2.1.2函数表示方法二教案
2.1.2(二)函数的表示方法教案
2.1.2 函数的表示方法(二)【学习要求】1.进一步掌握求函数解析式的方法；2.了解分段函数的定义，会求分段函数的定义域、值域；3.学会运用函数图象来研究分段函数．【学法指导】通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高分析问题、解决问题的能力.填一填：知识要点、记下疑难点1.分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．2.分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并 集(填“并”或“交”)．3.分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境] 某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎样的解析式表示这一函数关系？为解决这一问题，本节我们就来学习分段函数．探究点一 待定系数法求函数解析式问题1 若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？答： 若已知函数的类型，可用待定系数法求解．问题2 用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？答：由函数类型设出函数解析式，再根据条件列出方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析式．例1 设二次函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．分析： 由于f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可用待定系数法处理．解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)．由f(x ＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线x ＝2对称．∴－b 2a＝2，即b ＝－4a.① 又图象过点(0,3)，∴c＝3.②由方程f(x)＝0的两实根平方和为10，即x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③解得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.∴f(x)＝x 2－4x ＋3.小结： 已知f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax ＋b (a≠0)；已知f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝k x(k≠0)；已知f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，②顶点式：f(x)＝a(x －h)2＋k (a≠0)；③双根式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2) (a≠0)．跟踪训练1 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，求函数f(x)的解析式．解： 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，由f(0)＝0知c ＝0.∴f(x)＝ax 2＋bx.又f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，∴a(x＋1)2＋b(x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1.即ax 2＋(2a ＋b)x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.故2a ＋b ＝b ＋1且a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12， ∴f(x)＝12x 2＋12x. 探究点二 消去法求函数解析式导引 有些求函数解析式的题目，已知条件为一方程，在方程中同时含有f(x)与f(－x)或f(x)与f(1x)，那么如何求函数的解析式？问题1 在一个等式中同时含有f(x)与f(－x)能不能求出函数的解析式？为什么？答： 不能．因为把f(x)与f(－x)分别看作未知数，那么这个等式相当于一个二元方程，而一个二元方程求不出唯一的解．问题2 仅仅利用“导引”中的条件，求不出函数的解析式，那么如何创造条件来求出解析式？答： 根据已知条件构造出含有f(x)与f(－x)的另一个方程，采用解方程组的方法消去不需要的函数式，从而得到f(x)的表达式，此种方法称为消去法．例2 已知函数y ＝f(x)满足af(x)＋bf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝cx ，x≠0，其中a 、b 、c 都是非零常数，a≠±b，求函数y ＝f(x)的解析式．解： 在已知等式中，将x 换成1x ，得af ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋bf(x)＝c x ， 把它与原条件式子联立，得af(x)＋bf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝cx.① af ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋bf(x)＝c x ② ①×a－②×b 得(a 2－b 2)f(x)＝c ⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x ， ∵a≠±b，∴f(x)＝c a 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫ax －b x (x≠0)． 小结： 消去法适用于自变量的互为倒数，如f(x)、f(1x)；互为相反数，如f(x)、f(－x)，通过对称代换构造出另一个方程，解方程组即得f(x)的解析式．跟踪训练2 设f(x)满足关系式f(x)＋2f(－x)＝3x ，求f(x)．解： ∵f(x)＋2f(－x)＝3x.①∴f(－x)＋2f(x)＝－3x.②①②联立得：f(x)＝－3x.探究点三 分段函数问题1 作函数的图象通常分哪几步？答： 通常分三步，即列表、描点、连线．例3 已知一个函数y ＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y ＝x ，当x∈(1,2]时，对应法则为y ＝2－x ，试用解析法与图象法分别表示这个函数．解： 已知的函数用解析法可表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x∈[0，1]2－x ，x∈1，2] 用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图：小结： (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域；(2)要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心还是虚心；(3)要掌握常见函数图象的特征；(4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象. 解：由题意得函数的解析式如下： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，0<x≤5，3，5<x≤10，4，10<x≤15，5，15<x≤20.函数图象为问题2 在例3和跟踪训练3中，我们得到的函数解析式是分段表达的，这样的函数就是分段函数，那么如何定义分段函数？答： 在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 例4 在某地投寄外埠平信，每封信不超过20 g 付邮资80分，超过20 g 不超过40 g 付邮资160分，超过40 g不超过60 g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0<x ≤100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．解： 设每封信的邮资为y ，则y 是信封重量x 的函数．这个函数关系的表达式为 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 80，x ∈(0，20]，160，x ∈(20，40]，240，x ∈(40，60]，320，x ∈(60，80]，400，x ∈(80，100].函数的值域为{80,160,240,320,400}． 根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图．这个函数图象是长度为20的5条平行线段，每条线段的左端点为虚点，右端点为实点．图象如图．小结： 处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的解析表达式；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．跟踪训练4 某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地，在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程x(km)表示为时间t(h)(从A 地出发是开始)的函数，再把车速v km/h 表示为时间t(h)的函数．解： 从A 地到B 地所需时间为15060＝2.5(h)， 从B 地到A 地所需时间为15050＝3(h)， 所以，当0<t≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t≤3.5时，x ＝150；当3.5<t≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)＝－50t ＋325；所以，x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ， 0<t≤2.5，150， 2.5<t≤3.5，－50t ＋325， 3.5<t≤6.5.v ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<t≤2.5，0，2.5<t≤3.5，50，3.5<t≤6.5. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1.设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ， x≤0，x 2， x>0，若f(α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析： 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2. ∴α＝－4或α＝2.2.已知f(x)＋2f(1x)＝3x ，则f(x)的解析式为____________． 解析： 由f(x)＋2f(1x )＝3x ，得f(1x )＋2f(x)＝31x . 联立上面两个方程并消去f(1x )，得f(x)＝2x－x. 3.画出函数y ＝|x|的图象，并求f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1)的值．解： 由绝对值的概念，有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0－x ，x<0. 所以，函数y ＝|x|的图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线，如下图所示，其中f(－3)＝3，f(3)＝3，f(－1)＝1，f(1)＝1.课堂小结：1.求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼凑法，换元法，待定系数法，消元法，特殊值法等，要根据题目特点选用不同的方法求解．2.分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.。
高一数学1.2.2函数的表示法(二)教案
高一数学1.2.2函数的表示法（二）教案【课型】新授课【教学目标】（1）了解映射的概念及表示方法；（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。
【教学重点】求函数的解析式。
【教学难点】对函数解析式方法的掌握。
【教学过程】一、复习准备：1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射。
二、讲授新课：（一）映射的概念教学：定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。
记作：（四）、归纳小结：本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。
（五）、作业布置：1．课本P24习题1.2B组题3，4；2．阅读P26 材料。
1.2.2函数的表示法（三）【课型】新授课【教学目标】（1）进一步了解分段函数的求法；（2）掌握函数图象的画法。
【教学重点】函数图象的画法。
【教学难点】掌握函数图象的画法。
【教学过程】一、复习准备：1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。
2.讨论：函数图象有什么特点？四、归纳小结：函数图象的画法。
五、作业布置：课本P24习题1.2A组题7，B组题2；。
§2.1.2函数的表示方法教案
§2.1.2函数的表示方法教学目标：1.了解函数的三种不同的表示方法(解析法、列表法、图象法);2.在实际情境中,会根据不同的需要,选择函数恰当的表示方法;3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.重点难点：重点——函数三种不同表示方法之间的相互转化;难点——理解分段函数的概念．教学教程：一、问题情境看课本P21三个实例中,函数的表示方法有何不同?各有什么特点?二、学生活动看课本P21三个实例,并思考:它们分别是怎样表示函数的,这些表示方法各有什么特点?要求学生先自己思考,再分小组适当讨论,并推举代表向全体同学提出本小组的结论. 三、建构数学问题1:三个实例中,分别用什么方法表示函数?在实例1中,只要知道了表中的某个年份,就能从此表中查得相应的人口数.这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.在实例2中,物体下落时间x与下落距离y的函数关系为y=4.9x2(x≥0).这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法叫解析法,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.在实例3中,我们图象表示了时刻与气温的关系.这种用图象表示两变量之间函数关系的方法称为图象法.列表法,解析法,图象法是表示函数的三种常用方法.问题2:请大家比较一下,这三种函数表示方法各有什么优点?用列表法表示函数关系,不必计算就可以知道自变量取表中的某个值时,相应的函数值是多少.我们以前用过的平方表,立方表等就是利用这个特点,方便地查阅平方值,立方值.银行的利率表也是这个作用;用解析法表示函数关系,函数关系清楚,很容易由自变量的值求出函数值,便于用解析式来研究函数的性质.这是我们今后给出函数关系的最常用的方法.用图象法表示函数关系,可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况.今后我们研究函数的性质,主要就是利用函数的图象来研究.实例3中的气温变化图应是一个典型的例子,再比如各种媒体上,介绍股票的交易行情、各种指数的变化情况等都是用的图象法.四、数学运用1．例题例1 已知某种可乐每听2元,设购买x听需y元.请分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x的函数,其中x∈{1,2,3,4},并指出此函数的值域.解: ⑴解析法:y=2x,x∈{1,2,3,4}.函数的值域是{2,4,6,8}例2 画出函数y=|x|的图象,并求f(-2),f(-1),f(2),f(3)的值.解:f(x)=|x|=⎩⎨⎧<-≥0 ,0,x x x x函数图象是过原点且平分第一、二象限的折线.其中f(-2)=2,f(-1)=1,f(2)=2,f(3)=3例3 淮安出租汽车标准如下:3km 以内(含3km)路程按起步价6元收费,超过3km 以外路程按1.5元/km 收费.求收费额关于路程的函数解析式.解:设路程为xkm 时,收费额为y 元,由题意得:当x ≤3时,y=6;当x ＞3时,按1.5元/km 所收费用为1.5×(x －3),则y=6+1.5×(x －3)=1.5x+1.5,∴收费额关于路程的函数解析式为⎩⎨⎧>+≤=3 x 5.1x 3 x 6y 例2、例3中的函数具有共同的特点:在定义域内不同部分上,有不同的解析式的函数叫做分段函数.注意:分段函数是一个函数,不是几个函数.练习:P31 1~4五、回顾小结本节课主要学习了函数的三种表示方法、特点,分段函数的概念.重点是要学会运用适当的方式来表示函数.六、课外作业1．P32 1,5,8;2．预习课本P24~35 §2.1.3函数的简单性质—1.单调性预习题:1.什么叫函数的单调性,单调区间?2.如何判断并证明函数的单调性?。
高一数学人教B版必修1：2.1.2 函数的表示方法(二) 学案
2.1.2 函数的表示方法(二)自主学习学习目标了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．自学导引 分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的______________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应________________________．对点讲练知识点一 分段函数的求值问题例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值．规律方法 对于f (a )，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a 所在范围有关，因此要对a 进行讨论．由此我们可以看到：(1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x(x <0)，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．知识点二 分段函数的图象及应用例2 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移2 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)－2x ＋2，x ∈[12，1]，在平面直角坐标系中作出y ＝f (x )的图象，并写出值域．知识点三 分段函数的简单应用例3 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是： (1)乘坐5 km 以内，票价2元；(2)5 km 以上(含5 km)，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)．已知两个相邻的公共汽车站之间相距约 1 km ，如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象．规律方法 该类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，画图象时，注意每段定义域端点的虚实．变式迁移3 电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x 元与通话时间t (分钟)的函数解析式，并画出t ∈(0,7]的图象．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．含有绝对值的函数解析式要化为分段函数处理．3．画分段函数的图象要逐段画出，求分段函数的值要按各段的区间范围代入自变量求值.课时作业一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2(x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]为( ) A ．－x B ．－x 2 C ．x D ．x 24．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2(0≤x ≤1)2 (1<x <2)x ＋1 (x ≥2)的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．[0,2]∪[3，＋∞)二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x ≤3)的图象．8. 已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．2．1.2 函数的表示方法(二) 答案自学导引(1)对应法则 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 对点讲练例1 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3， ∴a ＝1(舍去)；当－1<a <2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3， ∴a ＝±3，其中负值舍去，∴a ＝3； 当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3，∴a ＝32(舍去)．综上所述，a ＝ 3.变式迁移1 a <－1解析 当a ≥0时，f (a )＝12a －1，解12a －1>a ，得a <－2与a ≥0矛盾，当a <0时，f (a )＝1a ，解1a>a ，得a <－1.∴a <－1. 例2 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 变式迁移2 解 如图所示，函数y ＝f (x )的图象是由f 1(x )＝－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)的图象(抛物线的一段)及f 2(x )＝－2x ＋2，x ∈[12，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．例3 解 设票价为y 元，里程为x km ， 由题意可知0<x ≤20.所以y 关于x 的函数为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (0<x <5)3 (5≤x <10)4 (10≤x <15)5 (15≤x ≤20)其图象如图所示．变式迁移3 解 由题意可知，变量t ∈(0，＋∞)，故x 与t 的函数关系的表达式为 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2 t ∈(0，3]0.2(n －1) t ∈(n ，n ＋1](n ∈N ，n ≥3)， 其图象如图所示．课时作业1．A [f (2)＝22＋2－2＝4，1f (2)＝14， f (14)＝1－(14)2＝1516.故选A.] 2．A [由题意知f (3)＝f (3＋2) ＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.]3．B [当x <0时，g (x )＝－x 2<0，∴f [g (x )]＝－x 2.] 4．D [画图象可得．] 5．π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1. 6．{x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.7．解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)． ∵点(1,1)、(0,2)在射线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2. ∴左侧射线对应的函数解析式为 y ＝－x ＋2 (x <1)．同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a <0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).9．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。
122函数的表示法第二课时教案.docx
2011-2012学年上学期高一数学备课组教案应用举例探究性质(1)A跟B这两个集合有先后顺序，/：A->B和/：B-A是截然不同的；(2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思.(3)集合A中的元素不可剩，集合B中的元索可剩余.补充:映射/：A-B 'I', A中元索成为原象，B屮与A屮元索相对应的元素称为象.例1：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？(1) A=｛P\P是数轴上的点｝, B二R,对应关系数轴上的点与它所代表的实数对应；(2 ) A=｛P\P是平面直角坐标中的点｝, B = [(x,y)\xe R,ye/?｝,对应关系/ ：平面直角处标系中的点与它的坐标对应；(3) A=｛三角形｝, B=｛x|兀是圆｝,对应关系/：每一个三角形都对应它的内切圆；(4 ) A=｛x\x是新华中学的班级｝,B = ｛x\x是新华屮学的学生｝，对应关系/：每一个班级都对应班里的学生.思考：将(3)小的对应关系/改为：每一个圆都对应它的内接三角形；(4)中的对应关系/改为：每一个学生都对应他的班级，那么对•应f : B-A是从集合B到集合A的映射吗？例2：在下图中,图(1), (2), (3)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，下列情况是不是映射？明，挖掘概念中学生难理解，易混乱的问题.通过例题讲解进一步掌握本节课的重点内容探究性质，激发学生学习兴趣.例题讲解，便于理解.性质课堂练习及延展A 求平方B、49 /判定是否是映射主要看两点：一是A集合屮的元素都要有象，但B屮元素未必要有原象；二是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式，不能出现“多对一”的形式.完成下面练习.1. （x, y）在/下象是（x+y, xy）,则（3, 4）的象是_________（1, -6）的原象是____________ .归纳知识、构建知识网及时体验提髙,增加题目多样性.析：原象象(x, y) (x+y, xy)(3, 4) (7,⑵(2,・3)或者(・3, 2) (1, -6)⑵ /(%) = <的图象X, (x> 1)5.设兀w (-oo,+oo),求函数/(x) = 2|x-l|-3|x| 的解析式, 并画出它的图象.解：函数的解析式为一2—3兀,兀>1;-3,x = l;/(%) = < 一5x + 2,0 v x < 1;2,兀=0;x + 2,x v 0.图像变式：求函数/(x) = 2|x-l|-3|x|的最大值. 析：出上面可得/(x)max = 2.1. 映射的定义；2. 彖与原彖定义；3. 判断是否是映射的条件;4. 画分段函数的图像；5. 求函数的解析式.主备课教师： 邱惠彬 备课组老师:课堂小 结课堂小 结，构造 知识体 系.。
高中数学人教新课标必修一B版教案2.1.2函数的表示方法(2)
2.1.2函数的表示方法（二）一、学习目标：1、求简单分段函数的解析式；2、了解分段函数及其简单应用．二、重点难点：分段函数解析式的求法．三、教学内容安排：（一）分段函数由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表引出问题：若设信函的重量为x （克）应支付的资费为y 元，能否建立函数()y f x =的解析式？导出分段函数的概念．让学生探讨函数的图像，直观体验分段函数的特点．通过分析课本第42页、第43页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法可选例：1、动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动，沿正方形ABCD 的运动路程为自变量x ，写出P 点与A 点距离y 与x 的函数关系式．2、在矩形ABCD 中，AB ＝4m ，BC ＝6m ，动点P 以每秒1m 的速度，从A 点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B 的顺序运动到B ，设点P 从点A 处出发经过x 秒后，所构成的△ABP 面积为y m 2，求函数()y f x =的解析式．3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象．对分段函数不必一次到位，通过例4的分析为学生从直观和解析式认识分段函数做打好基础，通过例5及其他实例让使学生逐步认识分段函数及其表示方法，并初步认识分段函数在实际问题中的应用.（二）补充综合例题例1．根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式（1）221)1(xx x x f +=+ x x f x f 3)1(2)()2(=+ （3）13)2(2++=-x x x f 注：（1）观察法（2）方程法（3）换元法例2．设二次函数)(x f 满足：)2()2(--=-x f x f 且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f 的解析式．例3．设)(x f 为定义在R 上的偶函数，当1-≤x 时，)(x f y =得图像经过)0,2(-，斜率为1的射线，又在)(x f y =的图像中有一部分是顶点为)2,0(，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数)(x f 的表达式，并作出函数)(x f 的图像．例4．用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式．例5．设,)(331--+=+x x x x f 221)(--+=+x x x x g 求f [g （x ）]． 解：)1(3)1()1(3xx x x x x f +-+=+ ∴x x x f 3)(3-= 2)1()1(2-+=+xx x x g ∴2)(2-=x x g ∴[]=)(x g f 296246-+-x x x例6．已知 21)1(x x x f ++= （x >0） 求f （x ）．例7．已知 x x x f 2)12(2-=+ 求f （x ）．课堂练习：教材第43页练习A ．小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法．课后作业：、第44页B ．教学资源建议：图形计算器、几何画板．教学方法与学习方法指导策略建议：1．本节内容不同于初中阶段的一次函数和二次函数，老师应该多列出实际的例子，让学生对分段函数有充分的认识，对实际生活中能够采用分段函数表示的问题能够提炼出相应的模型．2．应根据学生情况，采用启发式教学与讲授式教学相结合，自主学习与合作式学习相结合；注意引导学生认真阅读教科书，注意特殊与一般的思想方法，通过实例整体的把握分段函数的本质. 分段函数是学生利用数学知识解决实际问题的重要模型，鉴于多数高中学生的认知特点，《课标》特别强调要遵循运用图形直观帮助学生完善认知体系，培养学生运用图形帮助思考的习惯，从而为解析几何的学习做好铺垫.3．学生的讨论一定要组织有序，充分让学生展示自己在学习过程中对分段函数的认识，老师在此基础上再做系统的讲解，让学生能够达到新的高度．编写者： 张鹤,李久权,张国春,陈惠勇,贺思轩,赵青,石凤歧,杨凌,张丽萍。
《2.1.2函数的表示方法》教案
《函数的表示方法》教案教学目标:1.知识与技能(1)明确函数的三种表示方法;(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数及应用. 2.过程与方法通过引导学生回答问题,培养学生的自主学习能力;通过画图像,培养学生的动手操作能力;3.情感态度与价值观通过一些实际生活应用题,让学生感受到学习函数表示的必要性,并体会数学源于生活用于生活的价值;通过函数的解析式与图像的结合,渗透数形结合思想方法｡教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.教学难点:根据题目的已知条件,写出函数的解析式并画出图像教学过程:(一)､复习引入:1.函数的定义,函数的三要素(函数相同的条件). 集合A−−−→−f对应关系集合B当对应关系符合下面的条件之一时,则称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 (1)1−−−→−f 对应关系1(集合A 和B 一一对应)(2)2或者更多−−−→−f对应关系1(集合A 多个对B 一个)误区:1−−−→−f对应关系2或者更多 ×构成函数的三要素: 定义域､对应关系和值域函数相同:当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关2.函数图象的基本方法画法(列表､描点､作图.) 本节将进一步学习函数的表示法和函数图象的作法(二)､讲解新课: 函数的三种表示方法:老师:同学们,回忆一下在初中时,我们学习过什么函数? 一次函数:）（0k b kx y ≠+= 二次函数:2y ax bx c =++(0)a ≠ 反比例函数:）（0k xky ≠= 教师引导学生归纳函数解析法的特点｡(1)解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式｡说明:①解析式法的优点是:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用解析式来研究函数的性质;②中学里研究的主要是用解析式表示的函数｡以下是我国1992年-1998年的国内生产总值(单位:亿元)｡而我们仅仅是通过一个图表就知道生产总值与年份之间的关系,像这种函数的表示法,我们称为列表法｡(2)列表法:列出表格来表示两个变量的函数关系式｡例如:数学用表中的平方表､平方根表､三角函数表,以及银行里常用的“利息表”｡说明:列表法的优点是:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值｡ 老师:另外,在初中我们还学习了一次函数,二次函数,反比例函数的图像｡老师:像这种用图像来表示函数的方法叫做图像法｡(3)图象法:用函数图象表示两个变量之间的关系｡例如:气象台应用自动记录器,描绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的｡(见课本P53页图2-2 我国人口出生变化曲线)说明:图象法的优点是能直观形象地表示出函数的变化情况｡ (三)､例题讲解例1､国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:1､信函质量不超过100g 时,每20g 付邮资80分,即信函质量不超过20g 付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g 付邮资160分,依次类推;2､信函质量大于100g 且不超过200g 时,付邮资(A+200)分(A 为质量等于100g 的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g 付邮资(A+400)分,依此类推.设一封x g(0<x ≤200)的信函应付邮资为y(单位:分),试写出以x 为自变量的函数y 的解析式,并画出这个函数的图像解:这个函数的定义域集合是0200x <≤,函数的解析式为80,(0,20],160,(20,40],240,(40,60],320,(60,80],400,(80,100]600,(100,200].x x x y x x x ∈⎧⎪∈⎪⎪∈=⎨∈⎪⎪∈⎪∈⎩它的图象是6条线段(不包括左端点),都平行于x 轴,如图所示.新概念教学:在上例中,函数对于自变量x 的不同取值范围,对应法则也不同,这样的函数通常称为分段函数｡注意:分段函数是一个函数,而不是几个函数. 例2､作出分段函数21++-=x x y 的图像 解:根据“零点分段法”去掉绝对值符号,即:21++-=x x y =⎪⎩⎪⎨⎧++-123)12(x x 1122>≤<--≤x x x 作出图像如右图作函数2243,(03)y x x x =--≤<的图象. 解:∵ 03x ≤<∴ 这个函数的图象是抛物线2243y x x =-- 介于03x ≤<之间的一段弧(如图).(四)､课堂练习:2､一个面积为100cm2的等腰梯形,上底长为xcm,下底长为上底长的3倍,则把它的高表示成x 的函数为()2x-1-2 x 111 f x =,f f 12 x >11+x ⎧≤⎡⎤⎪⎛⎫⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎩、设则等于14925A) B) C) - D)213541A) y=50x x>0 B) y=100x x>050100C) y= x>0 D) y= x>0x x。
人教版高中必修1(B版)2.1.2函数的表示方法教学设计 (2)
人教版高中必修1(B版)2.1.2函数的表示方法教学设计一、教学目标1.知道函数的基本定义；2.能够利用自变量和因变量的关系来表示函数；3.能够描述二元函数的定义域和值域；4.能够解决简单函数问题。
二、教学重点和难点教学重点：1.函数的基本定义；2.函数的表示方法；3.二元函数的定义域和值域。
教学难点：1.函数的概念及其性质；2.函数的不同表示方法的转化。
三、教学过程设计3.1 导入新知识引导学生回忆什么是一元二次方程，以及它的图像长什么样子。
引导学生思考为什么该方程可以描述某个物体的运动轨迹。
引出函数的概念，引导学生明确函数是一种描述自变量和因变量之间关系的方法。
3.2 函数的基本定义介绍函数的基本概念：一个变量的值与另一个变量的值之间存在唯一的对应关系，这个对应关系可以用一个函数来表示。
通过实际例子，引导学生理解函数的定义。
3.3 函数的表示方法介绍函数的三种表示方法：函数图像、符号表示法和表格表示法。
通过实例演示将三种方法之间的相互转化。
3.4 二元函数的定义域和值域引入二元函数的概念，介绍其定义域和值域。
通过实例演示将二元函数的定义域和值域计算出来，并且学会将它们用符号表示法表示出来。
3.5 课堂练习在课堂上，提供一些函数的问题，让学生分别考虑如何用三种不同表示方法来描述函数。
例题：一个人在跑步，与时间的关系可以近似认为是线性函数。
已知他在5秒时跑了10米，在15秒时跑了30米，求在30秒时他会跑多少米？3.6 实践操作让学生在班内测量身高和步长，计算出身高与步长之间的关系，引导学生将其用函数的三种表示方法表示出来。
3.7 课堂小结通过本节课的教学，学生理解了函数的概念及其三种表示方法，能够判断和描述二元函数的定义域和值域，同时学会了处理简单函数问题。
四、教学反思在教学中，需要理清函数的基本概念、性质和表示方法的不同相互转化。
此外，需要注意让学生通过实际案例来理解函数的定义和概念，使学生在学习过程中更容易接受和理解新的知识。
高中数学第二章函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法学习导航学案新人教B版必修1
函数-2.1.2 函数表示方法自主整理设集合A是一个非空数集,对A内任意数x,按照确定法那么f,都有唯一确定数值y与它对应,那么这种对应关系叫做集合A上一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,自变量取值范围A叫做函数定义域;如果自变量取值a,那么由法那么f确定值y称作函数在a处函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数值域.函数定义含有三个要素,即定义域A、值域C与对应法那么f.当且仅当两个函数定义域与对应法那么都分别一样时,这两个函数才是同一个函数.(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间［a,b］{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间［a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b］(2)无穷区间概念:关于-∞,+∞作为区间一端或两端区间称为无穷区间,它定义与符号如下表:{x|x≥a}［a,+∞){x|x>a}(a,+∞){x|x≤a}(-∞,a］{x|x<a}(-∞,a)R(-∞,+∞)取遍数轴上所有值设A、B是两个非空集合,如果按某种对应法那么f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,那么称f是集合A 到集合B映射.这时,称y是x在映射f作用下象,记作f(x).于是y=f(x),x称作y原象,映射f也可记为f:A→B,x→f(x).其中A叫做映射f定义域(函数定义域推广),由所有象f(x)构成集合叫做映射f值域,通常记作f(A).(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值表来表达函数关系方法;(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(x∈A)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达,那么这种表达函数方法叫做解析法(也称公式法).在函数定义域内,对于自变量x不同取值区间,有着不同对应法那么,这样函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)〞中“f〞是函数符号,可以用任意字母表示,如“y=g(x)〞;(2)函数符号“y=f(x)〞中f(x)表示与x对应函数值,是一个数,而不是f 乘x.2.对应法那么可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法与图象法,不管是哪种形式,都必须是确定,且使集合A中每一个元素在B 中都有唯一元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间一种对应,假设将其中条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞,按照某种法那么可以建立起更为普通元素之间对应关系,这种对应就叫映射.A到B映射与B到A映射是截然不同.4.区间与数轴是严密联系在一起,在识别与使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值取舍是很容易出错地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点与空心点区别.对于某些不能用区间表示集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数画法要领是根据各段上函数解析式,分段画出各段图象.6.假设y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u称为中间变量,它取值范围是g(x)值域与(m,n)交集.名师解惑1.如何理解构成函数三要素:定义域、对应关系与值域求值域有几种常用方法剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数定义域,函数定义域包含三种形式:①自然型:指函数解析式有意义自变量x取值范围(如:分式函数分母不为零,偶次根式函数被开方数为非负数,等等);②限制型:指命题条件或人为对自变量x限制,这是函数学习重点,往往也是难点,因为有时这种限制比拟隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;③实际型:解决函数综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x实际意义.(2)求函数值域是比拟困难数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数值域问题.求法主要有以下几种:①配方法(转化为二次函数);②判别式法(转化为二次方程);③不等式法(运用不等式各种性质);④函数法(运用根本函数性质或抓住函数单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点与缺乏？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间函数关系就是用列表法表示;房地产公司出售商品房,总价格与面积之间函数关系就是用解析式来表示;工厂每月产量与月份之间函数关系是用图表来表示.(2)表示函数三种方法优点与缺乏,分别说明如下.①用解析式表示函数优点是简明扼要、标准准确.可以利用函数解析式求自变量x=a时对应函数值,还可利用函数解析式列表、描点、画函数图象,进而研究函数性质,又可利用函数解析式构造特点,分析与发现自变量与函数间依存关系,猜测或推导函数性质(如对称性、增减性等),探求函数应用等.缺乏之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y对应值需要逐个计算、有时比拟繁杂.②列表法优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系计价表,方便收款.列表法缺点是只能列出局部自变量与函数对应值,难以反映函数变化全貌.③用图象表示函数优点是形象直观,清晰呈现函数增减变化、点对称、最大(或小)值等性质.图象法缺乏之处是所画出图象是近似、局部,观察或由图象确定函数值往往不够准确.由于以上表示函数三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊对应剖析:(1)理解映射概念,必须注意以下几点:①方向性,“集合A到集合B映射〞与“集合B到集合A映射〞往往不是同一个映射;②非空性,集合A、B必须是非空集合;③唯一性,对于集合A中任何一个元素,集合B中都是唯一确定元素与之对应,这是映射唯一性,也可以说“在集合B中〞,A中任一元素象必在集合B中,也叫映射封闭性.④存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素与它对应,这是映射存在性.(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在某种对应关系.说其是一种特殊映射,就是因为它只允许存在“一对一〞与“多对一〞这两种对应,而不允许存在“一对多〞对应.映射中对应法那么f是有方向,一般来说从集合A到集合B映射与从集合B到集合A映射是不同.讲练互动【例题1】以下各组中两个函数表示同一个函数是…( )A.f(x)=x,g(x)=n n x22B.f(n)=2n+1(n∈Z),g(n)=2n-1(n∈Z)C.f(x)=x-2,g(t)=t-2D.f(x)=,g(x)=1+x解析：两个函数一样必须有一样定义域、值域与对应法那么.A中两函数值域不同;B中虽然定义域与值域都一样,但对应法那么不同;C 中尽管表示自变量两个字母不同,但两个函数三个要素是一致,因此它们是同一函数;D中两函数定义域不同.答案：C绿色通道给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否一样;二看对应法那么是否一致.只有当两函数定义域一样且对应法那么完全一致时,两函数才可称为同一函数.只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比方上面对A判断即属此.变式训练1.判断以下各组中两个函数是否为同一函数,并说明理由.(1)y=x-1,x∈R 与y=x-1,x∈N ; (2)y=42-x 与y=22+•-x x ; (3)y=1+x 1与u=1+v1;(4)y=x 2与y=x 2x ;(5)y=2|x|与y=分析：判断两个函数是否为同一函数,应着眼于两个函数定义域与对应法那么比拟,而求定义域时应让原始解析式有意义,而不能进展任何非等价变换,对应法那么判断需判断它本质是否一样而不是从外表形式上下结论.解：(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者定义域是x≥2或x≤-2,后者定义域是x≥2.(3)一样,定义域均为非零实数,对应法那么都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是一样,但对应法那么不同.(5)一样,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=【例题2】设f,g 都是由A 到A 映射,其对应法那么(从上到下)如下表:表1 映射f 对应法那么原象1 2 3 象 2 3 1 表2 映射g 对应法那么原象123象213试求f［g(1)］,g［f(2)］,f{g［f(3)］}.分析：此题是将映射概念与复合函数求值相结合一道典型例题,解答此题首先要弄清f［g(x)］含义与映射中原象与象关系,然后再按照有关定义解题.解：∵g(1)=2,f(2)=3,∴f［g(1)］=f(2)=3.又∵g(3)=3,∴g［f(2)］=g(3)=3.∵f(3)=1,g(1)=2,∴f{g［f(3)］}=f［g(1)］=f(2)=3.绿色通道读懂对应法那么f与g含义是解题关键,要弄清在法那么f与g作用下,集合A中元素在集合A中象是什么,要掌握象与原象定义.变式训练2.以下各图中表示对应,其中能构成映射个数是…( )图2-1-1A.4B.3C.2解析：所谓映射,是指多对一或一对一对应且A中每一个元素都必须参与对应.只有图(3)所表示对应符合映射定义,即A中每一个元素在对应法那么下,B中都有唯一元素与之对应.图(1)不是映射,因A中元素c没有参与对应,即违背A中任一元素都必须参与对应原那么.图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应原那么.综上,可知能构成映射个数为1.答案：D3.(2007山东济宁二模,理10)A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:A→B满足f(a)+f(b)+f(c)=0,那么这样函数f(x)有( )解析：对f(a),f(b),f(c)值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件函数有2个.综上所得,满足条件函数共有2+3+2=7(个).应选C.答案：C【例题3】求以下函数值域:(1)y=x2-2x-1,x∈［0,3］;(2)y=3x;-2+(3)y=;(4)y=|x-1|+|x-2|.分析：求二次函数值域一般要数形结合,先配方找出对称轴,再考察给定区间与对称轴关系,利用二次函数在对称轴两侧单调性,求出给定区间上最大值与最小值,即可得到函数值域.除数形结合之外,求函数值域方法还有逐步求解法、判别式法、别离常数法与利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解：(1)将原式变形,得y=(x-1)2-2,此函数对称轴为x=1,由于x∈［0,3］,∴当x=1时,y 有最小值-2.根据函数对称性知,x=3比x=0时值要大,∴当x=3时,y 有最大值2.∴这个函数值域为［-2,2］.(2)易知x≥2,∴2-x ≥0. ∴y=2-x +3≥3.∴这个函数值域为［3,+∞).(逐步求解法)(3)先别离常数,y=1311311222222+-=+-+=+-x x x x x .① 解法一(逐步求解法):∵x 2+1≥1,∴0<≤1.∴1>1≥-2.∴y∈［-2,1).解法二(判别式法):两边同乘x 2+1并移项,得(y-1)x 2+y+2=0. 又由①可知y<1,∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y∈［-2,1).解法三(利用有界性):∵y≠1,易得x 2=.又∵x 2≥0,∴≥0.∴y∈［-2,1).(4)原函数可化为y=由图2-1-2可知y∈［1,+∞).图2-1-2绿色通道求值域一定要注意定义域限制,一定要在定义域范围内求函数值域.当然,求值域一定要根据函数对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题关键,求这类问题就能得心应手.变式训练4.函数y=-x2+4x+5(1≤x≤4)值域是…( )A.［5,8］B.［1,8］C.［5,9］D.［8,9］解析：y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9(x∈［1,4］).∴当x=2时,y最大=9;当x=4时,y最小=5.∴函数值域为{y|5≤x≤9}.答案：C【例题4】图2-1-3是一个电子元件在处理数据时流程图:图2-1-3(1)试确定y与x函数关系式;(2)求f(-3)、f(1)值;(3)假设f(x)=16,求x值.分析：此题是一个分段函数问题,当输入值x≥1时,先将输入值x加2再平方得输出值y;当输入值x<1时,那么先将输入值x平方再加2得输出值y.解：(1)y=(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.(3)假设x≥1,那么(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).假设x<1,那么x2+2=16,解得x=14(舍去)或x=14-.综上,可得x=2或x=14-.绿色通道通过实例,了解简单分段函数并能简单应用是新课程标准根本要求.对于分段函数来说,给定自变量求函数值时,应根据自变量所在范围利用相应解析式直接求值;假设给定函数值求自变量,应根据函数每一段解析式分别求解,但应注意要检验该值是否在相应自变量取值范围内.变式训练5.(2007山东蓬莱一模,理13)设函数f(n)=k(k∈N*),k是π小数点后第n位数字,π=3.141 592 653 5…,那么等于____________.解析：由题意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,…,那么有=1.答案：1【例题5】函数f(x+1)=x2-1,x∈［-1,3］,求f(x)表达式.分析：函数是一类特殊对应,函数f(x+1)=x2-1,即知道了x+1象是x2-1,求出x象,即是f(x)表达式.求解f(x)表达式此题可用“配凑法〞或“换元法〞.解法一(配凑法):∵f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2(x+1),∴f(x)=x2-2x.又x∈［-1,3］时,(x+1)∈［0,4］,∴f(x)=x2-2x,x∈［0,4］.解法二(换元法):令x+1=t,那么x=t-1,且由x∈［-1,3］知t∈［0,4］,∴由f(x+1)=x2-1,得f(t)=(t-1)2-1=t2-2t,t∈［0,4］.∴f(x)=(x-1)2-1=x2-2x,x∈［0,4］.绿色通道函数f［g(x)］表达式,求f(x)表达式,解决此类问题一般有两种思想方法,一种是用配凑方法,一种是用换元方法.所谓“配凑法〞即把f［g(x)］配凑成关于g(x)表达式,而后将g(x)全用x取代,化简得要求f(x)表达式;所谓“换元法〞即令f［g(x)］中g(x)=t,由此解出x,即用t表达式表示出x,后代入f［g(x)］,化简成最简式.需要注意是,无论是用“配凑法〞还是用“换元法〞,在求出f(x)表达式后,都需要指出其定义域,而f(x)定义域即x取值范围应与条件f ［g(x)］中g(x)范围一致,所以说求f(x)定义域就是求函数g(x)值域.变式训练6.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,假设f(5)=-5,那么f ［f(1)］=___________.解析：∵f(x+2)=,∴f(x)=.∴f(1)===f(5)=-5.∴f(1)=-5.∴f［f(1)］=f(-5).又f(-5)=)23(11)3(1)25(1+---=--=+--f f f =f(-1)=51)1(1)21(1--=-=+--f f =51, ∴f［f(1)］=51. 答案：51 7.f(x)=x +11(x∈R 且x≠-1),g(x)=x 2+2(x∈R ), (1)求f(2)、g(2)值.(2)求f ［g(2)］值.(3)求f ［g(x)］解析式.分析：在解此题时,要理解对应法那么“f〞与“g〞含义,在求f ［g(x)］时,一般遵循先里后外原那么.解：(1)f(2)=,g(2)=22+2=6.(2)f ［g(2)］=f(6)=.(3)f ［g(x)］=f(x 2+2)=.教材链接［思考与讨论］如何检验一个图形是否是一个函数图象写出你检验法那么,图2-1-4所示各图形都是函数图象吗哪些是,哪些不是,为什么图2-1-42-1-4所示各图形中因为(1)、(3)、(4)符合“一对一〞或“多对一〞原那么,所以(1)、(3)、(4)是函数图象,而(2)中有一个x 值对应两个y 值,不满足函数“多对一〞或“一对一〞条件,所以(2)不是函数图象.。
高中数学：第2章 第2章 2.1.2 函数的表示方法
2.1.2 函数的表示方法1．会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．2．会求一些简单函数的解析式．(重点)3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)4．会作一些简单函数的图象．(难点)基础·初探]教材整理1函数的表示方法阅读教材P38～P39“例1”以上部分，完成下列问题．1．列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2．图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3．解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()【答案】(1)×(2)×(3)×2．下列图形可表示函数y ＝f (x )图象的只可能是()A B C D【解析】 借助函数的定义可知，函数的图象应保证对定义域内的任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D.【答案】 D教材整理2 分段函数阅读教材P 42“分段函数”～P 43“例5”以上的内容，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12.【答案】 A小组合作型]函数的表示法(1)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【精彩点拨】 (1)对x 进行讨论将函数f (x )＝x ＋|x |x 转化为所熟知的基本初等函数即可作图．(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y 与x 关系的解析式，注意定义域．【自主解答】 (1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1，故图象为直线f (x )＝x ＋1(x ＞0的部分)；当x ＜0时，f (x )＝x －1，故图象为直线f (x )＝x －1(x ＜0的部分)； 当x ＝0时，f (x )无意义即无图象．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0的图象为直线y ＝x ＋1(x ＞0的部分)和y＝x －1(x ＜0的部分)，即两条射线，故选C.【答案】 C (2)①列表法如下：x (台) 1 2 345y (元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x (台) 678910y (元)18 000 21 000 24 000 27 000 30 000③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.再练一题]1．购买某种饮料x听，所需钱数y元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域.【导学号：60210035】【解】解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}，则y∈{2,4,6,8}．列表法：x/听123 4y/元2468图象法：求函数的解析式(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；(2)已知函数y ＝f (x )是一次函数，且f (x )]2－3f (x )＝4x 2－10x ＋4，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．【自主解答】 (1)法一 换元法：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二 配凑法：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )]2－3f (x )＝(kx ＋b )2－3(kx ＋b )＝k 2x 2＋(2kb －3k )x ＋b 2－3b ＝4x 2－10x ＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，2kb －3k ＝－10，b 2－3b ＝4，解得k ＝－2，b ＝4，或k ＝2，b ＝－1， 故f (x )＝－2x ＋4，或f (x )＝2x －1.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.【答案】 (1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)－2x ＋4或2x －1 (3)23x －1求函数解析式的四种常用方法1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．2．换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可． 3．配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．再练一题]2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【解析】 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，得f (x )＝23x ＋13. 【答案】 23x ＋13分段函数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．【精彩点拨】 分段求解，再求并集．【解】 当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4.∴x 的取值范围是{x |x >0或x <－4}．求解分段函数问题的注意点(1)求f f (a )]的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止． (2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f (x )，解关于f (x )的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．再练一题]3．本题中解析式不变求f (－3)，f (f (－3))，f (f (f (－3)))的值． 【解】 f (－3)＝－(－3)－2＝1， f (f (－3))＝f (1)＝1＋2＝3， f (f (f (－3)))＝f (3)＝3＋2＝5.探究共研型]作函数的图象探究1 【提示】 列表，描点，连线．探究2 作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？【提示】作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈0,3))．【精彩点拨】解答本题可根据函数的定义域及图象中的关键点，通过描点、连线画出图象．【自主解答】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．1．画函数图象时首先要考虑函数的定义域．2．要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．3．要掌握常见函数的特征．4．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．再练一题]4．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．【解】(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝()x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 234 5A．C．4 D．5【解析】由表可知f(11)＝4.【答案】 C2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是()A．f(x)＝x2＋6xB．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10【解析】法一设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，即f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x.∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x，故选A.【答案】 A3．f (x )＝|x －1|的图象是( )【导学号：60210036】【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A 、C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D.【答案】 B4．如图2-1-4，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________.图2-1-4 【解析】 由题意f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2， 所以f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 【答案】 25．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2)． (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域． 【解】 (1)f (x )图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是－1,3]，即f(x)的值域是－1,3]．。
2.1.2(二)函数的表示方法学生版
1 / 12.1.2 函数的表示方法(二)一、基础过关1．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －5x ≥6，f x ＋2x <6，则f(3)为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 2．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0≤x≤12 1<x<23 x ≥2的值域是 ( ) A ．R B ．[0,2]∪{3} C ．[0，＋∞) D ．[3，＋∞)3．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x>0，x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值为 ( )A ．－3或－1B ．－1C ．1D ．－34．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为 ( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米5．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是__________________．6．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x ＋8，则f(x)的解析式为________．7．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 －1≤x≤11 x >1或x<－1，(1)画出f(x)的图象； (2)求f(x)的定义域和值域． 8．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f(x)的解析式． 二、能力提升9．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1x≤0，－2x x>0，使函数值为5的x 的值是 ( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－5210．在函数y ＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )11．已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f(1x)＋x ，则f(x)的解析式为________________． 12．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－f(x)＝2x ＋9，求f(x)．三、探究与拓展13．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 (单位：千米/小时)是车流密度 (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式.。
高中数学新人教版B版精品教案《2.1.2 函数的表示方法》
2021年度“一师一优课、一课一名师”活动
人教B版高一年级第二章《函数的表示方法—求函数解析式的方法》教学设计一、基本信息
二、教学分析
三、教学设计
四、教学反思
函数的三种表示方法中列表法就是列出表格表示两个变量的函数关系，这种方法学生是熟悉的，图想法应用也是比较广泛的，重点是研究解析式法。
数形结合的数学思想方法，包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在研究求函数解析式的方法的时候应该结合函数图像进行研究，进而渗透数形结合的数学思想方法。
高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.2.1 函数的表示方法教案 新人教B版必修1
2．1.2.1 函数的表示方法整体设计教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：列表法，图象法，解析法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．重点难点教学重点：函数的三种表示方法．教学难点：分段函数的表示及其图象的初步认识．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是С днем рождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路 2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：列表法、图象法和解析法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．应用示例思路1例1作函数y＝x的图象．分析：已知函数的定义域是[0，＋∞)，在直角坐标系中，由函数y＝x所确定的有序实数对有无限多个．可以想象，当自变量x在区间[0，＋∞)上从0开始连续无限增大时，相应的点(x，y)会形成一条连续不断的曲线．我们不可能作出一个定义在无穷区间内函数的完整图象，只能画出它在有限区间上的图象．也不可能作出函数图象上的无限多个点，但可以画出有限个坐标为(x，y)的点．现在的问题是，如何选取x值，通过描点、连线较准确地画出这个函数的图象．解：在这个函数的定义域内，从0开始适当地取若干个x的值：0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5，….算出对应的函数值，列出函数的对应值表(精确到0.1)：以这11个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对应的11个点，由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y＝x的图象，如下图所示．点评：“数形结合”是我们研究函数的重要方法，画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质．例2某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图所示．思路2例1设x是任意的一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．解：对每一个实数x，都能够写成等式：x＝y＋α，其中y是整数，α是一个小于1的非负数．例如，6．48＝6＋0.48,6＝6＋0，π＝3＋0.141 592…，－1.35＝－2＋0.65，－12.52＝－13＋0.48，….由此可以看到，对于任一个实数x，都有唯一确定的y值与它对应，所以说x和y之间是函数关系．这个“不超过x的最大整数”所确定的函数通常记为y＝[x]．这个函数的定义域是实数集R，值域是整数集Z.例如，当x＝6时，y＝[6]＝6；当x＝π时，y＝[π]＝3；当x＝－1.35时，y＝[－1.35]＝－2.这个函数的图象，如下图所示．点评：本题中的函数通常称为取整函数，记为y＝[x]，x∈R.例2已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N＋.求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．分析：这个函数用两个等式定义，第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值，然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值．解：因为f(0)＝1，所以f(1)＝1·f(1－1)＝1·f(0)＝1，f(2)＝2·f(2－1)＝2·f(1)＝2×1＝2，f(3)＝3·f(3－1)＝3·f(2)＝3×2＝6，f(4)＝4·f(4－1)＝4·f(3)＝4×6＝24，f(5)＝5·f(5－1)＝5·f(4)＝5×24＝120.点评：例题中的函数定义所用到的运算，通常叫做递归运算．这种定义函数的方法在计知能训练1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则( )A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是( )A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．5．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．6．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？解：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．7．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2；(2)x－1＋y－1＝1；(3)y＝x－2＋1－x.解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2，因此由它不能确定y是x的函数．(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1，所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y 与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1－x≥0得x∈∅，故x 无值可取，y 不是x 的函数．拓展提升问题：画函数图象时，除去描点法外，还有其他方法吗？解答：还有变换法作图．变换法画函数的图象有三类：1．平移变换：(1)将函数y ＝f(x)的图象向左平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x ＋a)的图象；(2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x －a)的图象；(3)将函数y ＝f(x)的图象向上平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)＋b 的图象；(4)将函数y ＝f(x)的图象向下平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)－b 的图象． 简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”．2．对称变换：(1)函数y ＝f(x)与函数y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0即y 轴对称；(2)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y ＝0即x 轴对称；(3)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(－x)的图象关于原点对称．3．翻折变换：(1)函数y ＝|f(x)|的图象可以将函数y ＝f(x)的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f(x)的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f(|x|)的图象可以将函数y ＝f(x)的图象y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f(x)在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本本节练习B 2、3.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用．备课资料[备选例题]例1车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．(1)若设自行车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x)＝－0.2x ＋1 750，x∈N ＋且0≤x≤3 500.(2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，即2 100≤x≤2 625，画出函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．例2水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水；其中一定正确的论断是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：由上图甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v 进水＝12v 出水． 由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述，论断仅有①正确．答案：A。
人教新课标高中数学B版必修一《2.1.2函数的表示方法》教学设计(表格式)
③掌握函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)；
④会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，；
⑤树立应用数形结合的思想，了解简单的分段函数，并能简单应用，培养学生应用函数的图象解决问题的能力；
2．过程与方法目标：
①通过学习例一，学生从具体实例中总结三种表示法的优缺点，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。
本节内容蕴含了数形结合的方法，教学时应让学生体会函数三种表示法的优点。
根据本节内容的特点，教学过程中要注重培养观察、分析能力，让学生感受数学在日常生活中作用，养成学以致用的习惯.
二、教学目标
按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：
1．知识与技能目标：
①通过对问题情境的引入，引发学生学习和探索新知识的欲望，感受数学在实际生活中的运用；
6.布置作业
课本：P23练习1、2、3
设计意图：
1巩固所学的内容；
2对所学内容的检测，反馈及补充.
五、教学策略选择与信息技术设置问题情境一：问候语“你好”表达方式有哪些；
2.设置问题情境二：展示2018高考录取控制分数线、战狼收视率；
3.设置问题情境三：学习例1；
学生活动：学生回答问题，思考，总结旧知识
设计意图：为以后牛刀小试中练习题及接受新知识做好准备.
问题引入
师生活动：1.2018年河北省普通高校招生文史理工类录取控制分数线采用列表法给出
2.战狼收视率采用图象法
设计意图：函数表示法和我们息息相关，在日常生活中经常用到；通过战狼适时进行爱国教育.
2.新课讲解
③通过三种函数表示法优缺点的分析，培养学生认真分析、探索的学习态度；
2.1.2函数表示方法公开课
而用图象法表示函数关系, 可以从整体 上直观而形象地表示出函数的变化情况.
作业：
课本32页： 1、8两个小题
思考题： 课本33页 第13题
O 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
为00C ?
③在什么时段内,气温在00 C以上?
在第三个问题中 ,我们用图象表示了时刻 与气温的
关系.这种用图象表 示两个变量之间函数 关系的方
法称 图象法.
函数的三种表示法各自优点
用列表法表示函数关系, 不必通过计算 就可知道自变量取某个值 时, 相应的函数值 是 多少 .
的函数关系为 y 4.9x2 x 0.这种用等式来
表示两个变量之间函 数关系 的方法 称 为 解析 法.这个等式通常叫做函数 的解析表达式 ,简称
解析式 .
3右图为某市一天 y
24小时内气温变化
图.
10
8
①上 午 6时的气 温 6
约是多少? 全日的最 4 高最低气温分别是 2
多少? ②在什么时刻,气温
在第一个问题中 ,只要 知 道了表中的某个年份,就能 从此表中查得相应的人 口数 .这种用列表来表示两个
变量之间函数关系的方 法称为 列表法.
2一物体从静止开始下落,下落的距离ym与 下落时间xs之间近似地满足关系y 4.9x2.若
一物体下落2s, 你能求出它下落的距离吗?
在第二个问题中 ,物体下落时间 x与下落距离 y
( cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数,并画出函
数图象.
反馈评价 （1）点评自学检测
1、自学检测答案
y18152x (0x15)
学案1：2.1.2 函数的表示方法
2.1.2 函数的表示方法学习目标1．了解函数的一些基本表示方法(图象法、列表法、解析法)，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，树立数形结合的思想．2．能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式．重点：求解析式的一些基本方法，函数图象的画法和分段函数等．难点：利用换元法或配凑法求函数的解析式．预习导引问题1：函数有哪几种表示方法？问题2：函数的三种表示法各有什么优缺点？问题3：如何画出函数的图象？画函数图象的一般步骤为：、、．在画图象时应注意以下几点：(1)画函数图象时首先关注函数的，即在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)标出某些关键点，例如图象的、、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．知识链接函数概念早在18世纪初就被提出，但是在很长一段时间内，由于人们接触到的函数都是以解析式的形式出现，以至于人们认为函数一定能用解析式表示，甚至认为函数就是解析式．欧拉(Euler L，1707－1783)就曾定义函数为“包括变量和一些常数的任何表达式”．在函数概念的发展过程中，德国数学家狄利克雷(Dirichlet P G L ，1805－1859)功不可没.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，即y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数.这个函数后来被称为Dirichlet 函数．预习自测问题1：已知f (x )是一次函数，且满足f (x ＋1)＝2x ＋7，求f (x )的解析式．问题2：下表是某天一昼夜温度变化情况：请问：上面是用什么方法表示时刻与温度这两个变量之间的函数关系的？你能用图象法表示吗？．合作探究例1 (1)等腰三角形的周长为20，底边长y 是一腰长x 的函数，则( )． A ．y ＝10－x (0＜x ≤10) B ．y ＝10－x (0＜x ＜10) C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10) D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)(2)已知函数f (x )与g (x )的对应关系分别如下表：则g[f(3)]＝________．【方法指导】(1)利用周长找到x，y的函数关系式，但要注意定义域；(2)根据给定的对应关系求出f(3)，然后将其代入g(x)，再由x与g(x)的对应求出结果．【小结】求函数解析式时，应注明其定义域．例2 画出下列函数的图象：(1)y＝1＋x(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0，3))；【方法指导】画图时，要根据列表、描点、连线的步骤进行．(1)函数的定义域是整数集，因此函数的图象是无数个点；(2)只需画出二次函数在区间[0，3)上的图象即可．【小结】对于函数图象要注意以下几点：(1)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．(2)画函数的图象时要注意函数的定义域．(3)用描点法画函数的图象，在作图时要先找出关键“点”，再连线．(4)常见函数图象的画法：①对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即可；②对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即得；例3 (1)已知f(x)是二次函数，其图象的顶点是(1，3)，且过原点，求f(x)．(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．【方法指导】(1)给出了函数模型，因此可用待定系数法，设f(x)＝a(x－1)2＋3(a为待定的系数)，然后利用已知条件求出待定的系数即可．(2)f(x＋1)＝x＋2x，即对“x＋1”执行“f”得到“x＋2x”，因此应在“x＋2x”中得到“x ＋1”的整体，明确“f”对“x＋1”是如何作用的，故可用“换元法”或“配凑法”．【小结】求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)换元法：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可用换元法，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．〖拓展问题〗(1)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3)．(2)一次函数的图象过点(0，－1)，(1，1)，求其解析式．归纳总结通过本单元的学习，你能归纳出哪些知识要点与方法技巧？课堂反馈检测1．某电子公司7年来，生产DVD 机总产量C (万台，即前t 年年产量的总和)与时间t (年)的函数关系如图，下列四种说法：①前3年中，产量增长的速度越来越快； ②前3年中，产量增长的速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产； ④第3年后，年产量保持为100万台． 其中说法正确的是( )． A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④ D ．①与④2．某引水渠大堤的横断面是上底为a ＝3 m 的梯形，已知梯形的高x 随地势在1 m 到5 m 之间变化，下底b 与高x 满足关系b ＝a ＋4x ，为了估计修建大堤所需土方量，需把横断面的面积表示为堤高的函数，试写出这个函数的解析式，并求出堤高分别为1.5 m 、2 m 和3 m 时大堤横断面的面积．3．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( )． A ．f (x )＝－3x B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x 4．已知函数y ＝f (x )用列表法表示如下：则f [f (2)]等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求函数f (x )的解析式．参考答案预习导引问题1：主要有三种：解析法、图象法和列表法．①解析法：把两个变量的函数关系用一个等式来表示的方法．这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．②图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系的方法．③列表法：列出表格来表示两个变量之间的函数关系的方法．问题2：问题3：列表、描点、连线(1) 定义域(3) 顶点、端点预习反馈问题1：【解析】设f(x)＝ax＋b，则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝2x＋7，即ax＋a＋b＝2x＋7，∴a＝2，b＝5，故f(x)＝2x＋5.问题2：【解析】运用了列表法表示，图象法如下：合作探究例1【解析】(1)∵2x ＋y ＝20，∴y ＝20－2x . 又y ＞0，∴20－2x ＞0，x ＜10.由于三角形边的性质得，2x ＞20－2x ，所以x ＞5， 因此函数的定义域为{x |5＜x ＜10}，故选D. (2)g [f (3)]＝g (3)＝7. 【答案】(1)D (2)7例2【解析】(1)函数的图象由无数个点组成，这些点都在直线y ＝1＋x 上，如图(1)所示．(2)因为0≤x ＜3，所以函数的图象是抛物线y ＝x 2－2x 在0≤x ＜3之间的一部分，如图(2)所示．例3【解析】(1)由于图象的顶点是(1，3)，故设f (x )＝a (x －1)2＋3，因为图象过原点，所以a ＋3＝0，解得a ＝－3，所以f (x )＝－3(x －1)2＋3.(2)(法一)x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)． 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(法二)令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式， 有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．〖拓展问题〗【解析】(1)(法一)令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴g (t )＝g (x －1)＝2(t ＋1)＋6＝2t ＋8， ∴g (x )＝2x ＋8，∴g (3)＝2×3＋8＝14.(法二)令x －1＝3，则x ＝4，∴g (3)＝2×4＋6＝14. (2)设一次函数的解析式f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1＝0·k ＋b ，1＝1·k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－1.∴解析式为f (x )＝2x －1.归纳总结本节课学习了求函数解析式的题型及方法． (1)已知函数类型时，常用待定系数法；(2)已知f (x )求f [g (x )]或已知f [g (x )]求f (x )，可用换元法或配凑法； (3)已知函数图象，求函数解析式； (4)应用题求函数解析式常用待定系数法等．课堂反馈检测1．【解析】通过对图象的观察，0到3年这一阶段，曲线的变化是由快到慢，由急到缓，对应产量的情况则是增长的速度越来越慢．第3年后，是一条平行于x 轴的直线，意味着总的产量没有变化，所以可以说这种产品停止了生产．故选B.【答案】B2．【解析】设y ＝f (x )表示大堤横断面的面积，根据题意和梯形的面积公式，得： y ＝f (x )＝（a ＋b ）x 2＝x （3＋3＋4x ）2＝x (2x ＋3)＝2x 2＋3x (x ∈[1，5])．据此可求得对应于堤高分别为1.5 m 、2 m 和3 m 时大堤横断面的面积为：f (1.5)＝9 m 2，f (2)＝14 m 2，f (3)＝27 m 2.3．【解析】设f (x )＝kx (k ≠0)，由f (－3)＝－1，得k ＝3，∴f (x )＝3x .【答案】B4．【解析】f (2)＝4，∴f [f (2)]＝f (4)＝1. 【答案】A5．【解析】(法一)(换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入已知可得：f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，所以f (x )＝x 2－5x ＋6.(法二)(配凑法)∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6，∴f (x )＝x 2－5x ＋6(x ∈R )．。
高中新课程数学新课标人教B版必修一2.1.2函数表示法2教案
2.1.2 函数的表示方法教案(2)一、教学目标1、知识目标：(1) 进一步理解函数的三种表示方法；(2) 了解简单的分段函数，并能简单应用．2、能力目标：(1) 进一步提高对函数本质的理解；(2) 初步培养学生运用函数知识解决实际问题的能力．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．二、教学重点：函数解析式的求法．三、教学难点：对函数分段解析式的理解．教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入问题1：函数有哪三种常见的表示方法？它们各有何优缺点？教师提出问题，学生思考后回答问题．通过对旧知识的回顾，为新知识的学习做好认知铺垫．概念形成投影出如下实例．问题2：由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表：重量级别资费(元)20克及20克以内 1.5020克以上至100克 4.00100克以上至250克8.50250克以上至500克16.70若设信函的重量为W(克)，应支付的资费为P元，能否建立函数P= f(W)的解析式？教师提出问题，学生思考后回答，导出分段函数的概念．通过生活中的实际问题，使学生进认识到，数学源于生活．概念深化问题3：分段函数是“一个函数”，还是“几个函数”？问题4：分段函数中的“段”是不是一定等长？问题5：以前我们见过分段函数吗？教师提出问题，让学生充分思考、探讨、交流，然后发表意见．通过讨论、交流，使学生初步理解分段函数是“一个函数”，还是“几个函数”；分段函数中的“段”不一定等长．应用举例应用举例例1（教材P42例4）已知一个函数y=f(x)的定义域为区间[0，2]，当x∈[0，1]时，对应法则为y = x，当x∈(1，2]时，对应法则为y = 2 -x，试用解析法与图象法分别表示这个函数．例2（教材P43例5）在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依次类推，每封x g (0 < x≤ 100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．例3在矩形ABCD中，AB = 4m，BC =6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过t秒后，所构成的△ABP 面积为S m2，求函数S= f(t)的解析式，并画出该函数的图象．启发学生探索完成，教师板学演例1示范．对于例2，教师注意帮助学生理解题意．通过应用举例，使学生进一步理解函数三种表示方法的联系与区别．巩固练习1．教材第43—44页：练习A、B．2．以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象．学生练习，教师巡视．使学生巩固本节所学知识．拓展思维1、讨论分别用x-a，y-b分别替换函数y = f(x)中的x，y以后函数的图象会发生哪些变化？2、讨论分别用-x，-y分别替换函数y = f(x)中的x，y以后函数的图象会发生哪些变化？3、讨论分别用ax，by分别替换函数y = f(x)中的x，y以后函数的图象会发生哪些变化？4、讨论分别用| x |，| f(x) |分别替换函数y = f(x)中的x，f(x)以后函数的图象会发生哪些变化？5、若f(3 -x) = f(3 + x)，那么函数f(x)的图象有何性质？6、y = f(3 -x)与y = f(3 + x)的图象之间有何关系．学生思考、探索、讨论、交流，教师适时点拔．使学生初步了解函数图象的几种基本变换(平移变换、伸缩变换、对称变换等)，拓展学生思维，开阔学生视野，为后续学习打下一定的基础．归纳小结小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法，还学习了一些基本的函数图象变换知识．学生总结，补充，教师归纳、完善．使学生养成归纳总结的好习惯．布置作业1．教材第53页习题2-1A第9题；2．思考题：甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A城出发到B城旅游．甲、乙两人离开A•城的路程与时间之间的函数图象如图所示．根据图象你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息？学生课外练习与思考．使学生巩固本节所学知识和方法；通过思考题，培养学生的观察能力和归纳总结的能力．附思考题参考答案：根据图象能得到甲、乙两人旅游的以下一些信息：1．甲骑自行车从A城去B城用了8个小时．乙骑摩托车从A城去B城用了2个小时．2．甲比乙早4个小时出发，晚2个小时到达．3．甲骑自行车在出发后第一个2小时内行驶了40千米，第二个2小时内行驶了20千米，然后停留了1个小时，又在1个小时内行驶了20千米，最后用2个小时行驶了20千米完成全程到达B城．4．乙骑摩托车在2小时内行驶了100千米路程到达B城．5．甲、乙在距A城60多千米的地方相遇一次．。
高中数学2.1.2函数的表示方法教案新人教B版必修1
高中数学 2.1.2函数的表示方法教案新人教B版必修1一、教学目标1、知识目标：(1) 掌握函数的三种常见的表示方法；(2) 了解函数表示形式的多样性用其转化．2、能力目标：(1) 使学生掌握函数的三种常用表示方法的选用；(2) 使学生初步认识用函数的知识解决具体问题；(3) 使学生初步了解数形结合的思想方法．3、情感目标：通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．二、教学重点：函数的三种表示方法及画简单函数的图像；三、教学难点：取整函数的理解及其图像的作法．四、教学设计：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
2.1.2 函数的表示方法(二)
教 学 过 程
（一）情境创设 如何理解函数 f(x＋1)和函数 f(x)之间的关系？请结合具体函数加 以说明． （二）讲解新课 例 1 已知一次函数 f(x)满足 f[f(x)]＝9＋4x，求 f(x)的解析式． 解：令 f(x)＝ax＋b， 则 f[f(x)]＝a2x＋(a＋1)b＝4x＋9， 又 f[f(x)]＝9＋4x， 所以 a2＝4，即 a＝±2． 当 a＝2 时，b＝3，f(x)＝2x＋3； 当 a＝－2 时，b＝－9，f(x)＝－2x＋9． 点评：在已知函数解析式的形式的条件下，通常可用待定系数法求 解析式，先设出函数的解析式，再根据条件找出有关参数的方程或方程 组，最后解得参数的值，从而求出函数的解析式． 例 2 分别在下列条件下，求出相应的函数 f(x)的解析式：
(2) 复合函数定义域是指其中自变量 x 的取值范围.
布置
P32 习题：5,7,8
作业
板书 设计
课后 反思
注：1、课题字体：黑体小二加粗 2、栏目字体：仿宋四号加粗 3、内容字体：宋体小四
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厉庄高级中学
2
2011-2012 学年度第一学期
1 1 2 （2）f(x－ )＝x ＋ 2； x x
高一数学学科电子教案
（1）f(x＋1)＝x ＋x；
（3）f( x＋1)＝x＋2 x． 解： （1）令 t＝x＋1，则 x＝t－1， 所以 f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＝t2－t． 再把 t 换成 x 得 f(x)＝x2－x(xR)． 1 1 （2）由条件可得 f(x－ )＝(x－ )2＋2， x x 1 用 x 替换 x－ 得 x 所以 f(x)＝x2＋2(xR)． （3）解法 1： f( x＋1)＝x＋2 x+1－1＝ ( 故 f(x)＝x2—1． （x≥1）) 解法 2： 令 x＋1＝t，则 x＝(t—1) ， （t≥1） ． 代入已知条件得 f(t)＝t2—1． 把 t 换成 x 得 f(x)＝x2—1． （x≥1） ． 点评：已知 f[g(x)]的解析式，求 f(x)的解析式，通常有以下两种解法： ①换元法，即令 g(x)＝t，用 t 表示 x，代入已知表达式得 f(t)，最后 把 t 换成 x，从而得 f(x)的解析式（如例 2（1）和（3）解法 2）②配凑 法，即把 f[g(x)]的表达式还原成用 g(x)表示的形式，最后把 g(x)换成 x 而求出 f(x)的解析式（如例 2（2）和（3）解法 1） 要特别提醒的是：在利用这两种方法求函数解析式时，需要注明自变量 x 的取值范围，否则就得不到正确的解析式． 例3 若 f(x)＝2x－1，g(x)＝ x2，则 f(g(x))＝_______ ，f(f(x))＝_______ ，g (f (x)) ．
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2.1.2函数的表示方法（二）
一、复习
1、函数的定义、定义域、值域
2、函数的的三种表示方法：、、 .
3、作函数图象的基本步骤：
二、探索研究
例1、设x是任意的一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数图象.
分段函数：
分段函数的图象：
例3、在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依依此类推，每封xg
（0100x <≤）的信应付多少分邮资（单位：分）?写出函数的表达式,作出函数的图象,并求函数的值域.
课堂练习P43练习A 1,2,3
巩固练习：
三、小结:
四、作业：P44 B 1，2。