一次函数、二次函数和幂函数-含答案

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第09讲函数(一次函数二次函数和幂函数）模型及其应用高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过成立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题取得解决.数学模型方式是把实际问题加以抽象归纳，成立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方式；数学模型那么是把实际问题用数学语言抽象归纳，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象归纳加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去查验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方式的前提.二、函数是描述客观世界转变规律的根本数学模型，不同的转变现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模进程就是信息的获取、存储、处置、综合、输出的进程，熟悉一些根本的数学模型，有助于提高咱们解决实际问题的能力.三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质一、一次函数的一般形式为,y kx b =+当0k >时，函数单调递增，当0k <时，函数单调递减，当0k =时，函数是常数函数.二、二次函数的一般形式是2(0)y ax bx c a =++≠，当0a >时，函数的图像抛物线开口向上，极点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递减，在(,)2b a -+∞2b x a=-时，函数有最小值244ac b a -.当0a <时，函数的图像抛物线开口向下，极点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a-∞-单调递增，在(,)2b a -+∞2b x a=-时，函数有最大值244ac b a -. 3、幂函数的一般形式为(,a y x a R a x =∈是常数，是自变量），其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其概念域随着常数a 取值的不同而不同. 所有幂函数都在(0,)+∞有概念，而且图像都过点〔1，1〕；0,a >幂函数在(0,)+∞是增函数，0a <，幂函数在(0,)+∞是减函数.四、解决实际问题的解题进程一、对实际问题进展抽象归纳：研究实际问题中量与量之间的关系，肯定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 别离表示问题中的变量；二、成立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，咱们成立的函数模型一般都是函数的解析式；3、求解函数模型：按如实际问题所需要解决的目标及函数式的构造特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并恢复为实际问题的解.这些步骤用框图表示：五、解应用题的一般程序1读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是根底；2建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，成立相应的数学模型．熟悉根本数学模型，正确进展建“模〞是关键的一关；3解：求解数学模型，取得数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化进程；4答：将数学结论恢复给实际问题的结果．六、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 学科@网【方式讲评】【例1】某地域1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地域沙漠面积的转变情况，进展了持续5年的观测，并将每一年年末的观测结果记录如下表.按照此表所给的信息进展预测：〔1〕若是不采取任何办法，那么到2010年末，该地域的沙漠面积将大约变成多少万公顷；〔2〕若是从2000年末后采取植树造林等办法，每一年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年末该地域沙漠面积减少到90万公顷？〔2〕设从1996年算起，第x年年末该地域沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得+--=，x x950.20.6(5)90x=〔年〕解得20故到2015年年末，该地域沙漠面积减少到90万公顷.=+的图【点评】〔1〕由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y kx b象，这是解题的切入点和关键点.〔2〕求一次函数的解析式一般利用待定系数法.【反映检测1】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机械12台和6台，现销售给A地10台，B地8台，从甲地调运1台至A地、B地的运费别离为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费别离为300元和500元.〔1〕设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；〔2〕假设总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？〔3〕求出总运费最低的调运方案及最低的费用.【例2】某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全数租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每一个月需要保护费150元，未租出的车每辆每一个月需要保护费50元.〔1〕当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？〔2〕当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【点评】〔1〕在实际问题背景下，成立收益、利润的函数模型，一般是利润＝收入－各项支出.〔2〕依照公司的月收益为：租出车辆⨯〔月租金－保护费〕－未租出车辆⨯保护费，将月收益视为月租金的函数，构造函数模型求解问题.【反映检测2】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总本钱y〔万元〕与年产量x〔吨〕之间的函数关系式可以近似地表示为24880005xy x=-+，此生产线年产量最大为210吨.〔1〕求年产量为多少吨时，生产每吨产品平均本钱最低，并求最低本钱.〔2〕假设每吨产品平均出厂价为40万元，那么昔时产量为多少吨时，可以取得最大利润？最大利润是多少？【例3】有一片树林现有木材储蓄量为7100c m3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即抵达28400 c m3．〔1〕求平均每一年木材储蓄量的增加率；〔2〕若是平均每一年增加率为8%，几年可以翻两番？【点评】〔1〕增加率〔降低率〕的问题一般是指数或幂函数模型，若是时间求增加率〔降低率〕，多是幂函数模型.〔2〕“翻两番〞指此刻是原来的4倍，“翻n番〞指的是此刻是原来的2n倍.【反映检测3】〔1〕在1975年某市每千克猪肉的平均价钱是1.4元，而到了2021年，该市每千克猪肉的平均价钱是15元，假定这30年来价钱年平均增加率一样，求猪肉价钱的年平均增加率.〔2〕另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2021年，该市职工月平均工资是860元，通过猪肉价钱的增加和工资增加的对照，试说明人们的生活水平是日趋提高，并计算假设按这种速度，到2021年，估量该市职工月平均工资是多少元？高中数学常见题型解法归纳及反映检测第09讲：函数(一次函数、二次函数和幂函数〕模型及其应用参考答案【反映检测1答案】〔1〕2008600(06,)y x x x z =+≤≤∈；〔2〕共有3种调运方案；〔3〕乙分厂的6 台机械全数调往B 地，从甲分厂调往A 地10 台，调往B 地2台，最小值是8600元.【反映检测2答案】〔1〕年产量为200吨时，每吨平均本钱最低为32万元；〔2〕年产量为210吨时，可取得最大利润1660万元.【反映检测2详细解析】(1)每吨平均本钱为y x(万元)，那么80008000482483255y x x x x x=+-≥-=，当且仅当80005x x =，即200x =时取等号， ∴年产量为200吨时，每吨平均本钱最低为32万元．(2)设年取得总利润为()R x 万元，那么R(x)=40x-y=40x-25x +48x-8 000=-25x +88x-8 000=-15 (x-220)2+1 680(0≤x ≤210)，∵()R x 在[0，210]上是增函数， ∴210x =时，()R x 有最大值为-(210-220)2+1 680=1 660，∴年产量为210吨时，可取得最大利润1 660万元.【反映检测3答案】〔1〕8.2%；(2)4000元.【反映检测3详细解析】〔1〕设猪肉价钱的年平均增加率是%x ，那么有3015 1.4(1%)x =+．利用计算器可得8.2x =.〔2〕该市职工月工资和年平均增加率是%x ，那么有3084040(1%)x =+，利用计算器可得10.8x =．因为10.88.2>，因这人们的生活水平是日趋提高.照这样的速度到2021年，职工月平均工资是15860(110.8%)4000+≈元.。

高考数学一轮复习专题2.7二次函数及幂函数练习(含解析)

第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．【举一反三】1．已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 2+2f −3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数f =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f (f )=(f 2−f −1)f f2+2f −3是幂函数，∴f 2−f −1=1，解得：f =2或f =−1，f =2时，f (f )=f ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，f =−1时，f (f )=1f 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故f =−1，故选：A ．2．已知函数f（f）=(3f2−2f)f f是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．−1C．1 D．−13或1【答案】C【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13，又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(f)=f f的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(f)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(f)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(f)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12，故f（x）=√f，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y=f f的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）A．−1，1，3 B．12，1 C．−1，3 D．1，3【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；当α=12函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝f f的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题【例2】（1）当f∈{−1,12,1,3}时，幂函数f=f f的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝f f（x≥0），g（x）＝fff f x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为f=f−1经过第一、三象限；f=f12经过第一象限；f=f1经过第一、三象限；f=f3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数f=f 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=f12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①f=f 13，②f=f2，③f=f12，④f=f−1B．①f=f3，②f=f2，③f=f 12，④f=f−1C．①f=f2，②f=f3y=x3，③f=f−1，④f=f 1 2D．①f=f 13，②f=f12，③f=f2，④f=f−1【答案】B【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(f)=f f(f≥0)，f(f)=log f f(f>0,且f≠1)的图象可能是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A项不满足要求；对于B项，幂函数f>1，对数函数0<f<1，所以B项不满足要求；对于C项，幂函数要求0<f<1，而对数函数要求，f>1，所以C项不满足要求；对于D项，幂函数与对数函数都要求0<f<1，所以D项满足要求；故选D.4．如图是幂函数y＝x m和y＝x n在第一象限内的图象，则( )A．－1<n<0,0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1【答案】B【解析】由题图知，f=f f在[0,+∞)上是增函数，f=f f在(0,+∞)上为减函数，∴f>0,f<0，又当f>1时，f=f f的图象在f=f的下方，f=f f的图象在f=f−1的下方，∴f<1,f<−1，从而0<f <1,f <−1，故选B.考向三比较大小【例3】设f =(35)25,f=(25)35,f=(25)25，则f ,f ,f 的大小关系是A ．f >f >fB ．f >f >fC ．f >f >fD ．f >f >f【答案】A【解析】对于函数f =(25)f ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即f <f ；对于函数f =f 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即f >f ．从而f <f <f ．故A 正确．【举一反三】1.已知点(f ,9)在幂函数f (f )=(f −2)f f 的图象上，设f =f (f − 13),f =f (ln 13)，f =f (√22) 则f ,f ,f 的大小关系为（）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f【答案】A【解析】由f (f )=(f −2)f f 为幂函数得f −2=1,f =3, 因为点(3,9)在幂函数f (f )上，所以3f =9，f =2,即f (f )=f 2，因为f =f (f − 13)=f (3− 13),f =f (ln 13)=f (ff3),又3− 13<√22<1<ff3,所以f <f <f ，选A.2．设f =20.3，f =30.2，f =70.1，则f 、f 、f 的大小关系为（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题意得：f =20.3=√2310=√810，f =30.2=√3210=√910，f =70.1=√710f =√f 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴f >f >f 本题正确选项：f3.．已知f =(√2)125，f =925，f =4log 4f 2，则下列结论成立的是（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f 【答案】A【解析】f =265=6415，f =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即f <f ，f =e 2>4>3>345=f ，故f <f <f ，选A .考向四二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2）函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．（3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2）令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点．当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点．当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是．【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x xx x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．1．已知函数f(f)=(f−1)2f f2−4f+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则f=( ) A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．2．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A，幂函数f（x）=x a的定义域与a有关，不一定为R，A错误；（2）对于B，a＞0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递增，a＜0时，幂函数f（x）=x a在（0，+∞）上单调递减，B错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数f=f f在第一象限的图象，已知f∈{−4,−14,14,4}，相应曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线f1,f2,f3,f4对应的f值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数f=2|f|−f2(f∈f)的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ．再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数f =f f 是奇函数时，指数f 为奇数；幂函数f =f f 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数f 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数f =1f 2,f =2f 2,f =f 2+f ,f =3f 中，幂函数的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有f =1f 2=f −2是幂函数，故选B ．9．已知函数f =f f ,f =f f ,f =f f 的图象如图所示，则f ,f ,f 的大小关系为（）A ．f <f <fB ．f <f <fC ．f <f <fD ．f <f <f 【答案】A【解析】由图像可知，f >1,f =12,0<f <12，得f >f >f ，故答案为：A. 10．当f ∈{−1,12,3}时，幂函数f =f f 的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限【答案】D【解析】f =f −1的图象经过第一、三象限，f =f 12的图象经过第一象限，f =f 的图象经过第一、三象限，f =f 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数f ,f ,f 满足log f 2=2，log 3f =13，f 6=172，则f ,f ,f 的大小关系是（） A ．f <f <f B ．f <f <f C ．f <f <f D ．f <f <f【答案】B【解析】由题得f 2=2,∴f 6=8,f =313,∴f 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以f <f <f .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=f12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数f=f f2−5f+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数f=f f2−5f+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴f2−5f+4<0，且f2−5f+4是偶数，由f2−5f+4<0得1<f<4，又由题设f是整数，故f的值可能为2或3，验证知f=2或者3时，都能保证f2−5f+4是偶数，故f=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(f)为偶函数，当f>0时，f(f)=f2−3f，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当f>0时，f(f)=(f−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(f)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(f)=f2+ff+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数f的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f(f)=f2+ff+1表示开口向上，且对称轴的方程为f=−f2，要使得函数f(f)在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,≤1，解得−2≤f≤2，故选A.则−1≤−f216．幂函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1在(0,+∞)上为增函数，则实数f的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(f)=(f2−2f+1)f2f−1是幂函数，则f2−2f+1=1，解得f=0或f=2；当f=0时，f(f)=f−1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当f=2时，f(f)=f3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f (f )=(f 2−f −1)f f 是幂函数，且f (f )在(0,+∞)上单调递增，则实数f =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增，∴{f 2−f −1=1f＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1在(0,+∞)上是减函数，则实数f 的值为__________．【答案】-2【解析】因为函数f (f )=(f 2−2f −7)f f −1是幂函数，所以f 2−2f −7=1，即(f +2)(f −4)=0，解得f =−2或f =4，当f =−2时，f (f )=f −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当f =4时，f (f )=f 3，在(0,+∞)上是增函数，所以f =−2，故答案是：−2. 19．若f (f )=(f −1)2f f 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数f =_______. 【答案】2【解析】f (f )=(f −1)2f f 为幂函数，所以(f −1)2=1，解得f =0或2. 当f =0时，f (f )=f 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去；当f =2时，f (f )=f 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：f =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8f −f 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）．【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4；（2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12，又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (f )=f 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=f −2f2−f +3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1），又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0；当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f (f )=(f 2−2f −2)log f f 是对数函数．（1）若函数f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，讨论函数f (f )的单调性；（2）在（1）的条件下，若f ∈[13,2]，不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，求实数f 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{f 2−2f −2=1f >0且f ≠1，解得f =3（负值舍去），所以f (f )=log 3f ．因为f (f )=log f (f +1)+log f (3−f )，所以{f +1>03−f >0 ，即{f >−1f <3，即−1<f <3，故f (f )的定义域为{f |−1<f <3}．由于f (f )=log 3(f +1)+log 3(3−f )=log 3(−f 2+2f +3)，令f (f )=−f 2+2f +3(−1<f <3)，则由对称轴f =1可知，f (f )在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减；因为f =log 3f 在(0,+∞)上单调递增，所以函数f (f )的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式f (f )−f +3≤0的解集非空，所以f −3≥f (f )min ,f ∈[13,2]，由（1）知，当f ∈[13,2]时，函数f (f )的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]，因为f (13)=log 3329,f (2)=1，所以f (f )min =1，所以f −3≥1，即f ≥4，故实数f 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (f )=f 2+ff +f ，f ，f ∈f ．（1）若f (f )满足：对任意的f ∈f ，均有f (−f )≠−f (f )，求f 的取值范围；（2）若f (f )在(0，1)上与f 轴有两个不同的交点，求f 2+(1+f )f 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−f )+f (f )=(−f )2+f (−f )+f +f 2+ff +f =2(f 2+f )≠0恒成立，所以，方程f 2+f =0无实数解所以，f 取值范围为(0,+∞)（2）设f (f )=0的两根为f 1，f 2，且0<f 1<f 2<1，则f (f )=(f −f 1)(f −f 2)，所以f 2+(1+f )f =f (1+f +f )=f (0)f (1)=(0−f 1)(0−f 2)(1−f 1)(1−f 2)=f 1f 2(1−f 1)(1−f 2)=(−f 12+f 1)(−f 22+f 2)=[−(f 1−12)2+14][−(f 2−12)2+14]≤116.又因为f 1，f 2不能同时取到12，所以f 2+(1+f )f 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f (f )=f 2−2(f −1)f +4. （Ⅰ）若f (f )为偶函数，求f (f )在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，求f (f )在[1,f ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2f【解析】（Ⅰ）因为函数f (f )为偶函数，故f (−f )=f (f )，得f =1.f (f )=f 2+4，因为−1≤f ≤2，所以4≤f (f )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (f )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴f =f −1≥2,f ≥3因为1<f −1<f ，所以f ∈[1,f −1]时，函数f (f )递减，[f −1,f ]时，函数f (f )递增，故当f ∈[1,f ]时，f (f )max {f (1),f (f )} ，∴f (1)=7−2f ,f (f )=−f 2+2f +4，f (1)−f (f )=(7−2f )−(−f 2+2f +4)=f 2−4f +3=(f −2)2−1由于f ≥3∴f (1)≥f (f ) ，故f (f )在[1,f ]上的最大值为7-2f .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. 26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

幂函数经典例题(答案)

幂函数经典例题(答案)A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．例4、已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R.错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.例5、函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m ，再由单调性确定m .解根据幂函数定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 点评幂函数y ＝x α (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增， ∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， ∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－， ∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.点评比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23. (2)(4.1)25>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<(4.1)25.例8、已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1，∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.点评 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z)的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．解由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意．当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示．当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．练习一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 答案 D2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 2 答案 A3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1答案 B5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 答案 B解析由已知⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0∴m ＝1或m ＝2.6．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，那么f (8)的值为( )A ．2 6B ．64 C.24 D.164答案 C解析设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x－12，∴f (8)＝8－12＝24. 8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2 C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析根据函数图象，选B. 二、填空题1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝_____________.答案 15解析设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.2．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是______________．答案 [0，＋∞)解析由4＝8α，得α＝23，∴y ＝x 23≥0.3. 如图所示是幂函数y=x α在第一象限内的图象，已知α取±2，± 四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为 .答案 2，12，－12，－24．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________．答案 5解析设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.5．幂函数y ＝x α (α∈R)的图象一定不经过第________象限．答案四6．把下列各数223，⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫150，⎝ ⎛⎭⎪⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233<⎝ ⎛⎭⎪⎫53－13<⎝ ⎛⎭⎪⎫150<⎝ ⎛⎭⎪⎫3223<223.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎨⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎨⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题1．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎨⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。

第二章第六节一次函数、二次函数与幂函数

α
解析：设幂函数的解析式为y＝x 2.∴y＝x－2.
，则3＝
3 α ，∴α＝－ 3
答案：B
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1 －1，1，，3，则使函数y＝ 3．(教材习题改编)设α∈ 2
xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为 ( ) A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 1 －1 解析：在函数y＝x ，y＝x，y＝x ，y＝x3中，只有函 2
答案：C
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4．(2011· 北京西城模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则m的范围是________．
解析：f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上是增函数， m ∴ ≤－2，m≤－16. 8
答案：(－∞，－16]
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5．(2011· 泰安调研)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在 x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．
答案：C
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7．(2012· 无锡联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若f(x)<0 的解集为R，则实数m的取值范围是__________．
解析：若m＝0；显然－1<0恒成立，若m≠0，
m<0，则 Δ<0.
∴－4<m<0.
故所求范围为－4<m≤0.
答案：(－4,0]
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[冲关锦囊]
[答案] D
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若将本例中“abc>0”改为“abc<0”二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像不可能是哪一个？解：由abc<0知
b 当a>0，有c<0，b>0，对称轴x＝－2a<0，图像可能为C. b 当a<0时，可有c<0，b<0，对称轴x＝－2a<0，此时图像可能为A. b 当a<0时，c>0，b>0时对称轴x＝－2a>0，此时图像可能为B. ∴题目改为abc<0时，函数图像不可能是D.

一次函数、二次函数与幂函数

性质
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由系数$a$决定，当$a>0$时，开口向上；当$a<0$
顶点
二次函数的图像有一个顶
点，其坐标为$(-
frac{b}{2a},
f(-
frac{b}{2a}))$。
对称轴
二次函数的图像关于直线 $x = -frac{b}{2a}$对称。
工程设计
在工程设计中，幂函数可以用于描述材料强度、电阻等物理量随尺寸变化的关系。
数据分析
在数据分析中，幂函数可以用于拟合某些特定的数据集，例如网络流量、销售数据等。
04 三种函数的比较
定义域与值域
一次函数
定义域为全体实数，值域也为全体实数。
二次函数
定义域为全体实数，值域取决于开口方向和顶点位置。
凹凸性
当n>0时，幂函数的图像是凹的；当n<0时，幂函数的图像是凸的。
渐近线
当x趋向于正无穷或负无穷时，幂函数的图像会趋近于y轴。
顶点
当n为偶数时，幂函数的图像有一个对称轴；当n为奇数时，幂函数的图像有一个对称中心。
应用实例
科学计算
幂函数在科学计算中有着广泛的应用，例如计算复利、人口增长
等。
幂函数
定义域为除零外的全体实数，值域也为全体实数。
单调性
一次函数
单调递增或递减，取决于斜率。
二次函数
开口向上时，在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；开口向下时，在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。
幂函数
当指数大于0时，单调递增；当指数小于0时，单调递减。
最值问题
一次函数：无最值。
幂函数：当指数为偶数时，存在最小值；当指数为奇数时，无最值。

高二数学一次函数与二次函数试题答案及解析

高二数学一次函数与二次函数试题答案及解析1.在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为xn ,该年的增长量yn和 xn与的乘积成正比，比例系数为，其中m是与n无关的常数，且x1<m，(1)证明：;(2)用 xn 表示xn+1;并证明草原上的野兔总数量恒小于m.【答案】（1）详见解析；（2），证明用数学归纳法，过程详见解析．【解析】（1）由已知可得yn 是xn的一个二次函数，利用配方法，注意到就可证明；（2）由已知有该年的增长量，所以第n+1年年初的的数量xn+1=xn+yn,代入即可用xn 表示xn+1；证明草原上的野兔总数量恒小于m，即证对一切非零自然数n，都有xn<m,可考虑用数学归纳法来证明：当n=1时显然成立；再假设当时，命题成立，则对n=k+1时，由于是xk的一个二次函数，结合二次函数的性质，可证成立，从而有对一切正整数n，，即是草原上的野兔总数量恒小于m.试题解析：（1）由题意知，配方得：∵∴当且仅当时，取得最大值，即（5分）（2）（8分）用数列归纳法证明：当n=1时，由题意知，故命题成立假设当时，命题成立是xk的一个二次函数，有对称轴，开口向下，由，则，于是在上均有=m取，即知，∴当时，命题成立，综上知，对一切正整数n，这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长（13分）【考点】1函数的概念；２．二次函数；３．数学归纳法．2.已知是方程的两根，且，,，求的最大值与最小值之和为()．A．2B．C．D．1【答案】A【解析】设，根据题意，有，即则直角坐标平面内以为坐标的点的集合对应的区域如下图所示：则的值可看作是过动点和定点的直线的斜率；由图可知，，所以，的最大值与最小值之和为2.故选A【考点】1、一元二次方程根的分布；2、二元一次不等式所表示的平面区域；3、直线的斜率；4、数形结合.3.函数在上是增函数，则的取值范围是_【答案】(-∞,-6]【解析】由于函数在上是增函数，那么二次函数对称轴为，即可知只要，故答案为(-∞,-6]【考点】二次函数单调性点评：解题的关键是理解给定的区间是二次函数增区间的子区间，属于基础题。

2020年高考数学专题复习二次函数与幂函数

二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)如图是①y ＝x a；②y ＝x b；③y ＝x c在第一象限的图象，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0解析：选C.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.(教材习题改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．答案：y ＝x －12 (0，＋∞)(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是________．解析：由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]．答案：[－1，3]幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，故选C.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.1．已知幂函数f (x )＝x m 2－2m －3 (m ∈Z )的图象关于y 轴对称，并且f (x )在第一象限是单调递减函数，则m ＝________．解析：因为幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )是偶函数，所以m 2－2m －3为偶数，所以m 2－2m 为奇数，又m 2－2m <0，故m ＝1.答案：12．当0<x <1时，f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0，1)上的图象，由此可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析：由f (x )是偶函数知f (x )的图象关于y 轴对称，所以－a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－2a b ，即b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，所以2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4，3)，所以3a ＝3，a ＝1，所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题； (3)二次函数的最值问题．角度一二次函数图象的识别问题已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D. 【答案】 D角度二二次函数的单调性问题函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]．【答案】 [－3，0]若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a＝－1，解得a ＝－3.角度三二次函数的最值问题已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，x ∈[－1，2]． (1)若a ＝1，求f (x )的最大值与最小值；(2)f (x )的最小值记为g (a )，求g (a )的解析式以及g (a )的最大值．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，x ∈[－1，2]，则当x ＝1时，f (x )的最小值为0，x ＝－1时，f (x )的最大值为4. (2)f (x )＝(x －a )2＋1－a 2，x ∈[－1，2]，当a <－1时，f (x )的最小值为f (－1)＝2＋2a ，当－1≤a ≤2时，f (x )的最小值为f (a )＝1－a 2，当a >2时，f (x )的最小值为f (2)＝5－4a ，则g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ，a <－1，1－a 2，－1≤a ≤2，5－4a ，a >2，可知，g (a )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g (a )的最大值为g (0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．(2017·高考浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析：选B.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时有最大值2，则实数a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，当a ≥1时，y max ＝a ；当0＜a ＜1时，y max ＝a 2－a ＋1；当a ≤0时，y max ＝1－a .根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤01－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：－1或23．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0，所以二次函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，只需t ＝－10a时f (t ＋1)－f (t )≥8，即a (t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8，即2at ＋a ＋20≥8，将t ＝－10a代入得a ≥8.所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2019·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )． (1)当a ＝－6时，函数f (x )的定义域和值域都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2，求b 的值；(2)当a ＝－1时在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方，试确定实数b 的范围．【解】 (1)当a ＝－6时，函数f (x )＝x 2－6x ＋b ，函数对称轴为x ＝3，故函数f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．①当210时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增，且f (1)<f (b2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝b 2f （3）＝1，无解．所以b 的值为10. (2)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－x ＋b ，由题意可知x 2－x ＋b >2x ＋2b －1对x ∈[－1，1]恒成立，化简得b <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1，1]，图象开口向上，对称轴为x ＝32，在区间[－1，1]上单调递减，则g (x )min ＝－1，故b <－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时，要分类讨论．1．(2019·宁波市余姚中学期中检测)设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A ．13B ．12C ．33D ．22解析：选A.因为(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，所以3x 2＋a ≥0，2x ＋b ≥0或3x 2＋a ≤0，2x ＋b ≤0，①若2x ＋b ≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b ≥0，即b ≥－2a >0，此时当x ＝0时，3x 2＋a ＝a ≥0不成立，②若2x ＋b ≤0在(a ，b )上恒成立，则2b ＋b ≤0，即b ≤0，若3x 2＋a ≤0在(a ，b )上恒成立，则3a 2＋a ≤0，即－13≤a ≤0，故b －a 的最大值为13.2．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)幂函数y ＝x α(α∈R )的图象的特征当α>0时，图象过原点和点(1，1)，在第一象限图象从左往右是逐渐上升；当α<0时，图象过点(1，1)，但不过原点，在第一象限图象从左往右是逐渐下降．求解二次函数最值的关键点求二次函数的最值，应抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．二次函数中的恒成立问题与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0；(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0；(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .易错防范(1)对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)数形结合思想是研究二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(4)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．[基础达标]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. 2．若幂函数f (x )＝x mn (m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象如图所示，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1解析：选C.由图知幂函数f (x )为偶函数，且m n<1，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；选C.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则以下结论中正确的是( )A ．f (0)<f (－2)<f (5)B ．f (－2)<f (5)<f (0)C ．f (－2)<f (0)<f (5)D ．f (0)<f (5)<f (－2)解析：选A.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f (x )的图象的开口方向向上，则函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以f (2)<f (4)<f (5)，又f (0)＝f (2)，f (－2)＝f (4)，所以f (0)<f (－2)<f (5)．4．(2019·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0，1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，所以当x ∈[－2，－1]时，f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－116，所以当x ＝－32时，f (x )取得最小值，且最小值为－116，故选A.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为( ) A ．[－3，3] B ．[－1，3] C ．{－3，3}D ．{－1，－3，3}解析：选C.因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1，因为在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当1≤a 时，y min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3，当a ＋2≤1时，即a ≤－1，y min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3，当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，y min ＝f (1)＝0≠4，故a 的取值集合为{－3，3}．6．(2019·温州高三月考)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，g (x )＝f (f (x ))，若g (x )的值域为[2，＋∞)，f (x )的值域为[k ，＋∞)，则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.设t ＝f (x )，由题意可得g (x )＝f (t )＝at 2＋bt ＋c ，t ≥k ，函数y ＝at 2＋bt ＋c ，t ≥k 的图象为y ＝f (x )的图象的部分，即有g (x )的值域为f (x )的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k ，＋∞)，可得k ≤2，即有k 的最大值为2. 故选C.7．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5.答案：(3，5)8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或39．(2019·杭州四中第一次月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，若存在x 0使|f (x 0)|≤14，|f (x 0＋1)|≤14同时成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24，考察g (x )＝x 2＋h ，当h ＝0时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14，⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1≤14同时成立；当h ＝－12时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14，|g (－12＋1)|≤14同时成立．所以－12≤h ≤0，即－12≤4－a24≤0，解得－6≤a ≤－2或2≤a ≤ 6. 答案：[－6，－2]∪[2，6]10．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 11．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1，3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意m 2－5m ＋7＝1，解得m ＝2或m ＝3，若m ＝2，与f (x )是偶函数矛盾，舍去，所以m ＝3，所以f (x )＝x 2.(2)g (x )＝f (x )－ax －3＝x 2－ax －3，g (x )的对称轴是x ＝a2，若g (x )在[1，3]上不是单调函数，则1<a2<3，解得2<a <6.12．(2019·台州市教学质量调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3，求函数f (x )在区间[m ，3]上的值域．解：(1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1，解得b ＝－2，c ＝0，所以f (x )＝x 2－2x .(2)当1≤m ＜3时，f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ，f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3，所以f (x )的值域为[m 2－2m ，3]；当－1≤m ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1，f (x )max ＝f (－1)＝1＋2＝3，所以f (x )的值域为[－1，3]．当m ＜－1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1，f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m ，所以f (x )的值域为[－1，m 2－2m ]． [能力提升]1．(2019·台州质检) 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a 0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a－b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.2．(2019·温州市十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若任取∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. 3．已知函数f (x )＝|x 2＋ax ＋b |在区间[0，c ]内的最大值为M (a ，b ∈R ，c ＞0为常数)且存在实数a ，b ，使得M 取最小值2，则a ＋b ＋c ＝________．解析：函数y ＝x 2＋ax ＋b 是二次函数，所以函数f (x )＝|x 2＋ax ＋b |在区间[0，c ]内的最大值M 在端点处或x ＝－a2处取得．若在x ＝0处取得，则b ＝±2，若在x ＝－a 2处取得，则|b －a 24|＝2，若在x ＝c 处取得，则|c 2＋ac ＋b |＝2. 若b ＝2，则|b －a 24|≤2，|c 2＋ac ＋b |≤2，解得a ＝0，c ＝0，符合要求，若b ＝－2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．可得a ＋b ＋c ＝2.故答案为2. 答案：24．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知f (x )＝34x 2－3x ＋4，若f (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，则a ＋b ＝________．解析：因为f (x )＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1，所以x ＝2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b <2时，函数在区间[a ，b ]上递减，又因为值域也是[a ，b ]，所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝bf （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b 34b 2－3b ＋4＝a ，两式相减得34(a ＋b )(a －b )－3(a －b )＝b －a ，又因为a ≠b ，所以a ＋b ＝83，由34a 2－3a ＋4＝83－a ，得3a 2－8a ＋163＝0，所以a ＝43，所以b ＝43，故舍去． ②当a <2≤b 时，得f (2)＝1＝a ，又因为f (1)＝74<2，所以f (b )＝b ，得34b 2－3b ＋4＝b ，所以b ＝43(舍)，或b ＝4，所以a ＋b ＝5.③当a ≥2时，函数在区间[a ，b ]上递增，又因为值域是[a ，b ]，所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝af （b ）＝b ，即a ，b 是方程34x 2－3x ＋4＝x 的两根，即a ，b 是方程3x 2－16x ＋16＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝4，但a ≥2，故应舍去．综上得a ＋b ＝5.答案：55．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x－x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b的取值范围是[－2，0]．6．(2019·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝－x 2＋2bx ＋c ，设函数g (x )＝|f (x )|在区间[－1，1]上的最大值为M .(1)若b ＝2，试求出M ；(2)若M ≥k 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时，f (x )＝－x 2＋4x ＋c 在区间[－1，1]上是增函数，则M 是g (－1)和g (1)中较大的一个，又g (－1)＝|－5＋c |，g (1)＝|3＋c |，则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c |，c ≤1|3＋c |，c >1.(2)g (x )＝|f (x )|＝|－(x －b )2＋b 2＋c |，(ⅰ)当|b |>1时，y ＝g (x )在区间[－1，1]上是单调函数，则M ＝max{g (－1)，g (1)}，而g (－1)＝|－1－2b ＋c |，g (1)＝|－1＋2b ＋c |，则2M ≥g (－1)＋g (1)≥|f (－1)－f (1)|＝4|b |>4，可知M >2.(ⅱ)当|b |≤1时，函数y ＝g (x )的对称轴x ＝b 位于区间[－1，1]之内，此时M ＝max{g (－1)，g (1)，g (b )}，又g (b )＝|b 2＋c |，①当－1≤b ≤0时，有f (1)≤f (－1)≤f (b )，则M ＝max{g (b )，g (1)}≥12(g (b )＋g (1))≥12|f (b )－f (1)|＝12(b －1)2≥12；②当012.综上可知，对任意的b 、c 都有M ≥12.而当b ＝0，c ＝12时，g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1，1]上的最大值M ＝12，故M ≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12.。

幂函数练习题及答案解析

幂函数练习题及答案解析1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^2.解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。

2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。

解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。

3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。

解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3.4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。

(-3)^n。

解析：因为 (-2)^n。

0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。

+∞) 上为减函数。

因此 n = -1 或 n = 2.1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。

-4)。

解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。

-4) 上递减。

2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。

0)。

解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。

0)。

3.正确的说法有 2 个。

解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。

4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值的个数是 1.解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。

因此个数为 1.1.α=-1,1,3.由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1.2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3<x<1)。

2.6 一次函数、二次函数与幂函数

§2.6 一次函数、二次函数与幂函数(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题7分，共35分)1．若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 2．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )4.幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f (8)的值为 ( ) A ．2 6B ．64C.24D.1645．已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)·27325t t x+-(t ∈N )是偶函数，则实数t 的值为( ) A ．0 B ．－1或1 C ．1D ．0或1二、填空题(每小题6分，共24分)6．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0，1<β<2，则实数m 的取值范围是 . 7．对于函数y ＝x 2，y ＝12x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有__________．8．已知函数f (x )＝ax ＋b x －b ，其图象关于点(－3,2)对称，则f (2)的值是________．9．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．三、解答题(共41分) 10．(13分)如果幂函数f (x )＝21322p p x-++(p ∈Z )是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．11.(14分)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由． 12．(14分)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3，又∵f (x )是偶函数且p ∈Z . ∴p ＝1，故f (x )＝x 2. 11．解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2.当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (1)＝1－a ＝2⇒a ＝－1；当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a －a 2＝－2，f (－1)＝1＋3a ＝2⇒a 不存在；当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1＋3a ＝2，f (1)＝1－a ＝－2⇒a 不存在．综上可得a ＝－1.12．解 (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m 2≤0－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m 2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m <－255；综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.。

二次函数与幂函数典型例题含答案完整版

二次函数与幂函数典型例题含答案Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，f(x)＝；min②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，f(x)＝.max③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。

二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．两种方法二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是双基自测1．下列函数中是幂函数的是( )．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞253．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·陕西)函数的图象是( )．5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x，则x1＋x2＝________.2考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二幂函数的图象和性质【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( )．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－解析A，C，D均不符合幂函数的定义．答案B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞25解析对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案C4．(2011·陕西)函数的图象是( )．解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x，则x1＋x2＝________.2解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3x1＋x2＝6.答案 6考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．解依题意得解得：∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解法一利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解之得∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8，∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二幂函数的图象和性质【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案±1考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a ＜b＜n.答案m＜a＜b＜n考向四有关二次函数的综合问题【例4】设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．解当a＞0时，f(x)＝a＋2－.∴或或∴或或∴a≥1或＜a＜1或，即a＞；当a＜0时，解得a∈；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－42－4a，∴抛物线顶点坐标为.(1分)①当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答] ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y min＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin ＝－1.综上，g(a)＝。

二次函数、一次函数、幂函数

一次函数、二次函数、幂函数一、一次函数1、定义：2、图像：3、性质：二、题型题型一、一次函数的定义例1.已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，m 为何值时，(1)这个函数为正比例函数；(2)这个函数为一次函数；(3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上．针对练习1.已知y ＝(α＋1)x α－1＋2是一次函数，则α＝________.题型二、一次函数的图像例2．画出函数y ＝3x ＋12的图象，利用图象求：(1)方程3x ＋12＝0的解；(2)不等式3x ＋12>0的解集；(3)当y ≤12时，x 的取值范围．针对练习2.已知一次函数的图象经过点A (－3,4)，B (－1,2)．(1)求这个一次函数的解析式，并画出图;(2)求△AOB 的面积（O 为坐标原点）．题型三、一次函数单调性的应用例3.对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式px ＋3>3px 恒成立，试求x 的取值范围．针对练习3.已知f (x )为一次函数且满足4f (1－x )－2f (x －1)＝3x ＋18，求函数f (x )在[－1,1]上的最大值，并比较f (2 012)和f (2 013)的大小15．对于每个实数x ，设f (x )是y 1＝4x ＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝－2x ＋4三个函数值的最小值，则f (x )的最大值为________．三、次函数的图像与性质1、二次函数的定义：2、二次函数的解析式的求法例1.已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3，其中m 为实数．(1)求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点；(2)设这个二次函数的图像与x 轴交于点A (x 1，0)，B (x 2，0)，且x 1，x 2的倒数和为23，求这个二次函数的解析式．针对练习1.已知二次函数f (x )同时满足条件：①f (1＋x )＝f (1－x )；②f (x )的最大值为15；③f (x )＝0的两根的立方和等于17.求f (x )的解析式．4、二次函数图像的画法5、二次函数的值域的求法例2.已知函数y =x 2-2x -3,求x 在下列范围内函数的值域.(1)x ∈R (2)0≤x ≤3 (3)-2≤x ≤0 (4)3≤x ≤4针对练习2.求函数 y = x 2 －2x + 3 (－1 ≤ x ≤ 2 )的值域6、含参数的二次函数的值域的求法例3. 函数f(x)＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g(a)．(1) 求g(a)的函数表达式；(2) 求g(a)的最大值．7、三个“二次”之间的关系例4.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．8、一元二次不等式恒成立问题例5．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；针对练习5.若函数y =中自变量x 的取值范围是一切实数，求k 的取值范围．9、幂函数的定义10、幂函数的图像与性质11、幂函数性质与图像的应用例 3. 已知函数f (x )＝322--m m x (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3)1(ma -+<3)23(ma --的a 的范围．9．右图是函数y ＝n mx (m ，n ∈N *，m 、n 互质)的图象，则()A ．m ，n 是奇数，且m n <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n >1 1121321321212312112132A.y x ,y x ,y x ,y x B.y x ,y x ,y x ,y x C.y x ,y x ,y x ,y x D.y x ,y x ,y x ,y x ----================①②③④①②③④①②③④①②③④。

高考数学专题06二次函数与幂函数(含解析)理(2021年整理)

考点06 二次函数与幂函数（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图象,了解它们的变化情况.一、二次函数 1．二次函数的概念形如的函数叫做二次函数. 2．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）.(2)顶点式:f (x ）=a （x −h )2＋k (a ≠0）,其中(h ，k ）为抛物线的顶点坐标.（3）两根式：f （x ）=a （x −x 1)(x −x 2）(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质R 12321,,,,y x y xy xy y xx =====2()(0)fxa xb x c a =++≠4．(1)函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c =0的实根.（2)若x 1，x 2为f (x )=0的实根，则f (x ）在x 轴上截得的线段长应为｜x 1−x 2.（3)当且（）时，恒有f (x ）〉0(）；当且(）时，恒有f （x ）〈0(）.学.科二、幂函数 1．幂函数的概念一般地,形如y =x α(α∈R ）的函数称为幂函数,其中底数x 为自变量，α为常数。

2．几个常见幂函数的图象与性质0a >0∆<0∆≤()0f x ≥0a <0∆<0∆≤()0f x ≤RRR[0,)+∞{|0}x x ≠3(1）幂函数在上都有定义.（2)幂函数的图象均过定点。

(3)当时,幂函数的图象均过定点，且在上单调递增。

（4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.（5）幂函数在第四象限无图象。

考向一求二次函数或幂函数的解析式1．求二次函数解析式的方法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式．一般选择规律如下:(0,)+∞(1,1)0α>(0,0),(1,1)(0,)+∞0α<(1,1)(0,)+∞2．求幂函数解析式的方法幂函数的解析式是一个幂的形式,且需满足：（1）指数为常数；（2)底数为自变量; (3）系数为1。

高中数学归纳《一次函数、二次函数和幂函数》

【知识要点】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决.数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提.二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力.三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质1、一次函数的一般形式为,y kx b =+当0k >时，函数单调递增，当0k <时，函数单调递减，当0k =时，函数是常数函数.2、二次函数的一般形式是2(0)y ax bx c a =++≠，当0a >时，函数的图像抛物线开口向上，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递减，在(,)2b a -+∞单调递增.当2bx a =-时，函数有最小值244ac b a -.当0a <时，函数的图像抛物线开口向下，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2ba-∞-单调递增，在(,)2b a -+∞单调递减.当2bx a=-时，函数有最大值244ac b a -. 3、幂函数的一般形式为(,ay xa R a x =∈是常数，是自变量），其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数a 取值的不同而不同. 所有幂函数都在(0,)+∞有定义，并且图像都过点（1，1）；0,a >幂函数在(0,)+∞是增函数，0a <，幂函数在(0,)+∞是减函数. 四、解决实际问题的解题过程1、对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；2、建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；3、求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：五、解应用题的一般程序1读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础；2建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；3解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；4答：将数学结论还原给实际问题的结果．六、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 学科@网【方法讲评】【例1】某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表.根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？（2）设从1996年算起，第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得+--=，x x950.20.6(5)90x=（年）解得20故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷.=+【点评】（1）由表观察知，沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次函数y kx b 的图象，这是解题的切入点和关键点.（2）求一次函数的解析式一般利用待定系数法.【反馈检测1】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A地10台，B 地8台，已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元.（1）设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？（3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用.【例2】某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【点评】（1）在实际问题背景下，建立收益、利润的函数模型，一般是利润＝收入－各项支出.（2）按照公司的月收益为：租出车辆⨯（月租金－维护费）－未租出车辆⨯维护费，将月收益视为月租金的函数，构造函数模型求解问题.【反馈检测2】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为24880005xy x=-+，已知此生产线年产量最大为210吨.（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品平均成本最低，并求最低成本.（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【例3】有一片树林现有木材储蓄量为7100c m3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400 c m3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率；（2）如果平均每年增长率为8%，几年可以翻两番？【点评】（1）增长率（降低率）的问题一般是指数或幂函数模型，如果已知时间求增长率（降低率），多是幂函数模型.（2）“翻两番”指现在是原来的4倍，“翻n番”指的是现在是原来的2n倍.【反馈检测3】（1）在1975年某市每公斤猪肉的平均价格是1.4元，而到了2005年，该市每公斤猪肉的平均价格是15元，假定这30年来价格年平均增长率相同，求猪肉价格的年平均增长率.（2）另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2005年，该市职工月平均工资是860元，通过猪肉价格的增长和工资增长的对比，试说明人们的生活水平是日益提高，并计算若按这种速度，到2020年，估计该市职工月平均工资是多少元？高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第09讲：函数(一次函数、二次函数和幂函数）模型及其应用参考答案【反馈检测1答案】（1）2008600(06,)y x x x z =+≤≤∈；（2）共有3种调运方案；（3）乙分厂的6 台机器全部调往B 地，从甲分厂调往A 地10 台，调往B 地2台，最小值是8600元.【反馈检测2答案】（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.8000485x x-∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．680(0≤x ≤210)，∵()R x 在[0，210]上是增函数， ∴210x =时，()R x 有最大值为-(210-220)2+1 680=1660，∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元. 【反馈检测3答案】（1）8.2%；(2)4000元.【反馈检测3详细解析】（1）设猪肉价格的年平均增长率是%x ，则有3015 1.4(1%)x =+．利用计算器可得8.2x =.（2）该市职工月工资和年平均增长率是%x ，则有3084040(1%)x =+，利用计算器可得10.8x =．因为10.88.2>，因此人们的生活水平是日益提高.照这样的速度到2020年，职工月平均工资是15860(110.8%)4000+≈元.。

2020年高考数学复习题：二次函数与幂函数

二次函数与幂函数[基础训练]1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()答案：D解析：因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错．在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错．在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错．在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符，故选D.2．[2019上海模拟]如图是函数y＝x mn(m，n∈N*，m，n互质)的图象，则下列结论正确的是()A．m，n是奇数，且m<nB．m是偶数，n是奇数，且m>nC ．m 是偶数，n 是奇数，且m <nD ．m 是奇数，n 是偶数，且m >n答案：C 解析：由图象可知函数y ＝x m n 为偶函数，∴m 是偶数，又m ，n 互质，n ∈N *，∴n 是奇数．又∵图象在第一象限是上凸的，∴m n <1，即m <n .故选C.3．[2019广东佛山模拟]已知实数m ，n ∈{1,2,3,4}，若m ≠n ，则函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为( )A.12B.14C.16D.23答案：B 解析：函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数，则|m －n |＝1，且n 为偶数，∴(m ，n )的可能情况有(1,2)，(3,2)，(3,4)．又实数m ，n ∈{1,2,3,4}，∴(m ，n )的所有可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情况．∴函数f (x )＝|m －n |x n m 为幂函数且为偶函数的概率为312＝14.故选B.4．[2019湖南长沙统一模拟]已知函数f (x )＝x 12，则( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0，f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 答案：B 解析：由题意得f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数．所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立．而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为 ( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1答案：B 解析：函数f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1的图象如图所示．由图象知在[3，＋∞)上，f (x )min ＝f (3)＝32－2×3＋m ＝1，得m ＝－2.6．[2019湖南株洲联考]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案：D 解析：对于A ，B 两图，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a >1，而ax 2＋bx ＝0的两根分别为0和－b a ，且两根之和为－b a ，由图知0<－b a <1，得－11，矛盾，C 错．故选D.7．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，则( )A ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )>0B ．∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0C ．∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0D ．∃x 0(0,1)，使f (x 0)>0答案：B 解析：由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0，抛物线开口向上，因为f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，所以∀x ∈(0,1)，都有f (x )<0.故选B.8．[2019广东汕头一模]命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(3，＋∞)D ．(0,3)答案：A 解析：若ax 2－2ax ＋3>0恒成立，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－12a <0，可得0≤a <3，故当命题“ax 2－2ax ＋3>0恒成立”是假命题时，a <0或a ≥3.9．[2019福建龙海期末]若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2 的图象不经过坐标原点，则实数m ＝________.答案：1或2 解析：由题意得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，y ＝x －2，图象不过原点，当m ＝2时，y ＝x 0，图象不过原点，故m ＝1或2.10．[2019山西一模]已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.答案：－1 解析：由题意得m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，f (x )＝x －1，[－3－m ，m 2－m ]为[－6,6]， f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．当m ＝－1时，f (x )＝x 3，[－3－m ，m 2－m ]为[－2,2]，满足题意，∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞) 解析：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为直线x ＝－2a 2＝－a ，要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6.12．[2019重庆二模]已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上为减函数．又∵f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，即f (x )max －f (x )min ≤4.若a ≥2，则a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1.∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，∴f (x )max －f (x )min ＝6－2a －(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3.若1<a <2，则a ∈[1，a ＋1]，且a －1<(a ＋1)－a .∴x ∈[1，a ＋1]时，f (x )max ＝f (a ＋1)＝6－a 2，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max －f (x )min ＝(6－a 2)－(5－a 2)＝1，∴f (x )max －f (x )min ≤4成立．综上，a 的取值范围是(1,3]．[强化训练]1．已知函数f (x )＝x 2＋1的定义域为[a ，b ](a <b )，值域为[1,5]，则在平面直角坐标系内，点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 答案：C 解析：二次函数f (x )＝x 2＋1，开口向上，顶点为(0,1)，且当x ＝±2时，y ＝5.根据二次函数的图象特点，f (x )在[a ，b ]上的最大值一定是在端点处取得．∴要使f (x )在[a ，b ]上的值域为[1,5]，则f (a )＝5，f (b )≤5或f (b )＝5，f (a )≤5，且0∈[a ，b ]， ∴a ＝－2,0≤b ≤2或者b ＝2，－2≤a ≤0.∴点(a ，b )的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形，面积为4.2．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞) D ．(－4，＋∞)答案：B 解析：由题意f (x )>0对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立，分离参数得a >2x －2x 2对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2都成立，即只需满足a 大于函数y ＝2x －2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2的最大值即可． ∵y ＝2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， ∴y ＝2x －2x 2的最大值为12.∴a >12.故选B.3．[2019山东烟台模拟]定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则使得f (x )>f (x 2－2x ＋2)成立的x 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(2，＋∞) 答案：A 解析：因为f (x )是R 上的奇函数且在(0，＋∞)上是增函数．则函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数，故函数在R 上为增函数，f (x )>f (x 2－2x ＋2)⇒x >x 2－2x ＋2⇒x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，即x 的取值范围是(1,2)．故选A.4．[2019河北保定模拟]对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2} 答案：B 解析：由题意知，关于a 的一次函数y ＝a (x －2)＋x 2－4x ＋4的值大于0在a ∈[－1,1]上恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，1×(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >3或x <2，x >2或x <1，即x <1或x >3，故选B.5．[2019江西吉安模拟]不等式2x 2－axy ＋3y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(－∞，26]C ．(－∞，5] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，92 答案：B 解析：∵2x 2－axy ＋3y 2≥0，∴2x 2－axy ＋3y 2x 2≥0，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋2≥0， ∵x ∈[1,2]，y ∈[1,3]，∴12≤y x ≤3.设t ＝y x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，g (t )＝3t 2－at ＋2，则g (t )≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3恒成立， ∴g (t )min ≥0.函数g (t )的对称轴为t ＝a 6，当a 6≤12，即a ≤3时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34－a 2＋2≥0，解得a ≤112，∴a ≤3；当a 6≥3，即a ≥18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上单调递减， ∴g (t )min ＝g (3)＝27－3a ＋2≥0，解得a ≤293，∴a 不存在；当12<a 6<3，即3<a <18时，g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上先减后增， ∴g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＝24－a 212≥0，解得－26≤a ≤26，∴3<a ≤2 6.综上所述，a ≤2 6.故选B.6．[2019湖北荆州模拟]二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，又f (0)＝3，f (2)＝1，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是 ( )A ．(0，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[2,4] 答案：D 解析：∵二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )， ∴其图象的对称轴是x ＝2，又f (0)＝3，∴f (4)＝3，又f (2)<f (0)，∴f (x )的图象开口向上，∵f (0)＝3，f (2)＝1，f (4)＝3，f (x )在[0，m ]上的最大值为3，最小值为1，∴由二次函数的性质知2≤m ≤4.故选D.7．[2019河南南阳模拟]设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，57 C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，57 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57 答案：D 解析：由题意，f (x )<－m ＋4对于x ∈[1,3]恒成立，即m (x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1,3]恒成立．∵当x ∈[1,3]时，x 2－x ＋1∈[1,7]，∴不等式f (x )<－m ＋4等价于m <5x 2－x ＋1. ∵当x ＝3时，5x 2－x ＋1取最小值57， ∴若要不等式m <5x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，则必须满足m <57，因此，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，57，故选D.8．[2019河北保定一模]已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( )A ．0B ．2 018C ．4 036D ．4 037答案：D 解析：函数f (x )既是二次函数又是幂函数， ∴f (x )＝x 2，∴f (x )＋1为R 上的偶函数，又函数g (x )是R 上的奇函数，h (x )＝g (x )f (x )＋1＋1， ∴h (x )＋h (－x )＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋1＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (－x )f (－x )＋1＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤g (x )f (x )＋1＋－g (x )f (x )＋1＋2＝2， ∴h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝[h (2 018)＋h (－2 018)]＋[h (2 017)＋h (－2 017)]＋…＋[h (1)＋h (－1)]＋h (0)＝2＋2＋…＋2＋1＝2×2 018＋1＝4 037.故选D.9．[2019湖南祁阳二模]已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m ＝0.(2)由(1)，得f (x )＝x 2，当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)，当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )，因为p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1.10．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1,1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．解：(1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2.当a <－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2≤a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 24＋a ＋2，a <－2，1，－2≤a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2. 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t<0时，t－2t2t＋2≤st≤－2t2t＋2，由于－2≤－2t2t＋2<0和－3≤t－2t2t＋2<0，所以－3≤b<0.故b的取值范围是[－3,9－45]．。

幂函数练习题及答案

幂函数练习题及答案一、选择题1. 幂函数$ f(x) = x^a $中，当$ a $为负数时，函数的图像在哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D2. 幂函数$ y = x^{-1} $的图像是：A. 一条直线B. 一条曲线C. 两条曲线D. 无法确定答案：C3. 下列哪个幂函数在$ x = 0 $处有定义？A. $ y = x^{-1} $B. $ y = x^{-2} $C. $ y = x^{1/2} $D. $ y = x^2 $答案：D二、填空题4. 幂函数$ y = x^n $的图像，当$ n $为奇数时，关于____对称。

答案：y轴5. 幂函数$ y = x^3 $的图像在$ x = 0 $处的切线斜率为____。

答案：0三、解答题6. 已知幂函数$ f(x) = x^a $，当$ x = 2 $时，$ f(x) = 4 $，求$ a $的值。

解：根据题意，$ f(2) = 2^a = 4 $，由于$ 2^2 = 4 $，所以$ a = 2 $。

7. 幂函数$ y = x^n $的图像在第一象限内，且在$ x = 1 $处的导数为2，求$ n $的值。

解：由于幂函数的导数为$ y' = n \cdot x^{n-1} $，将$ x = 1 $代入得$ y' = n $。

由题意知$ n = 2 $。

四、计算题8. 求幂函数$ y = x^3 - 3x^2 + 2 $在$ x = 2 $处的值。

解：将$ x = 2 $代入幂函数得$ y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2= 8 - 12 + 2 = -2 $。

9. 已知幂函数$ y = x^a $在$ x = 1 $处的值为1，求$ a $的值。

高中幂函数与二次函数知识点+例题+练习含答案

教学内容幂函数与二次函数教学目标了解幂函数与二次函数的形式重点幂函数与二次函数难点幂函数与二次函数教学准备教学过程幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根．教学效果分析教学过程(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域R R值域y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac－b24a，＋∞y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac－b24a对称轴x＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a递减区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2a⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，＋∞最值当x＝－b2a时，y有最小值y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y有最大值y max＝4ac－b24a辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．( )(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( )(3)幂函数的图象不经过第四象限．( )2．对二次函数的理解(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( )(5)(教材习题改编)函数f(x)＝12x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.( )教学效果分析教学过程[感悟·提升]三个防范一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．考点一幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，则log4f(2)的值为________．(2)函数y＝13x的图象是________．规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.教学效果分析教学过程考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．教学效果分析教学过程1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】(12分)(经典题)求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论答题模板第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a的值．教学效果分析。

二次函数知识点及重点题练习答案解析

在第一象限内,图象都下凹.
答案
基础训练
1
3
1.函数 y= 的大致图象是( B ).
【解析】取值验证可知,函数
1
y= 3 的大致图象是选项
B 中的图象.
答案
解析
2
2.若二次函数 y=-2x -4x+t 的图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( C ).
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上,∴Δ=16+8t=0,可
2.五种常见幂函数的图象
答案
3.幂函数的性质
(1)当 α>0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (0,0) 和 (1,1) ,在(0,+∞)上
是增函数 .在第一象限内,当 α>1 时,图象下凹,当 0<α<1 时,图象上凸.
(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (1,1) ,在(0,+∞)上是减函数 .
4
2
∴h(m)=
-2m +
2
17 3
4
, < m ≤ 1,
4
3
-3 + 4m + 2,0 < m ≤ .
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
当 a≠0 时,f(x)图象的对称轴为直线
3-
x= ,