四川理工学院第二次模拟赛

四川理工学院第二次模拟赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 题我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：四川理工学院参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2012 年 8 月 21 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：四川理工学院第二次模拟赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：公园内道路设计问题摘要题目要求讨论的是公园内道路设计的最优化问题，采用规划模型、逐步优化、化复杂为简单解决了题中所给的各个问题。

对于问题一，要考虑8个路口和4个交叉点共12个点的最短途径，题目相对复杂。

运用MATLAB 软件，结合“任意两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的4.1倍”的约束条件，将无需借助交叉点即可满足4.1倍前提的点从考虑范围内剔除。

运用floyd 算法和k r u s k a l 算法求最短路径的思想，从D C 、、、B A 四个交叉点依次寻找与87654321p p p p p p p p 、、、、、、、的最短距离，运用图解法得到初步路线图。

通过逐步逼近和“借路原则”得到最短路程，即新修路总长为5.388米。

问题二中去掉了交叉点的限制，变成了可以任意修建道路的情形。

为了达到最短距离，发现节点不能太少也不能太多，节点太少的话，会出现：问题1，因为节点少许多路径都需要直接连接到终点（即相应的入口），路径之间交点太少，这就会导致公用路径少，道路总和增加；问题2，如果公用路径比较多，那么很有可能2入口之间的道路大于他们最短距离的1.4倍。

节点太多的话，会导致无意义的道路产生增加成本。

所以节点需要适中。

我们根据需要连接的路径来逐个考虑从单一到多个，局部优化，最后将得到的道路再进行优化。

经计算验算，如果3个点由几条路径连接，就可以将它进行优化。

最后得到最后结果为0.382米。

对于第三问，增加了湖根据假设，湖边的道路距离不计入新修建道路的总长，因此在第二问的基础上，利用湖边的道路对道路修建方案进行进一步优化，再次利用交替迭代优化算法，逐步求解得到最终结果1.321米。

关键字：最短路径 folyd 算法 费马点 局部优化 图分析法一、问题的提出西安某大学计划建一个形状为矩形或其他不规则图形的公园，不仅为了美化校园环境，也是想为其学生提供更的生活条件。

公园计划有若干个入口，现在你需要建立一个模型去设计道路让任意两个入口相连（可以利用公园四周的边，即默认矩形的四条边上存在已经建好的道路，此道路不计入道路总长），使总的道路长度和最小，前提要求是任意的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的1.4倍。

主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园，其相关数据为：长200米，宽100米，1至8各入口的坐标分别为：P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50),P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25).示意图见图1，其中图2即是一种满足要求的设计，但不是最优的。

现完成以下问题：问题一：假定公园内确定要使用4个道路交叉点为：A(50,75)，B(40,40)，C(120,40)，D(115,70）。

问如何设计道路可使公园内道路的总路程最短。

建立模型并给出算法。

画出道路设计，计算新修路的总路程。

问题二：现在公园内可以任意修建道路，如何在满足条件下使总路程最少。

建立模型并给出算法。

给出道路交叉点的坐标，画出道路设计，计算新修路的总路程。

问题三：若公园内有一条矩形的湖，新修的道路不能通过，但可以到达湖四周的边，示意图见图3。

重复完成问题二的任务。

其中矩形的湖为R1(140,70),R2(140,45),R3=(165,45),R4=(165,70)。

注：以上问题中都要求公园内新修的道路与四周的连接只能与8个路口相通，而不能连到四周的其它点。

图 1 公园及入口示意图图 2 一种可能的道路设计图图3 有湖的示意图二、基本假设1、认为每一个入口都是一个质点，不占用空间位置；2、交叉点的修建不影响道路总长；3、假设公园地面平整无凹陷和突起；4、假设所有的点之间均是直线连接，不受地理因素的限制；5、假设湖边的道路距离不计入新修建道路的总长。

三、问题一3.1 问题的分析根据题目中所给的“任意两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的4.1倍”的限制条件，我们可以将解题过程分为以下三个步骤：1、将无需借助交叉点即可满足4.1倍前提的点从考虑范围内剔除，这样剩下的一对对点，下文称“自由对”。

这样就可以将问题简化，只需要考虑少数点通过D、、CA、B相连的情况。

2、找出“自由对”，根据folyd算法思想，考虑任意不满足4.1倍原则的点经过、A、、四点的最短路径，得到一个初步图形。

CBD3、对初步模型运用逐步逼近原则进行优化得到最优模型。

3.2 模型建立与求解3.2.1“自由对”的确定根据“任意两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的4.1倍”的限制条件，即ij ij l S ⨯≥4.1ij S 为j i p p ~之间仅仅通过边界路线的最短距离，ij l 为j i p p ~的直线距离。

运用MATLAB来计算上式（程序见附录1）：表1 各入口直线距离的1.4倍表2 仅仅通过边界路线的最短距离可以得到51~p p 、61~p p 、81~p p 、52~p p 、62~p p 、72~p p 、43~p p 、53~p p 、63~p p 、73~p p 不符合ij ij l S ⨯≥4.1的条件，只需对这些点进行规划。

3.2.2初步图形的确立运用MATLAB 将所有的“自由对”用直线相连可得：入口 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 42 196 261.5 198.0 141.6 140.7 44.8 2 0 0 154 221.4 170.9 141.6 150.8 78.3 3 0 0 0 89.6 150.8 224. 252.4 226.7 4 0 0 0 0 132.1 241.4 275.1 282.2 5 0 0 0 0 0 119 154 198.1 6 0 0 0 0 0 0 35 115.9 7 0 0 0 0 0 0 0 105.9 80 0入口 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 30 140 230 240 155 130 45 2 0 0 110 200 270 185 160 75 3 0 0 0 90 220 295 270 185 4 0 0 0 0 130 215 240 225 5 0 0 0 0 0 85 110 195 6 0 0 0 0 0 0 25 110 7 0 0 0 0 0 0 0 85 80 0图4 所有“自由对”连线从图4中可以知道81~p p 、43~p p 是已经确定的，所以可以先不用考虑。

而且可以得到72~p p 的路径()274.18.1501477812l H =≤=---，这样又解决了72~p p 。

现在考虑剩下的“自由对”，它们都必须经过D C B A 、、、四个交叉点中的其中一些，可以考虑从交叉点建立联系。

根据floyd 最短路径思想，首先考虑C ，确定到C 路程最短的入口：图5 第一步分析由图4可以知道与C 相连的入口只能是3p 。

同理可以得到D 与5p 相连：图6第二步分析因为C 、D 都是交叉点，即经过C 、D 的道路条数大于等于2。

根据53~p p 之间的4.1倍约束，所以可以确定C 、D 一定相连。

图7 第三步分析81~p p 的连接方式是固定的，所以直接连接：图8 第四步分析同理可以根据53~~~p D C p 的方法，B 和与它距离最近的入口相连，A 也和距离它最近入口相连，再根据路程最短的约束条件，直接连接A 、B 可以得到62~~~p A B p 的连接方式：图9 第五步分析图9中不能保证52~p p 满足4.1倍原则，()254.19.1708.191562l A B H =≥=----。

所以考虑连接C B ~、D B ~、D A ~、C A ~、5~B 、5~A 。

计算可得：C B ~:()1.18252=----D C B H ;D B ~:()4.15252=---D B H ; D A ~:()2.17352=----D A B H ;C A ~:()7.21652=-----D C A B H ; 5~B :()1.14352=--B H ; 5~A :()0.16052=---A B H 。

9.17025=l 。

可以得出满足条件的组合是D B ~、5~B 、5~A 。

再根据限制条件二：总的道路长度和最小。

8.80=BD l ；1005=B l ；3.745=A l ，所以可以得知方案5~A 最优。

图10 第六步分析最终可以得到初步模型：图11 初步模型可以求得总路程6.394=S 米。

3.2.3模型的优化问题一中说“确定要使用4个道路交叉点”，所以可以添加其他的交叉点。

对于D 、3、4三点可以运用lingo 软件找到到三点距离最近的点()6.21,4.158Q （见附录2）。

在应用MATLAB 画出图像，得到优化后的模型：图12 改进后的模型这样求得总路程5.388=S 米。

四、问题二Q4.1问题的分析问题二与问题一有不同之处，对于问题二而言，可以任意在公园修路。

依然可以应用问题一中交叉点的思想，这样影响路径长短的因素就有交叉点的个数和位置有关。

由问题一可知81~p p 、43~p p 这两条路是可以独立开来的，所以将问题简化为建立321p p p 、、与5p 、6p 、7p 的交叉点连线。

最后运用费马点原理进行优化，1.4倍最短距离进行限制得出模型。

4.2模型的建立与求解 4.2.1初步模型的建立在问题一中可以先当作81~p p 、43~p p 是独立开来的，可以先连接81p p ，43p p ：图13 步骤一可以发现71~p p 与72~p p 满足条件因此又可以少考虑2个自由对。