11.3角平分线的性质(一)
角的平分线的性质(1)
11．3．1角的平分线的性质执笔人：王金梅审核人：董介文孙秀云【学习内容】教材P19－20【学习目标】1.掌握作已知角的平分线的方法，并掌握角平分线的性质。
2.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
3.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。
4.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
5.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
【学习重点】利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质的证明及运用。
【学习难点】角的平分线性质的探究；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。
【教学准备】平分角的仪器（自制）、三角尺、圆规、多媒体课件。
【学习过程】[知识回顾]1、全等三角形的性质：若△ABC≌△DEF，则有。
2、三角形全等的判定方法有：。
3、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线[自主探究]【活动1】问题：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。
教师展示课件，并展示学生作品。
[设计意图]回忆角的平分线的定义，掌握角的平分线的简易作法。
让学生体验成功。
【活动2】 ( 体会平分角的仪器道理)议一议：如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器，如图，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？（教师演示，并介绍“平分角的仪器”的特点。
学生将实物图抽象出数学图形，思考后组内交流.）本次活动中，教师重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪器中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE 是∠BAD 的平分线。
（师生共同分析讨论，探究问题的解答.）分析：要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB 。
角平分线性质PPT
A
E O
B
D
C
练习与拓展
1、判断正误，并说明理由。 如图1，P在射线OC上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则 PE=PF. （ ）
如图2，P是∠AOB的平分线上任一点，E、F分别在OA、OB 上，则PE=PF （ ）
如图3，在∠AOB的平分线上取点P，若点P到OA的距离为
3cm，则点P到OB的距离也为3cm。 （ ）
B F
C
B
F
C
B C
P P
P
O
E AO
图1
图2 E A O
图3
A
练习与拓展
选择题
2. 如图，OC平分∠AOB，CA⊥OA于A，CB⊥OB
于B，下列结论一定成立的是（ ）
A . AC=BC
B. AO=BO
A
C. OC平分∠ACB
D. 以上都成立
C
O
B
练习与拓展
3、已知如图△ABC中，∠C=90°， A
B
N
C O
A
O
M
探究角平分线的性质
已知：如图，OP平分∠MON, C为OP上任一点， (1)若OA=OB,则AC与BC相等吗？
N B
CP O
A M
探究角平分线的性质
已知：如图，OP平分∠MON, C为OP上任一点， ((12))若若OCAA=⊥OOBM,则于AAC，与CBBC⊥相O等N吗于？B，则AC与BC相等吗？ 你能得出什么结论？
B O
B C
C
A
O
A
A
如 图 ： 在 △ ABC 中 ，
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，
11.3角平分线的性质(1)
D C E
B
证明：在△ACD和△ACB中 ∵ AD=AB DC=BC AC=AC ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB D ∴AC是∠A的角平分线
A
B C
？
E
如何用尺规作角平分线？
动动手，你也可以做到
2、尺规作角的平分线
练习：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于 点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ 所在直线的距离相等． Ｄ
Ｃ F H
Ｐ
Ｂ G
Ｅ
Ａ
例2 如图，已知CD⊥AB于D， BE⊥AC于E，∠1＝∠2， 求证：OB＝OC.
C
E
1 2
O D B 《目检》练习P13 6
A
例3、已知BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E， BD、CE交点F，CF＝BF， 求证：点F在∠A的平分线上．
C D F A E B N
《目检》练习P16 4
M
例5、已知：如图，在四边形ABCD中， BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC. 求证：∠A＋∠C＝180°
A D
B
C
《目检》练习P14 8
1：画一个已知角的角平分线； 及画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的判定结论： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
1：画一个已知角的角平分线；
画法：①量角器；②平分角的仪器；③尺规作图 并会画一条已知直线的垂线；
2：角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3：角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
11.3角平分线的性质(1)
A
E B D
F C
当堂训练 暗线:课本P22 第2 、3题
1、《全品》P13-14课时作业（七） 2、预习P19
4．如图，已知：E是∠AOB的平分 线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， 求证:OD=OC
D O
C A
E B
应用与提高
例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在 AC上，BD=DF， A 求证CF=EB.
课堂练习:
1.如图,P是∠ACB平分线cM上的一点, 则利用角平分线的性质要使PD=PE,需 满足的条件是_____________.
E C D A
M P B
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC 如果AB=10cm， EC=4cm，那么S△ABE=（ ） A.20cm2 B.30cm2 C.40cm2 D.无法确定 B
s
解： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm , 点D即为所求。 O
D
s
C
探究P20.动手做一做,画一画.
画∠AOB的平分线OC,在OC上找一点P,过 点P作PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D、E. 比较折纸过程, PD和PE有什么数量关系?
你能得出什么结论?
角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
得到_____=_____。
1
C
3 4
A
2 2
B
D
例题选讲一
例1、已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE交于点O， 且AO平分∠BAC，求证：OB=OC
A D O E C
课本P22【练习】
B
角平分线的性质1
∴PD=PE
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
四、练习课本P43第练习1、2题
五、课后作业
六、小结1.直角三角形的判定方法：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等；2.判定两个三角形全等的方法共有5个。
板书设计
教学反思
1.【学生活动】画已知角的平分线.
已知：∠AOB．
求法：∠AOB的平分线．
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求
2.【学生活动】如图：OC平分∠AOB，P是射线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E.
教学准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
所需课时
1
累计课时
教学流程
二次备课
一、创设情境，导入新课
【问题探究】（投影显示）
如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？
二、新知探究
（1）用刻度尺度量PD、PE的长度并观察它们的数量关系？
（2）请同学们用前面学过的知识验证你们得到的结论。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）
求证：PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
木瓜镇木瓜中学备课教案
学科
数学
单元
第十二章
11.3角平分线的性质(1)
1 2
P
E
C B
相等
返回
活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 D 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
B C E
A
N E C N A
C
E
O
M
O
B M
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
活 动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
2、证明： 在△ACD和△ACB中 D AD=AB（已知） DC=BC（已知） C CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
(3)验证猜想
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
活 动 5
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
利用此性质 怎样书写推理过 A 程? D ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
角平分线的性质(1)
A
O B
八年数学 导学案
授课时间：年 月 日 主备人: 审批人：
课题 角平分线性质（！） 课型
新课
课时
1
学 习 目 标
重点 难点 预测 学习
过程 具体内容
教师复备学生笔记 课 堂 导 入'
1.什么叫做角的平分线？
2.三角形全等的判定方法有哪几种？
3.阅读P19—21页
自 主 学 习
活动1.探究 图11.3—1是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线。
你能说明它的道理吗？
已知： 求证： 证明：
合 作
活动2.作已知角的角平分线，并复述 已知：∠AOB 。
探
究
求作：∠AOB 的角平分线。
精 讲 点 拨
结论：角平分线的性质：
2.角平分线性质的证明：（画出图形，写出已知、求证、证明过程）
3.结合上面的证明过程说明文字命题证明的一般步骤：。
10 11.3 角的平分线的性质(1)
已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, ,P 上一点 垂足分别是D,E D,E， PD=PE。 垂足分别是D,E，且PD=PE。 求证:OC :OC是 AOB的平分线 的平分线. 求证:OC是∠AOB的平分线. A
D O 1 2 E B P C
分析:要证明PD=PE, PD=PE,只要证 分析:要证明PD=PE,只要证 明它们所在的△OPD≌△OPB， 明它们所在的△OPD≌△OPB，而 OPD≌△OPB的条件由已知易知 △OPD≌△OPB的条件由已知易知 它满足AAS. 故结论得证。 它满足AAS. 故结论得证。
D O 1 2 E B P C
A
已知:如图,OC是 已知:如图,OC是∠AOB ,OC 的平分线,P OC上任意一点 ,P是 的平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE.
D O 1 2 E B P C
已知:如图,OC是 AOB的平分线,P是OC上 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上 ,OC 的平分线,P 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE. A
O
B
巩固练习
作一个平角∠AOB， 作一个平角∠AOB，作出它的角平分线 OC，反向延长OC得到直线CD。 OC，反向延长OC得到直线CD。你能说出直线 OC得到直线CD CD与直线AB的关系吗？ CD与直线AB的关系吗？ 与直线AB的关系吗
A
· O
角平分线的性质
12.3角的平分线的性质（1）一、教学目标：知识与技能：1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观：在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
二、教学重点：角平分线画法、性质三、教学难点：角的平分线的性质的探究四、教学准备：角平分仪、三角尺、圆规、卡纸五、课时安排：1课时六、教学过程：（一）创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？（二）探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。
已知什么？求作什么？已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画分别以点M，N为圆心，大于二分之一MN长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C.(4)OC与简易平分角的仪器中，AE是同一条射线吗?是(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?提示：利用全等的性质探究2.如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？BD可以看出，第一条折痕为∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕是教的平分线上的一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等。
由此得到一个角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
《 角的平分线的性质(第一课时)》精品教案 2022年公开课一等奖
学过程设计教探究二：角的平分线的性质实验：1.让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.2.分别过P点向OA、OB边作垂线PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。
3.测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系。
，并试着说明理由。
归纳角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用：如图，ABC中，D为BC中点，且AD恰好平分∠BAC。
求证：AB=AC三、课堂训练1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，假设∠1=∠2，求证OB=OC.2.如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD四、小结归纳1.用尺规作图法作出角的角平分线的方法；2.角的平分线的性质；3.角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。
学生做练习。
学生画图，教师巡视指导。
观察、讨论PD与PE的数量系。
学生通过三角形全等，说明PD=PE。
教师引导学生归纳出角的平分线的性质。
教师引导，学生思考并解题，写出证明过程。
学生充分讨论，综合运用所学知识解决问题。
学生小结本节所学的知识点及知识点的应用。
线的方法。
通过学生实验得到结论，重视知识的发生开展过程。
使学生明确角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。
稳固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。
从总体上把握学知识。
五、作业设计1.教材习题11.3第2、4小题；2.补充作业：①如图，AB ∥CD ，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，求AB 、CD 间的距离.②如图，在△ABC 中∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6㎝，那么△DEB 的周长为_________㎝。
EDBCA②思考题：：如图，任意ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线。
求证：BD ∶DC =AB ∶AC〔提示：可参照例题［点拨］，利用面积证明〕课题 11.3 角的平分线的性质一、角的平分线的作法： 作角的角平分线 例题分析 二、角的平分线的性质：教 学 反 思年级八年级课题13.1 平方根〔2〕课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．了解有的正数的算术平方根开不尽方；2．了解无限不循环小数特点；3．会用计算器算术求平方根；4．会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.过程方法通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，开展学生的形象思维和抽象思维；探究2的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想，并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.情感态度认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情.教学重点初步感受无理数，能进行比较教学难点探究2大小教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长.二、探究新知1.拼法：按以下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.2．问题：①拼成的大正方形的边长是多少？②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示为2，那么2是多大呢？2的大小：∵12=1,22=4，∴1<2<4；∵22=2.25，∴1.4<2<1.5；∵22=2.0164，∴1.41<2<1.42；∵22=2.002225，∴1.414<2<1.415；……教师提出问题，组织学生动手拼剪.教师参与学生活动，适当帮助指导学生完成拼图活动，并及时肯定学生各种割、拼的方法.教师设计并向学生提出问题，组织学生思考，交流，并引导学生尝试总结归纳，估算出2的大小，理解无限不循环小数的特点.调动学生思维的积极性，通过拼图活动，经历发现无理数的过程.通过形的研究来感受无理数的存在.从而对数的认识进一步加深，为实现从有理数到实数的过渡作好铺垫.教师设计问题，逐层深入，对学生进行启发引导，通过对2的大小估计，再次从数的角度来感受无理数的存在性.培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受从两端无限逼近的数学思想.如此进行下去，可以得到2的更精确地近似值.事实上，2=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？得到：小数位数无限且小数局部不循环的小数叫无限不循环小数.像7,5,3,2这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数. 4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出()用计算器计算，并将计算结果填在表中. 0625.0 625.025.6 5.62 625 6250 观察上表，你发现什么了吗？(1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？ (2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？(3)直接写出：_____625000;_____62500==. 得到：被开方数增大(或减小)，那么算术平方根也增大(或减小)；被开方数的小数点向左〔右〕移动两位，它的算术平方根的小数点也相应的向左〔右〕移动一位.用一块面积为400cm 2的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片， 使它的长宽之比为3：2？分析：大正方形的面积为400 cm 2， 可求出其边长为400=20cm ；要裁出面积为300cm 2的长方形纸片，并使其长宽之比为3：2，通过列方程可求得长和宽须分别为cm cm 502,503，用计算器求得1.750≈，所以3.21503≈，而21.3>20,即要裁出的长方形的长大于正方形的边长，故不能裁出.如果不使用计算器，因为21493503=>>20,所以不能裁出.不用计算器，估计一个整数的算术平方根的技巧：将这个整数a 拆成两个整数m 、n 的积，那么a 的算术平方根必在m 、n 之间，m 、n 越接近，估值越精确.如，24的算术平方根在4、6之间；56的算术平方根在7、8之间，这种方法虽然简便，但对有的数只能估计一个粗略范围，如50的算术平方根只能估计在5、10之间。
角平分线的性质(1)
课题：11．3角平分线的性质
,就要
充满信心地放手一搏,及时迈出决定性的第一步,将自己的胆量一军
.
1．会用尺规作图做出一个角的角平分线； 2．掌知道角的角平分线的性质，能结合图形书写它们的数学符号语言；
3.会利用角平分线的性质进行简单的计算与证明。
角平分线的画法，运用角平分线性质进行简单的推理及解决实际问题．
合作---交流---探究．
自学指导：
用6～8分钟学习课本第19页～22页内容，并能通过自学完成自学检测； 2. 预习思考 （1）如何用圆规和三角板做一个角的角平分线？
（2）
角的平分线有哪些性质，利用角平分线可以解答哪些问题？
【自学检测】
3.在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点．
求证：∠MOC=∠NOC ．
4.根据作法作图，要求保留痕迹： 作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．
求作：∠AOB 的平分线． 作法：
5.如图，在ABC △中，90C ∠=， AD 平分CAB ∠，8cm 5cm BC BD ==，，那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．
【作业设计】
B
9.如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
【课堂小结】
通过这节课的学习，谈谈你有哪些收获？
学习反思：。
定角平分线的性质
小结：这节课我们学到了什么？在生活 中有那些用到了我们今天学到的知识。 作业：P22－1、2
经过上面的探索，你能得 到作已知角的平分线的方 法吗？小组内互相交流一 下吧！
问题2：
( 1) 说说这个仪器的构造特点，Байду номын сангаас
(2) 这个仪器可以看成是一个什么图形, 你能根据实物画出几何图形吗？ (3) 这个图形是由几个三角形组成的？ 它们有什么关系？为什么？
证明 ：
在△ADC和△ABC 中 AB=AD AC=AC DC=BC ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC AE平分∠BAD
E C
B
A D
问题3: (1) 从上面的探究中，你有什么启 发，你能用你手中的尺子、圆规、三角 板平分一个角吗？ (2) 你能否写出已知什么？求作什 么？以及作图过程。
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. A
作法: ⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N.
重点与难点：
• 重点：角平分线的性质的证明及运用。 • 难点：角平分线的性质的探究。
问题1:
已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些 方法？有没有既简单又准确的方法。
A
O
B
探究1---想一想
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道 理吗?
s
解： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm , D即为所求。
D
s
C
应用与提高
问题2 例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的 角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF， 求证：CF=EB。 A 证明： ∵ AD平分∠CAB DE⊥AB，∠C＝90° ∴ CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△FCD和Rt△DBE中 F CD=DE C D DF=DB ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) CF=DE
角的平分线
11.3 角的平分线的性质（第1课时）浠水县清泉镇中心中学邓小群一、教材分析（一）教材的地位与作用本节课的教学内容包括角的平分线的作法、角的平分线的性质及初步应用．教材通过充分利用现实生活中的实物原型，培养学生在实际问题中建立数学模型的能力．作角的平分线是几何作图中的基本作图．角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，也是今后证明两个角相等或证明两条线段相等的重要依据．因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．（二）教学目标分析1、知识技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法.（2）理解角的平分线的性质并能初步运用.2、数学思考：通过让学生经历动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力.3、解决问题：（1）初步了解角的平分线的性质在生产，生活中的应用.（2）培养学生的数学建模能力.4、情感态度：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情.（三）教学重点、难点分析本节课的教学重点为：理解角的平分线的性质并能初步运用.由于学生刚学完全等三角形的性质与判定，容易形成思维定势，所以角的平分线的性质应用是本节课的难点.二、教法、学法分析本节课我坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用引导式探索发现法、主动式探究法、讲授教学法，引导学生自主学习、合作学习和探究学习，指导学生“动手操作，合作交流，自主探究”．鼓励学生多思、多说、多练，坚持师生间的多向交流, 努力做到教法、学法的最优组合．三、教学过程分析四、几点补充说明（一）板书设计：（二）时间安排：创设情景约5分钟，探究体验约13分钟，合作交流约18分钟，评价反思约5分钟，机动时间约4分钟.（三）教学设计说明：本节课设计了四个环节，环环相扣，层层深入，并注意调动学生自主探究与合作交流，注意教师适时的点拔引导，学生的主体地位和教师的主导作用的得以充分体现，切实能够达到发展思维、提升能力的根本目的，能够较好地实现教学目标，也使课标理念能够很好地得到落实.。
角平分线性质
11.3角平分线的性质（第 1课时）教学设计教学目标： 知识与技能目标：1、 掌握作角的平分线和作直线垂线的方法2、 学握角平分线的性质情感态度目标：1、 在探讨作角平分线的方法及角平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验,2、 培养学生团结合作精神教学重点：角平分线的性质■ 教学难点：探索作角平分线的过程 教学工具：多媒体课件。
直尺，圆规等~ 教学过程设计师：同学们：工人师傅这样操作得出的射线 OA 为什么是/ AOB 的角平分线？ O师；总结学生的思路，写出如下过程 在△AOC 和ABOC 中A B•••△ AOCBOC （SSS ）C•••/ AOC = / BOC•••OC 为/ AOB 的角平分线 师：可见，这个作图示因为保证了两个条件：1. OA = OB2. AC = BC所以作出来的射线OC 是/ AOB 的平分线! 我们能否依据这个原理设计出一个作角平 分线的方法呢？程序情境 引入活动二：尺规作角的平分线 画法：1. 以O 为圆心，适当长为半径作弧，交O A 于M,交OB 于N . 2 .分别以M ，N 为圆心.大于 1/2 MN 的长为半径作弧.两弧在/AOB 的内部交 于C. 3 .作射线OC. M A O师：有谁能通过作角平分线的方法作一条己 知直线的垂线吗？ 师收集学生的方案，总结一般方法。
出示多媒体，展示步骤。
A活动三：已知：OC 平分/ AOB ，点P 在OC 上, PD 丄OA 于 D ， PE 丄OB 于 E 求证：PD=PE教师引导学生书写过程OAV OC 平分/ AOB •••/ AOC= / BOC 又 V PD丄 OA ，PE 丄 OB •••/ PDO = / PEO = 90° 在APDO 和APEO 中 •••△ AOC 尢 BOC (AAS ) ••• PD = PE讲授 新知 识观看，回答问题 思考问题， 设计方案 思考，书写 记忆，理解 记忆，理解 解决实际问题拓展学生思维 引导角平分线 的性质定理 总结，规律化 规范语言，深 化记忆定理教师：板书：角平分线的性质定理:OA□角的平分线上的点到角的两边的距离相等数学语言表述为：V OC 平分/ AOBPD 丄OA，PE 丄OB••• PD = PE例题例已知：如图，△ABC的角平分线BM、讲解C N相交于点P.概括提咼求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等-证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F••• BM是△ABC的角平分线，点P在BM 上••• PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.••• PD=PE=PF.学生小组讨论，写出过程学生思考，写出过程。
角平分线的性质(第一课时)
11.3 角的平分线的性质（一）授课人钟军教学目标(1)知识技能：掌握“作已知角的平分线”的方法；掌握角的平分线的性质。
(2)数学思考：在探索角的平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
(3)解决问题：提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。
(4)情感态度：在探讨角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点：角的平分线的性质的证明及应用。
难点：角的平分线的性质的探究。
教学设计一、情景引入问题1：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。
你有什么办法？问题2：打开纸片，折痕与这个角有什么关系？二、探索新知问题1：某地区要建一个工厂，地址选在公路与河流所成角（即∠O）的平分线上，离公路和河流交叉处500米.这个工厂应建于何处（在图上标出它的位置）？师生一起动手作图“作已知角的平分线”练习1 (1)平分平角∠AOB；(2)通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？归纳：由此得到“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法。
问题2：（在问题的的背景下）如果要从P点（工厂在图中的位置）建两条路，一条通往公路上，另一条通往河边，怎样修建距离最短？这两条路的长度有什么关系？引起学生认知上的冲突，顺势把学生带入到角的平分线的性质的探究：第一个环节、探究猜想：猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
第二个环节、验证猜想：分析以上命题的题设和结论，再画出图形，写出已知和求证，并给出证明的方法第三个环节、获得新知：(1)通过猜想、验证两个环节，得到角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
(2)通过观察几何画板制作的动画，理解性质中角的平分线的点是平分线上的一点。
(3)几何语言：∵ OC 是∠AOB 的平分线,又 PD ⊥OA,PE ⊥OB∴ PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等).三、应用新知练习2 判断下列各题是否正确地使用角的平分线的性质?(1)如图① ，∵AC 平分∠BAD∴DC=BC(2)如图② ，∵BC ⊥AB,DC ⊥AD ∴DB=DC (3)如图②，∵AD 平分∠BAC ，且DB ⊥AB ，DC ⊥AC ∴BD=CD练习3如图， ∵ OC 是∠AOB 的平分线， 又 ________________ ∴PD=PE ( )例题 在△OAB 中，OE 是它的角平分线，且EA=EB ，EC 、ED 分别垂直OA ，OB ，垂足为C ，D.求证：AC=BD.解决问题（略）练习4 在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。
角的平分线的性质(一)
11．3 角的平分线的性质（一）教学目标：⒈应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；⒉会用尺规作一个已知角的平分线；⒊角平分线的性质。
通过操作，观察；⒋探索用尺规作一个已知角的平分线，归纳得出角平分线的性质的过程。
教学重点：利用尺规作已知角的平分线利用尺规作已知角的平分线 教学难点：角的平分线的作图方法的提炼教学方法：情境导入法，讲授法，讨论法，实验法 教学工具：折纸，剪刀，三角尺，圆规教学过程：一、提出问题，创设情境：⒈判定两个三角形全等有几种方法？运用这些方法解题的基本思路是什么？⒉什么叫三角形的角平分线？⒊ [活动1]不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。
你有什么办法？再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？[活动2]：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？要解决这个问题，请看课本19P 的探究，并解决里面的问题。
根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）⒋[活动3]作已知角的平分线的方法：已知： ∠ＡＯＢ(如图)，求作：∠ＡＯＢ的角平分线OC 。
作法：⑴以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交OB 于N 。
⑵分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C 。
⑶作射线OC ，射线OC 即为所求。
议一议：⑴在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？⑵第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ ⑶归纳角平分线的作法，并回答这种作图的依据是什么？。
ECFFED C B A⒌[活动4](1)在已画好的角的平分线OC 上任意找一点P ，过P 点分别作OA 、OB 的垂线交OA 、O 于D 、E 。
PE 、PD 的长度是∠AOB 的平分线上一点到∠AOB 两边的距离。
量出它们的长度，你发现了什么？(2)你能归纳角的平分线的性质吗? (3)你能用三角形全等证明这个性质吗? [活动5]解决问题：⑴如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE 、DF 分别垂直AB 、AC,垂足为E⑴变题1：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD =DF ，求证：CF =EB ．变题2：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，BC =8，BD =5，求DE ．⑵如图:△ABC 中, ∠C=900，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ，求证CF=EB 。
角平线性质1
A
D
P
B
·
E
O
2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝， AC＝3㎝，求BE= 4 CM.
A E C
D
B
动脑筋
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则：
BE=BC,DE=DC ; ⑴图中相等的线段有 相等的角有： ∠ABD= ∠CBD ∠BED= ∠AED= ∠C 。
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
5 活 动 探究角平分线的性质
(1)实验：在∠AOB的角平分上取一点P，过点P分别作∠AOB两边的垂线 段，猜想这两条垂线段的关系
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. M
A C
O
N
B
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
N E C N
A
C
E
O
M
O
B M
已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC. 作法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。 2、分别以M、N为圆心，大于 ∠AOB内部交于点C。
1 MN 2
的长为半径作弧，两弧在
3、作射线OC，射线OC即为所求。
角平分线的性质
畅所欲言： 畅所欲言：
通过本节课的学习我 ……
A
如 图 ： 在 △ ABC 中 ， ∠ C=90° AD是 ∠ BAC ° 是 的平分线， ⊥ 于 的平分线 ， DE⊥AB于 E ， F在 AC上 ， BD=DF； 在 上 ； 求证： 求证：CF=EB
F C D
E B
做一做
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平 已知 如图, ABC中,AD是它的角平 如图 分线, BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别是E,F. 别是E,F. A 求证:EB=FC. 求证 EB=FC.
A D P O E C B
(2)猜想 :角的平分线上的点到角的 猜想 角的平分线上的点到角的 两边的距离相等。 两边的距离相等。
1.平分平角∠AOB。 平分平角∠ 平分平角 。
2.如图，E是∠AOB的角平分线 如图， 是 的角平分线OC 如图 的角平分线 上的一点， 垂足为M， 上的一点， EM⊥OB垂足为 ，且 ⊥ 垂足为 EM=3cm， ， 求点E 到OA的距离 求点 的距离
11.3角平分线的性质 角平分线的性质
你会用几种方法作角的平分线
(1)实验：在作出的∠AOB的平分线上任 实验：在作出的∠ 实验 的平分线上任 取一点P， 取一点 ，过P作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB， 作 ， 垂足分别为D、 。 垂足分别为 、E。 问题： 比较PD和 问题：①比较 和PE 的大小关系 再换一个新的位置看看情况会怎样？ ②再换一个新的位置看看情况会怎样？
M E O N B C A
3.（1）用尺规分别画出△ABC中 （ ）用尺规分别画出△ 中 的平分线BM、CN。 ∠B、∠C的平分线 、 的平分线 、 。
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B
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E
C
练一练
A
E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB， AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
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从这节课中你 有哪些收获？
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C
B
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
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随堂练习 几 何 ∵ OC是∠AOB的平分线， 语 PD⊥OA，PE⊥OB 言： A ∴PD=PE
D C
P
B
·
E
O
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动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
角平分线的性质
第一课时
横山中学
吴美玲
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★ 什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？
1、请同学们在纸上任意画一个角，然后用剪 刀剪下。你能找出角的平分线吗？
A C 规和直尺，你能想出 画这个角的平分线吗？
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A
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C
· ·
如图，AB＝AD，BC＝DC， 沿着AC画一条射线AE， D AE就是∠BAC的角平分线， 你知道为什么吗？
E
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如何用尺规作角的平分线？ 作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为
A
Ｍ
Ｃ
1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2
半径作弧．两弧在∠AOB
的内部交于Ｃ． ３．作射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
本网站版权所 则射线ＯＣ即为所求． 有
如果现在不能剪下这个角，只有一块 直角三角板，你能想出画这个角的平 分线吗？ 画一画，量一量，从中你有什么 新发现？你能说明其中的道理吗？O
作业本（ 2）P5
A D P · E