第五章 梁的应力

M y σ = Iz
σ − 横截面上任一点的处的正应力
M − 横截面上的弯矩 y－横截面上任一点的纵坐标 I Z − 横截面对中心轴Z的惯性矩
公式的使用条件和范围
的增大而增大。 为负 为负， （1）纤维变形及应力都随 的增大而增大。若y为负，则产生压 ）纤维变形及应力都随y的增大而增大 缩变形，应力为压应力。 缩变形，应力为压应力。 （2）公式适用于比例极限范围内 。 ） 上述公式可以推广到横力弯曲。 （3）当梁的 l >5h 时，上述公式可以推广到横力弯曲。 ） 的符号由变形来判断。 （4）σ、y 的符号由变形来判断。 ） （5）由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面，而且适用于 ）由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面， 其它一些截面， 字形梁， 其它一些截面，如：T字形梁，工字形梁，圆截面梁，等等。同 字形梁 工字形梁，圆截面梁，等等。 时我们可以给出各种梁的正应力分布情况。 时我们可以给出各种梁的正应力分布情况。 （6）一些工程实例： ）一些工程实例： 大桥做成拱状。赵州桥，最早的石拱桥。 大桥做成拱状。赵州桥，最早的石拱桥。 水泥预制板，中间做空，下面加筋（钢筋或竹筋） 水泥预制板，中间做空，下面加筋（钢筋或竹筋） 梁式起重机大梁，箱形截面或工字形截面。 梁式起重机大梁，箱形截面或工字形截面。
三、惯性积
y z dA
ρ
定义：面积元素 与其分别至 轴和z轴距离的 与其分别至y轴和 定义：面积元素dA与其分别至 轴和 轴距离的 乘积yzdA,称为该面积元素对于两坐标轴的惯性 乘积 称为该面积元素对于两坐标轴的惯性 积
二、实验观察
o
实验前，在变形前的杆件上作纵向线aa和 实验前，在变形前的杆件上作纵向线aa和bb, 并作垂直于纵 向线的横向线mm和nn，如上图所示。 向线的横向线 和 ，如上图所示。 变形后，我们发现: 变形后，我们发现 aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长； 弯成弧线， 缩短 缩短， 伸长 伸长； 、 弯成弧线 mm和nn仍为直线，并且仍然与已经成为弧线的 ′a′和b′b′垂 和 仍为直线 并且仍然与已经成为弧线的a 仍为直线， 只是相对的转过了一个角度。 直，只是相对的转过了一个角度。 矩形截面的宽度变形后上宽下窄
三、理论分析
从以下三方面来分析： 从以下三方面来分析： 1、变形几何关系 、 1靠近凹入的一侧，纤维缩短， 靠近凹入的一侧，纤维缩短， 靠近凸出的一侧，纤维伸长； 靠近凸出的一侧，纤维伸长； 2由于纤维从凹入一侧的伸长或 缩短到突出一侧的缩短或伸长是 连续变化的，故中间一定有一层， 连续变化的，故中间一定有一层， 其纤维的长度不变， 其纤维的长度不变，这 层纤维称 中性层。 为中性层。中性层与横截面的交 线称为中性轴； 线称为中性轴； 中性轴 3弯曲变形时，梁的横截面绕中 弯曲变形时， 性轴旋转。 性轴旋转。
由（3）式： ）
M z = ∫ yσ d A = ∫ yE
A A
y
ρ
dA=
E
ρ∫
A
y dA=
2
E
ρ
Iz = M
式中
∫
y 2 dA ,为截面对 轴的惯性矩 为截面对Z轴的 为截面对 轴的惯性矩 A
惯性矩是一个仅与横截面的形状及尺寸有关的几何量， 惯性矩是一个仅与横截面的形状及尺寸有关的几何量，代表横截面 是一个仅与横截面的形状及尺寸有关的几何量 的一个几何性质，单位为m 的一个几何性质，单位为 4。 ∫ 令
目
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4
录
梁的纯弯曲的正应力 梁惯性矩的计算 梁弯曲时的强度计算 提高梁抗弯强度的措施
§5-1 概述
一、回顾 在上一章第二节中，我们曾经讲过，横截面上的剪力 是 在上一章第二节中，我们曾经讲过，横截面上的剪力Q是 与横截面相切的内力系的合力，而弯矩M是与横截面垂直的内 与横截面相切的内力系的合力，而弯矩 是与横截面垂直的内 力系的合力偶矩，因此，梁横截面上有剪力Q时 力系的合力偶矩，因此，梁横截面上有剪力 时，就必然有剪 有弯矩M时 如下图所示。 应力 τ ，有弯矩 时，就必然有正应力 σ ,如下图所示。
I z = ∫ A y 2 dA
由此得到梁弯曲时中性层的曲率为
1
M = ρ EI z
1
ρ
为梁轴线变形后的曲率； EI z 称为梁的弯曲刚度
由变形几何关系得到 ε = 由物理关系得到 由静力学关系得到
y
ρ
∫
σ = Eε = E
M = ρ EI z 1
y
ρ
综上分析，可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式： 综上分析，可以得到梁纯弯曲时横截面上的弯曲正应力计算公式：
平面图形对坐标原点o的 极惯性矩： y
I ρ = ∫A ρ 2dA
Iρ
o z
= ∫ ρ dA = ∫ ( y
2 A A 2 2 A A
2
+ z dA
2
)
= ∫ z dA + ∫ y dA = Iy + Iz
要点： 图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和， 要点 ： 图形对于任意一对互相垂直轴的惯性矩之和 ， 等于它对该两轴交点的极惯性矩。 等于它对该两轴交点的极惯性矩。
σ max
Me
y
σ = Eε = E
y
τ = Gγ = 0
ρ
物理意义： 物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 规律变化。 规律变化。 由上式还可看出： 由上式还可看出：当 y=0时， = 0 即：在中性层上各点处的应 时 σ 力值为零。 力值为零。
第五章 弯曲应力
基 本 要 求 1.明确纯弯曲和横力弯曲的概念，掌握推导弯曲正应力 明确纯弯曲和横力弯曲的概念， 公式的方法。 公式的方法。 2.熟练掌握弯曲正应力的计算、强度条件及其应用。 熟练掌握弯曲正应力的计算、强度条件及其应用。 3.了解提高梁强度的一些主要措施。 3.了解提高梁强度的一些主要措施。 了解提高梁强度的一些主要措施
对上面的实验结果进行判断和推理， 对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下 的结论（ 两个假设） 的结论（即两个假设）： （1）、平面假设： ）、平面假设： 平面假设 梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面， 梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍 然垂直于变形后的梁轴线， 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一 个角度，这就是弯曲变形的平面假设。 个角度，这就是弯曲变形的平面假设。 （2）、单向受力假设： ）、单向受力假设： 单向受力假设 假设各纵向纤维之间互不挤压。 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单 向受拉或受压的状态。 向受拉或受压的状态。
微面积对z轴的惯性矩： y z dA
ρ
y2dA
微面积对y轴的惯性矩：
z2dA
整个平面图形对z、y两轴的惯性矩： y
I z = ∫ y2dA
A z
o
I y = ∫ z2dA
A 量纲：长度四次方
二、极惯性矩
y z dA
ρ
定义：面积元素 与其坐标原点距离平方的乘 定义：面积元素dA与其坐标原点距离平方的乘 称为面积元素对于o点的极惯性矩或截面 积p2dA称为面积元素对于 点的极惯性矩或截面 称为面积元素对于 二次极矩。 二次极矩。
Me
y
x σ dA
式中
为截面图形对Z轴的 为截面图形对 轴的静矩 ∫A yd A = yC . A = S Z ,为截面图形对 轴的静矩
z y
静矩是一个与 轴有关的几何量 它是代数量，单位为m 静矩是一个与Z轴有关的几何量，它是代数量，单位为 3。由于 是一个与 轴有关的几何量， E 不可能为零，所以S 故 ＝ ； ρ 不可能为零，所以 Z=yc.A=0,故yc＝0；即中性轴必然通过 截面的形心，这样确定中性轴的位置。 截面的形心，这样确定中性轴的位置。 由（2）式得： ）式得：
F
x
一、回顾 推导圆轴扭转时横截面上剪应力计算公式时， 推导圆轴扭转时横截面上剪应力计算公式时，综合考虑了 几何，物理和静力学三个方面的关系。 几何，物理和静力学三个方面的关系。因为圆轴扭转时横截面 上剪应力计算问题属静不定问题。 上剪应力计算问题属静不定问题。 要点：纯弯曲时横截面上的正应力计算同样属静不定问题， 要点：纯弯曲时横截面上的正应力计算同样属静不定问题，求解 时同样需综合考虑几何、物理和静力学三方面的关系。 时同样需综合考虑几何、物理和静力学三方面的关系。 （一）几何关系： 几何关系： 1．纯弯曲实验： ．纯弯曲实验： 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验: 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验
( ρ + y) d θ − ρ d θ ε= ρ dθ
即：
ε =
y
ρ
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比 由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直， 由实验观察，横截面变形后仍保持为平面，且仍与轴线垂直，γ=0
2、物理关系(应力、应变关系） 应力、应变关系）
假设纵向纤维之间不存在相互挤压， 假设纵向纤维之间不存在相互挤压， 那么当应力小于比例极限时， 那么当应力小于比例极限时，可用单 向拉伸时的虎克定律： 向拉伸时的虎克定律：
ρ ：中性层的曲率半径。 中性层的曲率半径。
对称轴
o z
中性轴
y
求距中性层为 y 处的纤维 bb 的变形： 的变形： 变形前： 变形前： bb = oo = d x = ρdθ 变形后： 变形后： o′o′ = oo = ρdθ = dx
o
o
b'b' = ( ρ + y ) d θ
∴ bb的线应变为
y
z(中性轴 中性轴) 中性轴
σdA
另外由 分离体 的平衡