2014届高三数学一轮复习专讲专练31变化率与导数、导数的计算

解析：(1)y′＝ 2
x12＋1·2x＝
x x2＋1.
(2)y′＝(2sin2x)(cos2x)×2＝2sin4x.
(3)y′＝(－e－x)sin2x＋e－x(cos2x)×2＝e－x(2cos2x－
sin2x)．
(4)y′＝
1 1＋x2·2
11＋x2·2x＝1＋x x2.
考点三 导数的几何意义
第三章 导数及其应用
§3.1 变化率与导数、导数的计算
01教材回扣 02考点分类 03课堂内外 双基限时练
[高考调研 明确考向] 考纲解读
•了解导数概念的实际背景． •理解导数的几何意义． •能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数． •能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单的函数的导数． •能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.
[例3] 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解析：(1)f′(x)＝3x2－8x＋5，f′(2)＝1，又f(2)＝－2.
∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x
－y－4＝0.
因此经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0
或y＋2＝0.
方法点睛 首先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还 是求过某点曲线的切线．①求曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线方 程可先求f′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；②求过某 点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写 切线方程．
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案：C
3．曲线y＝sinxs＋inxcosx－12在点M4π，0处的切线的斜率为
()
A．－12
1 B.2
C．－
2 2
2 D. 2
解析：y′＝cosxsinx＋csoinsxx＋－csoisnxx2cosx－sinx＝ 1＋s1in2x，把x＝4π代入得导数值为12.
□17
1 x
□18 f′(x)±g′(x) □19 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) □20
□ □ f′xgx－fxg′x
[gx]2
21 f′[v(x)]v′(x)
22 y′u·u′x
名师微博 ●一个区别 曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点 P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线 是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)， 是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指 切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样 的直线可能有多条．
□ 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为 1 __________，若
□ Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为 2 ___.
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 □3 ____பைடு நூலகம்_____＝
□4 ________为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或
变式训练3 若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试 求k的值．
解析：设y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)，则y0 ＝kx0，①
y0＝x30－3x20＋2x0.② 又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′|x＝x0＝3x20－6x0＋2.③ 由①②③得：(3x20－6x0＋2)x0＝x30－3x20＋2x0， 即(2x0－3)x20＝0. ∴x0＝0或x0＝32，∴k＝2或k＝－14.
考情分析
•导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必 考，一般不单独命题，而在考查导数应用的同时进 行考查． •导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解 析几何知识交汇命题． •多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在 解答题中关键的一步.
01教材回扣 自主学习
必考必记,学教相长
知识梳理 1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
答案：B
4．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为( ) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：令f′(x)＝2x－2－
4 x
＝
2x－2x＋1 x
＞0，利用数
轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选
方法点睛 由复合函数的定义可知，中间变量的选择应 是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复 合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分 析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复 合过程．
变式训练2 求下列函数的导数： (1)y＝ x2＋1；(2)y＝sin22x；(3)y＝e－xsin2x； (4)y＝ln 1＋x2.
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
6 (x0，f(x0))
□ □ 7 切线的斜率 8 y－y0＝f′(x0)(x－x0)
□ □ □ □ 9
lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
10 0
11 nxn－1
12 cosx
□13 －sinx □14 axlna(a＞0) □15 ex □16 xl1na(a＞0，且a≠1)
方法点睛 ①熟记基本初等函数的导数公式及四则运算 法则是正确求导的基础；②必要时对于某些求导问题可先化 简函数解析式再求导．
变式训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝xnex；(2)y＝
cosx sinx
；(3)y＝exlnx；(4)y＝(x＋1)2(x－
1)．
解析：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． (2)y′＝－sins2ixn－2xcos2x＝－sin12x. (3)y′＝exlnx＋ex·1x＝ex1x＋lnx. (4)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1， ∴y′＝3x2＋2x－1.
(logax)′＝
lnx lna
′＝
1 xlna
；④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝
exlnalna＝axlna，其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( ) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
C.
答案：C
5．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐
标是( )
A．－9
B．－3
C．9
D．15
解析：y′＝3x2，所以在P(1,12)处的切线的斜率k＝3， 切线方程为3x－y＋9＝0，故其与y轴交点为(0,9)，故选C.
答案：B
02考点分类 案例剖析
研习考点,触类旁通
考点一 导数的运算
●三个防范 1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符 号，防止与乘法公式混淆． 2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个 交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做 到不重不漏.
基础自测
1.下列求导过程中①
1 x
′＝－
1 x2
；②(
x
)′＝
1 2
x
；③
3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝□9 ________为f(x)的导函数，导函数有时
也记作y′.
4．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝□10 __________
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝□11 __________
f(x)＝sinx
f′(x)＝□12 __________
原函数 f(x)＝cosx f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝lnx
导函数
f′(x)＝□13 __________ f′(x)＝□14 __________ f′(x)＝□15 __________ f′(x)＝□16 __________ f′(x)＝□17 __________
(2)设切点坐标为(x0，x
3 0
－4x
2 0
＋5x0－4)，f′(x0)＝3x
2 0
－
8x0＋5，则切线方程为y－(－2)＝(3x
2 0
－8x0＋5)(x－2)，又切
线过(x0，x03－4x20＋5x0－4)点，则x30－4x02＋5x0－2＝(3x20－8x0
＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
错因：在导数几何意义的应用问题中，往往只考虑导数 本身的应用问题，而没有充分考虑导数与实际问题的结合， 导致错误．虽然点P 2，83 在曲线上，但过点P的切线不一定 以P为切点．本题中所求的是“过P点的切线”，而不只是求 “切点为P”的切线，所以过点P但不以P为切点的切线方程 也是符合题意的．
正解：(1)当P为切点时，同上解； (2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)， 则切线方程为y－13x30＝x02(x－x0)， 因为切线过点P 2，83 ，把P点的坐标代入以上切线方 程，求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)， 所以切点为Q－1，－13，
考点二 求复合函数的导数
[例2] 求下列复合函数的导数． (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝ 3－x；(3)y＝sin22x＋3π； (4)y＝ln(2x＋5)．