第八章 抛物线及其标准方程(二)
抛物线及其标准方程(二)最新版
与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e
的点的轨迹， 当 0e1时是椭圆，当 e 1时是双曲线，
那么当 e 1时是什么曲线呢？
抛物线及其标准方程
问题：同学们对抛物线已有了哪些认识？
1．抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的 轨迹叫做抛物线。
定点叫做抛物线的焦点；定直线叫做抛物线的准线。
4 2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
①y2 20x
②x2 1 y 2
③2y25x0
④x2 8y0
小结
1.抛物线的定义是从椭圆和双曲线的第二定义得来的， 其离心率等于1。
2.抛物线有四种标准方程。
3. p的几何意义是焦点到准线的距离。 4.标准方程中 p前面的正负号决定了抛物线的开口方向。
p0
0 , p 2
y p 2
例题
1．已知抛物线的标准方程 y2 6x,求它的焦点坐标和准线方程。
2．已知抛物线的焦点坐标是F0,2, 求它的标准方程。
练习
1．根据下列条件写出抛物线的标准方程
①焦点是 F3,0 ②准线方程是 x 1 ③焦点到准线的距离是2
2．抛物线的标准方程
3．四种抛物线的标准方程对比
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
2px
p0
p ,0 2
x p 2
y2 2px
p0
x2 2py
p0
p ,0 2 0 , p 2
x p 2
y p 2
x2 2py
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
抛物线及其标准方程(优秀课件)
抛物线与圆的 焦点与准线： 对于抛物线， 焦点在准线上； 对于圆，焦点
在圆外
抛物线与圆的 离心率：对于 抛物线，离心 率恒为1；对 于圆，离心率
恒为0
抛物线的应用与拓展
第七章
抛物线在几何中的应用
● 定义与性质：抛物线是一种特殊的二次曲线，具有对称性和准线等性质。 ● 方程与标准形式：抛物线的方程有多种形式，其中最常用的是标准方程y^2=4px。 ● 焦点与准线：抛物线的焦点位于其对称轴上，准线则是垂直于对称轴的直线。 ● 离心率：抛物线的离心率始终为1，这是其与椭圆和双曲线的重要区别。 ● 焦半径公式：对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离PF等于到准线L的距离PL。 ● 焦点弦长公式：对于抛物线上的任意两点AB，其到焦点的距离之和AF+BF等于到准线的距离之和AL+BL。 ● 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点的射影垂直，且切线斜率等于该点横坐标的平方根。 ● 切线方程：抛物线上任意一点的切线方程可以表示为y=kx^2，其中k为切线斜率。 ● 切线与准线的关系：抛物线上任意一点的切线与准线平行，且切线与准线的距离等于该点到焦点的距离。 ● 切线与直线的交点：抛物线上任意一点的切线与过该点的直线交于一点，该点坐标为(x0,y0)。
抛物线及其标准方 程
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CONTENTS
01 添加目录标题 02 抛物线的定义与性质 03 抛物线的标准方程 04 抛物线的几何意义与图像特征 05 抛物线与直线的关系
06 抛物线与圆的关系
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第一章
抛物线的定义与性质
抛物线及其标准方程(二)
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则 点P到该抛物线焦点的距离是（ A.12 B.4 C.6
C ）
D.8Biblioteka 3．已知动圆M 经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，
求动圆圆心M的轨迹方程．
解析：设动点M(x，y)，
设圆M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3
3. 抛物线 y x 2 上的点到直线 2 x y 6 上的点 间的最近距离是_________. 5
3．求抛物线x2＝y上到直线2x－y－6＝0 的距离最小时的点P的坐标．
解：设点 P(x，y)，则 x2＝y. P 到直线 2x－y－6＝0 的距离为 |2x－y－6| 5 d＝ ＝ 5 |2x－x2－6|＝ 5 5 2 5 2 | x － 2 x ＋ 6| ＝ [( x － 1) ＋5]． 5 5 ∴当 x＝1 时，d 最小为 5 ， 此时 y＝1，∴P(1,1)为所求．
y A
解一: 如图,设所求直线方程为y-1=k(x-4) y 1 k ( x 4) 2 由 ky 6 y 6 24k 0, 2 y 6x
故所求直线方程为y - 1 = 3(x-4) 即 3x - y - 11 = 0. 解二: 如图,设所求直线方程为y-1=k(x-4) y2 y1 y2 y1 点A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则k 2 2 x2 x1 y2 y1 6 6 6 又y y 2, k 3.
A
P(4,1) x
由| AF | | BF || AH | | BG | 2 | PK |
3 2 3 2 2 ( x ) y (8 x ) (2 y) 2 11 2 2
2.4.1-抛物线及其标准方程(2)
A．3 4
B．1
C．5 4
D．7 4
2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线 焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为 ( )
A.( 1 , 1) B. ( 1 ,1) C．(1,2)
4
4
D．(1，－2)
3．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程 是__________.
得 x＝2，∴点 P 的坐标为(2,2).
三、合作探究、问题解决
题型三：利用抛物线的定义求轨迹
【例3】点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离 小1，求点M的轨迹方程.
解：如图所示，设点M的坐标为（x,y) 由已知条件可知，点M与点F的距离等于 它到直线x+4=0的距离. 根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F （4，0）为焦点的抛物线.
p
∵ 2=4，∴p=8, 因为焦点在x轴的正半轴 上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.
三、合作探究、问题解决
题型三：利用抛物线的定义求轨迹
【变式训练4】点P与点F（0，2）的距离比它到直线y+4=0的距 离小2，求点P的轨迹方程.
解：设点P的坐标为（x, y)，由已知条件 可知，点P与点F的距离等于它到直线 y+2=0的距离.根据抛物线的定义，点M的 轨迹是以F（0，2）为焦点的抛物线.
∵点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH
与准线垂直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别
交于点 N，M．由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，
|AN|＝|AF|－1．在△CAN 中，BM∥AN，
∴||BACC||＝||BAMN||＝||BAFF||－ －11．
抛物线及其标准方程(2)
2.3.1抛物线及其标准方程（2）一、 复习回顾我们前面已经讨论了两种圆锥曲线——椭圆和双曲线，并通过标准方程研究了它们的几何性质。
据我了解，大家最喜欢的是体育课，很多同学尤其喜欢打篮球，队员的一个漂亮的投篮动作，不仅承载了队友的期望，而且也勾勒了一条美丽的弧线，这就是我们介绍的第三种圆锥曲线——抛物线，可见，抛物线就在我们身边。
我相信只要大家能发扬球场上不畏艰辛、勇于拼搏、团结协作精神，一定能把抛物线这部分内容学好，那就让我们一起努力吧！上一节课，我们通过几何作图法做出了抛物线，并归纳总结了定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线（F 不在l 上）这个定点F 叫焦点，定直线l 叫准线。
接着以抛物线的顶点为坐标原点，使焦点F 在x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，得到与之对应的抛物线的标准方程 p 表示焦点到准线的距离，进而又在实际问题中建立了抛物线的方程。
今天这节课将继续学习抛物线的标准方程，为研究其几何性质做好充分的准备。
展示课题1、 抛物线的标准方程（在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系，得到了不同形式的标准方程，那么抛物线的焦点落在坐标轴的其他位置时方程形式会如何？）相同点：①顶点为原点; ②对称轴为坐标轴； ③定点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为2p . 不同点：①一次项变量为x(或y),则焦点在x(或y)轴上；若系数为正，则焦点在正半轴上，若系数为负，则焦点在负半轴上；②焦点在x(或y)轴的正半轴上，开口向右（或上）；焦点在x(或y)轴的负半轴上，开口向左（或向下）。
牢记结构形式：（二次和一次）一次焦点轴，符号定开口。
方程——开口——焦点——准线（同桌互相检查）2、 求焦点、准线例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：()22221y 4;(2)520;(3)2;(4)(0).x x y y x y ax a =-+===≠和准线。
抛物线及其标准方程(二)
o
x
o
y
x
l
方 y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0) 2 x 2 py( p 0) 程 焦 点 准 线
焦 半 经 距 离
p ( ,0 ) 2 p x 2
p ( ,0) 2
p (0, ) 2
p y 2
p (0, ) 2
2
y
y
图 形
l
O
F
x
F
O
x
﹒ ﹒
y
o
x
o
y
x
l
方 y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0) x 2 2 py( p 0) 2 x 2 py( p 0) 程 焦 点 准 线
焦 半 经 距 离
3
p ( ,0 ) 2 p x 2
p ( ,0) 2
【答案】
D
19
题型3:利用抛物线的定义和焦半径公式解题
例 5. 斜率为 1 的直线经过抛物线
y 4 x 的焦点，与抛物线相交于
2
两点 A、B，求线段 AB 的长
王新敞
奎屯
新疆
20
解 析 ： 如 图 ， 由 抛 物 线 的 标 准 方 程 可 知 ， 抛 物 线 焦 点 的 坐 标 为 F(1 ， 0) ， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) 即 y x 1 ①
11
题型二：求轨迹方程 例 3 如下图所示，直线 l1 , l 2 相交于点
M, l1 l 2 ,点 N l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的距 离与到点 N 的距离相 等 若 AMN 为 锐 角 三 角 形 ,
高二数学抛物线及其标准方程2
所以设标准方程为 y2=-2px(p>0),
p 由抛物线的定义知 -(-3)=5 2
即p=4.
所以所求抛物线标准方程为y2=-8x 又点M（-3，m)在抛物线上，于是m2=24, 得: m 2 6
练习：
1、动点P到点A(0,2)的距离比到直线l:y=-4的 X2=8y 距离小2，则动点P的轨迹方程为________
小结：
抛物线的定义反映了抛物线的本
质，灵活应用定义往往可以化繁为简、 化难为易，且思路清晰，解法简捷， 巧妙解法常常来源于对定义的恰当运 用，同学们要好好体会。
作业：
P119 T5、6
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有听错？陆婉娉用力掏了掏耳朵，要知道，她和这位公孙公子今天只是第二次见面，第二次啊第二次，她还没感觉和人家熟悉 到第二次就一起吃饭聊天谈论人生的地步。第010章 丢脸的镇花第一次嘛，第一次当然是做为客户和雇佣者之间的合作。在如 此多的顾客中，之所以会有较深印象，女鬼大人潜意识中认为，是这位公孙公子的气场太盛，于无形中给人一种压抑感，记得 这位公孙公子是内地大楚国人氏。当时交易的是一批价格不菲的琉璃制品，是欧洲一位商户卖给这位公孙公子的，因为货物在 当时属于昂贵制品，自然而然的女鬼大人也眉开眼笑的赚了一笔不菲的佣金。双方愉快的签完合同后，女鬼大人拿出自己那枚 刻着女鬼图案的交易章，“嚓嚓嚓”在双方合同上做了交易公证，以示合同完成。欧洲人对于此般另类的图章并没有任何异议， 一来或许是早有所闻，二来是卖了个不错的价钱，光顾着数钱了。只是这位公孙公子却瞅着女鬼大人手里的女鬼章愣了半天， 不知道是被吓坏了还是别有他想，总之，半天之后方才说道：“老板的这枚公章？”女鬼大人不费力气的赚了一笔不小的佣金， 心情不错，连带着话也就多了起来，“公子，这枚章绝对有效力，不只在太平镇，即便是你出门被打劫了，在阴门你亦可以拿 着这纸合同，请求本地的城隍或是判官协助追查此批货物的下落。”世人皆以为这是陆婉娉故做的夸张，孰不知，这枚印章却 是孟婆大人亲自做成以贺她这家女鬼中介的见面礼。这枚章于女鬼大人来说，最大最便宜的好处便是：不用准备印油，盖出来 的印子血红血红的似是滴的血一般，更妙的是什么时候拿起来什么时候可以用，也就是可即时应用。并且，独一无二的，只限 于女鬼大人亲用方可生效。当然，这些话，陆婉娉不会给只见过一次面的公孙公子说个明白了。原本看样子，完成这批交易之 后，公孙公子就会离开的样子，连陆婉娉准备的福利茶也不准饮用了.只是，盯着这枚孟婆做的女鬼章看了半天之后，这位公 孙公子直接忽视了身旁管家的一再提醒，脸上阴晴不定的起身和大家一起走进了VIP室会客厅的茶水间。如果说原先还算正常 表现的话，只是在那扑鼻香的茶水送上来的时候，公孙公子似乎就再也无法淡定了.不过，这些陪客人聊天品茶的事情，从来 都是一直来这里客串的黄月英做的事情，陆婉娉在亲手沏完茶之后，便将茶具交给了夜叉，自己就再也没有露一个小脸儿。也 即是，自此之后，差不多半个月的时间里，陆婉娉没有和那位用黄月英的话说貌若蟠安的公孙公子有过直接或间接接触。虽然 嫌弃，但做为生意场上的生意人，又有夜叉当初的许诺，女鬼大人还不会将人直接赶走，回头看了一眼自打这公孙公子进门， 就直勾勾的将眼晴吊在人家身上的黄月
抛物线及其标准方程 (2)
· · F
H
K
O
· M · F
x
三、标准方程
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
K
l
O
y
.F
x
p p 其中 焦点 F（ 2 ，0），准线方程l：x = 2
而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离
分组合作探究：
一条抛物线，由于它在坐标 系中的开口方向不同，方 程类型也不同，所以抛物 线的标准方程还有其它形 式，请同学们分组探究。
分组合作探究：
1、动点P的轨迹是什么曲线？ 2、动点P在运动过程中满足怎 样的几何条件？
二、抛物线定义
( l不经 平面内与一个定点F和一条定直线l 过点F ) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹 是抛物线
其中 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 l
四、四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y 2 px p ,0 p 0 2
2
准线方程
p x 2
y 2 px p ,0
2
p 0
2
p x 2
p y 2
p x 2 2 py 0,
p 0
2
2
x 2 py p 0
p 0, 2
p y 2
感悟归结:
x, 1、
y 的指数一个一次，一个二次。
2、焦点在一次项字母对应的坐标轴上。
3 、一次项系数的符号决定了抛物线的开口 方向（焦点在坐标轴的正半轴或负半轴）。
五、典型例题
例1：抛物线的标准方程是y2 = 4x， 求它的焦点坐标和准线方程.
抛物线及其标准方程(2)
二 抛物线定义的应用
例 2 若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F12，0的距离比它到 y 轴的距离大12.求点 M 的轨迹方程.
跟踪训练2 已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心 M的轨迹方程.
解 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N， 则|MA|＝|MN|， 即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等， ∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线， ∴2p＝3，∴p＝6， 故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO
抛物线的实际应用问题
典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小 船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与 抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
作业：小黄105-106
(2)已知点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.
引申探究 若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线 的距离之和的最小值.
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.
由图可知，P 点，(0,2)点和抛物线的焦点 F21，0三点共 线时距离之和最小，
抛物线及其标准方程（2）
复习 一 抛物线的定义 1.定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F) 轨迹. 2.焦点：定点F. 3.准线：定直线l.
距离相等的 点 的
二 抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
_y_2_＝__2_p_x(_p_>_0_)
_y2_＝__－__2_p_x_(_p_>_0_) __x_2_＝__2_p_y(_p_>_0_)__
抛物线及其标准方程 课件
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M
抛物线及其标准方程(优秀课件)
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
完整版人教版高中数学第二册上《抛物线及其标准方程》2课时单元教学设计
抛物线及其标准方程” 单元讲课方案（选自人教版高中数学第二册（上）第八章第五节）一、教材解析1.在教材中的地位与作用（1）抛物线在初中以二次函数图象的形式初步商讨过，在物理上也研究过“抛物线是抛体的运动轨迹” ，这些足以说明抛物线在本质生活中应用的广泛性，在这一带里我们将更深入地研究抛物线的定义及其标准方程。
（2）抛物线是在学习了椭圆、双曲线的基础上研究的又一种圆锥曲线，它是以圆锥曲线统必定义（即第二定义）进行张开学习的，由此形成了圆满的圆锥曲线看法系统。
本章对抛物线的安排篇幅不多，但与椭圆、双曲线的地位是相同的。
利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为此后用解析法研究抛物线的几何性质，本节起到一个承上启下的作用。
（3）本节可经过类比的思想，由椭圆与双曲线的第二定义顺利得出抛物线及其焦点与准线的定义，接下来用轨迹思想建立合适坐标系求出抛物线的标准方程，一共有四种（开口向上、向下、向左或向右），在讲课过程中应重视标准方程中的“ P”，P 的几何意义以及焦点坐标、标准方程与 P 的关系是本节的要点，学生应掌握如何依据标准方程求P，焦点坐标与准线方程或依据三者求标准方程。
2．教材的编排系统解析教材内容表现的序次是：回顾椭圆与双曲线的第二定义（P132练习2）依据e＝1的几何意义设计试验活动抛物线的定义轨迹思想推导抛物线的标准方程总结抛物线标准方程及相关看法标准方程的直接运用（例1、 P132 练习 1、 3、 4， P133习题 1、2、4）抛物线定义的灵巧运用及定义法求解轨迹方程（例2、 P132 练习 5、P133 习题 3、）抛物线焦点弦长解析（例3、 P133 习题 7）直线与抛物线关系分析（ P133 习题 5、 6）3.例习题解析与教材发掘①教材在编排中特别是 P132 练习 2 的设计本质上已经表现了圆锥曲线统必定义这一假想，所以在总结中没关系明示这一知识的整合结论。
②定义的讲课中联合椭圆、双曲线定义中简单被忽视的条件的回顾，思虑教材定义表达中的不慎重性（应要求：定点 F 不在定直线l上），借此培育学生类比思想能力及慎重的思想意识。
抛物线及其标准方程(第二课时)
抛物线及其标准方程（第二课时）【自学导引】1．抛物线y 2＝2px(p ＞0)上的点M(x 0，y 0)与焦点F 的距离｜MF ｜＝02x p +．2．抛物线y 2＝－2px(p ＞0)上的点M(x 0，y 0)与焦点F 的距离｜MF ｜＝02x p -．3．抛物线x 2＝2py(p>0)上的点M(x 0，y 0)与焦点F 的距离｜MF ｜＝02y p +．4．抛物线x 2＝－2py(p>0)上的点M(x 0，y 0)与焦点F 的距离|MF|＝02y p -．【思考导学】1．抛物线上的点到它的焦点的距离叫做焦半径，它等于这个点到准线的距离．2．若一条直线与抛物线y 2＝2px(p>0)只有一个交点，那么这条直线与x 轴重合或平行或与抛物线相切．【典例剖析】［例1］若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则｜PA ｜＋｜PF ｜取得最小值时点P 的坐标是( )A ．(0，0)B ．(1，1)C ．(2，2)D ．(21，1)解析：∵｜PF ｜等于P 点到准线的距离，A 在抛物线内部，∴｜PA ｜＋｜PF ｜最小值是由A 点向抛物线的准线x ＝－21作垂线(垂足为B)时垂线段AB 的长度．∴｜PA ｜＋｜PF ｜最小时，P 点的纵坐标为2，从而得P 的横坐标为2．∴P 点的坐标为(2，2)．答案：C点评：本题根据抛物线的定义，运用数形结合的思想简捷地得出了答案．［例2］抛物线y 2＝2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是53，求此抛物线方程．解：设△AOB 为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ，AO 边的方程是y ＝2x ．则OB 边方程为y ＝－21x ．由⎩⎨⎧==px y x y 222可得A 点坐标为(2p ，p) 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x y 2212可得B 点坐标为(8p ，－4p) ∵｜AB ｜＝53，∴35)82()4(2=-++p p p p ．∵p ＞0解得p ＝13392，∴所求的抛物线方程为y 2＝13394x ．点评：求抛物线的标准方程，即求p 的值和确定开口方向，因而如何根据已知条件建立起关于p 的方程是解决本题的关键．［例3］设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．解：∵抛物线的焦点为F(2p，0)，∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x ＝my ＋2p代入抛物线方程，得y 2－2pmy －p 2＝0设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1、y 2是该方程的两根，∴y 1y 2＝－p 2 ∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－2p 上，∴点C 的坐标为(－2p ，y 2)∴直线OC 的斜率为111222x y y p p y k ==-=即k 也是直线OA 的斜率∴直线AC 经过原点O ．点评：本题若设直线AB 的点斜式方程也可以，但必须还要讨论斜率k 不存在的情况，另外，证明直线AC 过原点O 这里是利用了直线OC 与直线AC 斜率相等非常简捷，如若写出直线AC 的方程，通过(0，0)适合方程来证明，将非常复杂．【随堂训练】1．已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上点P(－3，m)到焦点距离为5，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：∵P 到焦点距离为5，∴3＋2p＝5，∴p ＝4，∵点P 在y 轴的左边，抛物线焦点在x 轴上，∴抛物线的标准方程为y 2＝－8x ．答案：B2．抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点的坐标是( )A ．(±6，9)B ．(9，±6)C ．(9，6)D ．(6，9)解析：设P 点的坐标为(x ，y)．∵｜PF ｜＝10，∴1＋x ＝10，∴x ＝9．把x ＝9代入方程y 2＝4x 中，解得y ＝±6．∴P 点的坐标是(9，±6)．答案：B3．抛物线y 2＝9x 与直线2x －3y －8＝0交于M 、N 两点，线段MN 中点坐标是() A ．)427,8113(-B ．)427,8113(C ．)427,8113(--D ．)427,8113(-解析：由方程组⎩⎨⎧=--=083292y x xy 得2y 2－27y －72＝0，∴y 1＋y 2＝,4272,22721=+y y 代入方程2x －3y －8＝0中，得x ＝8113．答案：B4．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( )A ．15 B ．215C ．215D ．15解析：把y ＝2x ＋1代入y 2＝12x ，得４x 2－８x ＋1＝0，所求弦长d ＝221+｜x 1－x 2｜＝15)14(5]4)[(521221=-=-+x x x x ．答案：A5．抛物线y 2＝８px(p ＞0)上一点M 到焦点的距离为a ，则点M 到y 轴的距离为______．解析：由已知设点M 到y 轴的距离为d 则p d a2+＝1，∴d ＝a －2p ．答案：a －2p6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线的准线上的射影是A 1、B 1，则∠A 1FB 1＝_______．解析：设抛物线方程为y 2＝2px(p ＞0)．如图，由抛物线定义知｜AF ｜＝｜AA 1｜，｜BF ｜＝｜BB 1｜，∴∠AA 1F ＝∠AFA 1，∠BB 1F ＝∠BFB 1，又AA 1∥x 轴∥BB 1，∴∠AA 1F ＝∠A 1FF 1，∠BB 1F ＝∠B 1FF 1，∴∠A 1F Ｂ1＝90°．答案：90°【强化训练】1．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A ．425B ．225C ．825D ．25解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l 的方程为y ＝34(x －2)． 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 8)2(342得B 点的坐标为(21，－2)．∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝2＋8＋2＋22521=，∴AB 的中点到准线的距离为425．答案：A2．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则2121x x y y 为() A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：特例法．当直线垂直于x 轴时，4),,2(),,2(222121p px x y y p p B p pA -=-＝－4．答案：Ｂ3．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝16xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝16x 或x 2＝－8yD ．y 2＝16x 或x 2＝8y解析：直线x －2y －4＝0与坐标轴的交点为(4，0)和(0，－2)，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ．答案：C4．抛物线y ＝ax 2(a>0)与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1、x 2；而直线y ＝kx＋b 与x 轴交点的横坐标是x 3，则x 1、x 2、x 3之间的关系是( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 3＝2111x x +C ．x 1x 3＝x 1x 2＋x 2x 3D ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3解法一：(特值法)取a ＝1，k ＝1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，x 3＝0， 可排除A 、B ．再取a ＝1，k ＝1，b ＝1，可得x 1＋x 2＝1．x 1x 2＝－1，x 3＝－1，检验C 、D 可知D 选项适合．解法二：(直接法)把y ＝kx ＋b 代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －b ＝0，x 1＋x 2＝ak，x 1x 2＝－a b又x 3＝－k b，∴x 1x 2＝(x 1＋x 2)x 3答案：D 5．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为______．解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0，由⎩⎨⎧=-=x y kx y 822 得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝284k k +，∵AB 中点的横坐标为2，∴284k k +＝4，∴k ＝－1或k ＝2．∵当k ＝－1时方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A 、B 两点重合．∴k ≠－1．答案：26．动圆M 经过点A(3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______．解析：设圆M 与直线l 相切于点N ，∵｜MA ｜＝｜MN ｜，∴圆心M 到定点A(3，0)和定直线x ＝－3的距离相等．根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上． ∵2p ＝3，∴p ＝6．∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x ．答案：y 2＝12x 7．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求抛物线的标准方程．解：∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px ．由方程组⎩⎨⎧+==,1222x y px y 得4x 2＋(4－2p)x ＋1＝0，∴｜x 1－x 2｜＝24416)24(22p p p -=--， ∴p p x x 425||212212-=-+， ∴154252=-p p ，∴p ＝6或p ＝－2，∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ．8．一直线与抛物线x 2＝y 交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为x 1和x 2，此直线在x 轴上的截距为a ，求证：21111x x a +=．证明：∵直线过(a ，0)点且与抛物线交于A 、B 两点，∴设直线的方程为y ＝k(x －a)且k ≠0，由方程组⎩⎨⎧-==)(2a x k y y x 得x 2－kx ＋ka ＝0． 由韦达定理，得x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝ka ．∵a ≠0 ∴a ka k x x x x x x 111212121==+=+． 即a x x 11121=+． 9．A 、B 是抛物线y 2＝2px(p ＞0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)．求证：(1)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB 经过一个定点．证明：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1、y 22＝2px 2∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝4p 2·(－y 1y 2)∴y 1y 2＝－4p 2，从而x 1x 2＝4p 2也为定值．(2)∵y 12－y 22＝2p(x 1－x 2) ∴2121212y y p x x y y +=--∴直线AB 的方程为：y －y 1＝212y y p +(x －x 1)即y ＝p y y y p x y y p 222212121⋅+-+＋y 1y ＝2121212y y y y x y y p +++亦即y ＝212y y p +(x －2p) ∴直线AB 经过定点(2p ，0)．【学后反思】求抛物线的标准方程需判断焦点所在的坐标轴和确定p 的值，过焦点的直线与抛物线的交点问题有时用焦半径公式较简单．。
抛物线及其标准方程 (2)
喷泉
3
4
请同学们思考一个问题
想 一 我们对抛物线已有了哪些认识？ 想 ？
【课题引入】
大家知道二次函数的图像是一条抛物线，斜 抛物体在没有阻力的情况下其轨迹为抛物线， 如铅球足球的运行轨迹，有些拱桥、雷达的天 线等也都是利用抛物线原理所制成的。
请同学们观察这样一个小实验？
（一）抛物线的定义
N
M
O
K
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2
· F ·
x
它表示的抛物线焦点在x轴的 p 正半轴上,坐标是( , 0)， ∴抛物线的标准方程为 2 p 2 准线方程是x y 2 px( p 0) 2
y 2 px
2
注意：抛物线标准方程表示的是顶点在原点， 对称轴为坐标轴的抛物线。
（三）例题讲解
例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方 程; (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。
p 解:(1)由方程可知,焦点在x轴正半轴上，坐标为 ( , 0) ，2p=6， 2 3 3 所以焦点坐标是( , 0) ，准线方程是x . 2 2
抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p>0) y2= -2px(p>0) x2=2py(p>0) x2= -2py(p>0)
四种形式：
§8.5.2抛物线及其标准方程 (二)
2
练习1 动点P到点 到点A(0,2)的距离比到直线 的距离比到直线l:y=-4的距 练习 ： 动点 到点 的距离比到直线 的距 离小2，则动点P的轨迹方程为 的轨迹方程为________ 离小 ，则动点 的轨迹方程为 x2=8y
练习2 已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上 练习 ： 已知抛物线方程为标准方程，焦点在 轴上 抛物线上一点M(a,-4)到焦点 程为_______， 的值等于 的值等于____ 方程为 x2=- 4y，a的值等于±4
y 2 = 2 px 得另一顶点B(8p,-4p) y 得另一顶点 由 x y=− A 2 0 ∵|OA|2+|OB|2=|AB|2
p 2 ∴ 8 p − + (− 4 p − p ) = 5 3 2
2
( )
x B
2
2 39 ∴p=± 13
4 39 x 故所求抛物线方程为 y = ± 13
§8.5.2抛物线及其标准方程 (二) 抛物线及其标准方程 二
复习回顾
1.抛物线的定义是什么 抛物线的定义是什么? 抛物线的定义是什么 平面内,到定点的距离和到定直线的距 平面内 到定点的距离和到定直线的距 离相等的点的轨迹叫抛物线. 离相等的点的轨迹叫抛物线 2.抛物线的标准方程有哪几种形式 2.抛物线的标准方程有哪几种形式? 抛物线的标准方程有哪几种形式?
p x= 2
y F
O x l l F x
p y=− 2
p y = 2
y
O
例1.已知抛物线的方程是 4y = − x2 ， 已知抛物线的方程是 求它的焦点坐标和准线方程. 求它的焦点坐标和准线方程
变1 抛物线方程改为 变2 抛物线方程改为
y2 = − px( p > 0)
抛物线及其标准方程 课件
[一点通] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到 焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时， 首先要注意抛物线定义的转化应用;其次是注意平面几何 知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不 等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．
[例3] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已 知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩 高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不 超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米， 且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装 150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下 深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该 桥孔？为什么？
[精解详析] (1)准线方程为 2y＋4＝0，即 y＝－2，故抛 物线焦点在 y 轴的正半轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0).又p2＝ 2，所以 2p＝8，故抛物线的标准方程为 x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0)或 x2＝ －2p1y(p1>0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，得 (－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 焦点，直线l叫做抛物线的 准线 .
平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1， 0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1， l4：y＝1.
3.抛物线标准方程中的参数 p 的几何意义是焦点到准 线的距离．
2.4.1.2抛物线及其标准方程(二)
y2 =8x、 y2 = -8x、x2 =8y 或 x2 = -8y
（2）焦点在直线x 3y 15 0上
y2 = -60x
或
x2 = -20y
（3）焦点在y轴上， 抛物线上的点M（m, 2）到 焦点的距离为4
x2 = -8y
例二
2 2
1、若动圆与圆（x 2） y 1外切，又与直线 x 1 0相切，求动圆圆心的 轨迹方程.
图 l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
l
O
x
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0) x2=2py (p&0) 2 p (0， ) 2
p P的意义:抛物 x 线的焦点到准 2 线的距离 p x 2 p y 2 p y 2
方程的特点: (1)左边是二次 式, (2)右边是一次 式;决定了焦点 的位置.
A的坐标为（12,6），求点P到点A的距离与点P 到x轴的距离之和 的最 小值.
dm i n 12
2、定长为5的线段A B的两个端点在抛物线2 4x y 上移动，试求线段AB 的中点M到y轴的最短 距离.
练习
2
已 知 抛 物 线 y 2x的 焦 点 是 F， 点 是 抛 物 线 上 P 的 动 点 ， 又 有 点 A（,2） ， 求PA PF 的 最 小 值 ， 3 并 求 相 应 的 P点 坐 标 .
y2 =8x 2、点M与点F(4, 0)的距离比它到直线: x 0 l
的距离大4，求点M的 轨迹方程. y2 =16x
3、设点P是抛物线y 4x上的动点，O是坐 标
2
OM 3 原点，点M在OP的延 长线上，且 ,求点 OP 2 M的轨迹方程.
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第八章 抛物线及其标准方程（二）
作课教师 边继辉 作课班级 189班
教学目标：
1. 熟练掌握抛物线的定义，并会求抛物线的标准方程。
2. 会用抛物线的定义解决有关问题。
教学重点:：
应用抛物线定义解决有关的轨迹及最值问题。
一、复习回顾：
问题1：叙述抛物线的定义，回顾抛物线的标准方程四种形式。
问题2：参数P 的几何意义；待定系数法确定抛物线标准方程，及相关注意 问题。
二、讲授新课：
例题解析：
例1.点M 到点F （4，0）的距离比它到直线L ：x + 5= 0的距离小1，求点M 的轨迹方程。
解析:将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离(定义),从而避免了直接法求方程的繁琐化简。
练习1：
1、动点P 到点A(0,2)的距离比到直线l:y=-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为________。
2.已知动圆M 与直线y=2相切,且与定圆C:x 2+(y+3)2 =1外切,求动圆圆心的轨迹方程。
思考：M 是抛物线y2 = 2px （p ＞0）上一点，若点M 的横坐标为x 0，则点M 到焦点的距离是________。
拓展：斜率为1的直线经过抛物线x y 42=的焦点，与抛物线相交A 、B 两点，求线段AB 的长。
解析：方案一：弦长公式应用。
方案二：抛物线的弦长公式。
练习2
(1)抛物线 y 2=2px 上一点 M 到焦点的距离是a （a 〉
2
p ），则点M 到准线的距离是 ，点M 的横坐标是 。
(2)抛物线y 2=12 x 上与焦点的距离等于9的点的坐标是 。
(3)已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，-3）到焦点距离为5，求m的值，以及抛物线标准方程和准线方程.
例2.设P为抛物线 y2=4x 上任一点，F为焦点.
(1)点A的坐标为（2，3）求|PA|+ |PF|的最小值
(2)设P到抛物线的准线距离为d,到直线l：x+2y-16=0 的距离为s，求d+s的最小值 .
分析：应用抛物线的第二定义将|PF|转化为P到准线的距离求解.
备选练习3：设点M（2，3）为平面内一点，点F为抛物线x2=4y的焦点，当|PM|+|PF|最小时，求点P的坐标。
三. 课后作业:
1.<<课本>>P133 4. 6. 7.题
2.预习第二节《抛物线的几何性质》。