高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教师用书文北师大版04170139
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教师用书文北师大版
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值教师用书文北师大版[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数的图像理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)增、减函数①如果函数y＝f (x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A 为单调区间．②如果函数y＝f (x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f (x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f (x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值1打“×”)(1)函数y＝在其定义域上递减．( )(2)函数y＝＋x在其定义域上递增．( )(3)对于函数f (x)，x∈D，若x1，x2∈D且＞0，则函数f (x)在D上是增加的．( )(4)若函数f (x)的最大值是M，最小值是m，则函数f (x)的值域一定是[m，M]．( )[答案] (1)×(2)√(3)√(4)×2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )【导学号：66482027】A．y＝B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1) D．y＝2－xD [选项A中，Y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故Y ＝在(－1,1)上为增函数；选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]。
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用热点探究课1导数应用中的高考热点问题教师用书文北师大版
热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[思路点拨] (1)求出导数后对a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a 的范围．[规范解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 2分若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上递增. 3分若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0. 5分所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上递减. 6分(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；7分 当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 9分 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 10分令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值范围是(0,1). 12分[答题模板] 讨论含参函数f (x )的单调性的一般步骤 第一步：求函数f (x )的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．第三步：根据f ′(x )＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f ′(x )>0或令f ′(x )<0)． 第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．2．若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．[对点训练1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上递增，求实数c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1. 1分当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1. 3分(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；f (x )的递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－13，1. 8分(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立， 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞). 12分热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围．(2016·北京高考节选)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 2分 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . 4分 (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 6分令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23. 8分f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c ＞0且c －27＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点. 12分[规律方法] 用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决．[对点训练2] 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．【导学号：66482128】[解] (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e. 2分 ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上递减； 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2. 4分(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0). 5分设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 8分又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知 ①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点. 12分热点3 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．☞角度1 证明不等式(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，3分因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点. 5分(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0). 9分由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. 12分☞角度2 不等式恒成立问题(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞). 1分 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2. 3分故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. 5分 (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a x －x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a x ＋2＝x 2＋－a x ＋1x x ＋2，g (1)＝0. 9分 ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－a －2－1，x 2＝a －1＋a －2－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]. 12分 ☞角度3 存在型不等式成立问题(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. 3分 (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1). 5分①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1. 7分②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上递增. 9分所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 2－a＋a a －1>aa －1，所以不合题意．③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a ＞1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞). 12分 [规律方法] 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题．2．不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论． 3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．应特别关注等号是否成立问题．。
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件 文 北师大版
_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调 性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2
D.
52－1，2
【解析】 因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－ 解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析 正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0， 恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析 错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒
推荐-高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用课件文北师大版
3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等 方面的应用是高考的重点与热点．
4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨 论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综 合与创新．
[导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图像、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数 的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用， 要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高 考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数 与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化 思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
再见
高考数学大一轮复习配套课时训练：第二篇 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程(含答案)
第8节函数与方程课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013惠阳一中实验学校模拟)函数f(x)=-log2x的零点所在的区间为( C )(A)(,) (B)(,1)(C)(1,2) (D)(2,3)解析:f(x)在(0,+∞)上是减函数,且f(1)=1>0,f(2)=-1=-<0,则f(x)的零点在区间(1,2)内.故选C.2.(2013山东莱州一中月考)函数f(x)=ln x+e x的零点所在的区间是( A )(A)(0,) (B)(,1) (C)(1,e) (D)(e,+∞)解析:函数f(x)=ln x+e x在(0,+∞)上单调递增,F()=ln +=-1+>0,结合选项知应选A.3.(2013山东临沂市模拟)函数f(x)=x-2-x的零点个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由f(x)=x-2-x=0得x=()x,在同一坐标系中作出函数y=x,y=()x 的图象,由图象可知两函数的交点有1个,即函数f(x)=x-2-x的零点个数为1.故选B.4.函数f(x)=的零点个数为( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,所以函数f(x)有2个零点,故选C.5.(2013年高考重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A )(A)(a,b)和(b,c)内(B)(-∞,a)和(a,b)内(C)(b,c)和(c,+∞)内(D)(-∞,a)和(c,+∞)内解析:∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,∴f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故选A.6.(2013年高考湖南卷)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:g(x)=x2-4x+4=(x-2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=ln x与g(x)=(x-2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.故选C.7.(2013湛江市高考测试)函数f(x)=(x-1)cos x2在区间[0,4]上的零点个数是( C )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:由f(x)=0得x=1或cos x2=0,由cos x2=0,得x2=kπ+(k∈Z);又x∈[0,4],因此0≤x2=kπ+≤16,-≤k≤-,因此整数k可取0,1,2,3,4,因此f(x)在[0,4]上的零点个数是6,故选C.二、填空题8.(2013山东枣庄一模)函数f(x)=的零点的个数为.解析:当x≥0时,由f(x)=0得x+1=0,此时x=-1不成立.当x<0时,由f(x)=0得x2+x=0,此时x=-1或x=0(不成立舍去).所以函数的零点为x=-1.答案:19.(2013惠州市高三第一次模拟)已知函数f(x)=3x+x-9的零点为x0,则x0所在区间为.解析:f()=+-9<0,F()=+-9<0,f()=+-9>0.答案:[,]10.(2013惠州市二调)若函数f(x)=|4x-x2|-a有3个零点,则a= .解析:作出函数y=|4x-x2|的图象如图所示,若f(x)有3个零点,则函数y=|4x-x2|与函数y=a的图象有3个交点,由图知a=4.答案:411.(2013山东即墨市期末)已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)-a=0有两个实根,则实数a的取值范围是.解析:f(x)的图象如图,要使方程f(x)-a=0有两个实根,即y=f(x)与y=a的图象有两个交点,0<a≤1.答案:(0,1]三、解答题12.判断函数f(x)=1+4x+x2-x3在区间(-1,1)内零点的个数,并说明理由.解:∵f(-1)=1-4+1+=-<0,f(1)=1+4+1-=>0,∴f(x)在区间(-1,1)内有零点.又f'(x)=4+2x-2x2=-2(x+1)(x-2),当-1<x<1时,f'(x)>0,∴f(x)在(-1,1)内单调递增,因此,f(x)在(-1,1)内有且仅有一个零点.13.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求m的取值范围,并求出该零点.解:f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根,设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0仅有一个正实根.当Δ=0时,m2-4=0,解得m=2或m=-2,而m=-2时,t=1;m=2时,t=-1(不合题意,舍去),∴2x=1,x=0符合题意.当Δ>0,即m>2或m<-2时,t2+mt+1=0有两正根或两负根,即f(x)有两个零点或没有零点.∴这种情况不符合题意.综上可知,m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为0.B组14.(2013广东广州一模)已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式成立的是( A )(A)f(a)<f(1)<f(b) (B)f(a)<f(b)<f(1)(C)f(1)<f(a)<f(b) (D)f(b)<f(1)<f(a)解析:函数f(x),g(x)均为定义域上的单调递增函数,且f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,g(1)=-1<0,g(e)=e-1>0,所以a∈(0,1),b∈(1,e),即a<1<b,所以f(a)<f(1)<f(b).故选A.15.(2013梅州市质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在[0,3]上是“关联函数”,则m的取值范围为( C )(A)(-∞,-2] (B)[-1,0](C)(-,-2] (D)(-,+∞)解析:由题意可得x2-3x+4=2x+m在x∈[0,3]上有两个不同的根,即函数y=m,y=x2-5x+4,x∈[0,3]的图象有两个不同的交点,作出函数图象如图,由图可知,当-<m≤-2时满足要求,故选C.16.(1)已知f(x)=x2+2mx+3m+4,m为何值时.①函数有且仅有一个零点;②函数有两个零点且均比-1大;(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点⇔方程f(x)=0有两个相等实根⇔Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,∴m=4或m=-1.②法一设f(x)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. 由题意,知⇔⇔∴-5<m<-1.故m的取值范围为(-5,-1). 法二由题意,知即∴-5<m<-1.∴m的取值范围为(-5,-1).(2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 作出g(x)、h(x)的图象.由图象可知,当0<-a<4,即-4<a<0时,g(x)与h(x)的图象有4个交点, 即f(x)有4个零点.故a的取值范围为(-4,0).。
【高考】数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4节二次函数的再研究与幂函数教师用书文北师大版
【高考】数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第4节二次函数的再研究与幂函数教师用书文北师大版[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y＝x 的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图像与性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图像定义域 R 值域单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上减对称性 函数的图像关于x ＝－b2a对称 2.(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．(2)五种常见幂函数的图像与性质 y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图像定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域R{y |y ≥0}R{y |y ≥0}{y |y ≠0}(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)．( ) (4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图像过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A. 3 B ．± 3 C ．±9D ．9D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12.所以f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( )【导学号：】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.]4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数 f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )零点的个数是( )【导学号：】A ．0B ．1C ．2D ．4C [因为判别式Δ＝b 2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.]5．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A (－2,0)，B (4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________.【导学号：】y ＝－x 2＋2x ＋8 [设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8.]求二次函数的解析式已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). 2分 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图像的对称轴为x ＝2＋－12＝12. 3分∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 8分∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 12分法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，2分故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 6分 又函数的最大值是8，即4a－2a －1－－a24a＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1] 已知二次函数f (x )的图像经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．[解] ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2. 2分又∵f (x )的图像被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3. 6分设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图像过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1. 10分∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 12分二次函数的图像与性质☞角度1 二次函数图像的识别及应用(1)设abc ＞0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )A B C D(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0. ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误． (2)作出二次函数 f (x )的图像，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有 f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.] ☞角度2 二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3的最小值为( )【导学号：】A ．－4B ．－3C ．－1D ．0(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( )A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2(1)A (2)D [(1)x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 55－1⇒2x≥15，令t ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，当t ＝1≥15，即x ＝0时，f (x )取得最小值－4.故选A.(2)函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图像的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52.∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.] ☞角度3 二次函数中的恒成立问题已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [由题意知2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16.因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.][规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .幂函数的图像与性质(1)幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图像是( )A B C D(2)已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m 的值为________．(1)C (2)1 [(1)令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. 又m ∈N *，∴m ＝1或m ＝2. 由于f (x )的图像关于y 轴对称． ∴m 2－2m －3的值应为偶数， 又当m ＝2时，m 2－2m －3为奇数， ∴m ＝2舍去．因此m ＝1.][规律方法] 1.幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上递减，则α＜0.[变式训练2] (1)设a ＝0.512，b ＝0.914，c ＝log 50.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )【导学号：】A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c(2)若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [(1)a ＝0.512＝0.2514，b ＝0.914，所以根据幂函数的性质知b ＞a＞0，而c ＝log 50.3＜0，所以b ＞a ＞c .(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.][思想与方法]1．二次函数的三种形式的选法 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2．研究二次函数的性质要注意 (1)结合图像分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．4．幂函数y ＝x α(α∈R )图像的特征α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升； α＜0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．[易错与防范]1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要分a ＝0，a ≠0两种情况讨论．2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．。
高考数学复习第2章函数导数及其应用第8讲一次函数反比例函数及二次函数
图象与 x 轴的两个交点的横坐标.
4.二次函数的图象及性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
开口 顶点
对称性 定义域
向上
向下
－2ba，4ac4－a b2 函数的图象关于 x＝－2ba对称
(－∞,＋∞)
(续表) 解析式
值域
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) 4ac4－a b2，＋∞
2.y＝ 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( B )
9
32
A.9
B.2
C.3
D. 2
3.(2019年河南信阳模拟)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间
[－4,－2]上是单调函数,则 a 的取值范围是( )C
A.(－∞,1]
B.[4,＋∞)
C.(－∞,2]∪[4,＋∞)
D.(－∞,1]∪[2,＋∞)
解析：函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a,
由题意可得－a≤－4或－a≥－2,解得a≤2或a≥4,故选C.
4.(2017年北京)已知x≥0,y≥0,且x＋y＝1,则x2＋y2的 取值范围是_____12_，__1___.
考点 1 二次函数的图象及应用
例 1：(1)(2018 年安徽淮南模拟)二次函数 y＝ax2＋bx 及指
第8讲 一次函数、反比例函数及二次函数
高考数学一轮复习方案 第2单元 函数、导数及其应用配套课件 文 北师大版
第4讲 函数的概念及其表示 第5讲 函数的单调性与最值 第6讲 函数的奇偶性与周期性 第7讲 二次函数 第8讲 指数与对数的运算 第9讲 指数函数、对数函数、幂函数 第10讲 函数的图象与性质的综合 第11讲 函数与方程 第12讲 函数模型及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的运算 第14讲 导数在研究函数中的应用 第15讲 导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例
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使用建议
学生对概念、性质的理解才是深刻的、全面的，记忆才是 鲜明的、牢固的、生动的，应用起来才是灵活的、广泛 的．
(3)重视几类特殊函数：抽象函数、分段函数理解研 究起来比较困难，但是这类问题对培养学生观察能力，有 十分重要的作用，近几年来高考无论是客观题还是主观题 中都有涉及．
(4)在复习中要让学生明确导数作为一种工具在研究 函数的变化率，解决函数的单调性，极值等方面的作用， 使学生掌握这种科学的语言和工具，从而加深对函数的深 刻理解和直观认识．
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使用建议
2．教学指导 教学时，注意到如下几个问题： (1)重视教材的基础作用和示范作用：函数客观题一般 直接来源于教材，往往就是课本的原题或变式题，主观题 的生长点也是教材，在函数复习备考中重视教材中一些有 典型意义又有创新意识的题目作为函数复习过程中的范例 与习题，贯彻“源于课本，高于课本”的原则． (2)阐明知识系统，掌握内在联系：知识的整体性是 切实掌握函数知识的重要标志，函数概念、图象和性质是 环环相扣，紧密相连，互相制约的，并形成了一个有序的 网络化的知识体系，这就要求在复习过程中应在这个网络 化的体系中去讲函数的概念、性质、公式、例题，只有
•双
向
固
基 础
•
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【高考】数学复习第2章函数、导数及其应用热点探究课1导数应用中的【高考】热点问题教师用书文北师大版
【高考】数学一轮复习第2章函数、导数及其应用热点探究课1导数应用中的【高考】热点问题教师用书文北师大版[命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有．热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．[思路点拨] (1)求出导数后对a 分类讨论，然后判断单调性；(2)运用(1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a 的范围．[规范解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a . 2分若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上递增. 3分若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0. 5分所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上递减. 6分(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；7分 当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 9分因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 10分令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1). 12分[答题模板] 讨论含参函数f (x )的单调性的一般步骤 第一步：求函数f (x )的定义域(根据已知函数解析式确定)． 第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )．第三步：根据f ′(x )＝0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论． 第四步：求解(令f ′(x )>0或令f ′(x )<0)． 第五步：下结论．第六步：反思回顾，查看关键点、易错点、注意解题规范．温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题．2．若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解．[对点训练1] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上递增，求实数c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1. 1分当x ＝23时，得a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1. 3分(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫－13，1. 8分(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x， 有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x，因为函数g (x )在x ∈[－3,2]上递增，所以h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立， 只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞). 12分热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图像交点的个数；(2)由函数的零点、图像交点的情况求参数的取值范围．(2016·北京高考节选)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 2分 因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . 4分 (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 6分令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23. 8分f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：x (－∞，－2)－2－23f ′(x ) ＋－＋f (x )c c －3227所以，当c ＞0且c －27＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点. 12分[规律方法] 用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决．[对点训练2] 设函数f (x )＝ln x ＋m x，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．【导学号：】[解] (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex，则f ′(x )＝x －ex 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e. 2分 ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上递减； 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2. 4分(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0). 5分设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23. 8分又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知 ①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点. 12分热点3 利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．☞角度1 证明不等式(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x－a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点； 当a >0时，设u (x )＝e 2x，v (x )＝－a x，3分因为u (x )＝e 2x在(0，＋∞)上递增，v (x )＝－a x在(0，＋∞)上递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上递增．又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点. 5分(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0). 9分由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a. 12分☞角度2 不等式恒成立问题(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞). 1分 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2. 3分故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. 5分 (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a x －1x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a x －1x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a x ＋12＝x 2＋21－a x ＋1x x ＋12，g (1)＝0. 9分 ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－a －12－1，x 2＝a －1＋a －12－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]. 12分 ☞角度3 存在型不等式成立问题(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1，求a 的取值范围．[解] (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. 3分(2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1). 5分①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(1，＋∞)递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f (1)<a a －1，即1－a 2－1<aa －1，解得－2－1<a <2－1. 7分②若12<a <1，则a 1－a >1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上递增. 9分所以存在x 0≥1，使得f (x 0)<aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 221－a ＋a a －1>a a －1，所以不合题意． ③若a >1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a ＞1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞). 12分 [规律方法] 1.运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题．2．不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决．解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论． 3．“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．应特别关注等号是否成立问题．。
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教师用书文北师大版
第八节函数与方程[考纲传真] 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：把函数y＝f (x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数f (x)的图像与x轴有公共点⇔函数y＝f (x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a)·f (b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f (x)至少有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．( )(2)函数y＝f (x)，x∈D在区间(a，b D内有零点(函数图像连续不断)，则f (a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f (x)在(a，b)上单调且f (a)·f (b)＜0，则函数f (x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f (x)＝e x＋3x的零点个数是( )C ．2D ．3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( )【导学号：66482074】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【导学号：66482075】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图像为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.])【导学号：66482076】C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． (1)B (2)存在 [(1)函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．] [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C [∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，故选C.]0.5【导学号：66482077】A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2017·秦皇岛模拟)函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图像， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x＝x 2.设y 1＝sin2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示．由图像知，两个函数图像有两个交点，故函数f (x )有两个零点．](2017·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．[思路点拨] 先作出函数f (x )的图像，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．[解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，3分所以函数图像关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x有三个不同的根，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f＜2，f＞2，8分如图，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10). 12分[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.【导学号：66482078】(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.(2) 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图像公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法． [易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．。
高考数学统考一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程(教师文档)教案 文 北师大版
学习资料第八节函数与方程授课提示：对应学生用书第32页［基础梳理］1．函数的零点（1)函数零点的定义对于函数y＝f（x），把使f(x）＝0的实数x叫作函数y＝f(x）的零点．（2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x）在区间［a，b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f（a)·f（b）＜0，那么,函数y＝f（x）在区间（a，b)内有零点,即存在c∈(a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x)＝0的根．22Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0)与x轴的交点(x1，0)，（x2，0)（x1,0)无交点零点个数2101．两个注意点（1）函数的零点不是点,是方程f（x)＝0的实根．（2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．2．三个结论(1）若连续不断的函数f（x)在定义域上是单调函数，则f(x）至多有一个零点．（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图像在零点两侧时，函数值可能变号,也可能不变号．3．三个等价关系方程f（x)＝0有实数根⇔函数y＝f（x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[四基自测]1．（基础点:零点个数）函数f(x）＝lg x＋x－6的零点个数为（)A．0B．1C．2 D．3答案:B2．（基础点：零点区间判断）函数f(x）＝e x－1＋4x－4的零点所在区间为()A．(－1，0) B．(0，1）C．(1，2) D．(2，3）答案:B3．(易错点:分段函数的零点)设函数f（x）＝错误!，g(x)＝f（x）＋x－1的零点为________．答案：0或14．（基础点：求零点）函数f（x)＝2sin x－sin 2x在［0，π]内的零点为________．答案：0或π授课提示：对应学生用书第33页考点一确定函数零点所在区间挖掘估算零点区间/ 自主练透[例](1）设f（x）＝ln x＋x－4，则f（x）的零点所在区间为（）A．（0,1)B．(1，2）C．（2,3)D．（3，4)［解析]f(2）＝ln 2－2＜0，f(3）＝ln 3－1＞0，在（2,3）内．[答案］ C(2)设函数f(x）＝错误!x－ln x，则函数y＝f（x)（)A．在区间错误!，（1，e）内均有零点B．在区间错误!，（1,e）内均无零点C．在区间错误!内有零点，在区间(1,e)内无零点D．在区间错误!内无零点，在区间(1，e）内有零点[解析]令f（x)＝0得错误!x＝ln x．作出函数y＝错误!x和y＝ln x的图像，如图,显然y＝f(x)在错误!内无零点，在(1，e)内有零点．［答案］ D［破题技法]确定函数零点所在区间的方法（1）解方程法：当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．（2)图像法:把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x）在区间[a,b］上的图像是否连续，再看是否有f（a）·f(b)＜0。
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.8
[练一练] 1．已知函数y＝f(x)的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：
x1
2
3
4
5
6
y 124.4 35 －74 14.5 －56.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析 依题意，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故函数y＝ f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选B。
解析 由f(2)·f(3)<0可知。
R 热点命题 深度剖析
考点一 函数零点所在区间的判定
【例1】 (1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－ c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案 B
2．若函数 f(x)＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)＝bx2－ax 的零
点是( )
A．0,2
B．0，21
C．0，－21
D．2，－12
解析 ∵2a＋b＝0， ∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)。 ∴零点为 0 和－12。 答案 C
3．(2015·山西太原一模)已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的
基础自测
[判一判] (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点。( × ) 解析 错误。函数的零点是一个实数而不是点。 (2) 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a ， b) 内 有 零 点 ( 函 数 图 像 连 续 不 断 ) ， 则 f(a)·f(b)<0。( × ) 解析 错误。如函数f(x)＝x2，在[－1,1]内有零点，但是f(1)·f(－1)＝ 1>0。 (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点。( √ ) 解析 正确。因为Δ＝b2－4ac<0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像 与x轴没有公共点。
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第八节函数与方程[考纲传真] 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：把函数y＝f (x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解⇔函数f (x)的图像与x轴有公共点⇔函数y＝f (x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：若函数y＝f (x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a)·f (b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f (x)至少有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．( )(2)函数y＝f (x)，x∈D在区间(a，b D内有零点(函数图像连续不断)，则f (a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f (x)在(a，b)上单调且f (a)·f (b)＜0，则函数f (x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f (x)＝e x＋3x的零点个数是( )C ．2D ．3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( )【导学号：66482074】A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【导学号：66482075】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图像为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.])【导学号：66482076】C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点． (1)B (2)存在 [(1)函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图像是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．] [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C [∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，故选C.]0.5【导学号：66482077】A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2017·秦皇岛模拟)函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图像， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x＝x 2.设y 1＝sin2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示．由图像知，两个函数图像有两个交点，故函数f (x )有两个零点．](2017·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．[思路点拨] 先作出函数f (x )的图像，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．[解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，3分所以函数图像关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x有三个不同的根，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f＜2，f＞2，8分如图，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10). 12分[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.【导学号：66482078】(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.(2) 作出f (x )的图像如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图像交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图像公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法． [易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．。