求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的九种常用方法

一、换元法

已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式， 把g （x ）看成一个整体t ，进行换元，从而求出f （x ）的方法。

例1 已知f （x

x 1

+）= x x x 112

2++，求f （x ）的解析式. 解： 设

x x 1+= t ，则 x= 1

1-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 1

11)11(1

)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1

故 f （x ）=x 2

－x+1 （x ≠1）.

评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.

二、配凑法

例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.

解： f （x +1）= 2

)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，

∴ f （x +1）= 2

)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有

f （x ）= x 2

－1 （x ≥1）.

评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.

三、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.

解：设二次函数f （x ）= ax 2

+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①

f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2

+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得

⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨

⎧==.

7,1b a 故f （x ）= x 2

+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

四、消去法（方程组法）

例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （

x 1

）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x

1

去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方

程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （

x

1

）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x

1

（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32

－3

x （x ≠0）.

评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程

练习：已知定义在R 上的函数满足

，求

的解析式。

五、特殊值法

例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，有

f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.

分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到

f （x ）函数解析式，只有令x = y.

解： 令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1） 得

f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.

练习： 已知函数

的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有，

求

的解析式。

六、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2

，求f （x ）函数解析式.

解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称.

当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2

的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），

因此当x<0时，y=2

)1(+x －1= x 2

+2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-x

x x x 2222

评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.

七、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。 例 6. 已知函数是R 上的奇函数，当

的解析式。

解析：因为是R 上的奇函数，

所以，

当

，

所以

八、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。 x ≥0，

例7. 已知函数，求它的反函数。

解：因为，

反函数为

九、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。例8. 对定义域分别是的函数，规定：函数

若，写出函数的解析式。