【重点推荐】最新高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质课时作业(精品设
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 圆锥曲线的光学性质及其应用》优质课教案_3
高中数学人教A版2003课标版选修1-1第二章圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用《圆锥曲线的光学性质及其应用》的教学设计第一课时抛物线的光学性质及其应用一、教学目标1.理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。
2.会用数学建模的思想将实际生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。
二、教学重点理解抛物线的光学性质并会推导。
三、教学难点数学建模思想的应用。
四、教学过程（一）课题引入问题一：手电筒一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线。
这是为什么呢?设计意图：从生活中的一个例子出发，提出问题，引发学生的求知欲，从而提出课题。
（二）课题提出抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．问题二：生活问题数学化要探究抛物线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?设计意图：提出抛物线的光学性质，并通过列举它在生活中的大量应用，让学生感知数学无处不在，并有将生活问题数学化的欲望。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2第2课时抛物线方程及性质的应用a21
A．(1，2) 答案：C
B．(0，0)
C.12，1
D．(1，4)
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4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦 点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．
解析：因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p 的2倍，所以所求抛物线方程为x2＝±16y.
第二章 圆锥曲线 与方程 (yuán zhuī qǔ xiàn)
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第2课时 抛物线方程及性质的应用 [学习目标] 1.明确直线与抛物线的位置关系，掌握 直线与抛物线的位置关系的判定方法(重点)． 2.会用方 程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦 长及弦中点等问题(难点)．
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则|MN2|2－|MN1|2＝2a－a2＋42－2a＋a2＝8， 即|MN2|2－|MN1|2为定值，定值为8.
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归纳升华 应用抛物线性质解题的常用技巧
1．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、 过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方 程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换 和转化．
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(1)若k≠0， 当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点． (2)若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线 平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相 切的必要不充分条件．
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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修1-
8
与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义 有关，本题运用抛物线的定义“化折(线)为直”，充分体现了 数学中的转化思想．
3．已知点 M(－2,4)及焦点为 F 的抛物线 y＝18x2，在抛物线 上求一点 P，使|PM|＋|PF|的值最小．
【解析】如图所示，设抛物线上的点 P 到准线的距离为|PQ|. 由抛物线的定义，知|PF|＝|PQ|，∴|PF|＋|PM|＝|PQ|＋|PM|.当 P， Q，M 三点共线时，|PM|＋|PF|最小．由 M(－2,4)，可设 P(－2， y0)，代入 y＝18x2，得 y0＝12，故 P 点的坐标为－2，12.
2.3 抛物线 抛物线及其标准方程
目标定位
重点难点
1.掌握抛物线的定义、几何图形
和标准方程
重点：抛物线的方程
2．能根据条件确定抛物线的标准 难点：抛物线的方程 方程
1．抛物线的定义 平 面 内 与 一 定 点 F 和 一 条 定 直 线 l(距不离经相等过 点 F)__________ 的 点 的 轨 迹 叫 作 抛 物 线 ． 点焦F点叫 作 抛 物 线 的 ________，直准线线l叫作抛物线的____________．
∴F(－1,0)或 F(－9,0)． 若 F(－1,0)，则 p＝2，方程为 y2＝－4x; 若 F(－9,0)，则 p＝18，方程为 y2＝－36x.故选 B. 【错因分析】由已知求出 F(－1,0)或 F(－9,0)，只说明这两 点到点(－5，－2 5)的距离为 6，并不代表点(－5，－2 5)一定 在以 F(－1,0)或 F(－9,0)为焦点的抛物线上．
【解析】(1)∵抛物线焦点在 x 轴上且过点 M(－3，m)，∴
设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，则焦点坐标 F－p2，0.
2016_2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2.2抛物线方程及性质的应用课件
对抛物线的焦半径与焦点弦的认识 抛物线上一点与焦点 F连线得到的线段叫做半径，过焦点 的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．求抛物线的焦半径和 焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能， 即把点点距转化为点线距解决，设抛物线上任意一点 P(x0 ， y0)，焦点弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可根据抛物线的 定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如
直线与抛物线的位置关系是通过它们的方程 构成的方程组的解的情况来判断的．
y＝kx＋k－2， 由 2 y ＝4x，
得 k2x2＋2(k2－2k－2)x＋(k－2)2＝0.
当 k＝0 时，方程退化为一次方程，－4x＋4＝0，该方程只 有一解
x＝1， x＝1，原方程组只有一组解 y＝－2，
2 2
|k| 由点到直线距离公式得 d＝ 2， 1＋k 1 1 ∴S△OAB＝2|AB|· d＝ 2 1 1 k2＋4＝ 10，解得 k＝± 6.
平分，求弦AB所在直线的方程． [思路点拨] 类比椭圆与双曲线，涉及弦中点问题，优先 解法应是设而不求的“点差法”，而对于抛物线的弦中点问题 更能体现出这种解法的优越性，当然本题使用中点坐标公式也
不失为一种很好的解法．
解析：
方法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点的坐标为
2 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1 ＝8x1，y2 2＝8x2，
9 答案： 4
4．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相 交于两点A，B，求线段AB的长．
解析： 方法一：如图，由抛物线 的标准方程可知， 抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，所以直线 AB 方程为 y＝x－1 ①
将方程①代入抛物线方程 y2＝4x， 得(x－1)2＝4x. 化简得 x2－6x＋1＝0. 解得 x1＝3＋2 2，x2＝3－2 2. 将 x1，x2 的值代入方程①中，得 y1＝2＋2 2， y2＝2－2 2，即 A，B 的坐标分别是 (3＋2 2，2＋2 2)，(3－2 2，2－2 2)． ∴|AB|＝ 4 22＋4 22＝8.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2_3_2_1抛物线的简单几何性质课件新人教A版
又因为点M在抛物线上,所以( 3 )2=-2p(-2 3 ),即
p= 3 .因此所求方程是x2=- 3 y.
4 2
答案:x2=-
3 y 2
类型一
抛物线的性质及其应用
【典例1】(1)(2016·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2=4x的 焦点,曲线y= (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=
k x
3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直
的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 ( )
A.y2=8x
C.y2=8x或y2=-8x
B.y2=-8x
D.x2=8y或x2=-8y
【解析】选C.设抛物线y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4,可
得抛物线方程.
4.抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,
(
A. 1
2Hale Waihona Puke )B.1C. 3
2
D.2
(2)已知点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+
小值为________.
1 2 y +4的最 2
【解题指南】(1)P是两条曲线的交点,先利用抛物线方
程y2=4x求出交点坐标,再代入曲线方程y= k .
x
(2)将z表示为关于x的二次函数求解,注意x的取值范围.
D. ( 79 , 29 )
8 16
【解析】选B.因为抛物线方程为y=
1 4
x2,所以焦点为
F(0,1),准线为l:y=-1,设所求点的坐标为P(x,y),作 PQ⊥l于Q.根据抛物线定义可知P到准线的距离等于PQ的
长度,即y+1=5,即y=4,代入抛物线方程,求得x=±4,故
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛
SABO
=
1 2
·4p·2p=4p2.
故选 B.
题型二 直线与抛物线的位置关系 【例2】 已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛物 线C有两个交点、一个交点、无交点?
解:由方程组
y y
kx
2 4x
1
,
消去
y
得
k2x2+(2k2-4)x+k2=0. 记Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2). ①若直线与抛物线有两个交点, 则 k2≠0,且Δ>0,即 k2≠0,且 16(1-k2)>0, 解得 k∈(-1,0)∪(0,1). 所以当 k∈(-1,0)∪(0,1)时,直线 l 和抛物线 C 有两个交点.
x p 2
. x≥0,y∈R
向右
p
|PFx0|= 2 .
e=
x p 2
.
x≤0,y∈R
1.
y p 2
. y≥0,x∈R
向左
向上
p
|PF|x0= 2 .
p
|PFy|0 = 2 .
y p 2
. y≤0,x∈R
向下
|PF|y0=
p 2
.
知识点二 抛物线的焦点弦
梳理 已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是 抛物线的焦点(如图),则有:
点,OA⊥OB,则△ABO的面积是( )
(A)8p2
(B)4p2
(C)2p2
(D)p2
解析:设点 A 在 x 轴的上方,则由抛物线的对称性及 OA⊥OB 知,直线 OA 的方程为 y=x.
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用达标练新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用达标练新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时抛物线方程及性质的应用1。
直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2,则k= ( )A。
2或-2 B。
—1 C.2 D.3【解析】选C。
由得k2x2—4(k+2）x+4=0,则=4，即k=2或k=-1，又由Δ=16（k+2）2—16k2〉0,知k=2.2。
已知F为抛物线y2=8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则||FA｜—|FB｜|的值等于（)A.4B.8C.8D.16【解析】选C。
依题意F(2，0），所以直线方程为y=x—2，由消去y得x2—12x+4=0。
设A（x1，y1），B(x2，y2）,则｜|FA｜—｜FB||=｜(x1+2)—（x2+2）|=|x1-x2｜===8.3.若函数f（x)=log2（x+1)—1的零点是抛物线x=ay2焦点的横坐标，则a=________.【解析】由f(x)=log2(x+1)—1=0，知x=1，抛物线x=ay2焦点的坐标是F，由题设条件知=1，所以a=。
(新)高中数学第二章圆锥曲线与方程2_4_2抛物线的几何性质学案新人教B版选修2-1
2.4.2 抛物线的几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________，y∈__________.知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴x轴x轴y轴y轴焦点F(p2，0)F(－p2，0)F(0，p2)F(0，－p2)准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2顶点坐标 O (0，0) 离心率 e ＝1通径长 2p知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．类型一 依据抛物线的几何性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4”，求此抛物线的标准方程．反思与感悟 用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．类型二 抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)； ③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p ； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．类型三 抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1，0)，求|PF ||PA |的最小值．反思与感悟 (1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决． 跟踪训练3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.115 D.3716命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y 2＝2px (p >0)上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为抛物线的焦点，若|AF |，|MF |，|BF |成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF |＝4，|OQ |＝6(O 为坐标原点)，求抛物线的方程．反思与感悟 在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点，OA →·OB →＝－4，求证：直线l 必过一定点．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－122．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.923．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝________.4．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.5．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．提醒：完成作业 第二章 2.4.2答案精析问题导学 知识点一思考 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2)由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p >0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．梳理 [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) [0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0] 知识点三两 一 没有 平行或重合 一 题型探究例1 解 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即p2＝3，∴p ＝6. ∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3. 引申探究解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F (m 2，0)，直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为(m 2，m )，(m2，－m )，所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4，所以12·|m2|·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x .跟踪训练1 解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上． 故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4， 得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a ，∴a ＝±3. ∴所求抛物线方程是y 2＝3x 或y 2＝－3x .例2 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72跟踪训练2 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.例3 解 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过点P 作PN 垂直x ＝－1于点N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |， 连接PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝|PN ||PA |，当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线， 设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0， 解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°， |PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos∠NPA ＝22. 跟踪训练3 A例4 (1)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， 则|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，|MF |＝x 0＋p2，x 0为已知值． 由题意得x 0＝x 1＋x 22，∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0，t )， 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF |＝|MF |＝|BF |⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212py 21－y 22＝2p y 1＋y 2＝pt ， 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0)，即t (x －x 0－p )＋yp ＝0，可知线段AB 的垂直平分线过定点Q (x 0＋p ，0)．(2)解 由|MF |＝4，|OQ |＝6，得x 0＋p2＝4，x 0＋p ＝6，联立解得p ＝4，x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x .跟踪训练4 证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b . 又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又∵OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2，0)． 当堂训练1．C 2.A 3.8 4.2 5.8。
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程新人教A版选修
[问题1] 画出的曲线是什么形状？ [提示1] 抛物线． [问题2] 点D在移动过程中，满足什么条件？ [提示2] 点D到直线EF的距离|DA|等于DC. [问题3] 到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹方程是什 么？ [提示3] 抛物线．
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F)_距__离__相__等__的 点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__焦__点__，直线l叫做抛 物线的_准__线___．
解析： (1)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其焦点为 p2，0，根据题意有p2＝3，故 p＝6，
因此，标准方程为 y2＝12x. (2)设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)，其准线方程为 x＝ －52，由题意有－p2＝－52，故 p＝5， 因此，标准方程为 y2＝10x.
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求抛物线的焦点坐标及准线方程
求下列抛物线的焦点坐标和准线 方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)． [思路点拨] (1)是标准形式，可直接求出焦点坐标和准线 方程； (2)(3)需先将方程化为标准形式，再对应写出焦点坐标和 准线方程．
(1)因为 p＝7，所以焦点坐标是－72，0，准 线方程是 x＝72.
1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方 程．
(1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.
解析： (1)∵2p＝6，∴p＝3，开口向右．则焦点坐标是 32，0，准线方程为 x＝－32.
(2)将 2y2－5x＝0 变形为 y2＝52x. ∴2p＝52，p＝54，开口向右． ∴焦点为58，0，准线方程为 x＝－58. (3)抛物线方程 y＝ax2(a≠0)化为标准形式：x2＝1ay， 当 a＞0 时，则 2p＝1a， 解得 p＝21a，p2＝41a，
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的几何性质b11b高二11数学
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1．抛物线的性质与椭圆、双曲线相比较，差别较大，它的 离心率等于 1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、 一条准线，它不是中心对称图形，因而没有中心，是无心 曲线．
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2．抛物线上一点与焦点 F 的连线的线段叫做焦半径，设抛
(2)设点 P(x0，y0)是 y2＝2x 上任一点，则 P 到直线 x－y＋3 ＝0 的距离为 d＝|x0－y20＋3|＝y220－y20＋3＝|（y0－21）2 2＋5|，
当
y0＝1
时，dmin＝2
5
＝5 2
4
2，
所以点 P 的坐标是12，1.
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有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用 抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化， 数形结合，以几何意义解决之；二是的代数关系式， 以目标函数最值的求法解决之．
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内容(nèiróng)总结
第二章 圆锥曲线(yuán zhuī qǔ xiàn)与方程
2
4
C.14，
2
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D.18，
2
4
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解析：选 B.由题意知，点 P 到焦点 F 的距离等于它到顶点 O 的距离，因此点 P 在线段 OF 的垂直平分线上，而 F14，0， 所以点 P 的横坐标为18，代入抛物线方程得 y＝± 42，故点 P 的坐标为18，± 42，故选 B.
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线
第2课时 抛物线几何性质的应用 学习目标 1.进一步加深对抛物线几何特性的认识.2.掌握解决直线与抛物线相关综合问题的基本方法．知识点 直线与抛物线的位置关系思考 直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？答案 不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交．梳理 (1)直线与抛物线的位置关系有相交、相切、相离，直线与抛物线的公共点个数与由它们的方程组成的方程组的解的个数一致．(2)由方程y ＝kx ＋b 与y 2＝2px 联立，消去y 得k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0.当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，则直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，则直线与抛物线无公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或与对称轴重合，此时直线与抛物线有一个公共点．1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．( × )2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝x 1＋x 2＋p .( × )3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )类型一 直线与抛物线的位置关系例1 已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ，问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题解 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)．①若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ>0，即k 2≠0且16(1－k 2)>0，解得k ∈(－1,0)∪(0,1)，所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点．②若直线与抛物线有一个交点，则k 2＝0或当k 2≠0时，Δ＝0，解得k ＝0或k ＝±1，所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点．③若直线与抛物线无交点，则k 2≠0且Δ<0.解得k >1或k <－1，所以当k >1或k <－1时，直线l 和抛物线C 无交点．反思与感悟 直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得，k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k 2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．跟踪训练1 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 C解析 准线方程为x ＝－2，Q (－2,0)．由题意知，直线的斜率存在，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，消去y ， 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)；当k ≠0时，由Δ≥0，得－1≤k <0或0<k ≤1，综上，k 的取值范围是[－1,1]．类型二 直线与抛物线的相交弦问题例2 已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题解 方法一 由题意可知直线方程的斜率存在，设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，消去x ，得ky 2－6y －24k ＋6＝0.当k ＝0时，y ＝1显然不成立．当k ≠0时，Δ＝62－4k (－24k ＋6)>0.①设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24k k . ∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k＝2，∴k ＝3，满足①式． ∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22，∴|P 1P 2|＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋19×22－4×－22＝22303. 方法二 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．则y 21＝6x 1，y 22＝6x 2，∴y 21－y 22＝6(x 1－x 2)，又y 1＋y 2＝2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3， ∴所求直线的斜率k ＝3，所求直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －11，y 2＝6x ，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2＝1＋19×22－4×－22＝22303. 反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2 已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线的方程．考点 直线与抛物线的位置关系题点 由抛物线弦长求解相关问题解 设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y 2＝ax ，消去y ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0， 由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32.又∵x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4， ∴|AB |＝1＋22[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝35，即5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1642－16＝45， ∴a ＝4或a ＝－36，满足Δ>0.∴所求抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .类型三 抛物线中的定点(定值)问题例3 已知点A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB .(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB 过定点．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题(1)解 设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2.因为OA ⊥OB ，所以k OA ·k OB ＝－1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0. 因为y 1≠0，y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以x 1x 2＝4p 2.(2)证明 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2， 所以k AB ＝2p y 1＋y 2， 故直线AB 的方程为y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)， 所以y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2， 即y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2.因为y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2，所以y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2， 所以y ＝2p y 1＋y 2(x －2p )， 即直线AB 过定点(2p,0)．反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化． 跟踪训练3 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题证明 设k AB ＝k (k ≠0)．∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，即直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －4＋2，y 2＝x ， 消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k )x ＋16k 2－16k ＋4＝0.∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解，∴4x B ＝16k 2－16k ＋4k2， 即x B ＝4k 2－4k ＋1k2. 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2. ∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8k k 2＝－14. ∴直线BC 的斜率为定值．1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 B解析 当斜率不存在时，过P (0,1)的直线是y 轴，与抛物线y 2＝x 只有一个公共点． 当斜率存在时，设直线为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝kx ＋1，消去y ， 得k 2x 2＋(2k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －1)2－4k 2＝0，得k ＝14. 所以与抛物线只有一个交点的直线共有3条．2．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( )A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，∴直线过点(1,0)．又点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，设C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 ∵点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线x ＝－p 2上，∴－p 2＝－2，p ＝4，∴抛物线C ：y 2＝8x .设直线AB 的方程为x ＝k (y －3)－2(k ≠0)，①将①与y 2＝8x 联立，得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0，②令Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，解得k ＝2或k ＝－12. 当k ＝－12时，切点在第四象限，与题意不符，舍去． 将k ＝2代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)． 又F (2,0)，∴k BF ＝43.故选D. 4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 (4,2)解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y ＋2，y 2＝4x ，得y 2－4y －8＝0， y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝y 1＋y 2＋4＝8，∴中点坐标为(4,2)．5．过点P (2,1)作抛物线y 2＝4x 的弦AB ，若弦恰被P 点平分．(1)求弦AB 所在的直线方程(用一般式表示)；(2)求弦长|AB |.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，由于直线的斜率存在，故斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2， 从而直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝2x －3，消去y 得，4x 2－16x ＋9＝0， 因为Δ>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝94， 于是|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝5×16－9＝35.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．一、选择题1．过抛物线y ＝2x 2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A ．2B.12C.14D ．1 考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 B解析 抛物线y ＝2x 2的标准方程为x 2＝12y ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，当y ＝18时，x ＝±14，∴过抛物线y ＝2x 2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为12. 2．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 D解析 设直线方程为2x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋m ＝0，y ＝x2消去y ， 得x 2－2x －m ＝0，Δ＝4＋4m ＝0，∴m ＝－1，∴直线方程为2x －y －1＝0.3．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 的中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3考点 直线与抛物线的位置关系题点 求抛物线中的直线方程答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，消去y ， 得k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0. Δ＝(4k ＋8)2－16k 2>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝2，即x 1＋x 2＝4，∴x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4， ∴k ＝2或－1，经判别式检验知k ＝2符合题意．4．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2与抛物线D ：y 2＝20x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的面积是( )A ．5πB．9πC．16πD．25π考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 D解析 抛物线D ：y 2＝20x 的准线方程为x ＝－5.圆C 的圆心(－2,0)到准线的距离d ＝3.又由|AB |＝8，∴r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝25， 故圆C 的面积S ＝πr 2＝25π，故选D.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 若直线AB 的斜率不存在，则横坐标之和为2，不符合题意， 故设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，由题意得2k 2＋2k 2＝5， 则k 2＝43，所以这样的直线有且仅有2条． 6．已知点A (1,2)是抛物线C ：y 2＝2px 与直线l ：y ＝k (x ＋1)的一个交点，则抛物线C 的焦点到直线l 的距离是( )A.22B. 2C.322 D ．23 2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 将点(1,2)代入y 2＝2px 中，可得p ＝2，即得抛物线y 2＝4x ，其焦点坐标为(1,0)． 将点(1,2)代入y ＝k (x ＋1)中，可得k ＝1，即得直线x －y ＋1＝0，∴抛物线C 的焦点到直线l 的距离d ＝|1－0＋1|2＝ 2. 7．已知点A (0，－3)，B (2,3)，点P 在x 2＝y 上，当△PAB 的面积最小时，点P 的坐标是( )A ．(1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，49 D ．(2,4) 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 ∵A (0，－3)，B (2,3)，k AB ＝3，∴直线AB 的方程y ＝3x －3.设直线y ＝3x ＋t 是抛物线的切线，∴△PAB 高的最小值是两直线之间的距离．把直线y ＝3x ＋t 代入x 2＝y ，化简得x 2－3x －t ＝0， 由Δ＝0，得t ＝－94，此时x ＝32，y ＝94， ∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94. 8．已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M ，N ，若|AM |＝2|BN |，则k 的值是( ) A.13B.23C ．22D.223考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为m ：x ＝－2.直线y ＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点P (－2,0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥m 于点M ，BN ⊥m 于点N .由|AM |＝2|BN |，得点B 为AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |， ∴|OB |＝|BF |，∴点B 的横坐标为1，∴点B 的坐标为(1,22)．把B (1,22)代入直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)，解得k ＝223，故选D. 二、填空题9．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 0或1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 当k ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当k ≠0时，由Δ＝(4k －8)2－16k 2＝0，得k ＝1，∴k ＝0或1.10．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为π4的直线l ，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |的长是________．考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 16解析 由y 2＝8x ，得其焦点F (2,0)，则过抛物线y 2＝8x 的焦点F 且倾斜角为π4的直线l 的方程为y ＝1×(x －2)，即x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，x －y －2＝0，得x 2－12x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝1＋12·122－4×4＝16.11.如图，直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为______．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 48解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，y 2＝4x ，消去y ，得x 2－10x ＋9＝0， 设B ，A 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，y 1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝9，y 2＝6，∴|AP |＝10，|BQ |＝2，|PQ |＝8，∴梯形APQB 的面积为48.三、解答题12．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →·PF →＝0.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上除去原点外的不同三点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求点B 的坐标． 考点 抛物线的简单几何性质的综合运用题点 抛物线的简单几何性质的综合运用解 (1)设N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得点P 为线段MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x,0)， ∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2. 由PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，|DF |＝x 3＋1，∵|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，∴2x 2＋2＝x 1＋1＋x 3＋1，即x 2＝x 1＋x 32. ∵线段AD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32，且线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)， ∴线段AD 的垂直平分线的斜率为k ＝y 1＋y 32－0x 1＋x 32－3. 又k AD ＝y 3－y 1x 3－x 1，∴y 3－y 1x 3－x 1·y 1＋y 3x 1＋x 3－6＝－1， 即4x 3－4x 1x 23－x 21－6x 3－x 1＝－1. ∵x 1≠x 3，∴x 1＋x 3＝2，又x 2＝x 1＋x 32，∴x 2＝1.∵点B 在抛物线上，∴B (1,2)或B (1，－2)．13．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上的一点M (2，y 0)到焦点F 的距离等于3.(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点D (3,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求△ABF 面积的最小值． 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题解 (1)抛物线的准线方程为x ＝－p 2， ∴M (2，y 0)到焦点的距离为2＋p 2＝3， ∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设AB 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，x ＝my ＋3，得y 2－4my －12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－12，∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝16m 2＋48， ∴S △ABF ＝12|FD ||y 1|＋12|FD ||y 2|＝|y 1|＋|y 2| ＝|y 1－y 2|＝16m 2＋48≥43，∴当m ＝0时，S △ABF 取得最小值4 3.四、探究与拓展14.如图，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线依次交抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是( )A ．8B ．4C ．2D ．1考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 D解析 方法一 特殊化(只要考查直线y ＝1时的情形)．方法二 抛物线焦点为F (0,1)，由题意知，直线的斜率存在，设直线为y ＝kx ＋1，与x 2＝4y 联立得y 2－(4k 2＋2)y ＋1＝0，由于|AB |＝|AF |－1＝y A ，|CD |＝|DF |－1＝y D ，所以|AB |·|CD |＝y A y D ＝1.15．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB →的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4.所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3.(2)设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b .因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b ， 又OA →·OB →＝－4，∴b 2－4b ＝－4， 解得b ＝2，故直线过定点(2,0)．。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程课时作
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2.3.1 抛物线及其标准方程【基础巩固】1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D )(A)直线 (B)椭圆 (C)线段 (D)抛物线解析:因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选D.2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为( B )(A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(-1,0)解析:因为准线方程为x=-2=-,所以焦点为(,0),即(2,0).故选B.3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( D )(A)y=-3x2 (B)y2=9x(C)y2=-9x或y=3x2(D)y=-3x2或y2=9x解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=my,将(1,-3)代入得m=-,所以方程为y=-3x2.故选D.4.(2018·南昌高二月考)已知P(8,a)在抛物线y2=4px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( B )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:根据题意可知,P点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选B.5.(2017·海南高二期中)过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是( D )(A)y2=12x (B)y2=-12x(C)x2=-12y (D)x2=12y解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.故选D.6.(2016·泉州南安三中期中)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )(A)(B)3 (C)(D)解析:依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F(,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|==.故选A.7. (2018·贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系(图略),设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,解得x=±.所以水面宽为2米.答案:28.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值;(2)求抛物线的焦点和准线方程.解:(1)因为点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,所以抛物线开口向左.设方程为y2=-2px(p>0),因为M到焦点的距离为5,所以3+=5,所以p=4.所以抛物线的方程为y2=-8x.把点M(-3,m)代入抛物线方程得m2=24.所以m=±2.(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.【能力提升】9.(2018·杭州高二质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( C )(A)(B)(C)3 (D)2解析:过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.10.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为( D )(A)12 (B)24 (C)16 (D)32解析:当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,由得y1=-4,y2=4,所以+=32.当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),由得ky2-4y-16k=0,所以y1+y2=,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,综上可知,+≥32.所以+的最小值为32.故选D.11.(2018·成都诊断)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为.解析:如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.答案:-112.(2017·孝感高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线是直线l:x=-2,焦点是F.(1)求抛物线C的方程;(2)若l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,且M到焦点F的距离为8,求△AFM的面积S.解:(1)由已知得-=-2,所以p=4,所以抛物线C的方程是y2=8x.(2)由已知得A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4,设抛物线上的点M(x0,y0),由抛物线的定义知|MF|=x0+=x0+2=8,所以x0=6,代入y2=8x,得=8×6=48,所以|y0|=4,所以S=|AF||y0|=×4×4=8.【探究创新】13.(2018·沈阳高二质检)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是.解析:抛物线焦点F(1,0),由题意0<a<1,且∠AFB=90°并被x轴平分, 所以点(-1,2)在双曲线上,得-=1,即b2==c2-a2,即c2=+a2=,所以e2===1+,因为0<a<1,所以e2>5,故e>.答案:(,+∞)。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.42.4.2抛物线的几何性质课件苏教版选修2_1
[自主解答]
x2 y2 c (1)∵双曲线 C1：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 2，∴a＝
a2＋b2 a ＝2，∴b＝ 3a， ∴双曲线的渐近线方程为 3x± y＝0，∴抛物线 C2：x2＝2py(p＞0)的焦点
p 0， 到双曲线的渐近线的距离为 2
p 3×0± 2 ＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程 2
为 x2＝16y.
(2)不妨设抛物线的方程为 y2＝2px，如图所示，AB 是抛物线的通径，∴AB 1 1 1 1 1 2 ＝2p，又 OF＝2p，∴S△OAB＝2· AB· OF＝2· 2p· 2p＝2p ＝4，故 p＝2 2.
[答案] (1)x2＝16y
(2)y2＝4 2x
[名师指津]
利用抛物线几何性质可以解决的问题
直线与抛物线的位置关系
[探究问题] 4． 直线与抛物线有几种位置关系？交点的个数怎样？直线与抛物线的交点 个数能否用判别式来判断？ [提示] 三种位置关系，相交——两个或一个交点；相切——一个交点；
相离——没有公共点．当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时，才可 使用判别式进行判断．
5．设直线 l：y＝kx＋b，抛物线 y2＝2px(p>0)，如何判断直线与抛物线的 交点个数？
5 AB 过焦点 F，AB＝x1＋x2＋p＝2p 求解．
[自主解答]
p 由题意可知，抛物线 y ＝2px(p>0)的准线为 x＝－2.
2
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 到抛物线准线的距离分别为 dA，dB. p p 由抛物线的定义，知 AF＝dA＝x1＋2，BF＝dB＝x2＋2， 5 3 于是 AB＝x1＋x2＋p＝2p，∴x1＋x2＝2p.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程课件新人教B版选修1170828181
绝不能把抛物线当成是双曲线的一支(yī zhī).
当抛物线上的点趋向于无穷远时,点的切线接近于和x轴平行;而双
曲线上的点趋向于无穷远时,点的切线接近于与渐近线平行.抛物线
没有渐近线;从方程上看,抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别.
,定直线是
其
.
答案:焦点(jiāodiǎn) 准线
名师点拨抛物线定义中的定点(dìnɡ
diǎn)F不在定直线l上,否则动点
的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.
第三页，共14页。
2.抛物线的标准方程(fāngchéng)
方程(fāngchéng)y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程(fāngchéng).
线上和点M到焦点(jiāodiǎn)的距离等于5,列出关于m,p的方程组,解关于
m,p的方程组;其二利用抛物线的定义,可得点M到准线的距离为5,直接得到
p的关系式,求出p值.
第十二页，共14页。
题型一
题型二
题型三
解方法一:设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),则焦点为
2 = 6,
F ,0 ,由题设可得
它所表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上,坐标是
2
,0
2
;它的
准线方程是 x=- ,其中 p 是焦点到准线的距离(焦参数).
【做一做2】 抛物线y2=4x的焦点(jiāodiǎn)坐标是
是
.
答案:(1,0) x=-1
,准线方程
名师点拨(1)抛物线中焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)由于建立的坐标系不同,所得(suǒ dé)抛物线的方程也不同.本节中
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2.3.2 抛物线的简单几何性质
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( C )
(A)直线与抛物线有一个公共点
(B)直线与抛物线有两个公共点
(C)直线与抛物线有一个或两个公共点
(D)直线与抛物线可能没有公共点
解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),
所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
故选C.
2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( B )
(A)8 (B)16 (C)32 (D)64
解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
直线的方程为y=x-2,
代入y2=8x,得(x-2)2=8x,
即x2-12x+4=0,
所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( C )
(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|
(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|
(D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2
解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,
|FP3|=x3+.
因为2x2=x1+x3,
所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),
即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.
故选C.
4.(2018·临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )
(A)(B)(C)(D)3
解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.
5.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于( D )
(A)(B)1 (C)(D)2
解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.
6.(2018·郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于( A )
(A)90° (B)45° (C)60° (D)120°
解析: 如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
所以∠AA1F=∠AFA1,
又∠AA1F=∠A1FO,
所以∠AFA1=∠A1FO,
同理∠BFB1=∠B1FO,
于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.
故∠A1FB1=90°.
故选A.
7.(2018·兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是.
解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①
由
消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,
所以y1+y2==2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),
所以k=8.代入①得y=8x-15.
答案:y=8x-15
8.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.
解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),
则直线方程为y=-x+p.
设直线交抛物线于
A(x1,y1),B(x2,y2),
过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,
则由抛物线定义得
|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,
即x1+x2+p=8.①
又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,
由
消去y得x2-3px+=0.
所以x1+x2=3p,②
将②代入①,得p=2.
所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.
【能力提升】
9.(2017·高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于( B )
(A)(B)(C)(D)0
解析:由可得8x2-20x+8=0,
解得x=2或x=,
则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),
由·=0,
可得(3,2-m)·(,--m)=0.
化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.
10.(2018·宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B )
(A)2 (B)3 (C)(D)
解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),
直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,
故ab=-m,
由·=2得a2b2+ab=2,
故ab=-2或ab=1(舍去),
所以m=2,
所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|,
△AFO的面积等于×|a|=,
所以△ABO与△AFO的面积之和为|a+|+=
|a|+||≥2=3.当且仅当|a|=时,等号成立.
故选B.
11.(2018·云南质检)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是.
解析:设点Q的坐标为(,y0),
由|PQ|≥|a|,得+(-a)2≥a2,
整理得(+16-8a)≥0,
因为≥0,
所以+16-8a≥0,
即a≤2+恒成立.
而2+的最小值为2,
所以a≤2.
答案:(-∞,2]
12. (2018·湖南六校联考)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM 的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.
(1)求点M到其准线的距离;
(2)求证:直线AB的斜率为定值.
(1)解:因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,
所以32=4a,a=,
所以M(,3).
因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
所以点M到其准线的距离为-(-1)=.
(2)证明:由题知直线MA,MB的斜率存在且不为0,
设直线MA的方程为y-3=k(x-),
由得y2-y+-9=0.
所以y A+3=,
所以y A=-3.
因为直线AM,BM的斜率互为相反数,
所以直线BM的方程为y-3=-k(x-).
同理可得y B=-3.(只需将y A=-3中的k换为-k)
所以k AB=====-.
所以直线AB的斜率为定值-.
【探究创新】
13.(2018·枣庄高二月考)设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为.
解析:设Q(x,y),其中x2=4y.
又圆心C(0,6),
则|QC|==
=(y≥0).
当y=4时,|QC|min=2,
所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.
答案:。