清华大学微积分(高等数学)课件第13讲_不定积分(一)
高等数学(微积分)ppt课件
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
高数之不定积分
有理函数的不定积分可以通过有理函数的分解来进行求解。对于形如 (f(x) = frac{P(x)}{Q(x)}) 的有理 函数，其中 (P(x)) 和 (Q(x)) 是多项式，可以将 (f(x)) 分解为多项式和简单分式的和，然后分别对各项 进行积分，最后求得整个函数的不定积分。
03
不定积分的运算技巧
不定积分表的使用
查阅公式
不定积分表包含了大量常见函数的积分公式， 方便学生快速查阅。
简化计算
使用不定积分表可以简化复杂的积分计算过 程，提高解题效率。
避免错误
对于初学者来说，不定积分表可以避免在记 忆和推导过程中出现错误。
注意事项
使用不定积分表时需要注意公式的适用范围 和条件，以及公式的推导和证明。
求解反常积分
反常积分（无穷积分）也可以通 过不定积分来求解，通过不定积 分得到原函数，再根据反常积分 的定义进行计算。
求解函数的零点
对于某些函数，通过不定积分可 以找到函数的零点，或者在求解 过程中作为中间步骤。
在物理问题中的应用
解决动力学问题
01
在经典力学中，不定积分常用于解决与速度、加速度和力相关
03
求解高阶微分方程
不定积分可以用来求解一阶常微 分方程，通过不定积分得到原函 数，再代入初值条件求解。
对于高阶微分方程，不定积分可 以用来求解部分特解，或者在求 解过程中作为中间步骤。
在函数求值中的应用
计算定积分
不定积分是计算定积分的基础， 通过不定积分得到原函数，再根 据定积分的定义计算定积分。
高数之不定积分
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的运算技巧 • 不定积分的应用 • 常见不定积分公式与表格
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
清华大学微积分课件(全)x66_ppt课件
3 d ) rdr 0(r 1 2
1 2
D
11
[解法2] 利用Gauss公式
补上底面 S 1:
S : z 1 x y
2
2 2
2
z 0 , x y 1
xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy S
S
1
z
n
y
SS 1
o
n1
D xy
D xy
Z dx ^ dy 0 Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 2 )
1
S3
同理可证
Z Zdx ^ dy dV 比较 ( 1 ) 式与 (2 ) 式 ,可以得到 z S
X Xdy ^ dz dV , x S
S3
n
Z [ x ,y ,z ( x ,y )] dxdy ( 1 ) 1
2018/11/16
D xy
9
另一方面,曲面积分
S外
Zdx ^ dy Zdx ^ dy Zdx ^ d Zdx^ dy
S 1 S 2 S 3
[注意] Z [x ,y ,z ( x , y )] dxdy 2
z
n
y
T 2 2 v ( x ,y , z ), dS 1 4 x 4 y d o D xdy ^ dz ydz ^ dx zdx ^ dy
S
2 2 x v ndS (x y 1 ) d
S 2
0
2018/11/16
2若 向 向 曲 量 面 场
定1 理 ： 设 为空间有 ,其 界 边 S 是 闭 界 分 域
清华大学数学(社科类)Lecture12不定积分
大学数学(1)清华大学数学科学系 Office: 理科楼A302 Tel: 62798531 张立平Email: lzhang@第五章 不定积分§1.不定积分的概念和性质 原函数和不定积分 不定积分的性质 基本积分公式 微分的逆运算不定积分的研究目的 已知物体的运动规律(路程与时间的函数) s=s(t) 则物体的瞬时速度 v=ds/dt 已知物体的瞬时速度v=v(t),怎么求物体的运动规 律(路程与时间的函数)s=s(t)呢? 不定积分运算的目的: 已知一个函数的导数和微 分,求该函数.原函数和不定积分Def. 函 数 F ( x )与 f ( x ) 在 区 间 I 有 定 义 且 处 处 都 有 F '( x ) = f ( x ) 或 dF ( x ) = f ( x ) dx , 则 称 F ( x )为 f ( x ) 在 区 间 I 上 的 一 个 原 函 数 .【 例 】 sin x是 co s x的 原 函 数 ， − c os x是 s i n x的 原 函 数 .Question : 原函数存在吗？唯一吗？Thm.(原函数存在定理)若函数f ( x)在区间I 连续，则在区间I 上存在可导函数F ( x)，满足 F '( x) = f ( x) 即连续函数一定有原函数。
∀x ∈ I .Thm.若函数 F ( x )是 f ( x )在区间 I 上的一个原函数， 则 F ( x ) + C (C 是任意常数 )也是 f ( x )的原函数。
证.因F ( x)是f ( x)在区间I 上的一个原函数，故F '( x) = f ( x).从而 ( F ( x) + C ) ' = f ( x)，所以F ( x) + C是f ( x)的原函数。
设G( x)也是f ( x)的原函数，则G '( x) = f ( x), 从而有G '( x) = F '( x). 由拉格朗日中值定理推论2，G( x) = F ( x) + C.注: 原函数存在且有无穷多个Def.函数F ( x)是f ( x)的一个原函数，C是任意常数，称F ( x) + C 为f ( x)的不定积分，记作∫ f ( x)dx, 即∫ f ( x)dx = F ( x) + C.Remark.(1)∫ f ( x)dx = F ( x) + C∫: 积分号，f ( x)：被积函数，x：积分变量，C : 积分常数 (2)f ( x)的不定积分∫ f ( x)dx就是f ( x)的全体原函数. (3) ∫ f ( x)dx = ∫ dF ( x) = F ( x) + C (必须加积分常数C )(4)求不定积分与求导求微分互为逆运算： ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) 或 反过来， d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx. 或∫ F '( x)dx = F ( x) + C∫ dF ( x) = F ( x) + C.一组曲线在同一点切线平行【 例 】 求 不 定 积 分 ∫ 3 x dx . 1 【 例 】 求 不 定 积 分 ∫ dx . x 1 1 解 ： ∵ (ln | x |) ' = , ∴ ∫ dx = ln | x | + C ( x ≠ 0). x x 【 例 】 某 商 品 的 边 际 成 本 为 100 − 2 x， 求 总 成 本 C ( x ).22 3 3 x dx = x +C ∫解： ∵C( x)' = 100 − 2x, ∴C( x) = ∫ (100 − 2x)dx = 100x − x2 + C. 【例】设曲线过点(1,2)，且其上任一点切线的斜率都等于该点横坐标 的两倍，求此曲线方程.dy 解：设曲线为y = f (x),在任一点(x, y)处切线的斜率 = 2x, 则必有常 dx 数C使得f (x) = ∫ 2xdx = x2 + C.∵ f (1) = 2,∴C = 1.曲线为f (x) = x2 +1.不定积分的性质性质1.求不定积分与微分运算互为逆运算 ：( ∫ f ( x ) dx ) ' = f ( x ) 或 d ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx.∫ F '( x)dx = F ( x) + C或∫ dF ( x) = F ( x) + C.性质2.求两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分的代数和∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx.性质3.被积函数中不为零的因子可以提到积分号的前面∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx(k是常数，k ≠ 0).【 例 】 已 知 ∫ f ( x ) dx = ( x 2 − 1) e − x + C ， 求 f ( x ).解： f ( x) =( ∫ f ( x)dx ) ' = [( x12− 1)e + C ]' = (2 x − x + 1)e2−x−x【 例 】 已 知 ∫ xf ( x ) dx = arcsin x + C ， 求 f ( x ).解： xf ( x) =( ∫ xf ( x)dx ) ' = (arcsin x + C ) ' =x 1 − x21 1− x2⇒ f ( x) =【 例 】 设 ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ， 求 ∫ F ( x ) f ( x ) dx . 解 ： ∵ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ， ∴ dF ( x ) = f ( x ) dx ⇒∫ F ( x) f ( x)dx = ∫1 F ( x ) dF ( x ) = F ( x ) 2 + C . 2不定积分的基本公式基本初等函数的不定积分表：(1) ∫ kdx = kx + C (3) ( k 常数 ); (2)α x ∫ dx =1 α +1 (α ≠ −1); x α +11 ∫ x dx = ln | x | +C ; 1 x a +C (5) ∫ a x dx = ln a (6) ∫ sin xdx = − cos x + C ; (8) ∫ sec 2 xdx = tan x + C ;(4) ∫ e x dx = e x + C ; ( a > 0, a ≠ 1); (7) ∫ cos xdx = sin x + C ; (9) ∫ csc 2 xdx = − cot x + C ; (11) ∫ csc x cot xdx = − csc x + C ; 1 (13) ∫ dx = arctan x + C . 2 1+ x(10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C ; (12)∫1 1− x2dx = arcsin x + C ;【 例 】 求 不 定 积 分 ∫ (3 e x + 4 x − 2 sin x ) dx . 解：x x x x e + − x dx = e dx + (3 4 2 sin ) 3 4 ∫ ∫ ∫ dx − 2 ∫ sin xdxx 4 = 3e x + + 2 cos x + C ln 41 ) dx 【例】求∫ ( x + x2 1 1 )dx = ∫ xdx + ∫ dx = x + 2 x + C 解： ∫ ( x + 3 x x【 例 】 求 ∫ tan 2 xdx2 = sec xdx − ∫ dx = tan x − x + C 解： ∫ tan xdx = ∫ (sec x −1)dx ∫2 23 21 dx. 【例】求不定积分∫ 1 + cos 2 x 1 1 1 1 2 dx = ∫ dx = ∫ sec xdx = tan x + C 解： ∫ 2 1 + cos 2 x 2 cos x 2 2 x 【 例 】 求 ∫ sin dx 22x 1 − cos x 1 解： ∫ sin dx = ∫ dx = ( x − sin x) + C 2 2 22【例】求∫(1 + x ) 2 dx 2 x (1 + x )(1+ x)2 2 ⎞ ⎛1 解： ∫ dx = ∫ ⎜ + dx = ln | x | +2arctan x + C 2 2⎟ x(1+ x ) ⎝ x 1+ x ⎠作业：I. Page 186: 1(3)(4)(7)(9)(13)； 2； 32 2x 若 f ( x ) dx = x e + C ， 求 f ( x ). II. ∫III. 若 ∫1 f( ) dx = x 2 + C ， 求 ∫ f ( x ) dx . x不定积分的计算⎧第 一 类 换 元 积 分 法 换元积分法 ⎨ ⎩第 二 类 换 元 积 分 法 分部积分法⎧简 单 有 理 函 数 的 积 分 有理函数积分 ⎨ ⎩三 角 函 数 有 理 式 积 分§2.换元积分法 第一类换元积分法【 例 】 求 ∫ cos 2 x d x 1 1 解： 令u = 2 x, 则dx = du , 于是 ∫ cos 2 xdx = ∫ cos udu 2 2 1 1 = sin u + C = sin 2 x + C 2 2Thm. 设f (u)有原函数，且u = u( x)具有连续的导数，则 f (u( x))u '( x)有原函数，且 ⎤ 换元公式：∫ f (u( x))u '( x)dx = ⎡ f ( u ) du ∫ ⎣ ⎦u =u ( x )证：设F (u)是f (u)的原函数, 则∫ f (u)du = F (u) + C.于是 ⎡ f (u)du⎤ = [F (u) + C]u=u ( x) = F (u( x)) + C ⎣∫ ⎦u=u ( x) dF (u( x)) 根据复合函数求导法则， = F '(u)u '( x) = f (u( x))u '( x) dx . 故有∫ f (u( x))u '( x)dx =F (u( x)) + C = ⎡∫ f (u)du ⎤ ⎣ ⎦u=u ( x) 注：求不定积分 ∫ f (u ( x ))u '( x )dx可以通过作变量代换u = u ( x ) 转化为求 ∫ f (u ) du，求出后再把u换成u ( x ). 凑微分法凑微分法常用到的微分公式： adx = d (ax + b), nx n−1dx = dx n , e x dx = de x , sin xdx = −d (cos x)1 dx = 【 例 】∫ 1+ x 1 ∫ 1 + x d (1 + x ) = ln | 1 + x | + Cln 2 x 【 例 】∫ dx = x3 ln x 2 2 ∫ ln x (ln x ) ' dx = ∫ ln xd (ln x ) = 3 + C 1 5 【 例 】 ∫ (2 x + 3) dx = ∫ (2 x + 3) 5 (2 x + 3) ' dx 21 1 5 = ∫ (2 x + 3) d (2 x + 3) = (2 x + 3) 6 + C 2 121 1 1 x2 x2 2 x2 2 【 例 】 ∫ xe dx = ∫ e ( x ) ' dx = ∫ e d ( x ) = e + C 2 2 2x2【 例 】 ∫ tan xdx =∫sin x 1 dx= − ∫ d (cos x ) cos x cos x= − ln | cos x | + C1 【 例 】求 ∫ 2 dx ( a ≠ 0) 2 a +x1 1 解： ∫ a 2 + x 2 dx = a 2∫ cot x d x = ln | sin x | + C1 1 x ∫ ⎛ x ⎞ 2 dx = a ∫ ⎛ x ⎞ 2 d a 1+ ⎜ ⎟ 1+ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝a⎠ 1 x = arctan + C a a 11 【 例 】求 ∫ 2 dx 2 a −x 1 1 解： ∫ a 2 − x 2 dx = 2 a 1 = 2a( a ≠ 0)∫1 ⎞ ⎛ 1 + ⎟dx ∫⎜ ⎝a−x a+x⎠ 1 1 1 d (a + x) − d (a − x) ∫ a+x 2a a − x1 1 a+x = (ln | a + x | − ln | a − x | ) + C = ln | | +C 2a 2a a−x 1 1 cos x d ( sin x ) 【 例 】∫ dx = ∫ dx = ∫ 2 2 1 − sin x cos x cos x 1 1 + sin x = ln +C 2 1 − sin x【例】解： ∫∫1 a2 − x21dx ( a > 0)1 ⎛x⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠21 dx = ∫ 2 2 a a −xdx = ∫⎛x⎞ d⎜ ⎟ 2 ⎛x⎞ ⎝a⎠ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠ 11 【 例 】 ∫ sin 3 x cos 2 x d x = ∫ (sin 5 x + sin x )d x 2 1 1 =− cos 5 x − cos x + C 10 2x = arcsin + C a【 例 】 ∫ csc x d x =∫1 dx = sin x=∫x ⎛x⎞ sec d⎜ ⎟ = x 2 2 ⎝ ⎠ tan 2 12∫1 dx ∫ x x 2 sin cos 2 2 x⎞ x 1 ⎛ d ⎜ tan ⎟ =ln| tan |+C x ⎝ 2 2 ⎠ tan 2x 1 − cos x ∵ tan = = csc x − cot x,∴ ∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | +C 2 sin x∫ sec xdx = ln | sec x + tan x | +C第二类换元积分法【例】求∫ sin x x 解： 令 x = t , 则dx = 2tdt , dxsin x sin t 于是∫ dx = ∫ 2tdt = 2∫ sin tdt t x= −2cos t + C = −2cos x + C选取适当的x = ϕ (t )使其有反函数t = ϕ −1 ( x)，则dx = ϕ '(t )dt , ⎤ 换元公式：⎡ f ( x ) dx ⎣∫ ⎦x =ϕ ( t )= ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt = [ F (t ) + C ]t =ϕ −1 ( x )= F (ϕ −1 ( x)) + CThm. 设f ( x)连续，x = ϕ (t )具有连续的导函数，且ϕ '(t ) ≠ 0， 则换元公式：∫⎤ f ( x)dx = ⎡ f ( ϕ ( t ) ) ϕ '( t ) dt ⎣∫ ⎦,t =ϕ −1 ( x )其中t = ϕ −1 ( x)是x = ϕ (t )的反函数。
不定积分的定义和性质-PPT课件
C.
7
例4 求积分 3x e x dx.
2 根据积分公式（2）
解 3x e xdx (3e)xdx l(n3(e3x)ex)dxCx1311xlenx3C C
对被积函数稍加变形，化为指 数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; lna
(2) xdxx1 1C (1);
(3) dxxln| x|C;
说明： x
0
dx x
ln
x
C,
x0,[ln(x)] 1 ( x) 1
x
x
dxx ln(x)C,
dx x
ln|
x|
C.
(4) 11x2dxarctanxC; (1 0 ) s e cxta n x d x s e cx C ;
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C.
1
( 1)
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1 ) k d x k x C(k 是 常 数 ）
三、不定积分的性质
(1) [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx;
(2) kf(x)dxk f (x)dx.（k 是常数，k 0)
现证(1) f(x)dxg(x)dx
f(x)dxg(x)dx f(x)g(x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
高等数学-不定积分课件
贰
请在此添加较简洁标题内容
在区间 I 上的一个原函数 .
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理.
01
存在原函数 .
02
初等函数在定义区间上连续
则
原式
例19. 求
原式
解: 原式
例20. 求
解: 原式 =
例21. 求
例22. 求
解: 令
得
原式
CONTENTS
思考与练习
壹
下列积分应如何换元才使积分简便 ?
单击此处添加文本具体内容
贰
叁
肆
第三节
由导数公式
积分得:
分部积分公式
或
1) v 容易求得 ;
容易计算 .
分部积分法
第四章
解: 令
03
4.5 1,2,3,4,
05
4.2 1(1,2,4,6,7,9,12,15,16,18) 4 5
02
4.4 1,3,5,7,9,11
04
作业 P218
得 0 = 1
下述运算错在哪里? 应如何改正?
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .
第四节
有理函数的积分
第四章
一、有理函数的积分
有理函数: 时, 多项式 + 真分 式 分解 若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A
有理函数
B
相除
C
例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: 用拼凑法
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。
《高数》不定积分》课件
本PPT课件详细介绍了《高数》中的不定积分，包括不定积分的定义、基本积 分公式、常用的不定积分法、分部积分法、三角函数的不定积分、倒代换法、 不定积分的应用以及综合例题。
不定积分的定义
1 什么是不定积分
不定积分是反导函数的概念，表示函数的原函数的集合。
2 符号表示
常用的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数。
3
三角恒等变换
利用三角函数的基本恒等变换简化积分计算。
三角函数的不定积分
正弦函数的不定积分
正切函数的不定积分
对正弦函数积分得到负余弦函数。
对正切函数积分得到自然对数函 数的绝对值。
余切函数的不定积分
对余切函数积分得到自然对数函 数的绝对值的负数。
倒代换法
倒代换法是一种高级的积分方法，通过变量的倒代换将含有平方根或有理函数的积分转化为更容易求解的形式。
不定积分的应用
1 曲线的长度
通过对曲线方程求导然后 对导函数进行积分，可以 计算曲线的长度。
2 曲线下面积
通过不定积分计算曲线与 x轴之间的面积，可以得 到曲线下面积。
3 函数的平均值
通过对函数进行积分，可 以计算函数在一个区间上 的平均值。
综合例题
例题1
计算∫(2x^3+4x^2-6x+8)dx。
例题3
计算∫(1/x)dx，其中x不等于0。
例题2
计算∫(e^x+sinx+cosx)dx。源自基本积分公式常数积分
对常数函数积分得到一个与x无关的常数。
指数函数积分
对指数函数积分得到与指数函数相同的函数。
幂函数积分
对幂函数积分得到幂次数加一的函数。
不定积分的几何意义ppt课件
;.
47
第五节 经济应用举例
这一节主要介绍不定积分在经济学中的应用，即已知边际函数，求 总经济量函数。
5.5.1已知总产量的变化率，求总产量函数
已知某产品总产量关于时间的变化率为
d Q f (t ), 即 Q(t)f(t)
dt
则该产品的总产量为：
而sinx ＋ C （C 可以取任意多的常数） 是 cosx 的无穷多个原函数．
;.
9
一般的，若F′(x)＝f(x),F(x)是f(x) 的一个原函数，则等式
[F(x)+ C]′＝ F′(x)＝ f(x) 成立（其中 C 为任意常数），从而一簇 曲线方程 F(x) ＋ C 是f(x)无穷多个原函数．
40
小结： 被积函数含有
x2 a2 或
可采用三角代换消去根式
时,
x2 a2
;.
41
第四节 分部积分法 如果u＝u(x)与v＝v(x)都有连续的导数，则由函数乘积的微分公式
d(uv)＝vdu＋udv 移项得 udv＝d(uv)－vdu 从而 ∫udv＝uv－∫vdu 或∫udv＝uv－∫vu′dx
第五章 不定积分
;.
1
引言
积分学分为不定积分与定积分两部分．不定积分是作为函数导数的 反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相 同，但在计算上却有着紧密的内在联系．
;.
2
本章主要研究不定积分的概念、性质及基本积分方法，主要有凑微分法， 变量置换法，以及分部积分法.
;.
3
本章主要内容： 第一节 原函数与不定积分 第二节 凑微分法 第三节 变量置换法 第四节 分部积分法
[理学]清华大学微积分课件全x
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最大、最小值.
f ( 1) 2,
1 13 f( ) 2 2 8
13
2018/11/20
fmax f (0) 0,
fmin f (1) 2
[例4] 要做一个容积为V0的圆柱形无盖 铁桶,问底半径与高的比例为 多少 时, 用料最省？
[解] 设底半径为r ,高为h, 所需铁皮面积为
2018/11/20 23
f ( x ) f ( x1 ) f (1 ) x x1
f ( x ) f ( x2 ) f ( 2 ) x x2
由已知, 有f (1 ) f ( 2 )
因此有 f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x2 ) x x1 x x2
2V0 S r (0 r ) r 3 2V0 2 r 2V0 令 S ( r ) 2 r 2 0 2 r r
2
2018/11/20
得唯一驻点 r1 3
V0
14
从问题的实际意义知道 , S ( r )的最小值 必存在.
又
r 0
lim S ( r ) ,
2 d , 所以有 3
d : h : b 3 : 2 :1
这就是说, 把直径三等分, 在 等分点作垂线交圆于一 点, 作 这点与直径两端点的连 线, 即为
2018/11/20
所求.
18
二、函数的凸性
（一） 凸性定义及性质
设函数 f ( x ) : [a , b] R. 如果 x1 , x 2 [a , b], 不等式 f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 ) 对于满足 1 2 1 的任意非负实数1和 2 都成立, 则称 f 在 [a , b] 上为下凸 函数. 如果 f (1 x1 2 x 2 ) 1 f ( x1 ) 2 f ( x 2 ) 则称 f 在 [a , b] 上为上凸函数.
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一个原函数
[F( x) C] F( x) f ( x) x I
F( x) C 是 f ( x)在 I 上的一个 原函数
2020/5/9
7
（2）证明f ( x)在 I 上的任意一个原函数 都可以表示为F( x) C的形式
cos
x
dx
cos2
dx x
1
sin2
x
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
ln 1 sin x C cos x
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ln sec x tan x C 37
[例9]
x
ln 2x dx
1 ln x
[解]
原式
1
ln x ln 2 1 ln x
1d
(1
ln
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4
（一）原函数的定义
设 f ( x) 在区间I 上有定义.若另有一个 可导函数F ( x), 使 x I , 都有
F ( x) f ( x) 或 dF( x) f ( x)dx 则称F ( x)是 f ( x)在 I 上的一个原函数.
[例1] F ( x) x3 是 f ( x) 3x2
1 dx 2 5x
令u 2 5x
1 5
1 d(2 5x) 1
2 5x
5
1 du u
2 u C 2 25x C
5
5
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29
[例2] tan xdx
[解]
tan
x
dx
sin cos
x dx x
1 cos
x
sin
xdx
令 cos x u 1
du u
ln u C ln cos x C
cos x 1 cos3 x C
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3
31
[例4] (1)
dx x2 a2 ; (2)
dx
dx
; (3) a2 x2
x2 a2
[解] (1)
dx x2 a2
ad( x a) a2[1 ( x a)2 ]
1 arctan x
a
a
c
dx
(2)
a2 x2
dx
a2 (1
作业
P129 习题5.2 1(1). 6. 9.
P133 习题5.3 1(3)(6)(9). 2(3)(5)(11). 3(3)(7)(9)(10). 4(3)(8).
预习：P135—141
2020/5/9
1
第十三讲 不定积分（一）
一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法
2020/5/9
2020/5/9
3
（2） 从物理问题看
已 知 运 动 规 律S S(t ), 要 求 瞬 时 速 度 v(t) ?
求 导 数 ：v(t ) S(t ) 反 问 题:
已 知 瞬 时 速 度v(t ), 要 求 运 动 规 律 S S(t) ?
求 原 函 数: S(t ), 使 S(t ) v(t )
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三、凑微分法
定理1：（凑微分法）
设 f (u)du F(u) c, 且 u ( x)可微,则
f [( x)]( x)dx F[( x)] c
[证] 利用微分形式不变性
d{F[( x)] c} F[( x)] d[( x)]
F(u)du f (u)du
2020/5/9
在区间( , )上的一个原函数.
[例2] F ( x) arcsin x 是 f ( x) 1 1 x2
2020/5/9 在区 间(1, 1)上 的 一 个 原 函 数.
5
c R, ( x3 c) 3x2 ( x3 c) 也是3x2 在 R上的原函数.
一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。
(2) tan2 xdx (sec2 x 1)dx
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问： cos5x dx ?
cos x dx sin x c 或 cos udu sinu c
视 5x u 利用微分形式不变性
d(sin5x) cos5x d(5x) d(5x) 5dx
1
1
cos 5x dx 5 cos5x d(5x) 5 sin5x c
关于原函数有两个理论问题:
（a）原函数的存在问题
结论: 若函数 f ( x) 在区间I 上连续,
则f ( x)在区间I 上存在原函数.
（b）原函数的结构问题
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6
[定理1] 若F ( x)是 f ( x)在区 间I上的 一个 原函 数, 则 F ( x) C 是 f ( x) 的全 体 原函 数,其 中C为任 意常 数.
1 1 x2 dx
arccot x C
(15)
dx x2 a2
1 arctan x
a
a
C
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20
(16)
dx arcsin x C
a2 x2
a
(17)
dx ln( x a2 x2 ) C a2 x2
(18)
dx x2 a2
1 ln 2a
xa xa
C
(19) secxdx ln tan x secx C
G(
x)
1 2
x2
1
C
x0 x0
C2 1 C1
12
当x 0时, G( x) sin x
当x 0时, G( x) x
又
G (0)
lim
x0
cos x x
1
0
1 x2 11
G (0)
lim
x0
2
x
0
G(0) 0
于是G( x)在(, )上可导, 且 G( x) f ( x)
cos x C x 0
（1） 不定积分与微分互为逆运算
(1) ( f ( x)dx) f ( x) d( f ( x)dx) f ( x)dx
(2) f ( x)dx f ( x) C
df ( x) f ( x) C
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15
（2） 线性运算性质
(3) [ f ( x) g( x)]dx g(x)dx g( x)dx
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33
[例5]
dx
x 1 x
[解] 原 式 2 d x 1 x
2 d(1 x ) 1 x
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4 1 x C
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[例6]
sin 2 x dx
4 cos 4 x
[解]
原
式
2
sin x cos 4 cos4
xdx x
d(cos2 x)
4 (cos2 x)2
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11
(2) 首先要求f ( x)的积分曲线族
分段积分，得
G(
x)
cos
1 2
x
x C1 2 C2
若G( x)是 f ( x)在 R 上 的 原函 数
G( x)在 x 0连续
x0 x0
lim G(x) lim G(x) G(0)
x0
x0
cos x C
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(4) kf ( x)dx k f ( x)dx 综合(3)(4) [k1 f1( x) k2 f2( x)]dx
k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
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怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
反想
逆运算
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二、基本积分表
(1)
x dx
x 1 C
1
(2)
1 dx x
ln x
C
( 1)
(3) sin xdx cos x C
(4) cos xdx sin x C
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(5) a xdx 1 a x C ln a
(6) e xdx e x C (7) sec2 xdx tan x C
cos 2 x
arcsin(
)C
2
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[例7]
1
dx e
x
[解]
1
1ex ex
1 e x dx 1 e x dx
dx
1
ex e
x
dx
d (1 e x )
x 1ex
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x ln(1 e x ) C
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[例8]
dx cos x
[解]
1
cos x
d (sin x)
f [ ( x)] ( x)dx 27
怎样应用凑微分法 ？
f [( x)]( x))ddx
f [ ( x)]d[ ( x)] 凑微分
f (u)du
F(u) c
F[ ( x)] c
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[例1]
1 dx 向哪个积分公式凑 ？
2 5x
1 du 2 u
uc
[解]
(20) csc xdx ln cot x csc x C
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[例4] 计算
(2x3 x 1
11 x x2 )dx
[解] 原 式 2 x3dx xdx 1dx
1
1
x dx x2 dx
1 x4 1 x2 x 2 x 1 C
22
x
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