[精品]各地中考数学解析版试卷分类汇编：图形的相似与位似

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2019年中考数学各地真题分类汇编：专题26 图形的相似与位似(含解析)

2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题26 图形的相似与位似(含解析)

图形的相似与位似一.选择题1. （2019•浙江绍兴•4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A．B．C．D．【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：设DE＝x，则AD＝8﹣x，根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，解得：x＝4，∴DE＝4，∵∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝，∵∠BCE＝∠DCF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴△CDE∽△BCF，∴，即，∴CF＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．www .czsx .com .cn2. （2019•江苏苏州•3分）如图，在ABC V 中，点D 为BC 边上的一点，且2AD AB ==，AD AB ⊥，过点D 作DE AD ⊥，DE 交AC 于点E ，若1DE =，则ABC V 的面积为（）A．B ．4C． D ．8DABC【分析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型【解答】AB AD DE AD ∴⊥⊥， 90BAD ADE ∴∠=∠=o //AB DE ∴易证CDE CBA V :V 12DC DE BC BA ∴== 即12DC BD DC =+由题得BD =∴解得DC =ABC V11422ABC S BC ∴=⨯⨯=V故选B3 （2019•湖南邵阳•3分）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C.点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′＝1：2D．AB∥A′B′【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C.点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′＝1：2，故选项C错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．4.（2019，山东枣庄，3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】由S△ABC＝16.S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD ＝S△ABC＝8，根据△DA′E∽△DAB知（）2＝，据此求解可得．【解答】解：∵S△ABC＝16.S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，∴S △A ′DE ＝S △A ′EF ＝，S △ABD ＝S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '， ∴A ′E ∥AB ， ∴△DA ′E ∽△DAB ，则（）2＝，即（）2＝，解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣（舍），故选：B ．【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．5.( 2019甘肃省兰州市) （4分）已知△ABC ∽△A ′B ′C ′， AB ＝8，A ’B ’＝6，则''C B BC ＝（）A. 2 .B.34 . C. 3 . D. 916. 【答案】B ．【考点】相似三角形的性质. 【考察能力】运算求解能力. 【难度】容易【解析】∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴''B A AB ＝''CB BC又∵AB ＝8，A ’B ’＝6， ∴''C B BC ＝34. 故选B.6．(2019甘肃省陇南市)（3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．7.（2019，四川巴中，4分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键．8.（2019，山东淄博，4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（）A．2a B．a C．3a D．a【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝（）2，即＝，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9 （2019•江苏连云港•3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2.2、4；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴马应该落在②的位置，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．10. 2019•甘肃武威•3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．11 （2019•广西贵港•3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．5【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出＝，从而可求出CD的长度．【解答】解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝4，＝，∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，设AE＝2y，AC＝3y，∴＝，∴AD＝y，∴＝，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．12. （2019•湖北十堰•3分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D.E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．13. （2019•湖北天门•3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接B D．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由切线的性质得∠CBO＝90°，首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线，根据全等三角形的性质得到CD＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB，故②正确；根据余角的性质得到∠ADE＝∠BDO，等量代换得到∠EDA＝∠DBE，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到ED•BC＝BO•BE，故④正确．【解答】解：连结DO．∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠CO D．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠CO B．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．二.填空题1.（2019▪广西池河▪3分）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝．【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．2. （2019•湖南长沙•3分）如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2M A．其中正确的结论的序号是①③④．（只填序号）【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y＝﹣x++，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝（n﹣m），OM＝，∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2，∵m＞1，∴k＝2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴＝＝，∴＝，∵OA＝OB，∴＝，∴＝，∵KM∥OD，∴＝＝2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3. （2019•湖南岳阳•4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A.B两点分别作PE的垂线A C.BD，垂足分别为C.D，连接AM，则下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC可得PB＝，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2，可得出CM＝DM＝DP＝，故④正确．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．4.（2019▪贵州毕节▪3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2），故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：∵在▱ABCD中，EM∥AD∴易证四边形AMEN为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A项错误＝，B项错误＝＝，C项错误＝＝，D项正确故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．6.（2019•浙江宁波•4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或3．【分析】根据勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB 相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，∴AB＝＝6，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，∴AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥AC，∴△DPH∽△DAC，∴，∴＝，∴PD＝6.5，∴AP＝6.5；当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，过P作PG⊥AB于G，则PG＝6，∵AD＝BD＝13，∴∠P AG＝∠B，∵∠AGP＝∠C＝90°，∴△AGP∽△BCA，∴，∴＝，∴AP＝3，∵CD＝5＜6，∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或3，故答案为：6.5或3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．7.（2019•浙江衢州•4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，ABCD的边AB 在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F。

全国各地中考数学试题汇编图形的相似与位似

全国各地中考数学100套真题分类汇编第28章图形的相似与位似一、选择题1.（2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A.600mB.500mC.400mD.300m北环城路曙光路西安路南京路书店八一街400m400m300m【答案】B2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B3. （2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是（）【答案】Ａ4. （2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（）A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21【答案】B 5. （2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（）A. 1:2B. 1:4C. 1:5D. 1:16【答案】A6. （2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）（A ）32（B ）33（C ）34（D ）36【答案】B7. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）A.600mB.500mC.400mD.300m（第7题）A BCD E北环城路曙光路西安路南京路书店八一街400m400m300m【答案】B8. （2011台湾台北，26）图(十)为一ABC∆，其中D、E两点分别在AB、AC上，且AD＝31，DB＝29，AE＝30，EC＝32。

2019年各地中考解析版数学试卷汇编：23图形的相似与位似(word版)

A ．B ．C ．D ．2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：23图形的相似与位似一.选择题1. （2019•浙江绍兴•4 分）如图 1，长、宽均为 3，高为 8 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，则图 2 中水面高度为（）【分析】设 DE ＝x ，则 AD ＝8﹣x ，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出 DE ，再由勾股定理求出 CD ，过点 C 作 CF ⊥BG 于 F ，由△ CDE ∽△BCF 的比例线段求得结果即可．【解答】解：过点 C 作 CF ⊥BG 于 F ，如图所示：设 DE ＝x ，则 AD ＝8﹣x ，根据题意得：（8﹣x +8）×3×3 ＝3×3×6 ，解得：x ＝4， ∴DE ＝4， ∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD ＝，∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠BCF ， ∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°， ∴△CDE ∽△BCF ， ∴ ，即，∴CF ＝．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．25 2 2 =2. （2019•江苏苏州•3 分）如图，在V ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD = AB = 2 ，AD ⊥ AB ，过点 D 作 DE ⊥ AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE = 1 ，则V ABC 的面积为（）A ． 4B ． 4C ． 2D ．ABD【分析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型【解答】∴ AB ⊥ AD ，DE ⊥ AD ∴∠BAD = ∠ADE = 90o∴ AB //DE易证V CDE : V CBA ∴DC = DE = 1BC BA 2即 DC 1 BD + DC 2 由题得 BD = 2∴解得 DC = 2V ABC 的高易得： ∴ S V ABC 故选B= 1 ⨯ BC ⨯ = 1⨯ 4 2 ⨯ = 4 2 23 （2019•湖南邵阳•3 分）如图，以点 O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的 2 倍得到△ A ′B ′C ′，以下说法中错误的是（）2 22A.△ABC∽△A′B′C′B.点C.点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′＝1：2D．AB∥A′B′【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．【解答】解：∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2 倍得到△A′B′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，点C.点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，AO：OA′＝1：2，故选项C 错误，符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．4.（2019，山东枣庄，3 分）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D 等于（）A.2B．3 C．4 D．【分析】由S△ABC＝16.S△A′EF＝9 且AD 为BC 边的中线知S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，根据△DA′E∽△DAB 知（）2＝，据此求解可得．【解答】解：∵S△ABC＝16.S△A′EF＝9，且AD 为BC 边的中线，∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则（）2＝，即（）2＝，解得A′D＝3 或A′D ＝﹣（舍），故选：B．【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．5.( 2019 甘肃省兰州市) （4 分）已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝8，A’B’＝6，则＝（）B CB' C 'A. 2 .B. 【答案】B．【考点】相似三角形的性质.【考察能力】运算求解能力.【难度】容易【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，4 16. C. 3 . D. .3 9AB BC∴A' B ' ＝B 'C '又∵AB＝8，A’B’＝6，BC 4∴B 'C ' ＝3.故选B.6．(2019 甘肃省陇南市)（3 分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．7.（2019，四川巴中，4 分）如图▱ABCD，F 为BC 中点，延长AD 至E，使DE：AD＝1：3，连结EF 交DC 于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【分析】先设出DE＝x，进而得出AD＝3x，再用平行四边形的性质得出BC＝3x，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F 是BC 的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF 是解本题的关键．8.（2019，山东淄博，4 分）如图，在△ABC 中，AC＝2，BC＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC 的面积为a，则△ABD 的面积为（）A．2a B． a C．3a D． a【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA 的面积为4a，计算即可．【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴＝（）2，即＝，解得，△BCA的面积为4a，∴△ABD 的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．9 （2019•江苏连云港•3 分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2.2 、4 ；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴马应该落在②的位置，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．10（2019•广西贵港•3 分）如图，在△ABC 中，点D，E 分别在AB，AC 边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD 的长为（）A．2 B．3 C．2 D．5【分析】设AD＝2x，BD＝x，所以AB＝3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出＝，从而可求出CD 的长度．【解答】解：设AD＝2x，BD＝x，∴AB＝3x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DE＝4，＝，∵∠ACD＝∠B，∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠ACD，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，∴＝，设AE＝2y，AC＝3y，∴＝，∴AD＝y，∴＝，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．11. （2019•湖北十堰•3 分）如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC 交于点D，E，连接DE．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D 的横坐标，E 的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k 的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF 的长，然后把问题转化到三角形ADF 中，由勾股定理建立方程求出k 的值．【解答】解：过点E 作EG⊥OA，垂足为G，设点B 关于DE 的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90° 易证△ADF∽△GFE∴，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D.E 在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+ ，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF 中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD 与BE 的比是1：2 是解题的关键．12. （2019•湖北天门•3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦AD∥OC，直线CD 交BA 的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD 是⊙O 的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED•BC＝BO•BE．其中正确结论的个数有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【分析】由切线的性质得∠CBO＝90°，首先连接OD，易证得△COD≌△COB （SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD 是⊙O 的切线，根据全等三角形的性质得到CD＝CB，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO⊥DB，故②正确；根据余角的性质得到∠ADE＝∠BDO，等量代换得到∠EDA＝∠DBE，根据相似三角形的判定定理得到△EDA∽△EBD，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到ED•BC＝BO•BE，故④正确．【解答】解：连结DO．∵AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，∴∠CBO＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD 和△COB 中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线；故①正确，∵△COD≌△COB，∴CD＝CB，∵OD＝OB，∴CO 垂直平分DB，即CO⊥DB，故②正确；∵AB 为⊙O 的直径，DC 为⊙O 的切线，∴∠EDO＝∠ADB＝90°，∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠EDA＝∠DBE，∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确；∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E，∴△EOD∽△ECB，∴，∵OD＝OB，∴ED•BC＝BO•BE，故④正确；故选：A．【点评】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．二.填空题1.（2019▪广西池河▪3 分）如图，以点O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝．【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．【解答】解：∵以点O 为位似中心，将△OAB 放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．2.（2019•湖南长沙•3分）如图，函数y＝（k 为常数，k＞0）的图象与过原点的O 的直线相交于A，B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴，y 轴于C，D 两点，连接BM 分别交x 轴，y 轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM 与△OCA 的面积相等；②若BM⊥AM 于点M，则∠MBA＝30°；③若M 点的横坐标为1，△OAM 为等边三角形，则k＝2+ ；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是①③④．（只填序号）【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D 坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA 不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM 为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k 即可判断．④如图，作MK∥OD 交OA 于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC 的解析式为y＝﹣x+ + ，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，∴△ODM 与△OCA 的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O 是AB 的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝（n﹣m），OM＝，∴AM 不一定等于OM，∴∠BAM 不一定是60°，∴∠MBA 不一定是30°．故②错误，∵M 点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM 为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+ ，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+ ＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2 ，∵m＞1，∴k＝2+ ，故③正确，如图，作MK∥OD 交OA 于K．∵OF∥MK，∴＝＝，∴＝，∵OA＝OB，∴＝，∴＝，∵KM∥OD，∴＝＝2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3.（2019•湖南岳阳•4 分）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE，切点为M，过 A.B 两点分别作PE 的垂线AC.BD，垂足分别为C.D，连接AM，则下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM 可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC 可得PB＝，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2，可得出CM＝DM＝DP＝，故④正确．【解答】解：连接OM，∵PE 为⊙O 的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM 平分∠CAB，故①正确；∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP 中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2 ，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30 度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．4.（2019▪贵州毕节▪3 分）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（）A．100cm2 B．150cm2 C．170cm2 D．200cm2【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x 表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF 为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC 中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2 ，∴AC＝6 ，BC＝12 ，∴剩余部分的面积＝×12 ×6 ﹣4 ×4 ＝100（cm2），故选：A．【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3 分）如图，在▱ABCD 中，点E 在对角线BD 上，EM∥AD，交AB 于点M，EN∥AB，交AD 于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：∵在▱ABCD 中，EM∥AD∴易证四边形AMEN 为平行四边形∴易证△BEM∽△BAD∽△END∴＝＝，A 项错误＝，B 项错误＝＝，C 项错误＝＝，D项正确故选：D．【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．6.（2019•山东省滨州市•5分）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，CE 平分∠BCD 交AB 于点E，交BD 于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有①③④（填写所有正确结论的序号）【考点】相似三角形的判定和性质【分析】①正确．只要证明EC＝EA＝BC，推出∠ACB＝90°，再利用三角形中位线定理即可判断．②错误．想办法证明BF＝2OF，推出S△BOC＝3S△OCF 即可判断．③正确．设BC＝BE＝EC＝a，求出AC，BD 即可判断．④正确．求出BF，OF，DF（用a 表示），通过计算证明即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠DCB＝120°，∵EC 平分∠DCB，∴∠ECB＝∠DCB＝60°，∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，∴△ECB 是等边三角形，∴EB＝BC，∵AB＝2BC，∴EA＝EB＝EC，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，EA＝EB，∴OE∥BC，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，∴EO⊥AC，故①正确，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴＝＝，∴OF＝OB，∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，∴BD＝a，∴AC：BD＝a：a＝：7，故③正确，∵OF＝OB＝a，∴BF＝a，∴BF2＝a2，OF•DF＝a•（a+a）＝a2，∴BF2＝OF•DF，故④正确，故答案为①③④．【点评】本题考查，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题．7.（2019•浙江衢州•4分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F。

试卷分类汇编_相似和位似

相似和位似一、选择题1. （2012海南省3分）如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确．．．的是【】A ．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CB BD CD = D ．AD ABAB AC=【答案】C 。

【考点】相似三角形的判定。

【分析】由∠ABD=∠C 或∠ADB=∠ABC，加上∠A 是公共角，根据两组对应相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；由AD ABAB AC=，加上∠A 是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但AB CBBD CD=，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB 与△ABC 相似。

故选C 。

2. （2012陕西省3分）如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则EDC ABC S S :∆∆=【】A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4【答案】D 。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥AB，DE=12AB 。

∴△EDC∽△ABC。

∴()2EDC ABC S :S ED :AB =1:4∆∆=。

故选D 。

3. （2012浙江湖州3分）△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ，则△ABC 的周长为【】A ．60cmB ．45cmC ．30cmD ．152cm 【答案】C 。

【考点】三角形中位线定理，相似三角形的性质。

【分析】∵三角形的中位线平行且等于底边的一半，∴△ABC 三条中位线围成的三角形与△ABC 相似，且相似比是12。

∵△ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是15cm ， ∴△ABC 的周长为30cm 。

故选C 。

4. （2012湖北咸宁3分）如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶2，点A 的坐标为(1，0)，则E 点的坐标为【】．A ．(2，0)B ．(23，23) C ．(2，2) D ．(2，2)【答案】C 。

全国中考数学真题180套分类汇编图形的相似与位似【含解析】

图形的相似与位似一、选择题2. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（）4．（2014•四川绵阳,第12题3分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（）====5．（2014•河北第13题3分）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）二、填空题2．（2014•攀枝花，第16题4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE ⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是（）．4. (2014•黑龙江牡丹江,) 在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2m，它的影子BC=1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM=1.2m，MN=0.8m，则木竿PQ的长度为．5. （2014•湖北荆门,第14题3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是．三、解答题2.（2014•湖北宜昌,第21题8分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O 与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与▱ABCD的面积之比．3.（2014•湖南衡阳,第26题8分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF 中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．5. （2014•乐山，第23题10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．6．（2014•黑龙江哈尔滨,第28题10分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．7. (2014•黑龙江牡丹江, 第28题10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？8. （2014•湖北黄石,第24题9分）AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y≠0）．（1）如图1，当△ABC为等边三角形且α=30°时证明：△AMN∽△DMA；（2）如图2，证明：+=2；（3）如图3，当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点N′，设AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），猜想：+=是否成立？并说明理由．9．(2014•陕西,第21题8分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？12．（2014•浙江绍兴,第24题14分）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．（1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长．（2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值．（3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．24. （2014•湖北黄冈,第25题）已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．第4题图28．（2014•莱芜，第24题12分）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD 重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．。

全国各地中考数学分类汇编：图形的相似与位似(含解析)

一、图形的相似与位似选择题1．（2016·山东省济宁市·3分）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于．【考点】平行线分线段成比例．【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴=，故答案为：．2．（2016·山东省东营市·3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）xy(-9，-3)(-3，6)第8题图BAO【知识点】相似三角形——位似图形、位似变换【答案】D.【解析】方法一：∵△ABO 和△A ′B ′O 关于原点位似，∴△ ABO ∽△A ′B ′O 且OA ′OA ＝13.∴A ′EAD＝OE OD ＝13.∴A ′E ＝13AD ＝2，OE ＝13OD ＝1.∴A ′（－1,2）. 同理可得A ′′（1,―2）.方法二：∵点A （―3，6）且相似比为13，∴点A 的对应点A ′的坐标是（―3×13，6×13），∴A ′（－1,2）.∵点A ′′和点A ′（－1,2）关于原点O 对称， ∴A ′′（1,―2）. 故选择D.xy(-9，-3)(-3，6)第8题答案图E D B''B'A''A'B A O【点拨】每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形．位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比．注意：本题中，△ABO 以原点O 为位似中心的图形有两个，所以本题答案有两解.3．（2016·山东省东营市·3分）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2AF ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD ＝2．其中正确的结论有( ) A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第10题图DA【知识点】特殊平行四边形——矩形的性质、相似三角形——相似三角形的判定与性质、锐角三角函数——锐角三角函数值的求法【答案】B.【解析】∵矩形ABCD 中，∴AD ∥BC .∴△AEF ∽△CAB ….......................①正确； ∵△AEF ∽△CAB ，∴AF CF ＝AE BC ＝12，∴CF ＝2AF ……………………………②正确；过点D 作DH ⊥AC 于点H .易证△ABF ≌△CDH (AAS ).∴AF ＝CH . ∵EF ∥DH ,∴AF FH ＝AEED＝1.∴AF ＝FH .∴FH ＝CH .∴DH 垂直平分CF .∴DF ＝DC . ……………………………………………③正确；第10题答案图DA设EF ＝1，则BF ＝2.∵△ABF ∽△EAF .∴AF EF ＝BFAF.∴AF ＝EF •BF ＝1×2＝ 2.∴tan ∠ABF ＝AF BF ＝22.∵∠CAD ＝∠ABF ，∴tan ∠CAD ＝tan ∠ABF ＝22.…………④错误.故选择B.【点拨】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，锐角三角函数值的求法，正确的作出辅助线是解本题的关键．4. （2016·重庆市A 卷·4分）△ABC 与△DEF 的相似比为1：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：16 【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．5．（2016广西南宁3分）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点】正方形的性质．【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．6.(2016河北3分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（C）第15题图答案：Ｃ解析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。

2019-2020年中考数学试卷分类汇编：图形的相似与位似(最新整理)

2019-2020 年中考数学试卷分类汇编：图形的相似与位似
一．选择题
1．（2013 湖北孝感，9，3 分）在平面直角坐标系中，已知点 E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以
原点 O 为位似中心，相似比为，把△EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标是（）
A．（﹣2，1）
B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
考点：位似变换；坐标与图形性质．专题：作图题．分析：根据题意画出相应的图形，找出点 E 的对应点 E′的坐标即可．解答：解：根据题意得：
则点 E 的对应点 E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选 D．点评：此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 2．（2013 湖北孝感，12，3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC 内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则 EF 等于（）
A．（6，0）
B．（6，3）
C．（6，5）
D．（4，2）
考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．
分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
解答：解：△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2． A、当点 E 的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则 AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
当 8，4 为对应边且为直角三角形的斜边时，x 的值为 7 ，故 x 的值可以为 5 或 7 ．两种
情况。
7．（2013·济宁，11，3 分）如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕

中考数学试卷解析版分类汇编图形的相似与位似

图形的相似与位似一、选择题1. （2014•山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（）考点：动点问题的函数图象．分析：易证△ABE∽△ECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.解答：因为△ABE∽△ECF，则BE：CF=AB：EC，即x：y=5：（4－x）y，整理，得y=－（x－2）2+，很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，）的抛物线．对应A选项．故选：A．点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项．2. (2014•年山东东营,第7题3分)下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①②C．③④ D．②③④考点：位似变换；命题与定理．分析：利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．解答：解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误；②位似图形一定有位似中心，此选项正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此选项正确；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此选项错误．正确的选项为②③．故选：A．点评：此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．3.（2014•四川凉山州，第7题，4分）如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）：：4．（2014•四川泸州，第11题，3分）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC 的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）B C D=，===+1。

【轻轻家教】各地中考数学解析版试卷分类汇编：图形的相似与位似

图形的相似与位似一、选择题1． (2021·湖北十堰 )如图 ,以点O 为位似中|心 ,将△ABC 缩小后得到△A′B′C′ ,OB =3OB′ ,那么△A′B′C′与△ABC 的面积比为 ( )A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：9 【考点】位似变换．【分析】先求出位似比 ,根据位似比等于相似比 ,再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．【解答】解：∵OB =3OB′ , ∴,∵以点O 为位似中|心 ,将△ABC 缩小后得到△A′B′C′ , ∴△A′B′C′∽△ABC , ∴=．∴ = ,应选D【点评】此题是位似变换 ,主要考查了位似比等于相似比 ,相似三角形的面积比等于相似比的平方 ,解此题的关键是掌握位似的性质．2. (2021·湖北咸宁 )如图 ,在△ABC 中 ,中线BE ,CD 相交于点O ,连接DE ,以下结论：①BC DE =21； ②S S COBDOE △△ =21； ③AB AD=OB OE ； ④S S ADE ODE △△ =31.其中正确的个数有 ( )A. 1个B. 2个C.3个D. 4个(第2题 )【考点】三角形中位线定理 ,相似三角形的判定和性质．【分析】①DE 是△ABC 的中位线 ,根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线 ,∴DE =21BC ,即BC DE=21；故①正确； ②∵DE 是△ABC 的中位线 , ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB∴S S COBDOE△△ = (BC DE)2=(21)2=41,故②错误；③∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD =BC DE△DOE ∽△COB ∴OB OE=BC DE∴AB AD=OB OE, 故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O . ∴点O 是△ABC 的重心 ,根据重心性质 ,BO =2OE ,△ABC 的高 =3△BOC 的高 , 且△ABC 与△BOC 同底 (BC ) ∴S △ABC =3S △BOC , 由②和③知 ,S △ODE =41S △COB ,S △ADE =41S △BOC ,∴S S ADE ODE △△ =31.故④正确.综上 ,①③④正确. 应选C.【点评】此题考查了三角形中位线定理 ,相似三角形的判定和性质．要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 3. (2021·新疆)如图 ,在△ABC 中 ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点 ,以下说法中不正确的选项是 ( )A ．DE =BCB ． =C ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ：S △ABC =1：2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】根据中位线的性质定理得到DE ∥BC ,DE =BC ,再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定．【解答】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点 , ∴DE ∥BC ,DE =BC , ∴ =,△ADE ∽△ABC ,∴,∴A ,B ,C 正确 ,D 错误；应选：D ．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段 ,准确列出比例式求解、计算、判断或证明．4. (2021·云南)如图,D是△ABC的边BC上一点,AB =4 ,AD =2 ,∠DAC =∠B．如果△ABD的面积为15 ,那么△ACD的面积为()A．15 B．10 C．D．5【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首||先证明△ACD∽△BCA ,由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4 ,因为△ABD的面积为9 ,进而求出△ACD的面积．【解答】解：∵∠DAC =∠B ,∠C =∠C ,∴△ACD∽△BCA ,∵AB =4 ,AD =2 ,∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4 ,∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3 ,∵△ABD的面积为15 ,∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．应选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方,是中|考常见题型．5. (2021·云南)在四边形ABCD中,∠B =90° ,AC =4 ,AB∥CD ,DH垂直平分AC ,点H 为垂足．设AB =x ,AD =y ,那么y关于x的函数关系用图象大致可以表示为()A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；函数的图象；线段垂直平分线的性质．【分析】由△DAH∽△CAB ,得=,求出y与x关系,再确定x的取值范围即可解决问题．【解答】解：∵DH垂直平分AC ,∴DA =DC ,AH =HC =2 ,∴∠DAC =∠DCH ,∵CD∥AB ,∴∠DCA =∠BAC ,∴∠DAN =∠BAC ,∵∠DHA =∠B =90° ,∴△DAH∽△CAB ,∴=,∴= ,∴y = ,∵AB＜AC ,∴x＜4 ,∴图象是D．应选D．【点评】此题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,构建函数关系,注意自变量的取值范围确实定,属于中|考常考题型．6. (2021·四川达州·3分)如图,在△ABC中,BF平分∠ABC ,AF⊥BF于点F ,D为AB 的中点,连接DF延长交AC于点E．假设AB =10 ,BC =16 ,那么线段EF的长为()A．2 B．3 C．4 D．5【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF =AB =AD =BD =5且∠ABF =∠BFD ,结合角平分线可得∠CBF =∠DFB ,即DE∥BC ,进而可得DE =8 ,由EF =DE﹣DF可得答案．【解答】解：∵AF⊥BF ,∴∠AFB =90° ,∵AB =10 ,D为AB中点,∴DF =AB =AD =BD =5 ,∴∠ABF =∠BFD ,又∵BF平分∠ABC ,∴∠ABF =∠CBF ,∴∠CBF =∠DFB ,∴DE∥BC ,∴△ADE∽△ABC ,∴=,即,解得：DE =8 ,∴EF =DE﹣DF =3 ,应选：B．7．(2021·山东烟台)如图,在平面直角坐标中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中|心的位似图形,且相似比为,点A ,B ,E在x轴上,假设正方形BEFG的边长为6 ,那么C点坐标为()A．(3 ,2 ) B．(3 ,1 ) C．(2 ,2 ) D．(4 ,2 )【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长,进而得出△OAD∽△OBG ,进而得出AO的长,即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中|心的位似图形,且相似比为,∴= ,∵BG =6 ,∴AD =BC =2 ,∵AD∥BG ,∴△OAD∽△OBG ,∴= ,∴= ,解得：OA =1 ,∴OB =3 ,∴C点坐标为：(3 ,2 ) ,应选：A．8．(2021·山西)宽与长的比是21-5(约为0．618 )的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AD,BC的中点E,F,连接EF；以点F为圆心,以FD为半径画弧,交BC 的延长线与点G；作ADGH ,交AD的延长线于点H．那么图中以下矩形是黄金矩形的是( D)A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH考点：黄金分割的识别分析：由作图方法可知DF =5CF ,所以CG =CF )15(- ,且GH =CD =2CF 从而得出黄金矩形解答：CG =CF )15(- ,GH =2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形选D ．9． (2021·四川巴中 )如图 ,点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点 ,那么△ADE的面积与四边形BCED 的面积的比为 ( )A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：1 【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明DE 是△ABC 的中位线 ,由三角形中位线定理得出DE ∥BC ,DE =BC ,证出△ADE ∽△ABC ,由相似三角形的性质得出△ADE 的面积：△ABC 的面积 =1：4 ,即可得出结果．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点 , ∴DE 是△ABC 的中位线 , ∴DE ∥BC ,DE =BC , ∴△ADE ∽△ABC ,∴△ADE 的面积：△ABC 的面积 = ( )2 =1：4 , ∴△ADE 的面积：四边形BCED 的面积 =1：3；应选：B ．10． (2021.山东省泰安市 ,3分 )如图 ,正△ABC 的边长为4 ,点P 为BC 边上的任意一点 (不与点B 、C 重合 ) ,且∠APD =60° ,PD 交AB 于点D ．设BP =x ,BD =y ,那么y 关于x 的函数图象大致是 ( )A．B．C．D．【分析】由△ABC是正三角形,∠APD =60° ,可证得△BPD∽△CAP ,然后由相似三角形的对应边成比例,即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是正三角形,∴∠B =∠C =60° ,∵∠BPD +∠APD =∠C +∠CAP ,∠APD =60° ,∴∠BPD =∠CAP ,∴△BPD∽△CAP ,∴BP：AC =BD：PC ,∵正△ABC的边长为4 ,BP =x ,BD =y ,∴x：4 =y：(4﹣x ) ,∴y =﹣x2+x．应选C．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP是关键．11． (2021.山东省威海市 ,3分 )如图,在△ABC中,∠B =∠C =36° ,AB的垂直平分线交BC于点D ,交AB于点H ,AC的垂直平分线交BC于点E ,交AC于点G ,连接AD ,AE ,那么以下结论错误的选项是()A．=B．AD ,AE将∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG【考点】黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．【分析】由题意知AB =AC、∠BAC =108° ,根据中垂线性质得∠B =∠DAB =∠C=∠CAE =36° ,从而知△BDA∽△BAC ,得=,由∠ADC =∠DAC =72°得CD=CA =BA ,进而根据黄金分割定义知==,可判断A；根据∠DAB=∠CAE =36°知∠DAE =36°可判断B；根据∠BAD +∠DAE =∠CAE +∠DAE =72°可得∠BAE =∠CAD ,可证△BAE≌△CAD ,即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE ,根据DH垂直平分AB ,EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG ,可判断D．【解答】解：∵∠B =∠C =36° ,∴AB =AC ,∠BAC =108° ,∵DH垂直平分AB ,EG垂直平分AC ,∴DB =DA ,EA =EC ,∴∠B =∠DAB =∠C =∠CAE =36° ,∴△BDA∽△BAC ,∴=,又∵∠ADC =∠B +∠BAD =72° ,∠DAC =∠BAC﹣∠BAD =72° ,∴∠ADC =∠DAC ,∴CD =CA =BA ,∴BD =BC﹣CD =BC﹣AB ,那么=,即==,故A错误；∵∠BAC =108° ,∠B =∠DAB =∠C =∠CAE =36° ,∴∠DAE =∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE =36° ,即∠DAB =∠DAE =∠CAE =36° ,∴AD ,AE将∠BAC三等分,故B正确；∵∠BAE =∠BAD +∠DAE =72° ,∠CAD =∠CAE +∠DAE =72° ,∴∠BAE =∠CAD ,在△BAE和△CAD中,∵,∴△BAE≌△CAD ,故C正确；由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD ,即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE ,∴S△BAD=S△CAE ,又∵DH垂直平分AB ,EG垂直平分AC ,∴S△ADH=S△ABD ,S△CEG=S△CAE ,∴S△ADH=S△CEG ,故D正确．应选：A．12．(2021安徽,8 ,4分)﹣如图,△ABC中,AD是中线,BC =8 ,∠B =∠DAC ,那么线段AC的长为()A．4 B．4C．6 D．4【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据AD是中线,得出CD =4 ,再根据AA证出△CBA∽△CAD ,得出=,求出AC即可．【解答】解：∵BC =8 ,∴CD =4 ,在△CBA和△CAD中,∵∠B =∠DAC ,∠C =∠C ,∴△CBA∽△CAD ,∴=,∴AC2=CD•BC =4×8 =32 ,∴AC =4；13．(2021兰州,3,4分).△ABC ∽△DEF ,假设△ABC与△DEF的相似比为3／4 ,那么△ABC与△DEF对应中线的比为( ) .(A )3／4 (B )4／3 (C )9／16 (D )16／9【答案】A【解析】根据相似三角形的性质,相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比,此题中相似三角形的相似比为3／4 ,即对应中线的比为3／4 ,所以答案选A .【考点】相似三角形的性质14.(2021兰州,6,4分)如图,在△ABC中,DE∥BC ,假设AD／DB＝2／3 ,那么AE／EC＝( ) .(A )1／3 (B )2／5 (C )2／3 (D )3／5【答案】C【解析】根据三角形一边的平行线行性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例, AE／EC＝AD／DB＝2／3 ,所以答案选C .【来源：21cnj*y.co*m】【考点】三角形一边的平行线性质定理二、填空题1. (2021·湖北黄冈 )如图 ,△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形 ,底边BC ,CE ,EG ,GI在同一条直线上 ,且AB =2 ,BC =1. 连接AI ,交FG于点Q ,那么QI =_____________.A D F HQB C E G I(第1题 )【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.【分析】过点A 作AM ⊥BC. 根据等腰三角形的性质 ,得到MC =21BC =21,从而MI =MC+CE +EG +GI =27.再根据勾股定理 ,计算出AM 和AI 的值；根据等腰三角形的性质得出角相等 ,从而证明AC ∥GQ ,那么△IAC ∽△IQG ,故AIQI=CI GI ,可计算出QI =34.A D F HQB MC E G I 【解答】解：过点A 作AM ⊥BC.根据等腰三角形的性质 ,得 MC =21BC =21.∴MI =MC +CE +EG +GI =27.在Rt △AMC 中 ,AM 2=AC 2-MC 2= 22- (21 )2=415.AI =MI AM22+ =)(272415+ =4.易证AC ∥GQ ,那么△IAC ∽△IQG ∴AI QI =CI GI 即4QI =31 ∴QI =34. 故答案为：34.2. (2021·四川自贡)如图 ,在边长相同的小正方形网格中 ,点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上 ,AB ,CD 相交于点P ,那么的值 = 3 ,tan ∠APD 的值 = 2 ．【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质．【专题】网格型．【分析】首||先连接BE ,由题意易得BF =CF ,△ACP ∽△BDP ,然后由相似三角形的对应边成比例 ,易得DP ：CP =1：3 ,即可得PF ：CF =PF ：BF =1：2 ,在Rt △PBF 中 ,即可求得tan ∠BPF 的值 ,继而求得答案．【解答】解：∵四边形BCED 是正方形 , ∴DB ∥AC , ∴△DBP ∽△CAP , ∴==3 ,连接BE ,∵四边形BCED 是正方形 ,∴DF =CF =CD ,BF =BE ,CD =BE ,BE ⊥CD , ∴BF =CF ,根据题意得：AC ∥BD , ∴△ACP ∽△BDP ,∴DP ：CP =BD ：AC =1：3 , ∴DP ：DF =1：2 ,∴DP =PF =CF =BF ,在Rt △PBF 中 ,tan ∠BPF = =2 ,∵∠APD =∠BPF , ∴tan ∠APD =2 , 故答案为：3 ,2．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中 ,解题的关键准确作出辅助线 ,注意转化思想与数形结合思想的应用3. (2021·四川乐山·3分 )如图6 ,在ABC ∆中 ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的点 ,且DE ∥BC ,假设ADE ∆与ABC ∆的周长之比为2:3 ,4AD = ,那么DB =___▲__. 答案：2解析：依题意 ,有△ADE ∽△ABC ,因为ADE ∆与ABC ∆的周长之比为2:3 , 所以 ,23AD AB = ,由AD ＝4 ,得：AB ＝6 ,所以 ,DB ＝6－4＝24. (2021江苏淮安 ,18 ,3分 )如图 ,在Rt △ABC 中 ,∠C =90° ,AC =6 ,BC =8 ,点F 在边AC 上 ,并且CF =2 ,点E 为边BC 上的动点 ,将△CEF 沿直线EF 翻折 ,点C 落在点P 处 ,那么点P 到边AB 距离的最||小值是 1.2 ．【考点】翻折变换 (折叠问题 )．E 图6D CBA【分析】如图 ,延长FP 交AB 于M ,当FP ⊥AB 时 ,点P 到AB 的距离最||小 ,利用△AFM ∽△ABC ,得到=求出FM 即可解决问题．【解答】解：如图 ,延长FP 交AB 于M ,当FP ⊥AB 时 ,点P 到AB 的距离最||小．∵∠A =∠A ,∠AMF =∠C =90° , ∴△AFM ∽△ABC , ∴=,∵CF =2 ,AC =6 ,BC =8 , ∴AF =4 ,AB = =10 ,∴=,∴FM =3.2 , ∵PF =CF =2 ,∴点P 到边AB 距离的最||小值是1.2．故答案为1.2．【点评】此题考查翻折变换、最||短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最||短等知识 ,解题的关键是正确找到点P 位置 ,属于中|考常考题型．5. (2021·广东梅州 )如图 ,在平行四边形ABCD 中 ,点E 是边AD 的中点 ,EC 交对角线BD 于点F ,假设3=∆DEC S ,那么=∆BCF S ________．答案：4考点：平行四边形的性质 ,三角形的面积 ,三角形的相似的判定与性质 .解析：因为E为AD中点,AD∥BC ,所以,△DFE∽△BFC ,所以 ,12 EF DEFC BC==,12DEFDCFS EFS FC∆∆== ,所以 ,13DEF DECS S∆∆=＝1 ,又14DEFBCFSS∆∆= ,所以 ,=∆BCFS 4 .6. (2021·广西贺州)如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE ,连接AE、BD交于点O ,那么∠AOB的度数为120°．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】先证明∴△DCB≌△ACE ,再利用"8字型〞证明∠AOH =∠DCH =60°即可解决问题．【解答】解：如图：AC与BD交于点H．∵△ACD ,△BCE都是等边三角形,∴CD =CA ,CB =CE ,∠ACD =∠BCE =60° ,∴∠DCB =∠ACE ,在△DCB和△ACE中,,∴△DCB≌△ACE ,∴∠CAE =∠CDB ,∵∠DCH +∠CHD +∠BDC =180° ,∠AOH +∠AHO +∠CAE =180° ,∠DHC=∠OHA ,∴∠AOH =∠DCH =60° ,∴∠AOB =180°﹣∠AOH =120°．故答案为120°【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识 ,解题的关键是正确寻找全等三角形 ,学会利用 "8字型〞证明角相等 ,属于中|考常考题型．7． (2021·山西 )如图 ,点C 为线段AB 的中点 ,CD ⊥AB 且CD =AB =4 ,连接AD ,BE ⊥AB ,AE是DAB ∠的平分线 ,与DC 相交于点F ,EH ⊥DC 于点G ,交AD 于点H ,那么HG 的长为）（或152525-3+-考点：勾股定理 ,相似 ,平行线的性质 ,角平分线；分析：由勾股定理求出DA ,由平行得出21∠=∠ ,由角平分得出32∠=∠ 从而得出31∠=∠ ,所以HE =HA ．再利用△DGH ∽△DCA 即可求出HE , 从而求出HG解答：如图 (1 )由勾股定理可得DA =52422222=+=+CD AC 由 AE 是DAB ∠的平分线可知21∠=∠由CD ⊥AB ,BE ⊥AB ,EH ⊥DC 可知四边形GEBC 为矩形 ,∴HE ∥AB ,∴32∠=∠ ∴31∠=∠ 故EH =HA 设EH =HA =x那么GH =x -2 ,DH =x -52 ∵HE ∥AC ∴△DGH ∽△DCA ∴AC HGDA DH =即2252-52-=x x 解得x =5-5 故HG =EH -EG =5-5 -2 =53-8． (2021·上海 )在△ABC 中 ,点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点 ,那么△ADE 的面积与△ABC 的面积的比是．【考点】三角形中位线定理．【分析】构建三角形中位线定理得DE ∥BC ,推出△ADE ∽△ABC ,所以 = ()2 ,由此即可证明．【解答】解：如图 ,∵AD =DB ,AE =EC , ∴DE ∥BC ．DE =BC , ∴△ADE ∽△ABC , ∴= ()2 = ,故答案为．【点评】此题考查三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质,解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方,属于中|考常考题型．9．(2021•辽宁沈阳)如图,在Rt△ABC中,∠A =90° ,AB =AC ,BC =20 ,DE是△ABC 的中位线,点M是边BC上一点,BM =3 ,点N是线段MC上的一个动点,连接DN ,ME ,DN 与ME相交于点O．假设△OMN是直角三角形,那么DO的长是或．【考点】三角形中位线定理．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′ =90° ,根据=计算即可②∠MON =90° ,利用△DOE∽△EFM ,得=计算即可．【解答】解：如图作EF⊥BC于F ,DN′⊥BC于N′交EM于点O′ ,此时∠MN′O′ =90° ,∵DE是△ABC中位线,∴DE∥BC ,DE =BC =10 ,∵DN′∥EF ,∴四边形DEFN′是平行四边形,∵∠EFN′ =90° ,∴四边形DEFN′是矩形,∴EF =DN′ ,DE =FN′ =10 ,∵AB =AC ,∠A =90° ,∴∠B =∠C =45° ,∴BN′ =DN′ =EF =FC =5 ,∴=,∴=,∴DO′ =．当∠MON =90°时,∵△DOE∽△EFM ,∴=,∵EM ==13 ,∴DO =,故答案为或．【点评】此题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会分类讨论,学会添加常用辅助线,属于中|考常考题型．10． (2021.山东省威海市 ,3分 )如图,直线y =x +1与x轴交于点A ,与y轴交于点B ,△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中|心的位似图形,且相似比为1：3 ,那么点B的对应点B′的坐标为(﹣8 ,﹣3 )或(4 ,3 )．【考点】位似变换；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】首||先解得点A和点B的坐标,再利用位似变换可得结果．【解答】解：∵直线y =x +1与x轴交于点A ,与y轴交于点B ,令x =0可得y =1；令y =0可得x =﹣2 ,∴点A和点B的坐标分别为(﹣2 ,0 )；(0 ,1 ) ,∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中|心的位似图形,且相似比为1：3 ,∴== ,∴O′B′=3 ,AO′=6 ,∴B′的坐标为(﹣8 ,﹣3 )或(4 ,3 )．故答案为：(﹣8 ,﹣3 )或(4 ,3 )．11. (2021·江苏南京)如图 ,AB、CD相交于点O ,OC =2 ,OD =3 ,AC∥△ODB的中位线 ,且EF =2 ,那么AC的长为________.答案：8 3考点：三角形的中位线,三角形相似的性质.解析：因为EF是△ODB的中位线 ,EF＝2 ,所以 ,DB＝4 ,又AC∥BD ,所以 ,23AC OCDB OD== ,所以 ,AC＝83.12．(2021·江苏苏州)如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(8 ,0 )、(0 ,2) ,C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D ,动点P 从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E ,连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第|一次垂直时,点P的坐标为(1 ,)．【考点】坐标与图形性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【分析】先根据题意求得CD和PE的长,再判定△EPC∽△PDB ,列出相关的比例式,求得DP的长,最||后根据PE、DP的长得到点P的坐标．【解答】解：∵点A、B的坐标分别为(8 ,0 ) , (0 ,2)∴BO =,AO =8由CD⊥BO ,C是AB的中点,可得BD =DO =BO ==PE ,CD=AO =4设DP =a ,那么CP =4﹣a当BP所在直线与EC所在直线第|一次垂直时,∠FCP =∠DBP又∵EP⊥CP ,PD⊥BD∴∠EPC =∠PDB =90°∴△EPC∽△PDB∴,即解得a1=1 ,a2=3 (舍去)∴DP =1又∵PE =∴P (1 ,)故答案为：(1 ,)13．(2021·江苏泰州)如图,△ABC中,D、E分别在AB、AC上,DE∥BC ,AD：AB =1：3 ,那么△ADE与△ABC的面积之比为1：9．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE与BC平行,得到两对同位角相等,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似,利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】解：∵DE∥BC ,∴∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,∴△ADE∽△ABC ,∴S△ADE：S△ABC= (AD：AB )2=1：9 ,故答案为：1：9．14．(2021·江苏省宿迁)假设两个相似三角形的面积比为1：4 ,那么这两个相似三角形的周长比是1：2．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比,根据似三角形周长的比等于相似比得到答案．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4 ,∴这两个相似三角形的相似比为1：2 ,∴这两个相似三角形的周长比是1：2 ,故答案为：1：2．【点评】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．三、解答题1． (2021·黑龙江大庆 )如图 ,在菱形ABCD中 ,G是BD上一点 ,连接CG并延长交BA的延长线于点F ,交AD于点E．(1 )求证：AG =CG．(2 )求证：AG2=GE•GF．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】根据菱形的性质得到AB∥CD ,AD =CD ,∠ADB =∠CDB ,推出△ADG≌△CDG ,根据全等三角形的性质即可得到结论；(2 )由全等三角形的性质得到∠EAG =∠DCG ,等量代换得到∠EAG =∠F ,求得△AEG∽△FGA ,即可得到结论．【解答】解：(1 )∵四边形ABCD是菱形 ,∴AB∥CD ,AD =CD ,∠ADB =∠CDB ,∴∠F∠FCD ,在△ADG与△CDG中 , ,∴△ADG≌△CDG ,∴∠EAG =∠DCG ,∴AG =CG；(2 )∵△ADG≌△CDG ,∴∠EAG =∠F ,∵∠AGE=∠AGE ,∴△AEG∽△FGA ,∴ ,∴AG2=GE•GF．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质 ,菱形的性质 ,全等三角形的判定和性质 ,熟练掌握各定理是解题的关键．2. (2021·湖北黄冈 ) (总分值8分 ) 如图 ,AB是半圆O的直径 ,点P是BA延长线上一点 ,PC是⊙O的切线 ,切点为C. 过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D ,连接BC. 求证：(1 )∠PBC =∠CBD;(2 )BC2 =AB·BD DCP A O B(第2题 )【考点】切线的性质 ,相似三角形的判定和性质.【分析】 (1 )连接OC ,运用切线的性质 ,可得出∠OCD =90° ,从而证明OC∥BD ,得到∠CBD =∠OCB ,再根据半径相等得出∠OCB =∠PBC ,等量代换得到∠PBC =∠CBD.(2 )连接AC. 要得到BC2 =AB·BD ,需证明△ABC∽△CBD ,故从证明∠ACB =∠BDC ,∠PBC =∠CBD入手.【解答】证明： (1 )连接OC ,∵PC是⊙O的切线 ,∴∠OCD =90°. ……………………………………………1分又∵BD⊥PC∴∠BDP =90°∴OC∥BD.∴∠CBD =∠OCB.∴OB =OC .∴∠OCB =∠PBC.∴∠PBC =∠CBD. ………………………………………..4分DP A O B(2 )连接AC.∵AB是直径 ,∴∠BDP =90°. 又∵∠BDC =90° , ∴∠ACB =∠BDC. ∵∠PBC =∠CBD,∴△ABC ∽△CBD. ……………………………………6分∴BC AB=BD BC .∴BC 2=AB ·BD. ………………………….……………8分DCP A O B3． (2021·湖北十堰 )如图1 ,AB 为半圆O 的直径 ,D 为BA 的延长线上一点 ,DC 为半圆O 的切线 ,切点为C ． (1 )求证：∠ACD =∠B；(2 )如图2 ,∠BDC 的平分线分别交AC ,BC 于点E ,F ； ①求tan∠CFE 的值；②假设AC =3 ,BC =4 ,求CE 的长．【考点】切线的性质．【分析】 (1 )利用等角的余角相等即可证明． (2 )①只要证明∠CEF =∠CFE 即可．②由△DCA∽△DBC ,得 = = = ,设DC =3k ,DB =4k ,由CD2=DA•DB ,得9k2 = (4k﹣5 )•4k ,由此求出DC ,DB ,再由△DCE∽△DBF ,得 = ,设EC =CF =x ,列出方程即可解决问题．【解答】 (1 )证明：如图1中 ,连接OC．∵OA =OC ,∴∠1 =∠2 ,∵CD是⊙O切线 ,∴OC⊥CD ,∴∠DCO =90° ,∴∠3 +∠2 =90° ,∵AB是直径 ,∴∠1 +∠B =90° ,∴∠3 =∠B．(2 )解：①∵∠CEF =∠ECD +∠CDE ,∠CFE =∠B +∠FDB ,∵∠CDE =∠FDB ,∠ECD =∠B ,∴∠CEF =∠CFE ,∵∠ECF =90° ,∴∠CEF =∠CFE =45° ,∴tan∠CFE =tan45° =1．②在RT△ABC中,∵AC =3 ,BC =4 ,∴AB = =5 ,∵∠CDA =∠BDC ,∠DCA =∠B ,∴△DCA∽△DBC ,∴ = = = ,设DC =3k ,DB =4k ,∵CD2=DA•DB ,∴9k2 = (4k﹣5 )•4k ,∴k = ,∴CD = ,DB = ,∵∠CDE =∠BDF ,∠DCE =∠B ,∴△DCE∽△DBF ,∴ = ,设EC =CF =x ,∴ = ,∴x =．∴CE =．【点评】此题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识 ,解题的关键是正确寻找相似三角形 ,利用相似三角形的性质解决问题 ,学会用方程的思想思考问题 ,属于中|考常考题型．4. (2021·四川自贡)矩形ABCD的一条边AD =8 ,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处(Ⅰ )如图1 ,折痕与边BC交于点O ,连接AP、OP、OA．假设△OCP与△PDA的面积比为1：4 ,求边CD的长．(Ⅱ )如图2 ,在(Ⅰ )的条件下,擦去折痕AO、线段OP ,连接BP．动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合) ,动点N在线段AB的延长线上,且BN =PM ,连接MN交PB于点F ,作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?假设变化,说明变化规律．假设不变,求出线段EF的长度．【考点】几何变换综合题．【分析】(1 )先证出∠C =∠D =90° ,再根据∠1 +∠3 =90° ,∠1 +∠2 =90° ,得出∠2 =∠3 ,即可证出△OCP∽△PDA；根据△OCP与△PDA的面积比为1：4 ,得出CP =AD =4 ,设OP =x ,那么CO =8﹣x ,由勾股定理得x2= (8﹣x )2+42 ,求出x ,最||后根据AB =2OP即可求出边AB的长；(2 )作MQ∥AN ,交PB于点Q ,求出MP =MQ ,BN =QM ,得出MP =MQ ,根据ME⊥PQ ,得出EQ =PQ ,根据∠QMF =∠BNF ,证出△MFQ≌△NFB ,得出QF =QB ,再求出EF =PB ,由(1 )中的结论求出PB =,最||后代入EF =PB即可得出线段EF的长度不变【解答】解：(1 )如图1 ,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C =∠D =90° ,∴∠1 +∠3 =90° ,∵由折叠可得∠APO =∠B =90° ,∴∠1 +∠2 =90° ,∴∠2 =∠3 ,又∵∠D =∠C ,∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4 ,∴,∴CP =AD =4 ,设OP =x ,那么CO =8﹣x ,在Rt△PCO中,∠C =90° ,由勾股定理得x2= (8﹣x )2+42 ,解得：x =5 ,∴AB =AP =2OP =10 ,∴边CD的长为10；(2 )作MQ∥AN ,交PB于点Q ,如图2 ,∵AP =AB ,MQ∥AN ,∴∠APB =∠ABP =∠MQP．∴MP =MQ ,∵BN =PM ,∴BN =QM．∵MP =MQ ,ME⊥PQ ,∴EQ =PQ．∵MQ∥AN ,∴∠QMF =∠BNF ,在△MFQ和△NFB中,,∴△MFQ≌△NFB (AAS )．∴QF =QB ,∴EF =EQ +QF =PQ +QB =PB ,由(1 )中的结论可得：PC =4 ,BC =8 ,∠C =90° ,∴PB =,∴EF =PB =2,∴在(1 )的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,它的长度为2．【点评】此题考查了相似形综合,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质,关键是做出辅助线,找出全等和相似的三角形．5. (2021·四川达州·8分)如图,AB为半圆O的直径,C为半圆O上一点,连接AC ,BC ,过点O作OD⊥AC于点D ,过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E ,连接BD并延长交AE于点F．(1 )求证：AE•BC =AD•AB；(2 )假设半圆O的直径为10 ,sin∠BAC = ,求AF的长．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义．【分析】(1 )只要证明△EAD∽△ABC即可解决问题．(2 )作DM⊥AB于M ,利用DM∥AE ,得=,求出DM、BM即可解决问题．【解答】(1 )证明：∵AB为半圆O的直径,∴∠C =90° ,∵OD⊥AC ,∴∠CAB +∠AOE =90° ,∠ADE =∠C =90° ,∵AE是切线,∴OA⊥AE ,∴∠E +∠AOE =90° ,∴∠E =∠CAB ,∴△EAD∽△ABC ,∴AE：AB =AD：BC ,∴AE•BC =AD•AB．(2 )解：作DM⊥AB于M ,∵半圆O的直径为10 ,sin∠BAC = ,∴BC =AB•sin∠BAC =6 ,∴AC ==8 ,∵OE⊥AC ,∴AD =AC =4 ,OD =BC =3 ,∵sin∠MAD == ,∴DM =,AM ===,BM =AB﹣AM =, ∵DM∥AE ,∴=,∴AF =．6. (2021·四川广安·8分)在数学活动课上,老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中(小正方形的边长为1 )画直角三角形,要求三个顶点都在格点上,而且三边与AB或AD都不平行．画四种图形,并直接写出其周长(所画图象相似的只算一种)．【考点】作图-相似变换．【分析】在图1中画等腰直角三角形；在图2、3、4中画有一条直角边为,另一条直角边分别为3,4,2的直角三角形,然后计算出四个直角三角形的周长．【解答】解：如图1 ,三角形的周长=2+；如图2 ,三角形的周长=4+2；如图3 ,三角形的周长=5+；如图4 ,三角形的周长=3+．7. (2021·四川凉山州·8分)如图,四边形ABCD内接于⊙O ,A是的中点,AE⊥AC 于A ,与⊙O及CB的延长线交于点F、E ,且．(1 )求证：△ADC∽△EBA；(2 )如果AB =8 ,CD =5 ,求tan∠CAD的值．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．【分析】(1 )欲证△ADC∽△EBA ,只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明且就可以；(2 )A是的中点,的中点,那么AC =AB =8 ,根据△CAD∽△ABE得到∠CAD =∠AEC ,求得AE ,根据正切三角函数的定义就可以求出结论．【解答】(1 )证明：∵四边形ABCD内接于⊙O ,∴∠CDA =∠ABE．∵,∴∠DCA =∠BAE．∴△ADC∽△EBA；(2 )解：∵A是的中点,∴∴AB =AC =8 ,∵△ADC∽△EBA ,∴∠CAD =∠AEC ,,即,∴AE =,∴tan∠CAD =tan∠AEC ===．8.(2021福州,25,10分)如图,在△ABC中,AB =AC =1 ,BC =,在AC边上截取AD =BC ,连接BD．(1 )通过计算,判断AD2与AC•CD的大小关系；(2 )求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】(1 )先求得AD、CD的长,然后再计算出AD2与AC•CD的值,从而可得到AD2与AC•CD的关系；(2 )由(1 )可得到BD2=AC•CD ,然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC ,依据相似三角形的性质可知∠DBC =∠A ,DB =CB ,然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：(1 )∵AB =BC =1 ,BC =,∴AD =,DC =1﹣=．∴AD2==,AC•CD =1×=．∴AD2=AC•CD．(2 )∵AD =BD ,AD2=AC•CD ,∴BD2=AC•CD ,即．又∵∠C =∠C ,∴△BCD∽△ABC．∴,∠DBC =∠A．∴DB =CB =AD．∴∠A =∠ABD ,∠C =∠D．设∠A =x ,那么∠ABD =x ,∠DBC =x ,∠C =2x．∵∠A +∠ABC +∠C =180° ,∴x +2x +2x =180°．解得：x =36°．∴∠ABD =36°．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用,证得△BCD∽△ABC是解题的关键．9.(2021,湖北宜昌,23 ,11分)在△ABC中,AB =6 ,AC =8 ,BC =10 ,D是△ABC 内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合) ,以D为顶点作△DEF ,使△DEF∽△ABC (相似比k＞1 ) ,EF∥BC．(1 )求∠D的度数；(2 )假设两三角形重叠局部的形状始终是四边形AGDH．①如图1 ,连接GH、AD ,当GH⊥AD时,请判断四边形AGDH的形状,并证明；②当四边形AGDH的面积最||大时,过A作AP⊥EF于P ,且AP =AD ,求k的值．【考点】相似形综合题．【分析】(1 )先判断△ABC是直角三角形,即可；(2 )①先判断AB∥DE ,DF∥AC ,得到平行四边形,再判断出是正方形；②先判断面积最||大时点D的位置,由△BGD∽△BAC ,找出AH =8﹣GA ,得到S矩形AGDH=﹣AG2+8AG ,确定极值,AG =3时,面积最||大,最||后求k得值．【解答】解：(1 )∵AB2+AC2=100 =BC2 ,∴∠BAC =90° ,∵△DEF∽△ABC ,∴∠D =∠BAC =90° ,(2 )①四边形AGDH为正方形,理由：如图1 ,延长ED交BC于M ,延长FD交BC于N ,∵△DEF∽△ABC ,∴∠B =∠C ,∵EF∥BC ,∴∠E =∠EMC ,∴∠B =∠EMC ,∴AB∥DE ,同理：DF∥AC ,∴四边形AGDH为平行四边形,∵∠D =90° ,∴四边形AGDH为矩形,∵GH⊥AD ,∴四边形AGDH为正方形；②当点D在△ABC内部时,四边形AGDH的面积不可能最||大,理由：如图2 ,点D在内部时(N在△ABC内部或BC边上) ,延长GD至||N ,过N作NM⊥AC于M , ∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH ,∴点D在△ABC内部时,四边形AGDH的面积不可能最||大,只有点D在BC边上时,面积才有可能最||大,如图3 ,点D在BC上,∵DG∥AC ,∴△BGD∽△BAC ,∴,∴,∴,∴AH =8﹣GA ,=AG×AH =AG× (8﹣AG ) =﹣AG2+8AG ,S矩形AGDH最||大,此时,DG =AH =4 ,当AG =﹣=3时,S矩形AGDH即：当AG =3 ,AH =4时,S最||大,矩形AGDH在Rt△BGD中,BD =5 ,∴DC =BC﹣BD =5 ,即：点D为BC的中点,∵AD =BC =5 ,∴PA =AD =5 ,延长PA ,∵EF∥BC ,QP⊥EF ,∴QP⊥BC ,∴PQ是EF ,BC之间的距离,∴D是EF的距离为PQ的长,在△ABC中,AB×AC =BC×AQ∵△DEF∽△ABC ,∴k ===．【点评】此题是相似三角形的综合题,主要考查了相似三角形的性质和判定,平行四边形,矩形,正方形的判定和性质,极值确实定,勾股定理的逆定理,解此题的关键是作出辅助线,10.(2021吉林长春,20 ,7分)如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF =BE ,BE与CD交于点G(1 )求证：BD∥EF；(2 )假设=,BE =4 ,求EC的长．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】(1 )根据平行四边的判定与性质,可得答案；(2 )根据相似三角形的判定与性质,可得答案．【解答】(1 )证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC．∵DF =BE ,∴四边形BEFD是平行四边形,∴BD∥EF；(2 )∵四边形BEFD是平行四边形,∴DF =BE =4．∵DF∥EC ,∴△DFG∽CEG ,∴=,∴CE ==4×=6．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,利用了平行四边形的判定与性质,相似三角形的判定与性质．11. (2021·广东广州)如图9,在平面直角坐标系xOy中 ,直线y＝-x＋3与x轴交于点C,与直线AD交于点45A(,)33,点D的坐标为(0,1)（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B ,假设点E是直线AD上一动点 (不与点B重合 ) ,当△BOD 与△BCE相似时 ,求点E的坐标。

全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题图形的相似与位似

图形的相似与位似一、选择题3. （2015•酒泉第9题 3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点， DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（）．．．．4. （2015•酒泉第10题 3分）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5，点P 是BC 边上的一个动点（点P 与点B 、C 都不重合），现将△PCD 沿直线PD 折叠，使点C 落到点F 处；过点P 作∠BPF 的角平分线交AB 于点E ．设BP =x ，BE =y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）5. 如图，G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的点，且AG =CE ，AE ⊥EF ，AE =EF ，现有如下结论：①BE =GE ；②△AGE ≌△ECF ；③∠FCD =45°；④△GBE ∽△ECH 其中，正确的结论有（）A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．4个 6. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，则AB ：AC 等于（）A ．BD ：CDB ．AD ：CDC ．BC ：AD D ．BC ：AC8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，CD 于点G ，H ，则下列结论错误的是（）A ．=B ．=C ．=D ．=10.如图：把△ABC 沿AB 边平移到△A ′B ′C ′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的一半，若AB =，则此三角形移动的距离AA ′是（）A ．﹣1B ．C ． 1D ．B ．C ．D ．16．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=时，n的值为（）A．4﹣2B．2﹣4 C．﹣D．17.（2015•齐齐哈尔,第10题3分）如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形；③DE=DF；④DE⊥DF．其中正确的结论的个数是（）ABDNA．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题1.（2015•辽宁省朝阳,第16题3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q 到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t=时，PQ∥EF；（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是．3.（2015•辽宁省盘锦,第18题3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是．三、解答题2.（2015•辽宁省盘锦,第23题12分）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠AB C．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．3.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．线段PB的长4.（2015•北海,第25题12分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．7. （2015•黄冈,第21题8分）已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点N ，连接AN ,过点C 的切线交AB 的延长线于点P .（1）求证：∠BCP =∠BAN ;（2）求证：BPCB MN AM9．（12分）（2015•内蒙古赤峰23，12分）如图，直线y =﹣2x +4与坐标轴分别交于C 、B 两点，过点C 作CD ⊥x 轴，点P 是x 轴下方直线CD 上的一点，且△OCP 与△OBC 相似，求过点P 的双曲线解析式．10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6cm ，BC =8cm ．动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3cm 的速度向定点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2cm 的速度向点B 运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜），连接MN ．（1）若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值；（2）连接AN ，CM ，若AN ⊥CM ，求t 的值．12．（13分）（2015福建龙岩24，13分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t．（1）判断MN与AC的位置关系；（2）求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；（3）若△DMN是等腰三角形，求t的值．13.定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）14.（2015，广西钦州，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，以点B（0，8）为端点的射线BG∥x轴，点A是射线BG上的一个动点（点A与点B不重合）．在射线AG上取AD=OB，作线段AD的垂直平分线，垂足为E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C．连接OC、CD，设点A的横坐标为t．（1）用含t的式子表示点E的坐标为_______；（2）当t为何值时，∠OCD=180°？（3）当点C与点F不重合时，设△OCF的面积为S，求S与t之间的函数解析式．8．（2015•重庆A 26，12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =+x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点W ，顶点为C ，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D 。

全国各地中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题26 图形的相似与位似

图形的相似与位似一.选择题1. （2015•淄博第8题,4分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．.专题：压轴题．分析：根据三角形的中位线求出EF=BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD，得出=，求出==，即可求出△AEF与多边形BCDFE的面积之比．解答：解：连接BD，∵F、E分别为AD、AB中点，∴EF=BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴==，∴△AEF的面积：四边形EFDB的面积=1：3，∵CD=AB，CB⊥DC，AB∥CD，∴==，∴△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为1：（3+2）=1：5，故选C ．点评：本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中． 2．（2015·湖北省武汉市，第6题3分）如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)1.A【解析】∵线段CD 和线段AB 关于原点位似，∴△ODC ∽△OBA ，∴31OB ==AB CD OD ，即3136==CD OD ，∴CD =1，OD =2，∴C （2,1）.一题多解—最优解：设C （x ,y ）,∵线段CD 和线段AB 关于原点位似，∴3136==y x ,∴x =2，y =1，∴C （2,1）.备考指导：每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形．位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比．3．(2015•湖南株洲,第7题3分)如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( )A ．13B ．23C ．34D ．45第7题图【试题分析】本题考点为：相似的三角形性质的运用：利用AB ∥EF ∥CD 得到△ABE ∽△DCE ，得到13EC DC BE AB ==，△BEF ∽△BCD 得到14EF BE BE CD BC BE EC ===+，故可知答案答案为：C4．(2015•江苏南京,第3题3分)如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若，则下列结论中正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】试题分析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵AD ：DB =1：2，∴AD ：AB =1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C 正确．故选C ．考点：相似三角形的判定与性质． 5．（2015•甘肃武威,第9题3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题．解答：解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴=，∴S△DOE：S△AOC==，故选D．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A．①②B．①②③C．①④D．①②④考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．.分析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．解答：解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴与不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故选D．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．图形的相似与位似7.（2015湖北荆州第6题3分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A ． ∠ABP =∠CB ． ∠APB =∠ABC C ． =D ． = 考点：相似三角形的判定．分析：分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．解答：解：A 、当∠ABP =∠C 时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；B 、当∠APB =∠ABC 时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；C 、当=时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；D 、无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选：D ．点评：此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 8．（2015•四川资阳,第10题3分）如图6，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①AB E 与点B 重合时，MH =12；③AF+BE=EF ；④MG•MH =12，其中正确结论为A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 考点：相似形综合题．.分析：①由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；②如图1，当点E 与点B 重合时，点H 与点B 重合，可得MG ∥BC ，四边形MGCB 是矩形，进一步得到FG 是△ACB 的中位线，从而作出判断；③如图2所示，SAS 可证△ECF ≌△ECD ，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；④根据AA 可证△ACE ∽△BFC ，根据相似三角形的性质可得AF •BF =AC •BC =1，由题意知四边形CHMG 是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG •MH =AE ×BF =AE •BF =AC •BC =，依此即可作出判断．解答：解：①由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ==，故①正确；②如图1，当点E 与点B 重合时，点H 与点B 重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AF•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，故④正确．故选：C．点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．9. （2015•浙江嘉兴，第5题4分）如图，直线l1// l2// l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F .AC与DF相较于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（▲）（A ）（B ）2 （C ）（D ）考点：平行线分线段成比例．. 分析：根据AH =2，HB =1求出AB 的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．解答：解：∵AH =2，HB =1，∴AB =3， ∵l 1∥l 2∥l 3，∴==，故选：D ．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．10. （2015•四川省宜宾市，第6题，3分）6. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为l ：2，∠OCD =90°，CO =CD .若B (1，0)，则点C[中国^的坐标为( B )yxDC BAOA .(1,2)B .(1,1)C .(2, 2)D .(2,1)11. （2015•四川成都,第5题3分）如图，在ABC ∆中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE ,则EC 的长为（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【答案】：B【解析】：根据平行线段的比例关系，AD AEDB EC =，即643EC =，2EC =，选B 。

全国各地中考数学解析版试卷分类汇编总汇：图形的相似与位似

全国各地中考数学解析版试卷分类汇编总汇：图形的相似与位似一、选择题1. （ 2014•安徽省,第9题4分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A 点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x 的关系式，从而得解．解答：解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．故选B．点评：本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．2. （2014•广西玉林市、防城港市，第7题3分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3B．6C．9D．12考点：位似变换．分析：利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．解答：解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．3．(2014年天津市，第8题3分)如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2考点：平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出=，利用点E是边AD的中点得出答案即可．解答：解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴=，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=AD，∴=．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△DEF∽△BCF是解题关键．4.（2014•毕节地区，第12题3分）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质分析：根据已知条件得出△ADC∽△BDE，然后依据对应边成比例即可求得．解答：解：∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，△ADC∽△BDE，∴=，又∵AD：DE=3：5，AE=8，∴AD=3，DE=5，∵BD=4，∴=，∴DC=，故应选A．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：对应角相等的三角形是相似三角形，相似三角形对应边成比例．5.（2014•武汉，第6题3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B （8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．（3，3）B．（4，3）C．（3，1）D．（4，1）考点：位似变换；坐标与图形性质分析：利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．解答：解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选：A．点评：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．6. （2014年江苏南京，第3题，2分）若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1考点：相似三角形的性质分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．解答：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．故选C．点评：本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．7. （2014年江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）（第2题图）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。

【精品】全国各地中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题26图形的相似与位似

图形的相似与位似一.选择题1. （2015•淄博第8题,4分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．.专题：压轴题．分析：根据三角形的中位线求出EF=BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD，得出=，求出==，即可求出△AEF与多边形BCDFE的面积之比．解答：解：连接BD，∵F、E分别为AD、AB中点，∴EF=BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴==，∴△AEF 的面积：四边形EFDB 的面积=1：3， ∵CD =AB ，CB ⊥DC ，AB ∥CD ，∴==，∴△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为1：（3+2）=1：5，故选C ．点评：本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．2．（2015·湖北省武汉市，第6题3分）如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（）A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)1.A【解析】∵线段CD 和线段AB 关于原点位似，∴△ODC ∽△OBA ，∴31OB ==AB CD OD ，即3136==CD OD ，∴CD =1，OD =2，∴C （2,1）.一题多解—最优解：设C （x ,y ）,∵线段CD 和线段AB 关于原点位似，∴3136==y x ,∴x =2，y =1，∴C （2,1）.备考指导：每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形．位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比．3．(2015•湖南株洲,第7题3分)如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD＝3，那么EF的长是( )A．13B．23C．34D．45第7题图【试题分析】本题考点为：相似的三角形性质的运用：利用AB∥EF∥CD得到△ABE∽△DCE，得到13EC DCBE AB==，△BEF∽△BCD得到14EF BE BECD BC BE EC===+，故可知答案答案为：C4．(2015•江苏南京,第3题3分)如图所示，△ABC中，DE∥BC，若，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】试题分析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB=1：2，∴AD：AB=1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C正确．故选C．考点：相似三角形的判定与性质．5．（2015•甘肃武威,第9题3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：证明BE：EC=1：3，进而证明BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得到=，借助相似三角形的性质即可解决问题．解答：解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC，∴△DOE∽△AOC，∴=，∴S△DOE：S△AOC==，故选D．点评：本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．6.（2015湖南岳阳第8题3分）如图，在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE=CD，连接AE．对于下列结论：①AD=DC；②△CBA∽△CDE；③=；④AE为⊙O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（）A．①②B．①②③C．①④D．①②④考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．.分析：根据圆周角定理得∠ADB=90°，则BD⊥AC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对①进行判断；利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4，则根据相似三角形的判定方法得到△CBA∽△CDE，于是可对②进行判断；由于不能确定∠1等于45°，则不能确定与相等，则可对③进行判断；利用DA=DC=DE可判断∠AEC=90°，即CE⊥AE，根据平行线的性质得到AB⊥AE，然后根据切线的判定定理得AE为⊙O的切线，于是可对④进行判断．解答：解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；∵AB=CB，∴∠1=∠2，而CD=ED，∴∠3=∠4，∵CF∥AB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠1不能确定等于45°，∴与不能确定相等，所以③错误；∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．故选D．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定．图形的相似与位似7.（2015湖北荆州第6题3分）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．=D．=考点：相似三角形的判定．分析：分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．解答：解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C 、当=时，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；D 、无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选：D ．点评：此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．8．（2015•四川资阳,第10题3分）如图6，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①AB ②当点E 与点B 重合时，MH =12；③AF+BE=EF ；④MG•MH =12，其中正确结论为 A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③④ 考点：相似形综合题．.分析：①由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；②如图1，当点E 与点B 重合时，点H 与点B 重合，可得MG ∥BC ，四边形MGCB 是矩形，进一步得到FG 是△ACB 的中位线，从而作出判断；③如图2所示，SAS 可证△ECF ≌△ECD ，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；④根据AA 可证△ACE ∽△BFC ，根据相似三角形的性质可得AF •BF =AC •BC =1，由题意知四边形CHMG 是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG •MH =AE ×BF =AE •BF =AC •BC =，依此即可作出判断．解答：解：①由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ==，故①正确；②如图1，当点E 与点B 重合时，点H 与点B 重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC=AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠A=∠5=45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE=∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF=DE．∵∠5=45°，∴∠BDE=90°，∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，∵∠A=∠5=45°，∴△ACE∽△BFC，∴=，∴AF•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH=CG，MG∥BC，MH∥AC，∴=；=，即=；=，∴MG=AE；MH=BF，∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=，故④正确．故选：C．点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．9. （2015•浙江嘉兴，第5题4分）如图，直线l1// l2// l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F.AC与DF相较于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（▲）（A ）（B ）2 （C ）（D ）考点：平行线分线段成比例．.分析：根据AH =2，HB =1求出AB 的长，根据平行线分线段成比例定理得到=，计算得到答案．解答：解：∵AH =2，HB =1，∴AB =3，∵l 1∥l 2∥l 3， ∴==，故选：D ．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．10. （2015•四川省宜宾市，第6题，3分）6. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为l ：2，∠OCD =90°，CO =CD .若B (1，0)，则点C[中国^的坐标为( B )yxDC BAOA .(1,2)B .(1,1)C .(2, 2)D .(2,1)11. （2015•四川成都,第5题3分）如图，在ABC ∆中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE ,则EC 的长为（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【答案】：B【解析】：根据平行线段的比例关系，AD AEDB EC =，即643EC =，2EC =，选B 。

2022全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)-第28章图形的相似与位似

2022全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）-第28章图形的相似与位似28.1 图形的相似 15．（2020北京，15，5）已知023a b=≠，求代数式()225224a b a b a b -⋅--的值．【解析】【答案】设a =2k ,b =3k ，原式=525210641(2)(2)(2)22682a b a b k k k a b a b a b a b k k k ----====+-++【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。

28.2 线段的比、黄金分割与比例的性质（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD 中，AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（）A ．215- B ．215+ C ． 3 D ．2考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：依照已知得四边形ABEF 为正方形。

因为四边形EFDC 与矩形ABCD 相似因此DF:EF=AB:BC 即（AD-1）:1=1:AD 整理得：012=--AD AD ,解得251±=AD 由于AD 为正，得到AD=215+，本题正确答案是B. 点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。

28.3 相似三角形的判定（2020山东省聊城，11，3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（）A.BC=2DEB. △ADE ∽△ABCC. ACAB AE AD= D. ADE ABC S S ∆∆=3 解析：依照三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE ；因DE//BC ，因此△ADE ∽△ABC ，AD ：AB=AE ：AC ，即AD ：AE=AB ：AC ，ADE ABCS S∆∆=4.因此选项D 错误.答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，能够得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（2020四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿直线MN 翻折后，顶点C 恰好落在AB 边上的点D 处，已知MN ∥AB ，MC ＝6，NC ＝23MABN 的面积是A ．63B ．123C ．183D ．3【解析】由MC ＝6，NC ＝3∠C ＝90°得S △CMN =3再由翻折前后△CMN ≌△DMN 得对应高相等；由MN ∥AB 得△CMN ∽△CAB 且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S △CMN ：S 四边形MABN =1:3，故选C. 【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.（2020湖北随州，14,4分）如图，点D,E 分别在AB 、AC 上，且∠ABC=∠AED 。

全国各地年中考数学试卷分类(第期)专题图形的相似与位似精编

2021年全国各地中考数学试题分类汇编(第三期) 专题26 图形的相似与位似(含解析)

图形的相似与位似[中^国教#育出版~*&网]
1.（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，
其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）
A．20 B．22 C．24 D．26
【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE
＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】解：如图，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴＝（）2＝（）2＝
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
2. （2019•甘肃庆阳•3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（）
A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换。

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图形的相似与位似一、选择题1．（2017·湖北十堰）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ′B ′C ′，已知OB=3OB ′，则△A ′B ′C ′与△ABC 的面积比为（）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：9 【考点】位似变换．【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．【解答】解：∵OB=3OB ′， ∴，∵以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ′B ′C ′， ∴△A ′B ′C ′∽△ABC ， ∴=．∴=，故选D【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．2. （2017·湖北咸宁）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①BC DE =21； ②S S COBDOE △△=21； ③AB AD=OB OE ； ④S S ADE ODE △△=31.其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C.3个D. 4个（第2题）【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE=21BC ，即BC DE=21；故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB∴S S COBDOE △△=（BC DE ）2=(21）2=41,故②错误； ③∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD=BC DE△DOE ∽△COB ∴OB OE=BC DE∴AB AD=OB OE，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。

∴点O 是△ABC 的重心，根据重心性质，BO=2OE ，△ABC 的高=3△BOC 的高，且△ABC 与△BOC 同底（BC ） ∴S △ABC =3S △BOC ，由②和③知，S △ODE =41S △COB ，S △ADE =41S △BOC ，∴S S ADE ODE △△=31.故④正确.综上，①③④正确. 故选C.【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方．3. (2017·新疆)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（）A ．DE=BCB ． =C ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ：S △ABC =1：2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】根据中位线的性质定理得到DE ∥BC ，DE=BC ，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定．【解答】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=BC ， ∴=，△ADE ∽△ABC ，∴，∴A ，B ，C 正确，D 错误；故选：D ．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明．4. (2017·云南)如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B ．如果△ABD 的面积为15，那么△ACD 的面积为（）A．15 B．10 C．D．5【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为9，进而求出△ACD的面积．【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为15，∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．故选D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．5. (2017·云南)在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=，AD=y，则y关于的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；函数的图象；线段垂直平分线的性质．【分析】由△DAH∽△CAB，得=，求出y与关系，再确定的取值范围即可解决问题．【解答】解：∵DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，∴△DAH∽△CAB，∴=，∴=，∴y=，∵AB＜AC，∴＜4，∴图象是D．故选D．【点评】本题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．6. （2017·四川达州·3分）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．【解答】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB=10，D为AB中点，∴DF=AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即，解得：DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故选：B．7．（2017·山东烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴=，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD ∽△OBG ， ∴=， ∴=，解得：OA=1， ∴OB=3，∴C 点坐标为：（3，2），故选：A ．8．（2017·山西）宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ D ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH考点：黄金分割的识别分析：由作图方法可知DF =5CF ，所以CG =CF )15(-，且GH =CD =2CF 从而得出黄金矩形解答：CG =CF )15(-，GH =2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形选D ．9．（2017·四川巴中）如图，点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的中点，则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：1【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，证出△ADE ∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．【解答】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积=（）2=1：4，∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；故选：B．10．（2017.山东省泰安市，3分）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=，BD=y，则y关于的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，∴∠BPD=∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP：AC=BD：PC，∵正△ABC的边长为4，BP=，BD=y，∴：4=y：（4﹣），∴y=﹣2+．故选C．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD ∽△CAP是关键．11．（2017.山东省威海市，3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC 于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（）A．= B．AD，AE将∠BAC三等分C ．△ABE ≌△ACD D ．S △ADH =S △CEG【考点】黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．【分析】由题意知AB=AC 、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA ∽△BAC ，得=，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA ，进而根据黄金分割定义知==，可判断A ；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B ；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD ，可证△BAE ≌△CAD ，即可判断C ；由△BAE ≌△CAD 知S △BAD =S △CAE ，根据DH 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC 可得S △ADH =S△CEG ，可判断D ．【解答】解：∵∠B=∠C=36°， ∴AB=AC ，∠BAC=108°，∵DH 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ， ∴DB=DA ，EA=EC ，∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°， ∴△BDA ∽△BAC ， ∴=，又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC ﹣∠BAD=72°， ∴∠ADC=∠DAC ， ∴CD=CA=BA ，∴BD=BC ﹣CD=BC ﹣AB ，则=，即==，故A 错误；∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°， ∴∠DAE=∠BAC ﹣∠DAB ﹣∠CAE=36°，即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°， ∴AD ，AE 将∠BAC 三等分，故B 正确；∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°， ∴∠BAE=∠CAD ，在△BAE 和△CAD 中，∵，∴△BAE ≌△CAD ，故C 正确；由△BAE ≌△CAD 可得S △BAE =S △CAD ，即S △BAD +S △ADE =S △CAE +S △ADE ， ∴S △BAD =S △CAE ，又∵DH 垂直平分AB ，EG 垂直平分AC ， ∴S △ADH =S △ABD ，S △CEG =S △CAE ， ∴S △ADH =S △CEG ，故D 正确．故选：A ．12．(2017安徽，8，4分)﹣如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段AC 的长为（）A ．4B ．4C ．6D ．4【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据AD 是中线，得出CD=4，再根据AA 证出△CBA ∽△CAD ，得出=，求出AC 即可．【解答】解：∵BC=8， ∴CD=4，在△CBA 和△CAD 中， ∵∠B=∠DAC ，∠C=∠C ， ∴△CBA ∽△CAD ， ∴=，∴AC 2=CD •BC=4×8=32， ∴AC=4；13．(2017兰州，3,4分).已知△ABC ∽△ DEF ，若 △ABC 与△DEF 的相似比为3／4，则△ ABC 与△DEF 对应中线的比为（）。