2020年度高考数学二轮练习情况总结复习资料选择填空狂练二十三模拟训练
2020届高考数学大二轮复习刷题首选卷第二部分刷题型选填题五理
)五选填题( 一、选择题ABABxax ，则由?，0}＝{|，若－21．(2019·四川攀枝花第二次统考)集合＝＝{－1,2}a ) 实数 组成的集合为( {1} ．{－2} BA ．2,1,0} －DC ．{－2,1} ．{D答案aABBBAB ，2＝?或＝{－1}或0,1＝{2}，∴∵集合解析 ，－＝{－1,2}，?的值为，∴D. 故选2bzzzb ∈＝＋0(＋2i(i 为虚数单位)是方程6－2．(2019·广东适应性考试)若复数3＝1b )＝( )的根，则 R 5 ．BA ．13 513 ．CD ．A 答案22bbbzzz ，解∈R )0＝＋－＋－6＋2i)＝0(6(3＋2i)的根，∴(3∵解析 3＝＋2i 是方程1b A.13.＝得故选个零件进行抽样测某工厂利用随机数表法对生产的7003．(2019·河北衡水中学二调)个样本．下图提供随机数70001,002，…，699,700，从中抽取试，先将700个零件进行编号个样本编号列开始向右读取数据，则得到的第5行第行到第表的第46行，若从表中第56) ( 是35 78 90 56 4212 23 43 56 77 33 21 18 34 29 78 64 56 07 32 52 42 06 44 38 23 68 96 08 0484 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 45 77 89 23 4534 89 94 83 75 22 53 55 78 32 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 328 B ．607 ．A007 C ．253 ．DB 答案，…5行第6253,313,457,253,007,328列开始向右读取数据，依次为从表中第解析 B.故选328.253去掉重复数据，得到的第5个样本编号是222xyx 2py )( ＋4．若双曲线－＝1与椭圆＝1有公共焦点，则的值为 p 833 B ．A ．224．C4 ．DC 答案．222xyx 2y 的焦点坐所以椭圆＋＝11的焦点坐标为(－2,0)，(2,0) 解析因为双曲线－，＝p 832pp 4.＝＝28－2,0)，(2,0)，所以－，标为(2xxfx )的图象大致为)＝e( 25．函数－(2答案 A04fff，结合选项可知A正确．(2)＝e－(0)＝e＝1，8(1)＝e－2≈0.72，解析计算k)的值应为( 6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1.5，则输入A．4.5 B．6D．C．7.5 9B答案执行题图所示的程序框图，解析nSkn<4是，＝，＝1kknSkn<4是－＝＝2，，＝22kkknSn<4是＝，＝3，＝－236kkknSn<4否，＝－＝4＝，3124kS1.5.＝输出＝4k6.所以＝950.1cbabac)的大小关系是( ＝lg ，＝log，则，，，．设7＝23102babcca >>．B >>．A．bacabc．．>>>> DCD答案590.1abc＝log<0，故选D.，∈＝lg (0,1)解析因为，＝2∈(1,2)32108．(2019·甘肃兰州一中6月冲刺)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．榫卯结构中凸出部分叫榫(或叫榫头)，已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是( )A．36 B．45D．C．54 63C答案还原该几何体，如图所示，该几何体可看作两个四棱柱拼接而成，且四棱柱底面解析，两个四棱柱的，高为36为直角梯形，由题中数据可得，底面直角梯形的上底为3，下底为11V C. 故选3和1，所以该几何体的体积×(3＋6)×3×1＝＝×(3＋6)×3×3＋54.高分别为22acB ＋2ABCabcABCABC 的形状为( 则△ ，)．在△中，cos ＝(的对边，，)分别为角，，9 c 22A ．直角三角形 B ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰三角形 A 答案BBac ＋1＋cos 2＝∵解析 cos ＝，c 222222acab －＋222BabcCABC 的形状为直角三角形．则△ 则角，cos ∴＝＝解得＋＝，为直角， cac 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望)10．(2019·江西南昌二模烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军怎样走才能使总路程最短？先到河边饮马后再回到军营，在观望烽火之后从山脚下某处出发，22yxxy ≤1，若将军从在平面直角坐标系中，设军营所在区域内点的横坐标满足，纵坐标＋yAx ，并假定将军只要到达军营所在区域即为＝点(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为3＋) 回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( 1 22－B ．10－1 ．A10 D22 C ．．A答案bab 2＋????kaxAyAbAA ，，′的中点为，，解析 设点)关于直线＋，＝3的对称点＝′(AA ′??a 222－b??，－·＝－1a 2－a ，＝3???AA ′到军到军营的最短总路程，即为点解得故点?bab ，＋＝21????，＝＋32222A.＝101－1.故选营最短的距离，则“将军饮马”的最短总路程为3＋1－OPABCD的球面上的五个点，四边形11．(2019·山东栖霞高考模拟)已知，，是球，，OABCDABDCADBCPAPAABCDADBC)的体积为＝2，，则球＝( ＝为梯形，4∥，，＝＝⊥平面π642π162 ．AB．33 16π2π D．16C．A 答案BDDEBCEAE，的中点，，连接解析如图，取，1AEADEBECBCBEADCEADBCAD＝＝＝，四边形∵∥，∴四边形且均为平行四边形，∴＝211ABCDECAEDEBEEBCDEDCABDCBCAB的外接圆圆心，＝，∴＝＝，∴，为四边形＝，又＝＝，22AEOFOEOABCDOFPAF，∴四边形⊥设为外接球的球心，由球的性质可知，垂足为⊥平面，作22RxAFOFAEOPxxROAx4＋4＝，∴2＝，解得＋4＝)－(4＋4，则＝＝，＝，设2＝＝为矩形，π26443OVR＝.故选的体积为A.＝＝22，∴球π332x1＋??x，<0－，x2?xxxgxf－＝2＝，若存(－12．(2019·广东汕头二模)已知函数())?x1＋?x≥0，，2agbfab的取值范围为( ＝(2)＋成立，则实数()在实数)，使得37????，－．1,2]BA．[－??2237????，－．C．(－1,2]D??22答案 A??x，－，<0x xx1＋?xxffxxf2＝)＝2)当(≥0时，＝(单调递增，故)解析因为(?x1 2x1＋??????1＋x??????xxxfx－＋＋?x≥0，2，2x1111＋，即≥2，当且仅当－－＝(＝－)＝－≥2；当＝－<0时，＋xx??????xxxfxagbfa)＝((时，取等号．综上可得，＋())∈[2，＋∞)．又因为存在实数2，使得＝－12bbbbgbfag A.))≤2－＝(－2≤0，解得－1≤)，即－(成立，所以只需≤2.故选(min二、填空题t bba t b t aa________. ，则－，若|＝＋|13．已知|＝(2,5＝－1)，|＝(1)＋1，－1答案b t a t ab t a t b －－＋2)＝(＝(2,5，－1)，(＝＋＋1，－1)，所以3,5解析 解法一：因为2222tt abab tttt,t 1. ，解得(5＝＋3)＋(5－2)＝－＝(1(15－)，因为|＋)|＝|)－|，所以(＋t b t ab t ababa ，解得1)0，即2(＝解法二：由|＋＋1)|＝|－－|易知(5⊥，所以0·－＝1.＝ππ????xa ????xf ，＋上是2在区间)＝3sin14．(2019·河北中原名校联盟联考)若函数－(????210a 的最大值是________．单调函数，则实数 7π 答案 5ππ3π2π7πkxkkkxkk ∈Z ()＋≤≤2，π＋由解析 2＋π≤≤2＋(π＋)∈Z ，得2π2510522π7π7π????a ，. 上单调递减，即的最大值为∴函数图象在区间 ??55515．(2019·安徽黄山第三次质量检测)在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成进行“扩展”，第一次得到1,2新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列．nxxx 2.，，…；第…，次“扩展”后得到的数列为1，；1,2,2第二次得到数列1,2,2,4,2；t,21naaxxxta ________.}的通项公式2－并记1＝log(1·，则数列··…·{·2)，其中＝＝ntnn 221n 13＋ 答案2xaxxlog(1··…···2)，得解析 由＝tn 212axxxxxxx ·2)·2)· )·＝log(1·(1··()··…··(tnt2＋11121233333xxx ·2·1··…·??t 21??kaaakaka log ＋2，即＝3，设－1＝＋＝＝3(3＋，可得)nnnnn 1＋＋12??2n11＋13133??n 1－aaka －. 所以＝－＝＝－，则数列·3是首项为，公比为3的等比数列，故，?? nnn222222??fxfx )，上的函数′((若对任意的)的导函数为)16．(2019·江苏扬州调研已知定义在R 19122xfxffxxxx )＋3的解集为－则不等式2(________－2．)<实数，(′( )>恒成立，且(3)＝，222答案 (－1,3)11gxfxxgxfxgxg (3)上单调递增，又)在))＝－(－)>0，则，∴′(()＝′(解析 令(R 223931122222ffxxxxgxxfxxx －－((－(2－3)＋等价于2(－2)＝)23－－＝(3)＝＝，∴(－)< 222222xxxgx ．1,3)(22)<(3)，即－<3，解得∈－。
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 23 填空题解题方法与技巧(高考押题)(解析版)
高考押题专练1．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B)＝_________. 【解析】因为A ＝{1,4}，B ＝{3,4}， 所以A ∪B ＝{1,3,4}， 因为全集U ＝{1,2,3,4}， 所以∁U (A ∪B)＝{2}． 【答案】{2}2．已知复数z ＝1－i2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为________．【解析】z ＝1－i 2i ＝i 1－i 2i 2＝1＋i －2＝－12－12i.所以z 的虚部为－12.【答案】－123．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取________人．【解析】设足球兴趣小组中抽取人数为n ，则n 24＝40120，所以n ＝8.【答案】84．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．【解析】由题意，n ＝1，a ＝1，第1次循环，a ＝5，n ＝3，满足a ＜16，第2次循环，a ＝17，n ＝5，不满足a ＜16，退出循环，输出的n 的值为5.【答案】55．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为__________． 【解析】从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n ＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1,2)，(2,4)，共2个，故这两个数的和为3的倍数的概率P ＝26＝13.【答案】136．设x ∈R ，则p ：“log 2x<1”是q ：“x 2－x －2<0”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”)【解析】由log 2x<1，得0<x<2，由x 2－x －2<0可得－1<x<2，所以p ⇒q ，q ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线C 的离心率为________．【解析】由题意，双曲线C 的左焦点到渐近线的距离d ＝bca 2＋b2＝b ，则b ＝2a ，因此双曲线C 的离心率e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.【答案】58．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 4－5S 2＝0，则S 5的值为________． 【解析】由题意q≠1，设等比数列的公比为q(q≠1)， 由a 1＝1，S 4－5S 2＝0，得1－q 41－q －5(1＋q)＝0，化简得1＋q 2＝5，解得q ＝±2. ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴q ＝2.故S 5＝1－251－2＝31.【答案】319.已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(0≤x<π)，且f(α)＝f(β)＝13(α≠β)，则α＋β＝__________. 【解析】由0≤x<π，知π3≤2x ＋π3<7π3，因为f(α)＝f(β)＝13<32，所以⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋⎝⎛⎭⎫2β＋π3＝2×3π2，所以α＋β＝7π6. 【答案】7π610．不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________． 【答案】(－∞，－12]∪[12，＋∞)【解析】由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f(x)＝4－x 2，g(x)＝kx －1，显然函数f(x)和g(x)的定义域都为[－2,2]．令y ＝4－x 2，两边平方得x 2＋y 2＝4，故函数f(x)的图象是以原点O 为圆心，2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分．而函数g(x)的图象是直线l ：y ＝kx －1在[－2,2]内的部分，该直线过点C(0，－1)，斜率为k. 如图，作出函数f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点，可知k 的几何意义就是半圆上的点与点C(0，－1)连线的斜率．由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故k AC ＝0－－1－2－0＝－12，k BC ＝0－－12－0＝12.要使直线和半圆有公共点，则k≥12或k≤－12.所以k 的取值范围为(－∞，－12]∪[12，＋∞)．11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6，则B ＝________.【答案】π3【解析】由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋ac 2bc ＝a ＋c 2b ＝32，∴a ＋c ＝3b ，由正弦定理得：sinA ＋sinC＝3sinB ，又C ＝5π6－B ，∴sinA ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－B ＝3sinB ，即12＋12cosB ＋32sinB ＝3sinB ，即12cosB －32sinB ＝cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－12，∴B ＋π3＝2π3，B ＝π3. 12．a ＝ln 12012－12012，b ＝ln 12013－12013，c ＝ln 12014－12014，则a 、b 、c 的大小关系为________．【答案】a>b>c【解析】令f(x)＝lnx －x ，则f ′(x)＝1x －1＝1－x x .当0<x<1时，f ′(x)>0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数． ∵1>12012>12013>12014>0，∴a>b>c. 13.如图，已知球O 的球面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．【答案】6π【解析】如图，以DA 、AB 、BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD|＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.14．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx 的最大值为________．【答案】3＋22【解析】设yx ＝k ，则可转化为直线kx －y ＝0与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点时k 的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d≤r)解决．15.已知P(x ，y)是椭圆x 216＋y 29＝1上的一个动点，则x ＋y 的最大值是________．【答案】5【解析】令x ＋y ＝t ，则问题转化为直线x ＋y ＝t 与椭圆有公共点时，t 的取值范围问题． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 29＝1y ＝－x ＋t 消去y 得，25x 2－32tx ＋16t 2－144＝0， ∴Δ＝(－32t)2－100(16t 2－144)＝－576t 2＋14400≥0， ∴－5≤t≤5，∴x ＋y 的最大值为5.16．已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________． 【答案】[6，＋∞)【解析】∵a 、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4m －12≥0，m>0，m ＋3>0.解得m≥6，即a ＋b≥6，故a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．17.已知x>0，比较x 与ln(1＋x)的大小，结果为________． 【答案】x>ln(1＋x)【解析】解法一：令x ＝1，则有1>ln2， ∴x>ln(1＋x)．解法二：令f(x)＝x －ln(x ＋1)． ∵x>0，f′(x)＝1－11＋x ＝x 1＋x >0，又因为函数f(x)在x ＝0处连续， ∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 从而当x>0时，f(x)＝x －ln(1＋x)>f(0)＝0. ∴x>ln(1＋x)．解法三：在同一坐标系中画出函数y ＝x 与y ＝ln(1＋x)的图象，可见x>0时，x>ln(1＋x)．18．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值为________．【答案】2【解析】将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM ，过点O 作ON ⊥CM 于N ，则ON ⊥平面ABC ．∴OM 与平面ABC 所成的角是∠OMC ．在Rt △OMC 中，tan ∠OMC ＝OC OM ＝OC22OC ＝2，即OM 与平面ABC 所成角的正切值为 2.19．sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α的值等于________． 【答案】12【解析】问此式的“值”等于多少？隐含此结果与α无关，于是不妨对α进行特殊化处理．不妨取α＝0°，则sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α＝14＋14－0＝12.20．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________．【答案】1【解析】依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a 5＝5，a 3＝9满足条件．可求得S 9＝S 5＝45，故S 9S 5＝1.21．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lnx －x 2＋2x x>02x ＋1 x≤0的零点个数为________个．【答案】3【解析】依题意，在x>0时可以画出y ＝lnx 与y ＝x 2－2x 的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．22.已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．【答案】212【解析】a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33. 所以a n n ＝33n ＋n －1，设f(x)＝33x ＋x －1(x>0)，令f ′(x)＝－33x 2＋1>0，则f(x)在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f(x)有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.23．已知函数f(x)＝(2x ＋1)e x ，f′(x)为函数y ＝f(x)的导函数，则f′(0)＝________． 【解析】∵f(x)＝(2x ＋1)e x ， ∴f′(x)＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， ∴f′(0)＝3e 0＝3. 【答案】324．在平面直角坐标系中，点A ，点B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．【解析】由题意，以AB 为直径的圆过坐标原点O(0，0)，当O(0，0)到直线2x ＋y －4＝0距离为圆的直径时，圆C 的面积最小． 由点到直线的距离2r ＝|2×0＋0－4|22＋12＝45，因此r ＝25，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.【答案】4π525．若函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f(2)＝________． 【解析】∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2， 又f(2)＝f(0)＝0，因此f ⎝⎛⎭⎫－52＋f(2)＝－2＋0＝－2. 【答案】－226．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．【解析】用正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点．故①②④正确．【答案】①②④27．如图所示，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M(图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．【解析】∵S 扇形＝2×12×12×π4＋14×π×12＝π2，∴S M ＝12×2×2－S 扇形＝2－π2，∴所求概率为P ＝2－π22＝1－π4.【答案】1－π428．知函数f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f(x)＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】由题意可以画出函数f(x)在[－3，4]上的图象，如图所示，函数y ＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有10个零点，即y ＝f(x)与y ＝a 有10个交点，由图可知实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12.【答案】⎝⎛⎭⎫0，12 29．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b)⊥(a －2b)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是________．【解析】由(a ＋2b)⊥(a －2b)，得(a ＋2b)·(a －2b)＝0，即|a|2－4|b|2＝0，则|a|＝2|b|， cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b)·(a －b) |a ＋b||a －b|＝a 2－b 2a 2＋2a·b ＋b 2·a 2－2a·b ＋b 2＝3b 221b 2＝217. 【答案】21730．已知函数f(x)＝e x －1－tx ，∃x 0∈R ，f(x 0)≤0，则实数t 的取值范围为________．【解析】若t ＜0，令x ＝1t ，则f ⎝⎛⎭⎫1t ＝e 1t －1－1＜1e －1＜0；若t ＝0，f(x)＝e x －1＞0，不合题意；若t ＞0，只需f(x)min ≤0，求导数，得f′(x)＝e x －1－t ，令f′(x)＝0，解得x ＝ln t ＋1.当x ＜ln t ＋1时，f′(x)＜0，f(x)在区间(－∞，ln t ＋1)上是减函数；当x ＞ln t ＋1时，f′(x)＞0，f(x)在区间(ln t ＋1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x ＝ln t ＋1处取得最小值f(ln t ＋1)＝t －t(ln t ＋1)＝－tln t ．所以－tln t≤0，由t ＞0，得ln t≥0，所以t≥1，综上，t 的取值范围为(－∞，0)∪[1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪[1，＋∞)31．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d≠0，且a 2，a 5，a 9依次成等比数列，则使a 1＋a 2＋…＋a k ＞100a 1的最小正整数k 的值是________．【解析】设数列{a n }的公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d ，a 9＝a 1＋8d. 由a 2，a 5，a 9依次成等比数列得a 2a 9＝a 25， 即(a 1＋d)(a 1＋8d)＝(a 1＋4d)2， 化简上式得 a 1d ＝8d 2， 又d ＞0，所以a 1＝8d.所以a 1＋a 2＋…＋a ka 1＝a 1k ＋k(k －1)2da 1＝k ＋k(k －1)16＞100，k ∈N *，解得k min ＝34.【答案】34 32．抛物线y 2＝2px(p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2,0)，而双曲线的另一个焦点为F 1，抛物线和双曲线交于点B ，C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是________．【解析】由题意，抛物线方程为y 2＝8x ，且a 2＋b 2＝4，设B(x 0，y 0)，C(x 0，－y 0) (x 0＞0，y 0＞0)．则可知∠BF 1C 为直角，△BCF 1是等腰直角三角形，故y 0＝x 0＋2，y 20＝8x 0，解得x 0＝2，y 0＝4，将其代入双曲线方程得4a 2－16b 2＝1.再由a 2＋b 2＝4，解得a ＝22－2，所以e ＝222－2＝2＋1.【答案】2＋133．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C ，则cos Acos Bcos C＝________.【解析】由题意及正弦定理得tan A 2＝tan B 3＝tan C6，可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C ，于是k ＝116，从而cos Acos Bcos C ＝320×215×112＝110. 【答案】11034．已知函数f(x)＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3，x ∈[0,4]，则f(x)最大值是________．【解析】法一：当x ＝0时，原式值为0；当x≠0时，由f(x)＝2x 3＋7x 2＋6xx 2＋4x ＋3＝2x ＋7＋6x x ＋4＋3x ，令t ＝2x ＋7＋6x ，由x ∈(0,4]，得t ∈[2＋3，＋∞)，f(x)＝g(t)＝2t t 2＋1＝2t ＋1t .而t ＋1t ≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x ＝3，所以f(x)≤12.即f(x)的最大值为12.法二：f(x)＝2x(x 2＋4x ＋3)－x 2x 2＋4x ＋3＝2x x 2＋4x ＋3－⎝⎛⎭⎫x x 2＋4x ＋32， 于是令t ＝xx 2＋4x ＋3，所求的代数式为y ＝2t －t 2.当x ＝0时，t ＝0；当x≠0时，有t ＝1x ＋4＋3x ≤123＋4＝2－32，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2－32，当t ＝2－32时， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝ 3.【答案】1235．已知复数z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，满足z －2＋az ＝0，则|z ＋a |＝________.【解析】由题意得z －＝1＋3i ，所以z －2＋az ＝－2＋23i ＋a －a 3i ＝(a －2)－(a －2)3i ＝0，所以a ＝2，则|z ＋a |＝|1－3i ＋2|＝32＋(3)2＝2 3.【答案】2336．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________；f (－t )＝________. 【解析】因为函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)，所以f (π)＝π2sin π＋a ＝1，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1.设g (x )＝x 2sin x ，则易得函数g (x )为奇函数，又因为f (t )＝g (t )＋1＝2，所以g (t )＝1，g (－t )＝－g (t )＝－1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.【答案】1 037．已知等差数列{a n }，等比数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n (n ∈N *)．若S n ＝32n 2＋12n ，b 1＝a 1，b 2＝a 3，则a n ＝________，T n ＝________.【解析】由题意得a 1＝S 1＝32×12＋12×1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2－12(n －1)＝3n－1，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3n －1(n ∈N *)，所以b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝8，所以等比数列{b n }的公比为4，则T n ＝2(1－4n )1－4＝23(4n －1)(n ∈N *)． 【答案】3n －1 23(4n －1) 38．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为________；体积为________．【解析】由三视图知，该几何体为长、宽、高分别为2,2,3的长方体挖去同底等高的正四棱锥后所得．因为四棱锥的侧棱长为32＋(2)2＝11，所以四棱锥的侧面高为(11)2－12＝10，所以该几何体的表面积S ＝22＋4×2×3＋4×12×2×10＝28＋410，体积V ＝22×3－13×22×3＝8. 【答案】28＋410 839．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x 2 017，则各项系数之和为________，a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为________．【解析】令x ＝1，则各项系数之和为(1－2×1)2 017 ＝－1.令x ＝0得a 0＝(1－2×0)2 017＝1，令x ＝12得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 017＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 017a2 017＝－a 0＝－1. 【答案】－1 －140．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋3y ＝42，则xy ＋5x ＋4y 的最小值为________．【解析】因为x ，y 为正实数，所以由xy ＋2x ＋3y ＝42得y ＝42－2x x ＋3>0，所以0<x <21，则xy ＋5x ＋4y ＝x (42－2x )x ＋3＋5x ＋4(42－2x )x ＋3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋3＋16x ＋3＋31≥3×2 (x ＋3)·16x ＋3＋31＝55，当且仅当x ＋3＝16x ＋3，即x ＝1时等号成立，所以xy ＋5x ＋4y 的最小值为55.【答案】5541．如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，将△ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在⎣⎡⎦⎤102，132内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为________．【解析】如图①，过点A 作AO ⊥BD ，垂足为点O ，过点C 作直线AO 的垂线，垂足为点E ，则易得AO ＝OE ＝32，CE ＝1.在图②中，由旋转的性质易得点A 在以点O 为圆心，AO 为半径的圆上运动，且BD 垂直于圆O 所在的平面，又因为CE ∥BD ，所以CE 垂直于圆O 所在的平面，设当A 运动到点A 1处时，CA 1＝132，当A 运动到点A 2处时，CA 2＝102，则有CE ⊥EA 1，CE ⊥EA 2，则易得EA 1＝32，EA 2＝62，则易得△OEA 2是以O 为顶点的等腰直角三角形，在△OEA 1中，由余弦定理易得cos ∠EOA 1＝－12，所以∠EOA 1＝120°，所以∠A 1OA 2＝30°，所以点A 所形成的轨迹为半径为OA ＝32，圆心角为∠A 1OA 2＝30°的圆弧，所以轨迹的长度为30°180°×π×32＝312π.【答案】312π。
2020届高考二轮数学选做题题型专练 Word版含答案
2020届高考数学查漏补缺之选做题题型专练1、在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2+x t y kt==⎧⎨⎩ (t 为参数),直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩(m 为参数),设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时, P 的轨迹为曲线 C . (1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3:cos sin 0l ρθθ+=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.2、设函数()()11f x ax x x =++-∈R ．（1）当1a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）对任意实数[]2,3x ∈，都有()23f x x ≥-成立，求实数a 的取值范围．3、在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=1.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；2.直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点, ||AB =,求l 的斜率。
4、已知函数12f x x x =+--（）．（1）求不等式1f x ≥（）的解集；（2）若不等式2–f x x x m ≥+（）的解集非空，求m 的取值范围5、在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,0a >).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:4cos C ρθ=.1.说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;2.直线3C 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a.6、已知函数11()22f x x x =++-,不等式()2f x <的解集为M . 1.求M;2.当,a b M ∈时,证明: 1a b ab +<+.7、在平面直角坐标系中,已知曲线:2sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(a 为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线():2cos sin 6l ρθθ-=.(1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标。
2020届高考数学第二轮填空题专项训练13 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc
江苏省2020届高三数学二轮专题训练：填空题（13）本大题共14小题，请把答案直接填写在答题位置上。
1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α= ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n=++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =， 则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则O M O N ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}m a x ()()f af b , ，（注：{}m a x x y ,表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是 ▲ .1.{}1 9，； 2. ； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5.(01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14.1 .。
2020新高考数学二轮冲刺数列全归纳(基础—中档—拔高题全解析)
叠加得到 an
a1
2(1 2n1) 1 2
2n
2
，所以 an
2n
1 （ n
2）n
1 时也成立，
所以 an 2n 1 （ n N * ）
（3）由（2）可知 4b11 4b2 1 4b3 1 4bn 1 (an 1)bn ，
即 4(b1b2 bn n) 2nbn ，故 2(b1 b2 bn ) 2n nbn
由①-②得 an1 4an 4an1 ，所以 an1 2an 2an 4an1 2(an 2an1) .当 n 1 时，
S2 4a1 2 6 a1 a2 a2 5 ，所以 a2 2a1 5 2 3 0,
所以
an1 2an an 2an1
1 )n1 2
(1)n1
3 2n
例 2.在等差数列 an 中，公差 d 0 ，a2 是 a1 与 a4 的等比中项，已知数列 a1 ，a3 ， ak1 ， ak2 ， akn ， 成等比数列，求数列 kn的通项 kn
解析 依题意可得 a22 a1a4 ，所以 (a1 d )2 a1(a1 3d ) ，由 d 0 可得 a1 d ，则 an nd ，由已知得 d ,3d , k1d , k2d ,, knd , 是等比数列。
②若 an
a1q n1
a1 q
qn
c qn
，则数列an 为等比数列（用于判断）；
（3）中项公式法：
①若 2an an1 an1 （ n 2, n N * ），则数列 an 为等差数列（用于证明）； ②若 an2 an1an1 （ n 2, n N * ），则数列 an 为等比数列（用于证明）；
高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第三部分 刷模拟 高考仿真模拟卷(四)文-人教版高三全册数学试题
2020高考仿真模拟卷(四)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，N ＝{x |y ＝3－x 2}，则M ∩N ＝( ) A ．[－3，3]B ．[－1，3] C ．∅D ．(－1，3] 答案 B解析 因为集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }＝{y |y ≥－1}，N ＝{x |y ＝3－x 2}＝{x |－3≤x ≤3}，则M ∩N ＝[－1，3]．2．设命题p ：∃x ∈Q,2x－ln x <2，则綈p 为( ) A ．∃x ∈Q,2x－ln x ≥2 B．∀x ∈Q,2x－ln x <2 C ．∀x ∈Q,2x－ln x ≥2 D．∀x ∈Q,2x－ln x ＝2 答案 C解析 綈p 为∀x ∈Q,2x－ln x ≥2. 3．若函数f (x )是幂函数，且满足f 4f 2＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 设f (x )＝x α(α为常数)，∵满足f 4f 2＝3，∴4α2α＝3，∴α＝log 23.∴f (x )＝x log23，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－log23＝13.4．已知下列四个命题：①存在a ∈R ，使得z ＝(1－i)(a ＋i)为纯虚数；②对于任意的z ∈C ，均有z ＋z －∈R ，z ·z －∈R ；③对于复数z 1，z 2，若z 1－z 2>0，则z 1>z 2；④对于复数z ，若|z |＝1，则z ＋1z∈R .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，若z 为纯虚数，则a ＋1＝0，1－a ≠0，得a ＝－1，故①正确；②设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，那么z ＋z －＝2a ∈R ，z ·z －＝a 2＋b 2∈R ，故②正确；③令z 1＝3＋i ，z 2＝－2＋i ，满足z 1－z 2>0，但不满足z 1>z 2，故③不正确；④设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a ，b 不同时为0，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，则z ＋1z＝a＋b i ＋1a ＋b i ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b2＝2a ∈R ，故④正确． 5．关于直线a ，b 及平面α，β，下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥α，α∩β＝b ，则a ∥b B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若a ⊥α，α∥β，则α⊥β D ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥α 答案 C解析 A 错误，因为a 不一定在平面β内，所以a ，b 有可能是异面直线；B 错误，若α⊥β，m ∥α，则m 与β可能平行，可能相交，也可能m 在β内；由直线与平面垂直的判断定理能得到C 正确；D 错误，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．6．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( )A ．3B ．9C ．10D ．13 答案 C解析 因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，设等比数列{a n }的公比为q ，则6a 4＝a 4q 2－a 4q ，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－2,0)，过点F 1作倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ，则椭圆的标准方程为( )A.y 28＋x 24＝1B.x 28＋y 24＝1C.y 216＋x 212＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由左焦点为F 1(－2,0)，可得c ＝2，即a 2－b 2＝4，过点F 1作倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x ＋2)，圆心(0,0)到直线的距离d ＝233＋9＝1， 由直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交的弦长为3b ， 可得2b 2－1＝3b ，解得b ＝2，a ＝22， 则椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.8．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加研学活动．甲说：“乙去我就肯定去．”乙说：“丙去我就不去．”丙说：“无论丁去不去，我都去．”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去．”以下推论可能正确的是( )A ．乙、丙两个人去了B ．甲一个人去了C ．甲、丙、丁三个人去了D ．四个人都去了 答案 C解析 因为乙说“丙去我就不去”，且丙一定去，所以A ，D 不可能正确．因为丁说“甲、乙中只要有一人去，我就去”，所以B 不可能正确．选C.9．下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”．已知正整数n 被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n 的最小值．执行该程序框图，则输出的n ＝( )A ．50B ．53C ．59D ．62 答案 B解析 模拟程序运行，变量n 值依次为1229,1061,893,725,557,389,221,53，此时不符合循环条件，输出n ＝53.10．(2019·某某高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( ) A ．－2 B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案 C解析 ∵函数f (x )为奇函数，且|φ|<π，∴φ＝0. 又f (x )的最小正周期为π， ∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f (x )＝A sin2x .由题意可得g (x )＝A sin x ，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2， 即A sin π4＝2，解得A ＝2.故f (x )＝2sin2x .∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.故选C.11．已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝( )A ．238＋1 B ．239＋2 C ．238＋2 D ．239答案 B解析 根据题意，得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差d ＝1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)×233＋1＋2＝239＋2.12．(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32 )>f (2－23 )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23 )>f (2－32 )C ．f (2－32 )>f (2－23 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f (2－23 )>f (2－32 )>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314答案 C解析 因为f (x )是定义域为R 的偶函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又因为log 34>1>2－23 >2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， 所以f (log 34)<f (2－23 )<f (2－32)．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校高一学生有720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法，抽取180人进行英语水平测试，已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数的等差中项，且高二年级抽取65人，则该校高三年级学生人数是________．答案 660解析 根据题意，设高三年级抽取x 人， 则高一抽取(180－x －65)人， 由题意可得2(180－x －65)＝x ＋65， 解得x ＝55.高一学生有720人，则高三年级学生人数为720×55180－65－55＝660.14．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0，且z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)的最大值为4，则1m ＋1n的最小值为________．答案 2解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，2x －y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)过直线x ＝y 与直线2x －y ＝2的交点(2,2)时， 目标函数z ＝mx ＋ny (m >0，n >0)取得最大值4， 即2m ＋2n ＝4，即m ＋n ＝2， 而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，故1m ＋1n的最小值为2.15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，若PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9，且a ＋b ＝7，则该双曲线的离心率为________．答案 54解析 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ， ∵PF 1→·PF 2→＝0，△PF 1F 2的面积为9， ∴12mn ＝9，即mn ＝18， ∵在Rt △PF 1F 2中，根据勾股定理，得m 2＋n 2＝4c 2， ∴(m －n )2＝m 2＋n 2－2mn ＝4c 2－36，结合双曲线的定义，得(m －n )2＝4a 2，∴4c 2－36＝4a 2，化简整理，得c 2－a 2＝9，即b 2＝9， 可得b ＝3.结合a ＋b ＝7得a ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴该双曲线的离心率为e ＝c a ＝54.16．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ．若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为________．答案 2－4ln 2解析 因为f (x )<0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，f (x )>0恒成立，即对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a >2－2ln x x －1恒成立． 令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2x －12，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－21－xx 2<0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )>m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2>0， 从而l ′(x )>0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )<l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a >2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(2019·某某某某模拟二)(本小题满分12分)交强险是车主须为机动车购买的险种．若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用(基本保费)是a 元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年度车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如下表：的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：将这100险条例》汽车交强险价格为a ＝950元．(1)求m 的值，并估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数； (2)试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的概率． 解 (1)m ＝100－50－10－10－3－2＝25，3分估计该地本年度使用这一品牌7座以下汽车交强险费大于950元的辆数为5000×5100＝250.6分(2)解法一：保费不超过950元的类型有A 1，A 2，A 3，A 4，所求概率为50＋10＋10＋25100＝0.95.12分解法二：保费超过950元的类型有A 5，A 6，概率为3＋2100＝0.05，因此保费不超过950元的概率为1－0.05＝0.95.12分18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos x ，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).4分所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).5分 (2)由f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12可得，2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，所以A ＝π3，7分又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，而AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，所以bc ＝18，9分所以cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1，所以a ＝3 2.12分19．(2019·某某模拟)(本小题满分12分) 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BCC 1B 1，∠BCC 1＝π3，AB ＝BB 1＝2，BC ＝1，D 为CC 1的中点．(1)求证：DB 1⊥平面ABD ； (2)求点A 1到平面ADB 1的距离． 解 (1)证明：在平面四边形BCC 1B 1中，因为BC ＝CD ＝DC 1＝1，∠BCD ＝π3，所以BD ＝1，又易知B 1D ＝3，BB 1＝2，所以∠BDB 1＝90°， 所以B 1D ⊥BD ，因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥DB 1，3分所以B 1D 与平面ABD 内两相交直线AB 和BD 同时垂直， 所以DB 1⊥平面ABD .5分(2)对于四面体A 1－ADB 1，A 1到直线DB 1的距离，即A 1到平面BB 1C 1C 的距离，A 1到B 1D 的距离为2，设A 1到平面AB 1D 的距离为h ，因为△ADB 1为直角三角形，所以S △ADB 1＝12AD ·DB 1＝12×5×3＝152，所以V A 1－ADB 1＝13×152×h ＝156h ，7分因为S △AA 1B 1＝12×2×2＝2，D 到平面AA 1B 1的距离为32， 所以V D －AA 1B 1＝13×2×32＝33，9分因为V A 1－ADB 1＝V D －AA 1B 1，所以15h 6＝33， 解得h ＝255.所以点A 1到平面ADB 1的距离为255.12分20．(2019·某某师大附中模拟三)(本小题满分12分)已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋b 与轨迹C 交于两点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且|y 1－y 2|＝a (a ＞0，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD ，BD .试判断△ABD的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则Q (－1，y )，∵QP →·QF →＝FP →·FQ →，∴(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，即2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，即y 2＝4x ，所以动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .4分(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，依题意，知k ≠0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝4bk，由|y 1－y 2|＝a ，得(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝a 2， 即16k 2－16b k＝a 2，整理，得16－16kb ＝a 2k 2， 所以a 2k 2＝16(1－kb )，①7分 因为AB 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－bk k 2，2k ，所以点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2，2k ，则S △ABD ＝12|DM |·|y 1－y 2|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－bk k 2a ，9分由方程ky 2－4y ＋4b ＝0的判别式Δ＝16－16kb ＞0，得1－kb ＞0，所以S △ABD ＝12·1－bkk2·a ， 由①，知1－kb ＝a 2k 216，所以S △ABD ＝12·a 216·a ＝a332，又a 为常数，故S △ABD 的面积为定值.12分21．(2019·某某某某二模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln x －ax 2. (1)讨论函数f (x )的单调区间； (2)证明：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3.解 (1)f (x )＝1＋ln x －ax 2(x ＞0)， f ′(x )＝1－2ax2x，当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；2分 当a ＞0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，f ′(x )＞0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞，f ′(x )＜0，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.4分 (2)证法一：xf (x )＜2e 2·e x ＋x －ax 3，即证2e 2·e xx －ln x ＞0，令φ(x )＝2e 2·e xx －ln x (x＞0)，φ′(x )＝2x －1e x －e 2x e 2x2，令r (x )＝2(x －1)e x －e 2x ，r ′(x )＝2x e x －e 2，7分 r ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，r ′(1)＜0，r ′(2)＞0，故存在唯一的x 0∈(1,2)使得r ′(x )＝0，∴r (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，∵r (0)＜0，r (2)＝0， ∴当x ∈(0,2)时，r (x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，r (x )＞0； ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝1－ln 2＞0，得证.12分证法二：要证xf (x )＜2e 2·e x －ax 3，即证2e 2·e xx 2＞ln x x ，令φ(x )＝2e 2·e xx 2(x ＞0)，φ′(x )＝2x －2exe 2x3，7分∴当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0. ∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(2)＝12.令r (x )＝ln x x ，则r ′(x )＝1－ln xx2， 当x ∈(0，e)时，r ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，r ′(x )＜0. ∴r (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴r (x )≤r (e)＝1e，∴φ(x )≥12＞1e ≥r (x )，∴2e 2·e xx 2>ln xx，得证.12分(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →(a >0且a ≠1)，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值．解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，由OP →＝aOM →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0，y ＝ay 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝xa ，y 0＝ya .∵M 在C 1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧xa＝2＋2cos θ，ya ＝2sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2a cos θ，y ＝2a sin θ(θ为参数)，消去参数θ得(x －2a )2＋y 2＝4a 2(a ≠1)，∴曲线C 2是以(2a,0)为圆心，以2a 为半径的圆.5分 (2)解法一：A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0，设B 点的坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝a |23cos α－2sin α＋23|2＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3，∴当α＝－π6时，d max ＝(3＋2)a ，∴S △AOB 的最大值为12×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分解法二：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2a )2＋y 2＝4a 2并整理得，ρ＝4a cos θ，令θ＝α得ρ＝4a cos α，∴B (4a cos α，α)，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝a |2sin αcos α－23cos 2α|＝a |sin2α－3cos2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3.∴当α＝－π12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，依题意有(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.10分 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|3x －1|＋|3x ＋k |，g (x )＝x ＋4. (1)当k ＝－3时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)设k >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，都有f (x )≤g (x )，求k 的取值X 围． 解 (1)当k ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x ＋4，x <13，2，13≤x ≤1，6x －4，x >1，故不等式f (x )≥4可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，6x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧13≤x ≤1，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x <13，－6x ＋4≥4.解得x ≤0或x ≥43，∴所求解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥43.5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13时，由k >－1有，3x －1<0,3x ＋k ≥0，∴f (x )＝1＋k ，不等式f (x )≤g (x )可变形为1＋k ≤x ＋4，故k ≤x ＋3对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－k 3，13恒成立， 即k ≤－k 3＋3，解得k ≤94，而k >－1，故－1<k ≤94.∴k 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，94.10分。
高考数学二轮复习选择填空狂练二十三模拟训练三文
模拟训练三1．[2018·衡水中学]已知集合{}21,x A y y x ==-∈R ，{}220B x x x =--<，则（ ） A ．1A -∈B BC ．()AB A =RD ．A B A =2．[2018·衡水中学]已知复数z 的共轭复数为z ，若4z =，则z z ⋅=（ ） A ．16B ．2C ．4D ．2±3．[2018·衡水中学]已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点()222,log M a 、()255,log N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ） A ．22n -B ．122n +-C ．21n -D ．121n +-4．[2018·衡水中学]齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14 C ．15D ．165．[2018·衡水中学]下面几个命题中，假命题是（ ） A ．“若a b ≤，则221a b ≤-”的否命题B ．“()0,a ∀∈+∞，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定C ．“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数sin2y x =的一个周期”D ．“220x y +=”是“0xy =”的必要条件6．[2018·衡水中学]双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆(()2211x y -+-=相切，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2BC D7．[2018·衡水中学]将数字1，2，3，4，5，6书写在每一个骰子的六个表面上，做成6枚一样的骰子，分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A 和B 所示的两个柱体，则柱体A 和B 的表面（不含地面）数字之和分别是（ ）一、选择题A ．47，48B ．47，49C ．49，50D ．50，498．[2018·衡水中学]已知函数()()2lg 12sin f x x x x x =++++，()()120f x f x +>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．12x x >B ．12x x <C ．120x x +<D ．120x x +>9．[2018·衡水中学]某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．2163π-B ．216 4.5π-C ．2166π-D ．2169π-10．[2018·衡水中学]将函数1sin 2π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位，再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数的一个单调递增区间为（ ）A ．13π,1212π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13π25π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13π,121π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7π19π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．[2018·衡水中学]若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 2P ，AB 不共线时，PAB △面积的最大值是（ ） A ．2B 2C ．23D ．2312．[2018·衡水中学]已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，()0,1x ∈的图象相切，则0x 必满足（ ） A ．0102x << B ．0112x << C 022x <<D 023x <<13．[2018·衡水中学]已知平面向量a 与b 的夹角为π3，且=1b ，2+=a b =a ____． 14．[2018·衡水中学]将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1，⋅⋅⋅，则第30组第16个数对为__________．15．[2018·衡水中学]若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ⎧≤+≤≥⎪⎨⎪⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =_________．16．[2018·衡水中学]若存在两个正实数x ，y 使等式()()22e ln ln 0x m y x y x +--=成立（其中e 2.71828=），则实数m 的取值范围是__________．1．【答案】D 【解析】{}{}()21,11,x A y y x y y ==-∈=>-=-+∞R ，{}{}()220121,2B x x x x x =--<=-<<=-；A B A ∴=．故选D ．2．【答案】A【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，24z a ==，()()222i i 416z z a b a b a b ∴⋅=+⋅-=+==， 故选A ． 3．【答案】C【解析】由题意可得22log 211a =-=，25log 514a =-=， 则22a =，516a =，数列的公比2q ==， 数列的首项21212a a q ===，其前n 项和()1122112n n n S ⨯-==--．本题选择C 选项． 4．【答案】A【解析】记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a ，b ，c ， 齐王的上等马、中等马、下等马分别为A ，B ，C ，由题意可知，可能的比赛为：Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，共有9种， 其中田忌可以获胜的事件为：Ba ，Ca ，Cb ，共有3种， 则田忌马获胜的概率为3193p ==，本题选择A 选项． 5．【答案】D【解析】对于A ．“若a b ≤，则221a b ≤-”的否命题是“若a b >，则221a b >-”，A 是真命题； 对于B ，“()0,a ∀∈+∞，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定为“()0,a ∃∈+∞，函数x y a =在定义域内不单调递增”正确，例如12a =时，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，B 为真命题；对于C ，“π是函数sin y x =的一个周期”，不正确，“2π是函数sin 2y x =的一个周期”正确，根据或命题的答案与解析一、选择题定义可知，C 为真命题；对于D ，“220x y +=”→“0xy =”反之不成立，因此“220x y +=”是“0xy =”的充分不必要条件，D 是假命题，故选D ． 6．【答案】A【解析】因为双曲线22221x y a b -=的一条渐近线为by x a =±，0bx ay ±=，所以22222|3|13233030b a b a ab b a b ab b a ±=⇒+±=+⇒±=⇒±=，因为0a >，0b >， 所以32b a c a =⇒=，2e =，故选A ． 7．【答案】A【解析】图A 中数字之和为163425616143547++++++++++++=， 图B 中数字之和为345216523425648++++++++++++=，故选A ． 8．【答案】D 【解析】()()()()22lg 12sin lg 12sin f x f x x x x x x x x x ⎛⎫+-=+++++-+-+-- ⎪⎝⎭lg10==，∴函数()f x 是奇函数，并且可得函数()f x 在0x ≥时单调递增，因此在R 上单调递增，()()120f x f x +>，()()12f x f x ∴>-，()()12f x f x ∴>-，12x x ∴>-，即120x x +>，故选D ． 9．【答案】D【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是14个圆锥），故体积为321162π362169π43-⨯⨯⨯⨯⨯=-，故选D ．10．【答案】C【解析】将函数1sin 2π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位，所得的图象对应的解析式为2ππ3117πsin sin 22122y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），所得的图象对应的解析式为7πsin12y x⎛⎫=-⎪⎝⎭，令7π2π2π,212ππ2k x k k-≤-≤+∈Z，解得13π2π2π,1212πk x k k+≤≤+∈Z，令0k=时，所得图象对应的函数的一个单调递增区间为13π,121π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C．11．【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系，则()1,0A-，()1,0B，设(),P x y，则()()2222121x yx y++=-+，化简得()2238x y-+=，由圆的性质可得，PAB△面积的最大值，PAB∴△面积的最大值1222222⨯⨯=，故选A．12．【答案】D【解析】设l与函数lny x=，()0,1x∈的图象的切点为()11,lnx x，则由()'1ln xx=，()'22x x=，得210110ln12x xxx x x-==-，()10,1x∈，所以11122xx=>，2011ln2xx=-，2001ln20x x--=．令()21ln2h x x x=--，则()21ln220h=-<，()32ln230h=->，由零点存在定理得()2,3x∈，故选D．13．【答案】【解析】由=1b，将23+=a b224cos4123π+⋅+=a ab b，即2144122+⋅+=a a，解得2=a．14．【答案】()17,15【解析】根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为3，第二组每一对数字和二、填空题为4，第三组每对数字和为5，，第30组每一对数字和为32，∴第30组第一对数为()1,31，第二对数为()2,30，，第15对数为()15,17，第16对数为()17,15，故答案为()17,15． 15．【答案】2-【解析】试题分析：画出如图所示的可行域，由2z x y =+可得2y x z =-+，由图像可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线2y x z =-+截距最小，即z 最小，则目标函数为26y x =--因为26x y y x +=-⎧⎨=⎩，解得22x y =-⎧⎨=-⎩，即()2,2A --，因为点A 也在直线y k =上，所以2k =-．16．【答案】()e 2,0,⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题意可得()()22e ln ln x m x y y x =--，则()()2e ln ln 11e ln 22x y y x y ym x x x --⎛⎫==-⨯⋅ ⎪⎝⎭， 令()0y t t x =>，构造函数()e ln 2t g t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()1111'ln e ln 22e 22t g t t t t t ⎛⎫=-+-⨯=-+- ⎪⎝⎭，()2212e''022e t g t t t t+=--=-<恒成立，则()'g t 单调递减， 当e t =时，()'0g t =，则当()0,e t ∈时，()'0g t >，函数()g t 单调递增， 当()e,t ∈+∞时，()'0g t <，函数()g t 单调递减， 则当e t =时，()g t 取得最大值()e e 2g =，据此有1e 2m ≤，0m ∴<或2em ≥． 综上可得，实数m 的取值范围是()e 2,0,⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭．。
2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组答案解析(9页)
2020年江苏高考数学数列二轮专项训练题组专题13 数列(一)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.将答案填在题中的横线上.1.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a d的值为____. 【答案】1【解析】由题意得：2214a a a =⋅，则2111()(3)a d a a d +=⋅+，整理得1a d =，所以11a d= 2.等比数列{}n a 中，若12341,4,2,a a a a =成等差数列，则17a a =【答案】64【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，2344,2,a a a 成等差数列，所以，32444a a a =+，即2344q q q =+，解得：q ＝2，所以，6171a a a q =＝643.等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a 4.若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，则21a a 的值为 ． 【答案】3【解析】∵ln 1a 、ln 2a 、ln 5a 成等差数列，∴2152a a a =，故2111(4)()a a d a d +=+，又公差不为0，解得12d a =，∴21111133a a d a a a a +===．5. 等差数列{}n a 的公差不为零，121,a a =是1a 和5a 的等比中项，则159246a a a a a a ++=++ ．【答案】97【解析】由题意得：2215a a a =⋅，则2111()(4)a d a a d +=⋅+，整理得：12d a =，15951124641134993377a a a a a d a a a a a a d a +++====+++6.已知1，1a ，2a ，4成等差数列，1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，则122a ab +的值是 ． 【答案】25 【解析】1Q ，1a ，2a ，4成等差数列，21145a a ∴+=+=，又1，1b ，2b ，3b ，4成等比数列，2213144b b b ∴==⨯=，解得22b =±，又21210b b =⨯>，22b ∴=，∴12252a ab +=． 7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前2019项和为 ．【答案】20202019【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，44a =Q ，515S =，134a d ∴+=，1545152a d ⨯+=， 联立解得：11a d ==， 11n a n n ∴=+-=．∴11111(1)1n n a a n n n n +==-++． 则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前2019项和1111112019112232019202020202020=-+-+⋯⋯+-=-=． 8. 在等比数列{}n a 中，首项11a =，且34a ，42a ，5a 成等差数列，若数列{}n a 的前n 项之积为n T ，则10T 的值为 ．【答案】452【解析】在等比数列{}n a 中，首项11a =，且34a ，42a ，5a 成等差数列，43544a a a ∴=+，32444q q q ∴=+，解得2q =， 12n n a -∴=，Q 数列{}n a 的前n 项之积为n T ，024567890123456789451022222222222T +++++++++∴=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==．9. 已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为 ． 【答案】31【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，2124a a +=Q ，235a a =，1(2)4a q ∴+=，22411()a q a q =，联立解得11a =，2q =．∴该数列的前5项的和5213121-==-．10.等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ．【答案】32【解析】当：时：不合题意当：1≠q 时：11.已知数列是等差数列，是其前n 项和.若，则的值是_____.【答案】16.【解析】由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.{}n a n n S 3676344S S ==,8a *{}()n a n ∈N n S 25890,27a a a S +==8S 1=q由题意可得：， 解得：，则. 12.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前项和，则使得n S 达到最大值的n 是 ．【答案】20【解析】设等差数列公差为d ，则有11361053999a d a d +=⎧⎨+=⎩解得139a =，2d =-203921910a ∴=-⨯=>，213922010a =-⨯=-<∴数列的前20项为正， ∴使得n S 达到最大值的是2013.设数列{}n a 各项为正数，且()13log 12n n a -+=，若()321log 1n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使345n T >成立时n 的最小值为 .【答案】6【解析】()13log 12n n a -+=，()221321log 124n n n n b a ---=+==，则()211211444413n nn n T b b b -=+++=++++=-……. 不等式345n T >即为()*41036n n N >∈，所以6n ≥，于是345n T >成立时n 的最小值为6. 14.已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n 项和，则使得成立的n 的最小值为________．【答案】27 【解析】设，则()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩152a d =-⎧⎨=⎩8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，，为等差数列项数，且.由得满足条件的最小值为.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，530S =． （1）求n a ； （2）设数列1{}n S 前n 项和为n T ，当20192020n T =时，求n 的值． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24a =Q ，530S =．14a d ∴+=，1455302a d ⨯+=g ， 解得．12a d ==22(1)2n a n n ∴=+-= (6分)（2）由（1）可得(22)(1)2n n n S n n +==+． ⇒1111n S n n =-+． 数列1{}n S 前n 项和为1111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-++， 当20192020n T =时，12019112020n -=+，2019n ∴=．（14分 ） 16.（本题满分14分）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．【解析】 (1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .(3分)由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N *.(7分) (2) 由题意知c n ＝(n ＋1)×2n . 记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n .则T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1＋ (n ＋1)×2n ，2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋(n ＋1)2n ＋1， 所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1，(11分) 即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N *.(14分)17. （本题满分14分）已知数列{a n }是公差为正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2·a 3＝15，S 4＝16. (1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 设数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1.①求数列{b n }的通项公式；②是否存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】 (1) 设数列{a n }的公差为d ，则d ＞0.由a 2·a 3＝15，S 4＝16，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋da 1＋2d ＝15，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)．所以a n ＝2n －1.(4分) (2) ①因为b 1＝a 1＝1， b n ＋1－b n ＝1a n ·a n ＋1＝12n －1·2n ＋1＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， (6分) 即b 2－b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－13， b 3－b 2＝12⎝⎛⎭⎫13－15， …b n －b n －1＝12⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1，n ≥2，累加得b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1，(9分) 所以b n ＝b 1＋n －12n －1＝1＋n －12n －1＝3n －22n －1.又b 1＝1也符合上式，故b n ＝3n －22n －1，n ∈N *.(10分) ②假设存在正整数m ，n (m ≠n )，使得b 2，b m ，b n 成等差数列，则b 2＋b n ＝2b m . 又b 2＝43，b n ＝3n －22n －1＝32－14n －2，b m ＝32－14m －2，所以43＋⎝⎛⎭⎫32－14n －2＝2⎝⎛⎭⎫32－14m －2，即12m －1＝16＋14n －2，化简得2m ＝7n －2n ＋1＝7－9n ＋1.(12分) 当n ＋1＝3，即n ＝2时，m ＝2(舍去)； 当n ＋1＝9，即n ＝8时，m ＝3，符合题意．所以存在正整数m ＝3，n ＝8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．(14分)18.(本题满分16分)记{}1,2,100U =…,.对数列{}()*n a n ∈N 和U 的子集T ，若T =∅，定义0TS=；若{}12,,k T t t t =…，，定义12k T t t t S a a a =+++L .例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ⊆…，，求证：1T k S a +<； 【解析】 (1) 由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2,4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.（8分） (2) 因为T ⊆{1,2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .（15分）因此，S T <a k ＋1.（16分）19. （本题满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．求数列{b n }的通项公式； 【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（8分）（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，（12分)当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N∈.（16分）20.（本题满分16分）在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2n －1. (1) 求证：数列{a n ＋n }为等比数列；(2) 记b n ＝a n ＋(1－λ)n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，若T 3为数列{T n }中的最小项，求λ的取值范围． 【解析】 (1) 因为a n ＋1＝3a n ＋2n －1，所以a n ＋1＋n ＋1＝3(a n ＋n )． 故a n ＋1＋n ＋1a n ＋n＝3，又a 1＝2，则a 1＋1＝3，故{a n ＋n }是以3为首项，3为公比的等比数列．(4分) (2) 由(1)知a n ＋n ＝3n ，所以b n ＝3n －nλ.(6分)故T n ＝31＋32＋…＋3n －(1＋2＋3＋…＋n )λ＝32(3n －1)－n n ＋12λ.(8分) 因为T 3为数列{T n }中的最小项，则对∀n ∈N *，有32(3n －1)－n n ＋12λ≥39－6λ恒成立，即3n ＋1－81≥(n 2＋n －12)λ对∀n ∈N *恒成立．(10分) 当n ＝1时，由T 1≥T 3，得λ≥365；当n ＝2时，由T 2≥T 3，得λ≥9；(12分)当n ≥4时，n 2＋n －12＝(n ＋4)(n －3)＞0恒成立， 所以λ≤3n ＋1－81n 2＋n －12对∀n ≥4恒成立．令f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12，n ≥4，则f (n ＋1)－f (n )＝3n＋12n 2－26＋162n ＋1n 2＋3n －10n 2＋n －12＞0恒成立，故f (n )＝3n ＋1－81n 2＋n －12在n ≥4时单调递增，所以λ≤f (4)＝814.(15分)综上，9≤λ≤814.(16分)。
2020—2021年新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣ C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种 C．18种 D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B 满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP 三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P （0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C （x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，由△2＞0得k2+ka﹣1＞0，故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a ∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C 两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。
2020届高三数学二轮复习选填专练6套打包下载含答案
2020届高三数学二轮复习选填专练“12＋4”限时提速练(一) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合U ＝{x |4x 2－4x ＋1≥0}，B ＝{x |x －2≥0}，则∁U B ＝( ) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析：选A 由4x 2－4x ＋1≥0，得x ∈R ，所以U ＝R .又B ＝{x |x －2≥0}＝{x |x ≥2}，所以∁U B ＝(－∞，2).故选A.2.已知a －3ii ＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则复数z ＝a －b i 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选B 法一：由已知得a －3i ＝(b ＋2i)·i ＝－2＋b i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，所以z ＝a －b i ＝－2＋3i ，所以复数z ＝－2＋3i 在复平面内对应的点(－2，3)在第二象限.故选B.法二：由a －3i i ＝b ＋2i 得，a i －3i 2i 2＝－3－a i ＝b ＋2i ，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，则z ＝－2＋3i ，所以复数z ＝－2＋3i 在复平面内对应的点(－2，3)在第二象限.故选B.3.已知直线a ⊥平面α，则“直线b ∥平面α”是“b ⊥a ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 因为直线a ⊥平面α，直线b ∥平面α，所以b ⊥a ，所以充分性成立；由直线a ⊥平面α及b ⊥a 可以推得b ∥α或b ⊂α，所以必要性不成立.故选A.4.数学界有名的“角谷猜想”：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半⎝ ⎛⎭⎪⎫即n 2，如果n 是奇数，则将它乘3加1(即3n ＋1)，不断重复这样的运算，经过有限次运算后，一定可以得到1.如果对正整数a 按照上述规则施行变换后得到的第4个数为1(注：1可以多次出现)，则这样的a 的所有不同取值的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：选B 依题意，引入数列{a n }，其中a 1＝a ∈N *，a n ＋1＝⎩⎨⎧an 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数.当a 4＝1时，a 3＝2；当a 3＝2时，a 2＝4；当a 2＝4时，a 1＝8或a 1＝1.因此，满足题意的a 的所有不同取值的个数为2.故选B. 5.据统计，2019年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示 ，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m ，n 的等差中项为( )A.5B.6C.7D.8解析：选B因为甲群抢得红包金额的平均数是88，所以78＋86＋84＋88＋95＋（90＋m ）＋927＝88，解得m ＝3.因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n ＝9.所以m ，n 的等差中项为m ＋n 2＝3＋92＝6.故选B.6.已知向量a ＝(2，3)，b ＝(6，m )，且a ⊥b ，则向量a 在a ＋b 方向上的投影为( )A.655B.－655C.13D.－13解析：选A 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝12＋3m ＝0，解得m ＝－4，所以b ＝(6，－4)，所以a ＋b ＝(8，－1)，所以向量a 在a ＋b 方向上的投影为a ·（a ＋b ）|a ＋b |=＝655.故选A.7.在不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ＋1≥0所表示的平面区域内随机取一点P ，则点P 到直线l ：x ＝－1的距离小于或等于1的概率为( )A.12B.14 C.18 D.116解析：选C画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ＋1≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l ：x ＝－1.易得A (－1，－1)，B (3，－1)，C (1，1)，则阴影部分的面积为12×4×2＝4.易知满足条件的点P 恰好落在△OAM 内(含该三角形的边界)，且△OAM 的面积为12×1×1＝12，∴点P 到直线l ：x ＝－1的距离小于或等于1的概率为124＝18.故选C.8.已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( )A.3＋223B.3＋2 2C.3D.2 2解析：选C 由f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x (a >0，b >0)，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4.由题意得f ′(1)＝12＋2a ＋b －4＝0，则2a ＋b ＝3，所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ×2a ＋b 3＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3，当且仅当2b a ＝2a b ，即a ＝b ＝1时，等号成立.故2a ＋1b 的最小值为3.故选C.9.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )A.6732 020B.2 0196 061C.13D.2 0206 061解析：选D i ＝1，a ＝11×4，S ＝11×4；i ＝2，a ＝14×7，S ＝11×4＋14×7＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋14－17；…；i ＝2 020，a ＝1（3×2 020－2）（3×2 020＋1），S ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13×2 020－2－13×2 020＋1＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×2 020＋1＝2 0206 061，结束循环.此时输出S ＝2 0206 061.故选D.10.先将函数f (x )的图象向右平移2π5个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的14，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|<π2的图象.已知函数g (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的图象的对称轴方程是( )A.x ＝4k π＋2π5，k ∈Z B.x ＝4k π＋7π10，k ∈Z C.x ＝2k π＋2π5，k ∈Z D.x ＝2k π＋7π5，k ∈Z解析：选D 法一：设g (x )的最小正周期为T ，由题意和题图可知A ＝2，T4＝9π20－π5＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∴g (x )＝2sin(2x ＋φ).∵g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9π20，2，∴9π10＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－2π5，k ∈Z .又|φ|<π2，∴φ＝－2π5，∴g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π5.将函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π5的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象，再将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π5的图象向左平移2π5个单位长度，得到f (x )＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π5－2π5＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5的图象.令12x －π5＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2k π＋7π5，k ∈Z .故选D.法二：由题图可知，函数g (x )的图象的对称轴方程为x ＝9π20＋k π2(k ∈Z )，将函数 g (x )的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，再向左平移2π5个单位长度后得到f (x )的图象，故f (x )的图象的对称轴方程为x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9π20＋k π2×4－2π5＝7π5＋2k π，k ∈Z .故选D.11.已知抛物线C ：x 2＝3y 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为4，则|AF ||BF |＝( )A.1B.2或12C.3D.3或13解析：选D 法一：由题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋34，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).联立，得⎩⎨⎧x 2＝3y ，y ＝kx ＋34，整理得，4x 2－12kx －9＝0，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝3k ，x 1x 2＝－94，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3(1＋k 2)＝4，∴k ＝±33.设|AF ||BF |＝λ，当k ＝33时，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE ⊥AM 于点E ，则|AE ||BE |＝33，|AE |2＋|BE |2＝|AB |2＝16，所以|AE |＝2.|AB |＝|AF |＋|BF |＝(λ＋1)|BF |＝4，|AF |－|BF |＝(λ－1)|BF |＝|AE |＝2，∴（λ＋1）|BF |（λ－1）|BF |＝λ＋1λ－1＝2，∴λ＝3.同理，当k ＝－33时，可求得λ＝13.故选D. 法二：设直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝2pcos 2θ＝3cos 2θ＝4，解得cos θ＝±32，∴直线l 的倾斜角θ＝30°或θ＝150°.当θ＝30°时，过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为M ，N ，过点B 作BE ⊥AM 于点E ，则|AF |＝|AM |，|BF |＝|BN |，∴|AF |－|BF |＝|AE |＝12|AB |＝2，又|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＝3，|BF |＝1，因此|AF ||BF |＝3.同理，当θ＝150°时，得|AF ||BF |＝13.故选D.12.已知在四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，平面ABD ⊥平面BDC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )A.20π3B.6πC.22π3D.8π解析：选A ∵AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝BD ＝2，∴△ABD 与△BDC 均是边长为2的正三角形.设正三角形BDC 的中心为O 1，四面体ABCD 的外接球的球心为O ，外接球的半径为R ，M 为BD 的中点，连接AM ，CM ，OA ，OO 1，则OO 1⊥平面BDC ，AM ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BDC ，所以AM ⊥平面BCD ，∴AM ∥OO 1，AM ⊥MO 1.过O 作OG ⊥AM 于点G ，易知G 为△ABD 的中心，可得OG ∥MO 1.∵MA ＝MC ＝32×2＝3，∴MG ＝MO 1＝13×3＝33，GA ＝233，∴四边形MO 1OG 为正方形，∴OG ＝MO 1＝33.在直角三角形AGO 中，GA 2＋GO 2＝OA 2，即⎝⎛⎭⎪⎫2332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝R 2，R 2＝53，∴四面体ABCD 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝20π3.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.曲线f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－sin π2＝－1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，∴所求切线方程为y －0＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，即2x ＋2y －π＝0.答案：2x ＋2y －π＝014.已知直线l 1：mx ＋y ＋4＝0和直线l 2：(m ＋2)x －ny ＋1＝0(m ，n ＞0)互相垂直，则mn 的取值范围为________.解析：因为l 1⊥l 2，所以m (m ＋2)＋1×(－n )＝0，得n ＝m 2＋2m ，因为m ＞0，所以m n ＝m m 2＋2m ＝1m ＋2，则0＜1m ＋2＜12，故m n 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1215.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析：根据丙的说法可知，丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则根据乙的说法可知，乙的卡片上的数字是2和3，从而甲的卡片上的数字是1和3，此时满足甲的说法；若丙的卡片上的数字是1和3，则根据乙的说法可知，乙的卡片上的数字是2和3，从而甲的卡片上的数字是1和2，此时不满足甲的说法.综上，甲的卡片上的数字是1和3.答案：1和316.(2019·广东揭阳期末改编)已知数列{a n }满足a 1＝－19，a n ＋1＝a n8a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________，数列{a n }中最大项的值为________.解析：本题考查构造等差数列求通项.由题意知a n ≠0，由a n ＋1＝a n 8a n ＋1得1a n ＋1＝8a n ＋1a n ＝1a n ＋8，整理得1a n ＋1－1a n ＝8，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为8的等差数列，故1an ＝1a 1＋(n －1)×8＝8n －17，所以a n ＝18n －17.当n ＝1，2时，a n ＜0；当n ≥3时，a n ＞0，则数列{a n }在n ≥3时是递减数列，故{a n }中最大项的值为a 3＝17.答案：18n －1717 “12＋4”限时提速练(二) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为( )A.(－∞，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，3]D.[3，＋∞)解析：选B 法一：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.故选B.法二：集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{1，2，3}，a 的值大于3时，满足A ∩B ≠∅，因此排除A 、C.当a ＝1时，满足A ∩B ≠∅，排除D.故选B.2.z 是z ＝1＋2i1－i的共轭复数，则z 的虚部为( ) A.－12 B.12 C.－32D.32解析：选C z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，则z ＝－12－32i ，所以z 的虚部为－32.故选C.3.已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A.－13 B.±13 C.－3D.±3解析：选C 因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3，故选C.4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为( )A.215 B.25 C.415D.15解析：选A 由题意可得邪田的面积S ＝12×(10＋20)×10＝150，圭田的面积S 1＝12×8×5＝20，则所求的概率P ＝S 1S ＝20150＝215.故选A.5.设函数f (x )＝x ·ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为( ) A.y ＝－x －1 B.y ＝x ＋1 C.y ＝－x ＋1D.y ＝x －1解析：选D f ′(x )＝ln x ＋1，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，则曲线y ＝f (x )在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1.故选D.6.已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎨⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A.1 121B.1 122C.1 123D.1 124解析：选C 由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210）1－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.故选C.7.两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的可以是( )A.25，26B.33，34C.64，65D.72，73解析：选C 设靠左、右窗的座位号码分别为a n ，b n ，则由火车上的座位号码规律可得，a n ＝5n －4，b n ＝5n .因此33号与72号都不是靠左窗的座位号，所以选项B 和D 均不符合；25号与65号都是靠右窗的座位号码，所以25号，26号是不相邻的，64号与65号是相邻的.故选C.8.已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点M 在双曲线E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝14，则双曲线E 的离心率为( )A.153B.32C.132D.2解析：选A 如图，由题意知F 1(－c ，0)，因为MF 1与x 轴垂直，且M 在椭圆上，所以|MF 1|＝b 2a .在Rt △MF 2F 1中，sin ∠MF 2F 1＝14，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝115，即b 2a 2c ＝b 22ac ＝115，又b 2＝c 2－a 2，所以15c 2－15a 2－2ac ＝0，两边同时除以a 2，得15e 2－2e －15＝0，又e >1，所以e ＝153.故选A.9.函数f (x )＝e x ＋1x （e x －1）(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )解析：选D 法一：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f (－x )＝e －x ＋1－x （e －x －1）＝－1＋e x x （1－e x）＝e x ＋1x （e x－1）＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，可排除选项A 、C. 又f (x )＝e x ＋1x （e x－1）＝（e x －1）＋2x （e x－1）＝1x ＋2x （e x－1），∴f ′(x )＝－1x 2－2[（x ＋1）e x －1]x 2（e x －1）2，∴x >0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，可排除选项B.故选D.法二：由题意得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f (x )＝1x ·e x＋1e x －1，易知y ＝1x 和y ＝e x ＋1e x －1均为奇函数，所以函数f (x )是偶函数，可排除选项A 、C.当x →＋∞时，1x →0，e x ＋1e x －1→1，所以e x ＋1x （e x－1）→0，则可排除B.故选D. 10.(2019·河北六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0).将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则关于函数f (x )，下列命题正确的是( )A.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上有最小值B.函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π12 C.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增D.函数f (x )的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0解析：选C 将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ，又g (x )为偶函数，－π＜φ＜0，所以φ＝－π6，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝sin π2＝1，故排除D ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12－π6＝0，故排除B ；当－π6＜x ＜π3时，－π3＜2x ＜2π3，－π3－π6＜2x －π6＜2π3－π6，即－π2＜2x －π6＜π2，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3上单调递增，选C.11.如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则下列四个结论错误的是( )A.直线A 1C 1与AD 1为异面直线B.A 1C 1∥平面ACD 1C.BD 1⊥ACD.三棱锥D 1ADC 的体积为83解析：选D对于A，直线A1C1⊂平面A1B1C1D1，AD1⊂平面ADD1A1，D1∉直线A1C1，则易得直线A1C1与AD1为异面直线，故A正确；对于B，因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以A1C1∥平面ACD1，故B正确；对于C，连接BD(图略)，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC，故C正确；对于D，三棱锥D1ADC的体积V三棱锥D1ADC＝13×12×2×2×2＝43，故D错误.综上.故选D.12.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是()A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)解析：选A令F(x)＝f（x）x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，所以F(x)＝f（x）x在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f（x）x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a＝(1，1)，b＝(－2，3)，若k a－b与b垂直，则实数k＝________.解析：因为k a－b与b垂直，所以(k a－b)·b＝k a·b－b2＝k－13＝0，所以k ＝13.答案：1314.(2019·山东枣庄薛城区月考改编)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________，z 的最大值是________.解析：x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 的可行域如图，目标函数z ＝2x ＋3y 经过可行域内的点A 时，z 取得最小值，经过点B 时，z 取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，2x ＋3y ＝2解得A (1，0).又点A 在直线x ＝a上，可得a ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y ＝2解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，则z 的最大值是z ＝2×1＋3×12＝72.答案：1 7215.已知三棱锥P -ABC 中，AB ⊥平面APC ，AB ＝42，P A ＝PC ＝2，AC ＝2，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为________.解析：∵P A ＝PC ＝2，AC ＝2，∴P A ⊥PC ，又AB ⊥平面P AC ，∴把三棱锥P ABC 放在如图所示的长方体中，且长方体的长、宽、高分别为2，2，42，则三棱锥P -ABC 的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线即长方体外接球的直径，易得长方体体对角线的长为（2）2＋（2）2＋（42）2＝6，则外接球的半径R ＝3，∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝36π.答案：36π16.在△ABC 中，∠ABC ＝90°，延长AC 到D ，使得CD ＝AB ＝1，若∠CBD ＝30°，则AC ＝________.解析：如图，设AC ＝x (x >0)，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD＝CD sin ∠CBD，所以BD ＝2sin ∠BCD ，又sin ∠BCD ＝sin ∠ACB ＝1x ，所以BD ＝2x .在△ABD 中，(x ＋1)2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－2·2x ·cos(90°＋30°)， 化简得x 2＋2x ＝2x ＋4x 2，即x 3＝2，故x ＝32，故AC ＝3 2.答案：3 2“12＋4”限时提速练(三) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合A ＝{x |lg(x －2)＜1}，集合B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∪B ＝( ) A.(2，12) B.(－1，3) C.(－1，12)D.(2，3)解析：选C 由lg(x －2)＜1＝lg 10，得0＜x －2＜10，所以2＜x ＜12，集合A ＝{x |2＜x ＜12}，由x 2－2x －3＜0得－1＜x ＜3，所以集合B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜12}.故选C.2.已知i 是虚数单位，若z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 020，则|z |＝( ) A.1 B. 2 C.2D. 5解析：选B 1i ＝－i i （－i ）＝－i ，1－i 1＋i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i 2＝－i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 020＝(－i)2 020＝i 2 020＝i 505×4＝i 4＝1，所以由z ＋1i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－i 1＋i 2 020，得z －i＝1，z ＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选B.3.在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 6a 5＝2，则公差d 的值是( )A.－13B.13C.－14D.14解析：选A 法一：由a 6a 5＝2，得a 6＝2a 5，所以a 1＋5d ＝2(a 1＋4d )，又a 1＝1，所以d ＝－13.故选A.法二：由a 6－a 5＝d ，a 6a 5＝2，得a 5＝d ，又a 5＝a 1＋4d ，所以d ＝a 1＋4d ，又a 1＝1，所以d ＝－13.故选A.4.已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1，2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23解析：选B 因为函数y ＝2x 是R 上的增函数，由x ＜0得0＜2x ＜1，所以函数f (x )的值域是(0，1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－（－1）＝13.故选B.5.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h 的速度行驶1 h ，消耗8 L 汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h ，相同条件下，在该市用乙车比用丙车更省油解析：选C 从题图可知消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶的里程超过了5 km ，故选项A 错误；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，甲车消耗汽油最少，故选项B 错误；若甲车以80 km/h 的速度行驶，由题图可知“燃油效率”为10 km/L ，所以行驶1 h ，消耗8 L 汽油，所以选项C 正确；若某城市机动车最高限速80 km/h ，从题图可知，丙车比乙车“燃油效率”高，所以在相同条件下，丙车比乙车省油，选项D 错误.故选C.6.已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6，0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A.(x －2)2＋y 2＝16B.x 2＋(y －6)2＝72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋y 2＝1009 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋832＋y 2＝1009 解析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2， 解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832＋y 2＝1009.故选C.7.如图1，在三棱锥D -ABC 中，已知AC ＝BC ＝CD ＝2，CD ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°.若其正视图、俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为( )A. 6B.2C. 3D. 2解析：选D 由题意知侧视图为直角三角形，因为正视图的高即几何体的高，所以正视图的高为2，则侧视图的高，即一直角边长也为2.因为俯视图为边长为2的等腰直角三角形，所以侧视图的另一直角边长为 2.所以侧视图的面积为 2.故选D.8.已知函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0是偶函数，f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，则y ＝g (x )在(－∞，0)上对应的大致图象是( )解析：选B 因为f (x )＝log a x 的图象过点(2，1)，且恒过点(1，0)，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，g （x ），x ＜0是偶函数，所以y ＝g (x )在(－∞，0)上对应的图象和f (x )＝log a x 的图象关于y 轴对称，所以y ＝g (x )的图象过点(－2，1)和(－1，0).观察图象只有选项B 满足题意.9.已知点A (0，2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )A.18B.14C.2D.4解析：选C 过点M 向准线作垂线，垂足为P ，由抛物线的定义可知，|MF |＝|MP |，因为|FM ||MN |＝55，所以|MP ||MN |＝55，所以sin ∠MNP ＝55，则tan ∠MNP ＝12，又∠OF A ＋∠MNP ＝90°(O 为坐标原点)，所以tan ∠OF A ＝2＝212p ，则p ＝2.故选C.10.定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”.若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( )A.111B.112C.1011D.1112解析：选C 依题意有na 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，即前n 项和S n ＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，a 1＝3满足该式. 则a n ＝4n －1，b n ＝a n ＋14＝n . 因为1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.故选C.11.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点.若PB ＝1，∠APB ＝π3，则三棱锥P BCO 的外接球的表面积是( )A.2πB.4πC.6πD.8π解析：选B ∵底面ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，又PB ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥PB ，∴AC ⊥平面PBD ，∴AC ⊥PO ，即∠POC ＝π2.取PC 的中点M ，连接BM ，OM (图略).在Rt △PBC 中，MB ＝MC ＝MP ＝12PC ，在Rt △POC 中，MO ＝12PC ，则三棱锥P -BCO 的外接球的球心为M ，半径为12PC .在Rt △P AB 中，PB ＝1，∠APB ＝π3，∴BC ＝AB ＝3，∴PC ＝2，则三棱锥P BCO 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π.故选B.12.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B 法一：当f (x )取得最值时，ωx ＋π6＝k π＋π2，x ＝kωπ＋π3ω，k ∈Z ，依题意，得x ＝kωπ＋π3ω∉(π，2π)，因为当ω＝16时，x ＝(2＋6k )π∉(π，2π)恒成立，k ∈Z ，排除A 、C 、D.故选B.法二：因为ω＞0，π＜x ＜2π，所以ωπ＋π6＜ωx ＋π6＜2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ＜π，0＜ω＜1，则π6＜ωπ＋π6＜7π6.当π6＜ωπ＋π6＜π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0＜ω≤16；当π2≤ωπ＋π6＜7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.若函数f (x )＝x 2＋axx 3是奇函数，则常数a ＝______. 解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由f (x )＋f (－x )＝0，得x 2＋ax x 3＋x 2－ax－x 3＝0， 即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014.如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为________.解析：开始，x ＝1，y ＝1，第一次循环，z ＝x ＋y ＝2，x ＝1，y ＝2；第二次循环，z ＝x ＋y ＝3，x ＝2，y ＝3；第三次循环，z ＝x ＋y ＝5，x ＝3，y ＝5；第四次循环，z ＝x ＋y ＝8，x ＝5，y ＝8；第五次循环，z ＝x ＋y ＝13，x ＝8，y ＝13；第六次循环，z ＝x ＋y ＝21，不满足条件z ＜20，退出循环.输出y x ＝138，故输出的结果为138.答案：13815.(2019·贵州黔东南一模改编)已知sin α＋3cos α＝－10，则tan 2α＝________，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析：∵(sin α＋3cos α)2＝sin 2α＋6sin αcos α＋9cos 2α＝10(sin 2α＋cos 2α)，∴9sin 2α－6sin αcos α＋cos 2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝13.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13＋11－13＝2.答案：34 216.已知a ＞1，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1e ，x ≤－1，a x －x ln a ，x ＞－1在(－∞，0)上单调递减，则实数a 的取值范围是________.解析：由已知条件得1a ＋ln a ≤1＋1e ， 令g (x )＝1x ＋ln x (x ＞1)， 则g ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2＞0， 故g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (a )＝1a ＋ln a ≤1＋1e ＝g (e)，所以1＜a ≤e. 经验证，满足题意. 答案：(1，e]“12＋4”限时提速练(四) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≤－3或x ≥1}B.{x |x ＜－1或x ≥3}C.{x |x ≤3}D.{x |x ≤－3}解析：选D因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3＜x＜1}，所以A∪B＝{x|x＞－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}.故选D.2.若复数z满足(3＋4i)z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是()A.3iB.－3iC.3D.－3解析：选D因为(3＋4i)z＝25i，所以z＝25i3＋4i＝25i（3－4i）（3＋4i）（3－4i）＝25i（3－4i）25＝4＋3i，所以z＝4－3i，所以z的虚部为－3.故选D.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地.这n座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是()A.x1，x2，…，x n的平均数B.x1，x2，…，x n的标准差C.x1，x2，…，x n的最大值D.x1，x2，…，x n的中位数解析：选B平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也即反映这组数据的稳定程度.故选B.4.已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1＋b2＋b3＝12，则a4＝()A.4B.32C.108D.256解析：选D设等比数列{a n}的公比为q，由题意知q＞0，又首项a1＝4，所以数列{a n}的通项公式为a n＝4·q n－1，又b n＝log2a n，所以b n＝log2(4·q n－1)＝2＋(n－1)·log2q，所以{b n}为等差数列，则b1＋b2＋b3＝3b2＝12，所以b2＝4，由b2＝2＋(2－1)log2q＝4，解得q＝4，所以a4＝4×44－1＝44＝256.故选D.5.椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C.16 3D.32 3解析：选A 法一：由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos 60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin 60°＝1633.故选A.法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2(其中P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，θ＝∠F 1PF 2)得S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2＝16×tan 60°2＝1633.故选A.6.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C 把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”.看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 若乙、丙均优秀(或良好)，则根据四人中两人优秀两人良好可知，甲、丁均良好(或优秀)，所以甲看后应该知道自己的成绩，但这与题意矛盾，从而乙、丙必一人优秀一人良好，进而可知甲、丁也必一人优秀一人良好.于是，根据乙知道丙的成绩，丁知道甲的成绩，易知乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.8.设函数f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3(－2＜x ＜2)，则使得f (2x )＋f (4x －3)＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，54解析：选B 因为f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3，－2＜x ＜2，f (x )＋f (－x )＝[2ln(x＋x 2＋1)＋3x 3]＋[2ln(－x ＋（－x ）2＋1)＋3(－x )3]＝2[ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋x 2＋1)]＝2ln 1＝0，所以f (x )为奇函数.易得f (x )在(－2，2)上单调递增.所以f (2x )＋f (4x －3)＞0可转化为f (2x )＞－f (4x －3)＝f (3－4x )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜2x ＜2，－2＜3－4x ＜22x ＞3－4x ，，解得12＜x ＜1.故选B. 9.已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是()A.k ＞12或k ≤－5 B.－5≤k ＜12 C.－5≤k ≤12D.k ≥12或k ≤－5解析：选A由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2，4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，∵k P A ＝4－（－1）2－3＝－5，x －2y＋4＝0的斜率为12，由图可知，k ≤－5或k ＞12.故选A.10.魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x ，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x.现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( )A.25B.35C.12D.13解析：选A 由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f 1(x )，f 4(x )，f 6(x )，共3个；偶函数有f 3(x )，f 5(x )，共2个；非奇非偶函数为f 2(x ).则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f 1(x )·f 3(x )，f 1(x )·f 5(x )，f 4(x )·f 3(x )，f 4(x )·f 5(x )，f 6(x )·f 3(x )，f 6(x )·f 5(x )，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P ＝615＝25.故选A.11.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1123的最小整数n 是( )A.8B.9C.10D.11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列.所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.故选C.12.已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，P A ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P -ABC 的体积为a ，则球O 的体积为( )A.2πaB.4πaC.23πa D.43πa解析：选B 设球O 的半径为R ，因为PC 为球O 的直径，P A ＝AC ，PB ＝BC ，所以△P AC ，△PBC 均为等腰直角三角形，点O 为PC 的中点，连接AO ，OB (图略)，所以AO ⊥PC ，BO ⊥PC ，因为平面PCA ⊥平面PCB ，平面PCA ∩平面PCB ＝PC ，所以AO ⊥平面PCB ，所以V三棱锥P -ABC＝13·S △PBC ·AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×PC ×BO ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ＝13R 3＝a ，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝4πa .故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________.解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×cos 2π3＋6＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12.答案：1214.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________.解析：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0，f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1，f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y 0，解得a ＝1e 2－1.答案：1e 2－115.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于点Q ，若5PF ―→＝3FQ ―→，则双曲线E 的离心率为________.解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，设一条渐近线OP (O 为坐标原点)的方程为y ＝ba x ，另一条渐近线OQ 的方程为y ＝－b a x ，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－b a n ，由5PF ―→＝3FQ ―→，得⎩⎨⎧5（c －m ）＝3（n －c ），5⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a m ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45c ，n ＝43c ，因为OP ⊥FP ，所以k PF ＝－ba m c －m ＝－ab ，解得a 2＝4b 2，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，故双曲线E 的离心率e ＝52.答案：5216.(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图①所示.由图知f (x )<0的解集为(1，4).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)“12＋4”限时提速练(五) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝7＋i ，则z ＝( ) A.1＋i B.1－i C.－1－iD.－1＋i解析：选B 法一：依题意得z ＝7＋i3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝1－i.故选B.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为(3＋4i)z ＝7＋i ，所以(3＋4i)(a ＋b i)＝7＋i ，所以3a －4b ＋(3b ＋4a )i ＝7＋i ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝7，3b ＋4a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以z ＝1－i.故选B.2.已知集合A ＝{x |x 2－4|x |≤0}，B ＝{x |x >0}，则A ∩B ＝( ) A.(0，4] B.[0，4] C.[0，2]D.(0，2]解析：选A 由x 2－4|x |≤0得0≤|x |≤4，所以－4≤x ≤4，即A ＝[－4，4]，因为B ＝(0，＋∞)，所以A ∩B ＝(0，4].故选A.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( )A.2B.32C.3D.4解析：选C 法一：依题意，5×12＋5×42d ＝90，解得d ＝3.故选C. 法二：因为等差数列{a n }中，S 5＝90，所以5a 3＝90，即a 3＝18，因为a 1＝12，所以2d ＝a 3－a 1＝18－12＝6，所以d ＝3.故选C.4.设向量a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，则实数λ＝( )A.12B.1C.－1D.－12解析：选B 法一：因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以λa ＋b ＝(λ，－2λ＋1)，a ＋3b ＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1.故选B.法二：因为向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，所以(λa ＋b )·(a ＋3b )＝0， 所以λ|a |2＋(3λ＋1)a ·b ＋3|b |2＝0，因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以|a |2＝5，|b |2＝1，a ·b ＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1.故选B.5.已知α是第一象限角，sin α＝2425，则tan α2＝( ) A.－43B.43C.－34D.34解析：选D 因为α是第一象限角，sin α＝2425，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫24252＝725，所以tan α＝sin αcos α＝247，tan α＝2tan α21－tan 2α2＝247，整理得12tan 2α2＋7tan α2－12＝0，解得tan α2＝34或tan α2＝－43(舍去).故选D.6.陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23B.12C.15D.25解析：选B 从五种不同属性的物质中任取两种，所有可能的取法共有10种，取出两种物质恰好是相克关系的基本事件有5种，则取出两种物质恰好是相克关系的概率P ＝510＝12.故选B.7.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，则ω的最大值为( )A.12 B.1 C.2D.4解析：选C 法一：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，所以ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ωπ8＋π4，因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2.故选C.法二：逐个选项代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ω的最大值为2.故选C.8.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC ，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，点B (－1，3)，点C (4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x －3)2＋y 2＝r 2相切，则该圆的直径为( )A.1B. 2C.2D.2 2解析：选D 依题意，△ABC 的外心、重心、垂心均在边BC 的高线上，又BC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，直线BC 的斜率为k BC ＝－2－34＋1＝－1，因此△ABC 的“欧拉线”方程是y －12＝x －32，即x －y －1＝0.易知圆心(3，0)到直线x －y －1＝0的距离等于r ＝22＝2，所以该圆的直径为2 2.故选D. 9.函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为( ) A.1＋ln 2 B.1－ln 2 C.1＋ln 22D.1－ln 22解析：选C 因为f (x )＝x 2－ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －1x ，令2x －1x ＝0得x ＝22，令f ′(x )>0，则x >22；令f ′(x )<0，则0<x <22.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以f (x )的极小值(也是最小值)为⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＝1＋ln 22.故选C.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 因为△ABC 中，A －B ＝π2，所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，所以cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6.故选B.11.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点A 关于平面BDC 1的对称点为M ，则M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离为( )A.32B.54C.43D.53解析：选D 法一：依题意，点M 在平面ACC 1A 1上，如图，取AC 的中点O ，连接C 1O 并延长，与过A 且垂直于C 1O 的直线交于N ，取MN ＝AN ，过M 作AC 的垂线MP 交AC 于P ，交A 1C 1于Q ，MQ 的长等于点A 关于平面BDC 1的对称点M 到平面A 1B 1C 1D 1的距离，因为正方体的棱长为1，所以CC 1＝1，OA ＝OC ＝22.在Rt △OCC 1中，由勾股定理得OC 1＝OC2＋CC 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋12＝62，cos。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析十九.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A ∩B=（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，5} D．{3，5} 2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B．C． D．4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．46．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm37．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是______．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=______．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于______．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE 折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号1 2 34567 8910 11121314 15数学成绩11410611577869958697791078771136物49 24642 32理成绩72 51 9 579 62223 29217 46 1学号1617181922122232425262728293数学成绩897482956487566543646485665651物理成绩65453328292839344535353422939将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=独立性检验临界值表（部分）P（K2≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x 轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C 相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A ∩B=（）A．{﹣1，1，3} B．{﹣3，﹣1，1} C．{﹣3，5} D．{3，5}【考点】交集及其运算．【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，得到（x﹣4）（x+2）＞0，解得x＞4或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，2）∪（4，+∞），又B={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴A∩B={﹣3，5}．故选C．2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，求出a；利用复数模的公式求出复数的模．【解答】解：z=（3+bi）（1+i）﹣2=1﹣b+（3+b）i，∵复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数，∴1﹣b=0，即b=1，∴z=4i，∴|z|=4，故选：D．3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A． B．C． D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理将sin2B=2sinAsinC，转换成b2=2ac，根据余弦定理化简得：，同除以c2，设c2=t，解得t的值，根据条件判断的值．【解答】解：三角形ABC中，sin2B=2sinAsinC，由正弦定理：，得：b2=2ac，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即：，等号两端同除以c2，得：，令=t，∴2t2﹣5t+2=0，解得：t=2，t=，a＞c，∴t=2，则=2，故答案选：A．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】根据折线图分别判断①②③④的正误即可．【解答】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确；故选：C．6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，四棱柱的体积为V=底面积×高，即可求得V．【解答】解：三视图可知令该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，则四棱柱的体积为V=底面积×高=（3×3+×1×3×2）×2=24（cm3）故答案选：C7．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，m，n的值，可知当s=时，不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得t=0.02，s=1，n=0，m=，执行循环体，s=，m=，n=1满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=2满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=3满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=4满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=5满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=6不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．故选：A．8．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，0），代入函数的解析式，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到m，a的值．【解答】解：设切点为（m，0），则m3﹣3am+=0，①f（x）=x3﹣3ax+的导数为f′（x）=3x2﹣3a，由题意可得3m2﹣3a=0，②由①②解得m=，a=．故选：D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x﹣2y的最大值，从而求恒成立问题．【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A（3，0）时，3x﹣2y有最大值9，故m≥9，故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2 ∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选A11．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴V=πR3=36π．故选：C．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f′（x）﹣f（x）＞e x，构造g（x）=e﹣x f（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．【解答】解：构造辅助函数g（x）=e﹣x f（x）﹣x，g′（x）=﹣e ﹣x f（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，由f′（x）﹣f（x）＞e x，g′（x）＞0恒成立．∴g（x）在定义域上是单调递增函数，要使f（x）＞xe x+2e x，即：e﹣x f（x）﹣x＞2，只需将g（x）的最小值大于2，∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．故答案选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是18 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：∵（1+x）3（1+y）4=（1+3x+3x2+x3）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴3×6=18，故答案为：18．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）= 2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用将点（，A）代入y=Asin（2x+φ）及φ的范围可求φ的值，将（0，），y=Asin（2x+）即可求得A的值，即可确定函数解析式．【解答】解：根据图象可得，=，T==π，则ω=2，将点（，A）坐标代入y=Asin（2x+φ），sin（+φ）=1，|φ|＜，∴φ=，将点（0，）代入得=Asin，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用导数求出切点的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x，∴y′=e x=1，∴x=0，y=1，即切点坐标为（0，1），∵y=2，∴y′==1，∴x=1，y=2，即切点坐标为（1，2），∴两点间的距离等于．故答案为：．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e= ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆E的标准方程为：+=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），利用斜率公式可得：k l=1，利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由于=1，+=1，相减可得a，b的关系式，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设椭圆E的标准方程为：+=1（a＞b＞0）．A （x1，y1），B（x2，y2），k l===1，x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∵=1，+=1，相减可得：+=0，∴﹣=0，解得=．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【分析】（1）a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，相减可得：a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，利用a n+1≠0，可得a n+2﹣a n=p．（2）由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．因此a n+2﹣a n=2，数列{a2n﹣1}，数列{a2n}都是公差为2的等差数列，即可得出．【解答】（1）证明：∵a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，∴a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=p．（2）解：由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．∴a n+2﹣a n=2，∴数列{a2n﹣1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n﹣1=2+2（n﹣1）=2n．数列{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴a n=n+1．∴a n+1﹣a n=1．因此存在p=2，使得数列|a n|为等差数列．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE 折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）先求出OD=，OB=，连结BD，求出BD=，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC 为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OD==，OB==，连结BD，在Rt△BCD中，BD===，∴OD2+OB2=BD2=6，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．解：（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，1），B（），D（0，，2），F（0，0，0），∴=（，﹣1），=（0，，1），=（0，0，1），设平面OBD的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣，得=（，﹣，2），平面FBC的法向量=（0，0，1），cos＜＞===，∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号1 2 34567 8910 11121314 15数学成绩11410611577869958697791078771136物理成绩7249512957496222632942 2137 4621学号1617181922122232425262728293数学成绩897482956487566543646485665651物3222334333223理成绩65453 8 9 8 945 5 5 4 0 9 9将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用独立性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=独立性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据考试成绩填写列联表，利用公式计算K2，根据所给参数即可得出结论；（2）由题意知ξ满足超几何分布，计算对应的概率，写出ξ的分布列与数学期望值．【解答】解：（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4 11 15数学Ⅱ0 15 15合计 4 26 30假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得K2===≈4.61＞3.841，根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；（2）由题意知ξ满足超几何分布，从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有=435种可能，抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是==，抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是=，抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1﹣﹣==，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P（ξ）ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x 轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C 相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得H，Q的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设A（x 1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点R的坐标，再求R到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），准线方程为y=﹣由题意可得H（4，0），Q（4，），则|HQ|=，|QF|=+，由|QF|=|HQ|，可得+=•，解得p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x 1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线x2=4y，消去y，可得x2﹣4kx﹣8=0，则x 1+x2=4k，x1x2=﹣8，由y=x2的导数为y′=x，即有l 1：y﹣y1=x1（x﹣x1），由x12=4y1，可得l1：y=x1x﹣x12，同理可得l2：y=x2x﹣x22，解得交点R（，x1x2），即为R（2k，﹣），即有R到l的距离为d==2，又|AB|=•=•=4（1+k2），则S △RAB=|AB|•d=•4（1+k2）•2=8（1+k2），当k=0时，S△RAB取得最小值8．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）u（x）﹣0 + g′（x）﹣0 +g（x）递减最小值递增由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x 0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理，角平分线的性质，即可证明：CD=CE；（2）证明△CDB∽△CAD，即可求的值．【解答】（1）证明：∵CD是圆O的切线，∴∠CDB=∠DAB，∵∠ADB的平分线交AB于点E，∴∠EDA=∠EDB，∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE；（2）解：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CB•CA=3，∴CD=，∵∠CDB=∠DAC，∴△CDB∽△CAD，∴==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程（t为参数），利用cos2t+sin2t=1消去参数t化为普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立，j解得，或，化为极坐标，．∴C1与C2交点的极坐标分别为：，．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．【考点】绝对值三角不等式；不等式的证明．【分析】（1）直接利用作差法，再进行因式分解，分析证明即可．（2）直接利用作差法，结合平方、开方，然后分析证明即可．【解答】证明：（1）3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a3﹣3a2b+2b3﹣2ab2=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因为a≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2≥0，从而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，即3a3+2b3≥3a2b+2ab2．（2）∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=1+a2b2﹣a2﹣b2=（a2﹣1）（b2﹣1）．∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2﹣1＜0，b2﹣1＜0．∴|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＞0，故有|1﹣ab|＞|a﹣b|．2016年9月22日。
高考数学二轮复习选择填空狂练二十三模拟训练三理
模拟训练三一、选择题1． [2018 ·衡水中学 ]已知i是虚数单位，则复数z37i 的实部和虚部分别是（）iA．7， 3 B ． 7， 3i C． 7，3 D ． 7 ， 3i2． [2018 ·衡水中学 ]已知 P1,0, 2 ， Q y y sin ,R，则P Q（）A ．B ．0C．1,0 D ．1,0, 23． [2018 ·衡水中学 ]已知随机变量X 听从正态散布N a,4，且 P X10.5， P X 2 0.3，PX 0等于（）A． 0.2 B ．0.3C．0.7 D ．0.84． [2018 ·衡水中学 ]以下相关命题的说法正确的选项是（）A ．命题“若 xy0 ，则 x0”的否命题为“若xy0 ，则 x0”B．命题“若 x y0 ，则 x ，y互为相反数”的抗命题是真命题C．命题“ x R ，使得2x210”的否认是“x R ，都有2x2 1 0 ”D．命题“若cosx cosy ，则 x y ”的逆否命题为真命题5． [2018 ·衡水中学 ]已知知足 sin 1，则 cosππ（）4cos34A ．7B．25C．7 D ．25 181818186． [2018 ·衡水中学 ]某几何体的三视图以下图，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A ． 216 3πB． 216 4.5πC． 216 6π D ． 216 9π7．[2018 衡·水中学 ]已知函数f x2sin 2x π，现将 y f x 的图象向左平移π个单位，再将所得图象上612各点的横坐标缩短为本来的1倍，纵坐标不变，获得函数 y g x 的图象，则 g x 在0,5π的值域为（）224A． 1,2B． 0,1C． 0,2D． 1,08．[2018 衡·水中学 ]我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大条约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算术——“展转相除法”本质同样，如图的程序框图即源于“展转相除法”，当输入 a 6402 ， b 2046 时，输出的a（）A．66B．12C．36D．198x y509． [2018 ·衡水中学 ]已知实数x，y知足拘束条件 y x0，若不等式 1 a x2 2 xy 4 2a y201y x 2 02恒建立，则实数 a 的最大值为（）A ．7B ．5C．5 D ．6 3310．[2018 衡·水中学 ] 已知函数 f x lnx ， g x2m 3 x n ，若对随意的 x 0,，总有 f x g x 恒建立，记 2m 3 n 的最小值为f m,n ，则 f m, n最大值为（）A ． 1B ．1C．1 D ．1e2eex2y21 a 0,b 0 的左、右焦点分别为F1， F2，过 F2的直线与双曲线11． [2018 衡·水中学 ]设双曲线C :22a b的右支交于两点A， B，若AF1: AB3: 4 ，且F2是AB的一个四平分点，则双曲线 C 的离心率是（）A ．5B．10C．5D ． 522212． [2018 衡·水中学 ]已知偶函数f x知足 f 4 x f 4 x ，且当 x 0,4时， fln 2x，xx对于 x 的不等式f2x af x0在区间200,200上有且只有300 个整数解，则实数a的取值范围是（）A ．ln2,1B．ln2,1ln6ln6 33C．1ln6,3ln2D．1ln6,3ln2 3434二、填空题13． [2018 衡·水中学 ]已知平面向量a，b，a 1 ，b 2 且a b 1 ，若e为平面单位向量，则 a b e 的最大值为 _____．1514． [2018衡·水中学 ]二项式 x6睁开式中的常数项是__________．x x15．[2018 衡·水中学 ] 已知点 A 是抛物线 C ：x2 2 py（ p 0）上一点， O 为坐标原点，若A，B是以点 M 0,8为圆心， OA 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且△ABO 为等边三角形，则 p 的值是 _______．16． [2018衡·水中学 ]已知直三棱柱ABC A1 B1C1中，BAC120 ， AB AC 1 ，AA12，若棱AA1在正视图的投影面内，且 AB 与投影面所成角为3060，设正视图的面积为 m ，侧视图的面积为 n ，当变化时， mn 的最大值是__________．答案与分析一、选择题1．【答案】 A【分析】因为复数37i3i7i 27 3i ，所以，复数37i7，虚部是 3 ，zi i 2z的实部是i应选 A．2．【答案】 C【分析】因为 Q1,1 ，所以 P Q1,0 ．应选 C．3．【答案】 B【分析】随机变量听从正态散布N a,4 ，曲线对于 x a 对称，且P X a0.5 ，由 P X 1 0.5 ，可知 a 1 ，应选 B．4．【答案】 B【分析】“若 xy 0 ，则 x0 ”的否命题为“若 xy0 ，则 x0 ”，A 错误；抗命题是“若 x ，y互为相反数，则x y0 ”，B 正确；“ x R，使得2x210”的否认是“x R ，都有2x210 ”，C错误；“若 cosx cosy ，则 x y ”为假命题，所以其逆否命题也为假命题， D 错误，应选 B．5．【答案】 A【分析】πcosπ2sin2sin cos4cos cos 4221cos2sin2 1 12sin2 1 1 2 17 ，222918应选 A．6．【答案】 D【分析】几何体以以下图所示，是一个正方体中挖去两个同样的几何体（它是1 个圆锥），4故体积为311262π 3 6 2169π43，应选 D．7．【答案】 A【分析】 f x2sin 2x π将函数 y f x的图象向左平移π个单位长度，612获得y 2sin2xππ2sin2π 的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为本来的 1 倍，126x32纵坐标不变，获得函数y g x 的图象，g x2sin4π，x5π，即ππ 7πx30,4x3，24361sin 4xπ1，12sin4xπ 2 ，g x 在0, 5π上的值域为1,2 ，应选 A ．23324 8．【答案】 A【分析】输入 a6402， b2046 ，第一次循环， r264 ， a2046 ， b264；第二次循环， r198 ， a264 ， b198 ；第三次循环， r66， a198， b66；第四次循环， r0 ， a66 ， b 0 ；退出循环，输出a66，应选 A．9．【答案】 A【分析】绘制不等式组表示的平面地区以下图，考察目标函数 t y ，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点 C 2,3 处获得最大值 tmaxy3x，x2在点 A 或点 B 处获得最小值 t min1 ，即 t1, 3 ．2题中的不等式即：a x 2 2 y 2x 2 2xy4 y 2 ，则 ax 2 2 xy 4 y 24t 22t1恒建立，x 2 2 y 22t 21原问题转变为求解函数f t4t 2 2t11 t 3 的最小值，2122tt 21 t1 1 t1 1整理函数的分析式有：f t 224 2 1 24 2 12，t21t 21312241t2 t121，则 1 m 1 ， 令 m t2 23令 g m m 4 ，则 g m 在区间 m1 , 3上单一递减，在区间3,1 上单一递加，222且 g 12 ， g 17，据此可得，当m1， t1 时，函数 g m 获得最大值，242则此时函数 f t获得最小值，最小值为f 14 122 1 17 ．212 1 3综上可得，实数 a 的最大值为7．此题选择 A 选项．310．【答案】 C【分析】 由题意得 lnx 2m 3 x n 对随意的 x 0, 恒建立，所以 2m 3 0 ，令 y ln x 2m 3 xn ，得 y1 2m 3 0 x1，x2m 3当 x1 时， y0；当 0x1 时， y11 1 n 0 ，2m2m 3 0 ；所以当 x3时， y max ln32m2m 32m3 e 1n，进而 2m 3 nn f m,n ，因为 fm,n1 n 0， n 1 ，所以当 n 1 时， f m, n 0 ；e n1e n 1当 n 1 时， f m, n0 ；所以当 n 1 时， f m, n max12 ，应选 C ．e11．【答案】 B【分析】 若 AF 1 : AB 3: 4 ，则可设 AF 1 3m ， AB4m ，因为 F 2 是 AB 的一个四平分点；若 BF21 AB ，则 BF 2m ， AF 2 3m ，但此时 AFAF3m3m0 ，再由双曲线的定义，412得 AF AF22a ，获得 a0 ，这与 a0 矛盾；1若 AF21AB ，则AF2m， BF23m ，由双曲线的定义，4AF1AF22m2a BF5a222得1，则此时知足AF1AB BF1，BF2BF13m 2 a m aBF1所以△ABF1是直角三角形，且BAF190，所以由勾股定理，得22F1F222a22c210 ，AF1AF23a，得 e2应选 B．12．【答案】 D【分析】由 f 4 x f4x ，可知函数的对称轴为x 4 ，因为函数是偶函数，f4x f x 4 ，所以函数是周期为8 的周期函数，当 x0,4时， f ' x1ln2 x ，函数在0, e上递加，在e,4上递减，x222最大值 f e 2，且 f4ln83ln20 ，2e44由选项可知 a0 ，f x f x a0 ，解得 f x0 或 f x a ，依据单一性和周期性画出图象以下图，由图可知， f x0 没有整数解，依据函数为偶函数，在 0,200上有 25 个周期，且有150 个整数解，也即每个周期内有 6 个解， f 31，ln63故 f 4a f 3，解得1ln6x3ln2，应选 D．34二、填空题13．【答案】 3【分析】 由 a1 ， b2 且 a b 1，得 cos a ba b 1 ， cos a b 60 ，a b2设 a 1,0 ， b 1, 3 ， e cos ,sin ，a b e 3sin，a b e 的最大值为3 ，故答案为 3 ．14．【答案】 5156 5 k3 k30 15k 15【分析】 二项式 6睁开式的通项为 T k 1kk0 ，xxC 5 xx 2C 5 x 2 ，令 30k x21 5得 k4 ，即二项式x 6睁开式中的常数项是 C 545 ．x x15．【答案】23【分析】 由抛物线的性质可知，点 A 和点 B 对于 y 轴对称，又因为 △ ABO 为等边三角形，所以直线OA 与 x 轴的正半轴夹角为 60 ， OA 的方程为 y3x ，代入抛物线方程得 x 22 3 px ，解得点 A 的坐标为 2 3 p,6 p ，又OAMA ，解得 p2 ．316．【答案】 3 3 【分析】AB 与投影面 所成角 时，平面 ABC 以下图， BC3，CAE60，BDAB sin ， DA ABcos ， AEACcos 60，ED DA AE cos 60cos ，故正视图的面积为 m ED AA 1 2 cos 60 cos ，因为 3060 ，所以 BDCE ，侧视图的面积为 n BD AA 1 2sin ，mn 4sincos 60cos4sin cos60 cos sin sin60cossin223sin 22sin 23sin23 3 cos22 3 sin2303，3060 ，3023090，1301，3 2 3 sin230 2 3 ，sin 222 3 mn 3 3 ，故得 mn 的最大值为 3 3 ，故答案为 3 3 ．。
【人教版】备考2020高考数学二轮复习 选择填空狂练二十三 模拟训练三 理
模拟训练三1．[2018·衡水中学]已知i 是虚数单位，则复数7i3iz +=的实部和虚部分别是（ ） A ．7，3-B ．7，3i -C ．7-，3D ．7-，3i2．[2018·衡水中学]已知{1P =-，{}sin ,Q y y θθ==∈R ，则P Q =（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}1,0-D ．{-3．[2018·衡水中学]已知随机变量X 服从正态分布(),4N a ，且()10.5P X >=，()20.3P X >=，()0P X <等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.84．[2018·衡水中学]下列有关命题的说法正确的是（ ） A ．命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠” B ．命题“若0x y +=，则x ，y 互为相反数”的逆命题是真命题C ．命题“x ∃∈R ，使得2210x -<”的否定是“x ∀∈R ，都有2210x -<”D ．命题“若cos cos x y =，则x y =”的逆否命题为真命题 5．[2018·衡水中学]已知α满足 ） A B C D 6．[2018·衡水中学]某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．2163π-B ．216 4.5π-C ．2166π-D ．2169π-7．[2018·衡水中学]，现将()y f x =的图象向左平移一、选择题倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在 ）A ．[]1,2-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]1,0-8．[2018·衡水中学]我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算术——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6402a =，2046b =时，输出的a =（ ）A ．66B ．12C ．36D ．1989．[2018·衡水中学]已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x +-≥⎧⎪⎪⎨-≥--≤⎪⎪⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．73B ．53CD10．[2018·衡水中学]已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞，总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ） A ．1BCD11．[2018·衡水中学]的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于两点A ，B2F 是AB 的一个四等分点，则双曲线C 的离心率是（ ） ABCD ．512．[2018·衡水中学]已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln2,ln63⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．13ln2ln6,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．13ln2ln6,34⎛⎤-- ⎥⎝⎦13．[2018·衡水中学]已知平面向量a ，b ，1=a ，2=b 且1⋅=a b ，若e 为平面单位向量，则()+⋅a b e 的最大值为_____．14．[2018·衡水中学]__________．15．[2018·衡水中学]已知点A 是抛物线C ：22x py =（0p >）上一点，O 为坐标原点，若A ，B 是以点()0,8M 为圆心，OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO △为等边三角形，则p 的值是_______． 16．[2018·衡水中学]已知直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，1AB AC ==，12AA =，若棱1AA 在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为()3060θθ︒≤≤︒，设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是__________．二、填空题1．【答案】A【解析】因为复数2237i 3i 773i i i i z ++===-，所以，复数7i 3i z +=的实部是7，虚部是3-， 故选A ． 2．【答案】C【解析】因为[]1,1Q =-，所以{}1,0P Q =-．故选C ．3．【答案】B 【解析】随机变量ξ服从正态分布(),4N a ，∴曲线关于x a =对称，且()0.5P X a >=， 由()10.5P X >=，可知1a μ==，故选B ． 4．【答案】B【解析】“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠”，A 错误； 逆命题是“若x ，y 互为相反数，则0x y +=”，B 正确；“x ∃∈R ，使得2210x -<”的否定是“x ∀∈R ，都有2210x -≥”，C 错误；“若cos cos x y =，则x y =”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，D 错误，故选B ． 5．【答案】A()()22211117cos sin 12sin 12222918ααα⎛⎫=-=-=-⨯= ⎪⎝⎭， 故选A ． 6．【答案】D【解析】，答案与解析一、选择题D ．7．【答案】A将函数()y f x =的图象向左平移纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，，5π0,24x ⎡∈⎢⎣12sin 23π4x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，()g x ∴5π⎤上的值域为[]1,2-，故选A ．8．【答案】A【解析】输入6402a =，2046b =， 第一次循环，264r =，2046a =，264b =； 第二次循环，198r =，264a =，198b =； 第三次循环，66r =，198a =，66b =；第四次循环，0r =，66a =，0b =；退出循环，输出66a =，故选A ． 9．【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数y t x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()2,3C 处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即31,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．题中的不等式即：()2222224a x y x xy y +≤++， 则22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立，原问题转化为求解函数()2242131221t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t t f t t t t t ⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪++- ⎪ ⎪=⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭-++ ⎪⎪- ⎪⎝⎭， 令12m t =-，则112m ≤≤， 令()34g m m m =+，则()g m在区间12⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， 且122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()714g =，据此可得，当12m =，1t =时，函数()g m 取得最大值，则此时函数()f t 取得最小值，最小值为()2241211713211f ⨯+⨯+==⨯+． 综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．10．【答案】C【解析】由题意得()ln 23x m x n ≤++对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以230m +>， 令()ln 23y x m x n =-+-，得123e n m --+≥，1n =，所以当1n >时，(),0f m n '<；当1n <时，11．【答案】B【解析】4AB m =，因为2F 是AB 的一个四等分点； 23AF m =，得到0a =，这与0a >矛盾； 23BF m =，由双曲线的定义，所以1ABF △是直角三角形，且190BAF ∠=︒，故选B ． 12．【答案】D【解析】由()()44f x f x +=-，可知函数的对称轴为4x =，由于函数是偶函数，()()44f x f x +=-，所以函数是周期为8的周期函数， 当(]0,4x ∈时，()21ln2'x f x x -=，函数在0,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在e ,42⎛⎫⎪⎝⎭上递减， 最大值e e22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()ln834ln2044f ==>，由选项可知0a <，()()0f x f x a ∴+>⎡⎤⎣⎦，解得()0f x <或()f x a >-， 根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，()0f x <没有整数解，根据函数为偶函数，∴在[]0,200上有25个周期，且有150个整数解， 也即每个周期内有6个解，()13ln63f =，故()()43f a f ≤-<，解得13ln2ln634x -<≤-，故选D ．二、填空题13．【解析】由1=a ，2=b 且1⋅=a b ，得1cos 2⋅〈⋅〉==a b a b a b ，cos 60∴〈⋅〉=︒a b ，设()1,0=a ，(=b ，()cos ,sin θθ=e ，()θ∴-⋅=a b e ，()∴-⋅a b e14．【答案】5【解析】得4k =，即二项式展开式中的常数项是45C 5=．15．【答案】23【解析】由抛物线的性质可知，点A 和点B 关于y 轴对称，又因为ABO △为等边三角形，所以直线OA 与x 轴的正半轴夹角为60︒，OA ∴的方程为y =，代入抛物线方程得2x =，解得点A 的坐标为(),6p ，又OA MA =，解得23p =．16．【答案】【解析】AB 与投影面α所成角θ时，平面ABC 如图所示，BC ∴=，60CAE θ∠=︒-，sin BD AB θ∴=，cos DA AB θ=，()cos 60AE AC θ=︒-，()cos 60cos ED DA AE θθ=+=︒-+，故正视图的面积为()12cos 60cos m ED AA θθ=⨯=︒-+⎡⎤⎣⎦， 因为3060θ︒≤≤︒，所以BD CE >， 侧视图的面积为12sin n BD AA θ=⨯=，()4sin cos 60cos mn θθθ∴=︒-+⎡⎤⎣⎦ ()4sin cos 60cos sin sin 60cos θθθθ=︒+︒+⎡⎤⎣⎦2sin 22sin 2θθθ=++3sin 2θθ=()230θ=-︒3060θ︒≤≤︒，3023090θ∴︒≤-︒≤︒，()1sin 23012θ≤-︒≤()230θ≤-︒≤mn ∴≤故得mn 的最大值为。
2020—2021年最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题十三及答案解析.docx
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0} B．{2} C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，2}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A ．﹣B．1 C ．D ．3．已知命题：p“∃x0∈R，x02+2ax0+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1] C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）4．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表，s1，s2分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则（）甲8 11141522乙6 7 12324A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1=s2D．s1，s2大小不能确定5．一个球与一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（）A．81B．C．D．6．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B． C．2 D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．48．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=cos（x+1）；④f（x）=tanx．其中的“准奇函数”的有（）A．①③B．②③C．②④D．③④9．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A． B． C．D．10．在△ABC中，已知•=•，若|+|=2，且B∈[，]，则•的取值范围为（）A．[﹣2，] B．[﹣1，] C．[0，] D．[1，]11．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A． B．C．D．12．若定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣2f（x）﹣4＞0，f （0）=﹣1，则不等式f（x）＞e2x﹣2（其中e是自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
2020届高三数学小题狂练二十三含答案
2020届高三数学小题狂练二十三姓名 得分1．若直线30x ay ++=的倾斜角为120︒，则a 的值是 .2．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且(1)1f -=，则1()2f -的值等于 .3．不等式02||2<--x x 的解集是 .4．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R = .5．函数x xy tan 31tan 3+-=的单调减区间是 .6．在坐标平面内，已知由不等式组|2|,||y x y x a≥-⎧⎨≤-+⎩所确定的区域的面积为52，则a 的值等于 .7．若函数3()log ()(0a f x x ax a =->且1)a ≠在区间1(,0)3-内单调递增，则实数a 的取值范围是 .8．已知数列{}n a 中，12a =，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，则n a = .9．已知函数1,1,|1|()11,x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩， 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值等于 .10．已知函数()f x 在[2,)+∞单调递增，且对任意实数x 恒有(2)(2)f x f x +=-，若22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 .11．设非零向量a r ，b r 满足||1b =r ，a r 与b a -r r 的夹角为120︒，则||a r 的最大值为 .12．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，都有1()(2)1()f x f x f x -+=+，又1(1)2f =，1(2)4f =，则(2015)(2016)f f += .答案1．32．1- 3．(2,2)-4．325．5(,)66k k ππππ-+（k ∈R ） 6．3 7．1[,1)38．)1(4+n n 9．510．(2,0)-（12|2||2|X X -<-）11ABC ∆中，CA b =u u u r r ，CB a =u u u r r ，BA b a =-u u u r r r ，60ABC ∠=︒，||sin 601a ︒≤r ，||a ≤r ）12．1415（令1=x ，则1(1)1(3)1(1)3f f f -==+，令2=x ，则1(2)3(4)1(2)5f f f -==+，)(n f 以4为周期，所以1314(3)(4)3515f f +=+=）。
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学试题含附加题参考答案及讲评建议
南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及讲评 2020.4.6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1．已知集合A = {x |x =2k +1，k ∈z}，B = {x | x (x -5)<0），则A ∩B = ▲ ． 答案：{1，3}考点：集合交集运算解析：∵集合A ＝{}21Z x x k k =+∈，，B ＝{}(5)0x x x -<，∴A I B ＝{1，3}． 2．已知复数z=1+2i ，其中i 为虚数单位，则z 2的模为 ▲ ． 答案：5 考点：复数解析：2214i 4i 34i z =++=-+，∴25z =．3．如图是一个算法流程图，若输出的实数y 的值为-l ，则输入的实数x 的值为 ▲ ． 答案：14-考点：算法与流程图解析：当0x ≤时，2log (21)1x +=-，解得14x =-符合题意， 当0x >时，21x=-，该等式无解．故14x =-．4.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 ▲ 个． 答案：325考点：频率分布直方图 解析：0.1(0.0350.0150.01)0.022x -++==，∴(0.035＋0.02＋0.01)×10×500＝325．5．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ▲ ． 答案：12考点：随机事件的概率解析：先后取两次共有16种取法，其中第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除有8种，故P ＝81162=． 6.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当x ∈(0，1]时，f (x )=x +3a，则f (a )的值为 ▲ ． 答案：0考点：函数的奇偶性与周期性 解析：当x ∈(0，1]时，()3a f x x =+，∴(1)13a f =+， ∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(1)(1)13af f -=-=--， ∵函数()f x 周期为2，∴(1)(1)f f -=，解得a ＝﹣3，∴(1)(1)0f f -==， ∴()(3)(32)(1)0f a f f f =-=-+=-=． 7．若将函数f (x ) =sin(2x +3π)的图象沿x 轴向右平移ϕ（ϕ> 0）个单位后所得的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则 ϕ的最小值为 ▲ ． 答案：2π 考点：三角函数的图像与性质 解析：由题意知22T ππϕω===． 8．在△ABC 中，AB =25，AC =5，∠BAC =90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ▲ ．答案： 考点：圆锥的侧面积解析：有题意可知该几何体是由底面半径为2，母线长分别为的两个圆锥拼成的图形，故表面积＝π=．9．已知数列 {a n } 为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足{a 1，a 2，a 3} = {b 1，b 2，b 3} = {a ，b ，-2}，其中a >0，b>0，则a +b 的值为 ▲ ． 答案：5考点：等差、等比中项解析：不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5．10.已知点P 是抛物线x 2=4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（0，-1），则PAPF的最小值为 ▲ ．答案：2考点：抛物线的性质解析：令直线l 为：y ＝﹣1，作PG ⊥l 于点G ，则PF PG cos APG cos PAF PA PA==∠=∠， 当直线AP 且抛物线与点P 时，∠PAF 最大，此时cos ∠PAF 最小，即PFPA最小，令直线AP ：y ＝kx ﹣1，与抛物线联立：241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，2440x kx -+=，当2(4)440k --⨯=，解得k ＝±1，从而有∠PAF ＝45°，即cos PAF ∠＝2． 11.已知x ，y 为正实数，且xy +2x + 4y =41，则x +y 的最小值为 ▲ ． 答案：8考点：基本不等式解析：∵xy ＋2x ＋4y ＝41，∴(4)(2)49x y ++=，∴(4)(2)14x y +++≥=，当且仅当x ＝3，y ＝5取“＝”， ∴x ＋y ≥8，即x ＋y 的最小值为8．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x -m )2+y 2=r 2(m >0)．已知过原点O 且相互垂直的两条 直线l 1和l 2，其中l 1与圆C 相交予A ，B 两点，l 2与圆C 相切于点D .若AB =OD ，则直线 l 1的率为 ▲ ．答案：5±考点：直线与圆综合解析：作CE ⊥AB 于点E ，则222222211CE BC BE BC AB BC OD 44=-=-=- 2222215()44r m r m r -=--=，由OECD 是矩形，知CE 2＝OD 2，∴222254r m m r -=-，化简得r m =即cos ∠OCD ＝CD OC＝3rm =，tan ∠COB ＝tan ∠OCD＝5，∴直线l 1的斜率为5±． 13.在△ABC 中，BC 为定长，||3|2|=+．若△ABC 的面积的最大值为2，则边 BC 的长为 ▲ ．答案：2考点：平面向量与解三角形 解析：方法一：根据题意作图如下，且令在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 其中C 是AD 中点，E 是BD 中点，则AB 2AC 2AE +=u u u r u u u r u u u r，∴AB 2AC +u u u r u u u r ＝3BCu u u r可转化为33AE BC 22a ==u u u r u u u r ，根据三角形中线公式得，AE =BC =即32a =，a =，消BD 2得， 2221163a b c =+，作AF ⊥BC 于点F ，设CF ＝x ，则BF ＝a x -，AF ＝h ， 2221163a b c =+可转化为22222116()3[]a x h h a x =+++-，化简得2229689x ax a h -++=，当3a x =时，2h 取最大值2a ，即h 的最大值为a ，∴max 122S a a =⋅⋅=，解得a ＝2，即BC 的长为2． （第13解1图）DA方法二：如图，M 为BC 的三等分点∵|AB →+2AC →|=3|BC →| ∴|13AB →+23AC →| =|BC →| =|AM →|, S m a x =12BC ·AM =2 ∴ BC =214．函数f (x ) = e x -x -b (e 为自然对数的底数，b ∈R)，若函数g (x ) = f (f (x )一21）恰有4个 零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ． 答案：(1，1ln 22+) 考点：函数与方程解析：∵()xf x e x b =--，∴()1xf x e '=-，当x ＜0，()f x '＜0，则()f x 在(-∞，0)上单调递减， 当x ＞0，()f x '＞0，则()f x 在(0，+∞)上单调递增， ∴()f x 的最小值为(0)1f b =-，容易知道当10b ->，函数1()(())2g x f f x =-没有零点； 当10b -=，函数1()(())2g x f f x =-有且仅有两个零点；要使函数1()(())2g x f f x =-恰有4个零点，必须10b -<，即b ＞1 此时()f x 恰有2个零点，令这两个零点为1t ，2t ，规定1t ＜0＜2t ，则1()2f x -＝1t 或2t ，()f x ＝112t +或212t +，易知()f x ＝212t +有两个不相等的实根，则()f x ＝112t +必须满足有且仅有两个不相等的实根，故1112t b +>-，即112t b >-，因为函数()f x 在(12b -，1t )上单调递减，∴11()()02f b f t ->=，即121()02b e b b ---->，解得1ln 22b <+，综上所述，11ln 22b <<+．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．（本小题满分14分）如图，三棱锥P -ABC 中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC . (1)求证：AC ∥平面PDE ;(2)若PD =AC =2，PE =3，求证：平面PBC ⊥平面ABC . 解：（1）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，∵AC ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴AC ∥平面PDE（2）∵D ，E 分别为AB ，BC 的中点， ∴112DE AC == 在△PDE 中，2224DE PE PD +==，∴PE ⊥DE∵平面PDE ⊥平面ABC ，平面PDE I 平面ABC ＝DE ，PE ⊂平面PDE∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面ABC16.（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a = b cosC +c sinB. (1)求B 的值．(2)设∠BAC 的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知AD =717，cos A = -257，求b 的值．解：（1）由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ； s in[π﹣(B ＋C )]＝sin B cos C ＋sin C sin Bsin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B ； sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin B cos C ＋sin C sin B sin C cos B ＝sin C sin B∵B 、C ∈(0，π)，sin B ＞0，sin C ＞0，∴cos B ＝sin B ，tan B ＝1，由B ∈(0，π)，得B ＝4π． （2）记A ＝2α ∵AD 是∠BAC 的角平分线 ∴∠BAD ＝∠CAD ＝α ∵cos A ＝725-，A ∈(0，π)， ∴sinA2425； sin C ＝sin(A ＋B )（第15题）ABC DEP∵cos A ＝222cos 112sin αα-=-，A 2α=∈(0，2π)， ∴sin α＝45，cos α＝35∴sin ∠ADC ＝sin(B ＋α)＝10在△ADC 中，由正弦定理得：AD sin ADC sin C b =∠，∴ADsin ADC=5sin Cb =⋅∠ 17.（本小题满分14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A 与小岛圆心C 相距3千米．为方便游人到小岛观光，从点A 向小岛建三段栈道AB ，BD ，BE ，湖面上的点B 在线段AC 上，且BD ，BE 均与圆C 相切，切点分别为D ，E ，其中栈道AB ，BD ，BE 和小岛在同一个平面上．沿圆C 的优弧（圆C 上实线部分）上再修建栈道DE ．记∠CBD 为θ． (1)用疗表示栈道的总长度f (θ)，并确定sin θ的取值范围； (2)求当θ为何值时，栈道总长度最短． 解：（1）连接CD ，在Rt △CBD 中，CD ＝1，CB ＝1sin θ，BD ＝1tan θ，»DE(2)12πθπθ=+⋅=+ 12()32sin tan f θπθθθ=-+++当B 与A 重合时，sin 13θ=，∴sin θ∈[13，1)，（2）∵sin θ∈[13，1)，∴cos θ∈(0，3]，求得2cos (2cos 1)()f θθθ--'=∴3πθ=时，即cos 12θ=，min 5()()333f f ππθ==+18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222by a x +=1(a >b>0)的离心率为21，且过（第17题）θC D AEB·点(0，3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为△BMN 的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为△BMN 的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值． 解：（1）由题意得12c a =，b =222b a c =-，解得a ＝2，23b = 椭圆方程为：22143x y += （2）①B (0，O 是△ABC 的垂心， 设M(0x ，0y )(0y ＜0)，则N (0x ，﹣0y )满足2200143x y +=，OM ⊥BN，则有00001y y x x ⋅=--，解得0x =，0y =; 则MN设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )，B(0x ，0y )，O 是△ABC 的重心， 则120x x x +=-，120y y y +=-，则有221212()()143x x y y +++=，则1212121023x x y y ++=， I 若MN 斜率不存在，则M(﹣1，32)，N(﹣1，32-)，d ＝1， II 若MN 斜率存在，则223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，联立得222(43)84120k x mkx m +++-=， 2248(43)0k m ∆=-+>，则122843km x x k -+=+，21224243m x x k -=+， 整理得22434k m +=，（第18题）则点O 到MN的距离d ==k ＝0时，取d =综上，当k ＝0时，min d = 19.（本小题满分16分）已知函数f (x )=x 3-x 2-(a -16)x ，g (x ) =a ln x ，a ∈R ．函数h (x )= xx f )(-g (x )的导函数 h '(x )在[25，4]上存在零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若存在实数a ，当x ∈[0，b]时，函数f (x )x =0时取得最大值，求正实数b 的最大值; (3)若直线l 与曲线y =f(x )和y =g (x )都相切，且l 在y 轴上的截距为-12，求实数a 的值． 解：（1）由题意，2()(16)ln h x x x a a x =----，()21a h x x x '=--在[52，4]上存在零点，即220x x a --=在[52，4]上有解，22a x x =-，22x x -∈[10，28]，所以a 的取值范围是[10，28]．（2）2()32(16)f x x x a '=---，(0)016f a '≤⇒≥令()f x '＝0，1x =，2x =当0＜b ≤2x 时，显然()f x 在x ＝0时取最大值当2b x >时，()f x 在[0，2x ]上单调递减，在[2x ，b ]上单调递增， 所以只需()(0)0f b f ≤=，即322(16)016b b a b b b a ---≤⇒-≤-， ∵max 28a =，∴b 的最大值为4，（3）设()f x 上切点为(1x ，1()f x )，2()32(16)f x x x a '=---，可得切线方程为 322111111(16)[32(16)]()y x x a x x x a x x -++-=----，已知点(0，﹣12)在其上，可得 2111(2)(236)0x x x -++=，所以12x = 设()g x 上切点为(2x ，2()g x )，()ag x x'=，可得切线方程为222ln ()ay a x x x x -=-，已知点(0，﹣12)在其上， 可得212ln a x a --=-，因为公切线，所以211232(16)a x x a x ---=，将12x =代入，可得224a a x -= 由2212ln 24a x aa a x --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2112x a =⎧⎨=⎩，所以a 的值为12． 20.（本小题满分16分）已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
模拟训练三1．[2018·衡水中学]已知i是虚数单位，则复数7i3iz+=的实部和虚部分别是（）A．7，3-B．7，3i-C．7-，3 D．7-，3i 2．[2018·衡水中学]已知{}1,0,2P=-，{}sin,Q y yθθ==∈R，则P Q=I（）A．∅B．{}0C．{}1,0-D．{}1,0,2-3．[2018·衡水中学]已知随机变量X服从正态分布(),4N a，且()10.5P X>=，()20.3P X>=，()0P X<等于（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.84．[2018·衡水中学]下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若0xy=，则0x=”的否命题为“若0xy=，则0x≠”B．命题“若0x y+=，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题C．命题“x∃∈R，使得2210x-<”的否定是“x∀∈R，都有2210x-<”D．命题“若cos cosx y=，则x y=”的逆否命题为真命题5．[2018·衡水中学]已知α满足1sin3α=，则cos cosππ44αα⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A．718B．2518C．718-D．2518-6．[2018·衡水中学]某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为6，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（）A．2163π-B．216 4.5π-C．2166π-D．2169π-7．[2018·衡水中学]已知函数()2sin2π6f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x=的图象向左平移π12个单位，再将所得图象一、选择题上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x=的图象，则()g x在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（）A．[]1,2-B．[]0,1C．[]0,2D．[]1,0-8．[2018·衡水中学]我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举，这个伟大创举与我国古老的算术——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6402a=，2046b=时，输出的a=（）A．66 B．12 C．36 D．1989．[2018·衡水中学]已知实数x，y满足约束条件501202x yy xy x+-≥⎧⎪⎪⎨-≥--≤⎪⎪⎩，若不等式()()2212420a x xy a y-++-≥恒成立，则实数a的最大值为（）A．73B．53C5D610．[2018·衡水中学]已知函数()lnf x x=，()()23g x m x n=++，若对任意的()0,x∈+∞，总有()()f xg x≤恒成立，记()23m n+的最小值为(),f m n，则(),f m n最大值为（）A．1 B．1eC．21eD．1e11．[2018·衡水中学]设双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与双曲线的右支交于两点A，B，若1:3:4AF AB=，且2F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是（）A．52B．102C．52D．512．[2018·衡水中学]已知偶函数()f x满足()()44f x f x+=-，且当(]0,4x∈时，()()ln2xf xx=，关于x的不等式()()20f x af x+>在区间[]200,200-上有且只有300个整数解，则实数a的取值范围是（）A．1ln2,ln63⎛⎫--⎪⎝⎭B．1ln2,ln63⎛⎤--⎥⎝⎦C．13ln2ln6,34⎛⎫--⎪⎝⎭D．13ln2ln6,34⎛⎤--⎥⎝⎦13．[2018·衡水中学]已知平面向量a，b，1=a，2=b且1⋅=a b，若e为平面单位向量，则()+⋅a b e的最大值为_____．14．[2018·衡水中学]二项式561xx x⎛⎫+⎪⎝⎭展开式中的常数项是__________．15．[2018·衡水中学]已知点A是抛物线C：22x py=（0p>）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点()0,8M为圆心，OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且ABO△为等边三角形，则p的值是_______．16．[2018·衡水中学]已知直三棱柱111ABC A B C-中，120BAC∠=︒，1AB AC==，12AA=，若棱1AA在正视图的投影面α内，且AB与投影面α所成角为()3060θθ︒≤≤︒，设正视图的面积为m，侧视图的面积为n，当θ变化时，mn的最大值是__________．二、填空题1．【答案】A【解析】因为复数2237i3i773i iiiz++===-，所以，复数7i3iz+=的实部是7，虚部是3-，故选A．2．【答案】C【解析】因为[]1,1Q=-，所以{}1,0P Q=-I．故选C．3．【答案】B【解析】随机变量ξ服从正态分布(),4N a，∴曲线关于x a=对称，且()0.5P X a>=，由()10.5P X>=，可知1aμ==，故选B．4．【答案】B【解析】“若0xy=，则0x=”的否命题为“若0xy≠，则0x≠”，A错误；逆命题是“若x，y互为相反数，则0x y+=”，B正确；“x∃∈R，使得2210x-<”的否定是“x∀∈R，都有2210x-≥”，C错误；“若cos cosx y=，则x y=”为假命题，所以其逆否命题也为假命题，D错误，故选B．5．【答案】A【解析】()()22cos cos cos sin cos sin442π2παααααα⎛⎫⎛⎫+-=-⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22211117cos sin12sin12222918ααα⎛⎫=-=-=-⨯=⎪⎝⎭，故选A．6．【答案】D【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是14个圆锥），答案与解析一、选择题故体积为321162π362169π43-⨯⨯⨯⨯⨯=-，故选D ．7．【答案】A【解析】()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度，得到2sin 22sin 21πππ263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的12倍， 纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，()2sin 4π3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π0,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，即ππ7π4336x ≤+≤，1sin π4123x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，12sin 23π4x ⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，()g x ∴在5π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，故选A ．8．【答案】A【解析】输入6402a =，2046b =， 第一次循环，264r =，2046a =，264b =； 第二次循环，198r =，264a =，198b =； 第三次循环，66r =，198a =，66b =；第四次循环，0r =，66a =，0b =；退出循环，输出66a =，故选A ． 9．【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数y t x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()2,3C 处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即31,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．题中的不等式即：()2222224a x y x xy y +≤++， 则22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立，原问题转化为求解函数()2242131221t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值， 整理函数的解析式有：()22211112424221211131224112122t t t f t t t t t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪++- ⎪ ⎪=⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭-++ ⎪⎪- ⎪⎝⎭， 令12m t =-，则112m ≤≤， 令()34g m m m =+，则()g m在区间12⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， 且122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()714g =，据此可得，当12m =，1t =时，函数()g m 取得最大值，则此时函数()f t 取得最小值，最小值为()2241211713211f ⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．10．【答案】C【解析】由题意得()ln 23x m x n ≤++对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以230m +>， 令()ln 23y x m x n =-+-，得21=，所以当1n >时，(),0f m n '<；11．【答案】B【解析】4AB m =，因为2F 是AB 的一个四等分点； 23AF m =得122AF AF a -=，得到0a =，这与0a >矛盾； 若214AF AB =，则2AF m =，23BF m =，由双曲线的定义， 得12112122532AF AF m a BF a BF BF BF m a m a ⎧-==⎧=⎪⇒⎨-=-⎨==⎪⎪⎩⎪⎩，则此时满足22211AF AB BF +=，所以1ABF △是直角三角形，且190BAF ∠=︒，所以由勾股定理，得()()222222121232AF AF F F a a c +=⇒+=，得102e =， 故选B ． 12．【答案】D【解析】由()()44f x f x +=-，可知函数的对称轴为4x =，由于函数是偶函数，()()44f x f x +=-，所以函数是周期为8的周期函数， 当(]0,4x ∈时，()21ln2'x f x x -=，函数在0,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在e ,42⎛⎫⎪⎝⎭上递减，最大值e e 22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()ln834ln2044f ==>，由选项可知0a <，()()0f x f x a ∴+>⎡⎤⎣⎦，解得()0f x <或()f x a >-， 根据单调性和周期性画出图象如图所示，由图可知，()0f x <没有整数解，根据函数为偶函数，∴在[]0,200上有25个周期，且有150个整数解， 也即每个周期内有6个解，()13ln63f =，故()()43f a f ≤-<，解得13ln2ln634x -<≤-，故选D ．二、填空题13．【答案】3【解析】由1=a ，2=b 且1⋅=a b ，得1cos 2⋅〈⋅〉==a b a b a b ，cos 60∴〈⋅〉=︒a b ， 设()1,0=a ，()1,3=b ，()cos ,sin θθ=e ，()3sin θ∴-⋅=-a b e ，()∴-⋅a b e 的最大值为3，故答案为3．14．【答案】5【解析】二项式561x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()315305622155C C kk kk kk T xx x ---+⎛⎫=⋅ ⎪=⋅ ⎪⎝⎭，令153002k -=， 得4k =，即二项式561x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是45C 5=．15．【答案】23【解析】由抛物线的性质可知，点A 和点B 关于y 轴对称，又因为ABO △为等边三角形，所以直线OA 与x 轴的正半轴夹角为60︒，OA ∴的方程为3y x =，代入抛物线方程得223x px =，解得点A 的坐标为()23,6p p ，又OA MA =Q ，解得23p =． 16．【答案】33 【解析】AB 与投影面α所成角θ时，平面ABC 如图所示， 3BC ∴=，60CAE θ∠=︒-，sin BD AB θ∴=，cos DA AB θ=，()cos 60AE AC θ=︒-，()cos 60cos ED DA AE θθ=+=︒-+，故正视图的面积为()12cos 60cos m ED AA θθ=⨯=︒-+⎡⎤⎣⎦， 因为3060θ︒≤≤︒，所以BD CE >， 侧视图的面积为12sin n BD AA θ=⨯=，()4sin cos 60cos mn θθθ∴=︒-+⎡⎤⎣⎦ ()4sin cos 60cos sin sin 60cos θθθθ=︒+︒+⎡⎤⎣⎦2sin 22sin 2θθθ=++3sin 2θθ=+()230θ=-︒3060θ︒≤≤︒Q ，3023090θ∴︒≤-︒≤︒，()1sin 23012θ≤-︒≤()230θ-︒≤mn ∴≤故得mn 的最大值为。