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福建省龙岩一中高三第5次月考数学(文科)试题

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【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题+答案解析

【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题+答案解析

【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若全集，集合，，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，若在上的投影向量为，则()A.2B.3C.4D.55.已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.6.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为()A.120dBB.100dBC.80dBD.60dB7.已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为()A. B.C. D.8.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为()A.11B.9C.7D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则()A.在单调递增B.是的零点C.的极小值为0D.是奇函数10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则()A.B.若，，则C.若，则面积的最大值为D.若，则11.已知抛物线与圆交于A，B两点，且过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则()A.若，则直线l的斜率为B.的最小值为18C.为钝角D.点P与点F的横坐标相同时，最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023-2024学年福建省龙岩市高三下学期五月教学质量检测数学试题+答案解析

2023-2024学年福建省龙岩市高三下学期五月教学质量检测数学试题+答案解析

2023-2024学年福建省龙岩市高三下学期五月教学质量检测数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集，集合，，则()A. B. C. D.2.在的展开式中，x的系数为()A.12B.C.6D.3.已知为虚数单位，N，R，若复数z满足，则()A.1B.2C.3D.44.已知集合，从集合A中任取2个数字，则它们之和大于7的概率为()A. B. C. D.5.如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为()A. B. C. D.6.已知，若恒成立，则()A. B. C. D.7.已知定义在R上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是()A.253B.506C.507D.7598.已知数列满足，，设，若为数列中唯一的最小项，则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，已知正六棱台中，，，，则()A. B.C.平面D.侧棱与底面所成的角为10.已知函数，则下列说法正确的是()A.的图象关于点对称B.图象的一条对称轴是C.若，，则的最小值为D.若时，函数有两个零点，则实数a的取值范围是11.已知抛物线E：的焦点为，过点的直线交E于A，B两点，点C在抛物线E上，则下列说法正确的是()A.的最小值为1B.的周长的最小值为C.若，则的最小值为32D.若过A，B分别作抛物线E的切线，两切线相交于点D，则点D在抛物线E的准线上12.已知函数，为的导数，则下列说法正确的是()A.当时，在区间单调递减B.当时，恒成立C.当时，在区间上存在唯一极小值点D.当时，有且仅有2个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量，，，若，则__________.14.写出一个与圆外切，并与直线及y轴都相切的圆的方程__________.15.已知函数关于x的方程恰有三个不同实数解，，，且关于m的方程有实数解，则实数m的取值范围为__________.16.已知A，B，C是椭圆E：上的三个点，F为E的左焦点，A，C两点关于原点O对称，若，，则椭圆E的离心率为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

福建省龙岩市上杭县第一中学2022届高三下学期5月模拟考数学试题(含答案解析)

福建省龙岩市上杭县第一中学2022届高三下学期5月模拟考数学试题(含答案解析)

福建省龙岩市上杭县第一中学2022届高三下学期5月模拟考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数1i z =-，则2i z z -=（ ）A ．2B ．3C ．D ．2．已知集合{|A x y ==，{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x ≤B ．{|1}x x ≥-C ．{}|3x x >D ．{}|0x x >3．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）AB C D 4．江南的周庄、同里、用直、西塘、号镇、南浔古镇，并称为江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴，清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴依软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（ ） A ．25B ．12C ．34D ．455．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且()1tan 2αβ-=，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍. A ．1B ．23C ．52D ．726．如图，在平面四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，(4,1)AB =，(2,3)DC =，(2,)AC m =-，若0E A F C =⋅，则实数m 的值是（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．37．设双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段2OF 的中点，则双曲线C 的离心率是（ ）AB C D 8．设实数0t >，若不等式2ln 2ln e 0tx xt+-≥对0x >恒成立，则t 的取值范围为（ ） A ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．命题“2R,10x x x ∀∈-+≥"的否定是"2R,10x x x ∃∈-+<"B ．已知回归模型为221y x x =++，则样本点()1,3的残差为1-C ．若样本数据1210,,,x x x ⋯的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --⋯-的方差为8D ．若2nx⎛ ⎝的展开式中各项的二项式系数之和为32，则展开式中2x 项的系数为80-10．设函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且过点，则下列正确的为（ ）A ．4πϕ=-B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．(||)f x 的周期为πD ．把函数()f x 的图像向左平移2π个长度单位得到的函数()g x 的解析式为()2g x x =11．已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-=上一动点，则下列说法正确的有（ ）A ．PF 的最小值为1B ．QFC ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +112．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为43π，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点,,ABC 的球的截面圆的面积为4π B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．直线AD 与平面DEF 所成的角为3π D ．球离球托底面DEF1 三、填空题13．曲线2y lnx x =-在1x =处的切线的倾斜角为α，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14．若函数()f x 满足：（1）对于任意实数12,x x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可) 15．设0.21e 1,ln1.2,5a b c =-==，则,,a b c 的大小关系为___________.（从小到大顺序排）四、双空题16．已知函数()e e x xf x -=-，若函数()()4h x f x x =-+，则函数()h x 的图象的对称中心为______；若数列{}n a 为等差数列，1231144a a a a ++++=，()()()1211h a h a h a +++=______．五、解答题17．如图，在四边形ABCD 中，sin 3,cos sin ∠==∠∠BADAB DC ABD ADB．(1)证明：ABD △为直角三角形；(2)若6AB =，求四边形ABCD 面积S 的最大值．18．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据：(1)（i ）根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程；（ii ）若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润.(2)为了解该产品的价格是否合理，在试销平台上购买了该产品的顾客中随机抽了400人，阅读“购买后的评价”得知：对价格满意的有300人，基本满意的有50人，不满意的有50人.为进一步了解顾客对该产品价格满意度形成的原因，在购买该产品的顾客中随机抽取4人进行电话回访，记抽取的4人中对价格满意的人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.（视频率为相应事件发生的概率）附：参考公式：回归方程y bx a =+，其中()()()iii ii 1i 1222iii 1i 1nn nnx x y y b x x x y nx yxnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：614066i i i x y ==∑，621434.2i i x ==∑.19．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且23a =，525S =． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若2cos3=πn n n b a ，求数列{}n b 的前30项和30T ． 20．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥BE ，且DF =2BE =2，EF =3．(1)证明：平面ACF ⊥平面BEFD ；(2)若二面角A -EF -C 是直二面角，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值．21．已知双曲线2214y x -=的左、右顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 为短轴的两P 在第一象限且在双曲线上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．(1)求曲线C 的方程；(2)设点P 、T 的横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1x 2＝1；(3)设⊥TAB 与⊥POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为S 1与S 2，且10PA PB ⋅≤，求2212S S -的取值范围．22．已知函数()sin cos f x x x x =-． (1)证明：当()0,x π∈时，()0f x >；(2)记函数()()g x f x x =-，判断()g x 在区间()2,2ππ-上零点的个数．参考答案：1．D 【解析】 【分析】先求z ，结合复数的模求解公式即可求解． 【详解】因为1i z =-，所以1i z =+，则()()2i 21i i 1i 33i z z -=--+=-，所以2i z z -= 故选：D ． 2．B 【解析】 【分析】由分式不等式求得集合A ，再根据并集的原则求解即可. 【详解】对于集合A ，满足1033xx x +⎧≥⎪-⎨⎪≠⎩，即()()3103x x x ⎧-+≤⎨≠⎩，解得13x -≤<，即{}13A x x =-≤<， 又{}0B x x =>，所以{}1A B x x ⋃=≥-， 故选：B 3．C 【解析】 【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ， 由π2πl r =，得2l r =， 又22ππ23π3πS r r r r =+⋅==， 所以21r =，解得1r =；所以圆锥的高为h所以圆锥的体积为2211ππ133V r h==⨯=．故选：C．4．D【解析】【分析】根据题意，结合组合数公式求得基本事件的总数为15种，再求得至少选一个苏州古镇的不同的选择种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，共有26C15=种不同的选择方式，则至少选一个苏州古镇，有112333C C C12+=种不同的选择方式，所以至少选一个苏州古镇的概率为124155P==.故选：D.5．A【解析】【分析】由题意可得tan3α=，1tan()2αβ-=，再根据[]tan tan()βααβ=--结合两角差的正切公式即可得解.【详解】解：由题意可得tan3α=，1tan()2αβ-=，所以[]13tan tan()2tan tan()111tan tan()132ααββααβααβ---=--===+-+⨯，即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.故选：A.6．D【解析】【分析】根据题意得分别求出AD和BC的坐标，再分别求出AE和BF的坐标，EF EA AB BF =++，再利用数量积坐标运算求解即可.【详解】根据题意得：(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--，(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ，F 分别为AD ，BC 的中点，所以13(2,)22m AE AD -==-，11(3,)22m BF BC -==-， 所以()3,2EF EA AB BF =++=，又0E A F C =⋅，即()2320m -⨯+⨯=，解得3m =. 故选：D. 7．A 【解析】 【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段2OF 的中点得到2c b =，即可求出离心率, 【详解】由题意知：渐近线方程为by x a=±，由焦点2(,0)F c ，222c a b =+， 以2F 为圆心的圆恰好与双曲线C 的两渐近线相切，则圆的半径r等于圆心到切线的距离，即r b ==，又该圆过线段2OF 的中点，故2cr b ==，所以离心率为c a =.8．B 【解析】 【分析】 2ln 2ln 0e x xt+-≥对0x >恒成立，即2ln 22e 2ln 2ln 2e tx x tx x x x ≥=⋅，令()e x F x x =，(0)x >，对()F x 求导得出()F x 在(0,)+∞单调递增，故22tx ln x ，故ln 22xt x≥，问题转化为22maxln x t x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】 2ln 2ln e 0tx xt+-≥对0x >恒成立，即2e ln 2tx t x ≥，即2ln 22e 2ln 2ln 2e tx x tx x x x ≥=⋅，令()e x F x x =，(0)x >，则e ()(1)0x F x x '=+>，故()F x 在(0,)+∞单调递增，故22tx ln x ，故ln 22x tx ，问题转化为ln 22maxx t x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令()ln m H m m =，则()21ln mH m m -'=，令()0H m '>，解得：0e m <<，令()0H m '<，解得：e m >，故()H m 在(0,e)递增，在(e,)+∞递减，故()max H m H =（e ）1e =，故1et ≥. 故选：B ． 9．ABC 【解析】 【分析】根据命题的否定可判断A ，根据残差的计算即可判断B ，根据方差的性质即可求解C ，根据二项式系数和可求n ，再根据通项即可求解. 【详解】对于A,命题“2R,10x x x ∀∈-+≥"的否定是"2R,10x x x ∃∈-+<",故正确； 对于B,当1x =时，4y =，故残差为34=1--，故正确，对于C,由方差的性质可知：121021,21,,21x x x --⋯-的方差为222=8⨯，故正确，对于D,2n x ⎛ ⎝的展开式中各项的二项式系数之和为2325nn =⇒=，故2nx ⎛ ⎝的通项为()355215C 12r rr rr T x--+=-，令35222r r -=⇒=，故2x 项的系数为()2235C 12=80-⨯，故错误， 故选：ABC 10．BC 【解析】 【分析】把函数式化为一个角的一个三角函数形式，根据三角函数的性质求出参数值，然后判断各选项． 【详解】由已知())))4f x x x x πωϕωϕωϕ⎤=++++⎥⎦， 所以2T ππω==，2ω=，又())4f x πϕ=+=242k ππϕπ+=+，k Z ∈，又2πϕ≤，所以4πϕ=，A 错误；())22f x x x π+=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，由余弦函数性质得B 正确；()f x 是偶函数，(||)()f x f x =，周期为π，C 正确；把函数()f x 的图像向左平移2π个长度单位得到的函数解析式这()2())22g x x x x ππ=+=+=，D 错．故选：BC ． 11．AC 【解析】 【分析】根据抛物线的性质判断A ，根据圆的性质判断B ，结合抛物线的定义判断C ，D. 【详解】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，对选项A ：由抛物线的性质可知：PF 的最小值为1OF =，选项A 正确；对选项B ：注意到F 是定点，由圆的性质可知：QF 的最小值为1CF r -，选项B 错误；对选项CD ：过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，由抛物线定义可知PF PM =，故PF PQ PM PQ +=+，PM PQ +的最小值为点Q 到准线1x =-的距离，故最小值为4，从而选项C 正确，选项D 错误． 故选：AC. 12．BCD 【解析】 【分析】求出ABC 外接圆面积判断A ，作出异面直线所成的角并求出这个角后判断是B ，根据直线民平面所成的角定义判断C ，求出球心到平面DEF 的距离可判断D ． 【详解】根据图形的形成，知,,A B C 三点在底面DEF 上的射影分别是DEF 三边中点,,M N P ，如图，ABC 与MNP △全等且所在面平行，截面圆就是ABC 的外接圆与MNP △的外接圆相同．由题意MNP △的边长为1，其外接圆半径为1r ==，圆面积为213S r π==，A 错；由上面讨论知AC 与MP 平行且相等，而MP 与NF 平行且相等，因此AC 与NF 平行且相等，从而ACFN 是平行四边形，//CF AN ，所以DAN ∠是异面直线AD 与CF 所成的角（或其补角）．由已知，2AD =，DN =2AN CF ==， 2224435cos 22228AN AD ND DAN AN AD +-+-∠===⋅⨯⨯，B 正确；由平面ADE 与平面DEF 垂直知AE 在平面AEF 内的射影是DE ，所以AED ∠为直线AD 与平面DEF 所成的角，此角大小3π，C 正确． 由上面讨论知1AB BC CA ===，设O 是球心，球半径为R ，由34433R ππ=得1R =，则O ABC -是正四面体，棱长为1，设H 是ABC 的中心，则OH ⊥平面ABC ，又CH ⊂平面ABC ，所以OH CH ⊥，CH =，则OH =AM =所以球离球托底面DEF 1-，D 正确． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查空间折叠问题，掌握空间的垂直关系是解题关键．由垂直平行关系得出ABC 与MNP △全等且所在面平行，从而易得截面圆与MNP △的外接圆相同，从而可得//CF AN ，得异面直线所成的角，得直线与平面所成的角，根据正四面体积的性质求得其高，得出距离的最小值．13【解析】 【分析】对函数求导代入，即可得出tan 3(0)2παα=<<，进而可得结果.【详解】 1212,|3x y y x x ='+'==则tan 3(0),sin cos 22ππαααα=<<∴+==（）14．()log 1a x a >型的都对 【解析】 【分析】本题属于开放性题，只需填写符合题意的答案即可，依题意可以判断函数在(0,)+∞上单调递增，又1122log log log a a a x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（0a >且1a ≠，12,0x x >）即可得解；【详解】解：对于任意实数1x ，2x ，当120x x <<时，都有()()12f x f x <，说明该函数在(0,)+∞上单调递增，又对数函数满足运算性质：()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故可选一个递增的对数函数：()log 1a y x a =>． 故答案为：()log 1a y x a =>． 15．b c a << 【解析】 【分析】构造函数()e 1x f x x =--和()ln 1g x x x =-+，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小. 【详解】记()e 1x f x x =--，则()e 1x f x '=-，当0x >时，()0f x '>,故()f x 在()0+∞，上单调递增，故0.20.2(0.2)(0)e 0.210e 10.2f f >⇒-->⇒->，故a c >， 记()ln 1g x x x =-+，则11()1xg x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<,故()g x 在()1+∞，单调递减，故(1.2)(1)0ln1.2 1.210ln1.20.2g g <=⇒-+<⇒<，故b c <，因此a c b >> 故答案为：b c a << 16． ()4,4 44 【解析】 【分析】根据题意计算(4)(4)h x h x ++-的值，从而可求出其对称中心，由等差数列的性质结合1231144a a a a ++++=，可得64a =，再利用等差数的性质和()h x 的对称性可求出()()()1211h a h a h a +++的值【详解】因为()()4h x f x x =-+， 所以(4)(4)h x h x ++-(44)4(44)4f x x f x x =+-+++--+- ()()8f x f x =+-+e e e e 88x x x x --=-+-+=，所以()h x 的图象的对称中心为448,22+⎛⎫⎪⎝⎭，即为()4,4， 因为等差数列{}n a 中，1231144a a a a ++++=，所以662544a a ⨯+=，得64a =，因为()h x 的图象的对称中心为()4,4，所以111()()248h a h a +=⨯=，210()()248h a h a +=⨯= ，39()()248h a h a +=⨯=，48()()248h a h a +=⨯=，57()()248h a h a +=⨯=，因为6()(4)(0)44h a h f ==+=， 所以 ()()()121158444h a h a h a +++=⨯+=，故答案为：()4,4，44 17．(1)证明见解析 (2)12 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简sin cos sin ∠=∠∠BADABD ADB即可；（2）由13=BCDABD SS 与43ABD BCDABDABCD S SSS =+=四边形，结合2236+=AD BD 与基本不等式求解即可（1）⊥sin cos sin ∠=∠∠BADABD ADB，由sin sin BD AB BAD ADB =∠∠与余弦定理⊥2222+-=⨯BD AB BD AD AB AB BD，整理得，222AD BD AB +=，⊥2ADB π∠=．⊥ABD △为直角三角形．（2）⊥3AB DC =，⊥13=BCDABDS S ．由6AB =，得2236+=AD BD ．224412236123323232+=+==⨯⨯⨯≤⨯=⨯=四边形ABDBCDABDABCD AD BD S SSS AD BD ．（当且仅当AD BD =时取等号）所以四边形ABCD 面积S 的最大值为12． 18．(1)（i ）20250y x =-+；（ii ）产品的单价定为9.75元 (2)分布列见解析，3 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）根据题意得到对价格满意的频率为34，基本满意和不满意的频率为14，然后由随机变量3~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭求解.（1）解：（i ）88.28.48.68.898.56x +++++==，908483807568806y +++++==，⊥66162212406668.5801420434.268.5760.i iii x y x yb xnx==-⨯⨯-=-=-==--⨯∑∑.⊥80208.5250a y bx =-=+⨯=，⊥回归直线方程为20250y x =-+.（ii ）设工厂获得的利润为L 万元，则2(7)(20250)20(9.75)151.25L x x x =--+=--+，⊥该产品的单价定为9.75元时，工厂获得利润最大，最大利润为151.25万元.（2）由题设可知对价格满意的频率为34，基本满意和不满意的频率为14，随机变量3~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4431()(0,1,2,3,4)44k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表：随机变量X 的数学期望为3()434E X =⨯=. 19．(1)21n a n =- (2)3030T = 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d ，由23a =，525S =求解； （2）由（1）得到()221cos3π=-⋅n n b n ，然后计算313233n n n b b b +++++即可. （1）解：设等差数列的公差为d ，由23a =，525S =，得：2151351025a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-； （2）由（1）可知21n a n =-，故()22cos 21cos 33n n n n b a n ππ=⋅=-⋅，首先对任意的*N n ∈都有313233n n n b b b +++++，()()()()()()23123223361cos63cos 65cos333n n n n n n πππ+++=+⋅++⋅++⋅，()()()()2461cos 263cos 265cos 2233n n n n n n ππππππ⎛⎫⎛⎫=+⋅+++⋅+++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()11616365322n n n ⎛⎫⎛⎫=+⋅-++⋅-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是()()()3012345628293030T b b b b b b b b b =++++++⋅⋅⋅+++=. 20．(1)证明见解析 (2)12【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质证明即可；（2）以OA ，OB 为x 轴和y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，再利用线面角的向量求法求解即可（1）⊥四边形ABCD 是菱形，⊥AC ⊥BD ．⊥BE ⊥平面ABCD ，⊥BE ⊥AC ，⊥BD ∩BE =B ，⊥AC ⊥平面BEFD ，⊥平面ACF ⊥平面BEFD ．（2）设AC 与BD 的交点为O ，由（1）得AC ⊥BD ，分别以OA ，OB 为x 轴和y 轴，过点O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，⊥BE ⊥平面ABCD ，⊥BE ⊥BD ，⊥DF ⊥BE ，⊥DF ⊥BD ，⊥BD 2=EF 2-(DF -BE )2=8，⊥BD =22．设OA =a (a >0)，则A (a ，0，0)，C (-a ，0，0)，E (0，2，1)，F (0，-2，2)，⊥EF =(0，-22，1)，AE =(-a ，2，1)，CE=(a ，2，1)．设()111,,m x y z =是平面AEF 的法向量，则00m EF m AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111122020y z ax y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩，令z 1=22，⊥32,1,22m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是平面AEF 的一个法向量，设()222,,n x y z =，是平面CEF 的法向量，则00n EF n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222-22020y z ax y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令z 2=22，⊥32,1,22n a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⊥二面角A -EF -C 是直二面角，⊥21890m n a ⋅=-+=，⊥a =2．⊥BE ⊥平面ABCD ，⊥⊥BAE 是直线AE 与平面ABCD 所成的角，⊥AB =22OA OB +=2，⊥tan⊥BAE =BE AB =12．故直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为12．21．(1)2214y x +=(2)证明见解析 (3)(0，1] 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为222210y x a b a b+=，＞＞，依题意可得A （﹣1，0），B （1，0），推出b＝1a 2，即可得出答案． （2）设点P （x 1，y 1），T （x 2，y 2）（xi ＞0，yi ＞0，i ＝1，2），直线AP 的斜率为k （k ＞0），则直线AP 的方程为y ＝k (x +1)，联立椭圆的方程，解得x 2，同理可得21244k x k +=-，进而可得x 1⋅x 2＝1．（3）由（2）得1111(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--，由10PA PB ⋅≤，得11x ＜S 1，S 2，结合基本不等式得S 12﹣S 22的取值范围．（1）设椭圆的方程为222210y x a b a b+=，＞＞，依题意可得A （﹣1，0），B （1，0），所以b＝122222134c a e a a -===，即a 2＝4，所以椭圆方程为2214y x +=． （2）证明：设点P （x 1，y 1），T （x 2，y 2）（xi ＞0，yi ＞0，i ＝1，2），直线AP 的斜率为k （k ＞0），则直线AP 的方程为y ＝k (x +1)，联立方程组()22114y k x y x ⎧+⎪⎨+=⎪⎩＝，整理，得（4+k 2）x 2+2k 2x +k 2﹣4＝0，解得x ＝﹣1或2244k x k -=+，所以22244k x k-=+，同理联立直线AP 和双曲线可得，21244k x k +=-，所以x 1⋅x 2＝1．（3）由（2）1111(1,),(1,)PA x y PB x y =---=--，因为10PA PB ⋅≤，所以()()21111110x x y ---+≤，即221111x y +≤，因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114411x x +-≤，即213x ≤，因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以11x ＜为122211111222S AB y y S OB y y =⋅==⋅=，，所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．由（2）知，x 1⋅x 2＝1，即211x x =，设21t x =，则1＜t ≤3，则221245S S t t -=--．设f （t ）＝5﹣t 4t -=5﹣（t 4t+）≤5﹣4＝1，当且仅当4t t=，即t ＝2时取等号，结合对勾函数单调性知函数f （t ）在（1，2）上单调递增，在（2，3]上单调递减．因为()()423531033f f =--==，，所以f (1)＜f (3)，所以2212S S -的取值范围为（0，1]．22．(1)证明见解析 (2)5个零点 【解析】 【分析】（1）求导后可知()f x 在()0,π上单调递增，由()()00f x f >=可得结论； （2）由()0g π=可知x π=是()g x 的一个零点；分别在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦、,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和(),2x ∈ππ的情况下，结合零点存在定理判断导函数的正负，从而得到()g x 的单调性，确定区间内零点个数，得到()g x 在()0,2π上的零点个数；根据奇函数性质可得最终结果. （1）由题意得：()sin f x x x '=；当()0,x π∈时，sin 0x >，()0f x '∴>，()f x ∴在()0,π上单调递增，()()00f x f ∴>=.（2）()sin cos g x x x x x =--，()sin 1g x x x '=-，()sin cos 0g πππππ=--=，x π∴=是()g x 的一个零点；⊥当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，设()sin h x x x =-，则()cos 10h x x '=-<，()h x ∴在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，00h x h ，又cos 0x x -<，()0g x ∴<，即()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上无零点；⊥当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos g x x x x ''=+，()2cos sin 0g x x x x '''=-<，()g x ''∴在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又102g π⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，()0g ππ''=-<，0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x ''=，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>；当()0,x x π∈时，()0g x ''<；()g x '∴在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减；()01022g x g ππ⎛⎫''>=-> ⎪⎝⎭，()10g π'=-<，()g x '∴在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点1x ，当1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当()1,x x π∈时，()0g x '<；()g x ∴在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,πx 上单调递减，()()10g x g π>=，1022g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()g x ∴在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一零点；⊥当(),2x ∈ππ时，sin 0x <，()0g x '∴<，()g x ∴在(),2ππ上单调递减，()()0g x g π∴<=，()g x ∴在(),2ππ上无零点；综上所述：()g x 在()0,2π上有两个零点；()()sin cos g x x x x x g x -=-++=-，()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，()g x ∴在()2,0π-上有两个零点；又()00g =，()g x ∴在()2,2ππ-上共有5个零点.【点睛】思路点睛；本题考查利用导数研究函数零点个数的问题，解题基本思路是能够根据导函数的形式，对所给区间进行分段，通过说明导函数在每段区间内的符号，得到原函数在区间内的单调性，结合零点存在定理确定零点个数.。

福建省龙岩高中2025届高三最后一模数学试题含解析

福建省龙岩高中2025届高三最后一模数学试题含解析

福建省龙岩高中2025届高三最后一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．(],0-∞D ．(],1-∞2．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ） A ．5BC ．13D3．已知O 为坐标原点，角α的终边经过点(3,)(0)P m m <且sin α=，则sin 2α=( ) A ．45B ．35C ．35D ．45-4．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 5．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．26．已知52i 12ia =+-（a ∈R ），i 为虚数单位，则a =（ ） AB ．3C ．1D ．57．已知曲线11(0x y aa -=+>且1)a ≠过定点(),kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）.A ．92B ．9C ．5D ．528．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -9．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．210．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2B ．53C ．43D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省龙岩市上杭县第一中学2024届高三下学期5月数学模拟试题(解析版)

福建省龙岩市上杭县第一中学2024届高三下学期5月数学模拟试题(解析版)

上杭一中五月数学模拟考一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ）A.B. 5C. D. 【答案】C 【解析】【分析】借助向量垂直可得，结合投影向量定义计算即可得解.【详解】由，则有，即，则，故.故选：C.2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 288 B. 144C. 96D. 25【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的前项和列方程组求出，进而即可求解.【详解】由题意，即，解得.于是.故选：B.3. 已知随机事件，，满足，，，则下列说法错误的是（ ）A. 不可能事件与事件互斥B. 必然事件与事件相互独立C. x ∈R ()(),2,2,1a x b ==- a b ⊥ a b + a()1,2()2,1-1x =a b ⊥ 220⋅=-=a b x 1x =()3,1a b += ()()1,2a b a a a a a +⋅⋅==={}n a n n S 399,81S S ==12S =n 1,a d 12S 319132392989812S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩11349a d a d +=⎧⎨+=⎩112a d ⎧⎨⎩==12121112121442S ⨯=⨯+⨯=A B C ()01P A <<()01P B <<()01P C <<ΦA ΩA ()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣D. 若，则【答案】D 【解析】【分析】根据事件的概念，以及实践之间的关系，和条件概率的运算求解.【详解】因不可能事件与事件不会同时发生，所以互斥，A 正确；因为,所以，所以必然事件与事件相互独立，B 正确；因为，且不会同时发生，所以，C 正确；例如，抛掷一枚骰子1次的试验，设事件为出现点数小于等于4，事件为出现点数小于等于2，则，但， D 错误，故选:D.4. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm ，圆柱的高为4 cm ，圆柱的底面圆直径为24 cm ，则该灯笼的体积为（取）（ ）A. cm 3B. 33664 cm 3C. 33792 cm 3D. 35456 cm 3【答案】B 【解析】为()()||P A B P A B =()()12P A P A ==ΦA ()1,()(),()()()1()P P A P A P A P P A P A Ω=Ω=Ω=⨯=()()()P A P A P Ω=ΩΩA AB AB A = ,AB AB ()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣B A ()()||P A B P A B =()()P A P A ≠()2π33V R h h =-R h π3=32000【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得..【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm ，则cm ，由圆柱的底面圆直径为24 cm ，则有，即，可得，则，.故选：B.5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】由题意可得，可将转化为，结合导数可得在上单调递增，即可得.【详解】由题可得，所以，即有，即，故不等式等价于，又，当时，，故，当时，，，故，即恒成立，故在上单调递增，R h 40832-=32162R h -==()22212R h R -+=2221612R +=20R =4h =()2324π2+22412ππ202604433V V V V =-=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯圆柱球球缺345632000179233664=+-=()()()31sin 15f x x x =-+-+()()21110f x f x ++-≥[)0,∞+[)1,+∞[)2,+∞[)3,+∞()()1101f x f x +=--()()21110f x f x ++-≥()()211f x f x +≥+()f x (),-∞+∞211x x +≥+()315sin f x x x +-=+()()()3315sin sin f x x x x x -+-=-+-=--()()15150f x f x +-+-+-=()()1101f x f x +=--()()21110f x f x ++-≥()()211f x f x +≥+()()()231cos 1f x x x '=-+-ππ1,122x ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦()cos 10x -≥()0f x '≥ππ,11,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22π31231x ⎛⎫≥⎝-⨯> ⎪⎭()[]cos 11,1x -∈-()0f x '≥()0f x '≥()f x (),-∞+∞故由可得，即.故选：A.6. 设为函数在区间的两个零点，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据正弦函数的性质和诱导公式，可得再由二倍角公式和同角基本关系式求解.【详解】因为，又因为，所以则，因为，所以，所以.故选：B ．7. 复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）A.B.C.D.()()211f x f x +≥+211x x +≥+0x ≥()1212,x x x x <()3sin 1f x x =-(0,π)()21sin x x -=132312π,x x +=()()1212,0,πx x x x ∈<()sin πsin x x -=12π,x x +=()()211111sin sin π2sin 22sin cos x x x x x x -=-==11sin 3x=1cos x =()211sin 23x x -=⨯=i(,R,i z a b a b =+∈)Z ,r OZ θ=x OZ ()i cos isin z a b r θθ=+=+()cos isin r θθ+i a b +()()()*[cos isin ]cos isin N n n r r n n n θθθθ+=+∈3312π2πcos isin cos2πisin2π1233⎛⎫⎛⎫-+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()44ππ(1i)cos isin 4cos πisin π444⎫⎫+=+=+=-⎪⎪⎭⎭z 31i z =+z ππcos isin 1212⎫+⎪⎭3π3πcos isin 44⎫+⎪⎭5π5πcos isin 44⎫+⎪⎭17π17πcos isin 1212⎫+⎪⎭【答案】D 【解析】【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解.【详解】设，则，所以，即，所以故时，，故，故选：D【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.8. 已知函数，为的反函数，若、的图像与直线交点的横坐标分别为，，则下列说法正确的为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，构造函数，由条件可得，由其单调性即可判断AB ，再由零点存在定理即可判断C ，构造函数，求导可得其单调性即可判断D【详解】由题意得且，而可变形为，令，在上单调递增，cos isin ,Z 2ππ2ππ312312k k z k ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎤+∈⎥⎦()cos s i in z r θθ=+()33ππ1cos is cos3isi i 4n 3n 4z r θθ⎫=++=+⎪⎭r =π32π,Z 4k k θ=+∈2ππ,Z 312k k θ=+∈cos isin ,Z 2ππ2ππ312312k k z k ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦2k =17π12θ=z 17π17πcos isin 1212⎫+⎪⎭()ln f x x =()g x ()f x ()f x ()g x y x =-1x 2x 21ln x x >120x x +<110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1211,ln22x x ⎛⎫-∈+ ⎪⎝⎭()ln h x x x =+()()21ex h x h =()ln r x x x =-11ln 0x x +=22e 0x x +=22e 0xx +=22e lne 0x x +=()ln h x x x =+()0,∞+则，故，所以，所以A 错误；由可得，，所以B 错误；由于，，结合在上单调递增，由零点存在性定理得，故C 错误；由，令，，因为，所以，所以在时单调递减，所以，所以，即，所以D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数单调性以及零点问题，难度较大，解答本题的关键在于合理构造函数，利用导数研究函数性质.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 将一组数据每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B. 线性回归直线一定过样本点中心C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好【答案】ABD 【解析】【分析】借助方差性质、样本点中心的性质、线性相关系数的性质与残差的性质逐项判断即可得.【详解】对A ：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同，故A 正确；对B ：由，故线性回归直线一定过样本点中心，故B 正确；对C ：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故C 错误；对D ：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，的的()()21ex h x h =21ex x =21ln x x =22e 0xx +=120x x +=1111ln ln2ln202222h ⎛⎫=+=-=-<⎪⎝⎭()110h =>()ln h x x x =+()0,∞+1112x <<1211ln x x x x -=-()ln r x x x =-()11r x x'=-1112x <<()10r x '<()1r x 1112x <<()()1112r r x r ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()111ln22r x <<+1211ln22x x <-<+y bx a =+$$$(),x yr a y bx =-$$y bx a =+$$$(),x y r其模型的拟合效果越好，故D 正确.故选：ABD .10. 已知正方体的棱长为3，P 在棱上，为的中点，则（ ）A. 当时，到平面B. 当时，平面C. 三棱锥的体积不为定值D. 与平面所成角的正弦值的取值范围是【答案】ABD 【解析】【分析】当时与重合，则为正三棱锥，求出点到平面的距离，即可判断A ，设为的中点，连接、，即可证明、，从而得到平面，即可判断B ，由判断C ，设点到平面的距离为，与平面所成角为，则，求出的面积最值，从而求出相应的，再由判断D.【详解】当时与重合，则为正三棱锥，设在平面内的投影为，则为的中心，则所以，即当时，点到平面A 正确；由正方体的性质可得平面，平面，所以，设为的中点，连接、，则平面，平面，所以，1111A B C D ABCD -11A B 111,[0,1],A P A B E λλ=∈1CC 0λ=A PBD 12λ=⊥AE PBD A PBD -AB PBD 0λ=P 1A A PBD -A PBD F 1BB EF AF BD AE ⊥BP AE ⊥⊥AE PBD A PBD P ABD V V --=A PBD d AB PBD θ3272A PBD PBD PBD V d S S -== PBD △d sin dABθ=0λ=P 1A A PBD -BD =A PBD O O PBD △OB ==AO ==0λ=A PBD BD ⊥11ACC A AE ⊂11ACC A BD AE ⊥F 1BB EF AF EF ⊥11ABB A BP ⊂11ABB A EF BP ⊥当时为的中点，则，所以，又，所以，所以，，平面，所以平面，平面，所以，，平面，所以平面，故B 正确；当运动时，到平面的距离保持不变为，又，所以，所以三棱锥的体积为定值，故C 错误；由C 可知，三棱锥的体积为定值，设点到平面的距离为，与平面所成角为，所以，显然当时，则，此时与平面所成角正弦值，12λ=P 11A B 1ABF BB P≌1FAB PBB ∠=∠1π2ABP PBB ∠+∠=π2ABP FAB ∠+∠=AF BP ⊥AF EF F = ,AF EF ⊂AEF BP ⊥AEF AE ⊂AEF BP AE ⊥BD BP B ⋂=,BD BP ⊂PBD ⊥AE PBD P P ABD 3193322ABD S =⨯⨯= 1993322A PBD P ABD V V --==⨯⨯=A PBD -A PBD -A PBD d AB PBD θ3272A PBD PBD PBDV d S S -== 0λ=PBD △(2=min 272PBDd S === AB PBD sin d AB θ==当时，的面积最小为则，此时与平面所成角正弦值，所以与平面所成角正弦值的取值范围是，故D 正确.故选：ABD ．11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则在上递增B. 若为奇函数，则C. 若是的极值点，则D. 若和都是的零点，在上具有单调性，则的取值集合为【答案】BCD 【解析】【分析】用整体思想结合正弦函数的单调性判断A ；由奇函数即可判断B ；根据已知条件计算出即可判断C ；由已知求出范围，即可判断D ．【详解】对于A ，，当时，，因为时单调递减，时，单调递增，故A 错误；对于B ，若为奇函数，则，则，又，所以，故B 正确；对于C ，当时，，则，1λ=PBD △(132⨯⨯=max 272PBDd S ===AB PBD sin d AB θ===AB PBD π()sin()(0,)2f x x ωϕωϕ=+>≤2,3ωϕ==π()f x ππ,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭()f x 0ϕ=1π,23x ω==-()f x π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π3x =πx =()f x ()f x ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ω3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭(0)0f =,ωϕωπ()sin(23f x x =+ππ,26x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭π2π2,033x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭π2ππ2,332x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭()f x ππ2,032x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭()f x ()f x (0)sin 0f ϕ==π,k k ϕ=∈Z π2ϕ≤0ϕ=12ω=1()sin()2f x x ϕ=+11()cos()22f x x ϕ'=+又是的极值点，所以，即，又，则，经检验为的极值点，故，故C 正确；对于D ，由和都是的零点得，，两式相减得，由在上具有单调性且和都是的零点得，，解得，所以的取值集合为，故D 正确；故选：BCD .【点睛】关键点睛：对于D 选项中求的范围，一是根据和是的零点得出，二是结合在具有单调性，即区间左端点为零点，得出.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在中，已知，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，即可求出的取值范围.【详解】由正弦定理，要使有两解，则，即，所以，即的取值范围是.法二：由正弦定理可得，由题意可知：关于的方程：在有两解，π3x =-()f x π1π()cos()0326f ϕ'-=-+=πππ,62k k ϕ-+=+∈Z π2ϕ≤π3ϕ=-π3x =-1π()sin()23f x x =-πππ(sin()1363f -=--=-π3x =πx =()f x 1212ππ,ππ,,3k k k k ωϕωϕ+=+=∈Z ()2133,22k k k k ω=-=∈Z ()f x ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭π3x =πx =()f x 2πππ4423π2ππ3220T T ωωω⎧=≥-⎪⎪⎪-≥=⎨⎪>⎪⎪⎩332ω≤≤ω3,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭ωπ3x =πx =()f x ππ32T -≥ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭ππ423T ≥-ABC AB x =BC =π4C =ABC x (2,sin a C c a <<x ABC sin a C c a <<π4x <<2x <<x (2,sin sin AB BC C A=sin 2sin BC C A AB x ==A 2sin A x =3π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，，所以.故答案为：13. 点为圆上的动点，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】法一：设，代入方程得到，从而题目实际上就是求的取值范围使得该方程有解，而这直接使用二次方程判别式就可得到结果；法二：利用圆的几何性质，将命题转化为距离问题，再使用距离公式求解.【详解】法一：我们要求的取值范围使得存在满足，，由于满足前一个方程的必不为零，故这等价于，.而这又可以等价转化为，，故我们就是要求的取值范围，使得关于的方程有解.该方程中的系数显然非零，所以命题等价于，解得.法二：由于圆和轴无公共点，故命题等价于求实数的取值范围，使得直线和圆有公共点.该圆的方程可化为，故命题等价于点到直线的距离不超过，即.解得.sin y A =3π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A 2y x=21x<<2x <<(2,(),M x y 2210160x y x +-+=yx33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦yk x=22210160x k x x +-+=k k ,x y 2210160x y x +-+=yk x=x 2210160x y x +-+=y kx =22210160x k x x +-+=y kx =k x 22210160x k x x +-+=2x ()2Δ1006410k=-+≥3344k -≤≤2210160x y x +-+=y k y kx =2210160x y x +-+=()2259x y -+=()5,0y kx =33≤3344k -≤≤故答案为：.14. 已知正方形的边长为，两个点，（两点不重合）都在直线的同侧（但，与在直线的异侧），，关于直线对称，若，则面积的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，由求出点轨迹，由轨迹特征求点到直线的距离的取值范围，可求面积的取值范围.【详解】以为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，设，，所以，，因为，所以，即位于双曲线的右支上，渐近线方程为或，直线与直线：，即点到直线的距离的取值范围是，又，所以面积的取值范围是.因为不重合，故不重合，故面积不为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知函数，其中为常数.（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦PQRS A B QS A B P SQ A B PR 0PA RB ⋅=PAS ()()2,44,∞⋃+0PA RB ⋅=A A PS PAS PR x QS y ()2,0P -()2,0R ()0,2S ()0,2Q -()(),0A x y x >(),B x y -()2,PA x y =+ ()2,RB x y =--0PA RB ⋅= ()()2220x x y +--=A 224x y -=y x=y x =-y x =PS 20x y -+=A PS )∞+PS =PAS ()2,∞+,A B ,A R 4()()2,44,∞⋃+()ln f x x =()1ag x x=-a ()f x l l（2）若，使成立，求的最小值.【答案】（1） （2）.【解析】【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；（2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值.【小问1详解】设切点坐标为，则切线方程为，因为切线经过原点，所以，解得， 所以切线的斜率为，所以的方程为.【小问2详解】，，即成立，则得在有解，故有时，. 令，，， 令得；令得，故在单调递减，单调递增，所以， 则，故的最小值为.16. 某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会()0,x ∃∈+∞()()f x g x ≤a e 0x y -=21e-()ln 1a x x ≥+()0,∞+()()ln 1h x x x =+()0,∞+a ()1,f x x'=(),ln t t ()1ln y t x t t-=-O ()1ln t t t-=-e t =1el e 0x y -=()0,x ∞∃∈+()()f x g x ≤ln 1ax x≤-()ln 1a x x ≥+()0,∞+()0,x ∞∈+()min ln 1a x x ⎡⎤≥+⎣⎦()()ln 1h x x x =+0x >()ln 2h x x ='+()0h x '>21(,)ex ∈+∞()0h x '<21(0,e x ∈()h x 210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22min 11e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭21e a ≥-a 21e -员所获得的红包总金额.（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；（2）若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，96【解析】【分析】（1）利用正难则反的原则即可得到答案；（2）按步骤得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.【小问1详解】设事件“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，因为每次摸出的球不放回袋中，所以.【小问2详解】由已知得，，因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为，，，所以，，，，， 所以得分布列为8090100110120所以.17. 如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若为的中点，，圆锥的体积为.X X 910A =()2225C 91C 10P A =-=80,90,100,110,120X =252515()22480525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2222890A 5525P X ==⨯⨯=()2222218100A 55525P X ⎛⎫==+⋅⋅= ⎪⎝⎭()22214110A 5525P X ==⨯⨯=()211120525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X P425825825425125()488418090100110120962525252525E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=AB CD O CD PB E E PB 2OA =8π3（1）求证：；（2）若圆上的点满足，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】分析】（1）通过证明平面，证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值.【小问1详解】因为，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，所以，底面圆，而底面圆，则，，，平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】因为，圆锥的体积为，所以，所以，因为，为的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，即平面的法向量为， 显然，又底面圆，底面圆，所以，所以，，两两垂直，以为原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，【CD OE ⊥O F 125AF =CED DEF CD ⊥PAB CD OE ⊥O AB CD O CD AB ⊥PO ⊥O CD ⊂O CD PO ⊥PO AB O ⋂=PO AB ⊂PAB CD ⊥PAB OE ⊂PAB CD OE ⊥2OA =8π3218ππ233PO ⨯⨯=2PO =2OP OB ==E PB PB OE ⊥CD ⊥PAB PB ⊂PAB CD PB ⊥CD OE O = ,CD OE ⊂CED PB ⊥CED CED PBOD OB ⊥PO ⊥O ,OD OB ⊂O ,PO OD PO OB ⊥⊥OD OB OP O OD OB OP x y z Oxyz，，，，由题意，点在圆上，则，如图所示，在中，，则，过作轴的垂线，垂足为，有，，则，得， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，令，则，所以，设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面.18. 已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，()2,0,0D ()0,1,1E ()0,2,0B ()0,0,2P 125AF =F O AF BF ⊥Rt ABF 1235cos 45AF BAF AB ∠===4sin 5BAF ∠=F y H 36cos 25HA AF BAF =∠=48sin 25HF AF BAF =∠=361422525OH =-=4814,,02525F ⎛⎫-⎪⎝⎭214,,02525DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()2,1,1DE =-()0,2,2PB =- DEF (),,n x y z = 2140252520DF n x y DE n x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅=-++=⎩1y =-7,15x z ==()7,1,15n =-CED DEF θcos n PB n PBθ⋅===CED DEF P ()22:116E x y -+=()1,0F -M EP PM MF =设点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.【答案】（1）（2）是，【解析】【分析】（1）借助椭圆定义计算即可得解；（2）设，代入曲线方程中联立可得，结合题意计算可得，设，结合点在曲线上计算可得的值，即可得的面积.【小问1详解】因为，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，设，则，即.由知所以点的轨迹的方程为；【小问2详解】M C C l C ,A B ,OA OB 34-D OA AD =BD C N N BD NAB △22143x y +=NAB S = ()()1122,,,A x y B x y ()2212121221114312x xy y x y x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭AOBS = BN BD λ=N C λNAB △42ME MF ME PM EP EF +=+==>=M ,E F ()2222:10x y C a b a b+=>>24a =2a =1c =b ==M C 22143x y +=设，则由，得.因为点均在曲线上，所以，同向相乘得整理得：又因为，所以，所以设，则，又因为点在曲线上，所以，整理得：，又因为，，代入上式得：，即，又因为，所以，所以.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于计算出后，利用面积公式得到，从而可通过计算的值得解.19. 数列满足则称数列为下凸数列.（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；()()1122,,,A x y B x y OA AD =()112,2D x y ,A B C 22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()22222222121212211116912x x y y x y x y +++=()2212121221114312x xy y x y x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭121234OA OB y y k k x x ==-1212043x x y y+=12211122AOB S x y x y =-=⨯= BN BD λ= ()()12122121N Nx x x y y y λλλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩N C ()()2212122121143x x y y λλλλ⎡⎤⎡⎤+-+-⎣⎦⎣⎦+=()()2222221112122244111434343x y x x y y x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭221112121,04343x y x x y y +=+=2222143x y +=()22411λλ+-=2520λλ-=0λ>2=5λ2255NAB DAB OAB S S S ===AOB S NAB NABOAB DAB BN S S S S BD== BN BD{}n a 21,2n n n a a a +++≤{}n a（2）设，其中，分别是公比为，的两个正项等比数列，且，证明：是下凸数列且不是等比数列；（3）若正项下凸数列的前项和为，且，求证：.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列新定义即可证明结论；（2）根据定义只需证明即可，从而结合正项等比数列的性质即可证明；利用反证法可证明不是等比数列；（3）先用反证法证明不可能从某一项开始单调递增，可得出，令，，可推出，即得，从而，利用累加法即可证明结论.【小问1详解】设正项等比数列的公比为，则，即，所以任意一个正项等比数列为下凸数列.【小问2详解】显然，，n n n c d e =+{}n d {}n e 1q 2q 12q q ≠{}n c n n S 1n S ≤()1121n n a a a n-+≤≤2102n n c c c π+++-≤{}n c {}n a 10n n a a +-≥1k k k b a a +=-1k k k a b a +=+()21n b n n ≤+()1201n n a a n n +≤-≤+111201n n a a n n +⎛⎫--≤-≤ ⎪+⎝⎭{}n b q ()222110222n n n n n n n q b b b b q b b q b ++-++-=-=-⋅≤212n n n b b b +++≤{}n b 0n c >()()()22211122n nn n n n n n d e d e c c c d e π++++++++++-=+-221122n n n n n n d d e e d e ++++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121222n n n n n n d d q e e q d q e q ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221211022n n q q d e ⎡⎤--=-⋅+⋅≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以正项数列为下凸数列. 下面证明：正项数列不是等比数列.若是等比数列，则，所以，因为数列，分别为两个正项等比数列，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，所以，与矛盾，所以数列不是等比数列.【小问3详解】假设存在一个常数，使得，但，因为，所以，将中换成得，.进一步得，.又，由不等式的可加性得，，同理可得，，所以，所以数列从项到项单调递减，从项开始向后单调递增，所以，因为该规律是固定的，且，所以当足够大时，必有，与题设矛盾，所以不可能从某一项开始单调递增，所以，的{}n c {}n c {}n c ()()()21122n n n n n n d e d e d e +-+++=++22111122222n n n n n n n n n n n n d e d e d d e e d e d e ++++++++++=+++{}n d {}n e 212n n n d d d ++=212n n n e e e ++=11222n n n n n n d e d e d e ++++=+2212212n n n n n n d e q q d e q d e q =+0n n d e ≠2212212q q q q =+()2210q q -=21q q =12q q ≠{}n c *k ∈N 123k a a a a ≥≥≥≥ 1k k a a +<212n n n a a a +++≤212n n n a a a ++≥-212n n n a a a ++≥-n k 212k k k a a a ++≥-121k k k k a a a a +++-≤-1k k a a +<12k k a a ++<231k k k n a a a a +++<<<<< 3123k k k n a a a a a +++<<<<<< {}n a 1a k a k a 1211k k k n k a a a a a a na -++++++++> 0k a >n ()121n a a a n k +++>> 1n S ≤{}n a 10n n a a +-≥令，，由得，，所以所以，即，进一步得，，所以，，，，相加得，所以.1k k k b a a +=-1k k k a b a +=+121k k k k a a a a +++-≤-1k k b b +≥0k b ≥()12312231n a a a a b a a a ≥++++=+++ 1232n na b a a a ++=++++ ()1233123223n nb b a a a b b a a =+++++=++++ =()()()12112112121n n n n n b b n b na b b n b n b a --+=+++-+=+++-++ ()()12111212121n n n n nb b n b nb na b b n b nb -+-=+++-++≥+++-+ ()21n n n nb b n b nb ≥+++-+ ()()11212n n n n n n b b +⎡⎤=+++-+=⎣⎦ ()21n b n n ≤+()1201n n a a n n +≤-≤+111201n n a a n n +⎛⎫--≤-≤ ⎪+⎝⎭21112012a a ⎛⎫--≤-≤ ⎪⎝⎭32112023a a ⎛⎫--≤-≤ ⎪⎝⎭43112034a a ⎛⎫--≤-≤ ⎪⎝⎭111,201n n a a n n -⎛⎫--≤-≤ ⎪-⎝⎭ 111201n a a n ⎛⎫--≤-≤ ⎪⎝⎭()1121n n a a a n -+≤≤【点睛】难点点睛：本题考查了数列的新定义问题，解答时要注意理解新定义的含义，难点在于（3）中数列不等式的证明，解答时要首先利用反证法说明不可能从某一项开始单调递增，然后结合新定义以及数列的单调性进行求解.{}n a。

福建省龙岩市高考数学5月模拟试卷 文(含解析)

福建省龙岩市高考数学5月模拟试卷 文(含解析)

福建省龙岩市2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x≥2}，N={0，1，2，3}，则M∩N等于（）A．{3} B．{2，3} C．{x|x≥2}D．{0，1，2，3} 2．（5分）双曲线﹣y2=1的离心率为（）A．B．C．D．23．（5分）若a∈R，则“a=1”是“直线x+y+a=0与圆x2+y2=1相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知向量=（2，1），=（1，x），若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．2 C．1 D．5．（5分）如图程序执行后输出的结果是（）A．3 B．6 C．10 D．156．（5分）某班有34位同学，座位号记为01，02，…34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（）A．23 B．09 C．02 D．167．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．B．1+C．1+D．1++8．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+3b=ab，则ab的最小值为（）A．6 B．12 C．16 D．229．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=2x，则f等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．210．（5分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数；②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．②④D．①②11．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=kx+1有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．[﹣，）D．（﹣，]12．（5分）若不等式（x﹣a）2+（x﹣lna）2＞m对任意x∈R，a∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）已知a，b∈R，i为虚数单位，若a﹣i=2+bi，则a+b=．14．（4分）已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值是．15．（4分）为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：喜欢不喜欢总计男15 10 25女 5 20 25总计20 30 50附表：P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828（参考公式k2=，（n=a+b+c+d）则有以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．16．（4分）已知点A是定圆M所在平面上的一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的垂直平分线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中正确命题的序号是．（填上你认为所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某中学共有1000名文科学生参加了该市2015届高三第一次质量检查的考试，其中数学成绩如表所示：数学成绩分组[50，70）[70，90）[90，110）[110，130）[130，150]人数60 x 400 360 100（Ⅰ）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，年级将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查．甲同学在本次测试中数学成绩为75分，求他被抽中的概率；（Ⅱ）年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导，请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数；（Ⅲ）请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分．18．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1=1，a3﹣a2=2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，沿EF将矩形BEFC折起，使∠CFD=90°，如图2所示；（Ⅰ）若G，H分别是AE，CF的中点，求证：GH∥平面ABCD；（Ⅱ）若AE=1，∠DCE=60°，求三棱锥C﹣DEF的体积．20．（12分）如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=．（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；（Ⅱ）设∠PRQ=θ，求tanθ．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线为直线x=﹣1，过点D（a，0）（a＞0）的动直线l交抛物线E于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）若以线段AB为直径的圆恒过抛物线E上的某定点C（异于A，B两点），求a的值和点C的坐标．22．（14分）已知函数f（x）=e x（sinx+cosx）+a（a为常数）．（Ⅰ）已知a=﹣3，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当0≤x≤π时，求f（x）的值域；（Ⅲ）设g（x）=（a2﹣a+10）e x，若存在x1，x2∈[0，π]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜13﹣e成立，求实数a的取值范围．福建省龙岩市2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x≥2}，N={0，1，2，3}，则M∩N等于（）A．{3} B．{2，3} C．{x|x≥2}D．{0，1，2，3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据M与N，找出M与N的交集即可．解答：解：∵M={x|x≥2}，N={0，1，2，3}，∴M∩N={2，3}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）双曲线﹣y2=1的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用双曲线方程求出a，c，然后求解离心率即可．解答：解：双曲线﹣y2=1，可知a=2，b=1，则c=，∴双曲线的离心率为：．故选：B．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．3．（5分）若a∈R，则“a=1”是“直线x+y+a=0与圆x2+y2=1相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆的位置关系进行判断即可．解答：解：若直线和圆相切，则圆心到直线的距离d=，即|a|＜，解得﹣＜a＜，故“a=1”是“直线x+y+a=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线和圆的位置关系是解决本题的关键．4．（5分）已知向量=（2，1），=（1，x），若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．2 C．1 D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量坐标运算、向量共线定理即可得出．解答：解：+=（3，1+x），﹣=（1，1﹣x），∵+与﹣平行，∴1+x﹣3（1﹣x）=0，解得x=．故选：D．点评：本题考查了向量坐标运算、向量共线定理，属于基础题．5．（5分）如图程序执行后输出的结果是（）A．3 B．6 C．10 D．15考点：茎叶图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件i≤4，计算输出S的值解答：解：该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+1=1，i=1+1=2；第二步：s=1+2=3，i=2+1=3；第三步：s=3+3=6，i=3+1=4；第四步：s=6+4=10，i=4+1=5；∵i≤4，∴结束循环．∴s=10．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．（5分）某班有34位同学，座位号记为01，02，…34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（）A．23 B．09 C．02 D．16考点：简单随机抽样．专题：概率与统计．分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解答：解：从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于34的编号依次为21，32，09，16，其中第4个为16．故选：D点评：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．B．1+C．1+D．1++考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：三视图复原几何体是四分之一圆锥，根据数据计算即可．解答：解：由三视图可知，该几何体是一个沿着对称轴切开的四分之一圆锥，该圆锥的母线l长，其侧面积为：•+2•=1+，故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力、逻辑思维能力，注意解题方法的积累，属于基础题．8．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+3b=ab，则ab的最小值为（）A．6 B．12 C．16 D．22考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞0，且a+3b=ab，∴＞0，解得a＞3．∴ab===a﹣3++6≥+6=12，当且仅当a=6（b=3）时取等号．∴ab的最小值为12．故选：B．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．9．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x），当0≤x≤1时，f（x）=2x，则f等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性求出函数的周期，然后求解函数在即可．解答：解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（﹣x），可得f（x+2）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数的周期是4，当0≤x≤1时，f（x）=2x，则f=f=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1，有下列四个结论：①函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数；②点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心；③函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x的图象向左平移得到；④若x∈[0，]，则f（x）的值域为[0，]．则所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．②④D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=，再利用正弦函数的图象与性质即可判断出正误．解答：解：函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=：①若x∈[﹣，]，则∈，因此函数f（x）在区间[﹣，]上是增函数，因此正确；②∵==sinπ=0，因此点（，0）是函数f（x）图象的一个对称中心，正确；③由函数y=sin2x的图象向左平移得到y==，因此由函数y=sin2x的图象向左平移不能得到函数f（x）的图象；④若x∈[0，]，则∈，∴∈，∴f（x）的值域为[﹣1，]，因此不正确．故选：D．点评：本题考查了正弦函数的图象与性质、倍角公式、两角和差的正弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=，若方程f（x）=kx+1有三个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．[﹣，）D．（﹣，]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合；转化思想；函数的性质及应用．分析：在直角坐标系中，分别画出y=f（x）的图象和直线y=kx+1，由题意可得即要求得图象有三个交点的情况．求得直线和曲线y=相切，以及直线经过点（6，0），由图象，即可得到k的范围．解答：解：在直角坐标系中，分别画出y=f（x）的图象和直线y=kx+1，当直线经过点（6，0）时，即k=﹣，直线和曲线有两个交点，当直线与y=在（0，4]相切，设切点为（m，），由y=的导数为y′=，切线的斜率为k=，又km+1=，解得m=4，k=，要使直线和曲线有三个交点，则k的范围是（﹣，），故选：A．点评：本题考查函数和方程的转化思想，主要考查图象的交点个数问题，运用数形结合思想方法是解题的关键．12．（5分）若不等式（x﹣a）2+（x﹣lna）2＞m对任意x∈R，a∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，2）考点：函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：设函数f（x）=2x2﹣2（a+lna）x+a2+ln2a，利用导数求出函数f（x）min=（a﹣lna）2，再构造函数g（a）=a﹣lna，利用导数求出g（a）min=g（1）=1﹣ln1=1，继而得到f（x）的最小值，继而求出参数的取值范围解答：解：∵（x﹣a）2+（x﹣lna）2＞m，∴m＜2x2﹣2（a+lna）x+a2+ln2a对任意x∈R，a∈（0，+∞）恒成立，设f（x）=2x2﹣2（a+lna）x+a2+ln2a，∴f′（x）=4x﹣2（a+lna），令f′（x）=0，解得x=（a+lna），当f′（x）＞0时，即x＞（a+lna），函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0时，即x＜（a+lna），函数f（x）单调递减，∴f（x）min=f[（a+lna）]=（a﹣lna）2，再设g（a）=a﹣lna，∴g′（a）=1﹣=，令g′（a）=0，解得a=1，当a＞1时，函数g（a）为增函数，当0＜a＜1时，函数g（a）为减函数，∴g（a）min=g（1）=1﹣ln1=1，∴f（x）min=f[（a+lna）]=（a﹣lna）2=g（1）=，∴a＜，故选：A．点评：本题考查了导数和函数的最值的关系，关键是构造函数，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）已知a，b∈R，i为虚数单位，若a﹣i=2+bi，则a+b=1．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数相等即可得出．解答：解：∵a﹣i=2+bi，∴a=2，﹣1=b，∴a+b=2﹣1=1．故答案为：1．点评：本题考查了复数相等，属于基础题．14．（4分）已知x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值是﹣1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=2x﹣y的最小值．解答：解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点B时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得，即B（﹣1，﹣1）．将B（﹣1，﹣1）的坐标代入z=2x﹣y，得z=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，即目标函数z=2x﹣y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（4分）为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：喜欢不喜欢总计男15 10 25女 5 20 25总计20 30 50附表：P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828（参考公式k2=，（n=a+b+c+d）则有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．考点：独立性检验．专题：计算题；概率与统计．分析：根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据8.333＞7.879，即可得到有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．解答：解：∵根据表中数据，得到k2的观测值≈8.333＞7.879，由于P（k2≥7.879）≈0.005，∴有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．故答案为：99.5%．点评：本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．16．（4分）已知点A是定圆M所在平面上的一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的垂直平分线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中正确命题的序号是①②④⑥．（填上你认为所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．分析：对点A分类讨论：若点A在⊙M的内部，且与圆心不重合；若点A与⊙M的圆心M重合；若点A在⊙M上；若点A在⊙M的外部．即可判断出正确答案．解答：解：若点A在⊙M的内部，且与圆心不重合，则其轨迹为椭圆；若点A与⊙M的圆心M重合，则其轨迹为圆；若点A在⊙M上，则其轨迹为圆心M；若点A在⊙M的外部，则其轨迹为双曲线．综上可得：只有①②④⑥正确，故答案为：①②④⑥．点评：本题考查了圆锥曲线的定义与性质、分类讨论思想方法，考查了推理能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）某中学共有1000名文科学生参加了该市2015届高三第一次质量检查的考试，其中数学成绩如表所示：数学成绩分组[50，70）[70，90）[90，110）[110，130）[130，150]人数60 x 400 360 100（Ⅰ）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，年级将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查．甲同学在本次测试中数学成绩为75分，求他被抽中的概率；（Ⅱ）年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导，请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数；（Ⅲ）请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分．考点：众数、中位数、平均数；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据分层抽样的定义以及概率的意义进行求解．（Ⅱ）求出x，估计“数学学困生”的人数即可；（Ⅲ）根据平均数公式进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为：，故甲同学被抽到的概率P=；…（4分）（Ⅱ）由题意得x=1 000﹣（60+400+360+100）=80．…（6分）设估计“数学学困生”人数为m，则m=60+80×=80．故估计该中学“数学学困生”人数为80人；…（8分）（III）该学校本次考试的数学平均分．==107.2估计该学校本次考试的数学平均分为107.2分．…（12分）点评：本题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．18．（12分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a1=1，a3﹣a2=2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a1=1、a3﹣a2=2及数列{a n}的各项均为正数，可得q=2，计算即可；（Ⅱ）通过b n==，可写出S n、S n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3﹣a2=2得：q2﹣q﹣2=0，解得：q=2或q=﹣1，∵数列{a n}的各项均为正数，∴q=2，∴a n=1×2n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）∵b n==，∴S n=+2×+3×+…+（n﹣1）×+n×，S n=1×+2×+…+（n﹣1）×+n×，两式相减得：S n=+++…+﹣n×=﹣=1﹣﹣，∴S n=2﹣﹣．点评：本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求前n项和等知识，考查学生的运算求解能力，考查函数与方程及化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，沿EF将矩形BEFC折起，使∠CFD=90°，如图2所示；（Ⅰ）若G，H分别是AE，CF的中点，求证：GH∥平面ABCD；（Ⅱ）若AE=1，∠DCE=60°，求三棱锥C﹣DEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由三角形中位线的性质证得PG∥CH，PG=CH，从而得到四边形CPGH为平行四边形，得到GH∥PC．然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由已知解三角形得到CF⊥DF，进一步求得EF=1，然后直接代入棱锥的体积公式得答案．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点P，连结PG、PC，∵G，H分别是AE，CF的中点，∴CH∥BE，且CH=BE，PG∥BE，且PG=BE，∴PG∥CH，PG=CH，∴四边形CPGH为平行四边形，∴GH∥PC．又GH⊄平面ABCD，PC⊂平面ABCD，∴GH∥平面ABCD；（Ⅱ）解：∵∠CFD=60°，∴CF⊥DF，∵CF⊥EF，EF∩DF=F，∴CF⊥平面ADEF，又AE=EB，∴CE=DE=，且CF=DE=1，∵∠DCE=60°，∴△DCE为等边三角形，而Rt△CDF中，CD=，∴，∴EF=1，∴．故三棱锥C﹣DEF的体积为．点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．20．（12分）如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M为QR的中点，|PM|=．（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；（Ⅱ）设∠PRQ=θ，求tanθ．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由已知可得=，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求ω，把p（1，0）代入f（x），结合|φ|≤，即可求得φ的值，把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），即可解得A的值，从而可求f（x）的解析式．（Ⅱ）由∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，根据tan（﹣θ）=即可解得tanθ的值．解答：解：（Ⅰ）∵∠PQR=，∴OQ=OR，∵Q（m，0），∴R（0，﹣m），…（1分）又M为QR的中点，∴M（，﹣），又|PM|=，=，m2﹣2m﹣8=0，m=4，m=﹣2（舍去），…（3分）∴R（0，4），Q（4，0），=3，T=6，=6，，…（4分）把p（1，0）代入f（x）=Asin（x+φ），Asin（+φ）=0，∵|φ|≤，∴φ=﹣．…（5分）把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），Asin（﹣）=﹣4，A=．…（6分）f（x）的解析式为f（x）=sin（x﹣）．所以m的值为4，f（x）的解析式为 f（x）=sin（x﹣）．…（7分）（Ⅱ）在△OPR中，∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，∴tan（﹣θ）=，…（9分）∴=，解得tanθ=．…（12分）点评：本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数关系、正余弦定理等解三角形基础知识；考查两点间距离公式、运算求解能力以及化归与转化思想．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线为直线x=﹣1，过点D（a，0）（a ＞0）的动直线l交抛物线E于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）若以线段AB为直径的圆恒过抛物线E上的某定点C（异于A，B两点），求a的值和点C的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出抛物线中变量p，即可得到抛物线方程．（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+a与抛物线联立方程组，利用判别式大于0，得到关系式，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），利用韦达定理连结斜率的数量积为0，推出方程组求出a的值4，推出点C的坐标．解答：解：（Ⅰ）∵抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线为直线x=﹣1，∴，∴p=2，∴抛物线方程为：y2=4x．…（3分）（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+a联立，消去x得：y2﹣4my﹣4a=0 …（4分）△=（﹣4m）2﹣4×1×（﹣4a）=16m2+16a＞0 …（5分）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4a，y02=4x0．…（6分）…（7分）=（my1+a﹣x0）（my2+a﹣x0）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）=（m2+1）y1y2+[m（a﹣x0）﹣y0]（y1+y2）+（a﹣x0）2+y02=﹣4a（m2+1）+4m（ma﹣mx0﹣y0）+（a﹣x0）2+y02=﹣m2y02﹣4my0+…（9分）∵以线段AB为直径的圆恒过抛物线E上的某定点C（异于A，B两点）∴对任意实数m恒成立…（10分）∴…（11分）又a＞0，y02=4x0，∴x0=y0=0，a=4．所以a的值为4，点C的坐标为（0，0）．…（12分）点评：本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、方程思想等．22．（14分）已知函数f（x）=e x（sinx+cosx）+a（a为常数）．（Ⅰ）已知a=﹣3，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当0≤x≤π时，求f（x）的值域；（Ⅲ）设g（x）=（a2﹣a+10）e x，若存在x1，x2∈[0，π]，使得|f（x1）﹣g（x2）|＜13﹣e成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，再求出f（0），然后利用直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由原函数的导函数的符号确定原函数的单调区间，从而求得原函数的极大值点，得到函数的最大值，再求出端点值得答案；（Ⅲ）由a2﹣a+10＞0，得g（x）在[0，π]上是增函数，从而求得g（x）的值域．由题意得到，求解关于a的不等式得答案．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e x（sinx+cosx）+e x（cosx﹣sinx）=2e x cosx，∴f′（0）=2，f（0）=﹣2，∴切线方程为：y+2=2（x﹣0），即2x﹣y﹣2=0为所求的切线方程；（Ⅱ）由f′（x）=2e x cosx≥0，得0，f′（x）=2e x cosx≤0，得．∴y=f（x）在上单调递增，在上单调递减．∴．f（0）=1+a，f（π）=﹣eπ+a＜f（0），，∴f（x）的值域为；（Ⅲ）∵a2﹣a+10＞0，∴g（x）在[0，π]上是增函数，g（0）=a2﹣a+10，g（π）=（a2﹣a+10）eπ，∴g（x）的值域为[a2﹣a+10，（a2﹣a+10）eπ]．∵，依题意，，即a2﹣2a﹣3＜0，解得：﹣1＜a＜3．点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是压轴题．。

福建省龙岩第一中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试题

福建省龙岩第一中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试题

福建省龙岩第一中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合(){}ln 3A x y x ==-，{}22B y y x ==-+，则R A B ⋂=ð（ ）A ． 2,3B ．[]2,3C ．[)2,3D ．(]2,32．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知2AB =，P 为弧AC 上的一点，且π6PBC ∠=，则BP CP ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）A ．4B ．4C ．4-D ．4+3．已知函数y =f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）．A ．()e 1e 1x xf x +=- B ．()e 1e 1x x f x -=+C ．()2f xD ．()f x =4．高三某班学生每天完成作业所需的时间的频率分布直方图如图，为响应国家减负政策，若每天作业布置量在此基础上减少0.5小时，则减负后完成作业的时间的说法中正确的是（ ）A ．减负后完成作业的时间的标准差减少0.5B ．减负后完成作业的时间的方差减少0.25C ．减负后完成作业的时间在4小时以上的概率大于10%D ．减负后完成作业的时间的中位数在2至2.5之间5．已知i 是虚数单位，a ∈R ，则“()2i 2i a +=”是“21a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()()12x x e f x e=-+，其中e 为自然对数的底数， 2.7182818e =……，则f (x )的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，圆2222x y a b +=-与E 的一个交点为P ，直线2PF 与E 的另一个交点为Q ，123tan 4FQF ∠=，则E 的离心率为（ ）A ．35B C ．34D 8．随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的N 个.设当参与者手中有n 个（0n N ≤≤）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为()P n ，下列说法错误的是（ ） A ．()01P =，()0P N =B ．记X =参与者通关的局数，在前13局中，() 6.5E X =，() 3.25D X =C ．()()()111122P n P n P n +=+- D ．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为45二、多选题9．已知圆锥SO 的侧面积为4π，底面圆的周长为2π，则（ ） A ．圆锥的母线长为4B ．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为14CD10．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的有（ ）A ．若22tan tan aB b A =，则a b = B ．若2cos 22A b c c+=，则此三角形为直角三角形 C ．若3,4,6a b B π===，则解此三角形必有两解D ．若ABC V 是锐角三角形，则sin sin cos cos A B A B ++＞ 11．已知函数()(1)ln 1f x m x x x =+-+，下列说法正确的有（ ）A ．当12m =时，则()y f x =在(0,)+∞上单调递增 B ．当1m =时，函数()y f x =有唯一极值点C ．若函数()y f x =只有两个不等于1的零点12,x x ，则必有121x x ⋅=D ．若函数()y f x =有三个零点，则102m <<三、填空题12．将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有种.13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()11,,2,,n n n n n a a n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数则10S =．14．已知正四面体A BCD -的棱长为1，若棱长为a 的正方体能整体放入正四面体A BCD -中，则实数a 的最大值为.四、解答题15．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是正项等比数列，且11521,3a b a b ===.在①3314a b +=，②1581a b =，③424S S =这三个条件中任选一个，回答下列问题：(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)如果()*,m n a b m n =∈N ，写出,m n 的关系式()m f n =，并求(1)(2)(3)(2020)f f f f ++++L 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16．如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，1OB BF ==，点G 是线段BF 的中点(1)证明：//EG 平面DAF ；(2)若直线DF 与圆柱底面所成角为45o ，求点G 到平面DEF 的距离.17．PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x （单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度y （单位：3μg/m ）．检测人员采集了50天的数据，制成22⨯列联表（部分数据缺失）：(1)完成上面的22⨯列联表，并根据小概率值0.005α=的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于3100μg/m 与燃油车日流量小于1500辆有关联？(2)经计算得y 与x 之间的回归直线方程为0.12386ˆ7.x y=-，且这50天的燃油车的日流量x 的标准差249x s =，PM2.5的平均浓度y 的标准差36y s =．若相关系数r 满足0.75r ≥，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值；②若这50天的燃油车的日流量x 满足50281 1.2310i i x ==⨯∑，试求这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数y （利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．回归方程ˆˆˆya bx =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nniii i xx y x y nxyb x x y xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-； 相关系数()()niix x y y r --=∑．参考数据：11.230.024650⨯=，224962001=1548.55≈． 18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为12，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 是椭圆C 上不在x 轴上的任意一点，射线12,PF PF 分别与椭圆C 交于点,A B ．设121,,PF F PF B PAB V V V 的面积分别为123,,S S S ．求证：213221S S S S S S +--为定值． 19．设函数()()()221ln 1f x x x k x x =+-++．(1)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求k 的最大值；(2)设数列 a n 的通项()()1*1111123n n a n n-=-+++-∈N L ，证明：211ln 24n a n ->+．。

2025届福建省龙岩市一级达标校高考数学五模试卷含解析

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2025届福建省龙岩市一级达标校高考数学五模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．42．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-3．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A 32 B 23C 30D 55．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒6．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 7．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③8．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离9．52mx x ⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-210．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-12．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．717二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建龙岩一中2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

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福建龙岩一中2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（ ） A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．32363π+ B ．836πC 323163π+D ．16833π3．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,44．下列不等式成立的是（ ）A ．11sin cos 22>B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A ．2B ．2C ．10D ．106．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．12πB ．3πC ．2πD ．1π7．已知AM BN ，分别为圆()221:11O x y ++=与()222:24O x y -+=的直径，则AB MN ⋅的取值范围为（ ）A ．[]0,8B ．[]0,9C ．[]1,8D ．[]1,98．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．A ．21B ．22C ．23D ．249．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李 B ．小王C ．小董D ．小李10．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 12．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省龙岩市高级中学2025届高三冲刺模拟数学试卷含解析

福建省龙岩市高级中学2025届高三冲刺模拟数学试卷含解析

福建省龙岩市高级中学2025届高三冲刺模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．32C ．6D ．622．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x+=3．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-4．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25m =（ ） A ．1B ．2C 5D ．35．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A ．194B 11C ．32D ．746．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．7．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ） A ．1112- B ．31- C ．221-D ．328．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( ) A ．2B ．4C ．23D ．279．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） A ．10B ．23C ．3D ．410．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 11．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >12．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省龙岩一中2021届高三第5次月考(数学文)

福建省龙岩一中2021届高三第5次月考(数学文)

福建省龙岩一中2021届高三第5次月考（数学文）龙岩一中2021-2021学年第一学期第五次月考高三数学（文学）试卷（考试时间：120分钟满分：150分命题人：邱星明）第一卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上．1.设置M？？y | y？2x，x？R设定p？？y | y？x2，x？R那么下面的结论是正确的a.m?p??2,4?b.m?p??4,16?c.m?pd.m?p? 2.已知系列？一相等的差异，Sn？一第一个N和a7？4，那么S8？S5的值为a．d、 649b．12c．16如果柱状图显示某段时间内通过某个检查站的车辆速度约为90小时，则估计该段时间内通过该检查站的车辆分布约为3/h，且该段时间内的车辆分布小于90小时a．100辆b、 200辆车c．300辆d．400辆4.得到函数y？Cos2x图像，把函数y放进去？余弦？2x？？？？？？相机的图像？？？单位？？c、按单位左移?a．向右平移? 单位？？d、按单位左移?b．向右平移5.如果a，B∈ R和a>b是已知的，下面的不等式总是成立的a．a2>b2b(1a1b)0d．a> 1B6。

已知R上的偶数函数f（x）是（？，0）上的减法函数，f（2）？0，那么做f（x）？0的x值范围为a．(??,2)b、（-2,2）d.（2，？）c．(??,?2)?(2,??)7.“1？A？2”表示任何正数x，2x？A≥ 1"a．充分不必要条件c．充要条件b、必要条件和不充分条件D.既不充分也不必要条件x2y210??1的离心率e?8．若椭圆,则m的值为5m5a．1b．15或52515c．15d．3或知道吗？是一个平面，m和N是直线。

给出了以下命题①若m??，m??，则???．② 如果我？？，NMN然后③ 如果我？？，Nm、 N是不同平面的直线，那么N和？横断④ 如果m、N‖m和N？？，N然后呢？正确命题的数量是a．4b．3c．2d．110．如图一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的右侧长度是1，那么这个几何体的体积是a.11b．21c。

福建省龙岩市高三数学毕业班5月教学质量检查试题文

福建省龙岩市高三数学毕业班5月教学质量检查试题文

福建省龙岩市高三数学毕业班5月教学质量检查试题文数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 全卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}|2M x x =≥，{}0,1,2,3N =，则M N 等于A ．{}3 B ．{}2,3 C ．{}|2x x ≥ D ．{}0,1,2,32．双曲线2214x y -=的离心率为 A ．54 B．2 C．2 D ．23．若a R ∈，则“1a =”是“直线0x y a ++=与圆221x y +=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知向量(2,1),(1,)a b x ==，若a b +与a b -平行，则实数x 的值是 A ．-2 B ．2 C ．1D ．125．下列程序执行后输出的结果是A ．3B ．6C ．10D ．156．高三某班有34位同学，座位号记为01,02,,34⋅⋅⋅，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06A ．23B ．09C ．02D ．16（第5题图）7．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为2π的扇形，则该几何体的侧面积为A ．12B ．14π+ C ．214π+D ．2144ππ++8．已知0,0a b >>，且3,a b ab +=则ab 的最小值为 A ．6B ．12C ．16D ．229．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()2f x x =，则(2015)f 等于A ．2-B ．1-C ． 1D ．210. 已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，有下列四个结论： ①函数()f x 在区间3[,]88ππ-上是增函数；②点3(,0)8π是函数()f x 图象的一个对称中心；③函数()f x 的图象可以由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π得到；④若[0,]2x π∈，则()f x 的值域为[0,2]． 则所有正确结论的序号是A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①②11. 已知函数,04,()6,4,x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩若方程()1f x kx =+有三个不同的实数根，则实数k 的取值范围是A ．11(,)64- B ．11(,)(,)64-∞-+∞C ．11[,)64-D ．11(,]64-（第7题图）正视图 侧视图 俯视图12．若不等式()22(ln )x a x a m-+->对任意(),0,x R a ∈∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B．,2⎛-∞ ⎝⎭ C ．(-∞D ．(),2-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置． 13．已知,a b R ∈，i 为虚数单位，若i =2+i a b -，则a b +=__________．14．已知,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =-的最小值是__________．15．为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到22⨯列联表:（参考公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++）则有___________以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．16．已知点A 是定圆M 所在平面上的一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的垂直平分线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．其中正确命题的序号是_________．（填上你认为所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）某中学共有1000名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试，其中数学成绩如下表所示：（Ⅰ）为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，年级将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查. 甲同学在本次测试中数学成绩为75分，求他被抽中的概率；（Ⅱ）年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导，请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数；（III ）请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分．18．（本小题满分12分） 已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足11a =，322a a -=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图1，在矩形ABCD 中，E ,F 分别是AB ,CD 的中点，沿EF 将矩形BEFC 折起，使90CFD ∠=︒，如图2所示：（Ⅰ）若G ,H 分别是AE ,CF 的中点，求证：GH //平面ABCD ； （Ⅱ）若1AE =，60DCE ∠=︒，求三棱锥C DEF -的体积．20．（本小题满分12分）如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,2A πωϕ>>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且(1,0)P ,(,0)Q m (0)m >，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，5PM =．（Ⅰ）求m 的值及()f x 的解析式； （Ⅱ）设PRQ θ∠=，求tan θ．（第20题图）图 1 图221．（本小题满分12分）如图，已知抛物线E :()220y px p =>的准线为直线1x =-，过点()(),00D a a >的动直线l 交抛物线E 于A ,B 两点．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）若以线段AB 为直径的圆恒过抛物线E 上的某定点C （异 于,A B 两点），求a 的值和点C 的坐标．22．（本小题满分14分）已知函数()(sin cos )xf x e x x a =++（a 为常数）．（Ⅰ）已知3a =-，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0x π≤≤时，求()f x 的值域；（Ⅲ）设2()(10)xg x a a e =-+，若存在1x ，2[0,]x π∈，使得212()()13f x g x e π-<-成立，求实数a 的取值范围．（第21题图）龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查 数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1-5 BBADC 6-10 DCBAD 11-12 AA 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．1 14．1- 15．99.5％ 16．①②④⑥三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．命题意图：本题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、 运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想． 解：（Ⅰ）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为：样本容量总体中个体总数，故甲同学被抽到的概率P ＝110 …………………4分 （Ⅱ）由题意得x ＝1 000－(60＋400＋360＋100)＝80． ……………6分 设估计“数学学困生”人数为m16080804m =+⨯=．故估计该中学“数学学困生”人数为80人 ……………………8分 （III ）该学校本次考试的数学平均分．60608080100400120360140100107.21000x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==估计该学校本次考试的数学平均分为107.2分． ……………12分18．命题意图：本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求前n 项和等知识；考查学生的运算求解能力，考查函数与方程及化归与转化思想． 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由11a =，322a a -=得：220q q --= …………………………………………………2分解得：2q =或1q =- …………………………………………4分 数列{}n a 的各项均为正数∴2q = …………………………………………………5分∴11122n n n a --=⨯= ………………………………………………6分（Ⅱ）2n n nb =∴23111111123...(1)22222n n nS n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ……① ∴1234111111123...(1)222222n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯… ② ……8分 由①-②得：12311111222222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+- …………………………9分 111[1()]221212n n n +-=--11122n n n +=-- …………………11分 11222n n n nS -∴=--………………………………………12分注：答案为：222n nnS +=-或1222n n n n S +--=均可.19．命题意图：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力．解：（Ⅰ）法一：取AB 中点P ，连结PG 、PC ………………………………………1分G ,H 分别是AE ,CF 的中点∴1//2CH BE ，且12CH BE =，1//2PG BE ，且12PG BE= //,PG CH PG CH ∴=∴四边形CPGH 为平行四边形，//GH PC ∴……4分又GH ⊄平面ABCD ，PC ⊂平面ABCD∴GH //平面ABCD ………………6分法二：取CD 中点Q ，连结QA ,QH ………1分G ,H 分别是AE ,CF 的中点ADFHCB EGP∴1//2QH DF ，且12QH DF =，1//2AG DF ，且12AG DF= //,AG QH AG QH ∴=， ∴四边形AGQH 为平行四边形//GH AQ ∴ ………………………4分又GH ⊄平面ABCD ，AQ ⊂平面ABCD∴GH //平面ABCD …………………6分法三：取DF 中点M ，连结MG ,MH …………1分G ,H 分别是AE ,CF 的中点，∴//GM AD ， //MH CD又GM ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCDMH ⊄平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD∴GM //平面ABCD ，MH //平面ABCD ……4分GM MH M ⋂=，∴平面GMH //平面ABCD而GH ⊂平面GMH∴GH //平面ABCD ……………………6分（Ⅱ）90CFD ∠= ∴CF DF ⊥,CF EF EF DF F ⊥⋂=∴CF ⊥平面ADFE ……………………………………………………8分又1AE EB ==，CE DE ∴==1CF DF ==ADFHCB EGQADM F HCB E G60DCE∠=∴DCE∆为等边三角形而Rt CDF∆中，CD==1EF∴=…………………………………10分111326C DEFV EF DF CF-∴=⨯⋅⋅⨯=故三棱锥C DEF-的体积为16．……………………………………………12分20．命题意图：本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数关系、正余弦定理等解三角形基础知识；考查两点间距离公式、运算求解能力以及化归与转化思想．解：（Ⅰ）4PQRπ∠=，OQ OR∴=，(,0)Q m，(0,)R m∴-………1分又M为QR的中点，(,)22m mM∴-，又PM==2280m m--=，4m=，2m=-（舍去），……3分(0,4)R∴-，(4,0)Q，32T=，6T=，26πω=，3πω=…………4分把(1,0)P代入()sin()3f x A xπϕ=+，sin()03Aπϕ+=，2πϕ≤，3πϕ∴=-…………………………5分把(0,4)R-代入()sin()33f x A xππ=-，sin()43Aπ-=-，3A=……6分()f x的解析式为()sin()333f x xππ=-所以m的值为4，()fx的解析式为()sin()333f x xππ=-…………7分（Ⅱ）解法一：△PQR中，PR==，3PQ=，RQ=………8分由余弦定理得：222cos 2PR RQ PQ PR RQ θ+-=⋅==， ………………………10分θ为锐角，sin 34θ=， ………………………………11分3tan 5θ∴=…………………………………………12分解法二：△PQR中，PR =， …………………………8分由正弦定理得： sin sin PQ PRPQR θ=∠，3sin θ⨯== ……………10分 θ为锐角，cos 34θ=， ……………………11分3tan 5θ∴=……………………………………12分解法三：在△OPR 中，4ORP πθ∠=-，tan OP ORP OR ∠=，1tan()44πθ-=………………………………………………9分1tan 11tan 4θθ-=+，3tan 5θ= ………………………………………………12分 21．命题意图：本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、方程思想等．解：（Ⅰ）抛物线2:2(0)E y px p =>的准线方程为：1x =- ∴12p-=- ，∴2p =∴抛物线方程为：24y x =． ………………………………3分（Ⅱ）方法一：设直线l 的方程为： x my a =+联立24x my ay x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y my a --= ………………4分 22(4)41(4)16160m a m a ∆=--⨯⨯-=+> ……………………5分 设112200(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则12124,4y y m y y a +==-，0204y x = ……………………6分10201020()()()()CA CB x x x x y y y y ⋅=--+-- ……………………7分 10201020()()()()my a x my a x y y y y =+-+-+--22212001200(1)[()]()()m y y m a x y y y a x y =++--++-+02220004(1)4()()a m m ma mx y a x y =-++--+-+22242000011441162m y my a a y a y ⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭ …………………9分以线段AB 为直径的圆恒过抛物线E 上的某定点C （异于,A B 两点）0CA CB ∴⋅=对任意实数m 恒成立 ……………………10分 ∴200242004011410162y y a a y a y ⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎪-++-= ⎪⎪⎝⎭⎩ ……………………11分又0200,4a y x >= ∴000,4x y a ===所以a 的值为4，点C 的坐标为()0,0． ……………………12分 方法二：设直线l 的方程为： x my a =+联立24x my ay x =+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440y my a --= ………………4分216160m a ∆=+> ……………………5分 设22212120(,),(,),(,)444y y y A y B y C y ，则12124,4y y m y y a +==- ……………………6分 222210201020(,),(,)44y y y y CA y y CB y y --=-=- 则222210201020()()()()16y y y y CA CB y y y y--⋅=+-- ……………………7分102010201()()[()()16]16y y y y y y y y =--+++210201201201()()[()16]16y y y y y y y y y y =--++++21020001()()(4416)16y y y y a my y =---+++ ……………………9分以线段AB 为直径的圆恒过抛物线E 上的某定点C （异于,A B 两点）0CA CB ∴⋅=对任意实数m 恒成立 ……………………10分 20041640my y a ∴++-=对任意实数m 恒成立020401640y y a =⎧⎪∴⎨+-=⎪⎩ ……………………11分又0200,4a y x >= ∴000,4x y a ===所以a 的值为4，点C 的坐标为()0,0． ……………………12分 方法三：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()y k x a =-联立()24y k x a y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 得：()22222240k x k a x k a -++= …………4分 216160k a ∆=+>，直线l 交抛物线E 相交 ………………5分 设点112200(,),(,),(,)A x y B x y C x y ， 则221212222442,k a x x a x x ak k ++==+= ………………6分10201020()()()()CA CB x x x x y y y y ⋅=--+--10201020()()()()x x x x kx ak y kx ak y =--+----()222212001200(1)()()k x x ak ky x x x x ak y =+-++++++ ()22222220000024(1)(2)2k a ak ky x a x a k ay k y k =+-+++++++ 2220000024442x y a a ax x y k k =--+--++ ………………8分 以线段AB 为直径的圆恒过抛物线E 上的某定点C （异于,A B 两点）0CA CB ∴⋅=对任意实数k 恒成立 ………………9分 ∴002220004040420x y a a ax x y ⎧-=⎪-=⎨⎪--++=⎩又0200,4a y x >= ，∴000,4x y a ===． ………………10分 当直线l 的斜率不存在时，x a =代入24y x =，得(,(,A a B a - 设00(,)C x y，则2000())()CA CB a x y y ⋅=-+- 22200042a a ax x y =--++ 当000,4x y a ===时，仍有0CA CB ⋅=成立． ………………11分 综上可知，a 的值为4，点C 的坐标为()0,0． ………………12分22．命题意图：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、存在量词等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.解：（Ⅰ）()(sin cos )(cos sin )2cos x x x f x e x x e x x e x '=++-= ……………1分 (0)2f '=，(0)2f =- …………………………2分 ∴切线方程为：22(0)y x +=-，即220x y --=为所求的切线方程．……3分（Ⅱ）由()2cos 0x f x e x '=≥，得02x π≤≤．，()2cos 0x f x e x '=≤，得2x ππ≤≤．∴ ()y f x =在[0,]2π上单调递增，在[,]2ππ上单调递减． ………………5分∴2max ()2y f e aππ==+ ……………………………………6分(0)1f a =+，()(0)f e a f ππ=-+<,min ()y f e a ππ==-+, ……………7分∴()f x 的值域为2[,]e a e a ππ-++ ……………………………………8分 （Ⅲ）2100a a -+>，()g x ∴在[0,]π是增函数，2(0)10g a a =-+，2()(10)g a a e ππ=-+，()g x ∴的值域为22[10,(10)]a a a a e π-+-+． ……………………………10分222210()(1)(9)0a a e a a e ππ-+-+=-+-> ………………………11分 依题意，22210()13a a e a e ππ-+-+<-， ………………………………12分 即2230a a --<， 13a ∴-<< ………………………………14分。

福建省龙岩一中高三第三次月考数学(文)试题

福建省龙岩一中高三第三次月考数学(文)试题

（考试时间：120分钟，满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =.A }{3,5 .B }{3,6 .C }{3,7 .D }{3,92．将图所示的一个直角三角形ABC （∠C ＝90°）绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的3.下列命题错误的是.A 命题：2",cos 2cos "x R x x ∀∈≤的否定为2",cos 2cos "x R x x ∃∈>..B 设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“ 1>yx ”的充分不必要条件. .C 命题“若0lg =x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则lg 0x ≠”..D 若""p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题.4. 已知等比数列{}n a 中，12a =，且有23564a a a =，则3a =.A 1 .B 12 .C 2 .D 145. 已知直线1l ：0ax y +=与2l ：(21)10x a y --+=互相垂直，则a = .A 2.B 1.C 0 .D -1 6．已知直线(2)y k x =+与圆22:2o x y +=交于A 、B 两点，若2,AB =则实数k 的值为.A .B .C ±.D7．若函数()f x 的导函数为34)(2+-='x x x f ，则函数)1(-x f 的单调递减区间是 .A （2，4） .B （0，2） .C （2，3） .D （0，1）8．函数ln x xx x e e y e e---=+的图象大致为.A .B .C .D9. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移π6个单位长度，平移后的图象如图所示， 则sin (0)y x ωω=>的解析式是 .A sin 2y x =.B 12sin y x= .C 14sin y x =.D sin 4y x = 10．已知l 、m 是不同的两条直线，α、β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是.A 若l ∥α，α⊥β，则l ∥β.B 若l ⊥α，α∥β，m ⊂β，则l ⊥m .C 若l ⊥m ，α∥β，m ⊂β，则l ⊥α.D 若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若0OA AB OC ++=，且||||OA AB =，则CA CB ⋅等于.A 32.B.C 3 .D 12.若,0,0≥≥b a 且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有1≤+by ax ,则以a,b 为坐标的点P (a,b)所形成的平面区域的面积是.A 21 .B 4π .C 2π .D 1二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在答题卷相应的横线上．13.已知sin()2x π-=，则cos2x = 14．设函数()()[)22,,1,,1,.x x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()4f x >，则x 的取值范围是 . 15．某同学为研究函数()1)f x x =＃)10<<的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的值域是 .16.在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径CS r 2=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R =___________。

【试题】福建省龙岩一中高三数学模拟考试试题文新人教A版

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【关键字】试题龙岩一中高考模拟考试数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．满分150分．考试时间120分钟．参照公式：样本数据、、…、的标准差：，其中为样本平均数；柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若为实数，为虚数单位，且满足，则等于A．B．C．D．2．已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为A．B．C．D．3．已知向量，，且，则的值为A．B．C．D．4. 已知,,则的值等于A．B．C．D．5．一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如右图所示.若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为（）A． B． C．D．6. 已知数列的前项和，第项满足，则等于A．6 B．．8 D．97. 设命题：曲线在点处的切线方程是：；命题：函数的导函数为，的充要条件是为函数的极值点. 则下列选项正确的是A. “或”为真命题B. “且”为真命题C. 是假命题，是真命题D. ，均为假命题8. 如图，在中，、分别在边、上，且，，点随机的在内部出现,则点出现在内部的概率是A．B．C．D．9. 已知实数2，，依次构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为A． B．C．D．或210. 若函数，又，且的最小值为，则正数的值是A．B．C．D．11.设函数（且）在上既是奇函数又是增函数，则的图象是A B C D12．已知方程在有两个不同的解(),则下面结论正确的是A． B.C． D．APECDB第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应位置．13. 某单位有职工人,现将所有职工随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本,已知号、号、号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是___________.14．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为___________． 15. 观察下列不等式:①;②;③;则第个不等式为__________________________.16．设不等式组 表示的平面区域为，不等式（为常数）表示的平面区域为，为平面上任意一点，：点在区域内，：点在区域内，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______________. 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）某学校餐厅新推出A ，B ，C ，D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下.为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示： （Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率; （Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.18．（本小题满分12分） 已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足 ． （Ⅰ）求na 和nb ;（Ⅱ）记数列*1,()24n n c n N b n =∈+，求{}n c 的前n 项和为n T .19．（本小题满分12分）如图,在底面为直角梯形的四棱锥ABCD P -中,BC AD //,︒=∠90ABC ,⊥PD 平面ABCD ,1=AD ,3=AB ,4=BC（Ⅰ）求证：BP ⊥CD ;（Ⅱ）设点E 在棱PC 上,PC PE λ=,若//DE 平面PAB ,求λ的值. 20．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点O ,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ,70BC =m ,O 四点在同一平面内.（Ⅰ）求BAC ∠的大小; （Ⅱ）求点O 到直线BC 的距离. 21．（本小题满分12分） 设函数()ln f x x ax =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）若1,()(()1),(1)2a g x x f x x ==+＞，且()g x 在区间(,1)k k +内存在极值，求整数k 的值.22．（本小题满分14分）我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.（Ⅰ）设椭圆1C :12222=+b y a x 与双曲线2C :189922=-y x 有相同的焦点21F F 、,M 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共点,且21F MF ∆的周长为6,求椭圆1C 的方程;（Ⅱ）如图,已知“盾圆D ”的方程为⎩⎨⎧≤<--≤≤=)43()4(12)30(42x x x xy . 设“盾圆D ”上的任意一点N 到()1,0F 的距离为1d , N 到直线3:=x l 的距离为2d ,求证:21d d +为定值;（Ⅲ）由抛物线弧1E :x y 42=(203x ≤≤)与第（Ⅰ）小题椭圆弧2E :12222=+b y a x (a x ≤≤32)所合成的封闭曲线为“盾圆E ”.设“盾圆E ”上的两点B A 、关于x 轴对称,O 为坐标原点,试求OAB ∆面积的最大值.龙岩一中高考模拟考试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1. A2. D3. B4. D5. C6. A7. A8. D9. C 10. B 11. C 12. C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13. 19 14. 4 15.< 16. b a -≤1三、解答题：本大题共6小题，共74分．17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人，其中选A 款套餐的学生为40人， ……………………………1分由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了42004020=⨯份. ……………… ……3分设 “甲的调查问卷被选中” 为事件M ，则.10404)(==M P .所以若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1. ……………………………5分 （Ⅱ）由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5.其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ……………………………6分 记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；对D 款套餐不满 意的学生是c ，d. 设“从填写不满意的学生中选出2人，这两人中至少有一人选择 的是D 款套餐” 为事件N ,从填写不满意的学生中选出2人，共有(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d) 6个基本事件， …………………………9分 而事件N 有(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d) 5个基本事件， …………………………11分则()56P N =，所以从填写不满意的学生中选出2人，这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率是56 …………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵1236a a a ++=，55a =，∴1113361451a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩， …………………………2分∴n a n=； …………………………3分∵ 111n n n b b a n ---==-*(2,)n n N ≥∈， …………………………4分∴112233221()()()()()n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-+-(1)(2)(3)21n n n =-+-+-+++得1(1)2n n n b b --=， ∴21(1)222n n n n n b b --+=+=*(2,)n n N ≥∈ …………………………6分 又1n =时，11b =也满足n b ，所以222n n n b -+=…………………………7分（Ⅱ） ∵2111112432(1)(2)12n n c b n n n n n n n ====-++++⋅+++， ………………9分∴1111111111()()()()()233434112n T n n n n =-+-+-++-+-+++()11()2222nn n =-=++ …………………………12分19. （本小题满分12分）证明：（Ⅰ）过D 作AB DF //交BC 于F∵︒=∠90ABC ∴DF BC ⊥即四边形ABFD 是矩形∴,3DF CF == ∵1=AD,3=AB ,4=BC∴2BD == DC === …………………………2分∵22241216BD DC BC +=+==∴BD DC ⊥ …………………………3分 又∵⊥PD 平面ABCD CD ⊂面ABCD∴PD CD ⊥ …………………………4分PEFBDA∵BDPD D =∴CD ⊥平面PBD …………………………5分 又PB ⊂平面PBD∴BP ⊥CD …………………………6分 （Ⅱ） 连结EF ,∵AB DF //,⊄DF 平面PAB ,⊂AB 平面PAB∴//DF 平面PAB …………………………7分 又∵//DE 平面PAB 且D DF DE =∴平面//DEF 平面PAB …………………………8分 ∴AB EF // …………………………9分 又∵1=AD ,4=BC ,1=BF∴41==BC BF PC PE …………………………11分 ∴PC PE 41=,即41=λ …………………………12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在△ABC 中,因为80AB =m ,70BC =m ,50CA =m ,由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=⨯⨯2228050701280502+-==⨯⨯ ……………………4分 因为BAC ∠为△ABC 的内角,所以3BAC π∠=…………………………5分（Ⅱ）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等,所以点O 为△ABC 外接圆的圆心 …………………………6分 设外接圆的半径为R ,在△ABC 中,由正弦定理得2sin BCRA =,因为70BC =,由（Ⅰ）知3A π=,所以sin A =.所以2R =,即R =…………………………9分过点O 作边BC 的垂线,垂足为D ,在△OBD 中,OB R ==,703522BC BD ===,所以OD == …………………………11分=.所以点O 到直线BCm …………………………12分方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等,所以点O 为△ABC 外接圆的圆心6分 连结OB ,OC , 过点O 作边BC 的垂线,垂足为D ,由（Ⅰ）知3BAC π∠=,所以3BOC 2π∠=. 所以3BOD π∠=…………………………9分在Rt △BOD 中,703522BC BD ===,所以35353tan tan 603BD OD BOD ===∠ …………………………11分所以点O 到直线BCm …………………………12分21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知110,()axx f x a x x -'=-=＞ .…………………………1分当0a ≤时，()0,f x '＞函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，无单调递减区间 ………2分 当0a ＞时，由()0,f x '＞得10,ax -＞∴10x a ＜＜； .…………………………3分由()0,f x '＜得10,ax -＜∴1x a ＞.…………………………4分∴()f x 在1(0,)a 内单调递增，在1(,)a +∞内单调递减 . …………………5分（Ⅱ）当12a =时，211()(()1)(ln 1)ln (1)22g x x f x x x x x x x x x =+=-+=+-＞∴()ln 2(1),g x x x x '=-+＞ …………………………6分 令()()ln 2(1)F x g x x x x '==-+＞， 则1()10,F x x '=-＜∴()F x 在(1,)+∞内单调递减. …………………………8分∵(1)10,(2)ln 20,F F ==＞＞ (4)(4)ln 442ln 420.F g '==-+=-＜ …………………………9分 ∴()F x 即()g x '在（3,4）内有零点，即()g x '在（3,4）内存在极值.…………………………11分 又∵()g x 在(,1)k k +上存在极值，且k ∈z ，∴k=3. …………………………12分 22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由21F MF ∆的周长为6得3=+c a ,椭圆1C 与双曲线2C :189922=-y x 有相同的焦点,所以1=c ,即2=a ,3222=-=c a b ,所以椭圆1C 的方程为13422=+y x ; ……………………3分（Ⅱ）证明:设“盾圆D ”上的任意一点N 的坐标为(,)x y ,|3|2-=x d ……………………4分当N ∈1C 时,x y 42=(03)x ≤≤,|1|)1(221+=+-=x y x d , ……………………5分 即4)3()1(|3||1|21=-++=-++=+x x x x d d ; …………………………6分当N ∈2C 时,)4(122--=x y (34)x <≤,|7|)1(221x y x d -=+-=, …………7分 即4)3()7(|3||7|21=-+-=-+-=+x x x x d d ; …………………………8分 所以421=+d d 为定值; …………………………9分（Ⅲ）因为“盾圆E ”关于x 轴对称,设),(11y x A 于是),(11y x B -, 所以OAB ∆面积11y x S =, 按A 点位置分2种情况:①当),(11y x A 在抛物线弧x y 42=(203x ≤≤)上时,设OA 所在的直线方程kx y =(0>k ),联立⎪⎩⎪⎨⎧≤<=≥=)320(4)6(2x x y k kx y ,得)4,4(2k k A ,同理)4,4(2k kB -, OAB ∆面积)6(16311≥==k k y x S ,所以9640≤<S ; …………………………11分 ②当),(11y x A 在椭圆弧)232(13422≤<=+x y x 上时, [于是联立⎪⎩⎪⎨⎧≤<=+<<=)232(134)60(22x y x k kx y ,得3432,34322121+=+=k k y k x ;即)60(3412211<<+==k k k y x S ,由3434≥+k k ,当且仅当23=k 等号成立,所以3≤S , …………………………13分综上，等腰OAB ∆面积的最大值为3. …………………14分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高一下学期5
月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．已知某公司共有员工20000人，30岁以下的员工有8000人，30到50岁的员工10000人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：30岁以下的员工占99%，30到50岁的员工占98%，其他员工占96%．下列说法正确的是（）
A．从50岁以上的员工抽取了200人
因为AB BC
^，1
BC=，AB
所以2210
=+=
AC AB BC
又2
CP=，14
AP=，
所以在APC
△中，有2
CP+
πAC
其中，1BC =，2CP =，3AB =则22214AP AB BC CP =++=所以此三棱锥外接球的半径为R 所以，此三棱锥外接球的体积为。

福建省龙岩市第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

福建省龙岩市第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

福建省龙岩市第一中学2025届高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={x∣x <3},B ={x∣−2<x <4}，则A ∪B =( )A. {x∣x <4} B. {x∣x <3}C. {x∣x >−2}D. {x∣−2<x <3}2.设m ，n 为实数，则log 21m >log 21n 是0.1m >0.1n 的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知f(x)=|lg x|，若a =f (12)，b =f (13)，c =f(4)，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a4.声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：ω/m 2)满足f(x)=10×lg x10−12.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为( )A. 120dBB. 100dBC. 80dBD. 60dB5.已知x ，y 为正实数，且x +y =1，则x +2y +1xy的最小值为( )A. 22+1B. 22−1C. 26+5D. 26−56.设函数f(x)=log 2|x|−x −2，则不等式f(x−2)≥f(2x +2)的解集为( )A. [−4,0]B. [−4,0)C. [−4,−1)∪(−1,0]D. [−4,−1)∪(−1,0)7.已知函数f (x +1)是R 上的偶函数，且f (x +2)+f (2−x )=0，当x ∈(0,1]时，f (x )=log 2(−2x +52)，函数f(x)在区间[−3,3]的零点个数为( )A. 7B. 8C. 9D. 108.已知可导函数f (x )的定义域为R ，f (x2−1)为奇函数，设g (x )是f (x )的导函数，若g (2x +1)为奇函数，且g (0)=12，则∑10k =1kg (2k )=( )A. 132B. −132C. 112D. −112二、多选题：本题共3小题，共18分。

福建省龙岩市上杭一中2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷(含解析)

福建省龙岩市上杭一中2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷(含解析)

龙岩市上杭一中2023-2024学年高二下学期5月月考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望( )2．已知在某次乒乓球单打比赛中,甲､乙､丙､丁四人进入半决赛.将四人随机分为两组进行单打半决赛,每组的胜出者进行冠军的争夺.已知四人水平相当,即半决赛每人胜或负.若甲､丙分在一组,乙､丁分在一组,则甲､乙两人在决赛中相遇的概率为( )3．假设有两个分类变量X 与Y ,它们的可能取值分别为和,其列联表为:则当m 取下面何值时,X 与Y 的关系最弱( )A.8B.9C.14D.194．在研究变量x 与y 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，，，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则( )A.8 B.12 C.16 D.205．已知函数的定义域为R ,是偶函数,当,则曲线在点处的切线斜率为( )()E X ={}12,x x {}12,y y 22⨯()11,x y ()22,x y 55(,)x y (6,28)(0,28)107ˆyx =)6,28()0,28ˆ4yx m =+51140i i y ==∑m =()f x ()1f x +x <()()ln 12f x x =-()y f x =()()2,2f 26．已知定义在R 上的函数,设,,,则a ,b ,c 的大小关系是( )A. B. C. D.7．柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体.右图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF ,P ,Q ,M ,N 分别为DE ,AB ,AD ,BF 的中点,则( )AC.8．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若,,…,为上任意n 个实数,满足在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为,在上的导函数为,当时,函数在上为“凹函数”.已知,,…,,,且,令,则为( )二、多项选择题9．关于概率统计,下列说法中正确的是( )A.两个变量x ,y 的线性相关系数为r ,若r 越大,则x 与y 之间的线性相关性越强B.某人解答5个问题,答对题数为X ,若,则C.若一组样本数据（,2,3,…,n ）的样本点都在直线上,则这组数据的相关系数r 为0.56()e e x x f x -=-0.70.72(2)a f =⋅0.80.81122b f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0.70.7log 1.25(log 0.8)c f =-⋅b a c>>c a b>>b c a>>c b a>>PQ MN ⋅=121x 2x n x (),a b 12n x x x f n +++⎛⎫≤⎪⎝⎭ ()f x (),a b ()f x ();a b ()f x '()f x '(),a b ()f x ''()0f x ''>()f x (),a b 1x 2x 0n x >2n ≥121n x x x +++= 121211x xW x x =+++-- n 2024a ()5,0.6X B ()3E X =(),i i x y 1i =0.563y x =+D.已知,若,则10．如图,正四棱台的中点,则( )A.正四棱台B.平面平面C.平面D.二面角11．已知函数满足（为的导函数）,且在处的切线倾斜角小于,则( )A. B.C.有且仅有1个零点D.有且仅有1个极值点三、填空题12．已知向量,,且,则________.13．中心极限定理是概率论中的一个重要结论.根据该定理,若随机变量,则当且时,可以由服从正态分布的随机变量近似替代,且的期望与方差分别与的期望与方差近似相等.现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为______.(保留小数点后四位)附:若随机变量Z 服从正态分布,则,,.14．如图,已知正方体顶点处有一质点Q ,点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同.从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次.若质点Q 的初始位置位于点A 处,则点Q 移动次后仍在底面ABCD 上的()~0,1N ξ()10.2P ξ>=()100.3P ξ-=≤≤111ABCD A B C D -11A B 111ABCD A B C D -1BC D ⊥11AA C C //AE 1BC D1D DA --()()e (0)x f x ax b a =+≠(1)()(2)()x f x x f x '+=+()f x '()f x ()f x 0x =45︒1a b =+102a <<()f x ()f x (1,2,3)a m n =-+ (3,41,25)b m n =+- //a bm n +=(),B n p ξ 5np >()15n p ->ξηξη()2,N μσ()0.6827P Z μσμσ-≤≤+≈()220.9545P Z μσμσ-≤≤+≈()330.9973P Z μσμσ-≤≤+≈1111ABCD A B C D -2概率为________;点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为________.四、解答题15．某地政府为提高当地农民收入,指导农民种植药材,取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据:与之间的关系,请求出此模型的回归方程;（结果保留一位小数）（2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中,若残差平方和小于0.5,则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求,并说明理由.参考数据及公式:,则,.16．如图,在四棱锥中,平面,四边形是矩形,,过棱的中点E 作于点F ,连接.x b= y =-2x =()()1217ni ii t t y y =--=∑()21374ni i t t=-=∑P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD PA AD =PD EF PC ⊥AF（1）证明：;（2）若,求平面与平面所成角的正弦值.17．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况,用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生,设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”,“抽取的学生建立了个性化错题本”,且（1）求和.（2）若该班级共有36名学生,请完成列联表,并依据小概率值的独立性检验,分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关,.,直线,点P 为PC AF ⊥22CD AD ==AEF PAB A =B =(|)P A B =(|)P B A =()P B =()P A ()P A B 0.005α=a b c d =+++⊥2BD AB ⊥上一动点（包括B ,C 两点）,Q 与P 关于直线OC 对称,记,,F 为垂足,,E 为垂足.（注:为弧度制的角）（1）记的长度为,线段PF 长度为,试将表示为的函数,并判断其单调性;（2）记扇形POQ 的面积为,四边形PEBF 面积为,求的值域.19．对于函数,若存在实数,使,其中,则称为“可移倒数函数”,为“的可移倒数点”.已知,.（1）设的可移-2倒数点”,求函数的单调区间;（2）设,若函数恰有3个“可移1倒数点”,求的取值范围. BCPOB θ∠=PF BD ⊥PE AB ⊥θ CP 1l 2l 12L l l =+θ1S 2S 12S S S =+()f x 0x 00)()1(f x f x λ+=0λ≠()f x λ0x ()f x λ()e x g x =()(0)h x x a a =+>2()()(x g x h x ϕ=()x ()x ϕ(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ωa参考答案1．答案：A解析：因为所以,故选:A.2．答案：B解析：甲,乙两人在决赛中相遇,甲,丙比赛中甲获胜,乙,丁比赛中乙获胜,故甲,乙两人在决赛中相遇的概率为.故选:B.3．答案：C 解析：当时,,当时,,当时,,当时,,故时,X 与Y 的关系最弱,故选:C.因为，311510a =--=3313()123510102E x =⨯+⨯+⨯=111224P =⨯=8m =2262(8181026) 1.10618443428K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯9m =2263(9181026)0.73919443528K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯14m =2268(10261418)0.00424444028K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯19m =2273(10261918)0.30529444528K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯14m =51140i i y ==∑所以，，，，，，解得.故选：C.5．答案：C解析：因为是偶函数,所以函数的图象关于对称,则,当时,,,则,即曲线在点处切线的斜率为2.故选:C.6．答案：A解析：令,因为,所以为偶函数.,因为当时,,,此时,所以在上单调递增.因为,,,1(1402828)287y =++=511285i i y y ='==∑1(7166)310y =⨯-=76035x --==1()4y m '=-3=16m =()1f x +()f x 1x =()()2=f x f x -32x >2x ∴-<()()()2ln 122ln 23f x x x ∴-=--=-⎡⎤⎣⎦()()ln 23f x x ∴=-()f x '=()22f '∴=()y f x =()()22f ,()()()F x xf x x =∈R ()(e e )(e e )()x x x x F x x x F x ---=--=-=()F x ()(e e )(e e )x x x x F x x --'=-++0x ≥00e e e e 0x x ---≥-=(e e )0x x x -+≥()0F x '≥()F x [0,)+∞0.70.70.72(2)(2)a f F =⋅=0.80.80.8111222b f F ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.70.70.70.70.70.70.7log 1.25(log 0.8)log 1.25(log 0.8)log 0.8(log 0.8)(log 0.8)c f f f F -=-⋅=⋅=⋅=因为,,,所以,所以,即.7．答案：A解析：由柏拉图多面体的性质可知,侧面均为等边三角形,四边形ABCD 为边长为1的菱形,又≌,所以,故四边形ABCD 为正方形,同理四边形BEDF 也为正方形.取AE 的中点K ,连接PK ,KQ ,则,同理,8．答案：B 解析：记函数,,首先证明其凹凸性:,在上为“凹函数”.由琴生不等式,得0.721>0.80.80.71222-⎛⎫=> ⎪⎝⎭0.70.7log 0.8log 0.71<=0.80.70.712log 0.802-⎛⎫>>> ⎪⎝⎭0.80.70.71(2)(log 0.8)2F F F -⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ac >>AEC △BED AC BD =1122PQ PK KQ DA EB =+=+1122MN DF AB =+11112222PQ MN DA EB DF AB ⎛⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 11114444DA DF DA AB EB DF EB AB=⋅+⋅+⋅+⋅11111cos6001111cos60444=⨯⨯⨯︒++⨯⨯+⨯︒⨯⨯=()1111x f x x x==---()0,1x ∈()21(1)f x x -=-'=- ()()432120(1)(1)x f x x x --=-=>--''()111f x x∴=--()0,112n x x x f n +++⎛⎫≤⎪⎝⎭9．答案：BD对于B,因为,所以,故B 正确;对于C,因为样本点都在直线上,所以样本数据呈线性相关,且为正相关,所以,故C 错误;对于D,因为,,所以,故D 正确.故选:BD.10．答案：BC解析：对于A,正四棱台的体积为对于B,如图,连接AC ,BD 相交于,连接,相交于,连接正四棱台的底面ABCD 为正方形,则,且底面ABCD ,又底面ABCD ,所以,因为,,则平面,又平面,所以平面平面,故B 正确;对于C,以为原点,,,所在的直线分别为x ,y ,z 建立如图所示的空间直角坐标系,12121111n n x x x n x x x ⎛⎫+++≥ ⎪---⎝⎭ 1212111n n x x x x x x =+++≥--- 12n x x x ==== n =2024=~(5,0.6)X B ()50.63E X =⨯=0.563y x =+(),i i x y 1r =~(0,1)N ξ(1)0.2P ξ>=(10)0.5(1)0.5(1)0.3P P x P x ξ-≤≤=-<-=->=1111ABCD A B C D -1211()(1636)33V S S h =++=+=2O 11A C 11B D 1O 12O O 1111ABCD A B C D -BD AC ⊥12O O ⊥BD ⊂12O O BD ⊥122AC O O O = 12,AC O O ⊂11AA C C BD ⊥11AA C C BD ⊂1BC D 1BC D ⊥11AA C C 2O 2O D 2O A 21O O则,,,,,,,,,,,所以,设平面的法向量为,由于,,则,令,所以所以又平面,所以平面,故C 正确;对于D,设平面的法向量为,由于,,则,令,所以设平面的法向量为,由于,,则,令,所以因为底面ABCD ,所以作为平面DAC 的一个法向量所以()A ()B -()0,C -()D (10,A (1B -(10,C -(1D (E ()20,0,0O (1O (AE =-1BC D (),,n x y z =()BD = (1DC =-- 10020n BD x z y n DC ⎧⋅===⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=--+=⎩⎪⎩1y =()0,1,2n = 0120AE n ⋅=-+=EF ⊂/1BC D //AE 1BC D 1DAD ()1111,,n x y z =()AD =- (1DD =1111111111100n AD x y x z n DD ⎧⋅=-==⎧⎪⇒⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩11x =()11,1,1n = 1DAD ()1111,,n x y z =()AD =- (1DD = 1111111111100n AD x y x z n DD ⎧⋅=-==⎧⎪⇒⎨⎨=⋅==⎩⎪⎩11x =()11,1,1n = 12O O ⊥(21O O =121121121cos ,n O O n O O n O O ⋅===⋅121,n O O ==故面角11．答案：BCD解析：,由,得,所以,即,所以,故A 错误;则,,因为在处的切线倾斜角小于,所以,所以令,得,令,得,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数的极小值点为,无极大值点,故D 正确,,又当时,,,所以函数仅有唯一零点,故C 正确.12．答案：解析：向量,,且,,,故.故答案为:.13．答案：0.9773解析：由题意,随机变量,其中,所以,1D DA C --()()e x f x ax b a =++'(1)()(2)()x f x x f x '+=+()()(1)e (2)e x x x ax b a x ax b +++=++()()22222ax a b x a b ax a b x b ++++=+++2a b b +=a b =()()2e x f x ax a +'=()()e x f x ax a =+()f x 0x =45︒()0021f a <=<'0a <<()()2e 0x f x ax a =+>'2x >-()()2e 0x f x ax a =+<'<2x -()f x (),2-∞-()2,-+∞()f x 2-()()2min 20eaf x f =-=-<2x <-()()1e 0x f x a x =+<()10f -=()f x 1-21-(1,2,3)m n a =-+ (3,41,25)b m n =+-//a b 241m m -==+7=-14n =-21m n +=-21-(),B n p ξ~2500n =p =()()()2211125001250,12500125222E X np D X np p ⎛⎫==⨯==-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭又因为且,由中心极限定理可知服从正态分布,故答案为:0.9773.解析：记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为.在正方体中,每一个顶点有3个相邻的点,其中两个在同一底面,所以依题意可知所以,所以是首项为所以,所以15．答案：（1）（2）拟合效果符合要求,理由见解析解析：（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得:,设,则,12505np =>()15n p ->η()21250,25N ()()()1300125012501300P P P ηηη<=≤+<<0.95450.50.977250.9773.2=+=≈1132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭n P 1P =222113333P =⨯+⨯=()12111333n n n n P P P P +=+-=+1111232n n P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭112P -=11111126323n n n P -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123nn P ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭20.658.4y x =+()1123455x =++++=()15961646873655=++++=2t x =2y bx a bt a =+=+()22222112345115=++++=则,.所以,回归方程为.（2）将x 值代入可得估计值分别为59,60.8,63.8,68,73.4,则残差平方和为.因为,所以回归方程拟合效果符合要求.16．答案：（1）证明见解析解析：（1）四边形为矩形,,平面,平面,,又,,平面,平面,又平面, .,点E 是的中点,.又,,平面,平面.平面,.又,,,平面,平面,平面,.（2）如图,因,,两两垂直,故可以A 为坐标原点,,,所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则,,,,()()()515212170.6374iii i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑650.61158.4a y bt =-=-⨯=20.658.4y x =+()()()()()2222259596160.86463.868687373.40.24-+-+-+-+-=0.240.5<20.658.4y x =+ ABCD ∴CD AD ⊥ PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD ∴PA CD ⊥PA AD A = PA AD ⊂PAD ∴CD ⊥PAD AE ⊂PAD ∴CD AE ⊥ PA AD =PD ∴AE PD ⊥PD CD D = PD CD ⊂PCD ∴AE ⊥PCD PC ⊂PCD ∴PC AE ⊥EF PC ⊥AE EF E = AE EF ⊂AEF ∴PC ⊥AEF AF ⊂AEF ∴PC AF ⊥AB AD AP AB AD AP ()0,0,0A ()0,0,1P ()2,1,0C ()0,1,0D,.由（1）可知,可看成平面的一个法向量,可看成平面的一个法向量.设平面与平面的所成角为,平面与平面17．答案：（1）（2）表格见解析,有关;解析：（1）因为所以由于,解得,解得（2）根据列联表中的数据,经计算得到.根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为期末统考中的数学成∴()2,1,1PC =- ()0,1,0AD =()0,1,0AD =PAB ()2,1,1PC =-AEF AEF PAB θ∴cos AD PC AD PC θ⋅=== sin θ=∴AEF ()P A =()16P A B =(|)P A B =(|)P B A =(|)1(|)P A B P A B =-=(|)1(|)B A P B A =-=(|)()(|)()P A B P B P B A P A ⋅=⋅()P A =()A =()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅()P A B =()220.005362084497.87924121224x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯0.005α=0H绩与建立个性化错题本有关,此推断犯错误的概率不大于0.005.18．答案：（1）在上单调递减（2）S 的值域为解析：（1）因,则由题意知,由题意可得,,圆半径为1,所以,又,所以恒成立,所以在上单调递减.（2）由题意可得,因为,所以四边形为矩形,于是,所以,其中,求导得,令得则可得如下表格:12π1cos 2L l l θθ=+=-+-π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ62⎡⎤+⎢⎥⎣⎦POB θ∠=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2COP θ∠=-1π2l θ=-21cos l PF OB OE θ==-=-12π1cos ,02L l l θθθ=+=-+-<<1sin 0θ=-'+<12π1cos 2L l l θθ=+=-+-π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦211ππ21222S θθ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭,PF BD PE AB ⊥⊥PEBF ()2sin 1cos S PE BE θθ=⋅=-()12πsin 1cos 2S S S θθθ=+=-+-π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()1cos 1cos sin sin 1cos cos 2cos 12cos S θθθθθθθθ=-+-+⋅=-+-=-'0S '=cos θ==max =所以S 的值域为.19．答案：(1)单调递增区间为,,递减区间为;(2).的可移-2倒数点”,得,即,整理,即,解得,由的定义域为R ,求导得,当时,,单调递增;时,,单调递减;时,,单调递增,所以的单调递增区间为,,递减区间为.（2）依题意,,由恰有3个“可移1倒数点”,得方程恰有3个不等实数根,①当时,,方程可化为,解得这与不符,因此在内没有实数根;②当时,,方程,该方程又可化为.设,则,因为当时,,所以在内单调递增,又因为,所以当时,,因此,当时,方程在内恰有一个实数根;当时,方程在内没有实数根.③当时,没有意义,所以不是的实数根.ππ62⎡⎤+⎢⎥⎣⎦(,3)-∞-(1,)-+∞()3,1--()2,e ()x )21h h =)21aa -+=()2210a a ++-=()()110a a +-=1a =2()()e 1x x x ϕ=+()()()()2e (1)2e 1e 13x x x x x x x x ϕ=+++=++'(),3x ∈-∞-()0x ϕ'>()x ϕ()3,1x ∈--()0x ϕ'<()x ϕ()1,x ∈-+∞()0x ϕ'>()x ϕ()x ϕ(,3)-∞-(1,)-+∞()3,1--e ,0()1,0x x x x x aω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩()x ω()()11x x ωω+=0x >10x +>()()11x x ωω+=21e 1x +=x =0x >()0,+∞()()10x x ωω+=10x -<<10x +>()()1x x ωω+=1=1e x a x +=-()1e x k x x +=-()1e 1x k x +='-()1,0x ∈-()0k x '>()k x ()1,0-()()12,0e k k -==()1,0x ∈-()()2,e k x ∈()2,e a ∈()()11x x ωω+=()1,0-(][)0,2e,a ∈+∞ ()()11x x ωω+=()1,0-=1x -()10,1x x ω+=+=1x -()()11x x ωω+=④当时,,方程,化为,于是此方程在内恰有两个实数根,则有,解得因此当在内恰有两个实数根,当在内至多有一个实数根,综上,a 的取值范围为.1x <-10x +<()()1x x ωω+=111x a =++()222110x a x a a ++++-=(),1-∞-()()()22221410211212110a a a a a a a ⎧+-+->⎪⎪+-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()()11x x ω+=(),1-∞-0a <≤()()11x x ω+=(),1-∞-()()2,e )2,e +∞=。

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龙岩一中2008-2009学年第一学期第五次月考高三数学（文）试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：邱星明）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上．1．设集合{}|2,x M y y x R ==∈，集合{}2|,P y y x x R ==∈，则下列结论正确的是.A {}2,4M P = .B {}4,16M P = .C M P ≠⊂ .D M P =2．已知数列}{n a 为等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，47=a ，则85S S -的值为A ．9B ．12C ．16D ．643．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如右图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90k m /h 的约有A ．100辆B ．200辆C ．300辆D ．400辆4．要得到函数cos 2y x =的图象，只需将函数cos 2y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象 A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位5．已知a ,b ∈R，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是A ．a 2>b 2B ．(21) a <(21)b C ．lg (a －b )>0 D ．ba>1 6．已知定义在R 上的偶函数)(x f 在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使0)(>x f 的x 取值范围是A ．)2,(-∞B ．)2,2(-C ．),2()2,(+∞--∞D ．),2(+∞7．“12a <<”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若椭圆2215x y m +=的离心率e =,则m 的值为 A ．1 B．3或2539．已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题①若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥． ②若α⊂m ，α⊂n ，mβ，n β，则αβ．③如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交． ④若m αβ=，n ∥m ，且βα⊄⊄n n ,，则n ∥α且n ∥β．其中正确命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1 10．如图一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为 A ．1 B ．21C ．31D ．6111．设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，12．已知直线12(1,3),(1,)l a l b k ==-的方向向量为直线的方向向量，若直线l 2经过点（0，5），且221,l l l 则直线⊥的方程为A ．053=-+y xB ．0153=-+y xC ．053=+-y xD ．0153=+-y x第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．注意把解答填入到答题卷上．俯视图侧视图主视图13．已知向量1(,sin ),()22a b αα==v v ，且a v 与b v 共线，则锐角α等于 ．14．当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ． 15．直线20x y +-=上的点和圆()()226618x y -+-=上的点的最短距离是 ． 16．已知函数：c bx x x f ++=2)(，其中：40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件：⎩⎨⎧≤-≤3)1(12)2(f f 的事件为A ，则事件A 发生的概率为______． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．注意把解答填入到答题卷上． 17．（本小题满分12分）已知()1f x a b =⋅-，其中向量a,cos x x ），b ＝（1，2cos x ）（x R ∈） （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()2f A =，a =4B π=，求边长b 的值．18．（本小题满分12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）两数中至少有一个奇数的概率；（3）以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率．19．（本小题满分12分）如右图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方 形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA平面EFG ；（2）求三棱锥P EFG -的体积．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈（1）求3a ；（2）令1n n n b a a +=-，证明：数列{}n b 是等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．21．（本小题满分12分）已知函数).(3232)(23R ∈+-=x x ax x x f （1）若1=a ，点P 为曲线)(x f y =上的一个动点，求以点P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数),0()(+∞=在x f y 上为单调增函数，求a 的取值范围．22．（本小题满分14分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点为（-1,0）和（1,0），椭圆C 上的点到两个焦点的距离和为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．龙岩一中2008-2009学年第一学期第五次月考高三数学（文）参考答案二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．6π 14．5m -≤ 15． 16．85三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）解：⑴f (x)＝a ·b －1，cosx ）·（1，2cosx ）－1 ＋2cos 2x －1sin2x ＋cos2x ＝2sin （2x ＋6π） 3分 由2k π－2π≤2x ＋6π≤2k π＋2π 得k π－3π≤x ≤k π＋6π ∴f (x)的递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ （k ∈Z ）6分⑵f (A)＝2sin （2A ＋6π）＝2 ∴sin （2A ＋6π）＝1∴2A ＋6π＝2π∴A ＝6π9分 由正弦定理得： sin 21sin 2a Bb A===b 12分18．（本小题满分12分）解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件 1分 （1）记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P （A ）=41369=； 答：两数之和为5的概率为19． 4分 （2）记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，所以P （B ）=931364-=； 答：两数中至少有一个奇数的概率34． 8分 （3）基本事件总数为36，点（x ，y ）在圆x 2+y 2=15的内部记为事件C ，则C 包含8个事件，所以P （C ）=82369=．答：点(x,y)在圆x 2+y 2=15的内部的概率29． 12分 19．（本小题满分12分）（1）证法1：如图，取AD 的中点H ，连接,GH FH ，∵,E F 分别为,PC PD 的中点，∴EF CD ． ∵,G H 分别为,BC AD 的中点，∴GH CD ．∴EFGH ．∴,,,E F H G 四点共面．………………………………………………………………2分 ∵,F H 分别为,DP DA 的中点，∴PAFH ．……………………………………4分∵PA ⊄平面EFG ，FH ⊂平面EFG ， ∴PA平面EFG ．……………………………………………………………………6分证法2：∵,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点， ∴EF CD ，EG PB ．……………………………………………………………2分 ∵CDAB ，∴EFAB ．又EF PAB AB PAB ⊄⊂面，面EFPAB EG PAB 面，同理面 …………………4分∵EFEG E =，∴平面EFG平面PAB ． …………………5分∵PA ⊂平面PAB ，∴PA 平面EFG ． …………………………………………6分（2）解：∵PD ⊥平面ABCD ，GC ⊂平面ABCD ，∴GC PD ⊥．∵ABCD 为正方形，∴GC CD ⊥．∵PD CD D =，∴GC ⊥平面PCD ．……………………………………………8分∵112PF PD ==，112EF CD ==，∴1122PEF S EF PF ∆=⨯=．……………10分 ∵112GC BC ==，∴111113326P EFG G PEF PEF V V S GC --∆==⋅=⨯⨯=．…………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）∵*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈321327a a a ∴=-= …………………2分（2）证明：2132,n n n a a a ++=-21112*2112(),1,3,2().6n n n n n n n na a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴=∈-分{}n b ∴是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列． ………………7分 （3）由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+12*22...2121().n n nn N --=++++=-∈ ………………12分21．（本小题满分12分）解：（1）设切线的斜率为k ，则22()2432(1)1k f x x x x '==-+=-+ ………2分又35)1(=f ，所以所求切线的方程为：135-=-x y …………4分 即.0233=+-y x …………6分 （2）342)(2+-='ax x x f ， ∵)(x f y =为单调增函数，∴()0f x '≥ 即对任意的0)(),,0(≥'+∞∈x f x 恒有 …………8分0342)(2≥+-='ax x x fxx x x a 4324322+=+≤∴ …………10分 而26432≥+x x ，当且仅当26=x 时，等号成立.所以a ≤ …………12分22．（本小题满分14分）解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得：222213a c b a c ==∴=-=，， …………3分 ∴椭圆的标准方程为22143x y +=． …………5分（2）设1122()()A x y B x y ，，，．联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得:222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， …………6分则 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，， …………8分 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+．因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---． …………9分1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k --∴+++=+++．2271640m mk k ∴++=． …………10分解得：12227k m k m =-=-，，且均满足22340k m +->． …………11分当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，，与已知矛盾；…………12分当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，． …………13分 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，． …………14分。

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