2012高考文科数学导数部分试题解析分类汇编

合集下载

2012年高考文科数学解析分类汇编：函数(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：函数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集合{|(())0M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N 为（）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-1,1)D ．(,1)-∞2 ．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2xxee y --=D ．31y x =+3 ．（2012年高考（四川文））函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是4 ．（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =5 ．（2012年高考（山东文））函数cos 622xxx y -=-的图象大致为6 ．（2012年高考（山东文））函数1()ln(1)f x x =++的定义域为（）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-7 ．（2012年高考（江西文））如右图,OA=2(单位:m),OB=1(单位:m),OA 与OB 的夹角为6π,以A 为圆心,AB 为半径作圆弧 BD C 与线段OA 延长线交与点 C ．甲.乙两质点同时从点O 出发,甲先以速度1(单位:ms)沿线段OB 行至点B,再以速度3(单位:ms)沿圆弧 BD C 行至点C 后停止,乙以速率2(单位:m/s)沿线段OA 行至A 点后停止.设t 时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0),则函数y=S(t)的图像大致是8 ．（2012年高考（江西文））已知2()sin ()4f x x π=+若a =f (lg5),1(lg)5b f =则（）A ．a+b=0B ．a-b=0C ．a+b=1D ．a-b=19 ．（2012年高考（江西文））设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =（）A ．15B ．3C ．23D ．13910．（2012年高考（湖南文））设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2x π≠时 ,()()02x f x π'->,则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为（）A ．2B ．4C ．5D ．811．（2012年高考（湖北文））已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示,则(2)y f x =--的图像为12．（2012年高考（湖北文））函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．513．（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是（）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D．lny =14．（2012年高考（福建文））设1,()0,1,f x ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩0(0)(0)x x x >=<,1,()0,g x ⎧⎪=⎨⎪⎩()(x x 为有理数为无理数),则(())f g π的值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．π15．（2012年高考（大纲文））函数1)y x =≥-的反函数为（） A ．21(0)y x x =-≥ B ．21(1)y x x =-≥C ．21(0)y x x =+≥D ．21(1)y x x =+≥16．（2012年高考（北京文））函数121()()2xf x x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．317．（2012年高考（安徽文））23log 9log 4⨯=（）A ．14B ．12C ．2D ．418．（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B = （）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]12二、填空题19．（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________ 20．（2012年高考（浙江文））设函数f(x)是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则3f 2（）=_______________.21．（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________.22．（2012年高考（四川文））函数()f x =____________.(用区间表示)23．（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .,则=-)1(g _______ .24．（2012年高考（上海文））方程03241=--+x x的解是_________.25．（2012年高考（陕西文））设函数发0,()1(),0,2x x f x x ìï³ïï=íï<ïïïî,则((4))f f -=_____26．（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.27．（2012年高考（课标文））设函数()f x =(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M,最小值为m ,则M+m =____28．（2012年高考（广东文））(函数)函数y x=__________.29．（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a的取值范围是_________.30．（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________. 31．（2012年高考（北京文））已知函数()l g f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b +=_________.32．（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a = 三、解答题33．（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.34．（2012年高考（福建文））某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: 单阶x (元) 8 8.28.48.6 8.89 销量y (件)9084 83 80 7568(I)求回归直线方程ˆybx a =+,其中ˆ20,b a y b x =-=-; (II)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)35．（2012年高考（北京文））设A 是如下形式的2行3列的数表,满足:性质P:,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-,且0++++=a b c d e f +.记()i r A 为A 的第i 行各数之和1,2=i （）,()j c A 为A 的第j 列各数之和1,2,3=j （）; 记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,3|()|c A 中的最小值.(1)对如下数表A,求()k A 的值;1 1 -0.80.1-0.3-1(2)设数表A形如1 1 -1-2d-1其中0≤≤.求()-1dk A的最大值;(3)对所以满足性质P的2行3列的数表A,求()k A的最大值.2012年高考文科数学解析分类汇编：函数参考答案一、选择题 1. 【答案】:D【解析】:由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x ->所以1x <或3log 5x >;由()2g x <得322x -<即34x <所以3l o g 4x <故(,1)M N =-∞【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定.2. 【解析】函数x y 2log=为偶函数,且当0>x 时,函数x x y 22loglog==为增函数,所以在)2,1(上也为增函数,选B.3. [答案]C[解析]采用特殊值验证法. 函数(0,1)x y a a a a =->≠恒过(1,0),只有C 选项符合. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.4. 解析:运用排除法,奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确.5. 解析:函数xxx x f --=226cos )(,)(226cos )(x f x x f xx-=-=--为奇函数,当0→x ,且0>x 时+∞→)(x f ;当0→x ,且0<x 时-∞→)(x f ;当+∞→x ,+∞→--x x 22,0)(→x f ;当-∞→x ,-∞→--xx 22,0)(→x f .答案应选D.6. 解析:要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨⎧≥-≠+040)1ln(2x x ,即⎩⎨⎧≤≤-≠->220,1x x x ,解得21≤<-x ,且0≠x .答案应选B.7. 【答案】A8. 【答案】C【解析】本题可采用降幂处理,则21cos(2lg 5)1sin(2lg 5)2(lg 5)sin (lg 5)422a f ππ-++==+==211cos(2lg )111sin(2lg 5)52(lg)sin (lg)55422b f ππ-+-==+==,则可得1a b +=.【考点定位】本题主要考查函数的概念,三角函数的恒等变化及对数,属综合应用题.9. 【答案】D【解析】考查分段函数,22213((3))()()1339f f f ==+=.10. 【答案】B【解析】由当x∈(0,π) 且x≠2π时 ,()()02x f x π'->,知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时,0<f (x )<1,在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下,由图知y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.11. B 【解析】特殊值法:当2x =时,()()()22200y fx f f =--=--=-=,故可排除D项;当1x =时,()()()22111y f x f f =--=--=-=-,故可排除A,C 项;所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x的对数型函数的图象的识别.12. D 【解析】由()c o s 20==f x x x ,得0=x 或cos 20=x ;其中,由cos 20=x ,得()22x k k ππ=+∈Z ,故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π,所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义域是R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等问题.13.解析:D.()()ln lnf x f x -===.14. 【答案】B【解析】因为()0g π= 所以(())(0)0f g f π==. B 正确【考点定位】该题主要考查函数的概念,定义域和值域,考查求值计算能力.15.答案A【命题意图】本试题主要考查了反函数的求解,利用原函数反解x ,再互换,x y 得到结论,同时也考查了函数值域的求法.【解析】由2211y x y x y =+=⇒=-,而1x ≥-,故0y ≥互换,x y 得到21(0)y x x =-≥,故选答案A16. 【答案】B【解析】函数121()()2xf x x =-的零点,即令()0f x =,根据此题可得121()2xx =,在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像,可得交点只有一个,所以零点只有一个,故选答案B. 【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题,实质上考查的是函数图像问题,该题涉及到图像幂函数和指数函数.17. 【解析】选D 23lg 9lg 42lg 32lg 2log 9log 44lg 2lg 3lg 2lg 3⨯=⨯=⨯=18. 【解析】选D {3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒= 二、填空题 19. 【答案】4【解析】由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+--4a ⇒=.【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.20. 【答案】32【命题意图】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 【解析】331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=.21. 【解析】函数1)1)(1(112-+-=--=x x x x x y ,当1>x 时,11112+=+=--=x x x x y ,当1<x 时,⎩⎨⎧-<+<≤---=+-=--=1,111,11112x x x x x x x y ,综上函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+<≤---≥+=--=1,111,111112x x x x x x x x y ，,做出函数的图象,要使函数y 与kx y =有两个不同的交点,则直线kx y =必须在蓝色或黄色区域内,如图,则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ,k 满足21<<k ,当经过蓝色区域时,k 满足10<<k ,综上实数的取值范围是10<<k 或21<<k .22. [答案](21-，∞)[解析]由分母部分的1-2x>0,得到x∈(21-，∞).[点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为0;偶次根下的式子大于等于0;对数函数的真数大于0;0的0次方没有意义.23. [解析] )(x f y =是奇函数,则)1()1(f f -=-,44)1()1()1()1(=+-+=-+f f g g ,所以3)1(4)1(=-=-g g .24. [解析] 0322)2(2=-⋅-xx,0)32)(12(=-+xx,32=x,3log 2=x .25.解析:41(4)()162f --==,((4))(16)4f f f -===26.答案:14解析:当1a >时,有214,a a m -==,此时12,2a m ==,此时()g x =,不合题意.若01a <<,则124,a a m -==,故11,416a m ==,检验知符合题意.另解:由函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数可知41,041<>-m m ;当1>a 时()x f x a =在[-1,2]上的最大值为=2a 4,解得2=a ,最小值为211==-a m 不符合题意,舍去;当10<<a 时,()x f x a =在[-1,2]上的最大值为41=-a ,解得41=a ,此时最小值为411612<==a m ,符合题意,故a =41.27. 【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.【解析】()f x =22sin 11x x x +++,设()g x =()1f x -=22sin 1x x x ++,则()g x 是奇函数,∵()f x 最大值为M,最小值为m ,∴()g x 的最大值为M-1,最小值为m -1, ∴110M m -+-=,M m +=2.28.解析:[)()1,00,-+∞ .由100x x +≥⎧⎨≠⎩解得函数的定义域为[)()1,00,-+∞ .29. 【答案】(0,8)【解析】因为不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a << 【考点定位】该题主要考查一元二次不等式的解法,解法的三种情况的理解和把握是根本.30. 【答案】(4,0)-【解析】首先看()22xg x =-没有参数,从()22x g x =-入手,显然1x <时,()0g x <,1x ≥时,()0g x ≥,而对,()0x R f x ∀∈<或()0g x <成立即可,故只要1x ∀≥时,()0f x <(*)恒成立即可.当0m =时,()0f x =,不符合(*),所以舍去;当0m >时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<得32m x m --<<,并不对1x ∀≥成立,舍去;当0m <时,由()(2)(3)0f x m x m x m =-++<,注意20,1m x ->≥,故20x m ->,所以30x m ++>,即(3)m x >-+,又1x ≥,故(3)(,4]x -+∈-∞-,所以4m >-,又0m <,故(4,0)m ∈-,综上,m 的取值范围是(4,0)-.【考点定位】本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对m 进行讨论.31. 【答案】2【解析】()lg ,()1f x x f ab == ,lg()1ab ∴=2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.32. 【解析】6- 由对称性:362a a -=⇔=-三、解答题33. [解](1)由⎩⎨⎧>+>-01022x x ,得11<<-x .由1lg)1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x 因为01>+x ,所以1010221+<-<+x x x ,3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=,所以所求反函数是x y 103-=,]2lg ,0[∈x34. 【考点定点】本题主要考查回归分析,一元一次函数等基础知识,考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想. 解:(1)1234561()8.56x x x x x x x =+++++=1234561()806y y y y y y y =+++++=80208.5250a y b x ∴=-=-⨯=,回归直线方程为:ˆ20250yx =-+ (2)设工厂获利润为L 元,依题意:22(20250)4(20250)2033010003320()361.254L x x x x x x =-+-+-+=-+-=--+当单价定为8.25x =时,工厂获利最大.35. 【考点定位】此题作为压轴题难度较大,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生严谨的逻辑思维能力.(1)因为1()r A =1.2,2() 1.2r A =-,1() 1.1c A =,2()0.7c A =,3() 1.8c A =-,所以()0.7k A = (2)1()12r A d =-,2()12r A d =-+,12()()1c A c A d ==+,3()22c A d =--.因为10d -≤≤,所以1|()|r A =2|()|r A 0d ≥≥,3|()|c A 0d ≥≥.所以()11k A d =+≤. 当0d =时,()k A 取得最大值1.(3)任给满足性质P 的数表A (如图所示)a bc def任意改变A 的行次序或列次序,或把A 中的每个数换成它的相反数,所得数表*A 仍满足性质P ,并且*()()k A k A =,因此,不妨设112()0,()0,()0r A c A c A ≥≥≥,由()k A 的定义知,112()(),()(),()()k A r A k A c A k A c A ≤≤≤,从而1123()()()()()kA rAcA c A abc ≤++=+++++ ()()3a b c d e f a b f a b f =+++++++-=+-≤因此()1k A ≤,由(2)知,存在满足性质P 的数表A ,使()1k A =,故()k A 的最大值为1.。

2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则（）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。

2012年高考文科数学解析分类汇编：选考内容(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编：选考内容一、填空题1 ．（2012年高考（天津文））如图,已知AB 和AC是圆的两条弦,过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为____________. 2 ．（2012年高考（上海文））有一列正方体,棱长组成以1为首项,21为公比的等比数列,体积分别记为V 1,V 2,,V n ,,则=+++∞→)(lim 21n n V V V _________ . 3 ．（2012年高考（上海文））函数xx x f cos 12sin )(-=的最小正周期是_________ .4 ．（2012年高考（陕西文））直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________。

5 ．（2012年高考（陕西文））如图,在圆O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF DB ⊥,垂足为F,若6AB =,1AE =,则DF DB ⋅=___ ______.6 ．（2012年高考（陕西文））若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________.7 ．（2012年高考（湖南文））在极坐标系中,曲线1C:sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,则a =_______.8 ．（2012年高考（广东文））(几何证明选讲)如图3所示,直线PB 与圆O 相切于点B ,D 是弦AC 上的点,PBA DBA ∠=∠.若AD m =,AC n =,则AB =_______.9 ．（2012年高考（广东文））(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数,02πθ≤≤)和1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),则曲线1C 与2C 的交点坐标为________. 二、解答题10．（2012年高考（辽宁文））选修4-5:不等式选讲已知()|1|()f x ax a R =+∈,不等式()3f x ≤…的解集为{|2x -剎≤1x ≤…}.D(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若|()2()|2xf x f k -≤…恒成立,求k 的取值范围.11．（2012年高考（辽宁文））选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中,圆221:4C x y +=,圆222:(2)4C x y -+=.(Ⅰ)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆12,C C 的极坐标方程,并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程.12．（2012年高考（辽宁文））选修4-1:几何证明选讲如图,⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点,过A 作两圆的切线分别交两圆于C ,D 两点,连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明(Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅; (Ⅱ) AC AE =.13．（2012年高考（课标文））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x =|||2|x a x ++-. (Ⅰ)当3a =-时,求不等式 ()f x ≥3的解集; (Ⅱ) 若()f x ≤|4|x -的解集包含[1,2],求a 的取值范围.14．（2012年高考（课标文））选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C :的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A,B,C,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,3π).(Ⅰ)求点A,B,C,D 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围. 15．（2012年高考（课标文））选修4-1:几何选讲如图,D,E 分别是△ABC 边AB,AC 的中点,直线DE 交△ABC 的外接圆与F,G 两点,若CF∥AB,证明:(Ⅰ) CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.2012年高考文科数学解析分类汇编：选考内容参考答案一、填空题1. 【解析】如图连结BC,BE,则∠1=∠2,∠2=∠A1A ∠=∠∴,又∠B=∠B,CBF ∆∴∽AB C ∆,ACCFAB CB BC BF AB CB ==∴,,代入数值得BC=2,AC=4,又由平行线等分线段定理得FB AF CD AC =,解得CD=34. 2. [解析] 易知V 1,V 2,,V n ,是以1为首项,3为公比的等比数列,所以78121811)(lim ==+++-∞→V n n V V V . 3. [解析]22sin 2cos sin )(21+=+=x x x x f ,T=ππ=22. 4. 解析:将极坐标方程化为普通方程为12x =与222x y x +=,联立方程组成方程组求出两交点的坐标1(2和1(,2-,.5. 解析:5BE =,25DE AE EB =⋅=,DE =在Rt DEB D 中,25DF DB DE ⋅==6. 解析:1|||1|3a x a x -≤-+-≤,解得:24a -≤≤7. 【答案】2【解析】曲线1C 1y +=,曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=,因为曲线C 1:sin )1ρθθ+=与曲线C 2:a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等,由0,2y x ==,知a =2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程,直线与圆的位置关系,考查转化的思想、方程的思想,考查运算能力;题型年年有,难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程,求出与x 轴交点,即得.8. 解析:.PBA ACB DBA ∠=∠=∠,A ∠是公共角,所以ABC ∆∽ADB ∆,于是AB ADAC AB=,所以2AB AC AD mn=⋅=,所以AB = 9. 解析:()2,1.法1:曲线1C 的普通方程是225x y +=(0x ≥,0y ≥),曲线2C 的普通方程是10x y --=,联立解得21x y =⎧⎨=⎩(舍去12x y =-⎧⎨=-⎩),所以交点坐标为()2,1.法2:联立c o s s i n 2θθ=⎨=,消去参数θ可得2215⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得1t =(舍去),2t =于是21x y =⎧⎨=⎩,所以交点坐标为()2,1. 二、解答题10. 【答案与解析】【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,考查分类讨论思想在解题中的灵活运用,第(Ⅰ)问,要真对a 的取值情况进行讨论,第(Ⅱ)问要真对)2(2)(xf x f -的正负进行讨论从而用分段函数表示,进而求出k 的取值范围.本题属于中档题,难度适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用. 11. 【答案与解析】【点评】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识,难度较小.本题要注意圆221:4C x y +=的圆心为)0,0(半径为21=r ,圆222:(2)4C x y -+=的圆心为)0,2(半径为22=r ,从而写出它们的极坐标方程;对于两圆的公共弦,可以先求出其代数形式,然后化成参数形式,也可以直接根据直线的参数形式写出. 12. 【答案与解析】【点评】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质,考查推理论证能力和数形结合思想,重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握,难度较小. 13. 【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题.【解析】(1)当3a =-时,()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥(2)原命题()4f x x ⇔≤-在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++-≤-在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[1,2]上恒成立14. 【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型.【解析】(Ⅰ)由已知可得(2cos ,2sin )33A ππ,(2cos(),2sin())3232B ππππ++,(2cos(),2sin())33C ππππ++,33(2cos(),2sin())3232D ππππ++,即(Ⅱ)设(2cos ,3sin )P ϕϕ,令S =2222||||||||PA PB PC PD +++, 则S =2216cos 36sin 16ϕϕ++=23220sin ϕ+, ∵20sin 1ϕ≤≤,∴S 的取值范围是[32,52].15. 【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题.【解析】(Ⅰ) ∵D,E 分别为AB,AC 的中点,∴DE∥BC,∵CF∥AB, ∴BCFD 是平行四边形,∴CF=BD=AD, 连结AF,∴ADCF 是平行四边形, ∴CD=AF,∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC; (Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF, 由(Ⅰ)可知BD=CF,∴GB=BD,∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.。

2012年高考真题总汇编——文科数学(解析汇报版)12：平面向量

数 λ，使得 a＝ λb ．如选项 A ：|a ＋b |＝ |a|－ |b |时， a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 a
⊥ b ，由正方形得 |a＋ b |＝ |a|－ |b |不成立；选项 D ：若存在实数 λ，使得 a＝ λb ，a，b 可为同
向的共线向量，此时显然 |a＋ b|＝ |a|－|b |不成立．
| a | cos , n2 |b| 2
| b | cos (n1, n2
|a|
Z ) ，所以
n1 ? n2 | a | cos ? |b | cos
22
|b|
| a|
cos2 ，即 n1 ? n2 4 cos2 ，又因为
, ，所以 42
0 cos
2 ，所以 0
4 cos2
2
2 ，即 0 n1 ? n2 2 ，只有当 n1 1, n2 1 时，n1 ? n2 1
r
rr
b ，则 | a b |
（ A ） 5 （B） 10 （ C） 2 5 （ D ） 10
【答案】 B
【解析】因为 a b ，所以有 x 2 0 ，解得 x 2 ，即 a (2,1), b (1, 2) ，所以 a b (3, 1) ， a b 10 ，选 B.
3.【 2012 高考浙江文 7 】设 a ， b 是两个非零向量。
33
3r 3r （C） a b
55
4r 4r （D） a b
55
【答案】 D
【解析】如图
，在直角三角形中，
CB 1， CA 2， AB
5 ,则 CD
2 ,所以 AD 5
CA2 CD 2
44 5
4
,所以

2012年导数高考题汇编(含答案)

2012年导数高考题汇编一、选择题：1.（2012年辽宁文）函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 A .(1,1]- B .(0,1] C .[1,)+∞ D .(0,)+∞解：1(1)(1),0x x y x x x x+-'=-=>.当01x <<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '>，函数单调递增.故函数单调递减区间为(0,1]. 答案：B2.（2012福建理）如图所示，在边长为1的正方形O ABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A .14 B .15 C .16 D .17解：设阴影面积为S，则312120021211)|32326S x dx x x ==-=-=⎰，又正方形面积1S '=，∴由几何概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为16. 答案：C3.（2012年陕西理）设函数()e x f x x =，则A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点解：()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.故当1x =-时，函数()f x 有极小值.答案：C4.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：∵321cos sin 3x x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴11231112(sin )d cos 33x x x x x --⎛⎫+=-=⎪⎝⎭⎰. 答案：23. 5.（2012年江西文）设函数2()ln f x x x=+，则A .12x =为()f x 的极大值点 B .12x =为()f x 的极小值点 C .2x =为()f x 的极大值点 D .2x =为()f x 的极小值点6.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =A .2-或2B .9-或3C .1-或1D .3-或17.（2012重庆理）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f8.（2012重庆文）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是解：∵()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x <-时，()f x 单调递减，即()0f x '<；当2x >-时，()f x 单调递增，即()0f x '>. ∴当2x <-时，()0y xf x '=>；当2x =-时，()0y xf x '==；当20x -<<时，()0y xf x '=<；当0x =时，()0y xf x '==；当0x >时，()0y xf x '=>.答案：选C9.（2012年新课标理）设点P 在曲线1e 2x y =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为A .1ln2- Bln 2)- C .1ln2+ Dln 2)+解：函数1e 2x y =与ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，故||PQ 的最小值就应是点P （或点）到直线y x =的最小距离的2倍.设函数1e 2x y =图象上点00(,)P x y 处的切线平行于直线y x =.则有0001|e 1ln212x x x k y x y ='===⇒=⇒=,因此，直线y x =与曲线1e 2x y =ln 2)-ln 2)2ln 2)-⨯-. 答案：选B变式设点P 在曲线e x y =上，点Q 在曲线11y x=-上，则||PQ 的最小值为 A1)- B1)- CD解：函数e x y =的反函数为ln y x =，考查函数ln y x =与图象11y x =-的公共点情况，即考查方程1ln 1x x=-的解的个数，即考查函数1()ln 1h x x x=+-的零点个数.1()ln 1h x x x =+-，22111()x h x x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 递增.故0x >时，()(1)0h x h ≥=，即1ln 1x x≥-，仅当1x =时，取等号.因此||PQ 最小值就是函数e x y =及其反函数ln y x =图象上两点距离最小值，易知A BC D此时(0,1)P ，(1,0)Q ，故||PQ .答案：选C10.（2012年湖南文）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导数，当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2x π≠时，()02x f x π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭.则函数()sin y f x x=-在[2,2]ππ-上的零点个数为A .2B .4C .5D .8解：根据函数()f x 的性质，将()sin y f x x =-的零点个数转化为函数1()y f x =与2sin y x =图象的交点的个数. ∵()02πx f x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，当2πx π<<时，()0f x '>，∴()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数；当02πx <<时，()0f x '<，∴()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数.设2πx π≤≤，则02πx π≤-≤.由()f x 是以2π为最小正周期的偶函数知(2)()f πx f x -=.故2πx π≤≤时，0()1f x <<. 依题意作出草图可知，1()y f x =与2sin y x =在[2,2]ππ-上有四个交点. 答案：选B11.（2012年辽宁理）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 A .2e 1x x x ≤++ B 211124x x ≤-+ C .21cos 12x x ≥- D .21ln(1)8x x x +≥-解：对选项A ，在区间[0,)+∞上，函数e x y =和21y x x =++的增长速度不在同一个“档次”上，随着x 的增大，e x y =的增长速度越来越快，会超过并会远远大于21y x x =++的增长速度，故不等式2e 1x x x ≤++不能恒成立.对选项B ：令t ，则1t ≥，21x t =-.于是，原不等式对[0,)x ∈+∞是否恒成立534740t t t ⇔-+-≥对[1,)t ∈+∞是否恒成立.记53()4740,[1,)f t t t t t =-+-≥∈+∞，则42()51275(1)(1),[1,)f t t t t t t t t ⎛'=-+=+-∈+∞ ⎝，易知()f t 在⎛ ⎝内递减.当t ⎛∈ ⎝时，()(1)0f t f <=，故不等式534740t t t -+-≥对[1,)t ∈+∞不恒成立，从而排除选项B. 对选项C ：记21()c o s 1,[0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-≥在[0,)+∞上恒成立，故()f x 在[0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f ≥=，即当[0,)x ∈+∞时，不等式21cos 12x x ≥-+恒成立.对选项D ：取4x =，则左边2ln5lne 2=<==右边，此时21ln(1)8x x x +<-，从而排除选项D. 答案：选C12.（2012年福建文）已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；②(0)(1)0f f <；③(0)(3)0f f >；④(0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是A .①③B .①④C .②③D .②④13.（2012山东文）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是A .120x x +>，120y y +>B .120x x +>，120y y +<C .120x x +<，120y y +>D .120x x +>，120y y +<解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只需(0)0F =或203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为(0)1F =，故必有203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得b 不妨设12x x <，则223x b =所以1()()(F x x x x =-，比较系数得1x -，故1x =120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<. 答案：B13.（2012全国大纲理）已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1解：∵2333(1)(1)y x x x '=-=+-，∴当1x <-时，0y '>，函数单调递增；当11x -<<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '<，函数单调递增.因此，当1x =-时，函数取得极大值2c +；当1x =时，函数取得极小值2c -. 当函数图象与轴恰有两个公共点时，必有20c +=或20c -=，∴2c =-或2c =. 答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2012新课标文）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 .提示：33ln 13ln 4y x x x x'=++⋅=+，故1|4x k y ='==，所求切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-. 答案：43y x =-.14.（2012年广东理）曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 .15.（2012年山东理）设0a >，若曲线y =x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a = .提示：3322202233S x x a a ====⎰，故49a =.答案：49. 16.（2012年浙江理、文）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = .曲线2C 是圆心为(0,4)-，半径r 圆心到直线:l y x =的距离1d 所以曲线2C 到直线l 的距离为1d r -.设曲线1C 上的点00(,)x y 到直线:l y x =的距离最短为d ，则过00(,)x y 的切线平行于直线y x =.已知函数2y x a =+，则0|21x xy x ='==，即012x =，014y a =+，点00(,)x y 到直线:l y x =的距离111||||a a d ⎛⎫-+- ⎪，由题意1||a -74a =-或94a =.当74a =-时，直线l 与曲线1C 相交，不合题意，故舍去.答案：49. 16.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：111112231111112(sin )d d sin d cos 33x x x x x x x x x -----+=+=-=⎰⎰⎰. 答案：23. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（2012年新课标文）设函数()e 2x f x ax =--.（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-. 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增.若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.故()f x 的递减区间为(,ln )a -∞，递增区间为(ln ,)a +∞. （2）由于1a =，所以()()1()(e 1)1x x k f x x x k x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)e 1x x k x x +<+>-.① 令1()e 1x x g x x +=+-，则22e 1e (e 2)()1(e 1)(e 1)x x x x x x x g x ----'=+=--. 由（1）知，函数()e 2x h x x =--在(0,)+∞上单调递增.而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点，故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.设此零点为α，则(1,2)α∈.当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g α. 又由()0g α'=，可得e 2αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈. 由于①式等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2.18.（2012年新课标理）已知函数121()(1)e (0)2x f x f f x x -'=-+.（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.解：（1）求导：1()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，令1x =，则0(1)(1)e (0)1(0)1f f f f ''=-+⇒=. 在原函数中，令0x =，则01(0)(1)e 1(1)e f f f -''==⇒=，故21()e 2x f x x x =-+. 由于()e 1x f x x '=-+，故当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>. 从而，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，单调增区间为(0,)+∞.（2）由已知条件得e (1)x a x b -+≥.（*） ①若10a +<，则对任意实数b ，当0x <，且11bx a -<+时，可得e (1)x a x b -+<，因此（*）式不成立. ②若10a +=，则(1)0a b +=.③若10a +>，设()e (1)x g x a x =-+，则()e (1)x g x a '=-+.当(,ln(1))x a ∈-∞+时，()0g x '<；当(ln(1),)x a ∈++∞时，()0g x '>. 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 故()g x 有最小值(ln(1))1(1)ln(1)g a a a a +=+-++.所以21()2f x x ax b ≥++等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++.（**）因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++.设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则()(1)[12l n (1)]ha a a '=+-+.所以()h a 在121,e 1⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e 1,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h a 在12e 1a =-处取得最大值.从而e ()2h a ≤，即e (1)2a b +≤.当12e 1a =-，12e 2b =时，（**）式成立，故21()2f x x ax b ≥++.综上，(1)a b +的最大值为e 2.19.（2012年江苏理）已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.解：（1）由题设知2()32f x x ax b '=++，且(1)320f a b '-=-+=，(1)320f a b '=++=，解得0a =，3b =-.（2）由（1）知3()3f x x x =-.因为2()2(1)(2)f x x x +=-+，所以()0g x '=的根为121x x ==，32x =-，于是函数()g x 的极值点只可能是1或2-.当2x <-时，()0g x '<；当21x -<<时，()0g x '>，故2-是()g x 的极值点. 当21x -<<或1x >时，()0g x '>，故1不是()g x 的极值点. 所以的极值点为2-.（3）令()f x t =，则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()f x d =根的情况，[2,2]d ∈-. 当||2d =时，由（2）可知，()2f x =-的两个不同的根为1和2-，注意到()f x 是奇函数，所以()2f x =的两个不同的根为1-和2.当||2d <时，因为(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)(2)20f d f d d -=--=--<，所以2-，1-，1，2都不是()f x d =的根. 由（1）知()3(1)(1)f x x x '=+-.①当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数，从而()(2)2f x f >=，此时()f x d =无实根.同理，()f x d =在(,2)-∞-上无实根.②当(1,2)x ∈时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数.又(1)0f d -<，(2)0f d ->，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,2)内有唯一实根.同理，()f x d =在(2,1)--内有唯一实根.③当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 是单调减函数.又(1)0f d -->，(1)0f d -<，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,1)-内有唯一实根.由上可知：当||2d =时，()f x d =有两个不同的实根1x ，2x 满足1||1x =，2||2x =；当||2d <时，()f x d =有三个不同的实根345,,x x x 满足||2,3,4,5i x i <=.现考虑函数()y h x =的零点.（ⅰ）当||2c =时，()f t c =有两个根12,t t 满足1||1t =，2||2t =，而1()f x t =有三个不同的根，2()f x t =有两个不同的根，故()y h x =有5个零点.（ⅱ）当||2c <时，()f t c =有三个不同的根345,,t t t 满足||2(3,4,5)i t i <=，而()(3,4,5)i f x t i ==有三个不同的根，故()y h x =有9个零点.综上可知，当||2c =时，函数()y h x =有5个零点；当||2c <时，函数()y h x =有9个零点.20.（2012山东）已知函数ln ()e xx kf x +=（k 为常数，e 2.71828= 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）（理）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.（文）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.解：（1）由ln ()e x k f x +=，得1ln (),(0,)e kx x xf x x x --'=∈+∞. 因为曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，所以(1)0f '=，因此1k =. （2）由（1）得1ln (),(0,)e xx x xf x x x --'=∈+∞，当(0,1)x ∈时，10x ->，ln 0x ->，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，10x -<，ln 0x x -<，()0f x '<. 所以()f x 的单调增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. （3）（文）因为()()g x xf x '=，所以1()(1ln ),(0,)e xg x x x x x =--∈+∞. 令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故2()1e h x -≤+. 又当(0,)x ∈+∞时，101e x<<，故当(0,)x ∈+∞时，所以21()1e e h x -<+，即2()1e g x -<+. （理）证明：因为2()()()g x x x f x '=+，所以1()(1ln ),(0,)e xx g x x x x x +=--∈+∞. 因此，对任意0x >，2()1e g x -<+等价于2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++.令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故21ln 1e x x x ---≤+.设()e (1)x x x ϕ=-+.因为0()e 1e e x x x ϕ'=-=-，所以当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，故当(0,)x ∈+∞时，()e (1)0x x x ϕ=-+>，即e 11xx >+. 所以22e 1ln 1e (1e )1x x x x x ----≤+<++.因此对任意0x >，2()1e g x -<+.21.（2012年安徽理）设函数1()e (0)e x xf x a b a a =++>. （1）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）1()e e x f x a a '=-，当ln x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,ln )a -∞-上递减；当ln x a >-时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a -+∞上递增.①若01a <<，ln 0a ->，()f x 在(0,ln )a -上递减，在(ln ,)a -+∞上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为(ln )2f a b -=+； ②若1a ≥，ln 0a -≤，()f x 在(0,ln )a -上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为1(0)f a b a=++.（2）依题意2213(2)e e 2f a a '=-=，解得2e 2a =或21e 2a =-（舍去），所以22e a =，代入原函数可得1232b ++=，即12b =，故22e a =，12b =. 变式（2012年安徽文）设定义在(0,)+∞上的函数1()(0)f x ax b a ax=++>. （1）求()f x 的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）2222211()()11()a x x a x a a f x a ax ax x +--'=-==，当10x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减；当1x a >时，()0f x '>，()f x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 所以当1x a=时，()f x 取最小值为2b +. 解法二：由题设和均值不等式可知，1()2f x ax b b ax =++≥+，其中等号成立当且仅当1ax =，即1x a=时，()f x 取最小值为2b +. （2）21()f x a ax '=-，依题意13(1)2f a a '=-=，解得2a =或12a =-（舍去），将2a =代入13(1)2f ab a =++=，解得1b =-，故2ea =，1b =-.22.（2012年浙江理）已知0a >，b ∈R ，函数3()42f x ax bx a b =--+.（1）证明：当01x ≤≤时，①函数()f x 的最大值为|2|a b a -+；②()|2|0f x a b a +-+≥. （2）若1()1f x -≤≤对[0,1]x ∈恒成立，求a b +的取值范围.解：（1）①22()122126b f x ax b a x a ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭.当0b ≤时，有()0f x '≥，此时()f x 在[0,)+∞上单调递增；当0b >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x在⎡⎢⎢⎣上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增. 所以当01x ≤≤时，max 3,2,()max{(0),(1)}max{,3}|2|,2a b b a f x f f a b a b a b a a b b a-≤⎧==-+-==-+⎨-+>⎩.②由于01x ≤≤，故当2b a ≤时，333()|2|()34224222(221)f x a b a f x a b ax bx a ax ax a a x x +-+=+-=-+≥-+=-+. 当2b a >时，3333()|2|()42(1)244(1)244(1)22(221)f x a b a f x a b ax b x a ax a x a ax a x a a x x +-+=-+=+-->+-->+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|2(221)f x a b a a x x +-+≥-+. （2）由①知，当01x ≤≤时，m ax ()|2|f x a b a =-+，所以|2|1a b a -+≤.若|2|1a b a -+≤，则由②知()(|2|)1f x a b a ≥--+≥-.所以1()1f x -≤≤对任意01x ≤≤恒成立的充要条件是|2|1,0,a b a a -+≤⎧⎨>⎩即20,31,0a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩或20,1,0.a b b a a -<⎧⎪-≤⎨⎪>⎩（*）在直角坐标系aOb 中，（*）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC . 做一组平行直线()a b t t +=∈R ，得13a b -<+≤，所以a b +的取值范围是(1,3]-.23.（2012年浙江文）已知a ∈R ，函数3()42f x ax ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当01x ≤≤时，()|2|0f x a +->.解：（1）依题意得2()122f x x a '=-.当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x的单调增区间为,⎛-∞ ⎝和⎫⎪⎪⎭，递减区间为⎛ ⎝. （2）证明：由于当01x ≤≤时，故当2a ≤时，33()|2|422442f x a x ax x x +-=-+≥-+；当2a >时，333()|2|42(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|4420f x a x x +-≥-+>.24.（2012年辽宁理）设()ln(1)f x x ax b =++（,a b ∈R ，,a b 为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在点(0,0)相切. （1）求,a b 的值；（2）证明：当02x <<时，9()6xf x x <+. 解：（1）由()y f x =过点(0,0)，得1b =-. 由()y f x =在(0,0)点的切线斜率为32，又0013||12x x y a x ==⎛'==+ +⎝，得0a =. （2）证法一：由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x+.记9()()6x h x f x x =-+，则312(1)1545454(6)216(1)2()1(6)(6)2(1)(6)4(1)(6)x x x h x x x x x x x x +++-+'=<-=+++++++. 令3()(6)216(1)g x x x =+-+，则当02x <<时，2()3(6)2160g x x '=+-<. 因此()g x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0g =，得()0g x <，所以()0h x '<. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <. 于是当02x <<时，9()6xf x x <+. （2）证法二：由（1）知()ln(1)1f x x =+.由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x +.①记()ln(1)k x x x =+-，则(0)0k =，1()1011x k x x x -'=-=<++，故()0k x <，即ln(1)x x +<.② 由①②得，当0x >时，3()2f x x <. 记()(6)()9h x x f x x =+-，则当02x <<时，311()()(6)()9(6)(9[3(1)(6)(218(1)]212(1)h x f x x f x x x x x x x x x ''=++-<++-=+++-+++1[3(1)(6)(3)18(1)](718)02(1)24(1)x xx x x x x x x <++++-+=-<++. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <.即9()6xf x x <+. 25.（2012年辽宁文）设()ln 1f x x =.证明：（1）当1x >时，3()(1)2f x x <-；（2）当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+.解：（1）证法一：记3()ln 1(1)2g x x x =--，则当1x >时，13()02g x x '=<.又(1)0g =，所以有()0g x <，即3()(1)2f x x <-.证法二：当1x >时，1x +122x+.① 令()ln 1k x x x =-+，则(1)0k =，1()10k x x'=-<，故()0k x <，即ln 1x x <-.②由①②得，当1x >时，3()(1)2f x x <-.（2）证法一：记9(1)()()5x h x f x x -=-+，由（1）得3112()1545454554(5)21622()(5)(5)2(5)4(5)4(1)(5)x x x x h x x x x x x x x x x ++++-'=<-=-=++++++. 令3()(5)216G x x x =+-，则当13x <<时，2()3(5)2160G x x '=+-<，因此()G x 在(1,3)上是减函数. 又由(1)0G =，得()0G x <，所以()0h x '<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <. 于是当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+. （2）证法二：记()(5)()9(1)h x x f x x =+--，则当13x <<时，由（1）得231111()()(5)()9(1)(5)(9[3(1)(5)(2)18](73255)022224x h x f x x f x x x x x x x x x x x x''=++-<-++-=-++++-=-+<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <.即9(1)()5x f x x -<+. 26.（2012年福建理）已知函数2()e e ()x f x ax x a =+-∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（2）试确定a 的取值范围，使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（1）由于()e 2e x f x ax '=+-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率20k a ==，所以0a =，即()e e x f x x =-. 此时()e e x f x '=-.当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（2）设点00(,())P x f x ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+，令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，故曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数()g x 有唯一零点.因为0()0g x =，且000()()()e e 2()x x g x f x f x a x x '''=-=-+-.①若0a ≥，当0x x >时，()0g x '>，则0()()0g x g x >=；当0x x <时，()0g x '<，则0()()0g x g x >=. 故()g x 只有唯一零点0x x =.由P 的任意性知，0a ≥不合题意. ②若0a <，令00()e e 2()x x h x a x x =-+-，则0()0h x =，()e 2x h x a '=+.当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0h x '<，从而()h x 在(,ln(2))a -∞-内单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0h x '>，从而()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增.（ⅰ）若0ln(2)x a =-，当(,ln (2))x a ∈-∞-时，0()()()0g x h x h x '=>=；当(ln (2),)x a ∈-+∞时，0()()()0g x h x h x '=>=.所以()g x 在R 上单调递增.所以函数()g x 在R 上有且只有一个零点ln(2)x a =-.（ⅱ）若0ln(2)x a >-，由于()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增，且0()0h x =，则当(ln(2),)x a ∈-+∞时有0()()()0g x h x h x '=<=，0()()0g x g x >=；任取10(ln(2),)x a x ∈-有1()0g x >.又当1(,)x x ∈-∞时，易知122200000000()e (e ())()()e (e ())()()x x g x ax f x x f x x f x ax f x x f x x f x ax bx c ''''=+-+-+<+-+-+=++，其中0(e ())b f x '=-+，1000e ()()x c f x x f x '=-+. 由于0a <，则必存在21x x <，使得2220ax bx c ++<. 所以2()0g x <，故()g x 在21(,)x x 内存在零点，即()g x 在R 上至少有两个零点. （ⅲ）若0ln(2)x a <-，仿（ⅱ）并利用3e 6x x >，可证函数()g x 在上R 至少有两个零点. 综上，当0a <时，曲线()y f x =上存在唯一的点(ln(2),(ln(2)))P a f a --，曲线在该点处的切线与曲线有且只有一个公共点P .27.（2012福建文）已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-.（1）函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明.28.（2012天津理）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；（3）证明：12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N .解：(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞. 由()ln()f x x x a =-+，得1(1)()1x a f x x a x a--'=-=++，显然导函数零点1(,)x a a =-∈-+∞. 当1a x a -<<-时，()0f x '<，()f x 递减；当1x a >-时，()0f x '>，()f x 递增.故1x a =-时，()f x 有极小值(1)1f a a -=-，因为()f x 是单峰函数，故m in ()(1)10f x f a a =-=-=，得1a =. （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥，则()0g x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立当且仅当m in ()0(0)g x g ≥=，取1x =，则应有(1)1ln20g k =-+≥，从而0k >. 1[(12)]()2112(1)x x k g x kx x k x --'=-+=++. ①若120k -<，即12k >，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 这时有m in ()0(0)g x g ≥=，故12k >适合题意. ②若120k ->，即12k <，则当(0,12)x k ∈-时，()0g x '<，()g x 递减；当(12,)x k ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 取0(0,12)x k ∈-，有2000()(0)0()0g x g kx f x <=⇒-<，即200()f x kx ≤不成立.故102k <<不合题意.③若12k =，则2()01x g x x '=≥+在[0,)+∞上恒成立，仅当0x =时取等号，故()g x 递增. 综上，k 的最小值为12. （3）当1n =时，不等式左边2ln32=-<=右边，所以不等式成立. 当2n ≥时，1111122222ln 1[ln(21)ln(21)]ln(21)2121212121nn n n ni i i i i f i i n i i i i i =====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+--=-+⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑. 在（2）中取12k =，得21()(0)2f x x x ≤≥，从而222(,2)21(21)(23)(21)f i i i i i i *⎛⎫≤<∈≥ ⎪----⎝⎭N ，所以有112222221ln(21)(2)2ln32ln312212121(23)(21)21nn n ni i i i n f f f i i i i i n ====⎛⎫⎛⎫-+==+<-+=-+-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑. 综上，12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N . 29.（2012天津文）已知函数3211(),32a f x x x ax a x -=+--∈R ，其中0a >.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，求a 的取值范围；（3）当1a =时，设函数()f x 在区间[,3]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-，求函数()g t 在区间[3,1]--上的最小值.30.（2012陕西理）设函数()(,,)n n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,,,n x x x 的增减性.30.（2012陕西文）设函数()(,,)n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设n 为偶数，|(1)|1f -≤，|(1)|1f ≤，求3b c +的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有12|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围.31.（2012湖南理）已知函数()e ax f x x =-，其中0a ≠.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.32.（2012湖南文）已知函数()e x f x ax =-，其中0a >.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .证明：存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '=成立.33.（2012北京理）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.34.（2012北京文）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.35.（2012江西理）若函数()h x 满足①(0)1h =，(1)0h =；②对任意[0,1]a ∈，有(())h h a a =；③在(0,1)上单调递减.则称()h x 为补函数.已知函数11()(1,0)1ppp x h x λp λx ⎛⎫-=>-> ⎪+⎝⎭. （1）判断函数()h x 是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在[0,1]m ∈，使()h m m =，称m 是函数()h x 的中介元.记1()p n n*=∈N 时()h x 的中介元为n x ，且1nn i i S x ==∑对任意的n *∈N ，都有12n S <，求λ的取值范围；（3）当0λ=，(0,1)x ∈时，函数()y h x =的图象总在直线1y x =-的上方，求p 的取值范围.36.（2012江西文）已知函数2()()e x f x ax bx c =++在[0,1]上单调递减且满足(0)1f =，(1)0f =. （1）求a 的取值范围；（2）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 在[0,1]上的最大值和最小值.37.（2012湖北理）（1）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<.()f x 求的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b ba a ab a b ≤+；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()ααx αx -'=. 解：（1）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-.当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =.（2）由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+-. ①若12,a a 中有一个为0，则12121122b ba a ab a b ≤+成立. 若12,a a 均不为0，由121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122(1)b a a b b a a ⎛⎫≤⋅+- ⎪⎝⎭，即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即111121122b ba a ab a b -≤+. 综上，对10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数，且121b b +=，总有111121122b ba a ab a b -≤+. ② （3）（2）中的命题推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数，若121n b b b +++= ，则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++ .③用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立.（ⅱ）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++= ，则12121122kb b bk k k a a a a b a b a b ≤+++ .当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数，121,,,,k k b b b b + 为正有理数，且1211k k b b b b +++++= ，此时101k b +<<，即110k b +->，于是12111111112121111121121121()()kkk kk k k k k k b b b b b b b b b b b b b b b bk k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++----+++==⋅ . 因为121111111k k k k b b b b b b ++++++=--- ，由归纳假设可得 12111111112212121211111111k k k k b b b b b b k k k kk k k k k b a b a b a b b b a a aa a ab b b b +++---+++++++≤⋅+⋅++⋅=---- . 从而1111211122121111k kk k b b b b b bk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭.又因为11(1)1k k b b ++-+=，由②得11111221122111111221111(1)11k k b b k k k kk k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++++++⎛⎫++++++⋅≤⋅-+=++++ ⎪--⎝⎭，从而112121112211kk b b b bk k k k k k a a a a a b a b a b a b ++++≤++++ .故当1n k =+时，③成立.由（ⅰ）、（ⅱ）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.38.（2012湖北文）设函数()(1)(0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，,a b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的最大值；（3）证明：1()ef x n <. （1）解：因为(1)f b =，由点(1,)b 在直线1x y +=上，可得11b +=，即0b =. 因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =.故1a =，0b =.（2）解：有（1）知1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)1n n f x n x x n -⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭.当0,1n x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 单调递增；当,1n x n ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1111(1)nn n nn n f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）证明：令1()ln 1(0)φt t t t =-+>，则22111()(0)t φt t t t t-'=-=>. 当(0,1)t ∈时，()0φt '<，故()φx 单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0φt '>，故()φt 单调递增. 故在(0,)+∞上()φt 的最小值为(1)0φ=，所以()0(1)φt t >>，即1ln 1(1)t t t>->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，两边取对数得11ln ln e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11(1)en n n n n +<+. 由（2）知11()(1)en n n f x n n +≤<+.39.（2012大纲理）设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围.解：（1）()sin f x a x '=-.①当1a ≥时，()0f x '≥，且仅当1a =，2x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是增函数；②当0a ≤时，()0f x '≤，且仅当0a =，0x =，或x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是减函数；当01a <<时，方程()0f x '=有两实根1x ，2x . 当1[0,)x x ∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数；当12(,)x x x ∈时，sin x a >，()0f x '<，()f x 是减函数；当2(,]x x π∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数. （2）.40.（2012全国大纲文）已知函数321()3f x x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.41.（2012四川理）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ；（2）求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.（2）由（1）知()n f n a =，则33()1()11f n n f n n -≥++成立的充要条件是321n a n ≥+.即知321n a n ≥+对所有n 成立.特别地，取2n =，得到a当a 3n ≥时，122331223332314(13)1C 3C 3C 31C 3C 3C 312[5(2)(25)]212n n n n n n n n n a n n n n n >=+=+⋅+⋅+⋅+≥+⋅+⋅+⋅=++-+->+ .当0,1,2n =时，显然321n n ≥+.故当a 3()1()11f n n f n n -≥++对所有自然数n 都成立.所以满足条件的a . （3）由（1）知()k f k a =，则21111()(2)nnk kk k f k f k a a ===--∑∑，(1)()(0)(1)1nf f n a a f f a--=--. 下面证明：1127(1)()()(2)4(0)(1)nk f f n f k f k f f =->⋅--∑.首先证明：当01x <<时，21274x x x ≥-. 设函数227()()1,014g x x x x x =-+<<，则812()43g x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.当203x <<时，()0g x '<；当213x <<时，()0g x '>. 故()g x 在区间(0,1)上的最小值min 2()03g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以，当01x <<时，()0g x ≥，即得21274x x x ≥-. 由01a <<知01()k a k *<<∈N ，因此21274k kka a a ≥-，从而 121111127272727(1)()()(2)441414(0)(1)n n nnn k k k k k k a a a a f f n a f k f k a a a a f f +===---=≥=⋅>⋅=⋅-----∑∑∑. 42.（2012四川文）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ；（2）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n +++--- 与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.。

2012年高考真题文科数学解析汇编：圆锥曲线

2012高考试题分类汇编：8：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；则C 的实轴长为（）【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考山东文11】已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为(A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 【答案】D【解析】抛物线的焦点 )2,0(p ，双曲线的渐近线为x a b y ±=，不妨取x aby =，即0=-ay bx ，焦点到渐近线的距离为2222=+⨯b a p a ，即c b a ap 4422=+=，所以4pa c =双曲线的离心率为2=a c ，所以24==pa c ，所以8=p ，所以抛物线方程为y x 162=，选D. 4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += 【答案】C【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.5.【2012高考全国文10】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45【答案】C【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 6.【2012高考浙江文8】如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。

2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

2012高考文科试题解析分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】C【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若23abe a e b+=+，必有22a be a e b+>+．构造函数：()2xf x ex =+，则()20xf x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则（）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点【答案】D.【解析】()22212'x f x xxx-=-+=，令()'0f x =，则2x =．当2x <时，()22212'0x f x x x x -=-+=<；当2x >时，()22212'0x f x xx x-=-+=>．即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的．所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ． 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）【答案】B【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(01 集合)

2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（01集合）一、选择题：1.(2012安徽文)设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域；则A B =（）A.(1,2)B. [1,2]C. [,)12 D ．(,]12【解析】选D{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-，(1,)(1,2]B A B =+∞⇒=2．(2012北京文、理)已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=（） A ．（-∞，-1） B ．（-1，-23） C ．（-23,3） D ． (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D3. (2012福建文)已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（） A.N ⊆M B.M ∪N=M C.M ∩N=N D.M ∩N={2}4. (2012广东文) 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,5}M =，则UM =（）A. {2,4,6}B. {1,3,5}C. {1,2,4}D. U 4. A. U M ={2,4,6}.5．(2012广东理)设集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}4,2,1{=M ，则M C U =（）A ．UB ．}5,3,1{C ．}6,5,3{D ．}6,4,2{ 解析：（C ）．6．(2012湖北文) 已知集合A{x| 2x -3x +2=0,x ∈R } ， B={x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为（） A 1 B 2 C 3 D 4 6.D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.7. (2012湖南文)设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则M ∩N=（）A.{-1，0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0} 【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出{}0,1N =，再利用交集定义得出M ∩N.8 (2012湖南理) 设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，则M ∩N=（）A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,0}【答案】B 【解析】{}0,1N = M={-1,0,1} ∴M ∩N={0,1}.【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N.9. (2012江西文) 若全集U=｛x ∈R |x 2≤4} A=｛x ∈R ||x+1|≤1}的补集CuA 为（） A |x ∈R |0＜x ＜2| B |x ∈R |0≤x ＜2| C |x ∈R |0＜x≤2| D |x ∈R |0≤x≤2|【答案】C【解析】考查集合的基本运算{|22}U x x =-≤≤，{|20}A x x =-≤≤，则{|02}U C A x x =<≤.10、(2012江西理) 若集合{1,1}A =-，{0,2}B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈中的元素的个数为（）A ．5 B.4 C .3 D.210.C 【解析】本题考查集合的概念及元素的个数.容易看出x y +只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素.【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn 图的考查等.12. (2012辽宁文、理)已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U 为（）(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U 为{7,9}。

高考数学真题汇编3 导数文(解析)

2012高考试题分类汇编：3:导数一、选择题1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】C【解析】由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>,选C.2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b+3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b+3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b-3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b-3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】若23a b e a e b +=+，必有22a b e a e b +>+．构造函数：()2x f x e x =+，则()20x f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则（） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 9.【答案】D. 【解析】xx x f x x x f 12)(',ln 2)(2+-=∴+=，令0)('=x f ，则2=x ，当20<<x 时0)('<x f ，当2>x 时0)('>x f ，所以2=x 为)(x f 极小值点，故选D.4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）【答案】B 【解析】211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴<由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

2011-2012年高考数学真题分类汇编导数及其应用(含解析,15页)

导数2.（2012·某某高考卷·T9·5分）函数的图像大致为【答案】D【解析】函数x x x x f --=226cos )(，)(226cos )(x f xx f xx -=-=--为奇函数，当0→x ，且0>x 时+∞→)(x f ；当0→x ，且0<x 时-∞→)(x f ；当+∞→x ，+∞→--xx 22，0)(→x f ；当-∞→x ，-∞→--x x 22，0)(→x f .答案应选D 。

【点评】本题考查了函数的奇偶性的性质特点，结合图象语言，考查了数形结合法的思想，函数图象是考点中重要内容，估计明年还会继续考察。

5.( 2011年某某) 函数()()m nf x ax x =1-在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究y0.51xO0.5函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+，则 ()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由 ()()f a 21111=⨯1-=3332，知a 存在.故选B.7.（2011年某某）1(2)0xe x dx+⎰等于A ．1B ．1e -C ．eD ．1e +【答案】C8.（2011年某某）对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2【答案】D9.（2011年某某）已知函数()xf x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B10.（2011年某某）若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值X 围是A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）【答案】C13.（2011年某某）函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是（）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C14.（2011年某某）已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2B. 415C. 417D. 2a【答案】B【解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即 ()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B.15.（2011年某某）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率是2ln 10-（太贝克/年），则()=60MA. 5太贝克B. 2ln 75太贝克C. 2ln 150太贝克D. 150太贝克【答案】D【解析】因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600t t M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.16.（2011年某某）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（）A ．12-B ．12 C． D．【答案】B【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2012高考文科试题解析分类汇编：导数1.【2012高考重庆文8】设函数在上可导，其导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是【答案】C【解析】：由函数在处取得极小值可知，，则；，则时，时【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．2.【2012高考浙江文10】设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数A. 若ea+2a=eb+3b，则a＞bB. 若ea+2a=eb+3b，则a＜bC. 若ea-2a=eb-3b，则a＞bD. 若ea-2a=eb-3b，则a＜b【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b 成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f（x）= +lnx 则（）A．x= 为f(x)的极大值点B．x= 为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点【答案】D.【解析】，令，则．当时，；当时，．即当时，是单调递减的；当时，是单调递增的．所以是的极小值点．故选D．4.【2012高考辽宁文8】函数y= x2 ㏑x的单调递减区间为（A）（1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。

【解析】故选B5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C．考点：导数。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。

解答：，导数和函数图像如下：由图，，且，所以。

6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8【答案】C【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。

【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为 4【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.8.【2012高考上海文13】已知函数的图像是折线段，其中、、，函数（）的图像与轴围成的图形的面积为【答案】。

【解析】根据题意，得到，从而得到所以围成的面积为，所以围成的图形的面积为 .【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.9【2102高考北京文18】（本小题共13分）已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。

【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。

也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现和分析出区间包含极大值点，比较重要。

解：（1），.因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，所以，．即且．解得（2）记当时，，令，解得：，；与在上的情况如下：1 （1,2）2+ 0 — 0 +28 -4 3由此可知：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值小于28.因此，的取值范围是10.【2012高考江苏18】（16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点．（1）求和的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数．【答案】解：（1）由，得。

∵1和是函数的两个极值点，∴，，解得。

（2）∵由（1）得，，∴，解得。

∵当时，；当时，，∴是的极值点。

∵当或时，，∴不是的极值点。

∴的极值点是－2。

（3）令，则。

先讨论关于的方程根的情况：当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。

当时，∵，，∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。

由（1）知。

①当时，，于是是单调增函数，从而。

此时在无实根。

②当时．，于是是单调增函数。

又∵，，的图象不间断，∴在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③当时，，于是是单调减两数。

又∵，，的图象不间断，∴在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当时，有两个不同的根满足；当时有三个不同的根，满足。

现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。

而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。

( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。

而有三个不同的根，故有9 个零点。

综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。

（3）比较复杂，先分和讨论关于的方程根的情况；再考虑函数的零点。

11.【2012高考天津文科20】（本小题满分14分）已知函数，x 其中a>0.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。

【解析】(Ⅰ)或，得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为(Ⅱ) 函数在内单调递增，在内单调递减原命题（lfxlby）（III）当时，在上单调递增,在上单调递减当当得：函数在区间上的最小值为12.【2012高考广东文21】（本小题满分14分）设，集合，，.（1）求集合（用区间表示）（2）求函数在内的极值点.【解析】（1）令，。

①当时，，方程的两个根分别为，，所以的解集为。

因为，所以。

②当时，，则恒成立，所以，综上所述，当时，；当时，。

（2），令，得或。

①当时，由（1）知，因为，，所以，所以随的变化情况如下表：↗极大值↘↗所以的极大值点为，没有极小值点。

②当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：↗极大值↘极小值↗所以的极大值点为，极小值点为。

综上所述，当时，有一个极大值点，没有极小值点；当时，有一个极大值点，一个极小值点。

13.【2102高考福建文22】（本小题满分14分）已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。

考点：导数，函数与方程。

难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，利用函数与方程的思想解决根个数的问题。

解答：（I）在上恒成立，且能取到等号在上恒成立，且能取到等号在上单调递增（lfxlby）（II）①当时，在上单调递增在上有唯一零点②当时，当上单调递减存在唯一使得：在上单调递增，上单调递减得：时，，时，，在上有唯一零点由①②得：函数在内有两个零点。

14.【2012高考四川文22】(本小题满分14分)已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（Ⅰ）用和表示；（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。

命题立意：本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为：………………4分（2）由（1）知f(n)= ,则即知，对于所有的n成立，特别地，当n=1时，得到a≥3当a=3，n≥1时，当n=0时，=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分（3）由（1）知f(k)=下面证明：首先证明0<x<1时，设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 则 .当时,g'(x)<0; 当故g（x）在区间（0，1）上的最小值所以，当0<x<1时，g（x）>0,即得由0<a<1知[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

15.【2012高考湖南文22】本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；[z（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.【答案】解：令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.①令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.综上所述，的取值集合为.（Ⅱ）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.【解析】【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.16.【2012高考新课标文21】（本小题满分12分）设函数f(x)= ex－ax－2(Ⅰ)求f(x)的单调区间(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f´(x)+x+1>0，求k的最大值【答案】17.【2012高考重庆文17】（本小题满分13分）已知函数在处取得极值为（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值．【解析】（Ⅰ）因故由于在点处取得极值故有即，化简得解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数当时，故在上为增函数。