电路分析第六章一阶电路
电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
第六章 一阶电路
20 - 3 + t=0 2 3v -
+
uR2
C 0.1F
0.5i1 1F
i1
uc -
§6-3完全响应
N uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0
初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 初始状态和输入共同作用下的响应称为完全响应. 一,完全响应 du + R0 c uc(t) + Us - - uc (t ) = (U 0 uc(0)=U0 τ=R0C
§6-1零输入响应
初始值的计算: 时的值称初始值. 4,初始值的计算:t=0+时的值称初始值. u(0+),i(0 (0+)和 如:u(0+),i( +), uc(0+), iL(0+).而uc(0+)和 又可称为初始状态. iL(0+)又可称为初始状态. 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, 计算的理论依据:电容电压,电感电流不跃变, + + _ 即
t
i +
+ R C-
uc
τ
) = uc (∞)(1 e τ ) t ≥ 0
t
称为电容电压的稳态值. 称为电容电压的稳态值.
uc(t)
u c( ∞) 0 4τ τ t
Us/R 0
i(t)
4τ 稳态 过程
暂态 过程
稳态 过程
暂态 过程
t
t
t
Us e 后再求i(t): 求出uc(t)后再求 : i ( t ) = 后再求 R 的讨论: 二,对uc(t)的讨论: 的讨论
得:l (t ) = il (0 )e i
+
第6章 一阶动态电路分析
第6章一阶动态电路分析6.1 学习要求（1）掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法。
（2）理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义。
（3）了解用经典法分析一阶动态电路的方法。
（4）了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念。
（5）了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件。
6.2 学习指导本章重点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）时间常数的物理意义及其计算。
本章难点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）电流、电压变化曲线的绘制。
本章考点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）时间常数的计算。
（4）电流、电压变化曲线的绘制。
6.2.1 换路定理1．电路中产生过渡过程的原因过渡过程是电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的中间过程，因为时间极为短暂，又称暂态过程。
电路中产生过渡过程的原因是：（1）内因：电路中的能量不能突变。
电路中的电场能和磁场能不能突变是电路电工技术学习指导与习题解答124 产生过渡过程的根本原因。
（2）外因或条件：换路。
电路工作条件发生变化，如开关的接通或断开，电路连接方式或元件参数突然变化等称为换路。
换路是电路产生过渡过程的外部条件。
2．研究电路过渡过程的意义（1）利用电路的过渡过程改善波形或产生特定的波形。
（2）防止电路产生过电压或过电流损坏用电设备。
3．换路定理与初始值的确定设换路发生的时刻为0=t ，换路前的终了时刻用-=0t 表示，换路后的初始时刻用+=0t 表示。
由于换路是瞬间完成的，因此-0和+0在数值上都等于0。
根据能量不能突变，可以推出电路换路定理为：（1）电容两端电压u C 不能突变，即：)0()0(C C -+=u u（2）电感中的电流i L 不能突变，即：)0()0(L L -+=i i电路中+=0t 时的电流、电压值称为初始值。
初始值的确定步骤如下： （1）求出-=0t 时电路的)0(C -u 和)0(L -i 。
天津理工电路习题及答案-第六章--一阶电路..
第六章一阶电路——经典分析法（微分方程描述）——运算分析法（代数方程描述）见第十三章一、重点和难点1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；3. 求解一阶电路的三要素方法；电路初始条件的概念和确定方法；1.换路定理（换路规则）仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。
①电容元件：u C(0-) = u C(0+)；（即：q C(0-) = q C(0+)）；i C(0-) ≠i C(0+)。
②电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；u C(0-) ≠u C(0+)。
③电阻元件：u R(0-) ≠u R(0+)；i R(0-) ≠i R(0+)。
因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。
电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。
如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。
2.画t=0+时刻的等效电路画t=0+时刻等效电路的规则：①对电容元件，如u C(0-) = 0，则把电容元件短路；如u C(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为u C(0-)）替代电容元件。
②对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为i L(0-)）替代电感元件。
画t=0+时刻等效电路的应用：一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。
3. 时间常数τ①物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根)。
仅取决于电路的结构和元件的参数。
②几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间后为零值）。
③单位：m(秒)、ms(毫秒)。
第6章 一阶电路分析
● 电路中的过渡过程及换路定律 ● 零状态响应 ● 零输入响应 ● 完全响应 ● 三要素法
● 电路中的过渡过程及换路定律
一、过渡过程 【演示实验 演示实验】 演示实验
1 S A 2
●
r
●
1 V
●
U0
+ –
R
U0
+ –
S
A 2
●
r
●
C
●
V
S合于 ： A 合于1： 合于 S合于 ： A 合于2： 合于
零输入响应
与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同， 与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同，动态 电路的完全响应则由独立电源 动态元件的储能共同产生 独立电源和 共同产生。 电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生。
仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。 仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。
零状态响应变化的快慢取决于时间常数τ =RC。当 。 越大，充电过程就越长。 时间常数τ 越大，充电过程就越长。
电容充电过程的实质：就是从电源提供的能量， 电容充电过程的实质：就是从电源提供的能量，逐渐 充电过程的实质 储存在电容的电场中，并转换为电场能量的过程。 储存在电容的电场中，并转换为电场能量的过程。 即 电能 → WC
电路如图6-11(a)所示，已知电容电压 C(0-)=0。t=0 所示， 例6-1 电路如图 所示 已知电容电压u 。 打开开关， ≥ 的电容电压 的电容电压u 电容电流i 以及 打开开关，求t≥0的电容电压 C(t),电容电流 C(t)以及 电容电流 电阻电流i 。 电阻电流 1(t)。 uC(0-)=0
uC(0-)=0
图6-5
其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。 其电压电流的变化规律，可以通过以下计算求得。
大学物理电路分析基础第6章一阶电路分析.ppt
t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
从本例可以看出： (1) 电容电流是可以跳变的。 (2) 电容的功率也是可以跳变的，这是由于电容电流跳 变的原因。 功率值可正可负: 功率为正值， 表示电容从电 源us(t)吸收功率； 功率为负值， 表示电容释放功率且交还 电源。 (3) wC(t)总是大于或等于零，储能值可升可降， 但为连 续函数。
第6章 一阶电路分析
图6-4 例6-1波形图
第6章 一阶电路分析
例 6-2 在图6-5(a)所示电路中， is(t)的波形如图6-5(b)所 示， 已知电容C=2 F， 初始电压uC(0)=0.5 V， 试求t≥0时的 电容电压， 并画出其波形。
第6章 一阶电路分析
图6-5 例6-2题图
第6章 一阶电路分析
dq dt
和电容的定义q(t)=Cu(t)，
可得
i C du
(6-2)
dt
第6章 一阶电路分析
这就是电容元件微分形式的VCR。 若电容端电压u与电流i 参考方向不关联， 则上式右边应加负号， 即
du i C
(6-3)
dt
式(6-2)表明， 任一时刻通过电容的电流i取决于该时刻电容
两端的电压的变化率 du 。若电压恒定不变， 则虽有电压 dt
与电阻元件相类似， 若约束电容元件的q—u平面上的 曲线为通过原点的直线， 则称它为线性电容； 否则， 称为 非线性电容。 若曲线不随时间而变化， 则称为非时变电容； 否则， 称为时变电容。
(电路分析)一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应：储能元件的初始状态为零，仅由外加激励作用所产生的响应，称为零状态响应（ zero-state response ）。
一、 RC 电路的零状态响应图 5.4-1 所示 RC 电路，开关闭合之前电路已处于稳态，且电容中无储能，即。
时开关闭合，讨论时响应的变化规律。
t=0 时开关闭合，则由换路定则得这时直流电压源 Us 与 R 、 C 构成回路，由 KVL 得这是一阶非齐次微分方程，它的解由对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解组成。
采用常数变易法来解，得 RC 电路的零状态响应为当 t →∞时，电路已达到新的稳态，电容又相当于开路，则，因此，电容电压的零状态响应为式中，为 RC 电路的时间常数。
二、 RL 电路的零状态响应图 5.4-3 所示电路，时开关 S 处于闭合状态，电感的初始状态，时开关打开。
讨论开关打开后响应的变化规律。
t=0 时，开关 S 打开，直流电流源 Is 开始对电感充电，这时这也是一阶非齐次微分方程，解得式中，为 RL 电路的时间常数。
当 t →∞时，这时电路已达到新的稳态，电感相当于短路。
，因此，电感电流的零状态响应为三、一阶电路零状态响应的计算计算步骤1 、求 t →∞时的稳态值。
对于 RC 电路，求；对于 RL 电路，求。
2 、求电路的时间常数τ。
对于 RC 电路，，对于 RL 电路，。
其中， R 为从电容 C 或电感 L 两端看进去的戴维南等效电阻。
3 、求出零状态响应RC 电路：RL 电路：4 、如需求其它响应，再根据已求得的或去求解。
例 5.4-1 图 5.4-5 所示电路，已知时开关 S 处于位置 2 ，且电感中无储能， t=0 时开关 S 拨到位置 1 ，求时的，。
解：电感的初始储能为 0 ，则电路换路后， t →∞时，电路进入新的稳态，电感又相当于短路，则换路后，从电感两端看进去的等效电阻是 4 Ω和 8 Ω两个电阻串联，即R=4 ＋ 8=12 Ω所以，时间常数为因此，电路的零状态响应为。
一阶动态电路分析
uC (0 ) uC (0 ) 10V
－
R1
+
iC t=0
i2
uC C
R2
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得：
i1(0+)
i1(0 )
US
uC (0 ) R1
10 10 10
0A
i2 (0 )
uC (0 ) R2
10 5
2A
+
R1
+
iC(0+)
i2(0+)
US
uC(0+)
41
t
e2
41
e 0.5t
V
uC uC uC 3e0.5t 4 1 e0.5t 4 e0.5t V
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6.3.2 一阶电路的零输入响应
1．RC电路的零输入响应
图示电路，换路前开关S置于位置1，电容上已充有电压。t=0 时开关S从位置1拨到位置2，使RC电路脱离电源。根据换路 定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，
通过3Ω电阻的电流为：
i 12 uC 12 8 4e0.5t 4 4 e0.5t A
3
3
33
iC
+ 1F －uC
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6.2.2 三要素分析法
求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：
t
f (t) f () f [ f (0 ) f ()]e
式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流 或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
R R1R2 20 5 4k R1 R2 20 5
第六章一阶电路
R t L R t L
di u L L RI0e dt
L 与RC电路类似，令 R 称为RL电路的时间常数。
右图所示曲线为i、 uL和uR随时间变 化的曲线。
从以上求得的RC和RL电路零输入响应进一步 分析可知，对于任意时间常数为非零有限值的一 阶电路，不仅电容电压、电感电流，而且所有电 压、电流的零输入响应，都是从它的初始值按指 数规律衰减到零的。且同一电路中，所有的电压、 电流的时间常数相同。若用f (t)表示零输入响应， 用f (0+)表示其初始值，则零输入响应可用以下通 式表示为
6 iL A 3 A 2 L 2s Req
由三要素法可得：
iL [3 (2 3)e (3 0.5e
根据KCL可求得：
0.5t
1t 2
]A
)A
i I S iL (5 5e
例6-1
下图所示电路中直流电压源的电压为Uo。当电路中的 电压和电流恒定不变时，打开开关S。试求uC(0+)、iL(0+)、 ic(0+)、 uL(0+)、uR2(0+)。
解 根据t=0-时刻的电路状 态计算u (0-)和i (0-)
c
L
U 0 R2 u c (0 ) R1 R2 U0 iL (0 ) R1 R2
已知历次绕组的电阻R=0.189，电感L=0.398H， 直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV=5k。开关未短=断开时，电路中电流已经 恒定不变。在t=0时，断开开关。 求：（1）电阻、电 感回路的时间常数； （2）电流i的初始值 和断开开关后电流i的 最终值；（3）电流i 和电压表处电压uV； （4） 开 关 刚 断 开 时 ，电压表处电压。
电路分析基础第六章.ppt
先求通解 （满足（1）式且含有一个待定常数的解。）
假设 x (t)K est
(3 )
则有 dx(t)Ksest dt
(4)
将（3）和（4）代入（1）式，可得
K e st(s A ) 0
(5 )
s A 0
( 6 )
（6）式称为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的 特征根或固有频率。因而可求得：
一阶电路的定义：
如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称 为一阶电路，而所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言， 如果电路中含有n个独立的动态元件， 那么，描述该电路的就是n阶微分方程， 相应的电 路也称为n阶电路。
分解方法在这里的运用：
首先，将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2 两部分。
无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路 电流和电压仍然满足KCL和KVL，与电阻电路的差 别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是导数与 积分关系(见第五章)。因此，根据KCL、KVL和元 件的VAR所建立的动态电路方程是以电流、电压为 变量的微分方程或微分—积分方程。如果电路中的 无源元件都是线性时不变的，那么，动态电路方程 是线性常系数微分方程。
第六章 一阶电路
§6.1 分解方法在动态电路分析中的运用 §6.2 零状态响应 §6.3 阶跃响应和冲激响应 §6.4 零输入响应 §6.5 线性动态电路的叠加定理 §6.6 三要素法 §6.7 瞬态和稳态 §6.8 正弦激励的过渡过程和稳态
再看如图所示电路。
如果电容具有初始电压uC(t0)，则在t≥t0时，这 种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠 加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电 容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其 分解电路如下图所示。
一阶电路
d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e
一阶电路分析
一阶电路分析一阶电路:只含有一个动态元件的电路.一阶电路的描述方程为一阶线性常微分方程.稳态:电路达到的稳定状态.过渡状态(暂态): 由一种稳态到达另一种新的稳态的过程.一、分析方法(激励为直流量时);1.经典法:根据KCL,KVL,VCR（动态元件）列写线性常微分方程，求解线性常微分方程的方法。
2.三要素法：f(t)=f(∞)+[f(0+)- f(∞)]e-t/гf(0+)是暂态过程中变量的初始值，f(∞)是变量的稳态值，г是暂态过程中的时间常数，这三者称之为三要素。
三要素法适用于零输入，零状态，全响应的求解。
但是他的先决条件是其只适用于直流激励作用下的一阶电路。
换路定则：Uc(0+)=Uc(0-), i L（0+）= i L（0-）初值的计算1.计算Uc(0-)和i L（0-）, (画0-时刻等效电路图,L短路,C开路.)2.确定独立初始值Uc(0+)和i L（0+）(换路定则)3.计算非独立初始值U(0+)和i（0+）(画出0+时刻等效电路,L、C分别用电流源、电压源代替eg:电路如图1所示，在t=0时，开关S闭合，开关闭合前电路已处于稳态。
求初始值Uc（0+）和i（0+）解：（1）求初始状态Uc（0-）。
开关S闭合前电路已处于直流稳态，电容看做开路，得到环路前0-时刻等效电路图如图2所示，得Uc（0-）= -10V（2）确定独立初始值Uc（0+）一阶电路中电容电压不能突变，由换路定则得：Uc（0-）= Uc（0+）= -10V（3）由0+时刻等效电路确定初始值i（0+）。
电容用电压值为Uc（0+）的电压源替代，换路后的0+时刻等效电路图如图3所示，则根据回路电压方程得10 i（0+）+10【i（0+）-1】+ Uc（0+）+10=0i（0+）=0.5mA二、分析方法（激励为正弦量）方法：相量法。
将时域转化到复数域进行运算。
（但激励必须是单一频率的正选信号）。
*当激励为多个不同频率正选信号作用时，先借助相量法，分别求出各个不同频率正弦信号作用下的正弦稳态响应分量。
第6章 一阶电路
Ke −5τ
变化规律的核心部分
变化规律的核心部分 ② 是指数函数
f ( t ) = Ke
− t RC
此处K 此处K=Us。其中RC乘积的量纲为时间， 其中RC乘积的量纲为时间 乘积的量纲为时间， 令 τ = RC ，称为时间常数。 τ决定uc变化的快 称为时间常数。 慢。 f(t)
K
f (t ) = Ke
R +
解
(t) c δ
-
u(t)
s(t) = (1A)R(1− e τ )ε(t)
ds (t ) h (t ) = dt t − d τ = R ε (t ) − e ε (t ) dt t t − 1 −τ τ = R δ (t ) − δ (t ) e + e ε (t ) τ 1 −τ τ = R e ε (t ) = e ε (t ) τ C 1
§2-2 零输入响应
（2）如何获悉uc(0)或iL(0)? 如何获悉u (0)或 （a）根据t≤0时的电路计算； 根据t≤0时的电路计算 时的电路计算； （b）作为已知条件给出，不必追究其来源。 作为已知条件给出，不必追究其来源。
(3)
例题 4Ω
求iL(t) 、uL(t)及i(t)，t≥0？ t≥0？
例如 t ≥ 0时，，(t) = 5V uS 可记为 此时无需再标示t 此时无需再标示t≥0 。
uS (t) = 5ε (t) ，
延时(delayed)单位阶跃函数 延时(delayed)单位阶跃函数
ε (t)
1
0 ε(t − t0 ) = 1
t < t0 t > t0
0
t0
t
ε(t-t0) 连同ε(t) ，可以用数学形式表明分段常量 ε(t
电路邱关源电子教案第六章
第六章 一阶电路第一节 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路：含有动态元件电容和电感的电路。
1、特点：当动态电路状态发生改变时（换路），需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个变化过程称为电路的过渡过程。
换路：由开关动作引起电路结构或参数的改变。
电容电路：CutS 闭合前，电路处于稳定状态，0C u=S 闭合后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，C S u U = 电感电路：tLiS 闭合前，电路处于稳定状态，0L i =S 闭合后很长时间，电路达到新的稳定状态，SL U i R= 2、动态电路的方程CuLi一阶RC 电路（含有电阻和一个电容）一阶电路一阶RL 电路（含有电阻和一个电感） c S Ri u U += c du i Cdt = L L S Ri u U += L L diu L dt= c c S du RCu U dt +=—一阶线性微分方程 L L S diRi L U dt+=二、电路的初始条件及换路定则1、电路的初始条件（初始值）：变量（电压或电流）及其(1)n -阶导数在0t +=时的值。
0t -=换路前一瞬间 认为换路在 t =0时刻进行0t +=换路后一瞬间(0)f +)-2、换路定则当电容电流和电感电压为有限值时，则有：（1）(0)(0)C C u u +-=，(0)(0)C C q q +-=；换路前后瞬间电容电压（电荷）保持不变。
（2）(0)(0)L L i i +-=，(0)(0)L L +-ψ=ψ；换路前后瞬间电感电流（磁链）保持不变。
证明：0001111()()d ()d ()d (0)()d t t t C C u t i i i u i C C C C ξξξξξξξξ-----∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰0t +=时刻 001(0)(0)()d C C u u i C ξξ+-+-=+⎰(0)(0)C C u u +-=得证0001111()()d ()d ())d (0)()t t t L L i t u u u i u d L L L L ξξξξξξξξ-----∞-∞==+=+⎰⎰⎰⎰0t +=时刻 001(0)(0)()L L i i u d L ξξ+-+-=+⎰(0)(0)L L i i +-=得证三、初始值的确定（求(0)f +）求初始值的步骤:1由换路前电路求(0)C u -和(0)L i -（换路前电路一般为稳定状态，则C 为开路，L 为短路）； 2由换路定则得(0)C u + 和(0)L i +。
一阶电路分析
电流源替代;
uC(0-)=0
iL(0-)=0
注：换路前无储能， C----短路; L----开路;
3.在t=0+时的置换电路上运用电阻电路分析方法计
算其它所求响应的初始值。
三、三要素法
t=0
uC(0)=U0
t=0
iL(0)=I0
1t
uC (t) (U0 RI S ) e τ RI S
初始值
，iR
uC R
｛ uc(0)=0
C duC dt
uC R
IS ，
t 0
uc
uch
ucp
1
Ke RC
t
uch
1
Ke RC
t
，
RI S ，
uC (0) 0
uC (0) Ke0 RI S 0 , K RI S
uC
(t)
RI S (1
1t
eτ
)，
t
0， τ
RC
ucp Q RI S
电 路 的 零 状 态 响 应
RCUCmωsin(ωt ψu ) UCmcos(ωt ψu ) U Smcos(ωt ψ)
(RUCmωC )2
U
2 Cm
cos(ωt
ψu
tg1ωCR)
U Sm cos(ωt
ψ)
UCm
R2ω2C
2
1
U
，
Sm
ψu tg1ωCR ψ
｛UCm
U Sm 1 R2ω2C 2
素 3.正弦量的相位差
二、正弦激励的瞬态和稳态
ψ π
u(t) Umcosωt
0
u(t) Umcos(ωt ψ) u(t) Umcos(ωt ψ)
一阶电路的详细分析
1. RC电路的零状态响应
K(t=0)
i
+
+
uR R +
US –
–
u+C C
US –
–
1、电路特征 （换路后）
i
2、建立方程
+
（换路后）
uR
–
R 3、微分方程的解
u+C C
–
uC (0－)=0
换路后的电路
t
t
uc U S U S e U S (1 e ) (t 0)
从上式可以得出：
U0 uC
连续 函数
i I0
跃变
0
t
0
t
（2）响应衰减快慢与有关；
=RC ,称为一阶电路的时间常数
RC
欧法
欧
库 伏
欧
安秒 伏
秒
（3）时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 → 过渡过程时间长
uC U0
小 → 过渡过程时间短
3、微分方程的解
1t
i(t) I0e t 0
uL (t)
L diL dt
t
RI 0e
从以上式子可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
I0 iL
连续 函数
0
t
uL
t
-RI0
跃变
（2）其衰减快慢与 =L/R有关；
大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短
= L/R , 称为一阶RL电路时间常数
[
]
wqre
例3
求 iC(0+) , uL(0+) L i
L
解
iC +
由0－电路得：
+u – IS
L
R
K(t=0)
C
uC
–
IS
R
0－电路
0+电路 I S +u –
L
iL(0+) = iL(0－) = IS
iC + R IS –
uC(0+) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
R
RI S iC (0 ) I s 0 R
f (0 ) lim f ( t )
t 0 t 0
初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值
例
duc RC uc 0 dt pt 代入试探解： uc Ae 特征根方程： RCp 1 0
得通解：
图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo, 求开关闭合后电容电压随时间的变化。 (t=0) + 解 Ri uc 0 (t 0) u R C
+ -
i 10k 40k 10V k
-
-
电 容 开 路
+
8V iC
-
uC(0－)=8V
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0－)=8V
(3) 由0+等效电路求 iC(0+)
i 10k 10V
0+等效电路
10 8 iC ( 0 ) 0.2mA 10
电容用电 压源替代
iC(0－-)=0
K(t=0)
i
+ R
uR uC 0
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i’(t) 2×103i’(t) 2K
由: i’=
u(t)
u + u-2×103i’ 2×103 6×103 u 得: RO= i’ =2×103Ω τ=ROC=2×103s
mA，t≥0
uC(t) =6e
-
1 2
×10-3t
V, t≥0
1 2
duC i(t)= -C dt =3e
×10-3t
例6-10 求uab(t), t≥0
t=0 K1
t=0
Us=U0
C
K2 Uc(0)=U0
i( t )
R
UR(t)
t=0时，K1打开，K2闭合，换路前电路处于稳态
求uC(t) 、 i(t) , t≥0
换路： 电路中电源的接入、断开或元件参数和电路 结构的变化都称为换路。 换路定律： uc(0+)=uc(0- ) 注意 1. 换路定律只适用于状态变量 uC 和iL； 2. 非状态量 iC, uL, iR和 uR在换路前后可能 发生跃变。 iL(0+)=iL( 0- )
30Ω
60 = + 2 = 4A 30
iL(∞)
60V
60Ω
求iL(∞)的等效电路
60Ω
求R0的等效电路
RO=
30×60 30+60
= 20Ω
0.2 1 L t= = 20 = 100 s RO
t
5
i(t) 1.2
4
i(t)=2+0.5 e
-
2
1
A，t≥0
iL
18V
t≥0
补充例1 求图示电路的i1(t)、iL(t)，t≥0, 已知iL(0)=0
i 1( t ) 30Ω iL(t) 0.2H 30Ω 2A 60Ω
解：零状态响应 求iL(∞)
60V t ≥0
t≥ 0
2A
iL(∞)
求R0
工程上认为电容电压已达稳态
二. RL电路
UR
R US iL(t)
t=0时，开关闭合
L uL
求iL(t), t≥0
已知 iL(0)=0
（1）求通解 iLh(t) = Kest Ls + R = 0 R s=L iLh
R = Ke L t
解：对t≥0 的电路列方程 uL + uR = US diL L +RiL = US dt iL(0) = 0
1 RC
，t≥0
1 - t t ) ，t≥0 令t = RC， uC(t) = US (1- e duC Us - 1 t iC(t)=C dt = R e t ，t≥0 uc ic
Us
0 t
Us/R
0
t
t =t 时 t=4t 时
uC(t)=US(1-e-1)=0.632US
uC(4t)=US(1-e-4)≈US
8
2i
i 0.2H
答案：R0=24Ω
1 τ S 120
小 结 R- t (0)e t
1.一阶电路的零输入响应公式
RC电路---t=0时换路： uC(t)=uC
- t t (0)e
1
，t≥0
，t≥0
t = R 0C
L t= R0
t-t0
t
RC电路--- t=t0时换路： RL电路--- t=t0时换路
1.物理分析
i( t )
K1 Us K2
Uc(0)=Us
C
R
UR(t)
t<0 uC = Us i=0
u Us
0
t=0+ uC = U s i=Us/R
t>0 uC i=uC/R
i
t ∞ uC 0 i 0
Us/R t
0
t
2.数学分析:换路后电路
i( t )
Uc
uC - uR = 0 du i(t) =-C dt
二. RL电路
a
t=0时,K1由b->c, K2闭合， 换路前处于稳态
K2
K1 b
c
求iL(t)、uL(t) ， t≥0
R uR(t)
Is
L
UL(t)
iL ( t )
解：iL(0)=Is
L
iL(t) UL(t)
R
UR
t≥0
uL-uR=0 diL uR=-RiL uL=L dt diL L +RiL=0 iL(0)=Is dt
R
ic C
Us
uc
t=0时，开关K动作， 动作前电路处于稳 态。求uC(t)、iC(t) ， t ≥0
uc Us
1.物理分析
t<0
uC=0
iC=0
uC
t = 0+
uC=0 iC=Us/R
0
t
ic
Us/R
t>0 i C
t
uC US ∞ iC 0
0
t
2.数学分析
K
Us
R
ic C uc
Ric+uC=US
t ≥0
uC(0)=0
duC + uC =US RC dt uC(0)=0 uC(t)=uCh+uCp uCh uCp
(线性常系数一阶非齐次方程)
对应齐次方程的通解 非齐次方程的特解
求uCh duCh + uCh =0 RC dt uCh(t)=Kest 代入方程： RCSKest + Kest =0 RCS+1 = 0 uCh (t) =Ke 1 S=RC
uC(t)=uC(t0)e-
, t≥t0
t = R 0C
iL(t)=iL(t0 L t= R0
- t )e
t-t0
, t≥t0
2.一阶电路的零输入响应按指数规律衰减，衰 减的快慢由时间常数τ决定，τ越小，衰减越 快。
3.求出 uC(t)或iL(t)再根据置换定理，在换路后 的电路中，用电压为uC(t)的电压源置换电容， 用电流值为iL(t)的电流源置换电感，在置换后 的电路求其它电压电流。
Ke-0 +
R US iL(t) = R (1- e L t ) , t≥0 0 t U L S iL(t) = R (1- e τ ) ，t≥0 令 τ= R
t
总结：恒定输入下一阶电路的零状态响应
RC电路
uC(t) = uC(∞) (1-e
-
t
1
t
) t≥0
t = R0C
RL电路 iL(t) = iL(∞) (1-e L t= R 0
duC iC(t)=C =-3e-20tA，t≥0 dt i(t)= - 6 (-3e-20t)=2e-20tA， t≥0 3+6
3Ω 3Ω 6Ω
求R
补充例2： 求图示电路中i(t), t≥0, 已知uc(0)=6V
解:零输入响应 uC(0)=6V
求 RO
6K
6K
2×103i(t) i(t) 2K 1F uc(t)
1 RC
t
求uCp（特解与激励形式一样）
设uCp=Q常数，代入原方程： Q = US
uC(t)=Ke
-
1
RC
t
+US 得K = -US
由uC(0) = Ke-0 + US = 0 uC(t) = -USe
1
RC
t
+Us ，t≥0
1
uC(t) = US (1- e -
RC
t
)
t
，t≥0
duC Us iC(t)=C dt = R e
4.一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性 质，叫固有响应，s= -1/τ 叫固有频率。
5.线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线 性函数，即初始状态增大а倍，零输入响应也 增大а倍。
§6-2 零状态响应
P185
定义：换路后电路的响应仅由电源引起，和电 路的初始状态无关。
一.RC电路
t=0 K
iG0+iL=ISC
G0uL+ iL=ISC diL +iL=ISC GoL dt iL(0)=I0已知或可求
一阶微分方程求解（此部分内容自己复习） dX -AX=BW dt
X(t0)=X0
初始条件
（1）直接积分法 （2）试猜法 X(t)=Xh(t)+Xp(t)
§6-4 零输入响应
P203
定义：电路换路后的响应仅由动态元件的初始 储能引起---零输入响应 一.RC电路
补充例1 电路如图，已知uc(0)=15V,求uc(t), i(t)，t≥0
解：零输入响应 uC(0)=15V RO= 3×6+3=5Ω 3+6 τ=ROC=5×0.01=0.05s
t
i( t ) 3Ω 3Ω ic 0.01F Uc 6Ω
t≥0
uC(t)=uC(0)e τ =15e-20t V，t≥0
1 - τ t
-1 = 0.368U u ( t ) = U e t =τ ， C s s
t
uC /Us (%)
36.8 13.5
t 2t 3t 4t 5t 6t 7t 8t
4.98
1.83 0.674 0.0912
0.00454
3.7210 42
时间常数 t 越大，衰减越慢； t 越小，衰减越快。 从理论上讲，电路只有在 t 时才能衰减到0。 但在工程上，通常认为 t≥4t 时，电容放电过程基本结 束，电路进入稳态。
iL(t) = iLh+iLp
（2）求特解： 设iLp=A，代入原方程： US RA=US A= R - R t US US iL(t) = Ke L + R 利用初始条件：