求函数解析式的六种常用方法

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高中数学-求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （x ）]的解析式，求原函数f （x ）的解析式.令g （x ）= t ，求f （t ）的解析式，再把t 换为x 即可.例1 已知f （xx 1+）= x x x 1122++，求f （x ）的解析式. 解：设x x 1+= t ，则 x= 11-t （t ≠1）， ∴f （t ）= 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +（t －1）= t 2－t+1 故 f （x ）=x 2－x+1 （x ≠1）.评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.二、配凑法例2 已知f （x +1）= x+2x ，求f （x ）的解析式.解： f （x +1）= 2)(x +2x +1－1=2)1(+x －1，∴ f （x +1）= 2)1(+x －1 （x +1≥1），将x +1视为自变量x ，则有f （x ）= x 2－1 （x ≥1）.评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.三、待定系数法例3 已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ①f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ② 由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.x ≥0， x ＜0. 四、消去法例4 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求f （x ），必须消去已知中的f （x 1），若用x1去代替已知中x ，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可. 解：∵ f （x ）+2 f （x1）= x （x ≠0） ① 由x 1代入得 2f （x ）+f （x 1）=x1（x ≠0） ② 解 ①② 构成的方程组，得 f （x ）=x 32－3x （x ≠0）. 五、特殊值法例5 设是定义在R 上的函数，且满足f （0）=1，并且对任意的实数x ，y ，有f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），求f （x ）函数解析式.分析：要f （0）=1，x ，y 是任意的实数及f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1），得到f （x ）函数解析式，只有令x = y.解：令x = y ，由f （x －y ）= f （x ）－ y （2x －y+1）得f （0）= f （x ）－ x （2x －x+1），整理得 f （x ）= x 2+x+1.六、对称性法即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.例6 已知是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2，求f （x ）函数解析式.解：∵y=f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴y=f （x ）的图象关于原点对称. 当x ≥0时，f （x ）=2x －x 2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），因此当x<0时，y=2)1(+x －1= x 2 +2x.故 f （x ）=⎩⎨⎧+-xx x x 2222 评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.。

函数解析式的求解及常用方法

函数解析式的求解及常用方法
1.直接法：当函数的表达式比较简单时，可以通过观察函数在一些特定点上的值来找到函数的解析式。

例如，给定函数的函数值和定义域，通过观察函数的值与自变量之间的关系来确定函数的解析式。

2. 反函数法：对于一些特殊函数，可以通过求解函数的反函数来得到函数的解析式。

例如，对于幂函数y=x^n，可以通过求解其反函数
y=\sqrt[n]{x}来得到幂函数的解析式。

3.已知条件法：对于一些已知条件，可以通过利用这些条件来求解函数的解析式。

例如，已知函数的导函数或者积分表达式，可以利用这些条件来求解函数的解析式。

4.递归法：有些函数可以通过递归的方式来定义，即函数的值依赖于前面的函数值。

例如，斐波那契数列就是通过递归来定义的，可以通过递归的方式来求解函数的解析式。

5.求导和积分法：对于一些函数，可以通过求导和积分的方式来求解函数的解析式。

特别是对于一些常见的函数，可以通过求导和积分的规则来求解函数的解析式。

以上是常用的函数解析式求解方法，不同函数的特点和已知条件可能需要采用不同的方法来求解函数的解析式。

在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来求解函数的解析式。

函数的解析式

2-x 1-x
③,
解由 ①, ②, ③ 组成的方程组,
得:
f(x)=
x3-x2-1 2x(x-1)
.
评注:
把
f(x),
f(
x-1 x
),
f(
1 1-x
)
都看作“未x). 又如: 已知 af(x)+b1xf( )=cx, 其
中, |a|≠|b|, 求 f(x).
恨恨地说，怎么着？这评书我是每天都听的，莫非今天拉了你，就得坏了我的规矩，让我不知道肖飞是怎么从鬼子眼皮底下逃出去的？你这个女人脑子有毛病！我虽从感情上向着艨，但司机的话也不无道理. 别说肖飞还是有趣的故事，赶上毛头司机让你听汗毛都炸起的摇滚，不也得忍了吗？我忙打圆场说，师傅，我这位朋友爱静，就请您把喇叭声拧小点，大家将就一下吧. 没想到首先反对我的是艨. 她说，这不是可以将就的事. 师傅愿意听《肖飞买药》，可以. 您把车停了，自个儿坐在树荫下，爱怎么听就怎么听，那是你的自由 .既然您是在从事服务性的工作，就得以顾客为上帝. 司机故意让车颠簸起来，冷笑着说，怎么着？我就是听，你能把我如何？说完把声音扩到震耳欲聋. 艨毫不示弱地说，那你把车停下. 我们下车！司机说，我就不停，你有什么办法？莫非你还敢跳车？！艨坚定地说，我为什么要跳车？我坐车，就是为了寻求便利. 我付了钱，就该得到相应的待遇，你无法提供合乎质量的服务，我就不付你报酬. 天经地义的事情，走遍天下我也有理. 我以为司机一定会大怒，把我们抛在公路上. 没想到在艨的逻辑面前，他真的把收音机关了，虽然脸色黑得好似被微波炉烘烤过度的虾饼. 司机终于把我们平安拉到了目的地. 下车后，我心有余悸. 艨却说，这个司机肯定会记住这件事的，以后也许会懂得尊重乘客. 吃饭时落座艨挑选的小馆，她很熟练地点了招牌菜. 艨说此次回国，除了见老朋友，最重要的是让自己的胃享享福，它被洋餐折磨得太久太痛苦了. 菜上得很快，好像是自己的厨艺，艨一个劲地劝我品尝. 我一吃，果然不错，轮到艨笑眯眯地动了筷子，入了口，脸上却变了颜色，招来小姐. 你们掌勺的大厨，是不是得了重感冒？不舒服，休息就是，不宜再给客人做饭的. 艨很严肃地说. 小姐一路小跑去了操作间，很快回来报告说，掌勺的人很健康，没有病的. 她一边说着，一边脸上露出嫌艨多此一举的神色. 我也有些怪艨，你也不是防疫站的官员，管得真宽. 忙说，快吃快吃，要不菜就凉了. 艨又夹了一筷子菜，仔细尝尝，然后说，既然大厨没生病，那就一定是换了厨师. 这菜的味道和往日不一样，盐搁得尤其多. 我原以为是厨师生了感冒，舌苔黄厚，辨不出咸淡，现在可确定是换了人. 对吗？她征询地望着小姐. 小姐一下子萎靡起来，又有几分佩服地说，你的舌头真是神. 大厨今天有急事没来，菜果真是二厨代炒的. 真对不起. 小姐的态度亲切可人，我觉得大可到此为止. 不想艨根本不吃这一套，缓缓地说，在饭店里，是不应该说“对不起”这几个字的. 艨说，如果我享受了你的服务，出门的时候，不付钱，只说一声“对不起”，行吗？小姐不语，答案显然是否定的. 艨循循善诱地说，在你这里，我所要的一切都是付费的. 用“对不起” 这种话安慰客人，不做实质的解决，往轻点说是搪塞，重说就是巧取豪夺. 这时一个胖胖的男人走过来，和气地说，我是这里的老板，你们的谈话我都听到了，有什么要求，就同我说吧. 是菜不够热，还是原料不新鲜？您要是觉得口感太咸的话，我这就叫厨房再烧一盘，您以为如何？我想，艨总该借坡下驴了吧. 没想到艨说，我想要少付你钱. 老板压着怒火说，菜的价钱是在菜谱上明码标了的，你点了这道菜，就是认可了它的价钱，怎么能吃了之后杀价呢？看来您是常客，若还看得起小店，这道菜我可以无偿奉送，少收钱却是不能开例的. 艨不慌不忙地说，菜谱上是有价钱不假，可你那是根据大厨的手艺定的单，现在换了二厨，他的手艺的确不如大厨，你就不能按照原来的定价收费. 因为你付给大厨的工钱和付给二厨的工钱是不一样的. 既然你按他们的手艺论价，为什么到了我这里，就行不通了呢？话被艨这样掰开揉碎一说，理就是很分明的事了. 于是艨达到了目的. 和艨进街上的公共厕所，艨感叹地说，真豪华啊，厕所像宫殿，这好像是中国改变最大的地方. 女厕所里每一扇洗手间的门都禁闭着，女人们站在白瓷砖地上，看守着那些门，等待轮到自己的时刻. 我和艨各选了一列队伍，耐心等待. 我的那扇门还好，不断地开启关闭，不一会就轮到了我. 艨可惨了，像阿里巴巴不曾说出“芝麻开门”的口诀，那门总是庄严地紧闭着. 我受不了气味，对艨说了声，我到外面去等你啊，便撤了出去. 等了许久，许多比艨晚进去的女人，都出来了，艨还在等待……等艨终于解决问题了以后，我对艨说，可惜你站错了队啊. 艨嘻嘻笑着说，烦你陪我去找一下公共厕所的负责人. 我说，就是门口发手纸的老大妈. 艨说，你别欺我出国多年，这点规矩还是记得的. 她管不了事. 我要找一位负责公共设施的官员. 我表示爱莫能助，不知道这类官司是找环保局还是园林局（因为那厕所在一处公园内）. 艨思索了片刻. 找来报纸，毫不犹豫地拨打了上面刊登的市长电话. 我吓得用手压住电话叉簧，说艨你疯了，太不注意国情！艨说，我正是相信政府是为人民办事的啊. 我说，一个厕所，哪里值得如此兴师动众？艨说，不单单是厕所. 还有邮局、银行、售票处等等，中国凡是有窗口和门口的地方，只要排队，都存在这个问题. 每个工作人员速度不同，需要服务的人耗时也不同，后面等待的人不能预先获知准确信息. 如果听天由命，随便等候，就会造成不合理、不平等、不公正……关于这种机遇的分配问题，作为个人调查起来很困难，甚至无能为力. 比如我刚才不能一个个地问排在前面的女人，你是解大手还是解小手，以确定我该排在哪一队后…… 我说，艨你把一个简单的问题说得很复杂，简明扼要地告诉我，你打算在厕所里搞一场什么样的革命？艨说，要求市长在厕所里设条一米线，等候的人都在线外，这样就避免了排错队的问题，提高效率，大家心情愉快. 北美就是这样的. 我说，艨，你在国内还会上几次厕所？还会给谁寄钱或取邮件？我们浸泡其中都置若惘闻，你又何必这样不依不饶？你已是一个北美人，马上就要回北美去，还是到那里安稳享受你的厕所一米线吧. 艨说，这些年，我在国外，没有什么本事，就是买买东西上上街. 我不像别的留学生回国，有很多报效国家的能力. 我只是一个家庭妇女，觉得那里有些比咱高明的地方，就想让这边学了来. 这几天我让你们陪我，是想让你们明白我的心. 我不是英雄，没法振臂一呼，宣传我的主张；也不是作家，不会写了文章，让更多的人知道我的想法. 我只有让你们从我看似乖张的举动里，感觉到这世上有一个更合理的标准存在着，可以学习借鉴. 我为艨的苦心感动，但还是说，就算你说的有理，这些事也太小了. 要知道中国有些地方连温饱都没有解决啊. 艨说，我对中国充满信心. 温饱解决之后，马上就会遭遇这些问题. 对于普通人来说，我们流泪，有多少是为了远方的难民？基本上都是因为眼睛里进了沙子. 身边的琐事标志着文明的水准. 现代化不是一个空壳，它是一种更公正更美好的社会. 我把压在电话叉簧之上的手指松开了，让艨去完成找市长的计划. 那个电话打了很长，艨讲了许多她以为中国可以改进的地方，十分动情. 分手的时候，艨说，有些中国人入了外国籍以后，标榜自己是个“香蕉人”，意思是自己除了外皮是黄色的，内心已变得雪白. 而我是一个“芒果人”. 我说“芒果人”，好新鲜. 怎么讲？艨说，芒果皮是黄的，瓤也是黄的. 我永远爱我的祖国。名家散文汇编：毕淑敏风的青睐 ? 400年前的法国人蒙田，说过这样一句话——风不会对漫无目的者有所青睐…… 青睐是指一个人用黑眼珠子看着你。这是一句反话。意思是假如你有了坚定的目的，整个大自然将帮助你。风是什么呢？风是一股看不见摸不着的力量。风吹的时候，影响着我们，逆风或是顺风，对我们的速度和方向都强有力地制约着。就连飞机的钢铁巨翅，也不敢对风等闲置之。人生的目的很重要。这个目的，是谁给我们预定的呢？没有人。你的父母你的师长你的朋友，都可能参与你的目的的制定，但他们不是决定的力量。最后的赞成或是否决票，在你手里。如果你对自己说，我才不要什么人生的目的这种奇怪的东西，那么，你也是有一个目的了，那就是“虚无”。一个没有方向感的人，如何行走呢？看看醉汉就明白了。踉踉跄跄，东倒西歪，昏乱地嘟囔着，没有人知道他要到哪里去，更不知道他的归宿在何方……这种精神的吉普赛人，终生流浪在灵魂的荒原。还有一些人，把某种流行的腐朽说法或是沉沦的误区，当成了自己的目的。这种镜花水月的伪目的，只能引诱感官的沉没和本能的麻痹。目的的特征：通常是阔大的，依稀的，但它确实存在着，一如晨曦。你从未摸到晨曦，但你每天都可以看到它。即使乌云蔽日的时候，你也坚韧不拔地确信，在高远之处，晨曦依然发出红色温暖的光芒。一个有目的的人，走路的姿势是向前的。他们通常不会在跌到之后，太长地抚摸伤痛，短暂的昏厥之后迅速地清醒，用身边的树枝或是草叶，捆扎好伤口，蹒跚着上路了。他们走得慢，但很坚定，不会因为风险而避开既定的方向，也不会为路边一些小的花果而长期间地流连忘返。当然也有痴迷和混沌的时候，但他们能够重新恢复思考的冷静，从容向前…… 风的青睐，是无价的礼物。只要你坚定地确立了自己的目标，努力下去，就会发现天地万物都来帮你了。每天都冒一点险一 ? ?"衰老很重要的标志，就是求稳怕变。所以，你想保持年轻吗？你希望自己有活力吗？你期待着清晨能在新生活的憧憬中醒来吗？有一个好办法——每天都冒一点险。" ? ?以上这段话，见于一本国外的心理学小册子。像给某种青春大力丸做广告。本待一笑了之，但结尾的那句话吸引了我——每天都冒一点险。 ? ? "险"有灾难狠毒之意。如果把它比成一种处境一种状态，你说是现代人碰到它的时候多呢，还是古代甚至原始时代碰到的多呢？粗粗一想，好像是古代多吧。茹毛饮血刀耕火种时，危机四伏。细一想，不一定。那时的险多属自然灾害，虽然凶残，但比较单纯。现代了，天然险这种东西，也跟热

求函数解析形式的六种常用方法

求函数解析形式的六种常用方法函数解析形式是数学中用来描述函数的一种表达方式，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

在数学中，常用的函数解析形式有以下六种方法：1.代数形式：函数的代数形式是最常见和常用的一种函数解析形式，它通常由代数表达式来表示。

代数形式可以简单地写成一个关系式，其中包含变量、常量和运算符。

例如，函数f(x)=x^2就是一个代数形式的函数。

代数形式的函数通常使用常见的代数表达式，如多项式、有理函数、指数函数、对数函数等。

代数形式的函数可以通过代数运算和代数性质来进行分析和计算。

2.增长率形式：增长率形式是描述函数增长速度的一种函数解析形式。

它表示函数在自变量不断变大的情况下，函数值的增长趋势。

增长率形式可以用线性函数、指数函数、对数函数等方式来表示。

例如，函数 f(x) = kx 就是增长率形式的函数，其中 k 表示增长率。

在这种函数中，函数值与自变量成正比例关系，增长率 k 决定了函数的增长速度和趋势。

3.几何形式：几何形式是用几何图形来描述函数的一种函数解析形式。

它通过几何图形或者几何关系来表示函数的性质和特征。

例如，圆的面积函数f(r)=πr^2就是几何形式的函数，其中r表示圆的半径。

这个函数表示半径为r的圆的面积，通过几何形式可以直观地理解函数的性质。

几何形式的函数通常使用几何图形、平面几何或者空间几何的相关概念和原理来进行描述。

4.微分形式：微分形式是用微积分的相关概念和运算来描述函数的一种函数解析形式。

它通过求导数来表示函数的变化率、斜率等性质。

例如，函数f(x)=x^2的微分形式可以写成f'(x)=2x，其中f'(x)表示函数f(x)在x的导数。

微分形式可以帮助我们研究函数的极值、拐点、切线、凹凸性等性质。

微分形式的函数通常使用导数、极限、微分等微积分概念来进行分析和计算。

5.积分形式：积分形式是用积分的相关概念和运算来描述函数的一种函数解析形式。

求函数解析式的六种常用方法精编版

求函数解析式的六种常用方法精编版函数解析式是描述函数数学规律的公式或表达式。

在数学中，常用的方法有很多，但以下列举的六种方法是最常见且常用的。

一、直接给出公式或表达式最简单直接的方法是通过给出函数解析式来描述函数的规律。

例如，对于一元二次方程 y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，就是一种直接给出函数解析式的方法。

这种方法适用于已知函数规律的情况，可以方便地求函数的值和图像。

二、通过函数图像导出函数解析式对于一些函数，可以通过观察函数的图像来导出其解析式。

例如，对于二次函数y = ax^2 + bx + c，如果已知函数的图像，并能确定顶点坐标和开口方向，那么就可以根据函数图像反推函数解析式。

这种方法适用于已知函数图像的情况，可以通过观察图像特点来确定函数解析式。

三、通过给定函数值求解析式有时候，我们已知函数在一些特定点的函数值，可以通过这些函数值来求解析式。

例如，已知一元一次函数的两个点的函数值，可以通过求解线性方程组来确定函数解析式。

这种方法适用于已知一些特定点的函数值，可以通过点与点之间的关系来求解析式。

四、通过已知函数性质求解析式有时候，我们已知函数满足一些特定的性质，可以通过这些性质来求解析式。

例如，对于一元一次函数y = kx + b，如果已知函数过点(1, 2)和(3, 4)，可以利用点斜式或两点式来求解析式。

这种方法适用于已知函数的性质和特点，可以通过这些性质和特点来求解析式。

五、通过已知导数求解析式对于函数的解析式，如果已知其导数的解析式，可以通过积分来求解析式。

例如，对于函数y=2x^2+3x+1，如果已知其导数为y'=4x+3，可以通过积分来求得原始函数的解析式。

这种方法适用于已知函数的导数解析式，可以通过反向求导来求解析式。

六、通过泰勒级数展开求解析式对于一些特殊的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等，可以通过泰勒级数展开来求解析式。

泰勒级数展开是利用函数的导数来逼近函数的方法，通过取泰勒级数展开的前几项，就可以得到函数的近似解析式。

求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法函数解析式指的是用代数式或公式来表示函数的方式。

以下是六种常用方法：一、明确函数定义域和值域在确定函数解析式之前，首先需要明确函数的定义域和值域。

函数的定义域是指函数可以取值的自变量的范围，而值域则是函数的函数值可以取的范围。

明确函数的定义域和值域可以帮助我们确定函数解析式的形式和特点。

二、利用已知条件和性质确定函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知条件和性质来确定函数解析式的形式。

例如，已知函数的导函数，可以通过求导的逆运算确定原函数的解析式。

又如，已知函数的周期性质，可以利用周期性质来确定函数解析式的形式。

三、从实际问题中建立函数关系函数解析式可以从实际问题中建立起来。

在解决实际问题时，可以首先建立自变量和函数值之间的关系，然后根据问题中给出的条件来确定函数解析式。

例如，求解经济学中的需求函数、生长模型等。

四、利用已知函数的性质和运算建立函数解析式在求函数解析式时，可以利用已知函数的性质和运算来建立函数解析式。

例如，可以利用已知函数的线性性质、对称性质、指数性质等来建立函数解析式。

又如，可以利用已知函数的运算性质，如加减乘除、复合等来建立函数解析式。

五、利用恒等式和方程组建立函数解析式在求解一些复杂的函数问题时，可以利用恒等式和方程组来建立函数解析式。

通过列方程并求解，可以得到函数解析式中的一些未知系数。

例如，可以通过建立差分方程求解离散函数的解析式。

六、利用已知函数的级数展开建立函数解析式在求解一些函数的解析式时，可以利用已知函数的级数展开式来建立函数解析式。

通过逐项求和，可以得到函数解析式的形式。

例如，可以利用幂级数展开来确定一些特殊函数的解析式。

求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的九种常用方法一、换元法已知复合函数f [g （ｘ)]的解析式,求原函数f(ｘ）的解析式, 把g （ｘ)看成一个整体t ，进行换元,从而求出f(x)的方法。

例1 已知ｆ(xx 1+）= x x x 1122++,求ｆ（x)的解析式．解：设x x 1+＝ t ,则 x= 11-t (t ≠1), ∴f （ｔ）＝ 111)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(ｔ-１)＝ t 2－t+１故 f （x)=x ２-x ＋1 （x ≠１). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围，即为函数的定义域．二、配凑法例2 已知ｆ(x +1)= x+２x ,求f （x)的解析式．解: f （x +1）= 2)(x +２x +1-1=2)1(+x -1,∴ ｆ（x +1）＝ 2)1(+x -1 (x ＋1≥1)，将x ＋1视为自变量ｘ，则有f(x)= x 2-1 (x ≥１)．评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错.三、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。

例3 已知二次函数ｆ（x)满足ｆ(0)＝０,ｆ（x+1）＝ f(ｘ）+2x+８,求f （x ）的解析式．解：设二次函数f(x ）＝ａx ２+bx+c,则 f(０）= c= 0 ①f （x+1)= a 2)1(+x +b （x+1)= ａx 2＋（2a ＋b)ｘ+a+b ② 由ｆ（ｘ+1)= f （x)+2x ＋8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f(x)= x 2+7ｘ.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.四、消去法(方程组法）例4 设函数f （x ）满足ｆ（x ）+2 f(x 1)= x (x ≠０），求f （x ）函数解析式. 分析：欲求ｆ（ｘ），必须消去已知中的f(x 1)，若用x 1去代替已知中x,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可.解：∵ ｆ(x ）＋2 ｆ(x1）＝ｘ (x ≠0） ① 由x 1代入得２f(ｘ)+ｆ(x 1)=x1（x ≠0) ② 解 ①② 构成的方程组，得ｆ（x ）=x 32-3x （x ≠０). 评注:方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程练习：已知定义在R 上的函数满足,求的解析式。

函数解析式的求法

函数解析式的求法1.待定系数法例1.求一次函数y=f(x)解析式，使f(f(x))=4x+3.解：设f(x)=ax+b(a≠0).∴f(f(x))==af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b∴a^2x+ab+b=4x+3∴a^2=4,ab+b=3解得a=2,b=1或a=-2,b=-3.∴f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.总结：当已知函数类型时，求函数解析式，常用待定系数法。

其基本步骤：设出函数的一般式，代入已知条件通过解方程（组）确定未知系数。

2.换元法换元法就是引进一个或几个新的变量来替换原来的某些量的解题方法，它的目的是化繁为简、化难为易，以快速的实现从未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。

常见换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、分母换元、平均换元等，应用极为广泛。

例2.已知f(1-√x)=x.求f(x).解：设1-√x=t,则x=(1-t)^2∵x≥0,∴t≤1,∴f(t)=(1-t)^2(t≤1)∴f(x)=(1-x)^2(x≤1)(函数变量的无关性)总结：(1)利用换元法解题时，要注意在换元时易引起定义域的变化，所以最后的结果要注意所求函数的定义域。

(2)函数变量的无关性，变量无论是用x还是用t表示，都无关紧要，函数依然成立。

3.配凑法例3.已知f(3x+1)=9x^2-6x+5,求f(x).解：∵f(3x+1)=9x^2-6x+5=(3x+1)^2-12x+4=(3x+1)^2-4(3x+1)+8∴f(x)=x^2-4x+8总结：当已知函数表达式比较简单时，可直接应用配凑法，即根据具体的解析式凑出复合变量的形式，从而求出函数解析式。

4.消元法（又叫解方程组法）例4.已知函数f(x)满足条件：f(x)+2f(1/x)=x,求f(x).分析：用1/x代替条件方程中的x得：f(1/x)+2f(x)=1/x.把它与原条件式联立。

用消元法消去f(1/x),即得f(x)的解析式。

必修1求函数解析式的常用方法

必修1求函数解析式的常用方法在数学中，函数解析式是表示函数关系的一种方法，能够通过输入一个自变量的值来计算对应的函数值。

在求函数解析式时，有几种常用的方法可以帮助我们推导出函数解析式，包括代数法、求导法、极限法和积分法等。

一、代数法（方程法）代数法是一种常用的求函数解析式的方法，通过建立方程组来解决问题。

具体步骤如下：1.确定未知数：观察函数关系，确定未知数的个数和性质。

2.建立方程：将已知条件和未知数之间的关系转化为方程。

3.求解方程组：利用代数运算的方法求解方程组。

4.验证：将求得的解带入原方程进行验证，确保解的正确性。

例如，已知函数f(x)满足f(x)-f(x-1)=x，我们可以采用代数法求函数解析式。

解：设f(x) = ax + b，将f(x)的表达式带入已知条件f(x) - f(x - 1) = x中，得到：ax + b - a(x - 1) - b = x整理得：ax + b - ax + a - b = x去掉相同项后得：a=1再将a=1代入f(x)，得到f(x)=x+b。

因此，函数f(x)的解析式是f(x)=x+b，其中b是常数。

二、求导法求导法是一种通过对函数求导来求解函数解析式的方法。

该方法主要适用于求解一阶线性微分方程。

1.已知已知函数的导数表达式；2.将导数表达式带入微分方程，得到关于未知函数的微分方程；3.求解微分方程，得到未知函数；4.对求得的未知函数进行验证。

例如，已知函数f'(x)=2x+1，我们可以采用求导法求函数解析式。

解：对已知函数f'(x) = 2x + 1进行积分，得到f(x) = ∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C其中C为常数。

因此，函数f(x)的解析式是f(x)=x^2+x+C。

三、极限法极限法是一种通过取极限的方法来求解函数解析式的方法。

该方法主要适用于求解极限关系存在的函数。

1.观察函数的极限特征；2.利用极限性质推导函数解析式；3.对推导的解析式进行验证。

函数解析式的七种求法

函数解析式的七种求法一、通过给定的输入和输出求解析式。

这是最简单直接的方法，当给定了函数的输入和输出时，可以利用这些已知信息求解析式。

例如，如果一个函数在输入为1时输出为3，在输入为2时输出为5，我们可以直接写出函数解析式为f(x)=2x+1二、基于已知函数的变换求解析式。

对于已知的一些基本函数，例如线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等，我们可以通过对它们进行变换得到其他函数的解析式。

例如，如果已知函数f(x)=x^2，我们可以通过对f(x)进行变换得到f(x)=(x-1)^2+1三、利用函数的性质和特点求解析式。

对于一些特殊函数，例如奇函数、偶函数、周期函数等，可以利用它们的性质和特点来求解析式。

例如，如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中只包含奇次幂项，可以利用这个特点来求解析式。

四、利用已知函数的级数展开求解析式。

对于一些复杂的函数，可以利用已知函数的级数展开进行逼近，从而得到函数的解析式。

例如，可以利用泰勒级数展开求得函数的解析式，只需要计算到足够高的阶数即可。

五、利用已知函数的导数和积分求解析式。

对于一些函数，可以通过对它们的导数和积分进行运算得到其他函数的解析式。

例如，如果已知一个函数的导数或积分，可以通过对这个导数或积分进行逆运算来求得函数的解析式。

六、基于已知函数的函数逼近求解析式。

对于一些复杂的函数，可以利用一些已知的简单函数进行逼近，从而得到函数的解析式。

例如，可以利用多项式函数对一个非多项式函数进行逼近，从而得到函数的解析式。

七、利用差分方程或微分方程求解析式。

对于一些具有差分方程或微分方程性质的函数，可以通过求解这些方程来得到函数的解析式。

例如，可以利用差分方程或微分方程求解线性递推函数的解析式。

以上是七种常用的求解函数解析式的方法。

不同方法适用于不同情况，根据具体的问题和已知信息选择合适的方法可以更高效地求解函数的解析式。

求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法函数解析式是用数学语言描述数学函数的一种方法。

它可以方便地表示函数的定义域、值域、性质等，并且能够通过函数图像和方程表达式等形式直观地展现函数的特征。

下面将介绍六种常用的方法来求函数的解析式。

1.常函数法：常函数法是求解常函数的一种简单方法。

常函数表示所有的输入值都对应着相同的输出值。

常函数的解析式通常形如"f(x)=c"，其中c是常数。

常函数的定义域和值域都是全体实数值。

例如，函数f(x)=3就是一个常函数，它的输出始终为32.幂函数法：幂函数是一种具有形如y=x^a的解析式的函数。

幂函数法是通过给定了函数的一些特定点来推导出整个函数的解析式。

常见的幂函数包括正幂函数、负幂函数和倒数函数。

例如，给定函数f(x)通过点（1,2）和（2,4），我们可以通过观察得出f(x)=2^x。

3.分段函数法：分段函数是一种具有不同解析式在不同区间上的函数。

分段函数法是通过将函数的定义域按照不同的区间划分，然后在每个区间上分别确定函数的解析式来得到函数的解析式。

例如，函数f(x)=，x，在x<0时取值为-x，在x≥0时取值为x，这就是一个分段函数。

4.复合函数法：复合函数是通过使用一个函数的输出结果作为另一个函数的输入来得到的函数。

复合函数法是通过将两个或多个函数的定义域和值域相互组合，然后确定新函数的解析式来求解函数的解析式。

例如，给定函数f(x)=x+1和g(x)=2x，我们可以求得f(g(x))=2x+15.反函数法：反函数是指一个函数的自变量和因变量对换后得到的新函数。

反函数法是通过将一个函数的自变量和因变量交换位置，然后求解得到函数的解析式。

例如，给定函数f(x)=2x，我们通过交换x和y的位置，可以求得反函数f^(-1)(x)=x/26.曲线拟合法：曲线拟合法是通过已知函数的一些点来找到一个与这些点最接近的函数的解析式。

它可以应用于实验数据分析和模型建立等领域。

求函数解析式的6种方法

求函数解析式的6种方法一、待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数，指数函数，对数函数、幂函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1 （1）已知二次函数()f x 满足(1)1f =，(1)5f -=，图象过原点，求()f x ；（2）已知二次函数()f x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()f x ．(3)已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式 (4)已知二次函数f （x ）满足f （0）=0，f （x+1）= f （x ）+2x+8，求f （x ）的解析式.解：（1）由题意设 2()f x ax bx c =++， ∵(1)1f =，(1)5f -=，且图象过原点，∴150a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩ ∴320a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴2()32f x x x =-．（2）由题意设 2()(1)2f x a x =++，又∵图象经过原点，∴(0)0f =，∴20a += 得2a =-， ∴2()24f x x x =--．(3)解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0由(1)()1f x f x x +=++ 得22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得 ax 2+(2a+b)x+a+b+c=ax 2+(b+1)x+c+1得 212211120011()22a ab b a bc c b c c f x x x⎧=⎪+=+⎧⎪⎪⎪++=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩∴=+(4)解：设二次函数f （x ）= ax 2+bx+c ，则 f （0）= c= 0 ① f （x+1）= a 2)1(+x +b （x+1）= ax 2+（2a+b ）x+a+b ②由f （x+1）= f （x ）+2x+8 与①、② 得⎩⎨⎧=++=+822b a b b a 解得 ⎩⎨⎧==.7,1b a 故f （x ）= x 2+7x. 例2 (1)已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。

求函数解析式常用的方法

求函数解析式常用的方法函数的解析式是指能够描述函数关系的数学表达式。

常见的函数解析式有多种求法，下面介绍几种常用的方法。

一、通过已知的函数图像求函数的解析式：1.方程法：已知函数的图像，可以通过观察图像上的点与坐标轴的交点，列方程来求解。

例如，已知函数图像上点(1,3)和(2,5)，可以列出方程f(1)=3和f(2)=5，然后通过解方程组的方法求得函数解析式。

2.函数平移法：已知函数图像上的一些平移属性，可以通过对已知函数进行平移操作得到所求函数的解析式。

例如，已知函数f(x)在原坐标系上的图像向左平移2个单位，可以得到函数f(x+2)。

3.倒推法：已知函数的图像为已知函数的变换之一，可以从已知函数推导出所求函数的解析式。

例如，已知函数f(x)的图像是函数g(x)的图像上关于y轴对称得到的，可以通过对函数f(x)进行关于y轴对称操作得到函数g(x)的解析式。

二、通过已知函数求函数的解析式：1.基本函数的组合：常见的基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

可以通过将基本函数进行合理的组合和变换，来构建所求函数的解析式。

2.反函数法：已知函数的反函数，可以通过对已知函数的自变量和因变量进行互换得到所求函数的解析式。

例如，已知函数f(x)的反函数是g(x)，则所求函数的解析式为f(y)=x。

3.极限法：当函数的极限存在时，可以通过极限的概念推导所求函数的解析式。

例如，已知函数的极限为一些常数，可以通过求出极限值来得到所求函数的解析式。

三、通过函数的性质求函数的解析式：1.函数的奇偶性：如果一个函数是奇函数，那么它的解析式中不含有$x^2$的项；如果一个函数是偶函数，那么它的解析式中不含有$x$的项。

2.函数的周期性：如果一个函数是周期函数，那么它的解析式中必定含有正弦或余弦等与周期函数相关的函数。

3.函数的导数与微分：通过求函数的导数和微分，可以得到函数所满足的微分方程，然后进一步求解微分方程从而得到函数的解析式。

高中数学-求函数解析式的六种常用方法

高中数学-求函数解析式的六种常用方法求函数解析式是高中数学中的重要内容之一，常用的方法有六种。

下面分别介绍这六种方法。

一、换元法如果已知复合函数$f[g(x)]$的解析式，要求原函数$f(x)$的解析式，可以令$g(x)=t$，求$f(t)$的解析式，再把$t$换为$x$即可。

例如，已知$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$，要求$f(x)$的解析式。

设$g(x)=\frac{1}{x}$，则$x=\frac{1}{g(x)}$，代入$f(x)$得$f(g(x))=\frac{g(x)^2+11g(x)+1}{g(x)+1}$，再令$t=g(x)$，则$f(t)=\frac{t^2+11t+1}{t+1}$，最后把$t$换为$x$，得到$f(x)=\frac{x^2+11x+1}{x(x+1)}$。

二、配凑法如果已知$f(x+1)=x+2x^2$，要求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。

首先，把$x+1$视为自变量$x$，则有$f(x)=x^2-1$，但要注意函数的定义域的变化，即$x+1\geq 1$，即$x\geq 0$。

三、待定系数法如果已知函数类型，可以使用待定系数法求函数的解析式。

例如，已知二次函数$f(x)$满足$f(0)=0$，$f(x+1)=f(x)+2x+8$，要求$f(x)$的解析式。

设$f(x)=ax^2+bx+c$，代入已知条件得到$c=0$，$a+b=8$，$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=7$，$c=0$，所以$f(x)=x^2+7x$。

四、消去法如果已知$f(x)+2f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，要求$f(x)$的解析式，可以使用消去法。

把已知中的$f(\frac{1}{x})$用$f(x)$表示出来，得到$2f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x-1}$，再把$x$换成$\frac{1}{x}$，得到$2f(\frac{1}{x})+f(x)=\frac{1}{x-1}$，解得$f(x)=-\frac{x}{3(x-1)}$。

求函数解析式的六种常用方法精编版

求函数解析式的六种常用方法精编版一、直接构造法直接构造法适用于已知函数的性质和条件的情况下，可通过组合各种基本函数形式来构造出所需的函数形式。

例如，已知函数在区间[0，1]上的表达式为f(x)=x^2，并且我们想要构造一个在同一区间上的连续函数，且在x=0和x=1处与f(x)相等。

我们可以构造出一个函数解析式为：g(x)=(1-x)f(x)+x(x-1)f(1)这里，g(x)在[0,1]上连续，并且在x=0和x=1处分别等于f(x)。

二、数列法数列法适用于问题可以抽象为数列的情况下，可通过观察数列特点找到函数的解析式。

例如，已知数列{an}的前n项和为Sn = n(n + 1)，我们希望求解出数列{an}的通项公式。

我们可以观察得到，Sn - Sn-1 = n，即{an}是一个等差数列，公差为1、因此，{an}的通项公式为an = an-1 + 1三、变量代换法变量代换法适用于已知函数的变量可以通过代换转化为已知函数形式的情况下，可通过变量代换求解出函数的解析式。

例如，已知函数的解析式为f(t) = sin(t)，现在我们想要求解出函数的解析式f(x)。

我们可以通过将变量t用x表示，并使用三角函数的关系sin(t) = sin(x)来代换，得到f(x) = sin(x)。

四、变量插值法变量插值法适用于已知函数在离散点上的取值情况下，可通过连接各个离散点并找到插值函数的形式来求解函数的解析式。

例如，已知函数在离散点(0,1)，(1,2)，(2,3)上的取值，我们可以通过连接这三个点得到插值函数，形式为f(x)=x+1五、递推法递推法适用于问题可以通过递推关系来求解的情况下，可通过观察得到递推关系，从而求解出函数的解析式。

例如，已知递推关系为an = an-1 + n，其中a0 = 1、我们可以通过观察到an - an-1 = n，得到an = 1 + 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2六、级数展开法级数展开法适用于问题可以通过级数展开来求解的情况下，可通过展开级数并进行合并化简，从而求解出函数的解析式。

高中数学：求函数解析式的10种常见方法

求函数解析式的几种常用方法一、配凑法：例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .练1：设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，求()g x 。

练2：设21)]([++=x x x f f ，求)(x f .练3：设33221)1(,1)1(xx x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .二、待定系数法：例1：如果反比例函数的图象经过点(1,2)-，那么这个反比例函数的解析式为。

练1：在反比例函数k y x=的图象上有一点P ，它的横坐标m 与纵坐标n 是方程2420t t --=的两个根，求反比例解析式。

练2：已知二次函数()x f 满足()00=f ，()()821++=+x x f x f ，求()x f 的解析式。

练3：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .三、换元（或代换）法：例1：已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式练1：已知1)f x =+()f x 及2()f x ；练2：已知22111(),x x f x x x++=+求()f x ．四、消去法：例1：设函数()f x 满足()x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+12，()0≠x ，求()f x ．练1：已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x ．练2：已知定义在R 上的函数()f x 满足()()12+=+-x x f x f ，()0≠x ，求()f x ．练3：已知()3()21f x f x x +-=+，求()f x .练4：设函数()f x 满足1()()af x bf cx x+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．五、反函数法：例1：已知2)(21+=-x af x ，求)(x f .练1：已知函数1ln +=x y ,()0>x ,求它的反函数六：函数性质法例1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．练1：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()13-=x x f ，求()f x 的解析式．例1：设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(=f ，对于任意正整数y x ,，均xy y x f y f x f -+=+)()()(，求)(x f .练1：设定义在R 上的函数)(x f ，且满足()10=f ，并且对于任意实数y x ,均有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求)(x f .练2：设定义在R 上的函数)(x f ，对于任意实数y x ,均有()()()()1232++-+=-y x x y f x f y x f ，求)(x f .练3：已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.例1：已知a f N x x f x f =*∈+=+)1()(),(212)1(且，求)(x f .综合运用例1：（1）已知3311()f x x x x+=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x 。

求函数解析式常用的方法

求函数解析式常用的方法函数解析式是指用数学表达式来表示一个函数的关系式。

常用的方法有以下几种：一、常数法：当函数表达式中只包含常数时，可以直接表示为一个确定的常数。

例如，函数f(x)=5表示f(x)始终等于5，不管x的取值如何。

二、线性函数法：线性函数是指函数的表达式中只包含一次项（通常是x）和常数项的函数。

常用的线性函数有一次函数、斜率截距式和两点式。

一次函数的函数表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

通过给定的一对坐标点，可以利用斜率公式或两点式公式求解得到函数解析式。

三、二次函数法：二次函数是指函数的表达式中包含二次项（x的平方）的函数。

函数解析式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。

常用的求解方法有配方法和因式分解法。

配方法是通过将二次项与其他项配对，使得被配对的两项的和或差为一个完全平方。

通过这种方法可以将二次函数转化为完全平方的形式从而求解。

因式分解法是将二次函数进行因式分解，通过找出两个一次函数的乘积形式来求解。

通过因式分解可以得到二次函数的解析式。

四、指数函数法：指数函数是指函数的表达式中包含指数项的函数。

函数解析式为f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图像表现为指数的增长或衰减。

五、对数函数法：对数函数是指函数的表达式中包含对数项的函数。

函数解析式为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为真数。

对数函数的性质使得复杂的乘除运算可以转化为简单的加减运算。

六、三角函数法：三角函数是指函数的表达式中包含三角函数项的函数。

常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。

函数解析式可以表示为一个周期性的曲线。

通过这些常用的方法，我们可以求解各种函数的解析式，根据函数的特点和已知条件选择适当的方法进行求解。

需要注意的是，在求解函数解析式时，需要满足函数的定义域和值域的限制，以确保函数的合法性和准确性。

函数解析式的求法

函数解析式的求法 2014年1月16求函数的解析式的常用方法有：(1)代入法：如已知f (x )＝x 2－1，求f (x ＋x 2)时，有f (x ＋x 2)＝(x 2＋x )2－1．(2)待定系数法：已知f (x )的函数类型，要求f (x )的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可．例如，一次函数可以设为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)；二次函数可以设为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)等．(3)拼凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．(4)换元法：令t ＝g (x )，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替f (g (x ))解析式中所有的t 即可．(5)方程组法：已知f (x )与f (g (x ))满足的关系式，要求f (x )时，可用g (x )代替两边的所有的x ，得到关于f (x )及f (g (x ))的方程组．解之即可得出f (x )；例如，已知f (x )＋2f (－x )＝4x 2－x ，求f (x )的解析式．(6)赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式．（7）由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出来，但不要忘记确定自变量的取值范围．【例4】求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )；(2)已知f1)＝x＋f (x )；(3)已知2f)1x （＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )； (4)已知对任意实数x ，y 都有f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y ，求f (x )．分析：(1)已知f (x )是二次函数，可用待定系数法设出函数解析式，然后利用已知条件求出待定系数即可；(2)1＝t ；也可用拼凑法，将x＋1的式子；(3)用x 替换1x，构造关于f (x )与f )1x （的方程组，解方程组求出f (x )；(4)利用赋值法，令x －y ＝0，求出f (0)的值，再令y ＝0，求得f (x )，也可令x ＝0，求出f (y )，进而可得f (x )．解：(1)设所求的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝1，∴c ＝1，则f (x )＝ax 2＋bx ＋1．又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x 对任意x ∈R 成立，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ．由恒等式性质，得220a a b =⎧⎨+=⎩，，∴11.a b =⎧⎨=-⎩，∴所求二次函数为f (x )＝x 2－x ＋1． (2)(方法一)1＝t ，则t ≥1，即x ＝(t －1)2，则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t2－1．故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(方法二)∵1)2＝x＋1， ∴x＋1)2－1． ∴f1)＝1)2－11≥1．∴f (x )＝x 2－2，x ≥1．(3)(4)(方法一)∵f (x ＋y )－2f (y )＝x 2＋2xy －y 2＋3x －3y 对任意x ，y ∈R 都成立，故可令x ＝y ＝0，得f (0)－2f (0)＝0，即f (0)＝0．再令y ＝0，得f (x )－2f (0)＝x 2＋3x ，∴f (x )＝x 2＋3x ．(方法二)令x ＝0，得f (y )－2f (y )＝－y 2－3y ，即－f (y )＝－y 2－3y ．因此f (y )＝y 2＋3y ．故f (x )＝x 2＋3x ．点技巧解含有两个变量的解析式的方法—赋值法所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，可以根据函数特征来45．函数图象的作法(1)作函数图象的常用方法：①描点法：描点法是作函数图象的基本方法．根据函数解析式，列出函数中x 与y 的一些对应值的表，然后分别以它们为横、纵坐标，在坐标系中描出点，最后用平滑的曲线将这些点连起来，就是函数的图象，即“列表—描点—连线”．②利用基本函数图象作出所求的图象，已学过的基本函数图象有：常数函数的图象，例如f (x )＝1的图象为平行于x 轴的一条直线；一次函数的图象，例如f (x )＝－3x ＋1的图象是一条经过一、二、四象限的直线；二次函数的图象，例如f (x )＝2x 2－x ＋1的图象是一条抛物线；反比例函数的图象，f (x )＝k x(k ≠0，且k 为常数)，当k ＞0时，其图象是在一、三象限内，以原点为对称中心的双曲线；当k ＜0时，其图象是在二、四象限内，以原点为对称中心的双曲线．③变换作图法：1°平移：y ＝f (x )y ＝f (x ＋a )y ＝f (x )y ＝f (x －a )y ＝f (x )y ＝f (x )＋by ＝f (x )y ＝f (x )－b2°对称：y ＝f (x )y ＝－f (x )y ＝f (x )y ＝f (－x )y ＝f (x )y ＝－f (－x )y ＝f (x )――-------------→保留x 轴上方图象，再把x 轴下方图象对称到上方y ＝|f (x )|； y ＝f (x )――-------------→保留y 轴右边的图象，再在y 轴左边作其关于y 轴的对称图象y ＝f (|x |)． (2)分段函数图象的作法画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ f 1(x )，x ∈D 1，f 2(x )，x ∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：①画函数y ＝f 1(x )的图象，再取其在区间D 1上的图象，其他部分删去不要；②画函数y ＝f 2(x )的图象，再取其在区间D 2上的图象，其他部分删去不要；③依次画下去；④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象．注意：在作每一段的图象时，先不管自变量的限制条件，作出其图象，再保留自变量限制条件内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，若端点包含在内，则用实点表示；若端点不包含在内，则用虚点表示，要保证不重不漏．【例5－1】作出下列函数的图象：(1)y ＝1＋x ，x ∈Z ；(2)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．【例5－2】作下列各函数的图象． (1)1,01,,1x y x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩；y=(2)y ＝|x －1|；(3)y ＝|x |－1．解：(2)(方法一)所给函数可写成1111x x y x x -≥⎧=⎨-<⎩，，，，是端点为(1,0)的两条射线，如图②． (方法二)可以先画函数y ＝x －1的图象，然后把其在x 轴下方的图象对称到上方．如图③．(3)(方法一)所给函数可写成1010x x y x x -≥⎧=⎨--<⎩，，，，如图④． (方法二)可以先画出函数y ＝|x |－1在y 轴右侧，即y ＝x －1(x ≥0)的图象，然后按照关于y 轴对称作出函数y ＝|x |－1在y 轴左侧的图象即可．如图⑤．【例5－3】作出下列函数的图象．(1)y ＝|x ＋2|－|x －5|；(2)y ＝|x －5|＋|x ＋3|．点技巧含绝对值的函数图象的作法含有绝对值的函数，可以根据去绝对值的法则去掉绝对值符号，将函数化为分段函数的形式，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式画出图象．6．与分段函数有关的问题(1)已知自变量的取值，求函数值．(2)已知函数值，求自变量的取值．(3)已知f (x )，解不等式f (x )＞a ．【例2】已知函数f (x )＝21222221 2.x x x x x x x +≤-⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩，，，，， (1)求f (－5)，f (，f(f(25)的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．【例3】已知f (x )＝222 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩，，，若f (x )＞2，求x 的取值范围． 7．函数图象的简单应用函数图象可以直观地显示函数的变化规律，使抽象的问题变得更加形象．图形与数的结合(数形结合)是解决数学问题的一件利器．函数图象的应用主要体现在以下几个方面：(1)由图象确定解析式解决“已知函数图象，求函数的解析式”的问题关键在于充分挖掘图形信息，也就是曲线的形状如何(据此设定相应的函数解析式的类型——定性)，图象有关特征点坐标如何(据此确定解析式的系数——定量)．例如，若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其表达式f (x )为__________．解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，故分别在各区间内写出其函数表达式．答案：f (x )＝[)[)[)33,2,0,213,0,2,22,2,4.x x x x x ⎧+∈-⎪⎪⎪-+∈⎨⎪⎪∈⎪⎩(2)根据具体问题所表示的函数关系判断函数的图象解决此类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，把它转化为曲线的变化情况，问题即可解决．(3)利用函数的图象，求函数的值域或最值．解决这类问题的关键在于能正确作出函数的图象．例如，若x ∈R ，f (x )是y ＝2－x 2，y ＝x 这两个函数中的较小者，则f (x )的最大值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．无最大值解析：由题目可获取的信息是：①两个函数一个是二次函数，一个是一次函数；②f (x )是两个函数中的较小者．解答此题可先画出两个函数的图象，然后找出f (x )的图象，再求其最大值．在同一坐标系中画出函数y ＝2－x 2，y ＝x 的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f (x )的图象．故x ＝1时，f (x )max ＝1，应选B ．答案：B(4)研究函数图象的交点个数解决这类问题的关键是正确画出函数的图象，结合图象分析．【例7－1】已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．。

求解析式的方法

求解析式的方法一、代数法。

代数法是求解析式的常用方法之一。

当我们遇到一些复杂的数学问题时，可以通过引入未知数，建立方程，然后利用代数运算的性质进行求解。

例如，对于一道简单的线性方程题目，我们可以设未知数为x，建立方程式2x+3=7，然后通过化简方程，得出x=2的解析式。

二、几何法。

几何法是求解析式的另一种常用方法。

在一些几何问题中，我们可以通过画图的方式，利用几何关系进行分析，从而得到问题的解析式。

例如，对于一个三角形的面积问题，我们可以通过画图，利用三角形的面积公式S=1/2底高，求解出三角形的面积。

三、逆向思维法。

逆向思维法是求解析式的另一种常用方法。

有时候，我们可以通过逆向思维，反过来思考问题，从而得到问题的解析式。

例如，对于一个复杂的函数问题，我们可以通过反推函数的性质，逆向求解出函数的解析式。

四、数学归纳法。

数学归纳法是求解析式的一种重要方法。

通过观察数列或者图形的规律，我们可以通过数学归纳法来求解出问题的解析式。

例如，对于一个数列问题，我们可以通过观察数列的规律，然后利用数学归纳法来求解出数列的解析式。

五、综合运用法。

综合运用法是求解析式的一种灵活方法。

在实际问题中，我们可以根据具体情况，灵活运用代数法、几何法、逆向思维法、数学归纳法等多种方法来求解出问题的解析式。

通过综合运用不同的方法，我们可以更好地理解问题，并得到准确的解析式。

总结：求解析式是数学学习中的重要内容，掌握求解析式的方法对于提高解题能力至关重要。

通过代数法、几何法、逆向思维法、数学归纳法以及综合运用法，我们可以更好地求解出问题的解析式，从而更好地理解和解决数学问题。

希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地掌握求解析式的技巧，提高数学学习的效果。