微积分中，我们通常使用参数方程来描述空间曲线。
参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
例如，对于一条空间曲线C，我们可以使用参数t来表示曲线上的点的坐标，即(x(t), y(t), z(t))。
在研究空间曲线时，我们经常需要计算曲线的长度、曲率等属性。
曲线的长度可以通过弧长公式来计算，即L = ∫ds，其中ds表示弧长元素。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标，可以通过曲线的切线和曲率半径来计算。
曲率半径R可以通过公式R = (1/k)来计算，其中k是曲线的曲率。
二、空间曲面方程空间曲面是指在三维空间中由一系列点组成的曲面。
在微积分中，我们通常使用隐式方程或参数方程来描述空间曲面。
隐式方程是通过将曲面上的点的坐标代入方程得到的等式，例如F(x, y, z) = 0。
参数方程是通过引入一个或多个参数来表示曲面上的点的坐标，例如(x(u, v), y(u, v), z(u, v))。
在研究空间曲面时，我们经常需要计算曲面的切平面、法向量等属性。
曲面的切平面是指与曲面相切且与曲面的法向量垂直的平面。
切平面可以通过曲面上一点的法向量和该点的切向量来确定。
曲面的法向量是指与曲面上任意一点的切平面垂直的向量，可以通过曲面的方程来计算。
三、应用举例现在我们来看一个应用举例，以帮助更好地理解微积分中的空间曲线与空间曲面方程。
假设我们有一个空间曲线C，其参数方程为：x(t) = cos(t)y(t) = sin(t)z(t) = t我们希望计算曲线C在区间[0, 2π]上的长度。
根据弧长公式，曲线C的长度可以表示为：L = ∫ds其中，ds表示弧长元素，可以表示为：ds = √(dx^2 + dy^2 + dz^2)将曲线C的参数方程代入上式，可以得到：ds = √((-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2) dt= √(2) dt因此，曲线C在区间[0, 2π]上的长度可以表示为：L = ∫√(2) dt= √(2) t |[0, 2π]= √(2) (2π - 0)= 2√(2)π通过以上计算，我们得知曲线C在区间[0, 2π]上的长度为2√(2)π。
空间解析几何中的空间曲线与曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面在数学中，空间解析几何是研究空间中的点、直线、曲线和曲面等几何元素的学科。
其中，空间曲线和曲面是解析几何中的重要概念，对于研究空间中的形状和运动非常关键。
本文将介绍空间解析几何中的空间曲线与曲面，并对其相关性质进行探讨。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
常见的空间曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
下面以直线为例进行讨论。
1. 直线在空间解析几何中，直线可通过点和方向确定。
假设直线上有两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则直线的方向向量为AB(x₂-x₁,y₂-y₁, z₂-z₁)。
方向向量是指从点A指向点B的向量。
除了通过两个点来确定直线外，我们还可以使用点与方向向量的形式表示直线。
设直线上一点为P(x, y, z)，则直线的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中t为参数，同时a、b、c为方向向量AB的分量。
2. 抛物线、椭圆和双曲线在空间解析几何中，抛物线、椭圆和双曲线都是曲线的一种。
它们的方程可以通过二次方程来表示。
以抛物线为例，其方程一般形式为：Ax² + By² + Cz = 0其中A、B、C为实数，并且A和B不同时为零。
抛物线在空间中呈现出的形状取决于A、B和C的取值。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
常见的空间曲面包括平面、球面、圆锥曲面和椭球面等。
1. 平面在空间解析几何中，平面是由三个相互垂直的坐标轴确定的。
平面可以用一个点和一个法向量来表示。
假设平面上有一点P(x₁, y₁, z₁)，该平面的法向量为N(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0其中(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
2. 球面在空间解析几何中，球面是由一个固定点O和到该点距离相等的所有点构成的曲面。
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质
空间曲线和空间曲面的基本概念和性质空间曲线和空间曲面是高等数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、空间曲线的基本概念空间曲线是指在三维空间中的一条曲线，可由参数方程、一般方程或向量方程来描述。
1. 参数方程空间曲线的参数方程给出了曲线上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)的曲线在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(t), g(t), h(t))。
2. 一般方程空间曲线的一般方程为F(x, y, z) = 0。
例如，x^2 + y^2 + z^2 = 4表示一个球面。
3. 向量方程空间曲线的向量方程用向量表示曲线上任一点，用参数表示向量的方向。
例如，r(t) = ai + bj + ck表示一个向量r在三维空间中随参数t改变的轨迹。
二、空间曲线的性质空间曲线有着一些重要的性质，包括弧长、切向量和曲率等。
1. 曲线的弧长曲线的弧长是曲线上两点之间的路径长度。
利用参数方程，可以通过积分计算曲线的弧长。
2. 曲线的切向量曲线的切向量表示曲线在某点的切线方向，其方向是曲线在该点的切线方向，模为单位长度。
切向量与曲线的切线垂直。
3. 曲线的曲率曲线的曲率衡量了曲线的弯曲程度。
曲率的倒数称为曲率半径，表示曲线上某点处的曲线在该点的局部半径。
三、空间曲面的基本概念空间曲面是指在三维空间中的一个二维曲面，可由一般方程或参数方程来描述。
1. 参数方程空间曲面的参数方程给出了曲面上每一点的坐标与参数的关系。
一条参数方程为x = f(u, v)，y = g(u, v)，z = h(u, v)的曲面在三维空间中表示为(x, y, z) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))。
2. 一般方程空间曲面的一般方程为F(x, y, z) = 0。
空间曲线与空间曲面
空间曲线与空间曲面空间曲线和空间曲面是微积分和几何学中的重要概念，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和空间曲面的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
它可以用参数方程或者向量函数来表示。
例如，对于参数方程来说，一条空间曲线可以表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中x、y、z分别表示曲线上的点的坐标，而f(t)、g(t)、h(t)则是关于参数t的函数。
通过改变参数t的值，我们可以得到曲线上的不同点。
空间曲线有许多重要的性质。
其中之一是曲线的切线方向。
在曲线上的任意一点P，曲线的切线方向是通过该点的一条直线，它与曲线在该点的切线相切。
曲线的切线方向可以通过求曲线在该点的导数来得到。
另一个重要的性质是曲率。
曲线的曲率描述了曲线的弯曲程度。
曲线的曲率可以通过求曲线的曲率半径来得到。
曲率半径是曲线在某一点处的切线与曲线在该点的曲率圆的半径。
曲线的曲率半径越小，曲线的弯曲程度越大。
空间曲线在物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以通过描述物体的运动轨迹来研究物体的运动状态。
而物体的运动轨迹可以用空间曲线来表示。
另外，在电磁学中，我们可以通过描述电流在导线中的流动来研究电磁场的分布。
而电流的流动路径可以用空间曲线来表示。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
它可以用隐函数方程或者参数方程来表示。
例如，对于隐函数方程来说，一个空间曲面可以表示为F(x,y,z)=0，其中F(x,y,z)是关于x、y、z的函数。
通过满足隐函数方程的点，我们可以得到曲面上的点。
空间曲面也有许多重要的性质。
其中之一是曲面的法线方向。
在曲面上的任意一点P，曲面的法线方向是垂直于曲面在该点的切平面的方向。
曲面的法线方向可以通过求曲面在该点的梯度来得到。
另一个重要的性质是曲面的曲率。
曲面的曲率描述了曲面的弯曲程度。
曲面的曲率可以通过求曲面的主曲率来得到。
空间曲线与曲面分析
空间曲线与曲面分析空间曲线和曲面是三维几何学中的重要概念，它们在数学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍空间曲线和曲面的定义、表示方法、性质以及分析技巧。
一、空间曲线的定义与表示方法空间曲线是三维空间中的一条连续曲线，可以用参数方程或者隐式方程表示。
参数方程表示法中，空间曲线上的每一点都由参数的函数确定。
常见的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是参数t的函数。
隐式方程表示法则可以通过将曲线所在平面的方程转化为含有x、y、z的等式来表示。
二、空间曲线的性质分析空间曲线具有多种性质，下面介绍几个常见的分析技巧。
1. 切向量和切线：曲线上的每一点都有一个切向量，它表示曲线在该点处的方向。
切向量的定义为曲线在该点处的导数。
切线则是通过曲线上一点和其切向量所确定的直线。
2. 弧长和曲率：曲线的弧长是曲线上两点间的距离，可以通过积分求得。
曲率是反映曲线弯曲程度的量，可以通过曲线的切线和曲线在该点处的凹凸性来确定。
3. 曲线的分类：根据曲线的性质，可以将曲线分为直线、椭圆、抛物线和双曲线等不同类型。
三、曲面的定义与表示方法曲面是三维空间中一条或多条曲线所形成的表面。
曲面可以用参数方程、隐式方程或者显示方程表示。
参数方程和隐式方程的表示方法与空间曲线相似。
显示方程则是将曲面的方程转化为x、y、z的等式。
四、曲面的性质分析曲面也具有多种性质，下面介绍几个常见的分析技巧。
1. 切平面和切点：曲面上的每一点都有一个切平面，它与曲面相切，并且与曲面在该点的法线垂直。
切点是切平面与曲面相交的点。
2. 曲面的方向导数：曲面上某一点的方向导数是曲面在该点沿给定方向的变化率。
3. 曲面的法线和曲率：曲面上的每一点都有一个法线，它垂直于切平面。
曲率则是描述曲面在该点处的弯曲程度。
总结：空间曲线和曲面是三维几何学中重要的概念，通过参数方程、隐式方程或者显示方程可以表示。
空间几何中的曲线与曲面
空间几何中的曲线与曲面空间几何是研究物体在三维空间中的形状、位置和运动的数学学科。
在空间几何中，曲线和曲面是两个重要的概念。
曲线是一条连续的曲线，而曲面是一个连续的曲面。
一、曲线曲线是空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体的轮廓、路径和形状。
在空间几何中，曲线可以用参数方程或者向量函数来表示。
1. 参数方程表示曲线参数方程是一种描述曲线的方法，它通过引入一个参数，将曲线上的每个点表示为参数的函数。
例如，对于一个平面上的曲线，可以使用参数方程：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的不同点。
2. 向量函数表示曲线向量函数是另一种描述曲线的方法，它使用向量来表示曲线上的每个点。
例如，对于一个平面上的曲线，可以使用向量函数：r(t) = (x(t), y(t))其中，r(t)是曲线上的点的位置向量，x(t)和y(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上的不同点。
二、曲面曲面是空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体的外形、表面和形状。
在空间几何中，曲面可以用参数方程或者隐式方程来表示。
1. 参数方程表示曲面参数方程是一种描述曲面的方法，它通过引入两个参数，将曲面上的每个点表示为参数的函数。
例如，对于一个三维空间中的曲面，可以使用参数方程：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是关于参数u和v的函数。
通过改变参数u和v的取值范围，可以得到曲面上的不同点。
2. 隐式方程表示曲面隐式方程是另一种描述曲面的方法，它使用方程来表示曲面上的点。
例如，对于一个三维空间中的曲面，可以使用隐式方程：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是关于x、y和z的方程。
通过解方程F(x, y, z) = 0，可以得到曲面上的点。
空间曲线的长度与曲面的面积
空间曲线的长度与曲面的面积空间曲线和曲面是数学中重要的概念，它们在几何和物理学等领域有广泛的应用。
本文将探讨空间曲线的长度和曲面的面积之间的关系，以及计算它们的方法。
在讨论之前，先明确空间曲线和曲面的定义。
空间曲线是指在三维空间中由点和线组成的集合，可以用参数方程或者参数方程表示。
曲面是指在三维空间中由点组成的集合，可以用方程或参数方程表示。
在具体的计算中，我们通常会遇到空间曲线的长度和曲面的面积的计算问题。
首先，我们来讨论空间曲线的长度。
对于平面上的曲线，我们可以通过计算弧长来得到其长度。
而对于空间曲线，我们可以将其分割成若干小段，然后利用勾股定理计算每一小段的长度，最后将所有小段的长度相加得到曲线的总长度。
具体而言，对于参数方程表示的曲线，假设其参数范围为[a, b]，我们可以将该曲线分割成n个小段，其中每一小段的长度可以通过以下公式计算得到：∆s = √(∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2)其中，∆x、∆y和∆z分别表示曲线在x轴、y轴和z轴上的投影长度的差值。
然后，将所有小段的长度相加即可得到曲线的长度：L = Σ∆s = Σ√(∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2)这就是计算空间曲线长度的一般方法。
接下来，我们来讨论曲面的面积。
对于平面上的曲线，我们可以通过计算定积分来得到其与x轴之间的面积。
而对于曲面，我们可以将其分割成若干小面元，然后计算每一小面元的面积，最后将所有小面元的面积相加得到曲面的总面积。
具体而言，对于参数方程表示的曲面，假设其参数范围为[u, v]，我们可以将该曲面分割成n个小面元，其中每一小面元的面积可以通过以下公式计算得到：∆A = ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥∆u∆v其中，∂r/∂u和∂r/∂v分别表示曲面上两个参数u和v对应的切向量，∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥表示两个向量的叉积的模长。
然后，将所有小面元的面积相加即可得到曲面的面积：S = Σ∆A = Σ∥∂r/∂u × ∂r/∂v∥∆u∆v这就是计算曲面面积的一般方法。
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组中每一个方 程所表示的曲面 , 然后画出交线。 例 5、 画 曲线 L: x2 + y2 = 1 的 图形。 2x + 3z = 6 解: 方 程 组 中 的 第 一 个 方 程 x + y2 = 1是一个母线平行于 z轴 的 圆 柱 面, 而 第 二个 方 程 2x + 3z = 6是一个平面 , 曲线 L 就 可以看成是圆柱 面与平 面的交 线 , 它的图形如右 图。 如 果表 示曲 线 L 的方 程组 可 以进一步的化 简 , 可按化简后的原方程 组的同解方 程组画出 图形。 (三 ) 画空间区域形状 空间区域 是由几个曲面围成的立体图形 , 为了 要画出空 间区域 , 必须知道每个 曲面 的形状 , 并且求 出曲 面与 曲面的 交线 , 画出图形即可。 例 6 、 画出曲面 3 ( x2 + y2 ) = 16z 和 z = 成的空间区域 。 25 - x 2 - y 2 围
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x2 + y2 = 3 x2 + y2 = 9 , 化简得所求轨 迹方程为 , | z |= 2 z= 2 z> 0 这是一 条空间曲线 , 是平面 z = 2上的一个圆 , 其圆心坐 标为 ( 0, 0, 2 ), 半径等于 3。 二、 已知空 间曲线 、 曲 面上点 的坐标 间的关 系式研 究曲 线、 曲面的形状及空间区域 曲线、 曲面是几何中的 对象 , 方 程是代数中的对象 , 通过 坐标法把它们联系起 来 , 即几何中的点 的运动与代 数中的量 的变化统一起来了 , 从而能用代数的方 法研究几何 图形的性 质 , 开辟了 & 形数结合 ∋ 的途径。 ( 一 ) 画曲面图形 由曲面方程来认 识曲面形状并画出它的 图形 , 是研究空 间曲 面的基本 问题之 一。 & 平行平面 截割法 ∋ 是根据 曲面方 程来认识它的形状的 重要方 法 , 它是用 一族 平行平 面 ( 一般 平行于坐标平面 ) 来截割曲面 , 研究所 截得的 一族曲 线是怎 样变化的。 从这一族截线的变化情况就 能推想出方 程所表示 的曲面的整体形状。 它的基本思想是把 复杂的空间 图形归结 为比较容易认识的平 面曲线。 例 4、 画出方 程 4x2 + y2 = 4z 所表示的曲面。 解 : 10 、 先画出曲面在三个坐标 平面上的截线 曲面被坐标平面 xoy 所截得的截线退化为一点 , 4x2 + y2 = 0 , z= 0 即原点 ( 0、 0、 0) 曲面被坐标平面 xoz 所截得 的曲线为抛物线 , x2 = z . y= 0 的曲线为抛物线 , y2 = 4z x = 0 . ∗ ) (
2
解 : 方程 3 ( x2 + y2 ) = 16z 表示顶点在原点 , Z 轴为旋转 轴的旋转 抛 物面 , 开 口 方 向与 Z 轴 正方 向 一致。 方程 z = 25 - x2 - y2 表示中心在原点 , 半径为 5 的上半球面。 为了要画 出他们所围成的空间区域 , 必须求出 这两曲面 的交线 , 由于这两个曲面都 是围绕 Z 轴 旋转 的旋转 面 , 显然 交线是一个圆 。 而交线方程为 3 ( x 2 + y2 ) = 16z z = 25 - x2 - y2 ( z , 0) 或变形为
的方程。 解: 取 L 1 为 Z 轴, L 1 与 L 2 的公 垂线 为 X 轴 , 这 样 L 2 就垂直于 X 轴 , 设 L 2 与 X 轴的交 点为 A ( a, 0, 0 ), 方 向 向 量 为
收稿日期 : 2007 - 03 - 15 作者简介 : 郭成苇 ( 1958 ) , 女 ( 汉族 ) , 河南开封人 , 开封教育学院数学系主任 , 副教授。
第 27 卷
第 4期
开封教育学院学报 Journal of K aifeng Inst itute of Educat ion
2007年 12 月 20日 D ec . 20 2007
V o. l 27 N o. 4
研究空间曲线、 曲面的两个基本问题
郭成苇, 栗凤娟
( 开封教育学院 数学系 , 河南 开封 475004 )
( 责任编辑: 李
楠) % 79%
2 2 2
或
z= 3 x2 + y 2 = 16
这是一族椭圆 , 其中 的任 一椭 圆的 中心 为 ( 0, 0, k ) , 顶点 ( + k, 0 , k )、( 0, + 2 k, k) 分别在抛物线 ) 与 ∗ 上。 这样就可以 推想出曲面的大 致形状 , 并且当截线 ( 、 )、 ∗ 画出后 , 曲面 4x2 + y 2 = 4z 的图形也就可以 画出了。 ( 二 ) 画空间曲线图形 空间曲线可以看 成两曲面的 交线 , 设相 交于空间 曲线 L 的两个曲面方 程分别 为 F 1 ( x, y, z ) = 0, F 2 ( x, y, z ) = 0, 则 空间 曲 线 L 的 方 程 就 是 两 曲 面 方 程 组 成 的 方 程 组 F 1 ( x, y, z ) = 0 , 要想画 出空间 曲线的图 形 , 只 需画出 方程 F 2 ( x, y, z ) = 0
! L 2 在曲面上 , ∀ 点 P 和点 Q 与 Z 轴距离相等 . 即 x 2 + y2 = a2 + z2 x2 y2 z2 , 亦即 2 + 2 - 2 2 = 1, b2 a a a b
这是双曲 线绕虚轴旋转生成的旋转面。 例 3、 设动点 P 到 z轴的距离是 3 , 到 x oy坐标面的距离是 2, 并且点 P 在 z 轴正向一侧 , 求动点 P 的轨迹方程。
( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 = R, ( x - x0 ) 2 + ( y - y 0 ) 2 + ( z - z 0 ) 2 = R
2
两边平方得球面 方程 例 2、 设 L 1 和 L 2 是两 条 不共面又不 垂直的直线 , 求L
2
绕L
1
{ 0, 1, b }, x= a 于是 L 2 的参数方程为 : y= t z = bt ! L 1 与 L 2不共面又不垂直 , ∀ ab # 0, 设 P ( x, y, z ) 是曲面上任一 点 , 过 P 作平面 坐标面 xoy, 设 L2 与 的交点为 Q, 则 Q 的坐标为 ( a, z , z) b ,使 ∃
旋 转 所成 曲 面
解 ; 设动点 P 的坐标为 ( x, y, z ), 点 P 在 z 轴上 的射影为 Q, 在 x oy 坐标面上的射影为 R, 于是点 Q、 R 的坐标分别为 ( 0, 0, z ), ( x, y, 0 ) | PQ | = 3 由已知 | PR | = 2 OP % k > 0 即
这是平面 z = 3 上的一个圆 , 圆心 坐标为 ( 0, 0, 3 ), 半径 为 4, 把这个 圆和它所割下来 的一块 抛物面与 一块球 面画出 来 , 就得到空间区域的图形。
参考文献 :
[ 1]− 廖华奎 , 王宝富 . 解析几何教程 [ M ]. 北京 : 科学出 版社 , 2000. [ 2] 吕林根 , 许子道 . 解析 几何 [ M ]. 北 京 : 高 等教 育出版 社 , 2000.
一、 空间曲线、 曲 面可 看 成是 具有 某 些共 同 性质 的 点 的轨 迹 , 因为动点运动的规律不同 , 动点的轨迹也 不一样 , 所以轨 迹是说明动点 变化 规 律的 几何 形 象。 由 于 点可 以用 坐 标表 示 , 点的变动必然引起 坐标的 变化 , 点的坐 标变 化形成 反映 几何条件的方程。 因此 , 空间曲 线、 曲面 的方程正是 空间坐标 系中具有某些共同性质的点的 坐标之间关系 的反映。 已知空 间曲线、 曲面作为点的 轨迹求 其方 程 , 就是 将某 条件转 化为 某方程 , 形成点 对应关系。 例 1、 已知球 心 C 的坐标为 ( x 0, y0, z 0 ), 球半径为 R, 求 球面方程。 解 : 以点 C 为球心 , R 为半径的球面可以看作是空间到定 点 C 的距离等于定长 R 的点的轨迹。 设 球面上任意一点 P 的 坐标为 ( x、 y、 z ), 那么有 即 PC = R, 坐标 , 条件 方程 , 图形 曲线、 曲面的
摘
要 : 曲线和方程、 曲面和方程是研究空间坐标系中的某些曲线 、 曲面与某些方程间的一一对应关系。
研究空间曲线、 曲面的两个基本问题是: 已知空间曲线、 曲面作为点的轨迹求其方程 ; 已知空间曲线 、 曲面上 点的坐标间的关系式研究其形状。 关键词 : 曲线 ; 曲面; 轨迹; 方程 中图分类号 : O187 . 1 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9640( 2007) 04- 0078- 02
曲面被坐标平面 yoz 所截得
2 0、 曲面 4x 2 + y2 = 4z 被平行于坐标平面 x oy 的一族平 行平面截得的一族曲 线为 : 4x2 + y2 = 4k ,即 z= k x2 y2 + = 1 k 4k , 由于 z = k > 0 , 所以 z= k
( 3z + 25) ( z - 3 ) = 0 x 2 + y 2 + z2 = 25 ! z , 0, ∀ 交线方程为 z- 3= 0 x + y + z = 25