一元二次方程根的判别式及韦达定理
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项-精选.
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2· 变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5注意：要特别注意二次项系数是否为0，即原方程是否“一定为一元二次方程”。
变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值 已知23-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值； 1. 已知12,x x 是方程22430xx --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵ 1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10xk x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2注意：要特别注意应用韦达定理的前提条件是原方程有实根，即原方程：△≥0。
第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（ ）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（ ）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。
根的判别式韦达定理
一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。
例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。
特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
3、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )<2 B,a >2 <2且a ≠1 <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：（2010·中山）已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：
x1＋x2＝－p，x1x2＝q
例1
(1)已知关于x的一元二次方程x2Байду номын сангаас2x＋m＝0有解，求m的范围．
(2)己知关于x的一元二次方程x2－ x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．
(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根
(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围
(2)己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，
求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．
练习
己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
模块二一元二次方程根与系数关系
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练习
(1)方程x2—2x－1＝0的两个实数根分别为x1、x2，(x1－l)(x2－1)＝______________
cz，设x1、x2是方程2x2—6x+l＝o的两个实数根，则(x1－ )(x2－ )的值为__________
【总结】
1、用韦达定理，常见的恒等变形有：
＋ ＝ ,x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2,(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
(2)一元二次方程x2—4x－c＝0的一个根是3，则另一个根是____，c＝___________
第三讲一元二次方程根的判别式 韦达定理
一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24b b ac x aa-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+=也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)axbx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,22x a=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： ⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； ⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】 不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定知识点睛例题精讲一元二次方程根的判别式【例2】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【例3】 若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x m x m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例4】 已知：方程()22250m x m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【例5】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．二、一元二次方程中字母参数的确定【例6】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例7】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数？【例8】已知方程22(21)10+++=有实数根，求m的范围．m x m x【例9】关于x的方程()2--+=有实数根，则整数a的最大值是．a x x6860【例10】关于x的一元二次方程2k x---=有两个不相等的实数根，(12)10求k的取值范围．、【例11】已知关于x的方程22x m x m++++=有两个不相等的实数根，化简：2(1)50m-|1|【例12】已知关于x的方程22(21)10+-+=有两个不相等的实数根12k x k x，．x x⑴求k的取值范围；⑵是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例13】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350-+=的根，则该x x三角形的周长为．【例14】 方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ．【例15】 已知a ，3是直角三角形的两边，第三边的长满足方程29200x x -+=，则a 的值为．这样的直角三角形有 个．【例16】 已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-=⑴求证：无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰A B C ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．【例17】 已知关于x 的方程2(2)20x k x k -++=⑴求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；⑵若等腰三角形ABC 的一边长1a =，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求A B C ∆的周长．根与系数关系式习题精选1、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）)3)(3(21--x x ；（2）2221)1()1(+++x x（3）112112+++x x x x（4）||21x x -5）)31)(31(1221x x x x ++2、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m的值；3、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型
一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型一、一元二次方程跟的判别式的常见题型题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )A.a <2 B,a >2 C.a <2且a ≠1 D.a <－2· 变式1：关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数．．．．值.x 2420x x k ++=k k变式3：已知关于x的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。
题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵ 1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值k x变式1： 关于的方程有两个不相等的实根、，且有，则的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：已知一元二次方程．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为，，且+3=3，求m 的值。
二次函数根的判别式、韦达定理
一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两根为12x x ，，那么，就有()()212ax bx c a x x x x ++=--比较等式两边对应项的系数，得1212b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⋅⎪⎩①，② ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程20ax bx c ++=就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数1x ，2x 满足①与②，那么这两数12x x ，必是一个一元二次方程20ax bx c ++=的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不求方程20ax bx c ++=的根，而知其根的正、负性． 在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论： 当0c a <时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba-<，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当0c a >时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．⑴ 韦达定理：如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12bx x a+=-，12c x x a =．(隐含的条件：0∆≥)⑵ 若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根(其中12x x ≥)，且m 为实数，当0∆≥时，一般地： ① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=． ⑷ 其他：① 若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -(a ，b 为有理数)． ② 若0ac <，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有实数根． ③ 若0ac >，方程20(0)ax bx c a ++=≠不一定有实数根． ④ 若0a b c ++=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =．⑤ 若0a b c -+=，则20(0)ax bx c a ++=≠必有一根1x =-． ⑸ 韦达定理主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】 不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=。
_专题5一元二次方程两种关系—根判别式、韦达定理题型总结 2022—2023学年沪科版数学八年级下册
一元二次方程两种关系【知识点1 一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【例1】下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0 【变式1】关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定【变式2】函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【变式3】已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【练习 1】关于x的一元二次方程2x2+5x﹣1＝0根的说法，正确的是（）A．方程没有实数根 B．方程有两个相等实数根C．方程有两个不相等实数根 D．方程有一个实数根【练习 2】已知关于x 的不等式组{x −m ＞07−2x ＞1无解，且关于y 的一元二次方程my 2+4y+1＝0有两个不相等的实数根，则整数m 为 ．【练习 3】对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a ≠0），有下列说法：①若a+b+c ＝0，则b2﹣4ac ≥0；②若方程ax 2+c ＝0有两个不相等的实根，则方程ax 2+bx+c ＝0必有两个不相等的实根；③若c 是方程ax 2+bx+c ＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中说法正确的有 ．（填序号）【例2】关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+2＝0有两个不相等实数根，则a 的值可以（ ） A ．1B ．12C ．0D ．﹣1【变式1】关于x 的一元二次方程（a+2）x 2﹣3x+1＝0有实数根，则a 的取值范围（ ） A ．a ≤14且a ≠﹣2B ．a ≤14C ．a ＜14且a ≠﹣2D ．a ＜14【变式2】方程kx 2﹣6x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤9B ．k ≤9且≠0C ．k ≠0D ．k ＞9【变式3】关于x 的方程kx 2+√k +1x+2＝0有实根，则k 的取值范围是 ． 【变式4】关于x 的方程x 2+bx+c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m+2时，代数式x 2+bx+c 的值都等于n ，则n ＝ ．【练习1】关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x+2＝0有两个相等的实数根，则a 的值为 ．【练习2】已知关于x 的一元二次方程5x 2+2x+m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ． 【练习3】关于x 的方程（k ﹣1）2x 2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞14且k ≠1B ．k ≥14且k ≠1C ．k ＞14D ．k ≥14【例3】关于x 的一元二次方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2﹣1＝0有两个不相等的实数根 （1）求m 的取值范围；（2）若m 是满足条件的最大整数，求方程的根．【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一根；（2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【变式3】关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．【变式4】已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．【练习1】已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，求此时方程的解．【练习2】已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【练习3】关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？（3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【知识点2 一元二次方程的根与系数的关系-韦达定理】如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根是， 那么，；注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 【例1】如果1是方程2x 2+bx ﹣4＝0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．1【变式1】若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）＝ ． 【变式2】设x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 2x 1+x1x 2的值为 ．【变式3】已知a 、b 是方程2x 2+5x+1＝0的两实数根，则式子a √a b+b √b a的值为 ．【练习1】一元二次方程x 2﹣4x+a ＝0的两根之积为2，则常数a 的值（ ） A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2【练习2】已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则（m ﹣1）（n ﹣1）的值为（ ） A ．2B ．0C ．﹣4D ．﹣5【练习3】一元二次方程x 2+4x+1＝0的两个根是x 1，x 2，则x2x 1−x1x 2的值为 ．（其中x 2＞x 1）【例2】若a 、b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两根，则a 2+2a+b ＝ ．【变式1】一元二次方程x 2﹣3x+1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2+1的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7【变式2】设x 1、x 2是方程x 2﹣4x+1＝0的两个根，则x 13+4x 22+x 1﹣1的值为 ． 【练习1】如果方程x 2﹣x ﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ） A ．7B ．6C ．﹣2D ．0【练习2】已知α、β是方程x 2﹣x ﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（ ） A ．4B ．4√2C ．5D ．5√221x x ，a b x x -=+21acx x =21【例3】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2023＝．【变式1】已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则a2+b2的值为（）A．36 B．50 C．28 D．25【变式2】已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则ab+b+1b的值为．【变式3】已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则1α2+3β的值为．【例4】已知：关于x的一元二次方程x2+√m x+m﹣3＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1，x2，且满足x12+x22＝5，求m的值．【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值．【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m ＝．【变式3】已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．（1）试确定m的取值范围；（2）当1α+1β=−1时，求m的值．【变式4】已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．=0的两个实数根为α和β，若【练习1】已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32|α|+|β|＝4，求m的值．【练习2】已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是．【练习3】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式x12+x22−4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．【例5】定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k ＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根【变式1】对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；有两个相等的实数根，求实数a的值．（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14【变式2】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个实数根x 1，x 2，且满足数轴上x 1，x 2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有 ．（填序号） ①方程x 2﹣4x ＝0是关于2的等距方程；②当5m ＝﹣n 时，关于x 的方程（x+1）（mx+n ）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax 2+bx+c ＝0是关于2的等距方程，则必有b ＝﹣4a （a ≠0）； ④当两根满足x 1＝3x 2，关于x 的方程px 2﹣x +34=0是关于2的等距方程．【变式3】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一根为2t ，因此ax 2+bx+c ＝a （x ﹣t ）（x ﹣2t ）＝ax 2﹣3atx+2t 2a ，所以有b 2−92ac ＝0；我们记“K ＝b 2−92ac ”，即K ＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题：（1）以下为倍根方程的是 ；（写出序号） ①方程x 2﹣x ﹣2＝0；②x 2﹣6x+8＝0；（2）若关于的x 方程mx 2+（n ﹣2m ）x ﹣2n ＝0是倍根方程，求4m 2+5mn+n 2的值； （3）若A （m ，n ）在一次函数y ＝3x ﹣8的图象上，且关于x 的一元二次方程x 2−√mx +23n ＝0是倍根方程，求此倍根方程．【课后练习】1．关于x的一元二次方程x2+4x+2＝0根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根2．若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（）A．c＜94B．c＜49C．c＞49D．c＞943．关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣3 B．k＜3 C．k＜3且k≠0 D．k＞﹣3且k≠0 4．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论正确的是（）A．x1+x2＝﹣2 B．x1•x2＝0 C．x1+x2＝0 D．x1•x2＝﹣2 5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，则x1﹣x1x2+x2的值为．6．已知a，b是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则a2﹣b+2023的值是（）A．2025 B．2024 C．2023 D．20227．已知关于x的方程2x2+（m+2）x+m＝0；（1）证明：方程总有实数根；（2）若方程有一个根大于1，求m的范围．8．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+m4=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若1x1+1x2=4m，求m的值．。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方式，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有超级普遍的应用。
韦达定理除已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，和解一些有关二次曲线的问题等，都有超级普遍的应用。
一、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；（3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；（4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程能够判别根的情形，还能够依照根的情形确信未知系数的取值范围。
二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：（1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，a c x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着普遍的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例一、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例二、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
一元二次方程根的判别式与韦达定理
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意 二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取 值范围.
3、证明方程根的情况 例4、求证：关于x的方程：
x2 m 2x 2m 1 0
有两个不相等的实根。
证明： m 22 42m 1
（2）m ≠ 0，原方程为一元二次方程
(m 6)2 4 m 3 m2 36 > 0
此方程必有两个不相等的实数根 综合上述两种情况，原方程必有实根。
例1：已知关于x的方程 1 x2 （t 2)x t2 0
4
（1）有两个不相等的实数根，求t的取值范围； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.
解：∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ （t 2）2 4 1 t2 4t 4 0 4
∴ t < 1时，方程有两个不相等的实数根.
例2：关于x的二次方程（k 1)x2 2 k x 3 0 有两个不相等的实数根，求k的最大整数.
解：∵ 原方程是关于x的二次方程
∴ k – 1 ≠0，即k ≠ 1.又由 得k k≥0
16 24 8 <0
所以，此方程无实数 根。
例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：
(3)2x2 3 2 6x
解：把此方程化为：
2x2 2 6x 3 0
因为 b2 4ac
归纳步骤：
1.化为一般式，确定a、b、c的值 2.计算△的值，确定△ 的符号 3.判别根的情况，得出结论。
∵ 方程有两个不相等的实数根 ∴ （2 k）2 4 （ 3 k 1) 12 8k 0 ∴k3
2 ∴ 满足k 1且0 k 3的最大正整数是0
(初三)九年级数学一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(韦达定理)教案讲义
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(韦达定理)【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆1)当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2)当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 3)当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，1)方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； 2)方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； 3)方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释：1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；2)若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为0≠a ，0≥∆.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-； ⑥12()()x kx k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x xx x x x x x x x x ++-+==； ⑨12x x -==；⑩122|||||x x x +==2|x =．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数1x 、2x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当0≥∆且120x x >时，两根同号．当0≥∆△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当0≥∆且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当0>∆且021<x x 时，两根异号．当0>∆且021<x x ，021>+x x 时，两根异号且正根的绝对值较大； 当0>∆且021<x x ，021<+x x 时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；2)若有理系数一元二次方程有一根b a +，则必有一根b a -(a ，b 为有理数)．【典型例题——基础题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 04322=-+x x (2))0(02≠=+a bx ax 【答案与解析】 (1)04322=-+x x2=a ，3=b ，4-=c ，∵041)4(243422>=-⨯⨯-=-=∆ac b ∴方程有两个不相等的实数根.(2))0(02≠=+a bx ax∵0≠a ， ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程， 将常数项视为零， ∵2204b a b =⋅⋅-=∆，∵无论b 取任何关数，2b 均为非负数， ∴0≥∆，故方程有两个实数根.【总结升华】根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：0122=++-a ax x . 【答案】∵0)1(14)(22<+⨯⨯--=∆a a ，∴该无实根.2．关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】2<k 且1≠k ；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根， ∴01≠-k 且0)1(4)2(2>---=∆k ， 解得：2<k 且1≠k ． 故答案为：2<k 且1≠k ．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程0)33()1(2=+---m x m x 恒有两个不相等的实数根.【答案】∵012)5(3710)]3(3[4)]1([222>++=++=+----=∆m m m m m ， ∴关于x 的方程0)33()1(2=+---m x m x 恒有两个不相等的实数根. 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将2=x 代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，7-=k ．方法二：将2=x 代入方程，得062252=-+⨯k ，从而7-=k ．设另外一根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为7-．【总结升华】由一元二次方程根与系数的关系12bx x a +=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】已知方程022=+-c x x 的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】由一元二次方程根与系数的关系易另一根为1-；c 的值为3-．4．已知关于x 的一元二次方程02)2(2=++-m mx ． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案与解析】解：(1)0)2(448)2(222≥-=+-=-+=∆m m m m m ∴方程总有实数根； (2)解方程得，mm m x 2)2(22,1-±+=，mx 21=，12=x ， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴1=m 或2，2=m 不合题意， ∴1=m ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．【典型例题——提高题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1.已知关于x 的方程0222=-++a x x ．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】(1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式042>-=∆ac b ．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．(2)设方程的另一根为1x ，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：(1)∵0412)2(14)2(422>-=-⨯⨯--=-a a ac b ，解得：3<a ．∴a 的取值范围是3<a ；(2)设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得：⎩⎨⎧-=⋅-=+212111a x x ，解得：⎩⎨⎧-=-=311x a ， 则a 的值是1-，该方程的另一根为3-．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系． 举一反三：【变式】若关于x 的一元二次方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是( )A. 1B. 0，1C. 1，2D. 1，2，3 【答案】A.【解析】根据题意得：01216≥-=∆k ，且0≠k ，解得：34≤k ，且0≠k . 则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且1≠m . 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且1≠m ．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，1≠m ． 举一反三：【变式】已知：关于x 的方程04)1(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】021≠->k k 且.【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以044)1(2>⋅⋅-+=∆k k k ，解得21->k ，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即0≠k ，∴k 的取值范围是021≠->k k 且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设1x 、2x 是方程22610x x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得1262x x +=，1212x x =-，要求2212x x +，212()x x -，122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知126x x +=1212x x =-，所以(1)222121212()2x x x x x x +=+-26135212222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)22121212()()4x x x x x x -=+-26137422222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (3)121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-． 【总结升华】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a cx x =21.举一反三：【变式】不解方程，求方程01322=-+x x 的两个根的(1)平方和；(2)倒数和． 【答案】(1)134； (2)3． 【解析】由一元二次方程根与系数的关系知2321-=+x x ，2121-=⋅x x ，所以(1)222121212()2x x x x x x +=+-413)21(2)23(2=-⨯--=． (2)3212311212121=--=+=+x x xx x x ．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为1x 、2x ，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为1y 、2y ， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数1x 、2x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x .”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．【巩固练习】A 组一、选择题1. 下列方程，有实数根的是( )A ．0122=++x xB ．02132-=+x x C ．011.02=--x x D ．230x -+= 2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是( )A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 3．若关于x 的一元二次方程022)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值为( )A ．1-B ．0 C. 1 D. 24．关于方程0322-++x x 的两根21x x 、的说法正确的是( )A. 221=+x xB.321-=+x xC. 221-=+x xD.无实数根 5．关于x 的一元二次方程042=++k x x 有实数解，则k 的取值范围是( )A.4≥kB.4≤kC.4>kD.4=k6．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为( )． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24 二、填空题7．关于x 的方程03242=--x kx 有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．已知01232=--x x 的二根为21x x 、，则=+21x x ______，=⋅21x x ______，1211x x +=•_______，•=+2221x x _______，=-21x x ________． 9．若方程0322=--x x 的两根是21x x 、，则代数式21222122x x x x --+的值是 。
根与系数关系及根的判别式
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则acx x a b x x =⋅-=+2121, 以x 1和x 2为根的一元二次方程为:x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0一、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系（ ）A. M =B.M >C.M <D.大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥14.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） A.012=+xB.0122=++x xC.0322=++x xD.0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（ ） A.57 B.57- C.75 D.75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13D 、17. 不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（ ）.8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（ ）A.0232=--x xB.02322=--x xC.0232=-+x xD.02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x 11.下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x 12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) A.6 B.-6 C.4 D.-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0 ( )A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15.两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为( )A.6B.－6C.4D.－416.已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是( ) A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ） A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根二、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是 。
初中数学一元二次方程根的判别式与韦达定理
根的判别式与韦达定理中考要求例题精讲板块一 根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠） 【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零 ∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根． 【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=212x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220-+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】 已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（ ）． A ．有2个负根 B ．有2个正根 C ．有2个异号的实根 D ．无实根【解析】方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根 【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【解析】由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以 10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0 【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为 【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件 【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围． 【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】 关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】240k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴ 当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =； ⑵ 当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】 关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是 ．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =． 【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，． 【答案】1，2，3【例6】 已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤． 又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-． 【答案】1a =，12b =-【例7】 已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ ）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根． 【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根． 【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+= ∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根 【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程 22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥ ∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根． 【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠ 故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>． 方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为： 224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二 韦达定理☞ 如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根， 则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积 【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥ 【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得12x x +==，12x x ⋅==【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=的值． 【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ+++=++===☞利用韦达定理求参数的值【例10】 若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q += 【解析】略 【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于 ，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。
根的判别式,韦达定理
第3讲 根的判别式以及韦达定理新知探究：1、一元二次方程的根：有两个根，最多有两个实数根或没有实数根。
2、根的情况的判别：在)0(02≠=++a c bx ax 中，令ac b 42-=∆，其中，∆称为一元二次方程根的判别式。
（1） 当0≥∆时，_____________________________________； （2） 当0>∆时，_____________________________________； （3） 当0=∆时，_____________________________________； （4）当0<∆时，_____________________________________。
3、由求根公式可知：aacb b x a ac b b x 24,242221-+-=---=，则=+21x x _____， =∙21x x ______________。
由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系（韦达定理）： 结论1．如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，=+21x x 即：两根之和等于_____________；=∙21x x 即：两根之积等于_____________。
4、如果把方程)0(02≠=++a c bx ax 的二次项系数化为1，则方程变形为)0(02≠=++----a acx x ， 我们就可把它写成02=++q px x ．的形式其中=p ab ，=q ac ，结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =∙-=+2121,。
则以21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x说明：（1）韦达定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 【典型例题】【例1】不解方程，判断下列方程根的情况：.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--变式练习：（2013•珠海）已知一元二次方程：①0322=++x x ；②0322=--x x ．下列说法正确的是（ ）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解【例2】证明方程的根的情况：1、求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系---完美版
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系【基础知识】一、根的判别式1.4022.0203.,22ac b b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（也叫韦达定理）对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么1212,b cx x x x a a+=-= 则x 1和x 2为根的一元二次方程为： x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0特殊情况：当一元二次方程为x2+px+q=0时，x 1+x 2=-p,x 1x 2=q （二次项系数为1．） 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别．．【课堂演练】三、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是:（ ）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是:（ ）(A)M = (B)M > (C)M < (D)大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是：（ ） A.a ≤1 B. a<1 C. a ≤-1 D. a ≥1 4.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） （A ）012=+x（B ）0122=++x x（C ）0322=++x x（D ）0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（ ） （A ）57 （B ）57- （C ）75 （D ）75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13 D 、17. 不解方程，判别方程5x 2-7x+5=0的根的情况是（ ）.（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根 （D ）没有实数根8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（A ）0232=--x x （B ）02322=--x x （C ）0232=-+x x （D ）02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x11.下列方程中，没有实数根的是A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) (A)6 (B)-6 (C)4 (D)-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15. 两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为(A) 6 (B) －6 (C) 4 (D) －4 16. 已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是A. 6B. 2 m －8C. 2 mD. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根C.没有实数根D.有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根四、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的 值是 。
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第14讲 一元二次方程根的判别式及韦达定理
◎前景回顾
上节课我们一起学习了哪些知识点呢？同学们还记得吗？ （一元二次方程的定义、四种解法、整体代入）
1、代数式222
1
x x x ---的值为0，则x 的值为________．
2、已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，则x+y 的值为________
3、若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2
+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
4、已知x 2+y 2+z 2
-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z 的值是_________________
5、如果2x 2+1与4x 2
-2x-5互为相反数,则x 的值为________.
6、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2
-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为___________
7、已知关于x 的方程：（m-2）m
-m 2x
+（m-1）x+6=0是一元二次方程，试求m 的值．
8、关于x 的方程0b m x a 2
=++）（的解是x 1=-2，x 2=1（a 、m 、b 均为常数，a ≠0），则方程0b 2m x a 2
=+++）（的解是_____________ 9、解方程
（1）（1-x ）2+2x （x-1）=0． （2）x 2
-4x+1=0
（3）x 2-6x+5=0 （4）x 2
-2（x+4）=0
◎例题导航
知识点1 根的判别式
例1．方程x 2
＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．
例2．当k ＜1时，方程2（k+1）x 2
＋4kx+2k-1=0有____实数根．
例3．若关于x 的一元二次方程mx 2
+3x-4=0有实数根，则m 的值为____．
例4．若m 是非负整数且一元二次方程（1-m 2）x 2
+2（1-m ）x-1=0有两个实数根，则m 的值为____．
例5．若关于x 的二次方程kx 2+1=x-x 2
有实数根，则k 的取值范围是____．
举一反三
1、若一元二次方程（1-3k ）x 2
＋4x-2=0有实数根，则k 的取值范围是____．
2、方程4mx 2
-mx ＋1=0有两个相等的实数根，则 m 为____．
3、若关于x 的二次方程kx 2+1=x-x
2
有实数根，则k 的取值范围是____．
5．一元二次方程（m-1）x 2
+2mx ＋m ＋3=0有两个不相等的实数根，求m 的最大整数值
知识点2 根与系数的关系
例1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：
（1）01032
=--x x （2）01532
=++x x （3）0223422
=--x x
例2、设21,x x 是一元二次方程01522
=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）x 1+x 2 （2）x 12
+x 2
2
（3）
211
x 1x + （4）2
112x x x x +
（5）|x -x |21 （6）)1(1x 21++x ）（ (7)(2
221x x -)
例3、已知关于x 的方程02)15(2
2
=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
例4、已知方程0252
=-+x x ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
例5、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足
02
221=-x x ，求m 的值；
举一反三
1．若关于x 的一元二次方程x 2
-4x+k-3=0的两个实数根为x 1、x 2，且满足x 1=3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．
2.已知关于x 的方程x 2
-（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x 1和x 2，且x 12
+x 22
=6，求k 的值？
3．已知a 、b 为方程x 2-2x-1=0的两根，不解方程，求a 2+2b 2
-2a-4b+3的值．
4．关于x 的一元二次方程4x 2
+4（m-1）x+m 2
=0
（1）当m 在什么范围取值时，方程有两个实数根？
（2）设方程有两个实数根x 1，x 2，问m 为何值时，x 12+x 22
＝17？
（3）若方程有两个实数根x 1，x 2，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应m 的取值范围；若不能同号，请说明理由．
5．已知关于x 的方程x 2
+2mx+m+2=0．
（1）方程两根都是正数时，求m 的取值范围；
（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．
知识点3 配方法的应用
例1、已知m 2+2mn+2n 2-6n+9=0，求
2
n m
的值
例2、用配方法求x 2-6x+2的最小值．
例3、试说明代数式-4x 2+8x-5的值是正数还是负数，并求出该代数式的最大值或最小值
例4、试说明：不论x 、y 取何值，代数式x 2+y 2-4x+6y+15的值总是正数．并求出当x 、y 取何值时，这个代数式的值最小是多少？
例5、无论x 取任何实数，代数式
m x 6-x 2+都有意义，则
m 的取值范围为________。
举一反三 1、已知3x 1x =+
，求22x
1
x +的值。
2、已知x 为实数，设M=x 2+1，N=2x-3，则M 与N 的大小关系为M____N ．
【课后练习】
1．已知方程x 2
+(2k+1)x+k 2
－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）
A ．－3或1
B ．－3
C ．1
D ．3
2．若,αβ是方程2
220050x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值为（ ）
A ．2005
B ．2003
C ．－2005
D ．4010
3．若关于x 的一元二次方程2x 2
－2x ＋3m －1＝0的两个实数根x 1，x 2，且x 1·x 2＞x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是 （ ）
A ．m ＞53-
B ． m ≤12
C ．m ＜53-
D ．53-＜m ≤12
4． 若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为（ ）
A ．－1或34
B ．－1
C ．3
4 D ．不存在
5.关于x 的方程2
0x px q ++=的两根同为负数，则（ ）
A ．0p >且q >0
B ．0p >且q <0
C ．0p <且q >0
D ．0p <且q <0 6、下列方程中，无实数根的是（ ）
A 、011=-+-x x
B 、 762=+y
y C 、021=++x D 、0232=+-x x
7、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<
m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥4
3
且m ≠2 8、在方程02
=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）
A 、有两个不等实根
B 、有两个相等实根
C 、没有实根
D 、无法确定
9、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02
=-x x 中，无实根的方程
是 。
10、已知关于x 的方程022
=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
11．已知一元二次方程x 2
－2x －1=0的两个根是x 1，x 2，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ，x 12
+x 2
2= ；
12.若是m ，n 方程x 2
+2002x －1=0的两个实数根，则m 2
n+mn 2
－mn 的值为 13.反比例函数x
k y =
的图象经过点P （a 、b ），其中a 、b 是一元二次方程042=++kx x 的两根，那么点P 的坐标是 。
14.已知1x 、2x 是方程0132
=+-x x 的两根，则1112422
1++x x 的值为 。
15、已知关于x 的方程022
=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n
的值。
16、已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(212
21=-+-+x x x x ，求m 的值。